Recherche:Mise au point d'un drone subaquatique/Fiche/Etat de l'art

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    <title>Recherche:Mise au point d'un drone subaquatique/Fiche/Etat de l'art</title>
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{{Entête de fiche
  | idfaculté = sciences de l'ingénieur 
  | nom       = l'état de l'art
}}

[[File:ISplash Robotic Fish bis.png|thumb|upright=1.5|'''''ISplash-II Robotic Fish''''' ; poisson-robot ou drone subaquatique qui était en 2014 capable d'imiter la nage d'un poisson [[w:Carangue|carangiforme]], avec une vitesse moyenne maximale et une endurance &quot;''comparable''&quot; (tant que la batterie n'est pas épuisée). Il ne dispose cependant pas des capteurs nécessaire à un [[w:Observatoire de la biodiversité|inventaire de la biodiversité]], et sa nage et encore trop &quot;''ondulatoire''&quot; pour produire une bonne image vidéo (s'il était équipé d'une caméra).]]
[[File:CIA robot fish &quot;Charlie&quot; 2.jpg|thumb|upright=1.5|Autre exemple de poisson [[w:Biomimétique|biomimétique]], qui contient un système de ballast et de télécommunication, mais ne dispose pas non plus de moyens de filmer son environnement comme le nécessite le présent projet (Noter aussi le risque induit qu'il soit endommagé par un requin, orque, etc.)]]
[[File:OpenRovProjetCh'tiPlouf2017a7.jpg|thumb|upright=1.5|Aperçu de l'électronique embarquée de l'[[w:fr:OpenRov|OpenRov]], élément clé de l'interface homme-machine et notamment destiné au pilotage d'une mini-caméra (d'autres ROV disposent de plusieurs caméras)]]
[[File:BRUIE NASA rover.jpg|thumb|upright=1.5|BRUIE (''Buoyant Rover for Under-Ice Exploration'') est un prototype de rover sous-marin du [[w:fr:Jet Propulsion Laboratory|Jet Propulsion Laboratory]] de la [[w:fr:NASA|NASA]]. Ce rover a commencé à être testsé dans l'Arctique en 2015. Il est destiné à explorer à terme les océans intérieurs d’autres planètes du système solaire. BRUIE flotte et utilise ses deux roues pour rouler sous la glace à la recherche d’éventuels indices de vie.]]

Cette fiche est consacré à l’[[w:État de l'art|état de l'art]] en matière de conception/écoconception, réalisation et utilisation de petits {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} (on parle généralement de mini-Rovs et mini-drones pour les {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} et drones de moins de 5 kg). 

'''Note aux contributeurs :'''
* Chaque chapitre traité ici pourra être illustré (photos, dessin, plans, films..) et enrichi de [[w:lien hypertexte|liens hypertextes]] pointant vers Wikiversité, Wikipédia, Wikibook, ou des sites d'intérêt pour le projet. N'oubliez pas de respecter les [[Wikiversité:Règles_d'utilisation_des_images|règles sur l’utilisation des images]] ainsi que les droits d’auteurs : Ne pas reprendre du contenu d’autres sites, médias ou livres non-explicitement publiés en licence ouverte de type cc-by-sa (sauf avec autorisation écrite des auteurs). Seules les courtes citations sourcées (ou un renvoi vers un lien externe) sont autorisées.
* Nos propres retour d'expérience feront l’objet d'une autre fiche ([[Recherche:Mise_au_point_d'un_drone_subaquatique/Fiche/Retours_d'expérience|Fiche ''« Retours d'expérience »'' ou « REX »]])
* Si le contenu devient quantitativement trop important, il est proposé de conserver ici une synthèse de chaque thème, qui renverra le lecteur vers des fiches plus détaillée.

== Introduction ==
=== Thématiques ===
# Types de {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} ou drones subaquatiques (ex traditionnels, biomimétiques...)
# Les principes de l'écoconception ; 
# Types de propulsion possibles pour un petit {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} ;
# Les solutions de stabilisation d'un petit {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} ;
# les techniques d'acquisition de données externes (et d'autres données d'intérêt environnemental et scientifique) ;
# l'acquisition d'image et de film ;
# les systèmes et logiciels d'[[w:fr:Interactions homme-machine|interactions homme-machine]] ; 
# les protocoles d'expérimentation et d'étude de [[Recherche:Mise_au_point_d'un_drone_subaquatique/Fiche/Retours_d'expérience|Fiche ''« Retours d'expérience »'' ou « REX »]] ; 
''&lt;small&gt;(liste non limitative ; rem : si quelqu’un ajoute ici un thème, merci de l'ajouter également plus bas comme nouveau chapitre)&lt;/small&gt;''.

=== Contenu ===
Cette fiche est destinée à accueillir :
* une présentation commentée des différentes solutions méthodologiques scientifiques et techniques existantes ou envisagées par d'autres ([[w:Benchmarking|Benchmarking]]) ;
* des dessins, plans, photographies et films (à condition que ces documents/médias soient disponibles sous licence ouverte CC-BY-SA ou équivalent et préalablement [[commons:Special:UploadWizard|déposées dans Wikimedia Commons]], si possible légendés au moins en français et en anglais). À ce jour, les films doivent être intégrés sous un format ouvert compatible avec Commons ou converti dans ce format ([[w:Ogg|.ogg]]) ;
* des études bibliographiques ([[w:fr:État de l'art|état de l'art]]),

'''Remarque :''' Pour ne pas alourdir la page, les liens externes généraux vers des sites d'intérêt (avec un court commentaire) seront plutôt déposés dans une annexe du projet dédiée aux liens connexes, de même pour une liste générale d'ouvrages et articles.

== État de l'art, par domaines  ==
=== Généralités ===
De manière générale les Drones ou {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} sont aujourd'hui des engins dotés d'une enveloppe, d'une motorisation ou d'un système passif de déplacement (gliders), d'un système et de circuits de commande, de batteries, d'un fil et/ou d'une antenne de communication, d'une unité de mesure inertielle (trois accéléromètres et trois gyroscopes) et de capteurs permettant d'extraire (et mémoriser ou envoyer) des données (images, vidéo éventuellement) de leur environnement.

==== Le milieu aquatique  ====
La physique optique subaquatique diffère significativement de ce qu'elle est en milieu atmosphérique, en raison des propriétés de l'eau mais aussi des substances et du plancton qu'elle contient. Un drone subaquatique doit opérer avec une faible intensité lumineuse, des longueurs d'onde variant rapidement selon la profondeur et selon la turbidité de l'eau, et avec une polarisation différente de la lumière. Idéalement nous devrions mieux intégrer le champ lumineux bleu et proche de l'ultraviolet, la lumière polarisée, et les questions de scintillement et décomposition de la lumière qui traverse les vagues et vaguelettes quand l'eau est agitée&lt;ref name=Loew1990&gt; Loew, E. R., &amp; McFarland, W. N. (1990). ''The underwater visual environment. In The visual system of fish'' (pp. 1-43). Springer Netherlands. ([http://link.springer.com/chapter/10.1007/978-94-009-0411-8_1 résumé])&lt;/ref&gt;. 

Pour filmer le monde aquatique sans le troubler, des connaissances en écologie visuelle subaquatiques sont bienvenues (biologie, biophysique, hydrobiologie, et sur les qualités perceptuelles de la vision subaquatique chez les poissons et autres organismes&lt;ref name=Loew1990/&gt;. Les poissons disposent de cellules rétiniennes en cônes spécialisées dans la perception de l'ultraviolet et de la polarisation&lt;ref name=Hawryshyn1992/&gt;. Ils ont une vision polarisée&lt;ref name=Hawryshyn1992&gt;Hawryshyn C.W (1992) ''[http://cichlid.umd.edu/cichlidlabs/kc/Teaching/Visionpdfs/Hawryshyn1992.pdf Polarization vision in fish]''. American Scientist, 164-175.&lt;/ref&gt;.

=== Les principes de l'écoconception collaborative et du codesign &lt;br /&gt;(appliquée au projet)  ===
Le projet se fera par l'implication de nombreux chercheurs, amateurs, bénévoles avec le soucis d'agir pour la finalité définie (ici la création du drone subaquatique). La mise en place de la wikiversité est un des outils de l'aspect collaboratif de la conception : tout le monde peut suivre les avancés du projet à toutes ces échelles.
Cette conception collaborative est l'assurance de bénéficier des talents de tout horizon au-delà des frontières. Chacun au final aura ainsi sa propre satisfaction qui peut être, de manière non exclusive, simplement le fait de participer, l'assurance de pouvoir utiliser le robot, bénéficier du stock d'images ainsi constitué...etc.
Le principe du [[w:Design thinking|codesign]] est de faire participer à la réflexion collective les usagers du produit ou du service en cours de conception. Notre projet, par son essence même suit une conception de type codesign. Il s'agit également dans le codesign de déconstruire ce qui est créé pour reconstruire quelque chose de nouveau. Encore une fois, bien que les étapes de notre projet repose sur des éléments connus, il nécessitera également une grande part de créativité qui obligera à sortir des sentiers battus et parfois de manière un peu décalée.

=== Mécanique subaquatique  ===
[[File:Underwater Linear Actuator.png|thumb|left|[[w:Actionneur|Actionneur]] linéaire [[w:électromécanique|électromécanique]] sous-marin (fabriqué par Ultra Motion Inc.), utilisant une vis à billes et un écrou, où la vis tourne ; l'écrou subit alors une translation linéaire pure (produit notamment utilisé sur des [[w:ROV|ROV]] ]]
[[File:OpenRovProjetCh'tiPlouf2017TestProgrammationServomoteur.jpg|thumb|Servomoteur en cours de tests de programmation ; dans ce cas, on cherche à appuyer sur un bouton avec deux degrés de pression pour activer deux fonctions nécessairement successives]]

Elle doit être adaptée aux risques liés à l'eau, au sel, algues et bactéries, et à la pression... et éviter de polluer le milieu (cf lubrifiants, fluides hydrauliques, etc.). 
&lt;br /&gt;Par exemple les actuateurs linéaires à vis sont souvent préférables aux systèmes de piston hydrauliques. 

La [[w:robotique molle|robotique molle]] et la [[w:biomimetisme|biomimétique]] pourraient dans ce domaine bouleverser plusieurs des approches classiques, grâce notamment aux évolutions de l’impression 3D (ex : co-impression par 8 têtes d’impression en 22 h de matériaux durs, élastiques et liquides en 2016 pour un petit robot hexapode&lt;ref&gt;Humanoides.fr (2016) [https://humanoides.fr/les-ingenieurs-du-mit-ont-imprime-un-robot-en-3d-avec-des-composant-liquides-et-solides/ Les ingénieurs du MIT ont imprimé un robot en 3D avec des composants liquides et solides] ;  08.04.16 par Newsroom&lt;/ref&gt; ; il ne manque que la batterie et le moteur)

Une [https://forum.openrov.com/t/openrov-gripper-grabber-manipulator/2926 pince intéressante] a été dessinée pour l’OpenRov par Patrick2 (2015)

=== Propulsion, déplacement  ===
La plupart des [[w:ROV|remotely operated vehicle]] (ROV), comme les [[w:sous-marin|sous-marins]] sont propulsés au moyen d'une ou plusieurs hélices (libres ou protégées). 
&lt;br /&gt;Pour les {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} ou drones évoluant dans des environnement riches en algues, débris ou objets flottants entre deux eaux, les systèmes de propulsons doivent être protégés par des grilles et/ou déflecteurs. 
&lt;br /&gt;Outre des solutions [[w:Bioinspiration|bioinspirées]] imitant la méduse, le « vol » d'une raie (ou d'un oiseau planeur), la marche du crabe, ou la natation d'un têtard, la nage du poisson [éventuellement [[w:anguille européenne|anguilliforme]]...)  ou des solutions de « déplacement multimodal » (ex : robot-pieuvre à la fois capable de marcher sur le fond et de se propulser dans le milieu comme un calmar&lt;ref&gt;Giorgio-Serchi, F., Arienti, A., Corucci, F., Giorelli, M., &amp; Laschi, C. (2017). [http://sssa.bioroboticsinstitute.it/sites/default/files/user_docs/Serchi_et_al_2017_ACCEPTED.pdf ''Hybrid parameter identification of a multi-modal underwater soft robot'']. Bioinspiration &amp; Biomimetics, 12(2), 025007.&lt;/ref&gt;), d'autres procédés mécaniques mais originaux de motorisation ont été imaginés (ex : {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}}  Bubblot, designé par un fabricant de montres suisses (Hublot) pour aider les archéologues à explorer l'[[w:Épave d'Anticythère|Épave d'Anticythère]]&lt;ref&gt;Voir : [http://www.atlantico.fr/rdv/atlantic-tac/quand-soucoupe-plongeante-remonte-temps-quand-oeufs-caille-donnent-naissance-elephants-et-quand-batman-est-fier-poignet-c-est-2363369.html#cqxpfCfDF5HwsCP7.99 présentation (article du 2 oct 2015), et  [https://www.youtube.com/watch?v=ir8pUAp4fGs Bubblot courte vidéo]&lt;/ref&gt;). Le ''Wave Glider'' de [[w:Liquid Robotics|Liquid Robotics]] (Silicon Valley) est un drone de type [[w:Planeur sous-marin|Planeur sous-marin]] utilisant la houle et le soleil qui permettent l'acquisition de données de température, salinité, courants, acoustique marine, images, etc. Il a notamment été testé en Nouvelle-Calédonie par Assystem entre Nouméa et Lifou (aller/retour). Il est trop lourd et encombrant pour explorer des environnements complexes.

=== Gouvernes ===
[[File:Double Eagle ROV Mk II.JPG|thumb|Exemple de ROV de taille moyenne (Double Eagle Mk II)]]
À la différence d'un navire, mais comme un [[w:avion|avion]] ou un engin spatial, un {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} doit pouvoir être dirigé selon 6 axes de libertés. 
Parmi les solutions (éventuellement hybrides) figurent :
* '''le gouvernail''' : un ou plusieurs [[w:Gouvernail|gouvernail]]s ou [[w:aileron|aileron]]s mobiles sont généralement utilisés. Dans ces cas, comme pour les engins volants, c’est le profil [[w:hydrodynamique|hydrodynamique]] de la gouverne et/ou de l'aileron mobile qui est utilisés pour dévier (ou inverser) l'écoulement d'eau le long de l'engin et modifier par réaction la direction de l'engin. La conception des [[w:planeur sous-marin|planeurs sous-marins]] est parfois proche de celle d'un avion ; Dans tous ces cas, il existe des surfaces de contrôles qui sont externes, qui présentent des zones de vulnérabilité (accrochage, casse) ;
* '''le propulseur orientable''' ; l’utilisation de propulseur à un ou plusieurs axes de mobilité permet d'orienter le flux généré par le propulseur (dans la direction opposée à celle qu'on veut faire prendre par le {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}}) ; Le système peut être externe, ou semi-intégré dans la coque (et alors moins vulnérable à l'accrochage) ;
* '''les propulseurs internes en tunnel''' : ils aspirent et pulsent l'eau dans une ou plusieurs gaines verticale, horizontale (selon deux axes en général ; transversal et vertical), en complément d'un propulseur principal externe (celui de la propulsion par hélice arrière en général). Si le {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} est très allongé, deux tunnels transversaux sont plus efficaces, placés à l'avant et à l'arrière ; opérant chacun à la manière des propulseurs d'étrave installés sur les navires). Sur les navires il n'est utilisé que quand le gouvernail ne suffit pas. Certains {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} l'utilisent presque en permanence. La poussée de l'éjecteur est produite par un ou plusieurs rotors généralement montés sur un arbre à l'intérieur du tunnel, mais on peut imaginer un rotor sans axe. Ces rotors tirent généralement leur puissance d'un moteur hydraulique placé à l'extérieur du tunnel (le couple étant transmis au rotor par des engrenages coniques aboutissant au caisson supportant l'arbre de rotor). Le moteur hydraulique peut aussi être placé dans le tunnel sur l'axe-même du rotor.&lt;br /&gt;Avantages/inconvénients : Le propulseur est apparemment mieux protégé (le stator est intégré au robot lui-même), mais il est plus difficile à nettoyer, réparer ou à changer en cas de panne ou de débris ou fil/corde/câble/algues introduits dans la gaine, et les grilles de protection freinent l'eau et peuvent se colmater ;
* '''des solutions bioinspirées''', qui vont de la nage anguilliforme à l'imitation des nageoires de divers poissons ou d'une ondulation du &quot;« corps »&quot; du robot en passant par la méduse, le calmar, le crabe, etc. (elle ne doit cependant pas dans notre cas gêner la fonction ''photo/caméra'');
* '''le ballast''' : il permet un mouvement vertical et de déplacer le centre de gravité (ballast d'eau ou déplacement d'une partie interne lourde), ce qui modifie l'inclinaison de l'engin en lui permettant éventuellement (chez les [[w:Planeur sous-marin|gliders]] par ex.) de remonter ou plonger, virer et/ou « gîter ».

=== Design &amp; prospective  ===
[[Image:Pinza Robot.jpg|thumb|upright=1.5|En, contexte subaquatique, vaut il mieux conserver une solution mécanique simple (ex photo) ou développer des solutions plus biomimétiques ?.. ou combiner les deux approches ? ]]

Depuis quelques années, certains designers de robots (en [[w:fr:robotique molle|robotique molle]] notamment) cherchent à se passer d'engrenages, de roulements à billes et de certains servomoteurs. Deux grands types de solutions sont testés : solutions &quot;''hydrauliques''&quot;, avec par exemple la série des robots bioinspirés fonctionnant dans l'air ou dans l'eau, construits par le groupe allemand [[w:Festo (entreprise)|Festo]], spécialisé dans l'automatisation des mouvements utilisant l'énergie pneumatique (air comprimé) ou électrique, ou la version récente d'une minuscule raie bioinsipirée&lt;ref&gt;[https://futuristech.info/posts/video-biorobotic-stingray-created-from-rat-heart-muscle-cells-i-think-we-ve-got-a-biological-life-form-here Vidéo mini-raie] (2016) et voir article de la revue Science [http://science.sciencemag.org/content/353/6295/158.full ''Robotic ray is part animal, part machine''] (7 juillet 2016)&lt;/ref&gt;. L'autre solution est le développement d'alliages à mémoire de forme et de matériaux se déformant sous l'effet de l'électricité ; Ces deux approches pouvant être combinées. Les prototypes peuvent être d'abord modélisé en s'appuyant sur la ''[[w:fr:Méthode des éléments finis|Méthode des éléments finis]] et mécaniquement caractérisé'' et la [[mécanique des milieux continus]] (dans Wikiversité).

Parmi les solutions supposées futuristes, éventuellement bioinspirées, envisagées par le « design prospectif », figurent
* la solution d'un ''[[w:Robot mou|robot mou]]'' doté d'une enveloppe capable de « morphing », c’est-à-dire à géométrie variable (pour tout ou partie), sensibles à divers [[w:stimulus|stimuli]], voire capable de s'autoréparer. Remarque : la solution ''morphing'' n'exclue pas les systèmes de gouverne ou de motorisation évoqués ci-dessus (une nageoire artificielle ou une gouverne plus classique pourrait d'ailleurs elle-même comporter des éléments mous et durs (jouant par ex le même rôle que les arêtes de poissons) ; La robotique molle est encore freinée par le manque d'actionneurs souples, solides et performants et par le manque de maturité des circuits électroniques souples et élastiques ; En 2025, une autre équipe présente un robot nageur centimétrique, autonome et très maniable, nageant à 5,1 cm/s, tournant à 195°/s et pouvant se faufiler dans des environnements encombrés (dans les algues par exemple, grâce à 2 nageoires pectorales souples et millimétriques, animées par des ondes de flexion générées par un unique actionneur électrohydraulique par côté, fonctionnant sous 500 V pour une consommation de 35 mW. Il peut pousser des objets plus de 16 fois plus lourds que lui&lt;ref name=RobotNageur2025&gt;{{Article |langue=en |prénom1=Florian |nom1=Hartmann |prénom2=Mrudhula |nom2=Baskaran |prénom3=Gaetan |nom3=Raynaud |prénom4=Mehdi |nom4=Benbedda |titre=Highly agile flat swimming robot |périodique=CrossRef |volume=10 |numéro=99 |date=2025-02-26 |issn=2470-9476 |doi=10.1126/scirobotics.adr0721 |consulté le=2026-10-04}}.&lt;/ref&gt;En 2026, des progrès encore plus significatifs semblent faits. avec la création de muscles artificiels basés sur :
:- des actionneurs piézoélectriques&lt;ref name=ScRoboticsSept2026/&gt; ; 
:- des actionneurs diélectriques en élastomère (DEA)&lt;ref name=ScRoboticsSept2026/&gt; ;, 
:- des actionneurs électrostatiques&lt;ref name=ScRoboticsSept2026/&gt; ;
:- des actionneurs basés sur des matériaux (polymères ou [[w:Alliage à mémoire de forme|alliages à mémoire de forme]] &lt;ref&gt;{{Article |prénom1=J |nom1=Colorado |prénom2=A |nom2=Barrientos |prénom3=C |nom3=Rossi |prénom4=K S |nom4=Breuer |titre=Biomechanics of smart wings in a bat robot: morphing wings using SMA actuators |périodique=Bioinspiration &amp; Biomimetics |volume=7 |numéro=3 |pages=036006 |date=2012-09-01 |issn=1748-3182 |issn2=1748-3190 |doi=10.1088/1748-3182/7/3/036006  |consulté le=2026-10-04}}.&lt;/ref&gt;{{,}}&lt;ref&gt;{{Article |prénom1=Lindsey |nom1=Hines |prénom2=Veaceslav |nom2=Arabagi |prénom3=Metin |nom3=Sitti |titre=Shape Memory Polymer-Based Flexure Stiffness Control in a Miniature Flapping-Wing Robot |périodique=IEEE Transactions on Robotics  |volume=28 |numéro=4 |pages=987–990 |date=2012-08 |issn=1552-3098 |issn2=1941-0468 |doi=10.1109/TRO.2012.2197313 |lire en ligne=http://ieeexplore.ieee.org/document/6202706/ |consulté le=2026-10-04}}.&lt;/ref&gt;,
:...alors que les batteries et unités de puissance progressaient également de même que la robustesse du micro-robot face aux collisions légères &lt;ref&gt;{{Article |prénom1=YuFeng |nom1=Chen |prénom2=Siyi |nom2=Xu |prénom3=Zhijian |nom3=Ren |prénom4=Pakpong |nom4=Chirarattananon |titre=Collision Resilient Insect-Scale Soft-Actuated Aerial Robots With High Agility |périodique=IEEE Transactions on Robotics |volume=37 |numéro=5 |pages=1752–1764 |date=2021-10 |issn=1552-3098 |issn2=1941-0468 |doi=10.1109/TRO.2021.3053647 |lire en ligne=https://ieeexplore.ieee.org/document/9357346/ |consulté le=2026-10-04}}.&lt;/ref&gt;{{,}}&lt;ref&gt;{{Article |langue=en |prénom1=Suhan |nom1=Kim |prénom2=Yi-Hsuan |nom2=Hsiao |prénom3=Zhijian |nom3=Ren |prénom4=Jiashu |nom4=Huang |titre=Acrobatics at the insect scale: A durable, precise, and agile micro–aerial robot |périodique= Science Robotics |volume=10 |numéro=98 |date=2025-01-15 |issn=2470-9476 |doi=10.1126/scirobotics.adp4256 |consulté le=2026-10-04}}.&lt;/ref&gt; ou aux impacts de [[w:Goutte (physique)|gouttes d'eau]] en cas de pluie ou d'[[w:embrun|embruns]]&lt;ref name=ScRoboticsSept2026/&gt;. 
* Début 2025, dans le domaine aérien, un micro‑robot volant de 750 mg réalise un vol stationnaire de 1000 secondes (100 fois plus longtemps que les modèles antérieurs), suit des trajectoires complexes avec moins d’un centimètre d’erreur, vole à plus de 30 cm/s, et atteint une vitesse ascensionnelle de 1 m/s. Doté d'un rapport portance‑poids de 2,2, il peut faire des doubles retournements à une vitesse de rotation supérieure à celle des insectes les plus rapides. Son endurance, sa précision et son agilité sont comparables à celles de certains insectes&lt;ref&gt;{{Article |langue=en |prénom1=Suhan |nom1=Kim |prénom2=Yi-Hsuan |nom2=Hsiao |prénom3=Zhijian |nom3=Ren |prénom4=Jiashu |nom4=Huang |titre=Acrobatics at the insect scale: A durable, precise, and agile micro–aerial robot |périodique=Science Robotics |volume=10 |numéro=98 |date=2025-01-15 |issn=2470-9476 |doi=10.1126/scirobotics.adp4256  |consulté le=2026-10-04}}.&lt;/ref&gt;.&lt;br&gt;En [[w:2026|2026]], alors que la [[w:robotique molle|robotique molle]] peinait encore à se développer, et alors que l'[[w:impression 3D|impression 3D]] de [[w:fr:Polymère|polymère]]s complexes progresse, la microrobotique aérienne semble avoir fait un bond (en laboratoire à ce stade) : un micro-robot entièrement en ''polymère résistant, pesant 185 milligrammes'', c'est à dire le poids d'un [[w:confetti|confetti]] ou d'une goutte d'eau à peine visible), ''alimenté par un actionneur de flexion électrostrictif ''(un matériau qui se courbe sous l'effet une tension électrique)'' qui entraîne directement des ailes ici configurées en forme de cône, sans transmission''}} a été produit&lt;ref name=ScRoboticsSept2026/&gt;. Ce micro-robot volant ne contient aucune des pièces mécaniques rigides traditionnellement responsables de la fragilité des micro‑drones à battement d'ailes. Sa [[w:Densité de puissance|densité de puissance]] est de 1600 watts/kg, l'angle de flexion des ailes est de 136° à 110 hertz, ce qui offre à ce micro-engin un rapport portance/poids de 3,0 et un rapport portance/puissance de 8,3 millinewtons par watt à 30 hertz, pour une [[w:efficacité énergétique|efficacité énergétique]] de l'actionneur est d'environ 5,7%. Ce design et ce fonctionnement (inédit à cette échelle) permet une prise de vol autonome (il décolle sans aide à une vitesse moyenne verticale de 40 centimètres par seconde) puis peut avoir des mouvements amples et rapides associés à une excellente efficacité de vol, outre une résistance exceptionnelle aux impacts sévères (chocs violents, écrasement complet ... dont le robot se relève pour reprendre son vol)&lt;ref name=ScRoboticsSept2026/&gt;. À ce stade, l'actionneur du robot perd une part de son énergie quand la charge électrique accumulée se dissipe dans l'électrode au moment où la tension est coupée. En ajoutant un petit circuit récupérant cette charge, cette perte serait diminuée, et l'actionneur plus efficace. Une autre partie de l'énergie est perdue [[effet joule|sous forme de chaleur]] dans les électrodes encore trop résistantes (les améliorer permettrait de limiter ce gaspillage)&lt;ref name=ScRoboticsSept2026/&gt;. La puissance de l'actionneur pourrait aussi augmenter en mettant davantage de matériau actif dans sa structure ou en remplaçant certaines couches par des matériaux plus légers et plus rigides. La tension électrique pourrait être augmentée en empilant plusieurs films plus fins, ce qui permettrait d'utiliser des composants électroniques courants, plus légers et faciles à intégrer. On peut encore optimiser la forme des ailes et/ou ajouter plusieurs paires d'ailes, pour rendre le robot plus agile&lt;ref name=ScRoboticsSept2026/&gt;. Pour le rendre entièrement autonome, il faudra encore lui ajouter des capteurs, un microcontrôleur et une source d'énergie embarquée (des solutions hybrides sont envisagées, comme remplacer une partie de la structure par un élément photovoltaïque souple et une batterie flexible, afin d'alimenter le robot sans l'alourdir)&lt;ref name=ScRoboticsSept2026/&gt;. 
Selon ses concepteurs, un nouveau paradigme s'ouvre, par exemple pour des véhicules aériens ou subaquatiques miniatures résilients en environnements confinés et/ou hostiles, tout en conciliant une nouvelle forme de simplicité mécanique, d'[[efficacité énergétique]] et de robustesse structurelle, jusque‑là inatteignables selon les concepteurs de ce mini-robot&lt;ref name=ScRoboticsSept2026&gt;{{Article |langue=en |prénom1=Yuan |nom1=Zhu |prénom2=Hanxiang |nom2=Wu |prénom3=Dawei |nom3=Sun |prénom4=William |nom4=Budiman |titre=Takeoff of an all-polymer micro aerial flying robot |périodique=Science Robotics |volume=11 |numéro=118 |date=2026-09-30 |issn=2470-9476 |doi=10.1126/scirobotics.aed8148 |consulté le=2026-10-04}}.&lt;/ref&gt;. Il est à noter que les micro-robots de ces tailles risquent d'être rapidement &quot;mangés&quot; par des poissons plus gros qu'eux. 
* l'ionisation de l'eau pour produire un flux qu'on peut ensuite diriger ;
* mieux exploiter l'[[w:effet coanda|effet Coanda]] ;
* utiliser de nouveaux type de pseudo-[[w:muscle artificiel|muscles artificiels]]&lt;ref&gt;Moghadam, A. A. A., Kouzani, A., Torabi, K., Kaynak, A., &amp; Shahinpoor, M. (2015). [https://www.researchgate.net/profile/Akif_Kaynak/publication/272089433_Development_of_a_Novel_Soft_Parallel_Robot_Equipped_with_Polymeric_Artificial_Muscles/links/56144fa608aed47facee3b50.pdf ''Development of a novel soft parallel robot equipped with polymeric artificial muscles]''. Smart Materials and Structures, 24(3), 035017.&lt;/ref&gt;, d'[[w:actionneur|actionneurs]] et « micro-actionneurs » par exemple à base de [[w:polymère électroactif|polymère électroactif]]&lt;ref&gt;Gunn-Sechehaye, M. (2015). ''Conception d&quot; un actionneur à base de polymère électroactif (EAP)'' (No. EPFL-STUDENT-210281).&lt;/ref&gt;{{,}}&lt;ref&gt;Riedi, L. (2015). ''Conception de l’électronique de commande d’un actionneur en polymère électro-actif (EAP)'' (No. EPFL-STUDENT-210279) ([http://infoscience.epfl.ch/record/210279 résumé]).&lt;/ref&gt;{{,}}&lt;ref&gt;Yang, T., &amp; Chen, Z. (2015, December). Development of 2D maneuverable robotic fish propelled by multiple ionic polymer-metal composite artificial fins. In 2015 IEEE International Conference on Robotics and Biomimetics (ROBIO) (pp. 255-260). IEEE ([http://ieeexplore.ieee.org/xpls/abs_all.jsp?arnumber=7418776 résumé])&lt;/ref&gt;) notamment adaptés aux matériaux souples. Il pourrait être bientôt possible d'utiliser des cordons de matériaux polymère électroactif dans les imprimantes 3D&lt;ref&gt; Carrico, J. D., Traeden, N. W., Aureli, M., &amp; Leang, K. K. (2015). [http://www.kam.k.leang.com/academics/pubs/CarricoJD_2015b.pdf ''Fused filament 3D printing of ionic polymer-metal composites (IPMCs)'']. Smart Materials and Structures, 24(12), 125021&lt;/ref&gt;.
&lt;br /&gt;Hormis quelques robots imitant les poissons aux formes fuselées et dont seule l'enveloppe était molle, les premières tentatives ont souvent abouti à des robots plutôt lents et malhabiles dans l'eau. Récemment Tiefeng Li et ses collègues (Université du Zhejiang à Hangzhou, en Chine) ont produit un prototype simple de robot en partie mou (ailes en [[w:élastomère diélectrique|élastomère diélectrique]] et [[hydrogel]] ioniquement conducteur, formant un muscle synthétique qui permet un mouvement évoquant celui des ailerons d'une raie manta et ainsi de &quot;nager&quot; à une vitesse de 6,4 cm/seconde (doublant le record antérieur de vitesse en robotique molle, avec une capacité de nage de trois heures sur une même charge de batterie). Il utilise l'eau de mer comme &quot;prise de terre&quot;&lt;ref&gt;[https://www.nature.com/articles/n-12200700 résumé ''Fish-inspired robot leaves rivals in its wake ; A manta-ray-like device moves twice as fast as other soft machines''] Nature News, d'après Tiefeng Li &amp; al. (2017) [http://advances.sciencemag.org/content/3/4/e1602045.full résumé] ; Science Advances  05 Apr 2017:Vol. 3, no. 4, e1602045 ; DOI: 10.1126/sciadv.1602045][http://advances.sciencemag.org/content/3/4/e1602045 résumé], Science Mag (2017)&lt;/ref&gt;.

=== Matériaux nouveaux souples et étirables  ===
L'impression 3D de polymères texturés permet de produire des formes souples et pseudo-étirables (principe de l'accordéon)

L'un des défis (y compris pour la réparation des robots souples) était de pouvoir disposer de colle souple et élastique et étanche. Ceci semble sur le point de se réaliser : mi-2017, des universitaires physiciens ont réussi à produire en laboratoire une colle à [[w:Cyanoacrylate|cyanoacrylate]] fortement élastique et pouvant coller des substances dures et/ou molles (dont composants électroniques) à des hydrogels (matériaux de type « gels » utilisés dans certains [[w:dispositifs médicaux|dispositifs médicaux]] et robots souples)&lt;ref name=ScienceMagJuin2017/&gt;. Ceci ouvre la voie à la création des [[w:batterie (électricité)|batteries]] et [[w:circuit électrique|circuits électriques]] véritablement élastique et étirables&lt;ref name=ScienceMagJuin2017/&gt;. Le cyanoacrylate est associé à un composant organique (qui, sans être un solvant, diffuse rapidement dans les parties en fusion de manière à empêcher qu’elles ne deviennent cassantes). Au moment du pressage la prise de la colle se fait en quelques secondes&lt;ref name=ScienceMagJuin2017/&gt;. L’élasticité peut atteindre 2000 %&lt;ref name=ScienceMagJuin2017&gt;[http://www.sciencemag.org/news/2017/06/new-superglue-could-seal-deal-stretchable-batteries-soft-robots] ; ChemistryTechnology ; DOI: 10.1126/science.aan7008Par Zahra Ahmad, 23 juin 2017&lt;/ref&gt;. La mise sur le marché est attendue entre 2018 et 2020.

=== Batteries, gestion de l'énergie  ===
Voir ci-dessus pour ce qui concerne les batteries étirables
{{...}}

=== Éclairage ===
Le cahier des charges concernera les besoins de vision du robot (de sa station-mère et de son opérateur), et ceux - plus ponctuels dans le temps - de la photo (flash) et de la vidéo (torche), avec des problèmes de flux de lumière, de colorimétrie, de réflexion/diffraction et de géométrie et positionnement des faisceaux lumineux par rapport à l’objet ou organisme à photographier ou filmer. Pour des raisons pratiques (encombrement, consommation d'énergie), la solution [[w:LEDs|LEDs]] semble la plus intéressante (sauf arguments contraires à développer ici), éventuellement associé à la [[w:fibre optique|fibre optique]]. 
&lt;br /&gt;Le longueurs d'ondes et la position des sources devraient pouvoir être contrôlées. Un éclairage multiplexe permettrait dans certains cas de pouvoir visualiser les images en gérant la [[w:fr:réflectance|réflectance]] pour l'améliorer. Un prétraitement de l'image est souhaitable&lt;ref&gt;Bazeille, S., Quidu, I., Jaulin, L., &amp; Malkasse, J. P. (2006, October). ''Automatic underwater image pre-processing''. In CMM'06 (p. xx).&lt;/ref&gt;.

=== Stabilisation d'un {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}}  ===
Une bonne capacité d'autostabilisation est l'une conditions nécessaire (mais non suffisante) à une capacité de prise de vue de haute précision (voire en quasi-microscopie) et à la réussite de certains protocoles d'échantillonnages. Elle est à relier aux systèmes d'asservissement de position (dont l'ancrage ou l'accrochage font partie). 

Une centrale inertielle performante pourrait aussi être utile sur une plate-forme flottante qui pourrait être liée au drone (pour sa récupération, recharge, récupération de données, etc). 

Plusieurs techniques existent, éventuellement complémentaire et des solutions biomimétiques sont sans doute également possible. Les plus performantes semblent les plus consommatrices en énergie, elles pourraient n'être activées qu'au moment des prises de vues, d'échantillonnage ou en situation délicate.

'''Pour en savoir plus''', voir (et/ou complétez) :
* la [[Recherche:Mise_au_point_d'un_drone_subaquatique/Fiche/Stabilisation_(gyroscopique,_élasticomécanique...)|Fiche-Mémoire sur la stabilisation (gyroscopique, élasticomécanique...)]] dédiée à ce sujet.
* l’[[Recherche:Mise_au_point_d'un_drone_subaquatique/Annexe/Biliographie|Annexe 3 (Bibliographie)]]

=== Mise à l'eau et récupération  ===
Elle est surtout complexe pour les drones de grande taille, mais peut dans tous les cas être compliquée par le mauvais temps en pleine mer.

=== Capteurs, acquisition de données externes &lt;br /&gt;  ===
[[File:CTD-me-details hg.jpg|thumb|left|Exemple de capteur [[w:Conductivity Temperature Depth|CTD]] (''Conductivity Temperature Depth'') démonté avec ; son électronique embarquée, ses capteurs de conductivité, température et pression, sa cage de protection des capteurs, ses connecteurs étanches et son boîtier de protection contre les hautes pressions.. à miniaturiser]]
[[File:Depthx commons détouré.jpg|thumb|upright=1.4|[[w:DEPTHX|DEPTHX]] ([[w:NASA|NASA]]) a de 54 sonars lui permettant la cartographier 3D et aussi de mieux se repérer dans l'espace subaquatique (ici : version 2007 testé à La Pilita (Mexique) dans plusieurs [[w:cénote|cénote]]s dont le plus profond au monde ; [[w:Zacatón|Zacatón]])]]

Divers capteurs électroniques déjà disponibles sur le marché sont nécessaires au pilotage de l'engin et à l'acquisition de données (d'intérêt environnemental et scientifique)
* Caméra (= les yeux du robot), devant permettre (au mieux) des images avec 5 critères de qualité que sont :
** la netteté (à un point de l'objet correspond un point de l'image)
** la résolution qui est la plus petite distance séparant deux points objets capables de donner deux points images distincts.
** le contraste, reproduction de la différence d'éclairement des surfaces distinctes et éventuellement de leurs couleurs.
** aussi peu de flou que possible sur les mouvements.
* Des métadonnées pertinentes.
* Capteurs acoustiques ; [[w:fr:Hydrophone|hydrophone]] (= les oreilles du robot) pouvant aussi aider à déterminer la position de l'origine d'un son (source) grâce à des amplificateurs, des filtres, un ADC et un contrôleur embarqués. Un filtre passe-bande numérique (implémenté via un FPGA) peut fortement réduire l'[[w:aliasing|aliasing]] (parasitage par le bruit du ROV lui-même). En surface un [[w:algorithme|algorithme]] de formation de faisceau (''beamforming algorithm'') génère du son directionnel via des haut-parleurs stéréophoniques (ou un casque « audio/virtuel »). L'algorithme pourra être amélioré pour affiner la précision de la directionnalité donnée&lt;ref&gt;Kim S.M, Byun S.H, Kim K, Choi H.T &amp; Lee C.M (2017) ''Development and performance test of an underwater sound transmission system for an ROV.'' In Underwater Technology (UT), 2017 IEEE (pp. 1-4). IEEE ([http://ieeexplore.ieee.org/abstract/document/7890295/ résumé]).&lt;/ref&gt;.
* GPS (uniquement disponible en surface ?)
* capteurs de vitesse relative, vitesse du courant (ex : loch doppler)
* capteurs embarqués tels que CTP ([[w:Conductivity Temperature Depth|conductivité-température-profondeur]]), aussi dits CTD (pour ''[[w:CTD (instrument)|conductivity–temperature–depth]]'')
* [[w:fluoromètre|fluoromètres]] de [[w:chlorophylle|chlorophylle]]
* capteur optique mesurant la turbidité, la couleur de l'eau, la luminosité
* capteurs mesurant la dureté/acidité de l'eau, taux d'O2/CO2/NO3...
Ces capteurs peuvent rendre le drone plus autonome. Ils limitent aussi le besoin d'échantillonner l'eau pour l'analyser. Certains donnent des ordres de grandeur de propriétés du milieu (avec une meilleure résolution spatiale et temporelle) là où autrefois il fallait des prélèvement par bouteilles ou filets.

=== Communication avec l'opérateur ou avec robot associé (en systèmes distribués « multi-agents »)  ===
* '''Communication sans fil''' est un défi à relever : Les [[w:ondes hertziennes|ondes hertziennes]] offrent du débit d'information dans l'air. Un système wifi peut permettre une communication émergée et de proximité (ex : avec une plate-forme en surface). ⇒ protocole de communication (Bus CAN...), antennes etc. Elle peut être hybride (ex  ''hybrid optical-acoustic system'')
* '''Ondes acoustiques''' : le son se propage 4 fois plus vite dans l'eau que dans l'air, et une onde porteuse de fréquence 50 à {{Unité|100|{{abréviation|kHz|kilo-hertz}}}} porterait à environ {{formatnum:1000}} mètres avec un débit de 20 Kbauds environ. Les basses-fréquence portent éventuellement très loin mais avec une faible bande passante. Ces résultats médiocres (dizaines de Kbits/seconde) permettent de transférer des informations basiques (ex : position, l'état de charge de la batterie, avaries) ou pourraient servir à reconfigurer un robot encore sous l'eau, mais ne permet pas de transmettre une image vidéo ni des données sonar de qualité.
*  '''Lumière'''&lt;ref&gt;Kaushal H &amp; Kaddoum G (2016) ''[http://ieeexplore.ieee.org/iel7/6287639/7419931/07450595.pdf Underwater optical wireless communication]''. IEEE Access, 4, 1518-1547, PDF, 30 p.&lt;/ref&gt; (éventuellement via le [[w:laser|laser]]&lt;ref&gt;Cox Jr, W.C (2008) [https://repository.lib.ncsu.edu/bitstream/handle/1840.16/1696/etd.pdf?sequence=1&amp;isAllowed=y ''A 1 Mbps Underwater Communication System Using a {{Unité|405|{{Abréviation|nm|nanomètre}}}} Laser Diode and Photomultiplier Tube'']. Thèse de doctorat (voir p 23)&lt;/ref&gt;) permet le transfert d'information dans l'eau, mais sur une courte distance et avec un résultat médiocre dans les eaux turbides, avec nécessité de gérer les interruptions de faisceaux liées aux débris flottant entre deux eau. Des leds bleues ont déjà été testées&lt;ref name=robotPereFils2016&gt;Li, M., Guo, S., Guo, J., Hirata, H., &amp; Ishihara, H. (2016). ''Development of a biomimetic underwater microrobot for a father–son robot system''. Microsystem Technologies, 1-13 ([http://link.springer.com/article/10.1007/s00542-016-2817-3 résumé])&lt;/ref&gt;). Elles pourraient être utilisées de robot à robot&lt;ref name=robotPereFils2016/&gt; ou avec un module flottant ou immergé proche. &lt;br /&gt;Le [[[w:Lidar|lidar]] évolue (Le ''Photonic Microsystems Group'' du Laboratoire de Recherche Electronique du MIT) a miniaturisé en 2016 un capteur lidar (d'un facteur 100 : 0.5 mm x 6 mm) ; il est plus solide et 1000 fois plus rapide grâce à une orientation non mécanique de son faisceau laser et pas plus cher - 1000 à {{unité|70.000|dollars}} selon le type de lidar - mais n'a qu'un champ de vision de 51° et ne détecte des objets que jusqu'à 2 mètres, dans l'air)&lt;ref&gt;Le MIT a conçu un capteur LiDAR cent fois plus petit que ceux du marché ; 10.08.16 ; Newsroom (cadre : projet Electronic-Photonic Heterogeneous Integration dit &quot;E-PHI&quot; lancé en 2011&lt;/ref&gt;.  &lt;br /&gt;La lumière peut modifier le comportement de certaines espèces ou les stresser.
* '''Robotique en essaim''' (''swarm robotics'') avec ses variantes en ou en nuées ainsi que des systèmes de « meutes » (i.e. un essaim coordonné par un « chef ») plus ou moins autonomes, automatisés, [[w:stigmergie|stygmergiques]] ou capables d'auto-organisation et de collaboration font l'objet de nombreuses recherches. Des balises puis des mini-robots indépendants ou collaborant entre eux sont beaucoup développés, au moins en laboratoire de recherche, et parfois pour le milieu subaquatique&lt;ref&gt;Future B (2012). ''Robots replace costly US Navy mine-clearance dolphins''  http://www.bbc.com/future/story/20121108-final-dive-for-us-navy-dolphins  (voir p. 14)&lt;/ref&gt;{{,}}&lt;ref&gt;Thomas Sousselier (2013) ''[https://hal.archives-ouvertes.fr/tel-01096431/document#cite.b._b._c._future_robots_2012 Conception et validation d'un algorithme de mise en formation d’essaim de micro-robots sous-marins auto-organisées : Application à l’exploration de zone en guerre des mines. Recherche opérationnelle]'' [cs.RO].  Université  Européenne de Bretagne ; Université de Bretagne-Sud&lt;tel-01096431&gt;&lt;/ref&gt;{{,}}&lt;ref&gt;[http://www.roboshoal.com/ SHOAL robots], &lt;/ref&gt;. l'Intelligence en essaim concerne aujourd'hui la réalisation par un groupe d’agents asynchrones et semi-indépendants d'un objectif collectif fixé à l’avance, mais on peut imaginer des essaims plus créatifs cherchant au hasard et découvrant par exemple de nouvelles espèces, habitats ou comportements subaquatiques.
* Autres approches : le robot dont les principaux constituants peuvent se séparer et communiquer entre eux ou être remplacés de manière standards.

=== Acquisition, prétraitement &amp; stockage d'image / vidéo  ===
Une tendance (permise par la miniaturisation de nombreux composants) est de prétraiter la donnée à l'intérieur de la caméra pour réduire la bande passante, et offrir une image de qualité à l’opérateur du {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}}/Drone. L'inconvénient est un risque de trop allonger le délai de latence entre le réel et ce que voit l'opérateur. Un modèle de caméra (non subaquatique) de surveillance (MOBOTIX) corrige ainsi une acquisition hémisphérique d'image à 360° ou panoramique 180° pour donner une image moins déformée de la scène. Divers logiciels permettent cela.
{{...}}

=== Post-traitement de l'image ===
Le traitement le plus classique est l'amélioration des contrastes et des couleurs, plus ou moins automatisable.

Des robots subaquatiques munis de caméras spéciales dressent maintenant en quelques heures une cartographie 3D d’épave d’un fond qui aurait demandé des jours ou semaines de travail et beaucoup d’argent aux archéologues sous-marins. Les images sont rassemblées (''[w:en:Image stitching|stitching'') par un logiciel informatique qui calcule finement la topographie du fond et des objets qui y reposent. Le logiciel ne peut toutefois pas « deviner » ce qui est enfoui dans le sédiment. Au large de la Sicile, trois épaves antiques ont ainsi été récemment explorées. L’une, datée du IIIème siècle transportait des blocs et colonnes de marbre éparpillés autour de l’épave. Elle mesurait probablement 32 à 40 mètres de long  (un véritable cargo pour l’époque)&lt;ref&gt;Michael Price (2017 [http://www.sciencemag.org/news/2017/10/image-stitching-technique-lets-scientists-explore-shipwrecks-dry-land  Image ‘stitching’ technique lets scientists explore shipwrecks from dry land] Science News,  20 octobre  2017&lt;/ref&gt;.

=== Interactions homme-machine  ===
Une piste émergente est la vision 3D associée à la ''[[w:en:Telexistence|téléxistence]]'' : elle demande deux caméras et plus de puissance de calcul et plus de capacité de transmission de flux (pour traiter l'image stéréo en temps réel), mais elle semble utile pour
* des déplacements plus précis ;
* une éventuelle capacité de détection et évitement automatique d'obstacles dont la distance, taille, forme, profondeur sont mieux appréciées&lt;ref&gt;. Lagisetty; N. K. Philip; R. Padhi; M. S. Bhat (28-30 Aug. 2013) ''Object detection and obstacle avoidance for mobile robot using stereo camera '' ;  Control Applications (CCA), 2013 IEEE International Conference on ; DOI: 10.1109/CCA.2013.6662816 ; ([http://ieeexplore.ieee.org/document/6662816 résumé])&lt;/ref&gt; ;
* une meilleure appréhension du milieu par l'opérateur (via casque de vision 3D ou écran autostéréoscopiques (AS) à vues multiples qui permettent à plusieurs téléspectateurs de voir des images 3D stéréo, sans lunettes ni casque), avec éventuelle possibilité d'interagir avec des objets 3D réels ou virtuels visibles sur l'écran (au moyen d'un curseur manuel ou bientôt par des gestes de la main)&lt;ref&gt; Z.Y. Alpaslan &amp; A.A. Sawchuk (2004) ''Multiple camera image acquisition models for multi-view 3D display interaction'' (2004 ) ''Multimedia Signal Processing'', 2004 IEEE 6th Workshop on ; conférence du 29 Sept.-1 Oct. 2004 ; DOI: 10.1109/MMSP.2004.1436542 &lt;/ref&gt; ;
* évoluer dans le noir (via sonar et logiciel de reconstitution de l'environnement physique du {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}})&lt;ref&gt;Scaradozzi, D., Sorbi, L., &amp; Zoppini, F. (2014, September). ''[http://ieeexplore.ieee.org/xpls/abs_all.jsp?arnumber=6924357 3D video streaming from a Remotely Operated Vehicle]''. In Education and Research Conference (EDERC), 2014 6th European Embedded Design in (pp. 50-54). IEEE ([http://ieeexplore.ieee.org/xpls/abs_all.jsp?arnumber=6924357 résumé])&lt;/ref&gt;.  L'impression de 3D ou de panorama peut aussi être reconstituée ([[w:en:Image-based modeling and rendering|Image-based modeling and rendering]]&lt;ref&gt;Sebastian Knorr; Thomas Sikora (2007) ''An Image-Based Rendering (IBR) Approach for Realistic Stereo View Synthesis of TV Broadcast Based on Structure from Motion'' (conférence faite le 16 Sept.-19 Oct. 2007), Image Processing, 2007. ICIP 2007. IEEE International Conference on DOI: 10.1109/ICIP.2007.4379649  ([http://ieeexplore.ieee.org/document/4379649 résumé])&lt;/ref&gt;)

=== Protocoles de test et d'étude de retour d'expérience  ===
Voir aussi la fiche 4 « [[Recherche:Mise_au_point_d'un_drone_subaquatique/Fiche/Retours_d'expérience|''Retours d'expérience'']]» 
{{...}}

=== Exemples d’utilisation des {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} et des mini-{{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}}  ===
'''{{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} de grande taille''' (et lourds)
* océanographie, cartographie et exploration d’environnements subaquatiques
* inspection (de citernes, coques, barrages, conduites ou câblés immergés, intérieur de conduites en eau, installations portuaires ou offshore industrielles ou aquacoles, recherche de boites noires, munitions immergées, etc.).
* usages militaires (dont déminage)

'''Mini-ROvs'''
* archéologie subaquatique (ex : [http://www.lemonde.fr/sciences/article/2014/12/08/un-premier-robot-archeologue-sous-marin_4536635_1650684.html Article du journal Le Monde : un-premier-robot-archeologue-sous-marin]) ;
* usages de loisirs ou d'assistance à la pêche, ce qui pose des questions d’[[w:éthique environnementale|éthique environnementale]];
* usages scientifiques divers ; Ainsi un &quot;''RangerBot''&quot; (cofinancé par Google) a été récemment mis au point (2018) pour des missions scientifiques &quot;complexes&quot; dans les récifs coralliens (ex: suivi du blanchissement, de la qualité de l'eau, d’espèces invasives, de la pollution ou de l'ensablement…), voire pour y repérer et éliminer les [[w:acanthasters|acanthasters pourpres]] (via l’injection d’un poison, ([[w:Thiosulfate-citrate-bile salts-sucrose agar|Thiosulfate-citrate-bile salts-sucrose agar]], un [[w:Acide biliaire|acide biliaire]])&lt;ref&gt;Sciences et Avenir &amp; AFP (2018) article ''[https://www.sciencesetavenir.fr/animaux/un-drone-oceanique-pour-sauver-la-grande-barriere-de-corail_127124 Un drone océanique pour sauver la Grande barrière de corail]''| 31.08.2018 | [https://www.youtube.com/watch?time_continue=3&amp;v=7zjKTvj0lB4 ''RangerBot: The Robo Reef Protector]'' (vidéo/You Tube, mise en ligne le 30 août 2018)&lt;/ref&gt;{{,}}&lt;ref&gt;Dr Matt Dunbabin (2018) [https://www.barrierreef.org/science-with-impact/swiss-army-knife-for-the-great-barrier-reef Robo reef protector to save the ReefRangerBot] ; www.barrierreef.org&lt;/ref&gt;{{,}}&lt;ref&gt;[https://biopixel.tv/cotsbot-robo-reef-protector-to-save-the-reef-from-the-crown-of-thorns-starfish/ ''Robo reef protector to save the Reef from the Crown-of-Thorns Starfish''] ; Biopixel.tv&lt;/ref&gt;;
* inspection d’installations aquacoles ([[w:biofouling|biofouling]], existence de parasitoses).

Remarque : Aucun {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} ne semble avoir été à ce jour doté de capacité de microphotographie ou de microscopie.

=== Amphibots anguilliformes (l’exemple d'Envirobot) ===
Des chercheurs de l’''[[w:fr:École polytechnique fédérale de Lausanne|École polytechnique fédérale de Lausanne]]'' (EPFL) ont codéveloppé un robot-anguille nageur (de surface) destiné à détecter des sources de pollution dans l’eau, baptisé Envirobot (dans le cadre du programme [http://www.nano-tera.ch/ Nano-Tera] : Engineering complex systems for health, security, energy and the environment)&lt;ref name=Envirobot2017/&gt;

Cette plateforme robotique de démonstration (Envirobot) pourra échantillonner et mesurer automatiquement divers paramètres de qualité de l'eau grâce à des capteurs optiques, physiques, chimiques et biologiques. Les chercheurs utilisent des Amphibots (robots anguilliformes segmentés) qui seront améliorés en termes d'efficacité énergétique, de programmation de décision sensorielle et de possibilités communiquantes et de miniaturisation. Des moyens d’arpentage en autonavigations permettent de programmer des missions, par exemple de mesure de gradients de pollution chimique ou biologique d’un plans d'eau (en surface pour le moment)&lt;ref name=Envirobot2017/&gt;. 

Le robot comprend des chambres [[w:fr:microfluidique|microfluidiques]] faciles à interchanger. Divers capteurs (physiques, optiques, chimiques et biocapteursà d’informations d’intérêt bioécotoxicologiques sont testés (pour deux modes de fonctionnement). Puis dans la mesure du possible ils seront miniaturisés. Le projet cherche à produire des biocapteurs à temps de réponse rapide (ms min), qui pourraient en temps réel guider le robot vers une source de pollution (par exemple en exploitant la chimiotaxie bactérienne, des réactions de bioluminescence, des chimiorécepteurs d'insectes, l’observation en temps réel des réactions cardiaques et musculaires de ''[[w:fr:Daphnia magna|Daphnia magna]]'')&lt;ref name=Envirobot2017&gt;[http://www.environnement-magazine.fr/biodiversite/article/2017/12/07/116262/robot-nageur-pour-traquer-pollution.php Des chercheurs de l’École polytechnique fédérale de Lausanne (EPFL) ont codéveloppé un robot-anguille nageur capable de détecter les sources de pollution dans l’eau, baptisé Envirobot] dans le cadre du programme [http://www.nano-tera.ch/ Nano-Tera] (engineering complex systems for health, security, energy and the environment)&lt;/ref&gt;...

=== Bioinspiration &amp; biomimétique  ===
&lt;gallery&gt;
Anguilla anguilla.jpg|''[[w:Anguilla anguilla|Anguilla anguilla]]''
Manta rays, Maldives.png|''[[w:Manta birostris|Manta birostris]]''
Guelldemar.jpg|[[w:Poisson coffre|Poisson coffre]]
FMIB 52096 Skeleton of the Cowfish, Lactophrys tricornis (Linnaeus).jpeg|Squelette osseux de ''[[w:Lactophrys tricornis|L. tricornis]]''
&lt;/gallery&gt;
Parmi les solutions robotiques les plus élégantes et esthétique figurent les réalisations de l'entreprise Festo (https://www.youtube.com/watch?v=SKJybDb1dz0).
* '''Poissons''' : osseux ou cartilagineux et de formes variées, ils sont une source d'inspiration ancienne et fréquente en raison de leurs exceptionnelles capacités de stabilisation (flottabilité neutre), d’accélération (jusqu’à 20 fois la gravité) et de vitesse (plus de {{unité|70|km/h}}), de [[w:manœuvrabilité|manœuvrabilité]] (« virage à 180° sans ralentir et sur des rayons de courbure de l’ordre du dixième de leur longueur, tandis que les véhicules actuels doivent ralentir de moitié et prendre des rayons de courbures de l’ordre de 10 fois leur longueur », d'efficience énergétique (rendement environ 10 fois meilleur que ceux des meilleurs sous-marins), etc. L'anguille est l'un des modèles très utilisé&lt;ref&gt;Frédéric Boyer, Mazen Alamir, Damien Chablat, Wisama Khalil, Alban Leroyer, et al. (2006), [https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00186672/file/TI_19_01_06.pdf ''Robot anguille sous-marin en 3D'']. Techniques de l’Ingénieur, Édition Techniques de l’Ingénieur, pp.S 7 856:1-16&lt;/ref&gt;, mais la raie ou des poissons caranguiformes ou le poisson coffre ont aussi été source de bioinspiration. Dans le domaine de la [[w:Microrobotique|microrobotique]], le [[w:Poisson coffre|poisson coffre]] parce qu'adapté aux  eaux turbulentes a inspiré des micro-véhicules sous-marins (MUV) ; dispositif [[w:électromécanique|électromécanique]] inséré dans un corps rigide propulsé par une queue oscillante, dirigé par une paire de nageoires latérales indépendantes. L'objectif était la détection et l'étude de [[micro-organismes]] marins, l'exploration d'[[w:épave|épaves]], l'inspections de conduites ou la contribution à des réseaux de capteurs subaquatiques&lt;ref&gt;Deng, X., &amp; Avadhanula, S. (2005, avril). ''Biomimetic micro underwater vehicle with oscillating fin propulsion: System design and force measurement''. In Robotics and Automation, 2005. ICRA 2005. Proceedings of the 2005 IEEE International Conference on (pp. 3312-3317). IEEE. ([http://ieeexplore.ieee.org/abstract/document/1570621/ résumé])&lt;/ref&gt;{{,}}&lt;ref&gt;  Parasar Kodati; Xinyan Deng (2006) ''Experimental Studies on the Hydrodynamics of a Robotic Ostraciiform Tail Fin'' IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems Year: 2006 Pages: 5418 - 5423, DOI: 10.1109/IROS.2006.282109 Cited by: Papers (7) IEEE Conference Publications&lt;/ref&gt;{{,}}&lt;ref&gt;Parasar Kodati &amp; Xinyan Deng (2006), ''Towards the Body Shape Design of a Hydrodynamically Stable Robotic Boxfish  '' IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems Year: 2006 Pages: 5412 - 5417, DOI: 10.1109/IROS.2006.282108 Cited by: Papers (6) IEEE Conference Publications&lt;/ref&gt;{{,}}&lt;ref&gt;Vidéos : [https://www.youtube.com/watch?v=qtRPfv0xr1s ''Biomimetic Robotic Boxfish]''- First Swim Demo Video par Zijian Wang &amp; Zerui Wang (Université de Pékin)- First Swim Demo, 4 janvier 2013&lt;/ref&gt;.
* Mammifères aquatiques ou subaquatiques (cétacés, phoques, otarie...)
* oiseaux marins nageurs/plongeurs (manchot, pingouin, cormoran...),
* Crustacés : dotés d'une carapace et de capacités de préhension (pinces) et parfois de marche (crabes, araignées, langoustes...)
* Poulpes : souples et dotés de tentacules préhensiles et d'une excellente vision
* Mollusques : avec ou sans coquilles
* méduses : simplicité, mais mouvements non régulier et manoeuvrabilité médiocre
* algues : souples et solides pour certaines (laminaires), flotteurs intégrés chez les fucacées, pseudomucus diminuant la résistance au frottement
* plancton :  infinité de structures et solutions inspirantes pour la microrobotique et la nanorobotique

=== Maniabilité ===
Parmi les petits robots disponibles au début des années 2010 et correspondant à nos besoins (3 à 50 kg) ceux qui associent une bonne maniabilité et mobilité (les axe ou de mobilité pilotée vont de 2 à 6 dimensions) mais ce sont les plus lourds et gros et souvent très coûteux&lt;ref&gt;Maalouf, p 18/189&lt;/ref&gt;. De 2010 à 2017 de grands progrès ont été faits en vitesse et maniabilité (avec par ex l'open rov et le scubo de l'ETH de Zurich&lt;ref&gt;https://www.youtube.com/watch?v=8CN4L_s7o-M ; https://www.youtube.com/watch?v=-g2O8e1j3fw  https://www.youtube.com/watch?v=JV9asieqQjM&lt;/ref&gt;, mais ils restent bruyants et vulnérables aux algues filamenteuses et fils. Le Scubo est encore trop gros pour explorer les anfractuosités, etc.

Certains {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} peuvent
* s’immobiliser (&quot;freeze&quot; option) à une profondeur définie (« auto-depth option » ou à une altitude définie par rapport au fond (« auto-altitude option » ) ;
* utiliser une ou deux pinces pour se stabiliser s’il existe devant eux un objet leur permettant de s'y accrocher (en économisant alors l'énergie de la batterie).

=== Autres sujets  ===
* '''Approches collaboratives''' : Il y a tant à faire dans ce domaine, qu'elle parait incontournable. &lt;br /&gt;De nombreux projets de ce type se sont appuyés sur une collaboration entre une équipe et des universités, écoles d'ingénieurs, {{abréviation|IUT|institut universitaire de technologie}}, {{abréviation|BTS|brevet de technicien supérieur}}, entreprises; sciences participatives et citoyennes, etc. Certains participent à des concours dotés de prix qui peuvent susciter une émulation, présentent une date butoir et représentent parfois un retour d'images et de fonds.&lt;br /&gt; Nous pouvons/devons veiller à être '''[[w:interopérabilité|interopérable]]''' avec les projets proches, dont par exemple avec [[w:OpenSeaMap|OpenSeaMap]]. Nos données pourraient présentent aussi un intérêt en termes de prospective écosystémique et pour d'autres projets comme l’évaluation et la modélisation ou l'étude des impacts ou de grands accidents marins (marées noires...), tsunamis ([https://fr.ulule.com/caribewavefwi/ ex]), réchauffement, acidification...  
 
à compléter tant que de besoin...

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  | idfaculté = sciences de l'ingénieur 
  | nom       = l'état de l'art
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[[File:ISplash Robotic Fish bis.png|thumb|upright=1.5|'''''ISplash-II Robotic Fish''''' ; poisson-robot ou drone subaquatique qui était en 2014 capable d'imiter la nage d'un poisson [[w:Carangue|carangiforme]], avec une vitesse moyenne maximale et une endurance &quot;''comparable''&quot; (tant que la batterie n'est pas épuisée). Il ne dispose cependant pas des capteurs nécessaire à un [[w:Observatoire de la biodiversité|inventaire de la biodiversité]], et sa nage et encore trop &quot;''ondulatoire''&quot; pour produire une bonne image vidéo (s'il était équipé d'une caméra).]]
[[File:CIA robot fish &quot;Charlie&quot; 2.jpg|thumb|upright=1.5|Autre exemple de poisson [[w:Biomimétique|biomimétique]], qui contient un système de ballast et de télécommunication, mais ne dispose pas non plus de moyens de filmer son environnement comme le nécessite le présent projet (Noter aussi le risque induit qu'il soit endommagé par un requin, orque, etc.)]]
[[File:OpenRovProjetCh'tiPlouf2017a7.jpg|thumb|upright=1.5|Aperçu de l'électronique embarquée de l'[[w:fr:OpenRov|OpenRov]], élément clé de l'interface homme-machine et notamment destiné au pilotage d'une mini-caméra (d'autres ROV disposent de plusieurs caméras)]]
[[File:BRUIE NASA rover.jpg|thumb|upright=1.5|BRUIE (''Buoyant Rover for Under-Ice Exploration'') est un prototype de rover sous-marin du [[w:fr:Jet Propulsion Laboratory|Jet Propulsion Laboratory]] de la [[w:fr:NASA|NASA]]. Ce rover a commencé à être testsé dans l'Arctique en 2015. Il est destiné à explorer à terme les océans intérieurs d’autres planètes du système solaire. BRUIE flotte et utilise ses deux roues pour rouler sous la glace à la recherche d’éventuels indices de vie.]]

Cette fiche est consacré à l’[[w:État de l'art|état de l'art]] en matière de conception/écoconception, réalisation et utilisation de petits {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} (on parle généralement de mini-Rovs et mini-drones pour les {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} et drones de moins de 5 kg). 

'''Note aux contributeurs :'''
* Chaque chapitre traité ici pourra être illustré (photos, dessin, plans, films..) et enrichi de [[w:lien hypertexte|liens hypertextes]] pointant vers Wikiversité, Wikipédia, Wikibook, ou des sites d'intérêt pour le projet. N'oubliez pas de respecter les [[Wikiversité:Règles_d'utilisation_des_images|règles sur l’utilisation des images]] ainsi que les droits d’auteurs : Ne pas reprendre du contenu d’autres sites, médias ou livres non-explicitement publiés en licence ouverte de type cc-by-sa (sauf avec autorisation écrite des auteurs). Seules les courtes citations sourcées (ou un renvoi vers un lien externe) sont autorisées.
* Nos propres retour d'expérience feront l’objet d'une autre fiche ([[Recherche:Mise_au_point_d'un_drone_subaquatique/Fiche/Retours_d'expérience|Fiche ''« Retours d'expérience »'' ou « REX »]])
* Si le contenu devient quantitativement trop important, il est proposé de conserver ici une synthèse de chaque thème, qui renverra le lecteur vers des fiches plus détaillée.

== Introduction ==
=== Thématiques ===
# Types de {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} ou drones subaquatiques (ex traditionnels, biomimétiques...)
# Les principes de l'écoconception ; 
# Types de propulsion possibles pour un petit {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} ;
# Les solutions de stabilisation d'un petit {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} ;
# les techniques d'acquisition de données externes (et d'autres données d'intérêt environnemental et scientifique) ;
# l'acquisition d'image et de film ;
# les systèmes et logiciels d'[[w:fr:Interactions homme-machine|interactions homme-machine]] ; 
# les protocoles d'expérimentation et d'étude de [[Recherche:Mise_au_point_d'un_drone_subaquatique/Fiche/Retours_d'expérience|Fiche ''« Retours d'expérience »'' ou « REX »]] ; 
''&lt;small&gt;(liste non limitative ; rem : si quelqu’un ajoute ici un thème, merci de l'ajouter également plus bas comme nouveau chapitre)&lt;/small&gt;''.

=== Contenu ===
Cette fiche est destinée à accueillir :
* une présentation commentée des différentes solutions méthodologiques scientifiques et techniques existantes ou envisagées par d'autres ([[w:Benchmarking|Benchmarking]]) ;
* des dessins, plans, photographies et films (à condition que ces documents/médias soient disponibles sous licence ouverte CC-BY-SA ou équivalent et préalablement [[commons:Special:UploadWizard|déposées dans Wikimedia Commons]], si possible légendés au moins en français et en anglais). À ce jour, les films doivent être intégrés sous un format ouvert compatible avec Commons ou converti dans ce format ([[w:Ogg|.ogg]]) ;
* des études bibliographiques ([[w:fr:État de l'art|état de l'art]]),

'''Remarque :''' Pour ne pas alourdir la page, les liens externes généraux vers des sites d'intérêt (avec un court commentaire) seront plutôt déposés dans une annexe du projet dédiée aux liens connexes, de même pour une liste générale d'ouvrages et articles.

== État de l'art, par domaines  ==
=== Généralités ===
De manière générale les Drones ou {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} sont aujourd'hui des engins dotés d'une enveloppe, d'une motorisation ou d'un système passif de déplacement (gliders), d'un système et de circuits de commande, de batteries, d'un fil et/ou d'une antenne de communication, d'une unité de mesure inertielle (trois accéléromètres et trois gyroscopes) et de capteurs permettant d'extraire (et mémoriser ou envoyer) des données (images, vidéo éventuellement) de leur environnement.

==== Le milieu aquatique  ====
La physique optique subaquatique diffère significativement de ce qu'elle est en milieu atmosphérique, en raison des propriétés de l'eau mais aussi des substances et du plancton qu'elle contient. Un drone subaquatique doit opérer avec une faible intensité lumineuse, des longueurs d'onde variant rapidement selon la profondeur et selon la turbidité de l'eau, et avec une polarisation différente de la lumière. Idéalement nous devrions mieux intégrer le champ lumineux bleu et proche de l'ultraviolet, la lumière polarisée, et les questions de scintillement et décomposition de la lumière qui traverse les vagues et vaguelettes quand l'eau est agitée&lt;ref name=Loew1990&gt; Loew, E. R., &amp; McFarland, W. N. (1990). ''The underwater visual environment. In The visual system of fish'' (pp. 1-43). Springer Netherlands. ([http://link.springer.com/chapter/10.1007/978-94-009-0411-8_1 résumé])&lt;/ref&gt;. 

Pour filmer le monde aquatique sans le troubler, des connaissances en écologie visuelle subaquatiques sont bienvenues (biologie, biophysique, hydrobiologie, et sur les qualités perceptuelles de la vision subaquatique chez les poissons et autres organismes&lt;ref name=Loew1990/&gt;. Les poissons disposent de cellules rétiniennes en cônes spécialisées dans la perception de l'ultraviolet et de la polarisation&lt;ref name=Hawryshyn1992/&gt;. Ils ont une vision polarisée&lt;ref name=Hawryshyn1992&gt;Hawryshyn C.W (1992) ''[http://cichlid.umd.edu/cichlidlabs/kc/Teaching/Visionpdfs/Hawryshyn1992.pdf Polarization vision in fish]''. American Scientist, 164-175.&lt;/ref&gt;.

=== Les principes de l'écoconception collaborative et du codesign &lt;br /&gt;(appliquée au projet)  ===
Le projet se fera par l'implication de nombreux chercheurs, amateurs, bénévoles avec le soucis d'agir pour la finalité définie (ici la création du drone subaquatique). La mise en place de la wikiversité est un des outils de l'aspect collaboratif de la conception : tout le monde peut suivre les avancés du projet à toutes ces échelles.
Cette conception collaborative est l'assurance de bénéficier des talents de tout horizon au-delà des frontières. Chacun au final aura ainsi sa propre satisfaction qui peut être, de manière non exclusive, simplement le fait de participer, l'assurance de pouvoir utiliser le robot, bénéficier du stock d'images ainsi constitué...etc.
Le principe du [[w:Design thinking|codesign]] est de faire participer à la réflexion collective les usagers du produit ou du service en cours de conception. Notre projet, par son essence même suit une conception de type codesign. Il s'agit également dans le codesign de déconstruire ce qui est créé pour reconstruire quelque chose de nouveau. Encore une fois, bien que les étapes de notre projet repose sur des éléments connus, il nécessitera également une grande part de créativité qui obligera à sortir des sentiers battus et parfois de manière un peu décalée.

=== Mécanique subaquatique  ===
[[File:Underwater Linear Actuator.png|thumb|left|[[w:Actionneur|Actionneur]] linéaire [[w:électromécanique|électromécanique]] sous-marin (fabriqué par Ultra Motion Inc.), utilisant une vis à billes et un écrou, où la vis tourne ; l'écrou subit alors une translation linéaire pure (produit notamment utilisé sur des [[w:ROV|ROV]] ]]
[[File:OpenRovProjetCh'tiPlouf2017TestProgrammationServomoteur.jpg|thumb|Servomoteur en cours de tests de programmation ; dans ce cas, on cherche à appuyer sur un bouton avec deux degrés de pression pour activer deux fonctions nécessairement successives]]

Elle doit être adaptée aux risques liés à l'eau, au sel, algues et bactéries, et à la pression... et éviter de polluer le milieu (cf lubrifiants, fluides hydrauliques, etc.). 
&lt;br /&gt;Par exemple les actuateurs linéaires à vis sont souvent préférables aux systèmes de piston hydrauliques. 

La [[w:robotique molle|robotique molle]] et la [[w:biomimetisme|biomimétique]] pourraient dans ce domaine bouleverser plusieurs des approches classiques, grâce notamment aux évolutions de l’impression 3D (ex : co-impression par 8 têtes d’impression en 22 h de matériaux durs, élastiques et liquides en 2016 pour un petit robot hexapode&lt;ref&gt;Humanoides.fr (2016) [https://humanoides.fr/les-ingenieurs-du-mit-ont-imprime-un-robot-en-3d-avec-des-composant-liquides-et-solides/ Les ingénieurs du MIT ont imprimé un robot en 3D avec des composants liquides et solides] ;  08.04.16 par Newsroom&lt;/ref&gt; ; il ne manque que la batterie et le moteur)

Une [https://forum.openrov.com/t/openrov-gripper-grabber-manipulator/2926 pince intéressante] a été dessinée pour l’OpenRov par Patrick2 (2015)

=== Propulsion, déplacement  ===
La plupart des [[w:ROV|remotely operated vehicle]] (ROV), comme les [[w:sous-marin|sous-marins]] sont propulsés au moyen d'une ou plusieurs hélices (libres ou protégées). 
&lt;br /&gt;Pour les {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} ou drones évoluant dans des environnement riches en algues, débris ou objets flottants entre deux eaux, les systèmes de propulsons doivent être protégés par des grilles et/ou déflecteurs. 
&lt;br /&gt;Outre des solutions [[w:Bioinspiration|bioinspirées]] imitant la méduse, le « vol » d'une raie (ou d'un oiseau planeur), la marche du crabe, ou la natation d'un têtard, la nage du poisson [éventuellement [[w:anguille européenne|anguilliforme]]...)  ou des solutions de « déplacement multimodal » (ex : robot-pieuvre à la fois capable de marcher sur le fond et de se propulser dans le milieu comme un calmar&lt;ref&gt;Giorgio-Serchi, F., Arienti, A., Corucci, F., Giorelli, M., &amp; Laschi, C. (2017). [http://sssa.bioroboticsinstitute.it/sites/default/files/user_docs/Serchi_et_al_2017_ACCEPTED.pdf ''Hybrid parameter identification of a multi-modal underwater soft robot'']. Bioinspiration &amp; Biomimetics, 12(2), 025007.&lt;/ref&gt;), d'autres procédés mécaniques mais originaux de motorisation ont été imaginés (ex : {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}}  Bubblot, designé par un fabricant de montres suisses (Hublot) pour aider les archéologues à explorer l'[[w:Épave d'Anticythère|Épave d'Anticythère]]&lt;ref&gt;Voir : [http://www.atlantico.fr/rdv/atlantic-tac/quand-soucoupe-plongeante-remonte-temps-quand-oeufs-caille-donnent-naissance-elephants-et-quand-batman-est-fier-poignet-c-est-2363369.html#cqxpfCfDF5HwsCP7.99 présentation (article du 2 oct 2015), et  [https://www.youtube.com/watch?v=ir8pUAp4fGs Bubblot courte vidéo]&lt;/ref&gt;). Le ''Wave Glider'' de [[w:Liquid Robotics|Liquid Robotics]] (Silicon Valley) est un drone de type [[w:Planeur sous-marin|Planeur sous-marin]] utilisant la houle et le soleil qui permettent l'acquisition de données de température, salinité, courants, acoustique marine, images, etc. Il a notamment été testé en Nouvelle-Calédonie par Assystem entre Nouméa et Lifou (aller/retour). Il est trop lourd et encombrant pour explorer des environnements complexes.

=== Gouvernes ===
[[File:Double Eagle ROV Mk II.JPG|thumb|Exemple de ROV de taille moyenne (Double Eagle Mk II)]]
À la différence d'un navire, mais comme un [[w:avion|avion]] ou un engin spatial, un {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} doit pouvoir être dirigé selon 6 axes de libertés. 
Parmi les solutions (éventuellement hybrides) figurent :
* '''le gouvernail''' : un ou plusieurs [[w:Gouvernail|gouvernail]]s ou [[w:aileron|aileron]]s mobiles sont généralement utilisés. Dans ces cas, comme pour les engins volants, c’est le profil [[w:hydrodynamique|hydrodynamique]] de la gouverne et/ou de l'aileron mobile qui est utilisés pour dévier (ou inverser) l'écoulement d'eau le long de l'engin et modifier par réaction la direction de l'engin. La conception des [[w:planeur sous-marin|planeurs sous-marins]] est parfois proche de celle d'un avion ; Dans tous ces cas, il existe des surfaces de contrôles qui sont externes, qui présentent des zones de vulnérabilité (accrochage, casse) ;
* '''le propulseur orientable''' ; l’utilisation de propulseur à un ou plusieurs axes de mobilité permet d'orienter le flux généré par le propulseur (dans la direction opposée à celle qu'on veut faire prendre par le {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}}) ; Le système peut être externe, ou semi-intégré dans la coque (et alors moins vulnérable à l'accrochage) ;
* '''les propulseurs internes en tunnel''' : ils aspirent et pulsent l'eau dans une ou plusieurs gaines verticale, horizontale (selon deux axes en général ; transversal et vertical), en complément d'un propulseur principal externe (celui de la propulsion par hélice arrière en général). Si le {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} est très allongé, deux tunnels transversaux sont plus efficaces, placés à l'avant et à l'arrière ; opérant chacun à la manière des propulseurs d'étrave installés sur les navires). Sur les navires il n'est utilisé que quand le gouvernail ne suffit pas. Certains {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} l'utilisent presque en permanence. La poussée de l'éjecteur est produite par un ou plusieurs rotors généralement montés sur un arbre à l'intérieur du tunnel, mais on peut imaginer un rotor sans axe. Ces rotors tirent généralement leur puissance d'un moteur hydraulique placé à l'extérieur du tunnel (le couple étant transmis au rotor par des engrenages coniques aboutissant au caisson supportant l'arbre de rotor). Le moteur hydraulique peut aussi être placé dans le tunnel sur l'axe-même du rotor.&lt;br /&gt;Avantages/inconvénients : Le propulseur est apparemment mieux protégé (le stator est intégré au robot lui-même), mais il est plus difficile à nettoyer, réparer ou à changer en cas de panne ou de débris ou fil/corde/câble/algues introduits dans la gaine, et les grilles de protection freinent l'eau et peuvent se colmater ;
* '''des solutions bioinspirées''', qui vont de la nage anguilliforme à l'imitation des nageoires de divers poissons ou d'une ondulation du &quot;« corps »&quot; du robot en passant par la méduse, le calmar, le crabe, etc. (elle ne doit cependant pas dans notre cas gêner la fonction ''photo/caméra'');
* '''le ballast''' : il permet un mouvement vertical et de déplacer le centre de gravité (ballast d'eau ou déplacement d'une partie interne lourde), ce qui modifie l'inclinaison de l'engin en lui permettant éventuellement (chez les [[w:Planeur sous-marin|gliders]] par ex.) de remonter ou plonger, virer et/ou « gîter ».

=== Design &amp; prospective  ===
[[Image:Pinza Robot.jpg|thumb|upright=1.5|En, contexte subaquatique, vaut il mieux conserver une solution mécanique simple (ex photo) ou développer des solutions plus biomimétiques ?.. ou combiner les deux approches ? ]]

Depuis quelques années, certains designers de robots (en [[w:fr:robotique molle|robotique molle]] notamment) cherchent à se passer d'engrenages, de roulements à billes et de certains servomoteurs. Deux grands types de solutions sont testés : solutions &quot;''hydrauliques''&quot;, avec par exemple la série des robots bioinspirés fonctionnant dans l'air ou dans l'eau, construits par le groupe allemand [[w:Festo (entreprise)|Festo]], spécialisé dans l'automatisation des mouvements utilisant l'énergie pneumatique (air comprimé) ou électrique, ou la version récente d'une minuscule raie bioinsipirée&lt;ref&gt;[https://futuristech.info/posts/video-biorobotic-stingray-created-from-rat-heart-muscle-cells-i-think-we-ve-got-a-biological-life-form-here Vidéo mini-raie] (2016) et voir article de la revue Science [http://science.sciencemag.org/content/353/6295/158.full ''Robotic ray is part animal, part machine''] (7 juillet 2016)&lt;/ref&gt;. L'autre solution est le développement d'alliages à mémoire de forme et de matériaux se déformant sous l'effet de l'électricité ; Ces deux approches pouvant être combinées. Les prototypes peuvent être d'abord modélisé en s'appuyant sur la ''[[w:fr:Méthode des éléments finis|Méthode des éléments finis]] et mécaniquement caractérisé'' et la [[mécanique des milieux continus]] (dans Wikiversité).

Parmi les solutions supposées futuristes, éventuellement bioinspirées, envisagées par le « design prospectif », figurent
* la solution d'un ''[[w:Robot mou|robot mou]]'' doté d'une enveloppe capable de « morphing », c’est-à-dire à géométrie variable (pour tout ou partie), sensibles à divers [[w:stimulus|stimuli]], voire capable de s'autoréparer. Remarque : la solution ''morphing'' n'exclue pas les systèmes de gouverne ou de motorisation évoqués ci-dessus (une nageoire artificielle ou une gouverne plus classique pourrait d'ailleurs elle-même comporter des éléments mous et durs (jouant par ex le même rôle que les arêtes de poissons) ; La robotique molle est encore freinée par le manque d'actionneurs souples, solides et performants et par le manque de maturité des circuits électroniques souples et élastiques ; En 2025, une autre équipe présente un robot nageur centimétrique, autonome et très maniable, nageant à 5,1 cm/s, tournant à 195°/s et pouvant se faufiler dans des environnements encombrés (dans les algues par exemple, grâce à 2 nageoires pectorales souples et millimétriques, animées par des ondes de flexion générées par un unique actionneur électrohydraulique par côté, fonctionnant sous 500 V pour une consommation de 35 mW. Il peut pousser des objets plus de 16 fois plus lourds que lui&lt;ref name=RobotNageur2025&gt;{{Article |langue=en |prénom1=Florian |nom1=Hartmann |prénom2=Mrudhula |nom2=Baskaran |prénom3=Gaetan |nom3=Raynaud |prénom4=Mehdi |nom4=Benbedda |titre=Highly agile flat swimming robot |périodique=CrossRef |volume=10 |numéro=99 |date=2025-02-26 |issn=2470-9476 |doi=10.1126/scirobotics.adr0721 |consulté le=2026-10-04}}.&lt;/ref&gt;En 2026, des progrès encore plus significatifs semblent faits. avec la création de muscles artificiels basés sur :
:- des actionneurs piézoélectriques&lt;ref name=ScRoboticsSept2026/&gt; ; 
:- des actionneurs diélectriques en élastomère (DEA)&lt;ref name=ScRoboticsSept2026/&gt; ;, 
:- des actionneurs électrostatiques&lt;ref name=ScRoboticsSept2026/&gt; ;
:- des actionneurs basés sur des matériaux (polymères ou [[w:Alliage à mémoire de forme|alliages à mémoire de forme]] &lt;ref&gt;{{Article |prénom1=J |nom1=Colorado |prénom2=A |nom2=Barrientos |prénom3=C |nom3=Rossi |prénom4=K S |nom4=Breuer |titre=Biomechanics of smart wings in a bat robot: morphing wings using SMA actuators |périodique=Bioinspiration &amp; Biomimetics |volume=7 |numéro=3 |pages=036006 |date=2012-09-01 |issn=1748-3182 |issn2=1748-3190 |doi=10.1088/1748-3182/7/3/036006  |consulté le=2026-10-04}}.&lt;/ref&gt;{{,}}&lt;ref&gt;{{Article |prénom1=Lindsey |nom1=Hines |prénom2=Veaceslav |nom2=Arabagi |prénom3=Metin |nom3=Sitti |titre=Shape Memory Polymer-Based Flexure Stiffness Control in a Miniature Flapping-Wing Robot |périodique=IEEE Transactions on Robotics  |volume=28 |numéro=4 |pages=987–990 |date=2012-08 |issn=1552-3098 |issn2=1941-0468 |doi=10.1109/TRO.2012.2197313 |lire en ligne=http://ieeexplore.ieee.org/document/6202706/ |consulté le=2026-10-04}}.&lt;/ref&gt;,
:...alors que les batteries et unités de puissance progressaient également de même que la robustesse du micro-robot face aux collisions légères &lt;ref&gt;{{Article |prénom1=YuFeng |nom1=Chen |prénom2=Siyi |nom2=Xu |prénom3=Zhijian |nom3=Ren |prénom4=Pakpong |nom4=Chirarattananon |titre=Collision Resilient Insect-Scale Soft-Actuated Aerial Robots With High Agility |périodique=IEEE Transactions on Robotics |volume=37 |numéro=5 |pages=1752–1764 |date=2021-10 |issn=1552-3098 |issn2=1941-0468 |doi=10.1109/TRO.2021.3053647 |lire en ligne=https://ieeexplore.ieee.org/document/9357346/ |consulté le=2026-10-04}}.&lt;/ref&gt;{{,}}&lt;ref&gt;{{Article |langue=en |prénom1=Suhan |nom1=Kim |prénom2=Yi-Hsuan |nom2=Hsiao |prénom3=Zhijian |nom3=Ren |prénom4=Jiashu |nom4=Huang |titre=Acrobatics at the insect scale: A durable, precise, and agile micro–aerial robot |périodique= Science Robotics |volume=10 |numéro=98 |date=2025-01-15 |issn=2470-9476 |doi=10.1126/scirobotics.adp4256 |consulté le=2026-10-04}}.&lt;/ref&gt; ou aux impacts de [[w:Goutte (physique)|gouttes d'eau]] en cas de pluie ou d'[[w:embrun|embruns]]&lt;ref name=ScRoboticsSept2026/&gt;. 
* Début 2025, dans le domaine aérien, un micro‑robot volant de 750 mg réalise un vol stationnaire de 1000 secondes (100 fois plus longtemps que les modèles antérieurs), suit des trajectoires complexes avec moins d’un centimètre d’erreur, vole à plus de 30 cm/s, et atteint une vitesse ascensionnelle de 1 m/s. Doté d'un rapport portance‑poids de 2,2, il peut faire des doubles retournements à une vitesse de rotation supérieure à celle des insectes les plus rapides. Son endurance, sa précision et son agilité sont comparables à celles de certains insectes&lt;ref&gt;{{Article |langue=en |prénom1=Suhan |nom1=Kim |prénom2=Yi-Hsuan |nom2=Hsiao |prénom3=Zhijian |nom3=Ren |prénom4=Jiashu |nom4=Huang |titre=Acrobatics at the insect scale: A durable, precise, and agile micro–aerial robot |périodique=Science Robotics |volume=10 |numéro=98 |date=2025-01-15 |issn=2470-9476 |doi=10.1126/scirobotics.adp4256  |consulté le=2026-10-04}}.&lt;/ref&gt;.&lt;br&gt;En [[w:2026|2026]], alors que la [[w:robotique molle|robotique molle]] peinait encore à se développer, et alors que l'[[w:impression 3D|impression 3D]] de [[w:fr:Polymère|polymère]]s complexes progresse, la microrobotique aérienne semble avoir fait un bond (en laboratoire à ce stade) : un micro-robot entièrement en ''polymère résistant, pesant 185 milligrammes'', c'est à dire le poids d'un [[w:confetti|confetti]] ou d'une goutte d'eau à peine visible), ''alimenté par un actionneur de flexion électrostrictif ''(un matériau qui se courbe sous l'effet une tension électrique)'' qui entraîne directement des ailes ici configurées en forme de cône, sans transmission''}} a été produit&lt;ref name=ScRoboticsSept2026/&gt;. Ce micro-robot volant ne contient aucune des pièces mécaniques rigides traditionnellement responsables de la fragilité des micro‑drones à battement d'ailes. Sa [[w:Densité de puissance|densité de puissance]] est de 1600 watts/kg, l'angle de flexion des ailes est de 136° à 110 hertz, ce qui offre à ce micro-engin un rapport portance/poids de 3,0 et un rapport portance/puissance de 8,3 millinewtons par watt à 30 hertz, pour une [[w:efficacité énergétique|efficacité énergétique]] de l'actionneur est d'environ 5,7%. Ce design et ce fonctionnement (inédit à cette échelle) permet une prise de vol autonome (il décolle sans aide à une vitesse moyenne verticale de 40 centimètres par seconde) puis peut avoir des mouvements amples et rapides associés à une excellente efficacité de vol, outre une résistance exceptionnelle aux impacts sévères (chocs violents, écrasement complet ... dont le robot se relève pour reprendre son vol)&lt;ref name=ScRoboticsSept2026/&gt;. À ce stade, l'actionneur du robot perd une part de son énergie quand la charge électrique accumulée se dissipe dans l'électrode au moment où la tension est coupée. En ajoutant un petit circuit récupérant cette charge, cette perte serait diminuée, et l'actionneur plus efficace. Une autre partie de l'énergie est perdue [[w:effet joule|sous forme de chaleur]] dans les électrodes encore trop résistantes (les améliorer permettrait de limiter ce gaspillage)&lt;ref name=ScRoboticsSept2026/&gt;. La puissance de l'actionneur pourrait aussi augmenter en mettant davantage de matériau actif dans sa structure ou en remplaçant certaines couches par des matériaux plus légers et plus rigides. La tension électrique pourrait être augmentée en empilant plusieurs films plus fins, ce qui permettrait d'utiliser des composants électroniques courants, plus légers et faciles à intégrer. On peut encore optimiser la forme des ailes et/ou ajouter plusieurs paires d'ailes, pour rendre le robot plus agile&lt;ref name=ScRoboticsSept2026/&gt;. Pour le rendre entièrement autonome, il faudra encore lui ajouter des capteurs, un microcontrôleur et une source d'énergie embarquée (des solutions hybrides sont envisagées, comme remplacer une partie de la structure par un élément photovoltaïque souple et une batterie flexible, afin d'alimenter le robot sans l'alourdir)&lt;ref name=ScRoboticsSept2026/&gt;. 
Selon ses concepteurs, un nouveau paradigme s'ouvre, par exemple pour des véhicules aériens ou subaquatiques miniatures résilients en environnements confinés et/ou hostiles, tout en conciliant une nouvelle forme de simplicité mécanique, d'[[w:efficacité énergétique|efficacité énergétique]] et de robustesse structurelle, jusque‑là inatteignables selon les concepteurs de ce mini-robot&lt;ref name=ScRoboticsSept2026&gt;{{Article |langue=en |prénom1=Yuan |nom1=Zhu |prénom2=Hanxiang |nom2=Wu |prénom3=Dawei |nom3=Sun |prénom4=William |nom4=Budiman |titre=Takeoff of an all-polymer micro aerial flying robot |périodique=Science Robotics |volume=11 |numéro=118 |date=2026-09-30 |issn=2470-9476 |doi=10.1126/scirobotics.aed8148 |consulté le=2026-10-04}}.&lt;/ref&gt;. Il est à noter que les micro-robots de ces tailles risquent d'être rapidement &quot;mangés&quot; par des poissons plus gros qu'eux. 
* l'ionisation de l'eau pour produire un flux qu'on peut ensuite diriger ;
* mieux exploiter l'[[w:effet coanda|effet Coanda]] ;
* utiliser de nouveaux type de pseudo-[[w:muscle artificiel|muscles artificiels]]&lt;ref&gt;Moghadam, A. A. A., Kouzani, A., Torabi, K., Kaynak, A., &amp; Shahinpoor, M. (2015). [https://www.researchgate.net/profile/Akif_Kaynak/publication/272089433_Development_of_a_Novel_Soft_Parallel_Robot_Equipped_with_Polymeric_Artificial_Muscles/links/56144fa608aed47facee3b50.pdf ''Development of a novel soft parallel robot equipped with polymeric artificial muscles]''. Smart Materials and Structures, 24(3), 035017.&lt;/ref&gt;, d'[[w:actionneur|actionneurs]] et « micro-actionneurs » par exemple à base de [[w:polymère électroactif|polymère électroactif]]&lt;ref&gt;Gunn-Sechehaye, M. (2015). ''Conception d&quot; un actionneur à base de polymère électroactif (EAP)'' (No. EPFL-STUDENT-210281).&lt;/ref&gt;{{,}}&lt;ref&gt;Riedi, L. (2015). ''Conception de l’électronique de commande d’un actionneur en polymère électro-actif (EAP)'' (No. EPFL-STUDENT-210279) ([http://infoscience.epfl.ch/record/210279 résumé]).&lt;/ref&gt;{{,}}&lt;ref&gt;Yang, T., &amp; Chen, Z. (2015, December). Development of 2D maneuverable robotic fish propelled by multiple ionic polymer-metal composite artificial fins. In 2015 IEEE International Conference on Robotics and Biomimetics (ROBIO) (pp. 255-260). IEEE ([http://ieeexplore.ieee.org/xpls/abs_all.jsp?arnumber=7418776 résumé])&lt;/ref&gt;) notamment adaptés aux matériaux souples. Il pourrait être bientôt possible d'utiliser des cordons de matériaux polymère électroactif dans les imprimantes 3D&lt;ref&gt; Carrico, J. D., Traeden, N. W., Aureli, M., &amp; Leang, K. K. (2015). [http://www.kam.k.leang.com/academics/pubs/CarricoJD_2015b.pdf ''Fused filament 3D printing of ionic polymer-metal composites (IPMCs)'']. Smart Materials and Structures, 24(12), 125021&lt;/ref&gt;.
&lt;br /&gt;Hormis quelques robots imitant les poissons aux formes fuselées et dont seule l'enveloppe était molle, les premières tentatives ont souvent abouti à des robots plutôt lents et malhabiles dans l'eau. Récemment Tiefeng Li et ses collègues (Université du Zhejiang à Hangzhou, en Chine) ont produit un prototype simple de robot en partie mou (ailes en [[w:élastomère diélectrique|élastomère diélectrique]] et [[hydrogel]] ioniquement conducteur, formant un muscle synthétique qui permet un mouvement évoquant celui des ailerons d'une raie manta et ainsi de &quot;nager&quot; à une vitesse de 6,4 cm/seconde (doublant le record antérieur de vitesse en robotique molle, avec une capacité de nage de trois heures sur une même charge de batterie). Il utilise l'eau de mer comme &quot;prise de terre&quot;&lt;ref&gt;[https://www.nature.com/articles/n-12200700 résumé ''Fish-inspired robot leaves rivals in its wake ; A manta-ray-like device moves twice as fast as other soft machines''] Nature News, d'après Tiefeng Li &amp; al. (2017) [http://advances.sciencemag.org/content/3/4/e1602045.full résumé] ; Science Advances  05 Apr 2017:Vol. 3, no. 4, e1602045 ; DOI: 10.1126/sciadv.1602045][http://advances.sciencemag.org/content/3/4/e1602045 résumé], Science Mag (2017)&lt;/ref&gt;.

=== Matériaux nouveaux souples et étirables  ===
L'impression 3D de polymères texturés permet de produire des formes souples et pseudo-étirables (principe de l'accordéon)

L'un des défis (y compris pour la réparation des robots souples) était de pouvoir disposer de colle souple et élastique et étanche. Ceci semble sur le point de se réaliser : mi-2017, des universitaires physiciens ont réussi à produire en laboratoire une colle à [[w:Cyanoacrylate|cyanoacrylate]] fortement élastique et pouvant coller des substances dures et/ou molles (dont composants électroniques) à des hydrogels (matériaux de type « gels » utilisés dans certains [[w:dispositifs médicaux|dispositifs médicaux]] et robots souples)&lt;ref name=ScienceMagJuin2017/&gt;. Ceci ouvre la voie à la création des [[w:batterie (électricité)|batteries]] et [[w:circuit électrique|circuits électriques]] véritablement élastique et étirables&lt;ref name=ScienceMagJuin2017/&gt;. Le cyanoacrylate est associé à un composant organique (qui, sans être un solvant, diffuse rapidement dans les parties en fusion de manière à empêcher qu’elles ne deviennent cassantes). Au moment du pressage la prise de la colle se fait en quelques secondes&lt;ref name=ScienceMagJuin2017/&gt;. L’élasticité peut atteindre 2000 %&lt;ref name=ScienceMagJuin2017&gt;[http://www.sciencemag.org/news/2017/06/new-superglue-could-seal-deal-stretchable-batteries-soft-robots] ; ChemistryTechnology ; DOI: 10.1126/science.aan7008Par Zahra Ahmad, 23 juin 2017&lt;/ref&gt;. La mise sur le marché est attendue entre 2018 et 2020.

=== Batteries, gestion de l'énergie  ===
Voir ci-dessus pour ce qui concerne les batteries étirables
{{...}}

=== Éclairage ===
Le cahier des charges concernera les besoins de vision du robot (de sa station-mère et de son opérateur), et ceux - plus ponctuels dans le temps - de la photo (flash) et de la vidéo (torche), avec des problèmes de flux de lumière, de colorimétrie, de réflexion/diffraction et de géométrie et positionnement des faisceaux lumineux par rapport à l’objet ou organisme à photographier ou filmer. Pour des raisons pratiques (encombrement, consommation d'énergie), la solution [[w:LEDs|LEDs]] semble la plus intéressante (sauf arguments contraires à développer ici), éventuellement associé à la [[w:fibre optique|fibre optique]]. 
&lt;br /&gt;Le longueurs d'ondes et la position des sources devraient pouvoir être contrôlées. Un éclairage multiplexe permettrait dans certains cas de pouvoir visualiser les images en gérant la [[w:fr:réflectance|réflectance]] pour l'améliorer. Un prétraitement de l'image est souhaitable&lt;ref&gt;Bazeille, S., Quidu, I., Jaulin, L., &amp; Malkasse, J. P. (2006, October). ''Automatic underwater image pre-processing''. In CMM'06 (p. xx).&lt;/ref&gt;.

=== Stabilisation d'un {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}}  ===
Une bonne capacité d'autostabilisation est l'une conditions nécessaire (mais non suffisante) à une capacité de prise de vue de haute précision (voire en quasi-microscopie) et à la réussite de certains protocoles d'échantillonnages. Elle est à relier aux systèmes d'asservissement de position (dont l'ancrage ou l'accrochage font partie). 

Une centrale inertielle performante pourrait aussi être utile sur une plate-forme flottante qui pourrait être liée au drone (pour sa récupération, recharge, récupération de données, etc). 

Plusieurs techniques existent, éventuellement complémentaire et des solutions biomimétiques sont sans doute également possible. Les plus performantes semblent les plus consommatrices en énergie, elles pourraient n'être activées qu'au moment des prises de vues, d'échantillonnage ou en situation délicate.

'''Pour en savoir plus''', voir (et/ou complétez) :
* la [[Recherche:Mise_au_point_d'un_drone_subaquatique/Fiche/Stabilisation_(gyroscopique,_élasticomécanique...)|Fiche-Mémoire sur la stabilisation (gyroscopique, élasticomécanique...)]] dédiée à ce sujet.
* l’[[Recherche:Mise_au_point_d'un_drone_subaquatique/Annexe/Biliographie|Annexe 3 (Bibliographie)]]

=== Mise à l'eau et récupération  ===
Elle est surtout complexe pour les drones de grande taille, mais peut dans tous les cas être compliquée par le mauvais temps en pleine mer.

=== Capteurs, acquisition de données externes &lt;br /&gt;  ===
[[File:CTD-me-details hg.jpg|thumb|left|Exemple de capteur [[w:Conductivity Temperature Depth|CTD]] (''Conductivity Temperature Depth'') démonté avec ; son électronique embarquée, ses capteurs de conductivité, température et pression, sa cage de protection des capteurs, ses connecteurs étanches et son boîtier de protection contre les hautes pressions.. à miniaturiser]]
[[File:Depthx commons détouré.jpg|thumb|upright=1.4|[[w:DEPTHX|DEPTHX]] ([[w:NASA|NASA]]) a de 54 sonars lui permettant la cartographier 3D et aussi de mieux se repérer dans l'espace subaquatique (ici : version 2007 testé à La Pilita (Mexique) dans plusieurs [[w:cénote|cénote]]s dont le plus profond au monde ; [[w:Zacatón|Zacatón]])]]

Divers capteurs électroniques déjà disponibles sur le marché sont nécessaires au pilotage de l'engin et à l'acquisition de données (d'intérêt environnemental et scientifique)
* Caméra (= les yeux du robot), devant permettre (au mieux) des images avec 5 critères de qualité que sont :
** la netteté (à un point de l'objet correspond un point de l'image)
** la résolution qui est la plus petite distance séparant deux points objets capables de donner deux points images distincts.
** le contraste, reproduction de la différence d'éclairement des surfaces distinctes et éventuellement de leurs couleurs.
** aussi peu de flou que possible sur les mouvements.
* Des métadonnées pertinentes.
* Capteurs acoustiques ; [[w:fr:Hydrophone|hydrophone]] (= les oreilles du robot) pouvant aussi aider à déterminer la position de l'origine d'un son (source) grâce à des amplificateurs, des filtres, un ADC et un contrôleur embarqués. Un filtre passe-bande numérique (implémenté via un FPGA) peut fortement réduire l'[[w:aliasing|aliasing]] (parasitage par le bruit du ROV lui-même). En surface un [[w:algorithme|algorithme]] de formation de faisceau (''beamforming algorithm'') génère du son directionnel via des haut-parleurs stéréophoniques (ou un casque « audio/virtuel »). L'algorithme pourra être amélioré pour affiner la précision de la directionnalité donnée&lt;ref&gt;Kim S.M, Byun S.H, Kim K, Choi H.T &amp; Lee C.M (2017) ''Development and performance test of an underwater sound transmission system for an ROV.'' In Underwater Technology (UT), 2017 IEEE (pp. 1-4). IEEE ([http://ieeexplore.ieee.org/abstract/document/7890295/ résumé]).&lt;/ref&gt;.
* GPS (uniquement disponible en surface ?)
* capteurs de vitesse relative, vitesse du courant (ex : loch doppler)
* capteurs embarqués tels que CTP ([[w:Conductivity Temperature Depth|conductivité-température-profondeur]]), aussi dits CTD (pour ''[[w:CTD (instrument)|conductivity–temperature–depth]]'')
* [[w:fluoromètre|fluoromètres]] de [[w:chlorophylle|chlorophylle]]
* capteur optique mesurant la turbidité, la couleur de l'eau, la luminosité
* capteurs mesurant la dureté/acidité de l'eau, taux d'O2/CO2/NO3...
Ces capteurs peuvent rendre le drone plus autonome. Ils limitent aussi le besoin d'échantillonner l'eau pour l'analyser. Certains donnent des ordres de grandeur de propriétés du milieu (avec une meilleure résolution spatiale et temporelle) là où autrefois il fallait des prélèvement par bouteilles ou filets.

=== Communication avec l'opérateur ou avec robot associé (en systèmes distribués « multi-agents »)  ===
* '''Communication sans fil''' est un défi à relever : Les [[w:ondes hertziennes|ondes hertziennes]] offrent du débit d'information dans l'air. Un système wifi peut permettre une communication émergée et de proximité (ex : avec une plate-forme en surface). ⇒ protocole de communication (Bus CAN...), antennes etc. Elle peut être hybride (ex  ''hybrid optical-acoustic system'')
* '''Ondes acoustiques''' : le son se propage 4 fois plus vite dans l'eau que dans l'air, et une onde porteuse de fréquence 50 à {{Unité|100|{{abréviation|kHz|kilo-hertz}}}} porterait à environ {{formatnum:1000}} mètres avec un débit de 20 Kbauds environ. Les basses-fréquence portent éventuellement très loin mais avec une faible bande passante. Ces résultats médiocres (dizaines de Kbits/seconde) permettent de transférer des informations basiques (ex : position, l'état de charge de la batterie, avaries) ou pourraient servir à reconfigurer un robot encore sous l'eau, mais ne permet pas de transmettre une image vidéo ni des données sonar de qualité.
*  '''Lumière'''&lt;ref&gt;Kaushal H &amp; Kaddoum G (2016) ''[http://ieeexplore.ieee.org/iel7/6287639/7419931/07450595.pdf Underwater optical wireless communication]''. IEEE Access, 4, 1518-1547, PDF, 30 p.&lt;/ref&gt; (éventuellement via le [[w:laser|laser]]&lt;ref&gt;Cox Jr, W.C (2008) [https://repository.lib.ncsu.edu/bitstream/handle/1840.16/1696/etd.pdf?sequence=1&amp;isAllowed=y ''A 1 Mbps Underwater Communication System Using a {{Unité|405|{{Abréviation|nm|nanomètre}}}} Laser Diode and Photomultiplier Tube'']. Thèse de doctorat (voir p 23)&lt;/ref&gt;) permet le transfert d'information dans l'eau, mais sur une courte distance et avec un résultat médiocre dans les eaux turbides, avec nécessité de gérer les interruptions de faisceaux liées aux débris flottant entre deux eau. Des leds bleues ont déjà été testées&lt;ref name=robotPereFils2016&gt;Li, M., Guo, S., Guo, J., Hirata, H., &amp; Ishihara, H. (2016). ''Development of a biomimetic underwater microrobot for a father–son robot system''. Microsystem Technologies, 1-13 ([http://link.springer.com/article/10.1007/s00542-016-2817-3 résumé])&lt;/ref&gt;). Elles pourraient être utilisées de robot à robot&lt;ref name=robotPereFils2016/&gt; ou avec un module flottant ou immergé proche. &lt;br /&gt;Le [[[w:Lidar|lidar]] évolue (Le ''Photonic Microsystems Group'' du Laboratoire de Recherche Electronique du MIT) a miniaturisé en 2016 un capteur lidar (d'un facteur 100 : 0.5 mm x 6 mm) ; il est plus solide et 1000 fois plus rapide grâce à une orientation non mécanique de son faisceau laser et pas plus cher - 1000 à {{unité|70.000|dollars}} selon le type de lidar - mais n'a qu'un champ de vision de 51° et ne détecte des objets que jusqu'à 2 mètres, dans l'air)&lt;ref&gt;Le MIT a conçu un capteur LiDAR cent fois plus petit que ceux du marché ; 10.08.16 ; Newsroom (cadre : projet Electronic-Photonic Heterogeneous Integration dit &quot;E-PHI&quot; lancé en 2011&lt;/ref&gt;.  &lt;br /&gt;La lumière peut modifier le comportement de certaines espèces ou les stresser.
* '''Robotique en essaim''' (''swarm robotics'') avec ses variantes en ou en nuées ainsi que des systèmes de « meutes » (i.e. un essaim coordonné par un « chef ») plus ou moins autonomes, automatisés, [[w:stigmergie|stygmergiques]] ou capables d'auto-organisation et de collaboration font l'objet de nombreuses recherches. Des balises puis des mini-robots indépendants ou collaborant entre eux sont beaucoup développés, au moins en laboratoire de recherche, et parfois pour le milieu subaquatique&lt;ref&gt;Future B (2012). ''Robots replace costly US Navy mine-clearance dolphins''  http://www.bbc.com/future/story/20121108-final-dive-for-us-navy-dolphins  (voir p. 14)&lt;/ref&gt;{{,}}&lt;ref&gt;Thomas Sousselier (2013) ''[https://hal.archives-ouvertes.fr/tel-01096431/document#cite.b._b._c._future_robots_2012 Conception et validation d'un algorithme de mise en formation d’essaim de micro-robots sous-marins auto-organisées : Application à l’exploration de zone en guerre des mines. Recherche opérationnelle]'' [cs.RO].  Université  Européenne de Bretagne ; Université de Bretagne-Sud&lt;tel-01096431&gt;&lt;/ref&gt;{{,}}&lt;ref&gt;[http://www.roboshoal.com/ SHOAL robots], &lt;/ref&gt;. l'Intelligence en essaim concerne aujourd'hui la réalisation par un groupe d’agents asynchrones et semi-indépendants d'un objectif collectif fixé à l’avance, mais on peut imaginer des essaims plus créatifs cherchant au hasard et découvrant par exemple de nouvelles espèces, habitats ou comportements subaquatiques.
* Autres approches : le robot dont les principaux constituants peuvent se séparer et communiquer entre eux ou être remplacés de manière standards.

=== Acquisition, prétraitement &amp; stockage d'image / vidéo  ===
Une tendance (permise par la miniaturisation de nombreux composants) est de prétraiter la donnée à l'intérieur de la caméra pour réduire la bande passante, et offrir une image de qualité à l’opérateur du {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}}/Drone. L'inconvénient est un risque de trop allonger le délai de latence entre le réel et ce que voit l'opérateur. Un modèle de caméra (non subaquatique) de surveillance (MOBOTIX) corrige ainsi une acquisition hémisphérique d'image à 360° ou panoramique 180° pour donner une image moins déformée de la scène. Divers logiciels permettent cela.
{{...}}

=== Post-traitement de l'image ===
Le traitement le plus classique est l'amélioration des contrastes et des couleurs, plus ou moins automatisable.

Des robots subaquatiques munis de caméras spéciales dressent maintenant en quelques heures une cartographie 3D d’épave d’un fond qui aurait demandé des jours ou semaines de travail et beaucoup d’argent aux archéologues sous-marins. Les images sont rassemblées (''[w:en:Image stitching|stitching'') par un logiciel informatique qui calcule finement la topographie du fond et des objets qui y reposent. Le logiciel ne peut toutefois pas « deviner » ce qui est enfoui dans le sédiment. Au large de la Sicile, trois épaves antiques ont ainsi été récemment explorées. L’une, datée du IIIème siècle transportait des blocs et colonnes de marbre éparpillés autour de l’épave. Elle mesurait probablement 32 à 40 mètres de long  (un véritable cargo pour l’époque)&lt;ref&gt;Michael Price (2017 [http://www.sciencemag.org/news/2017/10/image-stitching-technique-lets-scientists-explore-shipwrecks-dry-land  Image ‘stitching’ technique lets scientists explore shipwrecks from dry land] Science News,  20 octobre  2017&lt;/ref&gt;.

=== Interactions homme-machine  ===
Une piste émergente est la vision 3D associée à la ''[[w:en:Telexistence|téléxistence]]'' : elle demande deux caméras et plus de puissance de calcul et plus de capacité de transmission de flux (pour traiter l'image stéréo en temps réel), mais elle semble utile pour
* des déplacements plus précis ;
* une éventuelle capacité de détection et évitement automatique d'obstacles dont la distance, taille, forme, profondeur sont mieux appréciées&lt;ref&gt;. Lagisetty; N. K. Philip; R. Padhi; M. S. Bhat (28-30 Aug. 2013) ''Object detection and obstacle avoidance for mobile robot using stereo camera '' ;  Control Applications (CCA), 2013 IEEE International Conference on ; DOI: 10.1109/CCA.2013.6662816 ; ([http://ieeexplore.ieee.org/document/6662816 résumé])&lt;/ref&gt; ;
* une meilleure appréhension du milieu par l'opérateur (via casque de vision 3D ou écran autostéréoscopiques (AS) à vues multiples qui permettent à plusieurs téléspectateurs de voir des images 3D stéréo, sans lunettes ni casque), avec éventuelle possibilité d'interagir avec des objets 3D réels ou virtuels visibles sur l'écran (au moyen d'un curseur manuel ou bientôt par des gestes de la main)&lt;ref&gt; Z.Y. Alpaslan &amp; A.A. Sawchuk (2004) ''Multiple camera image acquisition models for multi-view 3D display interaction'' (2004 ) ''Multimedia Signal Processing'', 2004 IEEE 6th Workshop on ; conférence du 29 Sept.-1 Oct. 2004 ; DOI: 10.1109/MMSP.2004.1436542 &lt;/ref&gt; ;
* évoluer dans le noir (via sonar et logiciel de reconstitution de l'environnement physique du {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}})&lt;ref&gt;Scaradozzi, D., Sorbi, L., &amp; Zoppini, F. (2014, September). ''[http://ieeexplore.ieee.org/xpls/abs_all.jsp?arnumber=6924357 3D video streaming from a Remotely Operated Vehicle]''. In Education and Research Conference (EDERC), 2014 6th European Embedded Design in (pp. 50-54). IEEE ([http://ieeexplore.ieee.org/xpls/abs_all.jsp?arnumber=6924357 résumé])&lt;/ref&gt;.  L'impression de 3D ou de panorama peut aussi être reconstituée ([[w:en:Image-based modeling and rendering|Image-based modeling and rendering]]&lt;ref&gt;Sebastian Knorr; Thomas Sikora (2007) ''An Image-Based Rendering (IBR) Approach for Realistic Stereo View Synthesis of TV Broadcast Based on Structure from Motion'' (conférence faite le 16 Sept.-19 Oct. 2007), Image Processing, 2007. ICIP 2007. IEEE International Conference on DOI: 10.1109/ICIP.2007.4379649  ([http://ieeexplore.ieee.org/document/4379649 résumé])&lt;/ref&gt;)

=== Protocoles de test et d'étude de retour d'expérience  ===
Voir aussi la fiche 4 « [[Recherche:Mise_au_point_d'un_drone_subaquatique/Fiche/Retours_d'expérience|''Retours d'expérience'']]» 
{{...}}

=== Exemples d’utilisation des {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} et des mini-{{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}}  ===
'''{{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} de grande taille''' (et lourds)
* océanographie, cartographie et exploration d’environnements subaquatiques
* inspection (de citernes, coques, barrages, conduites ou câblés immergés, intérieur de conduites en eau, installations portuaires ou offshore industrielles ou aquacoles, recherche de boites noires, munitions immergées, etc.).
* usages militaires (dont déminage)

'''Mini-ROvs'''
* archéologie subaquatique (ex : [http://www.lemonde.fr/sciences/article/2014/12/08/un-premier-robot-archeologue-sous-marin_4536635_1650684.html Article du journal Le Monde : un-premier-robot-archeologue-sous-marin]) ;
* usages de loisirs ou d'assistance à la pêche, ce qui pose des questions d’[[w:éthique environnementale|éthique environnementale]];
* usages scientifiques divers ; Ainsi un &quot;''RangerBot''&quot; (cofinancé par Google) a été récemment mis au point (2018) pour des missions scientifiques &quot;complexes&quot; dans les récifs coralliens (ex: suivi du blanchissement, de la qualité de l'eau, d’espèces invasives, de la pollution ou de l'ensablement…), voire pour y repérer et éliminer les [[w:acanthasters|acanthasters pourpres]] (via l’injection d’un poison, ([[w:Thiosulfate-citrate-bile salts-sucrose agar|Thiosulfate-citrate-bile salts-sucrose agar]], un [[w:Acide biliaire|acide biliaire]])&lt;ref&gt;Sciences et Avenir &amp; AFP (2018) article ''[https://www.sciencesetavenir.fr/animaux/un-drone-oceanique-pour-sauver-la-grande-barriere-de-corail_127124 Un drone océanique pour sauver la Grande barrière de corail]''| 31.08.2018 | [https://www.youtube.com/watch?time_continue=3&amp;v=7zjKTvj0lB4 ''RangerBot: The Robo Reef Protector]'' (vidéo/You Tube, mise en ligne le 30 août 2018)&lt;/ref&gt;{{,}}&lt;ref&gt;Dr Matt Dunbabin (2018) [https://www.barrierreef.org/science-with-impact/swiss-army-knife-for-the-great-barrier-reef Robo reef protector to save the ReefRangerBot] ; www.barrierreef.org&lt;/ref&gt;{{,}}&lt;ref&gt;[https://biopixel.tv/cotsbot-robo-reef-protector-to-save-the-reef-from-the-crown-of-thorns-starfish/ ''Robo reef protector to save the Reef from the Crown-of-Thorns Starfish''] ; Biopixel.tv&lt;/ref&gt;;
* inspection d’installations aquacoles ([[w:biofouling|biofouling]], existence de parasitoses).

Remarque : Aucun {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} ne semble avoir été à ce jour doté de capacité de microphotographie ou de microscopie.

=== Amphibots anguilliformes (l’exemple d'Envirobot) ===
Des chercheurs de l’''[[w:fr:École polytechnique fédérale de Lausanne|École polytechnique fédérale de Lausanne]]'' (EPFL) ont codéveloppé un robot-anguille nageur (de surface) destiné à détecter des sources de pollution dans l’eau, baptisé Envirobot (dans le cadre du programme [http://www.nano-tera.ch/ Nano-Tera] : Engineering complex systems for health, security, energy and the environment)&lt;ref name=Envirobot2017/&gt;

Cette plateforme robotique de démonstration (Envirobot) pourra échantillonner et mesurer automatiquement divers paramètres de qualité de l'eau grâce à des capteurs optiques, physiques, chimiques et biologiques. Les chercheurs utilisent des Amphibots (robots anguilliformes segmentés) qui seront améliorés en termes d'efficacité énergétique, de programmation de décision sensorielle et de possibilités communiquantes et de miniaturisation. Des moyens d’arpentage en autonavigations permettent de programmer des missions, par exemple de mesure de gradients de pollution chimique ou biologique d’un plans d'eau (en surface pour le moment)&lt;ref name=Envirobot2017/&gt;. 

Le robot comprend des chambres [[w:fr:microfluidique|microfluidiques]] faciles à interchanger. Divers capteurs (physiques, optiques, chimiques et biocapteursà d’informations d’intérêt bioécotoxicologiques sont testés (pour deux modes de fonctionnement). Puis dans la mesure du possible ils seront miniaturisés. Le projet cherche à produire des biocapteurs à temps de réponse rapide (ms min), qui pourraient en temps réel guider le robot vers une source de pollution (par exemple en exploitant la chimiotaxie bactérienne, des réactions de bioluminescence, des chimiorécepteurs d'insectes, l’observation en temps réel des réactions cardiaques et musculaires de ''[[w:fr:Daphnia magna|Daphnia magna]]'')&lt;ref name=Envirobot2017&gt;[http://www.environnement-magazine.fr/biodiversite/article/2017/12/07/116262/robot-nageur-pour-traquer-pollution.php Des chercheurs de l’École polytechnique fédérale de Lausanne (EPFL) ont codéveloppé un robot-anguille nageur capable de détecter les sources de pollution dans l’eau, baptisé Envirobot] dans le cadre du programme [http://www.nano-tera.ch/ Nano-Tera] (engineering complex systems for health, security, energy and the environment)&lt;/ref&gt;...

=== Bioinspiration &amp; biomimétique  ===
&lt;gallery&gt;
Anguilla anguilla.jpg|''[[w:Anguilla anguilla|Anguilla anguilla]]''
Manta rays, Maldives.png|''[[w:Manta birostris|Manta birostris]]''
Guelldemar.jpg|[[w:Poisson coffre|Poisson coffre]]
FMIB 52096 Skeleton of the Cowfish, Lactophrys tricornis (Linnaeus).jpeg|Squelette osseux de ''[[w:Lactophrys tricornis|L. tricornis]]''
&lt;/gallery&gt;
Parmi les solutions robotiques les plus élégantes et esthétique figurent les réalisations de l'entreprise Festo (https://www.youtube.com/watch?v=SKJybDb1dz0).
* '''Poissons''' : osseux ou cartilagineux et de formes variées, ils sont une source d'inspiration ancienne et fréquente en raison de leurs exceptionnelles capacités de stabilisation (flottabilité neutre), d’accélération (jusqu’à 20 fois la gravité) et de vitesse (plus de {{unité|70|km/h}}), de [[w:manœuvrabilité|manœuvrabilité]] (« virage à 180° sans ralentir et sur des rayons de courbure de l’ordre du dixième de leur longueur, tandis que les véhicules actuels doivent ralentir de moitié et prendre des rayons de courbures de l’ordre de 10 fois leur longueur », d'efficience énergétique (rendement environ 10 fois meilleur que ceux des meilleurs sous-marins), etc. L'anguille est l'un des modèles très utilisé&lt;ref&gt;Frédéric Boyer, Mazen Alamir, Damien Chablat, Wisama Khalil, Alban Leroyer, et al. (2006), [https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00186672/file/TI_19_01_06.pdf ''Robot anguille sous-marin en 3D'']. Techniques de l’Ingénieur, Édition Techniques de l’Ingénieur, pp.S 7 856:1-16&lt;/ref&gt;, mais la raie ou des poissons caranguiformes ou le poisson coffre ont aussi été source de bioinspiration. Dans le domaine de la [[w:Microrobotique|microrobotique]], le [[w:Poisson coffre|poisson coffre]] parce qu'adapté aux  eaux turbulentes a inspiré des micro-véhicules sous-marins (MUV) ; dispositif [[w:électromécanique|électromécanique]] inséré dans un corps rigide propulsé par une queue oscillante, dirigé par une paire de nageoires latérales indépendantes. L'objectif était la détection et l'étude de [[micro-organismes]] marins, l'exploration d'[[w:épave|épaves]], l'inspections de conduites ou la contribution à des réseaux de capteurs subaquatiques&lt;ref&gt;Deng, X., &amp; Avadhanula, S. (2005, avril). ''Biomimetic micro underwater vehicle with oscillating fin propulsion: System design and force measurement''. In Robotics and Automation, 2005. ICRA 2005. Proceedings of the 2005 IEEE International Conference on (pp. 3312-3317). IEEE. ([http://ieeexplore.ieee.org/abstract/document/1570621/ résumé])&lt;/ref&gt;{{,}}&lt;ref&gt;  Parasar Kodati; Xinyan Deng (2006) ''Experimental Studies on the Hydrodynamics of a Robotic Ostraciiform Tail Fin'' IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems Year: 2006 Pages: 5418 - 5423, DOI: 10.1109/IROS.2006.282109 Cited by: Papers (7) IEEE Conference Publications&lt;/ref&gt;{{,}}&lt;ref&gt;Parasar Kodati &amp; Xinyan Deng (2006), ''Towards the Body Shape Design of a Hydrodynamically Stable Robotic Boxfish  '' IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems Year: 2006 Pages: 5412 - 5417, DOI: 10.1109/IROS.2006.282108 Cited by: Papers (6) IEEE Conference Publications&lt;/ref&gt;{{,}}&lt;ref&gt;Vidéos : [https://www.youtube.com/watch?v=qtRPfv0xr1s ''Biomimetic Robotic Boxfish]''- First Swim Demo Video par Zijian Wang &amp; Zerui Wang (Université de Pékin)- First Swim Demo, 4 janvier 2013&lt;/ref&gt;.
* Mammifères aquatiques ou subaquatiques (cétacés, phoques, otarie...)
* oiseaux marins nageurs/plongeurs (manchot, pingouin, cormoran...),
* Crustacés : dotés d'une carapace et de capacités de préhension (pinces) et parfois de marche (crabes, araignées, langoustes...)
* Poulpes : souples et dotés de tentacules préhensiles et d'une excellente vision
* Mollusques : avec ou sans coquilles
* méduses : simplicité, mais mouvements non régulier et manoeuvrabilité médiocre
* algues : souples et solides pour certaines (laminaires), flotteurs intégrés chez les fucacées, pseudomucus diminuant la résistance au frottement
* plancton :  infinité de structures et solutions inspirantes pour la microrobotique et la nanorobotique

=== Maniabilité ===
Parmi les petits robots disponibles au début des années 2010 et correspondant à nos besoins (3 à 50 kg) ceux qui associent une bonne maniabilité et mobilité (les axe ou de mobilité pilotée vont de 2 à 6 dimensions) mais ce sont les plus lourds et gros et souvent très coûteux&lt;ref&gt;Maalouf, p 18/189&lt;/ref&gt;. De 2010 à 2017 de grands progrès ont été faits en vitesse et maniabilité (avec par ex l'open rov et le scubo de l'ETH de Zurich&lt;ref&gt;https://www.youtube.com/watch?v=8CN4L_s7o-M ; https://www.youtube.com/watch?v=-g2O8e1j3fw  https://www.youtube.com/watch?v=JV9asieqQjM&lt;/ref&gt;, mais ils restent bruyants et vulnérables aux algues filamenteuses et fils. Le Scubo est encore trop gros pour explorer les anfractuosités, etc.

Certains {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} peuvent
* s’immobiliser (&quot;freeze&quot; option) à une profondeur définie (« auto-depth option » ou à une altitude définie par rapport au fond (« auto-altitude option » ) ;
* utiliser une ou deux pinces pour se stabiliser s’il existe devant eux un objet leur permettant de s'y accrocher (en économisant alors l'énergie de la batterie).

=== Autres sujets  ===
* '''Approches collaboratives''' : Il y a tant à faire dans ce domaine, qu'elle parait incontournable. &lt;br /&gt;De nombreux projets de ce type se sont appuyés sur une collaboration entre une équipe et des universités, écoles d'ingénieurs, {{abréviation|IUT|institut universitaire de technologie}}, {{abréviation|BTS|brevet de technicien supérieur}}, entreprises; sciences participatives et citoyennes, etc. Certains participent à des concours dotés de prix qui peuvent susciter une émulation, présentent une date butoir et représentent parfois un retour d'images et de fonds.&lt;br /&gt; Nous pouvons/devons veiller à être '''[[w:interopérabilité|interopérable]]''' avec les projets proches, dont par exemple avec [[w:OpenSeaMap|OpenSeaMap]]. Nos données pourraient présentent aussi un intérêt en termes de prospective écosystémique et pour d'autres projets comme l’évaluation et la modélisation ou l'étude des impacts ou de grands accidents marins (marées noires...), tsunamis ([https://fr.ulule.com/caribewavefwi/ ex]), réchauffement, acidification...  
 
à compléter tant que de besoin...

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{{Entête de fiche
  | idfaculté = sciences de l'ingénieur 
  | nom       = l'état de l'art
}}

[[File:ISplash Robotic Fish bis.png|thumb|upright=1.5|'''''ISplash-II Robotic Fish''''' ; poisson-robot ou drone subaquatique qui était en 2014 capable d'imiter la nage d'un poisson [[w:Carangue|carangiforme]], avec une vitesse moyenne maximale et une endurance &quot;''comparable''&quot; (tant que la batterie n'est pas épuisée). Il ne dispose cependant pas des capteurs nécessaire à un [[w:Observatoire de la biodiversité|inventaire de la biodiversité]], et sa nage et encore trop &quot;''ondulatoire''&quot; pour produire une bonne image vidéo (s'il était équipé d'une caméra).]]
[[File:CIA robot fish &quot;Charlie&quot; 2.jpg|thumb|upright=1.5|Autre exemple de poisson [[w:Biomimétique|biomimétique]], qui contient un système de ballast et de télécommunication, mais ne dispose pas non plus de moyens de filmer son environnement comme le nécessite le présent projet (Noter aussi le risque induit qu'il soit endommagé par un requin, orque, etc.)]]
[[File:OpenRovProjetCh'tiPlouf2017a7.jpg|thumb|upright=1.5|Aperçu de l'électronique embarquée de l'[[w:fr:OpenRov|OpenRov]], élément clé de l'interface homme-machine et notamment destiné au pilotage d'une mini-caméra (d'autres ROV disposent de plusieurs caméras)]]
[[File:BRUIE NASA rover.jpg|thumb|upright=1.5|BRUIE (''Buoyant Rover for Under-Ice Exploration'') est un prototype de rover sous-marin du [[w:fr:Jet Propulsion Laboratory|Jet Propulsion Laboratory]] de la [[w:fr:NASA|NASA]]. Ce rover a commencé à être testsé dans l'Arctique en 2015. Il est destiné à explorer à terme les océans intérieurs d’autres planètes du système solaire. BRUIE flotte et utilise ses deux roues pour rouler sous la glace à la recherche d’éventuels indices de vie.]]

Cette fiche est consacré à l’[[w:État de l'art|état de l'art]] en matière de conception/écoconception, réalisation et utilisation de petits {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} (on parle généralement de mini-Rovs et mini-drones pour les {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} et drones de moins de 5 kg). 

'''Note aux contributeurs :'''
* Chaque chapitre traité ici pourra être illustré (photos, dessin, plans, films..) et enrichi de [[w:lien hypertexte|liens hypertextes]] pointant vers Wikiversité, Wikipédia, Wikibook, ou des sites d'intérêt pour le projet. N'oubliez pas de respecter les [[Wikiversité:Règles_d'utilisation_des_images|règles sur l’utilisation des images]] ainsi que les droits d’auteurs : Ne pas reprendre du contenu d’autres sites, médias ou livres non-explicitement publiés en licence ouverte de type cc-by-sa (sauf avec autorisation écrite des auteurs). Seules les courtes citations sourcées (ou un renvoi vers un lien externe) sont autorisées.
* Nos propres retour d'expérience feront l’objet d'une autre fiche ([[Recherche:Mise_au_point_d'un_drone_subaquatique/Fiche/Retours_d'expérience|Fiche ''« Retours d'expérience »'' ou « REX »]])
* Si le contenu devient quantitativement trop important, il est proposé de conserver ici une synthèse de chaque thème, qui renverra le lecteur vers des fiches plus détaillée.

== Introduction ==
=== Thématiques ===
# Types de {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} ou drones subaquatiques (ex traditionnels, biomimétiques...)
# Les principes de l'écoconception ; 
# Types de propulsion possibles pour un petit {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} ;
# Les solutions de stabilisation d'un petit {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} ;
# les techniques d'acquisition de données externes (et d'autres données d'intérêt environnemental et scientifique) ;
# l'acquisition d'image et de film ;
# les systèmes et logiciels d'[[w:fr:Interactions homme-machine|interactions homme-machine]] ; 
# les protocoles d'expérimentation et d'étude de [[Recherche:Mise_au_point_d'un_drone_subaquatique/Fiche/Retours_d'expérience|Fiche ''« Retours d'expérience »'' ou « REX »]] ; 
''&lt;small&gt;(liste non limitative ; rem : si quelqu’un ajoute ici un thème, merci de l'ajouter également plus bas comme nouveau chapitre)&lt;/small&gt;''.

=== Contenu ===
Cette fiche est destinée à accueillir :
* une présentation commentée des différentes solutions méthodologiques scientifiques et techniques existantes ou envisagées par d'autres ([[w:Benchmarking|Benchmarking]]) ;
* des dessins, plans, photographies et films (à condition que ces documents/médias soient disponibles sous licence ouverte CC-BY-SA ou équivalent et préalablement [[commons:Special:UploadWizard|déposées dans Wikimedia Commons]], si possible légendés au moins en français et en anglais). À ce jour, les films doivent être intégrés sous un format ouvert compatible avec Commons ou converti dans ce format ([[w:Ogg|.ogg]]) ;
* des études bibliographiques ([[w:fr:État de l'art|état de l'art]]),

'''Remarque :''' Pour ne pas alourdir la page, les liens externes généraux vers des sites d'intérêt (avec un court commentaire) seront plutôt déposés dans une annexe du projet dédiée aux liens connexes, de même pour une liste générale d'ouvrages et articles.

== État de l'art, par domaines  ==
=== Généralités ===
De manière générale les Drones ou {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} sont aujourd'hui des engins dotés d'une enveloppe, d'une motorisation ou d'un système passif de déplacement (gliders), d'un système et de circuits de commande, de batteries, d'un fil et/ou d'une antenne de communication, d'une unité de mesure inertielle (trois accéléromètres et trois gyroscopes) et de capteurs permettant d'extraire (et mémoriser ou envoyer) des données (images, vidéo éventuellement) de leur environnement.

==== Le milieu aquatique  ====
La physique optique subaquatique diffère significativement de ce qu'elle est en milieu atmosphérique, en raison des propriétés de l'eau mais aussi des substances et du plancton qu'elle contient. Un drone subaquatique doit opérer avec une faible intensité lumineuse, des longueurs d'onde variant rapidement selon la profondeur et selon la turbidité de l'eau, et avec une polarisation différente de la lumière. Idéalement nous devrions mieux intégrer le champ lumineux bleu et proche de l'ultraviolet, la lumière polarisée, et les questions de scintillement et décomposition de la lumière qui traverse les vagues et vaguelettes quand l'eau est agitée&lt;ref name=Loew1990&gt; Loew, E. R., &amp; McFarland, W. N. (1990). ''The underwater visual environment. In The visual system of fish'' (pp. 1-43). Springer Netherlands. ([http://link.springer.com/chapter/10.1007/978-94-009-0411-8_1 résumé])&lt;/ref&gt;. 

Pour filmer le monde aquatique sans le troubler, des connaissances en écologie visuelle subaquatiques sont bienvenues (biologie, biophysique, hydrobiologie, et sur les qualités perceptuelles de la vision subaquatique chez les poissons et autres organismes&lt;ref name=Loew1990/&gt;. Les poissons disposent de cellules rétiniennes en cônes spécialisées dans la perception de l'ultraviolet et de la polarisation&lt;ref name=Hawryshyn1992/&gt;. Ils ont une vision polarisée&lt;ref name=Hawryshyn1992&gt;Hawryshyn C.W (1992) ''[http://cichlid.umd.edu/cichlidlabs/kc/Teaching/Visionpdfs/Hawryshyn1992.pdf Polarization vision in fish]''. American Scientist, 164-175.&lt;/ref&gt;.

=== Les principes de l'écoconception collaborative et du codesign &lt;br /&gt;(appliquée au projet)  ===
Le projet se fera par l'implication de nombreux chercheurs, amateurs, bénévoles avec le soucis d'agir pour la finalité définie (ici la création du drone subaquatique). La mise en place de la wikiversité est un des outils de l'aspect collaboratif de la conception : tout le monde peut suivre les avancés du projet à toutes ces échelles.
Cette conception collaborative est l'assurance de bénéficier des talents de tout horizon au-delà des frontières. Chacun au final aura ainsi sa propre satisfaction qui peut être, de manière non exclusive, simplement le fait de participer, l'assurance de pouvoir utiliser le robot, bénéficier du stock d'images ainsi constitué...etc.
Le principe du [[w:Design thinking|codesign]] est de faire participer à la réflexion collective les usagers du produit ou du service en cours de conception. Notre projet, par son essence même suit une conception de type codesign. Il s'agit également dans le codesign de déconstruire ce qui est créé pour reconstruire quelque chose de nouveau. Encore une fois, bien que les étapes de notre projet repose sur des éléments connus, il nécessitera également une grande part de créativité qui obligera à sortir des sentiers battus et parfois de manière un peu décalée.

=== Mécanique subaquatique  ===
[[File:Underwater Linear Actuator.png|thumb|left|[[w:Actionneur|Actionneur]] linéaire [[w:électromécanique|électromécanique]] sous-marin (fabriqué par Ultra Motion Inc.), utilisant une vis à billes et un écrou, où la vis tourne ; l'écrou subit alors une translation linéaire pure (produit notamment utilisé sur des [[w:ROV|ROV]] ]]
[[File:OpenRovProjetCh'tiPlouf2017TestProgrammationServomoteur.jpg|thumb|Servomoteur en cours de tests de programmation ; dans ce cas, on cherche à appuyer sur un bouton avec deux degrés de pression pour activer deux fonctions nécessairement successives]]

Elle doit être adaptée aux risques liés à l'eau, au sel, algues et bactéries, et à la pression... et éviter de polluer le milieu (cf lubrifiants, fluides hydrauliques, etc.). 
&lt;br /&gt;Par exemple les actuateurs linéaires à vis sont souvent préférables aux systèmes de piston hydrauliques. 

La [[w:robotique molle|robotique molle]] et la [[w:biomimetisme|biomimétique]] pourraient dans ce domaine bouleverser plusieurs des approches classiques, grâce notamment aux évolutions de l’impression 3D (ex : co-impression par 8 têtes d’impression en 22 h de matériaux durs, élastiques et liquides en 2016 pour un petit robot hexapode&lt;ref&gt;Humanoides.fr (2016) [https://humanoides.fr/les-ingenieurs-du-mit-ont-imprime-un-robot-en-3d-avec-des-composant-liquides-et-solides/ Les ingénieurs du MIT ont imprimé un robot en 3D avec des composants liquides et solides] ;  08.04.16 par Newsroom&lt;/ref&gt; ; il ne manque que la batterie et le moteur)

Une [https://forum.openrov.com/t/openrov-gripper-grabber-manipulator/2926 pince intéressante] a été dessinée pour l’OpenRov par Patrick2 (2015)

=== Propulsion, déplacement  ===
La plupart des [[w:ROV|remotely operated vehicle]] (ROV), comme les [[w:sous-marin|sous-marins]] sont propulsés au moyen d'une ou plusieurs hélices (libres ou protégées). 
&lt;br /&gt;Pour les {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} ou drones évoluant dans des environnement riches en algues, débris ou objets flottants entre deux eaux, les systèmes de propulsons doivent être protégés par des grilles et/ou déflecteurs. 
&lt;br /&gt;Outre des solutions [[w:Bioinspiration|bioinspirées]] imitant la méduse, le « vol » d'une raie (ou d'un oiseau planeur), la marche du crabe, ou la natation d'un têtard, la nage du poisson [éventuellement [[w:anguille européenne|anguilliforme]]...)  ou des solutions de « déplacement multimodal » (ex : robot-pieuvre à la fois capable de marcher sur le fond et de se propulser dans le milieu comme un calmar&lt;ref&gt;Giorgio-Serchi, F., Arienti, A., Corucci, F., Giorelli, M., &amp; Laschi, C. (2017). [http://sssa.bioroboticsinstitute.it/sites/default/files/user_docs/Serchi_et_al_2017_ACCEPTED.pdf ''Hybrid parameter identification of a multi-modal underwater soft robot'']. Bioinspiration &amp; Biomimetics, 12(2), 025007.&lt;/ref&gt;), d'autres procédés mécaniques mais originaux de motorisation ont été imaginés (ex : {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}}  Bubblot, designé par un fabricant de montres suisses (Hublot) pour aider les archéologues à explorer l'[[w:Épave d'Anticythère|Épave d'Anticythère]]&lt;ref&gt;Voir : [http://www.atlantico.fr/rdv/atlantic-tac/quand-soucoupe-plongeante-remonte-temps-quand-oeufs-caille-donnent-naissance-elephants-et-quand-batman-est-fier-poignet-c-est-2363369.html#cqxpfCfDF5HwsCP7.99 présentation (article du 2 oct 2015), et  [https://www.youtube.com/watch?v=ir8pUAp4fGs Bubblot courte vidéo]&lt;/ref&gt;). Le ''Wave Glider'' de [[w:Liquid Robotics|Liquid Robotics]] (Silicon Valley) est un drone de type [[w:Planeur sous-marin|Planeur sous-marin]] utilisant la houle et le soleil qui permettent l'acquisition de données de température, salinité, courants, acoustique marine, images, etc. Il a notamment été testé en Nouvelle-Calédonie par Assystem entre Nouméa et Lifou (aller/retour). Il est trop lourd et encombrant pour explorer des environnements complexes.

=== Gouvernes ===
[[File:Double Eagle ROV Mk II.JPG|thumb|Exemple de ROV de taille moyenne (Double Eagle Mk II)]]
À la différence d'un navire, mais comme un [[w:avion|avion]] ou un engin spatial, un {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} doit pouvoir être dirigé selon 6 axes de libertés. 
Parmi les solutions (éventuellement hybrides) figurent :
* '''le gouvernail''' : un ou plusieurs [[w:Gouvernail|gouvernail]]s ou [[w:aileron|aileron]]s mobiles sont généralement utilisés. Dans ces cas, comme pour les engins volants, c’est le profil [[w:hydrodynamique|hydrodynamique]] de la gouverne et/ou de l'aileron mobile qui est utilisés pour dévier (ou inverser) l'écoulement d'eau le long de l'engin et modifier par réaction la direction de l'engin. La conception des [[w:planeur sous-marin|planeurs sous-marins]] est parfois proche de celle d'un avion ; Dans tous ces cas, il existe des surfaces de contrôles qui sont externes, qui présentent des zones de vulnérabilité (accrochage, casse) ;
* '''le propulseur orientable''' ; l’utilisation de propulseur à un ou plusieurs axes de mobilité permet d'orienter le flux généré par le propulseur (dans la direction opposée à celle qu'on veut faire prendre par le {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}}) ; Le système peut être externe, ou semi-intégré dans la coque (et alors moins vulnérable à l'accrochage) ;
* '''les propulseurs internes en tunnel''' : ils aspirent et pulsent l'eau dans une ou plusieurs gaines verticale, horizontale (selon deux axes en général ; transversal et vertical), en complément d'un propulseur principal externe (celui de la propulsion par hélice arrière en général). Si le {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} est très allongé, deux tunnels transversaux sont plus efficaces, placés à l'avant et à l'arrière ; opérant chacun à la manière des propulseurs d'étrave installés sur les navires). Sur les navires il n'est utilisé que quand le gouvernail ne suffit pas. Certains {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} l'utilisent presque en permanence. La poussée de l'éjecteur est produite par un ou plusieurs rotors généralement montés sur un arbre à l'intérieur du tunnel, mais on peut imaginer un rotor sans axe. Ces rotors tirent généralement leur puissance d'un moteur hydraulique placé à l'extérieur du tunnel (le couple étant transmis au rotor par des engrenages coniques aboutissant au caisson supportant l'arbre de rotor). Le moteur hydraulique peut aussi être placé dans le tunnel sur l'axe-même du rotor.&lt;br /&gt;Avantages/inconvénients : Le propulseur est apparemment mieux protégé (le stator est intégré au robot lui-même), mais il est plus difficile à nettoyer, réparer ou à changer en cas de panne ou de débris ou fil/corde/câble/algues introduits dans la gaine, et les grilles de protection freinent l'eau et peuvent se colmater ;
* '''des solutions bioinspirées''', qui vont de la nage anguilliforme à l'imitation des nageoires de divers poissons ou d'une ondulation du &quot;« corps »&quot; du robot en passant par la méduse, le calmar, le crabe, etc. (elle ne doit cependant pas dans notre cas gêner la fonction ''photo/caméra'');
* '''le ballast''' : il permet un mouvement vertical et de déplacer le centre de gravité (ballast d'eau ou déplacement d'une partie interne lourde), ce qui modifie l'inclinaison de l'engin en lui permettant éventuellement (chez les [[w:Planeur sous-marin|gliders]] par ex.) de remonter ou plonger, virer et/ou « gîter ».

=== Design &amp; prospective  ===
[[Image:Pinza Robot.jpg|thumb|upright=1.5|En, contexte subaquatique, vaut il mieux conserver une solution mécanique simple (ex photo) ou développer des solutions plus biomimétiques ?.. ou combiner les deux approches ? ]]

Depuis quelques années, certains designers de robots (en [[w:fr:robotique molle|robotique molle]] notamment) cherchent à se passer d'engrenages, de roulements à billes et de certains servomoteurs. Deux grands types de solutions sont testés : solutions &quot;''hydrauliques''&quot;, avec par exemple la série des robots bioinspirés fonctionnant dans l'air ou dans l'eau, construits par le groupe allemand [[w:Festo (entreprise)|Festo]], spécialisé dans l'automatisation des mouvements utilisant l'énergie pneumatique (air comprimé) ou électrique, ou la version récente d'une minuscule raie bioinsipirée&lt;ref&gt;[https://futuristech.info/posts/video-biorobotic-stingray-created-from-rat-heart-muscle-cells-i-think-we-ve-got-a-biological-life-form-here Vidéo mini-raie] (2016) et voir article de la revue Science [http://science.sciencemag.org/content/353/6295/158.full ''Robotic ray is part animal, part machine''] (7 juillet 2016)&lt;/ref&gt;. L'autre solution est le développement d'alliages à mémoire de forme et de matériaux se déformant sous l'effet de l'électricité ; Ces deux approches pouvant être combinées. Les prototypes peuvent être d'abord modélisé en s'appuyant sur la ''[[w:fr:Méthode des éléments finis|Méthode des éléments finis]] et mécaniquement caractérisé'' et la [[mécanique des milieux continus]] (dans Wikiversité).

Parmi les solutions supposées futuristes, éventuellement bioinspirées, envisagées par le « design prospectif », figurent
* la solution d'un ''[[w:Robot mou|robot mou]]'' doté d'une enveloppe capable de « morphing », c’est-à-dire à géométrie variable (pour tout ou partie), sensibles à divers [[w:stimulus|stimuli]], voire capable de s'autoréparer. Remarque : la solution ''morphing'' n'exclue pas les systèmes de gouverne ou de motorisation évoqués ci-dessus (une nageoire artificielle ou une gouverne plus classique pourrait d'ailleurs elle-même comporter des éléments mous et durs (jouant par ex le même rôle que les arêtes de poissons) ; La robotique molle est encore freinée par le manque d'actionneurs souples, solides et performants et par le manque de maturité des circuits électroniques souples et élastiques ; En 2025, une autre équipe présente un robot nageur centimétrique, autonome et très maniable, nageant à 5,1 cm/s, tournant à 195°/s et pouvant se faufiler dans des environnements encombrés (dans les algues par exemple, grâce à 2 nageoires pectorales souples et millimétriques, animées par des ondes de flexion générées par un unique actionneur électrohydraulique par côté, fonctionnant sous 500 V pour une consommation de 35 mW. Il peut pousser des objets plus de 16 fois plus lourds que lui&lt;ref name=RobotNageur2025&gt;{{Article |langue=en |prénom1=Florian |nom1=Hartmann |prénom2=Mrudhula |nom2=Baskaran |prénom3=Gaetan |nom3=Raynaud |prénom4=Mehdi |nom4=Benbedda |titre=Highly agile flat swimming robot |périodique=Science Robotics  |volume=10 |numéro=99 |date=2025-02-26 |issn=2470-9476 |doi=10.1126/scirobotics.adr0721 |consulté le=2026-10-04}}.&lt;/ref&gt;En 2026, des progrès encore plus significatifs semblent faits. avec la création de muscles artificiels basés sur :
:- des actionneurs piézoélectriques&lt;ref name=ScRoboticsSept2026/&gt; ; 
:- des actionneurs diélectriques en élastomère (DEA)&lt;ref name=ScRoboticsSept2026/&gt; ;, 
:- des actionneurs électrostatiques&lt;ref name=ScRoboticsSept2026/&gt; ;
:- des actionneurs basés sur des matériaux (polymères ou [[w:Alliage à mémoire de forme|alliages à mémoire de forme]] &lt;ref&gt;{{Article |prénom1=J |nom1=Colorado |prénom2=A |nom2=Barrientos |prénom3=C |nom3=Rossi |prénom4=K S |nom4=Breuer |titre=Biomechanics of smart wings in a bat robot: morphing wings using SMA actuators |périodique=Bioinspiration &amp; Biomimetics |volume=7 |numéro=3 |pages=036006 |date=2012-09-01 |issn=1748-3182 |issn2=1748-3190 |doi=10.1088/1748-3182/7/3/036006  |consulté le=2026-10-04}}.&lt;/ref&gt;{{,}}&lt;ref&gt;{{Article |prénom1=Lindsey |nom1=Hines |prénom2=Veaceslav |nom2=Arabagi |prénom3=Metin |nom3=Sitti |titre=Shape Memory Polymer-Based Flexure Stiffness Control in a Miniature Flapping-Wing Robot |périodique=IEEE Transactions on Robotics  |volume=28 |numéro=4 |pages=987–990 |date=2012-08 |issn=1552-3098 |issn2=1941-0468 |doi=10.1109/TRO.2012.2197313 |lire en ligne=http://ieeexplore.ieee.org/document/6202706/ |consulté le=2026-10-04}}.&lt;/ref&gt;,
:...alors que les batteries et unités de puissance progressaient également de même que la robustesse du micro-robot face aux collisions légères &lt;ref&gt;{{Article |prénom1=YuFeng |nom1=Chen |prénom2=Siyi |nom2=Xu |prénom3=Zhijian |nom3=Ren |prénom4=Pakpong |nom4=Chirarattananon |titre=Collision Resilient Insect-Scale Soft-Actuated Aerial Robots With High Agility |périodique=IEEE Transactions on Robotics |volume=37 |numéro=5 |pages=1752–1764 |date=2021-10 |issn=1552-3098 |issn2=1941-0468 |doi=10.1109/TRO.2021.3053647 |lire en ligne=https://ieeexplore.ieee.org/document/9357346/ |consulté le=2026-10-04}}.&lt;/ref&gt;{{,}}&lt;ref&gt;{{Article |langue=en |prénom1=Suhan |nom1=Kim |prénom2=Yi-Hsuan |nom2=Hsiao |prénom3=Zhijian |nom3=Ren |prénom4=Jiashu |nom4=Huang |titre=Acrobatics at the insect scale: A durable, precise, and agile micro–aerial robot |périodique= Science Robotics |volume=10 |numéro=98 |date=2025-01-15 |issn=2470-9476 |doi=10.1126/scirobotics.adp4256 |consulté le=2026-10-04}}.&lt;/ref&gt; ou aux impacts de [[w:Goutte (physique)|gouttes d'eau]] en cas de pluie ou d'[[w:embrun|embruns]]&lt;ref name=ScRoboticsSept2026/&gt;. 
* Début 2025, dans le domaine aérien, un micro‑robot volant de 750 mg réalise un vol stationnaire de 1000 secondes (100 fois plus longtemps que les modèles antérieurs), suit des trajectoires complexes avec moins d’un centimètre d’erreur, vole à plus de 30 cm/s, et atteint une vitesse ascensionnelle de 1 m/s. Doté d'un rapport portance‑poids de 2,2, il peut faire des doubles retournements à une vitesse de rotation supérieure à celle des insectes les plus rapides. Son endurance, sa précision et son agilité sont comparables à celles de certains insectes&lt;ref&gt;{{Article |langue=en |prénom1=Suhan |nom1=Kim |prénom2=Yi-Hsuan |nom2=Hsiao |prénom3=Zhijian |nom3=Ren |prénom4=Jiashu |nom4=Huang |titre=Acrobatics at the insect scale: A durable, precise, and agile micro–aerial robot |périodique=Science Robotics |volume=10 |numéro=98 |date=2025-01-15 |issn=2470-9476 |doi=10.1126/scirobotics.adp4256  |consulté le=2026-10-04}}.&lt;/ref&gt;.&lt;br&gt;En [[w:2026|2026]], alors que la [[w:robotique molle|robotique molle]] peinait encore à se développer, et alors que l'[[w:impression 3D|impression 3D]] de [[w:fr:Polymère|polymère]]s complexes progresse, la microrobotique aérienne semble avoir fait un bond (en laboratoire à ce stade) : un micro-robot entièrement en ''polymère résistant, pesant 185 milligrammes'', c'est à dire le poids d'un [[w:confetti|confetti]] ou d'une goutte d'eau à peine visible), ''alimenté par un actionneur de flexion électrostrictif ''(un matériau qui se courbe sous l'effet une tension électrique)'' qui entraîne directement des ailes ici configurées en forme de cône, sans transmission''}} a été produit&lt;ref name=ScRoboticsSept2026/&gt;. Ce micro-robot volant ne contient aucune des pièces mécaniques rigides traditionnellement responsables de la fragilité des micro‑drones à battement d'ailes. Sa [[w:Densité de puissance|densité de puissance]] est de 1600 watts/kg, l'angle de flexion des ailes est de 136° à 110 hertz, ce qui offre à ce micro-engin un rapport portance/poids de 3,0 et un rapport portance/puissance de 8,3 millinewtons par watt à 30 hertz, pour une [[w:efficacité énergétique|efficacité énergétique]] de l'actionneur est d'environ 5,7%. Ce design et ce fonctionnement (inédit à cette échelle) permet une prise de vol autonome (il décolle sans aide à une vitesse moyenne verticale de 40 centimètres par seconde) puis peut avoir des mouvements amples et rapides associés à une excellente efficacité de vol, outre une résistance exceptionnelle aux impacts sévères (chocs violents, écrasement complet ... dont le robot se relève pour reprendre son vol)&lt;ref name=ScRoboticsSept2026/&gt;. À ce stade, l'actionneur du robot perd une part de son énergie quand la charge électrique accumulée se dissipe dans l'électrode au moment où la tension est coupée. En ajoutant un petit circuit récupérant cette charge, cette perte serait diminuée, et l'actionneur plus efficace. Une autre partie de l'énergie est perdue [[w:effet joule|sous forme de chaleur]] dans les électrodes encore trop résistantes (les améliorer permettrait de limiter ce gaspillage)&lt;ref name=ScRoboticsSept2026/&gt;. La puissance de l'actionneur pourrait aussi augmenter en mettant davantage de matériau actif dans sa structure ou en remplaçant certaines couches par des matériaux plus légers et plus rigides. La tension électrique pourrait être augmentée en empilant plusieurs films plus fins, ce qui permettrait d'utiliser des composants électroniques courants, plus légers et faciles à intégrer. On peut encore optimiser la forme des ailes et/ou ajouter plusieurs paires d'ailes, pour rendre le robot plus agile&lt;ref name=ScRoboticsSept2026/&gt;. Pour le rendre entièrement autonome, il faudra encore lui ajouter des capteurs, un microcontrôleur et une source d'énergie embarquée (des solutions hybrides sont envisagées, comme remplacer une partie de la structure par un élément photovoltaïque souple et une batterie flexible, afin d'alimenter le robot sans l'alourdir)&lt;ref name=ScRoboticsSept2026/&gt;. 
Selon ses concepteurs, un nouveau paradigme s'ouvre, par exemple pour des véhicules aériens ou subaquatiques miniatures résilients en environnements confinés et/ou hostiles, tout en conciliant une nouvelle forme de simplicité mécanique, d'[[w:efficacité énergétique|efficacité énergétique]] et de robustesse structurelle, jusque‑là inatteignables selon les concepteurs de ce mini-robot&lt;ref name=ScRoboticsSept2026&gt;{{Article |langue=en |prénom1=Yuan |nom1=Zhu |prénom2=Hanxiang |nom2=Wu |prénom3=Dawei |nom3=Sun |prénom4=William |nom4=Budiman |titre=Takeoff of an all-polymer micro aerial flying robot |périodique=Science Robotics |volume=11 |numéro=118 |date=2026-09-30 |issn=2470-9476 |doi=10.1126/scirobotics.aed8148 |consulté le=2026-10-04}}.&lt;/ref&gt;. Il est à noter que les micro-robots de ces tailles risquent d'être rapidement &quot;mangés&quot; par des poissons plus gros qu'eux. 
* l'ionisation de l'eau pour produire un flux qu'on peut ensuite diriger ;
* mieux exploiter l'[[w:effet coanda|effet Coanda]] ;
* utiliser de nouveaux type de pseudo-[[w:muscle artificiel|muscles artificiels]]&lt;ref&gt;Moghadam, A. A. A., Kouzani, A., Torabi, K., Kaynak, A., &amp; Shahinpoor, M. (2015). [https://www.researchgate.net/profile/Akif_Kaynak/publication/272089433_Development_of_a_Novel_Soft_Parallel_Robot_Equipped_with_Polymeric_Artificial_Muscles/links/56144fa608aed47facee3b50.pdf ''Development of a novel soft parallel robot equipped with polymeric artificial muscles]''. Smart Materials and Structures, 24(3), 035017.&lt;/ref&gt;, d'[[w:actionneur|actionneurs]] et « micro-actionneurs » par exemple à base de [[w:polymère électroactif|polymère électroactif]]&lt;ref&gt;Gunn-Sechehaye, M. (2015). ''Conception d&quot; un actionneur à base de polymère électroactif (EAP)'' (No. EPFL-STUDENT-210281).&lt;/ref&gt;{{,}}&lt;ref&gt;Riedi, L. (2015). ''Conception de l’électronique de commande d’un actionneur en polymère électro-actif (EAP)'' (No. EPFL-STUDENT-210279) ([http://infoscience.epfl.ch/record/210279 résumé]).&lt;/ref&gt;{{,}}&lt;ref&gt;Yang, T., &amp; Chen, Z. (2015, December). Development of 2D maneuverable robotic fish propelled by multiple ionic polymer-metal composite artificial fins. In 2015 IEEE International Conference on Robotics and Biomimetics (ROBIO) (pp. 255-260). IEEE ([http://ieeexplore.ieee.org/xpls/abs_all.jsp?arnumber=7418776 résumé])&lt;/ref&gt;) notamment adaptés aux matériaux souples. Il pourrait être bientôt possible d'utiliser des cordons de matériaux polymère électroactif dans les imprimantes 3D&lt;ref&gt; Carrico, J. D., Traeden, N. W., Aureli, M., &amp; Leang, K. K. (2015). [http://www.kam.k.leang.com/academics/pubs/CarricoJD_2015b.pdf ''Fused filament 3D printing of ionic polymer-metal composites (IPMCs)'']. Smart Materials and Structures, 24(12), 125021&lt;/ref&gt;.
&lt;br /&gt;Hormis quelques robots imitant les poissons aux formes fuselées et dont seule l'enveloppe était molle, les premières tentatives ont souvent abouti à des robots plutôt lents et malhabiles dans l'eau. Récemment Tiefeng Li et ses collègues (Université du Zhejiang à Hangzhou, en Chine) ont produit un prototype simple de robot en partie mou (ailes en [[w:élastomère diélectrique|élastomère diélectrique]] et [[hydrogel]] ioniquement conducteur, formant un muscle synthétique qui permet un mouvement évoquant celui des ailerons d'une raie manta et ainsi de &quot;nager&quot; à une vitesse de 6,4 cm/seconde (doublant le record antérieur de vitesse en robotique molle, avec une capacité de nage de trois heures sur une même charge de batterie). Il utilise l'eau de mer comme &quot;prise de terre&quot;&lt;ref&gt;[https://www.nature.com/articles/n-12200700 résumé ''Fish-inspired robot leaves rivals in its wake ; A manta-ray-like device moves twice as fast as other soft machines''] Nature News, d'après Tiefeng Li &amp; al. (2017) [http://advances.sciencemag.org/content/3/4/e1602045.full résumé] ; Science Advances  05 Apr 2017:Vol. 3, no. 4, e1602045 ; DOI: 10.1126/sciadv.1602045][http://advances.sciencemag.org/content/3/4/e1602045 résumé], Science Mag (2017)&lt;/ref&gt;.

=== Matériaux nouveaux souples et étirables  ===
L'impression 3D de polymères texturés permet de produire des formes souples et pseudo-étirables (principe de l'accordéon)

L'un des défis (y compris pour la réparation des robots souples) était de pouvoir disposer de colle souple et élastique et étanche. Ceci semble sur le point de se réaliser : mi-2017, des universitaires physiciens ont réussi à produire en laboratoire une colle à [[w:Cyanoacrylate|cyanoacrylate]] fortement élastique et pouvant coller des substances dures et/ou molles (dont composants électroniques) à des hydrogels (matériaux de type « gels » utilisés dans certains [[w:dispositifs médicaux|dispositifs médicaux]] et robots souples)&lt;ref name=ScienceMagJuin2017/&gt;. Ceci ouvre la voie à la création des [[w:batterie (électricité)|batteries]] et [[w:circuit électrique|circuits électriques]] véritablement élastique et étirables&lt;ref name=ScienceMagJuin2017/&gt;. Le cyanoacrylate est associé à un composant organique (qui, sans être un solvant, diffuse rapidement dans les parties en fusion de manière à empêcher qu’elles ne deviennent cassantes). Au moment du pressage la prise de la colle se fait en quelques secondes&lt;ref name=ScienceMagJuin2017/&gt;. L’élasticité peut atteindre 2000 %&lt;ref name=ScienceMagJuin2017&gt;[http://www.sciencemag.org/news/2017/06/new-superglue-could-seal-deal-stretchable-batteries-soft-robots] ; ChemistryTechnology ; DOI: 10.1126/science.aan7008Par Zahra Ahmad, 23 juin 2017&lt;/ref&gt;. La mise sur le marché est attendue entre 2018 et 2020.

=== Batteries, gestion de l'énergie  ===
Voir ci-dessus pour ce qui concerne les batteries étirables
{{...}}

=== Éclairage ===
Le cahier des charges concernera les besoins de vision du robot (de sa station-mère et de son opérateur), et ceux - plus ponctuels dans le temps - de la photo (flash) et de la vidéo (torche), avec des problèmes de flux de lumière, de colorimétrie, de réflexion/diffraction et de géométrie et positionnement des faisceaux lumineux par rapport à l’objet ou organisme à photographier ou filmer. Pour des raisons pratiques (encombrement, consommation d'énergie), la solution [[w:LEDs|LEDs]] semble la plus intéressante (sauf arguments contraires à développer ici), éventuellement associé à la [[w:fibre optique|fibre optique]]. 
&lt;br /&gt;Le longueurs d'ondes et la position des sources devraient pouvoir être contrôlées. Un éclairage multiplexe permettrait dans certains cas de pouvoir visualiser les images en gérant la [[w:fr:réflectance|réflectance]] pour l'améliorer. Un prétraitement de l'image est souhaitable&lt;ref&gt;Bazeille, S., Quidu, I., Jaulin, L., &amp; Malkasse, J. P. (2006, October). ''Automatic underwater image pre-processing''. In CMM'06 (p. xx).&lt;/ref&gt;.

=== Stabilisation d'un {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}}  ===
Une bonne capacité d'autostabilisation est l'une conditions nécessaire (mais non suffisante) à une capacité de prise de vue de haute précision (voire en quasi-microscopie) et à la réussite de certains protocoles d'échantillonnages. Elle est à relier aux systèmes d'asservissement de position (dont l'ancrage ou l'accrochage font partie). 

Une centrale inertielle performante pourrait aussi être utile sur une plate-forme flottante qui pourrait être liée au drone (pour sa récupération, recharge, récupération de données, etc). 

Plusieurs techniques existent, éventuellement complémentaire et des solutions biomimétiques sont sans doute également possible. Les plus performantes semblent les plus consommatrices en énergie, elles pourraient n'être activées qu'au moment des prises de vues, d'échantillonnage ou en situation délicate.

'''Pour en savoir plus''', voir (et/ou complétez) :
* la [[Recherche:Mise_au_point_d'un_drone_subaquatique/Fiche/Stabilisation_(gyroscopique,_élasticomécanique...)|Fiche-Mémoire sur la stabilisation (gyroscopique, élasticomécanique...)]] dédiée à ce sujet.
* l’[[Recherche:Mise_au_point_d'un_drone_subaquatique/Annexe/Biliographie|Annexe 3 (Bibliographie)]]

=== Mise à l'eau et récupération  ===
Elle est surtout complexe pour les drones de grande taille, mais peut dans tous les cas être compliquée par le mauvais temps en pleine mer.

=== Capteurs, acquisition de données externes &lt;br /&gt;  ===
[[File:CTD-me-details hg.jpg|thumb|left|Exemple de capteur [[w:Conductivity Temperature Depth|CTD]] (''Conductivity Temperature Depth'') démonté avec ; son électronique embarquée, ses capteurs de conductivité, température et pression, sa cage de protection des capteurs, ses connecteurs étanches et son boîtier de protection contre les hautes pressions.. à miniaturiser]]
[[File:Depthx commons détouré.jpg|thumb|upright=1.4|[[w:DEPTHX|DEPTHX]] ([[w:NASA|NASA]]) a de 54 sonars lui permettant la cartographier 3D et aussi de mieux se repérer dans l'espace subaquatique (ici : version 2007 testé à La Pilita (Mexique) dans plusieurs [[w:cénote|cénote]]s dont le plus profond au monde ; [[w:Zacatón|Zacatón]])]]

Divers capteurs électroniques déjà disponibles sur le marché sont nécessaires au pilotage de l'engin et à l'acquisition de données (d'intérêt environnemental et scientifique)
* Caméra (= les yeux du robot), devant permettre (au mieux) des images avec 5 critères de qualité que sont :
** la netteté (à un point de l'objet correspond un point de l'image)
** la résolution qui est la plus petite distance séparant deux points objets capables de donner deux points images distincts.
** le contraste, reproduction de la différence d'éclairement des surfaces distinctes et éventuellement de leurs couleurs.
** aussi peu de flou que possible sur les mouvements.
* Des métadonnées pertinentes.
* Capteurs acoustiques ; [[w:fr:Hydrophone|hydrophone]] (= les oreilles du robot) pouvant aussi aider à déterminer la position de l'origine d'un son (source) grâce à des amplificateurs, des filtres, un ADC et un contrôleur embarqués. Un filtre passe-bande numérique (implémenté via un FPGA) peut fortement réduire l'[[w:aliasing|aliasing]] (parasitage par le bruit du ROV lui-même). En surface un [[w:algorithme|algorithme]] de formation de faisceau (''beamforming algorithm'') génère du son directionnel via des haut-parleurs stéréophoniques (ou un casque « audio/virtuel »). L'algorithme pourra être amélioré pour affiner la précision de la directionnalité donnée&lt;ref&gt;Kim S.M, Byun S.H, Kim K, Choi H.T &amp; Lee C.M (2017) ''Development and performance test of an underwater sound transmission system for an ROV.'' In Underwater Technology (UT), 2017 IEEE (pp. 1-4). IEEE ([http://ieeexplore.ieee.org/abstract/document/7890295/ résumé]).&lt;/ref&gt;.
* GPS (uniquement disponible en surface ?)
* capteurs de vitesse relative, vitesse du courant (ex : loch doppler)
* capteurs embarqués tels que CTP ([[w:Conductivity Temperature Depth|conductivité-température-profondeur]]), aussi dits CTD (pour ''[[w:CTD (instrument)|conductivity–temperature–depth]]'')
* [[w:fluoromètre|fluoromètres]] de [[w:chlorophylle|chlorophylle]]
* capteur optique mesurant la turbidité, la couleur de l'eau, la luminosité
* capteurs mesurant la dureté/acidité de l'eau, taux d'O2/CO2/NO3...
Ces capteurs peuvent rendre le drone plus autonome. Ils limitent aussi le besoin d'échantillonner l'eau pour l'analyser. Certains donnent des ordres de grandeur de propriétés du milieu (avec une meilleure résolution spatiale et temporelle) là où autrefois il fallait des prélèvement par bouteilles ou filets.

=== Communication avec l'opérateur ou avec robot associé (en systèmes distribués « multi-agents »)  ===
* '''Communication sans fil''' est un défi à relever : Les [[w:ondes hertziennes|ondes hertziennes]] offrent du débit d'information dans l'air. Un système wifi peut permettre une communication émergée et de proximité (ex : avec une plate-forme en surface). ⇒ protocole de communication (Bus CAN...), antennes etc. Elle peut être hybride (ex  ''hybrid optical-acoustic system'')
* '''Ondes acoustiques''' : le son se propage 4 fois plus vite dans l'eau que dans l'air, et une onde porteuse de fréquence 50 à {{Unité|100|{{abréviation|kHz|kilo-hertz}}}} porterait à environ {{formatnum:1000}} mètres avec un débit de 20 Kbauds environ. Les basses-fréquence portent éventuellement très loin mais avec une faible bande passante. Ces résultats médiocres (dizaines de Kbits/seconde) permettent de transférer des informations basiques (ex : position, l'état de charge de la batterie, avaries) ou pourraient servir à reconfigurer un robot encore sous l'eau, mais ne permet pas de transmettre une image vidéo ni des données sonar de qualité.
*  '''Lumière'''&lt;ref&gt;Kaushal H &amp; Kaddoum G (2016) ''[http://ieeexplore.ieee.org/iel7/6287639/7419931/07450595.pdf Underwater optical wireless communication]''. IEEE Access, 4, 1518-1547, PDF, 30 p.&lt;/ref&gt; (éventuellement via le [[w:laser|laser]]&lt;ref&gt;Cox Jr, W.C (2008) [https://repository.lib.ncsu.edu/bitstream/handle/1840.16/1696/etd.pdf?sequence=1&amp;isAllowed=y ''A 1 Mbps Underwater Communication System Using a {{Unité|405|{{Abréviation|nm|nanomètre}}}} Laser Diode and Photomultiplier Tube'']. Thèse de doctorat (voir p 23)&lt;/ref&gt;) permet le transfert d'information dans l'eau, mais sur une courte distance et avec un résultat médiocre dans les eaux turbides, avec nécessité de gérer les interruptions de faisceaux liées aux débris flottant entre deux eau. Des leds bleues ont déjà été testées&lt;ref name=robotPereFils2016&gt;Li, M., Guo, S., Guo, J., Hirata, H., &amp; Ishihara, H. (2016). ''Development of a biomimetic underwater microrobot for a father–son robot system''. Microsystem Technologies, 1-13 ([http://link.springer.com/article/10.1007/s00542-016-2817-3 résumé])&lt;/ref&gt;). Elles pourraient être utilisées de robot à robot&lt;ref name=robotPereFils2016/&gt; ou avec un module flottant ou immergé proche. &lt;br /&gt;Le [[[w:Lidar|lidar]] évolue (Le ''Photonic Microsystems Group'' du Laboratoire de Recherche Electronique du MIT) a miniaturisé en 2016 un capteur lidar (d'un facteur 100 : 0.5 mm x 6 mm) ; il est plus solide et 1000 fois plus rapide grâce à une orientation non mécanique de son faisceau laser et pas plus cher - 1000 à {{unité|70.000|dollars}} selon le type de lidar - mais n'a qu'un champ de vision de 51° et ne détecte des objets que jusqu'à 2 mètres, dans l'air)&lt;ref&gt;Le MIT a conçu un capteur LiDAR cent fois plus petit que ceux du marché ; 10.08.16 ; Newsroom (cadre : projet Electronic-Photonic Heterogeneous Integration dit &quot;E-PHI&quot; lancé en 2011&lt;/ref&gt;.  &lt;br /&gt;La lumière peut modifier le comportement de certaines espèces ou les stresser.
* '''Robotique en essaim''' (''swarm robotics'') avec ses variantes en ou en nuées ainsi que des systèmes de « meutes » (i.e. un essaim coordonné par un « chef ») plus ou moins autonomes, automatisés, [[w:stigmergie|stygmergiques]] ou capables d'auto-organisation et de collaboration font l'objet de nombreuses recherches. Des balises puis des mini-robots indépendants ou collaborant entre eux sont beaucoup développés, au moins en laboratoire de recherche, et parfois pour le milieu subaquatique&lt;ref&gt;Future B (2012). ''Robots replace costly US Navy mine-clearance dolphins''  http://www.bbc.com/future/story/20121108-final-dive-for-us-navy-dolphins  (voir p. 14)&lt;/ref&gt;{{,}}&lt;ref&gt;Thomas Sousselier (2013) ''[https://hal.archives-ouvertes.fr/tel-01096431/document#cite.b._b._c._future_robots_2012 Conception et validation d'un algorithme de mise en formation d’essaim de micro-robots sous-marins auto-organisées : Application à l’exploration de zone en guerre des mines. Recherche opérationnelle]'' [cs.RO].  Université  Européenne de Bretagne ; Université de Bretagne-Sud&lt;tel-01096431&gt;&lt;/ref&gt;{{,}}&lt;ref&gt;[http://www.roboshoal.com/ SHOAL robots], &lt;/ref&gt;. l'Intelligence en essaim concerne aujourd'hui la réalisation par un groupe d’agents asynchrones et semi-indépendants d'un objectif collectif fixé à l’avance, mais on peut imaginer des essaims plus créatifs cherchant au hasard et découvrant par exemple de nouvelles espèces, habitats ou comportements subaquatiques.
* Autres approches : le robot dont les principaux constituants peuvent se séparer et communiquer entre eux ou être remplacés de manière standards.

=== Acquisition, prétraitement &amp; stockage d'image / vidéo  ===
Une tendance (permise par la miniaturisation de nombreux composants) est de prétraiter la donnée à l'intérieur de la caméra pour réduire la bande passante, et offrir une image de qualité à l’opérateur du {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}}/Drone. L'inconvénient est un risque de trop allonger le délai de latence entre le réel et ce que voit l'opérateur. Un modèle de caméra (non subaquatique) de surveillance (MOBOTIX) corrige ainsi une acquisition hémisphérique d'image à 360° ou panoramique 180° pour donner une image moins déformée de la scène. Divers logiciels permettent cela.
{{...}}

=== Post-traitement de l'image ===
Le traitement le plus classique est l'amélioration des contrastes et des couleurs, plus ou moins automatisable.

Des robots subaquatiques munis de caméras spéciales dressent maintenant en quelques heures une cartographie 3D d’épave d’un fond qui aurait demandé des jours ou semaines de travail et beaucoup d’argent aux archéologues sous-marins. Les images sont rassemblées (''[w:en:Image stitching|stitching'') par un logiciel informatique qui calcule finement la topographie du fond et des objets qui y reposent. Le logiciel ne peut toutefois pas « deviner » ce qui est enfoui dans le sédiment. Au large de la Sicile, trois épaves antiques ont ainsi été récemment explorées. L’une, datée du IIIème siècle transportait des blocs et colonnes de marbre éparpillés autour de l’épave. Elle mesurait probablement 32 à 40 mètres de long  (un véritable cargo pour l’époque)&lt;ref&gt;Michael Price (2017 [http://www.sciencemag.org/news/2017/10/image-stitching-technique-lets-scientists-explore-shipwrecks-dry-land  Image ‘stitching’ technique lets scientists explore shipwrecks from dry land] Science News,  20 octobre  2017&lt;/ref&gt;.

=== Interactions homme-machine  ===
Une piste émergente est la vision 3D associée à la ''[[w:en:Telexistence|téléxistence]]'' : elle demande deux caméras et plus de puissance de calcul et plus de capacité de transmission de flux (pour traiter l'image stéréo en temps réel), mais elle semble utile pour
* des déplacements plus précis ;
* une éventuelle capacité de détection et évitement automatique d'obstacles dont la distance, taille, forme, profondeur sont mieux appréciées&lt;ref&gt;. Lagisetty; N. K. Philip; R. Padhi; M. S. Bhat (28-30 Aug. 2013) ''Object detection and obstacle avoidance for mobile robot using stereo camera '' ;  Control Applications (CCA), 2013 IEEE International Conference on ; DOI: 10.1109/CCA.2013.6662816 ; ([http://ieeexplore.ieee.org/document/6662816 résumé])&lt;/ref&gt; ;
* une meilleure appréhension du milieu par l'opérateur (via casque de vision 3D ou écran autostéréoscopiques (AS) à vues multiples qui permettent à plusieurs téléspectateurs de voir des images 3D stéréo, sans lunettes ni casque), avec éventuelle possibilité d'interagir avec des objets 3D réels ou virtuels visibles sur l'écran (au moyen d'un curseur manuel ou bientôt par des gestes de la main)&lt;ref&gt; Z.Y. Alpaslan &amp; A.A. Sawchuk (2004) ''Multiple camera image acquisition models for multi-view 3D display interaction'' (2004 ) ''Multimedia Signal Processing'', 2004 IEEE 6th Workshop on ; conférence du 29 Sept.-1 Oct. 2004 ; DOI: 10.1109/MMSP.2004.1436542 &lt;/ref&gt; ;
* évoluer dans le noir (via sonar et logiciel de reconstitution de l'environnement physique du {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}})&lt;ref&gt;Scaradozzi, D., Sorbi, L., &amp; Zoppini, F. (2014, September). ''[http://ieeexplore.ieee.org/xpls/abs_all.jsp?arnumber=6924357 3D video streaming from a Remotely Operated Vehicle]''. In Education and Research Conference (EDERC), 2014 6th European Embedded Design in (pp. 50-54). IEEE ([http://ieeexplore.ieee.org/xpls/abs_all.jsp?arnumber=6924357 résumé])&lt;/ref&gt;.  L'impression de 3D ou de panorama peut aussi être reconstituée ([[w:en:Image-based modeling and rendering|Image-based modeling and rendering]]&lt;ref&gt;Sebastian Knorr; Thomas Sikora (2007) ''An Image-Based Rendering (IBR) Approach for Realistic Stereo View Synthesis of TV Broadcast Based on Structure from Motion'' (conférence faite le 16 Sept.-19 Oct. 2007), Image Processing, 2007. ICIP 2007. IEEE International Conference on DOI: 10.1109/ICIP.2007.4379649  ([http://ieeexplore.ieee.org/document/4379649 résumé])&lt;/ref&gt;)

=== Protocoles de test et d'étude de retour d'expérience  ===
Voir aussi la fiche 4 « [[Recherche:Mise_au_point_d'un_drone_subaquatique/Fiche/Retours_d'expérience|''Retours d'expérience'']]» 
{{...}}

=== Exemples d’utilisation des {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} et des mini-{{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}}  ===
'''{{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} de grande taille''' (et lourds)
* océanographie, cartographie et exploration d’environnements subaquatiques
* inspection (de citernes, coques, barrages, conduites ou câblés immergés, intérieur de conduites en eau, installations portuaires ou offshore industrielles ou aquacoles, recherche de boites noires, munitions immergées, etc.).
* usages militaires (dont déminage)

'''Mini-ROvs'''
* archéologie subaquatique (ex : [http://www.lemonde.fr/sciences/article/2014/12/08/un-premier-robot-archeologue-sous-marin_4536635_1650684.html Article du journal Le Monde : un-premier-robot-archeologue-sous-marin]) ;
* usages de loisirs ou d'assistance à la pêche, ce qui pose des questions d’[[w:éthique environnementale|éthique environnementale]];
* usages scientifiques divers ; Ainsi un &quot;''RangerBot''&quot; (cofinancé par Google) a été récemment mis au point (2018) pour des missions scientifiques &quot;complexes&quot; dans les récifs coralliens (ex: suivi du blanchissement, de la qualité de l'eau, d’espèces invasives, de la pollution ou de l'ensablement…), voire pour y repérer et éliminer les [[w:acanthasters|acanthasters pourpres]] (via l’injection d’un poison, ([[w:Thiosulfate-citrate-bile salts-sucrose agar|Thiosulfate-citrate-bile salts-sucrose agar]], un [[w:Acide biliaire|acide biliaire]])&lt;ref&gt;Sciences et Avenir &amp; AFP (2018) article ''[https://www.sciencesetavenir.fr/animaux/un-drone-oceanique-pour-sauver-la-grande-barriere-de-corail_127124 Un drone océanique pour sauver la Grande barrière de corail]''| 31.08.2018 | [https://www.youtube.com/watch?time_continue=3&amp;v=7zjKTvj0lB4 ''RangerBot: The Robo Reef Protector]'' (vidéo/You Tube, mise en ligne le 30 août 2018)&lt;/ref&gt;{{,}}&lt;ref&gt;Dr Matt Dunbabin (2018) [https://www.barrierreef.org/science-with-impact/swiss-army-knife-for-the-great-barrier-reef Robo reef protector to save the ReefRangerBot] ; www.barrierreef.org&lt;/ref&gt;{{,}}&lt;ref&gt;[https://biopixel.tv/cotsbot-robo-reef-protector-to-save-the-reef-from-the-crown-of-thorns-starfish/ ''Robo reef protector to save the Reef from the Crown-of-Thorns Starfish''] ; Biopixel.tv&lt;/ref&gt;;
* inspection d’installations aquacoles ([[w:biofouling|biofouling]], existence de parasitoses).

Remarque : Aucun {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} ne semble avoir été à ce jour doté de capacité de microphotographie ou de microscopie.

=== Amphibots anguilliformes (l’exemple d'Envirobot) ===
Des chercheurs de l’''[[w:fr:École polytechnique fédérale de Lausanne|École polytechnique fédérale de Lausanne]]'' (EPFL) ont codéveloppé un robot-anguille nageur (de surface) destiné à détecter des sources de pollution dans l’eau, baptisé Envirobot (dans le cadre du programme [http://www.nano-tera.ch/ Nano-Tera] : Engineering complex systems for health, security, energy and the environment)&lt;ref name=Envirobot2017/&gt;

Cette plateforme robotique de démonstration (Envirobot) pourra échantillonner et mesurer automatiquement divers paramètres de qualité de l'eau grâce à des capteurs optiques, physiques, chimiques et biologiques. Les chercheurs utilisent des Amphibots (robots anguilliformes segmentés) qui seront améliorés en termes d'efficacité énergétique, de programmation de décision sensorielle et de possibilités communiquantes et de miniaturisation. Des moyens d’arpentage en autonavigations permettent de programmer des missions, par exemple de mesure de gradients de pollution chimique ou biologique d’un plans d'eau (en surface pour le moment)&lt;ref name=Envirobot2017/&gt;. 

Le robot comprend des chambres [[w:fr:microfluidique|microfluidiques]] faciles à interchanger. Divers capteurs (physiques, optiques, chimiques et biocapteursà d’informations d’intérêt bioécotoxicologiques sont testés (pour deux modes de fonctionnement). Puis dans la mesure du possible ils seront miniaturisés. Le projet cherche à produire des biocapteurs à temps de réponse rapide (ms min), qui pourraient en temps réel guider le robot vers une source de pollution (par exemple en exploitant la chimiotaxie bactérienne, des réactions de bioluminescence, des chimiorécepteurs d'insectes, l’observation en temps réel des réactions cardiaques et musculaires de ''[[w:fr:Daphnia magna|Daphnia magna]]'')&lt;ref name=Envirobot2017&gt;[http://www.environnement-magazine.fr/biodiversite/article/2017/12/07/116262/robot-nageur-pour-traquer-pollution.php Des chercheurs de l’École polytechnique fédérale de Lausanne (EPFL) ont codéveloppé un robot-anguille nageur capable de détecter les sources de pollution dans l’eau, baptisé Envirobot] dans le cadre du programme [http://www.nano-tera.ch/ Nano-Tera] (engineering complex systems for health, security, energy and the environment)&lt;/ref&gt;...

=== Bioinspiration &amp; biomimétique  ===
&lt;gallery&gt;
Anguilla anguilla.jpg|''[[w:Anguilla anguilla|Anguilla anguilla]]''
Manta rays, Maldives.png|''[[w:Manta birostris|Manta birostris]]''
Guelldemar.jpg|[[w:Poisson coffre|Poisson coffre]]
FMIB 52096 Skeleton of the Cowfish, Lactophrys tricornis (Linnaeus).jpeg|Squelette osseux de ''[[w:Lactophrys tricornis|L. tricornis]]''
&lt;/gallery&gt;
Parmi les solutions robotiques les plus élégantes et esthétique figurent les réalisations de l'entreprise Festo (https://www.youtube.com/watch?v=SKJybDb1dz0).
* '''Poissons''' : osseux ou cartilagineux et de formes variées, ils sont une source d'inspiration ancienne et fréquente en raison de leurs exceptionnelles capacités de stabilisation (flottabilité neutre), d’accélération (jusqu’à 20 fois la gravité) et de vitesse (plus de {{unité|70|km/h}}), de [[w:manœuvrabilité|manœuvrabilité]] (« virage à 180° sans ralentir et sur des rayons de courbure de l’ordre du dixième de leur longueur, tandis que les véhicules actuels doivent ralentir de moitié et prendre des rayons de courbures de l’ordre de 10 fois leur longueur », d'efficience énergétique (rendement environ 10 fois meilleur que ceux des meilleurs sous-marins), etc. L'anguille est l'un des modèles très utilisé&lt;ref&gt;Frédéric Boyer, Mazen Alamir, Damien Chablat, Wisama Khalil, Alban Leroyer, et al. (2006), [https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00186672/file/TI_19_01_06.pdf ''Robot anguille sous-marin en 3D'']. Techniques de l’Ingénieur, Édition Techniques de l’Ingénieur, pp.S 7 856:1-16&lt;/ref&gt;, mais la raie ou des poissons caranguiformes ou le poisson coffre ont aussi été source de bioinspiration. Dans le domaine de la [[w:Microrobotique|microrobotique]], le [[w:Poisson coffre|poisson coffre]] parce qu'adapté aux  eaux turbulentes a inspiré des micro-véhicules sous-marins (MUV) ; dispositif [[w:électromécanique|électromécanique]] inséré dans un corps rigide propulsé par une queue oscillante, dirigé par une paire de nageoires latérales indépendantes. L'objectif était la détection et l'étude de [[micro-organismes]] marins, l'exploration d'[[w:épave|épaves]], l'inspections de conduites ou la contribution à des réseaux de capteurs subaquatiques&lt;ref&gt;Deng, X., &amp; Avadhanula, S. (2005, avril). ''Biomimetic micro underwater vehicle with oscillating fin propulsion: System design and force measurement''. In Robotics and Automation, 2005. ICRA 2005. Proceedings of the 2005 IEEE International Conference on (pp. 3312-3317). IEEE. ([http://ieeexplore.ieee.org/abstract/document/1570621/ résumé])&lt;/ref&gt;{{,}}&lt;ref&gt;  Parasar Kodati; Xinyan Deng (2006) ''Experimental Studies on the Hydrodynamics of a Robotic Ostraciiform Tail Fin'' IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems Year: 2006 Pages: 5418 - 5423, DOI: 10.1109/IROS.2006.282109 Cited by: Papers (7) IEEE Conference Publications&lt;/ref&gt;{{,}}&lt;ref&gt;Parasar Kodati &amp; Xinyan Deng (2006), ''Towards the Body Shape Design of a Hydrodynamically Stable Robotic Boxfish  '' IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems Year: 2006 Pages: 5412 - 5417, DOI: 10.1109/IROS.2006.282108 Cited by: Papers (6) IEEE Conference Publications&lt;/ref&gt;{{,}}&lt;ref&gt;Vidéos : [https://www.youtube.com/watch?v=qtRPfv0xr1s ''Biomimetic Robotic Boxfish]''- First Swim Demo Video par Zijian Wang &amp; Zerui Wang (Université de Pékin)- First Swim Demo, 4 janvier 2013&lt;/ref&gt;.
* Mammifères aquatiques ou subaquatiques (cétacés, phoques, otarie...)
* oiseaux marins nageurs/plongeurs (manchot, pingouin, cormoran...),
* Crustacés : dotés d'une carapace et de capacités de préhension (pinces) et parfois de marche (crabes, araignées, langoustes...)
* Poulpes : souples et dotés de tentacules préhensiles et d'une excellente vision
* Mollusques : avec ou sans coquilles
* méduses : simplicité, mais mouvements non régulier et manoeuvrabilité médiocre
* algues : souples et solides pour certaines (laminaires), flotteurs intégrés chez les fucacées, pseudomucus diminuant la résistance au frottement
* plancton :  infinité de structures et solutions inspirantes pour la microrobotique et la nanorobotique

=== Maniabilité ===
Parmi les petits robots disponibles au début des années 2010 et correspondant à nos besoins (3 à 50 kg) ceux qui associent une bonne maniabilité et mobilité (les axe ou de mobilité pilotée vont de 2 à 6 dimensions) mais ce sont les plus lourds et gros et souvent très coûteux&lt;ref&gt;Maalouf, p 18/189&lt;/ref&gt;. De 2010 à 2017 de grands progrès ont été faits en vitesse et maniabilité (avec par ex l'open rov et le scubo de l'ETH de Zurich&lt;ref&gt;https://www.youtube.com/watch?v=8CN4L_s7o-M ; https://www.youtube.com/watch?v=-g2O8e1j3fw  https://www.youtube.com/watch?v=JV9asieqQjM&lt;/ref&gt;, mais ils restent bruyants et vulnérables aux algues filamenteuses et fils. Le Scubo est encore trop gros pour explorer les anfractuosités, etc.

Certains {{abréviation|ROV|remotely operated vehicle|en}} peuvent
* s’immobiliser (&quot;freeze&quot; option) à une profondeur définie (« auto-depth option » ou à une altitude définie par rapport au fond (« auto-altitude option » ) ;
* utiliser une ou deux pinces pour se stabiliser s’il existe devant eux un objet leur permettant de s'y accrocher (en économisant alors l'énergie de la batterie).

=== Autres sujets  ===
* '''Approches collaboratives''' : Il y a tant à faire dans ce domaine, qu'elle parait incontournable. &lt;br /&gt;De nombreux projets de ce type se sont appuyés sur une collaboration entre une équipe et des universités, écoles d'ingénieurs, {{abréviation|IUT|institut universitaire de technologie}}, {{abréviation|BTS|brevet de technicien supérieur}}, entreprises; sciences participatives et citoyennes, etc. Certains participent à des concours dotés de prix qui peuvent susciter une émulation, présentent une date butoir et représentent parfois un retour d'images et de fonds.&lt;br /&gt; Nous pouvons/devons veiller à être '''[[w:interopérabilité|interopérable]]''' avec les projets proches, dont par exemple avec [[w:OpenSeaMap|OpenSeaMap]]. Nos données pourraient présentent aussi un intérêt en termes de prospective écosystémique et pour d'autres projets comme l’évaluation et la modélisation ou l'étude des impacts ou de grands accidents marins (marées noires...), tsunamis ([https://fr.ulule.com/caribewavefwi/ ex]), réchauffement, acidification...  
 
à compléter tant que de besoin...

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      </contributor>
      <minor />
      <comment>Robot : conversion/correction du HTML</comment>
      <origin>987029</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="84190" sha1="r9ja6fs3tpphqdq4jw2xssk3fo5rrrx" xml:space="preserve">__EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__
&lt;noinclude&gt;{{SC|2016|04}}&lt;/noinclude&gt;

== [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/14|Tech News: 2016-14]]  ==

&lt;section begin=&quot;technews-2016-W14&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;fr&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique Wikimédia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/14|D’autres traductions]] sont disponibles.

'''Changements récents'''
* Il est possible de filtrer [[m:Help:Special page#Logs|Spécial:Journal]] avec plus de critères. [https://phabricator.wikimedia.org/T20954]
* Les wikis Wikimedia comptent les visiteurs d'une nouvelle manière. [http://blog.wikimedia.org/2016/03/30/unique-devices-dataset/]

'''Changements cette semaine'''
* &lt;span title=&quot;Sujet récurrent&quot;&gt;[[Fichier:Octicons-sync.svg|12px|link=]]&lt;/span&gt; La [[mw:MediaWiki 1.27/wmf.20|nouvelle version]] de MediaWiki sera sur les wikis de test et sur MediaWiki.org à partir du 5 avril. Elle sera sur tous les projets, excepté la majorité des Wikipédias, à partir du 6 avril. Elle sera déployée sur toutes les Wikipédias le 7 avril ([[mw:MediaWiki 1.27/Roadmap|calendrier]]).

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/Ambassadors|ambassadeurs techniques]] et publiées par le [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/14|Traduire]] • [[m:Tech|Obtenir de l'aide]] • [[m:Talk:Tech/News|Donner votre avis]] • [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’inscrire ou se désinscrire]].''
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt; &lt;section end=&quot;technews-2016-W14&quot;/&gt; 4 avril 2016 à 22:13 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Johan (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=15501448 --&gt;

== Espace-nom sur la Wikiversité anglophone  ==

Chers vous tous,

Sur la Wikiversité anglophone, il y a un débat en ce moment sur le projet de mettre en place un espace-nom &quot;Recherche:&quot; : https://en.wikiversity.org/wiki/Wikiversity:Research_Namespace.

J'ai voté pour et mis quelques arguments, mais je suis plutôt nouveau, et ça serait bien qu’il y a des avis de contributeurs expérimentés (que ce soit pour ou contre, d'ailleurs) pour alimenter le débat.

Si vous avez un peu de temps pour ça, je pense que ça pourrait être très enrichissant. Qu'en pensez-vous ? 

[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 6 avril 2016 à 09:22 (UTC)
:Je n'ai pas changé d'avis depuis [[Projet:Wikiversité/Espace de noms « Recherche » 2]]. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 6 avril 2016 à 13:06 (UTC)
::La discussion se trouve plutôt sur [[:en:Wikiversity talk:Research Namespace|cette page]]. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 7 avril 2016 à 22:21 (UTC)

== Recherche sur le projet Wikiversity  ==

Hello,

J'entreprends actuellement un travail sur les communautés d'utilisateurs et j'aimerais recueillir quelques infos sur le terrain (auprès des contributeurs/ utilisateurs) sur l'organisation de ce projet. Y-a-t-il quelqu'un pour me répondre?

En fait; la recherche en question commence par la compréhension de l'interface de discussion...Je n'ai pas tout dit.Dans le civil mon nom est Laurent et je suis à (et de) Nantes. {{non signé|PlymouthCad}}
:Il n'y a aucun rassemblement de prévu pour les Wikiversitaires de Nantes. Il faudrait regarder du côté de {{WP|WP:Rencontres}}. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 7 avril 2016 à 14:22 (UTC)

== faire fonctionner le chat IRC  ==

Hello je n'arrive pas à contacter les utilisateurs sur le chat IRC.Quand je clique sur le nom de quelqu'un puis 'message privé' j'obtiens une page blanche. quelqu'un pourrait-il m'expliquer la marche à suivre?
:{{WL|Guide d'utilisation de l'IRC}}. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 7 avril 2016 à 14:56 (UTC)
::Il est très indélicat de contacter directement une personne par la « partie » privée de l’IRC, c’est un peu comme aller directement chez lui, alors que l’IRC, c’est public, c’est la terrasse d’un café... De plus, lorsque vous ouvez une fenêtre privée, l’autre personnes n’est pas informé que vous voulez converser avec lui. Enfin dernier point, également important, ce n’est pas parce que vous « voyez » quelqu’un de connecter qu’il est devant son écran. Cela veut tout simplement dire que son ordinateur est allumé. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 7 avril 2016 à 19:27 (UTC)

== Merci pour l'aide à l’utilisation du système messagerie  ==

Merci Jack Potte. Je suis allé sur la par Communauté Wikimedia ouest (de la France) et ai laissé un message.Comment se fait-il qu’il n'y ait pas de bouton pour répondre à votre message, directement A COTE dudit message? Je dois aller en bas sur le bouton 'Ajouter un message'. Du coup je ne sais pas dans quel fil mon envoi va apparaître...

Cordialement
:{{fait}} Ce manque d'ergonomie ayant régulièrement été un obstacle, j'ai pris la liberté de modifier le lien de la barre de gauche pour qu’il pointe directement sur la sous-page [[Wikiversité:La salle café/avril 2016]], modifiable par tous. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 7 avril 2016 à 17:55 (UTC)
::Très bonne idée. Thierry --[[Spécial:Contributions/109.11.116.44|109.11.116.44]] 7 avril 2016 à 19:02 (UTC)

== Dépendance à un contenu externe dans la page Comprendre l'accessibilité  ==

Merci de donner votre avis sur [[Discussion:Comprendre l'accessibilité : activités]]. --[[Utilisateur:Psychoslave|Psychoslave]] ([[Discussion utilisateur:Psychoslave|discussion]]) 8 avril 2016 à 11:28 (UTC)
:D'un point de vue général, si le contenu était sur Wikisource cela ne m'aurait pas dérangé. C'est l'absence de contrôle sur le site externe qui pose le plus de problème : il pourrait potentiellement être remplacé par du phishing sans crier gare, et nos œuvres seraient alors détournées à notre insu pour attirer les internautes dans une escroquerie dont nous serions les complices. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 8 avril 2016 à 12:18 (UTC)

== Extension de Wikiscan à d'autres projets  ==

Bonjour, la [[m:Grants:IEG/Wikiscan_multi-wiki/fr|demande de bourse pour l'extension de Wikiscan à d'autres projets]] est faite (je vous en avait parlé en février [https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:La_salle_café/février_2016&amp;oldid=532575#Projet_d.27extension_de_Wikiscan_.C3.A0_d.27autres_projets]). Le but est de supporter dans un premier temps tous les plus gros wiki, cela ferait actuellement 336 wikis qui totalisent au moins {{formatnum:100000}} éditions, c’est le cas de tous les projets francophones, il y a une liste des futurs sites à la fin. Ce projet sera également l'occasion de réaliser plusieurs améliorations. Il y a une section à la fin pour ceux qui soutiennent le projet. Je cherche de l'aide pour la [[m:Grants:IEG/Wikiscan_multi-wiki|version en anglais]], j'ai fait ce que j'ai pu mais mon niveau est insuffisant, il faudrait de bonnes âmes pour la corriger et l'améliorer car le jury ne va probablement lire que celle-là. Merci. [[Utilisateur:Akeron|Akeron]] ([[Discussion utilisateur:Akeron|discussion]]) 8 avril 2016 à 17:19 (UTC)
:Je notifie ceux qui ont indiqué être favorables au projet en février dernier et qui n'ont peut-être pas vu ce message {{notif|Crochet.david|Thierry613|Lionel Scheepmans|Claude Reid}} si vous voulez soutenir la demande de bourse sur meta c’est [[m:Grants:IEG/Wikiscan_multi-wiki#Endorsements|ici]]. Merci. --[[Utilisateur:Akeron|Akeron]] ([[Discussion utilisateur:Akeron|discussion]]) 11 avril 2016 à 14:59 (UTC)

== Gestion des archives  ==

Aujourd'hui je me suis permis de mettre à jour {{M|archives}} par une version en Lua, qui affiche automatiquement les dates et donc ne nécessite plus d'y renseigner les pages d'archives manuellement chaque année.

Toutefois il reste le problème des archives par renommage. Par exemple dans [[WV:RA]], contrairement à la salle café, nous écrivons dans une page courante à archiver manuellement quand on y pense. Je me propose donc d'uniformiser le système de la salle café (par années ou par mois sans changer la période actuelle) aux autres [[:Catégorie:archives]] afin d'en finir avec l'archivage manuel. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 9 avril 2016 à 15:09 (UTC)
:Vas y ! [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 10 avril 2016 à 07:13 (UTC)
::{{fait}} [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 10 avril 2016 à 12:36 (UTC)

== Présentation du projet sur la mise en place de mallettes pédagogiques inclusives  ==

=== Qui sommes-nous ?  ===

Le FIPHFP (Fond d'Insertion pour les Personnes Handicapées de la Fonction Publique) nous a missionnés pour produire des projets en rapport avec l’accessibilité numérique et le handicap. Ce projet porte sur l’orthopédagogie, sous la forme de mallettes pédagogiques inclusives. Il a été initié par les chefs de projets du programme accessibilité du Cned.&lt;br /&gt;

Je suis Virginie Ventana, chef de projet, responsable du projet « orthopédagogie ».&lt;br /&gt;

=== Pourquoi un projet de mallettes pédagogiques inclusives ?  ===

La loi de 2005 privilégie l’inclusion et l’adaptation en milieu ordinaire grâce à un Projet Personnalisé de Scolarisation ou à un Plan d’Accompagnement Personnalisé depuis 2013. De ce fait, depuis 2006, le nombre d'élèves en situation de handicap scolarisés en milieu ordinaire a plus que doublé. Plus de {{formatnum:260000}} élèves en situation de handicap sont scolarisés en milieu ordinaire à la rentrée 2015.&lt;br /&gt;

Cette loi a entrainé une évolution du rôle de l’enseignant de classe ordinaire qui doit :&lt;br /&gt;

''Prévenir :''
* Actions de prévention pour réduire les facteurs de difficultés d’apprentissage&lt;br /&gt;

''Repérer :''
* Identification des élèves susceptibles de développer des difficultés ou ayant des troubles (dys, apprentissages, comportements…)&lt;br /&gt;

''Faire de l’adaptation scolaire :''
* Mise en place de conditions propices à l’apprentissage (différenciation, environnement de la classe…)
* Intervention au niveau du développement des stratégies cognitives et métacognitives (mémoire, raisonnement...)&lt;br /&gt;

N’ayant pas de formations spécialisantes, de nombreux enseignants de classe ordinaire se retrouvent démunis face à des élèves présentant des troubles, qu’ils soient cognitifs, comportementaux ou autre. &lt;br /&gt;

Ces mallettes ont pour but d’aider les enseignants de classe ordinaire à travailler avec des élèves ayant des troubles cognitifs, des troubles dys, des troubles du comportement, des enfants précoces, des élèves en grandes difficultés, etc. Ces mallettes pourront aussi aider les enseignants travaillant dans le milieu spécialisé ayant besoin d’inclure leurs élèves en classe ordinaire ou n’ayant pas encore eu de formations spécialisantes.&lt;br /&gt;

Chaque mallette aura un thème différent mais s’organisera dans une continuité et dans un but commun : aider les enseignants à instaurer une culture inclusive permettant aux élèves et aux enseignants de « bien vivre l’école » en faisant progresser TOUS les élèves tant sur le travail scolaire que sur le plan comportemental, la confiance en soi, etc. &lt;br /&gt;

=== Les besoins des enseignants recensés  ===

Selon une étude menée auprès de 746 enseignants du premier degré de classe ordinaire et spécialisée, les professeurs des écoles auraient besoin de :
* Temps de préparation
* Avoir des connaissances sur des thèmes particuliers : les troubles du comportement, la différenciation, les troubles dys, la gestion de la classe, la motivation, la compréhension en lecture
* Pour chaque thème, des outils clés en main, de la méthodologie, des jeux pour la classe, des exemples concrets, des outils imprimables et modifiables, des projets de classe,
* Des aides pédagogiques réalisées par des enseignants de classe ordinaire et spécialisée ainsi que par des professionnels de la santé.&lt;br /&gt;

=== Solutions proposées  ===

'''Un dispositif collaboratif :'''
Le projet « mallettes pédagogiques inclusives » permettrait de développer une offre de mallettes pédagogiques créées par des enseignants de classe ordinaire, des enseignants spécialisés et professionnels de la santé. De là, découle un dispositif collaboratif qui offrira les services suivants :
* Choix et exemples variés de supports pédagogiques adaptés
* Des outils clés en main pour les mettre en œuvre rapidement dans la classe
* Des méthodologies structurées, efficaces et illustrées par des exemples
* Des conseils et des outils pour aider les enseignants à gérer les différents troubles et difficultés scolaires.
* Des conseils pour améliorer les relations avec les enfants et leurs parents.&lt;br /&gt;

=== Public cible  ===

Ce projet est à destination des enseignants de classe ordinaire et de classe spécialisée.&lt;br /&gt;

=== Les objectifs  ===

Améliorer la prise en charge scolaire des élèves en situation de handicap et en grandes difficultés scolaires :
* Apporter aux enseignants les connaissances nécessaires pour accueillir des élèves en situation de handicap dans leur classe
* Un travail adapté aux besoins spécifiques des élèves&lt;br /&gt;

=== Durée ===

Une durée de 2h par mallette pédagogique inclusive.&lt;br /&gt;

=== Médias ===

Nous mettrons à disposition des vidéos, du texte, des photos.&lt;br /&gt;

=== Communauté ===

Nous avons choisi la Wikiversité parce qu’elle est l’une des rares plateformes où la contribution est largement encouragée.
Nous souhaitons que chaque personne qui accédera à la page de notre dispositif puisse être libre et puisse disposer des mêmes droits en ce qui concerne l'amélioration qualitative et quantitative des contenus qui y seront intégrés. L’atout majeur qu’offre la Wikiversité est la pérennité des contenus intégrés. Or, notre objectif principal est que notre projet puisse perdurer dans le temps et puisse être enrichi par la communauté de contributeurs enseignants. &lt;br /&gt;

=== Utilité sociale  ===

De ce dispositif, sont attendus les impacts suivants :
''Pour l’enseignant :''
* Liberté pédagogique
* Intervention de manière structurée et efficace
* Gain de temps
* Amélioration du dialogue avec les élèves et leurs parents&lt;br /&gt;

''Pour chaque élève de la classe :''
* Réussite individuelle et collective
* Prise en compte de ses différences
* Progression à son rythme
* Motivation et confiance en soi&lt;br /&gt;

''Pour TOUS :''
* Bien vivre l’école &lt;br /&gt;

En résumé, nous souhaitons favoriser, d'une part, une inclusion plus sereine et plus efficace des élèves en situation de handicap et d’autre part, la progression scolaire des élèves en grandes difficultés, en permettant la prise en compte des différences.

{{u|Vvirginie}}

:Bienvenue !
:Ça me paraît une très bonne idée et un très beau projet. --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 11 avril 2016 à 08:49 (UTC)
::Bonjour [[utilisateur:Vvirginie|Vvirginie]] et bienvenue sur au sein du projet Wikiversité. Votre projet me tiens à cœur en raison de mon histoire personnelle. J'ai en effet du attendre longtemps avant de pouvoir parler de ma dysorthographie. Pour la petite histoire, quand j'ai eu l'age d'écrire sans faute, on ne parlais pas de dysorthographie, à peine de dyslexie. Mon grand père professeur français, avec tout l'amour qu’il avait pour moi, a voulu m'apprendre l'orthographe en appliquant les méthodes standard. Beaucoup de pleures, de frustration pour rien. Il a finalement eu pitié de ma détresse et a déclarer avec humour que mes manquements en orthographe étaient une forme d'art.
::Il est donc peut-être faut de dire que « le nombre d'élèves en situation de handicap scolarisés en milieu ordinaire a plus que doublé ». La réalité probable à mes yeux c’est qu’il y a aujourd'hui, une attention particulière portée aux enfants sur un ensemble de handicaps qui étaient connus au par avant mais encore reconnus. Les cas de handicaps sont donc devenus reconnaissables et donc dénombrables à leur juste quantité. Un handicap tel que la dysorthographie ne fonction pas en positif négatif telle qu'on peut le détecter chez les enfants trisomiques. Il y a de la dyslexie plus ou moins forte selon les cas qui peut être combiner à d'autres troubles. Enfin, je dirais aussi que ce que l’on considère parfois pour un trouble peut être aussi une réaction d'un enfant normal à des aberrations pédagogiques.
:: Je me demande parfois comment est-ce possible que l’on oblige encore aujourd’hui des enfant à resté calmes, assis, attentifs et concentrés, alors qu’il ont un corps qui ne demande qu'à bouger et un esprit instable avide de découverte sensorielles, affectives et sociales.
::Votre projet de mallettes pédagogiques inclusives en plus de leur fonction de support aux enfants soumis à un réel handicape pourra peut-être aussi faire réfléchir les enseignants sur de méthodes d'apprentissage moins coercitives et terme d'immobilisation du corps et d'expérimentation sensoriel et affectives et sociales.
::Au sujet des [[#Médias]]. Garder bien à l'esprit que les vidéos, les textes et les photos que vous comptez mettre à disponition au sein de la Wikiversité devront être libres de copy right pour pouvoir être publiée sous licence [https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.fr CC BY SA 3.0] et devront être téléchargée sur la [[commons:Main page|médiathèque commune à tous les projets de la fondation]].
::N'hésitez donc pas à demander conseille au bistro dès que vous vous poserez des questions, il y a en général toujours bien quelqu'un pour y répondre. Il arrivera aussi que certain contributeurs et particulièrement administrateurs du site vous interpelle au sujet de certaines erreurs dans la conception de votre projet pouvant porté préjudice à la maintenance ou la cohérence du projet global Wikiversité. Quant à la participation à proprement parler au niveau de l'élaboration du contenu de vos projet, on est chacun ici souvent très occupé sur des projets personnels. Il vous faudra donc certainement mobilisés de nouvelles personnes que celles déjà actives sur Wikiversité pour construire votre mallette.
::Bonne continuation en tout cas et ravis d'accueillir votre projet. Je suis très enthousiaste ! [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 14 avril 2016 à 20:28 (UTC)
:::Merci pour ces mots d'encouragement et les conseils. Je suis déjà en train de regrouper des enseignants spécialisés et de classe ordinaire pour venir alimenter le projet et créer des contenus pour les mallettes. Ce qui est important, c’est que ces mallettes seront bénéfiques à tous les enfants de la classe et non pas seulement à des élèves présentant des &quot;troubles&quot;. --[[Utilisateur:Vvirginie|Vvirginie]] ([[Discussion utilisateur:Vvirginie|discussion]])
::::C'est le projet qui vous remercie de l'avoir choisi et de le faire vivre [[Utilisateur:Vvirginie|Vvirginie]]. J'adhère à 100 % au fait que « ces mallettes seront bénéfiques à tous les enfants de la classe et non pas seulement à des élèves présentant des &quot;troubles&quot; » et ceci pour trois raisons :
::::* Cela évitera la stigmatisation des un envers les autres.
::::* Cela évitera aux enseignants de devoir faire cette distinction très ingrate entre avec et sans trouble.
::::* Et puis au delà du handicape proprement dit, il y a chez chaque êtres humains des habilités infiniment variables tant en termes de capacités physiques que de capacités intellectuelles. Le handicape, quand il n’est pas du à une cause pathologique ou externe à l'être, ne peut donc être qu'un seuil de compétence fixé arbitrairement.
::::Je crois aussi que le problème ne concerne pas tant la pédagogie que la société en générale. Nous vivons dans un monde de compétition où l'on ne cesse de se comparer les un aux autres, à l'école mais aussi dans le monde du travail et des loisirs. De plus nous somme baigner par un flux médiatique qui ne cesse de nous inviter à être autre chose que ce que l’on est, plus performant, plus beau, plus riche, plus intelligent plus puissant. On en est tous victimes quelque part. Il suffirait sans doute d'observer la disparition des expressions de joie sur le visage pour s'en rendre compte. Je ne parle bien sûr pas des selfies que l’on poste sur facebook, mais de tous ces visages que l’on croise dans notre quotidien. Je suis impatiens de voir apparaître vos premières éditions. N'hésitez pas non plus à créer un espace réservé pour la coordination de vos activités au sein de Wikiversité. Il existe déjà l'espace [[Projet:Pédagogie]] et il est tout à fait envisageable de créer un sous projet [[Projet:Pédagogie/mallettes inclusives]]. Je peux vous aidez à créer cette espace si besoin est. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 15 avril 2016 à 11:54 (UTC)
:::::Merci de me proposer votre aide [[Utilisateur:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]]. Je vais déjà commencer par présenter le projet aux enseignants et leur donner un aperçu de ce qui pourra être proposé sur le site pour leur donner envie de contribuer et de venir sur le site.
:::::Je veux bien que vous m'aidiez à créer ce sous-projet car j'avoue être un peu perdue et je ne voudrais pas faire n'importe quoi. --[[Utilisateur:Vvirginie|Vvirginie]] ([[Discussion utilisateur:Vvirginie|discussion]]) 18 avril 2016 à 10:35 (UTC)

== WikiConvention francophone 2016  ==

Organisée pour la première fois pour les locuteurs français, comme cela a été le cas, depuis plusieurs années dans les communautés germanophones, hispanophones, ou encore néerlandophones, la WikiConvention sera un événement dédié au partage de savoirs, de pratiques et de perspectives pour encourager les synergies et développer des stratégies d'enrichissement des projets Wikimedia en français.

Wikimédia France et Wikimedia CH se sont d'ores et déjà engagé à soutenir l'événement et d'autres partenaires devraient suivre.

160 contributeurs sont attendus du 19 au 21 août à la Halle Pajol, Paris (18e arrondissement, quartier de la Chapelle).

Il est temps d'élaborer le programme. Pour cela, vous pouvez [[:m:WikiConvention francophone/2016/Soumissions|proposer une intervention]] ou [[:m:Talk:WikiConvention francophone/2016/Programme|émettre une suggestion]] de thème à aborder durant l'événement.

Pour les demandes de bourses, veuillez consulter la [[:m:WikiConvention francophone/2016/Bourses|page d'aide]] puis remplir le formulaire.

Calendrier :
* Appel à conférence : 11 avril au 15 mai
* Appel à bourses : 11 avril au 23 avril

Plus d'informations sur [[:m:WikiConvention francophone 2016/fr|meta]]

Contact :
info@wikiconvention.fr

En cas de besoin, n'hésitez pas à nous contacter.

Cordialement,&lt;br /&gt;
L'équipe de la WikiConvention Francophone 2016. [[Utilisateur:Pyb|Pyb]] ([[Discussion utilisateur:Pyb|discussion]]) 11 avril 2016 à 16:07 (UTC)
: Ce serait peut-être l'occasion de parler un peu de la wikiversité francophone, de ses précificités, des projets lié à des financements publiques qu'elle accueille, de l'avenir du projet en rapport aux avantages et inconvénient lié au travaux inédit. Y aurait d'autres personnes intéressés pour organiser et proposer cette intervention ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 14 avril 2016 à 22:24 (UTC)

== [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/15|Tech News: 2016-15]]  ==

&lt;section begin=&quot;technews-2016-W15&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;fr&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique Wikimédia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/15|D’autres traductions]] sont disponibles.
 
'''Changements récents'''
* L'éditeur visuel peut générer le wikicode d'images avec des options (telles que « thumb » ou « left ») dans votre langue. Vous pouvez demander sur Phabricator pour faire le changement afin que les options soient dans votre langue. [https://phabricator.wikimedia.org/T53852][https://phabricator.wikimedia.org/T116020]
* Les Wiktionnaires et Wikisources peuvent dorénavant utiliser l'éditeur visuel. C'est une fonctionnalité bêta optionnelle. Elle nécessite encore d'être développée pour mieux fonctionner avec ces projets. [https://phabricator.wikimedia.org/T48580][https://www.mediawiki.org/wiki/Help:VisualEditor/The_visual_editor_at_Wikisources_and_Wiktionaries]
* [[m:Objective Revision Evaluation Service|ORES]] utilise de nouveaux modèles. Les outils qui utilisent les prédictions d'ORES peuvent se comporter étrangement. ORES est aussi doté d'une nouvelle [[w:fr:Interface de programmation|API]]. [https://lists.wikimedia.org/pipermail/wikitech-l/2016-April/085258.html]
* L'éditeur visuel est dorénavant compatible avec les caractères de grec ancien. [https://phabricator.wikimedia.org/T130535]

'''Problèmes'''
* Un ''bug'' se produisait lors de l’utilisation des flèches du clavier avec les modèles dans l'éditeur visuel. Il est maintenant corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T128861]

'''Changements cette semaine'''
* &lt;span title=&quot;Sujet récurrent&quot;&gt;[[Fichier:Octicons-sync.svg|12px|link=]]&lt;/span&gt; La [[mw:MediaWiki 1.27/wmf.21|nouvelle version]] de MediaWiki sera sur les wikis de test et sur MediaWiki.org à partir du 12 avril. Elle sera sur tous les projets, excepté la majorité des Wikipédias, à partir du 13 avril. Elle sera déployée sur toutes les Wikipédias le 14 avril ([[mw:MediaWiki 1.27/Roadmap|calendrier]]).
* Le portail wikipedia.org va recevoir des correctifs de petits ''bugs'' et des améliorations. La plupart concernent le champ de recherche et la liste des suggestions, qui avaient été ajouté en mars. [https://phabricator.wikimedia.org/T130755]

'''Réunions'''
* &lt;span title=&quot;Sujet récurrent&quot;&gt;[[Fichier:Octicons-sync.svg|12px|link=]]&lt;/span&gt; Vous pouvez participer à la prochaine réunion avec l’équipe de l’Éditeur visuel. Au cours de cette réunion, vous pourrez indiquer aux développeurs quelles anomalies vous semblent les plus importantes. Cette réunion aura lieu le [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=19&amp;min=00&amp;sec=0&amp;day=12&amp;month=04&amp;year=2016 12 avril à 19 h (UTC)]. Voyez [[mw:VisualEditor/Weekly triage meetings|comment participer]].
* &lt;span title=&quot;Sujet technique&quot;&gt;[[Fichier:Octicons-tools.svg|15px|link=]]&lt;/span&gt; Vous pouvez participer à la prochaine réunion avec le comité d'architecture. Les thèmes de cette semaine sont l'[[phab:T130567|amélioration de l'inclusion de modèles pour Parsoid]] et [[phab:T114445|les modèles équilibrés]] (''balanced templates''). Cette réunion aura lieu le [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=21&amp;min=00&amp;sec=0&amp;day=13&amp;month=04&amp;year=2016 13 avril à 21 h (UTC)]. Voyez [[mw:Architecture meetings|comment participer]].

'''Changements à venir'''
* Wikimedia a un nouveau centre de sauvegarde à Dallas. En raison de travaux prévus sur celui-ci, il sera possible de lire mais pas de modifier les wikis pendant une courte période de temps les 19 et 21 avril. Cela commencera à 14 h UTC et durera 15 à 30 minutes. [[meta:Special:MyLanguage/Tech/Server_switch_2016]]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/Ambassadors|ambassadeurs techniques]] et publiées par le [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/15|Traduire]] • [[m:Tech|Obtenir de l'aide]] • [[m:Talk:Tech/News|Donner votre avis]] • [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’inscrire ou se désinscrire]].''
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt; &lt;section end=&quot;technews-2016-W15&quot;/&gt; 11 avril 2016 à 20:43 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Johan (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=15515435 --&gt;

== Bourses de Wikimédia France pour Wikimania 2016  ==

Bonjour,

Cette année, la Wikimania, le plus grand rassemblement international de contributeurs aux projets Wikimédia, se déroulera à Esino Lario, en Italie, du 24 au 26 juin (Cf. [https://wikimania2016.wikimedia.org/wiki/Main_Page site dédié] ), avec deux jours de Hackathon, les 22 au 23 juin.

Comme chaque année, Wikimédia France offre des bourses pour permettre à une partie d'entre vous de participer à cette rencontre. Si vous souhaitez bénéficier de ce dispositif, il vous faut remplir et retourner le formulaire que vous trouverez sur [[meta:Wikimédia_France/Bourses_Wikimania_2016#Allocation_criteria]]. Vous avez jusqu'à la fin du mois d'avril pour retourner vos réponses aux questions, en utilisant l'adresse suivante : wikimania-2016-bourses *at* lists.wikimedia.fr Après quoi, le jury, constitué pour l'occasion, précédera à l'arbitrage et rendra sa décision mi-mai.

En souhaitant vous voir nombreux à ce moment unique de vie du mouvement Wikimédia, pour le jury d'attribution des bourses Wikimania 2016

[[Utilisateur:Léna|Léna]] ([[Discussion utilisateur:Léna|discussion]]) 13 avril 2016 à 15:47 (UTC)

== Statistiques de consultation  ==

J'ai ajouté ce matin dans nos liens le nouvel outil de consultation des statistiques, plus performant. On peut y voir par exemple que sur les {{formatnum:19114}} visiteurs de la page d'accueil depuis 30 jours :
* {{formatnum:15664}} étaient des humains.
** dont [https://tools.wmflabs.org/pageviews/#project=fr.wikiversity.org&amp;platform=mobile-web&amp;agent=user&amp;range=latest-30&amp;pages=Wikiversité:Accueil {{formatnum:3812}} depuis des mobiles].
Et que [https://tools.wmflabs.org/pageviews/#project=fr.wikiversity.org&amp;platform=all-access&amp;agent=all-agents&amp;range=latest-30&amp;pages=Wikiversité:Accueil Wikiversité:La_salle_café la salle café ne la concurrence pas trop]. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 15 avril 2016 à 08:30 (UTC)
:Waw ! Super bien. Dis-moi [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]], existe-t-il un endroit ou l'on peut voir la liste des page de Wikiversité par importance de consultation ? Cela pourrait nous être très utile pour fixer des priorités au niveau de la maintenance. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 15 avril 2016 à 11:12 (UTC)
::Les données sont peut-être disponibles [[stats:wikiversity/EN/Sitemap.htm|ici]] en bas à gauche en face de « RAW data » pour les données de modifications et [https://dumps.wikimedia.org/other/analytics/ là] pour les données de consultations. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 15 avril 2016 à 11:26 (UTC)
:::http://wikistics.falsikon.de/latest/wikiversity/fr/ n'est plus à jour depuis août 2009. Ce serait facile pour moi de le recréer à partir des données mentionnées par DCrochet, mais je n'ai pas le temps. Donc {{wt|DIY}}. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 15 avril 2016 à 12:28 (UTC)
::::Merci à tous les deux. Un jour je me lancerai dans la programmation informatique. Mais c’est pas pour tout de suite. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 15 avril 2016 à 12:54 (UTC)

== No editing 2 times this week  ==

&lt;div lang=&quot;fr&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
 
La [[foundation:|Fondation Wikimedia]] va tester son nouveau centre de données à Dallas. Cela permettra à Wikipédia et aux autres wikis Wikimedia de rester en ligne même après une catastrophe. Pour être certain que tout fonctionne, le département Technologie de Wikimedia doit réaliser un test planifié. Ce test permettra de prouver qu’il est possible de passer d'un centre de données à un autre. Cela demande à ce que toutes les équipes soient prêtes à réparer n'importe quels problèmes imprévus. 

Le trafic passera au nouveau centre de données le '''mardi 19 avril'''.&lt;br /&gt; Le '''jeudi 21 avril''', le trafic reviendra au centre de données principal. 

Malheureusement, à cause de quelques limitations dans [[mw:Manual:What is MediaWiki?|MediaWiki]], les modifications de pages devront être arrêtées durant ces deux changements. Nous nous excusons pour ce dérangement et nous travaillons à le minimiser dans le futur. 

'''Pendant une courte période, vous pourrez lire les wikis, mais pas les modifier.'''
* Vous ne pourrez plus modifier les wikis durant une période de 15 à 30 minutes les 19 et 21 avril, à partir de 14&amp;nbsp;h UTC (16&amp;nbsp;h CEST, 10&amp;nbsp;h EDT, 7&amp;nbsp;h PDT).
* Si vous essayez de faire une modification ou de sauvegarder, vous verrez un message d'erreur. Nous espérons qu'aucune modification ne sera perdue durant ce temps, mais nous ne pouvons le garantir. Si vous voyez un message d'erreur, merci de patienter juqu'au retour à la normale. Vous pourrez alors enregistrer votre modification. Mais nous vous conseillons de faire une copie de votre modification avant, au cas où.

''Autres effets'' :
* Les tâches de fond seront ralenties, et certaines pourraient être stoppées. Les liens rouges ne seront pas mis à jour aussi vite que d'habitude. Si vous créez un article qui est déjà lié depuis une autre page, le lien rouge pourrait rester rouge plus longtemps que d'habitude. Certains scripts ayant un temps d'exécution long devront être stoppés.
* Le code sera gelé la semaine du 18 avril. Il n'y aura pas de déploiements de code non essentiel.

Ce test était initialement prévu pour le 22 mars. Les 19 et 21 avril sont les nouvelles dates. Vous pouvez [[wikitech:Switch Datacenter#Schedule for Q3 FY2015-2016 rollout|consulter le calendrier sur wikitech.wikimedia.org]]. Les horaires précis pour les passages en lecture seule des 19 et 21 avril seront annoncés sur ce calendrier. Il y aura d'autres annonces à propos de cet événement. '''Merci de partager ces informations avec votre communauté.''' /[[m:User:Whatamidoing (WMF)|User:Whatamidoing (WMF)]] ([[m:User talk:Whatamidoing (WMF)|talk]]) 17 avril 2016 à 21:23 (UTC)
&lt;/div&gt;

== [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/16|Tech News: 2016-16]]  ==

&lt;section begin=&quot;technews-2016-W16&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;fr&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique Wikimédia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/16|D’autres traductions]] sont disponibles.

'''Changements récents'''
* Il est possible d'afficher [[m:Help:Special page#Logs|Spécial:Journal]] avec davantage de critères de filtrage : il est possible de filtrer les différentes importations et les nouveaux utilisateurs. [https://phabricator.wikimedia.org/T109267][https://phabricator.wikimedia.org/T16334]
* Vous pouvez utiliser [[w:fr:Telnet|Telnet]] pour lire les wikis Wikimedia. [[meta:Telnet_gateway]]
* Les wikis MediaWiki peuvent supporter le téléversement de plus gros fichiers. La nouvelle limite est de 4 Go. [https://phabricator.wikimedia.org/T131895]

'''Changements cette semaine'''
* Wikimedia a un nouveau centre de sauvegarde à Dallas. En raison de travaux prévus sur celui-ci, il sera possible de lire mais pas de modifier les wikis pendant une courte période de temps les 19 et 21 avril. Cela commencera à 14 h UTC et durera 15 à 30 minutes. [[meta:Special:MyLanguage/Tech/Server_switch_2016]]
* Aucune nouvelle version de Mediawiki ne sortira cette semaine, en raison du test du centre de données.

'''Réunions'''
* &lt;span title=&quot;Sujet récurrent&quot;&gt;[[Fichier:Octicons-sync.svg|12px|link=]]&lt;/span&gt; Vous pouvez participer à la prochaine réunion avec l’équipe de l’Éditeur visuel. Au cours de cette réunion, vous pourrez indiquer aux développeurs quelles anomalies vous semblent les plus importantes. Cette réunion aura lieu le [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=19&amp;min=00&amp;sec=0&amp;day=19&amp;month=04&amp;year=2016 19 avril à 19 h (UTC)]. Voyez [[mw:VisualEditor/Weekly triage meetings|comment participer]].
* &lt;span title=&quot;Sujet technique&quot;&gt;[[Fichier:Octicons-tools.svg|15px|link=]]&lt;/span&gt; Vous pouvez participer à la prochaine réunion avec le [[mw:Architecture committee|comité d'architecture]]. Le thème de cette semaine porte sur les [[phab:T91162|espaces de nom virtuels]]. Cette réunion aura lieu le [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=21&amp;min=30&amp;sec=0&amp;day=20&amp;month=04&amp;year=2016 20 avril à 21 h 30 (UTC)]. Voyez [[mw:Architecture meetings|comment participer]].

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/Ambassadors|ambassadeurs techniques]] et publiées par le [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/16|Traduire]] • [[m:Tech|Obtenir de l'aide]] • [[m:Talk:Tech/News|Donner votre avis]] • [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’inscrire ou se désinscrire]].''
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt; &lt;section end=&quot;technews-2016-W16&quot;/&gt; 18 avril 2016 à 20:40 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Johan (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=15522880 --&gt;

== [[b:Modèle:Statistiques]] ==

Étant donné le nombre de questions que l’on nous pose régulièrement sur le nombre de visiteurs par cours, je propose d'importer [[b:Modèle:Statistiques]], qui exploite l'outil déjà disponible dans nos historiques depuis une semaine. J'imagine une version qui s'apposerait un peu comme {{M|moteur}}, incrusté dans {{M|leçon}}. 

Vous allez me dire : quel est l'intérêt par rapport au lien &quot;Statistiques&quot; de la barre de gauche ?

Hé bien premièrement ce serait plus solide, car je viens de voir que notre lien JavaScript &quot;Statistiques&quot; issu de [[MediaWiki:Common.js]] avait sauté lors d'une récente mise à jour du logiciel ([//fr.wikiversity.org/w/index.php?title=MediaWiki:Common.js&amp;type=revision&amp;diff=557383&amp;oldid=553059 ce n'est d'ailleurs pas le seul] et avec l'expérience nous pouvons affirmer sans réserve que les javascripts sont fragiles sur notre site, et doivent être réécris en moyenne tous les ans).

Deuxièmement c’est plus visible car situé avec le contenu du cours au lieu des menus périphériques.

Enfin, cela pourrait permettre de catégoriser nos pages par tranches de nombres de visiteurs à l'aide d'un paramètre supplémentaire (au passage nous pourrions aussi le faire avec {{M|contributions}}). [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 19 avril 2016 à 09:05 (UTC)
:Je suis pour ! {{sourire}} --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 19 avril 2016 à 18:48 (UTC)
::Envoie la sauce ! {{sourire}} [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 21 avril 2016 à 22:29 (UTC)

== Un chapitre peut-il appartenir à plusieurs leçons ?  ==

Nous avions déjà abordé les leçons qui appartiennent à plusieurs départements. Aujourd’hui [//fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Absorption_de_nourriture/Protéines&amp;diff=prev&amp;oldid=557392 j'ai lancé en deux temps trois mouvements] quatre chapitres appartenant à deux leçons. Seriez-vous choqués s'ils avaient chacun deux modèles {{M|chapitre}}, ou en préféreriez-vous un seul avec un paramètre &quot;leçon2=&quot; (ma solution préférée), ou bien autre chose, comme dupliquer la plupart de ces pages ?

Pour information sur Wikilivres j'ai carrément dû créer [[b:Modèle:Installation d'Apache sous Windows|des modèles avec du contenu]] (alors que ça commençait comme {{M|Regex}}) pour simplifier les mises à jour de doublons, parce que les inclusions de page d'un livre dans un autre (avec des balises &quot;noinclude&quot;) ne suffisaient pas à répartir ce qui était appelable (ex : paragraphe Windows dans certains livres, Linux dans d'autres, et les deux sur la même page dans un dernier), mais j'aurais peut-être mieux fait de séparer tous les plus petits dénominateurs communs en minipages. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 19 avril 2016 à 11:51 (UTC)
:En soi , pourquoi pas ? Mais il faudrait pas que le lecteur lambda soit dérouté. --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 19 avril 2016 à 13:07 (UTC)
::Je crois que l’on a eu la situation, mais il y a un bon moment maintenant. La difficulté de faire appartenir un chapitre a plusieurs leçon réside que la chapitre a un précédent et un suivant qui dépendent de la leçon et qu'implicitement le chapitre peut évoluer différemment suivant la leçon où il s'inscrit. Ensuite, le chapitre peut se développer pour former une petite leçon et il peut ainsi devenir un pré-requis, cette leçon pourrait être indiqué à la fin d’un chapitre en indiquant que pour passer au chapitre suivant, il est nécessaire de consulté ladite leçon. Il est aussi délicat de faire un chapitre commun lorsque les deux leçons sont de niveau très différent. Ensuite j’ai vu Lydie faire de l’inclusion de chapitre dans d’autre leçon, donc techniquement c’est réalisable et déjà réalisé. Elle saura mieux en parler et surtout indiquer là où elle a mis en application. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 19 avril 2016 à 16:19 (UTC)
:
:: Bonjour, je confirme, un chapitre a un chapitre précédent et un chapitre suivant. Il a de plus un retour au sommaire sans compter d'éventuelles pages liées (exercices ou autres). Il n'est, par conséquent, pas possible qu'un chapitre appartienne directement à deux leçons différentes. Pour ce qui est de l'inclusion, si j'ai effectué cette opération dans certains cas, c’est en tant que moindre mal pour ne pas trop contrarier les bidouilleurs qui avaient mis un même chapitre dans deux leçons différentes. Je vois deux problèmes à l'inclusion : tout d'abord, comme le dit David ci-dessus, il me semble que même si, à un moment, il y a un même chapitre dans deux leçons différentes, ces chapitres doivent pouvoir évoluer différemment dans les deux leçons, ce qui n’est pas permis par l'inclusion. Ensuite, si l'on fait une inclusion, on risque de perturber un contributeur de la leçon qui reçoit l'inclusion. s'il veut modifier le chapitre inclus, Il faudra qu'il aille modifier le chapitre dans l'autre leçon, Soit il ne saura pas le faire, soit il n'osera pas le faire, soit il le fera de façon égoïste en ne tenant pas compte des spécificités de l'autre leçon. Quant aux contributeurs de la leçon d'où vient le chapitre inclu, ils risquent de faire des modifications sans tenir compte de l'autre leçon. Si vous voulez un exemple d'inclusion, il y a la page [[Introduction à la science des matériaux/Exercices/Évaluation en métallurgie]] de la leçon [[Introduction à la science des matériaux]] qui est inclus dans la page [[Métallurgie générale/Exercices/Évaluation en métallurgie]] de la leçon [[Métallurgie générale]] (exemple à ne pas suivre !).
:: Je pense toutefois que l'inclusion présente un intérêt quand il s'agit d'un document susceptible de servir dans plusieurs leçons. On met alors le document dans la bibliothèque wikiversitaire et il pourra ainsi servir dans plusieurs leçons (l'un des intérêts de la bibliothèque, voir le dernier paragraphe de l'[[Aide:Bibliothèque wikiversitaire]]).
:: Maintenant si vous tenez absolument à mettre un même chapitre dans plusieurs leçons, il me semble qu'il y a une solution simple si le chapitre à dupliquer est entièrement de vous, c’est le copier-coller, solution déconseillée (du moins je crois sans en connaître les raisons), mais qui me semble n'avoir aucun inconvénient. Vous pouvez, par exemple, écrire le chapitre dans une sous-page de votre espace utilisateur et vous faites ensuite deux copier-coller dans deux leçons différentes. Les pages pourront ainsi ensuite évoluer différemment dans les deux leçons. Personnellement, je ne vois aucun inconvénient à cette solution. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 20 avril 2016 à 14:34 (UTC)
:::Sauf que quelqu'un va forcément modifier une des deux pages sans passer par celle de l’utilisateur d'origine, et ce dernier devra se cogner tout l'historique des modifications pour chacune de ses mises à jour. Pour pallier cela je ne vois rien qui empêcherait d'ajouter des paramètres &quot;précédent2=&quot;, &quot;suivant2=&quot;... [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 21 avril 2016 à 09:49 (UTC)
::::En même temps, normalement, sur un Wiki, une page n'a pas d'auteur patenté et peut être modifiée par n'importe qui. Les deux chapitres concernés peuvent évoluer chacun de leur côté. --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 21 avril 2016 à 12:54 (UTC)
:::::En musique peut-être, mais dans le domaine des logiciels, s'ils ne sont pas tous mis à jour tous les ans (pour avoir le même son de cloche), ils sont souvent périmés (comme mon exemple Apache ci-dessus). [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 21 avril 2016 à 13:30 (UTC)
:::::: En théorie c’est assez simple de lier une page à deux autres sur un système Wiki. [[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 21 avril 2016 à 15:48 (UTC)
:::::::Oui, mais dans la pratique, et dans la structure pyramidale de la wikiversité, il n’est pas si simple de lier deux chapitres à deux leçon différentes, non pas qui niveau de la leçon puisque le modèle accepte autant de chapitre différent qu’il le souhaite, mais au niveau du chapitre, car il faut différencier le chapitre précédent de la bonne leçon d’où l’on vient et réciproquement pour la suite. Et cela semblerais être facile puisque le chapitre peut accueillir deux modèle chapitre qui, logiquement, se placeront l’un en dessous de l’autre. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 21 avril 2016 à 17:30 (UTC)
::::::
::::::: Il faudrait peut-être que l’on comprenne déjà quel peut-être l'intérêt de mettre le même chapitre dans deux leçons différentes. Le bénéfice que l’on va en retirer va être négligeable en regard de tous les tracas de maintenance que cela va entraîner plus tous les problèmes de coordination du chapitre avec les deux leçons. Et pourquoi ne pas prévoir, pendant que l’on y ait, la possibilité de mettre le même chapitre dans trois ou quatre leçons différentes en prévoyant des paramètres &quot;précédent2=&quot;, &quot;suivant2=&quot;, &quot;précédent3=&quot;, &quot;suivant3=&quot;, &quot;précédent4=&quot;, &quot;suivant4=&quot;, comme cela les leçons vont devenir de véritables labyrinthes et les utilisateurs et les contributeurs seront complètement perdus. Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué et embrouiller tout le monde ? J'ai l'impression aussi que ce projet a pour but de remplir à tout prix les leçons qui manquent de chapitres. C'est vrais que l’on manque de contributeurs, mais cela justifie t'il de telles solutions qui vont nous créer des problèmes à n'en plus finir et inciter les contributeurs à mettre, dans des leçons, des chapitres pris au hasard dans d'autres leçons sans s'occuper de savoir si les chapitres correspondent bien à la leçon réceptrice sous le seul prétexte que le thème semble correspondre ? — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 21 avril 2016 à 19:03 (UTC)
::::::::Je pensais pourtant que le cas se posait souvent, mais on peut aussi exporter le doublon sur Wikilivres pour éviter de jongler avec deux chapitres similaires ici (même si jusqu'à présent j'ai fait le maximum pour éviter ces doublons interwikis). [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 21 avril 2016 à 19:36 (UTC)
::::::::: {{Notif|JackPotte}} J'ai l'impression qu'il y a quelque chose de pas très clair quand tu qualifies de doublon deux chapitres similaires. Sur la Wikiversité, il n'y a aucun problème à avoir deux chapitres similaires. Par exemple, les chapitres [[Photométrie/Intensité lumineuse]] et [[Rudiments de photométrie/Intensité lumineuse]] sont très similaires mais ne sont pas des doublons, car ils ne s'adressent pas aux mêmes élèves. Je ne comprend pas du tout pourquoi tu parles de jongler avec des chapitres similaires. Les chapitres similaires évoluent de façon indépendantes et je ne vois vraiment pas où il peut y avoir un problème. Même si les circonstances ont fait que les deux chapitres ont été créés au départ par le même contributeurs. Cela fait quatre ans que je m'occupe de la maintenance de la Wikiversité et je n'ai pas encore eu l'occation de voir un seul doublon sur la Wikiversité et par conséquent je ne comprend pas pourquoi tu parles d'exporter le doublon sur Wikilivre. Peut tu me donner un exemple de doublon qui serait susceptible d'être exporter ? Pense-tu que l'un des deux chapitres [[Photométrie/Intensité lumineuse]] ou [[Rudiments de photométrie/Intensité lumineuse]] soit concerné ? — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 21 avril 2016 à 20:22 (UTC)
::::::::::Salut, pour moi c’est évident que le contenu de chaque leçon doit être indépendant de chaque autre. Si le chapitre d'une leçon peut convenir pour compléter une autre leçon. Autant créer dans ce cas un duplicata via un copier coller et placer ensuite dans la page de discussion de la nouvelle page un hyper lien vers la version archivée de la page d'origine.
::::::::::Une autre option serait peut-être d'importer la page vers un autre site ou nous avons un administrateur qui pourra la supprimer par la suite après l'avoir réimporter sous un autre nom de tel sorte à doubler tout l'historique d'une page qui pourront ensuite avoir une vie autonome. J'écris ceci en supposant qu'il est impossible d'utiliser l'outil d'importation pour importer une page de fr.wikiversité vers fr.wikiverstié. Si jamais c'était possible alors plus besoin de passer par un autre projet. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 21 avril 2016 à 22:19 (UTC)
::::::::::: {{Notif|Lionel Scheepmans}} Les grands esprits se rencontrent ! Il y a environ trois ans, j'ai déjà proposé la solution d'exporter dans un autre site et de réimporter une même page sous un autre nom pour la dupliquer en conservant l'intégralité de l'historique, mais [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]], qui était administrateur à la fois sur Wikilivre et sur la Wikiversité et qui aurait pu ainsi réaliser la chose n'était pas d'accord du tout. Et coïncidence étrange, je viens de vérifier, il y a 24 heures que l'outil d'importation ne marche pas pour importer une page de la Wikiversité vers la Wikiversité. Je suis soulagée de constater que pour toi aussi, il est évident que le contenu de chaque leçon doit être indépendant de chaque autre. Et comme toi, si un chapitre d'une leçon peut convenir pour une autre leçon et que l’on veuille absolument l'utiliser dans l'autre leçon, je préfère, de loin, la solution du copier-coller avec utilisation du [[Modèle:Auteurs crédités après scission]] dans la page de discussion plutôt que tous les bricolages infâmes que l’on peut imaginer pour faire apparaître le chapitre dans l'autre leçon. En tout cas, je te remercie pour ton intervention. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 22 avril 2016 à 04:05 (UTC)
::::::::::@Lydie : ceux que j'avais trouvé dans mon domaine, je les ai déjà fusionné (ex : [//fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Macros-commandes_VBA/Pour_démarrer&amp;diff=462427&amp;oldid=462423 VBA]), ou exporté (ex : [[Cours d'OpenOffice]], sachant qu'ensuite son fork est apparu ici : [[Introduction aux documents avec WRITER]], cela me convient d'autant plus).
::::::::::En effet, ce que je voulais éviter c’est d'imposer deux à trois fois plus de lecture, voire d'éditions, [//fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Spécial:Recherche&amp;profile=default&amp;fulltext=Search&amp;search=&quot;intensité+lumineuse&quot;&amp;searchToken=d9cfh4jfupiq4kdumf1oht4pv en passant par un moteur similaire à Google], ou plusieurs résultats donnent des contenus équivalents dans lesquels il faut picorer. Mais j'ai peut-être trop l'habitude des projets sans niveau comme Wikipédia et le Wiktionnaire, où quand on trouve un sujet incomplet, on ne cherche pas ses doublons avant de changer de site ou de le mettre à jour. Et surtout, j'ai passé de trop longues heures à fusionner des branches de programmes (pull request) en ayant l'impression que cela aurait pu être évité.
::::::::::C'est pourquoi j'apprécie vos opinions, et ne compte surtout pas instaurer un système qui ne fera pas consensus. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 21 avril 2016 à 22:30 (UTC)
::::::::::PS : le sujet est encore plus complexe que ce que je croyais quand on voit que [[Absorption de nourriture/Macro-éléments]] ressemble à un sommaire alternatif de [[Sels minéraux]]. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 21 avril 2016 à 22:40 (UTC)
::::::::::: {{Notif|JackPotte}} C'est effectivement, pour moi, très mystérieux que tu puisses t'impliquer dans autant de projets tout en arrivant à connaître les spécificités de chaque projet. Tu dois avoir une bonne mémoire. Je pense que la Wikiversité est le seul projet où un même thème peut se retrouver à plusieurs endroits et je ne pense pas que cela doive être considéré comme des doublons. Sur la Wikiversité, on fait de l'enseignement et dans l'enseignement, une même chose peut être enseignée à des élèves de niveau très différents et même s'il s'agit des mêmes élèves, on peut parfois imaginer des façons très différentes de l'enseigner. Par conséquent, en ce qui me concerne, la chasse aux doublons sur la Wikiversité est loin d'être une priorité. Pour ta remarque, [[Absorption de nourriture/Macro-éléments]] est un chapitre et [[Sels minéraux]] est une leçon. Je pense donc que [[Sels minéraux]] va développer, plus en détails, les différents éléments chimiques concernés que ne le fera le chapitre [[Absorption de nourriture/Macro-éléments]]. Par conséquent, je ne vois strictement aucun problème dans l'existence simultanée de [[Absorption de nourriture/Macro-éléments]] et [[Sels minéraux]] (les élèves concernés ne sont pas les mêmes). D'ailleurs, je te signale qu'il existait le chapitre [[Fonctions d'une variable réelle/Convexité]] quand j'ai créée la leçon [[Fonctions convexes]] destinée à des élèves souhaitant approfondir le chapitre et j'ai mis une remarque en fin du chapitre [[Fonctions d'une variable réelle/Convexité]] pour signaler l’existence de la leçon. Il en est exactement de même respectivement pour le chapitre [[Matrice/Trace]] et la leçon [[Trace et transposée de matrice]]. Comme tu le vois, moi aussi je créé des doublons. J'ai même créer la leçon [[Approche géométrique des nombres complexes]] alors qu'il existait déjà les trois leçons [[Nombre complexe]], [[Complexes et géométrie]], [[Calcul avec les nombres complexes]], simplement pour présenter une autre approche des nombres complexes. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 22 avril 2016 à 04:05 (UTC)
::::::::::::Comment je suis ''impliqué dans autant de projets'' ? Depuis 2007 j'ai toujours eu une clause d'exclusivité avec mes employeurs, qui m'empêche de faire du lucratif pendant mon temps libre. Donc je fais de la veille technologique tous les jours, et parallèlement j'essaie généralement de faire adopter les règles de Wikipédia sur ses projets frères pour plus de simplicité ([[wikt:Wiktionnaire:Prise de décision/Liens vers les autres projets|avec quelques déconvenues]]). De plus, il a été prouvé que l’on retient mieux ce que l’on apprend quand on l'apprécie (et l'aspect wiki permet de me l'approprier dans ce sens).
::::::::::::Ce que je voulais dire sur [[Absorption de nourriture/Macro-éléments]], c’est que quand on clique sur le détail d'un élément chimique, on ne peut plus continuer la leçon de nutrition sans revenir en arrière. Et je n'écrirai pas de glossaire redondant pour chaque leçon sur le sujet, sans compter la bataille pour la préemption du mot sans sous-page (ex : j'aurais pu remplacer la redirection ''[[Calcium]]'' par une leçon mise en concurrence avec ''[[Sels minéraux]]''). [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 22 avril 2016 à 06:59 (UTC)
:Je le savais. Je le savais ! [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] est un agent de la NSA actif dans le département ''Wikicommunity control''... Il n'y a que la NSA pour obliger un travailleur à signer un contrat qui l'empêche de faire du lucratif pendant son temps libre.
:Plus sérieusement Jack, si c’est pas indiscret bien sûr, tu travailles dans quel contexte ? Une institution financée par l'état pour sûr mais la quelles ? Autre chose, dis-moi, est-il possible d'importer une page de fr.wikiversité vers fr.wikiversité ? [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie]] fait allusion à quelque chose qui a disparu depuis 24 h mais j'ai pas compris de quoi il s'agissait exactement. Et puis enfin, j'ai tester l'outil fusion pour m’apercevoir que cela effaçais l'historique de la page de départ pour le transférer vers la pages de destination. Il y aurait-il un moyen pour garder les historiques des deux côtés ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 22 avril 2016 à 11:13 (UTC)
::C'est le test de Lydie qui a eu lieu il y a 24 h, pas la modification d'une fonction de duplication des historiques, qui n'existe pas et pour laquelle je poserais mon veto pour les mêmes raisons que la dernière fois. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 22 avril 2016 à 11:20 (UTC)
:::Heuu [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]], je n'ai jamais entendu parler de [[w:veto]] au sein du mouvement Wikimedia. On y parle plutôt de consensus et ce que je vois dans mes observation c’est que le consensus à la Wikimedia se différencie de l'unanimité par le faite que si une écrasante majorité manifeste un désire de changement, ce changement aura lieu même si une petite minorité est contre. Mais... Vous devez le savoir depuis longtemps à la NSA non ? {{clin}}. Autrement dis, si la question est d'un importance suffisante pour nécessiter une prise de décision, faisons là. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 22 avril 2016 à 11:34 (UTC) 
=== Ou alors un simple renvoi  ===

Sinon, on peut aussi simplement écrire dans le chapitre X de la leçon Y :

''&quot;Pour plus de détails, vous pouvez lire aussi le [[chapitre Z de la leçon W]].&quot;''

Comme ça, le lecteur sait à quoi s'en tenir ; il sait, s'il clique sur le lien, qu'il va dans une autre leçon, mais qui a quand même un rapport avec la première. --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 22 avril 2016 à 09:11 (UTC)
:Wikipédia utilise : {{M|article détaillé}}. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 22 avril 2016 à 09:31 (UTC)
::Le problème n’est pas à mon sens la duplication de l'information mais l'autonomie de celle-ci. En sciences exacte un renvoie peut-être envisageable puisque 1+2=3 quelque soit l'auteurs mais en science sociale et en science humaine. 1 oui + 2 non = une multitudes de réponses. Ce qui est applicable pour les science dures ne l'est donc pas pour les sciences « moles ». Maintenant on peut adapter les méthodes de partage et de duplication des informations en fonction des disciplines. Mais en ce qui concerne mes domaines de prédilections, je ne vois pas d’autre solution que de dupliquer les textes afin de garantir la liberté des auteurs mais aussi et surtout pour évité des guerres d'édition entre contributeurs. À l'image d'une université traditionnelle, deux cours de sociologies peuvent être donné par deux professeurs dans le même établissement sur un même sujet et contenir des informations différentes et parfois même contradictoire. Je le vis en pratique chaque semaine au niveau de mon université et c’est une richesse pour un étudiant d'avoir plusieurs sons de cloche et de pouvoir se forger son propre avis.
::D'autre part, la possibilité de scission des projets pour permettre à des auteurs de développer deux versions différentes au départ d'une version commune est l'une des forces motrice et anti-conflictuelle rendue possible par l'invention des licences libres. C'est un principe ontologique du mouvement libre dont Wikiversité fait partie et c’est aussi un gage de réussite pour notre projet.
::Donc, je me positionne pour le doublage des versions d'une page avec conservation de l'historique en respect de la licence CC BY SA 3.0 excepté peut-être pour un renvoie vers ce que l’on pourrait déterminer comme des informations axiomatique, ou toute autres assomptions, tel que des théorèmes mathématiques, des démonstrations physique ou autre chose présupposées immuables jusqu'à réfutation. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 22 avril 2016 à 10:58 (UTC)
::P. S. Gardons aussi à l'esprit qu'épistémologiquement parlant, ce qui uni la science c’est la méthode et pas le contenu.
::: {{Notif|Lionel Scheepmans}}Je suis entièrement d'accord avec toi. Et je pense même pouvoir dire qu'il n'existe aucun texte (mais je peux me tromper) s'opposant au fait de faire un copier-coller d'un chapitre existant dans une leçon pour débuter un chapitre dans une autre leçon, à condition, bien sûr, d'utiliser le [[Modèle:Auteurs crédités après scission]] dans la page de discussion du nouveau chapitre créé. Les deux chapitres qui vont être identiques à un certain moment pourront évoluer chacun de leur coté et devenir différent au bout d'un certain temps. J'ai été tentée d'utiliser cette possibilité dans le passé pour remédier à certains problèmes, mais j'y ai renoncé, pensant que ce n'était pas très correct (sans véritables raisons), mais après réflexion, j'en arrive à la conclusion que c’est la meilleure solution pour les raisons que tu énonces ci-dessus, c'est-à-dire permettre une liberté de contribution ultérieure indépendante des deux chapitres à partir d'une version commune. Il va falloir que je revois toutes les inclusions que j'ai faites pour les remplacer par cette solution. Je pense toutefois qu'il faudrait utiliser cette solution uniquement en cas de nécessité et ne pas l'utiliser pour remplir bêtement les leçons qui manquent de chapitres avec des chapitres d'autres leçons, sans s'assurer d'une totale compatibilité du chapitre créé avec les spécifications de la leçon (qui normalement sont précisés dans le sommaire). {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 22 avril 2016 à 13:52 (UTC)

{{fait}} J'ai donc effectué le simple renvoi suggéré par Thierry613 sur mes quatre pages. Puisque l'on me faire comprendre, alors que je croyais éviter de réinventer la roue qui s'était mise en place dans une autre leçon après mon introduction et ma conclusion, qu'en fait c’est un remplissage bête et que quelqu'un finira bien par compléter mon plan avec un milieu de cours. Mais vous pouvez toujours compter sur moi pour ne jamais copier un seul paragraphe du site dans mes cours du même site : je préfère les leçons multiniveaux. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 22 avril 2016 à 14:10 (UTC)

== Administrateurs inactifs  ==

Bonjour, je fais remarquer que certains administrateurs sont inactif depuis un certains temps:
* {{u|Julien1311}} Dernière édition le 24 juin 2010
* {{u|Xzapro4}} Dernière édition le 30 octobre 2013
* {{u|Karl1263}} Dernière édition le 3 avril 2014
Je pense que l’on devrait leur retirer leurs droits (demande à faire [[meta:Steward requests/Permissions#Removal of access|ici]]). Merci [[Utilisateur:Archi38|Archi38]] ([[Discussion utilisateur:Archi38|discussion]]) 21 avril 2016 à 11:37 (UTC)
:Pourquoi pas. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 21 avril 2016 à 11:47 (UTC)
:: Pardon ; il est écrit quelque part que l'administrateur doit-être actif pour conserver ses droits? Avez-vous prévenu les utilisateurs au préalable? La sanction correspond à un problème quelconque? Vous même [[User:Archi38]] ne participez pas au projet Wikiversité, comment justifiez-vous une telle attitude? Merci pour vos préçisions. --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 21 avril 2016 à 15:33 (UTC)
:::Il existe des recommandations et des constatations : [[meta:Admin activity review/Local inactivity policies]]. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 21 avril 2016 à 15:56 (UTC)
::::Tout d'abord, vous n'avez pas de règles sur fr.wikiversity pour les admins inactifs (c'est pour ça que j'ai mis &quot;Je pense&quot;) et non je n'ai pas prévenu les concernés car ce n'est qu'une suggestion. Le problème est qu'un administrateur doit être actif, sinon les utilisateurs lui font des demandes auquelles il n'auront jamais de réponses (c'est justement en voulant en contacter un ce matin que je m'en suis rendu compte). [[Utilisateur:Archi38|Archi38]] ([[Discussion utilisateur:Archi38|discussion]]) 21 avril 2016 à 16:55 (UTC)
::: Non, ce n’est pas écrit donc la suppression n’est pas automatique, donc comme l’indique [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]], on applique la règle du « on demande, si pas de réponse ou réponse affirmative à la demande de rendu des droits, alors on enlève les droits ». [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 21 avril 2016 à 17:12 (UTC)
::Ce n’est pas une sanction ; c’est simplement prendre acte d'un désintérêt durable pour la fonction d'administrateur, ce qui est d'ailleurs leur droit le plus strict. Ça fait presque {{Unité|6|ans}} sans contributions pour le premier. Je pense que c’est pas abusif, quand même... Pour comparaison, dans une association sans but lucratif (en France), on s'engage pour un an. Ceci dit, si on peut leur envoyer un petit message, c’est pas plus mal. {{sourire}} --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 21 avril 2016 à 22:10 (UTC)
:::C'est pas plus mal, ça coûte rien et on dormira tranquille. D'un autre côté, si l'administrateur contacter par email souhaite garder ses droits malgré son inactivité, personnellement cela ne me cause aucun problème. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 21 avril 2016 à 22:28 (UTC)
::::Moi je l'accepte car nous clarifions d'entrée qu'&lt;u&gt;il n'y a aucun sous-entendu&lt;/u&gt; de pression mise à l'admin, de contribuer pour contribuer, l'obligeant à un rendement chiffré sous peine de recevoir un mauvais point, à savoir qu'il ne serait même pas digne au sein du potentat de faire du bénévolat, qu'on est déjà bien gentil de laisser publié sur Internet {{clin}}. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 22 avril 2016 à 08:13 (UTC)
::::A ce propos, je viens d'importer {{M|Utilisateur créations}} pour ceux qui veulent annoncer la couleur. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 22 avril 2016 à 08:17 (UTC)
:::::Oui, c’est bien, ces boîtes !
:::::
:::::Autre idée : décider que les fonctions d'admin ou autre sont à durée limitée (un CDD, quoi. La mode est à la précarité... {{sourire}}). --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 22 avril 2016 à 09:15 (UTC)
::::::Ceci fût refusé sur Wikipédia en 2015 car on passe déjà trop de temps à faire des élections, et dans deux ans celles de leurs 200 admins actuels seraient tombées en même temps (déjà que cautionner une seule candidature peut nécessiter de longues vérifications, on aurait bâclé le travail...). D'ailleurs aucun de ceux qui l'avait proposé n'était bureaucrate (c'est facile de charger la mule). [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 22 avril 2016 à 09:34 (UTC)
::::::Je viens de penser que je suis capable de développer un bot qui retirerait les statuts après un certain temps d'inactivité (en postant un avertissement une semaine avant), mais seul Meta a ce pouvoir, et je n'ai pas le temps d'y faire campagne cette année. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 22 avril 2016 à 09:40 (UTC)
:::::payer (symboliquement) pour contribuer, cela a été testé, et c’est pour cela que la wikibanque n'a jamais bien fonctionné. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 22 avril 2016 à 11:21 (UTC)
::::::Non, non, pas d'argent. Ça pourrit tout... {{clin}} --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 22 avril 2016 à 20:22 (UTC)
:::: La politique la plus stricte envers les administrateurs que j'ai eu l'occasion de voir est sur Wikidata où l'on demande à l'administrateur, en début de chaque mois, d'avoir utilisé ses outils d'administration au minimum 4 fois dans les six derniers mois sous peine de se faire virer. — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 22 avril 2016 à 14:10 (UTC)

== Le français burkinabé énuméré sur ce site n’est pas exacte, toutes les expressions proviennent du français ivoirien  ==

Bonjour à tous je viens de voir une erreur sur cette page. Un contributeur a voulu parler du français du Burkina. Les exemples qui ont été cité proviennent tous de l'argot ivoiriens. Les burkinabés ne parle pas ainsi. C'est un vol de culture que je constate ou soit la personne s'est trompé. C'est vraiment choquant de sa part. Toutes ces expressions cités dans un tableau sont utilisées que par les ivoiriens. Revoyez donc le document sur Le français populaire du Burkina. Enlevez toutes les expressions ivoiriennes qui s'y trouvent.{{non signé|Koni jean}}.
:Bonjour Monsieur [[utilisateur:Koni jean|Koni]],
:Je suis très enthousiaste d'accueillir un contributeur du Burkina Faso au sein de notre projet. Je suis aussi la personne qui vous a laissé un message de bienvenue sur votre [[Discussion:Utilisateur:Koni jean|page de discussion]].
:Au sujet du contenu de la page [[Dialectes français d'Afrique/Français burkinabè|Dialectes français d'Afrique : Français burkinabè]] je remarque aussi qu'un ensemble d'expression étaient aussi utilisées en Guinée Conakry quand j'y ai vécu entre 1992 et 1994. Ces expressions sont : « En tout cas... - C'est gâté - Ou bien ?- Ça va un peu - Demander la route ». Sans doute que certaines expressions sont utilisée dans plusieurs pays. Par expérience, je sais aussi qu'il existe des influences linguistiques transétatiques soit en raison de la proximité géographique, soit en raison de la proximité culturel ([[w:Mandingue (langue)|culture mandigue par exemple]]).
:L'auteur de cette page est [[Utilisateur:Nellyhalle|Nellyhalle]], et tu peux contacter cette personne sur sa [[Discussion utilisateur:Nellyhalle|page de discussion]]. Elle n'a plus contribué au projet depuis [[Spécial:Contributions/Nellyhalle|le 5/11/2015]]. Si elle ne répond pas à ton appel libre à toi après un certain temps de modifier le contenu de la page pour corriger les erreurs. Si tu manques d'expériences et que tu ne sais pas comment faire, n'hésite pas à demander de l'aide sur la page [[Wikiversité:Requêtes aux contributeurs|Requêtes aux contributeurs]]. Bonne continuation ! [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 24 avril 2016 à 10:19 (UTC)
:P. S. Je viens de remarquer que les expressions citées [[Dialectes français d'Afrique/Français burkinabè|dans l'article]] sont intégralement issue de [[w:Français populaire burkinabè|cette page de Wikipédia]]. Cette page ayant entre autres pour références : [http://www.bobodioulasso.net/langage/langage.html bobodioulasso.net] et [http://www.unice.fr/ILF-CNRS/ofcaf/13/napon.html Un article intitulé ''Quelques faits d’appropriation du français à l’école secondaire à Ouagadougou''].

== [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/17|Tech News: 2016-17]]  ==

&lt;section begin=&quot;technews-2016-W17&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;fr&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique Wikimédia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/17|D’autres traductions]] sont disponibles.

'''Problèmes'''
* Wikimedia a testé un nouveau centre de données la semaine dernière. Cela s'est traduit par une impossibilité de modifier les wikis (mais leur lecture restait possible) pendant 45 minutes le 19 avril et pendant 20 minutes le 21 avril. [https://lists.wikimedia.org/pipermail/wikitech-ambassadors/2016-April/001391.html]
* Pendant le test du contre de données, les nouvelles modifications ne furent pas affichées dans les journaux de changements récents pendant 20 minutes. Elles sont dorénavant inscrites dans les journaux. Vous pouvez [https://lists.wikimedia.org/pipermail/wikitech-ambassadors/2016-April/001393.html trouver plus d'informations sur comment retrouver ces modifications].
* Les notifications non lues étaient parfois mal comptées. Cela a été résolu. [https://phabricator.wikimedia.org/T129726]

'''Changements cette semaine'''
* Wikimedia Commons va être doté d'un meilleur accès à Wikidata. N’importe quelle donnée de Wikidata pourra être utilisée sur n'importe quelle page de Commons. Cela sera effectif le 26 avril. [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=Commons:Village_pump&amp;diff=prev&amp;oldid=192993817]
* Il sera plus facile de choisir de visionner les fichiers que vous venez de téléverser avec l'assistant d'import. [https://phabricator.wikimedia.org/T33313]
* &lt;span title=&quot;Sujet récurrent&quot;&gt;[[Fichier:Octicons-sync.svg|12px|link=]]&lt;/span&gt; La [[mw:MediaWiki 1.27/wmf.22|nouvelle version]] de MediaWiki sera sur les wikis de test et sur MediaWiki.org à partir du 26 avril. Elle sera sur tous les projets, excepté la majorité des Wikipédias, à partir du 27 avril. Elle sera déployée sur toutes les Wikipédias le 28 avril ([[mw:MediaWiki 1.27/Roadmap|calendrier]]).

'''Réunions'''
* &lt;span title=&quot;Sujet récurrent&quot;&gt;[[Fichier:Octicons-sync.svg|12px|link=]]&lt;/span&gt; Vous pouvez participer à la prochaine réunion avec l’équipe de l’Éditeur visuel. Au cours de cette réunion, vous pourrez indiquer aux développeurs quelles anomalies vous semblent les plus importantes. Cette réunion aura lieu le [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=19&amp;min=00&amp;sec=0&amp;day=26&amp;month=04&amp;year=2016 26 avril à 19 h (UTC)]. Voyez [[mw:VisualEditor/Weekly triage meetings|comment participer]].

'''Changements à venir'''
* Le bouton « {{int:savearticle}} » présent lors d'une modification sera renommé en « Publier », dans le but d'aider les nouveaux contributeurs à comprendre ce qu'il fait. Cela fonctionne déjà comme ça sur certains wikis. [https://phabricator.wikimedia.org/T131132]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/Ambassadors|ambassadeurs techniques]] et publiées par le [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/17|Traduire]] • [[m:Tech|Obtenir de l'aide]] • [[m:Talk:Tech/News|Donner votre avis]] • [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’inscrire ou se désinscrire]].''
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt; &lt;section end=&quot;technews-2016-W17&quot;/&gt; 25 avril 2016 à 21:02 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Johan (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=15555069 --&gt;

== Wikidata: access to the data is coming  ==

Hi everyone :)

A while ago you received access to the interwiki links from Wikidata. Everything seems to be going well so I'd like to move on to the second stage. You will get access to the actual data in Wikidata like the date of birth of a person. You'll be able to make use of them in your templates via Lua or a new parser function (#property). We'll be enabling this on May 3rd. I hope this will open up great new possibilities for you and make your work easier. If you have questions please come to [[d:Wikidata:Project chat]] or [[d:Wikidata:Wikiversity]].

Cheers [[User:Lydia Pintscher (WMDE)|Lydia Pintscher (WMDE)]] 28 avril 2016 à 09:35 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydia Pintscher (WMDE)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Lydia_Pintscher_(WMDE)/Distribution_List&amp;oldid=15301884 --&gt;
:Une bonne raison d'importer le système d'infobox Wikipédia. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 28 avril 2016 à 09:47 (UTC)

== [[Modèle:RC]] permet de filtrer les modifications récentes par catégories  ==

Ce nouveau modèle permet d'afficher les pages d'une catégorie, aujourd’hui par date d'ajout et de modification décroissante.
# Est-ce qu'on ajoute une boite déroulante fermée par défaut ?
# Est-ce qu'on le déploie dans toutes les catégories par défaut ? 
# Avec {{M|Sommaire compact catégorie}} ?
[[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 30 avril 2016 à 17:56 (UTC)
:# non.
:# pourquoi pas.
:# C'est quoi l'avantage ?
:[[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 30 avril 2016 à 18:50 (UTC)
::L'avantage du sommaire de catégorie est de pouvoir naviguer autrement que par paquets de 200 : par premières lettres. C'est surtout utile sur le Wiktionnaire mais on ne sait jamais. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 30 avril 2016 à 19:01 (UTC)
:::On doit pas avoir beaucoup de catégorie atteignant 200 pages avec notre stucturation ? [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 30 avril 2016 à 19:08 (UTC)
::::[[:Catégorie:Catégories cachées|Très peu]], toutefois on pourrait aussi éprouver le besoin de filtrer les petites, ex : https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Catégorie:Programmation_informatique&amp;from=L. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 30 avril 2016 à 20:06 (UTC)
::::Sinon on pourrait aussi inclure {{M|moteur}} dans chaque catégorie de leçon. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 6 mai 2016 à 17:53 (UTC)
:::::Moi j’aime beaucoup et trouve ça très utile. --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 6 mai 2016 à 19:14 (UTC)
::::::Pareil.[[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 6 mai 2016 à 20:19 (UTC)</text>
      <sha1>r9ja6fs3tpphqdq4jw2xssk3fo5rrrx</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Wikiversité:La salle café/mai 2016</title>
    <ns>4</ns>
    <id>58674</id>
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      <parentid>971191</parentid>
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      <contributor>
        <username>Crochet.david.bot</username>
        <id>1005</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Robot : conversion/correction du HTML</comment>
      <origin>987030</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="84745" sha1="5qrppbey53mrn2bwn4yeogr5j7o5mcr" xml:space="preserve">__EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__
&lt;noinclude&gt;{{SC|2016|05}}&lt;/noinclude&gt;

== Demande de statut de bot  ==

Bonjour à tous, je propose le statut de bot à {{u|Youni Verciti Bot}}, compte secondaire de {{u|Youni Verciti}} sur [[Wikiversité:Bot/Statut#Youni Verciti Bot]]. Cordialement. [[Utilisateur:FrankyLeRoutier|FrankyLeRoutier]] % [[Discussion utilisateur:FrankyLeRoutier|Service après-vente]] 2 mai 2016 à 15:27 (UTC)

== [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/18|Tech News: 2016-18]]  ==

&lt;section begin=&quot;technews-2016-W18&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;fr&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique Wikimédia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/18|D’autres traductions]] sont disponibles.
 
'''Changements récents'''
* L'éditeur visuel est dorénavant disponible avec Internet Explorer 9. [https://phabricator.wikimedia.org/T133094]

'''Problèmes'''
* Un problème de sécurité était présent dans l'[[mw:Extension:MobileFrontend|extension ''MobileFrontend'']] (interface mobile). Elle affichait des informations qui avaient été masquées. Cela a dorénavant été corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T133700]

'''Changements cette semaine'''
* Il est dorénavant possible de voir quelles notifications sont disponibles sur un wiki depuis [[Spécial:DisplayNotificationsConfiguration|Spécial:DisplayNotificationsConfiguration]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T132127]
* &lt;span title=&quot;Sujet récurrent&quot;&gt;[[Fichier:Octicons-sync.svg|12px|link=]]&lt;/span&gt; La [[mw:MediaWiki 1.28/wmf.1|nouvelle version]] de MediaWiki sera sur les wikis de test et sur MediaWiki.org à partir du 3 mai. Elle sera sur tous les projets, excepté la majorité des Wikipédias, à partir du 4 mai. Elle sera déployée sur toutes les Wikipédias le 5 mai ([[mw:MediaWiki 1.28/Roadmap|calendrier]]).

'''Réunions'''
* &lt;span title=&quot;Sujet technique&quot;&gt;[[Fichier:Octicons-tools.svg|15px|link=]]&lt;/span&gt; Vous pouvez participer à la prochaine réunion avec le [[mw:Architecture committee|comité d'architecture]]. Le thème de cette semaine porte sur l'[[phab:T91162|interface de cache PSR-6 dans le cœur de Mediawiki]]. Cette réunion aura lieu le [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=21&amp;min=00&amp;sec=0&amp;day=04&amp;month=05&amp;year=2016 4 mai à 21 h (UTC)]. Voyez [[mw:Architecture meetings|comment participer]].

'''Changements à venir'''
* Il est envisagé qu'une page modifiée par un nouvel utilisateur soit ajoutée par défaut à sa liste de suivi. Les nouveaux utilisateurs pourraient aussi recevoir par défaut des notifications par courriel lorsqu'une page dans leur liste de suivi est modifiée. Cela est actuellement [[m:Requests for comment/Enable by default some default options for new users|en débat sur Meta]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T40796]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/Ambassadors|ambassadeurs techniques]] et publiées par le [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/18|Traduire]] • [[m:Tech|Obtenir de l'aide]] • [[m:Talk:Tech/News|Donner votre avis]] • [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’inscrire ou se désinscrire]].''
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt; &lt;section end=&quot;technews-2016-W18&quot;/&gt; 2 mai 2016 à 20:09 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Johan (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=15574414 --&gt;

== Wikidata: data access is here  ==

&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
Hi everyone :)

We just enabled access to the data on Wikidata for you. This means you can now access data like the number of inhabitants of a city or get a link to a picture for a famous person and much more. You can access the data in two ways - via a parser function and via Lua.
How to use it:
* Parser function: &lt;nowiki&gt;{{#property:P36|from=Q183}}&lt;/nowiki&gt; to get the capital (Property:P36) from the item about Germany (Q183)
* Lua: see [[mw:Extension:Wikibase Client/Lua|mw:Extension:Wikibase Client/Lua]]

I hope this will help you do great things here. If you have any questions please don't hesitate to ask. A good place to do that is [[d:Wikidata:Project chat]].

Cheers [[:d:User:Lydia Pintscher (WMDE)|Lydia Pintscher (WMDE)]] 4 mai 2016 à 08:40 (UTC)
&lt;/div&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydia Pintscher (WMDE)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Lydia_Pintscher_(WMDE)/Distribution_List&amp;oldid=15301884 --&gt;

=== Traduction — Wikidata : l’accès aux données est arrivé  ===
Bonjour à tous :)

Nous venons d’activer l’accès aux données de Wikidata pour vous. Cela signifie que vous pouvez à présent accéder aux données comme le nombre d’habitants d’une ville ou obtenir un lien vers une image d’une personne célèbre et beaucoup plus. Vous pouvez accéder aux données de deux façons : avec une fonction d’analyse et dans du code en Lua. Comment s’en servir :
* Fonction d’analyse : &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;{{#property:P36|from=Q183}}&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt; pour obtenir le capital (Property:P36) de l’élément sur l’Allemagne (Q183)
* Lua : consultez [[mw:Extension:Wikibase Client/Lua]]

J’espère que cela vous aidera à réaliser de belles choses ici. Si vous avez des questions, n’hésitez pas à les poser. Vous pouvez par exemple le faire sur [[d:Wikidata:Project chat]].

Merci, [[Utilisateur:Frigory|Frigory]] &lt;small class=&quot;plainlinks&quot;&gt;([[Discussion Utilisateur:Frigory|&lt;span title=&quot;page de discussion&quot;&gt;d&lt;/span&gt;]] · [[Spécial:Contributions/Frigory|&lt;span title=&quot;contributions&quot;&gt;c&lt;/span&gt;]] · [{{fullurl:Special:Log|type=block&amp;page=User:{{urlencode:Frigory}}}} &lt;span title=&quot;blocages&quot;&gt;b&lt;/span&gt;] · [[sulutil:Frigory|&lt;span title=&quot;Compte unifié&quot;&gt;s&lt;/span&gt;]])&lt;/small&gt; 18 mai 2016 à 10:17 (UTC)
:Je pense qu'il faudrait créer un modèle unique {{M|infobox}} pour regrouper toutes les propriétés. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 18 mai 2016 à 18:29 (UTC)

== Deux Rèquềtes de [[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] faite en parallèle [[Wikiversité:Requêtes_aux_administrateurs/2016#Requ.C3.AAtes_multiples_de_Youni_Verciti|sur cette page où les discussions ont commencés]]  ==
=== [[Introduction au Lua]] ===
[[user:Lydie Noria]] n’a pas tenu compte des observations exposées sur la page de discussion du document [[Discussion:Introduction_au_Lua]], je m’oppose aux modifications effectuées par cet utilisateur. [[user:Lydie Noria]] vous ne respectez pas la liberté des auteurs ([[user:Dave Braunschweig]], [[user:Youni Verciti]], vous vous appropriez leur travail en y imposant vos modèle et en imposant votre façon de les utiliser. Votre attitude général sur le projet Wiki est scandaleuse. Je réclame que soit révoquée toutes vos modifications sur toute les pages de ce document. [[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 9 mai 2016 à 11:39 (UTC)

=== [[Département:Portugais]] ===
Mesdames, Messieurs bonsoir, nous sommes le lundi 9 mai 2016 ; depuis le 24 janvier 2016 les pages de vocabulaire du département de Portugais sont pris en otage. C’est le 99ème jour de détention. La prise d’otage est revendiquée par [[user:Lydie Noria]] membre des bureaucrates et administrateurs. La tentative de médiation organisée par le groupe des administrateurs n’a eut aucun résultat. L’auteur réclame la révocation de toutes les modifications réalisée par le preneur d’otage sur les pages de vocabulaire du département Portugais. --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 9 mai 2016 à 11:54 (UTC)

== Que pense la communauté de l'utilisation du code {{m|Titre incorrect}} ?  ==
Bonjour à tous, je viens vers vous pour avoir votre avis sur l'utilisation du code &lt;nowiki&gt;{{Titre incorrect|}}&lt;/nowiki&gt; dans les pages ou des modèles de présentation et d'organisation de contenu de type [[Modèle:leçon]], [[Modèle:travail de recherche]], [[Modèle:projet]], etc. sont déjà installé. En effet chacun de ses modèles reprenne le nom de la page et rend donc l'information redondante. Comme le titre de la page au sein des modèles apparait de façon plus esthétique l'utilisation du code &lt;nowiki&gt;{{Titre incorrect|}}&lt;/nowiki&gt; en cachant le titre automatiquement créé par MediWiki permet de résoudre le problème de redondance tout en gardant l'information dans sa parue la plus esthétique. Voici quelques exemples pour vous donner une idée : utilisation sur ma page utilisateur [[utilisateur:Lionel Scheepmans]], dans le cadre d'une leçon : [[Sondage]], d'une recherche : [[Recherche:Wikipédia, média de colonisation culturelle occidentale]], d'un projet : [[Projet:Bibliothèque wikiversitaire]]. Une idée pourrait être d'intégrer ce code directement dans les différents modèles pour le rendre effectif sur toutes les pages qui l'utilise moyenant peut-être quelques autres modifications si nécessaire. Qu'en pensez-vous ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 9 mai 2016 à 20:58 (UTC)
:Cela fait disparaître la balise &lt;nowiki&gt;&lt;h1&gt;&lt;/nowiki&gt; de la page et donc rend l’accessibilité de la page moindre puisqu’on trouve des balises &lt;nowiki&gt;&lt;h2&gt;&lt;/nowiki&gt; sans balise &lt;nowiki&gt;&lt;h1&gt;&lt;/nowiki&gt;.[[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 9 mai 2016 à 21:07 (UTC)
::En langage clair cela veut dire quoi [[Utilisateur:Crochet.david|David]] ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 9 mai 2016 à 21:10 (UTC)
:::Cela veut tout simplement dire qu’un lecteur autre qu’écran ne trouvera pas l’organisation structurelle de la page. Une page html est structuré par différente balise qui permet d’indiquer de la sémantique en plus du visuel. Sans sémantique structuré (comme l’est le language XML), la page sera déclaré invalidé par tout moteur ou robots lisant la page, et implicitement l’utilisation qui en sera faite derrière. L’exemple le plus courant du HTML sémantique est par exemple, lorsque tu écris dans un moteur de recherche bien connu « quel temps fera t-il après-demain à Istanbul », il te propose directement le résultat et ne cherchera jamais à trouver ce texte dans une page web d’un site alors que l’objectif primaire d’un moteur de recherche est de trouver la phrase exacte et non ce qu’il veut dire. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 9 mai 2016 à 21:22 (UTC)
::::T'en sais des choses [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ! Et dans tes connaissance tu n'aurais pas un solution pour éviter la redondance, les erreurs de syntaxe et le manque d'esthétique des pages en dehors de l'espace nom principale ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 9 mai 2016 à 21:28 (UTC)
:::::La « beauté » n’est que subjectif, le contenu est l’objectif. Faisons du contenu exploitable au maximum avant de faire du beau avec. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 9 mai 2016 à 21:33 (UTC)
::::::Dans l'absolu, je partage cette ton idée de priorité sur l'exploitabilité du contenu [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] mais il existe aussi dans le milieux de l'édition des règles esthétiques simples et partagée par tous tel qu'éviter la redondance ou utiliser les bonnes apostrophe {{clin}}. Si on peut faire beau et exploitable au maximum, pourquoi s'en priver ? Si j'en avais les compétences techniques, je ne me poserais même pas la question. Malheureusement, au stade ou j'en suis, ma sensibilité et donc mes souhaits d'amélioration sont plutôt du côtés esthétiques. Si l'on me dit maintenant : « Oh tu sais l'esthétique c'est subjectif et secondaire » je vais donc rester avec cette frustration de n'avoir qu'un rôle secondaire. Et c'est déplaisant tu comprends ? Alors dis-moi un peu s'il tu veux, ne peut-on pas alors utiliser le code &lt;nowiki&gt;{{DISPLAYTITLE}}&lt;/nowiki&gt; sans que le même problème expliqué ci-dessus apparait aussi ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 9 mai 2016 à 22:07 (UTC)

== [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/19|Tech News: 2016-19]]  ==

&lt;section begin=&quot;technews-2016-W19&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;fr&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique Wikimédia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/19|D’autres traductions]] sont disponibles.

'''Changements récents'''
* Les Wikiversités sont dorénavant dotés d'un meilleur accès à Wikidata. Elles peuvent utiliser les données de n'importe quelle page Wikidata depuis n'importe quelle page sur Wikiversity. Cela sera effectif le 3 mai. [https://www.wikidata.org/w/index.php?title=Wikidata:Development_plan&amp;diff=326125500&amp;oldid=318553405]
* Vous pouvez utiliser [http://recommend.wmflabs.org/#Recommend Wikipédia ''GapFinder''] pour trouver des articles manquant dans une langue par rapport à une autre. [https://blog.wikimedia.org/2016/04/27/article-recommendation-system/]
* Les utilisateurs sont invités à essayer les [[mw:Special:MyLanguage/Help:Notifications/Cross-wiki|notifications interwikis]] sur tous les wikis. Il s'agit de la dernière phase de test avant leur mise en place par défaut, prévue pour le 12 mai à 23 h UTC. [https://phabricator.wikimedia.org/T117669][https://phabricator.wikimedia.org/T130655]
* Vous pouvez utiliser des [[m:Special:MyLanguage/Help:Keyboard shortcuts|raccourcis clavier]] pour ouvrir l'éditeur visuel (''Méta''+V) ou l'éditeur de code (''Méta''+E) (sur certains wikis, même si vous avez choisi un éditeur favori). [https://phabricator.wikimedia.org/T116406]
* Téléverser des fichiers de taille supérieure à {{unité|100|Mo}} sur Wikimedia Commons nécessitait de modifier ses préférences. Cela n'est plus nécessaire. [https://phabricator.wikimedia.org/T131496]
* L'extension ''[[mw:Extension:UploadsLink|UploadsLink]]'' (Lien « Fichiers téléversés ») est dorénavant disponible sur Wikimedia Commons. [https://phabricator.wikimedia.org/T130018]
* La suppression d'une section de traduction dans une page n'effaçait pas le contenu correspondant de la page de traduction. Ceci est dorénavant résolu. [https://phabricator.wikimedia.org/T41415]
* Les suggestions de traductions fondées sur Apertium sont maintenant disponibles sur Mediawiki.org. [https://phabricator.wikimedia.org/T133008]

'''Problèmes'''
* MediaWiki 1.27.0-wmf.23 a été retiré des wikis Wikimedia, en raison d'un problème de performance. [https://phabricator.wikimedia.org/T134553]

'''Changements cette semaine'''
* &lt;span title=&quot;Sujet récurrent&quot;&gt;[[Fichier:Octicons-sync.svg|12px|link=]]&lt;/span&gt; La [[mw:MediaWiki 1.28/wmf.1|nouvelle version]] de MediaWiki sera sur les wikis de test et sur MediaWiki.org à partir du 10 mai. Elle sera sur tous les projets, excepté la majorité des Wikipédias, à partir du 11 mai. Elle sera déployée sur toutes les Wikipédias le 12 mai ([[mw:MediaWiki 1.28/Roadmap|calendrier]]).

'''Réunions'''
* &lt;span title=&quot;Sujet récurrent&quot;&gt;[[Fichier:Octicons-sync.svg|12px|link=]]&lt;/span&gt; Vous pouvez participer à la prochaine réunion avec l’équipe de l’Éditeur visuel. Au cours de cette réunion, vous pourrez indiquer aux développeurs quelles anomalies vous semblent les plus importantes. Cette réunion aura lieu le [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=19&amp;min=00&amp;sec=0&amp;day=10&amp;month=05&amp;year=2016 10 mai à 19 h (UTC)]. Voyez [[mw:VisualEditor/Weekly triage meetings|comment participer]].
* &lt;span title=&quot;Sujet technique&quot;&gt;[[Fichier:Octicons-tools.svg|15px|link=]]&lt;/span&gt; Vous pouvez participer à la prochaine réunion avec le [[mw:Architecture committee|comité d'architecture]]. Les thèmes de cette semaine portent sur la refonte de la carte interwiki et l'unification avec les sites et WikiMap. Cette réunion aura lieu le [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=21&amp;min=00&amp;sec=0&amp;day=11&amp;month=05&amp;year=2016 11 mai à 21 h (UTC)]. Voyez [[mw:Architecture meetings|comment participer]].
* Le Hackathon européen 2017 se tiendra du [[mw:Wikimedia Hackathon 2017|19 au 21 mai]] à Vienne, en Autriche.

'''Changements à venir'''
* Aujourd'hui, dans les catégories, une page intitulée « 11 » vient avant « 2 ». Nous avons l'intention de réordonner cela de manière à ce que « 2 » soit affiché avant « 11 ». [[m:Talk:Community Tech/Numerical sorting in categories|Indiquez aux développeurs]] si ce changement risque d'avoir un quelconque impact. [https://phabricator.wikimedia.org/T8948]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/Ambassadors|ambassadeurs techniques]] et publiées par le [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/19|Traduire]] • [[m:Tech|Obtenir de l'aide]] • [[m:Talk:Tech/News|Donner votre avis]] • [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’inscrire ou se désinscrire]].''
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt; &lt;section end=&quot;technews-2016-W19&quot;/&gt; 9 mai 2016 à 23:22 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Johan (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=15583892 --&gt;

== Suppression d'une page  ==

Bonjour,
Comment faire pour supprimer une page que l'on a créée et dont on a pas besoin ?

Merci d'avance pour votre aide

Cordialement
--[[Utilisateur:Mdia12|Mariama Dia]] ([[Discussion utilisateur:Mdia12|discussion]]) 10 mai 2016 à 14:45 (UTC)
:Il suffit d'ajouter {{m|SI}} à la page. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 10 mai 2016 à 14:59 (UTC)


:Merci beaucoup
--[[Utilisateur:Mdia12|Mariama Dia]] ([[Discussion utilisateur:Mdia12|discussion]]) 11 mai 2016 à 08:01 (UTC)
:: [[:Catégorie:Pages à supprimer]] plus long mais n’affiche aucun bandeau. &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[Catégorie:Pages à supprimer]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt; [[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]])

Merci [[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]]

[[Utilisateur:Mdia12|Mariama Dia]] ([[Discussion utilisateur:Mdia12|discussion]]) 17 mai 2016 à 08:54 (UTC)

== Reformulation du problème lié aux pages de vocabulaire du département Portugais  ==
Les fiches de vocabulaire du département Portugais sont générées automatiquement par le biais du &quot;logiciel&quot; vocabulary-index développé par l’auteur de ces pages (moi-même) hébergé sur [https://tools.wmflabs.org/vocabulary-index/ wmflabs.org] et publié sur Gerrit [https://gerrit.wikimedia.org/r/#/admin/projects/labs/tools/vocabulary-index vocabulary-index].

Le 24 janvier 2016, [[user:Lydie Noria]] (membre des bureaucrates et administrateurs du projet Wikiversité) en supprimant la redirection établie sur cette page vers la page mise à jour automatiquement par l’outil &quot;vocabulary-index&quot; [[Portugais/Index vocabulaire/vcb Phonétique]] a mis en échec l’outil d’indexation automatique. Lydie a répétée l’opération consistant à briser la redirection, sur toutes les pages de vocabulaire du département.
* [[Discussion:Portugais/Grammaire/Article/Fiche/vcb Article]]
* [[Discussion:Portugais/Grammaire/Nom/Fiche/vcb Nom]]
* [[Discussion:Portugais/Grammaire/Adjectif/Fiche/vcb Adjectif]]
* [[Discussion:Portugais/Grammaire/Grau/Fiche/vcb Grau]]
* [[Discussion:Portugais/Grammaire/Pronom/Fiche/vcb Pronom]]

Je considère cette attitude comme du vandalisme ; j’ai soumis aux administrateurs [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs]] le 24 février 2016 qui est restée sans résultat.

J’attire l’attention sur le fait que ce vandalisme empêche la continuité de mon travail sur l’outil vocabulary-index comme sur le département de Portugais.

Je réclame la révocation des modifications réalisée par [[user:Lydie Noria]] sur les pages de vocabulaire du département Portugais. --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 9 mai 2016 à 11:54 (UTC)

:Ah ! Esta feite, otimo. Ok, ben je vais me prononcer sur la question quand j'aurai eu le temps d'avoir parcouru la question en espérant que mon humble avis puisse faire évoluer la situation. @te logo. Ce sera aussi l'occasion de me replonger un peu dans le portugais et ptet même de contribuer un peu si j'en ai les capacités [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 10 mai 2016 à 22:04 (UTC)

:Donc voilà, comme il y a plusieurs pages en question, je vais donner mon avis ici. Ce que j'ai observer c'est :
:# [[Spécial:diff/539002|ces modification]] faite par [[user:Lydie Noria]].
:# Ce [https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Portugais/Grammaire/Adjectif/Fiche/vcb_Adjectif&amp;diff=next&amp;oldid=533556 retrait de redirection] aussi fait par Lydie.
:Pour le 1 je pense qu'il est normal de mettre un modèle sur une page pour que les utilisateurs sache de quoi il s'agit et dans quel contexte ça s'inscrit. Maintenant pour la qualité du modèle on en revient à la discussion faite dans la section ci-dessous.
:Pour le point 2 [[Utilisateur:Youni Verciti|Youni]] je me demande s'il n'y a pas une solution à trouver du côté de la [[mw:Transclusion|Transclusion]] ? Je vais faire des tests sur la page [[Portugais/Grammaire/Article/Fiche/vcb Article]]. Super idée en tout cas d'importer le vocabulaire automatiquement parabens ! Te ja, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 11 mai 2016 à 22:06 (UTC)

:Bon, ça fonctionne pas alors que cela fonctionne ailleurs... hé pah ! nao perçebo... Je reviens ici plus tard si tu te manifeste [[Utilisateur:Youni Verciti|Youni]], Boa noite.[[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 11 mai 2016 à 22:18 (UTC)

== Reformulation du problème lié au cours Lua de [[user:Dave Braunschweig]]  ==
[[user:Lydie Noria]] n’a pas tenu compte des observations exposées sur la page de discussion du document [[Discussion:Introduction_au_Lua]], je m’oppose aux modifications effectuées par cet utilisateur. [[user:Lydie Noria]] vous ne respectez pas la liberté des auteurs ([[user:Dave Braunschweig]], [[user:Youni Verciti]]), vous vous appropriez leur travail en y imposant vos modèles et en imposant votre façon de les utiliser.
# J’incrimine le fait que vous ayez modifié le titre du document défini par l’auteur. Ce cours n’est pas une introduction il était conçu pour être développé, malheureusement le travail est suspendu.
# Je revendique le choix de l’emplacement du document &quot;Informatique/Programmation/&quot;.
# J’accuse [[user:Lydie Noria]] d’imposer les modèles {{m|Leçon}}, {{m|Chapitre}} et {{m|Bas de page}} sur le document qui utilisait initialement le modèle {{m|Sidebar}}.
# J’attire l’attention sur le fait que l’utilisateur n’est pas averti sur les pages du projet de l’obligation absolue d’utiliser ces modèles.
# Je soutiens que les modèles proposés sont très pénibles à utiliser et impliquent d’interminables modifications liées à l’indexation manuelle de l’ordre des leçons et à l’ordonnancement des pages suivantes et précédentes.
# J’avise que face à un tel despotisme l’éditeur se sent agressé et dépossédé de son travail.
# Je réclame que soient révoquées toutes les modifications de Lydie sur ce document pour me permettre de continuer ce travail éventuellement à un autre emplacement.
Consultez la requête aux administrateurs: [https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Requêtes_aux_administrateurs/2016&amp;action=edit&amp;section=10]
[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 10 mai 2016 à 18:29 (UTC)
:Ok, pareil, je vais prendre le temps de donner mon avis point par point dès que je peux. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 10 mai 2016 à 22:07 (UTC)

{{Notif|Youni Verciti}}
# Je ne tiens pas à ce que la leçon s'appelle forcément '''Introduction au Lua'''. La seule chose qui m’intéresse est que le titre ne soit pas une sous-page (pas de « / ») conformément à [[Wikiversité:Conventions de nommage#Conventions de nommage particulières]] (point 3). Donnez moi un titre conforme aux conventions de la Wikiversité qui vous convienne et je renommerai la leçon en conséquence.
# Généralement, on choisit un département pour y mettre une leçon. &quot;Informatique/Programmation/&quot; ne signifie rien en dehors des facultés de langue qui ont adopté un formatage particulier.
# Ce sont les modèles adoptés sur la Wikiversité française. Si vous voulez introduire d'autres modèles importants, il faut passer par une prise de décision. (Voir:[[Wikiversité:Prise de décision]]). Le [[Modèle:Sidebar]] n'incluant pas les notions de niveau, prérequis et objectif (qui caractérisent les leçons de la Wikiversité française) et n'incitant pas à faire des exercices, je doute qu'il soit judicieux de l'adopter pour faire des leçons sur la Wikiversité française. L'exemple de la Wikiversité anglophone est assez dissuasif à ce propos.
# Faire une page particulière qui précise les modèles en cours sur la Wikiversité peut être effectivement une bonne idée ! La nécessité ne s'est pas vraiment fait sentir depuis que la Wikiversité a été créé.
# Il y a une façon de faire qui minimise le temps de remplissage des modèles. Par exemple, on ouvre simultanément tous les chapitres avec des « ctrl clic » sur chaque chapitre. On met le [[Modèle:Chapitre]] dans chaque chapitre avec les item non renseignés (sauf ce qui est commun à chaque chapitre). Pour chaque chapitre on copie le titre que l'on colle dans « suivant » du chapitre précédent et dans « précédent » du chapitre suivant. Avec l'habitude, on ne dépasse guère trois minutes pour remplir une dizaine de chapitres sans oublier les [[Modèle:Bas de page]]. En procédant ainsi, le temps de remplissage des modèles de haut de page et de bas de page est très négligeable devant le temps de rédaction du chapitre. Je ne pense donc pas qu'il soit nécessaire de faire une révolution de la Wikiversité. Mais si cela vous tient à cœur, vous pouvez toujours organiser une prise de décision pour trouvez une meilleure solution.
# Personnellement, je respecte les conventions de la Wikiversité et je suis prête à faire des prises de décision pour toutes nouveautés qui ne reçoivent pas d’emblée l'approbation de certains utilisateurs de la communauté. Vous, par contre, vous voulez introduire des choses dans la Wikiversité malgré les critiques d'autres utilisateurs sans passer par une prise de décision avec vote. C'est donc vous qui avez un comportement despotique.
# Si vous ne voulez pas que vos contributions soit modifiées, il ne faut pas les mettre sur un des projets Wikimédia. Mes modifications consistent à rendre vos contributions conformes à ce qui se fait normalement sur la Wikiversité française. Elles sont donc parfaitement légitimes. Si je n'avais pas fait ces modifications, elles auraient, de toutes façons, été faites un jour ou l'autre par un autre contributeur. Vous ne pouvez pas maintenir des contributions incorrectes indéfiniment par la persuasion ou en râlant chaque fois qu'un utilisateur viendra les modifier.

— [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 11 mai 2016 à 12:43 (UTC)
:: [[user:Lydie Noria]] J’ai besoin du document dans sa version antérieure au 7 mai ; je crois que [[Projet:Laboratoire/Lua]] conviendra à tout le monde. Vous pourrez conserver votre version. Merci d’avance.

:Je m’apprêtais à écrire plus ou moins la même chose que [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie]]. C'est dommage que je n'ai pas eu le temps de le faire. Je suis persuadé que la ton utilisé par [[Utilisateur:Youni Verciti|Youni]] doit être du au fait qu'elle est souvent (toujours peut-être) la première à remonter les brettelles (j'aime bien cette expression) aux utilisateurs qui s'écartent des conventions établies, alors que d'autres utilisateurs pourraient le faire aussi. Donc,
:# Je pense que la solution est trouvée.
:# Je comprends pas... L'emplacement ? N'est-ce pas l'espace principale pour les cours et l'espace nom recherche: pour les recherches ect ? Et les sous page comme parties des leçon ou partie des recherches ? Je vois pas comment on pourrait penser les choses autrement ?
:# Mon âme d'[[w:anarco-communiste]] me dit ceci : Si [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie]] impose la mise en place d'un modèle sous effigie d'un quelconque autorité, là je dis ''halte là camarade'' ! {{clin}} Pas de hiérarchie statutaire dans notre projet s'il te plait. Si maintenant [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie]] applique des règles ou des conventions établies de façon démocratique par l'ensemble de la communauté, alors là je dis ''Merci camarade'' ! Nous apportons la preuve que l'anarchie n'est pas le chao mais une organisation politique démocratique et bien pensée et organisée sans que l'on ai besoin de faire appelle à une quelconque hiérarchie. Ma première question est donc de savoir si Lydie applique une autorité ou des règles et convention établies par la communauté. Ma deuxième question est de savoir si ces règles et conventions sont créée de façon démocratique ou non. Il se pourrait en effet qu'un utilisateur crée ou transforme des règles ou recomandations seul dans son coin pour les appliquer ensuite au reste du projet. Ce qui serait dans ce cas une forme de despotisme camouflé.
:# En fonction de ma position exprimée dans le point précédent, je préconiserais donc, de plancher ensemble sur l'améliorations des modèles important (leçon, recherche, projet, etc.) et de poursuivre avec des prises de décisions démocrtiques pour en accepter la forme d'éfinitive et de déterminer les règles d'usages.
:# Si le travail précédent est bien fait ce point devrait être résolu.
:# En raison de la licence CC SA BY 3.0 appliqué sur l'ensemble du projet, les droits d'auteurs restrictifs pour les utilisateur sont la paternité (obligé de cité les éditeurs) le [[w:copyleft|copyleft]] obligé d'appliquer la licence CC SA BY 3.0 sur toute reproduction et tout travaux dérivés. En ce sens s'il existe du despotisme dans notre projet, il vient de la licence qui dépossède les autreurs d'une grande partie des droits d'auteurs communément accordé dans d'autre cas de licence.
:# Dans la philosophie du libre développée autour de cette licence, ce qui se passe lorsque deux personnes ou deux groupes ne s'entendent plus sur la direction future d'un projet, il s'oppère en général une scission qui permet le développement de deux projets séparés au départ des acquis du projet d'origine. Je pense que la chose est applicable sur Wikiversité. Si on n'est pas d'accord sur le contenu d'une leçons ou d'une recherche, on peut peut en faire une autre avec un autre contenu. Il n'y a pas qu'un seul cours de philosophie dans mon université et les profs enseigne la philosophie parfois de façon diamètralement opposée. Si le désaccord se base maintenant sur les conventions et règles établies démocratiquement par la communauté, une personne ou un groupe est alors libre de créer une nouveau projets similaire avec la Wikiversité mais avec d'autre convention. Cela s'est fait de nombreuse fois au niveau de Wikipedia. [[w:Larry Sanger|Larry Sanger]] fut le premier à le faire je crois.
:[[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 11 mai 2016 à 17:33 (UTC)

:: {{Notif|Lionel Scheepmans}} Pour répondre à ton questionnement du point trois, je rappellerais que seul la communauté peut imposer par un vote. Je ne peux en aucun cas imposer quoi que ce soit personnellement. Je ne peux que défendre ce qui a été décidé par un vote de la communauté. Mais je ne crois pas qu'il s'agisse de cela dans le cas présent. Nous sommes dans le cas où un utilisateur essaye d'introduire quelque chose de nouveau dans la Wikiversité (en l'occurrence le [[Modèle:Sidebar]]). Je vais exposer ce que j'ai compris sur la façon de se comporter dans ce cas (peut-être que je me trompe) : Supposons qu'un utilisateur veuille introduire quelque chose de nouveau. Alors, il y a deux cas de figure. Dans le premier cas, personne ne s'y oppose. Dans ce cas, il n'y a pas de problème. Il n'y a pas de raison de faire une prise de décision et de voter tant que personne ne manifeste son opposition. Dans le second cas, un ou plusieurs utilisateurs manifeste son opposition à la nouveauté. Dans ce cas, si l'utilisateur, qui veut introduire sa nouveauté, espère le faire malgré les avis contraires qu'il a reçut, il doit organiser une prise de décision pour tenter d'obtenir un vote favorable (à 75%) de la communauté. Personnellement, c'est comme cela que j'ai toujours agi chaque fois qu'il y avait un utilisateur qui manifestait son opposition à quelque chose que je pensais qu'il était souhaitable d'introduire sur la Wikiversité. Dans le cas présent, Youni veut faire une leçon en utilisant le [[Modèle:Sidebar]] qui n'a jamais été approuvé officiellement par la Wikiversité. Pour les raisons que j'ai exposé plus haut (dans mon point trois), j'ai manifesté mon opposition, non pas en tant que bureaucrate ou administratrice, mais en tant que simple utilisatrice. Nous ne sommes donc pas d'accord, Youni et moi, sur l'introduction de ce modèle. Si Youni veut malgré tout l'introduire, il aurait donc dû organiser une prise de décision pour exposer clairement les raisons qui l'amène à penser que l'introduction de ce modèle se justifie et obtenir un vote favorable (à 75%) de la communauté. Si Youni obtient ce vote favorable, alors il pourra l'utiliser tranquillement sur la Wikiversité et il ne me restera qu'à me taire. Le problème actuel, c'est qu'Youni ne semble pas vouloir suivre la procédure normale et espère pouvoir introduire ce modèle en râlant et sans passer par un vote de la communauté même si certains utilisateurs ne l'approuve pas. J'avais déjà, il y a un certain temps, manifesté mon opposition à ce modèle. J'ai attendu un délai raisonnable (plus d'un moi) pour laisser à Youni le temps d'organiser sa prise de décision. J'ai constaté ensuite que rien n'a été fait, j'ai donc remplacé le [[Modèle:Sidebar]] (qui , en plus, a été importé illégalement par copier-coller) par le [[Modèle:Leçon]]. — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 11 mai 2016 à 20:19 (UTC)
:::Oui c'est bien cela, et nous avons un exemple avec le projet accessibilité numérique, où [[Utilisateur:Lydie Noria|quelqu'un]] criais au loup à son arrivée et qui finalement s'est régularisé suite à cette [[Projet:Wikiversité/Autoriser la création de pages gadget-MOOC|prise de décision]]. Est-ce que tout ce développement répond à ta requête [[Utilisateur:Youni Verciti|Youni]] ? Saches que moi aussi j'ai très envie de modifier les modèles existant, particulièrement le modèle recherche. Malheureusement, comme je n'ai pas le temps de susciter le changement actuellement, je patiente. Un jour (après juin et mes études) on pourrait se concerter pour travailler ensemble. Les modèles leçon et recherche sont similaire et nos envies se rejoindront peut-être. Qu'en penses-tu ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 11 mai 2016 à 21:12 (UTC)

== Nouveau projet collaboratif  ==

Bonjour,

Je voudrais créer pour l'association que je représente, l'école de psychothérapie éclectique (épé), un projet collaboratif de recherche sur l'éclectisme en psychothérapie, la définition ds outils, des méthodes et des théories. L'objectif est de diffuser les informations sur la psychothérapie en les synthétisant, mais aussi de faire évoluer les conceptions qui ont cours dans ce domaine et de permettre à nos adhérents de participer à un projet rédactionnel ouvert sur la communauté scientifique et les réseaux Internet.

Je voudrais savoir si wikiversité est le bon endroit pour un tel projet ?
Comment créer un projet collaboratif ? Serait il possible d'en limiter l'édition aux adhérents de notre association, ou est ce que ces projets sont éditables par tout un chacun ?
--[[Utilisateur:Epeclect|Epeclect]] ([[Discussion utilisateur:Epeclect|discussion]]) 11 mai 2016 à 05:54 (UTC)
:Bonjour, cela se fait sur la base des bonnes volontés : quand on appose un modèle comme {{M|en travaux}} (ou on peut en imaginer un autre pour les projets réservés à certains), techniquement tout le monde peut modifier la page mais moralement ce serait mal vu. 
:Pour l'instant cela fonctionne bien et il n'y a pas eu d'intrus dans les autres [[projets collaboratifs]].
:Et [[Recherche:Psychothérapie éclectique]] fait tout à fait l’affaire. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 11 mai 2016 à 07:17 (UTC)
::{{notif|Epeclect}}J’ai l’impression que tu as tout trouvé tout seul. Pour ce qui est de qui peut travailler, dans le cadre d’un wiki, la règle c’est : Tout le monde. Dans le cadre d’un projet collaboratif, seuls ceux qui sont intéressés au projet vont contribuer. Ensuite d’autres personnes peuvent se joindre pour quelques améliorations, tâches, aménagements, etc. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 11 mai 2016 à 11:49 (UTC)
:::Bienvenu [[Utilisateur:Epeclect|Epeclect]] ! Garde à l'esprit que c'est l'ouverture du projet Wikipedia à tout utilisateurs qui en a fait sa réussite mais aussi malheureusement se difficulté de maintenance et d'organisation. Le dernier point que je développe dans ma réponse au poste prédédent peut aussi t'apporter un éclairage supplémentaire. Bonne continuation, et si besoin, on est là. Enfin en tant que bénévole et quand on a le temps {{clin}}. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 11 mai 2016 à 17:40 (UTC)

:: Merci pour votre accueil.


== Modification de la bibliothèque wikiversitaire  ==

Bonjour, [[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] a manifesté son profond désaccord vis-à-vis du fait qu'il y ait des départements dans la bibliothèque wikiversitaire (voir : [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2016#La bibliothèque wikiversitaire]]). Dans [[Discussion Projet:Bibliothèque wikiversitaire#Services ?]], [[Utilisateur:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] avait proposé le terme '''Section''' comme alternative au terme '''Département'''. Ceci a été approuvé par [[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]]. Je me propose donc de faire la modification dans la bibliothèque wikiversitaire en remplaçant l'appellation '''Département''' par l'appellation '''Section'''. Mais avant, je fait un petit sondage ici pour m'assurer qu'il n'y a pas d'opposition à cette transformation et que cette transformation ne nécessite pas une prise de décision avec vote. Je précise que cette transformation peut se justifier par le fait que les départements actuels de la bibliothèque sont destinés à contenir des documents pédagogiques (et non des leçons) et utilise le [[Modèle:Département bibliothèque]] qui est assez différent du [[Modèle:Département]] utilisé par les départements des facultés. — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 12 mai 2016 à 09:25 (UTC)
:La bibliothèque wikiversitaire doit exister, elle est une aide. Pour ce qui est des noms, j'étais partant pour &quot;département&quot; puisque c'est un découpage courant dans la wikiversité, or la bibliothèque wikiversitaire n'est pas lié à une faculté, elle n'est pas une faculté elle-même. Ce serait créer un mélange du genre d'avoir des département. Ensuite, j'essaie de me rapprocher le plus de ce qui existe. Je ne vois pas de &quot;sections&quot; dans une bibliothèque, les livres sont rangées par thèmes dans des &quot;rayons&quot; plutôt que des &quot;sections&quot;. D'ailleurs, quand je vais à la FNAC je vais bien dans des rayons. Ce terme est un peu plus proche. Maintenant est-ce que toute la francophonie utilise ce terme. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 12 mai 2016 à 10:03 (UTC)
::En France, on parle souvent de &quot;sections&quot; dans les bibliothèques municipales. Et dans chaque section, il y a plusieurs rayons. Et ensuite plusieurs étagères dans chaque rayon. Etc.
::Je suis partant pour &quot;section&quot;. --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 12 mai 2016 à 15:31 (UTC)
:::En Belgique aussi on parle souvent de sections et d'espaces (ex: {{Cite web| title = La bibliothèque et ses différentes sections| work = Florennes| accessdate = 2016-05-12| url = http://www.florennes.be/culture-et-loisirs/culture/bibliotheque/bibliotheque-1}}. Le terme rayons est utilisé surtout dans les grands magasins, appliqué à une bibliothèque ça ferait un peu bizarre. Donc pour moi, l'idéale serait de remplacer les actuels département par des espaces pour pouvoir ensuite diviser ces espaces en sections rattachées aux facultés. Par exemple :
:::* Espace fiches de lectures
:::** Section philosophie
:::** Section langues anciennes
:::** etc.
:::* Espace Livres traduits
:::** Section philosophie
:::** Section langues anciennes
:::** etc.
:::Chaque page contenu serait catégorisée de telle sorte à pouvoir en faire des pages de catalogues dans les différents départements en faisant des inclusions de page de catégories avec le code &lt;nowiki&gt;{{Catégorie:Fiches de lecture}}&lt;/nowiki&gt;. Enfin si quelqu'un peut m'expliquer pourquoi ce code ne fonctionne pas, ni celui-ci &lt;nowiki&gt;{{Portugais/Index vocabulaire/vcb Article}}&lt;/nowiki&gt;, alors que cela fonctionne avec celui-ci : &lt;nowiki&gt;{{Utilisateur:Lionel Scheepmans/Brouillon}}&lt;/nowiki&gt; [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 12 mai 2016 à 16:36 (UTC)
:::Voici le rendu :

{{Catégorie:Fiches de lecture}}
&lt;nowiki&gt;{{Portugais/Index vocabulaire/vcb Article}}&lt;/nowiki&gt;
{{Utilisateur:Lionel Scheepmans/Brouillon}}


{{Notif|Lionel Scheepmans}} Pour la commande '''&lt;nowiki&gt;{{Portugais/Index vocabulaire/vcb Article}}&lt;/nowiki&gt;''', tu as oublié les deux points. Il faut écrire '''&lt;nowiki&gt;{{:Portugais/Index vocabulaire/vcb Article}}&lt;/nowiki&gt;'''. Je ne suis pas trop d'accord pour des inclusions de catégories. Il faut se mettre à la place de l'utilisateur novice qui voudra rajouter un document. il va cliquer sur ''modifier'', va voir les commandes d'inclusions, ne va rien comprendre et va renoncer. Il faut que l'ajout de documents reste simple ! — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 13 mai 2016 à 04:31 (UTC)
:Effectivement, c'est le problème des inclusions. En même temps il n'y a pas de raison pour ajouter le titre d'une page contenant une fiche de lecture dans une liste si cette page n'existe pas encore et si elle existe, elle doit avoir son modèle et comme le modèle contient la catégorie et bien tout est en ordre. Il est aussi possible d'informer les utilisateurs nouveau du fonctionnement de la liste sur sa page (par exemple : liste automatique) et encore de placer un message invisible sur la page modifier ou modifier wikicode. A voir dans la pratique. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 13 mai 2016 à 07:31 (UTC)
:: {{Notif|Lionel Scheepmans}} Il y a une bonne raison d'ajouter le titre d'une page contenant une fiche de lecture dans une liste si cette page n'existe pas encore, c'est pour avoir le lien rouge et cliquer dessus pour la créer. C'est comme cela que je fais. Cela a été ma première façon de créer des pages. Je n'ai découvert que plus tard que l’on pouvait aussi les créer en mettant le nom de la page dans le cadre ''rechercher'' en haut à droite pour avoir une proposition de création de la page avec un lien rouge pour la créer. Le gros problème avec les commandes d'inclusion, c'est qu'elle donne l'impression que les infos sont dans une page alors qu'elles sont ailleurs. Les utilisateurs novices ne sont pas conscient de cela. Si on met des commandes d'inclusion, on va forcément perdre un certain pourcentage de contribution qu'on ne pourra pas évalué, même avec la pratique. L'avantage obtenu avec des commandes d'inclusion me parait très négligeable devant les inconvénients. Si ce que tu redoutes est d'oublier, par exemple, de mettre dans la bibliothèque, certaines fiches de lecture créer par ailleurs, on peut facilement y remédier en mettant un petit programme en Lua dans le [[Modèle:Fiche de lecture]] pour repérer les fiches de lecture non classées. Le problème est le même pour les leçons dans les départements et j'ai déjà fait un programme en Lua pour cela dans [[Aide:Maintenance à l'aide du Lua]] qui marche parfaitement. — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 13 mai 2016 à 18:27 (UTC)
:::Sans connaître Lua, c'est vrai que je suis un peu une guerre en retard. Quand au désarroi du nouveau, je comprends parfaitement ce que tu veux dire lorsque l'on clique sur modifier une page tel que [[Projet:Socio-anthropologie]]. Il y a cependant des liens modifier dans chaque cadre qui renvoie vers la page inclue qui finalement rende les choses assez simples. Utiliser Lua pour faire des listes, c'est aussi détourner une difficulté technique par une autre difficulté technique. En ce qui me concerne, le contournement technique est plus difficile que le problème technique initial. En résumé, quelqu'un qui veut créer une liste sans Lua est parti pour le faire à la main et si l'on inclus une page de catégorie, on ne peux pourra pas modifier la liste à la main. Donc je sais pas trop ce qui est le mieux [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie]]. Je pense néanmoins que les pages catégories gagneraient à être rendues plus visibles en général. C'est un outil sous exploité je trouve. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 16 mai 2016 à 07:31 (UTC)
:::: {{Notif|Lionel Scheepmans}} Je ne cherche pas à remplacer une difficulté technique par une autre. On ne fait pas des inclusions dans les départements comme [[Département:Communication]]. Je ne vois pas pourquoi on ferait des inclusions dans les espaces de la bibliothèque. De même qu'il y a des liens « modifier » dans chaque cadre de la page [[Projet:Socio-anthropologie]], il faut qu'il y ait des lien « modifier » dans les espaces de la bibliothèque pour que l'utilisateur novice puisse accéder directement et facilement à la liste des documents pour y rajouter le sien (c'est d'ailleurs déjà le cas). Il n'est pas question d'utiliser le Lua pour faire des listes. J'ai mal dû me faire comprendre. J'ai seulement voulus dire que le Lua pourrait servir éventuellement à la maintenance pour repérer, par exemple, les fiches de lecture que l'on aurait oublié de  mettre dans l'espace [[Fiches de lecture]], ce qui ne concerne en rien les utilisateurs novices. — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 16 mai 2016 à 23:13 (UTC)
:::::Ok, je comprend mieux. Mais quelque part, tous les modèles sont des inclusions non ? Et aucun modèle n'est éditable via un seul clic sur modifier. Il m'a fallut un certain temps je m'en souvient pour que je puisse trouver dans les pages d'éditions la petite flèche qui me permet de voir apparaître la liste des modèles utilisés dans une page. Et puis quand on arrive sur la page modèle leçon, bonne chance pour s'y retrouver. Je suis pas un chat débutant mais je n'y retrouve pas mes petits. Donc, si je me met comme toi dans l'optique de l'utilisateur nouveau, ces modèles que l'on impose à la communauté seraient aussi à revoir. Enfin pour terminer, l'inclusion d'une page de catégorie a cette avantage et inconvédient que l'on ne peut pas modifier son contenu au niveau de la page elle-même. Autrement dit, c'est une option à prendre ou à laisser ce qui quelque part simplifie la vie. Je n'ai malheureusement pas le temps de poursuivre cette conversation pour l'instant [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie]]. J'ai des travaux à finir qui n'avancent pas. Sens-toi libre de toute façon avec moi d'appliquer le principe de [https://blogs.mediapart.fr/edition/la-revue-du-projet/article/031114/les-mots-clefs-de-l-univers-des-fab-labs Do-ocratie]. On reparlera de tout ça en temps quand l'occasion se présente. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 17 mai 2016 à 16:23 (UTC)
Bon, revenons à nos moutons ! est-ce que tout le monde est d'accord pour que je remplace l'appellation '''département''' par l'appellation '''Espace''' dans la bibliothèque comme le propose [[Utilisateur:Lionel Scheepmans|Lionel]] quitte à créer ensuite des sections spécialisées dans chaque espace pour ranger les documents disponibles. — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 13 mai 2016 à 18:27 (UTC)
:moi j'y comprends rien ... où sont les moutons ? il me semble que c'est plutôt du style « comment couper un cheveu en quatre ? » ... donc je n'ai pas d'avis ... [[Utilisateur:Firmin80|Firmin80]] ([[Discussion utilisateur:Firmin80|discussion]]) 13 mai 2016 à 18:44 (UTC)
::Ma mère était coiffeuse, c'est ptet pour ça [[Utilisateur:Firmin80|Firmin]] {{clin}}. Qui ne dit mots consent [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie]]. Envoie la sauces si personne ne coupe les cheveux en huit. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 13 mai 2016 à 19:45 (UTC)
:::Ok pour moi. --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 14 mai 2016 à 06:39 (UTC)

J'ai fait la modification pour les fiches de lecture à titre de démonstration. Si personne ne râle, je ferai le reste. — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 14 mai 2016 à 09:38 (UTC)
: j'avais dit que je n'avais pas d'avis mais je trouve que c'est très bien. finalement, j'ai compris... [[Utilisateur:Firmin80|Firmin80]] ([[Discussion utilisateur:Firmin80|discussion]]) 14 mai 2016 à 12:48 (UTC)
::Ok pour moi. [[Utilisateur:Geoleplubo|Geoleplubo]] ([[Discussion utilisateur:Geoleplubo|discussion]]) 14 mai 2016 à 22:40 (UTC)

== La bibliothèque wikiversitaire  ==
Je mets en garde la communauté sur le fait que le nouveau projet [[Bibliothèque wikiversitaire]] hébergé dans l'espace principal, relayé dans l'espace [[Projet:Bibliothèque_wikiversitaire | projet]] représente un danger pour le projet Wikiversité. La similitude de leur nom et celle de leur définition sont troublantes.

La Wikiversité est une bibliothèque de document en soi ; la bibliothèque wikiversitaire n'apporte rien de nouveau.

Je m’étonne que nous ayons laissé ce projet créer plus de 20 pages désignées comme départements dans l'espace de noms Département car cela n'est pas conforme avec notre approche des notions de faculté et départements.
Il s’agit de pseudo-départements qui ne sont pas attachés à une faculté, ils ne font pas fonction de département. L'espace de noms Département à pour but de contenir les pages qui font fonction de département et leurs sous-pages ; tout autre page quelque soit son nom est malvenue dans cet espace.

J'ai composé ces derniers mois, une expérience dans le laboratoire en trois volets portant sur les espaces de noms du projet Wikiversity [[Projet:Laboratoire]]. L’expérience s’appuie sur un programme Python et un ensemble de modules.

Vous pouvez constater à travers l’expérience, quelle fût la difficulté pour obtenir le nombre 
exact de départements. Nous avons finalement réussi à séparer la liste des pages de l'espace de noms Département qui ne correspondent effectivement pas à un département : [[Projet:Laboratoire/Espaces de noms/Département/Pseudo]]

Amicalement.--[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 11 mai 2016 à 22:06 (UTC)
:[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni]], au sujet des départements, on est en train d'en discuter ci-dessus. Concernant l'espace non je suis partant pour relancer le débat. Il n'y a en effet aucune raison par exemple pour que la recherche fasse partie d'une espace nom différent et pas la bibliothèque. Pour la similitude entre les deux projets, elle disparaît si les deux problèmes précédents sont réglés. Pour le reste je ne connais aucune université sans bibliothèque, anciennement et avant l'avenue d'Internet, la ou les bibliothèques symbolisaient même le ou les cœurs d'une université. Selon mon point de vue, la présence d'une bibliothèque numérique dans une université numérique a donc tout son sens. C'est même je crois une première très novatrice qui pourrait faire des émules dans l'espace internet. Les moteur de recherche c'est bien, mais cela reste actuellement de l'information qui est mal filtrée, mal sélectionnée, mal triée, mal catégorisée et donc mal structurée. La bibliothèque wikiversité a en ce sens un énorme potentiel devant elle. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 12 mai 2016 à 17:26 (UTC)

== [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/20|Tech News: 2016-20]]  ==

&lt;section begin=&quot;technews-2016-W20&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/20|Translations]] are available.

'''Recent changes'''
* Some image thumbnails now load faster on mobile. They also take up less bandwidth. [https://phabricator.wikimedia.org/T122242]

'''Problems'''
*Last week's MediaWiki version was late on some wikis. [https://lists.wikimedia.org/pipermail/wikitech-l/2016-May/085585.html]

'''Changes this week'''
* [[Special:Notifications]] will have &quot;mark as read&quot; buttons for each day. The non-JavaScript version will get it this week. A JavaScript version will come later. [https://phabricator.wikimedia.org/T134204]
*Wikis can now locally decide what wikitext they want the signature button to produce. [https://phabricator.wikimedia.org/T26191]
* A one-time welcome message for users will now be shown in the wikitext editor. This will include existing users. [https://phabricator.wikimedia.org/T133800]
* &lt;span title=&quot;Élément récurrent&quot;&gt;[[File:Octicons-sync.svg|12px|link=]]&lt;/span&gt; The [[mw:MediaWiki 1.28/wmf.2|new version]] of MediaWiki will be on test wikis and MediaWiki.org from May 17. It will be on non-Wikipedia wikis and some Wikipedias from May 18. It will be on all wikis from May 19 ([[mw:MediaWiki 1.28/Roadmap|calendar]]).

'''Meetings'''
* &lt;span title=&quot;Advanced item&quot;&gt;[[File:Octicons-tools.svg|15px|link=]]&lt;/span&gt; You can join the next meeting with the Architecture committee. The topics this week are &quot;[[phab:E184|Requirements for change propagation]]&quot;. The meeting will be on [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=21&amp;min=00&amp;sec=0&amp;day=18&amp;month=05&amp;year=2016 May 18 at 21:00 (UTC)]. See [[mw:Architecture meetings|how to join]].

'''Future changes'''
*Using self-closing tags like &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;&lt;div/&gt;&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt; and &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;&lt;span/&gt;&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt; to mean &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;&lt;div&gt;&lt;/div&gt;&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt; and &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt; will not work in the future. Templates and pages that use these tags should be fixed. When [[phab:T134423|Phabricator ticket T134423]] is fixed these tags will parse as &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;&lt;div&gt;&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt; and &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;&lt;span&gt;&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt; instead. This is normal in HTML5. [https://phabricator.wikimedia.org/T134423]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/Ambassadors|tech ambassadors]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/20|Translate]] • [[m:Tech|Get help]] • [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]] • [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].''
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt; &lt;section end=&quot;technews-2016-W20&quot;/&gt; 16 mai 2016 à 16:01 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Johan (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=15603218 --&gt;

== Pause et Wikimania  ==

Juste un petit message pour dire que je vais m'interdire d'intervenir sur les espaces de discussion communautaire pour avancer dans mes travaux d'unifs. Je me demandais aussi qui de notre communauté serait présent à Wikimania ? Une belle fin de journée à tous, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 17 mai 2016 à 16:26 (UTC)
:Si je serai [[w:Wikipédia:Wikimania 2016|en Italie dans un mois]] ? A priori non. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 17 mai 2016 à 17:32 (UTC)

== A propos des suppression de page de discussion utilisateur et adresse IP  ==

Bonjour, je soulève la question au sujet de [https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Spécial:Restaurer&amp;target=Discussion_utilisateur%3A70.82.178.212 cette page] et voici un ensemble de remarques à ce sujet :
*Elle a été supprimée « à la demande d'un utilisateur ». Mais le fait est que sur cette page se trouvait des écris de plusieurs auteurs. Je ne vois donc pas pourquoi on accorderait le droit à un seul auteur de supprimer une page sans en consulter l'avis des autres auteurs.
*Je pense que les pages de discussion sont des lieux important en termes d'historique des actions et avertissement tant pour les comptes utilisateurs que pour les adresse IP, même si l'on sais bien que plusieurs auteurs peuvent utiliser de façon non simultanée un adresse IP dynamique.
*Cette page contient des échanges entre différents utilisateurs de notre projet qui pourraient être utiles dans de possibles évaluations futur sur le comportement de ces utilisateurs. On pourrait par exemple me reprocher un jour d'avoir annulé une modification sur cette page. Supprimer cette page, c'est donc aussi privé la communauté d'informations utiles.
*Il m'arrive souvent en raison de ma distraction d'éditer sans m'être connecté à mon compte. Je considère cela comme un erreur de ma part et j'en assume donc les conséquences. Maintenant, si s'agit de sauver la peau d'un utilisateur distrait ressortissant d'un pays totalitaire en supprimant la page de discussion d'une adresse IP nous le ferions bien entendu sans hésitez. Mais ce n'est pas vraiment le cas de figure ici.
*Quand j'ai demandé de supprimer ma page de discussion utilisateur sur Wikipedia suite à ma demande d'autoblocage, cela ne m'a pas été accorder. Je ne sais pas la raison, mais peut-être que [[Utilisateur:Céréales_Killer|Céréales_Killer]] anciens membre actif sur Wikipedia connaîtrait pas la réponse ?
Que pense donc la communauté de Wikiverstié de tout ceci ? Êtes-vous pour ou contre la suppression des pages discussions utilisateur ou IP ? Bien à vous tous [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 23 mai 2016 à 14:33 (UTC)
:Tout dépend du contenu, s'il y a un avertissement ou un remerciement cela peut faire office de carnet de correspondance. Si par contre il y a un message qui s'adresse à un nouveau alors que l'IP appartient à quelqu'un qui ne s'est pas connecté, on pourrait le considérer comme inutile. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 23 mai 2016 à 15:39 (UTC)
::Une page de discussion d’IP, je la supprime ou la vide des discussions de type vandalisme au bout d’un an. N’y est gardé que le modèle {{m|IP partagée}}. Ensuite une IP n’appartient pas à un utilisateur. Donc un utilisateur n’as pas le bénéfice de son IP et donc de la page ad’hoc.[[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 23 mai 2016 à 17:03 (UTC)
:::Il me semble qu'il faudrait voir au cas par cas. --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 23 mai 2016 à 17:56 (UTC)
:Bonjour à tous, il y a eu cette requête sur Wikipédia en [[:w:Wikipédia:Vérificateur d'adresses IP/Requêtes/mars 2016#Demande concernant : FrankyLeRoutier - 16 mars|mars]]. Cordialement. [[Utilisateur:FrankyLeRoutier|FrankyLeRoutier]] % [[Discussion utilisateur:FrankyLeRoutier|Service après-vente]] 23 mai 2016 à 19:32 (UTC)

== [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/21|Tech News: 2016-21]]  ==

&lt;section begin=&quot;technews-2016-W21&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;fr&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique Wikimédia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/21|D’autres traductions]] sont disponibles.

'''Changements récents'''
* Dorénavant, un [[MediaWiki:Restricted-displaytitle|message d'avertissement]] est affiché sur les pages qui tentent d'utiliser &lt;nowiki&gt;{{&lt;/nowiki&gt;[[:mw:DISPLAYTITLE|DISPLAYTITLE]]&lt;nowiki&gt;}}&lt;/nowiki&gt; alors que cela ne fonctionne pas parce qu'il ne correspond pas au titre réel de la page. [https://phabricator.wikimedia.org/T28546]

'''Problèmes'''
*Commons a rencontré des problèmes de ralentissement serveur. Cela s'est traduit par un temps plus long pour l'affichage des fichiers dans les catégories. [https://phabricator.wikimedia.org/T135809]

'''Changements cette semaine'''
* &lt;span title=&quot;Sujet récurrent&quot;&gt;[[File:Octicons-sync.svg|12px|link=]]&lt;/span&gt; La [[mw:MediaWiki 1.28/wmf.3|nouvelle version]] de MediaWiki sera sur les wikis de test et sur MediaWiki.org à partir du 24 mai. Elle sera sur tous les projets, excepté la majorité des Wikipédias, à partir du 25 mai. Elle sera déployée sur toutes les Wikipédias restantes le 26 mai ([[mw:MediaWiki 1.28/Roadmap|calendrier]]).

'''Réunions'''
* &lt;span title=&quot;Sujet récurrent&quot;&gt;[[File:Octicons-sync.svg|12px|link=]]&lt;/span&gt; Vous pouvez participer à la prochaine réunion avec l’équipe de l’Éditeur visuel. Au cours de cette réunion, vous pourrez indiquer aux développeurs quelles anomalies vous semblent les plus importantes. Cette réunion aura lieu le [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=19&amp;min=00&amp;sec=0&amp;day=24&amp;month=05&amp;year=2016 24 mai à 19 h (UTC)]. Voyez [[mw:VisualEditor/Weekly triage meetings|comment participer]].

'''Changements à venir'''
* &lt;span title=&quot;Sujet technique&quot;&gt;[[File:Octicons-tools.svg|15px|link=]]&lt;/span&gt; Tous les accès HTTP aux sites Wikimedia et aux API vont arrêter de fonctionner. Certains robots utilisent encore HTTP. Ils devront nécessairement utiliser HTTPS à la place. Cela se passera le 12 juin. [https://lists.wikimedia.org/pipermail/wikitech-l/2016-May/085618.html]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/Ambassadors|ambassadeurs techniques]] et publiées par le [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/21|Traduire]] • [[m:Tech|Obtenir de l'aide]] • [[m:Talk:Tech/News|Donner votre avis]] • [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’inscrire ou se désinscrire]].''
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt; &lt;section end=&quot;technews-2016-W21&quot;/&gt; 23 mai 2016 à 18:40 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Johan (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=15644507 --&gt;

== La Wikiversité récuse la liberté de mise en forme à ses éditeurs  ==

Suite au modifications d’un administrateur et bureaucrate sur le document en cous de traduction [[en:Lua|Lua]], suite aux plaintes et réclamations du traducteur (moi-même) qui sont restées infructueuses. Le finalement scindé le document [[Projet:Laboratoire/Lua]] sans aucune aide ni assistance de la part de ceux, celui ou celle qui s’accaparent le document en le transformant par l’usage d’une série de modèles que nous connaissons trop bien. Le zèle de notre administratrice nous fait perdre énormément de temps mais nous permet d’affirmer que la Wikiversité oblige les éditeurs à utiliser &quot;ses&quot; modèles répondants à &quot;ses&quot; exigences. Modèles et exigences appartenant en fait à un groupe très restreint d’administrateurs omniprésents depuis les débuts du projet Wikiversité. Les utilisateurs indépendants sont lésés et accusent l’administration du service de comportement autoritaire sans fondement ni justification. Enfin nous soulignons que le document [[Projet:Laboratoire/Lua]] est reclu dans l’espace de noms Projet donc exclu de l’espace de noms principal sous le simple prétexte qu’il n’utilise pas les modèles {{m|Leçon}}, {{m|Chapitre}}, {{m|Bas de page}}. Cette attitude est inacceptable ; nous continuons à la combattre.--[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 24 mai 2016 à 20:19 (UTC)
:Ok, mais pour mener à bien ton combat, il faut rassembler le « nous » autour d'une page de prise de décision ([[Projet:Wikiversité/réforme sur l'application des modèles leçon et recherche]] par exemple) sur laquelle on pourra débattre de tes propositions, les améliorer conjointement si nécessaire, pour ensuite décider tous ensemble de ce que « nous » voulons et ne voulons pas pour la Wikiversité. C'est ce dont on a besoin pour pour faire évoluer les choses [[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] tout a déjà été discuter dans les espaces de discussions communautaires, on ne vas pas tourner en rond autour de nos tasses plus longtemps. Si tu veux aller plus loin, changer ce qui te dérange, c'est dans l'espace projet:Wikiversité que cela se passe. Pour ma part j'arrête ici me interventions jusqu'à ce que cette prise de décision ait pris son envole. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 24 mai 2016 à 20:40 (UTC)

=== Ça y est, il remet ça...  ===

Ça tourne au running gag (gag récurrent), cette histoire... {{sourire}}

Bon, blague à part, et désolé pour l'ironie... [[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]], je ne sais pas ce que Lydie vous a fait (ou ce qu'elle ne vous a pas fait). A mon sens, ça commence à ressembler à une campagne de dénigrement, voire à du harcèlement. (Ça tombe pas sous le coup de la loi, ça ? {{sourire}}). Il me semble qu'il serait temps de lancer une démarche officielle (requête aux administrateurs, prise de décision, ou autre) pour arrêter de perdre notre temps (à tous).

Qu'en pense la communauté ? --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 25 mai 2016 à 08:01 (UTC)
:zzzzzzzz [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 25 mai 2016 à 11:47 (UTC)
::Maiz'encore ? --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 25 mai 2016 à 15:30 (UTC)
:::{{Smiley|indifférent|20}}. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 25 mai 2016 à 16:59 (UTC)

=== Exemple de la Wikiversité anglophone  ===

J'ai l'impression qu'Youni revendique de pouvoir faire comme sur la Wikiversité anglophone, où pas mal de contributeurs ont fait leur cuisine, chacun dans leur coin, pendant des années (depuis 2007, en gros). Et on en voit le résultat. L'arborescence des catégories est un foutoir pas possible, avec des tas de catégories vides ou abracadabrantes. Des écoles, des départements, des &quot;topics&quot; (thèmes, en gros) (en voie de disparition, heureusement), des groupes de travail déserts, des liens morts à la pelle, des tas de petites pages se résumant à une phrase ou un paragraphe, etc.

Il se trouve que je me suis un peu investi dans la petite équipe de contributeurs pour nettoyer un peu. Et ça me fait souvent réaliser la masse de travail que Lydie a dû fournir pour arriver à ce qu'est la Wikiversité francophone actuellement : claire, organisée, avec une charte graphique cohérente et agréable (pour la majeure partie des facultés, après, les goûts et les couleurs, évidemment, mais bon...).

C'est sûr que les modèles sont chiants à utiliser. Mais le jeu en vaut la chandelle, il me semble. Et puis, c'est une décision de la communauté de contributeurs. En ce qui me concerne, il faut savoir ce qu'on veut : si on veut être tranquille tout seul, il vaut bien mieux faire un site personnel ; si on veut travailler en communauté, il faut savoir faire des concessions. --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 25 mai 2016 à 08:12 (UTC)
: Il faut, quand même rendre à César ce qui est à César, Je pense que, si, aujourd'ui, nous avons une Wikiversité mieux structurée que la Wikiversité anglophone, nous le devons principalement aux deux contributeurs :
:* [[Utilisateur:Sainte-Rose]]
:* [[Utilisateur:Julien1311]]
: qui, en 2006 et 2007, ont créé les principaux modèles structurant la Wikiversité.
: Autrement dit, pour la création des [[Modèle:Faculté]], [[Modèle:Département]], [[Modèle:Leçon]], [[Modèle:Chapitre]], je plaide non coupable. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 25 mai 2016 à 12:30 (UTC)
::Je plussoie. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 25 mai 2016 à 17:01 (UTC)

== La bibliothèque Wikiversitaire  ==

Nous informons la communauté que nous avons obtenu le nettoyage de l’espace de noms Département, qui était compromis par la présence d’une vingtaine de pseudo-départements liés au projet &quot;bibliothèque Wikiversitaire&quot;. Nous continuons à contester le bien-fondé de ce projet. Ce résultat découle des expériences menées au Laboratoire sur les espaces de noms. [[Projet:Laboratoire/Espaces de noms]].
--[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 24 mai 2016 à 20:26 (UTC)
:Heuuu [[Utilisateur:Youni Verciti|Youni]], dis-moi un peu. Ce nous, c'est un nous [[wikt:nous de majesté|majestatif]], de [[wikt:nous de modestie|modestie]] ou il fait référence à un groupe d'utilisateurs ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 24 mai 2016 à 20:45 (UTC)

: Le nettoyage de l'espace département était une demande légitime et bien fondé, c'est pour cela que j'y ai répondu. Je ne vais pas m'opposer à tout ce que vous dites sous prétexte que cela vient de vous. Nous sommes ici dans une démarche communautaire régi par certaines règles. Nous ne sommes pas dans un contexte de lutte politique ou chacun essaye de gagner du terrain sur l'adversaire. Je n'ai pas plié sous la pression de vos revendications. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 25 mai 2016 à 06:19 (UTC)

: La bibliothèque universitaire a été approuvé dans le [[Projet:Wikiversité/Création d'une bibliothèque Wikiversitaire]]. Si vous continuez à contester le bien-fondé de ce projet, il faut proposer une nouvelle prise de décision. Mais vu que la bibliothèque a été approuvée avec 8 voix pour et 0 voix contre, il y a seulement 8 mois, je ne pense pas qu'il soit vraiment judicieux de vous lancer dans une telle aventure. C'est à vous de voir ! {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 25 mai 2016 à 06:34 (UTC)

== Questions sur le format PDF   ==

Bonjour,

Dans le cadre des projets du Cned, nous aimerions pour des raisons d’accessibilité et de praticité que les contributeurs du projet sur la mallette trouble du comportement puissent avoir la possibilité de déposer des fichiers PDF sans se heurter à des difficultés techniques. Ainsi, cela permettrait aux utilisateurs de cette mallette de récupérer des documents plus complexes (par leur forme) en le téléchargeant et de permettre à des utilisateurs équipée d’une synthèse vocale de pouvoir  lire le document (ce qui est impossible avec une un document au format image).
 Nous avons constaté que lorsque nous déposons un fichier PDF, qu’il y  a comme une sorte de message d’erreur  sur le format PDF qui demande de vérifier  si nous avons configuré de façon sûre.

[[File:Fichier pdf à intégrer.png|Fichier pdf à intégrer]]


Dans un autre cas, nous avions déposé un fichier PDF en renseignant les champs obligatoires mais il avait été catégorisé dans le journal des suppressions.
Nos questions sont donc :
•	Est-ce qu’un fichier PDF est bien recommandé et ou autorisé dans la Wikiversité ?
•	Si oui quelles sont les conditions et les démarches à effectuer pour que ce fichier puisse être déposé  facilement  sur la wikiversité et sans qu’il ne se retrouve supprimé un beau jour ?

Il est indispensable pour le projet sur  la mallette sur les troubles du comportement que des fichiers PDF puissent être déposés et puissent être téléchargeables car cela nous empêche de déposer des documents très intéressants à partager (à cause de leur taille : exemple : un tableau de plusieurs pages).

En vous remerciant par avance pour votre aide
Cordialement
--[[Utilisateur:Mdia12|Mariama Dia]] ([[Discussion utilisateur:Mdia12|discussion]]) 25 mai 2016 à 14:49 (UTC)
:Personnellement j'en ai déjà mis plein dans [[commons:Category:French Wikibooks PDF]]. Vous pouvez vous en inspirer pour vos descriptions, et surtout il faut que le PDF soit appelé depuis la Wikiversité pour que les administrateurs de Commons comprennent bien son utilité. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 25 mai 2016 à 15:12 (UTC)


Merci [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]]. Que voulez vous dire exactement par &quot;il faut que le PDF soit appelé depuis la Wikiversité pour que les administrateurs de Commons comprennent bien son utilité&quot;. ?

Merci --[[Utilisateur:Mdia12|Mariama Dia]] ([[Discussion utilisateur:Mdia12|discussion]]) 26 mai 2016 à 07:30 (UTC)
:C'est écrit dans la politique de Commons : y publier des fichiers n'est pas une fin en soit, ils doivent être utilisés depuis les autres projets. Par exemple, le lien de la deuxième boite à droite de {{WL|Programmation PHP}} est visible dans la section ''Utilisations du fichier sur d’autres wikis'' de [[Commons:File:Programmation_PHP-fr.pdf]]. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 26 mai 2016 à 07:47 (UTC)

== Actualités Wikimédia, avril 2016  ==

&lt;div style=&quot;margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;&quot;&gt;''Voici les [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Highlights|grands titres]] du '''[https://blog.wikimedia.org blog de Wikimédia ]''' en avril 2016.''&lt;/div&gt;[[File:Wikimedia_Foundation_RGB_logo_with_text.svg|80px|right]]
*[[m:Wikimedia_Highlights,_April_2016/fr#Trouver, gérer les priorités, et recommander: un système de recommendation d'articles pour remplir les lacunes de connaissances de Wikipedia|Trouver, gérer les priorités, et recommander: un système de recommendation d'articles pour remplir les lacunes de connaissances de Wikipedia]]
*[[m:Wikimedia_Highlights,_April_2016/fr#Premier hackathon Wikimedia jamais organisé à  l'Institut Indien de Technologie de Roorkee|Premier hackathon Wikimedia jamais organisé à  l'Institut Indien de Technologie de Roorkee]]
*[[m:Wikimedia_Highlights,_April_2016/fr#Une attaque à la liberté du panorama: les règles de la cour suédoise contre Wikimedia Suède|Une attaque à la liberté du panorama: les règles de la cour suédoise contre Wikimedia Suède]]
*[[m:Wikimedia_Highlights,_April_2016/fr#En bref|En bref]]
&lt;div style=&quot;margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;&quot;&gt;'''[[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Highlights|About]]''' &amp;middot; [[m:Global message delivery/Targets/Wikimedia Highlights|Subscribe]] &amp;middot; &lt;small&gt;Distributed via [[m:Special:Mylanguage/MassMessage|MassMessage]] (wrong page? [[m:Distribution list/Global message delivery|Correct it here]])&lt;/small&gt;, 25 mai 2016 à 22:13 (UTC)&lt;/div&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:ASherman (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery/fr&amp;oldid=13562605 --&gt;

== [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/22|Tech News: 2016-22]]  ==

&lt;section begin=&quot;technews-2016-W22&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;fr&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique Wikimédia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/22|D’autres traductions]] sont disponibles.

'''Changements récents'''
* &lt;span title=&quot;Sujet technique&quot;&gt;[[File:Octicons-tools.svg|15px|link=]]&lt;/span&gt; Il y a dorénavant une manière standard d'obtenir la cible d'une page de redirection avec un module Lua. [https://phabricator.wikimedia.org/T68974]

'''Problèmes'''
*Une nouvelle manière de gérer les annulations a été instaurée. Elle affectait certains outils et scripts et a été retirée. Elle sera de nouveau mise en place après quelques modifications.  [https://phabricator.wikimedia.org/T88044][https://phabricator.wikimedia.org/T136375]
*[[m:Special:MyLanguage/CentralNotice|CentralNotice]] ne fonctionnait pas dans certains anciens navigateurs. Cela est maintenant résolu. [https://phabricator.wikimedia.org/T136387]

'''Changements cette semaine'''
* Lorsque vous modifiez la page d'un fichier ou d'une catégorie avec l'éditeur visuel, le reste de la page sera affiché à sa place normale. [https://phabricator.wikimedia.org/T58289]
*L'[[mw:Special:MyLanguage/Extension:Translate|extension ''Translate'']] va être dotée d'un champ dédié au résumé de modification. [https://phabricator.wikimedia.org/T48924]
*Un changement dans la fonction &lt;code&gt;&lt;charinsert&gt;&lt;/code&gt; a pu altérer certains scripts utilisateurs. Contactez [[mw:User_talk:Bawolff|Bawolff]] si les liens « cliquez pour insérer des caractères spéciaux » de la fenêtre de modification posent problème sur votre wiki. [https://phabricator.wikimedia.org/T11424][https://lists.wikimedia.org/pipermail/wikitech-ambassadors/2016-May/001417.html]
* [[w:en:Elasticsearch|Elasticsearch]] va être mis à jour sur les wikis Wikimedia cette semaine. Cela ne devrait pas vous affecter, mais si vous avez des problèmes avec la fonctionnalité de recherche, c'en est probablement la raison. [https://phabricator.wikimedia.org/T133124]
* &lt;span title=&quot;Sujet récurrent&quot;&gt;[[File:Octicons-sync.svg|12px|link=]]&lt;/span&gt; La [[mw:MediaWiki 1.28/wmf.4|nouvelle version]] de MediaWiki sera sur les wikis de test et sur MediaWiki.org à partir du 24 mai. Elle sera sur tous les projets, excepté la majorité des Wikipédias, à partir du 25 mai. Elle sera déployée sur toutes les Wikipédias restantes le 26 mai ([[mw:MediaWiki 1.28/Roadmap|calendrier]]).

'''Réunions'''
* &lt;span title=&quot;Sujet récurrent&quot;&gt;[[File:Octicons-sync.svg|12px|link=]]&lt;/span&gt; Vous pouvez participer à la prochaine réunion avec l’équipe de l’Éditeur visuel. Au cours de cette réunion, vous pourrez indiquer aux développeurs quelles anomalies vous semblent les plus importantes. Cette réunion aura lieu le [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=19&amp;min=00&amp;sec=0&amp;day=31&amp;month=05&amp;year=2016 31 mai à 19 h (UTC)]. Voyez [[mw:VisualEditor/Weekly triage meetings|comment participer]].

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/Ambassadors|ambassadeurs techniques]] et publiées par le [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/22|Traduire]] • [[m:Tech|Obtenir de l'aide]] • [[m:Talk:Tech/News|Donner votre avis]] • [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’inscrire ou se désinscrire]].''
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt; &lt;section end=&quot;technews-2016-W22&quot;/&gt; 30 mai 2016 à 16:18 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Johan (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=15661119 --&gt;</text>
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    <title>Wikiversité:La salle café/juin 2016</title>
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        <username>Crochet.david.bot</username>
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      <comment>Robot : conversion/correction du HTML</comment>
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&lt;noinclude&gt;{{SC|2016|06}}&lt;/noinclude&gt;

== [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/23|Tech News: 2016-23]]  ==

&lt;section begin=&quot;technews-2016-W23&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;fr&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique Wikimédia. Veuillez informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/23|D’autres traductions]] sont disponibles.

'''Changements récents'''
* [[w:en:MathML|MathML]]/[[w:fr:Scalable Vector Graphics|SVG]] est maintenant le mode de rendu par défaut pour &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;&lt;math&gt;&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt; sur les projets Wikimedia. [https://phabricator.wikimedia.org/T131177][http://mathml-association.org/announcement/2016/05/31/wikipedia.html]

'''Changements cette semaine'''
*La page d’historique peut vous indiquer si une page de votre liste de suivi a été mise à jour depuis la dernière fois où vous l’avez visitée. Ceci fonctionne maintenant de la même manière avec [[mw:Skin:Vector|Vector]] et dans les autres [[mw:Special:MyLanguage/Manual:Skins|apparences]]. Le changement a cassé cependant la conception locale de certains wikis ; ce sera corrigé cette semaine. [https://phabricator.wikimedia.org/T134515]
* &lt;span title=&quot;Sujet récurrent&quot;&gt;[[File:Octicons-sync.svg|12px|link=]]&lt;/span&gt; La [[mw:MediaWiki 1.28/wmf.5|nouvelle version]] de MediaWiki sera sur les wikis de test et sur MediaWiki.org à partir du 7 juin. Elle sera installée sur tous les wikis hormis la majorité des Wikipédia le 8 juin. Elle sera déployée sur toutes les Wikipédias restantes le 9 juin ([[mw:MediaWiki 1.28/Roadmap|calendrier]]).

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/Ambassadors|ambassadeurs techniques]] et publiées par le [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/23|Traduire]] • [[m:Tech|Obtenir de l'aide]] • [[m:Talk:Tech/News|Donner votre avis]] • [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’inscrire ou se désinscrire]].''
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt; &lt;section end=&quot;technews-2016-W23&quot;/&gt; 6 juin 2016 à 20:51 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Quiddity (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=15679814 --&gt;

== Demande de relecture et de corrections orthographiques  ==

Bonjour les amis,

En espérant ne pas trop troublé le calme de cette salle café en ce mois de juin, je viens vers vous pour vous solliciter dans la correction orthographique d'un texte que je dois rendre demain dans le cadre de mon certificat universitaire en éthique... Demain en début d'après midi ...

[[Recherche:Dérives_éthiques_au_sein_du_mouvement_Wikimédia|C'est ici que ça se passe]] et n'hésitez pas bien sûr si jamais cela vous prend de poster des commentaires dans la page de discussion.

Une belle journée à tous et merci d'avance pour ceux qui trouverons le temps et l'envie.

[[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 12 juin 2016 à 23:02 (UTC)
: {{Notif|Lionel Scheepmans}} Voila, c'est corrigé ! (mais j'ai dû en oublier){{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 13 juin 2016 à 04:19 (UTC)
::La magie du Wiki. Un gentille personne que je n'ai jamais vue me corrige un texte à 6 heures du matin... Merci [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie]] et une belle journée à toi. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 13 juin 2016 à 05:53 (UTC)
::: Tu peux m'écrire sur ma page de discussion pour ce genre de besoins si tu veux (je suis souvent disponible à minuit mais je ne passe plus beaucoup par la Wikiversité). J'ai fait une nouvelle relecture ; cela dit, Lydie avait déjà fait le plus important ! Mes félicitations pour cette dissertation. [[Utilisateur:Frigory|Frigory]] ([[Discussion utilisateur:Frigory|discussion]]) 14 juin 2016 à 23:42 (UTC)
::::Super et merci [[Utilisateur:Frigory|Frigory]] ! [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 15 juin 2016 à 07:32 (UTC)

== [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/24|Tech News: 2016-24]]  ==

&lt;section begin=&quot;technews-2016-W24&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;fr&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique Wikimédia. Veuillez informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/24|D’autres traductions]] sont disponibles.

'''Changements récents'''
* Les wikis Wikimedia utilisent dorénavant ''[[mw:Manual:SessionManager and AuthManager|AuthManager]]'' (gestionnaire d'authentification). Si vous avez de nouvelles difficultés pour vous connecter ou en étant connecté, [[mw:User talk:Tgr (WMF)|signalez-le nous]]. [https://lists.wikimedia.org/pipermail/wikitech-ambassadors/2016-June/001426.html]
* Visiter [[Special:Notifications|Spécial:Notifications]] ne marquent plus automatiquement les notifications comme lues. Sur cette page, vous pouvez aussi maintenant n'afficher que les notifications lues ou non lues, ou les afficher toutes. Elles sont groupées par jour, et chaque groupe de notifications peut être marqué comme lu individuellement. Elles sont affichées par série de 50 notifications et vous pouvez trouver des notifications plus anciennes en utilisant les flèches de navigation. [https://phabricator.wikimedia.org/T97057][https://phabricator.wikimedia.org/T129176][https://phabricator.wikimedia.org/T132738][https://phabricator.wikimedia.org/T129363]

'''Changements cette semaine'''
*Vous pouvez filtrer les contributions des utilisateurs pour cacher les modifications mineures. [https://phabricator.wikimedia.org/T16086]
*Il sera plus facile de modifier les galeries avec l'éditeur visuel. [https://phabricator.wikimedia.org/T45037]
* &lt;span title=&quot;Sujet récurrent&quot;&gt;[[File:Octicons-sync.svg|12px|link=]]&lt;/span&gt; La [[mw:MediaWiki 1.28/wmf.6|nouvelle version]] de MediaWiki sera sur les wikis de test et sur MediaWiki.org à partir du 7 juin. Elle sera installée sur tous les wikis hormis la majorité des Wikipédia le 8 juin et enfin sur toutes les Wikipédias restantes le 9 juin ([[mw:MediaWiki 1.28/Roadmap|calendrier]]).

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/Ambassadors|ambassadeurs techniques]] et publiées par le [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/24|Traduire]] • [[m:Tech|Obtenir de l'aide]] • [[m:Talk:Tech/News|Donner votre avis]] • [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’inscrire ou se désinscrire]].''
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt; &lt;section end=&quot;technews-2016-W24&quot;/&gt; 13 juin 2016 à 18:41 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Johan (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=15693400 --&gt;

== Installation de l'éditeur visuel et de Flow.  ==

Bonjour,

J'apporte à nouveau un peu d'animation dans cette salle café bien calme.

Voilà, je viens de tester [[w:Wikipédia:Flow|Wikipédia:Flow]], le nouvel outil de discussion développé par la fondation. C'est vraiment bien je trouve et je viens donc vers vous dans l'idée de voter sa mise en place au sein de notre projet.

Je profite aussi de l'occasion pour signaler que la prise de décision [[Projet:Wikiversité/Éditeur Visuel 2]] n'a finalement jamais été mise en application et que dans la foulée, je vais relancer le processus.

La page de prise de décision pour Flow est lancée ici : [[Projet:Wikiversité/Flow|Wikiversité/Flow]]

Belle fin de journée à tous, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 14 juin 2016 à 14:57 (UTC)
:Pour l’éditeur visuel, [[phabricator:T126561|une tâche]] a été demandé sur Phabricator. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 14 juin 2016 à 16:33 (UTC)

== Les inscriptions pour la WikiConvention 2016 sont ouvertes !  ==

Bonjour à toutes et à tous,

La première WikiConvention francophone se tiendra du 19 au 21 août, à la [[:w:Halle Pajol|Halle Pajol]] à Paris.

Événement d'envergure internationale, la WikiConvention a pour ambition, le temps d'un week-end, de réunir les contributeurs aux projets Wikimedia de toute la francophonie, afin de favoriser la coopération entre les différents acteurs du mouvement. L'événement est organisé pour la première fois pour les pays francophones.

'''Inscrivez-vous dès aujourd'hui en remplissant le [https://dons.wikimedia.fr/civicrm/event/register?reset=1&amp;id=16 formulaire d'inscription].'''

Pour vous informer sur le programme, les soumissions, les participants, consultez la page Meta [[meta:WikiConvention francophone/2016/fr|WikiConvention]].
Pour retrouver toute l'actualité de la WikiConvention, abonnez-vous au fil Twitter @[https://twitter.com/wikiconvention wikiconvention] et suivez le hashtag #''WikiConvFR''.

Pour toute question sur le déroulement de la WikiConvention, vous pouvez envoyer un mail à l'adresse : [mailto:info@wikiconvention.fr info@wikiconvention.fr].

En espérant vous voir nombreux lors de cette rencontre,

Pour le comité d'organisation de la WikiConvention, [[User:VIGNERON|V&lt;span style=&quot;font-size:75%&quot;&gt;IGNERON&lt;/span&gt;]] * [[User Talk:VIGNERON|&lt;sup&gt;discut.&lt;/sup&gt;]] 20 juin 2016 à 07:19 (UTC)

== [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/25|Tech News: 2016-25]]  ==

&lt;section begin=&quot;technews-2016-W25&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;fr&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique Wikimédia. Veuillez informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/25|D’autres traductions]] sont disponibles.

'''Changements récents'''
* Les notifications de courriel n’étaient pas toujours marquées comme lues lorsque l’on en suivait le lien. Ce sera désormais systématiquement le cas. [https://phabricator.wikimedia.org/T137488]

'''Changements cette semaine'''
*Moins de langues seront affichées sur les petites Wikipédia et les projet frères de Wikipédia dans la liste des langues où un article est disponible. Le but est d’aider chaque utilisateur à trouver les langues les plus pertinentes pour lui. Il sera toujours possible de voir les autres langues. [https://phabricator.wikimedia.org/T136677][https://www.mediawiki.org/wiki/Universal_Language_Selector/Design/Interlanguage_links]
*Les notifications d’alerte (icône rouge) ne seront plus automatiquement marquées comme lues lors de l’ouverture de la ''pop-up''. [https://phabricator.wikimedia.org/T132525]
*Lorsque vous êtes remercié plusieurs fois, vous recevrez une seule notification plutôt qu’une pour chaque remerciement. [https://phabricator.wikimedia.org/T120152]
* &lt;span title=&quot;Sujet récurrent&quot;&gt;[[File:Octicons-sync.svg|12px|link=]]&lt;/span&gt; La [[mw:MediaWiki 1.28/wmf.7|nouvelle version]] de MediaWiki sera sur les wikis de test et sur MediaWiki.org à partir du 21 juin. Elle sera installée sur tous les wikis hormis la majorité des Wikipédia le 22 juin et enfin sur toutes les Wikipédias restantes le 23 juin ([[mw:MediaWiki 1.28/Roadmap|calendrier]]).

'''Réunions'''
* &lt;span title=&quot;Sujet technique&quot;&gt;[[File:Octicons-tools.svg|15px|link=]]&lt;/span&gt; Vous pouvez participer à la prochaine réunion avec le [[mw:Architecture committee|comité d'architecture]]. Celle de cette semaine portera sur la [[phab:T137946| précision de la stratégie d’intégration du Markdown à MediaWiki]]. Elle aura lieu le [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=21&amp;min=00&amp;sec=0&amp;day=22&amp;month=06&amp;year=2016 22 juin à 21 h (UTC)]. Voyez [[mw:Architecture meetings|comment participer]].

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/Ambassadors|ambassadeurs techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/25|Traduire]] • [[m:Tech|Obtenir de l’aide]] • [[m:Talk:Tech/News|Donner votre avis]] • [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’inscrire ou se désinscrire]].''
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt; &lt;section end=&quot;technews-2016-W25&quot;/&gt; 20 juin 2016 à 19:14 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Johan (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=15707329 --&gt;

== Un dernier travail à corriger avant sa remise.  ==

C'est la dernière fois promis. [[Recherche:Pour une économie plus juste au sein du mouvement Wikimédia|Voici un dernier travail au sujet du mouvement Wikimédia]] que j'aimerai soumettre à la communauté dans le but d'en avoir des retours et si possible une correction orthographique avant de le remettre pour évaluation. Je remercie d'avance tous ceux qui trouverons le temps et l'envie de le faire. Et puis je vous souhaite une belle fin de journée à tous, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 22 juin 2016 à 01:16 (UTC)

== Compact Language Links enabled in this wiki today  ==

{{int:Please-translate}}
&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;

[[File:Compact-language-links-list.png|thumb|Screenshot of Compact Language Links interlanguage list]]

[[:mw:Universal_Language_Selector/Compact_Language_Links|Compact Language Links]] has been available as a beta-feature on all Wikimedia wikis since 2014. With compact language links enabled, users are shown a much shorter list of languages on the interlanguage link section of an article (see image). Based on several factors, this shorter list of languages is expected to be more relevant for them and valuable for finding similar content in a language known to them. More information about compact language links can be found in [[:mw:Universal_Language_Selector/Compact_Language_Links|the documentation]].

From today onwards, compact language links has been enabled as the default listing of interlanguage links on this wiki. However, using the button at the bottom, you will be able to see a longer list of all the languages the article has been written in. The setting for this compact list can be changed by using the checkbox under ''User Preferences → Appearance → Languages''

The compact language links feature has been tested extensively by the Wikimedia Language team, which developed it. However, in case there are any problems or other feedback please let us know on the [[:mw:Talk:Universal_Language_Selector/Compact_Language_Links|project talk page]]. It is to be noted that on some wikis the presence of an existing older gadget that was used for a similar purpose may cause an interference for compact language list. We would like to bring this to the attention of the admins of this wiki. Full details are on [[phab:T131455|this phabricator ticket]] (in English).

Due to the large scale enablement of this feature, we have had to use [[:m:Global_message_delivery|MassMessage]] for this announcement and as a result it is only written in English. We will really appreciate if this message can be translated for other users of this wiki. Thank you. On behalf of the Wikimedia Language team: [[:mw:User:Runab_WMF|Runa Bhattacharjee (WMF)]] ([[mw:User talk:Runab_WMF|talk]]) 22 juin 2016 à 07:39 (UTC)

&lt;/div&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Runab WMF@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/ULS_Compact_Links/22_June&amp;oldid=15715815 --&gt;

== [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/26|Tech News: 2016-26]]  ==

&lt;section begin=&quot;technews-2016-W26&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;fr&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique Wikimédia. Veuillez informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/26|D’autres traductions]] sont disponibles.

'''Modifications récentes'''
* Le [[mw:Extension:ORES|service ORES]] a été déplacé à [https://ores.wikimedia.org/ une nouvelle adresse]. Ceci devrait faciliter l’utilisation d’ORES. Le [[mw:ORES review tool|service de relecture ORES]] est maintenant une fonctionnalité bêta sur Wikidata et sur la Wikipédia en langue persane. ORES est un système d’intelligence artificielle d’évaluation des modifications sur les wikis de Wikimedia, destiné à assister les rédacteurs ou correcteurs. [https://lists.wikimedia.org/pipermail/wiki-research-l/2016-June/005220.html]
* L’ordre d’affichage des wikis dans les notifications inter-wiki non développées était différent lorsque la liste était développée. Ceci est maintenant corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T138115]
*Une nouvelle catégorie de suivi des pages contenant des erreurs mathématiques a été ajoutée : [[:{{ns:category}}:{{MediaWiki:math-tracking-category-error}}]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T49037]

'''Problèmes'''
*Le service [[m:Etherpad|Wikimedia Etherpad]] a planté le 23 juin. Certaines modifications effectuées ce jour-là ont été perdues, elles pourront être trouvées sur [https://etherpad-restore.wikimedia.org/ etherpad-restore.wikimedia.org] pendant quelques jours supplémentaires. [https://phabricator.wikimedia.org/T138516][[wikitech:Incident_documentation/20160623-etherpad]]

'''Changements cette semaine'''
* &lt;span title=&quot;Sujet récurrent&quot;&gt;[[File:Octicons-sync.svg|12px|link=]]&lt;/span&gt; La [[mw:MediaWiki 1.28/wmf.8|nouvelle version]] de MediaWiki sera sur les wikis de test et sur MediaWiki.org à partir du 28 juin. Elle sera disponible sur les wikis hormis Wikipédia le 29 juin. Elle sera disponible sur toutes les Wikipédias le 30 juin ([[mw:MediaWiki 1.28/Roadmap|calendrier]]).
* La façon de marquer les notifications comme lues ou non lues sera modifiée pour plus de clarté. [https://phabricator.wikimedia.org/T126214]

'''Réunions'''
* &lt;span title=&quot;Sujet récurrent&quot;&gt;[[File:Octicons-sync.svg|12px|link=]]&lt;/span&gt; Vous pouvez participer à la prochaine réunion avec l’équipe de l’Éditeur visuel. Au cours de cette réunion, vous pourrez indiquer aux développeurs quelles anomalies vous semblent les plus importantes. Cette réunion aura lieu le [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=19&amp;min=00&amp;sec=0&amp;day=28&amp;month=06&amp;year=2016 28 juin à 19 h (UTC)]. Voyez [[mw:VisualEditor/Weekly triage meetings|comment participer]].

'''Changements à venir'''
* L'équipe Collaboration de la Fondation Wikimedia cherchera à développer de meilleurs outils pour la relecture des modifications. Des recherches ont en effet suggéré que nous effrayons trop les nouveaux venus qui souhaitent aider dans cette activité. [https://www.mediawiki.org/wiki/Edit_Review_Improvements]
*Un courriel du département Modifications explique le travail technique qui est prévu et fait l’objet de recherches en cours pour le futur. Les éléments comprennent des améliorations des éditeurs wikitexte et visuel, des incitations à modifier, des améliorations linguistiques, des annotations, et la séparation des méta-données. [https://www.mediawiki.org/wiki/VisualEditor/Roadmap/Update_2016-06-23]
* Le tri des notifications dans les deux menus de survol va changer entre le 5 et le 7 juillet. Les notifications groupées seront plus faciles à explorer et marquer individuellement comme lues. [https://phabricator.wikimedia.org/T123018][https://phabricator.wikimedia.org/T114356][https://phabricator.wikimedia.org/T120153]
* &lt;span title=&quot;Sujet technique&quot;&gt;[[File:Octicons-tools.svg|15px|link=]]&lt;/span&gt; Le 29 juin, le serveur git.wikimedia.org (hébergeant l’outil Gitblit) redirigera toutes les requêtes vers Phabricator. La grande majorité des requêtes devraient être correctement  redirigées. [https://lists.wikimedia.org/pipermail/engineering/2016-June/000215.html]
* Les Wikipédias en catalan et polonais auront des descriptions Wikidata ajoutées pour les articles dans la vue mobile par défaut. Ceci est encore une option bêta pour les versions mobiles. Ceci arrivera plus tard sur les autres wikis. [https://phabricator.wikimedia.org/T135429]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/Ambassadors|ambassadeurs techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/26|Traduire]] • [[m:Tech|Obtenir de l’aide]] • [[m:Talk:Tech/News|Donner votre avis]] • [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’inscrire ou se désinscrire]].''
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt; &lt;section end=&quot;technews-2016-W26&quot;/&gt; 27 juin 2016 à 15:42 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Johan (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=15725931 --&gt;</text>
      <sha1>jlji9h08ul9qc86bq1wiuoezpnrg56x</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Wikiversité:La salle café/juillet 2016</title>
    <ns>4</ns>
    <id>58676</id>
    <revision>
      <id>987032</id>
      <parentid>982056</parentid>
      <timestamp>2026-10-04T12:04:28Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Crochet.david.bot</username>
        <id>1005</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Robot : conversion/correction du HTML</comment>
      <origin>987032</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="32914" sha1="jvdyeow3ipub32rulycxf29oykrdenr" xml:space="preserve">__EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__
&lt;noinclude&gt;{{SC|2016|07}}&lt;/noinclude&gt;

== Editing News #2—2016  ==

&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;fr&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;

''[[m:Special:MyLanguage/VisualEditor/Newsletter/2016/June|Lire ceci dans une autre langue]] • [[:m:VisualEditor/Newsletter|Liste d’inscription à cette lettre d’information multilingue]]''

&lt;div style=&quot;float:right;width:230px;{{#switch:ltr|rtl=float:left;margin-left:0;|#default=float:right;margin-right:0;}}margin-left:1em;border-style:solid;border-width:1px;padding:1em;&quot;&gt;
[[File:VisualEditor-logo.svg|200px|center|alt=ÉditeurVisuel]]'''Le saviez-vous ?'''  
&lt;div class=&quot;thumbcaption&quot; style=&quot;font-size: 90%;&quot;&gt;  

Il est simple et rapide d’insérer une liste de références.
[[File:VisualEditor References List Insert Menu-fr.png|alt=Capture d’écran montrant un menu déroulant avec de nombreux éléments|center|frameless|150px]]  

Placez le curseur à l’endroit où vous souhaitez que la liste de références soit affichée (en général en bas de la page). Ouvrez le menu « {{int:visualeditor-toolbar-insert}} » et cliquez sur l’icône « {{int:cite-ve-dialogbutton-referenceslist-tooltip}} » (représentée par trois livres).

Si vous utilisez plusieurs groupes de références (ce qui est relativement rare), vous aurez la possibilité d’indiquer un groupe. Si vous le faites, alors seules les références appartenant au groupe indiqué seront affichées dans cette liste de références.
Pour terminer, cliquez sur « {{int:visualeditor-dialog-action-insert}} » dans la boîte de dialogue pour insérer la {{int:cite-ve-dialogbutton-referenceslist-tooltip}}. Cette liste sera enrichie au fur et à mesure que vous ajouterez des notes de bas de page.

Vous pouvez lire et aider à traduire [[:mw:Special:MyLanguage/VisualEditor/User guide|le guide utilisateur]], qui fournit des informations supplémentaires sur l’utilisation de l’éditeur visuel.&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

Depuis le dernier bulletin d’actualités, l’[[:mw:Special:MyLanguage/VisualEditor|équipe de l’ÉditeurVisuel]] a corrigé de nombreux bogues. Leur tableau de travail est disponible [[phab:project/board/483/|sur Phabricator]]. Leurs [[:mw:VisualEditor/Current priorities|priorités actuelles]] sont l’amélioration du support pour les écritures arabique et indo-aryenne, et l’adaptation de l’éditeur visuel aux besoins des Wikivoyages et des Wikisources.   

=== Changements récents  ===
L’éditeur visuel est à présent disponible pour tous les utilisateurs sur la majorité des [[wikivoyage:|Wikivoyages]]. Il a également été activé pour tous les contributeurs sur le Wikinews francophone.

L’'''[[:mw:Special/MyLanguage/VisualEditor/Single edit tab|onglet unique de modification]]''' combine les onglets « {{int:vector-view-edit}} » et « {{int:visualeditor-ca-editsource}} » en un unique onglet « {{int:vector-view-edit}} ». Il a été déployé sur plusieurs Wikipédias, parmi lesquels les Wikipédias hongroise, polonaise, anglaise et japonaise, ainsi que sur les Wikivoyages. Sur ces wikis, vous pouvez modifier vos préférences pour cette fonctionnalité dans l’onglet « {{int:prefs-editing}} » de [[Special:Preferences|Spécial:Préférences]]. L’équipe étudie à présent les commentaires et les possibilités d’amélioration du concept avant de le déployer davantage.

=== Changements à venir  ===
Le bouton « {{int:Savearticle}} » sera renommé en « {{int:Publishpage}} ». Cela affectera à la fois les systèmes de modification visuelle et en wikicode. [[m:Editing/Publish|Plus d’informations sont disponibles sur Méta]].

L’éditeur visuel sera disponible pour tous les contributeurs des [[:mw:VisualEditor/Rollouts|Wikipédias en phase 6]] restantes au cours des prochains mois. Les développeurs souhaitent savoir si la saisie dans votre langue paraît naturelle. Merci de publier vos commentaires et les langues que vous avez testées sur [[:mw:Topic:St8y4ni42d0vr9cv|le fil de commentaires sur mediawiki.org]]. Cela concernera plusieurs langues, parmi lesquelles : l’[[:w:ar: |'''arabe''']], l’[[:w:hi: |'''hindi''']], le [[:w:th: |'''thaï''']], le [[:w:ta: |'''tamoul''']], le [[:w:mr: |'''marathe''']], le [[:w:ml: |'''malayalam''']], l’[[:w:ur: |'''ourdou''']], le [[:w:fa: |'''perse''']], le [[:w:bn: |'''bengali''']], l’[[:w:as: |'''assamais''']], l’[[:w:arc: |'''araméen''']] et d'autres encore.

L’équipe collabore avec les développeurs bénévoles qui incitent Wikisource à fournir l’éditeur visuel aux testeurs volontaires dès à présent et éventuellement à tous les utilisateurs. ([[phab:T138966|T138966]]) 

L’équipe travaille sur la modernisation de l’éditeur de code. Celui-ci ressemblera à l’éditeur visuel, et pourra utiliser le service Citoid et d'autres outils avancés. Ce nouveau système de modification devrait être rendu disponible en tant que fonctionnalité bêta sur les ordinateurs de bureau aux environs de septembre 2016. Des informations sur ce projet sont disponibles sur [[m:Special:MyLanguage/VisualEditor/Roadmap/Update 2016-06-23|la mise à jour d’état général sur la liste électronique de diffusion de Wikimédia]]. 

=== Travaillons ensemble  ===
* Enseignez-vous à de nouveaux contributeurs comment utiliser l’éditeur visuel ? Avez-vous aidé à [[:mw:Citoid/Enabling Citoid on your wiki|installer la fonctionnalité de référencement automatique Citoid sur votre wiki]] ? Avez-vous écrit ou importé des [[:mw:Special:MyLanguage/Help:TemplateData|données de modèles]] pour vos modèles de citation les plus importants ? &lt;mark&gt;Accepteriez-vous d’aider les nouveaux contributeurs et les petites communautés pour l’éditeur visuel ? Inscrivez-vous au nouveau [[:mw:Help:VisualEditor/Community Taskforce|'''groupe de support communautaire de l’ÉditeurVisuel''']].&lt;/mark&gt;
* Découvrez comment améliorer le système de référencement « automagique » [[:mw:Citoid|Citoid]] dans l’éditeur visuel, en créant des traducteurs [[w:en:Zotero|Zotero]] pour les sources courantes dans votre langue ! Visionnez la [[mw:Citoid/Zotero's Tech Talk|discussion technique de Sébastien Karcher]] pour plus d’informations.
 
Si vous ne lisez pas ceci dans votre langue favorite, venez donc nous aider à traduire ! Inscrivez-vous à la [[mail:translators-l|liste de diffusion des traducteurs]] ou [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User_talk:Elitre_(WMF)&amp;action=edit&amp;section=new contactez-nous] directement, afin que nous puissions vous prévenir de la sortie des bulletins d’actualités futurs. {{int:Feedback-thanks-title}}

&lt;/div&gt; [[:m:User:Elitre (WMF)]], 3 juillet 2016 à 17:20 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Elitre (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=VisualEditor/Newsletter/Wikis_with_VE&amp;oldid=15741003 --&gt;

== [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/27|Tech News: 2016-27]]  ==

&lt;section begin=&quot;technews-2016-W27&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;fr&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique Wikimédia. Veuillez informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/27|D’autres traductions]] sont disponibles.

'''Changements récents'''
* Un résumé quotidien des notifications pouvait être envoyé par courriel même si aucune notification n'avait été reçu sur le wiki. Dorénavant, aucun courriel ne sera envoyé en l'absence d'activité. [https://phabricator.wikimedia.org/T137012]

'''Changements cette semaine'''
* Le bouton « {{int:citoid-citefromidtool-title}} » dans la barre d’outils de l’éditeur visuel va être déplacé dans le menu « {{int:visualeditor-toolbar-insert}} », excepté pour les Wikipédias, Wikibooks et Wikiversités. Le but est de le rendre moins visible pour les wikis qui l'utilisent peu. [https://gerrit.wikimedia.org/r/#/c/296573/]
* &lt;span title=&quot;Sujet récurrent&quot;&gt;[[File:Octicons-sync.svg|12px|link=]]&lt;/span&gt; La [[mw:MediaWiki 1.28/wmf.9|nouvelle version]] de MediaWiki sera sur les wikis de test et sur MediaWiki.org à partir du 5 juillet. Elle sera installée sur tous les wikis hormis la majorité des Wikipédia le 6 juillet et enfin sur toutes les Wikipédias restantes le 7 juillet ([[mw:MediaWiki 1.28/Roadmap|calendrier]]).

'''Réunions'''
*Vous pouvez prendre part à la prochaine session portes-ouvertes de Wikidata sur IRC le 8 juillet à 16 h (UTC). Regardez [[m:IRC office hours|comment participer]].

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/Ambassadors|ambassadeurs techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/27|Traduire]] • [[m:Tech|Obtenir de l’aide]] • [[m:Talk:Tech/News|Donner votre avis]] • [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’inscrire ou se désinscrire]].''
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt; &lt;section end=&quot;technews-2016-W27&quot;/&gt; 4 juillet 2016 à 19:45 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Johan (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Johan_(WMF)/Tech_News_delivery&amp;oldid=15742782 --&gt;

== Changement de pseudonymes   ==

Question simple, pourquoi n'avons nous pas la possibilité de changer directement nos nom sans avoir recours aux modérateurs et admins ?
--[[Utilisateur:Adarian|Adarian]] ([[Discussion utilisateur:Adarian|discussion]]) 4 juillet 2016 à 20:30 (UTC)
:Tout simplement parce que le logiciel est ainsi fait. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 5 juillet 2016 à 05:39 (UTC)
::Et probablement qu'il est ainsi fait pour éviter un changement trop fréquent. J'imagine qu'en cas de changement, un robot doit rectifier toutes les signatures de l'utilisateur, voir même tous les endroits où son pseudonyme apparaît et cela sans doute au niveau de tous les projets. Si je ne me trompe pas [[Utilisateur:Adarian|Adarian]] , c'est quand même assez lourd comme opération. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 7 juillet 2016 à 11:11 (UTC)
::: Et en plus parce que ça peut être très perturbant pour les utilisateurs. Le fait qu’il soit nécessaire de passer par un administrateur permet généralement de s’assurer que quelqu’un aura connaissance du changement, et pourra les contrôler. [[Utilisateur:Frigory|Frigory]] ([[Discussion utilisateur:Frigory|discussion]]) 17 juillet 2016 à 20:07 (UTC)
:Je vois , merci pour ces explications --[[Utilisateur:Adarian|Adarian]] ([[Discussion utilisateur:Adarian|discussion]]) 9 juillet 2016 à 02:58 (UTC)
:: Merci Adarian, nous avons ajouté votre question, à notre liste de questions fréquemment posées. [[Wikiversité:FAQ#Contribuer_à_la_Wikiversité]] Amicalement --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 18 juillet 2016 à 13:44 (UTC)

== Info bourse OpenCon 2016  ==

Pour ceux que cela pourrait intéresser voici un lien vers une page de candidature pour obtenir une bourse dans le but de participer à l’événement [http://www.opencon2016.org/ OpenCon 2016] : https://secure.opencon2016.org/referral/wiki. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 7 juillet 2016 à 11:05 (UTC)

== Liens interwiki forum ==

Rebonjour, je ne sais 
pas comment sont créées les pages de notre salle café, mai je voulais savoir s'il était possible d'y ajouter dans cette procédure les interliens vers les pages forum des autres versions linguistiques de Wikiversité. Comme par exemple [[v:Wikiversity:Colloquium|Wikiversity:Colloquium]]. Le interactions inter-wiki deviennent de plus en plus fréquentes. Ce serait peut-être une bonne chose que ces liens soient visibles dans la colonne gauche. Qu'en pensez-vous ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 7 juillet 2016 à 11:18 (UTC)
:Et tu as regardé à gauche ? [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 7 juillet 2016 à 16:10 (UTC)

== [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/28|Tech News: 2016-28]]  ==

&lt;section begin=&quot;technews-2016-W28&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;fr&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique Wikimédia. Veuillez informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/28|D’autres traductions]] sont disponibles.

'''Changements récents'''
* Un nouvel outil pour changer la taille des images a réglé divers problèmes d’affichage des fichiers SVG. Quelques nouveaux problèmes sont apparus. [https://lists.wikimedia.org/pipermail/wikitech-l/2016-July/085984.html][https://phabricator.wikimedia.org/T112421][https://phabricator.wikimedia.org/T139543]
* Les notifications sont regroupées par type. Le compteur indique dorénavant le nombre de notification non lues et plus le nombre de groupes non lus. Ce changement peut augmenter le nombre de notifications affiché. La méthode précédente de décompte était souvent erronée. Les notifications non lues s’afficheront également en premier. [https://phabricator.wikimedia.org/T114356][https://phabricator.wikimedia.org/T139323][https://phabricator.wikimedia.org/T139521]
* [[Special:Notifications|Spécial:Notifications]] a dorénavant une largeur maximum pour la liste de notifications sur les ordinateurs de bureau. Cela permet aux titres et descriptions trop longs d’être coupés proprement. [https://phabricator.wikimedia.org/T137425][https://phabricator.wikimedia.org/T138433][https://phabricator.wikimedia.org/T139602]

'''Problèmes'''
* Le 5 juillet, Wikimedia Commons a rencontré des soucis et n’a pas pu être modifiée pendant vingt minutes. Pendant un petit moment après les récents changements, les journaux et certains gadgets n’ont pas fonctionné correctement. Cela a affecté les tâches administratives sur les autres projets également. [[wikitech:Incident_documentation/20160705-commons-replication]]
* Les utilisateurs qui ont de multiples notifications non lues peuvent les marquer comme lues depuis la page [[Special:Notifications|Spécial:Notifications]] sur leur wiki.

'''Changements cette semaine'''
* &lt;span title=&quot;Sujet récurrent&quot;&gt;[[File:Octicons-sync.svg|12px|link=]]&lt;/span&gt; La [[mw:MediaWiki 1.28/wmf.10|nouvelle version]] de MediaWiki sera sur les wikis de test et sur MediaWiki.org à partir du 12 juillet. Elle sera installée sur tous les wikis hormis la majorité des Wikipédia le 13 juillet et enfin sur toutes les Wikipédias restantes le 14 juillet ([[mw:MediaWiki 1.28/Roadmap|calendrier]]).

'''Réunions'''
* &lt;span title=&quot;Sujet récurrent&quot;&gt;[[File:Octicons-sync.svg|12px|link=]]&lt;/span&gt; Vous pouvez participer à la prochaine réunion avec l’équipe de l’Éditeur visuel. Au cours de cette réunion, vous pourrez indiquer aux développeurs quelles anomalies vous semblent les plus importantes. Cette réunion aura lieu le [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=19&amp;min=00&amp;sec=0&amp;day=12&amp;month=07&amp;year=2016 12 juillet à 19 h (UTC)]. Voyez [[mw:VisualEditor/Weekly triage meetings|comment participer]].

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/Ambassadors|ambassadeurs techniques]] et postées par le [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/28|Traduire]] • [[m:Tech|Obtenir de l’aide]] • [[m:Talk:Tech/News|Donner votre avis]] • [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’inscrire ou se désinscrire]].''
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt; &lt;section end=&quot;technews-2016-W28&quot;/&gt; 11 juillet 2016 à 15:14 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Trizek (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=15754461 --&gt;

== questionnaire pour un mémoire sur la Wikiversité  ==

Chers contributeurs,
Je suis actuellement en train de rédiger un mémoire sur la contribution à la Wikiversité dans le cadre d'un master d'Ingénierie des médias pour L'Education à l'Université de Poitiers. 
J'ai pour cela mis en ligne un questionnaire d'enquête très court (10 minutes) à remplir à l'adresse suivante : 

https://www.sondageonline.fr/s/questionnaire-wikiversite

J'ai VRAIMENT besoin de votre contribution. ce geste permettra aussi de mieux faire connaître la Wikiversité.
Je vous remercie d'avance de votre participation et vous souhaite d'excellentes vacances d'été.
N'hésitez pas à me contacter pour toute question relative à cette enquête.
Laurent Abeskaos (Plymouth Cad)
:Pour la question où il faut choisir entre la salle café et l'IRC (voire les mails), j’aurais plutôt mis un choix de préférences car on peut très bien utiliser les deux. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 13 juillet 2016 à 19:40 (UTC)

== enquête wikiversité  ==

Bonjour tout le monde


Je suis prof d'anglais et dans le cadre d'une reconversion partielle, je rédige un mémoire de master sur la Wikiversité. Pour cela je réalise une enquête et j'ai terriblement besoin de participants pour valider le travail en cours.
votre participation serait donc bienvenue. cela ne prendra que quelques minutes...


voici le lien vers le sondage


https://www.sondageonline.fr/s/questionnaire-wikiversite

Bel ét éà tous sur la Wikiversité 

Laurent A (PlymouthCAd)

== [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/29|Tech News: 2016-29]]  ==

&lt;section begin=&quot;technews-2016-W29&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;fr&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique Wikimédia. Veuillez informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/29|D’autres traductions]] sont disponibles.

'''Changements récents'''
* À cause d’une annulation de déploiement (voir ''Problèmes''), la mise en place de [[:mw:Special:MyLanguage/Help:Notifications/Notifications_types|la nouvelle répartition]] des notifications dans les popups a eu du retard. [https://phabricator.wikimedia.org/T123018]
* &lt;span title=&quot;Sujet technique&quot;&gt;[[File:Octicons-tools.svg|15px|link=]]&lt;/span&gt; À la suite de cette annulation de déploiement, [[wikitech:SWAT deploys|le processus journalier de déploiement de correctifs]] a été amendé. [https://lists.wikimedia.org/pipermail/engineering/2016-July/000232.html]
* Le type de notifications « Messages » a été renommé en « {{int:echo-notification-notice-text-only}} ». [https://phabricator.wikimedia.org/T139682]

'''Problèmes'''
* Le 12 juillet, la version 1.28.0-wmf.8 de MediaWiki a été rétablie sur tous les wikis à cause d’un problème dans le système de connexion. [https://lists.wikimedia.org/pipermail/engineering/2016-July/000229.html][https://phabricator.wikimedia.org/T119736]

'''Changements cette semaine'''
* &lt;span title=&quot;Sujet récurrent&quot;&gt;[[File:Octicons-sync.svg|12px|link=]]&lt;/span&gt; La [[mw:MediaWiki 1.28/wmf.11|nouvelle version]] de MediaWiki sera sur les wikis de test et sur MediaWiki.org à partir du 19 juillet. Elle sera installée sur tous les wikis hormis la majorité des Wikipédias le 20 juillet et enfin sur toutes les Wikipédias restantes le 21 juillet ([[mw:MediaWiki 1.28/Roadmap|calendrier]]).
* Un [[mw:Special:MyLanguage/Help:Log|lien d’aide]] a été ajouté à la page [[Special:Log|Spécial:Journal]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T140013]
* Vous pouvez tester l’extension ''[[mw:Extension:RevisionSlider|RevisionSlider]]'' sur [http://simple.wikipedia.beta.wmflabs.org/wiki/Special:Preferences#mw-prefsection-betafeatures les wikis de test]. Elle sera disponible comme fonctionnalité bêta à partir du 22 juillet sur : {{int:Project-localized-name-dewiki}}, {{int:Project-localized-name-arwiki}}, {{int:Project-localized-name-hewiki}}. [https://phabricator.wikimedia.org/T140232][https://phabricator.wikimedia.org/T140551][https://phabricator.wikimedia.org/T140545]

'''Réunions'''
* &lt;span title=&quot;Sujet récurrent&quot;&gt;[[File:Octicons-sync.svg|12px|link=]]&lt;/span&gt; Vous pouvez participer à la prochaine réunion avec l’équipe de l’ÉditeurVisuel. Au cours de cette réunion, vous pourrez indiquer aux développeurs quelles anomalies vous semblent les plus importantes. Cette réunion aura lieu le [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=19&amp;min=00&amp;sec=0&amp;day=19&amp;month=07&amp;year=2016 19 juillet à 19 h (UTC)]. Voyez [[mw:VisualEditor/Weekly triage meetings|comment participer]].
* &lt;span title=&quot;Sujet technique&quot;&gt;[[File:Octicons-tools.svg|15px|link=]]&lt;/span&gt; Vous pouvez participer à la prochaine réunion avec le comité d'architecture. Cette semaine, elle aura pour objet les possibilités techniques côté serveur pour la mise en place des listes de suivi interwiki. Cette réunion aura lieu le [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=21&amp;min=00&amp;sec=0&amp;day=20&amp;month=07&amp;year=2016 20 juillet à 21 h (UTC)]. Voyez [[mw:Architecture meetings|comment participer]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T126641]

'''Changements à venir'''
* Il n’est plus possible pour les robots et les scripts utilisateur d’utiliser le protocole HTTP plutôt que le HTTPS pour modifier les pages. [https://phabricator.wikimedia.org/T105794][https://lists.wikimedia.org/pipermail/wikitech-l/2016-May/085618.html]
* &lt;span title=&quot;Sujet technique&quot;&gt;[[File:Octicons-tools.svg|15px|link=]]&lt;/span&gt; [[:mw:Gerrit|Gerrit]] sera bientôt mis à jour. Un serveur avec la nouvelle version a été mis en place pour permettre aux développeurs de la tester. [https://lists.wikimedia.org/pipermail/engineering/2016-July/000236.html]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/Ambassadors|ambassadeurs techniques]] et postées par le [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/29|Traduire]] • [[m:Tech|Obtenir de l’aide]] • [[m:Talk:Tech/News|Donner votre avis]] • [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’inscrire ou se désinscrire]].''
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt; &lt;section end=&quot;technews-2016-W29&quot;/&gt; 18 juillet 2016 à 20:18 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Quiddity (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Quiddity_(WMF)/sandbox&amp;oldid=15776464 --&gt;

== Creation d'une page sur la Tva  ==

Bonjour, 
Quelle différence faites vous entre cours, lecon, chapitre ?
J’ai entame comme nouvelle contributrice une page sur la TVA.
Remerciements
:Bonjour. Pour faire très court : La wikversité contient plusieurs facultés. Chaque faculté contient plusieurs département. Chaque département contient plusieurs leçons. Chaque leçons contient plusieurs chapitres, des annexes, des exercices, des travaux pratiques. Si une leçon contient beaucoup de chapitres (plus d'une vingtaine), alors l'ancienne leçon devient un cours, qui contiennent plusieurs leçons réunissant plusieurs ancien chapitres réduisant ainsi le nombre de chapitre dans l'ancienne leçon. N'hésite pas à consulter [[Aide:Sommaire]]. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 19 juillet 2016 à 06:21 (UTC)

: Voir [[Wikiversité:Organisation des enseignements]], [[Aide:Comment créer un cours]] et [[Aide:Comment créer une leçon]]. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 19 juillet 2016 à 07:05 (UTC)

== IMPORTANT : Rapport d'activité des administrateurs  ==
Bonjour. Une règle concernant le retrait des &quot;droits spéciaux&quot; (administrateurs, bureaucrates, etc) avait été adoptée avec le  [[:m:Requests for comment/Activity levels of advanced administrative rights holders|consensus de la communauté]] en 2013. Selon cette règle, les [[:m:stewards|stewards]] vérifient l'activité des administrateurs de tous les wikis de la Wikimedia Foundation qui n'ont pas de règles au sujet de l'inactivité. À notre connaissance, votre wiki ne possède pas de processus permettant de retirer les &quot;droits spéciaux&quot; aux comptes inactifs. Cela signifie que les stewards vont s'occuper de cette tâche conformément au [[:m:Admin activity review|rapport d'activité des administrateurs]].

Nous avons constaté que les utilisateurs suivants étaient inactifs au regard des critères fixés (pas de modifications ou de connexion pendant plus de {{Unité|2|ans}}) :
#Julien1311 (bureaucrate, administrateur)
#Xzapro4 (bureaucrate, administrateur)

Ces utilisateurs vont bientôt recevoir une notification leur demandant de démarrer une discussion avec la communauté s'ils souhaitent conserver quelques-uns ou la totalité de leurs droits. Si les utilisateurs ne répondent pas, alors leurs droits leurs seront retirés par les stewards.

Cependant, si votre communauté souhaite établir son propre système de vérification d'activité à la place du système commun, prendre d'autres décisions au sujet de ces comptes inactifs détenteurs de droits, ou si vous possèdez déjà votre propre système dont nous n'avons pas connaissance, signalez-le aux [[:m:Stewards' noticeboard|stewards de Meta-Wiki]] et nous ne procéderons plus à ces vérifications sur votre wiki. Merci,  '''[[User:Rschen7754|Rs]][[User talk:Rschen7754|chen]][[Special:Contributions/Rschen7754|7754]]''' 22 juillet 2016 à 01:40 (UTC)

== Décalage dans le « point d'atterrissage » des liens avec ancre  ==

Bonjour,

depuis « quelques temps », quand je met un lien avec ancre, de type &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[&lt;/nowiki&gt;Titre de page#Titre de section&lt;nowiki&gt;]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;, lorsque je clique, j'atterrie au milieu de la section, alors que je m'attend à avoir le titre de section en haut de page. Voir par exemple :
: [[Mécanique pour l'enseignement technique industriel/Statique - Principes de la statique#Simplification des problèmes plans]]
C'est que moi ? Un problème de paramétrage de mon profil, de mon navigateur, ou c'est plus général ?

[[Utilisateur:Cdang|Cdang]] ([[Discussion utilisateur:Cdang|discussion]]) 22 juillet 2016 à 07:24 (UTC)
:Pareil, je pense que c'est du fait que les images ne soient pas encore chargés ou que les scripts de repliment de bandeau ne pas encore activées au moment ou le navigateur descend sur le lien. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 22 juillet 2016 à 07:39 (UTC)
:: Merci {{u|Crochet.david}}. Par contre, je n’ai pas constaté de biais similaire sur Wikipédia. Il y a une raison sur cette différence de comportement ? Et accessoirement quelque chose à faire pour régler le problème ?
:: [[Utilisateur:Cdang|Cdang]] ([[Discussion utilisateur:Cdang|discussion]]) 22 juillet 2016 à 13:34 (UTC)
:::{{Notif|Cdang}} Wikipedia n'utilise pas ou très peu de page incluse l'une dans l'autre, ni de bandeau replié. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 22 juillet 2016 à 13:42 (UTC)
:::: {{Notif|Crochet.david}} Et donc ? On transmet à un technicien de niveau 2 ?
:::: [[Utilisateur:Cdang|Cdang]] ([[Discussion utilisateur:Cdang|discussion]]) 22 juillet 2016 à 14:02 (UTC)

== [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/30|Tech News: 2016-30]]  ==

&lt;section begin=&quot;technews-2016-W30&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;fr&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique Wikimédia. Veuillez informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/30|D’autres traductions]] sont disponibles.

'''Changements récents'''
* Des [[mw:Special:MyLanguage/Maps|cartes interactives]] ont été ajoutées sur Méta-wiki et les Wikipédias en catalan, hébreu et macédonien. Apprenez [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:Kartographer|à en ajouter dans les pages]].
* &lt;span title=&quot;Sujet technique&quot;&gt;[[File:Octicons-tools.svg|15px|link=]]&lt;/span&gt; Une documentation concernant l’annulation de déploiement de la semaine dernière a été rédigée. [[wikitech:Incident_documentation/20160712-EchoCentralAuth/Retrospective]]

'''Problèmes'''
* Il était parfois nécessaire d’enregistrer deux fois avec l’ÉditeurVisuel. Ça a été corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T140574]

'''Changements cette semaine'''
* &lt;span title=&quot;Sujet récurrent&quot;&gt;[[File:Octicons-sync.svg|12px|link=]]&lt;/span&gt; La [[mw:MediaWiki 1.28/wmf.12|nouvelle version]] de MediaWiki sera sur les wikis de test et sur MediaWiki.org à partir du 26 juillet. Elle sera installée sur tous les wikis hormis la majorité des Wikipédias le 27 juillet et enfin sur toutes les Wikipédias restantes le 28 juillet ([[mw:MediaWiki 1.28/Roadmap|calendrier]]).
* Il est désormais possible de marquer toutes les notifications conne lues depuis [[Special:Notifications|Spécial:Notifications]] en cliquant su l’icône en forme d’engrenage. [https://phabricator.wikimedia.org/T115528]
* Le moteur de recherche de Wikipédia tentera désormais de détecter la langue dans laquelle une recherche rédigée si seulement deux résultats ou moins ont été trouvés sur l’édition linguistique où la recherche est effectuée. Dans ce cas, les résultats seront complétés par une recherche sur la Wikipédia dans la langue détectée. Le déploiement commencera par cinq éditions linguistiques. [https://lists.wikimedia.org/pipermail/wikitech-l/2016-July/086096.html]

'''Réunions'''
* &lt;span title=&quot;Sujet récurrent&quot;&gt;[[File:Octicons-sync.svg|12px|link=]]&lt;/span&gt; Vous pouvez participer à la prochaine réunion avec l’équipe de l’Éditeur visuel. Au cours de cette réunion, vous pourrez indiquer aux développeurs quelles anomalies vous semblent les plus importantes. Cette réunion aura lieu le [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=19&amp;min=00&amp;sec=0&amp;day=26&amp;month=07&amp;year=2016 26 juillet à 19 h (UTC)]. Voyez [[mw:VisualEditor/Weekly triage meetings|comment participer]].
* &lt;span title=&quot;Sujet technique&quot;&gt;[[File:Octicons-tools.svg|15px|link=]]&lt;/span&gt; Vous pouvez participer à la prochaine réunion avec le comité d'architecture. Cette semaine, elle aura pour objet la création d’une extension permettant un stockage clé-valeur authentifié de données. Cette réunion aura lieu le [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=21&amp;min=00&amp;sec=0&amp;day=27&amp;month=07&amp;year=2016 27 juillet à 21 h (UTC)]. Voyez [[mw:Architecture meetings|comment participer]]. [https://phabricator.wikimedia.org/E237]

'''Changements à venir'''
* L’icône actuelle de la liste « {{int:Echo-notification-notice-text-only}} » de notifications (« ''Notices'' » en anglais) va être remplacée par une icône en forme de tiroir par souci de cohérence. [https://phabricator.wikimedia.org/T140900]
* [[Special:Notifications|Spécial:Notifications]] va changer pour être plus utilisable sur mobile. [https://phabricator.wikimedia.org/T140687]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/Ambassadors|ambassadeurs techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/30|Traduire]] • [[m:Tech|Obtenir de l’aide]] • [[m:Talk:Tech/News|Donner votre avis]] • [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’inscrire ou se désinscrire]].''
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt; &lt;section end=&quot;technews-2016-W30&quot;/&gt; 25 juillet 2016 à 19:54 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Johan (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=15785767 --&gt;</text>
      <sha1>jvdyeow3ipub32rulycxf29oykrdenr</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Wikiversité:La salle café/septembre 2016</title>
    <ns>4</ns>
    <id>58678</id>
    <revision>
      <id>987033</id>
      <parentid>982014</parentid>
      <timestamp>2026-10-04T12:04:38Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Crochet.david.bot</username>
        <id>1005</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Robot : conversion/correction du HTML</comment>
      <origin>987033</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="28101" sha1="se0r47k3xg16a0i999efg4oc6g1v99h" xml:space="preserve">__EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__
&lt;noinclude&gt;{{SC|2016|09}}&lt;/noinclude&gt;

== [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/36|Tech News: 2016-36]]  ==

&lt;section begin=&quot;technews-2016-W36&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;fr&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique Wikimédia. Veuillez informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/36|D’autres traductions]] sont disponibles.

'''Changements récents'''
*Les ''diffs'' sont maintenant précis au mot près pour les longs paragraphes. [https://phabricator.wikimedia.org/T128697]
* Les cartes interactives sont désormais intégrées dans un cadre par défaut, afin d’avoir un rendu plus proche des autres éléments multimédia. Cette modification concerne tous les Wikivoyage, Méta-Wiki et les Wikipédias en catalan, hébreu et macédonien. [https://phabricator.wikimedia.org/T128913]
* &lt;span title=&quot;Sujet technique&quot;&gt;[[File:Octicons-tools.svg|15px|link=]]&lt;/span&gt; Un tableau de validation des [[:w:fr:Adresse IP|adresses IP]] sera affiché lors de la prévisualisation de [[MediaWiki:Captcha-ip-whitelist]] à la place de la seule liste des adresses. Celui-ci vous permettra de savoir plus facilement si une règle fonctionnera ou non. [https://phabricator.wikimedia.org/T129757]

'''Changements cette semaine'''
*Vous pourrez utiliser &lt;code&gt;[[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:Kartographer#&lt;maplink&gt;|&lt;maplink&gt;]]&lt;/code&gt; sur toutes les Wikipédias. Cette balise crée un lien vers une carte affichée en plein écran. [https://lists.wikimedia.org/pipermail/wikitech-l/2016-August/086391.html][https://phabricator.wikimedia.org/T144062]
*Il arrive parfois qu’aucune notification ne soit envoyée lorsque vous mentionnez un autre utilisateur. Une nouvelle option, désactivée par défaut, vous permettre de recevoir une notification lorsqu’une mention a déclenché une notification ou d’être informé lorsque ça n’a pas fonctionné. [https://phabricator.wikimedia.org/T144181][https://phabricator.wikimedia.org/T143101]
* &lt;span title=&quot;Sujet récurrent&quot;&gt;[[File:Octicons-sync.svg|12px|link=]]&lt;/span&gt; La [[mw:MediaWiki 1.28/wmf.18|nouvelle version]] de MediaWiki sera mise en place sur les wikis de test et sur MediaWiki.org à partir du 6 septembre. Elle sera installée sur tous les wikis hormis la majorité des Wikipédias le 7 septembre et enfin sur toutes les Wikipédias restantes le 8 septembre ([[mw:MediaWiki 1.28/Roadmap|calendrier]]).

'''Réunions'''
* &lt;span title=&quot;Sujet récurrent&quot;&gt;[[File:Octicons-sync.svg|12px|link=]]&lt;/span&gt; Vous pouvez participer à la prochaine réunion avec l’équipe de l’Éditeur visuel. Au cours de cette réunion, vous pourrez indiquer aux développeurs quelles anomalies vous semblent les plus importantes. Cette réunion aura lieu le [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=19&amp;min=00&amp;sec=0&amp;day=06&amp;month=09&amp;year=2016 6 septembre à 19 h (UTC)]. Voyez [[mw:VisualEditor/Weekly triage meetings|comment participer]].

'''Changements à venir'''
* &lt;span title=&quot;Sujet technique&quot;&gt;[[File:Octicons-tools.svg|15px|link=]]&lt;/span&gt; L'extension ''[[mw:Special:MyLanguage/Extension:CheckUser|CheckUser]]'' pourrait changer prochainement. [[mw:Requests for comment/CheckUser requirements|Un appel à commentaires]] est en cours pour déterminer de quelle façon. [https://phabricator.wikimedia.org/T139810]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/Ambassadors|ambassadeurs techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/36|Traduire]] • [[m:Tech|Obtenir de l’aide]] • [[m:Talk:Tech/News|Donner votre avis]] • [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’inscrire ou se désinscrire]].''
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt; &lt;section end=&quot;technews-2016-W36&quot;/&gt; 5 septembre 2016 à 17:12 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Johan (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=15881619 --&gt;

== RevisionSlider ==

&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;fr&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
À partir du 13 septembre, [[mw:Special:MyLanguage/Extension:RevisionSlider|l’extension RevisionSlider]] sera disponible [[mw:Special:MyLanguage/Beta Features|en bêta]] sur votre wiki. RevisionSlider ajoute un curseur aux pages de comparaison de versions, permettant de naviguer plus facilement entre les révisions. Cette fonctionnalité répond à un souhait exprimé sur la [[m:WMDE Technical Wishes|liste de demandes techniques de la communauté germanophone]]. N’hésitez pas à tester cette fonctionnalité ; nous espérons qu’elle vous aidera dans vos contributions ! &lt;/div&gt; [[user:Birgit Müller (WMDE)|Birgit Müller (WMDE)]] 12 septembre 2016 à 14:56 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Birgit Müller (WMDE)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=WMDE_Technical_Wishes/Technical_Wishes_News_list_1&amp;oldid=15903628 --&gt;

== [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/37|Tech News: 2016-37]]  ==

&lt;section begin=&quot;technews-2016-W37&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;fr&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique Wikimédia. Merci d’informer les autres utilisateurs de ces changements. Tous ne vous concernent probablement pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/37|D’autres traductions]] sont disponibles.

'''Changements récents'''
* L’application Wikimedia Commons pour Android permet à présent de connaître les lieux à proximité pour lesquels des photographies sont attendues. [https://lists.wikimedia.org/pipermail/wikitech-l/2016-September/086429.html]
*&lt;code&gt;[[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:Kartographer#&lt;maplink&gt;|&lt;nowiki&gt;&lt;maplink&gt;&lt;/nowiki&gt;]]&lt;/code&gt; et &lt;code&gt;[[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:Kartographer#&lt;mapframe&gt; usage|&lt;nowiki&gt;&lt;mapframe&gt;&lt;/nowiki&gt;]]&lt;/code&gt; peuvent à présent [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:Kartographer#GeoShapes external data|utiliser les données géographiques]] d’[[:w:fr:OpenStreetMap|Open Street Map]] si ce dernier a défini une région et fourni un ID dans Wikidata. Vous pouvez utiliser ces données pour dessiner sur la carte et ajouter des informations. [https://phabricator.wikimedia.org/T134086][https://lists.wikimedia.org/pipermail/wikitech-ambassadors/2016-September/001469.html]

'''Changements cette semaine'''
* L’extension [[:mw:Special:MyLanguage/Extension:RevisionSlider|RevisionSlider]] sera disponible en tant que fonctionnalité bêta sur tous les wikis à partir du 13 septembre. Elle rendra la navigation plus facile entre les pages de comparaison de versions. [https://phabricator.wikimedia.org/T143421]
* &lt;span title=&quot;Sujet technique&quot;&gt;[[File:Octicons-tools.svg|15px|link=]]&lt;/span&gt; Une nouvelle permission utilisateur permettra à la plupart des utilisateurs de changer le [[mw:Special:MyLanguage/Help:ChangeContentModel|modèle de contenu]] des pages. [https://lists.wikimedia.org/pipermail/wikitech-ambassadors/2016-September/001468.html][https://lists.wikimedia.org/pipermail/wikitech-ambassadors/2016-September/001470.html]
* &lt;span title=&quot;Sujet récurrent&quot;&gt;[[File:Octicons-sync.svg|12px|link=]]&lt;/span&gt; La [[mw:MediaWiki 1.28/wmf.19|nouvelle version]] de MediaWiki sera mise en place sur les wikis de test et sur MediaWiki.org à partir du 13 septembre. Elle sera installée sur tous les wikis hormis la majorité des Wikipédias le 14 septembre et enfin sur toutes les Wikipédias restantes le 15 septembre ([[mw:MediaWiki 1.28/Roadmap|calendrier]]).

'''Réunions'''
* &lt;span title=&quot;Sujet récurrent&quot;&gt;[[File:Octicons-sync.svg|12px|link=]]&lt;/span&gt; Vous pouvez participer à la prochaine réunion avec l’équipe de l’Éditeur visuel. Au cours de cette réunion, vous pourrez indiquer aux développeurs quelles anomalies vous semblent les plus importantes. Cette réunion aura lieu le [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=19&amp;min=00&amp;sec=0&amp;day=13&amp;month=09&amp;year=2016 13 septembre à 19 h (UTC)]. Voyez [[mw:VisualEditor/Weekly triage meetings|comment participer]].

'''Changements à venir'''
* Dans l’avenir, lorsque vous lancerez des recherches sur les wikis de Wikimédia, vous pourrez voir les résultats pour les projets frères dans votre langue. Vous pouvez [https://lists.wikimedia.org/pipermail/wikitech-ambassadors/2016-September/001466.html en savoir plus et discuter le fonctionnement].

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/Ambassadors|ambassadeurs techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/37|Traduire]] • [[m:Tech|Obtenir de l’aide]] • [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]] • [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’inscrire ou se désinscrire]].''
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt; &lt;section end=&quot;technews-2016-W37&quot;/&gt; 12 septembre 2016 à 18:04 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Johan (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=15900005 --&gt;

== Vote pour rétablir [[:Catégorie:Utilisateurs par langues]]  ==

En 2011 nous utilisions des modèles comme {{M|Utilisateur fr}} qui catégorisaient (comme les autres boites utilisateurs) dans [[:Catégorie:Utilisateurs par langues]].

Puis la fondation a installé la boite Babel, [//fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Utilisateur:JackPotte&amp;diff=272984&amp;oldid=249261 que nous avons déployé rapidement], sans nous méfier car après tout elle tournait bien sur Wikipédia. Mais plusieurs semaines après, je me suis aperçu de l’absence des catégories. Quand j'en ai parlé sur Bugzilla (maintenant Phabricator), on m'a dit que c'était ainsi par défaut et qu'il fallait un vote de la communauté pour &lt;s&gt;rétablir&lt;/s&gt; installer les catégories Babel.

Alors qui veut pouvoir chercher les contributeurs par langue ?

=== Pour ===
# {{pour}} Au pluriel naturellement puisque ce consensus fût voté entre temps (mon bot renommerait [[:Catégorie:Utilisateur fr]] en [[:Catégorie:Utilisateurs fr]] avant la configuration). [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 13 septembre 2016 à 22:58 (UTC)
#{{pour}}[[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 14 septembre 2016 à 05:24 (UTC)
#{{pour}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 19 septembre 2016 à 10:23 (UTC)
#:&lt;s&gt;{{pour}} [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 10 octobre 2016 à 21:01 (UTC)&lt;/s&gt;

=== Résultat ===
Demande postée sur [[Phabricator:T146213]], merci aux participants. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 20 septembre 2016 à 20:37 (UTC)
:Modification activée. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 21 novembre 2016 à 17:51 (UTC)
::Les catégories apparaissent et sont créées mais [//fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Catégorie:Utilisateurs_zh-1&amp;action=historysubmit&amp;type=revision&amp;diff=619089&amp;oldid=619081 malheureusement sans catégorie mère]. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 21 novembre 2016 à 20:44 (UTC)

== Assemblée générale de l'association Wikimédia France  ==
Bonjour à toutes et à tous,

À la fin du mois d'octobre, l'association [[:w:WP:WMFr|Wikimédia France]] organise son assemblée générale annuelle. C'est l'occasion de faire le point sur l'ensemble des projets de l'association : partenariats, ateliers, opérations grand public, concours, lobbying, wikiconvention...  En se retrouvant à Paris, les membres participeront à des ateliers pour faire avancer les projets.
C'est également à cette occasion que sera renouvelée la moitié du '''conseil d'administration'''. Déjà plusieurs candidatures, dont certaines groupées autour d'un projet assez alternatif appelé [http://membres.wikimedia.fr/Assemblée_générale/octobre_2016/TOM TOM] .

Pour participer à l'AG, vous avez jusqu'au '''27 septembre'''. Prendre ou renouveler votre cotisation vous coûte {{unité|12|€}} et c'est [https://dons.wikimedia.fr/civicrm/contribute/transact?reset=1&amp;id=1 sur cette page].

Rejoignez-nous ! [[Utilisateur:Kvardek du|Kvardek du]] ([[Discussion utilisateur:Kvardek du|d]]) 14 septembre 2016 à 18:09 (UTC)

== {{Abréviation|MOOC|Massive Open Online Course|en}} [[Mise en œuvre de l’accessibilité numérique]] et WikiMOOC  ==

Bonjour ({{mention|Isabelle-ANDI}} et {{mention|Mobyou}}),

Après le succès du [[:wikipedia:fr:Projet:WikiMOOC|WikiMOOC 2016]], nous repartons pour un tour et commençons à concevoir une seconde édition, à paraître début 2017. J'ai vu que la Wikiversité abritait désormais un premier MOOC, [[Mise en œuvre de l’accessibilité numérique]]. J'ai une question à ce sujet : est-ce que les réponses des apprenants aux quizz sont juste affichées à ces derniers, ou sont-elles stockées ? Si oui où ? Si non, est-ce techniquement facilement possible ?

Ces questions pour savoir si utiliser la Wikiversité pour héberger le WikiMOOC est envisageable.

Plus largement, est-ce qu'il y a d'autres projets de {{Abréviation|MOOC|Massive Open Online Course|en}} sur la Wikiversité ? Et des projets de développement logiciel, par la Fondation (ping {{mention|Trizek (WMF)}}) ou autre ?

Merci par avance ! [[Utilisateur:Jules WMFr|Jules WMFr]] ([[Discussion utilisateur:Jules WMFr|discussion]]) 16 septembre 2016 à 15:36 (UTC)
:C'était le premier projet {{Abréviation|MOOC|Massive Open Online Course|en}} et les résultats des quiz ne s'affichent que côté client. Pour rendre ces données persistantes, il faudrait modifier l'extension MediaWiki opensource [[MW:Extension:Quiz]] puis voter pour l’installer ici. Personnellement je saurais le faire mais mon temps ne me le permet pas dans les prochains mois. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 16 septembre 2016 à 16:41 (UTC)

:Les {{Abréviation|MOOC|Massive Open Online Course|en}} résulte d'une prise de décision voté sur la wikiversité. Actuellement, il y en a 5 sur la wikiversité, voir [[:Catégorie:Leçons MOOC]]. Il serait effectivement intéressant que le prochain WikiMOOC ait lieu sur la Wikiversité. Cela me paraîtrait même naturel. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 17 septembre 2016 à 09:39 (UTC)

:Nous sommes en cours de finalisation du guide d'utilisation du template MOOC. Nous le publierons bientôt  sur la wikiversité afin que chacun puisse l'utiliser et nous serons disponible pour vous aider dans le cadre de l'utilisation du template pour le prochain WikiMOOC. Au sujet du quizz, si vous projetez de l’améliorer ce serait pas mal de le rendre accessible également, nous pouvons contribuer à ce travail.  {{sourire}}--[[Utilisateur:Isabelle-ANDI|Isabelle-ANDI]] ([[Discussion utilisateur:Isabelle-ANDI|discussion]]) 19 septembre 2016 à 07:21 (UTC)
::Il est là : https://gerrit.wikimedia.org/r/#/admin/projects/mediawiki/extensions/Quiz. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 19 septembre 2016 à 11:29 (UTC)
:::Merci beaucoup pour vos réponses ! [[Utilisateur:Jules WMFr|Jules WMFr]] ([[Discussion utilisateur:Jules WMFr|discussion]]) 21 septembre 2016 à 11:29 (UTC)

== [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/38|Tech News: 2016-38]]  ==

&lt;section begin=&quot;technews-2016-W38&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;fr&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique Wikimédia. Merci d’informer les autres utilisateurs de ces changements. Tous ne vous concernent probablement pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/38|D’autres traductions]] sont disponibles.

'''Problèmes'''
*La mise à jour de MediaWiki de la semaine dernière a causé des problèmes et a été désinstallée. Il a été impossible de créer des comptes utilisateur entre [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=12&amp;min=50&amp;sec=0&amp;day=16&amp;month=09&amp;year=2016 le 15 septembre à 19 h 10 (UTC)] et [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=12&amp;min=50&amp;sec=0&amp;day=16&amp;month=09&amp;year=2016 le 16 septembre à 12 h 50 (UTC)]. [https://lists.wikimedia.org/pipermail/wikitech-l/2016-September/086536.html][[wikitech:Incident_documentation/20160915-MediaWiki]]

'''Changements cette semaine'''
* &lt;span title=&quot;Sujet récurrent&quot;&gt;[[File:Octicons-sync.svg|12px|link=]]&lt;/span&gt; La [[mw:MediaWiki 1.28/wmf.19|nouvelle version]] de MediaWiki sera mise en place sur les wikis de test et sur MediaWiki.org à partir du 20 septembre. Elle sera installée sur tous les wikis hormis la majorité des Wikipédias le 21 septembre et enfin sur toutes les Wikipédias restantes le 22 septembre ([[mw:MediaWiki 1.28/Roadmap|calendrier]]). Il s’agit de la version prévue pour la semaine dernière.

'''Réunions'''
* &lt;span title=&quot;Sujet récurrent&quot;&gt;[[File:Octicons-sync.svg|12px|link=]]&lt;/span&gt; Vous pouvez participer à la prochaine réunion avec l’équipe de l’Éditeur visuel. Au cours de cette réunion, vous pourrez indiquer aux développeurs quelles anomalies vous semblent les plus importantes. Cette réunion aura lieu le [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=19&amp;min=00&amp;sec=0&amp;day=20&amp;month=09&amp;year=2016 20 septembre à 19 h (UTC)]. Voyez [[mw:VisualEditor/Weekly triage meetings|comment participer]].
* &lt;span title=&quot;Sujet technique&quot;&gt;[[File:Octicons-tools.svg|15px|link=]]&lt;/span&gt; Vous pouvez participer à la prochaine réunion avec le comité d’architecture. Le thème de cette semaine porte sur [[phab:T107595|les révisions multi-contenus]]. Cette réunion aura lieu le [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=21&amp;min=00&amp;sec=0&amp;day=21&amp;month=09&amp;year=2016 21 septembre à 21 h (UTC)]. Voyez [[mw:Architecture meetings|comment participer]].

'''Changements à venir'''
* Le travail d’intégration de Wikidata au Wiktionnaire va commencer. L’équipe de développement de Wikidata effectue une relecture finale du [[wikidata:Special:MyLanguage/Wikidata:Wiktionary/Development/Proposals/2015-05|plan de développement]] avant le début de l’implémentation. [https://lists.wikimedia.org/pipermail/wikidata/2016-September/009541.html]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/Ambassadors|ambassadeurs techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/38|Traduire]] • [[m:Tech|Obtenir de l’aide]] • [[m:Talk:Tech/News|Donner votre avis]] • [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’inscrire ou se désinscrire]].''
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt; &lt;section end=&quot;technews-2016-W38&quot;/&gt; 19 septembre 2016 à 22:09 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Johan (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=15921906 --&gt;

== Besoin d'aide technique  ==

'''Help !''' Pourquoi les modifications que je fais '''[[Développement_durable/Objectifs|ici]]''' ne sont-elles pas répercutées '''[[Développement durable|là]]''' ? Je voudrais que les titres ''Objectifs notionnels'' et ''Objectifs méthodologiques'' apparaissent dans la page [[Développement durable|Développement inégal]] comme des titres du niveau immédiatement inférieur au niveau du titre ''Objectifs''. Quelqu'un peut-il m'expliquer ? Merci ! :-) (Au fait, pas d'émoticônes ici ?) --[[Utilisateur:Panourgos|Panourgos]] ([[Discussion utilisateur:Panourgos|discussion]]) 20 septembre 2016 à 13:22 (UTC)
:{{ping|Panourgos}} bonjour, il s'agissait simplement de deux bugs :
:# Le cache du serveur, qui permet à plus de lecteurs des temps de chargement de page plus rapides, ralentit quelque peu le travail des contributeurs qui font des inclusions. En effet, pour le mettre à jour j'ai dû éditer ''[[Développement durable|Développement inégal]]'', prévisualiser, puis sauvegarder (sans rien changer). On appelle ça le &quot;null edit&quot; et cela fait des années qu'on nous le signale.
:# Le titre niveau 1 n’était pas interprété dans l'inclusion ([//fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Développement_inégal/Objectifs&amp;diff=604059&amp;oldid=604058 même en deuxième ligne]). J'ai donc collé une balise break en guise de solution.
:Peut-être qu'il faudrait rendre ces astuces accessibles depuis le mode édition ? [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 20 septembre 2016 à 13:51 (UTC)
::Bonjour, il y a cette page [[:Catégorie:Modèles d'émoticônes]]. {{Clin d'œil}} Cordialement. [[Spécial:Contributions/135.19.197.38|135.19.197.38]] 20 septembre 2016 à 14:12 (UTC)
:{{Notif|Panourgos}}Bonjour, vous pouvez aussi ajouter un onglet pour purger la page recevant la sous-page en cliquant sur vos préférences, puis sur gadget, et dans &quot;Liens supplémentaires&quot;, cocher la ligne &quot; OngletPurge : Purger le cache web d'une page et recalculer son contenu&quot;, sans oublier d'enregistrer les préférences en bas de page.  Cordialement. {{clin}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 21 septembre 2016 à 13:11 (UTC)

== Sondage : vos envies, vos besoins  ==

Bonjour,

La communication entre les communautés (notamment sur Wikipédia) et l’association [[w:fr:WP:Wikimédia France|Wikimédia France]] (WMFr) n’est pas toujours au top. D’une part les non-membres de l’asso ne savent pas forcément quelles sont les actions concrètes de WMFr, d’autre part l’asso a vocation à s’ouvrir davantage aux contributeurs et contributrices non-membres.

Comme l’association a pour but de soutenir les projets Wikimédia et leurs contributeurs, il est très souhaitable d’améliorer cela. Pour cette raison, je vous serai très reconnaissant de répondre à '''[https://wikimedia.qualtrics.com/SE/?SID=SV_9GfFmRlClgB8Ev3 ce court sondage]''' (3 questions) qui porte sur vos envies et vos besoins de contributeurs/contributrices, puis sur vos idées pour renforcer la collaboration entre vous et l’asso, entre l’asso et vous. Bref, c’est le moment de donner votre avis —&amp;nbsp;franc, mais constructif, évidemment.

Merci, beaucoup {{sourire}}.&lt;br/&gt;
Sincèrement,&lt;br/&gt;
[[Utilisateur:Jules WMFr|Jules WMFr]] ([[Discussion utilisateur:Jules WMFr|discussion]]) 21 septembre 2016 à 11:28 (UTC)

== [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/39|Tech News: 2016-39]]  ==

&lt;section begin=&quot;technews-2016-W39&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;fr&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique Wikimédia. Merci d’informer les autres utilisateurs de ces changements. Tous ne vous concernent probablement pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/39|D’autres traductions]] sont disponibles.

'''Changements récents'''
* Si votre wiki souhaite bénéficier du [[m:Community Tech/Numerical sorting in categories|tri numérique dans les catégories]], vous pouvez le demander après une décision communautaire. Regardez [[m:Community Tech/Numerical sorting in categories/How to request|comment effectuer votre requête]]. [https://lists.wikimedia.org/pipermail/wikitech-ambassadors/2016-September/001477.html]
* Lorsque vous modifiez du texte et [[mw:Special:MyLanguage/Help:Notifications/Notifications types#Mentions|mentionnez]] un nouveau nom d’utilisateur, celui-ci reçoit une notification si vous ajoutez votre signature. Auparavant, ceci ne se produisait que sous certaines conditions. [https://phabricator.wikimedia.org/T138938]
* Les utilisateurs sont notifiés s’ils sont [[mw:Special:MyLanguage/Help:Notifications/Notifications types#Mentions|mentionnés]] dans une section dans laquelle vous ajoutez votre propre signature, ce même si vous modifiez plus d’une section. Auparavant, les utilisateurs n’étaient pas notifiés si vous modifiiez plus d’une section d’un coup. [https://phabricator.wikimedia.org/T141863]

'''Problèmes'''
* Le déploiement de la [[mw:MediaWiki 1.28/wmf.19|version de MediaWiki]] qui était censée être déployée sur les wikis il y a deux semaines a de nouveau été annulé en raison de nouveaux problèmes. La [[mw:MediaWiki 1.28/wmf.20|version suivante de MediaWiki]] est à présent déployée sur tous les wikis. [https://lists.wikimedia.org/pipermail/wikitech-l/2016-September/086564.html][https://lists.wikimedia.org/pipermail/wikitech-l/2016-September/086576.html]

'''Changements cette semaine'''
* Il n’y aura pas de nouvelle version de MediaWiki cette semaine. [https://lists.wikimedia.org/pipermail/wikitech-l/2016-September/086563.html]

'''Réunions'''
* Vous pouvez participer à la prochaine réunion avec l’équipe de Wikidata. La réunion aura lieu le [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=16&amp;min=00&amp;sec=0&amp;day=27&amp;month=09&amp;year=2016 27 septembre à 16 h (UTC)]. Regardez [[d:Wikidata:Events#IRC office hours|comment participer]].

'''Changements à venir'''
* &lt;span title=&quot;Sujet technique&quot;&gt;[[File:Octicons-tools.svg|15px|link=]]&lt;/span&gt; Les outils abandonnés sur [[wikitech:Portal:Tool Labs|Tool Labs]] pourraient être repris par de nouveaux développeurs. Il y a une nouvelle [[m:Requests for comment/Abandoned Labs tools|discussion sur Méta]] à ce sujet. Elle se poursuivra jusqu’au 12 octobre et sera suivie d’un vote. [https://phabricator.wikimedia.org/T87730]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/Ambassadors|ambassadeurs techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/39|Traduire]] • [[m:Tech|Obtenir de l’aide]] • [[m:Talk:Tech/News|Donner votre avis]] • [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’inscrire ou se désinscrire]].''
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt; &lt;section end=&quot;technews-2016-W39&quot;/&gt; 26 septembre 2016 à 18:07 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Johan (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=15934983 --&gt;
== Modèle : Palette  ==
Bonjour. J'aurais besoin du modèle:Palette, tel qu'il existe et fonctionne sur WP. Peut-être est-il déjà en fonctionnement mais je ne le trouve pas. Merci d'avance [[Utilisateur:Gerard-emile|Gerard-emile]] ([[Discussion utilisateur:Gerard-emile|discussion]]) 30 septembre 2016 à 04:42 (UTC)
:{{fait}} Je l’ai importé : {{m|palette}}. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 30 septembre 2016 à 06:46 (UTC)
::Merci Mon expérience sur WP m'a fait comprendre l'intérêt de cet outil--[[Utilisateur:Gerard-emile|Gerard-emile]] ([[Discussion utilisateur:Gerard-emile|discussion]]) 30 septembre 2016 à 12:41 (UTC)</text>
      <sha1>se0r47k3xg16a0i999efg4oc6g1v99h</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Wikiversité:La salle café/octobre 2016</title>
    <ns>4</ns>
    <id>58679</id>
    <revision>
      <id>987034</id>
      <parentid>982015</parentid>
      <timestamp>2026-10-04T12:04:48Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Crochet.david.bot</username>
        <id>1005</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Robot : conversion/correction du HTML</comment>
      <origin>987034</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="40032" sha1="9nb6iqm5zworyuvldgxkemwvuf5jzn7" xml:space="preserve">__EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__
&lt;noinclude&gt;{{SC|2016|10}}&lt;/noinclude&gt;

== Recherche d'un auteur par l'adresse IP  ==

Bonjour

J'ai commencé à mettre en ligne la traduction d'une comptine anglaise [[Littérature de jeunesse en anglais : Nursery rhyme, Baa-baa-Black Sheep]] dont une version est disponible sur Wikisource. Or une traduction d'une version légèrement différente a déjà été publiée sur Wikipedia, par un utilisateur non enregistré en octobre 2015. Est-ce que cela pose problème ? Comment retrouver l'auteur ? Merci. [[Utilisateur:Als33120|Als33120]] ([[Discussion utilisateur:Als33120|discussion]]) 2 octobre 2016 à 18:52 (UTC)
:Si une personne contribue sans s'identifier, alors « l'IP » est l'auteur. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 2 octobre 2016 à 19:09 (UTC)

== [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/40|Tech News: 2016-40]]  ==

&lt;section begin=&quot;technews-2016-W40&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;fr&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique Wikimédia. Merci d’informer les autres utilisateurs de ces changements. Tous ne vous concernent probablement pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/40|D’autres traductions]] sont disponibles.

'''Changements cette semaine'''
* &lt;span title=&quot;Sujet récurrent&quot;&gt;[[File:Octicons-sync.svg|12px|link=]]&lt;/span&gt; La [[mw:MediaWiki 1.28/wmf.21|nouvelle version]] de MediaWiki sera mise en place sur les wikis de test et sur MediaWiki.org à partir du 4 octobre. Elle sera installée sur tous les wikis hormis la majorité des Wikipédias le 5 octobre et enfin sur toutes les Wikipédias restantes le 6 octobre ([[mw:MediaWiki 1.28/Roadmap|calendrier]]).

'''Réunions'''
* &lt;span title=&quot;Sujet récurrent&quot;&gt;[[File:Octicons-sync.svg|12px|link=]]&lt;/span&gt; Vous pouvez participer à la prochaine réunion avec l’équipe de l’Éditeur visuel. Au cours de cette réunion, vous pourrez indiquer aux développeurs quelles anomalies vous semblent les plus importantes. Cette réunion aura lieu le [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=19&amp;min=00&amp;sec=0&amp;day=04&amp;month=10&amp;year=2016 4 octobre à 19 h (UTC)]. Voyez [[mw:VisualEditor/Weekly triage meetings|comment participer]].

'''Changements à venir'''
* &lt;span title=&quot;Sujet technique&quot;&gt;[[File:Octicons-tools.svg|15px|link=]]&lt;/span&gt; Nous envisageons de cesser d’utiliser [[w:fr:HTML Tidy|Tidy]]. À la place, l’algorithme d’interprétation du HTML 5 sera utilisé pour nettoyer le mauvais code HTML produit par le wikicode. De nombreux wikis [[mw:Parsing/Replacing Tidy|risquent de rencontrer des problèmes]]. Des ajustements doivent être effectués. [https://phabricator.wikimedia.org/T89331]
* &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;&lt;slippymap&gt;&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt; ne fonctionnera plus sur Wikivoyage après le 24 octobre. Veuillez utiliser &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;&lt;mapframe&gt;&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt; à la place. Si vous avez besoin d’aide pour effectuer la transition avant le 24 octobre, [[mw:Talk:Maps|demandez-en]] aussi vite que possible. [https://phabricator.wikimedia.org/T136768]
* 

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/Ambassadors|ambassadeurs techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/40|Traduire]] • [[m:Tech|Obtenir de l’aide]] • [[m:Talk:Tech/News|Donner votre avis]] • [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’inscrire ou se désinscrire]].''
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt; &lt;section end=&quot;technews-2016-W40&quot;/&gt; 3 octobre 2016 à 21:30 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Johan (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=15955794 --&gt;

== Creative Commons 4.0  ==

Bonjour ! Je vous écris de la part de la part de la Wikimedia Foundation pour vous inviter à donner votre avis sur la proposition de migrer de la licence CC-By-SA 3.0 à CC-By-SA 4.0 pour l’ensemble des projets Wikimedia. La consultation se déroulera du 5 octobre au 8 novembre, et nous espérons que divers points de vue et opinions seront exprimés. Si vous êtes intéressés, veuillez [[meta:Special:MyLanguage/Terms of use/Creative Commons 4.0|participer à la discussion sur Meta Wiki]]. [[User:JSutherland (WMF)|Joe Sutherland]] 6 octobre 2016 à 00:17 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:JSutherland (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:JSutherland_(WMF)/MassMessage/2&amp;oldid=15962059 --&gt;

== [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/41|Tech News: 2016-41]]  ==

&lt;section begin=&quot;technews-2016-W41&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;fr&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique Wikimédia. Merci d’informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/41|D’autres traductions]] sont disponibles.

'''Modifications récentes'''
* Vous pouvez afficher le contenu de [[Special:RecentChanges|Spécial:Modifications récentes]] dans une page en utilisant &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;{{Special:RecentChanges}}&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;. Désormais, la liste affichée peut être limitée à une balise avec la syntaxe suivante : &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;{{Special:RecentChanges/tagfilter=nom du tag}}&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;. [https://phabricator.wikimedia.org/T142878]
* Lorsque vous avez des notifications, l’icône de notification est colorée. Désormais, consulter vos notifications enlèvera la couleur pour tous les wikis et non seulement le wiki actuel. [https://phabricator.wikimedia.org/T134855]
* Les couleurs utilisées sur l’interface principale des wikis Wikimedia ont légèrement changé. Elles sont dorénavant [http://www.w3.org/TR/UNDERSTANDING-WCAG20/visual-audio-contrast-contrast.html plus distinguables] pour les lecteurs et contributeurs ayant une vue réduite. [https://phabricator.wikimedia.org/T109915]

'''Changements cette semaine'''
* Les commentaires HTML masqués (&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;&lt;!-- Écrits de cette façon en wikitexte. --&gt;&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;) seront plus proéminents avec l’Éditeur visuel. [https://phabricator.wikimedia.org/T147089]
* &lt;span title=&quot;Sujet récurrent&quot;&gt;[[File:Octicons-sync.svg|12px|link=]]&lt;/span&gt; La [[mw:MediaWiki 1.28/wmf.22|nouvelle version]] de MediaWiki sera sur les wikis de test et sur MediaWiki.org à partir du 11 octobre. Elle sera installée sur tous les wikis hormis la majorité des Wikipédias le 12 octobre et enfin sur toutes les Wikipédias restantes le 13 octobre ([[mw:MediaWiki 1.28/Roadmap|calendrier]]).

'''Réunions'''
* &lt;span title=&quot;Sujet récurrent&quot;&gt;[[File:Octicons-sync.svg|12px|link=]]&lt;/span&gt; Vous pouvez participer à la prochaine réunion avec l’équipe de l’Éditeur visuel. Au cours de cette réunion, vous pourrez indiquer aux développeurs quelles anomalies vous semblent les plus importantes. Cette réunion aura lieu le [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=19&amp;min=00&amp;sec=0&amp;day=11&amp;month=10&amp;year=2016 11 octobre à 19 h (UTC)]. Voyez [[mw:VisualEditor/Weekly triage meetings|comment participer]].
* &lt;span title=&quot;Sujet technique&quot;&gt;[[File:Octicons-tools.svg|15px|link=]]&lt;/span&gt; Vous pouvez participer à la prochaine réunion avec le [[mw:Architecture committee|comité d'architecture]]. Le sujet de cette semaine sera [[phab:T139300|la politique d’inclusion dans les fichiers ''CREDITS'']]. Cette réunion aura lieu le [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=21&amp;min=00&amp;sec=0&amp;day=12&amp;month=10&amp;year=2016 12 octobre à 21 h (UTC)]. Voyez [[mw:Architecture meetings|comment participer]].

'''Changements à venir'''
* La syntaxe de LanguageConverter (convertisseur de langue) va bientôt cesser de fonctionner à l’intérieur des liens externes. Ainsi le wikicode &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;http://-{zh-cn:foo.com; zh-hk:bar.com; zh-tw:baz.com}-&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt; va devoir doit être remplacé par &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;-{zh-cn: http://foo.com ; zh-hk: http://bar.com ; zh-tw:http://baz.com }-&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;. Cela affecte uniquement les langues ayant activé LanguageConverter ; parmi elles, le chinois et le serbe. [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=Commons_talk%3AWikiProject_Templates&amp;type=revision&amp;diff=208221135&amp;oldid=168939481]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/Ambassadors|ambassadeurs techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/41|Traduire]] • [[m:Tech|Obtenir de l’aide]] • [[m:Talk:Tech/News|Donner votre avis]] • [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’inscrire ou se désinscrire]].''
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt; &lt;section end=&quot;technews-2016-W41&quot;/&gt; 10 octobre 2016 à 20:29 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Johan (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=15976026 --&gt;

== Wikiscan ==

Bonjour, http://frwikiversity.wikiscan.org/ est actif, en beta pour l'instant, le site n'est notamment pas encore bien adapté aux autres wikis que WP fr. N'hésitez pas à me signaler des choses spécifiques qui devraient être prises en compte. [[Utilisateur:Akeron|Akeron]] ([[Discussion utilisateur:Akeron|discussion]]) 11 octobre 2016 à 13:48 (UTC)
:Merci. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 11 octobre 2016 à 15:56 (UTC)
:Miam, miam, plein de bons fromages! Marchi ! {{sourire}} --[[Utilisateur:Psychoslave|Psychoslave]] ([[Discussion utilisateur:Psychoslave|discussion]]) 15 octobre 2016 à 08:43 (UTC)

== Editing News #3—2016  ==

&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;fr&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;

''[[:m:Special:MyLanguage/VisualEditor/Newsletter/2016/October|Lire ceci dans une autre langue]] • [[:m:VisualEditor/Newsletter|Liste d’abonnement à cette lettre d’information multilingue]]''

&lt;div style=&quot;float:right;width:230px;{{#switch:ltr|rtl=float:left;margin-left:0;|#default=float:right;margin-right:0;}}margin-left:1em;border-style:solid;border-width:1px;padding:1em;&quot;&gt;
[[File:VisualEditor-logo.svg|200px|center|alt=ÉditeurVisuel]]'''Le saviez-vous ?'''  
&lt;div class=&quot;thumbcaption&quot; style=&quot;font-size: 90%;&quot;&gt;  

Saviez-vous que vous pouvez facilement réorganiser les lignes et les colonnes dans l’éditeur visuel ? [[File:VisualEditor table editing menu.png|alt=Capture d’écran montrant un menu déroulant avec les options de modification de la structure d’un tableau.|center|frameless|232px]]  


Sélectionnez une cellule dans la colonne ou la ligne que vous voulez déplacer. Cliquez sur la flèche au début de la ligne ou la colonne pour ouvrir le menu déroulant (affiché). Choisissez entre « Déplacer avant » et « Déplacer après » pour déplacer la colonne, ou « Déplacer au-dessus » et « Déplacer au-dessous » pour déplacer la ligne.

Vous pouvez lire et aider à traduire [[:mw:Special:MyLanguage/VisualEditor/User guide|le guide de l’utilisateur]] qui apporte plus d’informations sur l’utilisation de l’éditeur visuel.
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

Depuis la dernière lettre, l’[[:mw:Special:MyLanguage/VisualEditor|équipe de l’ÉditeurVisuel]] a principalement travaillé sur un nouvel éditeur de wikicode. Elle a également mis en place quelques petites fonctionnalités et le nouvel outil de modification de cartes.  Leur tableau de bord est disponible [[phab:project/board/483/|sur Phabricator]].  Vous pouvez trouver des liens vers la liste des travaux accomplis chaque semaine sur les [[:mw:VisualEditor/Weekly triage meetings|mw:ÉditeurVisuel/Réunions hebdomadaires de triage]].  Les [[:mw:Special:MyLanguage/VisualEditor/Current priorities|priorités actuelles]] sont la correction de bogues, la mise en place de l’éditeur de wikicode 2017 en tant que [[:mw:Special:MyLanguage/Beta Features|fonctionnalité bêta]], et l’amélioration du support linguistique.

=== Changements récents  ===
*Il est maintenant possible de indiquer si le texte est gros ou petit.[https://phabricator.wikimedia.org/T53613]
*Les modèles invisibles étaient affichés avec une icône de pièce de puzzle. Le nom du modèle invisible est désormais affiché à côté de l’icône.[https://phabricator.wikimedia.org/T141861]  De la même manière, le début des commentaires HTML cachés sera affiché.[https://phabricator.wikimedia.org/T147089]
*Les catégories sont affichées en bas de chaque page. En cas de clic sur une catégorie, la boîte de dialogue de modification des catégories s’ouvrira.[https://phabricator.wikimedia.org/T145267]
*Sur de nombreux wikis, vous pouvez à présent insérer des [[mediawikiwiki:Maps|cartes]] sur les pages. Allez dans le menu « Insérer » et cliquez sur « Carte ». Le département de Découverte va ajouter de nouvelle fonctionnalités dans ce secteur, comme les formes géométriques. Des informations supplémentaires sont disponibles sur mediawiki.org.[https://www.mediawiki.org/wiki/Wikimedia_Discovery#Maps]
*Le libellé du bouton « Enregistrer » a été changé en « Enregistrer la page » lorsque vous créez une page, et « Enregistrer les modifications » lorsque vous modifiez une page existante.[https://phabricator.wikimedia.org/T139033]  Il est prévu que le libellé du bouton « {{int:Savearticle}} » soit changé en « {{int:Publishpage}} », à la fois pour l’édition visuelle et wikitexte. [[:m:Editing/Publish|Plus d’informations sur Meta]].
*Les galeries d’images utilisent désormais un mode de modification visuel. Vous pouvez visionner les miniatures des images, ajouter de nouveaux fichiers, supprimer les images non désirées, réarranger les images par glisser-déposer, et ajouter des légendes aux images. Utilisez l’onglet « Options » pour définir le mode d’affichage de la galerie, la taille des images, et ajouter un titre à la galerie.[https://phabricator.wikimedia.org/T45037]

=== Changements à venir  ===

L’éditeur visuel sera disponible au cours du mois prochain pour tous les contributeurs des 10 [[:mw:VisualEditor/Rollouts|Wikipédias en phase 6]] restantes. Les développeurs souhaitent savoir si la saisie dans votre langue vous est naturelle avec l’éditeur visuel.  Merci de publier vos commentaires en précisant la ou les langues que vous avez testées sur [[:mw:Topic:St8y4ni42d0vr9cv|le fil de discussion des commentaires sur mediawiki.org]]. Ceci concernera plusieurs langues, parmi lesquelles le [[:w:th:|'''thaï''']], le [[:w:my:|'''birman''']] et l’[[:w:arc:|'''araméen''']].

L’équipe travaille sur un éditeur de wikicode modernisé. L’[[Mw:2017 wikitext editor|éditeur de wikicode 2017]] ressemblera à l’éditeur visuel et permettra d’utiliser le service Citoid et d’autres outils modernes.  Ce nouveau système de modification sera potentiellement disponible en tant que fonctionnalité bêta sur les ordinateurs de bureau en octobre 2016. Des informations supplémentaires ont été diffusées dans une [[:mw:Special:MyLanguage/VisualEditor/Roadmap/Update_2016-06-23|lettre d’information sur les travaux en cours sur la liste de diffusion Wikimédia]]. 

=== Travaillons ensemble !  ===
* Enseignez-vous à de nouveaux contributeurs comment utiliser l’éditeur visuel ? Avez-vous aidé à [[:mw:Citoid/Enabling Citoid on your wiki|installer la fonctionnalité d’insertion automatique de références Citoid sur votre wiki]] ? Avez-vous écrit ou importé des [[:mw:Special:MyLanguage/Help:TemplateData|données de modèles TemplateData]] pour vos modèles de citation les plus importants ? &lt;mark&gt;Accepteriez-vous d’aider les nouveaux contributeurs et les petites communautés à l'utilisation de l’éditeur visuel ? Inscrivez-vous au nouveau [[:mw:Help:VisualEditor/Community Taskforce|'''groupe de support communautaire de l’ÉditeurVisuel''']].&lt;/mark&gt;
*Si vous ne lisez pas ceci dans votre langue favorite, participez à la traduction ! Inscrivez-vous à la [[mail:translators-l|liste de diffusion des traducteurs]] ou [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User_talk:Elitre_(WMF)&amp;action=edit&amp;section=new contactez-nous] directement, afin que nous puissions vous avertir dès que la prochaine version sera prête. {{int:Feedback-thanks-title}}

—[[:mw:User:Elitre (WMF)|Elitre (WMF)]]
&lt;/div&gt; 15 octobre 2016 à 17:50 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Elitre (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=VisualEditor/Newsletter/Wikis_with_VE&amp;oldid=15960088 --&gt;

== [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/42|Tech News: 2016-42]]  ==

&lt;section begin=&quot;technews-2016-W42&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;fr&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique Wikimédia. Merci d’informer les autres utilisateurs de ces changements. Tous ne vous concernent probablement pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/42|D’autres traductions]] sont disponibles.

'''Changements récents'''
* La Fondation Wikimédia délivre une [[m:Special:MyLanguage/Collaboration/Newsletter|nouvelle lettre d’informations]] éditée par l’[[mw:Collaboration|équipe Collaboration]]. Elle fournit des détails sur l’évolution des projets pris en main par l’équipe, par exemple Flow et les Notifications. [[m:Special:MyLanguage/Collaboration/Newsletter/Issues/October 2016|Lisez la première édition]].

'''Problèmes'''
* Certains utilisateurs ont vu des avertissements à propos des [[w:en:Public key certificate#Certificates and website security|certificats de sécurité]] la semaine dernière, dus à un problème de l'entreprise [[w:en:GlobalSign|GlobalSign]]. Ce problème est à présent résolu. Seuls certains utilisateurs ont étés impactés. [[wikitech:Incident_documentation/20161013-GlobalSign]]
* Les pages semi-protégées ne pouvaient pas être modifiées depuis l’[[mw:Wikimedia Apps|application Wikipédia]] pour Android. Cela a été corrigé dans la version bêta. [https://phabricator.wikimedia.org/T132834]

'''Changements cette semaine'''
* Il n’y aura pas de nouvelle version de MediaWiki cette semaine. [https://wikitech.wikimedia.org/w/index.php?title=Deployments&amp;oldid=898289]

'''Changements à venir'''
* Le [[mw:Editing|département de Rédaction]] travaille sur un nouvel éditeur wikitexte. Celui-ci comprendra des outils similaires à l’éditeur visuel. [[mw:2017 wikitext editor|Plus d’informations ici]]. Le projet en est à ses débuts et peut encore être débattu. L’ancien éditeur wikitexte restera disponible.

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/Ambassadors|ambassadeurs techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/42|Traduire]] • [[m:Tech|Obtenir de l’aide]] • [[m:Talk:Tech/News|Donner votre avis]] • [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’inscrire ou se désinscrire]].''
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt; &lt;section end=&quot;technews-2016-W42&quot;/&gt; 17 octobre 2016 à 16:42 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Johan (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=15986496 --&gt;

== Mémoire de recherche  ==

Bonjour, dans le cadre de mon M2 de droit social, j'ai rédigé un mémoire qui est placé sous la licence creative commons. Peut-il être publié en tant que tel sur ce site? [[Utilisateur:Durifon|Durifon]] ([[Discussion utilisateur:Durifon|discussion]]) 22 octobre 2016 à 12:04 (UTC)
: Bonjour, oui bien sûr aucun problème (voir : [[Ressources éducatives libres#Quelles licences sont compatibles avec Wikiversité ?]]), d'autres personnes ont déjà publié leur mémoire sur ce site comme, par exemple, [[Utilisateur:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] dont vous pouvez consulter les travaux à partir de sa page utilisateur dont je vous ai mis le lien. Pour plus de renseignements sur la façon de mettre votre travail sur la Wikiversité, voir aussi : [[Aide:Comment créer un travail de recherche]]. Nous sommes là pour vous aider si vous avez besoin de renseignements complémentaires. {{sourire}} Cordialement. — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 22 octobre 2016 à 13:31 (UTC)
:: Salut [[Utilisateur:Durifon|Durifon]] et bienvenu sur Wikiversité. Je vois que tu es déjà actif sur Wikipédia, mais si tu as besoin d'aide pour la « wikification » de ton mémoire (intégration de tableaux notamment), je suis partant. Le droit social est un sujet qui m'intéresse donc ce sera pour moi utile et agréable. Tu peux commencer par un copier coller ton texte sur une nouvelle page avec pour titre « recherche:Le titre de ton ouvrage » étant donné que les travaux de recherches doivent se situer dans l'[[w:MediaWiki#Espaces_de_nom]] recherche. Il y a aussi le « Modèle:En cours » qui peut être placé sur un chapitre quand on travail dessus. Ou en début de page quand on travail seul. Au plaisir, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 24 octobre 2016 à 11:25 (UTC).

== [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/43|Tech News: 2016-43]]  ==

&lt;section begin=&quot;technews-2016-W43&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;fr&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique Wikimédia. Merci d’informer les autres utilisateurs de ces changements. Tous ne vous concernent pas forcément. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/43|D’autres traductions]] sont disponibles.

'''Problèmes'''
*Les [[mw:Special:MyLanguage/Extension:AbuseFilter|filtres d’abus]] comportaient un dysfonctionnement qui les amenait à bloquer trop de modifications. Cela a été corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T148673]

'''Changements cette semaine'''
* &lt;span title=&quot;Sujet récurrent&quot;&gt;[[File:Octicons-sync.svg|12px|link=]]&lt;/span&gt; La [[mw:MediaWiki 1.28/wmf.23|nouvelle version]] de MediaWiki sera mise en place sur les wikis de test et sur MediaWiki.org à partir du 25 octobre. Elle sera installée sur tous les wikis hormis la majorité des Wikipédias le 26 octobre et enfin sur toutes les Wikipédias restantes le 27 octobre ([[mw:MediaWiki 1.28/Roadmap|calendrier]]).
* Le texte « Rechercher » du champ de recherche indiquera désormais le nom du projet ; par exemple sur Wikipédia, il deviendra : « Rechercher sur Wikipédia ». [https://phabricator.wikimedia.org/T144640]
* Une douzaine de wikis environ bénéficient du [[m:Community Tech/Numerical sorting in categories|tri numérique dans les catégories]]. Si votre wiki souhaite également en bénéficier, vous pouvez [[m:Special:MyLanguage/Community Tech/Numerical sorting in categories/How to request|le demander]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T146675]
* Les wikis qui veulent le [[m:Community Tech/Numerical sorting in categories|tri numérique dans les catégories]] peuvent également demander à utiliser [[w:en:Unicode collation algorithm|UCA]] pour le tri dans les catégories. La plus grande différence concerne les caractères comportant des [[w:fr:Diacritique|diacritiques]]. Par exemple, pour la plupart des langues, Ä sera mis avec A plutôt qu’à la fin de l’alphabet. Cela ne vaut pas pour toutes les langues car certaines considèrent Ä comme étant une lettre de leur alphabet. Les wikis utilisant déjà UCA sont [[m:Collation|listés sur Méta]]. Les langues qui peuvent utiliser UCA [[mw:Manual:$wgCategoryCollation#Language-specific collations|sont listées sur MediaWiki.org]]. Vous pouvez [https://ssl.icu-project.org/icu-bin/collation.html le tester].

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/Ambassadors|ambassadeurs techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/43|Traduire]] • [[m:Tech|Obtenir de l’aide]] • [[m:Talk:Tech/News|Donner votre avis]] • [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’inscrire ou se désinscrire]].''
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt; &lt;section end=&quot;technews-2016-W43&quot;/&gt; 24 octobre 2016 à 17:39 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Johan (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=16009260 --&gt;

== Projet:Modèles ==

Bonjour,

Après quelques recherches, j'ai trouvé le [[Projet:Maintenance]]... mais pas le [[Projet:Modèles]], qui existe peut-être sous un autre nom. Des infos à ce sujet ? Je me débrouille plutôt bien avec la wikisyntaxe, je suis donc à disposition en cas de besoin... mais je pense que tout regrouper dans un projet serait plus simple. Je peux éventuellement le créer si personne n'est contre.

De plus, je suis bilingue français-anglais, et je peux donc aider à la traduction de certaines pages d'aide ou de modèles manquants.

Bonne journée à vous,
Cordialemement,&lt;br /&gt;&lt;span style=&quot;text-shadow:gray 1px 1px 1px;&quot;&gt;[[User:Heddryin|&lt;span style=&quot;color:#900&quot;&gt;He&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#396&quot;&gt;d&lt;span style=&quot;color:#069&quot;&gt;dry&lt;/span&gt;in&lt;/span&gt;]] [[User talk:Heddryin|&lt;span style=&quot;font-size:73%;&quot;&gt;&lt;sup&gt;💭&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;]]&lt;/span&gt; 26 octobre 2016 à 11:50 (UTC)
:C'est pour proposer de nouveaux ou d'améliorer les modèles ? [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 26 octobre 2016 à 12:00 (UTC)
::Les deux, mon capitaine ! {{clin}}
::&lt;span style=&quot;text-shadow:gray 1px 1px 1px;&quot;&gt;[[User:Heddryin|&lt;span style=&quot;color:#900&quot;&gt;He&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#396&quot;&gt;d&lt;span style=&quot;color:#069&quot;&gt;dry&lt;/span&gt;in&lt;/span&gt;]] [[User talk:Heddryin|&lt;span style=&quot;font-size:73%;&quot;&gt;&lt;sup&gt;💭&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;]]&lt;/span&gt; 26 octobre 2016 à 16:48 (UTC)
:::Dans ce cas c'est plutôt le [[Projet:Laboratoire|Laboratoire]] qui est utilisé avec une nouvelle expérience. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 26 octobre 2016 à 17:14 (UTC)
::::[[File:La Marine-Pacini-100.png|thumb]] Hé hééé ! Une nouvelle recrue à bord de notre vaisseau [[Utilisateur:Crochet.david|Capitaine]] ! Sortons le grand pavois et fêtons ça tonnerre de Brest ! Et bienvenu à toi [[User:Heddryin|moussaillon]] ! Sache que [[Utilisateur:Scapmouche|Scapmouche]] ce vieux loup de mer sera toujours là pour t'épaulé si jamais tu partait au lof ! [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 26 octobre 2016 à 20:43 (UTC)
:::::En attendant, si la nouvelle recrue se fait dégager ses modèles '''sans même qu'on la prévienne''', elle risque fort d'embarquer ailleurs.
:::::Franchement, là, je n'ai pas l'impression d'être sur un projet Mediawiki, j'ai l'impression de vous déranger chez vous.
:::::&lt;span style=&quot;text-shadow:gray 1px 1px 1px;&quot;&gt;[[User:Heddryin|&lt;span style=&quot;color:#900&quot;&gt;He&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#396&quot;&gt;d&lt;span style=&quot;color:#069&quot;&gt;dry&lt;/span&gt;in&lt;/span&gt;]] [[User talk:Heddryin|&lt;span style=&quot;font-size:73%;&quot;&gt;&lt;sup&gt;💭&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;]]&lt;/span&gt; 28 octobre 2016 à 16:15 (UTC)
::::::Un projet wikimedia respecte au mieux la licence. Or un copier-coller sans indiquer la source et/ou l'origine où l'on peut trouver les auteur semblerait ne pas respecter la licence. Ensuite il existe des modèles qui apporte la même fonctionnalité mais sous d'autres noms et d'autre formes. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 28 octobre 2016 à 17:27 (UTC)
:::::::On croit rêver ! Tu me parles de licence ? Et les principes fondateurs, alors ? Et présupposer la bonne foi des contributeurs ?
:::::::Je n'ai '''&lt;u&gt;rien&lt;/u&gt;''' recopié de nulle part : je maîtrise suffisamment le wikicode pour être capable de pondre un modèle qui tient sur une seule ligne de code !
:::::::Et te cacher derrière ce type d'arguments, qui remet en cause non seulement ma bonne foi mais également ma probité, ne m'empêchera pas de te demander comment tu justifies le fait d'agir sans '''prendre le temps de parler avec les gens''' autrement qu'après coup, et quand ils t'y obligent !
:::::::La prochaine fois que tu t'autorises à remettre en cause mon honnêteté, je te colle une RA sur le dos, avec une demande de sanction. Parce que ce genre de comportement est inadmissible, surtout venant d'un sysop !
:::::::&lt;span style=&quot;text-shadow:gray 1px 1px 1px;&quot;&gt;[[User:Heddryin|&lt;span style=&quot;color:#900&quot;&gt;He&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#396&quot;&gt;d&lt;span style=&quot;color:#069&quot;&gt;dry&lt;/span&gt;in&lt;/span&gt;]] [[User talk:Heddryin|&lt;span style=&quot;font-size:73%;&quot;&gt;&lt;sup&gt;💭&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;]]&lt;/span&gt; 28 octobre 2016 à 19:08 (UTC)
::::::::Soit, j'ai probablement mal interprété les deux créations comme provenant d'un copié-coller d'un autre wiki. Hors de ce point, deux modèles sont déjà existants dont l'un pour une notification, l'autre notifiant et ajoutant des lien direct vers des pages ad'hoc.
::::::::Parfait. Ma conception d'un travail collaboratif n'étant pas celle d'un sysop qui se prend pour Dieu, je ne collaborerai donc plus ici tant que ce point-là n'aura pas changé.
::::::::Avec ce genre de mentalité autocratique, il ne faut pas t'étonner qu'il y ait si peu de monde à collaborer ici. Mais c'est sans doute ce que tu cherches.
::::::::&lt;span style=&quot;text-shadow:gray 1px 1px 1px;&quot;&gt;[[User:Heddryin|&lt;span style=&quot;color:#900&quot;&gt;He&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#396&quot;&gt;d&lt;span style=&quot;color:#069&quot;&gt;dry&lt;/span&gt;in&lt;/span&gt;]] [[User talk:Heddryin|&lt;span style=&quot;font-size:73%;&quot;&gt;&lt;sup&gt;💭&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;]]&lt;/span&gt; 29 octobre 2016 à 14:17 (UTC)
:::::::::{{ping|Heddryin}} si j’ai bien compris, il suffirait de restaurer {{M|U-}} pour que tu reviennes ? Voilà qui est fait, je le trouve bien utile après tout.
:::::::::Maintenant je te prie de pardonner David en sachant que c'est le grand nombre de vandales et leur impunité juridique qui nous oblige à recourir trop souvent à ce genre de méthode de maintenance. C'est ce qu'on appelle la déformation professionnelle. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 29 octobre 2016 à 21:21 (UTC)
::::::::::Bien, parfait : maintenant je me sens l'âme d'un gamin capricieux...^^
::::::::::Ce n'est pas tant la suppression de {{m|u-}} qui me dérange &lt;small&gt;(et sa restauration non plus, soit dit en passant... Merci^^)&lt;/small&gt; que la méthode, qui fait totalement abstraction du moindre dialogue ''avant''. Mais bon, j'entends bien que ça ne doit pas être facile tous les jours. Donc, ma réponse à ta question est la suivante : j'ai [https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Discussion_utilisateur:Crochet.david&amp;oldid=614013#Notre_diff.C3.A9rend laissé un message à David], libre à lui d'y répondre ou pas. Ma décision dépendra de sa réponse.
::::::::::Maintenant, je tiens à ce qu'il soit clair que je ne demande rien d'autre qu'une réponse, une explication, et certainement pas des excuses ni quoi que ce soit de ce genre. Mais un peu de dialogue, ça ne fera de mal à aucun d'entre nous, je pense. Et que la restauration ou pas de ce modèle n'influencera pas ma décision.
::::::::::Il se trouve juste que, maîtrisant la wikisyntaxe à un niveau relativement avancé, je suis perdu en arrivant ici, parce que les modèles n'étant pas les mêmes ou n'existant pas, contribuer est nettement moins naturel que sur Wikipédia. Et dans une période où on cherche à retrouver des contributeurs un peu partout, je me dis que c'est dommage de ne pas reprendre les modèles de Wikipédia, quitte à les adapter. Le {{m|u-}}, par exemple, c'est devenu instinctif chez moi. Au point que j'en colle partout, mais ça, c'est une autre histoire... Comme les &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;{{&lt;/nowiki&gt;langue|en|indications de langue}}&lt;/code&gt;, que je code en tapant mon texte. D'où mon envie d'harmoniser, sans faire table rase de ce qui existe, mais en apportant de petits mieux...
::::::::::Voilà. En tout cas, {{u-|JackPotte}}, merci pour ton message {{clin}}
::::::::::&lt;span style=&quot;text-shadow:gray 1px 1px 1px;&quot;&gt;[[User:Heddryin|&lt;span style=&quot;color:#900&quot;&gt;He&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#396&quot;&gt;d&lt;span style=&quot;color:#069&quot;&gt;dry&lt;/span&gt;in&lt;/span&gt;]] [[User talk:Heddryin|&lt;span style=&quot;font-size:73%;&quot;&gt;&lt;sup&gt;💭&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;]]&lt;/span&gt; 29 octobre 2016 à 22:12 (UTC)
:::::::::::J'arrive un peu tard dans la discussion {{u-|Heddryin}} ou {{u|Heddryin}} (je teste les deux modèles qui se ressemble et se complète finalement). C'est compliqué la collaboration à distance et sans contact audio visuel et je comprends ta réaction sans condamné [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] puisque j'ai décidé moi-même tout récemment de ne plus communiquer avec un utilisateur. On est tous bénévoles ici et libre de nos actes. Répondre ou pas à un message posté par un autre utilisateur, quitter le projet... Dans les deux cas c'est dommage pour le projet, mais c'est le pendant négatif d'avoir la chance d'accomplir notre activité en toute liberté .  Sache en tout cas que tu es le bienvenu au sein du projet et que l'on a bien besoin de gens comme toi qui s'y connaisse sur le plan technique. En venant de Wikipédia, il faut certainement une période d'adaptation tans au niveau des usages technique que sociaux, mais cela devrait rendre l'expérience d'autant plus enrichissante et intéressante. J'espère que cette opinion t’incitera à poursuivre tes activités. À bientôt, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]], ma [[w:dyslexie|dyslexie]] et ma &lt;span style=&quot;color:#6671CC&quot;&gt;&quot;dys&quot;traction&lt;/span&gt;.&lt;/sub&gt; 3 novembre 2016 à 13:44 (UTC)
:Licences ? est-ce-que je pourrais redemander des fusions d'historiques alors ? ou encore refaire une nouvelle demande de statut de sysop, croyiez vous que ce serait une bonne idée ? Cordialement. [[Utilisateur:FrankyLeRoutier|FrankyLeRoutier]] % [[Discussion utilisateur:FrankyLeRoutier|Service après-vente]] 28 octobre 2016 à 23:42 (UTC)

== question ==

Bonjour à tous,

je ne comprends pas pourquoi dans [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Fentes_Young_-_amplitude.png?uselang=fr ce fichier], l'unité en abscisses est  ('''pi*'''d*sin(theta)/lambda) alors que la condition d'interférence minimale pour une fente simple est :
a sin(theta) = m * lambda
en isolant m on devrait avoir

m = (a * sin(theta))/ lambda ???

--[[Spécial:Contributions/37.160.189.179|37.160.189.179]] 29 octobre 2016 à 18:21 (UTC)
:Vous pouvez contacter [[user:Phl7605|Phl7605]] pour lui demander plus de précision. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 29 octobre 2016 à 18:35 (UTC)

::La courbe en rouge est l'enveloppe de diffraction, l'unité de l'axe des abscisses correspond au premier zéro de cette courbe donc à &lt;math&gt;\;\theta_1 = \arcsin\! \left( \dfrac{\lambda}{d} \right)\;&lt;/math&gt; la demi-largeur angulaire de la tache centrale soit &lt;math&gt;\;\dfrac{d}{\lambda}\,\sin(\theta_1) = 1\;&lt;/math&gt; et non &lt;math&gt;\;\cancel{\pi\,\dfrac{d}{\lambda}\,\sin(\theta_1) = 1}&lt;/math&gt;, il y a donc une erreur mais par pour la raison que vous invoquiez … Vous remarquerez une interférence destructive pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d}{\lambda}\,\sin(\theta) = 0,25\;&lt;/math&gt; qui se réécrit, avec &lt;math&gt;\;a = 10\,d&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dfrac{a}{10\,\lambda}\,\sin(\theta) = 0,25\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;a\,\sin(\theta) = 2,5\,\lambda\;&lt;/math&gt; soit la position de frange sombre d'ordre &lt;math&gt;\;\dfrac{5}{2}&lt;/math&gt; ; je rectifierais l'erreur dans peu de temps, avec mes remerciements pour votre intérêt. --[[Utilisateur:Phl7605|Phl7605]] ([[Discussion utilisateur:Phl7605|discussion]]) 1 novembre 2016 à 04:24 (UTC)

== [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/44|Tech News: 2016-44]]  ==

&lt;section begin=&quot;technews-2016-W44&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;fr&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique Wikimédia. Merci d’informer les autres utilisateurs de ces changements. Tous ne vous concernent pas forcément. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/44|D’autres traductions]] sont disponibles.

'''Changements récents'''
* Vous pouvez à présent inclure des séquences vidéo de Commons avec des [[c:Commons:Video#Subtitles and closed captioning|sous-titres]] dans la langue de votre wiki. Auparavant, les vidéos traduites ne pouvaient être visionnées que sur la page du fichier sur Commons. [https://phabricator.wikimedia.org/T122737]
* La recherche propose à présent [[Special:Preferences#mw-prefsection-searchoptions|un onglet actualisé dans Spécial:Préférences]] pour configurer les suggestions de recherche. [https://phabricator.wikimedia.org/T148010]
* L’éditeur visuel est à présent disponible sur tous les wikis utilisant un seul système d’écriture. [https://phabricator.wikimedia.org/T142589]

'''Changements cette semaine'''
* &lt;span title=&quot;Sujet récurrent&quot;&gt;[[File:Octicons-sync.svg|12px|link=]]&lt;/span&gt; La [[mw:MediaWiki 1.29/wmf.1|nouvelle version]] de MediaWiki sera mise en place sur les wikis de test et sur MediaWiki.org à partir du {{1er}} novembre. Elle sera installée sur tous les wikis hormis la majorité des Wikipédias le 2 novembre et enfin sur toutes les Wikipédias restantes le 3 novembre ([[mw:MediaWiki 1.29/Roadmap|calendrier]]).
* L’autocomplétion propose maintenant des noms de pages dans le champ « {{int:Templatesandbox-editform-legend}} » lorsque vous modifiez des modèles. [https://phabricator.wikimedia.org/T148324]
* [[Special:NewPages|Spécial:Nouvelles pages]] peut à présent être filtré par taille de page. [https://phabricator.wikimedia.org/T12817]

'''Changements à venir'''
* &lt;span title=&quot;Sujet technique&quot;&gt;[[File:Octicons-tools.svg|15px|link=]]&lt;/span&gt; Les nouveaux déploiements de MediaWiki seront dorénavant basés sur MediaWiki 1.29. [https://lists.wikimedia.org/pipermail/wikitech-l/2016-October/086859.html]

'''Divers'''
* Le [[mw:Technical Collaboration Guideline|Guide à la collaboration technique]] de la Fondation Wikimédia est prêt pour la relecture par la communauté. [[mw:Talk:Technical Collaboration Guideline|Tout commentaire est le bienvenu]], dans toutes les langues.

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/Ambassadors|ambassadeurs techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/44|Traduire]] • [[m:Tech|Obtenir de l’aide]] • [[m:Talk:Tech/News|Donner votre avis]] • [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’inscrire ou se désinscrire]].''
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt; &lt;section end=&quot;technews-2016-W44&quot;/&gt; 31 octobre 2016 à 16:18 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Trizek (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=16023741 --&gt;</text>
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    </revision>
  </page>
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    <title>Wikiversité:La salle café/novembre 2016</title>
    <ns>4</ns>
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      <contributor>
        <username>Crochet.david.bot</username>
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      <minor />
      <comment>Robot : conversion/correction du HTML</comment>
      <origin>987035</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="70878" sha1="e4t5yzwm8y0iky44xt2q6climuyi8pp" xml:space="preserve">__EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__
&lt;noinclude&gt;{{SC|2016|11}}&lt;/noinclude&gt;

== À propos de votre discussion [[Wikiversité:Réserve/2016#Organisation_des_votes_dans_la_procédure_PàS|Organisation des votes dans la procédure PàS]]  ==

''Texte déplacé de la page [[Discussion Wikiversité:Réserve/2016]] par [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]], ma [[w:dyslexie|dyslexie]] et ma &lt;span style=&quot;color:#6671CC&quot;&gt;&quot;dys&quot;traction&lt;/span&gt;.&lt;/sub&gt; 3 novembre 2016 à 10:43 (UTC)''

Bonjour,

@[[Utilisateur:Crochet.david]], à[[Utilisatrice:Lydie Noria]], @[[Utilisateur:JackPotte]] et @[[Utilisateur:Lionel Scheepmans]] : j'interviens ici, il me semble que c'est l'endroit approprié ?

À lire [https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Réserve/2016&amp;oldid=614673#Organisation_des_votes_dans_la_proc.C3.A9dure_P.C3.A0S votre discussion récente], il me semble utile de vous apporter quelques réflexions. Ou plutôt quelques questions.

Wikiversity est une toute petite communauté, encore embryonnaire. Ne risque-t-elle pas de se &quot;fermer&quot;, par souci de bien faire, en voulant maîtriser et canaliser à tout prix les interventions nouvelles ? 

Pensez-vous que les Wikipédia se seraient développées comme elles l'ont fait si leurs premières années avaient été aussi &quot;contrôlées&quot; ? Aussi nécessaire que certaines puissent être, chaque nouvelle règle de détail ou de forme imposée à la participation est un repoussoir, c'est un phénomène bien connu dans les projets wikimedia. (Wikiversity est déjà très formalisée, très complexe dans son abord, beaucoup plus que les autres projets en général).

N'y a-t-il pas un risque de privilégier involontairement la forme des discussions et le principe formel, voire idéaliste, de la discussion sans heurts qui aboutirait quasi magiquement à un consensus ? Au détriment du fond, de la fluidité des échanges, de leur pertinence ? Les débats scientifiques (les vrais, pas ici) sont policés, certes, par les usages, mais ils sont loin d'être castrés.

Faut-il vraiment compter sur les instructions en italiques ? Chacun sait que personne ne lit, plus généralement, les CGU (conditions générales d'utilisation), par exemple, nulle part…

Enfin, une semaine, n'est-ce pas très court ? 

Ne serait-il pas plus avisé de procéder autrement, par exemple en mettant en place un process qui exige bien moins de contrôle, pour le même résultat :
* un premier temps uniquement consacré aux discussions, totalement ouvertes (il n'y a rien à gagner à vouloir formaliser à tout prix ou policer certains débats). Il pourrait prendre une quinzaine de jours.
* Puis, au terme de celui-ci, une phase de vote réservée aux seuls admis par le règlement.

Cela me semblerait mieux ménager le souci de modération, mais aussi la pertinence, l'ouverture et finalement la résolution. --[[Spécial:Contributions/92.90.20.179|92.90.20.179]] 3 novembre 2016 à 10:23 (UTC)
:Bon. suite à [[Spécial:diff/614708|vos derniers écrit]] et plus précisément à [[Spécial:diff/614708|cette dernière attaque personnelle]], je décide d'ignorer vos interventions au niveau du site pour passer à d'autres activités plus agréables. C'est aussi ça liberté des projets collaboratifs gérés par des personnes bénévoles. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]], ma [[w:dyslexie|dyslexie]] et ma &lt;span style=&quot;color:#6671CC&quot;&gt;&quot;dys&quot;traction&lt;/span&gt;.&lt;/sub&gt; 3 novembre 2016 à 11:48 (UTC)
::Vexé ? Bah, dites-vous que vos interventions, par lesquelles cela a commencé, ont été pour moi tout aussi déplaisantes. En tant qu'administrateur, vous êtes censé être un ''facilitateur'', pas un surveillant rigoriste agissant unilatéralement sans dialoguer. Alors, balle au centre, vous comprenez que vous commettez des excès ou au moins des maladresses dans vos interventions, et on reparle du fond de ces questions, autrement plus intéressant ? --[[Spécial:Contributions/77.154.224.121|77.154.224.121]] 3 novembre 2016 à 12:15 (UTC)

:Là, je ne vous comprend pas du tout, c'est justement ce que l'on fait, éviter que la Wikiversité soit aussi contrôlé que Wikipédia et ressemble plus à ce qu'était Wikipédia à ses débuts pour suivre le même chemin. Certain contributeurs de Wikipédia voudrait que l'on installe aujourd'hui sur la Wikiversité la rigueur qui existe actuellement sur Wikipédia. Je pense que la Wikiversité ne le supporterait pas car on n'a pas la notoriété de Wikipédia et le peu de contributeur que nous avons prendraient la fuite. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 3 novembre 2016 à 10:42 (UTC)
::@Lydie : j'avoue que là, je ne comprends pas plus à quoi vous faites allusion à propos de wikipédia ?
::Tout n'est pas rose sur Wikipédia. Celle-ci est certes victime d'une tendance de long terme inévitable, commune à toutes les communautés en ligne, conduisant à souhaiter plus de fermeture, plus de main-mise des comptes de contributeurs établis sur le processus collaboratif, plus d'entre-nous. Mais cette tendance reste canalisée et assez mesurée, heureusement. De là, donc, à en faire un exemple de contrôle ou de rigueur excessifs, là, vraiment, je ne vois pas, sincèrement ? 
::Sa procédure de PàS, par exemple, n'est pas du tout aussi fermée que ce que vous pratiquez, sans parler de ce que vous envisagez. Et elle gère quelques centaines de Pàs par mois, là où on en a à peine une poignée par an ici. Enfin, une proposition toute récente d'y fermer davantage l'accès aux PàS est en train, justement, d'y rencontrer un résultat encore hésitant, mais [[w:Wikipédia:Sondage/Lancement_des_consultations_de_la_communauté|manifestement opposé à cette idée]].
::Je ne sais pas si vous avez connu et pratiqué les premiers temps de wikipédia (j'y étais) : franchement, le degré de formalisme et de contrainte était à des milliers de kilomètres en dessous de ce que vous pratiquez ici aujourd'hui.
::Auriez-vous, donc, des exemples concrets à propos de Wikipédia, qu'on éclaircisse ce point ?
::Ici, il me semble vraiment que la solution que je vous suggère est bien plus souple et ouverte à la collaboration de tous, en ménageant les règles actuelles, que les hypothèses sur lesquelles vous discutez : celle-ci conduisent inévitablement à plus de contrainte, avec par exemple des déplacements ou même des suppressions sèches de discussions. Ce qui risque beaucoup moins d'être le cas avec cette proposition. Mais c'est vous qui voyez, bien évidemment.
::&lt;del&gt;--[[Spécial:Contributions/77.154.224.121|77.154.224.121]] 3 novembre 2016 à 12:13 (UTC)&lt;/del&gt;(je me suis créé un compte pour simplifier et évacuer certaines réticences, par contre, il faut que je prenne l'habitude de m'y connecter, sorry : --[[Utilisateur:Alginatus|Alginatus]] ([[Discussion utilisateur:Alginatus|discussion]]) 3 novembre 2016 à 12:21 (UTC))
::: On écrit quatre lignes dans Wikipédia, on a de suite quatre ou cinq bandeaux qui apparaissent en haut de page (pas sourcé, pas neutre, travail inédit etc..). Mais rassurez vous, je suis d'accord avec cela puisque nous sommes dans une encyclopédie. Ici, on est beaucoup plus cool, car on fait de l'enseignement et de la recherche. Je suppose que votre réflexion est en rapport avec la procédure PàS en cours. Ce qui s'est passé dans cette procédure est exceptionnel. On a vu arriver dans cette page un grand nombre de personnes, en particulier au moins 8 IP avec des tentatives d'intimidation, des discussions n'importes où. Si [[Utilisateur:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] n'avait pas commencé à déplacer les discussions intempestives à la suite des votes, on aurait eut du mal à compter les votes à la fin de la procédure tellement ils auraient été noyés dans les discussions. Pour ce qui est de la régularisation des votes, on comprend que sur Wikipédia, ce soit plus cool. Ils sont tellement nombreux qu'ils ne risquent pas grand chose. Ici, si on était plus cool avec les votes, on tomberait rapidement sous la domination de Wikipédia qui viendrait voter en masse pour faire supprimer des pages en se basant sur les principes de Wikipédia. On tourne avec peu de contributeurs réguliers et dans les procédures de votes on dépasse rarement les dix votes. J'ai assisté à des discussions sur Wikipédia où ils discutent comme si la Wikiversité était un sous-projet de Wikipédia et comme si s'était à eux de décider ce qui peut être mis ou non sur la Wikiversité. Beaucoup de travaux inédits sont supprimés plutôt que d'être envoyés sur la Wikiversité qui pourtant, les aurait volontiers accueilli. — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 3 novembre 2016 à 14:32 (UTC)
::::Je comprends tout à fait votre souci de l'indépendance nécessaire de Wikiversity dans ses décisions. Mais il me semble qu'il faut tenir compte aussi de différentes choses. Déjà :
:::: * avec une exigence de 100 contributions et d'un mois d'ancienneté pour la participation aux votes, Wikiversity est déjà bien protégée. Quelque-soit le nombre d'octets amené dans des discussions par des contributeurs de Wikipédia de passage, il n'a aucun effet décisionnel. Le problème est donc déjà réglé.
:::: * ces cas d'intervention me semblent historiquement très peu nombreux ? À part, disons, la PàS récente (où cela est resté très limité en nombre d'intervenants, tout de même), quelle autre décision aurait été concernée ? Les polynomes de Boubakeur, peut-être ? (je n'ai pas vérifié).
:::: Le souci de Wikiversity me semble donc plus d'attirer des contributeurs, y compris des wikipédiens, et de créer des synergies entre les deux projets, que de se défier de ceux-ci. 
:::: Dire « on est beaucoup plus cool » ou « on tomberait rapidement sous la domination de Wikipédia » me semble maladroit. « On », c'est-à-dire tous les contributeurs des projets wikimedia, est embarqué dans les mêmes ambitions pour les fondamentaux de ce vaste projet. Qu'on puisse avoir des perceptions différentes selon les projets devrait être une source d'enrichissement réciproque plus de que défiance. --[[Utilisateur:Alginatus|Alginatus]] ([[Discussion utilisateur:Alginatus|discussion]]) 4 novembre 2016 à 10:11 (UTC)

:Il y a un truc que je comprend pas. L'idée est de réformé la page de la procédure car il y a discussion dans 2 endroits et avis dans 2 endroits, alors qu'il serait plus simple d'avoir une discussion dans 1 endroits et avis dans 1 endroits. Il n'est nullement question de remettre en cause la participation au projet, seulement de clarifier les choses. j'ai loupé quelques chose entre-temps ?[[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 3 novembre 2016 à 17:09 (UTC)
::David : De votre point de vue de Wikipédien aguerri et chargé de la maintenance, cela paraît plus simple. Mais pour l'intervenant qu'une PàS va intéresser et qui est un contributeur potentiel, c'est tout le contraire : un vote l'interpelle, ah... Zut : il ne doit pas y répondre à la suite comme le fait partout ailleurs sur wikimedia et plus généralement sur le Web. Il doit lire ''les instructions en italique'' puis se débrouiller pour formuler son intervention dans une autre section (voire, pire, une autre page), en tâchant tant bien que mal de la relier au vote concerné, en se disant : « mais je vais parler dans le désert, là, personne ne va voir à qui je réponds… » Succès garanti. --[[Utilisateur:Alginatus|Alginatus]] ([[Discussion utilisateur:Alginatus|discussion]]) 3 novembre 2016 à 18:02 (UTC)
:::Heu, je comprend plus rien là. 1 endroits où l'on vote seulement et un endroit ou l’on discute seulement, oui, cela est plus simple pour tout le monde. Non ? [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 3 novembre 2016 à 20:28 (UTC)
::::Moins qu'un temps où on discute suivi d'un temps de vote : dans ce dernier cas, il n'y a pas à se demander où on discute et où on vote, ni de risque (ou beaucoup moins de risque) d'erreur, d'intervention spontanée mal placée, etc. Un filtre peut bloquer en amont une intervention ne répondant pas aux exigences en phase de vote (en expliquant pourquoi), simplifiant la vie des administrateurs et évitant les déceptions des contributeurs. La phase de discussion nécessite une moindre modération. Il est plus facile à tout point de vue de comprendre et d'accepter qu'on est arrivé trop tard pour intervenir, que de comprendre et d'admettre qu'on n'a pas le droit d'intervenir dans une section de page. L'idée est la même, en plus évident pour l'utilisateur concerné. 
::::En outre, l'idée de privilégier d'abord la recherche du consensus et de ne procéder par vote que faute de consensus atteint est beaucoup plus évidente en séparant ces deux phases dans le temps, non ? --[[Utilisateur:Alginatus|Alginatus]] ([[Discussion utilisateur:Alginatus|discussion]]) 4 novembre 2016 à 07:47 (UTC)

:Je voudrais bien participer à ce débat. Mais, quand ça devient un tantinet agressif, je ne comprends plus rien et je décroche. Je pense que Wikiversité aiderait beaucoup ses chercheurs en créant un ''laboratoire de recherche pluridisciplinaire'' qui pourrait élaborer les conditions d'une recherche dans l'espace de recherche en considérant d'une part le fond et, d'autre part, la forme. Mais aussi les conditions pour le bon déroulement des débats et pour les prises de décision.
:Comment être informée des débats en cours si on n'a pas le réflexe de visiter chaque jour la salle café ?
:Bienvenue à [[Utilisateur:Alginatus|Alginatus]]. Bel bonjour à chacun, --[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 4 novembre 2016 à 09:23 (UTC)

== Création de Modèle:Date  ==

J'ai suivi un lien pour créer le [[Modèle:Date]] dans le format utilisé sous Wikipédia : {{Date|4|novembre|2016}}.
&lt;br /&gt;
Ce modèle me semble plus facile d'usage vu qu'il déjà en usage sous d'autres projets. Le résultat n'est probablement pas celui escompté. Merci de superviser cette création. Bel bonjour, --[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 4 novembre 2016 à 08:53 (UTC)
:Quel est l'objectif de ce modèle ? [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 4 novembre 2016 à 12:01 (UTC)

::Le modèle utilisé par Wikiversité est : &lt;nowiki&gt;{{inscription date | jour= 4| mois= janvier| année= 2016}}&lt;/nowiki&gt;. Il ne renvoie vers aucun lien. Or, je voudrais au moins établir un lien vers la chronologie de l’année sur Wikipédia et ne pas avoir à réfléchir chaque fois que je dois écrire une date. Merci de ton attention [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]]. Bel bonjour, --[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 23 novembre 2016 à 18:03 (UTC)

== [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/45|Tech News: 2016-45]]  ==

&lt;section begin=&quot;technews-2016-W45&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;fr&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique Wikimédia. Merci d’informer les autres utilisateurs de ces changements. Tous ne vous concernent pas forcément. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/45|D’autres traductions]] sont disponibles.

'''Changements récents'''
* [https://blog.wikimedia.org/2016/11/02/victoria-coleman-chief-technology-officer/ Victoria Coleman] est la nouvelle [[w:fr:Directeur de la technologie|directrice technique]] de la Fondation Wikimédia. [https://blog.wikimedia.org/2016/11/02/victoria-coleman-chief-technology-officer/]
* La première livraison de MediaWiki 1.28 en tant que version admissible est désormais disponible. [https://phabricator.wikimedia.org/diffusion/MW/browse/REL1_28/RELEASE-NOTES-1.28]
* &lt;span title=&quot;Sujet technique&quot;&gt;[[Fichier:Octicons-tools.svg|15px|link=]]&lt;/span&gt; Le fichier &lt;span dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;.gitreview&lt;/code&gt;&lt;/span&gt; pour les branches et extensions de MediaWiki ne cible plus de branche spécifique mais utilise à la place &lt;code&gt;track=1&lt;/code&gt;. [https://lists.wikimedia.org/pipermail/wikitech-l/2016-October/086900.html]
* Les numéros de sections dans le sommaire des pages seront désormais écrits en gris pour faciliter la lisibilité. [https://phabricator.wikimedia.org/T125317]

'''Changements cette semaine'''
* L’[[m:Special:MyLanguage/2016 Community Wishlist Survey|enquête de 2016 sur les souhaits de la communauté]] commence le 7 novembre.
* &lt;span title=&quot;Sujet récurrent&quot;&gt;[[Fichier:Octicons-sync.svg|12px|link=]]&lt;/span&gt; La [[mw:MediaWiki 1.29/wmf.2|nouvelle version]] de MediaWiki sera mise en place sur les wikis de test et sur MediaWiki.org à partir du 8 novembre. Elle sera installée sur tous les wikis hormis la majorité des Wikipédias le 9 novembre et enfin sur toutes les Wikipédias restantes le 10 novembre ([[mw:MediaWiki 1.29/Roadmap|calendrier]]).
* [[Spécial:ActiveUsers|Spécial:Utilisateurs actifs]] autorise dorénavant la sélection de groupes. [https://phabricator.wikimedia.org/T116354]

'''Réunions'''
* &lt;span title=&quot;Sujet récurrent&quot;&gt;[[Fichier:Octicons-sync.svg|12px|link=]]&lt;/span&gt; Vous pouvez participer à la prochaine réunion avec l’équipe de l’Éditeur visuel. Au cours de cette réunion, vous pourrez indiquer aux développeurs quelles anomalies vous semblent les plus importantes. Cette réunion aura lieu le [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=20&amp;min=00&amp;sec=00&amp;day=08&amp;month=11&amp;year=2016 8 novembre 2016 à 19 h (UTC)]. Voyez [[mw:VisualEditor/Weekly triage meetings|comment participer]].
* &lt;span title=&quot;Sujet technique&quot;&gt;[[Fichier:Octicons-tools.svg|15px|link=]]&lt;/span&gt; Vous pouvez participer à la prochaine réunion avec le comité d’architecture. Cette semaine, elle aura pour objet l’API des miniatures d’images et la possibilité d’avoir des espaces de noms XHTML dans les fichiers SVG téléversés à MediaWiki. Cette réunion aura lieu le [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=21&amp;min=00&amp;sec=0&amp;day=09&amp;month=11&amp;year=2016 2 novembre à 21 h (UTC)]. Voyez [[mw:Architecture meetings|comment participer]].

'''Changements à venir'''
* [[mw:Special:MyLanguage/Extension:RevisionSlider|RevisionSlider]] sera activé par défaut sur tous les wikis bêtas, testwiki, testwiki2, mediawikiwiki et de.wikipedia.org. [https://phabricator.wikimedia.org/T148646][https://phabricator.wikimedia.org/T149724][https://phabricator.wikimedia.org/T149725]
* Les prochaines vacances vont impacter les déploiements. [https://lists.wikimedia.org/pipermail/engineering/2016-November/000331.html Consulter l'agenda].

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/45|Traduire]] • [[m:Tech|Obtenir de l’aide]] • [[m:Talk:Tech/News|Donner votre avis]] • [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’inscrire ou se désinscrire]].''
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt; &lt;section end=&quot;technews-2016-W45&quot;/&gt; 7 novembre 2016 à 23:01 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Johan (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=16043353 --&gt;

== Ce que l'abondance et la diversité des données numériques font aux sciences sociales  ==


Est-ce que quelqu'un participerait à ces journées d’étude &quot;[http://calenda.org/381181?utm_source=lettre Sciences XXL – Ce que l'abondance et la diversité des données numériques font aux sciences sociales] ; (XXL science - what the abundance and diversity of digital data do to social sciences)&quot;, les Jeudi 16 et vendredi 17 mars 2017. La clôture de l’appel à communication aura lieu le 22 novembre 2016. Bel bonjour, [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 10 novembre 2016 à 18:49 (UTC)
: Une grande question posée depuis que quelqu'un a dit : il y a 5 formes de mensonges : par pensée, par parole, par action, par omission … et les statistiques. Avec quelques années de moins, j'aurais peut-être bondit. C'est où ? Cordialement.--[[Utilisateur:Claude PIARD|Claude PIARD]] ([[Discussion utilisateur:Claude PIARD|discussion]]) 10 novembre 2016 à 19:49 (UTC)
::Ça m'aurait pas déplus. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]], [[w:dyslexie|dyslexie]] et [[wikt:distraction|&quot;dys&quot;traction]].&lt;/sub&gt; 10 novembre 2016 à 20:42 (UTC)

== Bubus... ==

Bonjour à toutes et à tous !

Juste un petit message pour annoncer que je me suis permis de mettre à jour cette page : [[Wikiversité:Bureaucrate/Liste_des_bureaucrates]].
Elle semblait obsolète depuis un moment, voila !
(Ne l'oubliez pas !)

--[[Utilisateur:Evachan39|Evachan39]] ([[Discussion utilisateur:Evachan39|discussion]]) 11 novembre 2016 à 12:29 (UTC)

Je tenais à rajouter que je trouvais étrange qu'ici, les bureaucrates ne puissent destituer (directement) les administrateurs...
Cf cette page : [[Spécial:Liste_des_droits_de_groupe]]

--[[Utilisateur:Evachan39|Evachan39]] ([[Discussion utilisateur:Evachan39|discussion]]) 11 novembre 2016 à 12:32 (UTC)

:Bonjour, quand [[Utilisateur:Evachan39|tu]] dis « ici » c'est par rapport à quelle autre projet ? Bien à toi, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]], [[w:dyslexie|dyslexie]] et [[wikt:distraction|&quot;dys&quot;traction]].&lt;/sub&gt; 12 novembre 2016 à 14:40 (UTC)

== Bug du remplissage de [[:Catégorie:Exclure lors de l'impression]]  ==

En patrouillant j’ai remarqué que {{M|bas de page}} ajoutait [[Turc/Grammaire/Conjugaison/Olmak (verbe être)]] dans [[:Catégorie:Exclure lors de l'impression]], même en prévisualisation.

Or, une substitution du modèle confirme qu'il ne devrait pas, c'est donc un bug que je compte confronter à Phabricator après avoir attendu quelques heures, des fois que le cache des serveurs se purgerait du bug par lui-même. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 12 novembre 2016 à 20:50 (UTC)
:Ou alors c'est un &quot;ifexist&quot; invisible dans les pages liées. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 15 novembre 2016 à 22:35 (UTC)
::En fait c'est toutes les pages appelées dans un {{M|leçon}} qui sont touchées, même vides (ex : [[Acidité et basicité/Introduction]]). [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 22 novembre 2016 à 22:54 (UTC)

== [[Recherche:Collaboration juive sous le nazisme]], encore, hélas  ==

Bonjour,

Je suis désolé de vous ennuyer encore avec cela, mais depuis la décision de conserver la page [[Recherche:Collaboration juive sous le nazisme]] après [[Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Collaboration juive sous le nazisme|la proposition de suppression]] (qu'il ne s'agit pas de contester, elle est souveraine et respectée), plusieurs problèmes restent en suspens :
* la nature scientifique de la chose, plus qu'improbable à chaque fois qu'on y creuse encore un peu, qu'il s'agisse d'éthique, de rigueur, d'honnêteté scientifique, de respect des sources ou de tout autre principe évoqué dans [[betawikiversity:Wikiversity:Research_guidelines/Fr|Wikiversity:Research guidelines/Fr]] : [[Spécial:diff/616584|voir ces analyses supplémentaires]] (après toutes les précédentes) ainsi que [[Spécial:diff/616611|celle-ci, encore]] (mais on n'en finit pas d'y trouver des perles).
* l'illégalité du point de vue des droits d'auteurs, toujours en suspens malgré ce maquillage récent : [https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Discussion_Recherche:Collaboration_juive_sous_le_nazisme&amp;diff=next&amp;oldid=616584 voir cette explication]

Tout cela discrédite franchement Wikiversity, qui semble s'être embarquée dans une aventure bien difficile. Que faire de cette page, à présent, puisqu'elle reste là ? --[[Utilisateur:Alginatus|Alginatus]] ([[Discussion utilisateur:Alginatus|discussion]]) 13 novembre 2016 à 11:41 (UTC)
:PS : on en est quand même à une « recherche » dont le principal pilier répète et revendique à l'envie qu'il ne lit pas les sources qu'il utilise ([[Spécial:diff/616551|encore ici, aujourd'hui]]) puis explique que les contributions faites sous son propre compte [https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Discussion_Recherche:Collaboration_juive_sous_le_nazisme&amp;diff=next&amp;oldid=616561 ne sont pas les siennes]. Certes, c'est une approche méthodologique innovante, mais est-ce vraiment sérieux ? Personnellement, un étudiant me ferait le coup… comment dire ? --[[Utilisateur:Alginatus|Alginatus]] ([[Discussion utilisateur:Alginatus|discussion]]) 13 novembre 2016 à 11:48 (UTC)
::Merci de mettre en évidence tous ces problèmes [[Utilisateur:Alginatus|Alginatus]]. Il reste maintenant à trouver des solutions. La solution la plus simple et la plus radicale était de supprimer la page, maintenant qu'elle est maintenue, il faut trouver d'autres pistes. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]], [[w:dyslexie|dyslexie]] et [[wikt:distraction|&quot;dys&quot;traction]].&lt;/sub&gt; 13 novembre 2016 à 17:21 (UTC)
:::Il arrive que des décisions de conservation soient remises en cause. C'est d'ailleurs ce qui s'était produit sur la Wikipédia en français pour cet &quot;article&quot; : une [https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Discussion:Attitude_des_Juifs_sous_le_régime_nazi/Suppression&amp;oldid=99217572 première conservation hâtive] avait été rapidement suivie d'[https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Discussion:Attitude_des_Juifs_sous_le_régime_nazi/Suppression&amp;oldid=99796580 un second débat beaucoup plus approfondi conduisant à la suppression], une fois que la mesure du problème a été mieux prise (en particulier l'impossibilité de tirer quoi que ce soit de valable de cette chose telle qu'elle était engagée). --[[Utilisateur:Alginatus|Alginatus]] ([[Discussion utilisateur:Alginatus|discussion]]) 15 novembre 2016 à 07:37 (UTC)
::::{{notif|Lgd}} (après tes multiples interventions sous IP, tu peux enlèver ton masque puisqu'on [[w:Discussion_utilisateur:Alginatus|t'a reconnu même sur Wikipédia]]) : pourquoi t'entêter à vouloir bannir un tel sujet de recherche - et même tout simplement d'article - en France alors que Wikipédia en anglais possède deux Catégories qui y font expressément référence :
::::* {{lien web|auteur=Wikipédia en anglais|titre=Category:Jewish Nazi collaborators|jour=|mois=|année|url= https://en.wikipedia.org/wiki/Category:Jewish_Nazi_collaborators}} et
::::* {{lien web|auteur=Wikipédia en anglais|titre=Category:Jewish Nazi collaboration|jour=|mois=|année|url= https://en.wikipedia.org/wiki/Category:Jewish_Nazi_collaboration}}?--[[Utilisateur:Claude PIARD|Claude PIARD]] ([[Discussion utilisateur:Claude PIARD|discussion]]) 15 novembre 2016 à 08:17 (UTC)

Ah, mais une recherche, il serait possible d'en mener une {{rire}}

Simplement, pour cela, il faudrait que ce soit sur des bases sérieuses :
* Une problématique correctement posée et correspondant à l'état de la question, qui n'a jamais été la notion de &quot;collaboration juive&quot; à elle seule. Voir l'actuelle recherche ignorer totalement la question majeure de la &quot;passivité&quot; est déjà un biais colossal. Et ce n'est qu'un bout du problème.
* Une bibliographie rigoureusement établie et maîtrisée, c'est-à-dire lue (on oublie les aperçus google, on va en bibbliothèque universitaire, on se procure les ouvrages, on les lit intégralement avant de décider s'ils ont leur place en bibliographie, et laquelle)
* Une histoire de la question rigoureusement traitée, sans les inepties accrocheuses, comme celle du prétendu tabou contre lequel l'historien devrait se battre : la question en Israël dans les années 1950, sa difficulté après le procès Heichman et dans l'ère du témoin, les débats sur Arendt et sur Steiner, les travaux régulièrement publiés depuis des années sur ces questions, etc. etc. : tout cela est bien connu des gens qui maîtrisent effectivement le sujet.
* L'étude de la dimension idéologique de la notion de collaboration juive, très bien connue et analysée, qu'il s'agisse du cas des propagandes communistes à l'ère soviétique, du cas particulier polonais, ou encore de l'exploitation de ce thème par le courant négationniste (de Faurisson à Soral notamment).
* Une historiographie respectée et non manipulée, que ce soit par ignorance ou par idéologie : l'exemple de Hilberg présenté comme un tenant de la thèse d'une collaboration juive est à lui seul énorme et ce n'est qu'un exemple. Surtout, aussi, l'ignorance totale de l'état de l'art sur le sujet aujourd'hui (Arendt discréditée, la notion de zone grise au centre de toutes les analyses contemporaines, la notion de collaboration unanimement jugée impropre à décrire les faits majeurs).
* Et au final, le respect des principes de base du travail de l'historien. 
	
Seulement voilà, il n'y a rien de tout cela dans cette chose. Voir une supposée recherche poser d'entrée de jeu sa conclusion, sous des apparences confuses, manipuler les sources comme cela a été abondamment montré, ignorer des pans entiers de la bibliographie, reposer sur l'absence de lecture des auteurs… tout cela condamne définitivement la démarche actuellement en cours. 

Donc non, cessez enfin de brandir constamment une prétendue volonté de censure : si cette chose était sauvable, on pourrait le tenter. Mais on ne voit pas comment on pourrait reprendre tout cela en main sans commencer par oublier le tissu de sottises et de malhonnêteté actuel. J'ajoute qu'il n'y a rien à sauver non plus quant à votre participation à une éventuelle vraie recherche : vous vous êtes totalement discrédité avec vos manipulations et votre obsession du complot (inévitablement &quot;sioniste&quot;). --[[Utilisateur:Alginatus|Alginatus]] ([[Discussion utilisateur:Alginatus|discussion]]) 15 novembre 2016 à 09:03 (UTC)

: Alors rien ne t'empêche d'en ouvrir une sur wikiversité même et avec le même titre à partir des idées émises ci-dessus : ça fait partie des choses possibles dans un espace de recherche libre, sans remettre pour autant en cause ce qui y existe déjà. Chiche ? À moins que tu préfères reprendre de fond en comble le chapitre '''&quot;… ou pas ?&quot;''' qui te tends les bras et qu'on laisserait volontiers à ton immense compétence. Mais les faits restent les faits.--[[Utilisateur:Claude PIARD|Claude PIARD]] ([[Discussion utilisateur:Claude PIARD|discussion]]) 15 novembre 2016 à 09:16 (UTC)
:: Encore une esquive. Vous avez tenu ainsi assez longtemps sur Wikipédia, mais je me demande combien de temps vous allez réussir à présent à berner les contributeurs de Wikiversity ? --[[Utilisateur:Alginatus|Alginatus]] ([[Discussion utilisateur:Alginatus|discussion]]) 15 novembre 2016 à 09:24 (UTC)
::: Apparemment tu as cessé toi-même de [[w:Discussion_utilisateur:Alginatus|berner sur Wikipédia]] où, en dépit de l'efficacité de tes amis, je ne renonce toujours pas totalement à être rétabli le jour où votre comportement pour le moins &quot;non-neutre&quot; - comme on dit là-bas - n'y fera plus illusion.--[[Utilisateur:Claude PIARD|Claude PIARD]] ([[Discussion utilisateur:Claude PIARD|discussion]]) 15 novembre 2016 à 09:38 (UTC)
:::: Je saisis mal, là. Un contributeur lui-même précédemment banni de Wikipédia vous en aurait ensuite fait bannir ? Voilà un complot bien tortueux ! {{rire}} 
:::: Soyons sérieux : ce ne sont pas vos problèmes de bannissement que j'évoquais, tout le monde s'en fiche ici, je pense. C'est le fait que l'article que vous avez tenté d'y défendre mordicus n'y a pas fait illusion bien longtemps, pas plus que vos méthodes pour le défendre et le développer. Quand je vois maintenant à quel point cela s'est aggravé avec les récents développements ici, Je me demande vraiment combien de temps cela va à nouveau faire illusion ^^ --[[Utilisateur:Alginatus|Alginatus]] ([[Discussion utilisateur:Alginatus|discussion]]) 15 novembre 2016 à 10:48 (UTC)
: Où as-tu vu que je supposais que tu ais pu contribuer à mon bannissement ? Ton subconscient te joue des tours : y serais-tu parvenu à travers un nième faux-nez non encore détecté ? Personne ne se fiche de savoir à quel genre de personnage on a à faire pour en apprécier mieux la pseudo-argumentation par anathèmes qui se maintient au niveau du discours interprétatif sans jamais s'attaquer à la vérificabilité des faits exposés. Or l'Histoire c'est d'abord ça. Cordialement.--[[Utilisateur:Claude PIARD|Claude PIARD]] ([[Discussion utilisateur:Claude PIARD|discussion]]) 15 novembre 2016 à 10:58 (UTC)
::Mais on peut faire un rapide récapitulatif partiel, [https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Recherche:Collaboration_juive_sous_le_nazisme&amp;oldid=617458#Des_faits concernant la section titrée &quot;Des faits&quot;]. Tout cela a déjà été expliqué en détail, résumons l'essentiel :
::* Ouvrages manipulés : Hilberg, Friling, Schreiber et Van Doorslaer, Levi, Jokusch 
::* Ouvrages périmés : Arendt, Rafjus
::* Ouvrage sans valeur : Rigg 
::* Ouvrages de bases ignorés : rien qu'un, tiens : le Rabinovici
:: Qui plus est, j'en oublie et on n'a pas encore parlé de certaines sous-sections de cette section censées exposer &quot;Des faits&quot; {{;-)}}. --[[Utilisateur:Alginatus|Alginatus]] ([[Discussion utilisateur:Alginatus|discussion]]) 15 novembre 2016 à 11:20 (UTC)
Étant moi-même un militant fortement engagé sur divers fronts (la page dont tu te gausses sur la PdD de Manacore témoigne au moins de cela), j'ai beaucoup de respect pour tout militant et une certaine admiration pour le front dont tu fais preuve ci-dessus. Il n'en est pas de même pour la validité scientifique des arguments. Je ne répondrais pas pour l'accusation de manipulation de sources ; n'étant très probablement pas l'importateur des références incriminées je laisse le soin aux contributeurs - dont conformément aux usages wikipédiens je présuppose la bonne foi et une compétence qui ''a priori'' vaut bien la tienne - de le faire eux-mênes s'ils le veulent. Néanmoins je répondrais pour 3 griefs :
* l'ouvrage &quot;sans valeur&quot; de Rigg - issu d'une thèse universitaire - a néanmoins obtenu le Colby Award. Certes il ne s'engage pas loin dans la contextualisation et l'interprétation des faits - et cela lui est reproché - mais il les décrit d'une façon qui n'est à ce jour contesté par personne et à ce titre au moins c'est une source scientifiquement valable.
* celui de Rafjus est, si je ne m'abuse, l'ouvrage le plus traduit et le plus vendu sur cette épineuse question. Le fait que Pierre Vidal-Naquet l'ai préfacé et légitimé - en exprimant certes des réserves méthodologiques - interdit au thuriféraire que tu sembles être de celui-ci de balayer de façon aussi désinvolte le témoignage et l'opinion d'une rares victimes revenue de l'Holocauste. À ce seul titre l'opinion que tu exprimes ci-dessus est tout simplement insane.
* la convention de Genève interdisant de tirer sur les ambulances, je ne m'appesantirais pas sur le cas de Arendt, également rescapée de la Shoah et, accessoirement, une des grandes de la philosophie planétaire de la seconde partie du XX° dont aucun(e) des auteur(e)s qui l'ont critiquée ne bénéficie de la même autorité scientifique. Cela n'est certes pas suffisant pour tenir sa porale pour dogme mais ça l'est pour interdire qu'on la renvoie au rebut des déchets comme tu le fais.
Cela me semble suffisant pour l'instant. Je passe sur Doron Rabinovici - dont j'avoue ne rien avoir lu - né {{Unité|30|ans}} près les affaires : sur un sujet aussi délicat, les victimes ont-elles seulement encore droit à la parole face aux analystes plus récents ? Ou un discours accommodateur ''a posteriori'' balaie-t-il leur témoignage au motif de la &quot;modernité&quot; ? Mais encore rien ne t'empêche de faire part de cette opinion en bonne et due place.--[[Utilisateur:Claude PIARD|Claude PIARD]] ([[Discussion utilisateur:Claude PIARD|discussion]]) 15 novembre 2016 à 13:03 (UTC)
: « Doron Rabinovici - dont j'avoue ne rien avoir lu » : on s'en doutait {{rire}} Mais c'est bien l'un des problèmes, encore et encore, [[Spécial:diff/617459|exposé en détail plus haut]], à nouveau confirmé. 
: Mais pendant ce temps, on atteint dans la « recherche » [[Spécial:diff/617564|des sommets où cela devient presque drôle]]. Faut-il en rire ou en pleurer, là ? Tiens, je propose de renommer la &quot;recherche&quot;, dans la foulée de cette toute récente et géniale contribution, en « Coopération interactive entre juifs et nazis. » Au point où on en est, hein…--[[Utilisateur:Alginatus|Alginatus]] ([[Discussion utilisateur:Alginatus|discussion]]) 15 novembre 2016 à 13:25 (UTC)
:: Il faut vraiment que tu sois à court d'arguments. Tant qu'on en reste à ce genre d'éructations, j'arrête les frais : au point où on en est, hein… ce n'est plus la peine de mobiliser des octets sur wiki. Il y en a maintenant suffisamment pour que chacun se fasse une opinion scientifique.--[[Utilisateur:Claude PIARD|Claude PIARD]] ([[Discussion utilisateur:Claude PIARD|discussion]]) 15 novembre 2016 à 13:52 (UTC)

== Nouvelle prise de décision  ==

Bonjour, en dix ans d'existence de la Wikiversité, cinq facultés n'ont engrangée que deux leçons au maximum. Je pense que la création de ces facultés ont peut-être été une erreur et qu'il aurait peut-être été suffisant de créer un département sur les thèmes en question dans d'autres facultés. Je vous invite donc à venir en discuter et à voter sur le [[Projet:Wikiversité/Recyclage de cinq facultés en département]]. Bien cordialement. — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 13 novembre 2016 à 14:45 (UTC)

== Veuillez réinitialiser votre mot de passe  ==

Nous faisons actuellement face à des pirates prenant possession de comptes wikis privilégiés (administrateurs, bureaucrates, dissimulateurs ou vérificateurs par exemple). Il semble que ce soit le résultat de mots de passe faibles ou réutilisés.

Les membres de la communauté travaillent avec des membres de diverses équipes de la Fondation pour traiter le problème.

Dans le même temps, nous demandons à chacun qu’il révise le mot de passe choisi pour son compte wiki. Si vous savez que votre mot de passe est faible, ou si vous avez choisi un mot de passe que vous utilisez également sur un compte hors Wikimédia, veuillez changer ces mots de passe.

Choisissez des mots de passe forts — au moins 8 caractères, avec des lettres (majuscules et minuscules), des chiffres et de la ponctuation. [[m:User:JSutherland (WMF)|Joe Sutherland]] ([[m:User talk:JSutherland (WMF)|{{int:Talkpagelinktext}}]]) / [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 13 novembre 2016 à 23:33 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:JSutherland (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:JSutherland_(WMF)/MassMessage/2&amp;oldid=16060650 --&gt;

== Procédure inadaptée  ==
J’alerte la communauté de l’existence de la page suivante [[Projet:Wikiversité/Recyclage de cinq facultés en département]], qui veut prendre la forme d’une prise de décision.
Remarquez que la discussion porte initialement sur les départements vides, alors que les actions proposées portent sur les facultés.
Remarquez que la discussion soulève un ensemble de questions, qui méritent d’être traitées individuellement.
Je précise que l’expérience de laboratoire [[Projet:Laboratoire/Espaces de noms/Faculté]] fournit des métriques qui livrent une analyse différente de celle qui est proposée.
En résumé la discussion engagée, ne peut pas se transformer en prise de décision sous cette forme confuse. La procédure proposée est dommageable pour l’espace de noms Faculté et pour l’espace de noms Département.
Amicalement.--[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 14 novembre 2016 à 14:59 (UTC)

== Allo, allo communauté !  ==
Ces publications ont été considérées comme du vandalisme au sein de la page de discussion : 
[[Projet:Wikiversité/Recyclage de cinq facultés en département]].
J’encourage les contributeurs à contester la forme de cette page.
{{Attention | La formulation de cette discussion est rejetée par [[utilisateur:Youni Verciti]] ; ces propositions n’ont aucun rapport avec la discussion initiale qui porte sur le nombre excessif de départements vides (153 soit 37%).}}
{{Attention|Impossible de déterminer si le vote est en faveur, d’une modification vers l’une ou l’autre des alternatives énoncées. Vote invalide ! }}
{{Attention |L’énoncé soulève de multiples interrogations, vote invalide ! }}
{{Attention |L’énoncé a été modifié, vote invalide ! }}
--[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 14 novembre 2016 à 18:26 (UTC)
: C'est effectivement du vandalisme. C'était des publications non signés, introduite en haut de page et en début des paragraphes de votes (en dehors des paragraphes réservés aux discussions) de nature à déstabiliser les votants. Ces publications invoquent des raisons absurdes. La prise de décision ne porte pas sur le nombre excessif de départements vides, mais bien sur le recyclage de cinq facultés en département. Si j'ai parlé de départements vides c'est pour expliquer le contexte de la prise de décision et pas la prise de décision elle-même. Tous les utilisateurs votent et discutent tranquillement et vous, comme d'habitude, vous râlez en invoquant des raisons tellement absurdes que j'ai du mal à croire que vous-même y croyez. Votre attitude me déçoit profondément car j'ai fais cette prise de décision pour vous aider à réaliser vos aspirations (qui est de supprimer des interfaces vides dans la Wikiversité) et vous, vous ne cherchez qu'à tout saboter. — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 14 novembre 2016 à 20:36 (UTC)
:: Merci d’indiquer où se trouvent les recommandations auxquelles vous faites référence concernant l’usage du &quot;projet:Wikiversité&quot;. Je n’aspire pas à supprimer des interfaces vides, ni à saboter quoi que ce soit. J’aspire à améliorer le service Wikiversité et à attirer l’attention sur le fait que les discussions issues du &quot;projet:Wikiversité&quot; ne respectent pas le format nécessaire. --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 14 novembre 2016 à 21:39 (UTC)

== Le Wiktionnaire fête ses 3 millions de pages  ==

[[Fichier:Wiktionary-logo.svg|100px|right]]
Bonjour, les contributeurs du Wiktionnaire francophone vous convient chaleureusement le dimanche 20 novembre à 14h au siège de [[w:Wikimédia France|Wikimédia France]] ([https://www.openstreetmap.org/node/3043769204 40 rue de Cléry 75002 Paris]) pour fêter la création de la 3 millionième page du projet de dictionnaire et contenu lexicographique francophone. Un gâteau est prévu pour l’occasion mais n'hésitez pas à ramener également à manger ou à boire car je ne connais pas la taille du gâteau {{sourire}}. Ça sera ainsi l'occasion de rencontrer quelques contributeurs qui se feront un plaisir de vous présenter le Wiktionnaire. Donc si vous êtes intéressés, faites-le nous savoir en vous signalant ici. [[Utilisateur:Pamputt|Pamputt]] ([[Discussion utilisateur:Pamputt|discussion]]) 14 novembre 2016 à 18:43 (UTC)
:J'y serai. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 14 novembre 2016 à 20:10 (UTC)

== [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/46|Tech News: 2016-46]]  ==

&lt;section begin=&quot;technews-2016-W46&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;fr&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique Wikimédia. Merci d’informer les autres utilisateurs de ces changements. Tous ne vous concernent pas forcément. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/46|D’autres traductions]] sont disponibles.

'''Changements récents'''
* Lorsque vous effectuez des modifications avec l’éditeur visuel, vous pouvez utiliser &lt;code&gt;Méta&lt;/code&gt;+&lt;code&gt;Maj&lt;/code&gt;+&lt;code&gt;K&lt;/code&gt; pour ajouter une référence. La touche Méta correspond en général à &lt;code&gt;Ctrl&lt;/code&gt; ou &lt;code&gt;cmd&lt;/code&gt;. [https://phabricator.wikimedia.org/T99299]

'''Changements cette semaine'''
* &lt;span title=&quot;Sujet récurrent&quot;&gt;[[Fichier:Octicons-sync.svg|12px|link=]]&lt;/span&gt; La [[mw:MediaWiki 1.29/wmf.3|nouvelle version]] de MediaWiki sera mise en place sur les wikis de test et sur MediaWiki.org à partir du 15 novembre. Elle sera installée sur tous les wikis hormis la majorité des Wikipédias le 16 novembre et enfin sur toutes les Wikipédias restantes le 17 novembre ([[mw:MediaWiki 1.29/Roadmap|calendrier]]).
* Dans [[Spécial:Preferences|Spécial:Préférences]], vous pouvez choisir la langue dans laquelle les menus et les boutons doivent s’afficher. S’il n’existe pas de traduction pour cette langue, MediaWiki possède une liste de [[mw:Fallback languages|langues de secours]] qui peut permettre de sélectionner une langue connexe ou une langue que de nombreuses personnes devraient comprendre. La langue de secours pour l’ukrainien sera dorénavant l’anglais. [https://phabricator.wikimedia.org/T39314]

'''Réunions'''
* &lt;span title=&quot;Sujet récurrent&quot;&gt;[[Fichier:Octicons-sync.svg|12px|link=]]&lt;/span&gt; Vous pouvez participer à la prochaine réunion avec l’équipe de l’Éditeur visuel. Au cours de cette réunion, vous pourrez indiquer aux développeurs quelles anomalies vous semblent les plus importantes. Cette réunion aura lieu le [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=19&amp;min=00&amp;sec=0&amp;day=15&amp;month=11&amp;year=2016 15 novembre à 19 h (UTC)]. Voyez [[mw:VisualEditor/Weekly triage meetings|comment participer]].

'''Changements à venir'''
* Les [[mw:Help:Magic links|liens magiques]] pourraient être amenés à ne plus fonctionner. [https://lists.wikimedia.org/pipermail/wikitech-ambassadors/2016-November/001500.html]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/46|Traduire]] • [[m:Tech|Obtenir de l’aide]] • [[m:Talk:Tech/News|Donner votre avis]] • [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’inscrire ou se désinscrire]].''
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt; &lt;section end=&quot;technews-2016-W46&quot;/&gt; 14 novembre 2016 à 19:17 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Johan (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=16056918 --&gt;

== Suivi modification du programme de sensibilisation au handicap  ==

Bonjour,

J'aimerai savoir si c'est possible sur la Wikiversité de recevoir des notifications sur les modifications, les commentaires sur un projet / une page si on a pas utilisé notre propre compte pour créer les pages ?

Je travaille sur [[Programme de sensibilisation au handicap]] que nous allons déployé en interne et je voudrai pouvoir recevoir les notifications afin de répondre aux questions et aux commentaires . Est ce possible sur la Wikiversité sachant que la personne qui avait créé les pages ne travaille plus dans notre entreprise ?

D'avance merci pour votre aide

Cordialement
--[[Utilisateur:Mdia12|Mariama Dia]] ([[Discussion utilisateur:Mdia12|discussion]]) 16 novembre 2016 à 09:10 (UTC)
:{{notif|Mdia12}}Si vous avez un compte, une étoile blanche apparait à droite de &quot;Historique&quot; dans toutes les pages modifiables. Si vous cliquez dessus, elle devient bleue (et inversement). L'étoile bleue indique que cette page est dans votre liste de suivi. Enfin, dans vos préférences, dans l'onglet &quot;Informations personnelles&quot; section &quot;Options des courriels&quot;, vous pouvez activez/désactiver la demande &quot;M’avertir par courriel lorsqu’une page ou un fichier de ma liste de suivi est modifié&quot;. avec cette procédure, vous recevrez un courriel à chaque modification de page de votre liste de suivi. Autre moyen également avec un flux RSS, le lien du flux est disponible dans la colonne de gauche après être allé dans votre &quot;Liste de suivi&quot; (en haut à droite). Enfin, vous pouvez automatisez l'ajout de page dans votre liste de suivi dans vos préférences, onglet &quot;Liste de suivi&quot;. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 16 novembre 2016 à 11:11 (UTC)


Merci beaucoup [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]]

--[[Utilisateur:Mdia12|Mariama Dia]] ([[Discussion utilisateur:Mdia12|discussion]]) 16 novembre 2016 à 13:08 (UTC)

== Proposition d'amélioration du modèle {{m|PàR}}  ==

Bonjour,

En l'état, ce modèle ne permet pas de donner dans le bandeau qu'il affiche un lien précis vers une section de la page de discussion où l'argumentaire serait immédiatement accessible. C'est un peu dommage.

Voyez-vous un inconvénient à ce que je modifie le modèle pour y ajouter un troisième paramètre, permettant d'ajouter au texte du bandeau une mention &quot;voir l'argumentaire&quot; faisant lien vers une section spécifique de la page de discussion ?

Il me semble que cela rendrait son usage beaucoup plus transparent et la consultation beaucoup plus facile, non ? 

--[[Utilisateur:Alginatus|Alginatus]] ([[Discussion utilisateur:Alginatus|discussion]]) 19 novembre 2016 à 06:56 (UTC)
:Pourquoi, cela permettrait de donner des lieux de réponses à &quot;quoi&quot;, &quot;où&quot; et &quot;pourquoi&quot; en renvoyant systématique à l'ancre du lien de la page de discussion ad'hoc. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 19 novembre 2016 à 09:17 (UTC)
::Merci pour ce retour. Suffit-il de prévoir un seul lien générique, ou faut-il ménager la possibilité de plusieurs liens successifs ? (rien de compliqué techniquement).--[[Utilisateur:Alginatus|Alginatus]] ([[Discussion utilisateur:Alginatus|discussion]]) 19 novembre 2016 à 10:10 (UTC)
:::Un lien, ne compliquons pas les choses (simple à remplir, simple à utiliser). [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 19 novembre 2016 à 10:18 (UTC)
:::Sinon les recette de cuisine sont [[b:Livre_de_cuisine|ici]] et [[b:Recettes_de_cuisine|là]]. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 19 novembre 2016 à 10:20 (UTC)
::OK.
::Merci beaucoup pour les recettes, je n'avais pas trouvé. C'est une question très intéressante, mais un peu délicate à aborder. Je vais le faire façon brutale et franche, ne m'en veuillez pas, je suis pressé (c'est un peu mon métier, ces choses-là, aussi). 
::L'architecture du contenu de wikiversity est pour le moins très compliquée, voire obscure. 
::Cela renvoie à un problème bien connu dans la gestion des projets Web : une architecture/navigation peut être organisée de deux manières. La première (la mauvaise, à l'usage) consiste à structurer ses contenus de son propre point de vue, celui de l'entité émettrice du projet. La bonne (encore une fois à l'usage, pour rencontrer des utilisateurs) consiste à les structurer du point de vue du visiteur : que cherche-t-il ? C'est comme cela qu'on rencontre des utilisateurs et qu'on les gagne, d'une manière générale.
::L'actuelle organisation en facultés/départements/recherche/etc. (confuse) relève du premier choix, non du second. Cela peut se défendre dans l'absolu, mais il n'est pas étonnant que la fréquentation et la participation soient faibles, sur ce genre de base. Cordialement, --[[Utilisateur:Alginatus|Alginatus]] ([[Discussion utilisateur:Alginatus|discussion]]) 20 novembre 2016 à 10:28 (UTC)
::Je reviens à cette histoire d'architecture des contenus, si vous le permettez.
::Il y a un très beau livre, auquel je ne manque jamais de revenir dès qu'il s'agit de structurer un site Web ayant trait à une organisation des savoirs. C'est ''Les Sorbonne. Figures de l'architecture universitaire à Paris'', de Christian Hottin (aux Publications de la Sorbonne). Il montre notamment comment le projet architectural de la Sorbonne républicaine était un état figé des savoirs, représenté dans l'espace des bâtiments, qui s'est avéré obsolète avant même la fin des travaux. Il y a d'autres sur le sujet, c'est un classique : toute institution qui détermine un état des savoirs se plante. Et Wikiversity est ici, de ce point de vue, une institution.
::Les débats qui ont cours en ce moment sur [[Projet:Wikiversité/Recyclage de cinq facultés en département]] et autour de celui-ci, avec les approches retenues par [[Utilisateur:Youni Verciti]] comme par [[Utilisatrice:Lydie Noria]] en sont une parfaite illustration. --[[Utilisateur:Alginatus|Alginatus]] ([[Discussion utilisateur:Alginatus|discussion]]) 20 novembre 2016 à 10:48 (UTC)
:::Content de voir apparaître ce raisonnement. Je venais juste de faire une proposition qui irait peut-être dans le sens des réformes proposées par [[Utilisateur:Alginatus|Alginatus]] : [[Projet:Wikiversité/Recyclage_de_cinq_facultés_en_département#Déplaçer_les_structure_vides_dans_l.27espace_aide:|Déplacement des structures vides dans les pages d'aide:]] [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]], [[w:dyslexie|dyslexie]] et [[wikt:distraction|&quot;dys&quot;traction]].&lt;/sub&gt; 21 novembre 2016 à 13:25 (UTC)

== Sur l’organisation du projet  ==
Merci {{notif|Alignatus}} l’approche que j’utilise dans le laboratoire est basée sur les espaces de noms ; il s’agit d’un concept MediaWiki permettant de séparer les données en fonction de leur nature. L’objectif des expériences menées, vise à améliorer notre appréhension du projet, en développant la documentation et en proposant des outils de supervision. Je serai ravi que vous me fassiez part de vos critiques, sur les pages des expériences : [[Projet:Laboratoire/Espaces de noms]]. Comme vous, je réprouve le document [[Projet:Wikiversité/Recyclage de cinq facultés en département]] qui ne respecte pas les recommandations d’usage, voir [[Wikiversité:Prise de décision]]. Amicalement. --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 20 novembre 2016 à 11:27 (UTC)
:Oui. J'ai déjà dit l'essentiel plus haut. Les métriques sont des choses formidables, qui nous ont tous fasciné à un moment ou à un autre, jusqu'à ce qu'on en sorte enfin. Une métrique en soit n'a aucune légitimité méthodologique. Vous êtes enferré dans une approche ignorant le lecteur et le contributeur. Renversez la perspective, vous toucherez l'essentiel : l'utilisateur. Pour le reste, je ne puis que vous inviter à lire tout ce qui ce publie sur l'UX : je ne souhaite pas refaire mon métier ici, j'y viens pour me m'y occuper d'autres choses, au contraire (même si je me suis laissé emporté plus haut, sorry). Cordialement, --[[Utilisateur:Alginatus|Alginatus]] ([[Discussion utilisateur:Alginatus|discussion]]) 20 novembre 2016 à 12:54 (UTC)
::Ah, sinon : pas d'instrumentalisation maladroite s'il-vous-plait. Vous affirmez, en me prêtant un avis que je n'ai pas donné de cette manière : « Comme vous, je réprouve le document [[Projet:Wikiversité/Recyclage de cinq facultés en département]] qui ne respecte pas les recommandations d’usage ». Je ne réprouve rien du tout en ce sens ni de cette manière, que vous puissiez récupérer. J'apprécierais que vous ne m'embarquiez pas comme cela dans votre vécu personnel, merci de ne pas abuser. Là, je suis fermement pas content. Mais alors, pas du tout content {{rire}}. --[[Utilisateur:Alginatus|Alginatus]] ([[Discussion utilisateur:Alginatus|discussion]]) 20 novembre 2016 à 12:57 (UTC)
::: Renversez la perspective, vous toucherez l'essentiel : La connaissance !--[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 20 novembre 2016 à 13:43 (UTC)
::::Le problème aussi avec youni versiti, c’est qu’il a surtout envie de pouvoir faire sa cuisine tout seul dans son coin. Et on peut voir l’effet de ce genre de fonctionnement sur la wikiversité anglophone, où c’est le foutoir complet, comparativement à la francophone. Mais comme personne ne s’en plaint, peut-être que ça correspond plus à la manière de fonctionner chez les anglo-saxons. Je n’en sais rien… --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 27 novembre 2016 à 19:38 (UTC)

== [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/47|Tech News: 2016-47]]  ==

&lt;section begin=&quot;technews-2016-W47&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;fr&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;

Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique Wikimédia. Merci d’informer les autres utilisateurs de ces changements. Tous ne vous concernent pas forcément. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/47|D’autres traductions]] sont disponibles.

'''Changements récents'''
* Les administrateurs, les bureaucrates, les masqueurs de modifications et les vérificateurs d’adresse IP peuvent désormais utiliser la [[w:fr:Double authentification|double authentification]]. Cela permet de renforcer la sécurité des comptes Wikimédia. La technologie peut être activée dans les [[Spécial:Preferences|préférences]]. Des discussions sont en cours au sujet de l’activation pour tous les utilisateurs. [[meta:Help:Two-factor_authentication]]
* Il est dorénavant possible d’effectuer une recherche sur les propriétés des fichiers téléversés. Vous pouvez par exemple effectuer une recherche par type de média, taille de fichier ou résolution d’une image. [https://www.mediawiki.org/wiki/Help:CirrusSearch#File_properties_search]
* Les dernières [[m:Collaboration/Newsletter/Issues/2016/11|actualités sur les produits de l’équipe Collaboration]] ont été publiées. Elles présentent des informations plus détaillées sur leur travail que les actualités techniques.

'''Problèmes'''
* Un groupe de pirates est en train de compromettre des comptes Wikimédia. Leur succès est probablement dû à l’utilisation du même mot de passe sur les wikis Wikimédia et d’autres sites. Si vous utilisez le même mot de passe pour les wikis Wikimédia et d’autres services, merci de changer votre mot de passe afin qu’il soit spécifique. Ceci est particulièrement important pour les administrateurs, les bureaucrates, les masqueurs et les vérificateurs d’IP. Ces utilisateurs-là peuvent également activer la [[w:fr:Double authentification|double authentification]]. [https://lists.wikimedia.org/pipermail/wikitech-l/2016-November/087008.html]

'''Changements cette semaine'''
* Il n’y a pas de nouvelle version de MediaWiki cette semaine.
* [[mw:Special:MyLanguage/Extension:RevisionSlider|RevisionSlider]] va être activé par défaut sur les Wikipédias en allemand, arabe et hébreu. Cela se produira le 22 novembre. Les autres wikis en bénéficieront plus tard. [https://phabricator.wikimedia.org/T148646][https://phabricator.wikimedia.org/T149995][https://phabricator.wikimedia.org/T150573]

'''Réunions'''
* &lt;span title=&quot;Sujet récurrent&quot;&gt;[[Fichier:Octicons-sync.svg|12px|link=]]&lt;/span&gt; Vous pouvez participer à la prochaine réunion avec l’équipe de l’Éditeur visuel. Au cours de cette réunion, vous pourrez indiquer aux développeurs quelles anomalies vous semblent les plus importantes. Cette réunion aura lieu le [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=19&amp;min=00&amp;sec=0&amp;day=22&amp;month=11&amp;year=2016 22 novembre à 19 h (UTC)]. Voyez [[mw:VisualEditor/Weekly triage meetings|comment participer]].

'''Changements à venir'''
* Il va devenir possible d’effectuer des recherches inter-wikis. Les développeurs travaillant sur cette question recherchent des communautés souhaitant participer aux tests. [https://lists.wikimedia.org/pipermail/wikitech-ambassadors/2016-November/001502.html]
* Les [[mw:Special:MyLanguage/Beta Features/Hovercards|Hovercards]] quitteront bientôt le [[w:fr:Bêta (informatique)|statut bêta]]. L’équipe ''[[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Team|Reading Web]]'' de la Fondation Wikimédia souhaite que les communautés activent les cartes flottantes par défaut pour les utilisateurs non connectés. Les communautés qui sont intéressées peuvent l’indiquer sur la [[mw:Talk: Beta Features/Hovercards|page de discussion des cartes flottantes]]. [https://lists.wikimedia.org/pipermail/wikitech-l/2016-November/087041.html]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/47|Traduire]] • [[m:Tech|Obtenir de l’aide]] • [[m:Talk:Tech/News|Donner votre avis]] • [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’inscrire ou se désinscrire]].''
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt; &lt;section end=&quot;technews-2016-W47&quot;/&gt; 21 novembre 2016 à 15:33 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Johan (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=16088076 --&gt;

== Liste de tâches  ==

Bonjour,

Existe-t-il un widget pour les projets de recherche de liste des tâches à effectuer ?

--[[Utilisateur:Epeclect|Epeclect]] ([[Discussion utilisateur:Epeclect|discussion]]) 24 novembre 2016 à 09:49 (UTC)
:Pas à ma connaissance. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 24 novembre 2016 à 12:02 (UTC)
::Si on les mets dans {{M|à faire}}, cela catégorise les pages dans [[:Catégorie:À faire]]. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 24 novembre 2016 à 12:09 (UTC)

== Wikipedia &amp; Wikiversité : marions les avec Wikidata !  ==

[[Fichier:ImageGadgetLinkUniversity.jpg|vignette|Wikipedia &amp; Wikiversité : marions les !]]
Bonjour

Je ne sais pas exactement depuis quand Wikiversité est connecté à Wikidata mais peu importe… Je viens de coder rapidos un [https://www.wikidata.org/wiki/Wikidata:Tools/User_scripts#Display_the_link_to_Wikiversity_in_the_title_of_Wikipedia gadget pour insérer le lien du cours de Wikiversité dans Wikipédia]. 
Quelqu'un connait la méthodologie pour proposer ce gadget officiellement aux Wikipédiens ? ou quelqu'un peut la soumettre ? Sinon, le gadget est libre et ouvert aux modifications… 
Merci --[[Utilisateur:Karima Rafes|Karima Rafes]] ([[Discussion utilisateur:Karima Rafes|discussion]]) 27 novembre 2016 à 12:41 (UTC)
:Merci à toi. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 27 novembre 2016 à 17:52 (UTC)
::Bonjour
::Pour rappel, Wikidata gère les inter-projets, dans la barre de gauche ([[:w:Mécanique des fluides|exemple]]).
::[[Utilisateur:Trizek (WMF)|Trizek (WMF)]] ([[Discussion utilisateur:Trizek (WMF)|discussion]]) 28 novembre 2016 à 14:13 (UTC)

== [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/48|Tech News: 2016-48]]  ==

&lt;section begin=&quot;technews-2016-W48&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;fr&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique Wikimédia. Merci d’informer les autres utilisateurs de ces changements. Tous ne vous concernent pas forcément. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/48|D’autres traductions]] sont disponibles.

'''Changements cette semaine'''
* Lorsqu’une personne essaie de se connecter à un compte bloqué, elle sera bloquée avec un [[w:fr:Cookie (informatique)|cookie]]. Cela signifie que le [[w:fr:Navigateur web|navigateur]] sera bloqué même en cas de changement d’[[w:fr:Adresse IP|adresse IP]]. Les auteurs de vandalisme auront ainsi plus de difficultés à se reconnecter. [https://phabricator.wikimedia.org/T5233]
* Le transfert de modèles avec l’outil de [[mw:Special:MyLanguage/Content translation|traduction de contenu]] va bénéficier de changements. Les modèles complexes tels que les infoboîtes pourront être adaptés. Les traducteurs auront accès aux paramètres des modèles. Une première version sera publiée cette semaine. Il se peut qu’elle ne fonctionne pas bien avec tous les modèles. D’autres mises à jour feront suite. [https://phabricator.wikimedia.org/T139332]
* &lt;span title=&quot;Sujet récurrent&quot;&gt;[[Fichier:Octicons-sync.svg|12px|link=]]&lt;/span&gt; La [[mw:MediaWiki 1.29/wmf.4|nouvelle version]] de MediaWiki sera mise en place sur les wikis de test et sur MediaWiki.org à partir du 29 novembre. Elle sera installée sur tous les wikis hormis la majorité des Wikipédias le 30 novembre et enfin sur toutes les Wikipédias restantes le {{1er}} décembre ([[mw:MediaWiki 1.29/Roadmap|calendrier]]).
* &lt;span title=&quot;Sujet technique&quot;&gt;[[Fichier:Octicons-tools.svg|15px|link=]]&lt;/span&gt; Les gadgets vont bénéficier d’une nouvelle option nommée « hidden », qui permet d’installer des gadgets qui ne seront pas activables ou désactivables depuis la page des préférences. Masquer des gadgets était déjà possible avec &lt;code&gt;[rights=hidden]&lt;/code&gt;. Il est désormais recommandé d’utiliser &lt;code&gt;[hidden]&lt;/code&gt; à la place. &lt;code&gt;[rights=hidden]&lt;/code&gt; pour les anciens gadgets doit être remplacé par &lt;code&gt;[hidden]&lt;/code&gt;. [https://www.mediawiki.org/wiki/Extension:Gadgets#Options][https://phabricator.wikimedia.org/T33150]

'''Réunions'''
* &lt;span title=&quot;Sujet récurrent&quot;&gt;[[Fichier:Octicons-sync.svg|12px|link=]]&lt;/span&gt; Vous pouvez participer à la prochaine réunion avec l’équipe de l’Éditeur visuel. Au cours de cette réunion, vous pourrez indiquer aux développeurs quelles anomalies vous semblent les plus importantes. Cette réunion aura lieu le [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=19&amp;min=00&amp;sec=0&amp;day=29&amp;month=11&amp;year=2016 29 novembre à 19 h (UTC)]. Voyez [[mw:VisualEditor/Weekly triage meetings|comment participer]].

'''Changements à venir'''
* &lt;span title=&quot;Sujet technique&quot;&gt;[[Fichier:Octicons-tools.svg|15px|link=]]&lt;/span&gt; Deux nouvelles politiques sont en cours d’élaboration pour [[toollabs:|Tool Labs]] : la première autoriserait [[wikitech:Help:Tool Labs/Abandoned tool policy|l’adoption d’outils sans développeur actif]] et la seconde instaurerait un [[wikitech:Help:Tool Labs/Right to fork policy|droit à la duplication des outils (''fork'')]]. Vos commentaires sont [[m:Requests for comment/Abandoned Labs tools|attendus sur Méta]].

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/48|Traduire]] • [[m:Tech|Obtenir de l’aide]] • [[m:Talk:Tech/News|Donner votre avis]] • [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’inscrire ou se désinscrire]].''
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt; &lt;section end=&quot;technews-2016-W48&quot;/&gt; 28 novembre 2016 à 21:16 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Johan (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=16107197 --&gt;

== Problème de visualisation de photo et légende dans un quizz  ==

Bonjour,

Je suis chargée d'apporter des modifications dans les quizz de la formation AccessiNum.
J'ai un petit soucis sur cette page : 
https://fr.wikiversity.org/wiki/Rendre_les_images_accessibles-Activites#firstHeading

Je ne veux qu'un bouton soumettre (ce qui est le cas dans la première partie) par contre j'appelle dans le code une photo et une légende pour chaque question mais elles ne s'affichent pas.

En fin de page vous pouvez apercevoir l'existant : les questions avec les visuels + légendes mais avec un bouton soumettre pour chaque question puisque c'est plusieurs quizz, chose qu'il faut modifier.

Merci de votre aide
{{non signé|Marithe17}}
:{{notif|Marithe17}}, je vois 4 questions, 4 images dont la dernière différente. Quel est plus précisément le souci. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 29 novembre 2016 à 18:59 (UTC)
::Il suffit de lire [[Aide:Quiz]], j'ai commencé à modifier la page comme demandé. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 29 novembre 2016 à 19:12 (UTC)
Je vous remercie pour votre aide{{non signé|Marithe17}}</text>
      <sha1>e4t5yzwm8y0iky44xt2q6climuyi8pp</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Wikiversité:La salle café/décembre 2016</title>
    <ns>4</ns>
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      <id>987037</id>
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        <username>Crochet.david.bot</username>
        <id>1005</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Robot : conversion/correction du HTML</comment>
      <origin>987037</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="25030" sha1="cxx2uk63pgoqipc6kmmjlwidtvv5qjx" xml:space="preserve">__EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__
&lt;noinclude&gt;{{SC|2016|12}}&lt;/noinclude&gt;

== Couleur du département Informatique pratique  ==

Bonjour&lt;br /&gt;
Je souhaite créer des cadres, par exemple pour les exercices sur [[Premiers pas sur Vikidia]], Créer sa page d'utilisateur, ou pour les galeries d'images. Pour l'instant, j’ai utilisé  &lt;nowiki&gt;couleur = {{Idfaculté/couleur/littérature}} et fond = {{Idfaculté/pastel/littérature}}&lt;/nowiki&gt;. Quels sont les modèles pour ''couleur'' et ''fond'' afin d'obtenir les cadres de couleur orange du département d'Informatique pratique ? Merci. [[Utilisateur:Als33120|Als33120]] ([[Discussion utilisateur:Als33120|discussion]]) 2 décembre 2016 à 12:40 (UTC)
: Il suffit de remplacer &quot;littérature&quot; par &quot;informatique&quot; &lt;nowiki&gt;couleur = {{Idfaculté/couleur/informatique}} et fond = {{Idfaculté/pastel/informatique}}&lt;/nowiki&gt;. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 2 décembre 2016 à 14:13 (UTC)
::Merci. C'est évident comme dirait Mr Jourdain. [[Utilisateur:Als33120|Als33120]] ([[Discussion utilisateur:Als33120|discussion]]) 2 décembre 2016 à 16:54 (UTC)

== Problème connexion   ==

Bonjour,

Je n’arrive pas à me connecter à mon compte. J’obtiens le message suivant :

&quot;Votre session de connexion semble avoir des problèmes ; cette action a été annulée en prévention d'un piratage de session. Veuillez cliquer sur « Précédent », rechargez la page d'où vous venez, puis réessayez.&quot;

Bon, je suis sur le wifi d’un bistrot. Mais sur d’autres wifis public, je n’ai jamais eu ce problème.

Thierry613 --[[Spécial:Contributions/92.143.20.140|92.143.20.140]] 2 décembre 2016 à 17:40 (UTC)
:Faudrait essayer avec la {{w|double authentification}}. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 2 décembre 2016 à 20:27 (UTC)
::Ça consiste en quoi ? Thierry613 --[[Spécial:Contributions/89.91.234.16|89.91.234.16]] 3 décembre 2016 à 17:18 (UTC)
Ça fait deux fois que je change de mot de passe et ça marche toujours pas… {{triste}} Thierry --[[Spécial:Contributions/89.91.234.16|89.91.234.16]] 3 décembre 2016 à 17:23 (UTC)
:Tout est là : [[meta:Help:Two-factor_authentication/fr]]. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 3 décembre 2016 à 17:47 (UTC)
::Merci. Je vais regarder. Thierry --[[Spécial:Contributions/89.91.234.16|89.91.234.16]] 3 décembre 2016 à 17:50 (UTC)

Alors, là, je comprends plus rien. Hier, j'étais sur un ipad et ça marchait pas. Aujourd'hui, j'ai essayé sur mon cellulaire et ça marchait, mais avec mon ancien mot de passe (l'habituel, quoi). Et ce soir, sur un Netbook sur le wifi d'hier et ça fonctionne...

Quel est ce mystère ?

--[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 4 décembre 2016 à 18:13 (UTC)

== Help test offline Wikipedia  ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;Hello! The Reading team at the Foundation is looking to support readers who want to take articles offline to read and share later on their phones - a use case we learned about from [[m:New_Readers/Findings|deep research earlier this year]]. We’ve built a few prototypes and are looking for people who would be interested in testing them. If you’d like to learn more and give us feedback, '''[[m:New Readers/Offline|check out the page on Meta]]'''! &lt;small&gt;(I apologise that this message is only available in English.)&lt;/small&gt; [[User:JSutherland (WMF)|Joe Sutherland (WMF)]] ([[User talk:JSutherland (WMF)|talk]]) 3 décembre 2016 à 00:32 (UTC)&lt;/div&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:JSutherland (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:JSutherland_(WMF)/MassMessage/2&amp;oldid=16122712 --&gt;

== [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/49|Tech News: 2016-49]]  ==

&lt;section begin=&quot;technews-2016-W49&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;fr&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique Wikimédia. Merci d’informer les autres utilisateurs de ces changements. Tous ne vous concernent pas forcément. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/49|D’autres traductions]] sont disponibles.

'''Changements récents'''
*Vous pouvez filtrer les utilisateurs affichés sur [[Special:ActiveUsers|la liste des utilisateurs actifs]] en fonction des groupes dont ils font partie. [https://phabricator.wikimedia.org/T116354]
*La page [[Special:UserRights|de gestion des droits des utilisateurs]] est désormais visible par tout le monde. Avant ce changement, seuls ceux qui pouvaient modifier les droits pouvait y accéder, les autres recevaient une page d’erreur. [https://phabricator.wikimedia.org/T27319]
*[[m:Objective Revision Evaluation Service|ORES]] peut désormais indiquer la probabilité de nuisance des modifications avec un code couleur. La coloration n’est disponible que pour les wikis où [[m:Wiki labels|ORES a été entraîné]] à reconnaître les modifications nuisibles. [https://phabricator.wikimedia.org/T144922]

'''Changements cette semaine'''
*Les catégories ne contenant aucune page sont désormais affichées sur [[Special:Categories|Spécial:Catégories]]. Elles y étaient cachées auparavant. [https://phabricator.wikimedia.org/T12915]
* &lt;span title=&quot;Sujet récurrent&quot;&gt;[[File:Octicons-sync.svg|12px|link=]]&lt;/span&gt; La [[mw:MediaWiki 1.29/wmf.5|nouvelle version]] de MediaWiki sera mise en place sur les wikis de test et sur MediaWiki.org à partir du 6 décembre. Elle sera installée sur tous les wikis hormis la majorité des Wikipédias le 7 décembre et enfin sur toutes les Wikipédias restantes le 8 décembre ([[mw:MediaWiki 1.29/Roadmap|calendrier]]).

'''Réunions'''
* &lt;span title=&quot;Sujet récurrent&quot;&gt;[[File:Octicons-sync.svg|12px|link=]]&lt;/span&gt; Vous pouvez participer à la prochaine réunion avec l’équipe de l’Éditeur visuel. Au cours de cette réunion, vous pourrez indiquer aux développeurs quelles anomalies vous semblent les plus importantes. Cette réunion aura lieu le [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=20&amp;min=00&amp;sec=0&amp;day=06&amp;month=12&amp;year=2016 6 décembre à 20 h (UTC)]. Voyez [[mw:VisualEditor/Weekly triage meetings|comment participer]].

'''Changements à venir'''
* L’[[m:Special:MyLanguage/2016 Community Wishlist Survey|enquête de 2016 sur les souhaits de la communauté]] servira à décider des travaux de  l’[[m:Community Tech|équipe technique pour la communauté]] pour la prochaine année. Vous pouvez voter pour vos souhaits sur [[m:Special:MyLanguage/2016 Community Wishlist Survey|la page de l’enquête]] jusqu’au 12 décembre. Vous pouvez voir où en est le traitement des souhaits de l’année dernière sur [[m:2015 Community Wishlist Survey/Results|la page des résultats de 2015]].

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|ambassadeurs techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/49|Traduire]] • [[m:Tech|Obtenir de l’aide]] • [[m:Talk:Tech/News|Donner votre avis]] • [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’inscrire ou se désinscrire]].''
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt; &lt;section end=&quot;technews-2016-W49&quot;/&gt; 5 décembre 2016 à 18:07 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Johan (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=16129460 --&gt;

== Un peu perdue  ==

Bonjour,
Tout d'abord bravo et merci pour ce magnifique partage de connaissances et le travail des bénévoles qui y contribuent !
Je viens de m'inscrire, et j'aurais quelques questions quant à l'utilisation du site.
J'ai étudié l'anglais en 2ème langue mais il m'en reste peu de chose.
J'essaye de m'y remettre depuis environ {{Unité|2|ans}} mais je progresse très peu.
C'est pourquoi je souhaiterais apprendre en échangeant par des dialogues écrits ou oraux avec d'autres élèves.
Idéalement, j'imagine une classe qui progresse au même rythme et qui se retrouve pour des discussions en rapport avec le cours, ou encore essayer de dialoguer avec un correspondant, en bref, ne plus apprendre seule :)
La salle de discussion instantanée propose-t-elle ce genre d'échange ?
Thank you very much for your reponse {{non signé|Mia5454}}
:{{notif|Mia5454}}. En effet, la salle de discussion instantané peut être un lieu possible si vous définissez un horaire de rendez-vous. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 7 décembre 2016 à 15:16 (UTC)

== [LaTeX] Erreur à corriger svp  ==
pour faire un tableau 5 colonnes 3 lignes Merci
&lt;math&gt;
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
a_n &amp; a_{n-1} &amp; a_{n-2} &amp; a_{n-3} &amp; a_{n-4} \\
a_4 &amp; a_3 &amp; a_2 &amp; a_1 &amp; a_0 \\
3 &amp; 0 &amp; -2 &amp; 1 &amp; -1 \\ 
\end{tabular}
&lt;/math&gt;
{{non signé|Ereduverseau}}
:{{notif|Ereduverseau}}&lt;math&gt;
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
a_n &amp; a_{n-1} &amp; a_{n-2} &amp; a_{n-3} &amp; a_{n-4} \\
a_4 &amp; a_3 &amp; a_2 &amp; a_1 &amp; a_0 \\
3 &amp; 0 &amp; -2 &amp; 1 &amp; -1 \\ 
\end{array}
&lt;/math&gt;. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 8 décembre 2016 à 18:45 (UTC)

== [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/50|Tech News: 2016-50]]  ==

&lt;section begin=&quot;technews-2016-W50&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;fr&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique Wikimédia. Merci d’informer les autres utilisateurs de ces changements. Tous ne vous concernent pas forcément. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/50|D’autres traductions]] sont disponibles.

'''Changements récents'''
*Les utilisateurs utilisant une adresse de courriel Yahoo! ne pouvaient pas utiliser [[Special:EmailUser|Spécial:Envoyer un courriel]] pour envoyer des courriels. Cela est maintenant corrigé. Les courriels proviendront dorénavant d’une adresse @wikimedia.org. Les utilisateurs recevant un courriel de votre part répondront néanmoins à votre adresse originale et pourront la voir. [https://phabricator.wikimedia.org/T66795]
* Le nombre de pages des [[Special:TrackingCategories|catégories de suivi]] est désormais affiché à côté des catégories, afin que vous puissiez plus rapidement trouver des pages qui mériteraient votre attention. [https://gerrit.wikimedia.org/r/#/c/321225/]
* Le marquage coloré indiquant si quelles révisions doivent être vérifiées dans [[m:Help:Page history|l’historique des pages]] et [[Special:SpecialPages|les modifications récentes et les journaux logiciels]] est à présent conforme aux [[phab:M82|couleurs standards de Wikimédia]]. La couleur de la notification « Vous avez reçu un message sur votre page de discussion » a été légèrement modifiée. [https://lists.wikimedia.org/pipermail/wikitech-l/2016-December/087151.html]

'''Problèmes'''
*Suite à un travail effectué sur les [[m:Community Tech/Cross-wiki watchlist|listes de suivi cross-wikis]], le [[m:Special:MyLanguage/Global rename policy|renommage global]] ne fonctionne plus. Il est prévu de le remettre en marche le 16 décembre. Le renommage global est désactivé depuis fin novembre, et va le rester pour le début du mois de décembre. [https://phabricator.wikimedia.org/T148242]

'''Changements cette semaine'''
* &lt;span title=&quot;Sujet récurrent&quot;&gt;[[File:Octicons-sync.svg|12px|link=]]&lt;/span&gt; La [[mw:MediaWiki 1.29/wmf.6|nouvelle version]] de MediaWiki sera mise en place sur les wikis de test et sur MediaWiki.org à partir du 13 décembre. Elle sera installée sur tous les wikis hormis la majorité des Wikipédias le 14 décembre et enfin sur toutes les Wikipédias restantes le 15 décembre ([[mw:MediaWiki 1.29/Roadmap|calendrier]]).

'''Réunions'''
* &lt;span title=&quot;Sujet récurrent&quot;&gt;[[File:Octicons-sync.svg|12px|link=]]&lt;/span&gt; Vous pouvez participer à la prochaine réunion avec l’équipe de l’Éditeur visuel. Au cours de cette réunion, vous pourrez indiquer aux développeurs quelles anomalies vous semblent les plus importantes. Cette réunion aura lieu le [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=20&amp;min=00&amp;sec=0&amp;day=13&amp;month=12&amp;year=2016 13 décembre à 20 h (UTC)]. Voyez [[mw:VisualEditor/Weekly triage meetings|comment participer]].

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|ambassadeurs techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/50|Traduire]] • [[m:Tech|Obtenir de l’aide]] • [[m:Talk:Tech/News|Donner votre avis]] • [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’inscrire ou se désinscrire]].''
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt; &lt;section end=&quot;technews-2016-W50&quot;/&gt; 12 décembre 2016 à 19:29 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Johan (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=16155075 --&gt;

== New way to edit wikitext  ==

&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;fr&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;

'''Résumé''' : Une nouvelle fonctionnalité bêta est disponible : le [[:mw:2017 wikitext editor|mode wikitexte pour l’éditeur visuel]]. [[Special:Preferences#mw-prefsection-betafeatures|Allez donc l’essayer !]]


Nous sommes le département Édition de la Fondation Wikimédia, et notre objectif est de rendre l’édition plus pratique pour tous les contributeurs, aussi bien les nouveaux arrivants que les wikimédiens expérimentés. Jusqu’à présent, nous avons régulièrement amélioré [[:mw:VisualEditor|l’éditeur visuel]] grâce aux retours, aux tests des utilisateurs et aux requêtes de fonctionnalités. Cependant, cela ne répond pas aux besoins de tous nos utilisateurs : si vous devez modifier une page de discussion en wikitexte, créer un modèle ou corriger une syntaxe erronée, vous devez parfois passer par le wikitexte, et un grand nombre d’éditeurs expérimentés le préfèrent encore.

Ainsi, nous avions prévu depuis longtemps un « mode wikitexte » pour l’éditeur visuel. Il propose autant que possible les mêmes fonctionnalités que l’éditeur visuel, pour ces fois-là où le wikitexte est requis ou souhaité. L’interface utilisateur est la même que celle de l’éditeur visuel, avec notamment la même barre d’outils et les mêmes boutons en haut. Il donne également accès au [[:mw:citoid|service Citoid]] pour formater les citations, aux options de recherche intégrées pour insérer des images, et à la possibilité d’ajouter des modèles via une boîte de dialogue. Comme avec l’éditeur visuel, si vous collez du texte formaté issu d’une autre page, le formatage (tel que le gras) sera alors automatiquement converti en wikitexte.

Tous les wikis ont désormais accès à ce mode en tant que [[:mw:Beta Features|fonctionnalité bêta]]. Une fois activé, il remplace votre [[:mw:Editor|éditeur wikitexte]] actuel dans le wiki. S’il ne vous convient pas, vous pouvez toujours le désactiver dans les préférences. Nous ne souhaitons pas déranger les contributeurs ; nous introduisons donc le nouveau mode en tant que fonctionnalité bêta ''désactivée par défaut''. Elle ne s’activera automatiquement pour personne, même si vous avez précédemment coché la case pour « {{Int:Betafeatures-auto-enroll}} ».

Le nouveau mode d’édition wikitexte se base sur l’éditeur visuel, et nécessite donc JavaScript (tout comme [[:mw:Extension:WikiEditor|l’éditeur wikitexte actuel]]). Il ne fonctionne pas avec les gadgets qui ont été conçus pour l’ancien éditeur (et réciproquement) ; vous risquez donc de ne plus pouvoir utiliser certains gadgets en activant le nouveau mode d’édition. Nous serions heureux de [[:mw:VisualEditor/Gadgets|travailler avec les auteurs de gadgets pour les aider à mettre à jour leur code afin qu’il fonctionne]] avec les deux éditeurs. Nous n’avons pas prévu de nous débarrasser de l’éditeur wikitexte actuel sur les ordinateurs de bureau dans un futur proche. Nous n’allons pas non plus enlever la possibilité de modifier le wikitexte brut sans JavaScript. Pour finir, bien que cela devrait aller de soi, si vous préférez continuer à utiliser l’éditeur wikitexte actuel, vous pouvez tout à fait le faire.

Il s’agit d’une version précoce, et nous souhaitons savoir ce que vous en pensez afin d’effectuer des améliorations. Indiquez-nous ce que vous pensez du nouveau mode [[:mw:2017 wikitext editor/Feedback|sur la page des commentaires]].  Vous pouvez rédiger vos commentaires dans n’importe quelle langue.  Merci !

&lt;/div&gt; [[:mw:User:Jdforrester (WMF)|James Forrester]] (Product Manager, Editing department, Wikimedia Foundation) --14 décembre 2016 à 19:31 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Elitre (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&amp;oldid=15942009 --&gt;

== [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/51|Tech News: 2016-51]]  ==

&lt;section begin=&quot;technews-2016-W51&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;fr&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique Wikimédia. Merci d’informer les autres utilisateurs de ces changements. Tous ne vous concernent pas forcément. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/51|D’autres traductions]] sont disponibles.

'''Actualités techniques'''
* Du fait des [[w:fr:Temps des fêtes|vacances]], la prochaine édition des actualités techniques sortira le 9 janvier 2017.
* Les rédacteurs des actualités techniques souhaiteraient connaître votre opinion. Avez-vous reçu les informations que vous espériez cette année ? Avons-nous oublié des actualités techniques importantes en 2016 ? Quelles informations ont été données trop tard ? [[m:Talk:Tech/News|N'hésitez pas à nous le dire !]] Vous pouvez nous écrire dans n’importe quelle langue. Merci !

'''Changements récents'''
* Les administrateurs et les administrateurs de traduction peuvent maintenant utiliser [[m:Special:PageLanguage|Special:PageLanguage]] sur les wikis employant [[m:Translate extension|l’extension Traduction]]. Cela signifie que vous pouvez indiquer dans quelle langue une page est rédigée. L’extension Traduction utilisera cette langue comme langue source pendant que vous traduisez. Auparavant, il s’agissait toujours de la langue par défaut du wiki (le plus souvent l’anglais). [https://phabricator.wikimedia.org/T153209]
* &lt;span title=&quot;Sujet technique&quot;&gt;[[File:Octicons-tools.svg|15px|link=]]&lt;/span&gt; Les wikis connectés à Wikidata peuvent désormais utiliser la fonction de traitement &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;{{#statements: }}&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt; pour récupérer des données formatées. Vous pouvez aussi utiliser &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;{{#property: }}&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt; pour récupérer des données brutes. Vous [https://de.wikipedia.beta.wmflabs.org/wiki/Statements pouvez voir la différence] entre les deux instructions. De nouvelles fonctions similaires sont également disponibles en Lua. [https://phabricator.wikimedia.org/T152780]

'''Problèmes'''
* Certains filtres pour les fichiers téléversés destinés à prévenir les abus ont commis des erreurs ; des fichiers qui n’auraient pas dû passer ont été téléversés sur les wikis. Le problème a affecté MediaWiki.org et Testwiki depuis le 13 octobre, Commons et Méta depuis le 17 octobre et les autres wikis depuis le 17 novembre. [https://phabricator.wikimedia.org/T153217#2876258]

'''Changements cette semaine'''
* Il n’y a pas de nouvelle version de MediaWiki cette semaine. Il n’y en aura pas non plus la semaine prochaine.

'''Réunions'''
* &lt;span title=&quot;Sujet récurrent&quot;&gt;[[File:Octicons-sync.svg|12px|link=]]&lt;/span&gt; La prochaine réunion avec l’équipe de l’Éditeur visuel aura lieu le [http://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?hour=20&amp;min=00&amp;sec=0&amp;day=03&amp;month=01&amp;year=2017 3 janvier à 20 h (UTC)]. Au cours de cette réunion, vous pourrez indiquer aux développeurs quelles anomalies vous semblent les plus importantes. Voyez [[mw:VisualEditor/Weekly triage meetings|comment participer]].

'''Changements à venir'''
* L’[[m:Special:MyLanguage/2016 Community Wishlist Survey|enquête de 2016 sur les souhaits de la communauté]] est terminée. Elle définira sur quoi [[m:Special:MyLanguage/Community Tech|l’équipe Technique pour la communauté]] travaillera en 2017. Vous pouvez [[m:2016 Community Wishlist Survey/Results|voir les résultats]].

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|ambassadeurs techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]] • [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2016/51|Traduire]] • [[m:Tech|Obtenir de l’aide]] • [[m:Talk:Tech/News|Donner votre avis]] • [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’inscrire ou se désinscrire]].''
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt; &lt;section end=&quot;technews-2016-W51&quot;/&gt; 19 décembre 2016 à 20:33 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Quiddity (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=16167800 --&gt;

== Inclure « &lt;nowiki&gt;{{Titre|invisible=oui}}&lt;/nowiki&gt; » dans tous les modèles de présentations de pages avec espace de nom ==

Bonjour,

Je pensais ajouter  « &lt;nowiki&gt;{{Titre|invisible=oui}}&lt;/nowiki&gt; » à toute mes pages de recherche, et je me dis que finalement, il serait plus simple de l'intégrer dans le modèle:recherche. Après tout le code « &lt;nowiki&gt;{{Titre Incorrecte|}}&lt;/nowiki&gt; » est déjà utilisé dans le modèle chapitre, dans un but esthétique je suppose. Je me disais donc, pourquoi ne pas poursuivre la démarche esthétique à toute les pages de recherche. Le préfixe  « recherche: » ne disparaîtra que lorsque le modèle recherche sera placer. Pas besoin dès lors d'informer le lecteur via le préfixe qu'il s'agit d'une recherche et plus d'une leçon, le bandeau en assumera le rôle. Par la suite [[Discussion modèle:Recherche|David me demande pourquoi l'espace non recherche devrait faire exception]]. Je trouve qu'il a raison, nous pourrions appliquer le code « &lt;nowiki&gt;{{Titre|invisible=oui}}&lt;/nowiki&gt; » dans tous les modèles de présentations de pages avec espace de nom. Qu'en pense la communauté ? Une belle fin d'année à tous, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]], [[w:dyslexie|dyslexie]] et [[wikt:distraction|&quot;dys&quot;traction]].&lt;/sub&gt; 29 décembre 2016 à 12:17 (UTC)
:Ma parole était ironique. Je m'oppose à ce que tous les espace de noms se voient affectés. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 29 décembre 2016 à 14:03 (UTC)
::{{neutre}} Cela ne jouera pas sur le SEO. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 29 décembre 2016 à 18:30 (UTC)
:::SEO ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]], [[w:dyslexie|dyslexie]] et [[wikt:distraction|&quot;dys&quot;traction]].&lt;/sub&gt; 30 décembre 2016 à 23:37 (UTC)
:::: Search Engine Optimization. L'optimisation des moteurs de recherche. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 31 décembre 2016 à 09:12 (UTC)
::{{neutre}} Mais, comme je pense l'avoir déjà dit, on est dans une démarche absurde. La recherche a été mise dans l'espace recherche pour faire apparaître '''recherche:''' et on rajoute « &lt;nowiki&gt;{{Titre|invisible=oui}}&lt;/nowiki&gt; » pour faire disparaître '''recherche:'''. si l'on récapitule, après cette opération, les inconvénients et les avantages d'avoir mis les recherches dans un espace à part :
:: '''Inconvénients :''' Les recherches ne sont pas comptabilisées dans les pages de contenu.
:: '''Avantages :''' Aucun ???
:: — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 30 décembre 2016 à 21:35 (UTC)
:{{contre}} [[Utilisateur:FrankyLeRoutier|FrankyLeRoutier]] % [[Discussion utilisateur:FrankyLeRoutier|Service après-vente]] 31 décembre 2016 à 04:27 (UTC)</text>
      <sha1>cxx2uk63pgoqipc6kmmjlwidtvv5qjx</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2015</title>
    <ns>4</ns>
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    <revision>
      <id>987039</id>
      <parentid>971209</parentid>
      <timestamp>2026-10-04T12:05:18Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Crochet.david.bot</username>
        <id>1005</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Robot : conversion/correction du HTML</comment>
      <origin>987039</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="45398" sha1="p6hlj3oe7jxybdztdw4xlz1zrymkzdt" xml:space="preserve">__EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__
&lt;noinclude&gt;{{Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/En-tête}}&lt;/noinclude&gt;

== Candidature de bibliothécaire  ==
Bonjour à tous,
Suite à [[Wikiversité:La_salle_café/janvier_2015#IMPORTANT_:_Rapport_d.27activité_des_administrateurs|un débat entamé dans notre salle café]], je voudrait poser ma candidature en tant que Bureaucrate. On avait déjà parler [[Wikiversité:Requêtes_aux_administrateurs#Idée_de_candidature.|d'un éventuelle candidature en tant que bibliothécaire]] dans laquelle j'étais hésitant. Je ne suis pas en effet persuadé de trouver le temps et la motivation nécessaire pour m'investir dans la gestion technique du site. Par contre, je n'aurais pas de problème je pense à vous convaincre sur mes intérêts et motivations concernant les questions politiques liée au projet. Dans [[Wikiversité:La_salle_café/janvier_2015#IMPORTANT_:_Rapport_d.27activité_des_administrateurs|le débat entamé dans notre salle café]] et qu’il serait préférable de continuer dans cette endroit plus visible par le reste de la communauté, j'expose en partie mes idées de ce que devrait être un bureaucrate et cela reflétera donc forcément la façon dont je voudrais assumer le rôle de bureaucrate. Concrètement donc cette requête aux administrateurs se limite à savoir quelle est actuellement la procédure à suivre pour proposer ma candidature de bureaucrate. Une bonne soirée à tous, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Wiki]] ou [[Spécial:EmailUser/Lionel_Scheepmans|eMail]]&lt;/sup&gt; 13 janvier 2015 à 16:46 (UTC)
:Tu n'as pas dit que tu avais lu [[Wikiversité:Bureaucrate]], c’est un prérequis indispensable. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 13 janvier 2015 à 18:37 (UTC)
::Si j'ai lu cette page, mais elle n'explique pas où et comment déposer sa candidature. Par déduction peut-être... Je vois dans les archives que la dernière candidature fait par [[Crochet.david[]] fut fait par lui-même en créant lui-même sa page de candidature. Serais-ce donc la procédure ? Par contre la page [[Wikiversité:Bureaucrate]] explique qu'un seul avis contraire à la nomination suffit à barrer celle-ci. Un sorte de veto. On peut commencer par te demander ton avis [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] et puis aux autres administrateurs. Alors, Lionel bureaucrate. Pour ou contre ? En cas d'oposition, pas la peine de se fatiguer dans la création d'une page. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Wiki]] ou [[Spécial:EmailUser/Lionel_Scheepmans|eMail]]&lt;/sup&gt; 13 janvier 2015 à 18:55 (UTC)
:::Pas de préjugé, en fait je ne voulais pas me fatiguer à étudier ton dossier avant le début du vote {{sourire}}. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 13 janvier 2015 à 19:09 (UTC)
::::{{sourire}}. Bon ben je vais attendre la fin de la semaine avant de créer la page de candidature pour voir s'il y d’autre intervention sur ce poste. Bonne soirée. Au faite [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] par de réaction par rapport au dernier débat lancé dans la salle café ? Bonne soirée, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Wiki]] ou [[Spécial:EmailUser/Lionel_Scheepmans|eMail]]&lt;/sup&gt; 13 janvier 2015 à 19:41 (UTC)
::: « Par contre la page [[Wikiversité:Bureaucrate]] explique qu'un seul avis contraire à la nomination suffit à barrer celle-ci », c’est écrit où ? [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 13 janvier 2015 à 21:15 (UTC)
::::M'enfin ! Je suis pas fou pourtant et en plus je l'ai aussi indiqué [[Recherche:Culture_fr.wikipedia#Les_bureaucrates|dans mon mémoire de fin d'étude]] ... Je l'ai quand même pas sucé de mon pouce ! Ah voici : [[Wikiversité:Bureaucrate/Candidature]]. Bon [[Utilisateur:Crochet.david|David]], si j'allais dormir tôt aujourd’hui ? Quand mon fils retourne chez sa mère, j'ai souvent les même symptômes. Fatigue et confusion {{;)}} Aller, je vais ZZZzzzZZZZzzz Bonne fin de soirée [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Wiki]] ou [[Spécial:EmailUser/Lionel_Scheepmans|eMail]]&lt;/sup&gt; 13 janvier 2015 à 21:58 (UTC)
:::::Il y est dit que l'aspect consensuel est primordial, autrement dit dans d’autre terme, si une candidature emporte un suffrage où des vote &quot; contre &quot; apparait, il faut que le candidat réfléchisse à ces avis émis : Pourquoi certain membre expose un avis contraire pour une fonction purement technique derrière. En cela, la candidature permet de réfléchir et permet au candidat de réfléchir sur ses actions courantes avec son statut courant. Un bureaucrate qui se voit émis des avis négatif en étant déjà administrateur sous-entend fortement qu’il utilise pas à bon escient les outils qu’il a actuellement. C'est en cela que le texte de la page de candidature est émis. Quand tu regarde les archives des candidatures des administrateurs, tu peux remarquer que nombre d'entre-eux ont du le passer à deux fois. La première fois on a expliquer pourquoi sur les avis négatif, lors de la deuxième procédure, je ne pense pas dire de bétises que les avis on été écouté. Certain ont pu penser rechercher une gratitude de la communauté pour le service rendu. Quand on pose une candidature, cet élément est toujours présent. Mais je trouve dommageable d'aller à cette recherche. [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] m'a devancer au niveau des contributions, [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] en passe de l'être. Vis-à-vis des robots ils n'ont pas à rougir, ils dépasseront le mien et je e m'en offusquerais pas, bien au contraire. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 14 janvier 2015 à 13:37 (UTC)
::::::Ok [[Utilisateur:Crochet.david|David]] mais bon, je fais quoi alors ? J'ouvre une page de candidature ou pas ? Sachant que cette phrase « un candidat devrait se retirer en face d'oppositions radicales s'analysant en un veto. » me dit que ce sera déjà un refus suite à l'avis de [[Utilisateur:FrankyLeRoutier|FrankyLeRoutier]] exprimé ci-dessous [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Wiki]] ou [[Spécial:EmailUser/Lionel_Scheepmans|eMail]]&lt;/sup&gt; 14 janvier 2015 à 14:16 (UTC)
:::::::Ben lance-toi, tu sera avisé de l'avis de tout le monde au lieu de rester dans des incompréhension ou des ouïes-dire avec le résultat. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 14 janvier 2015 à 14:39 (UTC)
::::::::Plus le courage de recommencer une discussion en ligne [[Utilisateur:Crochet.david|David]], je vais de toute façon me concentré sur les projets hors ligne (activité d'ambassadeur, organisation Wikimedia Belgium etc..) J'y suis bien plus heureux. Tant que je suis en train de t'écrire. Je crois que c’est avec toi que j'avais déjà fait une démarche avec l'OTRS pour un texte publier lors de [[Recherche:Quel abri pour l'être humain ?|ce travail]]. Tu pourrais me rafraîchir la mémoire sur ce que je dois faire pour refaire une démarche similaire ? Tu peux répondre sur ma page de discussion pour ne pas encombrer ce post. Merci d'avance et bonne journée à toi. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Wiki]] ou [[Spécial:EmailUser/Lionel_Scheepmans|eMail]]&lt;/sup&gt; 14 janvier 2015 à 15:07 (UTC)
:# {{Contre}}, je considère que pour être bureaucrate il faut d’abord avoir eu au préalable le statut de bibliothécaire, à mon humble avis, effectivement je suis bureaucrate sur Wikiquote c’est simplement parce-que l'autre utilisateur n'est hélas pas très présent sur ce projet, sur Wikiversité Crochet David est là à tous les jours. Cordialement. [[Utilisateur:FrankyLeRoutier|FrankyLeRoutier]] % [[Discussion utilisateur:FrankyLeRoutier|Service après-vente]] 13 janvier 2015 à 22:49 (UTC)
:#: Effectivement, comme un bureaucrate qui n’est pas administrateur peut techniquement se donner ce droit en dépit du fait que cela soit interdit ici, je comprends tout à fait cette &quot;hiérarchie&quot; entre les statut. Mais pour info sur d'autres wikis il y a déjà eu des &quot;bureaucrates simples&quot; sans abus. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 14 janvier 2015 à 08:04 (UTC)
:: Je suis sûre d’avoir lu quelque part que l’on pouvait être bureaucrate sans jamais avoir été administrateur. Mais je suppose que cela suppose des compétences exceptionnelles, notamment dans le domaine du droit et la connaissance des projets Wikimédia, pour compenser le manque d'expérience en tant qu'administrateur. Demander le titre de bureaucrate dans le seul but d’avoir plus de poids concernant les questions politiques liées au projet (???) me paraît très discutable. --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 14 janvier 2015 à 09:55 (UTC)
:::Merci pour ton avis [[Utilisateur:FrankyLeRoutier|Franky]], voici qui règle la question de ma candidature de Bureaucrate en fonction des informations disponibles et éditées par nos prédécesseurs. [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie]], pourquoi ce nouveau procès d'intention ? Si je ne te connaissait pas un peu, une affirmation comprenant une tournure du genre « '''dans le seul but''' d’avoir plus de poids concernant les questions politiques » pourrait me vexer. C'est un peu calomnieux ne trouve tu pas ? Et toi ? Quel est ton but en écrivant ce genre de chose ? Tu pourrais répondre à cette question ?
:::J’ai envie de faire réfléchir la communauté au sujet de divers problèmes de gouvernance observés au niveau des projets de la Fondation et cela ne se limite pas à Wikiversité. [[M:Wiki En ligne - Wiki Hors ligne|Ce travail, je l'ai déjà commencé à d’autre niveau]]. Si je parle d'une éventuelle candidature de bureaucrate, c’est dans l'espoir d'améliorer un situation problématique au niveau de la gouvernance du projet. Rien qu'en parlant de cette candidature, je fais déjà avancer les choses. Cela a déjà permis à au moins un bureaucrate et un administrateur d'en apprendre plus sur les informations disponibles actuellement sur notre site concernant les divers conditions d'élections. Cela a même relevé plusieurs incohérences.
:::Mes intentions sont justes à l'inverse de ton procès d'intention Lydie. Je suis Anarchiste dans l'âme et je pense que tout le monde est muni de bonnes intentions, malheureusement cela n'empêche pas les dérives. Surtout dans les petits projets souvent gérés par une petite communauté d'administrateurs très actifs, très courageux, mais qui ont parfois tendance à rester le nez sur le guidon ou à prendre des décisions vite faite bien faite sans trop se soucier de l'avis des autres membres de la communauté.
:::Pour exemple, un administrateur [[b:Clefs pour mieux comprendre le monde et participer à son évolution|Supprime une page]] pour la transférer sur [[Recherche:Clefs pour mieux comprendre le monde et participer à son évolution|un autre projet]] sans tenter de récolter l'avis de son créateur et avant même l’établissement d'un consensus soit établit. J’ai aussi reçu l'avis d'une chercheuse Québécoise qui a abandonné l'idée de contribuer sur Wikiversité suite à une discussion interminable au sujet des bons terme à utiliser. Je n'ai pas le temps de partir à la recherche de ces page de discussion, mais je suis sûr que vous savez mieux que moi de quoi il s'agit.
:::A mes yeux tout ceci est problèmatique. À mes yeux, c’est aussi pourquoi les petits projets ont du mal à décoller malgré tout leur potentiel. La gestion politique au sein des petits projets est un réel problème. Pas besoin d'être Bureaucrate pour en parler ni même pour faire changer les choses. Simplement en émettant le souhait d'une candidature, je vous met sur le fait accompli. Les administrateurs et bureaucrates n'ont pas une vision claire et commune des enjeux et décision prise concernant la politique de leur projet. On découvre qu’il y a des incohérence entre les prises de décisions concernant les élections et la façon avec la quelle les élection sont faite.
:::Il faut comprendre que je vous apprécie tous même [[Utilisateur:FrankyLeRoutier|Franky]] qui doit certainement me maudire d’avoir mis en évidence une des ces probables erreurs d'administration. Je vous apprécie du simple fait que vous faite un énorme travail bénévole techniquement parlent très efficade. Je voudrais juste une chose, qu’il n'y ai pas de mauvais cyclotourisme entre nous. Levez le nez de votre guidon et arrêtez de me mettre des battons dans les roues avec des affirmations gratuites et non constructives. Une bonne journée à tous. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Wiki]] ou [[Spécial:EmailUser/Lionel_Scheepmans|eMail]]&lt;/sup&gt; 14 janvier 2015 à 12:32 (UTC)
:::: Désolée, pour le procès d'intention, c’est ce que j'ai cru comprendre dans la phrase : ''Par contre, je n'aurais pas de problème je pense à vous convaincre sur mes intérêts et motivations concernant les questions politiques liée au projet.''. La compréhension du français peut nous jouer des tours. Par exemple, quand je lis la page : [[Wikiversité:Bureaucrate/Candidature]], contrairement à toi, je n'y vois pas qu'un seul avis contre peut annuler une candidature de bureaucrate. {{sourire}} --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 14 janvier 2015 à 12:49 (UTC)
:::::J'aurais préféré des excuses plutôt qu'une justification douteuse [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]]. Pour le reste, j'ai beaucoup de problème au niveau du français mais pas au point de la vue de la compréhension. Que veut dire ceci à ton avis : « un candidat devrait se retirer en face d'oppositions radicales s'analysant en un veto. » ? Un [[w:veto|veto]], c’est quoi pour toi ? Et puis, je réitère ma questions. Quel est ton but en écrivant ce dernier poste ? Peux-tu me donner une réponse ? Bonne journées, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Wiki]] ou [[Spécial:EmailUser/Lionel_Scheepmans|eMail]]&lt;/sup&gt; 14 janvier 2015 à 13:22 (UTC)
::::::Si tu veux [[User:Lionel Scheepmans|Lionel]], je te fais mes excuses sans trop comprendre pourquoi. J’ai peut-être parlé un peu vite en disant '''dans le seul but''', j'aurais du dire '''dans le but'''. Ta façon de t'exprimer m'a emmené à penser que le rôle de ''presse bouton'' du bureaucrate ne t'intéressait pas {{sourire}}. À mon avis, ce que je viens de dire ne va pas te plaire non plus, mais je ne sais pas quoi dire d'autre. Je m'excuse donc d'avance de ce que je viens de rajouter. je ne suis pas une politicienne comme toi. Pour ce qui est de la phrase : « un candidat devrait se retirer en face d'oppositions radicales s'analysant en un veto. » je vois ''oppositions'' avec un ''s'' ce qui signifie le pluriel. Il faut donc plusieurs oppositions pour signifier un véto. Autrement dit, on te conseille dans cette phrase de te retirer s'il y a suffisamment d'oppositions pour signifier un véto. Autrement dit : S'il est évident que c’est perdu d'avance, il est plus convenable de ne pas insister. Ce qui n’est pas le cas actuellement puisque tu as seulement une opposition de la part de Franki le routier et une totale incompréhension de tes motivations de ma part. Il me semblerait, d'ailleurs, totalement absurde que tu sois obligé de te retirer pour une seule personne qui ne soit pas d'accort avec toi, ce ne serait pas communautaire. --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 14 janvier 2015 à 14:00 (UTC)
:::::::Et [[w:Merde|zut]], je crois que je suis déjà bon pour l'hospice. Vous savez quoi les gars. Je suis vraiment handicapé au niveau de l'écriture et de la lecture des langues. Je ne vois pas quand il manque un « s » et je ne vois pas quand il y en a ... Je vais arrêter mes investigations en ligne pour me concentrer sur mes [[m:Un ambassadeur Wikimedia dans le sud de l'Inde|investigation hors ligne]] j'y trouve tellement plus de plaisir. C'est vrai, je déteste passer mes journées à discuter par ordinateur. Merci pour tes excuses [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]], à mon tours de te transmettre les miennes. On oublie cette candidature, c’est de toute façon pas pour moi, pas plus qu'aucune tâche liée à l’utilisation de l'écriture. On peut clôturer le post, n'en parlons plus. Bonne journée à tous. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Wiki]] ou [[Spécial:EmailUser/Lionel_Scheepmans|eMail]]&lt;/sup&gt; 14 janvier 2015 à 14:28 (UTC)

== Demande suppression pages  ==
Bonjour. Est-ce que quelqu'un pourrait supprimer les pages suivantes ? :
* [[Utilisateur:Thierry613/Brouillon/Exercices/Exercice 1]]
* [[Utilisateur:Thierry613/Brouillon/GrilleBlues]]
* [[Utilisateur:Thierry613/Brouillon/Introduction]]
* [[Utilisateur:Thierry613/Brouillon/Présentation de la recherche]]
* [[Utilisateur:Thierry613/Brouillon/Référents]]
* [[Utilisateur:Thierry613/Essai1]]
* [[Utilisateur:Thierry613/Essai2]]

Merci !

--[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 28 janvier 2015 à 12:50 (UTC)

{{fait}} --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 28 janvier 2015 à 13:16 (UTC)
::Merci ! --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 28 janvier 2015 à 15:53 (UTC)
:::Bonjour, cette page ; [[Wikiversité:Pages à supprimer/Utilisateur:Thierry613/Essai1]] serait aussi à supprimée. Merci pour votre aide, amicalement. [[Utilisateur:FrankyLeRoutier|FrankyLeRoutier]] % [[Discussion utilisateur:FrankyLeRoutier|Service après-vente]] 29 janvier 2015 à 12:18 (UTC)
::::{{fait}} --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 29 janvier 2015 à 13:13 (UTC)

== Demande de restauration  ==

Bonjour à tous j'aimerais que ces cours et leurs sous-pages soient restaurées de même que leurs catégories. Merci beaucoup pour votre aide, cordialement. [[Utilisateur:FrankyLeRoutier|FrankyLeRoutier]] % [[Discussion utilisateur:FrankyLeRoutier|Service après-vente]] 31 janvier 2015 à 22:17 (UTC)

# [[Appareil digestif]]
# [[Architecture moderne]]
# [[Assise romaine]]
# [[Badminton]]
# [[Besoin, recherche et exploitation des eaux souterraines]]
# [[Carte hydrogéologique]]
# [[Datation des eaux souterraines]]
# [[Escalade]]
# [[Escrime]]
# [[Golf]]
# [[Introduction à la gestion des nappes d'eau souterraines]]
# [[Joints d'étanchéité]]
# [[La France sous Napoléon Bonaparte]]
# [[Législation de l'eau souterraine à travers le monde]]
# [[Pollution des eaux souterraines]]
# [[Rome antique]]
# [[Révolution française]]
# [[Surf]]
# [[Tennis]]
# [[Tir à l'arc]]
# [[Utilisation et entretien du matériel équestre]]

# [[:Catégorie:Besoin, recherche et exploitation des eaux souterraines]]
# [[:Catégorie:Gestion des nappes d'eau souterraine]]
# [[:Catégorie:Introduction à la gestion des nappes d'eau souterraines]]
# [[:Catégorie:Législation de l'eau souterraine à travers le monde]]
# [[:Catégorie:Pollution des eaux souterraines]]
# [[:Catégorie:Technique spécifique à l'hydrogéologie]]
:Il s'agit de pages qui sont restées vides pendant plusieurs années, par conséquent je refuse de le faire. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 31 janvier 2015 à 22:48 (UTC)
::Rebonjour il y a par exemple cette catégorie sur Wikipédia ; [[:w:Catégorie:Équipement équestre et équin]]. Je veux reprendre ces cours et Je ne voudrais pas reparir de zéro. Amicalement. [[Utilisateur:FrankyLeRoutier|FrankyLeRoutier]] % [[Discussion utilisateur:FrankyLeRoutier|Service après-vente]] 31 janvier 2015 à 23:23 (UTC)
:::C'est un peu cavalier comme demande : tu veux vraiment qu'on importe ces 43 pages pour n'en garder qu'un paragraphe dans chaque ? [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 1 février 2015 à 11:51 (UTC)
::::Rebonjour, j'ai pas demandé à ce que toutes les pages qu’il y a sur cette catégorie soient importées, j'utilise les pages qu’il y a sur wikipédia pour avoir une bonne base de travail, ça m'évite de reprendre tout le travail à zéro. Je n'ai donc pas encre réalisé une demande formelle sur la page des importations. Le sujet sur l'équestre n'est qu'un exemple de cette liste, puisque les autres sujets devront évitablement faire l'objet d'importations aussi pour m'aidé à compléter ces cours. Amicalement. [[Utilisateur:FrankyLeRoutier|FrankyLeRoutier]] % [[Discussion utilisateur:FrankyLeRoutier|Service après-vente]] 1 février 2015 à 17:07 (UTC)
:::::{{fait}} J’ai restauré [[Utilisation et entretien du matériel équestre]], comme tu peux le voir maintenant il s'agit d'une base très basique. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 1 février 2015 à 18:44 (UTC)
:Merci, il y a cette catégorie qui serait à restauré ; [[:Catégorie:Utilisation et entretien du matériel équestre]], de même que les autres leçons. Cordialement. [[Utilisateur:FrankyLeRoutier|FrankyLeRoutier]] % [[Discussion utilisateur:FrankyLeRoutier|Service après-vente]] 1 février 2015 à 18:57 (UTC)
:Il y a aussi les sous-pages ; [[Utilisation et entretien du matériel équestre/Entretien]], [[Utilisation et entretien du matériel équestre/Présentation de la leçon]], [[Utilisation et entretien du matériel équestre/Objectifs]] et [[Utilisation et entretien du matériel équestre/Prérequis conseillés]]. Merci encore pour votre aide. [[Utilisateur:FrankyLeRoutier|FrankyLeRoutier]] % [[Discussion utilisateur:FrankyLeRoutier|Service après-vente]] 1 février 2015 à 19:09 (UTC)
::{{fait}} Et voilà. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 1 février 2015 à 20:26 (UTC)
:::Rebonjour, est-ce-que je pourrais avoir le reste des sports ? Codrialement. [[Utilisateur:FrankyLeRoutier|FrankyLeRoutier]] % [[Discussion utilisateur:FrankyLeRoutier|Service après-vente]] 24 mars 2015 à 18:35 (UTC)
# [[Badminton]]
# [[Escalade]]
# [[Escrime]]
# [[Golf]]
# [[Surf]]
# [[Tennis]]
# [[Tir à l'arc]]
:{{fait}} [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 24 mars 2015 à 19:14 (UTC)
::Il reste les catégories de ces cours ; [[:Catégorie:Badminton]], [[:Catégorie:Escalade]], [[:Catégorie:Escrime]], [[:Catégorie:Golf]], [[:Catégorie:Surf]], [[:Catégorie:Tennis]] et [[:Catégorie:Tir à l'arc]]. Merci beaucoup, amicalement. [[Utilisateur:FrankyLeRoutier|FrankyLeRoutier]] % [[Discussion utilisateur:FrankyLeRoutier|Service après-vente]] 24 mars 2015 à 19:37 (UTC)
::: {{fait}} --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 25 mars 2015 à 12:05 (UTC)

== Demande suppression page  ==

Bonjour ! Est-ce que quelqu'un pourrait supprimer la page [[Jazz/Improvisation/Exercices]] ?

Merci beaucoup !

--[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 4 février 2015 à 20:14 (UTC)
:{{fait}} [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 4 février 2015 à 20:17 (UTC)
::Il y aurait cette page ; [[Langage informatique]]. Cordialement. [[Utilisateur:FrankyLeRoutier|FrankyLeRoutier]] % [[Discussion utilisateur:FrankyLeRoutier|Service après-vente]] 23 février 2015 à 00:19 (UTC)
:::{{m|leçon du jour}}. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 23 février 2015 à 08:02 (UTC)
::::Et celle-ci ; [[Presse au Yémen]] est-ce-que je pourrais faire une demande de suppression ? [[Spécial:Contributions/70.82.178.212|70.82.178.212]] 23 février 2015 à 22:30 (UTC)
:::::J'avais prévu de la laisser une semaine mais à la réflexion il y avait violation de droits d'auteur. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 23 février 2015 à 22:42 (UTC)
:encore une autre page ; [[Apparition des poissons]] et donc suppression ou conservation ? [[Spécial:Contributions/70.82.237.56|70.82.237.56]] 25 février 2015 à 02:11 (UTC)
::{{fait}} Je l'ai supprimée avant de voir ton message. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 25 février 2015 à 07:58 (UTC)

== Demande de blocage  ==

Bonjour à tous, ce compte serait à bloqué {{u|Exemple}} puisque qu’il est destiné à servir d'exemple sur des pages communautaire. Cordialement. [[Utilisateur:FrankyLeRoutier|FrankyLeRoutier]] % [[Discussion utilisateur:FrankyLeRoutier|Service après-vente]] 8 février 2015 à 16:41 (UTC)
:{{fait}} Car c’est toi qui l'a créé aujourd'hui. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 8 février 2015 à 17:02 (UTC)

== Suppression demandée  ==

[[Pentatoniques altérés]]

À cause d'une fôte d'ortografe dans le titre...

Merci !

--[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 14 février 2015 à 00:04 (UTC)
:{{fait}} --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 14 février 2015 à 08:59 (UTC)

== [[Wikiversité:Administrateur/Liste des administrateurs]]  ==

Bonjour à tous, cette page n'est plus à jour, et pour le moment je n'ai pas la capacité technique de faire ce type de modification. Cordialement. [[Utilisateur:FrankyLeRoutier|FrankyLeRoutier]] % [[Discussion utilisateur:FrankyLeRoutier|Service après-vente]] 21 mars 2015 à 03:56 (UTC)
:Rebonjour, mon statut de sysop sur Wikinews a été retiré. Cordialement [[Utilisateur:FrankyLeRoutier|FrankyLeRoutier]] % [[Discussion utilisateur:FrankyLeRoutier|Service après-vente]] 25 mars 2015 à 12:01 (UTC)
::{{fait}} [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 25 mars 2015 à 19:22 (UTC)

== Suppression des redirections cassées  ==

Bonjour,

Je suggère de supprimer les quelques pages listées ici : [[Spécial:Redirections cassées]]. — [[Utilisateur:Frigory|Frigory]] ([[Discussion utilisateur:Frigory|discussion]]) 19 mai 2015 à 08:32 (UTC)
:{{fait}} --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 19 mai 2015 à 09:06 (UTC)

== Comment garder l’historique d'une page scindée avec le modèle chapitre ?  ==

Bonjour, Je me demande comment doit-on séparer [[Recherche:Clefs pour mieux comprendre le monde et participer à son évolution| ce genre de travail de recherche]] à l'aide des modèles chapitre et recherche pour que l’historique reste présent dans les différentes parties ?
Si jamais je le fait moi-même, par un copier coller de la syntaxe wiki de chaque partie sur une nouvelle page Recherchex/partie l’historique sera perdu n'est ce pas ?

[[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 21 mai 2015 à 08:54 (UTC)

Je suppose que si je n'ai pas de réponse à ma question c’est que l’historique n’est pas transférable. Qu'en penses-tu [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ? Toi qui est à l'origine du modèle recherche. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 25 mai 2015 à 21:35 (UTC)
:Seul un administrateur peut scinder des historiques, les autres peuvent toutefois recourir à des modèles comme {{M|à scinder}}, {{M|Catégorie renommée}}, ou encore ajouter un hyperlien vers l’historique dans les références. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 25 mai 2015 à 22:17 (UTC)

:{{Notif|Lionel Scheepmans}} Désolée, si tu n'as pas eu de réponse, c’est parceque je n'ai pas vu ta question étant donné que tu as posé plusieurs questions en même temps (j'ai vu les deux sections suivante mais pas celle-ci). Si tu veux scinder la page [[Recherche:Clefs pour mieux comprendre le monde et participer à son évolution]] en plusieurs chapitres et faire comme dans [[Recherche:Trilogie pour un monde juste et sain]], (ce qui serait souhaitable vu la longueur de la page), il y aurait plusieurs possibilités :
:* C'est l'auteur de la page qui créé les nouvelles pages et fait des copier-collé à condition que tout soit de lui, mais j'ai l'impression que ce n’est pas le cas !.
:* Tu peux créer toi-même les nouvelles pages et faire des copier-collé, mais dans chaque page de discussion des pages créés, tu met le [[Modèle:Auteurs crédités après scission]] pour indiquer d'où viennent les copier-collés et que l’on puisse savoir qui sont les véritables auteurs de chaque partie. Voir par exemple la page [[Discussion modèle:Recherche]] car pour faire le [[Modèle: Recherche]] je suis parti du [[Modèle: Leçon]] que j'ai adapté à la recherche. {{sourire}} --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 26 mai 2015 à 09:32 (UTC)
:::[[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] et [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] à la rescousse ! Je vais donc placer le modèle scinder sur [[Recherche:Clefs pour mieux comprendre le monde et participer à son évolution|la page en question]] qui pourrait s'en occuper ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 26 mai 2015 à 10:42 (UTC)
:::: {{Notif|Lionel Scheepmans}} J’ai annulé mon précédent message, car j'ai vu que la réponse était dans la page de discussion. Je veux bien essayer de faire la scission mais je ne suis pas sûre que tout sera impeccable vu la quantité de contributions. Le problème qui peut se produire est qu'une contribution concerne plusieurs pages et donc va falloir que je choisisse dans quelle page la mettre. --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 26 mai 2015 à 20:40 (UTC)
:::::Ok, je comprends bien la situation et merci de t'attaquer à ce travail. Georges est un peu largué par les aspects techniques de la scission. Il serait plus simple de lui faire part des résultats d'une actions ou d'une autre sans lui parler du processus et lui demander ce qui préfère dans les différents résultats possibles. Je vais tenter d'expliquer tout ça sur la page de [[Discussion Recherche:Clefs_pour_mieux_comprendre_le_monde_et_participer_à_son_évolution#A_propos_de_la_scission.|discussion de son ouvrage]]. Encore merci et à tout de suite, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 28 mai 2015 à 17:10 (UTC)
:::::: {{Notif|Lionel Scheepmans}} J’ai déjà mis des explications dans la page de discussion pour qu’il créé les chapitres sous son nom. Y a plus qu'a attendre ! {{sourire}} --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 28 mai 2015 à 17:41 (UTC)
::::::: {{Notif|Lydie Noria}}, il ne le fera pas. Je pense que son niveau de connaissance informatique et Wiki ne lui en donne pas la capacité actuellement. Il ne cesse de progresser mais c’est encore un peu tôt pour l'instant. Dès que j'ai le temps, je vais tenter d'expliquer les choses pour qu’il puisse nous guider dans nos actions. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 28 mai 2015 à 18:07 (UTC)
:::::::: {{Notif|Lionel Scheepmans}} Tu m'étonnes. As-tu vu les explications que j'ai mises dans la page de discussion ? Il n'a qu'à suivre pas à pas les 11 points qui sont chacun très simple et faire ce que j'ai marqué. C'est la meilleure solution. Faire une vraie scission d'historique peut mener à un résultat incertain et bordélique. Il y a 258 versions dans l’historique dont 73 ont été faites en cliquant sur &quot;modifier le wikicode&quot; en haut de page (et pas directement sur un des chapitres). Séparer toutes ces versions en huit chapitres va prendre des heures et risque de donner un résultat tellement bordélique qu'on ne saura plus qui a fait quoi en regardant les historiques des huit chapitres. D'ailleurs, j'ai cru comprendre que cette opération a été proscrite sur Wikipédia. On a la chance que George Blanchet soit disponible. Comme il est l'auteur principal, s'il arrive à créer les huit chapitres le problème sera résolu de façon élémentaire. Il ne me restera plus après qu'à Wikifier et mettre le [[Modèle:Auteurs crédités après scission]] dans les pages de discussion pour signaler les autres intervenant comme toi et [[Utilisateur:Satyaaji Auroville|Satyaaji Auroville]]. Attendons un peu pour voir s'il y arrive. {{sourire}} --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 28 mai 2015 à 18:42 (UTC)
::::::::: Il est déjà là... dans ma boite email [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie]] {{sourire}}. Il comprends pas ce qu'on lui veut. Globalement ça fait moins d'un an qu’il utilise Internet je crois et il n’est pas du tout familiarisé avec les ordinateurs ... Je vais lui proposer de me connecter avec son compte pour faire le nécessaire et ce sera définitivement le plus simple je crois. Il n'aura qu'à changer son mot de passe par la suite. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 28 mai 2015 à 19:07 (UTC)
:::::::::: {{Notif|Lionel Scheepmans}} Bonne idée. {{sourire}} --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 28 mai 2015 à 19:10 (UTC)

== Modification sous page recherche/présentation pas directement visible sur la page d'accueil  ==

Re-bonjour, J’ai aussi remarqué qu'une modification faite sur les sous page /Présentation de la recherche n'étaient pas visible directement sur la page d'accueil de la Recherche même après avoir rechargé cette page. Un bug ?

[[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 21 mai 2015 à 08:54 (UTC)

:{{Notif|Lionel Scheepmans}}Non, ce n’est pas un bug, il faut un certain temps pour que les ordinateurs répercutent la modif en purgeant le cache de la page sommaire. Si tu es pressé, il y a deux solutions :
:Soit tu cliques sur &quot;modifier&quot; de la page sommaire et tu enregistres sans modifier (rien n’apparaîtra dans l’historique).
:Soit tu vas dans tes préférences et tu cliques sur &quot;Gadjets&quot; et dans &quot;Onglets supplémentaires en haut de page&quot;, tu coches &quot;Ajouter un onglet permettant de purger le cache d'une page&quot; sans oublier de cliquer sur &quot;enregistrer les préférences&quot; en bas de page. Tu auras alors un onglet supplémentaire en dessous de &quot;renommer&quot; te permettant de purger toi-même le cache d'une page pour que la modif soit visible. {{sourire}}--[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 21 mai 2015 à 09:19 (UTC)

== Existe-t-il une charte graphique au sein de notre projet ?  ==

Re-re-bonjour, J’ai l'impression que l’on pourrait faire plus joli au niveau des couleurs choisies au sein de notre site en général. J’ai appris un jour lors d'une formation basique qu’il n'était pas bon d'utiliser plus de trois couleurs dans une même présentation, celles-ci pouvant toutefois varier en intensité du plus sombre au plus claire. Existe-t-il un charte graphique au sein de Wikiversité ?
Je pense spécialement au fond verdâtre que je retrouve uniquement sur notre projet et qui se marie difficilement avec toutes les couleurs. N'aurait-on pas intérêt à utiliser un fond blanc et donc neutre comme le fait tous les autres projets de la Fondation Wikimedia ?

[[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 21 mai 2015 à 08:54 (UTC)

:Bonne idée. Ou alors un gris très pâle. C'est plus reposant pour les yeux. --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 21 mai 2015 à 10:27 (UTC)
::Pour les modèles il existe [[Wikiversité:Requêtes de facultés/Couleurs]], mais pour les polices et couleurs de fonds générales c’est [[MediaWiki:Common.css]]. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 22 mai 2015 à 10:32 (UTC)
:::Oui c’est aussi une bonne idée, [[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] mais c’est ptet mieux de s'aligner sur les autres projets non ? Personnellement, pour reposer mes yeux, je diminue l'intensité de mon écran surtout dans les pièces peu éclairées. Merci pour la page des attributions de couleur par facultés [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]].
::::Pour cette page, il faut plutôt remercier [[Utilisateur:Frigory|Frigory]] qui a fait un superbe travail. --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 26 mai 2015 à 16:09 (UTC)
:::Bon, comme le changement peut se faire par un administrateur il faut juste que l’on se mette d'accord. Je lance [[Projet:Wikiversité/Couleur de fond de page|une page de vote]] pour établir une prise de décision. À bientôt, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 25 mai 2015 à 21:31 (UTC)

== Chapitre Conjugaison/Auxiliaire du dept. Portugais  ==
Salut,
Je voudrais renommer la page /Portugais/Conjugaison/Auxiliaires en ../Verbe_auxiliaire.
Si je le fais moi-même les liens ne sont pas mis à jour après c’est l'enfer pour tout remettre d'aplomb. Sinon j'ai créés 5 exercices relatifs à cette page et je crains d'être obligé de les déplacer par la suite (c-a-d après avoir promu la page verbe_auxiliaire au statut de Leçon).
Amicalement et colaborativement--[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 20 octobre 2015 à 18:14 (UTC).
:Les bibliothécaires n'ont pas plus d’outils de renommage que les autres utilisateurs inscris. Cette demande serait donc plutôt pour [[Wikiversité:Requêtes aux bots]]. Sauf si tu connais un peu le Python, auquel cas j'avais commencé [[Utilisateur:JackBot/formatage.py]] que tout le monde peut tester et mettre à jour, justement pour ce type d'automatisation.
:Toutefois je pense que tu ne devrais pas être freiné par ces renommages, car MediaWiki transforme automatiquement les anciennes pages en redirections vers les nouvelles, pour préserver les liens. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 20 octobre 2015 à 20:23 (UTC)
:: Salut, un bibliothécaire m'avait dit... bref, dans l'immédiat je ne peux pas accéder à Portugais/Conjugaison/Exercices je vois que les fichiers existent à cette adresse mais je ne vois pas le lien pour ouvrir la catégorie. Hier j'ai crée &quot;exo1_auxiliaire&quot; à &quot;exo4-aux...&quot; ces 4 exo je voudrais les attacher à la page Leçon:Verbe_auxiliaire. Je crois qu’il faut les déplacer dans le répertoire correspondant. On devrait pouvoir appeler un exercice quelque soit sont emplacement.--[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 21 octobre 2015 à 13:42 (UTC)
:::Pour catégoriser [[:Portugais/Conjugaison/Exercices/Exo5 verbe]] le mieux est d'y apposer {{M|exercice}}. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 21 octobre 2015 à 18:41 (UTC)
: {{Notif|JackPotte}} Quand on renomme une page, les sous-pages ne suivent pas, ni la catégorie liée automatiquement par AutoCat, ni les liens qui contiennent par exemple PAGENAME. Y a donc beaucoup de choses à renommer d'un coup.
: Et puis, les redirections, sur Wikiversité, ça ne sert à rien… [[Utilisateur:Frigory|Frigory]] &lt;small class=&quot;plainlinks&quot;&gt;([[Discussion Utilisateur:Frigory|&lt;span title=&quot;page de discussion&quot;&gt;d&lt;/span&gt;]] · [[Spécial:Contributions/Frigory|&lt;span title=&quot;contributions&quot;&gt;c&lt;/span&gt;]] · [{{fullurl:Special:Log|type=block&amp;page=User:{{urlencode:Frigory}}}} &lt;span title=&quot;blocages&quot;&gt;b&lt;/span&gt;] · [[sulutil:Frigory|&lt;span title=&quot;Compte unifié&quot;&gt;s&lt;/span&gt;]])&lt;/small&gt; 4 novembre 2015 à 00:30 (UTC)
: {{Notif|Youni Verciti}} Peux-tu corriger les redirections et y mettre le [[Modèle:PàS|modèle PàS]] s'il te plaît ? (Oui, c’est lourd comme boulot, je l'ai fait plein de fois… Je me suis déjà occupé de la page sur les modes.) [[Utilisateur:Frigory|Frigory]] &lt;small class=&quot;plainlinks&quot;&gt;([[Discussion Utilisateur:Frigory|&lt;span title=&quot;page de discussion&quot;&gt;d&lt;/span&gt;]] · [[Spécial:Contributions/Frigory|&lt;span title=&quot;contributions&quot;&gt;c&lt;/span&gt;]] · [{{fullurl:Special:Log|type=block&amp;page=User:{{urlencode:Frigory}}}} &lt;span title=&quot;blocages&quot;&gt;b&lt;/span&gt;] · [[sulutil:Frigory|&lt;span title=&quot;Compte unifié&quot;&gt;s&lt;/span&gt;]])&lt;/small&gt; 4 novembre 2015 à 00:40 (UTC)
::{{ping|Frigory|Youni Verciti}} [//fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Aide:Comment_renommer_une_page&amp;type=revision&amp;diff=509037&amp;oldid=505214 il faut juste cocher le renommage des sous-pages] pour ne pas avoir à les traiter manuellement. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 4 novembre 2015 à 11:04 (UTC)
::: Pardon, je me noie parfois dans un verre d'eau... Je suis rester longtemps sans éditer et j'ai parfois du mal à refaire des choses simple ; ça va rentrer dans l'ordre. Je considère les redirections comme étant essentielles et je déplore que certains (robots je crois) modifient des liens sans établir la redirection nécessaire. Évidemment quand les liens vers la redirection sont corrigés(supprimés), c’est une bonne chose de les supprimer. Je me pencherais sur la question en ce qui concerne le dpt. portugais plus tard. Je travail ces jours-ci sur un script Wikipython, je veux rester concentrer dessus pour le moment. À ce titre je viens tout juste de créer le compte &quot;Youni Verciti Bot&quot;. Merci pour vos conseils. [[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]])

== Portugais/Conjugaison/Modes ==
Chers Bibliothécaires,
J’ai encore fait une bêtise je voulais renommer Portugais/Conjugaison/Modes en Portugais/Conjugaison/Mode mais j'ai renommer la page de discussion, maintenant je préfère vous passer le relais, je sens que je vais m'enliser.
Merci d'avance. --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 27 octobre 2015 à 11:05 (UTC)
:Ok! C'est rentré dans l'ordre je vais réorganiser la leçon - Merci.--[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 27 octobre 2015 à 12:04 (UTC)
:: Bien joué — {{Sourire}} !

== Supprimer la page [[Recherche:N Sommations en série de l'unité]]  ==
Supprimer la page [[Recherche:N Sommations en série de l'unité]]
:{{fait}} [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 24 novembre 2015 à 22:03 (UTC)
:: L'usage est d'insérer le modèle {{m|PàS}} dans la page pour cela ; elle sera alors ajoutée à une catégorie spécifique dont nous supprimons les pages régulièrement. [[Utilisateur:Frigory|Frigory]] &lt;small class=&quot;plainlinks&quot;&gt;([[Discussion Utilisateur:Frigory|&lt;span title=&quot;page de discussion&quot;&gt;d&lt;/span&gt;]] · [[Spécial:Contributions/Frigory|&lt;span title=&quot;contributions&quot;&gt;c&lt;/span&gt;]] · [{{fullurl:Special:Log|type=block&amp;page=User:{{urlencode:Frigory}}}} &lt;span title=&quot;blocages&quot;&gt;b&lt;/span&gt;] · [[sulutil:Frigory|&lt;span title=&quot;Compte unifié&quot;&gt;s&lt;/span&gt;]])&lt;/small&gt;

== Page Portugais/Grammaire/Article  ==

Bonjour. J’ai renommé la page Portugais/Grammaire/Article avec le formulaire, les cases étaient cochées pour traiter les &quot;sous-pages&quot; malheureusement aucun lien n'a été mis à jour. Je ne touche à rien j'attends de vos nouvelles. Merci d'avance. --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 7 décembre 2015 à 13:20 (UTC)
:{{fait}} J’ai coché la case des sous-pages qui ne l'était pas par défaut, et ça a marché. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 7 décembre 2015 à 14:40 (UTC)</text>
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    </revision>
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    <title>Discussion utilisateur:JackPotte/2016</title>
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        <username>Crochet.david.bot</username>
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      <comment>Robot : conversion/correction du HTML</comment>
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      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="60538" sha1="9ido1evb2rj14nlj6h0k2ct77u61vj8" xml:space="preserve">{{Discussion utilisateur:JackPotte/En-tête}}

== Rendu en version mobile  ==

Salut et bonne année !

Je regarde le rendu de la Wikiversité sur la [https://fr.m.wikiversity.org/ version mobile] ; il n’est pas très bon…

J’ai corrigé la page d'accueil, mais est-ce que tu saurais pourquoi les sections ne se referment pas comme c’est le cas dans [[Projet:Accueil]] ? Ce serait plus pratique.

D'autre part… tu n'as pas répondu à ma dernière question de notre discussion sur les boucles de l'autre fois.

[[Utilisateur:Frigory|Frigory]] &lt;small class=&quot;plainlinks&quot;&gt;([[Discussion Utilisateur:Frigory|&lt;span title=&quot;page de discussion&quot;&gt;d&lt;/span&gt;]] · [[Spécial:Contributions/Frigory|&lt;span title=&quot;contributions&quot;&gt;c&lt;/span&gt;]] · [{{fullurl:Special:Log|type=block&amp;page=User:{{urlencode:Frigory}}}} &lt;span title=&quot;blocages&quot;&gt;b&lt;/span&gt;] · [[sulutil:Frigory|&lt;span title=&quot;Compte unifié&quot;&gt;s&lt;/span&gt;]])&lt;/small&gt; 3 janvier 2016 à 16:29 (UTC)
:Autrement dit qu'est-ce qui ajoute la &lt;code&gt;div class=&quot;mw-ui-icon mw-ui-icon-arrow mw-ui-icon-element indicator&quot;&lt;/code&gt; que l’on peut voir en examinant le code de https://fr.m.wikiversity.org/wiki/Projet:Accueil mais pas dans les .css et .js du site ou sur Mediawiki.org ? Bonne question : comme ils fonctionnent tous les deux dans https://fr.m.wikiversity.org/wiki/Discussion_utilisateur:JackPotte/mobile, je dirais qu’il y un truc à modifier de [[Wikiversité:Accueil]], sûrement ajouter un cadre hors tableau.
:&lt;br /&gt;
:Pour les boucles je me souviens parfaitement t'avoir répondu qu’il suffisait de les faire en Lua comme sur les autres wikis (plutôt que sur un système plus underground que personne ici ne maitrise et pas forcément aussi durable), ce à quoi tu avais émis l'idée de t'y mettre, et bien voilà pour toi {{notif|Frigory}} [[Initiation_au_Lua_avec_Scribunto/Structures_de_contrôle]]. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 3 janvier 2016 à 22:39 (UTC)
:Par exemple [//fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Discussion_utilisateur:JackPotte/mobile2&amp;diff=next&amp;oldid=521345 cette modif active toutes les boites de la page], et on ne peut pas cacher le cadre à onglet pour que cela perdure. Selon moi l'idéal serait sûrement de retirer toute la table. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 3 janvier 2016 à 23:20 (UTC)

== Deux nouvelles prises de décisions au sein de Wikiversité.  ==

Bonjour,

Ce petit message pour vous informer sur l'ouverture de deux nouvelles prises de décisions au sein de notre projet. Voici les liens qui vous mènerons vers ces pages :
*[[Projet:Wikiversité/Éditeur Visuel 2]]
*[[Projet:Wikiversité/Espace de noms « Recherche » 2]]
Une belle fin de journée, [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 12 janvier 2016 à 18:37 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type d'avertissement, vous pouvez vous désinscrire en retirant votre nom d'utilisateur situé sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]]&lt;/small&gt;.
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=516364 --&gt;

== Pourquoi cette révocation ?  ==

Pourquoi m'avoir révoqué ? : [[Spécial:diff/525288]]

La version précédente ne traitait que des fonctions polynomiales de degré deux !

Cdtl--[[Utilisateur:Tleger1958|Tleger1958]] ([[Discussion utilisateur:Tleger1958|discussion]]) 24 janvier 2016 à 12:00 (UTC)
:Je me suis immédiatement révoqué ensuite, il s'agissait d'un problème technique (mes hyperliens de &quot;dif&quot; bougent à la fin du chargement de la page). [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 24 janvier 2016 à 12:03 (UTC)
::Ah pardon ! En effet cela a été révoqué à son tour oui ! --[[Utilisateur:Tleger1958|Tleger1958]] ([[Discussion utilisateur:Tleger1958|discussion]]) 24 janvier 2016 à 12:04 (UTC)

== Importation des modèles de citation anglophone  ==

Salut l'ami,

Je fais appelle à ton expertise pour savoir s'il est techniquement et politiquement possible d'importer les différents templates de la wikipedia anglophone pour permettre une intégration facile et direct des différentes références bibliographiques en code wiki produite automatiquement par Zotero ? cite book a déjà été importé mais Je pense à cite journal, et toute la famille des cite quelque chose. Bien à toi, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 1 février 2016 à 12:04 (UTC)
:Oui ce serait possible mais long : autant les récupérer de Wikipédia où ils s'articulent déjà avec ceux en français. Par exemple :
:# [[w:Modèle:cite journal]] n'est qu'une redirection, je ne sais pas s'il marche avec Zotero.
:# [[w:Modèle:cite news]] est une adaptation qui appelle le modèle en français.
: [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 1 février 2016 à 12:08 (UTC)
::La redirection des modèles ne pose donc pas de problème technique. Excellent ! J'aurait déjà du du faire cette importation depuis longtemps. Je vais m'en charger dès que je trouve le temps. Cela fera certainement plaisir à [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]]. Meci pour les infos et belle fin de journée à toi, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 1 février 2016 à 15:16 (UTC)
{{Comment}} Je vois que nous avançons sur ces modèles. Je pense que l'importation depuis Zotero sera indispensable, vu le nombre de chercheurs qui utilisent Zotero de part le monde et l'effort fait par les universitaires pour adopter cet outil. J’ai surtout expérimenté Wikidata ces derniers temps. Je te laisse, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]], expérimenter les connexions entre Zotero et Wikiversité. J'en profiterai très largement puisque je travaillerai sur Wikipédia ces prochains jours/semaines/mois et que j'ai quelque chose comme 300 références à mettre à jour ! Merci de tes retours sur la page [[Discussion Département:Bases de données bibliographiques]].
 Bel bonjour à vous ! [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]])
== Salut JackPotte  ==
...Longtemps que tu m'avais conseillé d'utiliser un outil de révision de code, je n'y comprenais rien à l'époque. Mes scripts ont &quot;gonflés&quot;. J’ai eu le déclic à l’occasion des {{Unité|15|ans}} de Wikipedia. Je me suis attaché à créer un compte sur wmflabs et à essayer de comprendre tout cela. Un mois plus tard j'ai enfin réussi à placer sous gerrit le projet vocabulary-index et à l'instant je t'ai inscrit parmi les réviseurs. J’ai souffert pour configurer git/gerrit et je transpire à l'idée de passer une commande ; mais je pense que tu peux accéder aux code et proposer des révisions. Avec l'espoir que tu puisses me faire profiter de ta science dans le domaine. Je modifie la page du bot selon tes conseils [[Utilisateur:Youni Verciti Bot]], voici le lien direct vers [https://gerrit.wikimedia.org/r/#/admin/projects/labs/tools/vocabulary-index Gerrit]. Comme on dit du côté de chez moi: Um grande abraço. --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 20 février 2016 à 15:43 (UTC)
:J’ai reçu un email de Gerrit, mais je ne pourrais me plonger dans un nouveau code que dans un mois. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 20 février 2016 à 15:45 (UTC)
:: No Stress l'outil est très jeune du moment que je peux l’expérimenter sur le dept de portugais ;-)

== Retour d'expérience  ==

Bonjour, Je viens de verser (depuis 15 jours environ) mon 1er cours sur la WkV... J’ai voulu en profiter pour modifier la fiche Leçon en fonction de mon expérience acquise... J'espère que vous serez d'accord avec mes modifications structurelles pour mieux faire apparaître les attendus des 2 modèles disponibles :
*Leçon
*Leçon du jour
Merci, A + --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 22 février 2016 à 11:24 (UTC)
:J’ai vu ton message sur [[Discussion aide:Comment créer une leçon]] mais je n'ai pas le temps de m'en occuper rapidement. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 22 février 2016 à 11:26 (UTC)
:: No stress, merci,--[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 22 février 2016 à 14:01 (UTC)

== Autoriser la création de pages gadget-MOOC  ==

Une prise de décision est lancée par [[Utilisateur:Isabelle-ANDI|Isabelle-ANDI]] sur la création de pages gadget-MOOC dans la Wikiversité. Vous êtes invité à en discuter et voter sur la page : [[Projet:Wikiversité/Autoriser la création de pages gadget-MOOC]].

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=532249 --&gt;

== Configuration icone de titre.  ==

Salut Jack, j'ai remarqué que le modèle icône de titre fonctionnait mieux et avait un code complètement différent sur [https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Modèle:Ic%C3%B4ne_de_titre&amp;action=edit Wikipédia] que sur [https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Modèle:Ic%C3%B4ne_de_titre&amp;action=edit Wikiversité]. En faite la zone sensible pour cliquer sur le lien est plus large dans le modèle wikipedia et rend donc le modèle plus fonctionnel. Vu que le code est complètement différent, je me demandais ce qu’il fallait faire ? Le changer complètement via un copié collé en provenance de wikipedia ou faire appel à un utilisateur plus expérimenté que moi. J’ai opté pour la deuxième solution que je trouvais plus prudent et sans doute plus raisonnable. Et si non ça roule de ton côté ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 18 mars 2016 à 09:25 (UTC)
:En bref, on trouve dans l'historique de notre modèle : &quot;''12 mai 2007 à 17:15‎ Julien1311 (discussion | contributions | bloquer)‎ m . . (824 octets) (0)‎ . . (71 version(s) depuis w:Modèle:Icône de titre)''&quot;
:J'en déduis donc que notre modèle n'est qu'un dérivé d'une ancienne version de celui de WP et que nous pouvons le mettre à jour en important les derniers historiques avec [[spécial:import]].
:{{fait}} [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 18 mars 2016 à 09:29 (UTC)
:{{ping|Lionel Scheepmans}} autant ça fonctionne bien dans [[Modèle:Pour Wikivoyage]], autant maintenant tous les chapitres ont une étoile inutile en haut à droite. Je n'utilise pas ce modèle donc je te laisse voir pourquoi il serait utile dans les chapitres. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 18 mars 2016 à 10:45 (UTC)
::A mon avis le modèle mis à jour nécessite l'importation d’autre modèle inexistant sur Wikiversité. Tu ne crois pas ? Je vais vérifier. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 18 mars 2016 à 10:48 (UTC)
:::{{ping|Lionel Scheepmans}} t'étais pas loin, c'était les noms des paramètres avec majuscules qui manquaient. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 18 mars 2016 à 10:56 (UTC)
::::C'est toi le plus fort. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 18 mars 2016 à 11:25 (UTC)
:::::J'attends un éventuel doctorat pour choper le melon. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 18 mars 2016 à 11:38 (UTC)
::::::Quoi ! Tu n’est pas prof au MIT !? J'y comprend plus rien {{clin}} [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 18 mars 2016 à 11:44 (UTC)

== Mise à jour modèle  ==

Salut, je cherche à améliorer l'importation des références bibliographiques en provenance de Zotero.

J’ai tout d'abord importé de Wikipedia le [[modèle:Cite news]] qui fonctionne bien sauf qu’il affichait le mot « anglais » en début de référence. J’ai donc retirer la partie du code qui générait cette apparition par défaut pour la remplacer pas le code qui redirige la variable anglophone «language=» vers la variable francophone «langue=»  voici ce que cela donne sans la variable:
*{{article|langue=fr| issn = 0261-3077| nom = Aquise| prénom = Xavier de Lecaros| titre = The rise of collaborative consumption and the experience economy| périodique = The Guardian| consulté le = 2014-03-07| date = 2014-01-03| url = http://www.theguardian.com/technology/2014/jan/03/collaborative-consumption-experience-economy-startups}}.

Et voici ce que cela donne avec la variagle :
*{{article| issn = 0261-3077| nom = Aquise| prénom = Xavier de Lecaros| titre = The rise of collaborative consumption and the experience economy| périodique = The Guardian| consulté le = 2014-03-07| date = 2014-01-03| url = http://www.theguardian.com/technology/2014/jan/03/collaborative-consumption-experience-economy-startups|langue=en}}.

Dans ce cas le mot « anglais » apparait mais plus par défaut. Je trouve aussi de mettre « anglais » en début de référence tel qu’il est est vraiment moche. Sur wikipedia l'information apparait dans le modèle ouvrage sous cette forme « &lt;small&gt;'''(en)'''&lt;/small&gt; » et sur la wikiversité sous celle-ci ''(anglais)''. Malheureusement je ne sais où changer ce paramètre pour le mettre à ma sauce.

J’ai aussi créé la page de redirection [[modèle:Cite journal]] vers [[modèle:article]], mais le nom de l'auteur ne s'affiche pas sur wikiversité alors qu’il s'affiche sur Wikipedia. Peut-être qu'une mise à jour du modèle serait nécessaire ? Si c’est le cas, ce serait pour moi l’occasion d'apprendre comment updater un modèle de wikiversité avec une version d'un autre site. Dis moi si tu serais d'accord de me coacher et si tu as du temps disponible. @ + [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 20 mars 2016 à 12:34 (UTC)
:Désolé mais je n'aurais pas le temps avant plusieurs mois. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 20 mars 2016 à 12:36 (UTC)
::Ok, pas de soushi, je vais voir ça dans mon coin. Une belle fin de journée à toi. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 20 mars 2016 à 15:54 (UTC)

== Modèle Harv  ==

Salut,
J'utilise souvent le [[Modèle:Référence Harvard]] dans mes travaux comme il ne fonctionnait pas avec le modèle:Cite article, j'ai été sur sa page et j'ai constaté d’une part qu’il était soumis à une proposition de fusion avec le modèle ouvrage sans que je ne trouve le sens de cette fusion ni même sa section au niveau de [[Wikiversité:Pages à fusionner]]. Comme c’est toi qui a déposer le bandeau de fusion, je viens donc à la sources. D'autre part, je remarque que la modèle n'a plus été mis à jour depuis le 17 mai 2011, j'aimerai dès lors si possible, si souhaité et si tu m'expliques comment faire mettre à jour celui-ci au départ du modèle wikipédia ou même en.wikiversity. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 5 avril 2016 à 00:15 (UTC)
:J'avais proposé cette fusion pour éviter à nos contributeurs d'apprendre par cœur [[w:Catégorie:Modèle de source|des centaines de modèles]] dont seule l'URL change ou presque. Pour le reste tu peux faire comme tu veux, je n'ai pas trop le temps de m'y pencher à l'échelle industrielle. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 5 avril 2016 à 07:09 (UTC)
::Ok, vu l'aspect industriel, je vais attendre la fin de mes études avant de me lancer là dedans. Mais je pense pas que l’on ai besoin de centaines de modèles sources. Une seul convention de citation bibliographique pourrait suffire en effet. Il faudrait juste qu'elle soit choisie par la communauté tout entière. J'ajoute ça dans ma liste des tâches. Mais au faite, si on fusionne les modèle Harv et Ouvrage comment alors continuer utiliser la fonction {{M|harv}} qui renvoit directement le lecteur à la référence bibliographique située dans la bibliographie ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 5 avril 2016 à 09:16 (UTC)
:::Par une redirection. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 5 avril 2016 à 09:19 (UTC)
::::Une redirection sans modèle ? Quel genre de code utiliserais-tu pour faire cette redirection ? nom de page#titre fonctionne pour les titres mais par pour les paragraphe ou les section d'une liste à puce. Je comprend pas. Ce doit être du à mon manque de pratique au niveau de la construction des modèles. Si c’est trop technique à expliquer, je t'en fais grâce. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 5 avril 2016 à 09:26 (UTC)
:::::Il faut juste ajouter un ID CSS à l'objet pour qu’il devienne accessible avec une ancre placée après un #. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 5 avril 2016 à 09:29 (UTC)
::::::C'est bien ce que je pensais. J’ai tout un monde à découvrir avant de pouvoir comprendre ce genre de jargon... Je reporte le sujet pour le moi de mai. Une belle journée à toi. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 5 avril 2016 à 10:01 (UTC)

== Mesure de l'audience des pages en nombre de visiteurs  ==

Bonjour,

Est-ce qu'il existe sur la wikiversité un moyen de mesurer l'audience des pages en nombre de visiteurs un peu comme sur Google analytic ? Je suis tombée sur ces pages, depuis une ancienne question en salle café à laquelle vous avez répondu :
* http://stats.grok.se/fr.v/201110/Accueil
* {{lien brisé|consulté le=2017-07-22|url=http://wikistics.falsikon.de/latest/wikiversity/fr/}} 

Mais à priori on ne peut pas cibler une page en particulier.

--[[Utilisateur:Isabelle-ANDI|Isabelle-ANDI]] ([[Discussion utilisateur:Isabelle-ANDI|discussion]]) 15 avril 2016 à 07:55 (UTC)
:{{ping|Isabelle-ANDI}} en cliquant sur l'onglet &quot;historique&quot; d'une page, nous avons placé plusieurs liens, dont &quot;Statistiques de consultation&quot;.
:Pour la page ''[[Mise en œuvre de l’accessibilité numérique]]'', cela donne [http://stats.grok.se/fr.v/latest90/Mise_en_%C5%93uvre_de_l%E2%80%99accessibilité_numérique 69 visites en trois mois] (site rafraichi moins d'une fois par mois).
:Par ailleurs, je crois me souvenir qu'un outil en temps réel était en développement. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 15 avril 2016 à 08:15 (UTC)
:[https://tools.wmflabs.org/pageviews/#project=fr.wikiversity.org&amp;platform=all-access&amp;agent=user&amp;range=latest-20&amp;pages=Mise_en_%C5%93uvre_de_l%E2%80%99accessibilité_numérique Le voilà] (il trouve 41 visites sur les 20 derniers jours), je vais l'ajouter dans l'onglet historique... [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 15 avril 2016 à 08:21 (UTC)
::{{ping|JackPotte}} Merci :-) ce serait intéressant ensuite d'avoir un bilan de toutes les pages de la même formation, peut être en téléchargeant tous les CSV, cela dit c’est un peu laborieux mais je ne sais pas s'il y a moyen de compiler les données statistiques sur la wikiversité. Je poursuis dans mes questions : est-ce qu'il y a moyen de connaître le site de provenance ? Nous allons tester les canaux d'acquisition de visiteurs et ce serait intéressant de pouvoir les qualifier afin d'investir nos efforts de communication dans un canal efficace. --[[Utilisateur:Isabelle-ANDI|Isabelle-ANDI]] ([[Discussion utilisateur:Isabelle-ANDI|discussion]]) 18 avril 2016 à 16:08 (UTC)
:::[//tools.wmflabs.org/pageviews/#project=fr.wikiversity.org&amp;platform=all-access&amp;agent=user&amp;range=latest-20&amp;pages=Comprendre_l'accessibilité|Initier_une_démarche_d'accessibilité|Structurer_l'information_textuelle|Rendre_accessibles_les_liens|Rendre_les_images_accessibles|Préparer_un_document_web_à_l'accessibilité Il y a pas mal d'options de superposition], mais pas la provenance ni le navigateur. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 18 avril 2016 à 19:15 (UTC)


== Je croyais que t'étais informaticien.  ==

Et puis je découvre que construis des cours au sujet de l'alimentation. J'aurais été moins surpris s'il s'agissait de l'alimentation d'une carte mère ou autre composant informatique, mais c’est pas le cas {{clin}} De l'informatique à la diététique, il y a plus qu'un pas ! [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 22 avril 2016 à 17:55 (UTC)
:C'était un violon d'Ingres au même titre que la linguistique, avant que je décide de renforcer mon informatique tout en participant aux wikis. Je ne sais pas ce que vaut mon profil d'un point de vue sociologique, mais c’est par choix que j'ai stoppé en 2008 les mondanités communément admises comme le fin du fin des loisirs mais dont je m'étais lassé, pour tenter une aventure constructive sur Internet. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 22 avril 2016 à 18:18 (UTC)
::Sociologiquement intéressant. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 22 avril 2016 à 18:56 (UTC)

== Statistiques sur la page mallette troubles du comportement extrait  ==


Bonjour JackPotte,

Pourriez vous svp intégrer les statistiques sur cette page  

https://fr.wikiversity.org/wiki/Mallette_pédagogique_Troubles_du_comportement ?

Merci d'avance pour votre aide.

Cordialement
--[[Utilisateur:Mdia12|Mariama Dia]] ([[Discussion utilisateur:Mdia12|discussion]]) 17 mai 2016 à 07:18 (UTC)
:Toutes les pages figurent déjà dans les statistiques. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 17 mai 2016 à 07:41 (UTC)
--Merci [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]]. En fait je parlais plus des statistiques de consultation dont vous avez parlé à Isabelle Andi et que vous aviez ajouté à l'onglet historique.
--[[Utilisateur:Mdia12|Mariama Dia]] ([[Discussion utilisateur:Mdia12|discussion]]) 17 mai 2016 à 07:59 (UTC)

== Nouvelle prise de décision au sujet de l'installation de Flow dans la Wikiversité  ==

Bonjour,

Une prise de décision concernant l'installation de [[w:wikipédia:Flow|Flow]] dans la Wikiversité vient d'être lancée. Vous êtes invité à en discuter et voter sur la page : [[Projet:Wikiversité/Flow]].

Une belle fin de journée !

[[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 14 juin 2016 à 17:06 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=585023 --&gt;

== {{Abréviation|MOOC|massive open online course|en}} - Gadget  ==

J’ai crée une page prévue à cet effet : https://fr.wikiversity.org/wiki/Utilisateur:Xtuc-Sven/script.js. Merci.
[[Utilisateur:Xtuc-Sven|Xtuc-Sven]] ([[Discussion utilisateur:Xtuc-Sven|discussion]])


Le chargement des scripts n’est pas optionnel, il devra être activé automatiquement pour tous les utilisateurs, connecté ou non. Pour nos tests cela n’est pas nécessaire. Pouvez-vous me confirmer que cela est possible, merci.

Conclusion des discussions antérieures : [[Projet:Wikiversité/Autoriser_la_création_de_pages_gadget-MOOC#Toucher_.C3.A0_MediaWiki:Common.js|Toucher à MediaWiki:Common.js]].
[[Utilisateur:Xtuc-Sven|Xtuc-Sven]] ([[Discussion utilisateur:Xtuc-Sven|discussion]])
:Oui c'est bien ce que nous avions prévu en mars : Common.js appellera le gadget de production. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 17 juin 2016 à 13:51 (UTC)
::D’accord, très bien. [[Utilisateur:Xtuc-Sven|Xtuc-Sven]] ([[Discussion utilisateur:Xtuc-Sven|discussion]]) 17 juin 2016 à 15:08 (UTC)
:: De la même manière, pouvez-vous créer une redirection entre https://fr.wikiversity.org/wiki/MediaWiki:Gadget-MOOC.css et https://fr.wikiversity.org/wiki/Utilisateur:Xtuc-Sven/script.css. Merci, [[Utilisateur:Xtuc-Sven|Xtuc-Sven]] ([[Discussion utilisateur:Xtuc-Sven|discussion]]) 20 juin 2016 à 07:30 (UTC)
:::{{fait}} Et voilà. PS : il est inutile de m’écrire des emails car je lis la présente page tous les jours, au moment où j'ai le temps de traiter ces demandes. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 20 juin 2016 à 09:14 (UTC)
:: Le CSS ne se charge pas. L’erreur est la suivante : &lt;code&gt;Refused to execute script from '{{lien brisé|consulté le=2017-07-22|url=https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Utilisateur:Xtuc-Sven/script.css&amp;action=raw&amp;ctype=text/css'}}  because its MIME type ('text/css') is not executable, …&lt;/code&gt;.
:: Le MIME type est correct, en revanche MediaWiki le manipule comme un script JavaScript.
:: PS: Les mails avaient pour but de vous notifier et non de vous forcer. [[Utilisateur:Xtuc-Sven|Xtuc-Sven]] ([[Discussion utilisateur:Xtuc-Sven|discussion]]) 20 juin 2016 à 09:34 (UTC)
:::{{fait}} Désolé, j'ai finalement retrouvé la fonction prévue, qui fonctionne puisque Firefox charge https://fonts.googleapis.com/css. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 20 juin 2016 à 10:51 (UTC)
:: C’est bon, merci. [[Utilisateur:Xtuc-Sven|Xtuc-Sven]] ([[Discussion utilisateur:Xtuc-Sven|discussion]]) 20 juin 2016 à 10:58 (UTC)

Je compte appliquer le template à une formation aujourd’hui. Une fois l’opération terminée, est-ce qu’il serait possible de mettre le Gadget {{Abréviation|MOOC|massive open online course|en}} en production ? [[Utilisateur:Xtuc-Sven|Xtuc-Sven]] ([[Discussion utilisateur:Xtuc-Sven|discussion]]) 21 juin 2016 à 08:27 (UTC)
:Je préfèrerais poster cette demande un soir pour que tout le monde le teste 24 h (on ne sait jamais avec tous ces gadgets javascripts qui se croisent). [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 21 juin 2016 à 09:50 (UTC)
:: Bonjour JackPotte, est-ce que vous pouvez préciser ce que vous souhaitez tester et de quelle manière ? Pour le moment nous avons les derniers modules de la formation &quot;Mise en œuvre de l’accessibilité numérique&quot; intégrés avec le modèle MOOC, il est possible de voir tout de suite le résultat et également les éventuels conflits entre les gadgets. Peut-on faire la mise en production des gadgets Mooc dès cet après midi du coup ?  -j'aimerais profiter de la disponibilité de Sven pour avancer {{sourire}} --[[Utilisateur:Isabelle-ANDI|Isabelle-ANDI]] ([[Discussion utilisateur:Isabelle-ANDI|discussion]]) 21 juin 2016 à 13:57 (UTC)
: J’ai activé l’ensemble des Gadget à ma disposition.
: * RecentChangesBox génére une erreur JavaScript. Ce n’est pas lié au template {{Abréviation|MOOC|massive open online course|en}} et ne gêne pas sa génération.
: * LiveRC empechait la génération du template. Il ajoute une hauteur de 0px à la classe &quot;clear&quot;. J’ai résolu ce problème en modifiant dynamiquement la hauteur. De ce fait la classe est toujours présente et utilisable par le Gadget.
: J’avais certainement peu de Gadget chargé réellement sur la page.
: [[Utilisateur:Xtuc-Sven|Xtuc-Sven]] ([[Discussion utilisateur:Xtuc-Sven|discussion]]) 21 juin 2016 à 15:29 (UTC)
::{{ping|Isabelle-ANDI|Xtuc-Sven}} je viens de tester et je ne peux malheureusement pas activer le script chez tout le monde pour une seule raison : le CSS affecte toutes les pages du wiki et pas seulement celles du MOOC.
::Par exemple dans ''[[Macros-commandes VBA]]'' :
::# le titre de la page est reformaté dans un cadre qui fait doublon avec le titre de la leçon.
::# les polices de tous les paragraphes changent (sauf dans le premier en italique). 
::Une fois corrigé, vous pourrez refaire la demande, par exemple sur [[WV:RA]] qui est lue par tous les administrateurs, et sera donc plus réactive. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 21 juin 2016 à 20:08 (UTC)
:::Bonjour, merci pour le test, nous avons donc besoin de corriger le CSS pour éviter les conflits de ce type. Et du coup bien noté pour poster sur [[WV:RA]] nos prochains échanges. --[[Utilisateur:Isabelle-ANDI|Isabelle-ANDI]] ([[Discussion utilisateur:Isabelle-ANDI|discussion]]) 22 juin 2016 à 08:54 (UTC)
::Bonjour, j’ai préfixé tous les éléments du CSS par l’id #moocwikiv (l’appel du template). De ce fait, le CSS est isolé. 
::Pouvez-vous m’indiquer la procédure que vous utilisez pour vos tests. Je pourrais ainsi la suivre et être plus réactif sur les corrections.
::Avez-vous des exemples d’utilisation de Gadget ? J’aimerais tester leurs intégrations dans le template lui-même.
::Merci, [[Utilisateur:Xtuc-Sven|Xtuc-Sven]] ([[Discussion utilisateur:Xtuc-Sven|discussion]]) 22 juin 2016 à 15:00 (UTC)

J’ai constaté que vous aviez supprimé une page vide. Le template utilise des pages vides pour explicitement désactiver l’affichage d’un element. Est-ce que cela est problématique pour le Wiki ? [[Utilisateur:Xtuc-Sven|Xtuc-Sven]] ([[Discussion utilisateur:Xtuc-Sven|discussion]]) 22 juin 2016 à 15:06 (UTC)
:{{fait}} Les tests étant concluants à cette heure, j'ai activé le gadget pour tout le monde. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 22 juin 2016 à 15:16 (UTC)
:En fait ma procédure de test peut être qualifiée de rapidement improvisée : je coche le gadget et j'ouvre de nouveaux onglets pour les comparer aux pages déjà ouvertes sans lui, et voir si la console de Firefox a plus d'erreurs ou si les temps de chargement sont abusifs. À ce propos j'ai un warning ''L’API Fullscreen préfixée est obsolète'' sur ''[[Inspecter chaque page humainement]]''.
:Les exemples d'utilisation des gadgets qui existaient sur la Wikiversité sont sensés être des images accessibles après leurs descriptions dans [[Spécial:Préférences#mw-prefsection-gadgets]], mais il y en a une minorité aujourd'hui. Je n’exclue pas de les ajouter à l'occasion.
:Pour les pages vides, nous supprimons celles sur lesquelles leurs auteurs l'ont demandé (avec {{M|SI}}), ou celles des débutants. Cela ne me gène pas qu'il y en ait qui soient remplies en JavaScript. Si vous parlez de ''[[Item-Mise en œuvre de l’accessibilité numérique : Introduction]]'' c'est l'éditeur anonyme 70.82.178.212 qui s'est fait passer pour vous, je l’ai donc restauré et ferai attention à ses impostures à l’avenir. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 22 juin 2016 à 15:23 (UTC)
:PS : par contre si ''[[Item-Mise en œuvre de l’accessibilité numérique : Introduction]]'' n'est pas destinée à être remplie par du JavaScript cela va perturber le fonctionnement du wiki car certains risquent de la supprimer. En effet, elle est alors indexée à tort dans le moteur de recherche (sauf si elle contient &lt;nowiki&gt;__NOINDEX__&lt;/nowiki&gt;) et dans la liste des pages vides (à supprimer manuellement lors de la maintenance générale). [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 22 juin 2016 à 15:32 (UTC)
::* Je n’ai pas de warning sur la page. J’utilise Chrome 50. Le template n’utilise pas cette API.
::* J’ai modifié mon script pour ne plus utiliser de page vide. Vous avez raison, des pages sans contenu ne resteront pas longtemps sur le Wiki.

Comment pourrais-je effectuer des mises à jour des scripts sans impacter la production ?
Je peux versioner les scripts mais comment m’assurer que la dernière version (pas encore en production donc) écrase bien la version de production et uniquement dans mon espace ? [[Utilisateur:Xtuc-Sven|Xtuc-Sven]] ([[Discussion utilisateur:Xtuc-Sven|discussion]]) 29 juin 2016 à 13:06 (UTC)
:Il y a plusieurs solutions alternatives, de la plus courte à la plus longue :
:# Ajouter une variable permettant de désactiver le script de prod pour une seule personne via son /common.js, de façon à ce qu'elle teste la préprod.
:# Télécharger MediaWiki et créer un site entier de préprod sur un serveur perso.
:# Créer un statut développeur javascript pour les gens comme toi qui doivent toucher à l'espace MediaWiki (compter un mois).
:[[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 29 juin 2016 à 18:28 (UTC)
* Par défaut WikiMedia ajoute une hauteur et largeur à chaque image insérée dans la page. Cela empêche les images d’être responsives. Existe-il un moyen pour empêcher l’ajout des attributes &lt;code&gt;height&lt;/code&gt; et &lt;code&gt;width&lt;/code&gt; ?
* Le gadget utilise les scripts stockés dans mon espace. Pour permettre de futures modifications, pouvez-vous migrer ces scripts ? Merci,  [[Utilisateur:Xtuc-Sven|Xtuc-Sven]] ([[Discussion utilisateur:Xtuc-Sven|discussion]]) 11 juillet 2016 à 15:26 (UTC)
* Est-ce qu’un gadget permet de charger une feuille de style spécifique pour IE ? (https://css-tricks.com/how-to-create-an-ie-only-stylesheet)
:# Je ne sais pas trop.
:# {{fait}} C'est bon.
:#: Je pense ne plus avoir les droits de modification sur les fichiers. Pouvez-vous me les attribuer ? Merci, [[Utilisateur:Xtuc-Sven|Xtuc-Sven]] ([[Discussion utilisateur:Xtuc-Sven|discussion]]) 11 juillet 2016 à 19:39 (UTC)
:#::Seuls les administrateurs peuvent modifier les enregistrements de la base de données de l’espace de nom MediaWiki. On en revient donc à demander chaque mise en production (procédure courante) ou aux autres options déjà évoquées ci-dessus. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 11 juillet 2016 à 20:17 (UTC)
:#::: D’accord, cela va compliquer les modifications dans le futur.
:#::: On s'est mal compris ; pour le moment je dois conserver les droits de modification des fichiers. Merci, [[Utilisateur:Xtuc-Sven|Xtuc-Sven]] ([[Discussion utilisateur:Xtuc-Sven|discussion]]) 12 juillet 2016 à 05:51 (UTC)
:#::::OK donc je lance un retour arrière... [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 12 juillet 2016 à 06:58 (UTC)
:#::::: Mes développements se terminent ce soir. Pour permettre les modifications futures, est-ce que vous pouvez migrer (ce soir) les fichiers (script.css et script.js) sur le compte de https://fr.wikiversity.org/wiki/Utilisatrice:Isabelle-ANDI. Merci [[Utilisateur:Xtuc-Sven|Xtuc-Sven]] ([[Discussion utilisateur:Xtuc-Sven|discussion]]) 13 juillet 2016 à 08:52 (UTC)
:#:::::: Si le script est terminé ce ne sera même pas nécessaire car il est prévu pour être dans l'espace MediaWiki des gadgets, sinon je le ferais. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 13 juillet 2016 à 09:48 (UTC)
:# Il faut la charger sous une condition en JavaScript, par exemple :
:&lt;syntaxhighlight lang=javascript&gt;
function getInternetExplorerVersion() {
// Returns the version of Internet Explorer or a -1
// (indicating the use of another browser).
  var rv = -1; // Return value assumes failure.
  if (navigator.appName == 'Microsoft Internet Explorer')
  {
    var ua = navigator.userAgent;
    var re  = new RegExp(&quot;MSIE ([0-9]{1,}[\.0-9]{0,})&quot;);
    if (re.exec(ua) != null)
      rv = parseFloat( RegExp.$1 );
  }
  return rv;
}
&lt;/syntaxhighlight&gt;
:[[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 11 juillet 2016 à 18:46 (UTC)
:: J’aurais préféré le faire autrement. Merci pour le code, je l’ai utilisé. [[Utilisateur:Xtuc-Sven|Xtuc-Sven]] ([[Discussion utilisateur:Xtuc-Sven|discussion]]) 13 juillet 2016 à 08:52 (UTC)

== Questionnaire WV  ==

Hello Jack Potte

Merci d'avoir répondu au questionnaire. en ce qui concerne la double réponse sur le système de communication interne, c'est vrai qu'il aurait été pertinent de rajouter une case 'les deux'.N'hésite pas à me dire si d'autres choses te semblent devoir être modifiées dans le questionnaire.Et si tu changes d'avis pour un entretien!
Tu aurais sans doute de nombreuses choses à dire sur la WV qui sortent du cadre d'un simple questionnaire. En outre la durée ne dépasserait pas une demi-heure.

Bel été à toi et merci pour ta contribution Jack!

== Archives ==
Salut JackPotte! Un moment… je faisais justement des test sur mes pages d’archives et je dois faire marche arrière c'est-à-dire annuler les modifs. Continuons cette conversation ici si tu veux bien : [[Discussion Projet:Laboratoire/Espaces de noms/Wikiversité/Pages de discussion]]. --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 4 août 2016 à 19:01 (UTC)


== À propos des archives  ==

Salut, j'ai l'impression que tu n'étais pas d'accord avec ce que faisait l'[[Utilisateur:Youni Verciti]] et je n'ai pas vu d'accord établi entre vous deux et pourtant, je vois [[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] continuer à trafiquer dans les archives. Es-tu d'accord avec ses actions ou doit-on prendre des mesures particulières avant qu'il ne fasse plus de dégâts ? Si tu n'es pas d'accord avec lui et s'il persiste à vouloir introduire  un autre système d'archive, alors il devrait logiquement lancer une prise de décision pour obtenir un vote favorable de la communauté. — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 12 août 2016 à 03:52 (UTC)
:{{ping|Lydie Noria}} je suis tout à fait d'accord avec toi, en fait je l’ai laissé faire pour voir si son produit fini avait meilleure allure (et surtout parce que j'étais trop overbooké pour tout révoquer et restaurer). [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 12 août 2016 à 06:30 (UTC)

== Convention sur le pluriel dans la Wikimédia anglophone  ==

Bonjour,

Vous m'avez parlé d'une Convention concernant l'utilisation du pluriel pour les [[:Catégorie:Suppressions immédiates demandées]].

Pouvez-vous me donner un lien vers cette Convention ? J'aimerai vérifier qu'elle s'applique aussi aux Wikis français.

Cordialement.
:{{ping|NiridyA}} la décision a été actée sur [[Wikiversité:La_salle_café/35_2013#Prise_de_décision_sur_le_nommage_des_catégories]]. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 24 août 2016 à 14:13 (UTC)
:: Merci pour le lien :) Reste à savoir quand renommer la [[:Catégorie:Suppressions immédiates demandées]]. --[[Utilisateur:NiridyA|NiridyA]] ([[Discussion utilisateur:NiridyA|discussion]]) 24 août 2016 à 15:03 (UTC)
:::Samedi. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 24 août 2016 à 17:33 (UTC)

== Modèle {{Abréviation|MOOC|massive open online course|en}} wikiversité sur les devices mobiles  ==

Bonjour

Nous commençons à avoir des retours utilisateurs (et de l'audience) sur les dispositifs au format {{Abréviation|MOOC|massive open online course|en}} sur la wikiversité pas mal de gens contents dont une personne de chez wikipédia qui souhaiterait mettre la prochaine formation &quot;contribuer à wikipedia&quot; sur la wikiversité avec ce template. Mais nous avons aussi une remarque récurrente : sur mobile l'interface n'est pas la même et les personnes s'y sentent perdues. 

J'ai testé et en effet l'affichage n'est pas tel que prévu dans le code responsive du modèle. Le device charge la version mobile de la wikiversité et nous ne l'avions pas anticipé. Ce serait pas mal de travailler sur l'exécution du modèle {{Abréviation|MOOC|massive open online course|en}} sur la version mobile : une manière simple de le faire serait de permettre de déplier l'accordion au clic sur le texte du menu. 

Je m'explique, par exemple depuis un smartphone dans la mallette troubles du comportement :

- au clic sur Menu-mallette pédagogique Troubles du comportement, on accède au détail du menu mais sans le design

- l'utilisateur est tenté de cliquer sur le texte &quot;Accueil&quot; par exemple mais la page Accueil n'existe pas (normal c'est le chapeau niveau 1 du menu)

- si l'utilisateur clique sur la flèche à gauche du texte, il accède aux pages mais avec un tag apparant (texte, vidéo ou quizz) au lieu des icones prévus

- le premier texte est le chapeau niveau 2 du menu, dans mon exemple, &quot;Les mallettes pédagogiques&quot;, qui ne devrait pas être cliquable.


Sans tout bousculer sur la version mobile, est-ce que nous pourrions :

- dans la page menu de la version mobile déplier le menu au clic sur le texte du chapeau Niveau 1 ? 

- dans le résultat de ce qui est affiché, désactiver le comportement cliquable des chapeaux de niveau 2 ?


Idéalement, ce serait pas mal que nous puissions remettre du design et de l'ergonomie sur la version mobile mais je me dis que c'est beaucoup de travail et que dans un premier temps pour permettre aux utilisateurs des mallettes d'y accéder depuis un mobile ces 2 actions pourraient suffirent, non ?


Vos conseils seraient les bienvenus, merci. --[[Utilisateur:Isabelle-ANDI|Isabelle-ANDI]] ([[Discussion utilisateur:Isabelle-ANDI|discussion]]) 3 octobre 2016 à 14:31 (UTC)
:Je n’ai pas lu les specs [[MW:Mobile design]] mais je peux regarder... [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 3 octobre 2016 à 15:11 (UTC)
:{{ping|Isabelle-ANDI}} [//fr.m.wikiversity.org/wiki/Troubles_du_comportement-Le_Theatre j'ai testé la page] en ajoutant la classe &quot;nomobile&quot; au lien interne ''Menu-Mallette pédagogique Troubles du comportement'' et il disparait de la version mobile. Nous pouvons donc filtrer un minimum, mais pour le reste je vous invite à poser les questions aux experts sur [[MW:Mobile design]]. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 3 octobre 2016 à 22:16 (UTC)
::Merci, je vais prendre connaissance des spec de la version mobile et voir avec eux. Bonne journée. --[[Utilisateur:Isabelle-ANDI|Isabelle-ANDI]] ([[Discussion utilisateur:Isabelle-ANDI|discussion]]) 4 octobre 2016 à 06:11 (UTC)

::Bonjour. Il n'y a plus personne d'actif dans la team mobile affichée sur [[MW:Mobile design]]. J'ai lu les specs de la version mobile, comme la navigation spécifique du modèle {{Abréviation|MOOC|massive open online course|en}} est considérée comme un contenu, la version mobile ne devrait pas avoir d'impact sur l'affichage. Donc le seul soucis est que l’appel du modèle {{Abréviation|MOOC|massive open online course|en}} ne se fait pas (et donc le CSS et le JS ne s'appliquent pas) : seule la première ligne de code de l'appel du modèle dans la page est conservée. La saisie serait-elle tronquée dans le cas de la version mobile ? Peut-on y remédier ? --[[Utilisateur:Isabelle-ANDI|Isabelle-ANDI]] ([[Discussion utilisateur:Isabelle-ANDI|discussion]]) 17 octobre 2016 à 08:04 (UTC)
:::On peut tout faire en open source, il suffit d'avoir le temps. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 17 octobre 2016 à 17:48 (UTC)
:::Sinon, [//en.wikibooks.org/w/index.php?title=MediaWiki:Common.css&amp;curid=50984&amp;diff=3137000&amp;oldid=3012297 Voici un exemple de ce qui se fait par ailleurs]. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 18 octobre 2016 à 18:49 (UTC)

Bonjour Jackpotte,

Suite aux problèmes cités par -[[Utilisateur:Isabelle-ANDI|Isabelle-ANDI]], j'ai été missionné d'étudier nos possibilités.

J'ai identifié deux possibles solutions:
* La configuration du ciblage d'un gadget (`targets`). La cible semble être les desktop. Peut-on la modifier ?
Voir https://www.mediawiki.org/wiki/Extension:Gadgets § Options.
* Il existe un équivalent destiné aux mobiles de Common.js et Commons.css : respectivement Mobile.js et Mobile.css. Pourrait-on y inclure le gadget ?

(https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=MediaWiki:Mobile.css et https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=MediaWiki:Mobile.js)

Merci par avance,
[[Utilisateur:Xtuc-Sven|Xtuc-Sven]] ([[Discussion utilisateur:Xtuc-Sven|discussion]]) 28 novembre 2016 à 14:27 (UTC)

J’ai créé un fichier common.js dans mon espace personnel. Il semble être chargé en mode mobile.
Cependant, le JavaScript ne s’exécute pas car il y a une erreur : &quot;Error: Unknown dependency: site&quot;. Est-ce que vous avez déjà rencontré cette erreur ?
J’espère que cela ne va pas se produire dans le fichier common Mobile.js.
[[Utilisateur:Xtuc-Sven|Xtuc-Sven]] ([[Discussion utilisateur:Xtuc-Sven|discussion]]) 28 novembre 2016 à 16:28 (UTC)
:{{ping|Xtuc-Sven}} [//fr.wikiversity.org/w/index.php?title=MediaWiki:Gadgets-definition&amp;action=historysubmit&amp;type=revision&amp;diff=620944&amp;oldid=592180 J'ai configuré gadget comme proposé] mais sur plusieurs pages dont ''[[Mallette_pedagogique_Differenciation]]'' il ne s'exécute pas (''parse error: Parse error: Unexpected token; token 3 expected in file 'MediaWiki:Gadget-MOOC.js' on line 2''). Ayant un profil plutôt orienté back end, je ne vais pas insister d'autant que nous n’avons pas de site de préprod aujourd'hui, et que nous n'avons aucun contrôle sur le cache serveur qui peut mettre des heures à se rafraichir (''Gadget &quot;MOOC&quot; styles loaded twice. Migrate to type=general''). 
:Par ailleurs, je n’ai jamais rencontré l'erreur de dépendances ci-dessus, mais j'essaie de les lister depuis peu dans {{WL|Programmation_JavaScript/Debuggage}}. 
:Sinon, j’ai aussi utilisé [[MediaWiki:Mobile.js]] sans succès (''ReferenceError: importStylesheetURI is not defined''). [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 28 novembre 2016 à 18:48 (UTC)
::D’accord. Je sais que MediaWiki possède son propre parser JavaScript peu compatible.
::Je pense que [[MediaWiki:Mobile.js]] est une bonne piste. ''importStylesheetURI'' n'est peut-être plus défini car il est déprécié (voir https://phabricator.wikimedia.org/T95964). L'alternative est d'utiliser 'mw.loader.load(&quot;[script.css]&quot;, &quot;text/css&quot;)' pour le script CSS.
::Merci, [[Utilisateur:Xtuc-Sven|Xtuc-Sven]] ([[Discussion utilisateur:Xtuc-Sven|discussion]]) 29 novembre 2016 à 08:37 (UTC)

::J’ai utilisé un serveur web en local hébergant un MediaWiki (avec docker, source: https://hub.docker.com/r/bitnami/mediawiki/).
::— Version de MediaWiki : 1.27.1.
::— Extensions ajoutées : MobileFrontend (source : https://www.mediawiki.org/wiki/Extension:MobileFrontend)
::Le modèle {{Abréviation|MOOC|massive open online course|en}} est chargé depuis les deux fichiers communs :
::— MediaWiki:Common.js.
::— MediaWiki:Mobile.js.
::Lors de mes tests je n’ai rencontré aucune erreur de parse.
::Dans cette configuration le modèle {{Abréviation|MOOC|massive open online course|en}} est bien chargé en mode mobile et desktop.
::Merci, [[Utilisateur:Xtuc-Sven|Xtuc-Sven]] ([[Discussion utilisateur:Xtuc-Sven|discussion]]) 29 novembre 2016 à 09:49 (UTC)

::J’ai aussi effectué une mise à jour du script. Pouvez-vous remplacer le gadget par mon script https://fr.wikiversity.org/wiki/Utilisateur:Xtuc-Sven/script.js. Merci par avance, [[Utilisateur:Xtuc-Sven|Xtuc-Sven]] ([[Discussion utilisateur:Xtuc-Sven|discussion]]) 29 novembre 2016 à 13:03 (UTC)
:::{{fait}} [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 29 novembre 2016 à 19:18 (UTC)
::::JackPotte, je pense que vous n'avez pas vu mes précédents messages. `Mobile.js` est d'après moi la solution. Avez-vous testé d'inclure les scripts comme expliqué plus haut ? Merci par avance, [[Spécial:Contributions/109.15.77.90|109.15.77.90]] 30 novembre 2016 à 08:05 (UTC)
:::::J'avais bien lu mais je n'avais pas retesté jusqu'à la confirmation de ce matin, où https://fr.m.wikiversity.org/wiki/Mallette_pedagogique_Differenciation ne change absolument pas car Mobile.js n’y est pas chargé, même depuis un appareil mobile (du moins dans les premières minutes après mise à jour du script). Je verrai plus tard si ça vient du cache serveur. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 30 novembre 2016 à 08:52 (UTC)
:::::{{fait}} Le cache s'est enfin rafraichit et le gadget tourne maintenant. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 30 novembre 2016 à 21:32 (UTC)

== Collaboration juive sous le nazisme  ==

Comme vous avez donné votre avis suite à la signalisation de Wikipédia concernant l'article cité en titre, je me permet de vous faire part de ma propre vision des choses. Lors de la suppression de cet article sur Wikipédia en 2014 en 2 étapes rapprochées, la première ayant conclu au maintien, c'est un de ses &quot;bureaucrates&quot; qui a suggéré le report de cet article - que j'avais défendu alors au nom de son caractère historique et encyclopédique sans y être véritablement très impliqué au niveau des contenus - sur Wikiversité où il a depuis prospéré et plus que doublé de volume. L'examen de l'historique montre que si je suis bien l'auteur de cette importation ma participation, quantitativement importante au niveau de la fréquence (25% paraît-il), reste très faible en octets et ne concerne surtout que des mises en forme mineures et des déplacements de paragraphes. Le drame qui vient de se produire trouve son origine dans une erreur humaine. Sachant pertinemment qu'il n'était plus éligible avant longtemps sur Wikipédia, j'ai demandé à un collègue, compte tenu de l'enrichissement qu'a connu cet article depuis {{Unité|2|ans}} sur Wikiversité, de le reporter sur Wikimonde … et il s'est trompé de destination, le réimportant sur Wikipédia où cette incongruité a bien sur provoqué un tsunami. Réputé comme un gêneur pour m'insurger chaque fois qu'une contribution véritablement scientifique se trouve rejetée par un vote collectif l'ensemble de l'affaire - donc essentiellement et paradoxalement ce qui se passe uniquement sur Wikiversité, le silence ayant été total depuis 2014 sur Wikipdia - m'a été attribuée dans des formes véritablement diffamatoires pour aboutir à ma mise hors-jeu sur Wikipédia. Ex-universitaire moi-même (et bien qu'il ne s'agisse pas là de mon domaine de compétence), je fais pleinement confiance à Wikiversité pour apprécier la pertinence d'un tel sujet - même encore en chantier - dans les colonnes de la recherche en histoire. Cordialement

== Nouvelle prise de décision en cours  ==

Bonjour,

Une nouvelle [[Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Collaboration juive sous le nazisme|prise de décision communautaire au sujet de la suppression d'une page de recherche est en cours]]. Soyez les bienvenus pour apporter vos commentaires et vos avis. Une belle fin de journée à tous. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 26 octobre 2016 à 21:42 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=607578 --&gt;

== Russe/conjugaison ==

Bonjour JackPotte,

Merci beaucoup pour votre coup de balais concernant Russe/Grammaire/Conjugaison, c'est définitivement une bonne chose de faite, et je vous en suis très reconnaissant. 

J'ai encore néanmoins une question : existe-t-il un outil efficace pour renommer toutes les pages du cours [[Russe/Conjuguer les verbes]] que j’ai créé, pour qu'elles adoptent le format  Russe/Grammaire/Conjugaison ? Je crois que ce procédé est nécessaire pour réintégrer le cours Russe/Conjuguer les verbes au cursus plus général Russe/Grammaire. Je connais mal les outils à disposition des administrateurs, mais je sais que si c'est moi m'occupe de toutes les renommer, la page originale est systématiquement transformée en page de redirection, ce qui force les administrateurs à nettoyer ces résidus inutiles.

Pour résumer :
*Y a-t-il un outil administratif pour renommer très rapidement des pages ? Pourriez-vous l'utiliser sur les pages Russe/Conjuguer les verbes/... pour en faire des Russe/Grammaire/Conjugaison/... ?
*Sinon, comment pourrais-je renommer des pages sans créer de redirection résiduelle (afin que je m'en occupe moi-même) ?

Merci {{sourire}} [[Utilisateur:AristA|AristA]] ([[Discussion utilisateur:AristA|discussion]]) 30 octobre 2016 à 21:49 (UTC)
:Les administrateurs n'ont pas plus d'outil de renommage, donc tout le monde est invité à la faire. Les redirections sont accessoires et pourrons être supprimées par bot en temps voulu. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 30 octobre 2016 à 22:28 (UTC)
::Très bien, merci pour ces renseignements bienvenus. [[Utilisateur:AristA|AristA]] ([[Discussion utilisateur:AristA|discussion]]) 30 octobre 2016 à 22:38 (UTC)

== Département Sanskrit  ==

Salut, je ne comprends pas la suppression du département Sanskrit. La page [[Projet:Wikiversité/Validation des nouvelles pages]] n'inclut pas les départements. Il me semble que certains départements, même vide, ont intérêt à rester si leur existence se justifie. Il est tout à fait possible qu'un jour un contributeur veuille faire une leçon de sanskrit. Il me semble que la probabilité qu'il la fasse sur la Wikiversité est d'autant plus grande qu'un département est près pour l'accueillir. Amputer la Wikiversité de certains départements dont l’existence se justifie pleinement ne me paraît pas souhaitable. — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 11 novembre 2016 à 18:43 (UTC)
:Elle n'exclut pas non plus les départements, donc si tu estimes que ce cas est injuste n'hésite pas à le restaurer. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 11 novembre 2016 à 23:14 (UTC)
:: Elle cite explicitement [[Projet:Wikiversité/Validation des nouvelles pages#Ébauches à l'abandon|les leçons et les travaux de recherche]], ce qui, me semble-t-il, exclu tout ce qui n'est pas une leçon ou un travail de recherche. Voir aussi ma discussion en cours sur [[Discussion Projet:Laboratoire/Espaces de noms/Département/Impact des départements vides]]. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 12 novembre 2016 à 09:23 (UTC)

== Nouvelle prise de décision  ==

Bonjour,

Une nouvelle prise de décision est organisée sur le recyclage de cinq facultés en département. Vous êtes invités à en discuter et voter sur le [[Projet:Wikiversité/Recyclage de cinq facultés en département]]. Cordialement.
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=614606 --&gt;

== Danois/Leçons par thèmes  ==

Bonjour,

Je me demande seulement pourquoi avoir supprimé la page que j'avais créée ([[Département:Danois/Leçons par thèmes]]). Il n’y avait que des titres, mais ce n’était qu’un début des ajouts allaient arriver, et d’autres auraient pu contribuer.

Merci
:{{ping|Salutlolo}} au moment où j'ai lu la page elle était blanchie, mais avant que j’ai pu appuyer sur le bouton de suppression vous aviez remis des titres. Je l’ai donc restaurée. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 27 novembre 2016 à 12:37 (UTC)

== Modèle {{Abréviation|MOOC|massive open online course|en}} wikiversité sur les devices mobiles  ==

Bonjour JackPotte,
Tout d'abord je tenais à vous remercier ainsi que l'équipe accessibilité d'avoir apporter les modification pour la version mobile sur le modèle MOOC.
Pour l'instant j'ai remarqué 2 bugs, si jamais vous aviez le temps de vous y pencher.
1) Dans les Quizz ex : https://fr.m.wikiversity.org/wiki/Comprendre_l_accessibilite_numerique-Que_sont_les_aides_techniques#firstHeading
Dans la version mobile les réponses apparaissent en même temps que les questions
2) Sur Iphone ou sur Ipad les vidéos ne se lancent pas par contre sur Android nicquel
Avec tous mes remerciements
Marithe17
: Pour les quiz sur mobile, [[MW:Extension_talk:Quiz#Please_add_a_compatibility_with_the_mobile_version|j'ai demandé à leurs développeurs]].
: Pour les appareils Apple, je pense qu'il faut leur suggérer l'installation d'un bon lecteur de .ogg. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 5 décembre 2016 à 21:09 (UTC)

== Proposition ==

Voici ma '''[[Discussion:Solide_de_Platon#Perspective|proposition]]'''. &amp;nbsp; [[Spécial:Contributions/109.6.129.249|109.6.129.249]] 20 décembre 2016 à 16:43 (UTC)</text>
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    <title>Réseau Local/Sécurité matériel</title>
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  | idfaculté = informatique
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  | suivant   = [[../Sécurité logiciel/]]
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}}
'''Pour protéger un réseau local il existe des solutions matérielles telles que citées ci-dessous :'''
* [[Firewall et proxy/Firewall|Firewall (pare-feu)]]
* Les systèmes [[w:RAID_(informatique)|RAID]]
* [[w:Onduleur|Onduleur]]

'''D'autres solutions existent, notamment en termes d'architecture comme :'''
* Zone démilitarisée (ou [[w:Zone_démilitarisée_(informatique)|DMZ]])
* La [[w:Peinture_anti-Wi-Fi|peinture Anti-wifi]]

== Firewall ==

=== Définition ===

Un [[Firewall et proxy|Firewall]] (appelé aussi PareFeu ou garde-barrière ), est un moyen matériel (ou logiciel en couche basse) permettant de protéger un ordinateur ou un réseau d'ordinateurs des intrusions provenant d'un réseau tiers (notamment internet). Le pare-feu permet de filtrer les paquets de données échangés avec le réseau.

=== Le principe  ===

Un système pare-feu contient un ensemble de règles prédéfinies qui permettent :
* D'autoriser la connexion (ALLOW)
* De bloquer la connexion (DENY)
* De rejeter la demande de connexion sans avertir l'émetteur (DROP)

L'ensemble de ces règles permet de mettre en œuvre une méthode de filtrage et d'autoriser uniquement les communications ayant été explicitement autorisées

=== Le Filtrage  ===


==== Le filtrage simple de paquets  ====

Un système Firewall fonctionne sur le principe du filtrage simple de paquets (en anglais « stateless packet filtering »). Il analyse les en-têtes de chaque paquet de données (datagramme) échangé entre une machine du réseau interne et une machine extérieure.

==== Le filtrage dynamique  ====

Le filtrage simple de paquets s'attache à examiner les paquets IP indépendamment les uns des autres, ce qui correspond au niveau 3 du modèle OSI. La plupart des connexions reposent sur le protocole TCP, qui gère la notion de session, afin d'assurer le bon déroulement des échanges. Ainsi de nombreux services (le FTP par exemple) initient une connexion sur un port statique, mais ouvrent dynamiquement (c'est-à-dire de manière aléatoire) un port afin d’établir une session entre la machine faisant office de serveur et la machine du client. 

==== Le filtrage applicatif  ====

Le filtrage applicatif permet de filtrer les communications application par application. Le filtrage applicatif opère donc au niveau 7 (couche application) du modèle OSI. Le filtrage applicatif suppose donc une connaissance des protocoles utilisés par chaque application.

=== Notion de pare-feu personnel  ===

Un firewall personnel permet de contrôler l'accès au réseau des applications installées sur la machine, et notamment empêcher les attaques, c'est-à-dire des programmes nuisibles ouvrant une brèche dans le système . Le firewall personnel permet en effet de repérer et d'empêcher l'ouverture non sollicitée de la part d’applications non autorisées à se connecter. 

=== Les limites des firewalls  ===

Un système pare-feu n'offre bien évidemment pas une sécurité absolue. Les firewalls n'offrent une protection que dans la mesure où l’ensemble des communications vers l'extérieur passe systématiquement par leur intermédiaire et qu’ils sont correctement configurés. Les accès au réseau extérieur par contournement du firewall sont autant de failles de sécurité. Notamment dans le cas des connexions effectuées à partir du réseau interne à l'aide d'un modem ou de tout moyen de connexion échappant au contrôle du pare-feu. 

De la même manière, l’introduction de supports de stockage provenant de l'extérieur sur des machines internes au réseau ou bien d'ordinateurs portables peut porter fortement préjudice à la politique de sécurité globale. 

Enfin, afin de garantir un niveau de protection maximal, il est nécessaire d'administrer le pare-feu et notamment de surveiller son journal d'activité afin d’être en mesure de détecter les tentatives d'intrusion et les anomalies. Par ailleurs, il est recommandé d'effectuer une veille de sécurité (en s'abonnant aux alertes de sécurité des CERT par exemple) afin de modifier le paramétrage de son dispositif en fonction de la publication des alertes.

== Les systèmes RAID  ==

=== Définition ===

Le RAID est un ensemble de techniques de virtualisation du stockage permettant de répartir des données sur plusieurs disques durs afin d'améliorer soit les performances, soit la sécurité ou la tolérance aux pannes de l’ensemble du ou des systèmes. RAID est l'acronyme de '''Redundant Array of Inexpensive Disks''' (parfois Redundant Array of Independent Disks), à traduire par '''Ensemble redondant de disques indépendants'''. 

=== Les différents types de RAID  ===

==== Le RAID logiciel  ====

En RAID logiciel, le contrôle du RAID est intégralement assuré par une couche logicielle du système d'exploitation. Cette couche s'intercale entre la couche d'abstraction matérielle (pilote) et la couche du système de fichiers.

==== Le RAID pseudo-matériel  ====

L'extrême majorité des contrôleurs RAID bon marché intégrés à de nombreuses cartes mères récentes gèrent souvent le RAID 0 et 1. Malgré le discours marketing qui tend systématiquement à induire en erreur sur ce point, il ne s'agit que d'un contrôleur de disque doté de quelques fonctions avancées.

==== Le RAID matériel  ====

Dans le cas du RAID matériel, une carte ou un composant est dédié à la gestion des opérations. Le contrôleur RAID peut être interne à l'unité centrale (carte d'extension) ou déporté dans une baie de stockage.

Un contrôleur raid est en général doté d'un processeur spécifique, de mémoire, éventuellement d'une batterie de secours, et est capable de gérer tous les aspects du système de stockage RAID grâce à son FIRMWARE (programme électronique de base).

Du point de vue du système d'exploitation, le contrôleur RAID matériel offre une virtualisation complète du système de stockage. Le système d'exploitation considère chaque volume RAID comme un disque et n'a pas connaissance de ses constituants physiques.

=== Les différents niveaux de RAID  ===

==== Les niveaux standard  ====

===== RAID 0  =====

[[Fichier:RAID 0.svg|thumb|80px|RAID 0]]
Le RAID 0, est une configuration RAID permettant d'augmenter significativement les performances de la grappe en faisant travailler n disques durs en parallèle (avec n≥2).

Ce type de RAID est parfait pour des applications requérant un traitement rapide d'une grande quantité de données. Mais cette architecture n'assure en rien la sécurité des données. En effet, si l'un des disques tombe en panne, la totalité des données du RAID est perdue.


===== RAID 1  =====

[[Fichier:RAID 1.png|thumb|80px|RAID 1]]
Le RAID 1 consiste en l’utilisation de n disques redondants (avec n\ge2), chaque disque de la grappe contenant à tout moment exactement les mêmes données, d'où l’utilisation du mot « miroir » (MIRRORING en anglais). 

Lors de la défaillance de l'un des disques, le contrôleur RAID désactive (de manière transparente pour l'accès aux données) le disque incriminé. Une fois le disque défectueux remplacé, le contrôleur RAID reconstitue, soit automatiquement, soit sur intervention manuelle, le miroir.


===== RAID 5  =====

[[Fichier:RAID 5.png|thumb|160px|RAID 5]]
Le RAID 5 (RAID 7 et RAID 12 ) combine la méthode du volume agrégé par bandes (STRIPING) à une parité répartie. Il s'agit là d'un ensemble à redondance N+1. La parité, qui est incluse avec chaque écriture se retrouve répartie circulairement sur les différents disques. Chaque bande est donc constituée de N blocs de données et d'un bloc de parité. Ainsi, en cas de défaillance de l'un des disques de la grappe, pour chaque bande il manquera soit un bloc de données soit le bloc de parité. Si c’est le bloc de parité, ce n’est pas grave, car aucune donnée ne manque. Si c’est un bloc de données, on peut calculer son contenu à partir des N-1 autres blocs de données et du bloc de parité. L'intégrité des données de chaque bande est préservée. Donc non seulement la grappe est toujours en état de fonctionner, mais il est de plus possible de reconstruire le disque une fois échangé à partir des données et des informations de parité contenues sur les autres disques.


==== Les niveaux de RAID peu courants  ====
* Le RAID 2 est aujourd’hui obsolète. Il combine la méthode du RAID 0 (volume agrégé par bande, striping en anglais) à l'écriture d'un code de contrôle d'erreur par code de Hamming (code ECC) sur un disque dur distinct or l'écriture de ce code de contrôle est désormais directement intégrée dans les contrôleurs de disques durs. Cette technologie offre un bon niveau de sécurité, mais de moins bonnes performances.
* Le RAID3 et le RAID4 sont sensiblement semblables sauf que le premier travaille par octets et le second par blocs. Le RAID4 ne nécessite pas autant de synchronisme entre les disques. Le RAID3 tend donc à disparaître au profit du RAID4 qui offre des performances nettement supérieures.
* Le RAID 6 est une évolution du RAID 5 qui accroît la sécurité en utilisant n informations redondantes au lieu d'une. Il peut donc résister à la défaillance de n disques. Les fondements mathématiques utilisés pour les informations de redondance du RAID 6 sont beaucoup plus complexes que pour le RAID 5 ; les implémentations de l'algorithme se limitent souvent à n=2 (soit la perte de 2 disques) de ce fait.
* Un système de stockage grevé de brevets appelé RAIDn11 prétend permettre de dépasser largement les capacités du RAID 6.
* RAID DP (Dual Parity) ressemble au RAID6 à ceci près qu'en RAID DP les disques de parité sont fixes. Ce type de RAID est adopté en général sur les serveurs de stockage NAS. La société NetApp utilise cette technologie.

== L'onduleur ==

Un onduleur (UPS en anglais, pour Uninterruptible Power Supply) est un dispositif permettant de protéger des matériels électroniques notamment des serveurs contre les aléas électriques. Il s'agit ainsi d'un boîtier placé en interface entre le réseau électrique (branché sur le secteur) et les matériels à protéger.

Un onduleur gère principalement :
* Les micro-coupures de courant de quelques millièmes de seconde pouvant se traduire par le redémarrage de l'ordinateur.
* Coupure électrique, correspondant à une rupture en alimentation électrique pendant un temps déterminé (généralement très court compte tenu de l'autonomie).
* Surtension, c'est-à-dire une valeur nominale supérieure à la valeur maximale prévue pour le fonctionnement normal des appareils électriques.
* Sous-tension, c'est-à-dire une valeur nominale inférieure à la valeur maximale prévue pour le fonctionnement normal des appareils électriques.
* Pics de tension. Il s'agit de surtensions instantanées (pendant un temps très court) et de forte amplitude. Ces pics, dus à l'arrêt ou la mise en route d'appareils de forte puissance, peuvent à terme endommager les composants électriques.
* Foudre, représentant une surtension très importante intervenant brusquement lors d'intempéries (orages).

Pour résumé, l'onduleur permet de prendre le relais au niveau électrique lorsque des pannes surviennent pendant un laps de temps relativement court, mais qui permet à l'administrateur de sauvegarder puis d'éteindre proprement le ou les appareils.

== Zone démilitarisée  ==

[[Fichier:Demilitarized Zone Diagram.png|thumb|Illustration d'une zone démilitarisée ou DMZ]]
Une zone démilitarisée (ou DMZ, de l'anglais DeMilitarized Zone) est un sous-réseau séparé du réseau local et isolé de celui-ci et d'Internet par un fire-wall. Ce sous-réseau contient les machines étant susceptibles d’être accédées depuis Internet.

Le fire-wall bloquera les accès au réseau local pour garantir sa sécurité. Et les services susceptibles d’être accédés depuis Internet seront situés en DMZ. 

En cas de compromission d'un des services dans la DMZ, le pirate n'aura accès qu'aux machines de la DMZ et non au réseau local.

Le nom provient à l'origine de la zone coréenne démilitarisée.

Dans une architecture DMZ avec un pare-feu à trois interfaces, l'inconvénient est que si cet unique pare-feu est compromis, plus rien n'est contrôlé. Il est cependant possible d’utiliser deux pare-feu en cascade afin d'éliminer ce risque. Il existe aussi des architectures de DMZ où celle-ci est située entre le réseau Internet et le réseau local, séparée de chacun de ces réseaux par un pare-feu.

== La peinture Anti-wifi  ==

Une peinture anti-WiFi est une peinture à base d'oxydes d'aluminium et de fer, utilisée pour absorber et bloquer les fréquences WiFi. Les peintures anti-WiFi peuvent bloquer des fréquences supérieures à {{unité|100|GHz}} et même {{unité|200|GHz}}. Les particules d'aluminium et de fer sont magnétiques et résonnent aux fréquences WiFi et aux ondes radio. Actuellement, cette peinture est utilisée dans la majeure partie des cas pour prévenir la captation des données par des tiers. Elle peut aussi être utilisée :
* dans les hôpitaux pour protéger les salles sensibles aux perturbations
* dans les universités pour isoler les salles d'examen
* ...

{{Bas de page
  | idfaculté = informatique
  | précédent = [[../Présentation/]]
  | suivant   = [[../Sécurité logiciel/]]
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    <title>Réseau Local/Quiz/Sécurité d'un réseau local</title>
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  | précédent = [[../../|Sommaire]]
}}

&lt;quiz&gt;
{ Quel est le type de RAID offrant le meilleur rapport sécurité/coût :
| type=&quot;()&quot; }
- RAID 0
- RAID 1
+ RAID 5
- RAID 6

{ Quel est le type de RAID offrant la meilleure vitesse d'écriture :
| type=&quot;()&quot; }
+ RAID 0
- RAID 1
- RAID 5
- RAID 6

{ Quel est le rôle principal d'un pare-feu :
| type=&quot;()&quot; }
+ Filtrer les données circulant sur le réseau
- Crypter les données circulant sur le réseau
- Sauvegarder les données circulant sur le réseau
- Mélanger les données circulant sur le réseau

{ Sélectionner les différents types de filtrage utilisés par un pare-feu :
| type=&quot;[]&quot; }
+ Le filtrage de paquets
+ Le filtrage dynamique
- Le filtrage participatif
+ Le filtrage applicatif

{ Cocher les affirmations suivantes suivant qu’elles soient vrais ou fausses:
| type=&quot;()&quot; }
| VRAI | FAUX 
-+ Un onduleur peut prendre le relais lors d'une panne électrique pendant plusieurs heures
-+ L'acronyme RAID signifie : Redundant Application of Independent Data
-+ Un firewall effectue les mêmes contrôles qu'un antivirus
+- La présence d'un pare-feu n’est pas suffisante à une bonne sécurité

{ Avec combien de disques un RAID 5 peut-il être mis en place : 
| type=&quot;[]&quot; }
- 2
+ 3 
+ 4 
+ 5


{ Sélectionner les différentes fonctions d'un anti-virus :
| type=&quot;[]&quot; }
+ Analyser les fichiers entrants
+ Analyser la mémoire vive de l'ordinateur
+ Analyser les périphériques de stockage
+ Analyser les cartes à mémoire Flash

{ Que signifie l'acronyme NAT :
| type=&quot;()&quot; }
- Network Application Translator 
- News Antivirus Translator
+ Network Address Translation
- Notification Avertissment Trafic

{ Écrire en majuscules l'acronyme correspondant à la phrase : 
| type=&quot;{}&quot; }
'''Exemple :''' ''Protocole de transfert de fichier :'' ''''''FTP''''''
La translation d'adresse réseau : { NAT|Nat|nat } 
Une zone isolé pour protéger un sous-réseau : { DMZ|Dmz|dmz } 
Une technique repartissant des données sur plusieurs disques durs : { RAID|Raid|raid } 

{ Pour quelles raisons mettre une peinture anti-wifi :
| type=&quot;[]&quot; }
+ Pour absorber et bloquer les fréquences wifi
- Pour que la peinture flotte sur les supports
+ Pour prévenir la captation des données
- Pour interdire l'accès au Wii Fit
&lt;/quiz&gt;

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    <title>Discussion:Introduction au Lua</title>
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{{Traduit de|en|Lua|8 janvier 2016|7320}}


Cette publication est une traduction du document [[v:en:Lua| Lua]] sur la wikiversité anglaise.
Par sa sobriété en termes de &quot;mise en forme wiki&quot; ce document est rendu facile à traduire.
Par respect pour l'auteur et le traducteur nous insistons sur la nécessité de conserver la présentation et la mise en forme de l'auteur.
Merci de ne pas imposer l'utilisation d'autres modèles où conventions exotiques. Nous utilisons le modèle {{m|nobots}} pour protéger le documents de certains robots de la Wikiversité française. Ainsi nous pourrons faire évoluer ce document conformément aux souhait de ses auteurs et traducteurs.
 
Nous nous efforçons à traduire les pages dans un premier temps, laissant trois points ... comme signet sur les paragraphes à améliorer. --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 8 janvier 2016 à 12:59 (UTC)
: [[user:Lydie Noria]] n’a pas tenu compte des observations ci-dessus, je m’oppose aux modifications effectuées par cet utilisateur. [[user:Lydie Noria]] vous ne respectez pas la liberté des auteurs, vous sous approprié leur travail en y imposant vos modèle et en imposant votre façon de les utiliser. Votre attitude général sur le projet Wiki est scandaleuse. Je réclame que soit révoquée toutes vos modifications sur toute les pages de ce document. [[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 9 mai 2016 à 11:37 (UTC)
::Mon point de vue est celui-ci. Je préfère comme [[Utilisateur:Youni Verciti|Youni]] la présentation sobre de la page traduite de la wikiversité anglaise et je suis d'accord en même temps que [[user:Lydie Noria|Lydie]] applique sur cette page de wikiversité francophone les modèles utilisés dans le autres leçons dans le cadre d'une opération de maintenance veillant à garantir un certaine homogénéité et donc une simplification d'usage et de compréhension pour ses utilisateurs de notre projet. Pour sortir de ce dilemme, ma solution serait de travailler ensemble pour l'amélioration du travail préalablement établit par Lydie dans le but de le rendre plus esthétique, plus sobre, voir plus fonctionnel. Autrement dit, modifions les modèles qui ne sont au niveau de leur forme soumis à aucune convention au sein de notre projet plutôt que d'entamer des échanges conflictuels sur les page discussion tel que celle-ci. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 9 mai 2016 à 20:28 (UTC)
== Notes du traducteur  ==
Cette page est sujette à un conflit de version qui l’oppose à la version initiée à partir du 7 mai 2016.
Initialement [[Informatique/programmation/Lua]] transformé en [[/Introduction au Lua/Présentation de la leçon]] ; le document original sera donc récupéré sous la forme [[Projet:Laboratoire/Lua]].

Le traducteur ayant besoin de la première version pour étudier, tente une scission de version.
Il attire l’attention sur l’absence d’aide sur le sujet dans la Wikiversité, l’absence d’assistance.

Le traducteur considère que le document doit conserver sa mise en forme originale alors que la partie opposée prétend appliquer d'autres modèles ; récusant à l’éditeur sa liberté de choix en matière de mise en forme.

Le traducteur observe que la documentation ne fait pas apparaitre clairement l’obligation d’utiliser les modèles en question dans l’espace principal de la  Wikiversité.

Dans cette situation le traducteur doit retrouver seul, le fil de sa version en suivant les journaux systèmes pour comprendre et défaire les modifications successives faites depuis le 7 mai.

Devra-t-il également reconstituer manuellement la version qui provoqua le conflit d’édition?
--[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 16 mai 2016 à 14:49 (UTC)

== Selon les principes de la GFDL  ==
 Ce document est la traduction originale du travail de [[en:v:User:Dave Brauschweig]] en anglais [[en:v:Lua]].
 Nous souhaitons conserver l’historique de cette version ;qui est historiquement et chronologiquement la première.
 Nous estimons qu'en cas de conflit, l’auteur des modifications conflictuelles où bien l’administration du service devrait restituer à l’auteur sa version originale.
 Nous déplorons la perte de temps engendrée par de telles attitudes. [[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 16 mai 2016 à 14:09 (UTC)

== Fusion ==

Je me décide à découvrir le langage de programmation Lua pour voir s'il pourrait m'être utile dans le cadre de ma [[Recherche:La_révolution_numérique_vécue_par_le_Sud|thèse de doctorat]]. Mes premier pas me font découvrir qu'il existe une autre leçons similaire sur le sujet intitulé [[Initiation au Lua avec Scribunto]]. Ne serait-il pas utile de les fusionner pour concentrer le meilleur de chacune et simplifier la vie des apprenants ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]], [[w:dyslexie|dyslexie]] et [[wikt:distraction|&quot;dys&quot;traction]].&lt;/sub&gt; 10 janvier 2018 à 09:05 (UTC)</text>
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    <title>Discussion Recherche:Questions de démocratie et de responsabilité sociale au sein de Wikipédia</title>
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      <text bytes="8029" sha1="bi3mpoqyj4brjn14ug5tui6xdnfadma" xml:space="preserve">== Question sur une expression ==

&quot;Dans une main... dans l'autre main&quot;

Est-ce que ça veut dire :

&quot;D'une part... d’autre part&quot; ?

--[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 17 janvier 2016 à 17:29 (UTC)

:Oui merci, {{fait}} [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 17 janvier 2016 à 20:13 (UTC)

== Excès de zèle  ==

Lionel, si jamais dans le feu de l'action, je trahis ta pensée, n'hésite pas à me le dire...

Comme on dit en italien : « Traduttore, tradittore »... {{sourire}}

--[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 17 janvier 2016 à 18:54 (UTC)

:Ne t'inquiète pas un wiki est conçu pour faire ce que nous sommes en train de faire. S'il y a trahison il n'y aura pas condamnation, je te le promet {{clin}} [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 17 janvier 2016 à 20:14 (UTC)

== Phrase obscure  ==

Dans la partie &quot;Wikipédia et les questions de responsabilités sociales&quot;, il y a cette phrase :

« Ces résultats soulignent finalement à une information magnétisme qui est coulé par des noyaux économiques du monde, cycles vertueux et vicieux qui font qu’il est difficile de reconfigurer les réseaux et les hiérarchies de production de la connaissance. »

???

--[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 17 janvier 2016 à 19:00 (UTC)

:Ben oui, en anglais aussi il ont parfois des tournures à coucher dehors, du coup un traducteur automatique fait n’importe quoi et un traducteur tout court fait ce qu’il peut... {{fait}} [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 17 janvier 2016 à 20:16 (UTC)

== Conflit d'édition...  ==

Zut, on est en conflit d'édition [[utilisateur:Thierry613|Thierry613]]...
Je vais attendre que tu ai fini pour comparer ton texte et le mien et faire les modifications nécessaire. Tu n'auras qu’à me laisser une notification. Un tout grand merci en tout cas pour ton aide ! [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 17 janvier 2016 à 20:11 (UTC)

:oups... De mon côté, j’ai fini pour ce soir. --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 17 janvier 2016 à 20:45 (UTC)

== Un tout grand merci !  ==

C'est vraiment super [[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] d’avoir consacré autant de temps sur ce texte, j’espère avoir l’occasion un jour de te renvoyer l’ascendeur. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 19 janvier 2016 à 09:27 (UTC)
:Ya pas de quoi. C'est très volontiers. Et j’espère que cette recherche sera fructueuse. (De toutes façons, je garde un œil dessus parce que le sujet m'intéresse. {{sourire}}) --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 19 janvier 2016 à 09:50 (UTC)

== Divergeant ou Divergent ?  ==

Pour &quot;divergeants&quot;, j’ai trouvé une source :

http://www.dicoz.fr/divergeant-ou-divergent/

mais je sais pas si c’est fiable. Si c’est le cas, il faudrait plutôt mettre &quot;divergents&quot;, mais à vérifier quand même... --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 1 février 2016 à 15:03 (UTC)
:Ho la la tu sais avec ma dysorthographie se pose à mon niveau des questions beaucoup plus basique que celle-ci. Sens-toi libre d’améliorer l’orthographe du texte comme bon te semble. Et encore merci pour ton aide. D'ailleurs, je devrais te remercier une fois pour toutes. Vu le nombre de corrections que tu apportes à mes articles cela va devenir rapidement redondant. Donc merci encore et une fois pour toutes {{sourire}}. Quelqu'un a dit je crois « pas de merci entre amis » Soyons donc des amis {{clin}}. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 1 février 2016 à 15:25 (UTC)
::OK. Sinon, on ne s'en sort plus. {{sourire}} Mais je te demandais quand même pour ce mot-là car tu restes quand même le maître d'ouvrage ou d'œuvre de tes textes. Donc, si une de mes corrections ne te convient, n'hésite pas à l'annuler. Bon courage pour tes travaux (pour l'impression). --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 1 février 2016 à 16:39 (UTC)

== Discussion avec [[Utilisateur:Cedalyon|Cedalyon]]  ==

=== emploi du terme oligarchie  ===
(discussion déplacée sur la page 
Alors je ne suis pas du tout d'accord lorsque tu dis &quot;Le mot est fort, mais la définition est juste &quot;. Non, personne n'utilise ce terme pour parler du groupe d'admins et des anciens, pour la bonne raison que la définition n’est pas juste. Le principe même de l'oligarchie est que les hommes qui en font partie sont là pour profiter d'un système politique, et pas œuvrer de manière altruiste pour lui. Il y a un contresens très fort. Au quotidien, les admins et les anciens font 99.99% d'actions positives et n’en retirent aucun profit. Employer un mot très négatif pour les décrire et décrire leur action est malhonnête. Et dire qu'on le fait par confort, c'est éthiquement injustifiable. Toi qui semble te soucier d'éthique, il faudrait peut être commencer par employer une argumentation honnête de ce point de vue. 

Sans compter qu'employer injustement un mot connoté pour parler d'un groupe est procédé réthorique, et non un procédé scientifique. Si tu souhaites construire un discours argumenté, il faut employé des mots qui ne trompent pas les lecteurs. Moi qui suit un ancien (enfin, huit ans d'édition, c'est pas loin de ça), qui m'implique régulièrement dans les actions dans et hors wikipédia (éditathon, animation du groupe local, ouverture du site aux non-contributeurs), me voir relégué au rang d'oligarque profiteur, je trouve d'autant plus blessant que je ne vois diable pas en quoi j'ai profité du système. Donc merci par honnêteté intellectuelle de reconsidérer ce point. [[Utilisateur:Cedalyon|Cedalyon]] ([[Discussion utilisateur:Cedalyon|discussion]]) 21 juin 2016 à 07:16 (UTC)

:Ma définition de l'oligarchie est celle-ci :  « Système politique dans lequel le pouvoir appartient à un petit nombre d'individus ou de familles, à une classe sociale restreinte et privilégiée. » (http://www.cnrtl.fr/lexicographie/oligarchie) et j'utilise le terme dans le contexte d'une dérive au sein des communauté Wikipédia et non d'un fait établi. C'est ce que je tente de démontrer dans le texte lié à cette page que je t'invite à lire avant de poursuivre notre discussion.
:Je suis d'autre part désolé que tu prennes mes travaux d'éthique pour des attaques personnels. Sache que je suis aussi très actif dans le mouvement et que je suis aussi administrateur. Là n'est pas la question. Nous devrions donc poursuivre nos discussion sans parler ni de toi, ni de moi, mais en reprenant avec citation les parties de mes textes qui te prose problèmes pour ensuite justifier par une argumentation la raison de ce problème. Et encore merci pour tout le temps que tu consacres à la relecture de mes écrits. Soi le bienvenu [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 21 juin 2016 à 09:11 (UTC)</text>
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    <title>Discussion utilisateur:Stephane8888</title>
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Et merci pour les corrections orthographiques, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 20 janvier 2016 à 12:24 (UTC)</text>
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    <title>Discussion utilisateur:Lydie Noria/Archives2016</title>
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      <text bytes="74368" sha1="5qrgl8dwv228szdi39m8oqcp8k0ptif" xml:space="preserve">{{Début des onglets
|Onglet-1='''Lydie Noria'''
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{{Titre projet
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}}
{{fin cadre}}


Vous pouvez mettre vos messages ci-dessous.


== Renommage documents  ==

C'est très embarrassant ce que vous faites Lydia ; vous déplacez et renommez inopinément un document sur lequel je suis en train de travailler en ce moment même. Cette publication à l’état d'ébauche deviendra une leçon sur le thèmes suivants Pédagogie, Internet, Wiki. Je juge opportun de laisser l'ébauche à son emplacement initiale. Les noms et titres de la page, ne sont pas définitifs. Je vous remercie pour votre compréhension. Amicalement. --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 22 janvier 2016 à 13:41 (UTC)

== Nouvelles ?  ==

Coucou Lydie ! Comment tu vas ? Est-ce que tu n'as pas trop &quot;souffert&quot; de tes soucis d'ordinateur ? Donne-nous un peu des nouvelles...

--[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 23 janvier 2016 à 12:21 (UTC)

: Salut. Effectivement, J’ai acheté un premier ordinateur que j’ai retourné parce-qu’il avait un problème. Je suis passé de Windows 7 à Windows 10. Je commence à m'habituer à l’utiliser. Je demande à Cortana de me raconter une blague de temps en temps. Je n'ai pas encore tout réinstallé mais le principal est en place. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 23 janvier 2016 à 12:35 (UTC)
::Je te comprends. Il faut toujours un peu de temps pour reprendre ses marques. Bonne continuation. {{sourire}} --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 23 janvier 2016 à 12:39 (UTC)

Salut Je suis neauf ici et je cherché quelque idée [[Utilisateur:Tebbakh Nabil|Tebbakh Nabil]] ([[Discussion utilisateur:Tebbakh Nabil|discussion]]) 18 février 2016 à 10:19 (UTC)

== Maintenance des productions des étudiants de Lille 1  ==

Bonjour Lydie,

Je relève dans ma liste de suivi des modifications de ta part sur les travaux des étudiants (exemple numérotation de ''chapitre'').
Je te remercie tout d’abord de ton implication.
Pour que tu ne dépense pas d'énergie inutilement (surtout que je te solliciterai pour ton expérience sous peu), je propose plutôt que nous discutions des possibilités de fusions de leurs travaux.
Comme indiqué dans la page de ce
[[Recherche:Atelier-Projet_«_Analyse_de_soutenabilité,_évaluations_environnementales_»_à_Lille_1#Travaux_à_venir_.282015-2016.29 | projet de recherche et d'enseignement]], tous les travaux ne seront pas conservés en propre.
Par contre, il me plairait de prendre les ''édits'' pertinents pour les rassembler sous une seule page.

J'attends le retour de l'administration de Lille 1 pour la conservation des travaux ayant servis à la notation des étudiants.
S'il doit y avoir conservation et que le délai indiqué est trop long je ferai une copie de leurs travaux avant les fusions.

--[[Utilisateur:RP87|RP87]] ([[Discussion utilisateur:RP87|discussion]]) 27 janvier 2016 à 12:16 (UTC)
: {{Notif|RP87}} Bonjour, La [[Recherche:Bilan Carbone]] me parait wikiversitairement convenable, il faudrait toutefois remplir les sous-pages du sommaire pour indiquer les prérequis et les objectifs. Pour les recherches de type ACV, il serait effectivement bien de fusionner le meilleur dans, par exemple, la [[Recherche:ACV : Emballage paquet de pâtes Baptiste Samia Marine]] qui est déjà formater pour contenir plusieurs pages de type chapitre ou TP et, bien sûr, renommer pour faire disparaître les noms des élèves des titres. En cas de besoin, je peux fusionner des pages avec leurs hystoriques, supprimer des pages ou renommer d'un coup une page avec toutes ses sous-pages. Cordialement. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 27 janvier 2016 à 13:53 (UTC)
::Bonjour Lydie. Je crois qu’il y a des corrections à apporter des deux côtés (ACV comme Bilan Carbone). Les étudiants après une première série de travaux non concluant on souhaité faire des travaux de binôme [[Projet:Évaluation environnementale analyse de soutenabilité/Bilan Carbone#Votre_organisation_pour_vos_productions_par_objet_du_périmètre]].
::Pour toutes les actions de fusion que tu mentionnes, je suis tout à fait d'accord après validation d'une sauvegarde longue de l'état des travaux à la fin de leur évaluation. J'aurai également après cette sauvegarde le souhait d'intégrer les contributions de l'IP 193.49.225.25 au compte de {{u|Tanguy.C}}, ainsi que la fusion des comptes de Youri : {{u|Vyouriv}} et {{u|Youri_verdy}}.
::J'aurais toutefois besoin d'assistance car j'avoue ne pas encore être à l'aise avec le fonctionnement du modèle que tu as appliqué sur [[Recherche:ACV : Emballage paquet de pâtes Baptiste Samia Marine]]. Lorsque mes étudiants en furent perturbés, je leur est d'ailleurs conseillé au regard du temps imparti de produire leur travaux de leur mieux sur une page simple. Ce qu’ils ont fait sur la partie [[Recherche:ACV_:_Emballage_paquet_de_pâtes_Baptiste_Samia_Marine/Présentation_de_l'étude | présentation]]. Le nettoyage sera donc l’occasion pour moi de m'habituer à ces modèles. En plus j’aimerai maîtriser la question pour faire des échanges TEX ↔ WIKI. --[[Utilisateur:RP87|RP87]] ([[Discussion utilisateur:RP87|discussion]]) 28 janvier 2016 à 10:44 (UTC)

J’ai eu le retour de Lille 1. Ils conservent les travaux {{Unité|5|ans}}. Ma première question est donc la suivante :

''Une version des travaux des étudiants à la date de leur correction existera-t-elle encore après les fusions et renommages des pages ?''

Autres réflexions : Y a-t-il un outil pour n'enregistrer qu'un sous-espace d'un wiki (liste de pages, avec et leurs historiques et discussions) ?

L'alternative que j'entrevoie est un script avec les commandes bash wget et sed (wget des pages de travaux. Puis sur chaque fichier de travail : wget sur les adresses comportant &quot;Fichier:&quot; pour la collecte des images.
Enfin sed en vue d'échanger l'adresse de l'image appelée dans la page de travail sous commons par l'adresse locale du fichiers téléchargés. wget n'obtient cependant pas tout de l'URL.
Le rendu serait moins propre mais le contenu serait là.
Et l'analyse de contributions seraient également manquante. Les pages de
[https://tools.wmflabs.org/xtools-articleinfo/index.php?project=fr.wikiversity.org&amp;article=Recherche:ACV_P%C3%A2tes,_COAT_-_BRETH%C3%89,_LPro_ECPI xtolls-articleinfo]
retourne du code et les pages d'historique avec des url telle :
&quot;https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Recherche:ACV_P%C3%A2tes,_COAT_-_BRETH%C3%89,_LPro_ECPI&amp;offset=&amp;limit=500&amp;action=history&quot;
retournent par wget la page principale.

Je creuse la question du [https://github.com/abiyani/automate-save-page-as save-page-as], mais le premier test n’est pas concluant pour le moment.
Il semble que la validation de l'enregistrement ne s’effectue pas car mon environnement d'ubuntu est différente (je suis bien sous 14.04). J’ai une activité dans les menues (équivalent démarrer) mais pas l'action de validation de l'enregistrement. J'observerai les commandes de nommage et d'enregistrement (vers les lignes 200). 

Pour mémoire de la commande (depuis le répertoire en présence du script save_page_as).
  /bin/bash save_page_as &quot;https://tools.wmflabs.org/xtools-articleinfo/index.php?project=fr.wikiversity.org&amp;article=Recherche:ACV_P%C3%A2tes,_COAT_-_BRETH%C3%89,_LPro_ECPI&quot; --browser &quot;firefox&quot; --destination &quot;/home/rudy/test/Recherche:ACV_Pâtes,_COAT_-_BRETHÉ,_LPro_ECPI_stat&quot;

{{notif|Crochet.david}} un avis sur la sauvegarde ?

J'attends vos conseils sur la méthode la plus appropriée pour la sauvegarde. Après quoi je pourrais commencer le nettoyage. {{sourire}}

--[[Utilisateur:RP87|RP87]] ([[Discussion utilisateur:RP87|discussion]]) 28 janvier 2016 à 10:44 (UTC)
: [[Utilisateur:RP87|RP87]] Sur la Wikiversité comme sur les autres progets Wikimédia toutes les sauvegardes des différentes versions des pages sont automatiques et sont accessible dans l’historique des pages. Il suffit de mémoriser la date et l’heure à laquelle la version a été modifié. Lorsqu'on fait une fusion de deux documents, les deux historiques sont regroupé en un seul. Si l’on fusionne une page ayant 5 versions dans son historique avec une page ayant 3 versions dans son historique, on obtiendra une page ayant 8 versions dans son historique. Par contre le texte de la version faciale doit être fusionné, rédigé à la main (voir [[Aide:Fusion]]).
: Tu peux aussi demander la fusion de deux pages sur [[Wikiversité:Pages à fusionner]] après avoir réalisé la fusion du texte sur l'une des pages.
: La réponse à la question : « Une version des travaux des étudiants à la date de leur correction existera-t-elle encore après les fusions et renommages des pages ? » est donc oui. Elle existera dans l’historique de la page fusionné.
: Sur la Wikiversité, il n'y a pas d’autre processus de sauvegarde que celui que je viens de décrire.
: Il n’est pas possible de fusionner des comptes. {{u|Vyouriv}} et {{u|Youri_verdy}} ne peuvent pas être fusionnés.
: Il n’est pas possible d'intégrer les contributions de l'IP 193.49.225.25 au compte de {{u|Tanguy.C}}. Du moins pas à ma connaissance, nous n'avons jamais fait cette opération et je ne pense pas qu'elle soit possible.
: Pour intégrer des page dans [[Recherche:ACV : Emballage paquet de pâtes Baptiste Samia Marine]], si cela pose problème, tu me dis quelles pages doivent être intégrées, si c’est un chapitre ou un TP, avec quel numéro de chapitre ou quel numéro de TP et je m'en charge.
: Pour la suite, je n'ai pas de réponse. Je ne vois pas ce que tu entends par sous-espace et ne connais pas d’outils d'enregistrement. Je ne connais pas les commandes bash wget et sed  non plus. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 28 janvier 2016 à 15:47 (UTC)
::Lorsque tu es sur une page, sur la droite, il existe un lien « Adresse permanente » qui donne le lien à vie de la page à l'instant où tu la consulte. Pour avoir la page à un instant donné, il faut allé dans l’historique. L'historique d'une page est accessible à vie, même en cas de « suppression » tant que la page n'ai pas été recréé. Il faut sous entendre le « à vie » comme « tant que les serveurs tiennent ou existent ». Les serveurs produisent aussi des fichiers de sauvegarde accessible [[dbdump:frwikiversity|ici]]. On peut fusionner deux pages, on ne peut pas fusionner 2 comptes, ni un compte et une IP. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 28 janvier 2016 à 16:33 (UTC)

{{notif|Crochet.david | Lydie Noria}} Merci pour ces éléments. Je pense donc que je garderai un simple copie pour l'université et que j'indiquerai les permaliens. Je viens de terminer la lecture intégrale du travail de recherche de {{notif|Lionel Scheepmans}}. Je comprends maintenant mieux certaines fonctions et actions. Je pense d'ailleurs que les problèmes de plagiat que j’ai mentionné aux élèves et qui furent (pour celles que j’ai vu) corrigées après coup nécessite un masquage ([[Recherche:Culture_fr.wikipedia#La_protection_par_le_masquage_d.27informations | si j’ai bien saisi ça]]). Y a-t-il une balise de masquage à poser ? Une procédure ? Je peux retrouver ceux que j’avais identifier dans les pages de discussion de leurs travaux ([[Discussion_Recherche:Bilan_Carbone/Sensibilisation_au_Bilan_Carbone | exemple 1]] ; [[Discussion_Recherche:Bilan_Carbone/Portage_du_projet_par_le_maître_d'ouvrage | exemple 2]]).

Peut-être est-il plus aisé de faire ce masquage après fusion (?). Dites-moi quoi.


Bien à vous,
--[[Utilisateur:RP87|RP87]] ([[Discussion utilisateur:RP87|discussion]]) 4 février 2016 à 09:22 (UTC)
: {{notif|RP87}} Salut, il est possible de masquer certaines versions dans l’historique. Il suffit que tu nous dises les versions qui doivent être masquées (page, date, heure) {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 4 février 2016 à 09:31 (UTC)

== Niveau Unité de valeur  ==

Bonjour Noria et merci d'ores et déjà pour votre soutien...
Je me rend compte qu’il me manque un niveau quand je m'inspire des chapitres que vous m'avez conseillé de consulter : 
C'est le niveau UV dans un certificat.
Le 1er cours que je tente de wikifier est l'UV 3 parmi 4 donc il faut que mon introduction générale de niveau Certificat prévoit les 4 UV et il faut avant les chapitres de mon 1er cours la mise en place du niveau UV.
Comment faire ?
Merci d'avance
Guy,--[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 15 février 2016 à 15:08 (UTC)
:: Bonsoir Noria, j’ai pris conscience de tout le travail en parallèle (en temps masqué pour moi !) que vous avez réalisé sur mes articles : je vous en remercie infiniment... J'espère ne pas vous avoir gâché des moments précieux dans les journées de labeur... A+, Guy,--[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 23 février 2016 à 00:02 (UTC)
:'''Résolu''', --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 22 février 2016 à 23:41 (UTC)

== Copier coller à partir d'un de mes textes en Word vers Wikiversité   ==

Bonjour Noria, Existe-t-il une procédure pour copier coller un texte personnel (sans copyright) saisi sous word dans une page WkV... Je pense notamment à des tableaux et à des schémas que j’ai moi-même confectionnés...
À bientôt, Guy,--[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 16 février 2016 à 06:11 (UTC)
:Voir aussi : https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversité:La_salle_café/février_2016#Fiche_m.C3.A9thode 
:'''Résolu ici''', Guy,--[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 22 février 2016 à 23:44 (UTC)

== Liens entre Wikiversité et Wikipédia  ==

Bonjour Noria,
Je suppose qu’il est judicieux de mettre des liens bijectifs entre par exemple l’article WikiPédia &quot;chargé de clientèle assurance &quot; et le cours que je viens de créer... + d'autres...
Avez-vous connaissance d'une fiche technique ''ad hoc'' pour présenter l'essentiel et les pièges à éviter ?
D'avance merci, Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 16 février 2016 à 08:22 (UTC)
:'''Résolu''',--[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 22 février 2016 à 23:40 (UTC)

== Visibilité des cours Wikiversité sur moteurs de recherche  ==

Bonjour Noria, J’ai peur de passer pour un cabot moi qui viens juste de déposer mon 1er cours et qui ne l'ai pas encore totalement fini.. Tant pis je me lâche : J'espère être entre amis et défenseurs de la Wikiversité : Je me suis &quot;amusé&quot; à tester la visibilité des cours déjà présents de la Wikiversité sur des moteurs de recherche généralistes : Affligeant... elle est &quot;nulle&quot; !!! ou en tout cas négligeable !... Seule sort très difficilement toute la Wikiversité et encore !!!...
Comment améliorer cette performance ? Par le référencement automatique ????...
Hypothèse : Si les moteurs de recherche ne peuvent pas scruter (= plonger dans !) les arborescences : rien ne sortira !!!... Or il semble que les portails de la Wikiversité n'ont pas tous des arborescences liées avec les cours... 
A-t-on pris conscience de ce souci ? Suis-je parano ??? Sinon à/vers qui faire remonter cette perspective ???
À +, Guy,--[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 17 février 2016 à 11:36 (UTC)
: {{notif|Guy6631}} Non , non tu n'es pas parano, le problème m'a aussi inquiétée. Mais j’ai l'impression qu'au plus, on accède à une leçon, au plus, elle remonte dans google. Si tu tapes : « équation de troisième degré » tu tombes en premier sur ma leçon [[Équation du troisième degré]] et je pense que c’est parce qu’elle a été créée, il y a {{Unité|6|ans}} et qu’il y a dessus plus de 1000 accès par trimestre sur la page de sommaire (d'où effet boule de neige). Maintenant, si tu essayes de trouver la leçon que tu viens de créer sur google, tu auras plus de mal. Essaye de taper le titre exact et d'y accéder plusieurs fois par jour dans google. J’ai tenté l'expérience avec une autre leçon et cela l'a fait remonté dans le classement google. Peut-être que la formulation du titre joue un rôle, il faut bien choisir le titre de façon à ce qu’il renferme les mots clé que les gens sont le plus susceptible de taper en cherchant ta leçon. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 17 février 2016 à 13:03 (UTC)
:: j’ai essayé Google avec : &quot;cours gratuit intégrale de lebesgue&quot; rien ; puis &quot;cours gratuit wiki intégrale de lebesgue&quot; : Rien ; puis : &quot;cours gratuit wikiver intégrale de lebesgue&quot; : elle sort en 2ème après wikipédia qui n’est pas un cours... Êtes-vous (es-tu) sûre qu’il n'y a pas une astuce plus efficace que le nombre de consultations??? 
:: et quid de Qwant le moteur français ??? rien sur &quot;cours gratuit intégrale de lebesgue&quot; et &quot;cours gratuit wiki intégrale de lebesgue&quot; elle sort en 11ème position
:: Es-tu sûre que l’on a mis très très très souvent la locution &quot;cours gratuit-s&quot; et autres &quot;leçons gratuites de [...] dans de nombreuses pages de la Wikiversité... ? Je crois que cela a aussi une importance...: Est-ce que je me trompe ??? A+, Guy,--[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 17 février 2016 à 14:11 (UTC)
::: {{notif|Guy6631}} Bais non, on ne parle jamais de cours gratuits. Pas plus que Wikipédia ne parle d’article encyclopédique gratuit. J’ai tapé « Intégrale de Lebesgue » dans google et la leçon de la Wikiversité est sorti en 24&lt;sup&gt;eme&lt;/sup&gt; position sur la troisième page. Mais je ne trouve pas cela anormal, car cette leçon ne contient pas grand chose. Le cours est très incomplet et il n'y a pas d'exercices. '''Si tu veux qu'une leçon soit bien référencé, il faut qu'elle soit intéressante. Si le cours est bâclé et s'il n'y a pas d'exercices, personne ne s'y arrête''' et son référencement dans google en subit les conséquences. Essaye de tester google avec des leçons intéressantes et riches en exercices, quiz ou travaux pratiques, tu devrais voir la différence. Voir [[:Catégorie:Leçons d'avancement 4]] et les leçons se trouvant dans la page [[Wikiversité:Découverte]]. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 17 février 2016 à 17:11 (UTC)
::::Merci beaucoup Noria, Je retiens cette idée du versement du contrôle continu avec des QCM et des Exercices que j’ai mais que je n’avais pas prévu de verser... Merci encore, Guy,--[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 22 février 2016 à 23:52 (UTC)
:'''Résolu''',--[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 22 février 2016 à 23:52 (UTC)
::Comme {{notif|Lydie Noria}} j'ai fait le même constat avec Wikilivre et wikiversité. Après un certain temps et les bons mots clé le livre ou la page wikiversité arrive dans les 3 premières propositions de Google, voire en première place. Je note cependant, notamment pour l'un de mes projets favoris depuis quelques temps (en mettant les mots-clés ''drone subaquatique'' dans Google, je le trouve effectiveement, mais Google m'amène presque toujours vers des pages &quot;secondaires&quot;, et pas vers la page d’accueil où se trouve le sommaire et les liens vers les sous-partie). &lt;br /&gt;Quand on a l'habitude de wikipédia très aimée de Google (qui en indexe les article presque en temps réel et les propulsent en première place parfois dès les minutes qui suivent la création d'un article), la &quot;mauvaise  indexation&quot; ou &quot;lente indexation&quot; de wikiversité est perturbante ou au moins frustrante. Si on peut améliorer la chose, ce serait bien. Cette situation nous isole (l'insularité n'est pas toujours désagréable) mais semble être un frein au développement de Wikiversité (qui me semble pourtant être un &quot;commun&quot; d'intérêt général) ; de plus nous sommes dans un cercle vicieux : Wikiversité étant peu visible, elle se développe peu et reste donc peu visible, etc --[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] ([[Discussion utilisateur:Lamiot|discussion]]) 26 octobre 2016 à 20:50 (UTC).

== Lydie Noria arrêtez de persécuter les contributeurs!  ==

Lydie Noria, vous vous acharnez à modifier les pages d'indexation du vocabulaire du département de portugais. Vous savez pourtant que se sont des pages crées automatiquement par un programme (tool ou robot) que je suis en train de développer. Donc vous êtes consciente de ce que vous faites.
Vous me faites perdre un temps énorme, ce n’est pas la première fois, c’est même systématique, Depuis que j’ai créé le département de portugais chacune de vos interventions sont des contrariétés des complications, des vexations. Je ne peux plus continuer à croire que vous êtes de bonne intention. Je vous demande de laisser les contributeurs en paix.
Les pages que vous modifiées manuellement, sont créés par le programme vocabulary-index sur  {{lien brisé|consulté le=2017-07-22|url=https://tools.wmflabs.org/:}} 
 https://tools.wmflabs.org/vocabulary-index/
 https://gerrit.wikimedia.org/r/#/admin/projects/labs/tools/vocabulary-index
Vous n'avez jamais participé au contenu du département portugais je voue en prie laissez moi travailler paisiblement.

PS: En plus de supprimer mes redirections, vous renommez les pages créés automatiquement puis supprimez les mises à jour de ces pages. C'est du sabotage ce que vous faites Lydie.
Cordialement. --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 19 février 2016 à 20:12 (UTC)
: Voir ma réponse dans [[Wikiversité:La salle café/février 2016]]. — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 19 février 2016 à 21:33 (UTC)

== Lydie vous vous rendez coupable de vandalisme  ==
Je vous demande de révoquer toutes vos modifications sur les fiches de vocabulaire du département portugais de la faculté des langues étrangères. Ce que vous faites est du vandalisme caractérisé.
* [[Portugais/Grammaire/Adjectif/Fiche/vcb Adjectif]]
*     [[Portugais/Grammaire/Article/Fiche/vcb Article]]
*     [[Portugais/Grammaire/Nom/Fiche/vcb Nom]]
*     [[Portugais/Grammaire/Pronom/Fiche/vcb Pronom]]
*     [[Portugais/Grammaire/Grau/Fiche/vcb Grau]]
* et autres...
Cordialement, --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 23 février 2016 à 19:00 (UTC)
: Si vous constatez un acte de vandalisme sur la Wikiversité, vous pouvez le signaler dans la page [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs]]. Cordialement. — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 24 février 2016 à 05:10 (UTC)

== Autoriser la création de pages gadget-MOOC  ==

Une prise de décision est lancée par [[Utilisateur:Isabelle-ANDI|Isabelle-ANDI]] sur la création de pages gadget-MOOC dans la Wikiversité. Vous êtes invité à en discuter et voter sur la page : [[Projet:Wikiversité/Autoriser la création de pages gadget-MOOC]].

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=532249 --&gt;

== Ca fait un bail !  ==

Comment vas-tu Lydie ? Ça fait un bail que l’on ne s'est plus offert une bonne discussion non ? J'espère toujours te voir surgir dans la salle café sur l'un de mes posts. Mais non {{triste}}.
[[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 16 mars 2016 à 20:29 (UTC)
: {{notif|Lionel Scheepmans}} Salut, pour satisfaire à ta requète, j’ai répondu à ton dernier post dans la salle café. N'aurais-tu pas des tendances maso. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 17 mars 2016 à 09:07 (UTC)
::Pas que je sache {{mdr}}, par contre j’ai entendu un jour que c’est dans l'altérité que l’on grandi. Comme je te sens du côté de mon altère inégaux et que je constate que tes remarques remettent souvent me idées en question et par ce fait me fait réfléchir à nouveau pour adopter des idées meilleurs. Ceci explique celà. Une belle fin de journée à toi, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 17 mars 2016 à 09:25 (UTC)

== AutoCat ==

Dis-moi, je vois que ton bot distribue le modèle AutoCat. De quoi il s'agit en faite ? Si j’ai compris la page d'aide, il se destine uniquement aux sous pagex c’est bien ça ? Mais peut-être que tu pourrais m'en dire plus. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 17 mars 2016 à 19:38 (UTC)
: {{notif|Lionel Scheepmans}} le [[modèle:AutoCat]] permet de catégoriser automatiquement les sous-pages &lt;u&gt;sans modèle&lt;/s&gt; des leçons, cours, départements, facultés, recherches, laboratoires etc. (sauf les projets collaboratifs). C'est-à-dire, par exemple, les sous-pages de prérequis, objectifs, présentation, référents, leçons par thème des départements etc. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 17 mars 2016 à 19:51 (UTC)

== Fonction puissance ==
Bonjour Lydie, pour info : je viens d'[[:w:Spécial:Diff/124837464|élaguer sur wikipédia]] mais c’est peut-être recyclable ici. Cordialement, [[:w:Utilisateur:Anne Bauval|Anne]], 30/3/16, 10h44
: {{notif|Anne Bauval}} Bonjour, peut-être cela pourrait faire l’objet d'un exercice dans l'une des leçons [[Fonction exponentielle]] ou [[Fonction logarithme]]. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 30 mars 2016 à 09:04 (UTC)

== [[Sport motocycliste]]  ==

Bonjour Lydie Noria, je reconnais que vous aviez supprimé ce cours parce que cette l'ébauche était à l'abandon, j'aurais bien aimer pouvoir enrichir cette leçon, mais malheureusement avec comme contrainte l'impossibilité que soient réalisées des demandes d'importations d'historiques et de fusions d'historiques, il me serait très difficile de compléter les cours qui m'intéresse,  finalement je me résigne à ce que j’ai réalisé comme contenu sur Wikiversité soient éventuellement supprimés, cela est donc pour moi un constat d'échec et me rend très triste. Je suis désolé pour le dérangement, respectueusement. [[Utilisateur:FrankyLeRoutier|FrankyLeRoutier]] % [[Discussion utilisateur:FrankyLeRoutier|Service après-vente]] 3 avril 2016 à 02:27 (UTC)
: Cette ébauche était à l'abandon depuis 2010. J’ai bien compris que, pour vous, enrichir une leçon consiste à importer des articles de Wikipédia et en faire des chapitres, ce que vous n'auriez jamais dû faire sauf à titre exceptionnel pour raison très particulière. J’ai bien peur que vous n'ayez toujours pas compris la différence entre Wikipédia et la Wikiversité. Wikipédia consiste à faire des articles encyclopédiques alors que sur la Wikiversité, nous faisons des cours. Va-t-il falloir que l’on se décide à faire une page d'aide pour expliquer la différence entre un article encyclopédique et un cours ? Idéalement, il me semble évident que seul un compétiteur en sport motocycliste pourrait nous faire une leçon sur le sport motocycliste. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 3 avril 2016 à 08:37 (UTC)

== À propos du projet de création des mallettes pédagogiques  ==

Bonjour Lydie,

À propos du projet de création des mallettes pédagogiques annoncé en salle café, la personne qui initie ce projet {{notif|Vvirginie}} aurait besoin de conseils pour créer l'accès à la page des mallettes sur la page d'accueil des projets. J'ai pensé à vous si vous voulez bien {{sourire}} 

--[[Utilisateur:Isabelle-ANDI|Isabelle-ANDI]] ([[Discussion utilisateur:Isabelle-ANDI|discussion]]) 19 avril 2016 à 08:49 (UTC)
: {{Notif|Isabelle-ANDI}} {{Notif|Vvirginie}} Bonjour, désolée de ne pas avoir répondu plus tôt. Je suis un peu déboussolée. Déjà, je n'ai pas encore saisie ce qu'est une mallette. Pour la page d'accueil des projets, je suppose que vous parlez de la page [[Projets collaboratifs]], il suffit de rajouter le nom du projet à la suite des autres en prenant modèle sur ceux qui précède (par exemple : [[Recherche:Mallettes pédagogiques inclusives]]). S'il manque quelque chose comme le [[modèle:Projet collaboratif]], je le rajouterai. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 20 avril 2016 à 16:42 (UTC)
:: Merci Lydie {{sourire}}, {{Notif|Vvirginie}} à toi de jouer {{sourire}}--[[Spécial:Contributions/194.214.70.252|194.214.70.252]] 20 avril 2016 à 17:38 (UTC)
:::Bonjour Lydie, la mallette trouble du comportement a été mise sur le modèle faculté mais cela nous pose un problème car nos contributeurs sont perdus et nous les avions formés pour qu’ils puissent entrer facilement du contenu dans un premier temps. En outre cela va compliquer également la mise au modèle MOOC. Est-ce que nous pouvons annuler les modifications de mise au modèle faculté ? Il faudrait que nos contributeurs puissent finir de travailler sur les contenus. Je crois que nous aurions dû mettre une indication de &quot;travail en cours&quot; pour éviter ça, nous le ferons dorénavant pour les autres travaux afin qu’il n'y ait pas d'ambiguïté. --[[Utilisateur:Isabelle-ANDI|Isabelle-ANDI]] ([[Discussion utilisateur:Isabelle-ANDI|discussion]]) 27 mai 2016 à 08:21 (UTC)
:::: {{Notif|Isabelle-ANDI}} Bonjour, Je n'ai pas trop compris si vous parlez du fait que j'ai regroupé les pages dans la [[:Catégorie:Mallette troubles du comportement]] alors qu'elles étaient dans la [[:Catégorie:Pédagogie]], mélangées avec les page de la [[Faculté:Pédagogie]], qui est normalement réservée aux pages appartenant directement à la faculté. Où si vous parlez des renommages fait par [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] qui n'avait pas réalisé que ces pages relevaient du modèle {{Abréviation|MOOC|Massive Open Online Course|en}} et les a reformaté comme on a l'habitude de le faire sur la Wikiversité. Si cela facilite les choses, vous pouvez temporairement annuler les modifications problématiques comme vous le souhaitez. Il faudra par la suite, tout de même bien préciser les choses !
:::: * Chaque leçon a ses pages dans une catégorie qui lui est réservé et qui a pour nom le nom de la leçon (en principe la catégorisation est automatique et faite par le modèle dont relève la leçon). Cette catégorie étant une sous-catégorie de la catégorie du département dans lequel se trouve la leçon. Cette catégorie est aussi une sous-catégorie de la catégorie du cours dont fait partie la leçon (si la leçon appartient à un cours).
:::: * Les chapitres d'une leçon sont des sous-pages de la page de sommaire de la leçon comme indiqué dans la page [[Wikiversité:Conventions de nommage]] (point 6 du paragraphe : ''conventions de nommage particulières''.(voir aussi les points 7,8,9)).
:::: Voila, voila ! J'espère ne pas trop vous avoir perturbée et vous souhaite bonne continuation. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 27 mai 2016 à 09:23 (UTC)
::::: Je crois en effet que c'est le renommage : ce que je vais faire c'est annuler cette partie et voir si nous retrouvons la mise en page précédente. Merci {{sourire}} --[[Utilisateur:Isabelle-ANDI|Isabelle-ANDI]] ([[Discussion utilisateur:Isabelle-ANDI|discussion]]) 27 mai 2016 à 10:03 (UTC)
:::::: En effet c'est le renommage, ne m'en veuillez pas [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]], nos contributeurs travailleront ce week end et ce serait trop laborieux pour eux de devoir faire une nouvelle prise en main avec une configuration différente. {{sourire}}--[[Utilisateur:Isabelle-ANDI|Isabelle-ANDI]] ([[Discussion utilisateur:Isabelle-ANDI|discussion]]) 27 mai 2016 à 10:14 (UTC)
:::::::{{Notif|Isabelle-ANDI}}Oui, c'est moi qui ait travaillé sur les pages, je ne me souvenais pas que c'est le même groupe qui travaillait sur ces pages que sur les pages de l’accessibilité. Lydie m'a fait signe, mais j'ai vu son message après avoir travaillé. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 27 mai 2016 à 11:16 (UTC)

== Coquille ==

Coucou ! J'ai remarqué une coquille dans le titre d'une catégorie : https://fr.wikiversity.org/wiki/Catégorie:Inter-projet_avec_Wikpédia.

J'ai hésité à la renommer mais comme j'ai eu un message parlant de robot, je me suis dit que c'était préférable de t'en parler.

--[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 17 mai 2016 à 07:23 (UTC)

:{{Notif|Thierry613}} En fait, renommer seulement la catégorie n'aurait pas suffit. Il fallait aussi corriger le [[Modèle:Autres projets]] qui catégorisait dans cette catégorie. J'ai corrigé le modèle et renommé la catégorie. Merci de m'avoir signalé cette erreur. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 18 mai 2016 à 01:07 (UTC)
::Y a pas de quoi. {{sourire}} --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 18 mai 2016 à 08:49 (UTC)

== Matrices ==

Bonjour je cherchais un administrateur mathématicien et je suis tombé sur vous. Je suis étudiant en Math Sup et lors d'une leçon sur les matrices
nous nous sommes demandés s'il existait une formule donnant directement les coefficients d'une matrice nxn à la puissance p pour un entier p donné. Il s’avere qu’après de nombreuses recherches sur Wikipedia nous n’avons rien trouvé.  On s’est pris au jeu et on a donc décidé de l'expliciter nous-même et nous sommes arrivés sur une formule bien compliquée mais tout de même juste (après de nombreuses vérifications par démonstrations  mathématiques et de 
tests informatiques). Je voulais donc savoir s'il était possible de créer une page Wikipedia à ce sujet , pouvant peut-être intéressée mais si elle n’est vraiment pas d'une grande utilité.
Merci et bonne journée  [[Utilisateur:Celmarr1997|Celmarr1997]] ([[Discussion utilisateur:Celmarr1997|discussion]]) 21 mai 2016 à 12:00 (UTC)

: {{Notif|Celmarr1997}} Bonjour. Pour élever une matrice à la puissance p, on commence généralement par la diagonaliser, voire le trigonaliser (au mieux sous la forme de matrice de Jordan) si elle n'est pas diagonalisable. Il existe aussi une méthode utilisant le polynôme minimal annulateur d'une matrice. Si vous pensez avoir découvert une nouvelle méthode, il n'est pas possible de créer une page sur Wikipédia à ce sujet, car Wikipédia n'accepte pas les travaux inédits (voir[[w:Wikipédia:Travaux inédits]]). Si vous pensez avoir découvert une nouvelle méthode, vous pouvez créer une page ici sur la Wikiversité dans notre département de recherche en mathématiques (voir: [[Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]]). Vous pouvez prendre modèle sur les travaux qui y sont déjà et consulter la page [[Aide:Comment créer un travail de recherche]]. Je reste à votre disposition pour tout renseignement complémentaire. Cordialement.{{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 21 mai 2016 à 21:56 (UTC)

Bonjour et merci pour votre message. J'ai étudié et enseigné l'Espagnol d'où certaines corrections apportées à la liste de mammifères en langue espagnole.
: Bienvenue sur la Wikiversité. Si vous avez besoin d'un renseignement, n 'hésitez pas ! {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 10 juin 2016 à 05:10 (UTC)

== Suppression d'une page  ==

Salut, je viens de retoucher deux chapitres concernant le développement en série de Fourrier. Du coup, il y a un chapitre que j'ai fusionné avec le précédent : [[Série et transformée de Fourier en physique/Harmoniques]]. Il faudrait le supprimer ou le rediriger je ne sais pas. Je l'ai en tout cas remplacé par un chapitre complémentaire dans la progression actuelle.
Merci.— &lt;span style=&quot;font-variant:small-caps&quot;&gt;[[Utilisateur:Ellande|Ellande]] &lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;position:relative;top:3px;font-size:0.8em&quot;&gt;([[Discussion Utilisateur:Ellande|D]] - [[Spécial:Contributions/Ellande|C]])&lt;/span&gt; 13 juin 2016 à 13:21 (UTC)
: {{Notif|Ellande}}Salut, le chapitre [[Série et transformée de Fourier en physique/Harmoniques]] a été créé par [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] qui est encore en activité. Je pense que le plus simple serait de transférer ta demande dans sa page de discussion. Si cette page doit être supprimée, il vaut mieux que ce soit lui qui le fasse puisqu'il en est le créateur ! {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 13 juin 2016 à 14:55 (UTC)
::C'est juste, j'y fonce.— &lt;span style=&quot;font-variant:small-caps&quot;&gt;[[Utilisateur:Ellande|Ellande]] &lt;/span&gt; &lt;span style=&quot;position:relative;top:3px;font-size:0.8em&quot;&gt;([[Discussion Utilisateur:Ellande|D]] - [[Spécial:Contributions/Ellande|C]])&lt;/span&gt; 13 juin 2016 à 15:01 (UTC)
::: {{Notif|Ellande}} Compte tenu de la réponse de [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]], j'ai supprimé la page. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 13 juin 2016 à 16:34 (UTC)

== Nouvelle prise de décision au sujet de l'installation de Flow dans la Wikiversité  ==

Bonjour,

Une prise de décision concernant l'installation de [[w:wikipédia:Flow|Flow]] dans la Wikiversité vient d'être lancée. Vous êtes invité à en discuter et voter sur la page : [[Projet:Wikiversité/Flow]].

Une belle fin de journée !

[[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 14 juin 2016 à 17:06 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=585023 --&gt;

== Vidéo conférence demain ?  ==

Salut Lydie,
Je prévois de passer ma journée de demain sur l'amélioration des modèles d'introduction des travaux de recherche. Je voudrais te proposer un rencontre audio (ou vidéo bien que l'image n'est pas nécessaire) question de gagner du temps au niveau de notre intercompréhension et pour rendre le travail plus sympa (mare de passer des heures devant un écran placide et sans vie). Tu serais partante ? Si oui, il suffirait de se fixer un rendez-vous et puis choisir un moyen de communication. Dis-moi si ça te dit. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 30 juin 2016 à 19:14 (UTC)
: Salut, je crois bien que tu vas continuer à utiliser un écran placide et sans vie. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 1 juillet 2016 à 07:40 (UTC)
::Ou faire autre chose. Maintenant que mes études sont réussies, j'ai envie de communiquer avec autre chose qu'un écran et un clavier. Malheureusement je suis bloqué du dos et il n'arrête pas de pleuvoir en Belgique... Bon, je vais voir. Mais voici déjà mes idées de changement.
::J'aimerai en faite développer le modèle avec une partie escamotable, on en placer un deuxième en page de discussion pour ne pas charger la page principale avec toute les informations que je voudrais ajouter. À savoir une fiche signalétique comprenant : le statut de l'auteur du travail (étudiant, chercheur...), son institution (école secondaire,université,entreprise,etc.), intitulé du cours si ce travail est réalisé dans ce cadre, le nom du professeur et le résultat obtenu, ou encore l'intitulé de la fonction et le nom de l'employeur si c'est réalisé dans le cadre d'un travail rémunéré. J'aimerai aussi relancer la mise en place du journal scientifique maintenant que j'ai [[Utilisateur:Lionel_Scheepmans#Mise_en_place_d.27un_journal_scientifique_sur_la_Wikiversité|découvert qu'il en existe déjà deux sur la Wikiversité anglophone]]. Je vais développer ça sur mon espace personnel et puis je t'envoie le lien. Enfin, si je décide de m'y mettre... [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 1 juillet 2016 à 09:51 (UTC)
::: Félicitation pour la réussite de tes études. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 1 juillet 2016 à 11:04 (UTC)
::::Merci. Et au faite, qu'est ce qui nous empêche de communiquer oralement ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 1 juillet 2016 à 11:38 (UTC)
::::: Il y a des tas de raisons (plus ou moins graves) qui font qu'une personne ne puisse plus communiquer oralement (voir par exemple [[w:Stephen Hawking|Stephen Hawking]]). — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 1 juillet 2016 à 13:02 (UTC)
::::::Mais non. J'aurai jamais pensé qu'on était deux handicapés sur le projet ! Moi handicapé pour écrire et toi pour parler... Ça va pas nous rapprocher {{clin}} J'espère que ton handicape est aussi léger que le mien. D'ailleurs, comment fais-tu pour donner cours de math ? Je ne m'attendais vraiment pas à cette idée. Je vais t'envoyer un mail pour t'inviter à poursuivre cette conversation en privé. @ tout de suite [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 1 juillet 2016 à 13:13 (UTC)
::::::: Je ne vois aucun intérêt particulier à cette conversation et je souhaiterais que l'on en reste là. Ton idée de créer un modèle servant de fiche signalétique pour accompagner les recherches faites par des étudiants dans le cadre de leur études universitaires me paraît beaucoup plus intéressante. — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 2 juillet 2016 à 03:49 (UTC)
::::::::Comme tu voudras et belle fin de journée à toi. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 2 juillet 2016 à 09:28 (UTC)

== À propos des conventions de nommage  ==

Bonsoir,

effectivement le chapitre &quot;Signaux physiques (PCSI)/Propagation d'un signal&quot; étant beaucoup trop long je l'ai scindé en huit sous-chapitres mais, pour que ces derniers soient accessibles à partir de &quot;Signaux physiques (PCSI)/Propagation d'un signal&quot; j'avais transformé ce dernier en leçon ou plus exactement en sous-leçon permettant de faire toujours partie de la leçon &quot;Signaux physiques (PCSI)&quot; et de donner un accès agréable aux huit sous-chapitres comme peut le faire le modèle leçon ; puisque cette façon de procéder n'est pas conforme (et je le regrette car c'était d'un usage compréhensible fonctionnant parfaitement) j'ai réédité &quot;[[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal]]&quot; avec le modèle chapitre en ne mettant dans ce chapitre que les liens vers les sous-chapitres (comme vous pouvez le vérifier) ; malheureusement ces sous-chapitres ne peuvent plus être construits avec le modèle chapitre (enfin peut-être que c'est possible mais je n'ai pas réussi) et la présentation est beaucoup moins agréable comme vous pouvez le voir ici [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal/Exemples_de_signaux,_spectre]] ; Mais peut-être avez-vous une idée d'amélioration de présentation pour ces sous-chapitres, une construction de modèle de sous-chapitre ?

Cordialement
--[[Utilisateur:Phl7605|Phl7605]] ([[Discussion utilisateur:Phl7605|discussion]]) 7 juillet 2016 à 17:30 (UTC)

== Wikiversity IHM  ==

Bonjour Lydie, 

Je reviens, {{Unité|8|ans}} après, sur la page IHM de Wikiversity.
J'ai vu que tu avais contribué: un intérêt pour l'IHM ou juste un passage pour correction ?
: Non, aucun intérêt pour l'IHM. C'était juste une opération de maintenance. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 8 juillet 2016 à 19:19 (UTC)

== Enquête Wikiversité  ==

Bonjour, 
Je suis enseignant, je m'intéresse aux TICE, et suis membre depuis peu de la Wikiversité.
J'essaie de voir comment la WV fonctionne.
Je rédige un mémoire à l'université de Poitiers précisément sur ce sujet et dans ce cadre, je réalise une enquête.
J'ai aussi besoin de réaliser des entretiens avec des contributeurs pour approfondir les résultats de l'enquête.

Ce travail, une fois terminé, permettra de mieux faire connaître la WV.
La participation d'une personne comme vous, très active et très impliquée au sein de la WV, serait précieuse. 

Je ne peux vous envoyer l'url du questionnaire à cause du filtre.


Voici mon courriel :
laurent.abeskaos(at)free(dot)fr

D'avance merci pour votre réponse.
: Bonjour, merci pour votre intérêt pour la Wikiversité et n'hésitez pas si vous avez des questions particulière. Si , lors de votre enquête, vous découvrez un élément déterminant qui permettrait d'améliorer la participation à la Wikiversité, n'hésitez pas à nous en informer. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 20 juillet 2016 à 08:22 (UTC)

== Question de base  ==

Bonjour.

J'ai voulu tenter de faire une fiche-mémoire de classe de 4e en cliquant sur
&quot;Aucune feuille d'exercices n'a été ajoutée. Pour le faire, cliquer ici.&quot;
mais ceci a mis ma fiche-mémoire là où on attend, je présume, la liste des fiches disponibles.
https://fr.wikiversity.org/wiki/Mathématiques_en_quatrième

Comment faire correctement une fiche-mémoire, ou un exercice ?

Cordialement.

Henri de Solages (collège Germaine-Tillion, Paris)

: Bonjours, Voila, c'est fait, j'ai corrigé. S'il y a un problème, signalez le moi. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 9 septembre 2016 à 17:54 (UTC)

::Merci. Mais je pense que &quot;idfaculté = physique&quot; est une erreur. Je verrais plutôt &quot;idfaculté = mathématique&quot;. Et comment créer correctement une nouvelle fiche ? La bonne méthode est-elle, pour créer une fiche &quot;bidon&quot;, d'aller à l'URI https://fr.wikiversity.org/wiki/Mathématiques_en_quatrième/Fiche/bidon puis de cliquer sur &quot;Créez la page&quot;? Henri de Solages
::: Oups ! vous avez raison, c'est bien &quot;idfaculté = mathématique&quot;. Pour créer une nouvelle fiche, vous avez deux possibilités :
::: - Vous éditer la page [[Mathématiques en quatrième/Fiche]] et vous écrivez à la suite de la première fiche &lt;nowiki&gt;* {{F|nom de la nouvelle fiche|4|9}}&lt;/nowiki&gt; en remplaçant « nom de la nouvelle fiche » par le nom que vous voulez donner à la nouvelle fiche. Vous allez ensuite dans la page [[Mathématiques en quatrième]] et vous cliquez sur le lien rouge qui est apparu (ne surtout pas cliquer sur le lien rouge apparu dans la page [[Mathématiques en quatrième/Fiche]]).
::: - Vous pouvez aussi faire l'inverse comme vous avez dit, c'est-à-dire commencer par créer une fiche sous le format [[Mathématiques en quatrième/Fiche/bidon]] et rajouter ensuite &lt;nowiki&gt;* {{F|bidon|4|9}}&lt;/nowiki&gt; dans la page [[Mathématiques en quatrième/Fiche]] (la fiche risque de ne pas apparaître de suite dans la page [[Mathématiques en quatrième]]. Pour la faire apparaître rapidement il faut purger le cache de la page [[Mathématiques en quatrième]], pour cela vous cliquez sur « Modifier le wikicode » de la page [[Mathématiques en quatrième]] et vous cliquez sur « Enregistrer les modifications » sans faire de modifications) .
::: La première façon de faire me semble plus sûre, car moins sujette aux erreurs. Tenez-moi au courant si vous avez des problèmes.{{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 14 septembre 2016 à 12:50 (UTC)
:::: Merci beaucoup.

== Divisibilité ==
Bonjour. En 2012, vous avez transféré le cours [[Initiation_à_l'arithmétique/Divisibilité]] du niveau 7 au niveau 10. C'est bien à peu près au niveau 7 que j'ai appris ça quand j'étais enfant. En France, ça fait désormais partie du &quot;cycle 3&quot; (classes de 5e - 3e) et je constate que mon collège a décidé d'enseigner ça en 4e, quoique je pense qu'une partie fut déjà enseigné en 5e. Ca me parait raisonnable. J'allais créer un chapitre sur la divisibilité en 4e, pour y insérer la page
[[Division_euclidienne]], quand je me suis aperçu que 2 des leçons sur les 3 que j'allais y mettre (division euclidienne, multiples et diviseurs, critères de divisibilité) existaient déjà, au niveau supérieur. Je suggère donc de transférer le cours de divisibilité au niveau 9, et d'y insérer ma page sur la division euclidienne. Qu’en pensez-vous ? Henri de Solages
: Bonjour. Voila, je pense avoir fait tout ce que vous avez suggéré. J'ai transféré la leçon [[Initiation à l'arithmétique]] de la troisième vers la quatrième et j'y ai inséré votre page [[Initiation à l'arithmétique/Division euclidienne]] qui est devenu le chapitre 2 de cette leçon. Si j'ai fais la moindre erreur ou mal compris se que vous m'avez demandé, n'hésitez pas à me le signaler que je corrige éventuellement. Cordialement. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 22 septembre 2016 à 12:19 (UTC)
Merci beaucoup. Je découvre le programme au fur et à mesure, et je lis dans le bulletin officiel, dans le programme du cycle 3 (CM1 à 6e): &quot;division euclidienne dès le début du cycle&quot;, c'est-à-dire en CM1, soit au niveau 5 de Wikiversité. Cependant cette notion est revue, et davantage formalisée, en 4e. J'élargis ma question ci-dessous. Henri de Solages

== Collaboration juive sous le nazisme  ==
Lors de la suppression de cet article sur Wikipédia en 2014 en 2 étapes rapprochées, la première ayant conclu au maintien, c'est un de ses &quot;bureaucrates&quot; qui a suggéré le report de cet article - que j'avais défendu alors au nom de son caractère historique et encyclopédique sans y être véritablement très impliqué au niveau des contenus - sur Wikiversité où il a depuis prospéré et plus que doublé de volume. L'examen de l'historique montre que si je suis bien l'auteur de cette importation ma participation, quantitativement importante au niveau de la fréquence (25% paraît-il), reste très faible en octets et ne concerne surtout que des mises en forme mineures et des déplacements de paragraphes. Le drame qui vient de se produire trouve son origine dans une erreur humaine. Sachant pertinemment qu'il n'était plus éligible avant longtemps sur Wikipédia, j'ai demandé à un collègue, compte tenu de l'enrichissement qu'a connu cet article depuis {{Unité|2|ans}} sur Wikiversité, de le reporter sur Wikimonde … et il s'est trompé de destination, le réimportant sur Wikipédia où cette incongruité a bien sur provoqué un tsunami. Réputé comme un gêneur pour m'insurger chaque fois qu'une contribution véritablement scientifique se trouve rejetée par un vote collectif l'ensemble de l'affaire - donc essentiellement et paradoxalement ce qui se passe sur Wikiversité, le silence ayant été total depuis 2014 sur Wikipdia - m'a été attribuée dans des formes véritablement diffamatoires pour aboutir à ma mise hors-jeu sur Wikipédia. Universitaire moi-même (bien qu'il ne s'agisse pas là de mon domaine de compétence), je fais pleinement confiance à Wikiversité pour apprécier la pertinence d'un tel sujet - même encore en chantier - dans les colonnes du Département de recherche en histoire. Cordialement.--[[Utilisateur:Claude PIARD|Claude PIARD]] ([[Discussion utilisateur:Claude PIARD|discussion]]) 24 octobre 2016 à 15:17 (UTC)
: Bonjour, il y a peut-être un malentendu dans ma réponse faite sur la page [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2016]] à un utilisateur qui demandait la suppression de votre recherche. Je lui expliquais qu'il ne suffit pas de demander la suppression de cette page, mais qu'il faut suivre la procédure indiquée dans [[Wikiversité:Pages à supprimer]]. Je ne suis pas historienne et n'ai aucune raison, pour le moment, de souhaiter la suppression de votre recherche. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 24 octobre 2016 à 19:45 (UTC)
:: Je l'avais parfaitement compris. Si je suis moi-même quelque peu historien ce secteur est bien loin de mon domaine (éducation et sport) et si j'ai introduit ici cet article qui me vaut tant d'ennuis ailleurs c'est suite aux recommandations d'un &quot;bureaucrate&quot; Wikipédia formulées suite à la suppression du-dit article par une &quot;décision communautaire&quot;. Mes propos dans sa page de discussion montrent bien que je ne le fais que pour permettre à cette recherche de se développer collectivement, ce qui a été le cas puisque l'article a fait plus que doubler depuis. Mais en aucune manière il ne s'agit de ma propre recherche. Cordialement.--[[Utilisateur:Claude PIARD|Claude PIARD]] ([[Discussion utilisateur:Claude PIARD|discussion]]) 24 octobre 2016 à 21:25 (UTC)
::: Le groupe de pression qui cherche, via l'IP anonyme, à obtenir la suppression de l'article concerné ne s'est pas contenté de le faire supprimer sur Wikipédia, il a aussi obtenu à l'occasion - via un procès annexe - mon bannissement définitif au seul motif que la réintroduction de cet article ici même constituerait une &quot;violation de décision communautaire&quot;. Et ce alors que je n'étais pas moi-même l'auteur de la dernière réinsertion sur Wikipédia. Je suis donc maintenant dans l'impossibilité de communiquer avec qui que ce soit via Wikipédia, y compris par mail. Désolé.--[[Utilisateur:Claude PIARD|Claude PIARD]] ([[Discussion utilisateur:Claude PIARD|discussion]]) 25 octobre 2016 à 14:50 (UTC)
:::: {{Notif|Claude PIARD}} Vous pouvez communiquer ici avec [[Utilisateur:Grondin|Bertrand Grondrin]] sur sa [[Discussion utilisateur:Grondin|page de discussion]]. Il est à la fois administrateur sur Wikipédia et la Wikiversité et peut donc, dans les meilleures conditions possibles, restaurer quelques secondes l'article dont vous souhaiter importer l'historique, le temps de l'importer et resupprimer l'article immédiatement. Mais, peut-être vaut-il mieux attendre d'avoir la certitude que votre recherche est bien accepté sur la Wikiversité. Cordialement. — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 25 octobre 2016 à 15:13 (UTC)
:::: P.S : si la chose s'avérait possible, c'est l'historique de l'article supprimé fin 2013 qu'il faudrait retrouver.
::::: Je vous suis toute ouïe.-- [[Utilisateur:Grondin|Bertrand GRONDIN]] [[Fichier:Héraldique meuble Coeur vendéen.svg|12px|alt=|link=]] → &lt;sup&gt;&lt;small&gt;([[Discussion Utilisateur:Grondin|écrire]])&lt;/small&gt;&lt;/sup&gt; 25 octobre 2016 à 15:16 (UTC)
:::::: Contact pris. Merci--[[Utilisateur:Claude PIARD|Claude PIARD]] ([[Discussion utilisateur:Claude PIARD|discussion]]) 25 octobre 2016 à 15:31 (UTC)
Vu le contexte que je suppose chaud pour Bertrand, je me suis permis d'effectuer moi-même une réparation provisoire de ma gaffe sur [[Recherche:Collaboration juive sous le nazisme]] concernant l'importation des crédits d'auteurs. J'espère qu'elle permettra au moins que cette - très sombre - affaire se décante un peu. Merci encore pour vos précieux conseils--[[Utilisateur:Claude PIARD|Claude PIARD]] ([[Discussion utilisateur:Claude PIARD|discussion]]) 11 novembre 2016 à 12:17 (UTC)
: OK, c'est noté.{{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 11 novembre 2016 à 17:50 (UTC)

== Nouvelle prise de décision en cours  ==

Bonjour,

Une nouvelle [[Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Collaboration juive sous le nazisme|prise de décision communautaire au sujet de la suppression d'une page de recherche est en cours]]. Soyez les bienvenus pour apporter vos commentaires et vos avis. Une belle fin de journée à tous. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 26 octobre 2016 à 21:42 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=607578 --&gt;
: Merci pour votre implication dans cette sombre affaire dont j'espère qu'elle n'aura pas trop de retombées négatives pour Wikiversité. Cordialement.--[[Utilisateur:Claude PIARD|Claude PIARD]] ([[Discussion utilisateur:Claude PIARD|discussion]]) 2 novembre 2016 à 10:21 (UTC)

== Projet de dépôt de recherche  ==

J'ai une communication inédite (TI) fondée uniquement sur des sources primaires qui concerne un aspect spécifique d'un &quot;autre sujet épineux&quot; de notre histoire : l'attitude du PCF et le paste germano-soviétique. Celui-ci a déjà fait l'objet de communication en colloque mais n'a jamais été édité. Existe-t-il un espace où il pourrait être proposé avant d'être mis dans l'espace public de Wikiversité afin d'apprécier sa pertinence et son utilité ? Je me permets cette démarche un peu insolite car je préfère éviter de déclencher un nouveau pataquès. Merci d'avance de votre réponse et très bonne semaine.--[[Utilisateur:Claude PIARD|Claude PIARD]] ([[Discussion utilisateur:Claude PIARD|discussion]]) 8 novembre 2016 à 13:48 (UTC)
: {{Notif|Claude PIARD}} Oui, dans une sous-page de votre espace utilisateur comme, par exemple, [[Utilisateur:Claude PIARD/Communication inédite]]. Cordialement. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 8 novembre 2016 à 14:51 (UTC)
:: C'est {{fait}} : [[Utilisateur:Claude PIARD/Bac à sable]]. Si c'est acceptable faites-le moi savoir. Peut-on envisager l'ouverture d'un département &quot;Histoire&quot; (ou &quot;sciences humaines&quot;) à côté des &quot;sciences dures&quot; ?Cordialement.--[[Utilisateur:Claude PIARD|Claude PIARD]] ([[Discussion utilisateur:Claude PIARD|discussion]]) 8 novembre 2016 à 16:04 (UTC)
::: {{Notif|Claude PIARD}} L'histoire n'est pas du tout ma tasse de thé. Je m'occupe principalement de mathématiques et de physique. Je pense que [[Utilisateur:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] est bien plus qualifié que moi pour vous donner un avis sur votre nouvelle recherche qui me semble plus proche de ses préoccupations. Je ne vois pas, non plus, quel rapport vous voyez entre &quot;Histoire&quot; (ou &quot;sciences humaines&quot;) et &quot;sciences dures&quot;. En fait les sciences humaines sont répartie sur 12 facultés sous l'appellation « sciences humaines et sociales ». Voir la page d'accueil dans la rubrique « facultés » {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 9 novembre 2016 à 03:38 (UTC)
:::: Merci. Je vois avec Lionel. Bonne journée.--[[Utilisateur:Claude PIARD|Claude PIARD]] ([[Discussion utilisateur:Claude PIARD|discussion]]) 9 novembre 2016 à 11:07 (UTC)

== Réutilisation de parties de cours  ==

Il est habituel dans l'enseignement de reprendre les enseignements des années précédentes et d'en rajouter. Par exemple la page [[Calcul littéral]], classée niveau 10, présente la distributivité, vue en 5e (niveau 8), et la double distributivité, vue en 4e (niveau 9) mais y ajoute les identités remarquables, qui relèvent désormais en France du programme de seconde (niveau 11). Comment organiser correctement la présentation des enseignements sans recopier les cours ? J'ai créé une page &quot;[[Calcul_littéral_en_quatrième|Calcul littéral en quatrième]]&quot; en recopiant la page &quot;Calcul littéral&quot; et en en supprimant les parties hors programme, mais je ne sais pas remplir le modèle &quot;Leçon&quot; :
&lt;nowiki&gt;{{Leçon
  | idfaculté      = mathématiques
  | département    = Théorie des nombres
  | cours          = [[Introduction aux mathématiques élémentaires]]&lt;br /&gt;[[Mathématiques en quatrième]]&lt;br /&gt;[[Mathématiques du second degré (Belgique)]]
  | niveau         = 9
  | 1              = {{C|Réduction|0}} 
  | 2              = {{C|Distributivité|0}}
  | 3              = {{C|Distributivité double|0}}
  | annexe1        = {{Ann|Approfondissements|0}}
  | quiz1          = {{Qu|Vrai Faux sur l'égalité d'expressions|2}}
  | exo1           = {{Exo|Exercice 1|0}}
  | autres projets = oui
  | w              = Calcul littéral
}}&lt;/nowiki&gt;
amène à des hyperliens brisés. Ou bien faut-il renoncer au modèle &quot;Leçon&quot;? Henri de Solages
: Bonjour, la Wikiversité est francophone et pas française. Vous ne devez pas faire apparaître une référence par rapport à une classe dans le titre d'une leçon (Voir [[Wikiversité:Conventions de nommage]], point 5 du paragraphe « Conventions de nommage particulières »). Ainsi, les différentes leçons pourront être rattachée à des cours différents dans les différents pays francophones. Si vous souhaitez rattachez la leçon à la classe de quatrième en France, cela se fait en la mettant dans l'encadré leçon de la page [[Mathématiques en quatrième]] qui, elle, appartient à la scolarité française (si les programmes changent, il suffit alors de changer les rattachements). Si vous souhaitez faire plusieurs leçons sur un même thème, mais à des niveaux différents pour réaliser une progression dans l'apprentissage, vous pouvez marquer une progression dans le titre comme par exemple :
:* [[Initiation au calcul littéral]]
:* [[Calcul littéral]]
:* [[Approfondissement du calcul littéral]]
:En mettant dans les prérequis de chaque leçon, la leçon de niveau immédiatement inférieur.
:Il me semble aussi que la réalisation d'une leçon à un niveau plus élémentaire ne se fait pas en supprimant les chapitres d'une leçon plus élaborés et en recopiant les chapitres communs. Les chapitres de la leçon plus élémentaire devraient logiquement être plus détaillés dans les explications pour une meilleure compréhension (avec plus d'exemples) que les mêmes chapitres dans la leçon d'un niveau plus élevée. Les exercices aussi n'ont pas le même niveau de difficulté. Il n'est, bien sûr, pas question de renoncer au modèle leçon qui est le modèle que l'on utilise sur la Wikiversité pour faire des leçons. Je n'ai pas bien compris où vous avez vu des liens brisés. Quoi qu'il en soit, le mieux est de faire tranquillement votre leçon. S'il y a des problèmes techniques, ils sont automatiquement réparés par les patrouilleurs, qui sont là, pour aider les nouveaux. Voir aussi [[Aide:Comment créer une leçon]] (lire aussi la page [[Aide:Comment créer un cours]]). Je reste à votre disposition pour tout renseignement qui pourrait vous être utile. Cordialement. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 10 novembre 2016 à 16:21 (UTC)

== Nouvelle prise de décision  ==

Bonjour,

Une nouvelle prise de décision est organisée sur le recyclage de cinq facultés en département. Vous êtes invités à en discuter et voter sur le [[Projet:Wikiversité/Recyclage de cinq facultés en département]]. Cordialement.
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=614606 --&gt;
: Je veux bien donner un avis (quoique encore peu éclairé …) mais je ne parviens pas à signer. Y a-t-il une procédure à initier.--[[Utilisateur:Claude PIARD|Claude PIARD]] ([[Discussion utilisateur:Claude PIARD|discussion]]) 13 novembre 2016 à 20:22 (UTC)
:: {{Notif|Claude PIARD}} Pour signer, il faut taper &lt;nowiki&gt;~~~~&lt;/nowiki&gt;. C'est expliqué en début de page. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 14 novembre 2016 à 08:34 (UTC)
::: Il n'y a donc normalement pas de logo stylo ?--[[Utilisateur:Claude PIARD|Claude PIARD]] ([[Discussion utilisateur:Claude PIARD|discussion]]) 14 novembre 2016 à 10:32 (UTC)
:::: {{Notif|Claude PIARD}} Bais non! il a disparu dans les prises de décision depuis un certain temps. D'ailleurs il y a pas mal de choses (pas très graves) qui ont disparu au fur et à mesure des mises à jour. C'est le problème des wikis gérés par des volontaires. Si personne ne prend en charge certaines maintenances, les choses se dégradent petit à petit. Nul n'est obligé de contribuer ! {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 14 novembre 2016 à 13:09 (UTC)
Rassure-toi : j'ai suffisamment d'engagements bénévoles par ailleurs pour comprendre. Je vais donc de ce pas apprendre à travailler sans le petit stylo automatique. Cordialement--[[Utilisateur:Claude PIARD|Claude PIARD]] ([[Discussion utilisateur:Claude PIARD|discussion]]) 14 novembre 2016 à 15:45 (UTC)
: {{Notif|Claude PIARD}} Avec l'habitude, on se rend compte que c'est même plus simple de s'en passer. Moi-même, je tape quatre tildes pour signer même si le logo stylo est disponible. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 14 novembre 2016 à 19:54 (UTC)
:: j'y suis arrivé ! Bonne semaine et excuse-moi encore …[[Utilisateur:Claude PIARD|Claude PIARD]] ([[Discussion utilisateur:Claude PIARD|discussion]]) 14 novembre 2016 à 20:49 (UTC)
::: Remettre le stylo devient une urgence : tu as oublié de signer ta dernière intervention ! Cordialement et bonne journée.--[[Utilisateur:Claude PIARD|Claude PIARD]] ([[Discussion utilisateur:Claude PIARD|discussion]]) 16 novembre 2016 à 08:40 (UTC)
:::: {{Notif|Claude PIARD}} Je te remercie de m'avoir prévenue, je suis aller corriger. Mais je crois que même si l'on remettait le stylo, je continuerais à signer avec quatre tildes et je ne pense pas que la présence du stylo serait un palliatif à l'étourderie. {{sourire}}

== Concernant le cours de cinématique  ==

Bonjour. 
Je suis navré d’avoir rendu orpheline deux leçons. Pour le nouveau nom de ma leçon, je vous propose &quot;Cinématique du point&quot;.
: {{Notif|DavidMaxwell}} Merci bien, c'est noté. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 20 novembre 2016 à 17:50 (UTC)

== Notification de plainte pour harcèlement  ==
Sur cette page [[Discussion Wikiversité:Prise de décision]], votre comportement est grave, vous mettez en doute ma probité. Votre attitude n’est pas compatible avec les modes de fonctionnement de la communauté Wikimedia. J’ai formulé un appel à commentaire sur MetaWiki en dénonçant vos attaques. Voir [[m:Requests for comment/Harassement from Lydie Noria on Wikiversité]]. --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 1 décembre 2016 à 12:09 (UTC)
: Votre comportement sur la Wikiversité est totalement anormal. Je ne sais pas si c'est votre probité, votre jugement, votre pertinence qu'il faut mettre en doute. Il me semble absurde que vous soyez systématiquement à contre courant. Vous ne respectez rien. Vous critiquez tout. Dans la prise de décision [[Projet:Wikiversité/Recyclage de cinq facultés en département]], votre participation a été purement négative. Vous avez tout critiqué jusqu'au vocabulaire employé pour ne finalement pas voter. Vos commentaires sont dépourvus de logique et sans consistances. Vous lancez des affirmations gratuites. Vous faites perdre du temps aux utilisateurs qui interviennent pour essayer de vous raisonner. On est trop sympa avec vous. Sur Wikipédia, je pense que votre compte aurait été bloqué depuis longtemps. Je me demande si vous n’êtes pas tout simplement un [[w:Troll (Internet)|troll]] qui prend plaisir à créer des conflits. La seule chose qui semble indiquer le contraire, c'est la temps que vous avez passez au labo à faire des statistiques et des observations sans pertinences sur la Wikiversité. J'ai bien peur que même vos statistiques soient fausses depuis que vous avez affirmé qu'il y a beaucoup plus de leçons dans la Wikiversité que ce que tout le monde croit. On risque même de devoir supprimer ce que vous avez fait avec pour motif « informations douteuses ». On ne va pas tout vérifier pour trier le vrais du faux. — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 1 décembre 2016 à 15:15 (UTC)
:{{notif|Youni Verciti}}Et surtout n'oublie pas de dire à la communauté Metawiki que de ton côté tu respectes clairement les consignes édictées par la communauté wikiversité et qu'à chaque remarques objectives de respecter les consignes tu les observes sans rien dire puisque dixit la communauté. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 1 décembre 2016 à 20:51 (UTC)

== Suppr ?  ==

Bonjour. Je viens de lire : &quot;Algorithmique/Les tableaux (Ébauche à l'abandon depuis plus d'un an)&quot;. Même après m'être difficilement calmé, je ne comprends pas pourquoi vous avez préféré supprimer la page, plutôt que de l'améliorer... [[Utilisateur:Domsau2|Domsau2]] ([[Discussion utilisateur:Domsau2|discussion]]) 19 décembre 2016 à 00:50 (UTC)
:{{notif|Domsau2}} Tout le monde aurait pu compléter la page. Personne ne l'a fait depuis 2012 qui est une page vide. Alors pourquoi demain quelqu'un le ferait. Il y aurait quelques, elle aurait été conservé. Mais à quoi bon conserver une page vide ?. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 19 décembre 2016 à 07:57 (UTC)

:{{notif|Domsau2}} Cette suppression résulte du [[Projet:Wikiversité/Validation des nouvelles pages]]. On est obligé de supprimer les ébauches à l'abandon. Si on ne le faisait pas, la Wikiversité serait rempli de leçons vides, ce qui serait du plus mauvais effet pour les visiteurs. Mais si vous souhaitez personnellement compléter cette leçon, vous pouvez demander son rétablissement. Contrairement à Wikipédia, une ébauche créée sur la Wikiversité et abandonnée par son créateur a, statistiquement, très peu de chance d'être complétée par quelqu'un d'autre. Cordialement. — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 20 décembre 2016 à 13:47 (UTC)

== Proposition ==

Voici ma '''[[Discussion:Solide_de_Platon#Perspective|proposition]]'''. &amp;nbsp; [[Spécial:Contributions/109.6.129.249|109.6.129.249]] 20 décembre 2016 à 16:40 (UTC)

== ???? ==
Bonsoir Lydie. Je découvre [https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité%3APages_%C3%A0_supprimer%2FRecherche%3ACollaboration_juive_sous_le_nazisme&amp;type=revision&amp;diff=651142&amp;oldid=615424 ça] avec étonnement. Est-ce la rectification d'un simple problème de forme ou une remise en cause de la conclusion de la précédente PAS ? Cordialement.--[[Utilisateur:Claude PIARD|Claude PIARD]] ([[Discussion utilisateur:Claude PIARD|discussion]]) 22 avril 2017 à 21:28 (UTC)
:P.S. : je serais en déplacement à l'étranger et à 100 lieues de tout ordinateur de demain soir à samedi matin.--[[Utilisateur:Claude PIARD|Claude PIARD]] ([[Discussion utilisateur:Claude PIARD|discussion]]) 22 avril 2017 à 21:28 (UTC)</text>
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      <timestamp>2026-10-04T12:06:38Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Crochet.david.bot</username>
        <id>1005</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Robot : conversion/correction du HTML</comment>
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      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="83174" sha1="ijzmpk06zbah3a3g0bv5xpxafbxoh4q" xml:space="preserve">{{Bienvenue}}

J’ai répondu dans [[Wikiversité:Requêtes_aux_contributeurs#Licence_en_assurances]]. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 23 janvier 2016 à 15:08 (UTC)


== '''Résolu et traité''' : À propos de la leçon [[Certificat de qualification professionnelle CQP Chargé de clientèle assurance]]  ==

Bonjour et bienvenue sur la Wikiversité. Compte-tenu de l’ampleur de votre leçon, j'attire votre attention sur la possibilité de faire des leçons dont les chapitres sont des sous-pages. Voir par exemple :
* [[Branches de la finance]]
* [[Systèmes monétaires]]
Pour plus de détails, vous pouvez consulter la page d'[[aide:Comment créer une leçon]]. Si je peux vous être utile, n'hésitez pas ! {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 13 février 2016 à 17:47 (UTC)
:'''Résolu''', Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 19 février 2016 à 10:45 (UTC)

== Niveau Unité de valeur  ==

Bonjour Noria et merci d'ores et déjà pour votre soutien...
Je me rend compte qu’il me manque un niveau quand je m'inspire des chapitres que vous m'avez conseillé de consulter : 
C'est le niveau UV dans un certificat.
Le 1er cours que je tente de wikifier est l'UV 3 parmi 4 donc il faut que mon introduction générale de niveau Certificat prévoit les 4 UV et il faut avant les chapitres de mon 1er cours la mise en place du niveau UV.
Comment faire ?
Merci d'avance
Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 15 février 2016 à 15:08 (UTC)
: Bonjour, si [[Certificat de qualification professionnelle CQP Chargé de clientèle assurance]] représente l'UV 3, alors il faut que vous créiez un cours. Sur la Wikiversité, un cours est un ensemble de leçons (Voir l’[[aide:Comment créer un cours]]). On va donc dire qu’il y a 4 leçons et chaque leçon est une UV. Il faut donc créer un cours de quatre leçons. Dans le cas présent, on assimilera un cours à un certificat et les quatre leçons du cours sont ses UV. Par exemple, le cours [[Système d'Information pour Stratégie et Pilotage d'Entreprise]] comprend 17 leçons, mais vous pouvez n'en mettre que 4, une pour chaque UV et vous pouvez présenter globalement ces 4 UV dans la présentation du cours. J'espère avoir été claire, sinon n'hésitez pas à me demander des précisions. Au pire, vous pouvez créer une page ayant pour nom, le nom du certificat et mettre dedans :
&lt;syntaxhighlight lang=&quot;text&quot;&gt;
{{Cours
  | idfaculté   = économie
  | département = &lt;br /&gt;[[Département:Finance]]
  | niveau      = 16
}}
&lt;/syntaxhighlight&gt;
: Et ensuite, vous cliquez sur les liens rouges pour créer les sous-pages du cours.
: S'il y a des problèmes, je corrigerai. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 15 février 2016 à 18:31 (UTC)

:'''PS :''' En fait, en relisant votre leçon, je me rends compte que vous lui avez déjà donné le nom du cours (certificat), alors que ce n'est que l'UV 3. IL faudrait renommez cette leçon de façon à ce qu'elle ne concerne que !'UV 3. Je peux vous aider à la renommer si vous me donnez un nom complet pour l'UV 3. « Développer et globaliser le portefeuille » me semble imprécis. Que pensez vous, par exemple, de « Développer et globaliser le portefeuille pour un chargé de clientèle assurance » — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 15 février 2016 à 19:18 (UTC)
::
::Bonjour Noria, encore merci... Je récapitule pour vérifier avoir bien compris, choisir la meilleure des solutions proposées compte tenu du travail effectué et poser des soucis de &quot;jeune puceau WkV&quot;... Le jeu consiste à ne pas consommer &quot;inutilement&quot; les niveaux possibles de WkV : Catégorie Mère/Catégories Filles/Cours/Leçon/Chapitre/ puis les niveaux à l'intérieur d'une page WkV (section/sous titre1/sous titre2/sous titre3/...). Et aussi de ne pas trop allonger le titre car sinon il est raccourci à l’utilisation lors du découpage de la leçon en chapitres...
:: Proposition : 
:: Le cours déposé est en fait l'UV 3 il faut donc modifier le titre pour l'appeler &quot;U3 CQP Chargé de clientèle Assurance&quot;... j’ai essayé de voir comment faire ce changement de titre : sans succès... Il faut remplacer &quot;Certificat de qualification professionnelle&quot; par &quot;U3&quot; pour toutes les catégories en cours.
:: Je construirai la leçon &quot;U4 Suivre et gérer le portefeuille&quot; : 4 chapitres dont 1 assez 'lourd'.
:: Je construirai la leçon &quot;U2-7 &quot; qui est la 7ème partie de &quot;U2 Proposer la meilleure offre et satisfaire le client&quot; : 5 chapitres dont 2 assez 'lourds'.
:: En introduction, chaque leçon récapitulera son positionnement par rapport à l’ensemble du CQP.
:: Des catégories ''ad hoc'' en amont donneront l'arborescence de tout le CQP... On les titrera ensemble pour ne pas tout emmêler... Catégorie mère : le certificat/1er niveau de fille : chaque UV (4)/ 2ème niveau de fille : Une partie dans une UV.
:: Nota : il est dommage que je n'ai pas trouvé une page spécifique dans les outils du bandeau de gauche &quot;Contribuer&quot; (ou ailleurs !) qui explique l'organisation et la structuration d'un cours, les différents modèles et catégories. Si cette page existe elle est trop &quot;enfoncée&quot; dans l'arborescence très (trop!) complexe... Le champ de recherche ne m'a pas été très utile pour trouver car, comme je ne connaissais pas les termes employés dans la structuration du WkV, je n'ai pas su comment formuler la requête !!!
:: Qu'en pensez-vous ? Merci, à bientôt, Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 16 février 2016 à 05:53 (UTC)
::: Bonjour ! J'espère ne pas vous avoir trop effrayé avec mes manipulations. J’ai transformé [[Certificat de qualification professionnelle CQP Chargé de clientèle assurance]] en cours et [[U3 CQP Chargé de clientèle Assurance]] est devenu une de ses unités de valeur. J’ai pris la liberté de récupéré le chapitre 2 pour en faire la présentation du cours, mais on peut toujours changer si vous y voyez un inconvénient. Je pense que la situation est un peu plus claire, mais tout est modifiable si vous le souhaitez. Qu'en penser vous ? {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 16 février 2016 à 10:32 (UTC)
::::Super Noria : De mon point de vue vous êtes la fée de Wikiversité... Je vais compléter la partie amont pour nous y voyions clair dans l'arborescence... Merci beaucoup, Guy--[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 16 février 2016 à 10:37 (UTC)
::::: Vous parliez, plus haut, de créer en amont une arborescence du CQP, j’ai donc effectivement prévu un encadré a cette fin. J’ai aussi mis des encadrés complément et annexe au cas où, mais on peut les annuler si vous n'en avez pas besoin. Vous cherchiez une page sur l'organisation de la Wikiversité. Nous avons la page [[Wikiversité:Organisation des enseignements]]. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 16 février 2016 à 10:43 (UTC)
:: Au secours Noria, je n'arrive pas à modifier l’introduction de la catégorie mère &quot;certificat&quot; qui détaille l'arborescence en 4 UV's (celle que vous avez récupérée). Lorsque je passe en mode modif je tombe sur le modèle &quot;cours&quot; dans lequel je ne peux pas modifer l'intro et en mode wiki non plus : je crois que j’avais créé une extension [...]/introduction pour la créationdu 1er cours... À l'aide SVP, Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 16 février 2016 à 10:51 (UTC)
::Pour modifier les cadres de couleurs, il faut utiliser les petits liens « modifier » qui se trouve dans un coin à droite dudit cadre. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 16 février 2016 à 10:58 (UTC)
::: Ok merci beaucoup : 
:'''Résolu'''... Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 16 février 2016 à 18:34 (UTC)

== Copier coller à partir d'un de mes textes en Word vers Wikiversité  ==

Bonjour Noria, Existe-t-il une procédure pour copier coller un texte personnel (sans copyright) saisi sous word dans une page WkV... Je pense notamment à des tableaux et à des schémas que j’ai moi-même confectionnés...
À bientôt, Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 16 février 2016 à 06:11 (UTC)
:Dans Word vous pouvez ''enregistrer sous'' un format HTML. Or les wikis sont compatibles avec la plupart des balises HTML, dont celles des tableaux. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 16 février 2016 à 07:38 (UTC)
:: J’ai vu dans les &quot;aides relatives au tableau&quot; qu’il valait mieux ne pas utiliser le mode HTML à cause des mal voyants, et d'ailleurs de limiter les schémas au strict nécessaire... Comme c’est tout de même plus rapide de mémoriser un schéma (selon l'adage &quot;un schéma vaut mieux qu'un long discours&quot;... Napoléon acte 1 scène 2 !) je vais : 1) éviter les schémas personnels, 2/ utiliser les schémas déjà dans WkP, tenter de construire les schémas incontournables sans HTML en gardant une lecture-exploitation pour les non voyants... Vos avis SVP, Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 16 février 2016 à 16:00 (UTC)
:::Dans ce cas, si vous avez le budget temps pour transcrire les tableaux en balises ''div'' c’est mieux, mais je n'en connais aucune automatisation simple. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 16 février 2016 à 16:39 (UTC)
:::: Merci JackPotte. En tant que &quot;puceau &quot; : Dois-je craindre &quot;le pire&quot; ??? et prendre le risque de me décourager ??? Comment font &quot;mes petits copains enseignants&quot; qui acceptent l'exigence pour les mal voyants ? A+, Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 16 février 2016 à 18:38 (UTC)

== Hyperlien amont pour le cours CQP Chargé de clientèle assurance  ==

Bonjour Noria, Il nous faudrait créer le lien entre le CQP et le niveau &quot;assurance&quot; inclut dans le département &quot;Finances&quot; lui-même inclut dans le niveau de la science &quot;économie&quot; : https://fr.wikiversity.org/wiki/Faculté:%C3%89conomie
D'avance merci, Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 16 février 2016 à 15:52 (UTC)
: C'est fait ! {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 16 février 2016 à 19:53 (UTC)
:: Bonjour et merci Noria, mais sur la page ci-dessus indique le mot &quot;Assurance&quot; n’est pas un hyperlien vers quelque chose... comme peut l'être &quot;Finance d'entreprise&quot; de cette même page... A+, Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 17 février 2016 à 09:09 (UTC)
:::C'est corrigé, mais sur le principe de la suppression de l'autre lien car il menait vers une page spécifique plutôt qu'une page généraliste. Comme cela, maintenant, l'apprenant ira dans la page du département où il trouvera l’ensemble des cours et leçons. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 17 février 2016 à 09:28 (UTC)
:::: Bonjour Noria, Cela me semble super comme cela et plus homogène avec les autres départements. Cela dit il y a 2 soucis : 
:::: - Celui lié à la nature des enseignements : enseignements fondamentaux (cours généraliste sur l'analyse de risque) ou enseignements professionnels liés à une formation qualifiante (formation métier).
:::: - Celui lié à l’arborescence des métiers de l’assurance
:::: Pour le 2ème souci : Puis je suggérer que sur la page https://fr.wikiversity.org/wiki/Département:Finance vous mettiez 'métiers de l’assurance' ou 'assurance' comme chapeau, qu’il y ait une liste de métier comme agent général, courtier, chargé de clientèle et actuaire ; que tout le certificat CQP et pas seulement U3 (qui est une seule UV ! Je vais déposer 2 autres cours de ce CQP) se trouve lié... J'espère être plus clair avec le schéma : 
:::: (Métiers de l')Assurance 
::::* Agent général
::::* Courtier
::::* Chargé de clientèle
::::** Chargé de clientèle toutes branches
::::***CQP chargé de clientèle assurance 
::::** Chargé de clientèle IARD
::::* Gestionnaire assurance de personnes
::::* Gestionnaire de production IARD
::::* Gestion de sinistre IARD
::::* Actuaire
:::: Puis je le faire moi-même ??? Merci encore, Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 17 février 2016 à 10:52 (UTC)
:::::Vous pouvez le faire vous-même si cela améliore. Il faut néanmoins préserver l'existant. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 17 février 2016 à 11:22 (UTC)
::::Ok pour enrichir l'existant et merci de votre confiance : je m'y mets cet après midi et reviens vers vous ensuite...Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 17 février 2016 à 11:35 (UTC)
::::: La façon dont est conçu ce département n’est pas un très bon exemple. Il faudrait éviter de détailler les chapitres, comme un contributeur l'a fait et éviter aussi de prévoir beaucoup de leçons à l'avance. Il faut imaginer ce que va devenir le département quand il y aura plus de 50 leçons et pour cela prendre exemple sur des départements qui ont déjà plus de 50 leçons comme [[Département:Analyse]]. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 17 février 2016 à 13:14 (UTC)
::::::Bonjour Noria, Je suis d'accord avec vous (toi) pour considérer qu’il n'y a pas à créer des arborescnce juste pour le plaisir... On doit néanmoins considérer que pour les assurances et autres matières professionnelles il y a 2 natures de cours : Les fondamentaux comme pour l'analyse mathématique (cela me rappelle mon DUES de maths physique de quand j'étais petit !) et les formations professionnelles comme celle du CQP. Aussi je vais faire quelque chose qui sépare les 2 natures et qui sera plus simple que ce qui est ci-dessus pour la part professionnelle. Attends une heure pour voir ce qui sera disponible : on en parle ensuite... A+ Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 17 février 2016 à 14:19 (UTC)
:'''Résolu''', Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 19 février 2016 à 10:44 (UTC),

== À propos du [[Modèle:Autres projets]]  ==

Bonjour, ce modèle s'utilise dans l' encadré « Voir aussi » en bas et à droite de la page [[Certificat de qualification professionnelle CQP Chargé de clientèle assurance]]. Voir par exemple le cours :[[Jeu d'échecs]]. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 19 février 2016 à 09:50 (UTC)
:Bonjour Noria, ok je regarde tout cela... et modifie la localisation en conséquence cet après midi... Nota : Je suis en train de découvrir les joies du lien bijectif entre projets et je &quot;transpire mon embonpoint sous les bras&quot;... Merci pour votre (ton) conseil, Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 19 février 2016 à 10:42 (UTC)
:'''Résolu''', Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 26 février 2016 à 17:48 (UTC)

== '''Résolu''' : À la recherche d'une licence  ==

Salut, existe-t-il une licence, s'inscrivant dans le schéma européen LMD, dans laquelle ton cours [[Certificat de qualification professionnelle CQP Chargé de clientèle assurance]] pourrait prendre place. Je voudrais profiter de ta présence pour compléter la page [[Scolarité en France/Licences]]. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 19 février 2016 à 12:21 (UTC)
: Bonjour Noria, oui il y a une licence assurance et un bachelor (= licence professionnelle en termes &quot;grosse maille&quot; !!!) mais je n'y ai pas enseigné car je ne suis pas diplômé de l'université pour cela. Je détiens mon expertise pour enseigner en CQP et en école privée grâce à mon expérience d'agent général assurances de personnes... De ce que je comprends de ta question : 
:1/ lien de mon cours avec un LMD : j’ai l'intention d'extraire de ce cours déposé les éléments fondamentaux en les positionnant par niveau. J'avais créé à dessein la case : Fondamentaux/analyse assurancielle du risque dans la page Finance. D'autres pourront/pourraient la rejoindre... Tel que le cours est en ce moment il peut se retrouver en Licence avec un petit travail d'enlèvement de toutes les références à la pratique professionnelle en parallèle (contrat de professionnalisation ou contrat en alternance), vu que les bachelors ne font qu'un projet tutoré et un stage en entreprise...
:2/ structure du LMD assurance : Veux-tu que je te cherche des liens avec des sites ''ad hoc'' ou préfères-tu que je le fasse ?  si oui dis moi où je dois compléter une page WkV... 
:Merci de ta confiance, A+ Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 19 février 2016 à 13:48 (UTC)
:: Je te remercie pour ta réponse. Je ne cherche pas des liens sur des sites, c’était pour savoir si ton cours pouvait constituer un module de licence et être accessible par la [[Scolarité francophone|scolarité]] (immédiatement en dessous de « Accueil » dans la colonne de gauche). C'est juste une facilité, mais nullement une obligation. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 19 février 2016 à 14:58 (UTC)
:::Coucou, comment veux-tu gérer le distinguo entre licence universitaire et licence pro... Je crains que les puristes de l'Université ne considèrent mon cours que comme un manuel de formation professionnelle permettant une embauche et non comme un enseignement universitaire dûment estampillé &quot;Faculté&quot; permettant une carrière ou de l'enseignement ou de la recherche... Ils pourraient être &quot;susceptibles&quot; et donc les consulter me semble de bon aloi... cela dit je peux faire... à toi de me dire, A+, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 19 février 2016 à 15:08 (UTC)Guy,
:::: Je ne me rend pas compte. Je ne suis pas une spécialiste de l’assurance. Je me posais juste la question au cas où. Ce n’est pas important. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 19 février 2016 à 15:30 (UTC)
:::::Indépendamment de l’assurance quid des formations universitaires par rapoort aux formations professionnelles ??? qui pourrait avoir un avis ??? À +, Guy--[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 19 février 2016 à 15:47 (UTC)
::::::Je dirais que ce n’est pas le plus important. ni l'universitaire, ni le professionnel n'a une chasse gardée sur ses formations. Quel que soit le lieu ou la méthode de formation dans la vie réelle (autodidacte, université, hypnose, incantation vaudou, transplantation de cerveau, etc.), il existe une formation, que l’on essaie au mieux de rapprocher du système quasiment connu de tous : le LMD. C'est en cela que la page [[aide:niveaux|des niveaux]] permet de lier la scolarité dans les différents pays francophones. L’idée globale est de s'extraire de toute structure spécifique pour se rapprocher d'une structure globale et logique. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 19 février 2016 à 16:05 (UTC)
::::::: Salut, ouaf j’ai bien rigolé avec le vaudou et la greffe d'encéphale....et je comprends l’idée d'ouverture sans ''a priori''... En fait je suis tellement sclérosé par les refus Wikipédia que je suis maintenant un peu frileux dès que je ne me sens pas totalement en situation... Ok je ferai dès que possible... avec votre bénédiction vaudou de validation, Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 19 février 2016 à 16:14 (UTC)
:'''Résolu''' n'étant pas enseignant dûment estampillé par la &quot;Faculté&quot; je préfère m'abstenir de créer les éléments de la licence universitaire et du Bachelor Assurances. Mais comme promis j’ai créé dans scolarité les 2 types de licences et ajouté le CQP de façon ''ad hoc''... ça va comme réalisé ?!? Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 26 février 2016 à 17:12 (UTC)

== '''Résolu''' :À propos des prérequis  ==

Pour les prérequis, il faut y comprendre les notions nécessaires pour pouvoir intégrer les notions de la leçon. Par exemple y mettre « baccalauréat » ne dit pas ce que je doit savoir pour comprendre. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 25 février 2016 à 06:40 (UTC)
: '''Résolu''', prérequis modifiés, Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 26 février 2016 à 17:13 (UTC)

== '''Résolu''' : Problème  ==

Bonjour, Peux-tu me dire ce que tu fabriques. Nous avons d’abord la [[:Catégorie:Analyse assurancielle du risque]] qui est catégorisée dans elle-même d'où le message Modèle en « boucle détecté ». Nous avons ensuite la page [[Le danger]] qui n'est rattachée à rien ? {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 26 février 2016 à 10:17 (UTC)
:Bonjour, je suis perdu... J’ai une boucle dont je ne sais pas trouver &quot;une&quot; porte d'entrée par la stopper : l'aide ne m’est d'aucun recours... J'allais te solliciter pour le versement de la partie fondamentale de mon cours professionnel vers les catégories ''ad hoc''. J’ai un problème de méthode : Faut-il vraiment créer les pages de chapitre avant de les catégoriser comme j’avais compris ??? Merci, Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 26 février 2016 à 10:23 (UTC)
:: Il faut d’abord créer la page de sommaire avant de créer les chapitres en cliquant sur les liens rouges apparaissant dans la page de sommaire. Voir ma correction dans [[Analyse assurancielle du risque]]. Les chapitres sont des sous-pages du sommaire, j’ai donc renommé ton premier chapitre en [[Analyse assurancielle du risque/Le danger]] pour qu'elle apparaisse dans le sommaire. La catégorie de la leçon doit être catégorisé dans la catégorie du cours et dans la catégorie du département (et pas dans elle-même). J’ai donc recatégorisée [[:Catégorie:Analyse assurancielle du risque]] dans la [[:Catégorie:Finance]] en attendant le cours. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 26 février 2016 à 10:34 (UTC)
::: Merci déjà pour tout : je modifierai ma procédure en indiquant cette étape de création du sommaire que tu avais peut-être fait lors de mon 1er versement ou bien je ne l'avais pas noté explicitement sur mon livre de bord. Merci de tuer un article [[L’analyse assurantielle du risque]] et sa catégorie... Pardon pour le souci, A + Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 26 février 2016 à 10:40 (UTC)
:'''Résolu''', Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 26 février 2016 à 17:02 (UTC)

== Informations complémentaires  ==

J’ai vu que tu a catégorisé les chapitres de ta nouvelle leçon en mettant &lt;nowiki&gt;{{Catégorie:Analyse assurancielle du risque}}&lt;/nowiki&gt; en bas de page. D'abord, il faut mettre des crochets et pas des accolades : &lt;nowiki&gt;[[Catégorie:Analyse assurancielle du risque]]&lt;/nowiki&gt;. Ensuite, ce n’est pas la peine de catégoriser les pages qui ont un modèle de début de page, car ce modèle assure la catégorisation automatique de la page (ici le [[modèle:Chapitre]]). Les pages seront automatiquement catégorisées quand tu mettra le [[modèle:Chapitre]]. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 26 février 2016 à 11:38 (UTC)
: Merci Lydie, je n'ai pas la même structure de catégories entre l'U2 du CQP : [[:Catégorie:U2_CQP_Chargé_de_clientèle_Assurance]] qui contient des catégories:U2[...]/titres de chapitre et la catégorie:analyse assurancielle du risque [[:Catégorie:Analyse_assurancielle_du_risque]] dans laquelle il n'y a pas ces titres de chapitre : Erreur ou c’est lié à la structure des UV ??? Merci, Guy,
:: S'il n'y a pas les titres de chapitre dans la [[:Catégorie:Analyse assurancielle du risque]], c’est parceque tu n'as pas encore mis les [[modèle:Chapitre]] en haut des pages concernées. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 26 février 2016 à 11:57 (UTC)
::: Wouaouh !!! ma procédure est encore vraiment très balbutiante... Merci, je m'y mets cet après midi... Je vais manger... Merci A + Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 26 février 2016 à 12:00 (UTC)
:::: Bon appétit ! {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 26 février 2016 à 12:01 (UTC)
:::::'''Résolu''', Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 26 février 2016 à 17:03 (UTC)

== '''Résolu''' : À propos de la page [[Scolarité en France/Licences/Sous structure]]  ==

Salut, j’ai vu que tu as rajouté ton cours dans la page [[Scolarité en France/Licences/Sous structure]]. Cette page est réservée aux licences. Il ne faut pas y mettre directement des cours. Les cours se trouvent dans les licences. Voir par exemple la page [[Licence de mathématiques (France)]] où il y a tous les cours utiles à la Licence de math (La page [[Licence de mathématiques (France)]] étant accessible à partir de [[Scolarité en France/Licences/Sous structure]]). C'est pour cela que je te demandais plus haut si ton cours pouvait être enseigné dans une licence, c’était pour rajouter cette licence dans la page [[Scolarité en France/Licences/Sous structure]], créer ensuite la page de la licence en question (comme [[Licence de mathématiques (France)]]) dans laquelle j'aurais mis ton cours. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 26 février 2016 à 20:03 (UTC)
: Bonjour Noria {{notif|Lydie Noria}}, merci. Comme je te l'avais dit dans un post précédent : un {{Abréviation|BTS|brevet de technicien supérieur}} + le CQP = Licence professionnelle (Bac + 3) et j’ai bien indiqué dans le préambule (page chapeau du CQP) qu’il fallait un bac + 2 au moins ( 2ème année de licence ou BTS) pour pourvoir postuler et avoir le CQP. D'autre part, je dis ailleurs que cette année de CQP est une transition entre le {{Abréviation|BTS|brevet de technicien supérieur}} et la Master pour ceux qui souhaitent continuer dans une voie soit universitaire, soit professionnelle. Cette année de CQP s'inscrit donc bien dans une structure LMD.... Certes mon cours ne couvre pas tout le contenu du CQP Il manque U1 et 6 UV de U2... Néanmoins, je pensais finir l'action que j’avais prise en modifiant la page des licences et en respectant ce que je considérais comme un accord entre nous !... Pardon pour la méprise !... Comment fait-il modifier ? Le fais-tu ou le fais-je ? À + Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 27 février 2016 à 14:49 (UTC)
:: Bonjour, Mon souci est surtout un souci de présentation. J’ai donc modifié la page [[Scolarité en France/Licences]] de façon à ne pas rentrer directement dans ton cours, mais de façon à rentrer dans la page [[Licence professionnelle en assurance (France)]] où ton cours est présenté. Qu'en penses-tu ? {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 28 février 2016 à 10:52 (UTC)
::: Coucou Noria {{notif|Lydie Noria}}, comme tu l'as présenté, c’est effectivement plus homogène avec les autres filières... Faudra penser à généraliser cette dichotomie des dimensions universitaire / professionnelle... Merci en tout cas, je me sentais un peu morveux sur ce coup là... A+, Guy,
::: Noria {{notif|Lydie Noria}}, le lien : [[:Catégorie:Licence_professionnelle_en_assurance_(France)]] tombe dans le vide... Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 28 février 2016 à 11:15 (UTC)
::::Théoriquement corrigé. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 28 février 2016 à 11:23 (UTC)
:::
:::: Cette fois je crois que ça commence à être convenable, j’ai mis à jour ton cours [[Certificat de qualification professionnelle CQP Chargé de clientèle assurance]] pour pouvoir accéder à la page [[Licence professionnelle en assurance (France)]]. À tout hasard, j’ai aussi créé la page [[BTS Assurance (France)]] au cas où ! {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 28 février 2016 à 12:34 (UTC)
::::: Au secours Noria {{notif|Lydie Noria}}, je ne trouve pas le moyen de mettre en fond bleu pastel l'encart relatif à tout ce qui est pédagogie de mon cours CQP. La présentation non plus... Merci A + Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 28 février 2016 à 17:19 (UTC)
:::::: Dans tous les cours, la présentation est laissé sur fond blanc, ça risque d’être moche sinon. Pour les compléments, s'il est sur fond blanc, c’est pour laisser une certaine liberté à l'auteur. Par exemple dans [[Jeu d'échecs]], j’ai mis un fond noir pour y représenter les pièces. J’ai transféré le contenu des compléments dans un cadre option2, comme cela, tu as un un fond bleu. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 28 février 2016 à 17:38 (UTC)
:{{notif|Lydie Noria}} Merci mille fois
:'''Résolu''', Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 29 février 2016 à 13:14 (UTC)

== À propos de [[Aide:Versement d'un cours totalement fondé]]  ==

Bonjour. J’ai vu passer quelques modifications, mais qui ne sont pas forcément les tiennes car je n'ai pas fait de recherches dans l’historique. Dans une page d'aide, il faut éviter au mieux l'usage de nom d'utilisateur dans l'aide. Pourquoi ? Ces pages sont très peu revues en correction, il pourrait se passer 4 ou {{Unité|5|ans}} sans que personne ne vérifie si ce qui est dit est toujours vrai. Avant qu’il y ait un journal des modifications implanté par les services techniques de wikimedia, on ne savait même pas les modifications du logiciel mediawiki et leurs conséquences. Il en est de même pour nous, « être humain ». Des premiers contributeurs, peu sont encore là. Et ils ne disent pas quand ils partent. En conséquence, lorsque dans cette page tu fais référence à des personnes (il faut les éviter !) ou il faut être certain qu’il soient au courant que leur nom est là, comme cela le jour où ils ne pourront/voudront plus être sur wikiversité autant qu'avant, ils pourront retirer leur nom et ainsi éviter d’être contactés pour non réponse. D'autre part, il n'est rien de plus désagréable de se dire que je peux contacter une personne, que je la contacte, et que j'attende des jours sa réponse... qui ne viendra pas. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 27 février 2016 à 07:29 (UTC)
: Bonjour, Modifié. Comme il s'agit de &quot;patrouilleurs actuels&quot; je pensais, abusivement, leur rendre &quot;hommage&quot; en précisant l'origine de ma rédaction... Pardon pour le non respect d'une règle tacite... D'autre part, suite à des propositions de patrouilleurs, je vais enlever ce texte de l'aide et en faire une leçon ; l'aide ne donnera qu'une piste et un lien vers la leçon.
:Pseudos enlevés de l'aide : '''Résolu''', Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 27 février 2016 à 15:10 (UTC)
Je profite aussi de l’occasion pour rajouter ma remarque personnelle sur cette page d'aide en attirant ton attention sur le fait que la Wikiversité n’est pas française mais francophone. Il serait souhaitable d’utiliser dans toutes les pages d'encadrement comme les pages d'aide un français de base compréhensible par tous les pays francophones. En particulier, un français exempt de [[w:Figure de style|Figures de styles]] ou d'expressions que seul certains initiés peuvent comprendre. J’ai relue ta page et je doit avouer que j’ai du mal à comprendre certains passages. Je suppose, par exemple, que la page chapeau est la page du sommaire, mais pourquoi prendre des risques sur la compréhension et ne pas parler simplement de la page du sommaire. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 27 février 2016 à 09:49 (UTC)
: Noria, merci de ton commentaire : C'est une dimension nouvelle pour moi... que de parler à des francophones... Donc :  Merci de lister tout ce qui n’est pas francophone... La leçon qu’il me reste à créer sera pensée avec cette nouvelle dimension. As-tu eu l’occasion de parcourir mes cours et relever des incompréhensions françaises et/ou francophones ??? je modifierai en conséquence. De toute façon, je relierai à la lumière de ce riche commentaire qui peut rendre le propos plus &quot;universel&quot;...
: Page chapeau ==&gt; page sommaire : '''Résolu''' D'avance merci, Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 27 février 2016 à 15:10 (UTC)


== Statut de patrouilleur  ==

Bonjour, compte-tenu de ta motivation et de ton expérience acquise sur la Wikiversité, je t'ai promu au statut de &quot;patrouilleur&quot;. Rassures-toi, cela ne t'engage à rien. Tu trouveras des informations complémentaires dans [[Wikiversité:Patrouille RC]] et [[Aide:Patrouille RC]]. bonne continuation ! {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 3 mars 2016 à 12:28 (UTC)
: {{notif|Lydie Noria}}, Ce post me fait à la fois :
: plaisir (infiniment !) car je souhaite partager et faire partager... et que si cela a été remarqué cela me procure des strokes super positifs...
: stress (positif) car je dois me responsabiliser pour être à la hauteur des espoirs, des enjeux et objectifs de la communauté wiki...
: Pour tout cela, je te remercie, et compte sur toi (et d'autres wiki-expérimentés !) pour continuer à me servir de &quot;main courante&quot;... À +, Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 3 mars 2016 à 13:19 (UTC)

== '''Résolu''' Blason rouge A blanc ???  ==

{{notif|Lydie Noria}} Bonjour, as-tu une idée de ce que veut dire et représente le blason couleur rouge avec un A majuscule couleur blanche à gauche du logo WkV et WkP mais pas les autres onglets de Firefox ??? Si je mets le curseur dessus il m'ouvre un pop up &quot;Play&quot;... Est-ce que cela pourrait être lié à mon nouveau statut de &quot;patrouilleur&quot; ou à un &quot;plug in&quot; de Firefox ??? D'avance merci. Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 4 mars 2016 à 17:40 (UTC)
:Peux-tu faire une copie d'écran  et le mettre sur un site de partage temporaire, un statut sur un projet ne peut pas avoir de conséquence sur un autre projet, il sont indépendant. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 4 mars 2016 à 18:15 (UTC)
:: Pardon c’est le plug in &quot;AdBlock Pub&quot; qui colle ce blason : je l'ai désactivé pour WkP et WkV vu qu’il n'y a pas de pub... Merci pour la réponse, 
: '''Résolu''', Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 4 mars 2016 à 18:37 (UTC)

== Encore à propos de [[Aide:Versement d'un cours totalement fondé]]  ==

Salut, ta page [[Aide:Versement d'un cours totalement fondé]] fait polémique dans la salle café (voir : [[Wikiversité:La salle café/mars 2016#Traduction]]). Un contributeur semble reprocher aux administrateurs de t'avoir laissé faire une page pareille qui suppose une grande expérience de la Wikiversité. Je pense qu’il faudrait que tu revoies toute la rédaction de cette page dans un style plus clair et plus concis. De la façon dont tu l'as rédigée, j’ai même peur que cette page fasse fuir les nouveaux contributeurs en leur faisant croire que faire un cours dans la Wikiversité est compliqué. Les contributeurs sont déjà effrayés à l’idée d’utiliser le [[modèle:Leçon]]. Si, en plus, tu leur racontes que « l'arborescence de la Wikiversité est construite sur la base d'une organisation catégorielle qu’il faut découvrir et connaître » (surtout en parlant de « structures matricielles »). S'il faut qu’il se soucis de « bien mettre en place les liens ''ad hoc'' avec ce qui existe », qu'« il est nécessaire de trouver la racine de placement du cours à verser afin de générer le lien amont ''ad hoc'' ». Que « Chaque morceau du cours possède une relation privilégiée avec les catégories et les niveaux de la Wikiversité existante qu’il vous faut définir ». En plus, il faut préparer le moule qui sera le réceptacle du versement ??? Qu'est-ce qu'un encart ??? et ainsi de suite. Quand j’ai parlé de la page chapeau, il s'agissait d'un exemple parmi une multitude d'autres. Les nouveaux contributeurs n'ont vraiment pas besoin de connaitre tout cela pour débuter. Généralement, il commence par faire une simple leçon. La notion de cours avec le [[modèle:Cours]] est très rarement abordée avec les nouveaux (tu es une exception, car tu as provoqué la chose dans le paragraphe &quot;Niveau Unité de valeur&quot; plus haut).

Sur la Wikiversité, les choses sont plus simples que cela. Généralement, on commence par faire des leçons. Éventuellement, s'il s'agit d'une série de leçons appartenant à un cours, on crée un cours pour contenir les leçons. Mais tous les détails comme la construction de tableaux, les catégories, les éventuelles références bibliographiques ou notes en bas de page, les liens et interwikis, etc.. tout cela est apporté au fur et à mesure des besoins par les patrouilleurs. Dans ton contexte particulier, tu voulais faire un certificat qui contenait des unités de valeur. On a donc assimilé &quot;cours&quot; à &quot;certificat&quot; d’une part et &quot;leçon&quot; à &quot;unité de valeur&quot; d’autre part, et donc les unités de valeur ne contiennent pas des leçons comme tu le dis dans [[Aide:Versement d'un cours totalement fondé]]. Je pense qu’il ne faut pas confondre ton contexte particulier avec tous les contextes très diversifiés de tous les contributeurs d'origine très diverses pouvant intervenir sur la Wikiversité et qui voudraient faire partager leur cours.

Je pense que ta page d'aide présente un intérêt, mais il faudrait la présenter plus simplement en différenciant bien ce qui est essentiel de ce qui est moins important. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 7 mars 2016 à 14:11 (UTC)
:Je rejoins [[user:Lydie Noria|Lydie Noria]] sur ce sujet. Il faut utiliser des termes simple clair et non policé. Pour moi, un rugbyman ne joue pas avec un référentiel rebondissant aléatoire et un nageur n'évolue pas dans un milieu aquatique profond standardisé. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 7 mars 2016 à 17:51 (UTC)
:: {{notif|Lydie Noria|Crochet.david}} 1/ Urgence : mettez la page dans un endroit inaccessible (aux nouveaux) mais donnez moi la possibilité de la récupérer. 2/ Ensuite je vous avais dit que je travaillais sur un cours WkV complet relatif à ce versement qui annule et remplace cette page d'aide (construite au fil de mon tableau de bord)... J’ai promis de faire des efforts de simplicité. 3/ la page d'aide WkV qui reste à créer elle aussi, renverra les intéressés vers le cours WkV. 4/ j’ai un autre cours sur le &quot;management des opérations&quot; totalement terminé à verser. 5/ Je peux m'en tenir qu'au versement de de cours et laisser tomber cette page WkV en création que l’on pourra détruire tout simplement. 6/ Maintenant si vous considérez que les profs qui ont déjà leur cours totalement terminés comme des non clients de la wikiversité parce que seules les leçons (sans cours, sans UV, et autres caractéristiques de l'enseignement universitaire) sont dans le référentiel : il n'y a qu’à me le dire : ma vie est riche d'autres potentialités, et je n'en voudrais à personne de me dire &quot;d'aller jouer ailleurs&quot;... Ma carapace peut aussi entendre cela... L'autre solution c’est de faire confiance aux êtres humains : les informaticiens ne comprennent pas sans faire d'effort le référentiel bondissant et les enseignants ne comprennent pas sans faire d'efforts le wikicode et toute la syntaxe des modèles.... Alors j’ai fait l'effort pour mettre au niveau de la WkV et je vous sais capable de comprendre ce que je vais raconter simplement une fois que mes idées seront claires... À +, Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 8 mars 2016 à 19:49 (UTC)
:::Le problème n’est pas le fond, et je dirais même au contraire, tu a un point de vue neuf, tu as réussi à te démerder pour réussir, et tu veux partager cette expérience. Le problème, c’est la forme, mais surtout le langage utilisé. Pour que la page d'aide que tu proposes soit le plus rapidement utilisable et que chacun puisse se l'approprier, il faut des termes simples, précis, concis. Continue comme tu l'as pensé, mais met-toi à la place d'une personne qui n'y connaît rien et une personne qui n'y connait rien ou peu, n'a pas envie de traduire dans son langage ce qu’il a mis tant de temps à comprendre déjà. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 8 mars 2016 à 20:37 (UTC)
::
::: Comme tu l'as suggéré, j’ai mis la page dans un endroit inaccessible aux nouveaux, voir [[Utilisateur:Guy6631/Versement d'un cours totalement fondé]]. Elle est dans ton espace utilisateur. Comme cela, tu peux y travaillé tranquillement ou la conserver pour usages divers. Les utilisateurs qui veulent rédiger tranquillement certaines pages sans être dérangés par d'autres utilisateurs, peuvent commencer par rédiger ces pages dans leur espace utilisateur et les transférer ensuite, seulement quand elles sont achevées, dans l'endroit adéquat de la Wikiversité.  Crois bien que l’on apprécie ton investissement dans la Wikiversité et que l’on t'en remercie. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 9 mars 2016 à 10:26 (UTC)
:::: Merci Lydie, Merci David. Crochet, je vais poursuivre dans le contexte et le sens que tu évoques. Est-ce que vous aurez visibilité sur ma page de travail ? que faut-il que je fasse pour cela ? : Monter la page de procédure et la page d'aide avec des termes simples de la vie de tous les jours dans mon espace utilisateur avec votre soutien actif si nécessaire. Je vous demanderai la validation forme et contenu à l'issue. On verra ensuite ce que l’on fait. Il n’est pas impossible que je mène les opérations de versement de mon cours comme TP de ma procédure afin de valider les étapes et les termes toujours avec votre soutien actif si nécessaire. A+, Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 9 mars 2016 à 13:39 (UTC)
:::::Toute page est visible et donc lisible par tout le monde. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 9 mars 2016 à 16:48 (UTC)

== Quelques liens qui pourraient te servir.  ==

Salut Guy,
En parcourant le net je suis tombé sur quelque lien qui pourrait te servir dans l'importation de tes travaux. J'espère qu’il n'arriverons pas trop tard...
*http://uses.plantnet-project.org/fr/Aide:Outils_et_astuces_pour_écrire_avec_Mediawiki#Conversion_de_Word_en_Mediawiki
*https://en.wikipedia.org/wiki/Help:WordToWiki
*http://openwetware.org/wiki/Converting_documents_to_mediawiki_markup
Bien à toi, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 13 mars 2016 à 21:37 (UTC)
: Salut Lionel et mille merci, {{notif|Lydie Noria}}, Thème &quot;Numériser un cours en présentiel&quot; : je connaissais le sujet car j’ai enseigné dans une école privée (voir IONISX : https://ionisx.com/) qui était en train de changer son modèle économique en utilisant les {{Abréviation|MOOC|Massive Open Online Course|en}} et autres nouvelles techniques-technologies pour élargir sa gamme de formation tout en réduisant ses coûts de fonctionnement (Comme les citrons, on se débarrasse des professeurs une fois qu'on les a pressés en enregistrant leurs cours !!!). Cela pose la question du positionnement de wikiversité par rapport au monde de la formation et des MOOC... Pour moi WkV n’est pas en compétition frontale avec les {{Abréviation|MOOC|Massive Open Online Course|en}} et doit veiller à ne pas y entrer... LE jeu c’est de rester sur le '''contenu académique''' et non sur la pédagogie pour le faire rentrer dans la tête des apprenants, pour aider à choisir et à changer et pour décider de l'appliquer en tant que pratiques/comportements/usages/us/mœurs... Sinon on se retrouve en face de FUN ou de COURSERA et là, il me semble, que c’est un autre monde dans lequel nos &quot;petites mains de bénévoles zappeurs&quot; ne sauront pas appréhender tous les enjeux : Exemple je ne me vois pas, comme sur les forums de ces 2 plate-formes, en train d'écrire des posts sur la page discussion de la Wikiversité pour répondre en temps réel à un apprenant lisant &quot;mes cours&quot; (nota : j’espère perdre rapidement la &quot;paternité&quot; quand ils seront repris et modifiés par d'autres bénévoles !)... Thème &quot;Numériser un cours en présentiel pour en faire un cours dans la WkV&quot; : Là c’est compliqué et j'apprends !!!... et tes informations me sont utiles : il y a déjà de la matière dans les wikis mais on y dit souvent &quot;ce que l’on pourrait faire si&quot; pas &quot;ce que l’on doit faire pour...&quot; et/ou &quot;ce que l’on doit faire quand on veut...&quot;. Charge à moi d’en faire un outil pragmatique pour un nouvel entrant... En bref, dans la formation il y a 4 facteurs : Le savoir, l'apprenant, le formateur, la pédagogie. Je crois qu’il faut se positionner dans : &quot;WkV est une base de données relative au &quot;Savoir&quot; exclusivement ! comme une encyclopédie liée aux Savoirs&quot;... Je vous tiens au courant. Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 15 mars 2016 à 11:33 (UTC)
::On peut se tutoyer si tu veux. Tu te lances dans un beau projet et je partage tes idées : Wikiversité ne doit être complémentaire au {{Abréviation|MOOC|Massive Open Online Course|en}} et le monde du travail ressemble parfois à un presse citron où l’on peut se retrouver du jour au lendemain, sans reconnaissance malgré toute une expérience accumulée. Question paternité, la licence appliquée à l’ensemble du projet garanti que tu le veuilles ou non la paternité au niveau de ta participation à chaque page du projet. Cette paternité est cependant partagée entre toute les personnes ayant édité une page sans distinction faite de la quantité de travail apporté. Enfin ce qui doit apparaître en termes de paternité suite obligations liée à la licence c’est ton nom d'utilisateur et pas ton identité réelle.  Bon courage pour la suite ! [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 15 mars 2016 à 14:21 (UTC)

== Stand By  ==

Bonjour, {{notif|Lydie Noria|Lionel Scheepmans|Crochet.david}} je me suis mis en stand by sur WV car j’ai suivi les 5 semaines du WikiMOOC et que j’ai un article à finir avant publication WP. Je compte me replonger dans mes projets WV ci-dessus indiqués suite à cela. À bientôt, Guy, --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 31 mars 2016 à 06:30 (UTC)

== Nouvelle prise de décision au sujet de l'installation de Flow dans la Wikiversité  ==

Bonjour,

Une prise de décision concernant l'installation de [[w:wikipédia:Flow|Flow]] dans la Wikiversité vient d'être lancée. Vous êtes invité à en discuter et voter sur la page : [[Projet:Wikiversité/Flow]].

Une belle fin de journée !

[[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 14 juin 2016 à 17:06 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=585023 --&gt;

== Nouvelle prise de décision en cours  ==

Bonjour,

Une nouvelle [[Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Collaboration juive sous le nazisme|prise de décision communautaire au sujet de la suppression d'une page de recherche est en cours]]. Soyez les bienvenus pour apporter vos commentaires et vos avis. Une belle fin de journée à tous. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 26 octobre 2016 à 21:42 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=607578 --&gt;

== Nouvelle prise de décision  ==

Bonjour,

Une nouvelle prise de décision est organisée sur le recyclage de cinq facultés en département. Vous êtes invités à en discuter et voter sur le [[Projet:Wikiversité/Recyclage de cinq facultés en département]]. Cordialement.
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=614606 --&gt;

== Prise de décision sur les facultés de langues  ==

[[Utilisateur:Amqui|Amqui]] a lancé une prise de décision sur la page [[Projet:Wikiversité/Langues]]. Vous êtes invités à venir en discuter. L'objet du ou des votes n'a pas encore été clairement précisé. Si l'objet de la discussion vous intéresse, veuillez garder un œil sur la page pour voter le cas échéant. Cordialement. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 19 février 2017 à 04:05 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=614606 --&gt;

== Installation d'extensions pour visualiser des vidéos externes dans la Wikiversité  ==

Bonjour, une prise de décision a été lancée dans le [[Projet:Wikiversité/Installation d'un lecteur de vidéos externes]]. Vous êtes invités à venir en discuter. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 6 avril 2017 à 19:59 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=614606 --&gt;

== Votes sur les facultés de langues  ==

Bonjour, la phase de vote a démarrée sur le [[Projet:Wikiversité/Langues]]. Vous êtes cordialement invité à venir voter. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 24 avril 2017 à 04:21 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=614606 --&gt;

== Nouvelle prise de décision importante sur les principes de bonne gouvernance  ==

Bonjour, vous êtes invité à participer à une prise de décision importante pouvant potentiellement déboucher sur la mise en place de principes de bonne gouvernance au sein du projet Wikiversité francophone. Les enjeux, discussions, propositions à voter et les votes éventuels auront lieu sur la page [[Projet:Wikiversité/Principes de bonne gouvernance]]. En espérant vous y retrouver, on vous souhaite une très agréable fin de journée, [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 28 avril 2017 à 09:00 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=651778 --&gt;

== Nouvelle prise de décision au sujet de Flow  ==

Bonjour, vous êtes invité à participer à une prise de décision au sujet d'une potentielle expansion de Flow sur les pages de discussions au sein de Wikiversité. Le rendez-vous est fixé sur la page [[Projet:Wikiversité/Flow 2]]. En espérant vous y retrouver nombreux, on vous souhaite une très agréable fin de journée.

P.-S. Ce message vous est envoyé parce que votre non utilisateur figure sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]]. Si vous ne voulez plus recevoir ces notifications, rendez vous sur cette page et effacez votre nom d’utilisateur qui figure dans la liste.
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=651778 --&gt;

== Début des votes concernant l'installation de Flow  ==

Bonjour, vous pouvez dès à présent [[Projet:Wikiversité/Flow 2#Vote|participer aux votes]] concernant l'expansion de Flow sur les pages de discussions des espaces de noms de Wikiversité. En espérant vous y voir nombreux, nous vous souhaitons une très agréable fin de journée.

&lt;small&gt;P.-S. Ce message vous est envoyé parce que votre non utilisateur figure sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]]. Si vous ne voulez plus recevoir ces notifications, rendez vous sur cette page et effacez votre nom d’utilisateur figurant dans la liste.&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=661329 --&gt;

== Refonte des pages de discussions communautaires ==

Bonjour, Une prise de décision est proposée sur une refonte des pages de discussions communautaires. Vous êtes invités à y participer sur le [[Projet:Wikiversité/Refonte des pages de discussions communautaires]]. Cordialement. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 28 août 2017 à 09:33 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=687403 --&gt;

== Conventions de gestion de la Wikiversité ==

Bonjour, Une prise de décision est proposée par [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] sur l'approbation de la page [[Wikiversité:Conventions de gestion]] qui définit les règles de gestion de la Wikiversité. Vous êtes invités à en discuter et voter sur le [[Projet:Wikiversité/Conventions de gestion]]. Cordialement. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 20 septembre 2017 à 01:31 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=687403 --&gt;

== Conventions de gestion de la Wikiversité (Redémarrage) ==

Bonjour, vous êtes invité à nouveau à discuter et voter sur le [[Projet:Wikiversité/Conventions de gestion]]. [[Utilisateur:Psychoslave|Psychoslave]] ayant fait des modifications importantes du texte initial proposé (qui ne faisait pas consensus) et en accord avec une majorité d'utilisateurs ayant participé aux votes sur le texte initial, il a été décidé un redémarrage de la prise de décision. Les votes et les discussions concernant le texte initial ont été supprimés, veuillez nous en excuser. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 26 septembre 2017 à 06:12 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=687403 --&gt;

== Avis de clôture des votes sur les conventions de gestion de la Wikiversité ==

Bonjour, sauf reprise des discussions, le [[Projet:Wikiversité/Conventions de gestion]] sera conclu le jeudi 5 octobre 2017. Vous êtes chaleureusement invités à venir voter avant clôture des votes. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 2 octobre 2017 à 08:12 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=687403 --&gt;

== Proposition d'une page à la suppression ==

Bonjour, La page [[Recherche:Métajustification de Wikipedia]] est proposée à la suppression sur [[Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Métajustification de Wikipedia]]. Vous êtes invités à venir voter. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 17 décembre 2017 à 05:01 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=697274 --&gt;

== Nouvelle candidature au statut d'administrateur ==

Bonjour. [[Utilisateur:FrankyLeRoutier|FrankyLeRoutier]] propose sa candidature au statut d'administrateur de la Wikiversité. Vous êtes invités à venir en discuter et voter sur la page [[Wikiversité:Administrateur/Candidature/FrankyLeRoutier 4]]. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 14 mai 2018 à 08:58 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=697274 --&gt;

== Amendement des critères de sélection des administrateurs ==

Bonjour,

Ce petit message pour vous informer qu'un vote est ouvert sur [[Discussion Wikiversité:Administrateur/Candidature/Critères|cette page]] pour amender les critères de sélection des administrateurs suite à une situation d'incohérence.

Bien à vous, [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 5 juin 2018 à 14:58 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=697274 --&gt;

== Proposition à la suppression de plusieurs travaux de recherche en mathématiques ==

Bonjour, Tous les travaux de recherche se trouvant dans le laboratoire [[Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon]] ainsi que le travail de [[Recherche:Base logique des structures hypercomplexes]] sont proposés à la suppression respectivement dans les deux pages [[Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon]] et [[Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Base logique des structures hypercomplexes]] où vous êtes invités à venir en discuter et voter. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 10 juin 2018 à 17:22 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=697274 --&gt;

== Demande d'avis sur intégration d'un utilisateur dans un nouveau groupe ==

À partir du 15 août, les [[Wikiversité:Administrateur/Liste des administrateurs|administrateurs]] vont perdre les droits ([[mediawikiwiki:Manual:User_rights#List_of_permissions|editsitecss]] et [[mediawikiwiki:Manual:User_rights#List_of_permissions|editsitejs]]).&lt;br /&gt; Un groupe spécifique d'utilisateur est crée pour cela : [[m:Special:MyLanguage/Interface administrators|interface-admin]] .&lt;br /&gt;[[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] demande à faire partie de ce groupe.&lt;br /&gt;Si aucun utilisateur n'est nommé dans ce groupe, nous serions obliger de passer par une requête sur MétaWiki, faute d'utilisateur autorisé dans la wikiversité francophone.&lt;br /&gt; Merci d’émettre [[Wikiversité:Requêtes_aux_bureaucrates#Wikiversité:La_salle_café/juillet_2018#New_user_group_for_editing_sitewide_CSS/JS|votre avis]] sur cette requête.&lt;br /&gt; [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 9 août 2018 à 15:18 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Crochet.david@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=722193 --&gt;

== Proposition d'un travail de recherche à la suppression ==

Bonjour, La [[Recherche:Raisonnement contradictoire et structure des nombres entiers/Démonstration canonique du DTF]] est proposée à la suppression sur [[Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Raisonnement contradictoire et structure des nombres entiers/Démonstration canonique du DTF]]. Vous êtes invités à venir voter. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 17 janvier 2019 à 17:11 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=722193 --&gt;

== Mise en page ==

Bonjour, Une prise de décision est proposée sur La mise en page des chapitres. Vous êtes invités à y participer sur le [[Projet:Wikiversité/Mise en page]]. Cordialement. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 1 février 2019 à 19:00 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=722193 --&gt;

== Candidature de Rical à l'administration ==

Nous vous informons que le vote suivant vient d'ouvrir : [[Wikiversité:Administrateur/Candidature/:Rical]].
&lt;!-- Message envoyé par User:JackPotte@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=722193 --&gt;

== Suppressions de travaux personnels ==

Bonjour, Une prise de décision est lancée sur la suppression de trois travaux personnels dans la Wikiversité. Vous êtes invités à en discuter et voter sur la page [[Projet:Wikiversité/Suppression de travaux personnels]]. Cordialement. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 14 février 2019 à 17:37 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=722193 --&gt;

== Versement d'un nouveau cours - Aide au (re)démarrage ==

Bonjour [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]], 

J'espère que tu vas bien depuis le temps...

Après maints péripéties personnelles (divorce, déménagement, installation,...) et professionnelle (retraite) je vais enfin pouvoir reverser mon 2ème cours...

Il s'agit d'un cours pour des étudiants bac + 4 en [[w:fr:Management_des_opérations|Management_des_opérations]]. Je l'ai professé 3 années, pour 2*1/2 promotions par an, donc 6 fois...

En guise de reprise de contact : 

1/ dans quel département cela va se glisser ?

2/ quelles sont les grands changements opérés depuis 2016 ?

3/ il me faudra regarder aussi mon projet de &quot;versement d'un cours totalement fondé&quot; et en discuter avec toi/vous !!!...

À bientôt --[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 14 février 2019 à 19:07 (UTC)

: Bonjour, bon retour parmi nous {{sourire}}.
:1/ Je ne suis pas une spécialiste de ces questions. Peut-être le [[Département:Management industriel et logistique]] ou un autre département de la [[Faculté:Gestion]]. Si tes leçons sont a dominante informatique, peut-être un département de la [[Faculté:Informatique]] comme le cours [[Système d'Information pour Stratégie et Pilotage d'Entreprise]] qui me semble assez proche (je me trompe peut-être, je n'y connais rien).
:2/ Pas de grand changement depuis 2016. Voir la page [[Wikiversité:Annonces]].
:3/ ....
:A bientôt. [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 15 février 2019 à 09:03 (UTC)
::Bonjour [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]], merci pour ton accueil... J'ai fait la découverte des 2 lieux possibles, mon choix s'est porté sur le domaine industriel et non sur le domaine informatique... 1/ J'ai réorganisé la page en vrac [[Département:Management industriel et logistique]], sans enlever quoi que ce soit... et ajouté la coquille qui va me servir de localisation de mon versement : Peux-tu me donner ton sentiment Stp ? avant que je n'aille plus loin... 2/ Je voudrais d'abord travailler sur un espace brouillon avant de te faire valider et de verser : Where is-it possible ??? D'avance merci [[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discussion]]) 15 février 2019 à 15:51 (UTC)
::: Un département stocke des leçons. Le [[Département:Management industriel et logistique]] ne me semble pas conforme à cet objectif. Regarde comment sont organisés les autres département comme le [[Département:Finance, comptabilité et contrôle de gestion]] ou le [[Département:Management et organisation des organismes sociaux]], ou encore le [[Département:Analyse]] ou le [[Département:Statistique et probabilités]]. Il faut faire en sorte que d'autres puissent rajouter facilement des leçons. En fait, le [[Département:Management industriel et logistique]] était déjà mal organisé avant que tu n'interviennes, il faut d'abord créer les leçons et ensuite les mettre dans un département au fur et à mesure. Le plan d'un cours ne se prépare pas dans le département mais dans le cours lui-même. un département est simplement un lieu de stockage de leçons. [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 15 février 2019 à 16:14 (UTC)

== Candidature au statut d'administrateur d'interface ==

Bonjour, Frigory propose sa candidature au statut d'administrateur d'interface sur la page [[Wikiversité:Administrateur d'interface/Candidature/Frigory]]. Vous êtes cordialement invités à venir voter ! [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 27 mars 2019 à 16:56 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=722193 --&gt;

== Modernisation de la Wikiversité ==

Bonjour, Une prise de décision est proposée sur la modernisation de la Wikiversité (nouvelle charte graphique). Vous êtes invités à y participer sur le [[Projet:Wikiversité/Modernisation du wiki]]. Cordialement. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 1 avril 2019 à 03:31 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=722193 --&gt;

== Création d'une faculté des Sciences Mentales ==

Bonjour, Une prise de décision est proposée sur la création d'une nouvelle faculté sur la Wikiversité. Vous êtes invités à y participer et voter sur le [[Projet:Wikiversité/Création d'une faculté des Sciences Mentales]]. Cordialement. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 20 juin 2019 à 09:30 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=722193 --&gt;

== Nouvelle candidature au poste d'administrateur d'interface ==

Bonjour,

Vous êtes convié à participer au recrutement d'un nouvel administrateur d'interface pour la Wikivesité au niveau de la page [[Wikiversité:Administrateur d'interface/Candidature/Lionel Scheepmans]].

Bien cordialement,
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=722193 --&gt;

== Nouvelle prise de décision au sujet de l'intégration des travaux d'enseignants et d'étudiants ==

Bonjour,

[[Projet:Wikiversité/Intégration travaux étudiants|Une nouvelle prise de décision voit le jour au niveau de l'intégration des travaux d'enseignants et d'étudiants en provenance d'institutions hors ligne]].

En vous souhaitant une très agréable journée !

[[user:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]]
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversit%C3%A9:Notifications_au_sujet_des_prises_de_d%C3%A9cisions_et_des_d%C3%A9buts_de_votes&amp;oldid=722193 --&gt;

== Nouvelle prise de décision ==

Bonjour.

Juste un petit message pour vous informer qu'une nouvelle prise de décision vient de commencer sur la page : [[Projet:Wikiversité/Patrons de page, fonctionnalités beta individuelles, crochets indice de renvoi]].

Cordialement, [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 19 février 2021 à 23:19 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversit%C3%A9:Notifications_au_sujet_des_prises_de_d%C3%A9cisions_et_des_d%C3%A9buts_de_votes&amp;oldid=828479 --&gt;

== Nouvelle candidature au statut d'administrateur ==

[[Utilisateur:Hérisson grognon|Hérisson grognon]] propose sa candidature au statut d'administrateur sur la page [[Wikiversité:Administrateur/Candidature/Hérisson grognon]]. Vous êtes  invités à venir voter !

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversit%C3%A9:Notifications_au_sujet_des_prises_de_d%C3%A9cisions_et_des_d%C3%A9buts_de_votes&amp;oldid=828479 --&gt;

== Nouvelle prise de décision ==

Bonsoir,

Une nouvelle prise de décision concernant la mise en place d'une [[Projet:Wikiversité/Bannière personnalisée d'appel aux dons|bannière personnalisée d'appel aux dons]] vient de commencer. Vous êtes invités à venir donner votre avis.

Cordialement,

--[[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discuter]]) 25 janvier 2022 à 20:00 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Hérisson grognon@frwikiversity en utilisant la liste sur https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversit%C3%A9:Notifications_au_sujet_des_prises_de_d%C3%A9cisions_et_des_d%C3%A9buts_de_votes&amp;oldid=861600 --&gt;

== Prise de décision - Présentation de la faculté Langues ==

Bonjour,

Une '''[[Wikiversité:Prise de décision/Présentation de la faculté Langues|prise de décision]]''' est en cours concernant la présentation de la [[Faculté:Langues]]. Merci d'avance pour votre participation !

(Ceci est un message automatique.)

[[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discuter]]) 1 mars 2024 à 07:10 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Fourmidable@frwikiversity en utilisant la liste sur https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversit%C3%A9:Notifications_au_sujet_des_prises_de_d%C3%A9cisions_et_des_d%C3%A9buts_de_votes&amp;oldid=926422 --&gt;
:@ [[Spécial:Contributions/176.166.60.16|176.166.60.16]] 1 mars 2024 à 08:39 (UTC)

== Une prise de décision en cours de discussion est initiée ==

Bonjour

Une prise de décision est initiée : [[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC]]. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discuter]]) 19 avril 2025 à 09:25 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Crochet.david@frwikiversity en utilisant la liste sur https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversit%C3%A9:Notifications_au_sujet_des_prises_de_d%C3%A9cisions_et_des_d%C3%A9buts_de_votes&amp;oldid=958072 --&gt;

== Erreur technique dans les cours MOOC ==

Bonjour à toutes et tous,

La [[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC|prise de décision concernant l'erreur technique dans les cours MOOC]] vient de commencer officiellement. Il n'est plus temps de discuter mais seulement de [[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC#Avis|statuer pour ou contre la suppression du format MOOC]] (jusqu'à ce que le problème soit résolu).

{{Centrer|[[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC#Avis|{{Bouton cliquable|Donner son avis officiellement|couleur=bleu}}]]}}

Wikiversitairement,

[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 28 avril 2025 à 09:43 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Fourmidable@frwikiversity en utilisant la liste sur https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversit%C3%A9:Notifications_au_sujet_des_prises_de_d%C3%A9cisions_et_des_d%C3%A9buts_de_votes&amp;oldid=958072 --&gt;

== Débats d'admissibilité ==

Bonjour,

Les [[WV:DDA|débats d'admissibilité]] suivants ne comptabilisent aucun avis depuis plus de deux mois :
* [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Flash]] (leçon créée en 2007)
* [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Mouvement féministe]] (leçon créée en 2008)
* [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Joomla]] (leçon créée en 2008)
* [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Programmation distribuée]] (leçon créée en 2010)
* [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Collapsologie]] (leçon créée en 2016)
* [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Citoyenneté et empire à Rome (leçon créée en Ie-IIIe siècle)]] (leçon créée en 2018)
* [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Peuples amérindiens]] (leçon créée en 2019)
* [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Création des états modernes en Europe]] (leçon créée en 2019)
* [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Apprentissage supervisé]] (leçon créée en 2022)
* [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Apprentissage profond]] (leçon créée en 2024)
* [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Apprentissage par renforcement]] (leçon créée en 2024)
* [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Algorithme génétique]] (leçon créée en 2024)

Merci d'y donner votre avis !

[[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discuter]]) 23 juillet 2025 à 00:55 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Fourmidable@frwikiversity en utilisant la liste sur https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversit%C3%A9:Notifications_au_sujet_des_prises_de_d%C3%A9cisions_et_des_d%C3%A9buts_de_votes&amp;oldid=958072 --&gt;
:Les 3 dernières leçons (IA) créées par lela même contributeurice sur la même trame mériterait de se retrouver chapeautées par un paragraphe ad hoc les présentant en une perspective globale. La Faculté en charge doit pouvoir intervenir, me semble-t-il... [[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discuter]]) 23 juillet 2025 à 09:32 (UTC)

== Améliorer Wikiversité pour ses vingt ans d'existence ==

Bonjour.

Je viens vers vous au travers de MassMessage pour attirer votre attention sur [[Wikiversit%C3%A9:La_salle_caf%C3%A9/ao%C3%BBt_2026#Am%C3%A9liorer_Wikiversit%C3%A9_pour_ses_vingt_ans_d'existence|un message que je viens de laisser dans la salle café de notre projet]].

Il concerne un projet d'amélioration de Wikiversité à l'approche de ses 20 ans d'existence et vous invite à poster vos commentaires et partager votre envie de participation.

Cordialement,

[[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste sur https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversit%C3%A9:Notifications_au_sujet_des_prises_de_d%C3%A9cisions_et_des_d%C3%A9buts_de_votes&amp;oldid=958072 --&gt;</text>
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    <title>Discussion Recherche:Wikipédia, un média de colonisation culturelle</title>
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      <text bytes="7512" sha1="dyc30ojgxz7cs6bahnjr9a1xo2w8w78" xml:space="preserve">== Taille des 3 grandes cartes ==

Il me semble que ces 3 grandes cartes sont un peu grandes par rapport au texte. Mais bon, c’est très subjectif. {{sourire}} --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 1 février 2016 à 12:47 (UTC)
:Waw ! Tellement sympa d’avoir corrigé ce texte avant même que j'en fasse la demande. Je dois l'imprimer pour 18h00 le timing est donc parfait. Par rapport au cartes, je dois encore faire l'essai d'exportation en format papier. Je me trouve systhématiquement face au même problèmes d'incompatibilité entre l’affichage en ligne et sur papier lorsque je dois rendre mes travaux universitaire... Je vais encore travailler sur le texte une petite heure et puis je ferai une pose avant de l'imprimer à 18h00. Encore merci [[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ! [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 1 février 2016 à 14:33 (UTC)
::Les grands esprits se rencontrent !
::C'est vrai que pour l'impression, il faut souvent faire des essais et bien vérifier le rendu. On a parfois de mauvaises surprises. Bon courage ! {{sourire}} --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 1 février 2016 à 14:54 (UTC)
:
::Si tu as besoin d'un dernier coup d'œil avant 18h, fais-moi signe. Je suis dans les parages... --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 1 février 2016 à 14:57 (UTC)
:::Voila, je viens de terminer. Si tu es en ligne et que tu as le temps. Ne retouche pas les images je le ferai après l'impression que je compte faire dans disons 20 min. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 1 février 2016 à 16:49 (UTC)
::::J’ai regardé. Peut-être que j'arrive après la bataille (et l'impression). Mais ton texte me paraît très bien. --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 1 février 2016 à 17:06 (UTC)
:::::Ok,[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]], c’est parti ! On peut dire que c’est un beau travail d'équipe de dernière minute. J’ai mon cours dans 15 minutes... [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 1 février 2016 à 17:12 (UTC)
::::::Bon courage ! {{sourire}}
::::::Tu me diras si tu as donné un cours ou si tu l'as reçu ! --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 1 février 2016 à 17:20 (UTC)

== Plus de précision sur les termes et suppositions faites par le projet  ==

Est-ce que la notion même d’occident, de pauvreté, etc ne sont pas ici à considéré avec des pincettes comme des « représentations occidentales » ? À minima une bref définition ou un renvoi sur les notions tenus pour acquises serait sans doute pertinentes. --[[Utilisateur:Psychoslave|Psychoslave]] ([[Discussion utilisateur:Psychoslave|discussion]]) 20 mars 2016 à 18:27 (UTC)
:Tout à fait d'accord [[Utilisateur:Psychoslave|Psychoslave]]. Et je viens juste de préciser un peu le texte en vitesse. En faite, je parle explicitement de pauvreté économique qui pour le [[w:simplicité volontaire|simplicitaire]] que je suis est en faite une richesse culturelle.
:Et tu sais (on peut se tutoyer ?), comme ce texte ne dois plus être porté à évaluation, je t'invite chaleureusement à l'améliorer. Ce serait même une première pour moi de voir quelqu'un se joindre à moi pour poursuivre une de mes recherches. J'attends cela depuis longtemps. N'hésite donc pas ! À partir de maintenant, je vais faire attention de bien remplir les boites de résumé pour faciliter l'intercompréhension. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 20 mars 2016 à 21:14 (UTC)
::Pas de souci pour le tutoiement. Je prends bonne note sur l’ouverture aux modifications. :) --[[Utilisateur:Psychoslave|Psychoslave]] ([[Discussion utilisateur:Psychoslave|discussion]]) 20 mars 2016 à 21:56 (UTC)

== Quid de la colonisation intra-occidental  ==

Je constate avec Michel Serres [http://www.sat-amikaro.org/article905.html le déclin des langues et cultures « des pauvres »], même à l’intérieur de l’occident. Au sein de Wikimédia l’anglais est clairement dominant dans les processus d’organisation et se glisse – comme ailleurs – partout en toile de fond. Même dans ce projet de recherche j’ai trouvé ce qui m’a semblé être un anglicisme, sans parler de toutes les informations écrites en dur en anglais sur les images. Pourrait-on étendre le sujet du projet en ce sens ? Par ailleurs j’ai commencé à lire [http://arxiv.org/vc/arxiv/papers/1305/1305.5566v1.pdf ''The most controversial topics in Wikipedia: A multilingual and geographical analysis''], qui pourrait bien avoir sa place dans les références de ce projet. --[[Utilisateur:Psychoslave|Psychoslave]] ([[Discussion utilisateur:Psychoslave|discussion]]) 20 mars 2016 à 18:51 (UTC)
:Excellent ! J'avais déjà entendu parler de personnes qui défendent la culture des pauvres, et voici que tu me donnes un lien intéressant pour étayer le sujet. Merci pour ta deuxième référence, très intéressante aussi. Élargir le sujet de ce présent article à la question du [[w:soft power]] et de la colonisation culturelle anglo-saxonne, pourquoi pas. Mais je me demande si le sujet ne mériterait pas un article spécifique à lui seul. À voir...
:Personnellement, je vais devoir attendre la deuxième semaine de Paques pour pouvoir m'investir comme je le voudrais sur Wikiversité, mais comme je te l'ai dis dans la section précédent, n'hésite pas ! J'aurai toujours bien assez de temps pour réagir à tes améliorations si j'en ressentais le besoin. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 20 mars 2016 à 21:28 (UTC)
::De mon côté je projette déjà pas mal de chose du côté Espéranto au sein de Wikimédia. M’est avis qu’il serait plus équitable pour tous d’utiliser une langue comme l’espéranto pour les projets de coopération translinguistiques. --[[Utilisateur:Psychoslave|Psychoslave]] ([[Discussion utilisateur:Psychoslave|discussion]]) 20 mars 2016 à 22:00 (UTC)
:::Rien de plus équitable que l'espéranto dans le contexte occidentale en effet. Mais... Ne doit-on pas tenir aussi des langues arabes, africaines, asiatiques ? Aussi maintenant que la langue anglaise s'est imposée partout dans le monde, cela devient malheureusement difficile de remettre en question son utilisation dans des contextes cosmopolites. Voici une [https://www.youtube.com/watch?v=WsSebF2cYPo vidéo d'un de mes professeurs] sur un sujet déjà présenté au niveau de wikipédia : [[w:Impôt linguistique|Impôt linguistique]]. Cela devrait t'intéresser. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 21 mars 2016 à 20:52 (UTC)</text>
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    <title>Discussion Wikiversité:Prise de décision/Espace de noms « Recherche » 2</title>
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      <text bytes="8750" sha1="0gt700lb4kvu0bp62zl3af0s5ukyp6c" xml:space="preserve">== Commentaire post-vote==
J’ai pas bien l'air de comprendre la tâche de phabricator. Elle renvoie ver le résultat du vote de la partie 3 et la description de la tâche parle de la partie 1 ? [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 11 février 2016 à 22:29 (UTC)
:De faite [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]]. Il faudrait donc appliquer techniquement les décisions prisent dans la partie 3 sans modification de [[MW:Manual:$wgContentNamespaces/fr|wgContentNamespace]]. Est-ce possible ? [[Utilisateur:Dereckson|Dereckson]] et [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ont peut être un avis sur le sujet. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 11 février 2016 à 23:02 (UTC)
::Je ne parle pas de la partie 3 qui semble être techniquement impossible pour le moment, mais de la partie 1. La tâche demandé sur phabricator, c’est bien une demande lié à la résolution de la partie 1 ? [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 12 février 2016 à 09:40 (UTC)
:::Pour Recherche: dans $wgContentNamespaces, c’est impératif pour inclure ces pages dans la version hors lignes de Wikiwix d'une part, et pour adresse les commentaires de [[Projet:Wikiversité/Espace_de_noms_«_Recherche_»_2#Comptabilisation_des_pages_recherches_dans_les_pages_de_contenu|cette section]] d’autre part, où Lydie insiste sur l'inclusion des pages de Recherche: dans statistiques.
:::Techniquement, non on a que $wgContentNamespaces de disponible pour ces choses là, sauf à s'aventurer dans des modifications de MediaWiki.
:::Je suggère de faire le tri entre ce qui peut aller dans $wgContentNamespaces (à savoir le contenu, que l’on veut voir être traité comme des annexes directes de l'espace principal, répliquer sur les versions hors lignes, comptabiliser dans les statistiques) et le reste.
:::--[[Utilisateur:Dereckson|Dereckson]] ([[Discussion utilisateur:Dereckson|discussion]]) 12 février 2016 à 01:56 (UTC)
::::Je déplace le [https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Projet:Wikiversité/Espace_de_noms_%C2%AB_Recherche_%C2%BB_2&amp;oldid=532270 début de la discussion] ici après l'avoir mentionnée sur la page de décision pour ne pas communiquer sur deux endroits en même temps. Pour éclaircir le débat et la situation, nous aurions peut-être besoin de justification du votes contres la partie 1. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] était pour le statuquos qui fonctionnait bien selon lui, [[Utilisateur:FrankyLeRoutier|FrankyLeRoutier]] n'a pas donner d'argumentation ni toi [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]]. Il n’est pas trop tard pour le faire et nous pouvons même ré-ouvrir la prise de décision si nécessaire. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 12 février 2016 à 10:33 (UTC)
:::::En vertu de [[Projet:Wikiversité/Critères d'éligibilité des votants]] le vote ne peut être rouvert après un mois d'ouverture (du 12 janvier au 11 février).
:::::Par contre la majorité était le talon d'Achille de cette prise de décision, mais je la vois mal à 51 % (plutôt deux tiers voire trois quarts pour respecter ce qui se faisait avant), surtout ici où ceux qui filtraient les recherches dans leur moteur ne pourraient plus le faire, alors que qui peut le plus peut le moins. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 12 février 2016 à 10:42 (UTC)
::::::Je, ni personne, n'ai ou n'a nullement besoin de justifier un vote. Une proposition de décision est émise, une discussion a lieu, un vote est ouvert, et à la clôture du vote sont application est mis en jeu. Si un avis ou un jugement est a émettre, elle a lieu pendant la phase de discussion. Je réitère ma question : Que demande l'ouverture de la tâche [[phabricator:T125948|T125948]] de phabricator et à quelle partie correspond elle ?[[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 12 février 2016 à 10:48 (UTC)
:::::::Si on se réfère à [//www.mediawiki.org/w/index.php?title=Manual:$wgContentNamespaces/fr&amp;oldid=419852 la doc sur wgContentNamespaces], je dirais tout à partir du troisième vote inclus. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 12 février 2016 à 13:27 (UTC)
::::::::Mon idée d’argumenter le vote avait pour seul but d'éclaircir la question. L'énoncer d'une question peut aussi manquer de clarté et provoquer certaine confusion ou incompréhension. D'autre part, voté sans participer au débat ni argumenter son vote est contraire au mécanisme consensuel qui dans dans un cas optimal vise à poursuivre les discussions jusqu'à atteindre une prise de décision acceptée à l'unanimité. Donc, pour être claire, je n'ai jamais eu l’idée d'obliger qui que ce soit à argumenter son vote. C'est vraiment pas mon genre, je cherche seulement à faire avancer la smilblick tout en rappelant les principes fonctionnelles de la prise de décision pas consensus. Par exemple, sans savoir pourquoi [[Utilisateur:FrankyLeRoutier|FrankyLeRoutier]] a voté contre, il est difficile de poursuivre un débat dans l’idée d'atteindre un accord unanime. Il se pourrait que la raison pour laquelle il a voté contre puisse faire changer l’ensemble des votants pour que l’on se retrouve unanimement contre cette idée de changement. Pour les questions techniques, je laisserai les techniciens discuter ensemble. Une belle fin de journée à tous, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 12 février 2016 à 13:59 (UTC)
::Donc il y a un souci : Pour que la partie 3 soit mis en œuvre, cela implique que la partie 1 le soit aussi or il y a une décision avec avis négatif sur la partie 1. Étant donné qu’il y a un avis négatif sur la partie 1, implicitement la partie 3 ne peut être mise en œuvre malgré l'avis positif de cette dernière. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 13 février 2016 à 10:52 (UTC)
:::Ce n’est pas ce que j’ai compris : techniquement l'espace recherche peut rester tel quel mais apparaitre dans les pages spéciales de maintenance. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 13 février 2016 à 12:45 (UTC)
::
:::Idem, d'ailleurs ça marche maintenant ! Voir [[Special:Pages non catégorisées]]. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 13 février 2016 à 13:06 (UTC)
:::Rectification, ça ne marche que pour les pages de l'espace recherche. La page [[Aide:Patrouille RC]] n’est pas catégorisée et pourtant elle n'apparaît pas dans [[Special:Pages non catégorisées]]. {{triste}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 13 février 2016 à 13:17 (UTC)
::::Je ne comprend pas plus alors ce qui est demandé dans la tâche : La partie 1 demande que l'espace de nom « Recherche » sont inclus en tant que contenu pour être exportable. La partie 3 demande à ce que les espaces de noms « Recherche », « Aide », « Wikiversité », « Projet », « Faculté » et « Département » soient dans les statistiques. D'après les paramètres de Mediawiki, c’est le paramètre $wgContentNamespaces qui gère les 2 parties intéressées. Or la modifications de $wgContentNamespaces intègre en tant que contenu et intègre les aspects statistiques. Donc soit on a du contenu pur et les statistiques uniquement sur ces pages, soit on a des statistiques sur tout, mais alors tout devient du contenu. On se trouve devant une incohérence puisqu'une seul variable gère 2 volonté distincts. Comment fait-on ? [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 13 février 2016 à 13:34 (UTC)
:::::Je suggère de s'en remettre à [[Projet:Wikiversité/Espace_de_noms_«_Recherche_»_2#Application_de_la_prise_de_décision|l'avis de Dereckson]] et de débattre de l'intégration des autres namespaces sur Meta. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 13 février 2016 à 13:57 (UTC)</text>
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== Thierry613/Essai pour page accueil Faculté Musique  ==

[[Thierry613/Essai pour page accueil Faculté Musique|il reste encore cette page]]

(désolé, je m'ai planté dans les noms de pages...) --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 17 janvier 2015 à 19:58 (UTC)

== Wikification de Biologie en BCPST1  ==

Bonjour, merci pour votre aide sur ces pages. J’ai laissé la numérotation &quot;officielle&quot; du programme BCPST. Je ne connais pas la politique de wikiversité à ce sujet, mais il me paraît judicieux de conserver cette numérotation sur les pages &quot;scolarité&quot;, afin de faciliter l'identification avec les cours hors-wikiversité. Cordialement [[Utilisateur:Altadil|Altadil]] ([[Discussion utilisateur:Altadil|discussion]]) 1 février 2015 à 08:31 (UTC)
:l'utilisation des numérotations officielle n'existe que dans un pays, or la wikiversité n’est pas française, mais francophone, le détachement d'un texte permet à tout à chacun de pouvoir l’utiliser quel que soit le &quot;pays&quot; de l'apprenant. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 1 février 2015 à 08:37 (UTC)

:Certes, mais ici, il s'agit explicitement d'un cursus français, dans la section &quot;scolarité&quot;. Je pense qu’il vaudrait mieux conserver la numérotation officielle sur ces pages, mais pas dans le titre des leçons, de sorte qu’elles puissent sans problème être exploitées dans d'autres départements/cursus. [[Utilisateur:Altadil|Altadil]] ([[Discussion utilisateur:Altadil|discussion]]) 1 février 2015 à 10:54 (UTC)


== Affichage &amp; retours chariot  ==

Salut !

J’ai testé un extrait de page avec plusieurs navigateurs : 

[[File:Copie écran page wiki sur Chrome.png|thumb|Copie écran page wiki sur Chrome]]
[[File:Copie écran page wiki sur Firefox.png|thumb|Copie d'écran d'une page de Wikiversité avec Firefox]]
[[File:Copie écran page wiki sur Internet Explorer.png|thumb|Copie d'écran d'une page de Wikiversité avec Internet Explorer]]

Est-ce que ça ressemble à ce que tu obtiens de ton côté ?

Sinon, si les retours chariot continuent à être problématiques à la fin des sections, tu peux les enlever (si tu fais ça de façon automatique bien sûr... {{sourire}}).

J’ai essayé avec les partitions dans un tableau invisible : ça donne rien.

--[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 2 février 2015 à 19:23 (UTC)
:Je n'ai personnellement pas de problème d'affichage. Je dit que si une contribution comporte beaucoup de retour chariot, c’est que la contribution n'est que purement cosmétique pour le contributeur et qu’il oublie peut-être les autres. Peut importe, je ne pense pas à moi en retirant ces retour chariots, je pense aux autre puisque le logiciel mediawiki et le navigateur savant s'accorder ensemble si le wikitexte est simple et que les balises sont utilisées correctement. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 2 février 2015 à 21:52 (UTC)

OK. Ben j'essaye de soigner le contenu aussi... {{sourire}} Mais j'aime bien aussi soigner la mise en page, dans la mesure du possible. Ceci étant, je suis bien conscient qu’il y a des contraintes techniques et si ça pose le moindre souci, je peux y renoncer. Tiens-moi au courant le cas échéant. --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 2 février 2015 à 22:24 (UTC)

== Crochet.david.bot s'attaque aux signatures  ==

Bonjour, j’ai beau chercher je ne trouve aucune raison pour [[spécial:diff/432937|supprimer la signature d'un bienvenutant]], j'en déduis que c’était probablement involontaire. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 4 février 2015 à 12:09 (UTC)
: Ha oui, j’avais pas vu passer cela dans les passages du robot. Désolé, mais il doit y avoir d’autre suppression de signature, car lorsque je regarde le regex utilisé, il doit absorbé carrément les signatures. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 4 février 2015 à 16:40 (UTC)

== Édition de liens http  ==

Ok, bien reçu, merci. [[Utilisateur:Lionel Barbe|Lionel Barbe]]

== Comptes bots inactif  ==

Bonjour Crochet.david, ces quatre comptes bots sont inactif depuis plus d'un an ; {{u|ArthurBot}}, {{u|AvocatoBot}}, {{u|Dinybot}}, {{u|Julien1311bot}}, il faudrait donc retirer leurs statut de bot. Cordialement. [[Utilisateur:FrankyLeRoutier|FrankyLeRoutier]] % [[Discussion utilisateur:FrankyLeRoutier|Service après-vente]] 8 mars 2015 à 16:11 (UTC)

== Électrostatique ==


Bonjour Crochet.david, désolée de vous déranger ; comment contribuer à écrire en électrostatique qq exercices ?  cela fait très longtemps que je n'ai plus participé à ce genre. Il me faut donc un tuteur (surtout pour savoir comment introduire des figures). J’ai qq temps disponible en ce moment, et j’ai la possibilité d'accès à de bonnes bibliothèques. Merci de me répondre sur ma page pour cette fois, puis ensuite je ferai comme vous indiquerez. Cordialement, sylvie.--[[Utilisateur:Guerinsylvie|Guerinsylvie]] ([[Discussion utilisateur:Guerinsylvie|discussion]]) 10 mars 2015 à 11:22 (UTC)

:Bonjour Crochet.david, merci de votre message.Vous dites :
:veux-tu contribuer et développer les exemples : oui,je peux.
:ou apporter d'autres exemples : oui, je peux. 
:ou veux-tu aider ceux qui voudrait avoir de l'aide ?  oui, je veux bien dans la limite de mes compétences.
:Je vais donner un exemple : la Wp donne comme exemple de calcul électrostatique le champ d'un bout de fil rectiligne de longueur AB = 2c . La solution proposée est calculatoire. Je ne disconviens pas de l’intérêt de savoir calculer une somme_intégrale. Mais en l’occurrence, Guinier ( entre autres auteurs ) montre que le champ en M est porté par la bissectrice intérieure de AMB, pour une raison de symétrie-assez subtile. Il en résulte immédiatement que les équipotentielles sont les ellipses ( donc les ellipsoides de révolution en 3D )de foyer A et B. Un calcul aisé sur l'axe de révolution montre alors que V(M) = Log (a+c / a-c), avec 2a = AM+BM. Guinier n'évite donc pas le calcul d'intégrale. Il l'a remplacé par un calcul plus aisé. Est-ce que ce genre de &quot;raccourci&quot; est intéressant pour un étudiant ? je pense qu'oui, mais c’est seulement mon opinion.
:je peux prolonger l'exercice : calcul de la capacité d'un ellipsoide allongé. Calcul de la densité de surface, etc. 
:je peux aider si on me demande de poursuivre pour des calculs plus compliqués d'ellipsoides. J’ai l'avantage de pouvoir accéder à de bonnes bibliothèques. Mais évidemment, j’ai mes limites!
(comme tout un chacun(e)).
:cordialement,--[[Utilisateur:Guerinsylvie|Guerinsylvie]] ([[Discussion utilisateur:Guerinsylvie|discussion]]) 16 mars 2015 à 11:20 (UTC)
::Dans ce cas, les deux calculs peuvent être proposés dans la page, libre à chacun d’utiliser celui qu’il comprend le mieux. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 16 mars 2015 à 20:10 (UTC)

== espaces &amp; nbsp;  ==


Bonjour,
le 14 avril ton robot  Crochet.david.bot  a supprimé les espaces faits avec : &amp; nbsp; &lt;code&gt; &amp;nbsp; &lt;/code&gt;

voir par exemple

[[Thermodynamique_chimique/Exercices/Préparation_du_dihydrogène_par_reformage_du_méthane]]
14 avril 2015 à 07:17‎ Crochet.david.bot (discussion | contributions)‎ m . . (5 333 octets) (-100)‎ . . (Robot : Remplacement de texte automatisé (-  + )) (annuler) 

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;&lt;math&gt;\Delta_rG^\circ_4(1273K)=62,4 \ \mathrm{kJ.mol^{-1}}&lt;/math&gt; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; et &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &lt;math&gt;\Delta_rG^\circ_4(1273K)=-184,8 \ \mathrm{kJ.mol^{-1}}&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;

modifié en:

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;&lt;math&gt;\Delta_rG^\circ_4(1273K)=62,4 \ \mathrm{kJ.mol^{-1}}&lt;/math&gt;         et &lt;math&gt;\Delta_rG^\circ_4(1273K)=-184,8 \ \mathrm{kJ.mol^{-1}}&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;

remarque = en fait, les relations de cet exemple sont étranges ... et j’ai modifié le texte de l'exo, mais les questions restent d'actualité.

questions = 
# pourquoi retirer les &lt;code&gt; &amp;nbsp; &lt;/code&gt; &amp; nbsp; ?
# si &amp; nbsp;  est inadapté (?),  comment faire des espaces (sans passer par latex … ) ?  je pense que parfois il faudrait maintenir des espaces entre des formules ou des éléments de phrases.

cordialement,[[Utilisateur:Geoleplubo|Geoleplubo]] ([[Discussion utilisateur:Geoleplubo|discussion]]) 14 avril 2015 à 09:31 (UTC)

== Salut ==

;) [[Utilisateur:Rimar naouech|Rimar naouech]] ([[Discussion utilisateur:Rimar naouech|discussion]]) 19 mai 2015 à 16:41 (UTC)

== Demande de conseils d'anciens  ==
Bonjour David. Si je me souviens bien, dans le passé tu m'as judicieusement aidé. Je viens vers toi avec une demande de conseil car je ne suis pas ou pas encore praticien de la wikiversité (à mon corps défendant, faute de temps, car je pense que c’est un très beau projet et parce que j’ai d'autres engagements à tenir sur Wikipédia et Commons et auprès de wikimedia France). 
&lt;br /&gt;Voici [[Wikiversité:La_salle_café/juillet_2015#Robot_subaquatique_:_nouveau_projet_dans_Wikiversit.C3.A9_.3F_Proposition_.3B_appel_.C3.A0_parrainnage_et_recherche_d.27aide_.28et_.C3.A9ventuelle_contribution_.3F.29..|'''''le message que je viens de déposer au café''''']] ; si tu veux bien en prendre connaissance et y répondre directement, ou ici ou sur ma page de discussion, j'en serais très heureux. &lt;br /&gt;PS : N'hésites pas à y associer d'autres wikiuniversitaires ou des bibliothécaires dont tu penses qu’ils seraient intéressés ou capables de m'aider. Bien à toi et merci pour ton travaille sur ce wiki et d'autres. Bien à toi et j’espère à bientôt --[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] ([[Discussion utilisateur:Lamiot|discussion]]) 13 juillet 2015 à 13:55 (UTC)

== question grain de sel :  ==

Merci d’abord pour ton tutoriel de présentation = super ! ...
Cela induit la question suivante dont la réponse me serait d'une '''GRANDE''' utilité :
Il existe un modèle  {{m|proposition}}. Par contre, il n'existe pas de modèle '''contre-proposition'''. Or, si P existe, alors non-P aussi !
&lt;span style=&quot;color:#009933&quot;&gt;''exemple : P : les légumes sont verts ! non-P : il existe un légume non-vert''&lt;/span&gt; et, bien sûr, la forme contradictoire &lt;span style=&quot;color:#FF3458&quot;&gt;'' P : les légumes ne sont pas verts ! non-P : il existe un légume vert''&lt;/span&gt;.
Peut-être suffit-il de remplacer &quot;proposition&quot; par &quot;contre-proposition&quot; dans le modèle ? cordialement--[[Utilisateur:Supreme assis|Supreme assis]] ([[Discussion utilisateur:Supreme assis|discussion]]) 29 juillet 2015 à 10:42 (UTC)
:{{Notif|Supreme assis}}. Le modèle {{m|Proposition}} propose de modifier le titre de la boîte. Consulté la documentation du modèle. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 29 juillet 2015 à 11:04 (UTC)
:: super merci +++
&lt;br /&gt;
:: Bon, il me semblait avoir suivi cette procédure : changement du titre de la boîte ! Si j’ai créé un nouveau modèle ... ce n’est pas volontairement. Merci à toi pour le recadrage !--[[Utilisateur:Supreme assis|Supreme assis]] ([[Discussion utilisateur:Supreme assis|discussion]]) 3 août 2015 à 08:23 (UTC)

== modification de signature  ==

Pour consolider mon intégration à la communauté, je souhaiterai modifier la partie &quot;discussion&quot; de ma signature et la changer en &quot;grain de sel&quot; ! Quelle est la voie à suivre ? Merci--[[Utilisateur:Supreme assis|Supreme assis]] ([[Discussion utilisateur:Supreme assis|discussion]]) 3 août 2015 à 11:54 (UTC)
:{{Notif|Supreme assis}}.[[w:Aide:Signature#Comment_personnaliser_sa_signature_.3F|ceci]] pourrait vous aider. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 3 août 2015 à 12:03 (UTC)
::je pense que c’est bon. merci--— [[Utilisateur:Supreme assis|Supreme assis]] ([[Discussion Utilisateur:Supreme assis|''grain de sel'']]) 4 août 2015 à 08:24 (UTC)


== Problème de coloration  ==

Salut, dans le [[Modèle:Travail de recherche]], j’ai vu que tu as supprimé la couleur pastel du fond de cadre. De ce fait, la couleur de fond du cadre n'est plus assorti à la couleur de l'encadré chapitres (voir, par exemple [[Recherche:Enregistrement de la prononciation du breton]]). Est-ce volontaire ou est-ce une erreur ? {{sourire}} --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 4 août 2015 à 14:09 (UTC)
:{{Notif|Lydie Noria}}Tu utilises quoi comme navigateur, car sur iceweasel (mozilla), j’ai pas vu de différence avant et après modification ? [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 4 août 2015 à 14:16 (UTC)
:: Super, ça remarche ! J'utilise Google chrome et je vois bien la différence. --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 4 août 2015 à 14:23 (UTC)
:::{{Notif|Lydie Noria}} Ha oui. les [http://browsershots.org/https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Enregistrement_de_la_prononciation_du_breton rendus] ne sont pas pareils en fonction des navigateurs. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 4 août 2015 à 14:36 (UTC)
:::: Effectivement, c’était devenue très laid ! {{sourire}} --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 4 août 2015 à 14:44 (UTC)
:::::Théoriquement c’est corrigé pour moi (firefox) et logiquement rien n'as changé pour toi (safari et opéra). [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 4 août 2015 à 14:48 (UTC)
:::::: Tout est redevenu normal en ce qui me concerne. Merci bien ! {{sourire}} --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 4 août 2015 à 15:18 (UTC)

== Amélioration de la présentation  ==

Bonjour Crochet.David et merci pour les modifs. Je vais essayer d'intégrer la syntaxe. Merci d’être patient {{sourire}}&lt;br /&gt;
Je souhaiterai également améliorer la page de présentation de la recherche en plaçant le fichier PSYCHIC FIELD en tête de la page et au-dessus du texte &quot;CE QUI N'EST PAS ...&quot;&lt;br /&gt;
a côté du cadre &quot;espace recherche&quot; ?&lt;br /&gt;
D'autre part, pour la compréhension de certaines définitions, j’ai besoin des 3 couleurs &quot;rose&quot; &quot;turquoise&quot; et &quot;violet&quot;. Est-ce possible de les garder ?&lt;br /&gt;
cordialement-- [[Utilisateur:Supreme assis|Supreme assis]] ([[Discussion Utilisateur:Supreme assis|&lt;span style=&quot;color:darkslategray&quot;&gt;''grain de sel''&lt;/span&gt;]]) 8 août 2015 à 17:19 (UTC)
:{{Notif|Supreme assis}}Pour les couleurs, il existe de recommandations d'ergonomie. Il ne faut pas oublier que dans le monde, tout le monde ne voient pas les même couleur, c’est dans ce respect envers ces personnes que les règles d'ergonomie demande à limiter eu mieux les couleurs. Ainsi un site web ne devrait contenir que 4 couleurs : le texte (en noir), les liens non visités, le liens déjà visités, les liens survolés. Médiawiki est configuré pour n'utiliser que 3 couleurs et 1 style (noir pour le texte, bleu pour un lien vers une page existante, rouge pour une page non existante, et souligné pour un lien survolé). Rajouter de la couleur pour faire beau, c’est induire le lecteur dans une réflexion du genre « à quoi sert cette couleur », plutôt de lui faire entendre « que veut dire cette couleur ». Lisez un livre ou un magazine spécialisé ou non, et dite moi si vous trouvez naturellement d’autre couleur pour le que le noir. Donc pourquoi devrait-il y avoir d’autre couleur ? Il en est de même pour l'usage de lettres capitales pour un mot ou une expression. Sur internet, utiliser les capitales = crier. Pour ce qui est de l'image, il faut savoir comment vous agencez votre page. Soit vous utiliser le modèle {{m|Recherche}} comme actuellement et dans ce cas il y a une page de présentation simple puis une série de sous-page. Soit vous utiliser le modèle {{m|Travail de recherche}} et tout se met sous la même page. Il faudrait se conforter à l'un de ces deux modèles correctement. Dans les deux cas, ces modèles acceptent un paramètre « image » qui permet de modifier l'image-logo du bandeau de présentation. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 8 août 2015 à 22:18 (UTC)
::bon, je vais faire avec ça ... au mieux. Et je vais voir avec le paramètre &quot;image&quot;. Bon dimanche-- [[Utilisateur:Supreme assis|Supreme assis]] ([[Discussion Utilisateur:Supreme assis|&lt;span style=&quot;color:darkslategray&quot;&gt;''grain de sel''&lt;/span&gt;]]) 9 août 2015 à 08:36 (UTC)

== dommage !  ==

Un référent syntaxique ... c’est bien utile {{clin}}-- [[Utilisateur:Supreme assis|Supreme assis]] ([[Discussion Utilisateur:Supreme assis|&lt;span style=&quot;color:darkslategray&quot;&gt;''grain de sel''&lt;/span&gt;]]) 16 août 2015 à 08:48 (UTC)

== Common.css ==

Hello. Please, add to MediaWiki:Common.css on the beta.wikiversity.org this css-code for Ukrainian Wikiversity:

''&lt;code&gt;
/* Don't display some stuff on the Ukrainian Wikiversity main page */

body.page-Головна_сторінка #lastmod, 

body.page-Головна_сторінка #siteSub, 

body.page-Головна_сторінка #contentSub, 

body.page-Головна_сторінка h1.firstHeading {display: none !important;}
&lt;/code&gt;''
Thanks. — [[User:Green Zero|&lt;span style=&quot;font:17px impact;color:green;&quot;&gt;Green Zero&lt;/span&gt;]] [[User talk:Green Zero|&lt;span style=&quot;font:10px arial;&quot;&gt;обг&lt;/span&gt;]] 02:02, 18 August 2015 (UTC)

== Page Collection pour les Histoires Naturelles de Jules Renard  ==

Merci beaucoup de m'avoir permis de &quot;patauger&quot; en toute sécurité avant de commencer à écrire. J’ai fini de tout transférer [[Jules_Renard,_Histoires_naturelles|ici]], vous pouvez donc la supprimer. [[Utilisateur:Als33120|Als33120]] ([[Discussion utilisateur:Als33120|discussion]]) 24 septembre 2015 à 21:54 (UTC)

== Contes de Jataka  ==

Merci pour les corrections, je n'ai pas encore automatisé les liens internes que vous m'avez déjà signalés et je sais qu’il faut utiliser ces guillemets ; je vais tâcher d’être plus rigoureuse. Merci également pour la proposition de mise en page des traductions. [[Utilisateur:Als33120|Als33120]] ([[Discussion utilisateur:Als33120|discussion]]) 1 octobre 2015 à 19:57 (UTC)

== Suppression page utilisateur  ==

Bonjour Crochet David, je suis étudiant en Licence Pro {{abréviation|ECPI|licence professionnelle écoconception de produits innovants}} à Lille. Dans le carde d'un projet sur le Bilan Carbone, la création d'une page utilisateur étais nécessaire. malheureusement, elle a été supprimé par vous, je voulais savoir quel étais le motif et si je pouvais modifier la page utilisateur afin d’être conforme. 
Merci Cordialement Jordan Dovin.{{non signé|JordanDovin}}
:Bonjour Crochet.david,
:J'abonde dans le sens de mon étudiant. Je n'ai pas compris non -plus le motif de suppression d'une page utilisateur. N'ayant pas accès à ce qui a été supprimé je n'ai pas d'explication à donner. Il s'agissait de la page utilisateur de l'étudiant. Pouvez vous s'il vous plaît nous éclairer sur les critères n'ayant pas été respecté.
:Bien à vous, --[[Utilisateur:RP87|RP87]] ([[Discussion utilisateur:RP87|discussion]]) 15 octobre 2015 à 12:08 (UTC)
::{{notif|JordanDovin|RP87}}Je n’avais pas vu que c’était une page utilisateur, et j’ai cru que c’était une pages de wikipédia qui aurait été refusé (présence infobox, utilisateur qui écrit une page sur lui-même). J’ai donc annulé la suppression. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 15 octobre 2015 à 16:44 (UTC)</text>
      <sha1>a4gb86iuyzrkvlt96mzwow65vnspy9b</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Développer l'empathie à l'école</title>
    <ns>0</ns>
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      <parentid>971309</parentid>
      <timestamp>2026-10-04T12:07:28Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Crochet.david.bot</username>
        <id>1005</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Robot : conversion/correction du HTML</comment>
      <origin>987054</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2134" sha1="5tmpmhwb1li1gjvzg7b6ypltqdvd70h" xml:space="preserve">{{Leçon du jour
  | idfaculté   = psychologie
  | département = Psychologie du développement personnel
  | niveau      = 16
}}
'''Pourquoi l’empathie ?'''

L’empathie vous donne le pouvoir de :
*Équiper les élèves
L'empathie signifie plus que simplement mieux traiter autrui - cela signifie
faire mieux. Dans une époque caractérisée par la connectivité et le changement,
les élèves qui apprennent à forger des relations dans la salle de classe et
à naviguer entre elles excelleront dans la salle de travail demain. La compréhension
des sentiments et des points de vue des autres est le fondement d'une
bonne communication, d’un esprit d'équipe et d’un leadership fort, peu importe
le chemin qu’ils suivront, ou les emplois qu’ils occuperont dans le futur.
*Transformer les écoles
La pratique de l'empathie conduit à une meilleure gestion de la classe
et à une augmentation du temps consacré à l'apprentissage. Les élèves
arrivent chaque jour prêts à apprendre, et les enseignants sont mieux
équipés pour faire face aux besoins sociaux et émotionnels de leurs élèves.
Les écoles engagées dans l'enseignement de l’empathie ont vu l'efficacité
et la rétention des enseignants augmenter, car les enseignants sont traités
avec la confiance, les ressources et la compréhension qu’ils méritent.
*Changer le monde
Notre monde est plein de défis complexes, où la décision d'une personne peut
avoir un effet ricochet sur les communautés et les cultures.
L'empathie nous donne la volonté et les outils nécessaires pour être des
acteur de changement efficaces.
Les défis complexes d'aujourd'hui ne peuvent être résolus par une seule personne
ou une organisation. L'empathie nous motive à construire quelque
chose de mieux ensemble et nous aide à y parvenir avec de l'imagination et
du respect, guidé par une compréhension profonde des gens et du monde
qui nous entourent.

[http://france.ashoka.org/sites/france.ashoka.org/files/Initier%20l'empathie%20-%2004-17-2014.pdf Boite à outils pour promouvoir l'empathie à l'école] de la [http://france.ashoka.org/ fondation Ashoka].</text>
      <sha1>5tmpmhwb1li1gjvzg7b6ypltqdvd70h</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Utilisateur:Lionel Scheepmans/Modèles</title>
    <ns>2</ns>
    <id>59755</id>
    <revision>
      <id>987055</id>
      <parentid>949279</parentid>
      <timestamp>2026-10-04T12:07:38Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Crochet.david.bot</username>
        <id>1005</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Robot : conversion/correction du HTML</comment>
      <origin>987055</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="23866" sha1="jp67r5uysqtlj5p6oqfp9vniwq8xhl6" xml:space="preserve">*[[w:Wikipédia:Boîte utilisateur|Wikipédia:Boîte utilisateur]]
*[[w:Modèle:Référence Harvard|Modèle:Référence Harvard]]

{| rules=&quot;all&quot; style=&quot;border: 1px solid #999; padding-right: 0.5em;&quot; cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;3&quot;
|-bgcolor=&quot;#DFDFDF&quot;
! style=&quot;text-align: left&quot; | Syntaxe et explications
! width=&quot;70%&quot; | Résultat 
|-
| {{m|En cours|''Nom de l'utilisateur''|''Date''}}&lt;br /&gt;Permet d'avertir que vous êtes '''en ce moment même''' en train de faire une longue modification sur la page, pour éviter les conflits de modification. À enlever rapidement. Options ajoutables :&lt;br /&gt;1/ précise le nom de l'éditeur;&lt;br /&gt;2/ date de début de la refonte.&lt;br /&gt;À remplacer par &lt;nowiki&gt;{{En travaux}}&lt;/nowiki&gt; ou à enlever si vous avez fini.
| {{En travaux|Toto|13 janvier 2007|nocat=oui}}
|-
| {{m|En travaux}}&lt;br /&gt;Permet de signaler que des modifications de grande ampleur '''sont en cours''' ou '''sont prévues et vont venir''' sur la page. La page de discussion est alors utilisée pour coordonner les efforts de différents contributeurs.
| {{En travaux|Toto|13 janvier 2007|nocat=oui}}
|-
| {{m|...}}&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;Permet d'indiquer en dessous d'un titre de section que celle-ci n'a pas encore été rédigée.
| {{...}}
|-
| {{m|Remix|''autre page''|''page d'apposition''}} &lt;br /&gt; (ne pas confondre avec '''Fusionner''') Signale qu'un remixage de deux pages est en cours, en vue d'obtenir à nouveau deux pages avec une répartition des thèmes plus approriée à l'encyclopédie , par exemple suite à un renommage. Des explications doivent être données en page de discussion des deux articles, afin d'orienter les contributeurs sur le projet de plan.
| {{Remix}}
|}

== Tâches à effectuer  ==

{| rules=&quot;all&quot; style=&quot;border: 1px solid #999; padding-right: 0.5em;&quot; cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;3&quot;
|-bgcolor=&quot;#DFDFDF&quot;
! style=&quot;text-align: left&quot; | Syntaxe et explications
! width=&quot;70%&quot; | Résultat 
|-
|{{m|Todo}} : Pour avoir une liste des tâches à réaliser.
| 

&lt;!-- !!! À été ajouté le paramètre NOCAT pour éviter que les boites d'exemple ne soient envoyées dans les pages &quot;A faire&quot;
Ce paramètre n'est PAS obligatoire ! (au contraire...) voir la documentation de {{Todo}}--&gt; 

{{Todo||nocat}}
ou
{{Todo&lt;!--|nocat--&gt;|1=
* Ceci est un texte d'exemple
** d'une boite Todo qui ne génère pas de sous-page
*** on y met du texte &quot;brut&quot;.
}}

|-
| {{m|Demande de traduction}} pour effectuer une demande de traduction d'une page ; Cliquez sur le lien créé et suivre les directives du modèle. Voir [[Projet:Traduction]]
| {{Demande de traduction}}
|-
| {{m|biblio}} et {{m|Conventions bibliographiques}} pour refaire les sections ''Bibliographique'' et ''Liens externes'' selon [[Wikiversité:Conventions bibliographiques|les conventions biliographiques]]
| {{Conventions bibliographiques|nocat=oui}}

|-
| {{m|À recycler}} Liste la page dans la catégorie [[:Catégorie:Page à recycler|page à recycler]], signifiant que les nombreuses informations ajoutées au fur et à mesure sont à réorganiser, à ré-écrire ou à recycler ailleurs.
| {{À recycler|*|nocat=oui}}
|-
| {{m|À fusionner|''Première page''|''Deuxième page''|''… jusqu'à 6 pages''}}&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;
Signale que la page devrait être fusionnée avec une ou plusieurs autres pages, les pages étant données en paramètre. Le modèle est à mettre sur toutes les pages à fusionner, et à expliquer sur [[Wikiversité:Pages à fusionner]].
| {{à fusionner|page 1|page 2|nocat=oui}}
|-
| {{m|À vérifier}}&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&quot;Quelque chose est à revoir&quot;.&lt;br /&gt;Liste la page dans la catégorie [[:Catégorie:page à vérifier|page à vérifier]] signifiant que d'autres contributeurs pourraient y jeter un œil. Il vaut mieux expliciter ce bandeau en page de discussion.&lt;br /&gt;Préférez-y les modèles ci-dessous, plus précis.
| {{À vérifier|*|nocat=oui}}
|-
| {{m|Mettre à jour}} ou {{m|À réactualiser}}&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;la page présente des données obsolètes ou annonce des événements passés.
| {{Méta bandeau d'avertissement
| niveau = modéré
| icône = Out of date clock icon.svg
| titre = Cette page est [[Aide:Articles à vérifier|à réactualiser]]. {{ #if: * | &lt;small&gt;(Dernière mise à jour : *)&lt;/small&gt; }}
| texte = Des passages de cette page sont obsolètes ou annoncent comme à venir des événements désormais passés. [{{fullurl:{{FULLPAGENAME}}|action=edit}} Améliorez-le] ou [[{{TALKPAGENAME}}|discutez des points à vérifier]].
}}
|-
| {{m|Promotionnel}} ou {{m|pub}}&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;la page a un ton promotionnel et doit être réécrite de façon neutre. Réserver uniquement à des cas flagrants, sinon passer par [[Wikiversité:LANN]].
| {{Promotionnel|nocat=oui}}
|-
| {{m|Orthographe}}&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;Besoin de vérifier l'orthographe de la page.
| {{Orthographe|*|nocat=oui}}
|-
| {{m|Rédaction}}&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;Besoin d'une meilleure rédaction pour la page.
| {{Rédaction|*|nocat=oui}}
|-
| {{m|Guide pratique}}&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;Besoin d'une meilleure rédaction pour la page afin de retirer l'aspect de manuel ou de guide pratique.
| {{Méta bandeau d'avertissement
| niveau = modéré
| titre = Cette page ou cette section relève du guide pratique, ce qui n'est pas de nature pédagogique.
| texte = Vous pouvez [{{fullurl:{{FULLPAGENAME}}|action=edit}} reformuler les passages concernés], ou remplacer ce bandeau par {{m|pour Wikibooks}} pour demander le transfert vers Wikibooks si cela est plus approprié.
}}
|-
| {{m|Sources}}&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;Besoin de citer les sources de la page.
| {{Sources|*|nocat=oui}}
|-
| {{m|à wikifier}}&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;Besoin de [[Aide:wikification|wikifier]] la page.
| {{Méta bandeau d'avertissement
| niveau = modéré
| icône = Wikitext.svg
| date=&amp;nbsp;&lt;small&gt;(indiquez la date de pose grâce au paramètre ''date'')&lt;/small&gt;
| titre = Cette page doit [[Aide:Wikification|être wikifiée]].
| texte = Le texte ne correspond pas à la mise en forme de Wikiversité ([[Wikiversité:Conventions de style|style]], [[Wikiversité:Conventions typographiques|typographie]], [[Wikiversité:Liens internes|liens internes]], [[Aide:Lien inter-langue|lien entre les wikis]]{{nobr|, etc.}}). [{{fullurl:{{FULLPAGENAME}}|action=edit}} Participez !]
}}
|-
| {{m|Internationaliser}}&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;Signale que la page porte implicitement sur la France, et qu'elle doit être neutralisée.
| {{Internationaliser|*|nocat=oui}}
|-
| {{m|Anthropocentrisme}}&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;Signale que la page est anthropocentrique. Voir le [[Wikiversité:Guide contre l'anthropocentrisme|guide contre l'anthropocentrisme]].
| {{Anthropocentrisme|*|nocat=oui}}
|-
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| colspan=&quot;2&quot; | 
|}

== Modèles de vote  ==

&lt;nowiki&gt;{{Palette Modèles de vote}}&lt;/nowiki&gt;

== Couleurs ==

{| style=&quot;font-size:90%;&quot; cellpadding=&quot;4&quot;
|- valign=&quot;top&quot;
|
{|border=&quot;0&quot;
!style=&quot;background:lightgrey;&quot;            |  nom [[Hypertext Markup Language|HTML]]
!colspan=1 style=&quot;background:lightgrey;&quot;| [[Code]] [[Hexadécimal|Hex]]&lt;br /&gt;[[Rouge vert bleu|R &amp;nbsp; G &amp;nbsp; B]]
!colspan=1 style=&quot;background:lightgrey;&quot;| [[Code]] décimal&lt;br /&gt;[[Rouge vert bleu|R &amp;nbsp; G &amp;nbsp; B]]
|-
|colspan=3; style=&quot;background:whitesmoke; color:slategray; text-align:left;&quot;|''''''Couleurs rouge''''''
|- style=&quot;background:indianred; color:white&quot;
|IndianRed  ||CD 5C 5C|| 205  92  92
|- style=&quot;background:lightcoral; color:black;&quot;
|LightCoral ||F0 80 80||240 128 128
|- style=&quot;background:salmon; color:black;&quot;
|Salmon     ||FA 80 72||250 128 114
|- style=&quot;background:darksalmon; color:black;&quot;
|DarkSalmon     ||E9 96 7A||233 150 122
|- style=&quot;background:lightsalmon; color:black;&quot;
|LightSalmon     ||FF A0 7A||255 160 122
|- style=&quot;background:crimson; color:white; color:white;&quot;
|Crimson       ||DC 14 3C||220  20  60
|- style=&quot;background:red; color:white;&quot;
|Red            ||FF 00 00||255   0   0
|- style=&quot;background:firebrick; color:white;&quot;
|FireBrick      ||B2 22 22||178  34  34
|- style=&quot;background:darkred; color:white;&quot;
|DarkRed        ||8B 00 00||139   0   0
|-
|colspan=3; style=&quot;background:whitesmoke; color:slategray; text-align:left;&quot;|''''''Couleurs roses''''''
|- style=&quot;background:pink; color:black;&quot;
|Pink           ||FF C0 CB||255 192 203
|- style=&quot;background:lightpink; color:black;&quot;
|LightPink      ||FF B6 C1||255 182 193
|- style=&quot;background:hotpink; color:white;&quot;
|HotPink        ||FF 69 B4||255 105 180
|- style=&quot;background:deeppink; color:white;&quot;
|DeepPink       ||FF 14 93||255  20 147
|- style=&quot;background:mediumvioletred; color:white;&quot;
|MediumVioletRed||C7 15 85||199  21 133
|- style=&quot;background:palevioletred; color:white;&quot;
|PaleVioletRed  ||DB 70 93||219 112 147
|-
|colspan=3; style=&quot;background:whitesmoke; color:slategray; text-align:left;&quot;|''''''Couleurs orange''''''
|- style=&quot;background:lightsalmon; color:black;&quot;
||LightSalmon    ||FF A0 7A||255 160 122
|-  style=&quot;background:coral; color:white;&quot;
|Coral          ||FF 7F 50||255 127  80
|- style=&quot;background:tomato; color:white;&quot;
|Tomato         ||FF 63 47||255  99  71
|- style=&quot;background:orangered; color:white;&quot;
|OrangeRed      ||FF 45 00||255  69   0
|- style=&quot;background:darkorange; color:white;&quot;
|DarkOrange     ||FF 8C 00||255 140   0
|- style=&quot;background:orange; color:white;&quot;
|Orange         ||FF A5 00||255 165   0
|-
|colspan=3; style=&quot;background:whitesmoke; color:slategray; text-align:left;&quot;|''''''Couleurs jaunes''''''
|- style=&quot;background:gold; color:black;&quot;
|Gold           ||FF D7 00||255 215   0
|- style=&quot;background:yellow; color:black;&quot;
|Yellow         ||FF FF 00||255 255   0
|- style=&quot;background:lightyellow; color:black;&quot;
|LightYellow    ||FF FF E0||255 255 224 
|- style=&quot;background:lemonchiffon; color:black;&quot;
|LemonChiffon  ||FF FA CD||255 250 205 
|- style=&quot;background:lightgoldenrodyellow; color:black;&quot;
|LightGoldenrodYellow||FA FA D2||250 250 210 
|- style=&quot;background:papayawhip; color:black;&quot;
|PapayaWhip     ||FF EF D5||255 239 213 
|- style=&quot;background:moccasin; color:black;&quot;
|Moccasin       ||FF E4 B5||255 228 181 
|- style=&quot;background:peachpuff; color:black;&quot;
|PeachPuff      ||FF DA B9||255 218 185 
|- style=&quot;background:palegoldenrod; color:black;&quot;
|PaleGoldenrod  ||EE E8 AA||238 232 170 
|- style=&quot;background:khaki; color:black;&quot;
|Khaki          ||F0 E6 8C||240 230 140 
|- style=&quot;background:darkkhaki; color:white;&quot;
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|-
|colspan=3; style=&quot;background:whitesmoke; color:slategray; text-align:left;&quot;|''''''Couleurs violettes''''''
|- style=&quot;background:lavender; color:black;&quot;
|Lavender       ||E6 E6 FA||230 230 250 
|- style=&quot;background:thistle; color:white;&quot;
|Thistle ||D8 BF D8||216 191 216 
|- style=&quot;background:plum; color:white;&quot;
|Plum           ||DD A0 DD||221 160 221 
|- style=&quot;background:violet; color:white;&quot;
|Violet         ||EE 82 EE||238 130 238 
|- style=&quot;background:orchid; color:white;&quot;
|Orchid         ||DA 70 D6||218 112 214
|- style=&quot;background:fuchsia; color:white;&quot;
|Fuchsia        ||FF 00 FF||255   0 255 
|- style=&quot;background:magenta; color:white;&quot;
|Magenta||FF 00 FF||255   0 255 
|- style=&quot;background:mediumorchid; color:white;&quot;
|MediumOrchid   ||BA 55 D3||186  85 211 
|- style=&quot;background:mediumpurple; color:white;&quot;
|MediumPurple   ||93 70 DB||147 112 219 
|- style=&quot;background:blueviolet; color:white;&quot;
|BlueViolet     ||8A 2B E2||138  43 226 
|- style=&quot;background:darkviolet; color:white;&quot;
|DarkViolet     ||94 00 D3||148   0 211 
|- style=&quot;background:darkorchid; color:white;&quot;
|DarkOrchid     ||99 32 CC||153  50 204 
|- style=&quot;background:darkmagenta; color:white;&quot;
|DarkMagenta    ||8B 00 8B||139   0 139 
|- style=&quot;background:purple; color:white;&quot;
|Purple         ||80 00 80||128   0 128 
|- style=&quot;background:indigo; color:white;&quot;
|Indigo         ||4B 00 82|| 75   0 130  
|- style=&quot;background:slateblue; color:white;&quot;
|SlateBlue      ||6A 5A CD||106  90 205
|- style=&quot;background:darkslateblue; color:white;&quot;
|DarkSlateBlue  ||48 3D 8B|| 72  61 139
|-
|}
|
{|border=&quot;0&quot;
!style=&quot;background:lightgrey;&quot;            |  nom [[Hypertext Markup Language|HTML]]
!colspan=1 style=&quot;background:lightgrey;&quot;| [[Code]] [[Hexadécimal|Hex]]&lt;br /&gt;[[Rouge vert bleu|R &amp;nbsp; G &amp;nbsp; B]]
!colspan=1 style=&quot;background:lightgrey;&quot;| [[Code]] décimal&lt;br /&gt;[[Rouge vert bleu|R &amp;nbsp; G &amp;nbsp; B]]
|-
|colspan=3; style=&quot;background:whitesmoke; color:slategray; text-align:left;&quot;|''''''Couleurs vertes''''''
|- style=&quot;background:greenyellow; color:black;&quot;
|GreenYellow    ||AD FF 2F||173 255  47 
|- style=&quot;background:chartreuse; color:black;&quot;
|Chartreuse     ||7F FF 00||127 255   0 
|- style=&quot;background:lawngreen; color:black;&quot;
|LawnGreen      ||7C FC 00||124 252   0 
|- style=&quot;background:lime; color:black;&quot;
|Lime           ||00 FF 00||  0 255   0  
|- style=&quot;background:limegreen; color:black;&quot;
|LimeGreen      ||32 CD 32|| 50 205  50
|- style=&quot;background:palegreen; color:black;&quot;
|PaleGreen      ||98 FB 98||152 251 152 
|- style=&quot;background:lightgreen; color:black;&quot;
|LightGreen     ||90 EE 90||144 238 144 
|- style=&quot;background:mediumspringgreen; color:black;&quot;
|MediumSpringGreen||00 FA 9A||  0 250 154 
|- style=&quot;background:springgreen; color:black;&quot;
|SpringGreen    ||00 FF 7F||  0 255 127 
|- style=&quot;background:mediumseagreen; color:white;&quot;
|MediumSeaGreen ||3C B3 71|| 60 179 113 
|- style=&quot;background:seagreen; color:white;&quot;
|SeaGreen       ||2E 8B 57|| 46 139  87 
|- style=&quot;background:forestgreen; color:white;&quot;
|ForestGreen    ||22 8B 22|| 34 139  34 
|- style=&quot;background:green; color:white;&quot;
|Green          ||00 80 00||  0 128   0
|- style=&quot;background:darkgreen; color:white;&quot;
|DarkGreen      ||00 64 00||  0 100   0 
|- style=&quot;background:yellowgreen; color:white;&quot;
|YellowGreen    ||9A CD 32||154 205  50
|- style=&quot;background:olivedrab; color:white;&quot;
|OliveDrab      ||6B 8E 23||107 142  35 
|- style=&quot;background:olive; color:white;&quot;
|Olive          ||80 80 00||128 128   0 
|- style=&quot;background:darkolivegreen; color:white;&quot;
|DarkOliveGreen ||55 6B 2F|| 85 107  47
|- style=&quot;background:mediumaquamarine; color:black;&quot;
|MediumAquamarine||66 CD AA||102 205 170 
|- style=&quot;background:darkseagreen; color:white;&quot;
|DarkSeaGreen  ||8F BC 8F||143 188 143 
|- style=&quot;background:lightseagreen; color:white;&quot;
|LightSeaGreen  ||20 B2 AA|| 32 178 170 
|- style=&quot;background:darkcyan; color:white;&quot;
|DarkCyan       ||00 8B 8B||  0 139 139 
|- style=&quot;background:teal; color:white;&quot;
|Teal           ||00 80 80||  0 128 128 
|-
|colspan=3; style=&quot;background:whitesmoke; color:slategray; text-align:left;&quot;|''''''Couleurs bleues''''''
|- style=&quot;background:aqua; color:black;&quot;
|Aqua           ||00 FF FF||  0 255 255
|- style=&quot;background:cyan; color:black;&quot;
|Cyan           ||00 FF FF||  0 255 255
|- style=&quot;background:lightcyan; color:black;&quot;
|LightCyan      ||E0 FF FF||224 255 255 
|- style=&quot;background:paleturquoise; color:black;&quot;
|PaleTurquoise  ||AF EE EE||175 238 238 
|- style=&quot;background:aquamarine; color:black;&quot;
|Aquamarine    ||7F FF D4||127 255 212 
|- style=&quot;background:turquoise; color:black;&quot;
|Turquoise      ||40 E0 D0|| 64 224 208 
|- style=&quot;background:mediumturquoise; color:white;&quot;
|MediumTurquoise ||48 D1 CC|| 72 209 204 
|- style=&quot;background:darkturquoise; color:white;&quot;
|DarkTurquoise||00 CE D1||  0 206 209  
|- style=&quot;background:cadetblue; color:white;&quot;
|CadetBlue      ||5F 9E A0|| 95 158 160 
|- style=&quot;background:steelblue; color:white;&quot;
|SteelBlue   ||46 82 B4|| 70 130 180
|- style=&quot;background:lightsteelblue; color:black;&quot;
|LightSteelBlue ||B0 C4 DE||176 196 222  
|- style=&quot;background:powderblue; color:black;&quot;
|PowderBlue     ||B0 E0 E6||176 224 230 
|- style=&quot;background:lightblue; color:black;&quot;
|LightBlue      ||AD D8 E6||173 216 230 
|- style=&quot;background:skyblue; color:black;&quot;
|SkyBlue        ||87 CE EB||135 206 235 
|- style=&quot;background:lightskyblue; color:black;&quot;
|LightSkyBlue||87 CE FA||135 206 250 
|- style=&quot;background:deepskyblue; color:white;&quot;
|DeepSkyBlue  ||00 BF FF||  0 191 255  
|- style=&quot;background:dodgerblue; color:white;&quot;
|DodgerBlue     ||1E 90 FF|| 30 144 255
|- style=&quot;background:cornflowerblue; color:white;&quot;
|CornflowerBlue||64 95 ED||100 149 237
|- style=&quot;background:mediumslateblue; color:white;&quot;
|MediumSlateBlue||7B 68 EE||123 104 238 
|- style=&quot;background:royalblue; color:white;&quot;
|RoyalBlue      ||41 69 E1|| 65 105 225 
|- style=&quot;background:blue; color:white;&quot;
|Blue           ||00 00 FF||  0   0 255 
|- style=&quot;background:mediumblue; color:white;&quot;
|MediumBlue     ||00 00 CD||  0   0 205 
|- style=&quot;background:darkblue; color:white;&quot;
|DarkBlue       ||00 00 8B||  0   0 139 
|- style=&quot;background:navy; color:white;&quot;
|Navy           ||00 00 80||  0   0 128 
|- style=&quot;background:midnightblue; color:white;&quot;
|MidnightBlue   ||19 19 70|| 25  25 112 
|-
|}
|
{|border=&quot;0&quot;
!style=&quot;background:lightgrey;&quot;            |  nom [[Hypertext Markup Language|HTML]]
!colspan=1 style=&quot;background:lightgrey;&quot;| [[Code]] [[Hexadécimal|Hex]]&lt;br /&gt;[[Rouge vert bleu|R &amp;nbsp; G &amp;nbsp; B]]
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|-
|colspan=3; style=&quot;background:whitesmoke; color:slategray; text-align:left;&quot;|''''''Couleurs marrons''''''
|- style=&quot;background:cornsilk; color:black;&quot;
|Cornsilk       ||FF F8 DC||255 248 220 
|- style=&quot;background:blanchedalmond; color:black;&quot;
|BlanchedAlmond ||FF EB CD||255 235 205 
|- style=&quot;background:bisque; color:black;&quot;
|Bisque         ||FF E4 C4||255 228 196 
|- style=&quot;background:navajowhite; color:black;&quot;
|NavajoWhite    ||FF DE AD||255 222 173 
|- style=&quot;background:wheat; color:black;&quot;
|Wheat          ||F5 DE B3||245 222 179 
|- style=&quot;background:burlywood; color:white;&quot;
|BurlyWood      ||DE B8 87||222 184 135 
|- style=&quot;background:tan; color:white;&quot;
|Tan            ||D2 B4 8C||210 180 140 
|- style=&quot;background:rosybrown; color:white;&quot;
|RosyBrown      ||BC 8F 8F||188 143 143 
|- style=&quot;background:sandybrown; color:white;&quot;
|SandyBrown     ||F4 A4 60||244 164  96 
|- style=&quot;background:goldenrod; color:white;&quot;
|Goldenrod      ||DA A5 20||218 165  32 
|- style=&quot;background:darkgoldenrod; color:white;&quot;
|DarkGoldenrod  ||B8 86 0B||184 134  11 
|- style=&quot;background:peru; color:white;&quot;
|Peru           ||CD 85 3F||205 133  63 
|- style=&quot;background:chocolate; color:white;&quot;
|Chocolate     ||D2 69 1E||210 105  30 
|- style=&quot;background:saddlebrown; color:white;&quot;
|SaddleBrown    ||8B 45 13||139  69  19 
|- style=&quot;background:sienna; color:white;&quot;
|Sienna         ||A0 52 2D||160  82  45 
|- style=&quot;background:brown; color:white;&quot;
|Brown          ||A5 2A 2A||165  42  42 
|- style=&quot;background:maroon; color:white;&quot;
|Maroon         ||80 00 00||128   0   0
|-
|colspan=3; style=&quot;background:whitesmoke; color:slategray; text-align:left;&quot;|''''''Couleurs blanches''''''
|- style=&quot;background:white; color:black;&quot;
|White          ||FF FF FF||255 255 255 
|- style=&quot;background:snow; color:black;&quot;
|Snow           ||FF FA FA||255 250 250 
|- style=&quot;background:honeydew; color:black;&quot;
|Honeydew       ||F0 FF F0||240 255 240 
|- style=&quot;background:mintcream; color:black;&quot;
|MintCream      ||F5 FF FA||245 255 250 
|- style=&quot;background:azure; color:black;&quot;
|Azure          ||F0 FF FF||240 255 255 
|- style=&quot;background:aliceblue; color:black;&quot;
|AliceBlue      ||F0 F8 FF||240 248 255 
|- style=&quot;background:ghostwhite; color:black;&quot;
|GhostWhite     ||F8 F8 FF||248 248 255 
|- style=&quot;background:whitesmoke; color:black;&quot;
|WhiteSmoke     ||F5 F5 F5||245 245 245 
|- style=&quot;background:seashell; color:black;&quot;
|Seashell       ||FF F5 EE||255 245 238 
|- style=&quot;background:beige; color:black;&quot;
|Beige          ||F5 F5 DC||245 245 220 
|- style=&quot;background:oldlace; color:black;&quot;
|OldLace        ||FD F5 E6||253 245 230 
|- style=&quot;background:floralwhite; color:black;&quot;
|FloralWhite    ||FF FA F0||255 250 240 
|- style=&quot;background:ivory; color:black;&quot;
|Ivory          ||FF FF F0||255 255 240 
|- style=&quot;background:antiquewhite; color:black;&quot;
|AntiqueWhite   ||FA EB D7||250 235 215 
|- style=&quot;background:linen; color:black;&quot;
|Linen          ||FA F0 E6||250 240 230 
|- style=&quot;background:lavenderblush; color:black;&quot;
|LavenderBlush  ||FF F0 F5||255 240 245 
|- style=&quot;background:mistyrose; color:black;&quot;
|MistyRose      ||FF E4 E1||255 228 225 
|-
|colspan=3; style=&quot;background:whitesmoke; color:slategray; text-align:left;&quot;|''''''Couleurs grises''''''
|- style=&quot;background:gainsboro; color:black;&quot;
|Gainsboro      ||DC DC DC||220 220 220 
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|LightGrey      ||D3 D3 D3||211 211 211 
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|Silver         ||C0 C0 C0||192 192 192 
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|DarkGray       ||A9 A9 A9||169 169 169 
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    <title>Discussion utilisateur:Lionel Scheepmans/Archive retrait Flow/blog WPF</title>
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      <text bytes="1571" sha1="0bha1i9l2vk404w636gaqd44zi2scnm" xml:space="preserve">== d''y''strat ? ==

Ça veut dire quoi, d''y''strat ?
--[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 10 mars 2016 à 09:23 (UTC)
:C'est un jeu de mot. Distrait avec un y comme dysfonctionnement. On peu remplacer par Dys-trait [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 10 mars 2016 à 14:11 (UTC)

== Et la musique ???  ==

T'as fait plein de musique !!
Et tu me disais rien ??
Petit cachotier !! {{clin}}
--[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 10 mars 2016 à 09:23 (UTC)

:Oh si je devais tout dire... Je ne serais plus crédible je crois {{clin}}. Là, j’ai plus toucher mes instruments depuis des moins, sauf pour en vendre quelque un. Je trouve ça compliqué de faire trop de choses en même temps. C'est l'éthique qui m'accapare en ce moment et puis mon fils bien sûr. J'attends qu’il grandisse avec l’espoir qu’il prenne le goût à la musique... Un jour viendra où je frapperai à la porte de la Faculté, c’est promis ! [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 10 mars 2016 à 14:19 (UTC)
::ok. Ça nous laisse le temps de développer la faculté de musique. {{sourire}} --[[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 10 mars 2016 à 14:43 (UTC)</text>
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      <text bytes="4621" sha1="8zs11n4odn5xze3imx0pu4w0ws1wa3b" xml:space="preserve">{{Bienvenue}}
== Suite à l'affaire moi contre moi  ==

Bonjour,

Je tenais à vous remercier pour notre rencontre sur la page d'arbitrage et pour avoir clôturer celle-ci.

Cette demande d'arbitrage condamnée d'avance à être non recevable, n'aurait probablement pas été lancée s'il y avait d'autres arbitrages en cours. Mais vu l'état actuel du conseil d'arbitrage, il n'y avait aucun risque de vous solliciter en plein rush. Au pire je risquais de vous obliger à utiliser votre tablette sur une plage ensoleillée ou dans un bistro à côté de la piste de ski ;-).

Le mouvement wikimedia est l'un des plus beau projet de société contemporain voir même le plus beau à mes yeux. Les projets de la fondation me tiennent à cœur et c’est je m'en rend compte une grande faiblesse. Si le mouvement wikimeida me laissaient indifférent, d'une part, je n'y aurais jamais consacré autant d'heures bénévoles que j'aurai pu investir dans d'autres projets personnels, d’autre part, j'arriverais à prendre les choses avec distances et retenues. Le blocage de mes comptes sur wikipedia est donc directement lié à ceci.

Voici pour exemple : vous suspectiez ma demande d'arbitrage d’être une tentative de désorganisation du projet wikipedia. Et cela m'a beaucoup touché car mes intentions sont toute contraires. Cela m'a touché d'autant plus que l'accusation fut réitérée sans prendre en compte mes explications apportées la première fois. Même si je sais que cette accusation n’est pas fondée dans l'absolu, même si je sais qu'elle peut être fondée dans le contexte, même si je sais que puisqu'elle provient de bénévoles élus par la communauté, elle renferme une certaine légitimité, il me faut malgré tout, maîtriser me émotions. J'y suis arrivé et c’est tant mieux. Mais je n'y arrive pas toujours et c’est bien dommage. Dommage de bloquer mes compte sur fr.wikipedia.

Au delà de ça, cette demande d'arbitrage m'a permis de découvrir et de comprendre de nouvelles choses au niveau du fonctionnement de la communauté fr.wikipedia. Mon actuelle intérêt au niveau du mouvement wikimedia est de comprendre ses dysfonctionnements et de les aborder au travers d'une analyse éthiques. Un travail extrêmement ingrat je m'en rend compte. Dite à une personne qu'elle à un défaut, même de la façon la plus objective possible, même si c’est avec la meilleure intention du monde de vouloir corriger ce défaut, il y a de forte chance que cette personne prenne la chose comme une attaque personnel, qu'elle vous traitera comme un ennemi. 

Ceci est d'autant plus vrai sur Wikipedia ou la bonne foi ne semble pas pouvoir exister et où tout échange dans le cadre d'un conflit a de forte chance d’être pris comme une attaque personnelle. Je suis persuadé sans pouvoir le prouver que ceci est du à la froideur de la communication écrite, suscitée elle-même par l'absence de tout un ensemble d'indicateurs exprimer par le corps durant les interactions humaines. L'intonation de la voix, l’expression du regard, la posture physique, la respiration, etc. Pour accentuer le phénomène, l'anonymat offre aux utilisateurs la possibilité d'adopter un comportement qu’il n'adopterait jamais dans autre un lieu public. Plus encore, la possibilité de création de comptes multiples par un même utilisateur et l'impossibilité d'un contrôle rationnel à ce niveau offre aux utilisateurs la capacité d’agir dans un double anonymat. Sans être identifier au niveau de son compte utilisateur principale, un utilisateur habile peut ainsi adopter autant de posture et d'attitude qu’il le souhaite tout en les adaptant aux intentions qu’il veut mettre en œuvre.

J'aurais beaucoup de chose à dire encore au sujet de la communauté fr.wikipedia, mais je vais m'arrêter ici en vous remerciant pour le temps que vous m'avez déjà consacrez et aussi pour vous poser cette question :

Seriez-vous disponibles en cas de nécessité, de répondre à des questions que je pourrais me poser lors de mes travaux de recherches ?

Cela se passerait ici sur wikiversité soit dans les pages de discussions de mes différents travaux (où vous pouvez d'ailleurs spontanément intervenir), soit dans des sous-pages créés à cette effet.

En vous remerciant d'avance pour les réponses que vous pourriez apporter à ce message, je vous souhaite une très agréable journée, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 11 mars 2016 à 10:08 (UTC)</text>
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      <text bytes="645" sha1="890y151nog6pbjupq8kqix1tnk7zhki" xml:space="preserve">== Révision problèmatique ==

Salut [[utilisateur:JackPotte|JackPotte]], suite à [[spécial:diff/537508|ta révision]], les icones de titre ne fonctionnent plus... [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 18 mars 2016 à 10:27 (UTC)
:C'est réglé, mais j’avais répondu à ta demande initiale sur [[Discussion_utilisateur:JackPotte#Configuration_icone_de_titre.]]. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 18 mars 2016 à 10:46 (UTC)</text>
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    <title>Wikiversité:Débat d'admissibilité/Analyse de questions en forme de QCM sur le chocolat</title>
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{{pages à supprimer}}

== {{A|Analyse de questions en forme de QCM sur le chocolat}}  ==
Proposé par : [[Utilisateur:Thierry613|Thierry613]] ([[Discussion utilisateur:Thierry613|discussion]]) 21 mars 2016 à 13:06 (UTC)


Cette page est remplacée par :
* https://fr.wikiversity.org/wiki/%C3%89tude_sur_l'enseignement_et_l'apprentissage/L'étudiant_face_%C3%A0_l'activité
* https://fr.wikiversity.org/wiki/Analyse_de_questions_QCM_sur_le_chocolat


=== Discussions ===
''Toutes les discussions vont ci-dessous.''

=== Avis ===
''Entrez ci-dessous votre avis. N’oubliez pas de signer en entrant quatre tildes (&lt;nowiki&gt;~~~~&lt;/nowiki&gt;).''

==== Conserver ====
#

==== Supprimer ====
# {{supprimer}} Doublon orphelin. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 21 mars 2016 à 13:34 (UTC)
# {{supprimer}} [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 21 mars 2016 à 15:24 (UTC)
# {{supprimer}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 21 mars 2016 à 15:39 (UTC)
# {{supprimer}} [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 21 mars 2016 à 17:37 (UTC)

==== Avis divers  ====
''Exception étant faite pour le créateur de l’article, les avis d’utilisateurs récemment inscrits (moins de cinquante contributions...) ou non identifiables (IP, opinions non signées...) ne sont en principe pas pris en compte. Si vous êtes dans ce cas, vous pouvez toutefois participer aux [[#Discussions|discussions]] ou vous exprimer ci-dessous pour information :''
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      <text bytes="85259" sha1="nbkc8t9twakbxzgrqf4rqf9fsjs0nv3" xml:space="preserve">Bonjour,

passionné d'enseignement, de physique et de mathématiques, j'aimerais participer à wikiversity dans le domaine de la physique ou dans celui des mathématiques (niveau post-bac) ;

j'ai participé au wikimooc et ai rédigé un article sur la cinétique (physique) qui est encore en correction par mes pairs ;

j'ai d'ailleurs constaté que la cinétique était une leçon absente du département de mécanique classique de la faculté de physique et je trouve cela dommage compte tenu de son importance en relativité restreinte.

J'aimerais donc utiliser mon expérience pour proposer des articles, faire des modifications, chercher des illustrations etc ... dans le cadre de la faculté de physique (et éventuellement de mathématiques).

Cordialement

{{Bienvenue}}


== À propos des Conventions de nommage  ==

Bonjour, je viens de me rendre compte que vous avez transformé le chapitre 2 [[Signaux physiques en classe préparatoire PCSI /Propagation d'un signal]] en leçon et ceci n'est pas conforme au point 3 du paragraphe '''Conventions de nommage particulières''' des [[Wikiversité:Conventions de nommage|Conventions de nommage]]. Les leçons ne doivent pas être des sous-pages. Si un chapitre devient trop important, vous pouvez soit le scinder en plusieurs chapitres soit créer une leçon à part plus spécialisé. Par exemple dans la leçon [[Fonctions d'une variable réelle]] le chapitre [[Fonctions d'une variable réelle/Convexité]] a été écrit de façon succincte et à la fin de ce chapitre une remarque invite à consulter la leçon plus détaillée [[Fonctions convexes]]. Merci de votre compréhension {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 7 juillet 2016 à 14:40 (UTC)


Rebonjour, croyez bien que mon objectif n'est pas de vous ennuyer. Mais ce que vous avez fait sur la page [[Signaux physiques en classe préparatoire PCSI /Propagation d'un signal]] est encore moins acceptable que précédemment. Nos modèles ne gèrent pas les sous-chapitres. La maintenance de la Wikiversité est assez complexe et nous utilisons des programmes en Lua qui recherche automatiquement les erreurs (voir [[Aide:Maintenance à l'aide du Lua]]. Si chacun fait ses petits bricolages dans son coin, cela ne pourra pas marcher. Pourquoi ne faite vous pas une leçon [[Propagation d'un signal]] à part ? Si vous voulez introduire quelque chose de nouveau sur la Wikiversité, il vous faut obtenir un vote favorable à 75% de la communauté (voir [[Wikiversité:Prise de décision]]. Cordialement. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 7 juillet 2016 à 17:23 (UTC)


Bonsoir,

effectivement le chapitre &quot;Signaux physiques en classe préparatoire PCSI/Propagation d'un signal&quot; étant beaucoup trop long je l'ai scindé en huit sous-chapitres mais, pour que ces derniers soient accessibles à partir de &quot;Signaux physiques en classe préparatoire PCSI /Propagation d'un signal&quot; j'avais transformé ce dernier en leçon ou plus exactement en sous-leçon permettant de faire toujours partie de la leçon &quot; Signaux physiques en classe préparatoire PCSI &quot; et de donner un accès agréable aux huit sous-chapitres comme peut le faire le modèle leçon ; puisque cette façon de procéder n'est pas conforme (et je le regrette car c'était d'un usage compréhensible fonctionnant parfaitement) j'ai réédité &quot;[[Signaux physiques en classe préparatoire PCSI/Propagation_d'un_signal]]&quot; avec le modèle chapitre en ne mettant dans ce chapitre que les liens vers les sous-chapitres (comme vous pouvez le vérifier) ; malheureusement ces sous-chapitres ne peuvent plus être construits avec le modèle chapitre (enfin peut-être que c'est possible mais je n'ai pas réussi) et la présentation est beaucoup moins agréable comme vous pouvez le voir ici [[Signaux physiques en classe préparatoire PCSI/Propagation_d'un_signal/Exemples_de_signaux,_spectre]] ; Mais peut-être avez-vous une idée d'amélioration de présentation pour ces sous-chapitres, une construction de modèle de sous-chapitre ?

Cordialement
--[[Utilisateur:Phl7605|Phl7605]] ([[Discussion utilisateur:Phl7605|discussion]]) 7 juillet 2016 à 17:30 (UTC)

: La notion de sous-chapitre n'existe pas sur la Wikiversité. Pour réaliser ce que vous voulez faire, je ne vois que deux possibilité :
: Soit faire une autre leçon qui s'appellerait, par exemple, [[Propagation d'un signal]] et dont les chapitres seraient les sous-chapitres concernés. Et dans le chapitre 2 de la leçon [[Signaux physiques en classe préparatoire PCSI]], vous pouvez faire une approche moins détaillé de la propagation d'un signal et, en fin de chapitre, inviter le lecteur à approfondir le sujet dans la leçon plus détaillé (comme cela a été fait, par exemple, dans le chapitre [[Matrice/Trace]]).
: Soit, si vous tenez absolument à mettre les huit nouveaux chapitres directement dans la leçon [[Signaux physiques en classe préparatoire PCSI]], les rajouter dans le sommaire de la leçon qui comportera alors 16 chapitres dans son sommaire au lieu de 8. Ne croyez pas que ce nombre de chapitres soit excessif, vous serez encore loin de détienir le record de la leçon qui a le plus de chapitres qui, je crois, est détenu actuellement par la leçon [[Jules Renard, Histoires naturelles]] avec 36 chapitres. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 7 juillet 2016 à 18:29 (UTC)

== À propos de la leçon   ==

Bonjour, j'ai donné un nom plus clair pour la leçon que j'ai renommé en [[Signaux physiques en classe préparatoire PCSI]]. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 21 juillet 2016 à 12:07 (UTC)
:Comme je l'ai indiqué en réponse à ta question sur ma page de discussion, il faut éviter les abréviations dans les titres des leçons, cours ou chapitres afin que la majorités des francophones comprennent de quoi ils s'agit. En effet, le terme PCSI n'est utilisé, il me semble, qu'en France. Les francophones non français risquent de ne pas savoir ce que c'est. Est-ce un domaine du sujet, un école, une classe ou tout autres choses. C'est en cela qu'ajouter le terme « en classe préparatoire PCSI » au lieu de « (PCSI) » est plus clair pour tout le monde. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 22 juillet 2016 à 07:45 (UTC)


== Purge d'un page  ==

Bonjour, lorsque vous modifier une sous-page du sommaire d'une leçon, il faut parfois plusieurs jours pour que cette modification apparaisse dans le sommaire. Pour faire apparaître la modification immédiatement, vous avez deux possibilités :

- Vous pouvez simplement cliquer sur modifier (de la page du sommaire) et sans faire de modification, cliquer sur publier (ça n’apparaît pas dans les modification récente).

- Vous pouvez aussi ajouter un onglet pour purger le cache d'une page en cliquant sur vos préférences, puis sur « gadget », puis en cochant la ligne &quot; Ajouter un onglet permettant de purger le cache d'une page&quot;, sans oublier d'enregistrer les préférences en bas de page. {{sourire}} — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 22 juillet 2016 à 14:20 (UTC)

== Points blancs  ==

Bonjour. J'ai remarqué qu'il y a plein d'espace large dans les textes, et que c'est en fait des points blancs. Quels en sont l’utilité ? [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 18 septembre 2016 à 18:24 (UTC)

== La situation est plus claire  ==

Bonjour, maintenant que votre leçon [[Signaux physiques (PCSI)]] est plus avancée, je comprends mieux ce que vous voulez faire. Plus haut dans cette page, je ne comprenais pas pourquoi vous teniez à faire des sous-chapitres de chapitre. Maintenant on voit clairement apparaître des sous-leçons dans votre leçon :
* Propagation d'un signal
* Optique géométrique
* Introduction au monde quantique
* etc.
En fait, vous avez voulu agglomérer plusieurs leçons en une seule.

Cette façon de faire n'est pas usuelle sur la Wikiversité. Il aurait mieux valu, dans ce cas-là que vous fassiez un cours (voir [[Aide:Comment créer un cours]]). Un cours permet de regrouper plusieurs leçons et offre une structure beaucoup plus souple pour y rajouter d'autres documents. Si vous laissez les choses ainsi, très probablement, un jour ou l'autre, un contributeur va scinder votre leçon en plusieurs leçons. Je pense qu'il serait préférable que vous vous en chargiez vous-même (on n'est jamais mieux servi que par soit même) en prenant exemple sur un cours déjà existant comme [[Mécanique des fluides]]. Je reste à votre disposition si vos avez besoin d'aide pour cette opération. Cordialement. — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 11 décembre 2016 à 14:39 (UTC)
:Je rejoinds l'avis de [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] et je vous propose un découpage selon la hiérachisation suivante : 
:#   Signaux physiques en classe préparatoire PCSI (cours)
:##  Oscillateur harmonique (leçon)
:##  Propagation d'un signal (leçon)
:### Exemples de signaux, spectre (chapitre)
:### Onde progressive dans le cas d'une propagation unidimensionnelle linéaire non dispersive (chapitre)
:### Onde progressive sinusoïdale (chapitre)
:### Interférences entre deux ondes acoustiques ou mécaniques de même fréquence (chapitre)
:### Battements (chapitre)
:### Ondes stationnaires mécaniques (chapitre)
:### Diffraction à l'infini (chapitre)
:### Polarisation rectiligne de la lumière, loi de Malus (chapitre)
:##  Optique géométrique (leçon)
:### sources lumineuses, milieu transparent, approximation de l'optique géométrique (chapitre)
:### réflexion, réfraction, lois de Descartes (chapitre)
:### miroir plan (chapitre)
:### conditions de Gauss (chapitre)
:### lentilles minces (chapitre)
:### l'œil (chapitre)
:##  Introduction au monde quantique (leçon)
:### dualité onde-particule (chapitre)
:### interprétation probabiliste (chapitre)
:### inégalités de Heisenberg (chapitre)
:### oscillateur harmonique (chapitre)
:### particule libre confinée 1D (chapitre)
:##  circuits électriques dans l'ARQS (leçon)
:### intensité, tension, puissance (chapitre)
:### dipôles linéaires (chapitre)
:### associations de conducteurs ohmiques (chapitre)
:### résistance de sortie, résistance d'entrée (chapitre)
:### caractéristique d'un dipôle (chapitre)
:##  Circuits linéaires du 1er ordre (leçon)
:##  Oscillateurs amortis (leçon)
:##   Filtrage linéaire (leçon)
:Cela rendra le cours beaucoup plus facile à être étudier, surtout que les chapitres à l'intérieur de ces leçon sont déjà très long. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 25 avril 2017 à 17:00 (UTC)
:: Question y-a-t-il une structure qui regroupe plusieurs cours ? Si la réponse est non, cela ne peut se faire car dans le programme de PCSI il y a plusieurs cours dont celui des &quot;signaux physiques&quot; n'est que le 1{{er}} et celui des &quot;outils mathématiques pour la physique&quot; un cours simultané à tous les autres ; j'ai également rectifié votre subdivision car il manquait une leçon &quot;circuits électriques dans l'ARQS&quot; ; enfin j'ai enseigné - certes une seule année - avec la structure que j'ai utilisée jusqu'à présent et il ne m'a pas semblé que mes étudiants étaient perdus ; pour terminer, dans l'hypothèse où il y aurait une structure regroupant plusieurs cours, je ne suis pas opposé à faire ce que vous suggérez mais pas pour l'instant car il y a beaucoup de liens internes dans les différents chapitres et cela me prendrait trop de temps, temps que je préfère pour l'instant consacrer à la rédaction des chapitres de la leçon des &quot;signaux physiques&quot;. Cordialement --[[Utilisateur:Phl7605|Phl7605]] ([[Discussion utilisateur:Phl7605|discussion]]) 25 avril 2017 à 22:52 (UTC)
:::L'organisation de plusieurs cours se fait dans [[Physique_en_classe_préparatoire_PCSI|cette page]] ne organisant la section ad'hoc. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 26 avril 2017 à 05:53 (UTC)
::
:::Bonjour, Au besoin si la page [[Physique en classe préparatoire PCSI]] regroupe des cours, il est possible, dans le premier encadré, de remplacer l'intitulé « Leçons » par « cours » en mettant :
::: | leçons = Cours 
:::en paramètre (voir : [[Aide:Comment créer un cours]]). cordialement. — [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 26 avril 2017 à 17:44 (UTC)

== Share your experience and feedback as a Wikimedian in this global survey  ==

&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;fr&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
Bonjour ! La Fondation Wikimédia vous demande votre avis dans une enquête. Nous souhaitons savoir si nous répondons bien à vos attentes dans votre travail sur les wikis et à l’extérieur, et ce que nous pouvons faire pour améliorer les choses à l’avenir&lt;ref&gt;Le principal objectif de l’enquête est d’obtenir des retours sur le travail actuel de la Fondation Wikimédia, sans stratégie à long terme.&lt;/ref&gt;. Les opinions que vous partagez affecteront directement le travail actuel et futur de la Fondation Wikimédia. Vous avez été choisi au hasard pour répondre à l’enquête, car nous souhaitons obtenir des informations de la part de votre communauté Wikimédia. Afin de vous remercier pour le temps accordé, nous livrons 20 t-shirts Wikimédia à des personnes choisies au hasard parmi celles ayant répondu à l’enquête&lt;ref&gt;Questions légales : pas d’achat nécessaire. Vous devez avoir l’âge de la majorité pour participer. Soutenu par la Fondation Wikimédia (Wikimedia Foundation) située au 149 New Montgomery, San Francisco, CA, USA, 94105. Se termine le 31 janvier 2017. Le don est annulé en cas d’infraction. [[m:Community Engagement Insights/2016 contest rules|Cliquez ici pour lire les règles du concours]].&lt;/ref&gt;. Le questionnaire est disponible dans différents langages et requiert entre 20 et 40 minutes pour être complété.


''''''[https://wikimedia.qualtrics.com/SE/?SID=SV_6mTVlPf6O06r3mt&amp;Aud=VAE&amp;Src=57VAEOP Répondez-y maintenant !]''''''


Vous pouvez lire davantage d’informations sur [[m:Community_Engagement_Insights/About_CE_Insights|ce projet]]. Cette enquête est hébergée par un service tiers et régie par sa [[:foundation:Community_Engagement_Insights_2016_Survey_Privacy_Statement|déclaration de confidentialité]]. Visitez notre [[m:Community_Engagement_Insights/Frequently_asked_questions|page des questions fréquentes]] pour trouver plus d’informations sur cette enquête. Si vous avez besoin d’aide supplémentaire, ou désirez vous désabonner des communications futures au sujet de cette enquête, envoyez un courrier électronique à surveys@wikimedia.org.

Merci !
--[[:m:User:EGalvez (WMF)|EGalvez (WMF)]]  ([[:m:User talk:EGalvez (WMF)|talk]]) 13 janvier 2017 à 22:26 (UTC)
&lt;/div&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:EGalvez (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Community_Engagement_Insights/MassMessages/Lists/2016/57-VAEOP&amp;oldid=16205400 --&gt;

{{Références}}

== «~citation~» ? ==

Bonjour Phl7605 {{Sourire}} ! Simple curiosité, j'ai remarqué dans vos contributions que lorsque vous devez mettre des mots entre guillemets &lt;code&gt;« »&lt;/code&gt;, vous insériez des tildes &lt;code&gt;~&lt;/code&gt; entre les deux, vous obligeant en plus à utiliser du HTML dans les leçons ; ce qui donne : &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;« citation »&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;. Utilisez-vous cette méthode pour éviter qu'une personne malveillante copie-colle votre travail sans vous créditer ? Sinon, pouvez-vous m'éclairer ? Bien à vous. — '''[[Utilisateur:Krwy|Krwy]]''' &lt;sup&gt;([[Discussion utilisateur:Krwy|✉]])&lt;/sup&gt; 23 juin 2018 à 19:13 (UTC)

: Bonsoir Krwy la réponse est beaucoup plus simple, je mets des guillemets &lt;code&gt;« »&lt;/code&gt; pour mettre en valeur un mot ou une association de mots mais chaque guillemet laisse un espace entre le mot et lui, ce qui peut entraîner une coupure si l'espace en question arrive en fin de ligne ; pour éviter cela je mets un tilde &lt;code&gt;~&lt;/code&gt; (mais cela pourrait être une simple lettre) entre le guillemet et le mot en imposant au tilde une invisibilité par couleur blanche selon &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;« mot »&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;, ainsi &lt;code&gt;«~mot~»&lt;/code&gt; forme un ensemble sans espace … 
: D'autre part je me sers de cette méthode comme tabulateurs par exemple si je veux écrire :
: votre avis est utile et
: &lt;span style=&quot;color:#ffffff;&quot;&gt;&lt;small&gt;&lt;/small&gt;votre avis est &lt;/span&gt;judicieux,
: j'écris la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ligne selon &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;&lt;span style=&quot;color:#ffffff;&quot;&gt;&lt;small&gt;&lt;/small&gt;votre avis est &lt;/span&gt;judicieux&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt; …
: Au plaisir. -
:--[[Utilisateur:Phl7605|Phl7605]] ([[Discussion utilisateur:Phl7605|discussion]]) 23 juin 2018 à 21:39 (UTC)
::{{Fait}} D'accord.
::Autrement, pour vous simplifier la vie, le retour à la ligne peut se faire en utilisant directement &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;&lt;br /&gt;&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt; (voir [[Aide:Syntaxe]]).
::Merci pour vos contributions. Cordialement. — '''[[Utilisateur:Krwy|Krwy]]''' &lt;sup&gt;([[Discussion utilisateur:Krwy|✉]])&lt;/sup&gt; 23 juin 2018 à 23:07 (UTC)
:::pour les espaces insécables ( voir [[w:Espace insécable]] ) on peut faire en html = ''' &amp;#160; &lt;tt&gt;&amp;amp;nbsp;&lt;/tt&gt;''' &amp;nbsp; ou &amp;#160; &lt;tt&gt;&amp;amp;#160;&lt;/tt&gt; &amp;#160; ou &amp;nbsp; &lt;tt&gt;&amp;amp;#xA0;&lt;/tt&gt;
::: comme tabulateur, on peut faire  &lt;br /&gt; &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;  votre avis est utile et &lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt; &lt;br /&gt; &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt; ::::::::::::judicieux,&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt; c'est peut être plus simple ? Cordialement. — [[Utilisateur:Geoleplubo|Geoleplubo]] ([[Discussion utilisateur:Geoleplubo|discussion]]) 24 juin 2018 à 01:37 (UTC)
::::Avez-vous remarquer qu'il est inutile de mettre un « ~ » dans les textes autours des guillements puisque le navigateur le gère correctement. Regarder ce [[media:Vue_adaptative.png|fichier]]. Ces 2 images n'ont qu''''1''' seul pixel d'écart (1585 pixel en haut et 1584 pixel en bas) et il n'y a qu'un espace classique entre « objet acquérant sa position d'équilibre » et le caractère '«'. Dites moi alors à quoi sert votre ajout d'un caractère blanc qui ne sert strictement à rien (surtout pour ceux qui n'ont pas le fond d'écran blanc à qui cela leur rajoute un caractère). [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 2 août 2018 à 20:01 (UTC)
::::: exact, il semble que du texte pur ne soit jamais dissocié des caractères '«' ou '»' mais
::::: il n'en est pas de même si le texte pur à mettre en valeur se termine par une formule mathématique comme dans cet exemple « longueur à vide du ressort &lt;math&gt;l_0&lt;/math&gt; »,
:::::* aussi j'ai d'abord cherché à éviter toute coupure avec ou sans formule mathématique en mettant tilde &lt;code&gt;~&lt;/code&gt; de couleur blanche entre '«' ou '»’ enserrant la partie à mettre en valeur mais cela ne fonctionne pas si cette partie se termine par une formule mathématique comme on peut le constater sur l'exemple ci-dessous
:::::* aussi maintenant le tilde &lt;code&gt;~&lt;/code&gt; de couleur blanche entre '«' ou '»’ et du texte pur j'ai cherché à adapter cette façon dans le cas où le texte pur à mettre en valeur se termine (ou commence) par une formule mathématique, ce qui consiste à coller '»’ (ou '«’) à la formule mathématique en terminant (ou commençant) cette formule par un espace comme dans l'exemple ci-dessous
:::::* j'essaie de faire en sorte qu'il y ait la meilleure présentation possible aux chapitres et exercices d'une leçon donnée, peut être n'est-ce pas la plus simple mais cela me semble la plus sûre.
::::: Cordialement --[[Utilisateur:Phl7605|Phl7605]] ([[Discussion utilisateur:Phl7605|discussion]]) 3 août 2018 à 08:20 (UTC)

Bonjour {{Notif|Phl7605|séparateur=}}. Je vous prie d’abord d’excuser mon ton et celui de mes camarades ci-dessus qui peuvent sembler un peu agressifs, mais qui n’expriment en fait que la surprise de voir ce wikicode un peu hors norme et le désir d’en améliorer la pertinence.

Sachez d’abord qu’il y a des moyens plus propres d’afficher des caractères transparents que de les mettre en blanc. Comme vous le voyez ci-dessus dans votre exemple sur fond bleu, le blanc ne convient pas toujours. Il est ainsi plus générique de mettre &lt;code&gt;color: transparent&lt;/code&gt;. (On peut aussi songer à &lt;code&gt;opacity: 0&lt;/code&gt; et &lt;code&gt;visibility: hidden&lt;/code&gt;, mais bref.)

D’autre part, votre argumentation concernant l’usage d’un tilde blanc pour faire des espaces insécables ne tient pas debout… Rendez-vous compte d’abord que MediaWiki se charge automatiquement de mettre des espaces insécables au bon endroit autour des symboles de ponctuation bipoints (sauf en prévisualisation et avec l’éditeur visuel — {{Triste}}). Ensuite votre utilisation du tilde blanc se révèle inefficace pour le problème que vous évoquez, à savoir le fait qu’une formule peut se trouver dissociée du guillemet qui le suit s’il y a un tilde entre les deux. Il est donc inutile d’utiliser un tilde blanc et j’espère vous voir revenir à l’usage de simples espaces.

J’ai par ailleurs une solution qui permettrait de résoudre ce problème. Il faudrait écrire le code suivant :
&lt;syntaxhighlight lang=&quot;mediawiki&quot;&gt;
« longueur à vide du ressort &lt;span style=&quot;white-space: nowrap;&quot;&gt;&lt;math&gt;l_0&lt;/math&gt; »&lt;/span&gt;
&lt;/syntaxhighlight&gt;
La propriété CSS &lt;code&gt;white-space&lt;/code&gt; mise à la valeur &lt;code&gt;nowrap&lt;/code&gt; permet d’éviter les retours à la ligne dans le contenu se trouvant à l’intérieur de la balise. Cette syntaxe étant lourde, il faudrait prévoir un modèle qui permettrait de la réduire (peut-être qu’il existe déjà…).

Ensuite, avez-vous vu notre discussion [[Wikiversité:La_salle_café/février_2019#Solution_et_demande_d'aide_au_sujet_de_la_guerre_d'édition_concernant_la_mise_en_page|ici]] concernant la création de modèles qui permettraient de répondre à vos besoins en espacements avec une syntaxe wiki plus agréable, discussion dans laquelle nous vous avons cité (sans exiger explicitement une réponse) ? Il serait appréciable que vous y participiez car cela vous concerne complètement (c’est pourquoi nous vous avons cité). Il est souhaitable que le wikicode que vous écrivez soit plus digeste car cela faciliterait sa reprise et sa modification. Nous proposons divers modèles : {{M|Blanc}} (il vaudrait mieux un {{M|Transparent}} du coup), {{M|Al}}, {{M|Alinéas début}}/{{M|Alinéas fin}}, {{M|Alinéas}}. Je propose aussi {{M|Préfixe}} pour répondre à votre besoin de tabulateurs lorsque vous souhaitez aligner plusieurs lignes avec la fin d’un début de phrase, mais j’attends que vous m’assuriez que ce modèle vous servirait avant de faire l’effort de le mettre en place.

Je vous encourage, pour ce genre de problèmes de code, à contacter les utilisateurs sur [[Wikiversité:La salle café|la salle café]] ou même à [[Discussion utilisateur:Frigory|me contacter directement]], moi dont une bonne partie des contributions sur Wikiversité se résume au traitement de ce genre de problèmes — {{Clin d'œil}}. Comme vous le voyez, nous risquons d’avoir beaucoup de solutions intéressantes à vous fournir !

Sachez enfin qu’en dépit de ces critiques de votre travail, j’apprécie considérablement ce soin que vous mettez à perfectionner la présentation de vos productions, étant moi-même extrêmement pointilleux sur les questions de présentation. Toutefois, il faut au maximum chercher à ce que cela ne nuise pas à la clarté du code.

Bien cordialement,

[[Utilisateur:Frigory|Frigory]] ([[Discussion utilisateur:Frigory|discussion]]) 5 avril 2019 à 15:43 (UTC)

: Bonjour {{Notif|Frigory|séparateur=}}, j'ai testé le modèle {{M|Al}} ainsi que la propriété CSS &lt;code&gt;white-space&lt;/code&gt; permettant d’éviter les retours à la ligne dans le contenu se trouvant à l’intérieur de la balise mais &lt;code&gt;white-space&lt;/code&gt; doit être mis à la valeur &lt;code&gt;pre&lt;/code&gt; (et non &lt;code&gt;none&lt;/code&gt; qui ne marche pas), faut-il prévoir un modèle qui permettrait de réduire cette syntaxe un peu lourde ? Personnellement je ne l'utilise qu'assez peu, si vous n'avez rien d'autre à faire pourquoi pas, mais je ne pense pas que ce soit primordial ! J'ai également testé &lt;code&gt;color: transparent&lt;/code&gt; pour ne pas faire apparaître des caractères, ce que j'utilise assez fréquemment pour aligner plusieurs lignes avec la fin d’un début de phrase, là encore faut-il prévoir un modèle, pourquoi pas, si vous en faites un je le testerais mais personnellement je me satisfais de cette syntaxe même si elle est un peu lourde.
:Bien cordialement,--[[Utilisateur:Phl7605|Phl7605]] ([[Discussion utilisateur:Phl7605|discussion]]) 16 avril 2019 à 08:28 (UTC)
:: Bien vu pour le &lt;code&gt;pre&lt;/code&gt; au lieu de &lt;code&gt;none&lt;/code&gt; ; je m’étais effectivement trompé. J’ai corrigé ci-dessus ; en fait, le plus approprié n’est pas &lt;code&gt;pre&lt;/code&gt; mais &lt;code&gt;nowrap&lt;/code&gt;. La valeur &lt;code&gt;pre&lt;/code&gt; a aussi pour effet de conserver les espaces et retours à la ligne ; ça n’a pas d’effet dans votre cas, mais il demeure plus approprié d’utiliser &lt;code&gt;nowrap&lt;/code&gt; qui est spécialement fait pour répondre à ce que vous recherchez.
:: J’ai voulu créer un modèle pour cela et l’appeler {{M|Nobr}}, mais il existait déjà ! Et ne marchait plus (parce qu’apparemment il dépendait d’une règle externe qui a disparu) mais je l’ai réparé. Le choix de ce nom vient de la balise HTML &lt;code&gt;&amp;lt;nobr&amp;gt;&lt;/code&gt;. C’est bête que MediaWiki ne l’accepte pas directement, alors qu’il accepte entre autres &lt;code&gt;&amp;lt;u&amp;gt;&lt;/code&gt;, &lt;code&gt;&amp;lt;small&amp;gt;&lt;/code&gt;… Vous pouvez donc utiliser ce modèle {{M|Nobr}} pour répondre à votre besoin. C’est vrai que j’ai autre chose à faire, mais comme vous pouvez le déduire à partir du fait que ce modèle documenté existait déjà, vous risquez de ne pas être le seul à avoir ce besoin, et du coup je pense que ça vaut le coup. De plus, malgré tout, ce problème vous importunait suffisamment pour que vous en ayez parlé ci-dessus, et la création de ce modèle n’aurait pas été plus long que pour vous nous faire ces explications, c’est pourquoi j’ai jugé approprié de le faire. Bref, créer le modèle aurait mis fin au débat, et le fait qu’il existe déjà le fait encore plus.
:: J’ai créé le modèle {{M|Transparent}}. Cela dit, à mon avis, vous ne devriez jamais y avoir recours. Le modèle {{M|Alinéas}} (ou la combinaison {{M|Alinéas début}}/{{M|Alinéas fin}}) permet de gérer tous les paragraphes d’un seul coup et est généralement beaucoup plus adapté.
:: Que pensez-vous de ma proposition d’un modèle {{M|Préfixe}} dont je parle en bas de [[Wikiversité:La_salle_café/février_2019#Modèles_de_Frigory|cette discussion]], qui permettrait de gérer plus facilement le cas que vous décrivez au-dessus avec « votre avis est utile et judicieux » ? Mon idée vous permettrait de n’avoir à écrire « votre avis est » qu’une et une seule fois dans votre wikicode, ce qui serait clairement plus propre : cela faciliterait beaucoup la maintenance de votre part (si vous souhaitez modifier le préfixe, vous n’aurez à le modifier qu’une seule fois, et pas à chaque début de paragraphe). Dans mon exemple de code j’ai mis &lt;code&gt;&amp;amp;nbsp;&lt;/code&gt; mais je peux éventuellement organiser les choses pour que ce &lt;code&gt;&amp;amp;nbsp;&lt;/code&gt; se mette tout seul par défaut et puisse être supprimé au besoin.
:: Mes modèles présentent un léger souci par rapport au modèle {{M|Transparent}} : si vous copiez-collez le contenu généré avec mes modèles dans un traitement de texte, l’alinéa devrait être perdu. J’espère que cela ne vous importune pas plus que ça. Le texte des cours sur Wikiversité est rarement repris tel quel.
:: Merci pour votre réponse. Comme vous aviez répondu très vite aux autres au-dessus mais qu’ici vous trainiez, j’ai cru que vous m’ignoriez — {{Espiègle}} !
:: [[Utilisateur:Frigory|Frigory]] ([[Discussion utilisateur:Frigory|discussion]]) 16 avril 2019 à 20:06 (UTC)
::: Re,
::: Excusez-moi d’insister, mais j’aimerais bien obtenir une réponse ! Même si c’est pour me dire que je vous fatigue avec mes bêtises et que les possibilités actuelles vous satisfont déjà amplement, j’aimerais mieux cerner votre point de vue.
::: Je vois dans vos contributions que vous avez adopté l’utilisation des modèles {{M|Al}} et {{M|Nobr}}. Pourquoi ne pas utiliser le modèle {{M|Alinéas}} dont la syntaxe est moins parasitante ? N’êtes-vous pas convaincu par mon idée d’un modèle {{M|Préfixe}} ?
::: Il ne s’agit pas de me vendre, mais vous savez, sur ce wiki, vous n’êtes pas tout seul, et en plus de fournir de la connaissance libre, il s’agit d’un projet collaboratif. Même si nous avons jusqu’à présent pris le pli de laisser les enseignants (de profession ou non) faire un peu ce qu’ils veulent sur la Wikiversité car les cours de meilleure qualité ont souvent été l’œuvre d’une seule personne ou d’un petit groupe dans leur autonomie, on ne peut que souhaiter que les enseignants soient capables de collaborer davantage pour produire des cours d’une qualité maximale, et cela nécessite qu’ils soient capables d’argumenter leurs pratiques.
::: Il est clair que vous êtes nettement plus actif que moi sur la Wikiversité et lui apportez certainement beaucoup plus, ainsi vous pouvez être sûr que votre droit de parole sera respecté et que votre opinion sera écoutée. Si vous voulez, vous pouvez juste me dire que je vous ennuie et on s’arrêtera là.
::: [[Utilisateur:Frigory|Frigory]] ([[Discussion utilisateur:Frigory|discussion]]) 3 juin 2019 à 04:39 (UTC)
:::: Re, pour l'instant j'utilise les modèles {{M|Al}}, {{M|Nobr}} et {{M|Transparent}} qui me suffisent amplement (j'en profite pour vous adresser mes remerciements), il me semble que {{M|Al}} est plus souple que {{M|Alinéas}} (que je n'ai d'ailleurs pas essayé) dans la mesure où il permet un retrait variable qu'il est très facile d'adapter, {{M|Al}} couplé avec {{M|Transparent}} rendant le positionnement du début de phrase très souple, je n'ai (pour l'instant) aucune autre demande particulière. Wikiment votre.
:::: --[[Utilisateur:Phl7605|Phl7605]] ([[Discussion utilisateur:Phl7605|discussion]]) 4 juin 2019 à 07:40 (UTC)
::::: {{M|Alinéas}} permet bien de la souplesse, ainsi qu’un code plus synthétique, avec moins de redondance. Mais il faut comprendre comment l’utiliser puis prendre l’habitude.
::::: Je ne vous embête pas plus étant donné que vous êtes satisfait et que nous ne sommes que deux dans cette affaire. Cependant, si quelqu’un d’autre ramène sa fraise, il se peut qu’on doive réfléchir à améliorer un peu tout ça. Vous avez probablement vu passer que Wikimedia mène actuellement une [[mw:Special:MyLanguage/Talk pages consultation 2019|consultation sur la communication sur les wikis]], ce qui montre que la politique de la fondation s’oriente désormais vers la nécessité d’amener les gens à débattre et à améliorer les contenus plutôt qu’à en créer dans tous les sens comme avant. Néanmoins, sur la Wikiversité, on est encore largement en manque de contenus, donc réfléchir aux questions techniques d’arrière-plan comme je vous le demande est peut-être moins urgent.
::::: Imaginez qu’on décide qu’il vaut mieux utiliser {{M|Alinéas}} et {{M|Préfixe}} que {{M|Al}} et {{M|Transparent}}, alors il nous suffira d’utiliser un [[Wikiversité:Bot|bot]] pour tout remplacer une fois qu’on sera surs que c’est une bonne idée.
::::: Merci pour votre collaboration, et wikiment vôtre aussi ! [[Utilisateur:Frigory|Frigory]] ([[Discussion utilisateur:Frigory|discussion]]) 16 juin 2019 à 16:12 (UTC)

== Community Insights Survey ==

&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;fr&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;

'''Faites part de votre expérience dans cette enquête'''

Bonjour {{PAGENAME}},

La Wikimedia Foundation sollicite votre point de vue dans une enquête sur votre expérience avec {{SITENAME}} et Wikimedia. L’objectif de cette enquête est de savoir à quel niveau la ''Foundation'' soutient correctement (ou non) votre travail sur le wiki, et de quelle manière nous pouvons changer ou améliorer les choses à l’avenir. Les avis que vous émettrez impacteront directement le travail actuel et futur de la Wikimedia Foundation.

Merci de prendre 15 à 25 minutes pour '''[https://wikimedia.qualtrics.com/jfe/form/SV_0pSrrkJAKVRXPpj?Target=CI2019List(other,act5) donner votre point de vue à travers cette enquête]'''. Elle est disponible dans plusieurs langues.

Cette enquête est hébergée par un tiers et [https://foundation.wikimedia.org/wiki/Community_Insights_2019_Survey_Privacy_Statement régie par cette déclaration de confidentialité] (en anglais).

Vous pouvez lire [[m:Community Insights/Frequent questions|plus d’informations sur ce projet]]. [mailto:surveys@wikimedia.org Envoyez-nous un courriel] si vous avez une quelconque question ou si vous ne voulez pas recevoir d’autres messages concernant cette enquête.

Cordialement,
&lt;/div&gt; [[User:RMaung (WMF)|RMaung (WMF)]] 9 septembre 2019 à 14:34 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:RMaung (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=CI2019List(other,act5)&amp;oldid=19352874 --&gt;

== Reminder: Community Insights Survey ==

&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;fr&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;

'''Faites part de votre expérience dans cette enquête'''

Bonjour {{PAGENAME}},

Il y a quelques semaines, nous vous avons invité à participer à l’enquête sur les Perspectives de la communauté. Il s’agit de l’enquête annuelle de la Wikimedia Foundation auprès de nos communautés internationales. Nous voulons savoir à quel niveau nous soutenons correctement (ou non) votre travail sur le wiki. Nous avons atteint 10% de notre objectif de participation. Si vous n’avez pas encore participé à l’enquête, vous pouvez nous aider à atteindre notre objectif ! '''Votre voix compte à nos yeux'''.

Merci de prendre 15 à 25 minutes pour '''[https://wikimedia.qualtrics.com/jfe/form/SV_0pSrrkJAKVRXPpj?Target=CI2019List(other,act5) donner votre point de vue à travers cette enquête]'''. Elle est disponible dans plusieurs langues.

Cette enquête est hébergée par un tiers et [https://foundation.wikimedia.org/wiki/Community_Insights_2019_Survey_Privacy_Statement régie par cette déclaration de confidentialité] (en anglais).

Vous pouvez lire [[m:Community Insights/Frequent questions|plus d’informations sur ce projet]]. [mailto:surveys@wikimedia.org Envoyez-nous un courriel] si vous avez une quelconque question ou si vous ne voulez pas recevoir d’autres messages concernant cette enquête.

Cordialement,
&lt;/div&gt; [[User:RMaung (WMF)|RMaung (WMF)]] 20 septembre 2019 à 19:14 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:RMaung (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=CI2019List(other,act5)&amp;oldid=19395141 --&gt;

== Reminder: Community Insights Survey ==

&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;fr&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;

'''Faites part de votre expérience dans cette enquête'''

Bonjour {{PAGENAME}},

Il reste quelques semaines seulement pour participer à l’enquête sur les Perspectives de la communauté ! Nous avons atteint 30% de notre objectif de participation. Si vous n’avez pas encore participé à l’enquête, vous pouvez nous aider à atteindre notre objectif !
Avec ce sondage, la Wikimedia Foundation recueille un retour sur le niveau de qualité de notre soutien de votre travail sur le wiki. Seules 15–25 minutes sont nécessaires pour achever de répondre à l’enquête, et cela a un impact direct sur le soutien que nous apportons.

Merci de prendre 15 à 25 minutes pour '''[https://wikimedia.qualtrics.com/jfe/form/SV_0pSrrkJAKVRXPpj?Target=CI2019List(other,act5) donner votre point de vue à travers cette enquête]'''. Elle est disponible dans plusieurs langues.

Cette enquête est hébergée par un tiers et [https://foundation.wikimedia.org/wiki/Community_Insights_2019_Survey_Privacy_Statement régie par cette déclaration de confidentialité] (en anglais).

Vous pouvez lire [[m:Community Insights/Frequent questions|plus d’informations sur ce projet]]. [mailto:surveys@wikimedia.org Envoyez-nous un courriel] si vous avez une quelconque question ou si vous ne voulez pas recevoir d’autres messages concernant cette enquête.

Cordialement,
&lt;/div&gt; [[User:RMaung (WMF)|RMaung (WMF)]] 4 octobre 2019 à 17:04 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:RMaung (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=CI2019List(other,act5)&amp;oldid=19435548 --&gt;

== À propos des bases directes ==

Bonjour

Je suis moi-même enseignant à la retraite. Mon domaine étant les mathématiques, je me garderais bien de formuler toute critique concernant la physique. Cela tombe bien car ici on parle d'outils mathématiques ...

En tant qu'élève (il y a hélas fort longtemps), on m'a enseigné le produit vectoriel en faisant quelques dessins et en me donnant la formule dans un repère orthonormé (on disait ainsi à l'époque). Sans dire que la formule n'était valable que dans les repères directs car la notion d'orientation (des repères et a fortiori de l'espace) était glissée sous le tapis. L'orientation usuelle était tellement évidente pour tout le monde qu'il ne serait venu à l'idée de personne d'en envisager une autre. Idem pour la notion de vecteur axial : une flèche courbée pour symboliser la rotation dont le vecteur détermine l'axe (d'où le nom) et ... &quot;roule ma poule&quot; !

Apparemment, vous voulez aller plus loin et donc parler de cette fameuse &quot;orientation&quot;. Mais le sujet, sous son apparente &quot;évidence&quot;,  est en fait assez complexe et plein de chausse-trapes. Les définitions mathématiques nécessitent quelques notions d'[[w:Algèbre extérieure|algèbre extérieure]] et leur exposition serait un investissement à la fois très important et peu rentable. 

Reste la voie physique, celle qui s'appuie sur des objets concrets, que vous avez d'ailleurs utilisée pour le produit scalaire. Ici, pas de &quot;forme bilinéaire symétrique positive et non dégénérée&quot; mais des longueurs et des angles, notions qui d'un point de vue mathématique nécessitent la donnée préalable d'un ... produit scalaire !    

Cette voie médiane me convient tout à fait compte tenu du public visé et ce qui suit n'est pas une critique de ce choix. Voyez le comme une critique constructive et bien intentionnée dont le but essentiel est d'éviter que le vocabulaire utilisé ou les propositions énoncées soient en contradiction avec les mathématiques. Si, bien sûr après en avoir discuté, vous effectuez les modifications allant dans ce sens alors je pourrai poursuivre ma collaborations sur d'autres points. Sinon, je ne vous embêterais pas davantage.

=== Commentaires ===
 Il me semble que vous confondez base &quot;directe&quot; et base &quot;orientée à droite&quot;.

Je développe. En mathématiques, dire que la base est &quot;directe&quot; signifie que la base et l'espace ont la même orientation. Je pense que la physique ne devrait pas contredire cette définition. 

Ainsi quand vous dites (Définition intrinsèque)
* &quot; un espace orienté par un trièdre direct&quot;. Cela n'a pas de sens d'un point de vue mathématique : parler de base directe suppose que l'on dispose au préalable d'une orientation de l'espace. Cela devient compréhensible quand on remplace &quot;direct&quot; par &quot;orienté à droite&quot;. Idem pour &quot;indirecte&quot;.
* [...] le trièdre &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u},\, \vec{v},\, \vec{u} \wedge \vec{v} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; est « direct » pour « un espace orienté par [...] » et « indirect » pour « un espace orienté par [...] » 

cela est faux avec les définitions mathématiques de &quot;directe / indirecte&quot;. Cela devient vraie si on remplace partout &quot;direct&quot; par &quot;orienté à droite&quot; et &quot;indirect&quot; par &quot;orienté à gauche&quot;. De plus, une fois faîtes ces modifications, cela revient à dire que dans tous les cas la base &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u},\, \vec{v},\, \vec{u} \wedge \vec{v} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; est toujours directe (au sens mathématique) et la définition s'en trouvera simplifiée. 

=== Propositions ===
* introduire les notions de &quot;base orientée à droite&quot; (à gauche),  &quot;d'espace orienté à doite&quot; (à gauche) et de &quot;base directe&quot;.

Ainsi, on pourra énoncer

« Une base orienté à droite est directe dans un espace orienté à droite et indirecte dans un espace orienté à gauche. »  

ou bien encore

«  Une base orientée à gauche est directe dans un espace orienté à gauche et indirecte dans un espace orienté à droite. » 

Cela simplifiera les définitions ultérieures et rendra les énoncés plus clairs. Il est plus clair de dire &quot;... dépend de l'orientation de l' espace&quot; plutôt que &quot; ... dépend de l'orientation du trièdre qui a servi à orienter l'espace&quot;. D'autre part, d'un point de vue pédagogique, cela évite aussi que l'élève ne retienne que &quot; ... dépend de l'orientation du trièdre&quot;. 

Faire la distinction entre ces notions est essentiel. Ainsi, plus tard, on pourra dire q'un vecteur axial dépend de l'orientation de l'espace mais que par contre il ne dépend pas de l'orientation des bases. Par exemple le produit vectoriel de deux vecteurs polaires est un vecteur axial mais, sa définition étant intrinsèque, il ne dépend pas des bases et encore moins (si l'on peut dire) de leur orientation.
* dans la formule avec les coordonnées, préciser que la base est directe et que la formule n'est valable que dans ce cas (ce sont les opposés dans une base indirecte).
* dans la définition intrinsèque, déterminer le sens avec l'exigence que la base &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u},\, \vec{v},\, \vec{u} \wedge \vec{v} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; soit toujours directe. Il n'y a donc plus qu'une seule définition et l'orientation de l'espace n'intervient plus explicitement (mais elle intervient implicitement par l'intermédiaire de &quot;directe&quot;).
* du coup, l'encadré &quot;Indépendance de cette définition relativement à l'orientation de l'espace&quot; n'a plus de raison d'être car cela découle directement des définitions.  

Bien à vous

--[[Utilisateur:KharanteDeux|KharanteDeux]] ([[Discussion utilisateur:KharanteDeux|discussion]]) 5 novembre 2020 à 17:31 (UTC)

: {{Al|5}}Bonjour {{Notif|KharanteDeux|séparateur=}}, tout d'abord je vous remercie de vous être penché sur mes élucubrations scientifiques ; vous dites qu'il vous semble que je confonds &quot;base directe&quot; et &quot;base orientée à droite&quot; c'est un fait dans le développement que j'en ai fait, la raison étant que je ne faisais pas de différence (mes connaissances estudiantines de mathématiques datant quelque peu et le rafraîchissement que j'en fait régulièrement n'ayant pas abordé la notion d'espace orienté à droite ou à gauche) ; 
: 
: {{Al|5}}toutefois il ne me semble pas simplificateur, en physique, d'appeler &quot;base directe&quot; une base déterminée à l'aide des trois doigts de la main droite d'un espace orienté à droite simultanément à une base déterminée à l'aide des trois doigts de la main gauche d'un espace orienté à gauche, surtout s'il est nécessaire d'introduire simultanément deux espaces orientés en sens contraire, je m'explique,
:
: {{Al|5}}en optique, un miroir (par exemple plan) sépare l'espace physique en deux espaces l'un appelé &quot;espace objet&quot; et l'autre &quot;espace image&quot;, tous deux se superposant dans la partie réelle (située du côté du miroir d'où la lumière arrive) ainsi que dans la partie virtuelle (située du côté opaque du miroir), ces deux espaces étant symétriques l'un de l'autre par rapport au plan du miroir ; 
:
: {{Al|5}}{{Transparent|en optique, }}l'axe optique principal étant &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan du miroir et orienté dans le sens de propagation de la lumière &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c'est-à-dire selon &lt;math&gt;\;\vec{u}_x\;&lt;/math&gt; dans l'espace objet et &lt;math&gt;\;{\vec{u}'}_{\!x} = -\vec{u}_x\;&lt;/math&gt; dans l'espace image&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &quot;orientation physique et non géométrique de l'axe optique principal&quot;, 
: 
: {{Al|5}}{{Transparent|en optique, }}si nous orientons l'espace objet à droite, l'espace image l'est alors à gauche, le choix d'une &lt;u&gt;base directe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\, \vec{u}_z \right\rbrace\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;donc &lt;u&gt;s'obtenant à l'aide de la règle des trois doigts de la main droite&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;pour définir mathématiquement les objets ponctuels de l'espace objet&lt;/u&gt; conduit à définir comme &lt;u&gt;base de l'espace image&lt;/u&gt; le symétrique de la base de l'espace objet soit &lt;math&gt;\;\left\lbrace -\vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\, \vec{u}_z \right\rbrace\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;s'obtenant à l'aide de la règle des trois doigts de la main gauche&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;base directe&lt;/u&gt; de l'espace image orienté à gauche &lt;u&gt;au sens mathématique&lt;/u&gt; 
: 
: {{Al|5}}{{Transparent|en optique, }}alors qu'en physique le critère pratique pour déterminer le caractère direct d'une base est la règle des trois doigts de la main droite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;même si cette règle n'est en fait applicable que pour établir le caractère &quot;à droite&quot; d'une base&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et il me semble difficile d'aller à contre-courant des habitudes &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
:
: {{Al|5}}Je conçois qu'il peut être intéressant d'introduire la notion d'espace orienté à droite ou à gauche mais il me semble nécessaire, en physique, d'appeler &quot;base directe&quot; une &quot;base orientée à droite&quot; dans un &quot;espace orienté à droite ou à gauche&quot;, tout en notant en préliminaire que cette notion est différente de celle introduite en mathématique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
:
: {{Al|5}}Cordialement à l'écoute de vos remarques enrichissantes
: --[[Utilisateur:Phl7605|Phl7605]] ([[Discussion utilisateur:Phl7605|discussion]]) 10 novembre 2020 à 08:04 (UTC)

=== Discussion ===

Bonjour

Bien, la discussion est engagée c'est déjà çà ! J'aimerais vraiment vous convaincre du bien fondé de ma démarche qui est, je le rappelle : '''éviter que le vocabulaire utilisé ou les propositions énoncées en physique soient en contradiction avec les mathématiques'''. Cela me parait important d'un point de vue pédagogique. Les élèves ont déjà tendance à &quot;cloisonner&quot;, c'est-à-dire à ne pas tisser de liens entre les diverses disciplines, se privant ainsi de leurs apports mutuels. Si le vocabulaire ne signifie pas la même chose d'une discipline à l'autre, cela leur donne raison. D'autre part, vous ne pouvez pas être sûr qu'un ouvrage ou un autre professeur plus en accord avec les mathématiques ne viendra pas vous contredire, ce qui ne sera pas sans conséquences pour vos élèves. 

Afin de faciliter la discussion, j'ai établi un petite lexique &quot;maths&quot;/PCSI. Je note &quot;maths&quot; pour de la physique '''non contradictoire''' avec les mathématiques (ce n'est pas vraiment des maths car en mathématiques la distinction entre la gauche et la droite n'existe pas) et PCSI pour ''votre'' texte.  
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Orientation
|-
! &quot;Maths&quot; !! PCSI
|-
| repère orienté à droite || repère direct
|-
| repère orienté à gauche || repère indirect
|-
| espace orienté à droite || espace orienté par un trièdre direct
|-
| espace orienté à gauche || espace orienté par un trièdre indirect
|-
|repère direct || « repère direct pour un espace orienté par un trièdre direct ou&lt;br /&gt;
indirect pour un espace orienté par un trièdre indirect »&lt;ref&gt;extrait de votre définition intrinsèque du produit vectoriel&lt;/ref&gt; 
|-
| repère indirect || « repère indirect pour un espace orienté par un trièdre direct ou&lt;br /&gt;
direct pour un espace orienté par un trièdre indirect »&lt;ref&gt; par déduction&lt;/ref&gt; 
|}
* '''SUR LA FORME'''&lt;br /&gt;
Dans un premier temps (mon premier message) je me suis concentré sur la forme en proposant une simple &quot;traduction&quot; selon le tableau ci-dessus (n'oubliez pas mon objectif : pas de contradiction avec les mathématiques).
* '''SUR LE FOND'''&lt;br /&gt;
'''La simplicité'''&lt;br /&gt;
L'espace physique est orienté à droite (vous dites orienté par un repère direct[PCSI], ce qui signifie la même chose). C'est un choix incontournable et irréversible : toutes les formules, toutes les lois physiques supposent cela. Cette précision n'est jamais indiquée dans les exercices, tellement &quot;cela va sans dire&quot;. Vos élèves seront donc '''toujours''' dans un espace orienté à droite et il ne faudrait pas qu'ils pensent une seconde qu'il pourrait en être autrement.

Certes, il est légitime de se poser la question : « Que serait la physique si on avait choisi d'orienter l'espace à gauche ? ». Mais ce genre de question devrait être réservée aux spécialistes et ne pas perturber l'apprentissage. Il ne semble donc pas ''raisonnable pour les élèves'' de mettre les deux orientations sur un pied d'égalité. Ici, seule l'orientation à droite est définie. Et comme il n'y en a qu'une, il est inutile (voire néfaste) de préciser &quot;à droite&quot; : pour eux ce sera &quot;l'orientation de l'espace&quot;. Point.

Le vocabulaire &quot;maths&quot; est adapté à l'exposé des deux orientations. Dans le cas présent, les notions &quot;à droite/à gauche&quot; sont inutiles. Par contre, le vocabulaire PCSI convient tout à fait.   

Le plan est tout simple.&lt;br /&gt;
&lt;math&gt;\quad -&lt;/math&gt; orientation de l'espace&lt;ref&gt;[[Fichier:Tire bouchon.jpg|vignette|Illustration de la règle du tire bouchon. Le vecteur étant représenté par l'orientation du pouce, l'index donne le sens positif de rotation.]]Etant donné un vecteur dans l'espace, le sens positif de rotation autour de l'axe défini par le vecteur est obtenu en utilisant la règle du tire-bouchon de Maxwell. Ce sens de rotation est pour l'espace ce que le sens trigonométrique est pour le plan.  D'ailleurs, si l'on considère le vecteur orthogonal au plan trigonométrique et orienté vers le haut, cette convention redonne bien le sens trigonométrique.&lt;/ref&gt;,
&lt;br /&gt; 
&lt;math&gt;\quad -&lt;/math&gt; repère direct (définition PCSI),
&lt;br /&gt;
&lt;math&gt;\quad -&lt;/math&gt; produit vectoriel. Comme il n'y a qu'une seule orientation, tout est plus simple et l'encadré ''Indépendance de cette définition relativement à l'orientation de l'espace'' est supprimé car sans objet. 
 
Remarque : L'orientation de l'espace est ainsi définie de manière indépendante des bases. C'est bien qu'ils en soient conscients car la plupart des confusions concernant l'orientation vient de cette méconnaissance. Si on prend comme définition &quot;espace orienté par un trièdre direct&quot;, il faudra de toute façon introduire la technique du tire-bouchon pour qu'ils puissent &quot;voir&quot; immédiatement la rotation induite par un vecteur axial. Et on perd l'avantage indiqué.

Je ne vois pas la nécessité (en dehors des discussions théoriques sans objet pour les élèves) d'introduire la notion &quot;d'espace orienté à gauche&quot; (vous dites orienté par un repère indirect[PCSI], ce qui signifie la même chose). Certes le reflet dans un miroir en est un exemple, mais on ne fait pas de physique dans cet espace. Si vraiment (pour une raison qui m'échappe) il fallait introduire cette notion, un complément ultérieur (quand ils seront un peu plus aguerris) est toujours possible. 


'''Les complications'''&lt;br /&gt;  &lt;math&gt;&lt;/math&gt;
Mettre les deux orientations de l'espace sur un pied d'égalité (comme en mathématiques) complique l'exposé pour un bénéfice nul voire négatif pour les élèves. Cela serait (presque) acceptable si on pouvait dire : « Les définitions qui suivent sont valables quelque soit l'orientation choisie mais vous pouvez supposer que l'espace est orienté à droite si cela facilite votre compréhension ». 

Les définitions &quot;maths&quot; vérifient cela mais pas les PCSI car les définitions habituelles de la physique ne sont pas faites pour gérer les deux orientations de l'espace. En effet, en mathématiques la &quot;droite&quot; et la &quot;gauche&quot; n'existent pas. On est donc obligé de définir les deux orientations, puis d'orienter l'espace en en choisissant une des deux. Les définitions mathématiques sont par conséquent adaptées au fait qu'elle doivent pouvoir convenir à chaque orientation. En physique, il n'y qu'une seule orientation (qu'on l'appelle &quot;à droite&quot; ou ce que vous voulez, cela n'a aucune importance) et les définitions sont simplifiées en tenant compte de cette orientation précise. Vous, par contre, vous voulez définir deux orientations (comme en mathématiques) tout en gardant les définitions simplifiées de la physique. La divergence de vocabulaire provient uniquement de cela : un vocabulaire adapté à la situation (&quot;maths&quot;, qui reprend en gros celui des mathématiques) et un autre qui ne l'est pas (PCSI, qui reprend celui de la physique).

Vous êtes donc obligé dans vos définitions et démonstrations de jongler en permanence avec les deux orientations possibles. Par exemple votre double définition du produit vectoriel (une par orientation), votre encadré ''Indépendance de cette définition relativement à l'orientation de l'espace'' pour les coordonnées dans une base. Cerise sur le gâteau vos définitions sont parfois en contradiction avec les mathématiques.


'''Une question à '''&lt;math&gt;\mathbf{1\ 000\ 000\ \$}&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;
Quand on voit la simplicité de ne définir qu'une seule orientation de l'espace, on se demande pourquoi vouloir absolument en définir deux, même au prix d'un &quot;clash&quot; avec les mathématiques et donc avec la communauté des physiciens qui refusent de se trouver dans cette situation. Normalement cela ne devrait même pas être une option. Sans compter que les élèves se retrouveront un jour ou l'autre en porte-à-faux. 


'''Plaidoyer'''&lt;br /&gt;
L'idéal serait d'adopter la simplicité ci-dessus. C'est la meilleure solution pour tout le monde mais surtout pour les élèves. Si vous ne le voulez pas, je vais essayer le lever vos réticences face au vocabulaire &quot;maths&quot;, réticences que j'ai d'ailleurs beaucoup de mal à comprendre.

&lt;math&gt;\quad -&lt;/math&gt; Laissons de côté le paragraphe sur le miroir. On est bien d'accord, l'espace physique étant orienté à droite, son reflet est orienté à gauche. De plus le reflet d'un repère orienté à droite est un repère orienté à gauche et réciproquement. Mis à part le vocabulaire, on dit bien la même chose.   

&lt;math&gt;\quad -&lt;/math&gt; Vous dites « il ne me semble '''pas simplificateur''' d'appeler &quot;base directe&quot; une base déterminée à l'aide des trois doigts de la main droite d'un espace orienté à droite simultanément à une base déterminée à l'aide des trois doigts de la main gauche d'un espace orienté à gauche»
En langage mathématique, cela revient à dire « il ne me semble pas simplificateur d'appeler &quot;base directe&quot; une base qui a la même orientation que l'espace ». Quand je vois les deux dernières lignes du tableau, quand je vois que cela donne une définition '''unique''' du produit vectoriel où l'orientation de l'espace n'apparaît plus '''explicitement''' et quand je vois que l'on peut donc supprimer l'encadré ''Indépendance de cette définition relativement à l'orientation de l'espace'', cela me laisse sans voix ! (oui bon, je n'ai pas pu résister &lt;math&gt;\ldots&lt;/math&gt;) 

&lt;math&gt;\quad -&lt;/math&gt; Vous dites « en physique le '''critère pratique''' pour déterminer le caractère direct d'une base est la règle des trois doigts de la main droite [...] et il me semble difficile d'aller à contre-courant des habitudes &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; ». Vos élèves n'auront aucun besoin d'aller à contre-courant des habitudes car '''ils seront toujours dans un espace orienté à droite'''. Voir l'interrogation plus haut : quel besoin avez-vous d'introduite la notion d'espace orienté à gauche ?

&lt;math&gt;\quad -&lt;/math&gt; Vous dites « [...] il me semble '''nécessaire''', en physique, d'appeler &quot;base directe&quot; une &quot;base orientée à droite&quot; dans un &quot;espace orienté à droite ou à gauche&quot; ». J'imagine que ce &quot;nécessaire&quot; provient du &quot;critère pratique&quot;. Comme l'argument du &quot;critère pratique&quot; saute, il devrait en être de même pour &quot;nécessaire&quot;. 

{{Références}}

Cordialement, en espérant la simplicité

--[[Utilisateur:KharanteDeux|KharanteDeux]] ([[Discussion utilisateur:KharanteDeux|discussion]]) 12 novembre 2020 à 18:12 (UTC)

: {{Al|5}}Bonsoir {{Notif|KharanteDeux|séparateur=}}, je crois que vos commentaires ne sont plus d'actualité car je suis en train de modifier le chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ; j'y introduis la notion d'espace orienté à droite ou à gauche car c'est important en optique catadioptrique où les deux espaces objet et image se superposent, un espace étant orienté indépendamment de l'introduction d'une base (la base étant inutile lors d'une étude qualitative mais le devenant si on introduit le quantitatif) ; vous dîtes qu'il est important de faire en sorte que les étudiant(e)s aient une même présentation des notions introduites en mathématiques et en physique, certes ce serait l'idéal mais, comme vous le savez, ce n'est le plus souvent pas réalisé dans la pratique [voir la coordonnée polaire qui est &lt;math&gt;\;\geqslant 0\;&lt;/math&gt; en physique ou encore la notation du vecteur de base polaire radial &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; alors qu'en mathématiques l'indice signifie &quot;fonction de&quot; ...]. En ce qui me concerne j'ai toujours (tout au moins quand j'en étais conscient) signaler la différence à mes étudiant(e)s et c'est ce que j'essaie de continuer à faire ... Pour revenir à notre sujet distinguer le quantitatif (nécessitant de définir une base) du qualitatif (pour lequel l'orientation de l'espace suffit) me semble important [l'orientation de l'espace est encore plus fondamentale en chimie qu'elle n'est en optique catadioptrique, les molécules ayant besoin d'un repérage qualitatif local et pas nécessairement quantitatif - voir la notion de « [[w:Chiralité_(chimie)|chiralité]] »] ... 
: 
: {{Al|5}}Cordialement restant à votre écoute
: --[[Utilisateur:Phl7605|Phl7605]] ([[Discussion utilisateur:Phl7605|discussion]]) 12 novembre 2020 à 19:58 (UTC)
:::
:::Bonjour&lt;br /&gt; 
:::Je sais ce qu'est un catadioptre, mais j'avoue que je n'est aucune idée de ce que peut-être l'optique catadioptrique ni des outils mathématiques utiles à son exposé. Encore moins (si c'est possible) en ce qui concerne la chimie.  Ce que je sait par contre c'est qu'un espace orienté ne possède qu'une seule orientation : on ne peut pas avoir une orientation dans un coin et une autre orientation dans un autre coin. À gauche ou à droite, peut importe ce n'est qu'une histoire de convention. La physique a tranché une fois pour toute : c'est à droite. Par conséquent, il n'est pas utile de parler de l'autre.&lt;br /&gt;
:::&lt;br /&gt;
:::J'ai donc hâte de découvrir votre nouvelle mouture du chap 7. Bon courage !&lt;br /&gt; 
:::&lt;br /&gt;
:::PS : quand je parle de ne pas être en contradiction avec les mathématiques, je parle des définitions et des théorèmes, pas des notations. La physique à des règles et des notations qui lui sont propres : rien à redire à cela. Par compte, lorsqu'elle emprunte des outils à une autre discipline, il est souhaitable d'utiliser le vocabulaire de cette discipline en en respectant la signification.&lt;br /&gt;
:::&lt;br /&gt;
:::Cordialement
:::--[[Utilisateur:KharanteDeux|KharanteDeux]] ([[Discussion utilisateur:KharanteDeux|discussion]]) 13 novembre 2020 à 19:27 (UTC)
::::{{Al|5}}Bonsoir {{Notif|KharanteDeux|séparateur=}}, il existe deux types de systèmes optiques utilisés en [[w:Optique_géométrique|optique géométrique]], 
::::* les systèmes formés d'une succession de [[w:Dioptre|dioptres]] (avec éventuellement un nombre pair de miroirs) appelés « systèmes dioptriques » (exemples : prisme, lentille, lunette astronomique ou, avec un nombre pair de miroirs comme le [[w:Télescope_de_Newton|télescope de Newton]] ou le [[w:Télescope_de_type_Cassegrain|télescope Cassegrain]]...)
::::* les systèmes formés d'une succession éventuellement de [[w:Dioptre|dioptres]] et d'un miroir (ou un nombre impair de miroirs) appelés « systèmes catadioptriques » (exemples : un miroir seul, ou un miroir précédé d'une lentille ...), ce qui caractérise un système catadioptrique est donc la présence d'une réflexion (ou d'un nombre impair de réflexions) qui donne des propriétés semblables à celles d'un miroir d'où un espace objet (usuellement orienté à droite) et un espace image (d'orientation contraire à celle de l'espace objet) se superposant ;
:::: &lt;br /&gt;
::::{{Al|5}}quand vous dîtes la physique a tranché une fois pour toute, l'espace est orienté à droite, vous parlez uniquement d'un espace géométrique dans lequel peuvent se positionner des objets ou des images et c'est l'espace géométrique que vous orientez, 
::::{{Al|5}}en ce qui me concerne je parle d'espaces physiques ainsi l'espace objet est défini par l'ensemble des objets réels ou virtuels qui peuvent émettre de la lumière en direction du système catadioptrique et l'espace image par l'ensemble des images réelles ou virtuelles qui peuvent être formées par réflexion de la lumière provenant du système catadioptrique, ces espaces physiques étant différents, même pour les parties géométriques communes, doivent être d'orientation différente ... alors que l'orientation de l'espace géométrique qui leur sert de support est quasiment toujours choisi à droite ...
::::{{Al|5}}parler de base directe pour les bases qui suivent la même règle que celle de l'orientation de l'espace comme cela est défini en mathématiques me semble effectivement judicieux quand un seul espace intervient à la fois mais, quitte à me répéter, ce n'est plus judicieux quand deux espaces physiques interviennent simultanément pour les raisons que j'ai déjà évoquées.
::::{{Al|5}}Vous trouverez la nouvelle mouture du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; ici « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte|Produit scalaire, produit vectoriel et produit mixte]] ».
::::Cordialement
::::--[[Utilisateur:Phl7605|Phl7605]] ([[Discussion utilisateur:Phl7605|discussion]]) 14 novembre 2020 à 00:52 (UTC)

=== Discussion (suite) ===

Bonjour

Vous avez fait un réel travail pour rendre l'exposé non d'ambigu : au moins l'on sait de quoi l'on parle. Du moins c'est ce que je croyais avant de lire votre réponse ci-dessus. Dans ce texte, '''mais pas dans votre exposé''', vous faites la distinction entre l'espace &quot;géométrique&quot; (qui est bien orienté à droite) et '''les espaces physiques''' (au pluriel !?) et j'avoue ne pas comprendre de quoi vous voulez parler.

Les objets mathématiques son définis de manière '''abstraite''' en mathématique. En tant outils pour la physique on peut en donner une idée en donnant des définitions '''concrètes'''. C'est une attitude réaliste que je ne critique pas mais il faut avoir l'honnêteté de le dire. Dans tout votre exposé, vous vous placez dans ''un espace vectoriel de dimension 2 ou 3'' : ce n'est pas vrai. Vous vous placez dans un espace concret que j'appelle physique (si vous voulez l'appeler autrement dites son nom : '''on doit savoir''' dans quel espace on situe l'exposé). En effet, dans un espace vectoriel il n'y a pas de norme pas plus que de mesure des angles. Or votre définition du produit scalaire utilise ces notions. En mathématiques, ce n'est '''qu'après avoir choisi''' un produit scalaire (parmi une infinité) que l'on peut '''ensuite''' parler de norme et de mesure des angles. Encore une fois, je ne critique pas votre manière de faire : dites simplement dans quel espace vous vous situez.

Vous dites «  ''La définition de la multiplication vectorielle de deux vecteurs d'un espace vectoriel à trois dimensions nécessite de vérifier, au préalable, que l'espace affine dont l'espace vectoriel est la direction  est '''orientable'''.'' » Ce n'est pas tout à fait juste. Il faut que l'espace vectoriel soit '''orienté''' c'est-à-dire que l'on ait '''choisi au préalable''' une deux orientations possibles. Passons sur le fait que l'espace affine n'a rien à voir avec la multiplication vectorielle et passons sur le fait que tout espace vectoriel (et '''donc''' tout espace affine) est orientable. Passons aussi sur le fait que la connexité n'est pas une condition suffisante pour qu'une surface soit orientable : le ruban de Moëbius est connexe mais non orientable.

Si vous voulez mettre sur un pied d'égalité les deux orientations '''en refusant de choisir''', vous définissez '''deux''' espaces orientés chacun avec son orientation et son produit vectoriel (vous définissez donc en fait '''deux''' produits vectoriels, un par espace).  
   
Ne pourrait-on pas, comme je l'ai suggéré par ailleurs, faire un exposé facile dans l'espace que vous appelez &quot;géométrique&quot; (avec une seule orientation : la droite) et remettre à plus tard &quot;les espaces physiques&quot; et leurs &quot;orientations multiples&quot; quand cela semblera nécessaire ? Lors de votre exposé sur ''l'optique catadioptrique'' , par exemple, on verra bien si votre point de vue doit s'imposer. Cela éviterait bien des discussions polémiques en attendant. 

Une petite chose de moindre importance. Les coordonnées du produit vectoriel sont usuellement données dans une base orthonormée '''directe''' (au sens mathématique). Vous le rappelez fort correctement (avec votre vocabulaire) dans une première partie mais pas plus loin dans la partie démonstration. Soit il faudra redonner cette précision, soit regrouper les deux parties en mettant éventuellement la démonstration dans une fenêtre déroulante.  

Cordialement

--[[Utilisateur:KharanteDeux|KharanteDeux]] ([[Discussion utilisateur:KharanteDeux|discussion]]) 14 novembre 2020 à 17:07 (UTC)

: {{Al|5}}Bonsoir {{Notif|KharanteDeux|séparateur=}}, j'ai rectifié l'erreur que j'ai introduite par mégarde dans l'introduction du paragraphe « [[w:Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|Produit vectoriel de deux vecteurs]] » remplaçant le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; paragraphe de cette introduction par « l'espace physique [[w:Espace affine#Définitions_et_premières_propriétés|affine]] à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la [[w:Espace affine#Première définition|direction]] étant [[w:Orientabilité|orientable]]&lt;ref name=&quot;orientable&quot;&gt; C.-à-d. que tout déplacement continu d'un objet [[w:chiralité#Définition|chiral]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;non superposable à son image dans un miroir plan&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; dans l'espace aboutit, lors du retour au point de départ, à la superposition de l'image obtenue par déplacement et de l'objet antécédent.&lt;/ref&gt; et [[w:Connexité_(mathématiques)|connexe]], nous admettrons qu'il y a exactement deux orientations possibles différentes, le choix d'une de ces orientations qualifiant l'espace physique [[w:Espace affine#Définitions_et_premières_propriétés|affine]] à trois dimensions de ... » ;
: {{Al|5}}j'ai parfaitement conscience qu'une multiplication vectorielle défini dans un espace vectoriel nécessite que l'espace affine dont cet espace vectoriel est la [[w:Espace affine#Première définition|direction]] soit orienté mais il me semble qu'il ne peut pas être orienté s'il n'est pas [[w:Orientabilité|orientable]]&lt;ref name=&quot;orientable&quot; /&gt; (je passe par l'espace affine car, en physique, les vecteurs sont essentiellement des champs vectoriels définis en tout point de l'espace affine) !
: {{Al|5}}vous dites « Dans tout votre exposé, vous vous placez dans ''un espace vectoriel de dimension 2 ou 3'' : ce n'est pas vrai. Vous vous placez dans un espace concret que j'appelle physique (si vous voulez l'appeler autrement dites son nom : '''on doit savoir''' dans quel espace on situe l'exposé) », certes j'aurais sans doute dû dire dès le début que l'''espace vectoriel de dimension 2 ou 3'' n'est pas quelconque mais la [[w:Espace affine#Première définition|direction]] d'un espace physique [[w:Espace affine#Définitions_et_premières_propriétés|affine]] de dimension 2 ou 3, mais pour un(e) étudiant(e) de niveau P.C.S.I. un espace vectoriel c'est d'abord cela ... et les espaces affines ou vectoriels de ce type sont alors [[w:Espace euclidien#Définitions|euclidiens]].
: {{Al|5}}Je vous remercie de vos commentaires qui m'ont permis de rectifier l'erreur sous-entendant que le ruban de Möbius qui est connexe pouvait être orientable.
: {{Al|5}}Cordialement
: --[[Utilisateur:Phl7605|Phl7605]] ([[Discussion utilisateur:Phl7605|discussion]]) 14 novembre 2020 à 19:38 (UTC)

== Intérêt de l'utilisation de la quantité de mouvement (ou résultante cinétique) en mécanique ==

{{Al|5}}Bonjour {{Notif|Piri1943|séparateur=}}, vous m'avez envoyé par courriel le texte suivant :
: Bonjour Monsieur,

: Je me permets de vous poser une question car je vois que vous êtes actif (et très compétent me semble-t-il) dans le domaine de la mécanique.

: Je suis surpris de trouver dans les livres de physique de MPSI ou des cours universitaires des affirmations faisant penser qu’il est préférable d’utiliser la formulation avec la quantité de mouvement pour tenir compte des « masses variables ».

: Je prends un exemple dans un livre « Physique tout-en-un MPSI » de chez Dunod qui doit dater de 2008 : dans un chapitre relatif à la mécanique du point matériel, le PFD est énoncé sous la forme F=dp/dt. Il est dit un peu plus loin (je transcrits car on ne peut pas mettre de pièce jointe mais je pourrais vous envoyer les 3 pages concernées) :

: « Cas particulier d’un système à masse constante
: Dans ce cas, il est possible de « sortir » la masse de la dérivée de la quantité de mouvement puisqu’il s’agit d’une constante et d’écrire le principe fondamental de la dynamique à l’aide du vecteur accélération sous la forme : m.a=F.

: Il faut se méfier de cette formulation qui ne s’applique qu’aux systèmes de masse constante.
: Le cas d’une fusée qui consomme du carburant et voit sa masse diminuer ou encore celui d’une goutte d’eau qui tombe dans une atmosphère contenant de la vapeur d’eau et grossit au cours du mouvement ne peuvent pas être traités avec cette relation.
: Il est donc fortement conseillé de retenir l’expression générale du principe fondamental de la dynamique : dp/dt=F
: même si, dans le cadre de la mécanique du point, la formulation avec l’accélération est souvent suffisante. »

: Il y a plein de points qui me paraissent erronés mais pour ne pas vous faire perdre du temps je voudrais juste savoir si les affirmations suivantes sont correctes :

: 1 – En mécanique newtonienne du point la masse est constante
: 2 – En mécanique newtonienne pour les systèmes de points, la loi n’est valable que pour un système fermé.
: 3 – Pour un système de points à « masse variable » (fusée…) il est facile d’écrire la loi pour un  système fermé qui inclut  le système à « masse variable » (et, sauf cas particulier, le résultat est totalement différent de celui obtenu en dérivant la masse).
: 4 – Il n’y a pas d’intérêt à utiliser F=dp/dt en se disant que ça couvre aussi la mécanique relativiste car il faut redéfinir le terme de masse.

: Si ces affirmations sont correctes, savez-vous pourquoi on traine cette idée de masse variable ? Je la trouve dans plusieurs livres et cours. Elle est aussi présente dans des livres et cours des pays Anglo-saxons mais moins fréquemment et il y a souvent des mises en garde alors que je n’ai pratiquement pas trouvé de mise en garde en français. Heureusement Wikipedia français (article sur le PFD) est parfait (mais depuis 2019 seulement).

: En vous remerciant d'avance.

: Bien à vous

: Piri1943

:: Pour être succinct dans ma réponse je dirais &quot;oui&quot; aux trois 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points et &quot;non&quot; au dernier en ajoutant :
:: &lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; la masse d'un point est également constante en mécanique relativiste car c'est un invariant, la quantité de mouvement en cinétique relativiste s'écrivant «&lt;math&gt;\;\vec{p} = m\;\gamma(V)\;\vec{V}\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\gamma(V) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{V^2}{c^2}}}\;&lt;/math&gt; est le facteur de Lorentz », le facteur &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; étant la masse (constante) liée à l'énergie de masse (constante) par &lt;math&gt;\;E^0 = m\;c^2&lt;/math&gt;, ce que certains (beaucoup trop hélas) appellent « masse » n'étant en fait qu'une « masse apparente » &lt;math&gt;\;m_{\text{app}} = m\;\gamma(V)&lt;/math&gt;,
:: &lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; la loi que vous écrivez &lt;math&gt;\;\dfrac{d \vec{p}}{dt} = \vec{F}\;&lt;/math&gt; reste valable également sous cette forme en dynamique relativiste pour les systèmes de points matériels fermé à condition que &lt;math&gt;\;\vec{p}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qu'il faudrait plutôt écrire &lt;math&gt;\;\vec{P}\;&lt;/math&gt; pour un système de points matériels&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; représente la résultante cinétique &lt;math&gt;\;\sum\limits_{i = 1}^{i = N} \vec{p}_i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{F}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qu'il faudrait plutôt écrire &lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; pour un système de points matériels&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; soit la résultante dynamique &lt;math&gt;\;\sum\limits_{i = 1}^{i = N} \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}}&lt;/math&gt;, la loi s'écrivant alors «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \vec{P}}{dt} = \vec{F}_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; est appelée théorème de la résultante cinétique »,
:: &lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; le théorème de la résultante cinétique n'est pas applicable à un système de points matériels ouvert, vous pouvez voir à cet effet le paragraphe  « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#En_complément,_inapplicabilité_du_théorème_de_la_résultante_cinétique_à_un_système_ouvert_de_points_matériels|en complément, inapplicabilité du théorème de la résultante cinétique à un système ouvert de points matériels]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »,
:: &lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; en dynamique relativiste du point, seule la quantité de mouvement a un intérêt, la relation fondamentale de la dynamique s'écrivant «&lt;math&gt;\;\vec{F} = \dfrac{d \vec{p}}{dt}\;&lt;/math&gt;», par contre comme «&lt;math&gt;\;\vec{p} = m\;\gamma(V)\;\vec{V}\;&lt;/math&gt;», la force appliquée n'est plus, en général, proportionnelle à l'accélération &lt;math&gt;\;\vec{a} = \dfrac{d \vec{V}}{dt}\;&lt;/math&gt; d'où le non intérêt de cette dernière, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Nécessité_d'utiliser_la_cinétique_en_dynamique_relativiste,_la_cinématique_rendant_la_«_r.f.d._»_inutilisable_en_pratique_à_l'exception_du_cas_des_mouvements_uniformes|nécessité d'utiliser la cinétique en dynamique relativiste, la cinématique rendant la r.f.d. inutilisable en pratique à l'exception du cas des mouvements uniformes]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », l'utilisation de la cinématique conduisant à réécrire la relation fondamentale de la dynamique selon «&lt;math&gt;\;\vec{F} = m\;\gamma\!\left[ V(t) \right]\;\vec{a}(t) + \dfrac{\gamma^2\!\left[ V(t) \right]\;\vec{V}(t) \cdot \vec{a}(t)}{c^2}\;m\;\gamma\!\left[ V(t) \right]\;\vec{V}(t)\;&lt;/math&gt;» en introduisant une grandeur &lt;math&gt;\;\vec{a}(t)\;&lt;/math&gt; sans intérêt en relativiste ; vous pouvez voir un exemple d'utilisation de «&lt;math&gt;\;\vec{F} = \dfrac{d \vec{p}}{dt}\;&lt;/math&gt;» en dynamique relativiste dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_électrostatique_uniforme#Application_à_l’«_exemple_de_l’oscilloscope_cathodique_»|application à l'exemple de l'oscilloscope cathodique]] » du chap.&lt;math&gt;23&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » (traitement en relativiste bien que les électrons d'un oscilloscope restent newtoniens).
:: Cordialement.
::--[[Utilisateur:Phl7605|Phl7605]] ([[Discussion utilisateur:Phl7605|discussion]]) 1 février 2021 à 06:36 (UTC)
== Distinction, perception ==
Bonjour Monsieur,

et tout d'abord merci pour votre considérable production sur laquelle je suis tombé en cherchant à vérifier le bien fondé de ce que je suis en train d'écrire sur les limites de perception d'un objet, en l'occurrence des éoliennes offshore qui sont au centre de pas mal de débats dans ma région.

Mon problème était de calculer la limite au-delà de laquelle un objet de taille donnée disparaissait de notre perception, dans des conditions de visibilité &quot;optimales&quot; que l'on ne cherchera pas à définir, mon discours s'adressant au moins scientifique des publics.

Je précise que, dans un écrit précédent, j'ai traité de la disparition sous l'horizon du fait de la courbure terrestre et que mon propos est de pouvoir déterminer si un objet qui n'est pas passé (ou pas entièrement) sous l'horizon peut néanmoins ne plus être perceptible et de déterminer la distance approximative à partir de laquelle il ne l'est plus.

En première approche la limite viendrait plutôt de largeur que de la hauteur si les calculs confirment que la hauteur résiduelle de l'éolienne sur l'horizon demeure la dimension la plus élevée, comparée à la largeur, au moment où on atteint la limite de perception.

Mon hypothèse de départ était d'utiliser le pouvoir séparateur de l'œil et de postuler que si l'on ne peut pas séparer l'image du paysage situé à droite de l'objet de celle située à sa gauche, alors l'objet n'est plus perçu. Si ce postulat était valide, le calcul de la distance à laquelle l'objet &quot;disparaît&quot; deviendrait alors très simple puisque ce serait la distance au-delà de laquelle la largeur apparente de l'objet devient inférieure au pouvoir séparateur de l'œil. Mais au moment où j'écris mon texte le doute m'étreint. 

Première question que je me pose : au moment où l'on atteint la limite, si l'on ne peut plus distinguer la bordure droite de la gauche, la ligne (ou les deux lignes) de cellules concernées reçoit-elle (ou reçoivent-elles) pour autant la même quantité de lumière que les lignes voisines (en progressant vers l'extérieur) ? Et, de ce fait, ne subsiste-t-il pas une &quot;image fantôme&quot; de l'objet qu'on ne distingue plus, une sorte de &quot;perturbation visuelle&quot; du paysage ?

Deuxième question, liée à la précédente : l’œil n'étant pas immobile, si la réponse à la question précédente est &quot;oui&quot;, cette image fantôme n'est-elle pas affadie, mais néanmoins élargie ? Et est-ce que ceci ne recule pas la limite à laquelle cette impression de &quot;fantôme&quot; ou de &quot;perturbation visuelle&quot; disparaît totalement ?

''Nota bene : pour des raisons de public, là encore, les différences dues à des différences physiologiques de l'œil, entre individus, ne sont pas abordées.''

Cordialement,
[[Utilisateur:AxlMun|AxlMun]] ([[Discussion utilisateur:AxlMun|discussion]]) 10 février 2021 à 22:38 (UTC)

: {{Al|5}}Bonjour {{Notif|AxlMun|séparateur=}}, à votre question « si l'on ne peut plus distinguer la bordure droite de l'éolienne de la gauche, la ligne (ou les deux lignes) de cellules concernées reçoit-elle (ou reçoivent-elles) pour autant la même quantité de lumière que les lignes voisines (en progressant vers l'extérieur) ? » je serais tenté de répondre « non » si on pouvait admettre l'applicabilité de la propagation rectiligne de la lumière sans restriction mais &lt;br /&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Bonjour AxlMun, à votre question }}dans la réalité la propagation rectiligne admet une limite incontournable qui est l'intervention de la diffraction de la lumière et, dans le cas où l'éolienne est très éloignée, la diffraction par le bord gauche (ou droit) de l'éolienne transforme la propagation rectiligne en un étalement à intensité non constante sur une petite étendue angulaire, étalement qui se retrouvera vraisemblablement sur plusieurs cellules de la rétine et empêchera la distinction de ces bords avec l'extérieur de l'éolienne et par suite je serais tenté de répondre « oui » ; &lt;br /&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Bonjour AxlMun, }}les calculs tenant compte de la diffraction étant relativement compliqués il me semble qu'il serait préférable de faire une étude expérimentale, d'autant plus que les perturbations atmosphériques ont certainement une importance sur la stabilité de l'image formée sur la rétine ...
: {{Al|10}}{{Transparent|Bonjour AxlMun, }}Toutefois comme il vous est peut être difficile de faire une étude expérimentale, une approche en omettant la diffraction devrait vous donner un ordre de grandeur : si vous considérez une limite de résolution angulaire de l'œil &lt;math&gt;\;\varepsilon_{o,\,\text{min}} \simeq 5\;10^{-4}\;rad\;&lt;/math&gt; et des pales d'éolienne de &lt;math&gt;\;\Sigma = 3\;m\;&lt;/math&gt; de diamètre située à une distance &lt;math&gt;\;D&lt;/math&gt;, celle-ci devrait être &lt;math&gt;\;\lesssim\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;D_{\text{max}}\;&lt;/math&gt; dans l'espoir d'être perçue telle que &lt;math&gt;\;\dfrac{\Sigma}{D_{\text{max}}} \simeq \varepsilon_{o,\,\text{min}}\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;D_{\text{max}} \simeq \dfrac{\Sigma}{\varepsilon_{o,\,\text{min}}} \simeq 6\;km\;&lt;/math&gt; et si le mât de l'éolienne est de diamètre cinq fois moins grand que celui des pâles, le mât devrait cesser d'être perçu pour une éolienne cinq fois plus proche de l'observateur ... &lt;br /&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Bonjour AxlMun, }}Bien sûr ce ne sont que des ordres de grandeur ne tenant pas compte de la diffraction ni des perturbations de l'atmosphère ...
: {{Al|5}}Cordialement,
: --[[Utilisateur:Phl7605|Phl7605]] ([[Discussion utilisateur:Phl7605|discussion]]) 19 février 2021 à 16:44 (UTC)

:: Bonjour {{Notif|Phl7605|séparateur=}} et merci pour cette réponse très précise. 
::Il s'agit de très grandes éoliennes marines et donc, en ce qui concerne les pales, vu leur faible vitesse de rotation le plus souvent, je serai tenté d'analyser leur largeur et non pas le diamètre du disque résultant de leur rotation ; de ce fait, à mon très humble avis, elles disparaissent les premières. Mais je retiens l'idée, sachant qu'intervient un biais « d'affadissement du signal » qui serait également à prendre en compte ; et là je ne vois que l'expérimentation.
::J'ai demandé les caractéristiques géométriques des éoliennes auxquelles je m'intéresse pour pouvoir exposer des distances de « disparition » correctement argumentées. Pour vous donner une idée je crois que le fût fait {{unité|200|m}} de haut et les pales {{unité|60|m}} de long. J'attends des informations sur les largeurs car avec ces hauteurs, la disparition totale sous l'horizon d'un observateur dont les yeux seraient situés à environ {{unité|50|m}} d’altitude est bien au-delà de {{unité|80|km}}.
::Il me reste un dernier point épineux. J'ai vu que selon les sources le pouvoir séparateur de l'œil varie proportionnellement de 1 à 1,5. De ce fait ayant retenu la valeur de 1 minute d'arc (peut-être est-ce une commodité mnémonique qui reflète mal la réalité) j'obtenais des ordres de grandeur qui étaient plutôt les suivants : moins de {{unité|3|m}} de distance pour apercevoir un objet de {{unité|1|mm}} de large, moins {{unité|3|km}} pour {{unité|1|m}} de large et donc moins {{unité|9|km}} pour {{unité|3|m}} de large. Dans des discussions où l'affect joue beaucoup, des écarts tels que celui existant entre 6 et {{unité|9|km}}, ou entre 18 et {{unité|27|km}} risquent de déchaîner les passions.
::Cordialement,
::[[Utilisateur:AxlMun|AxlMun]] ([[Discussion utilisateur:AxlMun|discussion]]) 22 février 2021 à 23:39 (UTC)

== Invitation au projet de physique ==

{{Invitation projet|de|physique}}
--[[Utilisateur:Hérisson grognon|Hérisson grognon]] &lt;sup&gt;&lt;nowiki&gt;[&lt;/nowiki&gt;[[Discussion Utilisateur:Hérisson grognon|mais gentil]]&lt;nowiki&gt;]&lt;/nowiki&gt;&lt;/sup&gt; 22 février 2021 à 20:26 (UTC)</text>
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    <title>Discussion utilisateur:Leila Van Keirsbilck</title>
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Soit la bienvenue Leïla ! [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 21 mars 2016 à 23:06 (UTC)

== Activation du compte global  ==

Salut, si tu vas sur ta page [[Spécial:Préférences|de réglage des préférence]] tu peux activer ton compte global ce qui te permettra d’être active sur tous les projets de la fondation, y compris Wikiversity sur lequel nous pourrons éditer notre essai si vous êtes d'accord. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 22 mars 2016 à 09:33 (UTC)</text>
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:[[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;'''✉ ''' [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; &lt;sub&gt;Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]]&lt;/sub&gt; 21 mars 2016 à 23:31 (UTC)</text>
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== Your feedback matters: Final reminder to take the global Wikimedia survey  ==

(''Sorry to write in Engilsh'')

&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;fr&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
Bonjour ! Voici un dernier message pour vous rappeler que le questionnaire de l’enquête de la Fondation Wikimédia se fermera le '''28 février 2017 à 23 h 59 (UTC)'''.   Le questionnaire est disponible dans différentes langues et demande entre 20 et 40 minutes pour être complété. '''[https://wikimedia.qualtrics.com/SE/?SID=SV_6mTVlPf6O06r3mt&amp;Aud=AE&amp;Src=19AEOP  Répondez-y maintenant.]'''

Si vous avez déjà participé à ce sondage, merci ! Nous ne vous dérangerons plus.

'''À propos du questionnaire :''' Vous pouvez lire davantage d’informations sur [[m:Community_Engagement_Insights/About_CE_Insights|ce projet]] ou les [[m:Community_Engagement_Insights/Frequently_asked_questions|questions fréquentes]].  Cette enquête est hébergée par un service tiers et régie par sa propre [[:foundation:Community_Engagement_Insights_2016_Survey_Privacy_Statement|déclaration de confidentialité]]. Si vous avez besoin d’aide supplémentaire, ou désirez vous désabonner des communications futures au sujet de cette enquête, envoyez un courrier électronique via la fonction d’envoi de courriel à [[:m:Special:EmailUser/EGalvez_(WMF)| User:EGalvez (WMF)]] ou surveys@wikimedia.org.  '''À propos de la Fondation Wikimédia :''' La [[:wmf:Home|Fondation Wikimédia]] vous soutient en travaillant sur les logiciels et technologies afin que les sites demeurent rapides, sécurisés et accessibles, et gère également les programmes et initiatives visant à diffuser l’accès et promouvoir la connaissance libre en général.  Merci ! --[[:m:User:EGalvez (WMF)|EGalvez (WMF)]]  ([[:m:User talk:EGalvez (WMF)|talk]]) 24 février 2017 à 08:23 (UTC)

&lt;/div&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:EGalvez (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Community_Engagement_Insights/MassMessages/Lists/2016/19-AEOP&amp;oldid=16205365 --&gt;</text>
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      <text bytes="252153" sha1="74x3738ie0fs9orlii4h1x06nytcomx" xml:space="preserve">[[Fichier:Portrait of Chevalier de Saint-George.jpg|300px|vignette|centré|Joseph Bologne dit Chevalier de Saint-George]]

== Légende &amp; mythe d'un Saint Chevalier ==

Se reporter à : [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Crises,_Révolutions_et_systèmes_énergétiques#Légende_&amp;_mythe_d'un_Saint_Chevalier|Légende &amp; mythe d'un Saint Chevalier]]

== 1718 ==
[[File:Ordres de Saint-George, 1718.png|vignette|100px|left]]
[[File:Primus Eques. Blason de Messire Guillame de Vienne Seigneur de Saint George et de Sainte Croix.png|vignette|100px|left]]
* 1718 - Les ordres de Saint-George (George sans &quot;s&quot;) dans {{bibliographie|Q27609088}}, [https://books.google.fr/books?id=C2ZVAAAAcAAJ&amp;dq=Julien%20Raimond%20%2B%20Saint-George&amp;hl=fr&amp;pg=PA513#v=onepage&amp;q=Julien%20Raimond%20+%20Saint-George&amp;f=false page 513]

== 1748 ==
[[Fichier:Permission en 1748 pour Mme. St-Georges d’ammener Nanon et Joseph en France.jpeg|100px|vignette|gauche|1er septembre 1748, [[d:Q19223131|permission pour Mme. St-Georges d’ammener Nanon et Joseph en France]].]]
* [[d:Q19223131|1er septembre 1748]] - {{Bibliographie|Q19223131}}

== 1753 ==
[[w:1753|1753]]

1753 - Saint-George entre à l’académie de Nicolas Texier de la Boëssière vers 1753&lt;ref&gt;Annales historiques de la Révolution française'', {{p.|92}}.&lt;/ref&gt; afin de se préparer au métier d’officier{{Référence nécessaire}}.
* [https://www.google.com/search?q=Saint-George+%2B+fleuret&amp;newwindow=1&amp;tbm=bks&amp;ei=-ms_XNSKBI6Wa7nhh6AI&amp;start=10&amp;sa=N&amp;ved=0ahUKEwjU7-Hq6_LfAhUOyxoKHbnwAYQQ8tMDCGE&amp;biw=1188&amp;bih=726&amp;dpr=1 Saint-George + fleuret]

== 1756 ==

1756 - Début de la guerre de Sept Ans (1756-1763)

== 1759 ==
[[Fichier:Texier de la Boiſſiere reçu Maître en-fait-d'Armes, 14 mars 1759.png|100px|vignette|gauche|Texier de la Boiſſiere reçu Maître en-fait-d'Armes, 14 mars 1759]]
[[w:1759|1759]]
* 1759 - [[w:Nicolas Texier de la Boëssière|Nicolas Texier de la Boëssière]] est reçu Maître en-fait-d'Armes

{{Citation bloc|1759 - Le Mercredi, 14 de ce mois, le Sieur Texier de la Boiſſiere, a été reçu Maître en-fait-d'Armes. L'exercice qui devoit décider ſa réception s'eſt fait au Jeu de Paume de la Perle, rue de la Vieille Eſtrapade, en préſence de M. le Procureur du Roi &amp; d'une nombreuſe Aſſemblée. Les Sieurs Donnadieu, de Vaucourt, &amp; de la Salle, ont diſputé, contre le Récipiendaire les deux prix, dont le premier a été gagné au fleuret par le Sieur Donnadieu, &amp; le ſécond a été gagné au poignard par le Sieur de la Salle ; les Combattans ont déployé toute l'adreſſe &amp; toute la ſoupleſſe dont l'eſcrime eſt ſuſceptible.|[[d:Q23662438|La Feuille nécessaire : contenant divers détails sur les sciences, les lettres et les arts, 1759]]&lt;ref&gt;{{bibliographie|Q23662438}} [https://books.google.fr/books?id=mpYvAAAAMAAJ&amp;dq=Vaucours%20%2B%20ma%C3%AEtre%20d'armes&amp;hl=fr&amp;pg=RA1-PA109#v=onepage&amp;q=Vaucours%20+%20ma%C3%AEtre%20d'armes&amp;f=false Le Mercredi, 14 de ce mois, le Sieur Texier de la Boiſſiere, a été reçu Maître en-fait-d'Armes.], 1759. &lt;/ref&gt;}}

== 1760 ==
[[Fichier:Gabriel-Jacques de Saint-Aubin, A Street Show in Paris, 1760.jpg|100px|vignette|gauche|1760 - Spectacle de rue, Paris]]
[[w:1760|1760]]

== 1761 ==

=== 1761 - Naufrage de L'Utile : les esclaves oubliés de Tromelin  ===
[[Fichier:Armoiries de la Compagnie des Indes Orientales.jpg|100px|vignette|gauche|Armoiries de la Compagnie des Indes Orientales]]
[[Fichier:L Utile wreck.jpg|100px|vignette|gauche]]
* 1761 - Dans la nuit du 31 juillet 1761 au 1{{er}} août 1761, [[w:L'Utile|L'Utile]], frégate de la [[w:Compagnie française des Indes orientales|Compagnie française des Indes]] fait naufrage sur les récifs coralliens de l'[[w:Île Tromelin#Naufragés de Tromelin|île Tromelin]]. Sur cent-soixante hommes, femmes et enfants [[w:Madagascar|malgaches]], captifs emmenés en esclavage vers l'[[w:Île Maurice|île Maurice]], et cent-quarante-deux hommes d'équipage, l'équipage et une soixantaine de Malgaches arrivent à rejoindre l'île. Les autres captifs, enfermés dans les cales, périssent noyés. Les soixante Malgaches sont abandonnés sur l'Ile. Le 29 novembre 1776, quinze ans après le naufrage, sept femmes et un enfant de huit mois seront secourus par l'équipage du [[w:Bernard Boudin de Tromelin|chevalier de Tromelin]].
* {{Citation bloc|'''Ile de Sable dans la mer des Inde, 1835''' - Cette île, qui serait mieux nommée un banc de sable, est située dans le nord de l'ile Bourbon, par 15° 55'de lat. S., et 52° 11' de long. E. Elle fut découverte, en 1712, par la Diane. Elle est plate et n'a pas plus d'un quart de lieue de circuit; cependant on y a trouvé, vers ces deux extrémités nord et sud, de l'eau potable à quinze pieds de profondeur. C'est un écueil dangereux, à peine visible à deux lieues par un beau temps, et fort redouté des marins. En 1761, la flûte l'Utile, commandée par M. de La Fargue, y fit naufrage. L'équipage était en partie composé de noirs esclaves, qui travaillèrent, de concert avec les blancs, pendant six mois, à construire une chaloupe avec les débris du bâtiment. La chaloupe faite, les officiers et les blancs s'embarquèrent et abordèrent heureusement, après une courte traversée, à Sainte-Marie, dans l'[[w:Madagascar|ile de Madagascar]]. Les noirs restèrent sur l'écueil en attendant qu'on vînt à leur secours; sous prétexte de la guerre, on ne voulut pas, à l'Ile-de-France, risquer d'envoyer un petit bâtiment pour délivrer ces malheureux naufragés. Ce ne fut qu'en 1776 que la corvette la Dauphine, commandée par M. de Tromelin, rencontra l'ile de Sable, et parvint à vaincre tous les obstacles qui defendent l'approche de cet écueil. Sept négresses seules et un petit enfant avaient pu résister, pendant quinze années, à toutes les rigueurs de cette cruelle position. Les quatre-vingts autres naufragés avaient péri, soit de misère, soit en cherchant à se sauver sur des radeaux. Une case avait été construite avec les restes des débris du vaisseau; elle était recouverte d'écailles de tortues de mer et placée sur le sommet de cette ile, qui, étant à peine élevée de quinze pieds au-dessus du niveau de la mer, n'est pas toujours dans les tempêtes à l'abri des plus grosses lames. Des plumes d'oiseaux, artistement liées par les femmes, servaient d'habillemens et de couvertures; les coquillages et quelques tortues formaient toute la nourriture.&lt;br /&gt;
Les sept négresses racontèrent que pendant leur séjour sur cette île, elles avaient vu passer cinq bâtimens dont plusieurs avaient inutilement tenté d'aborder. Le canot de l'un d'eux, de la Sauterelle, était arrivé tout près de l'ile ; mais les brisans l'empêchant de prendre terre, un matelot sauta à la mer ; il gagna le rivage à la nage et fut forcé d'y rester ; car l'officier du canot, frappé de terreur panique, rejoignit le bâtiment qui fit route et disparut. Ce matelot construisit un petit radeau, et partit avec trois nègres et trois négresses pour Madagascar, éloigné de cent lieues. On n'a jamais eu de leurs nouvelles.&lt;br /&gt;
Depuis le naufrage de l'Utile, on a fréquemment envoyé des navires de guerre visiter l'ile de Sable, pour sauver les équipages des navires qui auraient pu y faire naufrage. On y voyait encore, il y a quatre ans, des restes de cabane et de puits, et une perche portant une croix à demi renversée par le vent.|Euryale Cazeaux, Edouard Charton.- Le Magasin pittoresque, 1835&lt;ref&gt;Euryale Cazeaux, Edouard Charton.- [https://books.google.com/books?id=UXQ4AQAAMAAJ Le Magasin pittoresque], Jouvet &amp; cie, 1835, Troisième année, Volume 3, [https://books.google.fr/books?id=-3lPAQAAMAAJ&amp;dq=Ile%20au%20sable%20%2B%20Tromelin%20%2B%20naufrage&amp;hl=fr&amp;pg=PA279#v=onepage&amp;q=Ile%20au%20sable%20+%20Tromelin%20+%20naufrage&amp;f=false page 279].&lt;/ref&gt;}}

;Bibliographie
* 2007 - {{bibliographie|Q28493814}}
* 2010 - Max Guérout, Thomas Romon.- [http://www.cnrseditions.fr/histoire-moderne/6324-tromelin-max-guerout-thomas-romon.html Tromelin L'île aux esclaves oubliés], coédition Inrap (Insitut national de recherches archéologiques préventives) / CNRS Editions, 21/10/2010.
* 2013 - Thomas Romon et Max Guerout, « La culture matérielle comme support de la mémoire historique : l’exemple des naufragés de Tromelin », In Situ [En ligne], 20 | 2013, mis en ligne le 15 février 2013, consulté le 18 janvier 2017. DOI : 10.4000/insitu.10182  [http://insitu.revues.org/10182 La culture matérielle comme support de la mémoire historique : l’exemple des naufragés de Tromelin]
* 2013 - [http://www.dailymotion.com/video/xxgc96_les-esclaves-oublies-de-la-l-ile-tromelin_tech Les esclaves oubliés de l'île Tromelin], Une tragédie restituée par l'archéologue Max Guéroult, Documentaire, Date de publication : 12/02/2013, Durée : 51:54. Très mauvaises conditons de visionnage
* 2015 - Aurélie Luneau.- [https://www.franceculture.fr/emissions/la-marche-des-sciences/tromelin-des-esclaves-oublies-rendus-lhistoire Tromelin : des esclaves oubliés rendus à l’histoire dans La Marche des sciences], 19.11.2015
* 2015 - Vincent Charpentier.- [http://www.inrap.fr/les-robinsons-de-tromelin-decouverts-par-l-archeologie-9821 Les Robinsons de Tromelin découverts par l’archéologie] dans le Salon Noir, 31.10.2015
* 2015 - Tromelin : mémoire d'une île / Max Guérout,{{BNF|444693646}}
* [http://www.taaf.fr/Les-esclaves-oublies-de-Tromelin Les esclaves oubliés de Tromelin], {{BNF|423147293}}
* [http://archeonavale.org/gran2012/index.php/2012-02-13-18-51-03/mission-2013 Tromelin, Le carnet de la mission 2013]

== 1763 ==

1763 - Fin de la guerre de Sept Ans (1756-1763)

== 1769 ==
* 1769 -Création du [[w:Concert des Amateurs|Le Concert des Amateurs]] à l’[[w:Hôtel de Soubise|Hôtel de Soubise]], ([[w:1769 en musique classiquee|1769]]-[[w:1781 en musique classique|1781]]). {{bibliographie|Q28534161}}
* {{article
 | langue                 = fr
 | prénom1                = Robert-Henri
 | nom1                   = Tissot
 | prénom2                = Camille
 | nom2                   = Bellissant
 | prénom3                = Thomas
 | nom3                   = Vernet
 | lien auteur1           = w:Robert-Henri Tissot
 | lien auteur2           = w:Camille Bellissant
 | lien auteur3           = w:Thomas Vernet
 | titre                  = Le Concert des Amateurs à l'Hôtel de Soubise (1769-1781)
 | sous-titre             = Une institution musicale parisienne en marge de la Cour
 | lien titre             = w:Concert des Amateurs
 | périodique             = Revue de Musicologie
 | lien périodique        = 
 | éditeur                = Société Française de Musicologie
 | lieu                   = 
 | série                  = 
 | volume                 = T. 92
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 | titre numéro           = No. 2 (2006)
 | jour                   = 
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 | pages                  = 420-423
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}}

== 1773 ==

=== Charles-Joseph Capisuchi de Bologne ===

  Last name : Charles-Joseph Capisuchi De Bologne&lt;ref&gt;[https://www.google.fr/books/edition/%C3%89tats_d%C3%A9taill%C3%A9s_des_liquidations_fait/Egl3nTcv63cC?hl=fr&amp;gbpv=1&amp;pg=RA11-PA4&amp;printsec=frontcover Charles-Joseph Capisuchi De Bologne] dans France, Commission d'indemnité. États détaillés des liquidations faites par la Commission d'indemnité en exécution de la loi du 27 avril 1825, Volume 2, Partie 2, 1828&lt;/ref&gt; 
  Occupation : Mestre de camp de cavalerie
  Date of death : 01/10/1773
  Adresse : [[w:Place du Carrousel|Place du Carrousel]]
  Lien : &lt;nowiki&gt;&lt;https://en.geneanet.org/indexation/noms/174362/192&gt;&lt;/nowiki&gt;

=== Charles Camille Capisuchi De Bologne ===

  2 Marguerite Françoise sa fille
  Le père condamné 
  La fille, Marguerite Capisuchi Bologne, émigrée. Elle épouse de M. Alexandre Henri de Foudras

  Alexandre Henri de Foudras, veuf de l'émigrée Marguerite Capisuchi Bologne, ''Dame Antoinette de Capisuchi Bologne marquise de Foudras baronne de Deuilly Serecourt Tignecourt Saint Julien et Provenchère'', légataire universel de son fils Rolland Philippe Anne Hugues Louis seul héritier de sa mère pour douze vingt quatrièmes

=== Françoise Charlotte Gabrielle Eugénie de Capisucchi Bologne ===

  Claude Charles du Tartre Seigneur de Chilly Bornay &amp; qui a épousé par contrat du 24 janvier 1744 Catherine Agnès de Cardon Vidampierre, fille de Messire Jean Philippe de Cardon Vidampierre, Seigneur de Lanfraucour, Comte de Vandeléville, premier Gentil homme de la chambre du Duc Léopold de Lorraine &amp; Gouverneur des Princes ses enfants, Grand Bailli de Saint Michel &amp; Colonel d'infanterie au service de France &amp; de Dame Françoise Charlotte Gabrielle Eugénie de Capisucchi Bologne&lt;ref&gt;François Félix Chevalier.- [https://www.google.fr/books/edition/M%C3%A9moires_historiques_sur_la_ville_et_se/3DUVAAAAQAAJ?hl=fr&amp;gbpv=1&amp;dq=Charles-Joseph+Capisuchi+de+Bologne&amp;pg=PA494&amp;printsec=frontcover Mémoires historiques sur la ville et seigneurie de Poligny], Volume 2, 1769&lt;/ref&gt;. Il ne reste de ce mariage qu'une fille 

== 1775 ==

1775 - Début de la [[w:guerre d'indépendance des États-Unis|guerre d'indépendance des États-Unis]], 1775 à 1783.

== 1777 ==
* [[s:Déclaration... pour la police des noirs... Registrée en Parlement le 27... août 1777.|Déclaration pour la police des noirs. Registrée en Parlement le 27 août 1777.]]

== 1778 ==

 [https://books.google.fr/books?id=igmgwWF2QaoC&amp;dq=Mathurin%20dessus%20l'herbette&amp;hl=fr&amp;pg=PA301#v=onepage&amp;q=Mathurin%20dessus%20l'herbette&amp;f=false 1778, La Chasse, Saint-George]

{{Citation bloc|On a donné le 12 de ce mois, sur le théâtre de la Comédie Italienne, la première représentation de la Chasse, comédie en trois actes, en prose, mêlée d'ariettes, paroles de M. Desfontaines, l'auteur de l'Aveugle de Palmyre, de la Cinquantaine, etc., musique de M. de Saint-Georges. Le trait qui a donné l'idée de ce petit ouvrage est une anecdote connue de notre jeune, reine, un trait d'humanité qui, pour être infiniment simple, n'en est que plus sensible et plus touchant. Mais ce qui, dans la bouche d'une grande souveraine, est d'un prix inestimable, peut devenir sans doute une chose assez ordinaire dans la bouche d'une dame de château ; et ce qui doit faire adorer les grâces sur le trône n'est pas toujours ce qui réussit le mieux au théâtre.&lt;br /&gt;Si le fond de ce petit drame est minutieux, l'exécution l'est encore davantage, et l'effet des scènes les plus plaisantes est toujours affaibli par la longueur et l'ennui des détails. On sent parfaitement, sur-tout quand on se rappelle les drames de M. Sedaine, combien les détails les plus minces en apparence peuvent ajouter à la vérité d'un tableau dramatique ; mais du moins faut-il que ces détails tiennent essentiellement au caractère, à la situation, et qu'il en résulte quelque effet, et un effet qui ne puisse être préparé par un moyen plus sûr et plus vrai. Il est aussi dangereux d'affecter la manière de M. Sedaine que d'affecter le naturel même... La musique de ce drame est assez analogue au poème. Le public a trouvé dans la composition du musicien, comme dans celle du poëte, de la gaieté, des détails agréables, des traits heureux ; mais il y a trouvé aussi des longueurs, des choses communes, et sur-tout un grand nombre d'imitations et de réminiscences. Un des morceaux qui a paru faire le plus de plaisir est l'air où Rosette raconte à son père les amours de sa sœur ; en voici les paroles : 
&lt;poem&gt;
Si Mathurin dessus l'herbette 
Cueille la rose du matin, 
Il vient l'apporter à Colette,
Puis il la place sur son sein.
Moi, qui ne suis que la cadette, 
Je ne sais si c'est de l'amour ;
Mais je voudrais dessus l'herbette
Recevoir la rose à mon tour.

À l'ombrage de la coudrette 
Si Colette va sommeiller, 
Par un baiser pris en cachette 
Mathurin court la réveiller. 
Moi, qui ne suis que la cadette, 
Je ne sais si c'est de l'amour ; 
Mais je voudrais sur la coudrette 
Être réveillée à mon tour. 

Quand Mathurin parle à Colette, 
Si vous venez pour nous chercher, 
Ma sœur, qui sans cesse vous guette, 
Vous attrape, et le fait cacher. 
Moi, qui ne suis que la cadette, 
Je ne sais si c'est de l'amour;
Mais je voudrais être Colette, 
Et vous attraper à mon tour&lt;/poem&gt;
|Correspondance littéraire, philosophique et critique, Volume 1:Volume 5&lt;ref&gt;[https://books.google.fr/books?id=igmgwWF2QaoC&amp;dq=Mathurin%20dessus%20l'herbette&amp;hl=fr&amp;pg=PA301#v=onepage&amp;q=Mathurin%20dessus%20l'herbette&amp;f=false Correspondance littéraire, philosophique et critique], octobre 1778.&lt;/ref&gt;.}}

== 1779 ==

=== 1779 - Il paraît depuis quelque temps dans le monde un mulâtre  ===

{{Citation bloc|1779 - Il paraît depuis quelque temps dans le monde un mulâtre, nommé M. de Saint-Georges|Georges Touchard-Lafosse.- ''Apparition du chevalier de Saint Georges'' dans Chroniques de l'Œil-de-Bœuf, 1845&lt;ref&gt;{{Bibliographie|Q28243565}}, 1845, [https://books.google.fr/books?id=6TNySnWtZPQC&amp;hl=fr&amp;pg=PA392#v=onepage&amp;q&amp;f=false Volume 4, Chapitre III, 1779-1781, page 392]&lt;/ref&gt;}}

== 1780 ==

{{Citation bloc|Saint-Georges (M. de), attaché à Monfeigneur le Duc d'Orléans est peut être de tous les hommes celui qui est né avec le plus de talens différens. Personne n'a porté à un plus haut degré l'art d'exécuter tous les exercices du corps &amp; fur-tout celui de faire des armes. M. de Saint Georges est depuis plusieurs années à la tête du Concert des Amateurs, &amp; c'est un de ceux où la musique est rendue avec le plus de précision &amp; de nuances. Ce célèbre Amateur réunit à tous ses talens le mérite peu commun d'une grande modestie &amp; de la plus grande douceur. Il a composé des sonates des symphonies &amp; des concerts qui lui ont mérité de justes applaudissemens. Son opéra comique d'Ernestine paroles de M. le Chevalier Sainfon a été donné à la Comédie Italienne en 1777 &amp; est rempli de morceaux charmans.|[[w:Jean-Benjamin de La Borde|La Borde, Jean-Benjamin de]],(1734-1794.- Essai sur la musique ancienne et moderne, Volume III, Google Id|Jfo6AAAAcAAJ&amp;dq
&lt;ref&gt;Volume IV sur Gallica, {{BNF|41036794s}}&lt;/ref&gt;, 
pp. 484-485&lt;ref&gt;[https://archive.org/stream/essaisurlamusiqu03labo#page/484/mode/2up Essai sur la musique ancienne et moderne], Volume III, pp. 484-485&lt;/ref&gt;.
Voir l'ensemble des volumes sur Internet Archive&lt;ref&gt;Coller le lien : &lt;https://archive.org/search.php?query=Essai+sur+la+musique+ancienne+et+moderne&gt;, le [https://archive.org/details/essaisurlamusiqu01labo volume I] avec privilège du roi, Introduction &amp; Avant-propos, la musique dans l'Égypte ancienne dont relation entre jour de la semaine, les planètes &amp; la musique.&lt;/ref&gt;}}

== 1782 ==

=== Bataille de Trinquemalay, 25 août - 3 septembre 1782  ===

[[Fichier:BattleOfTrincomaleeBySerres.jpg|100 px|vignette|gauche|La [[w:Bataille de Trinquemalay|bataille de Trinquemalay]], {{date|3|septembre|1782}}, 3 septembre 1782 signe la disgrâce du Chevalier de Tromelin.]]
* Dans ''Le collier de la Reine''&lt;ref&gt; {{Bibliographie|Q28022312}}&lt;/ref&gt;,  Alexandre Dumas raconte l'[[s:Page:Dumas - Le Collier de la reine, 1888, tome 1.djvu/172|accueil]] de [[w:Pierre André de Suffren|Monsieur de Suffren à Versailles]], le 2 avril 1784, de retour de la [[w:bataille de Trinquemalay|bataille de Trinquemalay]], (25 août - 3 septembre 1782), durant sa [[w:Pierre André de Suffren#Suffren dans l'Océan Indien (1781-1784).|campagne dans l'Océan Indien (1781-1784)]].

==== 1787 : ''La Fille Garçon''  ====


{{Citation bloc|En 1787 il fit jouer au Théâtre-italien la ''Fille garçon'', opéra en 2 actes, dont la musique était du fameux St-Georges.|Michaud;- Biographie universelle ancienne et moderne, 1843, Tome 10&lt;ref&gt;Deux mentions, pp. [[s:Page:Michaud - Biographie universelle ancienne et moderne - 1843 - Tome 10.djvu/520|515]] &amp; [[s:Page:Michaud - Biographie universelle ancienne et moderne - 1843 - Tome 10.djvu/521|516]]&lt;/ref&gt;.}}

==== 1787, Demaillot, Saint-George.- la Fille garçon   ====
* [https://books.google.fr/books?id=7kXmDAAAQBAJ&amp;lpg=PT48&amp;dq=1787%20%2B%20Demaillot%20%20%2B%20la%20Fille%20gar%C3%A7on&amp;hl=fr&amp;pg=PT48#v=onepage&amp;q=1787%20+%20Demaillot%20%20+%20la%20Fille%20gar%C3%A7on&amp;f=false Grimm, 18 août 1787]. Les paroles sont de Monsieur Demaillot qui a travaillé avec beaucoup de succès


En 1787, Saint-George voulut faire un dernier essai de son talent pour la composition dramatique, et fit jouer au mois d'août la Fille garçon. Cette fois il fut plus heureux, et son ouvrage obtint quelques représentations&lt;ref&gt;François-Joseph Fétis&lt;/ref&gt;. La première représentation de la ''Fille Garçon'', comédie en deux actes et en prose, mêlée d'ariettes sur le théâtre Italien eut lieu le 18 août 1787. Les paroles sont d’Ève Demaillot. La musique est de M. de St-Georges&lt;/ref&gt;
* 1813 - {{bibliographie|Q27516197}}

&lt;br /&gt;{{ouvrage|année=2000|prénom1=Laurence|nom1=Senelick|
titre=[http://books.google.fr/books?id=O9oqZca7Pq8C&amp;pg=PA521&amp;dq=Fille+Gar%C3%A7on+St-Georges+Desmaillot The changing room: sex, drag and theatre]([http://muse.jhu.edu/login?uri=/journals/theatre_journal/v053/53.2homan.html *]) : {{s-|XVIII|e|-|XIX|e}} : 1650-1820|lieu=The changing room: sex, drag and theatre|éditeur=Routledge}}.&lt;!-- Notice Bnf n° [Url Bnf n° de la notice].--&gt;&lt;br /&gt;Le ''Dictionnaire lyrique ou Histoire des opéras'' attribue les paroles à « Eve ». {{ouvrage|année=1999|prénom1=Félix|nom1=Clément|prénom2=Pierre|nom2=Larousse|titre=[http://books.google.fr/books?id=RO1OlrcJcqwC&amp;pg=PA291&amp;dq=la+Fille+Gar%C3%A7on+opéra#v=onepage&amp;q=&amp;f=false Dictionnaire lyrique ou Histoire des opéras]. Reproduction, Fac-sim. de l'éd. de Paris, Administration du Grand dictionnaire universel, A. Boyer, Liepmannsshonn et Dufour, 1876-1881 : {{s-|XVIII|e|-|XIX|e}} : 1650-1820|lieu=Genève, Paris, diffusion Champion|éditeur=Slatkine reprints}}.Notice Bnf n° [http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb37079916t/PUBLIC FRBNF37079916].&lt;br /&gt;Le ''[http://books.google.fr/books?id=xeYgW56rRdcC&amp;pg=PA258&amp;dq=la+Fille+Gar%C3%A7on+opéra#v=onepage&amp;q=&amp;f=false Théâtre de l'Opéra-Comique Paris : répertoire 1762-1972]'' précise le nom de l'auteur du livret : Antoine-François Eve, [http://catalogue.nla.gov.au/Search/Home?lookfor=author:%22Maillot,%20Antoine%20Francois%20Eve,%201747-1814%22&amp;iknowwhatimean=1 1747-1814]. Il s'agit en effet de &quot;Eve dit Demaillot (Antoine-François), auteur de l'ouvrage : {{ouvrage|année=1814|prénom1=Antoine-François|nom1=[http://catalogue.bnf.fr/servlet/autorite?ID=11902030&amp;idNœud=1.1&amp;host=catalogue Eve]|titre=[http://www.criminocorpus.cnrs.fr/biblio/v3/reference_inter.php?ref=31592 Tableau historique des prisons d'État en France sous le règne de Buonaparte] : {{s-|XVIII|e|-|XIX|e}} : 1747-1814|lieu=Paris|éditeur=Delaunay}}. Notice Bnf n° [http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb36311257p/PUBLIC FRBNF36311257].&lt;/ref&gt;.

===== Le 18 août  =====

{{Citation bloc|Le 18 août, on a donné, sur le théâtre Italien, la première représentation de la Fille Garçon, comédie en deux actes et en prose, mêlée d'ariettes. Les paroles sont de M. [http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb119020308/PUBLIC Desmaillot], qui a travaillé avec quelque succès pour nos petits théâtres des boulevarts&lt;!--orthographe d’époque--&gt; et du Palais-Royal. La musique est de M. de St-Georges, mulâtre plus célèbre par son prodigieux talent pour l'escrime, et par la manière très distinguée dont il joue du violon, que par la musique de deux opéra comiques, ''Ernestine'' et ''la Chasse'', qui ne survécurent pas à leur première représentation.&lt;br /&gt;Le fond de cette pièce ne mérite pas qu'on en parle. Quant à la musique, quoique mieux écrite qu'aucune autre composition de M. de St-Georges, elle a paru également dépourvue d'invention ; les divers morceaux qui la composent ressemblent, et par les motifs, et même par les accompagnements, à des morceaux trop connus. Ceci rappelle une observation que rien n'a encore démentie, c'est que si la nature a servi d'une manière particulière les mulâtres, en leur donnant une aptitude merveilleuse à exercer tous les arts d'imitation, elle semble cependant leur avoir refusé cet élan du sentiment et du génie, qui produit seuls les idées neuves et les conceptions originales. Peut-être aussi ce reproche fait à la nature ne tient-il qu'au petit nombre des hommes de cette race à qui les circonstances ont permis de s'appliquer à l'étude des arts.|[[d:Q27514761|1830]] - {{bibliographie|Q27514761}}, Tome treizième, 1786 — 1787&lt;ref&gt;[https://books.google.fr/books?id=z1UHAAAAQAAJ&amp;dq=Correspondance%20littéraire%2C%20philosophique%20%2B%20Saint-Georges&amp;hl=fr&amp;pg=PA448#v=onepage&amp;q=Correspondance%20littéraire,%20philosophique%20+%20Saint-Georges&amp;f=false p. 448] : * 1813 - {{bibliographie|Q27516261}}, [https://books.google.fr/books?id=KyMQAAAAYAAJ&amp;dq=%22Correspondance%20littéraire%2C%20philosophique%20et%20critique%22%20Ernestine&amp;hl=fr&amp;pg=PA362#v=onepage&amp;q&amp;f=false p. 362]&lt;/ref&gt;}}

===== Au mois d'août 1787  =====

{{Citation bloc|Au mois d'août 1787, il donna encore, avec [[Ève Demaillot|Demaillot]], auteur des paroles, ''la Fille garçon'', comédie mêlée d'[[ariettes]], qui eut un peu plus de succès. La musique, mieux écrite qu'aucune autre des compositions de Saint-George, parut également dépourvue d'invention. On en a pris occasion de faire une observation qu'aucun exemple ne paraît avoir démenti jusqu'à présent, c'est que, ''si la nature a favorisé d'une manière particulière les [[mulâtre]]s'', en leur donnant une aptitude singulière pour les arts d'imitation ; ''elle semblerait leur avoir refusé cet éclat d'imagination, de génie, qui seul fait exceller dans les arts créateurs''. Les concertos composés par Saint-George, et surtout le menuet qui porte son nom, eurent plus de succès que ses œuvres dramatiques, et obtinrent pendant longtemps une très-grande vogue.|[[Louis-Gabriel Michaud]].}}

===== Mme de Rosanne  =====

&quot;Mme de Rosanne has lost her husband and son in a war and, in order to protect her surviving&quot;.
&lt;poem&gt;
The Chevalier de Saint-Georges 
Dominique-René de Lerma 
The Black Perspective in Music 
Vol. 4, No. 1 (Spring, 1976), pp. 3-21 
Published by: Professor J. Southern (Managing Editor-Publisher) 
DOI: 10.2307/1214399 
Stable URL: http://www.jstor.org/stable/1214399 
Page Count: 19
&lt;https://www.jstor.org/stable/1214399?seq=1#page_scan_tab_contents&gt;
&lt;/poem&gt;

===== 1800 - Ménégault  =====
* 1800 - Ménégault.- Le Garçon fi11e et la Fille garçon, comédie en vers, ([https://books.google.fr/books?id=Oj2exWLT_x8C&amp;dq=Ménégault%20%2B%20Fille%20gar%C3%A7on&amp;hl=fr&amp;pg=PA1#v=onepage&amp;q=Ménégault%20+%20Fille%20gar%C3%A7on&amp;f=false Le Garçon fille, ou la Fille garçon. Comédie en un acte et en vers, 1800]. &lt;https://archive.org/stream/bibliothquedram06solegoog#page/n213/mode/2up&gt;.

== 1783 ==
[[Fichier:Faujas, Montgolfier - Description des expériences de la machine aérostatitique, 1783-1784.png|100px|vignette|gauche]]
* 1783-1784 - {{bibliographie|Q28026028}}
** Description des expériences de la machine aérostatique de MM. de Montgolfier, et de celles auxquelles cette découverte a donné lieu ; Suivie...&lt;br /&gt;* De recherches sur la hauteur à laquelle est parvenu le ballon du Champ-de-Mars. Sur la route qu'il a tenue ; sur les différents degré de pesanteur de l'air dans les couches de l'atmosphère ;&lt;br /&gt;* D'un mémoire sur le gaz inflammable &amp; sur celui qu'ont employé MM. de Montgolfier ; sur l'art de faire les Machines aérostatiques, de les couper, de les remplir, &amp; sur la manière de dissoudre la gomme élastique, &amp;c, &amp;c. ;&lt;br /&gt;* D'une lettre sur les moyens de diriger ces machines, &amp; sur les différents usages auxquels elles peuvent être employées.&lt;br /&gt;* Ouvrage orné de neuf planches en taille douce, représentant les diverses Machines qui ont été construites jusqu'à ce jour, particulièrement celle de Versailles, &amp; celle dans laquelle des hommes ont été enlevés jusqu'à la hauteur de 324 pieds, &amp;c, &amp;c.

=== Saint-George à Londres garde du corps du duc d'Orléans par Talleyrand ===

{{Citation bloc|Pendant que je fis ce voyage, le duc d'Orléans vint à Londres. J'aurais voulu, dans son intérêt, qu'il ne sortît plus de Paris : ses ennemis avaient tellement égaré l'opinion sur son compte, que, chaque jour, il avait à supporter une nouvelle avanie. Nul Anglais de qualité ne le visitait, ne répondait à ses invitations, ou ne l'appelait chez lui; aux théâtres on le sifflait : j'ai vu des matelots lui jeter du parterre des pelures d'orange. Un soir, j'étais dans une des loges du Wauxhall à causer avec Fox et Shéridan, un brouhaha plus fort qu'à l'ordinaire attirant notre attention, nous reconnûmes qu'il provenait de la présence du prince français. Peu à peu, chacun s'écarlant, comme pour éviter son contact ou sa conversation, il demeura seul au milieu de la salle immense, comme s'il eût été un objet curieux et redoutable , tant on mettait de l'affectation à le regarder de loin. Sa situation nous loucha, et tous trois, d'un commun accord, descendîmes pour ne pas le laisser avec Sillery (Genlis), Latouche, Laclos et Saint-George, qui l'accompagnaient.&lt;br /&gt;
Celui-ci était un créole singulièrement organisé pour la musique, la danse, l'escrime, l'équitation et de plus doux travaux. Élégant, magnifique, très à la mode, joueur, libertin, il n'avait pas d'égal dans tout ce qu'il éludiat ; il faisait de charmants opéras-comiques (le chant s'entend, car il n'était pas heureux en paroles) ; aux échecs il eût pu lutter avec Philidor, et aujourd'hui M. de La Bourdonnaye. Le duc d'Orléans, l'ayant pris en belle amitié, l'avait nommé officier dans ses gardes. Saint-George, fort aimé des dames et des hommes du grand monde, était alors tombé en disgrâce complète, parce qu'on ne lui pardonnait pas sa reconnaissance envers son bienfaiteur.&lt;br /&gt;
Je l'ai entendu raconter un effet singulier de l'imagination, car sa philosophie ne lui a pas permis de voir quelque chose d'extraordinaire dans ce fait si singulier ; voici comment il le racontait :&lt;br /&gt;
Un matin que je sortais de mon logis, à Paris, où je me trouvais alors, je fus heurté par une jeune fille singulièrement belle, qui pouvait avoir dix-huit à dix-neuf ans : j'en avais vingt-deux. Frappé d'une réunion de charmes très remarquable, je la suis, et en même temps il me semble que son cœur et le mien causent de bonne amitié, et qu'il lui dit:

− Prenez-y garde! si vous m'aimez, il faut m'aimer bien, sans quoi la mort ne nous séparera même pas.&quot;

J'observai son jeu de physionomie, il n'était repoussant. Enfin j'aborde cette merveille, elle me répond; je propose de la conduire chez elle, refus de sa part; j'insiste, elle alors :

− Monsieur, prenez-y garde ! si vous m'aimez, il faut m'aimer bien, sans quoi la mort ne nous séparera même pas.

Confondu d'entendre sa bouche répéter mot à mot ce que j'avais entendu mentalement, je ne mets que plus d'énergie à l'assurer de mon amour :

− Eh bien! alors, dit-elle, je me fie à votre parole. Je n'ai jamais eu d'amant, il m'en faut un. Voici ce que vous devez faire ; conformez vous-y de tout point. Vous avez, dans la maison où vous logez, un pavillon élégant qui s'ouvre sur le jardin ; laissez, à onze heures du soir, tous les mardi et vendredi, la porte ouverte ; n'ayez avec vous que des armes, du courage et de l'amour, je viendrai vous trouver exactement, mais prenez-y garde ! si vous m'aimez, il faut m'aimer bien, sans quoi la mort ne nous séparerait même pas.

− Encore plus étonné que les localités de ma demeure lui fussent si bien connues, frappé désagréablement de sa phrase de menace mystérieuse, j'hésite un instant ; puis, entraîné par la fougue de l'âge, je promets tout, consens à tout et j'obtiens tout en effet. Nous étions au jeudi de la semaine, dans la nuit du vendredi au samedi, je laissai la porte du pavillon ouverte ; le jardin était là ; et, deux minutes après les onze coups frappés, ma séduisante maîtresse m'apparut, belle, belle à en être jolie comme Vénus. En me quittant, elle mit à mon doigt une alliance que j'ouvris après son départ. N'y trouvais-je pas gravée sa phrase de tendresse assommante !

Six mois s'écoulèrent, jamais je ne fus si heureux. Surpris de ma constance, je ne la voyais plus que sans terme ; hélas ! cette erreur dura peu et fut cruellement détruite.

J'avais cru porter mon hommage à une Parisienne, je m'étais trompé ; ma maîtresse n'appartenait pas à cette ville commode, où le plaisir ne touche ni au poignard, ni au poison, ni à la mort, où une infidélité rentre dans les événements de la vie commune (dit en 1790). J'aimais, j'étais aimé d'une Sicilienne ardente, passionnée ; des malheurs, disaitelle, avaient amené sa famille en France, mais cette famille, qu'était-elle ? je ne l'ai jamais connue.

Il y avait six mois de la durée de cette tendresse, et au bout de ce laps de temps, sans chérir moins Violenta (qu'elle était bien nommée !), je commençais à reconnaître que d'autres femmes, sans posséder ses qualités précieuses, pouvaient être néanmoins jolies ; je les regardais, ce que je n'avais pas fait ci-devant. Enfin, à l'Opéra, une danseuse, débutante enchanteresse, m'inspira le vif désir de l'admirer de près ; c'était le samedi au soir que j'obtins d'elle un premier rendez-vous, et ce ne serait que dans la nuit du mardi au mercredi que je reverrais ma Violenta ; cette distance me rassura, et je devins infidèle sans remords.

Le mardi arriva ; j'attendis la Sicilienne, non sans battements de cœur ; elle entra dans la chambre, s'approcha rapidement du lit où je veillais ; là elle s'arrêta, fit mine de humer l'air, puis se pencha sur les oreillers, les sentit, et aussitôt un cri terrible lui échappa.

− Une femme, dit-elle ensuite avec un accès de rage et de désespoir, une femme est venue ici et tu l'as reçue là où tu m'attendais.

Sa pantomime m'avait décontenancé, son propos me terrifia, j'essayai de balbutier une dénégation; elle m'écoutait avec une incrédulité visible, quand tout à coup ses yeux s'allumèrent, elle se baissa, sa main saisit quelque chose que la Sicilienne me montra en triomphe, c'étaient les poches de la danseuse que l'étourdie, en s'en allant dimanche matin, avait laissées par mégarde. Comment moi et mes gens ne les avions-nous pas vues ? je ne me l'explique pas ; cependant Violenta les fouilla et le premier objet qu'elle en retira, c'est le billet où, en invitant la danseuse à souper, je lui donnais mon adresse ; Violenta le lut, le glissa prestement dans son sein, puis d'une voix sourde se mit à dire :

− Ceci veut du sang, je remplirai ma destinée... mais prenez-y garde, si vous m'aimez, il faut m'aimer bien, sans quoi la mort ne nous séparerait même pas.

Elle achevait à peine sa phrase fatale, que je la vis s'enfuir avec une promptitude qui ne me laissa pas le loisir de la calmer ; mais à peine fut-elle partie, que me rappelant sa première phrase : ceci veut du sang, je pensai à l'innocente danseuse, et en me relevant je me mis à lui écrire, à lui conter la vérité, bien certain que son âme généreuse ne me bouderait pas ainsi que le ferait sa rivale ; je lui peignis celle-ci comme une femme dangereuse qui savait son adresse, et qu'il fallait redouter ; je la suppliais de ne pas sortir le lendemain avant que je n'eusse été m'entendre avec elle, et surtout vu M. le lieutenant de police.

Deux heures après, c'est-à-dire à une heure et demie du matin, le domestique que j'avais chargé de porter ma lettre, avec ordre de réveiller toute la maison de ma belle danseuse, plutôt que de s'en retourner sans lui avoir remis ma missive, reparut devant moi, mais avec une physionomie tellement renversée, et un tremblement nerveux dans tous ses membres si violent, qu'à sa seule vue je compris qu'il allait m'annoncer une horrible catastrophe ; je ne me trompai pas. La Sicilienne, en me quittant, avait couru chez la danseuse, le portier lui avait livré d'autant plus facilement le passage, que, ce soir-là, cette pauvre créature donnait à souper à certains de ses consœurs et de ses confrères en badinage : on prit pour une convive attardée l'effarée qui se précipita dans la salle à manger. Là, ayant appris d'un valet quelle était la dame du logis, elle s'était élancée vers elle, et en lui présentant d'une main mon billet, elle la frappa au cœur d'un poignard qu'elle tenait de l'autre, et cela en lui disant :

− Voici une lettre de change qu'il faut que tu acquittes.

Ce récit me parut affreux, cette catastrophe me fut très désagréable : d'abord j'eus à pleurer ce double trépas; puis je fus soumis à des tracasseries sans nombre de la part de la police, que mes amis puissants firent cesser ; mais les investigations les plus sévères, les recherches les plus minutieuses ne purent faire découvrir, à Paris, aucune trace de la famille de Violenta.

Je fus plusieurs jours dans un désespoir, une exaltation d'idées qui ne me laissa pas respirer; je ressentais une crainte vague, quelque chose de sinistre et de mystérieux qui me consternait. Le vendredi prochain, je me couchai de bonne heure, car depuis ce fatal événement je n'avais plus quitté ma maison ; au coup de onze heures, j'entendis ouvrir la porte de ma chambre, et je vis..., oui je vis Violenta pâle, défaite, vêtue de blanc, les yeux atones, la physionomie immobile, et de la blessure qu'elle s'était faite sortaient de gros bouillons de sang ; du moins tel était le spectacle où l'illusion de mon imagination ardente me présenta ; car le lendemain mes recherches les plus minutieuses ne purent me faire voir aucun reste de ce sanglant spectacle.

Je demeurai pétrifié, mes yeux fixes comme les siens, ma bouche également entr'ouverte et mon corps restant dans une immobilité absolue. La terrible vision s'approcha lentement, sans bruit, monta sur mon lit, souleva les draps et se coucha contre moi à mon horreur inexprimable. Un évanouissement m'aurait rendu heureux, et je le demandai à la nature ; elle me le refusa, ou peut-être dormais-je, et j'étais, sans m'en douter, sous l'empire d'un cauchemar abominable.

Cette visite infernale se prolongea jusqu'au moment où l'horloge de la paroisse sonna une heure du matin : alors l'ombre de Violenta se releva ; ses lèvres glacées posèrent sur les miennes un baiser fétide et puis dirent avec une lenteur désespérante : &quot;Prenez-y garde ; si vous m'aimez, il faudra m'aimer bien, car, vous le voyez, la mort ne nous séparera même pas&quot; ; ensuite elle s'éloigna, atteignit la porte qu'elle avait fermée, l'ouvrit, la dépassa, disparut..., et un coup affreux de tonnerre, me faisant tressaillir, rendit à mon sang glacé sa circulation interrompue... Je revins à moi ; j'étais trempé de sueur ; cependant je me retins d'appeler à mon aide ; ma veilleuse brûlait, j'allumai quatre bougies, et il était jour que je veillais encore.

Je me gardai de conter à mes amis cette apparition : la nuit suivante, j'avais placé plusieurs pistolets sur la table de nuit, afin de punir, pensai-je, le mystificateur habile qui se jouait de moi; je ne vis rien. La seconde, la troisième nuit furent également tranquilles, je respirais ; mais à la quatrième, celle du mardi au mercredi, voilà que le haineux fantôme revint avec le même jeu se coucher près de moi, y passa deux heures, me quitta en me baisant atrocement sur la bouche et en me répétant sa phrase détestable.

Depuis lors, et pendant onze mois, je fus poursuivi par la même hallucination; ce qu'il y avait de plus étrange, c'était que, chaque fois, je faisais le projet de passer ces deux nuits fatales de chaque semaine avec mes amis, dans le monde, au jeu ou en parties de débauches ; eh bien ! malgré moi, en quelque lieu que je fusse, une force invincible, irrésistible me ramenait chez moi, et tout en la maudissant, je lui obéissais, je rentrais, et à dix heures et demie, au plus tard, j'étais prêt à attendre la visite fatale.

Ce secret me consumait ; une mélancolie profonde me minait ; je voyais avec dégoût tous les plaisirs de la vie, et en moi se glissait déjà une manie sanglante du suicide. Onze mois, dis-je, me séparaient du jour de la catastrophe funeste, je venais de quitter une société charmante : c'était un vendredi ; je m'étais refusé à toutes les instances faites pour me retenir, et, de retour dans ma chambre, j'allais sonner pour qu'on vint me déshabiller, et moi rentrer ainsi dans ma longue agonie, lorsque mon regard, errant machinalement, s'arrêta sur mes mains et sur la gauche d'une façon toute particulière, et tout à coup y découvrit la bague, présent sinistre de Violenta, et dans laquelle était gravée la phrase cruelle. Cette vue me fit horreur, et je m'écriai avec l'Œdipe de Voltaire, et tout en le parodiant à la fin du second vers :

Et je ne conçois pas par quel enchantement 
J'oubliai jusqu'ici ce cruel talisman.

Aussitôt, par un mouvement désespéré, je saisis cet anneau détestable, et, en le maudissant, je le lançai dans le feu... Il y tombait à peine que je me sentis dégagé d'un poids énorme ; mes idées, rafraîchies, cessaient instantanément de me tourmenter, je ne fus plus poursuivi par cette force infernale qui me contraignait à rentrer ; bien au contraire, une impulsion opposée me conseilla de revenir dans la maison charmante d'où je venais de sortir.

Me voilà sonnant non pour me faire déshabiller, mais pour dire que l'on remette les chevaux à ma voiture ; mes valets s'étonnent et ne font aucune observation, je ne le permettais pas ; et avant le coup de onze heures, j'étais au milieu d'un cercle rieur. Ce n'est pas que je fusse complètement tranquille ; je redoutais que le spectre vindicatif ne vînt me poursuivre en si bon lieu... j'en fus pour ma crainte : ni cette nuit, ni celle du mardi suivant, ni aucune autre, je ne revis plus la vision sans égale, fruit d'une imagination allumée et que j'aurais éteinte beaucoup plus tôt si, plus tôt, je me fusse avisé de me débarrasser de la bague qui, sans doute, alimentait cette illusion odieuse.

Dès lors, je fus heureux.

J'avais écouté Saint-George avec une attention extrême, et j'avoue que le dénouement de cette histoire si extraordinaire me parut singulier, et que ma raison ne put l'admettre ; je préférai croire à un cas plus naturel : c'est que pendant onze mois, et à la suite d'une, catastrophe horrible, sa raison avait failli et qu'elle lui était revenue quand la nature l'avait voulu. C'est de cette manière que l'on devrait expliquer un grand nombre d'histoires extraordinaires qui rentreraient dans le cas d'une maladie ordinaire.|Charles-Maurice de Talleyrand-Périgord, Lamothe-Langon.- Extraits des mémoires du prince de Talleyrand-Perigord : ancien évêque d'Autun, Charles-Maurice de Talleyrand-Périgord, Chapitre VII, Volume 2&lt;ref&gt;Charles-Maurice de Talleyrand-Périgord, Lamothe-Langon.- Extraits des [https://books.google.fr/books?id=_ZkXtAduyesC&amp;dq=Mémoires%20du%20prince%20de%20Talleyrand%20%2B%20Saint-George&amp;hl=fr&amp;pg=RA1-PA183#v=onepage&amp;q=Mémoires%20du%20prince%20de%20Talleyrand%20+%20Saint-George&amp;f=false Mémoires du prince de Talleyrand-Perigord : ancien évêque d'Autun, Charles-Maurice de Talleyrand-Périgord], C. Le Clère, Paris 1838, Original provenant de Bibliothèque municipale de Lyon (Bibliothèque jésuite des Fontaines, {{BNF|307297781}}&lt;br /&gt;
Cf. &quot;Talleyrand &amp; l'abolition de la traite au congrès de Vienne (1814-1815)&quot;, Londres, 1790
Portrait de Saint-George.− La bague talisman et la vision mystérieuse, anecdocte de 1783
Voir [https://books.google.fr/books?id=Sh70ZS5dC74C&amp;dq=A%20moi%2C%20Saint-George&amp;hl=fr&amp;pg=RA1-PA43#v=onepage&amp;q=Saint-George&amp;f=false page 43].&lt;/ref&gt;.)}}

== 1786 ==
[[Fichier:Thomas Baldwin The Aironaut, Airopaidia, containing the narrative of a balloon excursion from Chester, 1786.png|100px|vignette|gauche]]
* 1786 - {{bibliographie|Q24026474}}
* 1786 - {{bibliographie|Q28027981}}
** ARt. XI. Airopaidia : Containing the Narrative of a Balloon Excursion from Chester, the 8th of September 1785, taken from Minutes made during the Voyage : Hints on the Improvement of Balloons, and Mode of Inflation by Steam : Means to prevent their Descent over Water: Occasional Enquiries into the State of the Atmosphere, favouring their Direction : With various philosophical Observations and Conječtures. To which is subjoined, Mensuration of Heights by the Barometer, made plain, with extensive Tables. The whole serving as an Introdućtion to Aereal Navigation. By Thomas Baldwin, Esq. A. M., 8vo. 7s.6d. Boards. Chester, printed: Sold by Lowndes, London. 1786&lt;ref&gt;[https://books.google.fr/books?id=svNdAAAAcAAJ&amp;hl=fr&amp;pg=PA217#v=onepage&amp;q&amp;f=false Titre entier via Google livre]&lt;/ref&gt;.

== 1789 ==
[[Fichier:Daniel Orme, W. Denton - Olaudah Equiano (Gustavus Vassa), 1789.png|100px|vignette|gauche|Olaudah Equiano (Gustavus Vassa)]]

{{Citation bloc|wednesday at the Pantheon the boasted aſſult took place between Mr.St.George and two other amateurs. and three of the inferior maſters of the noble art of defence. The Chevalier St. George, whose dexterity with the ſword has been ſo often the theme of eplogy, has ſince he came to England, been accompanied by two other amateurs, M, la Motte and M., : - The Chevalier ágreed to a public aſſault, ayowedly for the benefit of M, la Motte. . .: , , * We are accustomed in this country to treat alltrials: of skill, of this kind, with the contempt they merit. They are generally a compromiſe to push forward z. new adventurer against the established masters. We should think Mr. St. George is above contributing tsi fich a manœuvre. . . . . . . . . . . . . . . ,: The first aſſault was between M. Pinau, and Md Színville. -: si zawo : *: *...*.. ' ’ The ſecond between M. Roland-and M, la Motte-1 no The third þętween M. Avenau and M. Sainville. s of thefe little is to be ſaid worth notice, much lefs commendation. s hisi : : : · · · · · · · · , , ** &quot;A. Then M. St. George called on M. Goddard, who was preſent », to, make good his boasting, and enter the lists with him. After a good deal of debate and, &quot; &quot; F 2 &quot;* wranging. .
...fici
wranglings Mr. Goddard made an apdegy, which Mr.: si, George was called upon to state alond to the compạny H H He did,ſo in French — It was in substanees: “Thar; Mr. Gaddardracknowledged his superiority-1 “that he should be proud to be able to hit him once, “in a :: times -rr and that he begged pardonfor: “the challenge.” – My-Goddard, however, in Engligh: faged, that he was unwell; but that when her was recovered he would fence with Mr. St. George The Chevalier was told the difference between the apotägy and the excute; and the altercation was renewed. Mr. Goddard then acquiesceà in the words: orġiħally affigned, and Mr. St. George again pronoun: ceặthem, and faid he was fatisfied with Mr. Goddard's fubňřstion. a gi : * g : -- Cac&quot;;: 2.4:
The Chevalier then fenced with M: la Motte. Tii:|The British Mercury, 1789&lt;ref&gt;{{Bibliographie|Q28372665}}, Volume 11, Numéro 42, October 17, 1789, [https://books.google.fr/books?id=joE9AAAAcAAJ&amp;hl=fr&amp;pg=PA85#v=onepage&amp;q&amp;f=false p. 85]. consulté le 9 novembre 2015&lt;/ref&gt;.}}


=== 1789 : Saint-George serait mort d'un coup de pistolet  ===

{{Citation bloc|Londres le 18 avril 1789 : on écrit de Paris que le chevalier de St George a été tué d'un coup de pistolet ; on ajoute qu il est tombé au premier feu le nom de son adversaire ne nous est pas encore parvenu|{{bibliographie|Q27991504}}, 1789&lt;ref&gt;Journal général de l'Europe ou Mercure national et étranger, Annonces Articles et avis divers, Nouvelles politiques, Extrait des papiers Anglois, Numéro 51, Mardi 28 avril 1789 [https://books.google.fr/books?id=kylGAAAAcAAJ&amp;dq=the%20Chevalier%20St.%20George%20%2B%20london&amp;hl=fr&amp;pg=RA1-PA133#v=onepage&amp;q=the%20Chevalier%20St.%20George%20+%20london&amp;f=false page 133]&lt;/ref&gt;.}}

== 1790 ==

=== 1790 - Transition Nous sommes donc trois ou le provincial à Paris ===
;[[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire/23_août_1754_-_21_janvier_1793_ou_le_XVIIIe_siècle_de_Louis_XVI#1790_-_Nous_sommes_donc_trois_ou_le_provincial_à_Paris|Transition : Nous sommes donc trois]]

== De la Motte - de Lamotte - Lamothe ==
* [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6531459j/f513.item.r=Gratien%20Candace.texteImage A instruire]

#Le fleuret et l'archet: le chevalier de Saint-George (1739?-1799), ...
Vincent Podevin-Bauduin, ‎Archives de la Guadeloupe, ‎Laure Tressens - 2001 - ‎Extraits
occupe toujours la maison de feu sieur Saint-Martin, vivant directeur de la Comédie, située rue Dauphine... Vu par nous. Médecins du Roi et de Port-au-Prince, le 24 avril 1 786. [https://books.google.fr/books?id=pVMjAQAAIAAJ Joubert de Lamotte et le chevalier de Saint-George](Affiches ..
# [https://books.google.fr/books?id=qbhIAAAAcAAJ&amp;pg=PA443&amp;dq=Soci%C3%A9t%C3%A9+royale+des+sciences+et+arts+%2B+Louis-%C3%89lie+Moreau+de+Saint-M%C3%A9ry&amp;hl=fr&amp;sa=X&amp;ved=0ahUKEwihnsrhnaXiAhUQD2MBHYqWAhcQuwUIKzAA#v=snippet&amp;q=%22Joubert%20de%20la%20Motte%22&amp;f=false Joubert de la Motte]
Bernard JOUBERT DE LA MOTTE
Dom Pierre-Pascal Joubert de La Motte

 Joseph-Louis Roger.- Traité des effets de la musique sur le corps humain - Page 333, 1803 - 
 [https://books.google.fr/books?id=QEiTADwuyNYC L'une des antipathies les plus remarquables en ce genre , est celle de Lamothe le Vayer, ce philosophe sceptique, qui …]

=== 1790-1796 - Lamothe, compagnon indéfectible de Saint-George  ===
[[Fichier:The French royal family in 1816 by Gautier.png|100px|vignette|gauche|Après la Révolution, Lamothe fut attaché à la maison du [[w:Charles-Ferdinand d'Artois|duc de Berry]], fils du futur Charles X de France.]]

[[Fichier:The French royal family in 1816 by Gautier.png|100px|vignette|gauche|Après la Révolution, Lamothe fut attaché à la maison du [[w:Charles-Ferdinand d'Artois|duc de Berry]].]]
* {{Citation bloc|Saint-Georges et Lamothe étaient Oreste et Pylade ; on ne les voyait jamais l'un sans l'autre. Lamothe, célèbre cor de chasse de cette époque, eût aussi été le premier tireur d'armes, disait-on, s'il n'y avait pas eu un Saint-Georges. [..] Plus tard il partit avec Lamothe pour Saint-Domingue qui était en pleine révolution. On fit courir le bruit qu'ils avaient été pendus dans une émeute ; mais ce bruit était heureusement faux, et les deux amis revinrent sains et saufs en France. Nous ajouterons que Saint-Georges y mourut en 1801, suivant les uns, en 1799, suivant les autres, dans un état voisin de l'indigence. Quant à Lamothe, il fut attaché à la maison du [[w:Charles-Ferdinand d'Artois|duc de Berry]]&lt;ref&gt;Charles-Ferdinand d’Artois, duc de Berry, né à Versailles le 24 janvier 1778 et mort assassiné à Paris le 13 février 1820, prince de la maison de Bourbon, fils de Charles-Philippe de France, comte d’Artois, futur Charles X, et de Marie-Thérèse de Savoie.&lt;/ref&gt;. Après l'horrible catastrophe de ce prince, il alla à [[w:Munich|Munich]]&lt;ref&gt;Capitale du Land de Bavière en Allemagne&lt;/ref&gt; où il vivait encore en 1823.|Gazette musicale de Paris, Volume 8&lt;ref&gt;Gazette musicale de Paris, [https://books.google.fr/books?id=eusqAAAAYAAJ&amp;dq=Chevalier%20de%20Saint-George%20%2B%20imitation%20%2B%20musique&amp;hl=fr&amp;pg=PA363#v=onepage&amp;q&amp;f=false Volume 8]&lt;/ref&gt;}}
* {{Citation bloc|Lamothe, célèbre cor de chasse inséparable du Chevalier de Saint-Georges, fils naturel d'un riche financier apparenté à la vicontesse de Laval (Blanc, 2002)|Patrick Cardon.- Les enfans de Sodome à l'Assemblée nationale (1790)&lt;ref&gt;Patrick Cardon.- [https://books.google.fr/books?id=bWvrRdG_EOwC&amp;lpg=PA62&amp;dq=Lamothe%20%2B%20cor%20de%20chasse&amp;hl=fr&amp;pg=PA62#v=onepage&amp;q&amp;f=false Les enfans de Sodome à l'Assemblée nationale (1790)].&lt;/ref&gt;}}

=== Bordeaux : un ''de Lamothe'' associé à ''François Jacques Thomas Marie de Montmerci de Saint Georges'' ===

{{Citation bloc|A la même époque François Jacques Thomas Marie de Montmerci de Saint Georges&lt;ref&gt;Marie de Saint-George (François—Jacques— Thomas)&lt;/ref&gt; plus connu sous le nom abrégé de Marie de Saint Georges obligé de quitter la Bourgogne était venu s établir a Bordeaux La il sollicita du Ministre la faveur d ètre employé dans les travaux de dépouillement des Archives et en attendant ayant obtenu la permission d entrer dans nos Archives il y étudia plus particulièrement les diverses révolutions du gouvernement municipal Son travail publié plus tard sous ce titre Recherches historiques sur Foffice de maire de Bordeaux est resté non seulement comme le premier mais comme un des plus intéressants travaux accomplis sur notre histoire.&lt;br /&gt;
M. Bernadau dans une note fournie a M. de Lamothe qui l'a insérée dans sa notice sur l'abbé Baurein p. 12.|Livre des bouillons, De Archives municipales de Bordeaux, Bordeaux (Aquitaine, France)&lt;ref&gt;[https://books.google.fr/books?id=zJUsAQAAMAAJ&amp;dq=DE%20Saint%20Georges%20Fran%C3%A7ois%20Jacques%20Thomas&amp;hl=fr&amp;pg=PR18#v=onepage&amp;q=DE%20Saint%20Georges%20Fran%C3%A7ois%20Jacques%20Thomas&amp;f=false Livre des bouillons, De Archives municipales de Bordeaux, Bordeaux (Aquitaine, France)]&lt;/ref&gt;}}
* MARIE DE SAINT-GEORGES DE MONTMERCI François-Jacques Thomas.- Généalogie curieuse et remarquable de Monsieur Peixotto, Juif d'origine, chrétien de profession, et Banquier de Bordeaux, ouvrage destiné à prouver aux Mécréans que M. Peixotto descend, en ligne directe, d'Adam, de Noé, d'Aaron et de tous les Cohens de l'univers, Avignon, Aubanel, 1789, 40 pages in 8 demi reliure non rogné. ''Satire curieuse et rare vraisemblablement tirée à petit nombre M Marie de Saint Georges avocat au parlement de Bordeaux en est l auteur Sur le feuillet blanc qui précède le titre l auteur a écrit quelques lignes d envoi pour les auteurs du Dictionnaire de droit'',&lt;ref&gt;In [https://books.google.fr/books?id=VCIMfCIwufcC&amp;dq=Généalogie%20curieuse%20et%20remarquable%20de%20M.%20Peixotto%2C%20juif%20d'origine%2C%20chrétien%20de%20profession%20%26%20banquier%20de%20Bordeaux&amp;hl=fr&amp;pg=PA103#v=onepage&amp;q&amp;f=false Catalogue d'une importante collection de livres rares]&lt;br /&gt;
   Cf. [[w:Antoine-Isaac Silvestre de Sacy|Silvestre de Sacy (1758-1838)]].- [https://books.google.fr/books?id=Eyq8DAAAQBAJ&amp;lpg=PT94&amp;dq=Généalogie%20curieuse%20et%20remarquable%20de%20M.%20Peixotto%2C%20juif%20d'origine%2C%20chrétien%20de%20profession%20%26%20banquier%20de%20Bordeaux&amp;hl=fr&amp;pg=PT94#v=onepage&amp;q=Généalogie%20curieuse%20et%20remarquable%20de%20M.%20Peixotto,%20juif%20d'origine,%20chrétien%20de%20profession%20&amp;%20banquier%20de%20Bordeaux&amp;f=false Le projet européen d'une science orientaliste]&lt;/ref&gt;.
* 3830 MARIE DE SAINT GEORGES Jacq Thomas [https://books.google.fr/books?id=qmNWAAAAYAAJ&amp;dq=DE%20Saint%20George%20%2B%20Bordeaux&amp;hl=fr&amp;pg=PA339#v=onepage&amp;q&amp;f=false Essai historique sur l administration de M le marquis de Tourni conseiller d état intendant de Bordeaux] pour servir de mémoire à l histoire générale de Guienne Bruxelles 1782 in 8 26012 

 On trouve en liaison avec Bordeaux : l'Isle de St. Georges, la Tour Saint-George.
 [https://books.google.fr/books?id=ibHNAAAAMAAJ Revue historique de Bordeaux et du département de la Gironde, 1960]. ''Des travaux récents ont justement établi que l'édification des grandes forteresses du Pays de Galles avait été dirigée, au moins à partir de 1278, par un certain Maître Jacques de Saint-Georges, jusqu'alors au service des comtes de Savoie, …''


=== Lamotte, musicien du roi, ami de Saint-George ===

;Lamotte
{{Citation bloc|2 janvier 1790 — [[w:Cirque du Palais-Royal|Cirque du Palais royal]]— Concert depuis 6 heures jusqu'à huit Assaut d'armes dans lequel Lamotte, musicien du roi, tirera avec Gallet d'après les sollicitations|{{bibliographie|Q110002901}}&lt;ref&gt;{{Google Livres|langue= fr|id=YEx1f7wqDQkC|auteur=Édouard-Georges-Jacques Gregoir|titre= Bibliothèque musicale populaire|page= 57|surligne= Lamotte}}&lt;/ref&gt;,}}
;''Dans le même ouvrage''
{{Citation bloc|Dans les Etrennes de Polymnie Paris 1789 et le Receuil de romances historiques 1767 nous rencontrons les artistes suivants : ... Saint-Georges (chevalier)|{{bibliographie|Q110002901}}&lt;ref&gt;{{Google Livres|langue= fr|id=YEx1f7wqDQkC|auteur=Édouard-Georges-Jacques Gregoir|titre= Bibliothèque musicale populaire|page=RA6-PA80|surligne= Saint-Georges}}&lt;/ref&gt;,}}

{{Citation bloc|Concert du jour de la Conception — L'''Ode sur le [[w:Bataille d'Ouessant (1778)|combat d'Ouessant]]'' oratorio par Gilbert musique de Lemoine. Le public a applaudi. Symphonie de Sterkel. Air de Paisiello par Mlle Todi. Concerto de flûte de [[w:Ivan Mane Jarnowick|Jarnowick]] par Salantin. Son jeu a causé beaucoup de plaisir. Motet par Candeille bien chanté par Moreau, basse de l'Opéra. ''Concerto de violon de Lamotte'' par Mlle Deschamp. On a admiré le talent de cette artiste distinguée, élève de Capron. Air de Gluck par Mme Saint Huberti. Concerto de violoncelle par Duport. Air redemandé de Piccini ch''(anté)'' par Mlle Todi.|{{bibliographie|Q110002901}}&lt;ref&gt;{{Google Livres|langue= fr|id=YEx1f7wqDQkC|auteur=Édouard-Georges-Jacques Gregoir|titre= Bibliothèque musicale populaire|page=RA4PA49|surligne= Saint-Georges}}&lt;/ref&gt;,}}
* {{Citation bloc|1790 - Lamothe, célèbre cor de chasse inséparable du Chevalier de Saint-Georges, fils naturel d'un riche financier apparenté à la vicontesse de Laval (Blanc, 2002)|Patrick Cardon.- Les enfans de Sodome à l'Assemblée nationale (1790)&lt;ref&gt;Patrick Cardon.- [https://books.google.fr/books?id=bWvrRdG_EOwC&amp;lpg=PA62&amp;dq=Lamothe%20%2B%20cor%20de%20chasse&amp;hl=fr&amp;pg=PA62#v=onepage&amp;q&amp;f=false Les enfans de Sodome à l'Assemblée nationale (1790)].&lt;/ref&gt;}}
* {{Citation bloc|1796 - Saint-Georges et Lamothe étaient Oreste et Pylade ; on ne les voyait jamais l'un sans l'autre. Lamothe, célèbre cor de chasse de cette époque, eût aussi été le premier tireur d'armes, disait-on, s'il n'y avait pas eu un Saint-Georges. [..] Plus tard il partit avec Lamothe pour Saint-Domingue qui était en pleine révolution. On fit courir le bruit qu'ils avaient été pendus dans une émeute ; mais ce bruit était heureusement faux, et les deux amis revinrent sains et saufs en France. Nous ajouterons que Saint-Georges y mourut en 1801, suivant les uns, en 1799, suivant les autres, dans un état voisin de l'indigence. Quant à Lamothe, il fut attaché à la maison du [[w:Charles-Ferdinand d'Artois|duc de Berry]]&lt;ref&gt;Charles-Ferdinand d’Artois, duc de Berry, né à Versailles le 24 janvier 1778 et mort assassiné à Paris le 13 février 1820, prince de la maison de Bourbon, fils de Charles-Philippe de France, comte d’Artois, futur Charles X, et de Marie-Thérèse de Savoie.&lt;/ref&gt;. Après l'horrible catastrophe de ce prince, il alla à [[w:Munich|Munich]]&lt;ref&gt;Capitale du Land de Bavière en Allemagne&lt;/ref&gt; où il vivait encore en 1823.|Gazette musicale de Paris, Volume 8&lt;ref&gt;Gazette musicale de Paris, [https://books.google.fr/books?id=eusqAAAAYAAJ&amp;dq=Chevalier%20de%20Saint-George%20%2B%20imitation%20%2B%20musique&amp;hl=fr&amp;pg=PA363#v=onepage&amp;q&amp;f=false Volume 8]&lt;/ref&gt;}}

=== Saint-George &amp; Lamothe à Amiens ===
* [http://www.openstreetmap.org/#map=12/49.8986/2.2417 Ville d'Amiens], Somme, Nord-Pas-de-Calais and Picardy, Metropolitan France, 80000, France
* [https://www.google.com/search?tbm=bks&amp;q=Saint-George+%2B+Amiens Saint-George + Amiens], recherche Google livre

{{Citation bloc|Page 302 : ''I [then] returned to Amiens where Saint-Georges and Lamothe were waiting for me to give some concerts I had arranged for us during holy week''.&lt;br /&gt;— {{bibliographie|Q23015805}}&lt;ref&gt;The Chevalier de Saint-Georges : Virtuoso of the Sword and the Bow {{bibliographie|Q23015805}}, 2006, Exemplaire personnel {{ISBN|978-1-57647-109-8}} ; [https://books.google.com/books?isbn=1576471098 Google livre]&lt;/ref&gt;&lt;br /&gt;
''Je revins à Amiens, où Saint-Georges et Lamothe m’attendaient pour organiser leurs concerts''.&lt;br /&gt;— {{bibliographie|Q19233231}}&lt;ref&gt;[[d:Q3263742|Louise Fusil]], (1771-1848), actrice de théâtre, née [[s:Page:Fusil - Souvenirs d’une actrice.djvu/18|Louise Fleury]], amie de Saint-George &amp; auteur d'une autobiographie ''Souvenirs d’une actrice''. Cf. [[s:Souvenirs d’une actrice/10|1841, Chapitre 10]].&lt;/ref&gt;.&lt;br /&gt;
''Elle se hâta de retourner en France, ne s'arrêtant qu'à Amiens où elle trouva le fameux chevalier de Saint-Georges et Lamothe, qui l'engagèrent pour quelques concerts de la Semaine Sainte''.|Gazette musicale de Paris, Volume 8, 1841&lt;ref&gt;Gazette musicale de Paris, Volume 8, 1841, [https://books.google.fr/books?id=eusqAAAAYAAJ&amp;dq=Saint-Huberty%20%2B%20Saint-George%20%2B%20Amiens&amp;hl=fr&amp;pg=PA363#v=onepage&amp;q=Saint-Huberty%20+%20Saint-George%20+%20Amiens&amp;f=false page 363].&lt;/ref&gt;}}

== 1791 ==
* Saint-George se présenta, en juin 1791, à Tournai, sous le prétexte d'y donner des concerts d'amateurs, mais en effet avec la mission d'attacher, s'il était possible, quelques émigrés au parti d'Orléans.

== [[w:1792|1792]] ==
[[Fichier:French-Liberty-British-Slavery-Gillray.jpeg|100px|gauche|vignette|James Gillray (1756–1815).- Un sans culotte en 1792]]

{{Citation bloc|Voilà en substance ce que c'est que le ''Dîner imprévu'' de M. Desfontaines. C'est la même chose à peu près que ''la Chasse'', opéra du même auteur donné au théatre italien en 1778. Le premier acte est charmant il présente les plus jolis tableaux &amp; des ſituations intéressantes &amp; ſimples|L'Esprit des journaux françois et étrangers, Numéro 7, p. 340, 1792&lt;ref&gt;[https://books.google.fr/books?id=_TgTAAAAYAAJ&amp;dq=Mathurin%20dessus%20l'herbette&amp;hl=fr&amp;pg=PA339#v=onepage&amp;q&amp;f=false L'Esprit des journaux françois et étrangers], Numéro 7, p. 340, 1792.&lt;/ref&gt;.}}

{{Citation bloc|Nous citerons les couplets de la jeune Rosette qui raconte à son père ce que font Colette &amp; Mathurin lorsqu ils sont seuls&lt;br /&gt;
&lt;poem&gt;Si Mathurin dessus l'herbette
Cueille la rose du matin
Il vient l'appotter à Colette
Puis il la place sur son sein
Moi qui ne suis que la cadette
Je ne sais si c'est de l'amour
Mais je voudrois dessus l'herbette
Recevoir la rose à mon tour
À l'ombrage de la coudrette

Si Colette va sommeiller
Par un baiser pris en cachette
Mathurin court la réveiller
Moi qui ne suis que la cadette
Je ne sais si c'est de l amour
Mais je voudrois sous la coudrettes
Être réveillée à mon tour

Quand Mathurin parle à Colette
Si vous venez pour nous chercher
Ma sœur qui sans cesse vous guette
Vous attrape &amp; le fait cacher
Moi qui ne suis que la cadette
Je ne sais si c'est de l amour
Mais je voudrois être Colette
Et vous attraper à mon tour
&lt;/poem&gt;
Journal des théatres Journal de Paris, Affiches annonces &amp; avis divers|L'Esprit des journaux françois et étrangers, Numéro 7, p. 340, 1792&lt;ref&gt;[https://books.google.fr/books?id=_TgTAAAAYAAJ&amp;pg=PA340&amp;dq=Mathurin+dessus+l%27herbette&amp;hl=fr&amp;sa=X&amp;ved=0ahUKEwiKp9KtjqbZAhUFtRQKHWYSBDAQ6AEIJjAA#v=onepage&amp;q&amp;f=false L'Esprit des journaux françois et étrangers], Numéro 7, p. 340, 1792.&lt;/ref&gt;.}}

== Texte à modifier  ==

&lt;span style=&quot;font-size:20px;&quot;&gt;'''Texte à modifier'''&lt;/span&gt;

=== Gendarmes de la garde du Roi  ===

En 1761, il fut admis dans les [[w:Gendarme de la garde|gendarmes de la garde du Roi]]{{Référence nécessaire}}&lt;ref&gt;Selon Pierre Bardin, Joseph de Saint-George, écuyer, demeurant rue Saint-André des Arts, est inscrit sur les registres des gendarmes de la garde du Roi au {{1er}} juillet 1764 et non en 1761 comme d’autres biographes l’ont mentionné. {{ouvrage|année=2006|prénom1=Pierre|nom1=Bardin|titre=[http://books.google.fr/books?id=IjHiGAAACAAJ&amp;dq=Pierre+Bardin Joseph, sieur de Saint-George : Le Chevalier noir] : {{s-|XVIII|e}} : 1739-11799|lieu=Paris|éditeur=Guénégaud}}.Notice Bnf n° [http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb40973268c/PUBLIC FRBNF40973268], {{p.|58-60}}&lt;/ref&gt;. Quand [[w:François-Joseph Gossec|Gossec]] lui dédie ses trios en 1766, ''Monsieur de Saint-George'' est [[w:écuyer (gentilhomme)|écuyer]] et [[w:gendarmerie|gendarme]] du roi&lt;ref&gt;
{{ouvrage|année=2000| prénom1=Claude|nom1=Role| titre=[http://books.google.fr/books?id=Wzv7tfMqQx4C&amp;lpg=PA69&amp;dq=%22Monsieur%20de%20Saint-George%22&amp;pg=PA69#v=onepage&amp;q=%22Monsieur%20de%20Saint-George%22&amp;f=false François-Joseph Gossec (1734-1829): un musicien à Paris de l'Ancien Régime à Charles X] : {{sp-|XVIII|e|-|XIX|e}} : 1734-1829| lieu=Paris|éditeur=Éditions L'Harmattan}}. {{BNF|37204351c}}&lt;/ref&gt;. « Il devint ensuite écuyer de {{Mme}} de Montesson, l'épouse secrète de l'avant-dernier duc d'Orléans, puis capitaine des gardes du duc de Chartres », nous dit [[w:Louis-Gabriel Michaud|Louis-Gabriel Michaud]]&lt;ref name=&quot;michaud1825SG&quot;&gt;{{ouvrage|année=1825|prénom1=Joseph Fr.|nom1=Michaud|prénom2=Louis Gabriel|nom2=Michaud|titre=[http://books.google.fr/books?id=VbIFAAAAQAAJ&amp;dq=Biographie%20universelle%2C%20ancienne%20et%20moderne%20Saint-George&amp;pg=PA581#v=onepage&amp;q&amp;f=false Biographie universelle, ancienne et moderne], ou Histoire, par ordre alphabétique, de la vie publique et privée de tous les hommes qui se sont fait remarquer par leurs écrits, leurs actions, leurs talents, leurs vertus ou leurs crimes. Ouvrage entièrement neuf, vol. 39 : {{sp-|XVIII|e|-|XIX|e}} : 1745-1825|lieu=Paris|éditeur=chez Michaud frères}}. {{BNF|37519607n}}. Voir l'[[:s:Biographie universelle ancienne et moderne|édition de 1845]]&lt;/ref&gt;.

La question reste en suspens de savoir si Saint-George a participé à la [[w:Guerre d'indépendance des États-Unis|guerre d'indépendance des États-Unis d'Amérique]]. Celle-ci a débuté juste au moment où Saint-George perd son régiment.

=== Contrôleur ordinaire des guerres  ===

Le 10 mai 1763 Georges de Bologne achète pour son fils une charge de [[Conseiller du roi]] et contrôleur ordinaire des guerres, une [[sinécure]] de l'administration de l'armée&lt;ref&gt; [http://books.google.fr/books?id=_5rC7WEjkwsC&amp;printsec=frontcover#v=onepage&amp;q&amp;f=false Hiérarchies sociales et ennoblissement : les commissaires des guerres de la maison du roi, 1691-1790]&lt;/ref&gt;, qui lui donne droit au titre d’écuyer sans la noblesse&lt;ref&gt;[https://books.google.fr/books?id=XZhAAAAAcAAJ&amp;pg=PA291&amp;lpg=PA291&amp;dq=%22contrôleurs+des+guerres%22+anoblissant&amp;source=bl&amp;ots=MMP2elW623&amp;sig=G_G2EIA3DmHKCCJUvNXo71nUvbs&amp;hl=fr&amp;sa=X&amp;ved=0ahUKEwjA6YDorp_MAhXL6RQKHakWDakQ6AEIODAJ#v=onepage&amp;q=%22contrôleurs%20des%20guerres%22%20anoblissant&amp;f=false Borel d'Hauterive, ''Annuaire de la pairie et de la noblesse de France'', 1845, {{p.|291}}.]&lt;/ref&gt; et le 8 juin en la Grande Chancellerie de France, les magistrats donnent officiellement leur agrément à cette vente. Une dispense lui a été octroyée. On peut présumer que Georges de Bologne a fait jouer à plein l’article 59 du Code Noir selon lequel « les affranchis ont les mêmes droits, privilèges et immunités dont jouissent les [[Gens de couleur libres|personnes nées libres]] ». Joseph de Saint-George conservera cette charge pendant onze années.

=== La décennie 1789 - 1799  ===
[[Fichier:The Duke of Orléans in 1785 by Joshua Reynolds (British Royal Collection).jpg|vignette|alt=tableau : Philippe d'Orléans|Philippe d'Orléans par Sir [[Joshua Reynolds]].]]
[[Fichier:Manuscrit déclaration des droits de l'homme et du citoyen.jpg|vignette|right|[[Déclaration des droits de l'homme et du citoyen de 1789|Déclaration des droits de l'homme et du citoyen]]. Assemblée nationale, 20, 21, 25 et 26 août 1789, sanctionné par [[Louis XVI]]&lt;ref&gt;Manuscrit. Estampe, Saint-Omer scripsit ; James sculpsit, {{Gallica|http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb40251840j}}&lt;/ref&gt;.]]
[[Fichier:Organisation de la légion franche des Américains, 6 décembre 1792.jpg|vignette|upright=0.8|Décret d'Organisation de la légion franche des Américains, 6 décembre 1792, an {{1er}} de la République Française&lt;ref&gt;{{ouvrage|année=1792|prénom1=France. Assemblée nationale|nom1=Souverain (1774-1792 : Louis XVI)|titre=[http://books.google.fr/books?id=WbwsAAAAYAAJ&amp;printsec=frontcover&amp;hl=fr Collection générale des loix, proclamations, instructions, et autres actes du pouvoir exécutif : ] publiés pendant l'Assemblée nationale constituante &amp; législative, depuis la convocation des États-généraux jusqu'au 31 décembre 1791-[1794] ; avec tables chronologiques &amp; de matières, vol. 12 : {{s|XVIII|e}} : 1789-1794|lieu=Paris|éditeur=De l'Imprimerie royale}}. {{BNF|359510288}}&lt;/ref&gt;.]]
[[Fichier:Lettre de Saint-George. Archives des maîtres-d'armes de Paris. 1888.jpg|upright=0.8|vignette|Saint-George accepte le commandement des hussards du midy&lt;ref&gt;Lettre aux présidents de section, signée &quot;[http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k743602.image.hl.r=Le+Chevalier+de+Saint-George.f187.langFR Saint-George]&quot;. Imprimé.&lt;/ref&gt;]]
[[Fichier:Fondation de la République-IMG 2356.JPG|vignette|upright=0.8|right|[[Journée du 10 août 1792]]. Fondation de la République. Anonyme, 1792-1793.]]

Au début de la Révolution française, Saint-George séjourne en Angleterre. Revenu en France, il revient peu à peu aux fonctions militaires des débuts de sa vie active. D'abord enrôlé dans la [[Garde nationale (France)|Garde nationale (Révolution française)]] de Lille puis à la tête d'une légion qu'il a suscité, il va consacrer les dix dernières années de sa vie à la Révolution française et mettre en œuvre toutes les compétences qu'il a forgé précédemment.

==== Garde nationale à Lille  ====

Installé à [[Lille]], Saint-George s’enrôle dans la [[Garde nationale (France)|Garde nationale]] avec le grade de [[Capitaine (France)|capitaine]]. Il est alors au service du duc d'Orléans qui l'envoie à [[Tournay]] aux environs du 13 juin 1791. Les émigrés l'obligent à quitter la ville&lt;ref&gt;Saint-George. An 1791. Est obligé, par les émigrés, de quitter la ville de Tournai, 173.'' {{ouvrage|année=1802|prénom1=Girardin|nom1=(''Libraire'')|titre=[http://books.google.fr/books?lpg=RA1-PA465&amp;dq=Saint-Georges+Tournay+Moniteur+universel&amp;pg=RA1-PA465&amp;id=WtUTAAAAYAAJ&amp;ots=d-VVS0wzpQ Révolution française, ou Analyse complette et impartiale du Moniteur] : suivie d'une table alphabétique des personnes et des choses, Tome second, L — Z : {{s-|XVIII|e}} : 1787-1799|lieu=Paris|éditeur=Publié par Girardin}}. Notice Bnf n° [http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb305105255/PUBLIC FRBNF30510525]&lt;/ref&gt;.
{{Citation bloc|Engagé dans quelques intrigues politiques au commencement de la révolution, par ses relations avec le Palais-Royal, Saint-George fut envoyé à [[Tournay|Tournai]], au mois de juin 1791, par le duc d'Orléans, sous prétexte d'y donner un concert, mais en réalité pour essayer de rattacher quelques émigrés aux intérêts du prince. Il ne réussit pas dans cette mission, et reçut même l'ordre de quitter la ville.|François-Joseph Fétis&lt;ref name=&quot;Fétis1877SG&quot;&gt;{{ouvrage|année=1864|prénom1=François-Joseph|nom1=Fétis|titre=[http://books.google.fr/books?id=LM09AAAAcAAJ&amp;dq=Saint-George&amp;lr&amp;pg=PA12#v=onepage&amp;q&amp;f=false Biographie universelle des musiciens et bibliographie générale de la musique], vol. 7 : {{sp-|XVIII|e|-|XIX|e}} : 1745-1864|lieu=Paris|éditeur=Firmin-Didot et C°}}. {{BNF|30432158r}}. {{Gallica|http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k697249.image.r=Saint-George.f373.langFR}}&lt;/ref&gt;.}}

==== 1792-1793 : Légion franche des Américains  ====

La [[monarchie]] étant abolie le 21 septembre 1792&lt;ref&gt;[[s:Procès-verbal de la proclamation de l’abolition de la royauté (dans Histoire parlementaire de la Révolution française)|La Convention nationale décrète que la royauté est abolie en France]].&lt;/ref&gt;.
[[Louis Mortimer Ternaux]], affirmant l'état civil de Saint-George, nous présente la création de la [[13e régiment de chasseurs à cheval|Légion franche des Américains]] comme l'opération d'un Saint-George investisseur capitaliste, capable de mobiliser des subventions d'État pour une cause militaire. 
{{Citation bloc|Saint-georges, né à la [[Guadeloupe]] le 25 décembre 1745, avait organisé à ses frais, mais avec subvention du gouvernement, en vertu de la loi du 7 septembre 1792&lt;ref&gt;&quot;A la date du 15 septembre 1792, nous trouvons la création « d'une légion franche de cavalerie des Américains et du Midi, en vertu de la loi du 7 septembre 1792, dans {{Lien web|url=http://books.google.fr/books?id=SCMSAAAAIAAJ&amp;q=7+septembre+1792+Saint-Georges&amp;dq=7+septembre+1792+Saint-Georges&amp;lr=&amp;cd=9|titre=Saint-Georges et la &quot;légion noire&quot;, Revue du Nord, Volumes 32-33|auteur=Alexandre Saint-Léger, université de Lille. Faculté des lettres et des sciences humaines, université de Lille|année=1950|éditeur=université de Lille|site=|Consulté le= 20 mai 2010}}. Au lendemain des [[massacres de Septembre]], l'an {{1er}} de la République.&lt;/ref&gt;, la [[13e régiment de chasseurs à cheval|Légion franche des Américains du Midi]], qui devint bientôt le [[13e régiment de chasseurs à cheval|13e chasseurs]]. Il s'en fit naturellement nommer colonel.|[[Louis Mortimer Ternaux]]&lt;ref name=&quot;Ternaux&quot;&gt;{{ouvrage|année=1867|prénom1=Louis Mortimer|nom1=Ternaux|titre=[http://books.google.fr/books?id=OGgPAAAAYAAJ&amp;dq=Beurnonville%20Saint-George&amp;pg=PA573#v=onepage&amp;q&amp;f=false Histoire de la terreur, 1792-1794], d'après des documents authentiques et inédits, vol. 6 : 1792-1794|lieu=Paris|éditeur=Michel Lévy frères}}. {{BNF|37309503f}}.&lt;/ref&gt;.}}
Saint-George imite-t-il alors l'entreprise de la [[guerre d'indépendance des États-Unis]] ? Utilise-t-il le modèle des milices formées de gens de couleur usuel dans les colonies ? La formation et le commandement de cette légion est-elle le pendant de sa candidature à la direction de l'Opéra — et qui va tourner tout aussi mal ? Plusieurs légions se sont formées dans la même période et Saint-George semble bénéficier de l'aide de [[Julien Raimond]] en sus des subventions du gouvernement.

Après la [[Journée du 10 août 1792|Révolution du 10 août 1792]] et le renversement de la [[monarchie]] constitutionnelle, [[Julien Raimond]] vint à l'assemblée avec une députation de citoyens de couleur le 7 septembre 1792&lt;ref&gt;{{ouvrage|année=2000|prénom1=Laënnec|nom1=Hurbon|titre=[http://books.google.fr/books?id=-Qurbdl0IvEC&amp;lpg=PA24&amp;dq=Julien%20Raimond&amp;pg=PA24#v=onepage&amp;q&amp;f=false L'insurrection des esclaves de Saint-Domingue: 22-23 août 1791] : {{sp-|XVIII|e|-|XXI|e}} : 1791-2000|lieu=Paris|éditeur=Karthala}}. {{BNF|371860985}}.&lt;/ref&gt;. La députation demandait l'abolition de l'esclavage mais aussi la formation d'une [[légion]] de [[gens de couleur|soldats de couleur]] pour défendre la révolution&lt;ref&gt;{{ouvrage|année=1995|prénom1=Marcel|nom1=Dorigny|prénom2=Association pour l'étude|nom2=de la colonisation européenne|titre=[http://books.google.fr/books?id=jm24AAAAIAAJ&amp;q=Julien+Raimond+Légion+des+Américains&amp;dq=Julien+Raimond+Légion+des+Américains&amp;hl=fr&amp;ei=AHt-TOGOFpDHswb916SWCQ&amp;sa=X&amp;oi=book_result&amp;ct=result&amp;resnum=6&amp;ved=0CEoQ6AEwBQ Les abolitions de l'esclavage: de L.F. Sonthonax à V. Schœlcher, 1793, 1794, 1848]. Actes du colloque international tenu à l'Université de Paris VIII les 3, 4 et 5 février 1994 : {{sp-|XVII|e|-|XX|e}} : 1650-1995|lieu=Paris|éditeur=Presses universitaires de Vincennes et Editions UNESCO}}. {{BNF|357888420}}.&lt;/ref&gt;.
Par décret de la Convention Nationale en date du 6 décembre 1792, an {{1er}} de la République Française&lt;ref&gt;6 décembre 1792 : Publication du décret relatif à l'organisation de la [[13e régiment de chasseurs à cheval|légion franche des Américains]] (L. XII, 322.— B. XXVI.21). {{ouvrage|année=1824|prénom1=France|nom1=Conseil d'État|titre=[http://books.google.fr/books?id=PUEUAAAAYAAJ&amp;pg=PT174Tables générales des lois, arrêtés, décrets], ordonnances du roi, arrêts et avis du conseil d'état et réglemens d'administration publiés depuis 1789, vol. 1 : {{s-|XVIII|e|-|XIX|e}} : 1789-1824|lieu=Paris|éditeur=Ménard et Desenne fils}}.&lt;br /&gt;{{ouvrage|année=1834|prénom1=Jean-Baptiste|nom1=Duvergier|titre=[http://books.google.fr/books?id=XkIUAAAAYAAJ&amp;pg=RA4-PA6 Collection complète des lois, décrets, ordonnances, règlemens avis du Conseil d'état], ordonnances du roi, arrêts et avis du conseil d'état et réglemens d'administration publiés depuis 1789, vol. 1 : {{s-|XVIII|e|-|XIX|e}} : 1788-1824|lieu=Paris|éditeur=A. Guyot et Scribe}}. Notice Bnf n° [http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb30391495m/PUBLIC FRBNF30391495]&lt;/ref&gt;, est organisée la [[13e régiment de chasseurs à cheval|Légion franche des Américains]]. Saint-George devient [[colonel]] de cette légion quelquefois dite ''Légion Franche des Américains et du Midi'' qui est devenue de nos jours le [[13e régiment de chasseurs à cheval|{{13e}} régiment de chasseurs à cheval]]&lt;ref&gt;[[Légion#Un corps d'armée|Légion du Midi ou des Américains]]&lt;br /&gt;« De retour à Paris, il organisa un corps de chasseurs à cheval, dont il fut le colonel, et qu'il conduisit à l'armée du Nord. Il s'y distingua par sa bravoure. » Dans {{ouvrage|année=1877|prénom1=François-Joseph|nom1=Fétis|titre=[http://books.google.fr/books?id=LM09AAAAcAAJ&amp;dq=Saint-George&amp;lr&amp;pg=PA12#v=onepage&amp;q&amp;f=false Biographie universelle des musiciens et bibliographie générale de la musique], vol. 8 : {{sp-|XIX|e|-|XIX|e}} : 1835-1877|lieu=Paris|éditeur=Firmin-Didot et C°}}. {{BNF|38779780q}}.&lt;br /&gt; Le titre exact de cette légion est {{ouvrage|année=1792|prénom1=Pierre-Henri-Marie|nom1=Lebrun Tondu|prénom2=DominiqueJoseph|nom2=Garat|prénom3=Convention|nom3=nationale|prénom4=''Légion franche''|nom4=''des Américains'' :|titre=[http://books.google.fr/books?id=YuslGwAACAAJ&amp;dq=légion+des+Américains Décret de la Convention nationale, du 6 décembre 1792, l’an premier de la République françoise : Organisation de la legion franche des Américains]. « Signé Lebrun. Contresigné Garat. » : {{s-|XVIII|e}} : 1792|lieu=France, Imprimerie nationale du Louvre|éditeur=Publié par l’Imprimerie nationale exécutive du Louvre}} ;[http://books.google.fr/books?id=7UMUAAAAYAAJ&amp;pg=PA140&amp;dq=légion+franche+des+Américains#v=onepage&amp;q=légion%20franche%20des%20Américains&amp;f=false (2)].&lt;/ref&gt; . Moins pour ses qualités d’escrimeur que parce qu’il a fait une carrière militaire, acquis des compétences de gestionnaire et surtout par patriotisme. L'[[Africain]] Louis Ferrand, né à [[Île de Gorée|Gorée]] est à leurs côté ainsi que [[Georges Milscent]], né à [[Saint-Domingue (colonie française)|Saint-Domingue]]&lt;ref name=&quot;Bardin2006&quot;&gt;{{ouvrage|année=2006|prénom1=Pierre|nom1=Bardin|titre=[http://books.google.fr/books?id=3j4jAQAAIAAJ Joseph, sieur de Saint-George: le chevalier noir] : {{sp-|XVIII|e|-|XXI|e}} :1739-2006|lieu=Paris|éditeur=Guenegaud,}}. {{Bnf|40973268c}}.&lt;/ref&gt;. L’un des officiers sous ses ordres se nomme [[Thomas Alexandre Dumas|Alexandre Dumas]], futur [[général]] de la [[Révolution française|Révolution]]&lt;ref&gt;{{ouvrage|année=1997|prénom1=John G.|nom1=Gallaher|titre=[http://books.google.fr/books?id=zZ-ALXkowCEC&amp;lpg=PA24 General Alexandre Dumas :] soldier of the French Revolution : {{sp-|XVIII|e|-|XX|e}} : 1762-1997|lieu=Carbondale, Illinois, Usa|éditeur=Southern Illinois University (SIU Press)}}. {{BNF|388119959}}&lt;/ref&gt; et père de l’auteur des [[Les Trois Mousquetaires|Trois Mousquetaires]].
{{Citation bloc|C'était le moment des enrôlements volontaires, et la France présentait au monde un spectacle qui pouvait passer pour un exemple. […] La France sentit la main de la Mort qui s'étendait sur elle, et, par une puissante et terrible contraction, déjà les pieds dans son linceul, elle s'élança hors de son tombeau. […] Jamais nation n'avait été si près de sa perte que l'était la France de 1792, […] Saint-Georges avait été nommé colonel de la [[13e régiment de chasseurs à cheval|légion franche de cavalerie des Américains du Midi]].|[[Alexandre Dumas]]&lt;ref&gt;[http://www.dumaspere.com/pages/bibliotheque/chapitre.php?lid=m3&amp;cid=3&amp;highlight=Saint-Georges&amp;pos=2214#res Alexandre Dumas, fils.]&lt;/ref&gt;.}}

La Légion est formée à [[Laon]] avant de rejoindre [[Lille]] — où le colonel Saint-George est bien connu de la bourgeoisie&lt;ref&gt;{{ouvrage|année=1851|prénom1= Pierre|nom1=Legrand|titre=[http://books.google.fr/books?id=GYr8YEQ1cEAC&amp;pg=PA5 Le Bourgeois de Lille: esquisses locales] : {{sp-|XVIII|e|-|XIX|e}} : 1745-1851|lieu=Paris|éditeur=Beghin}}. {{BNF|}}&lt;/ref&gt; et l’[[Armée du Nord (Révolution française)|armée du Nord]] sous la nouvelle désignation de [[13e régiment de chasseurs à cheval|{{13e}} régiment de chasseurs à cheval]]. La légion est envoyée au feu contre les [[Autriche|Autrichiens]].
{{Citation bloc|Lasource : Je demande la permission de déroger à la règle que s'est prescrite la Convention, de ne pas entendre de lettres particulières : celle que je présente n'a que trois lignes.

Je vous annonce, mon cher concitoyen, que je reçois à l'instant la nouvelle que nos troupes ont repris [[Saint-Amand]] et le camp de Moulde, et que ce camp va être rétabli. Votre ami et concitoyen, Saint-George. ([[Convention nationale]], 20 septembre 1792&lt;ref&gt;{{ouvrage|année=1840|prénom1=A.|nom1=Ray|titre=[http://books.google.fr/books?id=z5IFAAAAQAAJ&amp;pg=PA74#v=onepage&amp;q&amp;f=false Réimpression de l'ancien Moniteur : depuis la réunion des États-généraux jusqu'au Consulat (mai 1789 - novembre 1799)] vol. 14 : {{sp-|XVIII|e|-|XIX|e}} : 1650-1840|lieu=Paris|éditeur=Au Bureau central}}.&lt;/ref&gt;.
Elle sera à [[Révolution liégeoise|Liège]] le 11 novembre 1792&lt;ref name=&quot;Bardin2006&quot;/&gt; et sera sous le commandement de [[Charles-François Dumouriez|Dumouriez]] au moment du contrôle des commissaires de la [[Convention nationale|Convention]]. Après l'affaire [[Charles-François Dumouriez|Dumouriez]], en avril 1793, alors que [[Julien Raimond]] et la [[Société des citoyens de couleur]] demandent un décret abolissant l'[[esclavage]] et que le mouvement révolutionnaire s'accélère à [[Saint-Domingue (colonie française)|Saint-Domingue]], la légion des Américains reçoit l’ordre de se dissoudre&lt;ref&gt;{{Citation bloc|Lille, le 6 brumaire. — Le thermomètre de l'esprit public est ici au plus haut degré d'élévation. Il ne manquait à cette ville qu'une armée révolutionnaire, qui vient d'être organisée par les soins des patriotes. Il y a d'autant plus à compter sur son zèle et la fermeté de ses principes, que les officiers qui la commandent, sont de vrais [[Jacobinisme|Jacobins]].&lt;br /&gt;Le corps dit de Saint-Georges, 18{{e}} des chasseurs, était le seul dont la composition pût ne pas inspirer toute confiance. Il n'a pas échappé à la surveillance du ministre de la guerre, qui vient de lui donner pour chef un vrai sans-culotte.}}&lt;br /&gt;''Gazette nationale'' ou ''Le Moniteur universel'' {{numéro|52}}. Duodi, {{3e}} décade de Brumaire, l'an 2. (mardi 12 novembre 1793, ''vieux style''.) {{ouvrage|année=1860|prénom1=Léonard-Charles-André-Gustave|nom1=Gallois|titre=[http://books.google.fr/books?id=MQY7AAAAcAAJ&amp;pg=PA393 Réimpression de l'ancien Moniteur], seule histoire authentique et inaltérée de la Révolution française, depuis la réunion des États-Généraux jusqu'au Consulat: (mai 1789 - novembre 1799) : {{s-|XVIII|e}} : 1789-1799|lieu=Paris|éditeur=Plon}}. {{BNF|304776465}}&lt;/ref&gt;.}}
{{Citation bloc|SERRE, jeudi 16 mai 1793, au nom du comité de la guerre — Citoyens, vers les premiers jours de septembre dernier, 1792, il fut créé une légion dite [[Légion|légion des Américains]] ; la première compagnie de ce corps fut réellement composée d’hommes de couleur. Cette compagnie intéressante pour tous les vrais amis de l’humanité et de l’égalité, a fait la guerre dans la Belgique avec un courage et une discipline au-dessus de tout éloge ; elle a reçu l’ordre de s’embarquer pour les colonies ; elle, vous en demande la révocation, et se fonde sur ce que la plupart de ces citoyens ont encore leurs maîtres ou leurs agents dans les colonies. Ils craignent que leur dévouement au maintien de la liberté, à la défense de leur patrie adoptive, n’ait servi qu’à les replonger dans les fers. « Car, disent-ils, nous n’avons à opposer aux réclamations de nos ci-devant maîtres que la déclaration des droits de l’homme, et malheureusement dans les colonies la déclaration des droits de l’homme n’est point faite pour nous. Votre comité de la guerre vous propose le décret suivant : Sur le rapport de son comité de la guerre, la Convention nationale décrète : 
{{Citation bloc|Que le ministre de la guerre emploiera ailleurs que dans les colonies la première compagnie des chasseurs de la légion dite des Américains du Midi. En conséquence, l’ordre que le ministre a donné pour le transport de cette compagnie dans l’île de Saint-Domingue, demeure révoqué.}}|D’après [[Alexandre Ray]] &amp; [[Léonard-Charles-André-Gustave Gallois]]&lt;ref name=&quot;Serre&quot;&gt;Publié dans la Gazette Nationale ou Le Moniteur Universel, jeudi 16 mai 1793. {{ouvrage|année=1840|prénom1=Léonard-Charles-André-Gustave|nom1=Gallois|prénom2=Alexandre|nom2=Ray,|titre=[http://books.google.fr/books?id=DZsFAAAAQAAJ&amp;pg=PA400&amp;dq=SERRE,+au+nom+du+comité+de+la+guerre+:+Citoyens,+vers+les+premiers+jours+de+septembre#PPA400,M1 Réimpression de l’ancien Moniteur]. Seule histoire authentique et inaltérée de la révolution française depuis la réunion des États-généraux jusqu’au consulat (mai 1789-novembre 1799) : {{s-|XVIII|e}} : 1793|lieu=Paris|éditeur=Au Bureau Central, Quai Malaquais, 13}}. Notes explicatives et édition scientifique de [[Gustave Gallois]] ; Tables et édition scientifique de [[Alexandre Ray]]. [http://books.google.fr/books?id=DZsFAAAAQAAJ Tome seizième] du Lundi 1er avril 1793 au 30 juin 1793 (An 2 de la République Française). {{Bnf|311819153}}.&lt;/ref&gt;}}.

Vendredi 17 mai 1793, les soldats de la [[Légion des Américains]] publient une ''
{{Citation bloc|Adresse à la Convention, à tous les Clubs et sociétés patriotiques pour les nègres détenus en esclavage dans les colonies françaises}}''. Une note à la fin du fascicule précise la date de l'adresse et le nom des rédacteurs : &quot;Paris, le 17 mai 1793, l'an deuxième de la République Française. J. [[Labuissonniere]]. Narcisse, lieutenant des hussards américains. Hellot, ''idem''. [[Saint-George Milscent]]&lt;ref&gt;Né à Grande Rivière, Saint Domingue. Joseph Bologne de Saint-George est alors sous le coup d'une arrestation.&lt;/ref&gt;, maréchal-des-logis. [[Lapais]], ''idem''. [[Ferant]], adjudant [et al.] Approuvé par tous les braves républicains&quot;&lt;ref name=&quot;AdresseLégionAméricains1793&quot;&gt;{{ouvrage|année=17 mai 1793|prénom1=Soldats de la |nom1=Légion des Américains|titre=[url google Adresse à la Convention nationale, à tous les clubs et [[sociétés patriotiques]] pour les Nègres détenus en esclavage dans les colonies françaises de l'Amérique, sous le régime de la République], 15 pages : {{sp-|XVIII|e|-|XX|e}} : 1793-1968|lieu=Paris|éditeur=Imprimerie de [[Guillaume-François Galletti]]}}. {{BNF|}}, {{Gallica|Url}}. vol. 5 de [http://www.google.fr/search?tbs=bks:1&amp;tbo=p&amp;q=+bibliogroup:%22Traite+des+Noirs+et+esclavage%22&amp;source=gbs_metadata_r&amp;cad=3 Traite des Noirs et esclavage], EDHIS, 1968&lt;/ref&gt;. ''Ce texte est un véritable manifeste en faveur de l'abolition immédiate de l'esclavage dans les colonies'' et propose un projet de société&lt;ref&gt;{{ouvrage|année=2000|prénom1=Laënnec|nom1=Hurbon|titre=[http://books.google.fr/books?id=-Qurbdl0IvEC&amp;lpg=PA36&amp;dq=Julien%20Rémond%20Saint-Domingue&amp;pg=PA25#v=onepage&amp;q&amp;f=false L'insurrection des esclaves de Saint-Domingue : 22-23 août 1791]: {{sp-|XVIII|e|-|XXI|e}} : 1793-2000|lieu=Paris|éditeur=Khartala}}. {{Bnf|371860985}}&lt;/ref&gt;.

==== L'Affaire Dumouriez  ====

L'affaire [[Charles-François Dumouriez|Dumouriez]] est l'un des plus complexes épisodes de la Révolution française. Elle se déroule à partir d'avril 1793, sous la [[Terreur (Révolution française)|Terreur]], et oppose le général [[Charles-François Dumouriez|Dumouriez]] à la Convention alors que Saint-George commande la place de Lille. L'enjeu est l'établissement d'une monarchie constitutionnelle, après la décapitation du roi Louis XVI. Mais Dumouriez a des intérêts personnels à défendre : la diplomatie ennemie lui propose le gouvernement de la Belgique. En défendant la ville de Lille contre les troupes envoyées par Dumouriez, Saint-George provoque l'échec des plans du général de l'[[Armée du Nord (Révolution française)|armée du Nord]]&lt;ref&gt;« Il (Dumouriez) envoya ordre au général Miaczinsky, qui était à Orchies, de se présenter avec sa division devant Lille, d'y entrer, de faire arrêter les commissaires de la convention et les principaux clubistes, et, dès que cela serait fait, de se rendre à Douai, d'en chasser le général Moreton, d'y faire reconnaître, ainsi qu'à Lille, le vœu unanime de l'armée pour la constitution, et de se rendre ensuite par Cambray à Péronne, où il devait prendre poste. Ce malheureux officier général ne connut pas assez l'importance de sa mission, la confia à tout le monde, entre autres au fameux mulâtre Saint-George, colonel d'un régiment de hussards, qui le trahit, l'attira dans Lille avec une très-petite escorte : dès qu'il fut entré, on ferma la porte sur lui, on l'arrêta, et il fut conduit à Paris, où il a été décapité: Cet infortuné Polonais avait, en 1770, été un des chefs de la confédération de Pologne, à l'époque où Dumouriez était chargé, par la cour de France, de la diriger. Il avait été pris par les Russes dans un combat ; il était ensuite venu réclamer des indemnités en France ; et le général n'ayant pas pu réussir à les lui faire obtenir, lui avait fait avoir le grade de maréchal de camp, la permission de lever un corps franc, et l'avait employé très-utilement à l'armée. »&lt;br /&gt;{{ouvrage|année=1823|prénom1=Charles François|nom1=Du Périer Dumouriez|prénom2=Saint-Albin|nom2=Berville|prénom3=François|nom3=Barrière|titre=[http://books.google.fr/books?id=tb4WAAAAQAAJ&amp;pg=PA139&amp;dq=fameux+mulâtre+Saint-George,+colone La vie et les mémoires du général Dumouriez], Charles François Du Périer Dumouriez. vol. 4 of La vie et les mémoires du général Dumouriez: avec des notes et des éclaircissements historiques : {{s-|XVIII|e|-|XIX|e}} : 1739-1823|lieu=Paris|éditeur=Baudouin Frères, Collection des mémoires relatifs à la révolution française}}. Notice Bnf n° [http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb36283087t/PUBLIC FRBNF36283087].&lt;br /&gt;Voir l'affaire Dumouriez dans l’ancien Moniteur {{ouvrage|année=1860|prénom1=Léonard-Charles-André-Gustave|nom1=Gallois, notes explicatives et édition scientifique|prénom2=Alexandre|nom2=Ray,tables et édition scientifique|titre=Réimpression de l’ancien Moniteur : seule histoire authentique et inaltérée de la révolution française depuis la réunion des États-généraux jusqu’au consulat (mai 1789-novembre 1799). Tome ? du lundi 1{{er}} avril 1793 au 30 juin 1793 (An 2 de la République française) : {{s-|XVIII|e}} : 1793|lieu=Paris|éditeur=Publié par H. Plon}}.&lt;br /&gt;« Dumouriez vit alors qu'il n'avait plus de temps à perdre ; il fit partir à l'instant le général Miacsinski, avec sa division, pour aller prendre possession de Lille. Il espérait que le colonel Saint-George, qui commandait un régiment de la garnison, lui livrerait la place. Mais les représentants du peuple y étaient : le général fut arrêté, et la division qu'il commandait enlevée et dispersée. » {{ouvrage|année=1842|prénom1=Philippe|nom1=Le Bas|titre=[http://books.google.fr/books?pg=PA793&amp;dq=Chevalier+de+Saint-George+duel&amp;lr=&amp;id=kxEsAAAAIAAJ#v=onepage&amp;q=Chevalier%20de%20Saint-George%20duel&amp;f=false L'Univers: histoire et description de tous les peuples], ''Dictionnaire encyclopédique de la France'', tome sixième : {{s-|XIX|e}} : 1836-1863|lieu=Paris|éditeur=F. Didot frères}}. Notice Bnf n° [http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb30758677s/PUBLIC FRBNF30758677]&lt;/ref&gt;. Cette période est, avec toute la rigueur militaire de l'époque, la mieux renseignée de la vie de Saint-George. De très nombreux récits existent qui retracent les « événements de Lille » et leurs conséquences.

Avec l'affaire [[Charles-François Dumouriez|Dumouriez]], suspecté de sympathies [[royalisme|royalistes]], Saint-George est arrêté, le 4 novembre 1793, à [[Château-Thierry]] et, malgré le soutien de la municipalité, jugé. Il est incarcéré d’abord à [[Chantilly]], puis au château d’[[Hondainville]], dans l’[[Oise (département)|Oise]]. Saint-George est encore dans ce lieu de détention le 11 nivôse de l'an II (31 décembre 1793 quand, avec 46 détenus, il signe une pétition adressée au conseil municipal d'[[Hondainville]], &quot;protestant que les frais de garde sont trop élevés et qu'ils ne peuvent les payer&quot;. Saint-George est libéré, après presque une année de détention&lt;ref&gt;Saint-George est donc en prison au moment du vote du décret de l'abolition de l'esclavage du 16 pluviose an II (4 février 1794)&lt;/ref&gt;.

{{Citation bloc|Victime des excès de la révolution, il fut arrêté comme suspect, et vraisemblablement il aurait péri sur l'échafaud, si la réaction du 9 thermidor (27 juillet 1794) ne l'avait rendu à la liberté.|François-Joseph Fétis)&lt;ref name=&quot;Fétis1867J&quot;/&gt;.}}

Destitué de son commandement par [[Jean-Baptiste Bouchotte]], nommé ministre de la Guerre par la [[Convention nationale]] en remplacement de [[Pierre Riel de Beurnonville]] du 4 avril 1793 au 20 avril 1794. Tombant sous le coup d’une loi visant à épurer l’armée de ses [[officier]]s royalistes après l’[[Insurrection royaliste du 13 vendémiaire an IV|insurrection de vendémiaire]] du 5 octobre 1795, il est définitivement révoqué.

{{Citation bloc|Durant la [[Terreur (Révolution française)|Terreur]], il fut arrêté et ne fut mis en liberté que le [[Chute de Robespierre|9 thermidor]]. Il rentra dans la vie privée et mourut à l'âge de cinquante quatre ans, le 12 juin 1799.|[[Louis Mortimer Ternaux]]&lt;ref name=&quot;Ternaux&quot;/&gt;.}}

=== Bibliographie (L'Affaire Dumouriez)===
* 1894 - {{Bibliographie|Q37490557}} &lt;!--Augustin Challamel, Les Clubs contre-révolutionnaires, --&gt;

== 1793 ==

=== Décret relatif à la formation des légions. Adopté le 29 avril 1792  ===

1793 - {{bibliographie|Q25938185}}.

Décret relatif à la formation des légions. Lu 27 avril 1792. Adopté le 29 du même mois, pp. 147 &amp; ss.

L'assemblée nationale considérant que le moyen le plus sûr de faire la guerre avec succès, est d'opposer à l'ennemi des troupes de
même armes que celles qu'il emploie ;

Que les troupes légères, Connues sous la dénomination de légions, rempliront cet objet, et qu'il est instant de les organiser.

Après avoir délibéré sur la proposition du roi, contresignée par le ministre; après avoir entendu le rapport de son comité militaire, décrète
qu'il y a urgence.

L'assemblée nationale après avoir décrété  l'urgence, décrète ce qui suit :

ART. Ier. Il sera incessamment formé six légions sous la dénomination de Ire, 2e, 5e,
4e, 5e. et 6e.

II. Chaque légion sera composée de deux bataillons d'infanterie légère, d'un régiment de chasseurs à cheval, et d'une division d'ouvriers.

III. Les six légions seront formées de six régimens de chasseurs, à cheval, et des, douze premiers bataillons d'infanterie légère.

IV. Chacune des compagnies, tant de l'infanterie légère que des chasseurs à cheval, sera portée dès-à-présent à cent trente hommes, y
compris les officiers, et pourra pendant la campagne être portée à deux cents hommes.

V. Les compagnies de chasseurs à cheval seront composées d'un maréchal-des-logis. en chef, de quatre maréchaux-des-logis, un brigadier-fourrier, huit brigadiers, huit appointés, deux trompettes, un maréchal ferrant et du nombre de chasseurs nécessaire pour porter lesdites compagnies sur le pied fixé par l'article IV.

VI.- Les compagnies d'infanterie légère seront composées d'un sergent-major, de quatre sergens, un caporal fourrier, huit caporaux,
huit appointés, deux tambours, et du nombre de chasseurs nécessaire pour porter lesditês compagnies-sur le pied fixé par l'article IV.

VII. Il ne sera rien changé à la composition de l'état-major des régimens de chasseurs : et
des bataillons d'infanterie légère, ni au nombre des officiers des compagnies.

VIII. Il sera formé dans chacune des six légions , une division d'ouvriers composée de trente hommes ; savoir, deux sergens, deux
caporaux, deux appointés et vingt-quatre ouvriers, dont douze en bois et douze en fer.&lt;br /&gt;
Une moitié de cette division sera attachée au premier bataillon d'infanterie légère, l'autre
au second bataillon.

IX. Tous les citoyens que des raisons particulières auroient mis dans le cas de prendre leur congés après avoir servi dans les compagnies d'ouvriers, de mineurs ou de sapeurs, et qui, encore en état de servir, se présenteront pour entrer dans les divisions d'ouvriers légionnaires y seront adimis autant qu'il y aura de places à donner dans les mêmes grades dont ils auroient joui dans lesdites compagnies.

X. Les militaires retirés du service avec pension ou un traitement militaire quelconque, et qui rentreront au service dans les légions,
toucheront pendant la durée de la présente guerre seulement, outre les appointemens du

=== Mercredi 6 mars 1793  ===

{{Citation bloc|Liege 1er mars Nous sommes désolés Maëstricht est assiégé on y fait un carillon d'enfer toutes les troupes des environs ont le bonheur de s'y montrer et nous qui espérions de nous signaler particulièrement pour prouver à la nation qui nous a reconnus pour François que nous l'étions aussi de fait par tous les sentimens qui caractérisent ce peuple nous sommes ici à répandre des larmes de rage à frapper de nos sabres nus sur les tables sans en pouvoir faire usage contre les ennemis de cette patrie qui nous a adoptés pour ses enfans. Nous en mangeons l'argent le fusil au crochet et les chevaux à l'écurie. Ce qui nous fend le cœur c'est que notre corps est d'une couleur à être remarquée nous nous faisions une fête d'entendre nos braves frères d'armes au sortir de la victoire nous embrasser en nous disant Vous êtes dignes de nous nous vous avons vus dans le chemin de la gloire Et point du tout. Notre colonel absent Hercule seroit-il donc aux pieds d'Omphale ? Des François armés contre les tyrans attendent à Liège leur colonel c'est en dire assez au brave Saint-Georges. NB Cette lettre est d un hussard du nord.|Bulletin des amis de la vérité. Publié par les directeurs de l'Imprimerie du Cercle social, N° 66, Mercredi 6 mars, l'an second de la République (1793), page 4&lt;ref&gt;{{Bibliographie|Q27158766}}, [https://books.google.fr/books?id=EiFhAAAAcAAJ&amp;dq=Imprimerie%20du%20Cercle%20Social%20%2B%20Saint-George&amp;hl=fr&amp;pg=PA67-IA1#v=onepage&amp;q=%20dire%20assez%20au%20brave%20Saint-Georges&amp;f=true N° 66, page 3-4.]&lt;/ref&gt;.}}

=== Dimanche 7 avril 1793  ===

{{Citation bloc|Me voici depuis hier matin , avec la division à laquelle j'étois attaché , hors de l'armée de Dumouriez, et sous les ordres du comité de sûreté et du commandant de Lille, et par conséquent de la Convention.&lt;br /&gt;Depuis qu'il a levé le masque, Dumouriez a fait conduire Beurnonville et les commissaires à Tournay : c'est tout ce que nous savons ici , car la communication avec son armée est absolument rompue.&lt;br /&gt;Voici comment je suis venu ici d'Orchies , avant-hier matin. Miazensky rccut une lettrc de Dumouriez , qui lui faisoit part de ses projets , et lui ordonnoit d'aller à Lille , s'emparer des députés qui pourroient s'y trouver. Il n'a communiqué cette lettre qu'à Saint-Georges , qui s'est trouvé là , et qui , partant tout de suite-, aura sûrement prévenu la municipalité de Lilie. Miazensky , sans consulter personne , est parti avec une parti dc sa division. Arrivé à la porte de Lille , il a été arrêté ct l'est encore. J'étois resté , avec l'autre partie de la division , à Orchies , pour la défense de la frontière. Je reçus, dans la journée , avec l' ordre , l'annonce d'une suspension d'armes avec les Autrichiens , ct , en mêmetenps , la nouvelle de l' arrestation des commissaires et des projets de Dumouriez. La nuit, je me suis rendu ici, d'après les ordres que je reçus le soir. Nous restons campés et cantonnés devant Lille , déterminés à la défense de la République , et faire la guerre à tous les tyrans.|Saint-George par E. Reynier, Bulletin des amis de la vérité&lt;ref&gt;{{Bibliographie|Q27158766}}, [https://books.google.fr/books?id=EiFhAAAAcAAJ&amp;dq=Lille%20%2B%20Maison%20de%20l%E2%80%99Egalité%20%2B%20saint-George&amp;hl=fr&amp;pg=PA98#v=onepage&amp;q&amp;f=false  N° 98, Dimanche 7 avril, l'an second de la République (1793), page 4.]&lt;/ref&gt;.}}

=== 12 septembre 1793  ===

{{Citation bloc|— Dénonciation contre un particulier de la rue Neuve-de-l'Égalité&lt;ref&gt;Ancienne rue de Bourbon- Villeneuve, aujourd'hui [http://www.openstreetmap.org/#map=17/48.86860/2.34855 rue d'Abukir].&lt;/ref&gt;, qui s'est engagé dans les armées de la République et est resté à Paris, gardant son uniforme et ses armes.&lt;br /&gt;[...]&lt;br /&gt;
''Le meilleur moyen de chasser les Anglais de Toulon serait, s'il n'y avait pas de danger pour les habitants des environs et de notre armée, d'empoisonner les eaux qui vont dans cette ville.''&lt;br /&gt; 
Au n° 148, Maison de l'Égalité, il s'y rassemble depuis dès avant le [[w:Journée du 10 août 1792|10 août de l'année dernière]] un tas de [[w:Contre-révolution|contre-révolutionnaires]]. [[w:Charles-François Dumouriez|Dumouriez]], [[w:Joseph de Miaczynski|Miaczynski]]&lt;ref&gt;Le maréchal de camp [[w:Joseph de Miaczynski|J. Miaczynski]], polonais au service de la  France, condamné à mort par le Tribunal révolutionnaire, le 17 mai  1793, pour s'être associé à la trahison de Dumouriez&lt;/ref&gt;''^, [[w:Joseph Bologne de Saint-George|Saint-Georges]]&lt;ref&gt;Le [[w:Joseph Bologne de Saint-George|«chevalier de Saint-Georges » (1745-1799?)]], le fameux escrimeur et auteur dramatique. Il avait servi sous Dumouriez à l'armée du Nord.  Arrêté comme suspect, il ne fut mis en liberté que le 9 thermidor  an II.&lt;/ref&gt; et autres y allaient et y correspondaient, quand par ordre du [[w:Comité de sûreté générale|Comité de sûreté générale de la Convention]] on entoura cette maison. La correspondance y était, mais on l'enleva aussitôt après avec beaucoup d'autres papiers qu'on y avait apportés du château des Tuileries, et ''en'' les porta dans plusieurs autres maisons de Paris que je ne connais pas encore ; mais je sais qu'il s'y rassemble toujours une foule d'aristocrates qu'il faudrait suivre pour savoir ce qu'ils sont et où ils demeurent. Un nommé Petit, se disant fournisseur des vivres pour les armées, et qui demeure rue Saint-Honoré et près Saint-Honoré, est de ce repaire, et l'un des chefs. De temps à autre, ces conspirateurs se rassemblent tantôt à la campagne, tantôt dans l'un des faubourgs de Paris, jusqu'à bien avant dans la nuit ; mais, tous les matins jusqu'à midi, ils sont réunis dans leur repaire, Maison de l'Égalité, n&quot; 148, où demeure la nommée Sainte-Foy, dont ledit Petit est l'amoureux. Les hardes de [[w:Joseph de Miaczynski|J. Miaczynski]] étaient dans cet appartement peu de jours avant son exécution. Il est à présumer que c'est là que se distribuent et l'or de [[w:William Pitt le Jeune|Pitt]] et les rôles qu'on fait jouer aux personnages soudoyés.&lt;br /&gt;
Les gens de la police n'étant pas tous également bien sûrs, il ne les faut pas charger indistinctement de la poursuite de cette affaire.|Paris pendant la Terreur ː Rapports des agents secrets du Ministre de l'intérieur, publiés pour la Société d'histoire contemporaine, Rapport de Soulet (F&lt;sup&gt;7&lt;/sup&gt; 3688&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;)&lt;ref&gt;1910-1978 - {{Bibliographie|Q27166448}}, [https://archive.org/stream/parispendantlate01carouoft#page/84/mode/2up p. 84-85].&lt;/ref&gt;}}

=== 22 septembre 1793  ===
[[Fichier:P1100952 Paris II rue Saint-Denis n°224 ancienne Maison des Dames de Saint-Chaumont rwk.JPG|100px|vignette|gauche|Ancienne Maison des Dames de Saint-Chaumont]]

;1910-1978 - {{Bibliographie|Q27166448}} &lt;!-- Paris pendant la Terreur ː rapports des agents secrets du Ministre de l'intérieur  --&gt; 
{{Citation bloc|Rapport de Soulet (F 36883), 12 septembre 1793. —  Dénonciation  contre  un  particulier  de  la  rue  Neuve-de-l'Égalité&lt;ref&gt;Ancienne  rue  de  Bourbon- Villeneuve,  aujourd'hui  rue  d'Aboukir. &lt;/ref&gt;, qui  s'est  engagé  dans  les  armées  de la  République et  est  resté  à  Paris,  gardant  son  uniforme  et  ses  armes.&lt;br /&gt;

Le  meilleur  moyen  de  chasser  les  Anglais  de  [[w:Siège de Toulon (1793)|Toulon]] serait,  s'il  n'y  avait  pas  de  danger  pour  les  habitants  des environs  et  de  notre  armée,  d'empoisonner  les  eaux  qui  vont dans  cette  ville.&lt;br /&gt;

Au  n°148,  Maison  de  l'Égalité,  il  s'y  rassemble  depuis dès  avant  le  [[w:Journée du 10 août 1792|10  août  de  l'année  dernière]] ''(1792)'' un  tas  de  contre-révolutionnaires. [[w:Charles François Dumouriez|Dumouriez]],  [[w:Joseph de Miaczynski|Miaczynski]]&lt;ref&gt;Le  maréchal  de  camp  J.  Miaczynski,  polonais  au  service  de  la France,  condamné  à  mort  par  le  Tribunal  révolutionnaire,  le  17  mai 1793,  pour  s'être  associé  à  la  trahison  de  Dumouriez, &lt;/ref&gt;, [[w:Joseph Bologne de Saint-George|Saint-Georges]]&lt;ref&gt;Le &quot;chevalier  de  Saint-Georges&quot;  (1745-1799 ?),  le  fameux  escrimeur et  auteur  dramatique.  Il  avait  servi  sous  Dumouriez  à  l'armée  du  Nord. Arrêté  comme  suspect,  il  ne  fut  mis  en  liberté  que  le  9  thermidor an II ''(26 juillet 1794)''&lt;/ref&gt;  et autres  y  allaient  et  y  correspondaient,  quand  par  ordre  du  Comité  de  sûreté  générale  de  la  Convention  on  entoura  cette maison.  La  correspondance  y  était,  mais  on  l'enleva  aussitôt après  avec  beaucoup  d'autres  papiers  qu'on  y  avait apportés  du  château  des  Tuileries,  et  on  les  porta  dans  plusieurs autres  maisons  de  Paris  que  je  ne  connais  pas  encore ; mais  je  sais  qu'il  s'y  rassemble  toujours  une  foule  d'aristocrates qu'il  faudrait  suivre  pour  savoir  ce  qu'ils  sont  et  où ils  demeurent.&lt;br /&gt;

Un  nommé  Petit,  se  disant  fournisseur  des vivres  pour  les  armées,  et  qui  demeure  rue  Saint-Honoré  et près  Saint-Honoré,  est  de  ce  repaire,  et  l'un  des  chefs.  De temps  à  autre,  ces  conspirateurs  se  rassemblent  tantôt  à  la campagne,  tantôt  dans  l'un  des  faubourgs  de  Paris,  jusqu'à bien  avant  dans  la  nuit ;  mais,  tous  les  matins  jusqu'à  midi, ils  sont  réunis  dans  leur  repaire,  Maison  de  l'Égalité, n° 148,  où  demeure  la  nommée  Sainte-Foy,  dont  ledit  Petit 
est  l'amoureux.  Les  hardes  de  [[w:Joseph de Miaczynski|Miaczynski]]  étaient  dans  cet appartement  peu  de  jours  avant  son  exécution.  Il  est  à  présumer que  c'est  là que  se  distribuent  et  l'or  de  Pitt et  les rôles  qu'on  fait  jouer  aux  personnages  soudoyés.&lt;br /&gt;

Les  gens  de  la  police  n'étant  pas  tous  également  bien sûrs,  il  ne  les  faut  pas  charger  indistinctement  de  la  poursuite de  cette  affaire|{{Bibliographie|Q112183821}}&lt;ref&gt;[https://archive.org/details/parispendantlate01carouoft/page/84/mode/2up?q=%22Saint-Georges%22 Pierre Caron.- Paris pendant la Terreur, 1910, Internet Archive, page 84]&lt;/ref&gt;.}}

{{Citation bloc|Page 167 : On dit que l'on a arrête le nommé Saint-Germain&lt;ref&gt;Sans doute A.-L.-C. Saint-Germain, marquis d'Apchon, ex-maréchal de camp, condamné à mort par le Tribunal révolutionnaire le 18 germinal an II (cf. {{Bibliographie|Q26205619}}, t. II, [https://archive.org/stream/histoiredutribu07wallgoog#page/n225/mode/2up p. 217])&lt;br /&gt;&lt;small&gt;Saint-Germain d'Apchon (A.-L.-C.. marquis de), maréchal des camps et armées du roi, etc., né à Paris en 1749.&lt;br /&gt;Issu d'une famille distinguée, il embrassa la carrière militaire, parcourut rapidement les grades inférieurs et se trouvait maréchal de camp au moment où la révolution éclata. Il ne prit aucune part ostensible aux troubles qui la suivirent, fut néanmoins arrèté en 1793, resta détenu pendant plusieurs mois dans les prisons de la capitale, et se vit enfin traduit au redoutable tribunal de Fouquier et de Coffinhal, qui le condamna à mort comme conspirateur le 7 avril 1794 (''18 germinal an II'') à l'âge de quarante-cinq ans&lt;/small&gt;. {{Bibliographie|Q26721416}} [https://books.google.fr/books?id=0PPZWseNiFIC&amp;hl=fr&amp;pg=PA223#v=onepage&amp;q&amp;f=false deuxième édition, t.III, 1816, p. 223].&lt;br /&gt;Antoine-Louis-Claude Marquis de Saint-Germain-d'Apchon, Maréchal des Camps &amp; Armées du Roi, Lieutenant-Général de la Province de Bourgogne au Baillage du Mâconnais, Seigneur Comte de Saint-Trivier en Bresse, a donné procuration à Claude-Marie Palluat de Jalamodes, ancien Capitaine en premier au Corps des Carabiniers, Chevalier de l’Ordre Royal &amp; Militaire de St. Louis, {{Bibliographie|Q27506815}}, [https://books.google.fr/books?id=CFncyzHPsEkC&amp;dq=A.-L.-G.%20Saint-Germain%20%2B%20marquis%20d'Apchon%20%2B%20ex-maréchal%20de%20camp&amp;hl=fr&amp;pg=RA1-PA23#v=onepage&amp;q=A.-L.-G.%20Saint-Germain%20+%20marquis%20d'Apchon%20+%20ex-maréchal%20de%20camp&amp;f=false p. 23].&lt;/ref&gt;, au service dans l'armée de la République. Le fameux Saint-Georges&lt;ref&gt;Cf. ci-dessus, [https://archive.org/stream/parispendantlate01carouoft#page/84/mode/2up/search/Georges p. 84, note 4]. Le «chevalier de Saint-Georges » (1745-1799 ?), le fameux escrimeur et auteur dramatique. Il avait servi sous Dumouriez à l'armée du Nord. Arrêté comme suspect, il ne fut mis en liberté que le [[w:Chute de Robespierre|9 thermidor an II]] (27 juillet 1794).&lt;/ref&gt;, un nommé Petit&lt;ref&gt;Cf. ci-dessus, [https://archive.org/stream/parispendantlate01carouoft#page/84/mode/2up/search/fameux p. 85].&lt;/ref&gt;, se disant employé dans les vivres, maison du bureau de loterie, n&quot; 12, le nommé Morel&lt;ref&gt;Pas de renseignements&lt;/ref&gt;,, se disant employé dans les vivres, maison du bureau de loterie, n° 13, le nommé Morel, rue Saint-Chaumont&lt;ref&gt;11 n'y avait pas de rue de ce nom. Monic veut probablement parler de la [[w:Rue de Tracy|rue de Tracy]], ou du passage de Sourdis (aujourd'hui [[w:Passage Lemoine|passage Lemoine]]), qui longeaient tous deux la [[w:Rue Saint-Denis (Paris)#Bâtiments remarquables et lieux de mémoire|maison des Filles Saint-Chaumont]] ou de l’Union-Chrétienne, ou ''[http://www.poitiers.catholique.fr/leglise-diocesaine/la-vie-consacre/vie-apostolique/union-chretienne-de-saint-chaumond/ Union Chrétienne de Saint Chaumond]'' (Cf. {{Bibliographie|Q27507344}}, [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6461115x/f17.image Quarier Palais Royal] &amp; [https://books.google.fr/books?id=UDIBAAAAQAAJ&amp;hl=fr&amp;pg=PP11#v=onepage&amp;q&amp;f=false Montmartre] ; [https://books.google.fr/books?id=UDIBAAAAQAAJ&amp;dq=Union%20chrétienne%20de%20Saint-Chaumond&amp;hl=fr&amp;pg=RA1-PA32#v=onepage&amp;q=Union%20chrétienne%20de%20Saint-Chaumond&amp;f=false Les Filles de l’Union chrétienne ou Filles de Saint-Chaumond].&lt;/ref&gt;, porte Saint-Denis, n° 16 (il tient même un jeu prohibé), tous complices de Dumouriez et Miaczynski&lt;ref&gt;Cf. ci-dessus, p. 8^, note 3. &quot;Le maréchal de camp J. Miaczynski, polonais au service de la France, condamné à mort par le Tribunal révolutionnaire, le 17 mai 1793, pour s'être associé à la trahison de Dumouriez.&lt;/ref&gt;, — leur correspondance était chez une femme nommée Sainte-Foy&lt;ref&gt;cf. ci-dessus, [https://archive.org/stream/parispendantlate01carouoft#page/84/mode/2up/search/Georges p. 85].&lt;/ref&gt;, maison du n° 148, au Jardin-Égalilé, mais les papiers furent enlevés aussitôt que le Jardin-Égalité fut traqué pour la première fois — devraient être arrêtés aussi. Peut-être chez ces trois individus y trouverait-on de quoi découvrir d'autres traîtres.&lt;br /&gt;, maison du n° 148, au Jardin-Égalité, mais les papiers furent enlevés aussitôt que le Jardin-Égalité fut traqué pour la première fois — devraient être arrêtés aussi. Peut-être chez ces trois individus y trouverait-on de quoi découvrir d'autres traîtres&lt;ref&gt;[https://archive.org/details/parispendantlate01carouoft/page/168/mode/2up?q=%22Saint-Georges%22  Pierre Caron.- Paris pendant la Terreur, 1910, Internet Archive, page 168]&lt;/ref&gt;.|{{Bibliographie|Q112183821}}&lt;ref&gt;[https://archive.org/details/parispendantlate01carouoft/page/n7/mode/2up?q=%22Saint-Georges%22 Citations]&lt;/ref&gt;.}}

{{Citation bloc|Au Jardin-Égalité, depuis le n°1 jusqu'au n° 9 ou 10, il y a un club d'aristocrates, et l'on y joue à des jeux prohibés.|Paris pendant la Terreur ː Rapports des agents secrets du Ministre de l'intérieur, publiés pour la Société d'histoire contemporaine, Rapport de Monic (F&lt;sup&gt;7&lt;/sup&gt; 3688&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;)&lt;ref&gt;1910-1978 - {{Bibliographie|Q27166448}}, [https://archive.org/stream/parispendantlate01carouoft#page/168/mode/2up/search/fameux p. 168].&lt;/ref&gt;}}

=== Affaire du Général Miaczinski  ===

==== 28 décembre 1793  ====
&lt;poem&gt;
Jugement du 28 décembre 1793.
Tribunal Criminel Révolutionnaire,
Etabli au Palais, à Paris, par la Loi du loMars 1793, pour juger sans appel les Conspirateurs. 1793
[[w:Joseph Bologne de Saint-George|Joseph Saint-George]] dépose :
{{bibliographie|Q27554981}}, [https://books.google.fr/books?id=vGG4Rfub0lMC&amp;hl=fr&amp;pg=PA427#v=onepage&amp;q=Saint-George&amp;f=false page 427 &amp; ss.]
Voir également : Gazette des tribunaux, et mémorial des corps administratifs et municipaux, 1793, [https://books.google.fr/books?id=6l2G9-9P5FMC&amp;dq=%22Joseph%20Saint-George%22&amp;hl=fr&amp;pg=PA427#v=onepage&amp;q=%22Joseph%20Saint-George%22&amp;f=false page 427].
&lt;/poem&gt;

== 1794 ==
* 1794 - {{bibliographie|Q28168008}}, sur l'affiliations aux sociétés ou la question de la formation des partis politiques (?)
** 1870 - {{bibliographie|Q28168270}}. Cf. Discours de M. SILLERY sur les sociétés populaires et sur la lettre de M. La Fayette au Corps législatif, dans laquelle ce ... Copie de la lettre écrite par la Société des Amis de la liberté et de l' égalité au président de la Convention nationale (''préciser cette bibliographie'').

== 1795 ==
[[Fichier:Henri-Nicolas Van Gorp - La femme à la lorgnette.jpg|100 px|vignette|gauche|[[w:Henri-Nicolas Van Gorp|Henri-Nicolas Van Gorp]] - Femme à la lorgnette, mode &amp; décors sous la Convention nationale, c.1795-avant 1819, Rouen, Musée des Beaux-Arts]]
[[w:1795|1795]]
* [https://arts-lubies.blogspot.fr/2012/10/la-mode-feminine-vue-dans-la-peinture.html Voir les questions de l'émergence de la mode]

== 1799 ==
[[w:1799|1799]]

Saint-George meurt à [[w:Paris|Paris]] alors que se termine la décennie de la [[w:Révolution française|Grande Révolution]]. Les sources tendent à confirmer le décès de Joseph Bologne de Saint-George en France,  en 12 juin 1799, cinq années après sa libération des prisons de la [[w:Révolution française]]. [[w:Jean Maurice Verdot|Jean Maurice Verdot]] et [[w:Pierre Bégat|Pierre Bégat]] indiquent également la date du 12 juin 1799&lt;ref&gt;{{ouvrage|année=1842|prénom1=Jean Maurice|nom1=Verdot|prénom2=Pierre|nom2=Bégat|titre=[http://books.google.fr/books?id=tdhkAAAAMAAJ&amp;pg=PR58#v=onepage&amp;q&amp;f=false Fastes de la Légion-d'honneur :] biographie de tous les décorés accompagnée de l'histoire législative et réglementaire de l'ordre, vol. 1 : {{sp-|XVII|e|-|XIX|e}} : 1650-1842|lieu=Paris|éditeur= Editions}}. {{BNF|36406355f}}.&lt;/ref&gt;. La cause du décès provient, selon les informations convergentes de ses biographes, de la région de la vessie. Sa mort ne passe pas inaperçue. Contrairement à ce qui a pu être écrit, sa mort est honorée dignement et les journaux de l’époque lui rendent hommage. Pierre Bardin déclare en janvier 2009&lt;ref&gt;[http://halleyjc.blog.lemonde.fr/2009/01/09/une-trouvaille-de-monsieur-pierre-bardin-sur-la-mort-du-chevalier-de-saint-georges/ Une trouvaille de Monsieur Pierre Bardin sur la mort du chevalier de Saint-Georges] sur Guadeloupe Attitude, blog personnel de Jean-Claude Halley, président de l’Association des Amis de Joseph Bologne, chevalier de Saint-Georges. Voir l’œuvre de cette association : [http://halleyjc.blog.lemonde.fr/2009/05/02/sous-le-regard-de-saint-georges/ Sous le regard du Chevalier de Saint-Georges]. Consultés le 5 mai 2009.&lt;/ref&gt; avoir découvert un rapport qui atteste de l’admiration que les professionnels des armes vouaient au chevalier de Saint-George. Ce document confirmerait que le Chevalier de Saint-George n’est pas mort abandonné de tous et oublié.

On a perdu la trace de la sépulture de Saint-George décédé dans la tourmente de la Révolution française finissante, alors que Bonaparte recueille le pouvoir.

{{Citation bloc|La Révolution, en chassant des églises les sépultures et en faisant la guerre aux morts, ainsi qu'aux vivants, avait fait tomber en désuétude le respect dont la religion entourait les restes de l'homme : le culte des tombeaux avait disparu avec celui des autels. Ce fut un pieux sentiment et une généreuse émulation qui provoquèrent la restauration de ce colle consolant. M. G. de Pixerécourl, plus que personne, a toujours éprouvé celte touchante sollicitude pour le dernier asile de ceux qu'il a aimés, et dans ce moment même, après (trente ans de séparation, il se souvient de Dalayrac, pour lui faire élever, dans le cimetière de Fontenay-sur-Bois, un monument digne de l'artiste, de l'ami, et pour faire frapper une médaille en son honneur| René-Charles Guilbert Pixérécourt, Charles Nodier et P. L. Jacob, Catalogue des livres rares et précieux et de la plus belle condition, composant la bibliothèque de M. G. de Pixérécourt&lt;ref&gt;{{Bibliographie|Q28223033}}, 1839-1840&lt;/ref&gt;.}}

Retrouver aujourd'hui la dernière demeure de Saint-George est un jeu de piste dans lequel se sont investis des généalogistes. Ainsi, Pierre Bardin a publié une copie dactylographiée d'un document concernant l'inhumation du chevalier de Saint-George qui serait enterré au ''Temple de la Liberté et de l’Égalité'', appelé auparavant l’[[w:Église Sainte-Marguerite (Paris)|église Sainte Marguerite]]&lt;ref&gt;L'[http://books.google.fr/books?id=Nakx_gLPlFEC&amp;dq=%22Temple%20de%20la%20Liberté%20et%20de%20l'Egalité%22%20%2B%20%22église%20Sainte-Marguerite%22&amp;hl=fr&amp;pg=PA413#v=onepage&amp;q=%22Temple%20de%20la%20Liberté%20et%20de%20l'Egalité%22%20+%20%22église%20Sainte-Marguerite%22&amp;f=false église Sainte-Marguerite], qui porta en 1793 le nom de Temple de la Liberté et de l'Égalité, est aujourd'hui la paroisse du 8° arrondissement.Jean Lebeuf, Cocheris.- Histoire de la ville et de tout le diocèse de Paris, Auguste Durand, 1867, [[Église Sainte-Marguerite (Paris)|Sainte-Marguerite]], {{p.|532-538}}, sources et bibliographie.&lt;/ref&gt;, débaptisée comme nombre d’églises sous la Révolution''&lt;ref&gt;'''Temple de la Liberté et de l’Égalité''' : Caroline Crouin, «[http://ahrf.revues.org/document2123.html Étude scénographique des fêtes en faveur de l’abolition de l’esclavage] en France (février - juillet 1794)», dans ''Annales historiques de la Révolution française'', {{n°|339}}, [En ligne], mis en ligne le : 15 mars 2008. Consulté le 2 août 2009.&lt;/ref&gt;

{{Citation bloc|Le commissaire de police de la Section de [[w:Montreuil (Seine-Saint-Denis)|Montreuil]] est de permanence le duodi 22 prairial de l'an 7 — 10 juin 1799, au lieu de : 10 juin 1700. Voir l’article de Pierre Bardin : «[http://halleyjc.blog.lemonde.fr/2009/01/09/une-trouvaille-de-monsieur-pierre-bardin-sur-la-mort-du-chevalier-de-saint-georges/ 22 Prairial de l’an 7 (10 juin 1799)] ») lorsque, à huit heures du soir, il voit entrer quatre personnages à la mise soignée, qui viennent déposer une requête après avoir décliné leur identité.&lt;br /&gt;Le premier à se présenter est le citoyen [[w:Jean-Pierre Gomard|Jean-Pierre Gomard]], professeur en fait d'armes, demeurant rue du Bout du Monde, {{numéro|18}}, Division de Brutus. Le second, le citoyen [[w:François Philibert Menissier|François Philibert Menissier]] fils, professeur en fait d'armes, demeurant [[w:Rue d'Aboukir|rue Neuve-Saint-Eustache]], {{numéro|12}}&lt;ref&gt;La [[w:Rue d'Aboukir|rue Neuve-Saint-Eustache]] se situe entre la [[w:rue Montmartre|rue Montmartre]] et la [[w:rue des Petits-Carreaux|rue des Petits-Carreaux]], Cf. [http://www.openstreetmap.org/#map=18/48.86739/2.34511 OpenStreetMap].&lt;/ref&gt;, Division de Brutus, puis le chef d'escadron [[Charles François Talmet]], du {{9e}} régiment de hussards demeurant à Monceaux près Paris, canton de Clichy, enfin le citoyen [[Pierre Nicolas Beaugrand]], employé en retraite (il fut chef de bureau à l'Assemblée Nationale), demeurant à Paris rue Neuve des Petits Champs, {{numéro|16}}, Division de la Butte des Moulins.&lt;br /&gt;Tous déclarent « que le citoyen Joseph Bologne dit Saint George, chef de brigade du treizième régiment de chasseurs à cheval, est décédé d'aujourd'hui à une heure de relevée, rue Boucherat {{numéro|13}}, division du Temple et enregistré à la municipalité du sixième arrondissement, son corps ayant été porté aujourd'hui dans une bière au Temple de la Liberté et de l'Égalité du huitième arrondissement. Comme les déclarants ont connu parfaitement le défunt, qu'ils étaient étroitement liés d'amitié avec lui, ils désirent exhumer le corps du dit défunt pour le mettre dans un cercueil de plomb. Ils se sont donc présentés devant nous à l'effet de pouvoir parvenir à remplir l'exécution de leurs sentiments, si toutefois rien n'est contraire au principe des lois, affirmant le tout pour être sincère et véritable et ont signé avec nous après lecture faite :&lt;br /&gt;Gomard, Beaugrand, Talmet chef d'escadron, Menessier fils, Pillecat commissaire de police.&lt;br /&gt;Une expédition sera faite et transmise à l'administration centrale et municipale à l'effet de statuer à cet égard ce que de droit&quot;|Transcription du texte communiqué par Pierre Bardin&lt;ref&gt;Documents consultés : * Archives de la police, Aa 173. Section de Montreuil Procès-verbal des commissaires de police. * Mémoire de la [[Henriette Lucy Dillon|marquise de la Tour du Pin]]. Le temps retrouvé - Mercure de France - 1979. * Pierre Bardin [http://www.ghcaraibe.org/bul/ghc222/p5791.rtf A propos de Saint George]. Consulté le 2 août 2009. * Bill Zick, Africlassical.com, [http://halleyjc.blog.lemonde.fr/2009/05/01/saint-georges-death-exhumation-obituaries-sur-le-tres-beau-site-africlassica-de-bill-zick/ Le Chevalier de Saint-Georges (1745-1799)]. Afro-French Composer, Violinist &amp; Conductor. France's Best Fencer &amp; Colonel of Black Legion. Consulté le 29 août 2009 * [http://chevalierdesaintgeorges.homestead.com/Page1.html#41 42 Exhumation]. Consulté le 29 août 2009&lt;/ref&gt;.&lt;/ref&gt;}}

=== Le Journal de Paris du 14 juin 1799 (26 prairial an VII)  ===
* {{Citation bloc|Une brève, parue dans le Journal de Paris du 26 prairial an VII (14 juin 1799), signale que &quot;''Saint-Georges, célèbre par sa supériorité dans les armes, la danse, l'équitation, la musique, est mort à Paris, rue Boucherat, le 21 prairial, à l'âge de {{Unité|60|ans}}''&quot;|Citation de Luc Nemeth dans &quot;''Un état-civil chargé d'enjeux : Saint-George, 1745-1799''&quot;&lt;ref&gt;{{Bibliographie|Q28199453}}. Extrait du ''Journal de Paris'', 26 prairial an VII, 14 juin 1799, {{p.|1171}}. Une première recherche de cette citation sur le net le 28 avril 2010 n'avait pas donné de résultats autres que des liens pointant vers l'article de Luc Nemeth. Le résultat est identique à ce jour, 12 janvier 2017.&lt;/ref&gt;.}}

== 1797 ==
* {{Citation bloc|Cercle de l'Harmonie Les entrepreneurs du Cercle de l Harmonie au Palais Royal font tous les jours de nouveaux sacrifices pour rendre leur entreprise plus agréable au public Avant hier premier mai le concert brillant comme à l ordinaire &amp; dans le quel Saint George exécuta avec le plus grand succès un concerto de sa composition le concert disons nous fut précédé d un proverbe joué par Volange il est encore ce qu il était il ya quinze ans c est à dire plein de naturel de gaîté de facilité &amp; de mobilité dans tous ses rôles|Peltier.- Paris. Pendant L'Année 1797&lt;ref&gt;Volume 13 - Page 80, id= Wm4YTUO2xyIC&lt;/ref&gt;.}}

=== The European Magazine, 1799  ===
* {{Citation bloc|At Paris, aged 60 years and upwards, the Chevalier St. George, celebrated for fencing and other bodily exercises.|Philological Society of London.- The European Magazine: And London Review, Death abroad, Volume 35, 1799&lt;ref&gt;Philological Society of London.- The European Magazine : And London Review, Death abroad, Volume 35, 1799, [https://books.google.fr/books?id=_SYoAAAAYAAJ&amp;hl=fr&amp;pg=RA8-PT118#v=onepage&amp;q&amp;f=false page 431]&lt;/ref&gt;,}}

== 1810 - Georgette Ducrest.- Mémoires sur l'impératrice Joséphine ==

[[Fichier:Pauline Bonaparte.jpg|100px|vignette|gauche|[[w:François Joseph Kinson|François Joseph Kinson]].- Pauline Bonaparte, princesse Borghese, duchesse de Guastalla, 1808]]
&lt;poem&gt;
{{Citation bloc|c.1810-1812 - '''Distinction entre nègre &amp; mulâtre''' - La princesse Borghèse donna un magnifique bal auquel assista toute la famille impériale. Le vice-roi devait danser avec la reine de Naples; il était déjà en place, lorsque M. de Canouville&lt;ref&gt;[https://books.google.fr/books?id=szoeBFATaDYC&amp;dq=Armand-Jules-%C3%89lisabeth%20DE%20CANOUVILLE&amp;hl=fr&amp;pg=PA544#v=onepage&amp;q=Armand-Jules-%C3%89lisabeth%20DE%20CANOUVILLE&amp;f=false Armand-Jules-Elisabeth de Canouville (1785-1812)], aide de camp de Berthier, amant de Pauline Bonaparte. Leur liaison dura de  de 1810 jusqu'à la mort du jeune militaire en 1812, sur le front russe&lt;/ref&gt; se précipite vers l'orchestre et crie à Julien&lt;ref&gt;Pas de bal élégant sans la présence de Julien. Ce célèbre chef d'orchestre était, non pas nègre, mais mulâtre, et sa tournure avantageuse n'avait pas peu contribué à son succès.&lt;/ref&gt;, qui le conduisait:
— Une valse.
— Monsieur, c'est une contre-danse que l'on va danser.
— Je veux une valse.
Pendant ce petit colloque, le vice-roi s'était approché, et observa que, pour suivre l'ordre établi jusqu'à ce moment, il fallait la contre-danse.
— C'est possible, monseigneur, s'écria impétueusement M. de Canouville; mais comme je valse avec la princesse Borghèse, je le répète, je veux une valse et tout de suite, obéissez, Julien.
— Moi, monsieur, dit doucement le vice-roi à Julien, je vous prie de jouer la contre-danse. Ce qui fut fait, plusieurs personnes ayant entouré M. de Canouville, pour lui faire sentir combien sa conduite était inconvenante.
L'extrême modération du vice-roi fut connue promptement dans Paris, et augmenta l'affection qu'on lui portait, en prouvant qu'il savait allier les vertus privées à celles qu'il avait déployées dans les camps. I I se contenta d'opposer le sang-froid à une inconcevable folie, tandis qu'il pouvait d'un mot nuire à celui qui ne craignait pas de se mettre ainsi en opposition avec lui: c'est par de semblables actions que les princes doivent en effet se distinguer et se venger.|Georgette Ducrest.- Mémoires sur l'impératrice Joséphine, la cour de Navarre et la Malmaison&lt;ref&gt;* 1828- c.1840 - {{bibliographie|Q28252400}}, [https://books.google.fr/books?id=lTMUAAAAQAAJ&amp;dq=le%20mul%C3%A2tre%20Julien%2C%20chef%20d'orchestre%20des%20bals&amp;hl=fr&amp;pg=PA106#v=onepage&amp;q=le%20mul%C3%A2tre%20Julien,%20chef%20d'orchestre%20des%20bals&amp;f=false page 106].&lt;/ref&gt;.}}
&lt;/poem&gt;


== 1812 ==

{{Citation bloc|Il est impossible de parler des duels sans dire un mot du fameux Saint-Georges&lt;ref&gt;&quot;''Lorsque j'ai voulu nommer quelqu'un, je l'ai fait''&quot;. [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6464133s/f10.item.r=Saint%20Georges Avant-propos, page IV]&lt;/ref&gt;, que tout le monde a connu ; il excellait dans tous les exercices du corps et dans plusieurs arts d'agrément; mais sa suprématie dans l'escrime était le premier de ses talens aux yeux de la multitude; on admirait, on révérait, presque un homme qui pouvait en tuer vingt l'un après l'autre sans recevoir une égratignure. Les jeunes gens ; surtout, comme ne réfléchissant guères, voyant en lui un homme sûr de faire trembler tous ceux qu'il rencontrait, enviaient cette incroyable supériorité dans l'escrime ; ils la mettaient bien au-dessus de celle qu'il possédait également dans l'équitation et le tir des armes à feu, de ses grands talens en musique et sur le violon. La qualité de premier spadassin du monde éclipsait tant d'avantages bien plus réels. À quoi devait-on attribuer la préférence ridicule et extraordinaire de ces jeunes gens ? à leurs séances habituelles dans des salles d'armes, ou,comme de raison, l'art qu'on y professait était proclamé le premier de l'univers, le seul qui convînt à un jeune homme entrant dans le monde, celui qui tenait lieu de tous. Imbus de ces belles idées, les jeunes gens se persuadaient aisément qu'un tifeur d'armes savait tout ce qu'il devait savoir, et leur admiration profonde pour le maître par excellence était une suite naturelle de cette conviction. Les maîtres d'armes , de leur côté, n'oubliaient rien pour exalter la prééminence de l'art ; ils y mettaient une importance qui aurait été extrêmement comique, s'ils ne se fussent pas permis quelquefois d'user de moyens violens pour protéger une opinion qu'il était possible de trouver erronée&lt;ref&gt; J'ai une si haute opinion du tact, du jugement et de la raison des jeunes gens d'aujourd'hui, que je ne serais pas éloigné de croire que sur cent qui liront ces réflexions, quatre-vingt-dix préféreroient le talent de Saint-Georges dans l'escrime à tous ses autres talens , et en conviendraient s'ils voulaient répondre en leur âme et conscience ; or, cette préférence ne signifierait autre chose, sinon qu'ils aimeraient mieux être assurés de faire trembler tout le monde, de pouvoir être insolens et querelleurs impunément, d'avoir, en un mot, la certitude de tuer leur homme sans courir le moindre danger, que de se voir recherchés partout pour un grand talent d'agrément. Il y aurait dans ce choix une noblesse d’âme, une délicatesse de sentiment bien faites pour charmer l'observateur. Au reste, ce grand Saint-Georges, que la révolution conduit aux armées, n'y a pas été plus brave qu'un autre, s'il faut en croire les bruits de ce temps-là ; il est vrai qu'une tierce et une quarte se parent plus facilement qu'un coup de fusil ou de canon.&lt;/ref&gt;.&lt;br /&gt;J'ai connu à Versailles un maître d'armes qui me disait très-sérieusement qu'il n'existait que deux états dans le monde, maître d'armes et capucin ; que si son fils n'était pas l'un, il serait l'autre. Je pris la liberté de lui faire observer que peut-être son fils n'aurait aucune vocation pour ces deux états, et n'en serait pas moins capable d'en bien remplir un troisième. Il me répondit que c'était un parti pris ; qu'un homme qui ne sentait pas les avantages sans nombre de sa profession, méritait, par cela seul, de passer sa vie dans un cloître : je ne pus jamais en tirer autre chose. On voit que Molière, lorsqu'il met sur la scène le maître d'armes de M. Jourdain, et qu'il lui fait débiter sur son art des extravagances si comiques, n'a pas chargé le tableau ; et qu'ainsi que dans tous ses ouvrages, il a pris la nature sur le fait.&lt;br /&gt;Il y a trois siècles et plus, les Français se battaient pour leurs dames : tantôt ils défendaient leur honneur outragé ; tantôt, et c'était le plus ordinaire, ils défendaient leur beauté ; mais ces combats étaient toujours publics : on y mettait un grand appareil. À une époque où les guerres étaient presque continuelles, cet amour, ce respect pour les dames entretenaient parmi la noblesse un courage, une émulation capables de créer des héros ; car ces guerriers amans ne se contentaient pas de se battre ; il fallait encore, pour plaire à sa dame, être irréprochable dans sa conduite, ne se permettre aucune action dont l'honneur le plus délicat pût avoir à rougir : Dieu et ma dame était le cri de ces chevaliers. Au milieu des combats, ils se croyaient sous leurs yeux ; les trophées de la victoire n'avaient de prix pour eux que par l'espoir de les déposer aux pieds de la dame de leurs pensées. Ainsi l'amour de la gloire et de la patrie, ce mobile des plus grandes actions, prenait sa source dans un sentiment bien moins estimable en lui-même, mais qui le devenait par l'importance qu'on y attachait, et les grands effets qu'il produisait.&lt;br /&gt;A ces époques si glorieuses pour la noblesse, en ont succédé d'autres dont elle ne saurait trop rougir. Les pères combattaient pour des dames renommées par leur naissance, par le rang qu'elles tenaient dans le monde ; pour des dames dont la bienveillance était capable d'honorer un chevalier français. Les descendans se sont battus pour des filles d'Opéra, pour des courtisanes, vil rebut de la société ; aussi, de pareilles dames n'ont-elles pas inspiré de grandes choses à
leurs chevaliers, et l'on citerait peu d'actions distinguées qui soient dues à leur influence.|Alphonse de Fortia de Piles (1758-1826) et Jules-Louis-Melchior Porthmann (1790-1820).- Quelques réflexions d'un homme du monde&lt;ref&gt;1812 - {{bibliographie|Q112336197}}, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6464133s/f166.item.r=Saint%20Georges page 156 &amp; ss]. Le djvu est sur Internet Archive mais la pagination me semble bizarre.  &lt;!-- Quelques réflexions d'un homme du monde, sur les spectacles, la musique, le jeu et le duel --&gt;&lt;/ref&gt;.}}

== 1825 ==

=== 1825 - Michaud, Biographie universelle, ancienne et moderne ===

{{Citation bloc|La journée du [[w:Chute de Robespierre|9 thermidor]] (27 juillet 1794), le rendit à la liberté. Saint-George ressentit alors les atteintes d'une maladie de [[w:vessie|vessie]] : mais, par suite de son insouciance habituelle, il y fit peu d'attention ; il cacha même un [[w:ulcère|ulcère]] qui était la source de son mal, et y succomba le 12 juin 1799, à l'âge de cinquante-quatre ans.|[[Joseph-François Michaud]], [[w:Louis-Gabriel Michaud|Louis Gabriel Michaud]].- Saint-George (Le chevalier de), 1825&lt;ref&gt;{{bibliographie|Q28225207}} dans {{bibliographie|Q28224887}}, 1825, [https://books.google.fr/books?id=VbIFAAAAQAAJ&amp;dq=Biographie%20universelle%2C%20ancienne%20et%20moderne%20Saint-George&amp;hl=fr&amp;pg=PA579#v=onepage&amp;q&amp;f=false page 579].&lt;/ref&gt;.}}

=== Le Magasin pittoresque, 1833  ===
* {{Citation bloc|12 juin 1799. — Mort du chevalier Saint-George. Outre son habileté extraordinaire dans tous les exercices du corps, et surtout dans l'escrime, il excellait dans la musique. Il a composé plusieurs partitions et plusieurs concertos. Lorsqu'on 1792 les Prussiens envahirent le sol de la France, Saint-George fit des prodiges de valeur à la tête d'un corps de cavalerie qu'il avait levé et conduit, en qualité de colonel, à l'armée du Nord. Il était mulâtre.|12 juin 1799. — Mort du chevalier Saint-George, Le Magasin pittoresque, 1833&lt;ref&gt;[https://books.google.fr/books?id=GQeK-bDYtfYC&amp;dq=Chevalier%20de%20Saint-George%20%2B%20imitation%20%2B%20musique&amp;hl=fr&amp;pg=PA151#v=onepage&amp;q&amp;f=false page 151].&lt;/ref&gt;.}}

=== Fétis, Biographie universelle, 1837  ===

{{Citation bloc|Privé de tous ses revenus par les événements politiques, il passa ses dernières années dans un état voisin de la misère. Un ulcère à la vessie le conduisit au tombeau le 12 juin 1799, à l'âge de cinquante-quatre ans.|François-Joseph Fétis.- Biographie universelle des musiciens et bibliographie générale de la musique, 1837&lt;ref&gt;{{bibliographie|Q28221253}}, 1837, [https://archive.org/stream/biographieuniver008ft#page/12/mode/2up/search/George page 12]&lt;/ref&gt;}}

== 1807 ==

[[Fichier:Henry Moses, Joseph Collyer - End of Slave Trade, 1807.png|100px|vignette|gauche|Commémoration de l'Abolition de la traite esclavagiste, [[w:Abolition de l'esclavage au Royaume-Uni#Mobilisation parlementaire et interdiction de la traite (1807)|Parlement britannique, 1807]]]]

== 1819 ==
[[Fichier:Burney - Saint George, M De, a Greek gentleman, Rees's Cyclopaedia, Vol 31.png|100px|vignette|gauche|Burney.- Saint George, M. De, a Greek gentleman, Rees's Cyclopaedia, Vol 31, 1819]]

Dans un article pour le Rees's Cyclopaedia, [[w:Charles Burney|Charles Burney]], musicien et précurseur en musicologie&lt;ref&gt;{{IMSLP|id=Burney, Charles}}, [http://imslp.org/wiki/Category:Burney,_Charles Partitions libres] de [[c:File:Charles Burney.jpg|Charles Burney]] sur l'[[w:International Music Score Library Project|International Music Score Library Project]]&lt;/ref&gt;, nous apprend que Saint George, M. De, '''a Greek gentleman''', est mort à Lille en 1794&lt;ref&gt;1819 - {{Bibliographie|Q28324585}}&lt;/ref&gt;.

{{Citation bloc|1837 - Jullien, qui fut le Musard de la fin du {{S|XVIII}}, conduisait un orchestre de bal d'une manière fort distinguée ; il partageait la vogue avec un mulâtre nommé Hullin.|Georges Touchard-Lafosse - 1837&lt;ref&gt;{{bibliographie|Q28239200}}, [https://books.google.fr/books?id=5i1IAQAAMAAJ&amp;hl=fr&amp;pg=PA309#v=onepage&amp;q=Hullin&amp;f=false page 309]&lt;/ref&gt;}}

== 1823 ==

{{Citation bloc|Le célèbre Saint George était un mulâtre de la Basse Terre, fils du fermier général, M. de Boulogne qui lui fit donner à Paris une éducation soignée. Il devint capitaine des gardes du duc de Chartres, aujourd'hui duc d Orléans. Son adresse dans tous les arts de la gymnastique surtout dans ceux de l'escrime et de l'équitation, sa science dans tous les jeux et ses talens dans la musique en firent un personnage célèbre. Il embrassa la cause de la révolution avec transport leva un corps de chasseurs à cheval, le 13e, dont il fut colonel et servit sous Dumouriez dont il signala la défection. Revenu à Paris, Saint George fut arrêté, il obtint sa mise en liberté à la chute de Robespierre et y mourut en 1801 dans un état voisin de l'indigence ayant porté le titre de chevalier de Saint-George.|''Hommes marquans de la Guadeloupe'', Le fameux saint-George&lt;ref&gt;1823 - {{bibliographie|Q24071077}}, chapitre XVII, [https://www.google.fr/books/edition/Les_Antilles_Francaises_particulierement/LIRlAAAAcAAJ?hl=fr&amp;gbpv=1&amp;dq=La+Guadeloupe+%2B+Saint-George&amp;pg=PA300&amp;printsec=frontcover page 300].&lt;/ref&gt;.}}

== 1834 ==

1834 - A.V. Arnauld, Monnais.- Éphémérides universelles, ou tableau religieux, politique, littéraire, scientifique et anecdotique, présentant pour chaque jour de l'année un extrait des annales de toutes les nations et de tous les siècles...Corbiz,
* https://books.google.fr/books?id=oYJsjlIUDRwC ; texte , page 241, [https://books.google.fr/books?id=oYJsjlIUDRwC&amp;hl=fr&amp;pg=PA241#v=onepage&amp;f=false 12 juin 1799 Mort du chevalier de Saint George], juin 1834, deuxième édition, tome sixième.
* {{BNF|33369842v}} ;  Monnais, Édouard (1798-1868). Fonction indéterminée .- Ephémérides universelles ou Tableau religieux, politique littéraire, scientifique et anecdotique, présentant, pour chaque jour de l'année, un extrait des Annales de toutes les nations et de tous les siècles depuis les temps historiques jusqu'à nos jours... mises en ordre et publiées par M. Edouard Monnais. Juillet. Tome septième, Publication : Paris : Corby, 1830, Note(s) : Réimpression faite à la suite des évènements de 1830
*[https://archive.org/details/Monnais.-ephemeridesUniverselles1834/page/n251/mode/2up  Internet Archive]

== 1840 ==

=== Roger de Beauvoir.- Le chevalier de Saint-Georges, œuvre créée en 1840  ===

==== Œuvre (1840)  ====

 [http://www.wikidata.org/entity/Q23541390 Le chevalier de Saint-Georges]
 œuvre
 1840
 {{bibliographie|Q23541390}}

 [http://www.wikidata.org/entity/Q29111757 Le chevalier de Saint-Georges]
 œuvre
 1840
 {{bibliographie|Q29111757}}
 
 [http://www.wikidata.org/entity/Q29113372 Le chevalier de Saint-Georges]
 œuvre
 1840
 {{bibliographie|Q29113372}}

==== Série (1840)  ====

 [http://www.wikidata.org/entity/Q29111757 Le chevalier de Saint-Georges]
 série
 1840
 {{bibliographie|Q29111757}}

 [http://www.wikidata.org/entity/Q29113372 Le chevalier de Saint-Georges]
 série
 1840	
 {{bibliographie|Q29113372}}


==== Edition (1840) ====

 [http://www.wikidata.org/entity/Q23591344 Le chevalier de Saint-Georges]
 édition
 H.-L. Delloye
 1840
 {{BNF|30074396g}}
 {{bibliographie|Q23591344}}

 [http://www.wikidata.org/entity/Q29113492 Le Chevalier de Saint-Georges]
 édition
 Dumont
 1840
 {{BNF|300743954}}
 {{bibliographie|Q29113492}}

==== Adaptation théâtrale (1840)  ====

 [http://www.wikidata.org/entity/Q28123257 Le Chevalier de Saint-Georges, comédie mêlée de chant, en trois actes],
 ''livre''
 Imprimerie de Mme De Lacombe
 1840
 {{BNF|372188528}}
 {{bibliographie|Q28123257}}

==== Traduction en allemand (1840)  ====
 
 Edition
 [http://www.wikidata.org/entity/Q23681251 Der Chevalier von Saint-Georges]
 1840
 {{bibliographie|Q23681251}}

==== Article critique (Revue de Paris), 1840 ====
[[Fichier:Michael Jackson INVINCIBLE.jpg|100px|vignette|gauche|Ben Heine.- Portrait, Michael Jackson, I N V I N C I B L E.]]
[[Fichier:Roger de Beauvoir Le Chevalier de Saint-Georges V1p6, 1840.jpg|100px|vignette|gauche|Roger de Beauvoir.- Le Chevalier de Saint-Georges, 1840, V1, p.6]]
[[Fichier:0024MAN-Antinous.jpg|100px|vignette|gauche|[[w:Antinoüs|Antinoüs]] est un jeune homme originaire de[[w:Bithynie| Bithynie]] ayant vécu au IIe siècle apr. J.-C., plus connu comme favori et amant de l'empereur romain Hadrien. Il meurt âgé de 20 ans environ, noyé dans le Nil, dans des circonstances qui restent mystérieuses. Divinisé par [[w:Hadrien|Hadrien]], Antinoüs est représenté par un grand nombre d'œuvres d'art qui en font l'un des visages les plus célèbres de l'Antiquité. Wikipédia[https://www.youtube.com/watch?v=YtWl6fqt5MI *].]]

 '''&lt;big&gt;Transcription, Le Chevalier de Saint-George (Revue de Paris), 1840&lt;/big&gt;'''
 Le Chevalier de Saint George PAR M ROGER DE BEAUVOIR
 {{bibliographie|Q108114250}}, p.58
 Cette figure du [[w:Joseph Bologne de Saint-George|chevalier de Saint George]] l'une des plus brillantes et des plus étranges qui aient traversé le {{S|XVIII}} devait séduire tôt ou tard quelque élégant esprit épris des souvenirs de ce siècle charmant que les vaudevillistes de nos jours ont si indignement calomnié et que M.[[w:Jules Janin| Jules Janin]] a vengé tant de fois avec cette grâce infinie qui lui est propre. C'était là pour le romancier et le poète un merveilleux héros qui ne laissait rien ou presque rien à créer à l'imagination plus d amours et de coups d'épée de billets doux et de cartels qu'il n'en faut pour défrayer dix romans, véritable héros de boudoir et de salle d'armes excellant dans tous les jeux de l'esprit et du corps. Apollon taillé dans Hercule, Don Juan noir ainsi qu'on l'appelait un [[w:Antinoüs|Antinoüs]]&lt;ref&gt;[https://www.youtube.com/watch?v=lpj8mDK3SBg Hervé Cristiani.- Antinoüs]&lt;/ref&gt; africain. Admirable sujet à coup sûr pour une plume fine et parfumée, amoureuse et guerrière à la fois rompue à ces belles allures de style qui s'en vont hélas et menacent de se perdre avec le savoir vivre et les belles manières. C'était en même temps pour l'historien et le penseur un sujet fécond en études et en méditations de tout genre que l''''apparition resplendissante''' du mulâtre de [[w:Saint-Domingue (colonie française)|Saint-Domingue]] au milieu de cette société française qui lui ouvre ses rangs le convie à toutes ses fêtes et se serre pour lui faire place au banquet de ses priviléges. N'est-ce pas en effet un spectacle bien étrange et bien digne de réflexions que cette destinée proscrite sous le ciel de la patrie, ce mulâtre bâtard deux fois maudit et deux fois réprouvé pour sa naissance et pour sa couleur qui part esclave de [[w:Saint-Domingue (colonie française)|Saint-Domingue]] pour venir s{asseoir à [[w:Paris|Paris]] au sein de la plus belle société du monde. Il y a dans ce seul fait toute une histoire de [[w:Décadence|décadence]], l'histoire d'une société qui se décompose et tire à sa fin. C'était à la même époque presque au même moment que [[w:Giacomo Casanova|Casanova]] cet impudent Vénitien se voyait accueilli comme un enfant gâté par ce même beau monde qui quelques lustres auparavant l'aurait fait jeter à la porte. À ces caprices de femme ennuyée qui cherche à s'étourdir et veut être à tout prix amusée, on peut aisément reconnaître une société qui se meurt. La société française se mourait en effet Miné par la base ce grand et superbe édifice craquait sourdement et près de crouler ouvrait follement ses portes et ses fenêtres à tout ce qui pouvait le distraire des préoccupations de sa ruine. La foule qui s'y pressait enivrée, ardente, éperdue avait hâte de jouir de ses derniers beaux jours elle abdiquait volontiers pourvu qu'on l'amusât d'autant moins sévère dans le choix de ses plaisirs qu'elle était blasée sur tous et qu'elle sentait vaguement que son heure suprême était proche. Quand le chevalier de Saint George apparut la scène était merveilleusement disposée pour le recevoir, l'acteur était lui-même merveilleusement taillé pour la scène : il arriva, comme arrivent les grands hommes au besoin des temps, à propos. Il sut amuser, il régna.&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;Il régna par les graces du corps autant et plus peut être que par le charme de l'esprit. Dans ce temps plus que dans le nôtre, observe M Roger de Beauvoir, l'adresse et les exercices du corps suffisaient pour faire arriver un homme et le conduire par la main à la fortune. Il ya une chose entièrement perdue de nos jours, c'est l'académie, l'art de la natation, de l'équitation, de la danse, du tir à l'épée, au pistolet, au bâton entrait alors dans l'éducation des gentilshommes. Ces exercices donnaient du relief au maintien on pouvait être dispensé d'être un poète, un savant, mais on devait être un cavalier accompli. Or, quel cavalier fut à ce point de vue plus accompli que le chevalier de Saint George ? Au jeu de paume il eut découragé d'Épernon ; à l'escrime humilié Caylus, Maugiron, et Bussy d Amboise. Nul n'avait sa grâce à cheval ; en amour il n avait point de maître. Il écrivait de petits vers et composait de petite musique dont Grimm ne disait pas trop de mal ; il jouait des symphonies avec son fouet, nageait comme Byron dansait comme Vestris et patinait sur la glace comme on ne patine plus. Ajoutez à cela qu'il avait les cheveux crépus les lèvres épaisses et le teint bronzé qualités exotiques dont l'appréciation n'était pas sans un vague intérêt pour les curiosités féminines. C'était d ailleurs un noble cœur qui n'avait rien de commun avec le Vénitien dont j'écrivais le nom tout à l heure. S'il trompa ses maîtresses, il resta fidèle à ses amis : il eut la bonté que donne la force, il fut aussi généreux que brave.&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;Voilà le héros qu'a choisi M. de Beauvoir et je sais peu d'écrivains pour ma part qui soient plus propres que celui là à nous conter un semblable poème. M de Beauvoir l'a divisé en deux parties qui formeront un ensemble de quatre volumes. Les deux premiers ont paru : c'est l'histoire de l'enfance de Saint George mêlée à un drame terrible dont le dénouement est encore pour nous un mystère. C'est là sans doute un drame plein d'un sombre intérêt mais ce que j'aime surtout dans cette première partie du livre de M de Beauvoir, c 'est la vérité des détails et le charme du coloris. Il s'y trouve sur les meurs et sur la vie de la société créole aux Antilles sous Louis XV et Louis XVI une foule de choses exquises dont nous n'avions pas idée jusqu à ce jour. La description y est sobre d'ailleurs et n'absorbe pas le récit. Saint George n'est encore qu'un enfant mais sous cet enfant on devine déjà l'homme qui doit s'élever plus tard souple comme un serpent, agile comme un jaguar. Ce qu'il souffre d'humiliations et de tortures ne saurait se dire mais, l'esclave a le pressentiment d'une destinée meilleure il attend. Le chapitre des Deux Baptêmes est un des plus charmans du livre. L'espèce d'intimité qui s'établit entre Saint-George et le petit marquis de Langey est décrite avec beaucoup de grâce et d'esprit. Toutes les figures qui remuent sur le second plan sont pleines de vie et d'animation enveloppées chacune d'un intérêt qui lui est propre, suivant chacune son instinct et parlant franchement son langage. J'attendrai pour toucher aux principaux acteurs de ce drame les deux volumes qui le compléteront car jusqu'ici nous n'avons qu'une introduction. La première partie de ce livre, ainsi que le dit M. de Beauvoir lui même, ne fait que préparer les voies à la seconde. Déjà sur la fin du deuxième volume nous retrouvons le mulâtre à Paris, au Palais Royal, à la cour, amant de Mme de Montesson, ami du duc de Chartres, recherché des belles, agacé par les coquettes, l'astre des petits soupers le soleil de toutes les fêtes, le lustre des spectacles. Comment s'est opéré ce changement. Par quel art, par quelle magie ? Qu'est devenu l'amour de Saint George pour la marquise de Langey ? Comment la trame brisée à Saint Domingue se renouera t'elle à Paris ? À quels nouveaux développemens allons nous assister ? Quelles merveilles nous sont promises ? Ne reverrons-nous plus le sombre visage de Tio Blas ? Avons-nous perdu pour jamais cette terrible et fatale beauté qui se nomme Mme de Langey ? Tout ceci est encore un mystère dont M. Roger de Beauvoir possède seul le secret ;  ces deux premiers volumes ne sont qu'un appât offert à notre curiosité. Asseyez vous sur le seuil du palais et regardez par la porte entr'ouverte : voyez que d'or et de satin, de dentelles et de rubans, de jeunes et beaux cavaliers, de femmes jeunes et belles ? Et que de fins sourires et que d'amoureux regards ! Que verrez vous donc quand les portes ouvertes à deux battants, M. de Beauvoir vous prenant par la main, vous introduira lui même dans cette société française en train de jeter son dernier bruit et son dernier éclat au milieu de ce monde qu'il semble avoir visité tant il en reproduit avec fidélité la grâce, le charme et l'élégance.  [https://www.google.fr/books/edition/Revue_de_Paris/WLs7AQAAMAAJ?&amp;pg=PA59 REVUE DE PARIS 59]

==== Autres dates de publication (Edition)  ====

 '''1846''' - http://www.wikidata.org/entity/Q29113597Le chevalier de Saint-Georges
 édition
 Boulé
 1846
 {{BNF|30074397t
 {{bibliographie|Q29113597}}

 '''1862'''
 [http://www.wikidata.org/entity/Q23570001 Le chevalier de Saint-Georges]
 édition
 Michel Lévy frères
 1862
 {{bibliographie|Q23570001}}

 '''1869'''
 [http://www.wikidata.org/entity/Q23591937 Le chevalier de Saint-Georges]
 édition
 Michel Lévy frères
 1869
 {{BNF|392352308
 {{bibliographie|Q23591937}}

==== Autres dates de publication (Livre)  ====

 '''1856'''
 [http://www.wikidata.org/entity/Q29113903 Le Chevalier de Saint Georges]
 livre
 Michel Lévy frères
 1856
 {{BNF|41623360g
 {{bibliographie|Q29113903}}

 '''1862'''
 [http://www.wikidata.org/entity/Q29117753 Le Chevalier de Saint Georges]
 livre
 Michel Lévy frères
 1862
 {{bibliographie|Q29117753}}

 '''1869'''
 [http://www.wikidata.org/entity/Q29114047 Le Chevalier de Saint Georges]
 livre	
 Michel Lévy frères
 1869	 
 {{BNF|392352308}}
 {{bibliographie|Q29114047}}

== 1844 ==
* 1783-1844 - Duel au fleuret &amp; blessures : [https://books.google.fr/books?id=JF855R26AbgC&amp;dq=Duel%20%2B%20fleuret%20%2B%20blessures%20%2B%20Chevalier%20de%20Saint-George%20%2B%20Les%20Beaux-arts%20illustration%20des%20arts%20et%20de%20la%20littérature&amp;hl=fr&amp;pg=PA3#v=onepage&amp;q&amp;f=false Un souvenir de Saint-Georges], Les Beaux-arts illustration des arts et de la littérature
** [http://publicdomainreview.org/2016/12/07/the-many-lives-of-the-medieval-wound-man/ The Many Lives of the Medieval Wound Man]

== 1845 ==

==== Georges Touchard-Lafosse.- Apparition du chevalier de Saint Georges, 1845  ====

{{Citation bloc|'''Apparition du chevalier de Saint Georges'''.- Il paraît depuis quelque temps dans le monde un mulâtre, nommé M. de Saint-Georges, dont les talents extraordinaires font beaucoup de bruit. C'est un homme grand, admirablement fait, et dont les traits, malgré leur teinte brune, ont de la noblesse, un certain charme, beaucoup d'expression surtout. On assure que les dames apprécient ce demi-nègre, moins parce qu’il excelle à monter à cheval, à tirer des armes, à jouer du violon et à patiner, que parce qu’il est doué, dit-on, d'une vertu herculéenne que notre sexe passe pour rechercher dans ces temps d'incontinence. M. de Saint-Georges, en qualité de virtuose, a été admis à faire de la musique avec la reine; il en fait cependant davantage avec madame de Montesson, M. le duc d'Orléans l'ayant attaché à sa maison en qualité d'[[s:Page:RogerDeBeauvoir-LeChevalierDeSaint-georgesEdition2V31840.djvu/121|officier des chasses]].&lt;br /&gt;
Il y a peu de jours, le mulâtre à la mode, revenant avec un de ses amis d'une partie fine, fut attaqué par six hommes armés de bâtons. Les deux gentilshommes firent de leur mieux avec leurs vpées; mais ils eussent infailliblement été assommés si le guet ne fût venu à leur secours. M. le duc d'Orléans a fait auprès de M. Lenoir les plus pressantes démarches pour que les assassins subissent une rigoureuse peine; mais bientôt son altesse royale a reçu de haut lieu l'invitation de ne pas se mêler de cette affaire, et les prisonniers ont été relâchés. Tout porte à croire qu’il y avait sous jeu quelque vengeance conjugale, confiée à des assommeurs, vu l'extrême danger qu’il y aurait à se mesurer avec M. de SaintGeorges.&lt;br /&gt;
On se rappellera peut-être, car ces particularités frappent on ne sait trop pourquoi, que Monsieur se vanta très-haut, le lendemain de ses noces, d'avoir mérité une réputation pareille à celle que mon sexe accorde à M. de Saint-Georges. Depuis lors, l'opinion publique s'est inscrite en faux contre cette jactance, jusqu'au point de dire hautement que, dans les derniers temps encore, Madame se trouvait à peu près dans l'état de pureté où nous l'en•voya l'honnête monarque savoyard. On attribuait ce défaut de culture d'un terrain en apparence très-propre au rapport, à une cause plus foncièrement fâcheuse que celle qui retarda longtemps la postérité du roi ; cause à laquelle les postures de l'abbé ne pouvaient sans doute remédier. Tout à coup la nature a paru se révéler chez son altesse royale, du moins à en juger par sa conversation intime : ses courtisans assurent que les propos de ce prince sont très-vifs, très-amoureux, très-ardents. Madame affirme de son côté à ses dames que c’est une éloquence toute de phrases; et ce qui le prouverait un peu, c’est qu'on a démenti la grossesse de cette princesse, dont les flatteurs de son époux s'étaient plu à répandre le bruit.|Georges Touchard-Lafosse.- Chroniques pittoresques et critiques de l'Œil de bœuf, Volume 4, G. Barba, 1845&lt;ref&gt;{{Bibliographie|Q28243565}}, 1845, Chapitre III, 1779-178O-1781], ''Apparition du chevalier de Saint Georges'', [https://books.google.fr/books?id=6TNySnWtZPQC&amp;hl=fr&amp;pg=PA392#v=onepageq&amp;f=false page 392]&lt;/ref&gt;.}}

== 1846 ==

{{Citation bloc|On the story, founded as it is on the well-known “Chevalier de St. Georges&lt;ref&gt;Il s'agit d'une adaptation de &quot;{{bibliographie|Q28123257}} (1840)&quot;, tiré du [[d:Q23591344|roman éponyme]] de [[w:Roger de Beauvoir|Roger de Beauvoir]]&lt;/ref&gt;,” rendered so popular by the fine acting of Lafont at the French Plays, it is unnecessary to dwell. The author has adhered closely to the original piece, only changing the …|The Illustrated London News - Volume 9 - Page 393&lt;ref&gt;[https://books.google.com/books?id=W9FCAQAAIAAJ The Illustrated London News] - Volume 9 - Page 393&lt;/ref&gt;.}}

== 1852 ==

1852 - Voir : St. George ; The Chevalier St. George dans George Dubourg.- The Violin: Some Account of that Leading Instrument, 1852. L'ouvrage n'a pas d'entrée pour Saint-George compositeur, chef d'orchestre &amp; musicien mais donne des &quot;''Hints''&quot;, &quot;''Anecdotes''&quot; à son propos, en relation avec d'autres musiciens de son époque : [https://books.google.fr/books?id=7y0DAAAAQAAJ&amp;hl=fr&amp;pg=PA93#v=snippet&amp;q=St.%20George&amp;f=false St. George] ; [https://books.google.fr/books?id=7y0DAAAAQAAJ&amp;hl=fr&amp;pg=PA93#v=snippet&amp;q=Saint-George&amp;f=false Saint-George] ; [https://books.google.fr/books?id=7y0DAAAAQAAJ&amp;hl=fr&amp;pg=PA191#v=snippet&amp;q=The%20Chevalier%20St.%20George&amp;f=false The Chevalier St. George]&lt;ref&gt;{{bibliographie|Q28464762}}, 1852&lt;/ref&gt;

== 1857 ==
{{Citation bloc|SAINT-GEORGES (N..., dit le chevalier de) était à la fin du siècle dernier l'un des amateurs les plus renommés dans l'art de l'escrime. Son teint basané révélait son origine; il était né à La Guadeloupe, des amours d'une mulâtresse libre avec '''M. Boillongne de Préminville''', riche colon. Le père et protecteur du jeune Georges, devenu fermier général, l'amena en France, lui donna une éducation distinguée, et le fit entrer, sous le nom pompeux de chevalier de Saint-Georges, dans les mousquetaires. À la suppression de ce corps, il devint écuyer de madame de Montesson et capitaine des gardes du duc de Chartres. Habile entre tous dans l'art de manier l'épée, Saint-Georges n'était pas un duelliste ; il eût été par trop dangereux d'avoir avec lui ce qu'on appelle une affaire d'honneur. Livré aux intrigues qui agitaient alors le Palais-Royal, ami intime des Biron (Lanzun), des Custines, des Sillery, il accompagna à Londres, en 1791, le duc d'Orléans dans son exil déguisé sons l’apparence d'une mission diplomatique. Là il eut, en présence du prince de Galles, un assaut d'armes célèbre avec le chevalier d'Éon de Beaumnont, et fut touché. À son retour, il trouva la société entièrement changée. Son art avait cessé d’être en honneur ; on ne se battait plus à l'épée, et le tir au pistolet n'avait pas encore acquis la vogue qu’il a de nos jours. Des salles d'armes Saint-Georges passa sur le terrain des combats véritables, et contribua à la défense de nos frontières. Il leva une espèce de corps franc, dont il se fit le colonel, et le conduisit à l'armée du nord, sous les ordres de Dumouriez. Après la défection de son général, il le dénonça, afin d’éviter les soupçons qui atteignirent un grand nombre de ses compagnons d'armes. Il n'en fut pas moins arrêté comme suspect, en 1794, et se vit à la veille de comparaître devant le terrible tribunal. ''Pare celte botte-là'', lui dit Fouquier-Tinville en lui remettant son acte d'accusation. Le 9 thermidor ayant lui peu de jours après, Saint-Georges fut mis en liberté sans jugement. Il mourut en 1801, dans une situation obscure, mais aisée.|William Duckett (Fils).- Dictionnaire de la conversation et de la lecture&lt;ref&gt;William Duckett (Fils).- [https://books.google.fr/books?id=eQo7AAAAcAAJ&amp;dq=Le%20duc%20de%20Chartres%20nomme%20en%20ce%20jour%20M.%20le%20chevalier%20de%20Saint-Georges%20capitaine%20de%20ses%20chasses.&amp;hl=fr&amp;pg=PA677#v=onepage&amp;q=Le%20duc%20de%20Chartres%20nomme%20en%20ce%20jour%20M.%20le%20chevalier%20de%20Saint-Georges%20capitaine%20de%20ses%20chasses.&amp;f=false Dictionnaire de la conversation et de la lecture], Volume 15, 1857.&lt;/ref&gt;}}

== 1859 ==
* 1859 Jacques Reynaud (1804-1872).- [[w:Comtesse Dash|Comtesse Dash]], Portraits contemporains, Amyot, Paris, {{BNF|36405711p}}, oclc=755735690, https://archive.org/details/ReynaudPortraitsComtemporains, Jacques Reynaud, ou [[s:Comtesse Dash|Comtesse Dash]] est le pseudonyme de ''Anne-Gabrielle de Cisternes de Courtiras Vicontesse de Poilloüe de Saint-Mars''. Son ouvrage ''Portraits contemporains'' est une suite de Biographies d’auteurs du {{S|XIX}} dont un de Joseph Bologne de Saint-George sous le titre ''M. de Saint-Georges'', {{p.|49-60}}

== 1869 ==

{{Citation bloc|SAINT GEORGES de 1 Marquis de St G au château de Mirabeau par Moulins Allier 2 chevalier de St G C ministre plénipotentiaire à Rio Janeiro Brésil 3 de St G en son château à Croutes Aube 4 de St G au château de Terlant par Dun le Roi Cher 5o de St G au château de Chey par Billom Puy de Dôme 6 de St G auditeur au conseil d État Paris 7 de St G au château de Kerenneval par Rosporden Finistère 8 de St G 1o3 rue du Bac Paris 9 de St G 12 rue La Bruyère Paris 1o de St G 14 rue Saint Quentin Paris 1 1 de St G 29 rue Marignan Paris|État présent de la noblesse française contentant le dictionnaire de la noblesse contemporaine, Librairie Bachelin-Deflorenne, 1869&lt;ref&gt;[https://books.google.fr/books?id=h8CyvB_9FtgC&amp;dq=Fran%C3%A7ois%20Ruyneau%20de%20Saint-George&amp;hl=fr&amp;pg=PA1429#v=onepage&amp;q=Fran%C3%A7ois%20Ruyneau%20de%20Saint-George&amp;f=false État présent de la noblesse francaise, 1869]&lt;/ref&gt;}}

== 1871 ==

{{Citation bloc|Saint-George (Le chevalier de), né à la Guadeloupe, 1745-1799, mulâtre, fils de M. de Boulogne, fermier général fut élevé à Paris, entra dans les mousquetaires, devint capitaine des gardes du duc de Chartres et s'attacha à sa fortune. En 1792, il leva, comme colonel, un régiment de chasseurs à cheval, et combattit courageusement sous Dumouriez. Ses dernères années furent malheureuses. Il avait brillé dans le monde par son adresse incroyable dans tous les exercices du corps, par la vivacité de son esprit enjoué et par la bonté de son cœur. Habile musicien, il composa plusieurs opéras-comiques, ''Ernestine''. ''la Chasse'', ''la Fille-Garçon'', des sonates, des concertos, un menuet, qui eurent du succès.|Louis Grégoire.- Dictionnaire encyclopédique d'histoire, de biographie, de mythologie et de géographie, Garnier, 1871, page 1718&lt;ref&gt;Louis Grégoire.- Dictionnaire encyclopédique d'histoire, de biographie, de mythologie et de géographie, Garnier, 1871, [https://books.google.fr/books?id=_ethAAAAcAAJ&amp;dq=Le%20duc%20de%20Chartres%20nomme%20en%20ce%20jour%20M.%20le%20chevalier%20de%20Saint-Georges%20capitaine%20de%20ses%20chasses.&amp;hl=fr&amp;pg=PA1718#v=onepage&amp;q=Le%20duc%20de%20Chartres%20nomme%20en%20ce%20jour%20M.%20le%20chevalier%20de%20Saint-Georges%20capitaine%20de%20ses%20chasses.&amp;f=false 1718]&lt;/ref&gt;.}}

== 1875 ==

{{Citation bloc|''Pare cette botte-là'', lui dit [[w:Antoine Fouquier-Tinville|Fouquier-Tinville]] en lui remettant son acte d'accusation.|Dictionnaire de la conversation et de la lecture, Volume 15, 1875&lt;ref&gt;[https://books.google.fr/books?id=ZrMcAAAAMAAJ&amp;dq=Boillongne%20de%20Préminville&amp;hl=fr&amp;pg=PA677#v=onepage&amp;q=Boillongne%20de%20Préminville&amp;f=false Dictionnaire de la conversation et de la lecture, Volume 15, 1875]&lt;/ref&gt;.}}

== 1876 ==
* {{Citation bloc|De Saint-Georges (le chevalier), 1{{er}} violon des Concerts des Amateurs à Paris, mort à Paris le 12 juin 1799|Édouard-Georges-Jacques Gregoir.- Notice biographique sur François Joseph Gossé dit Gossec, 1876&lt;ref&gt;Citation de Saint-George parmi les élèves de François-Joseph Gossé dit Gossec, {{bibliographie|Q28217209}}, 1876, [https://books.google.fr/books?id=wG_NAAAAMAAJ&amp;hl=fr&amp;pg=RA2-PA259-IA2#v=onepage&amp;q=Fran%C3%A7ois-Joseph%20Gossé&amp;f=false page 265], publié dans {{bibliographie|Q28216728}}, page [https://books.google.fr/books?id=wG_NAAAAMAAJ&amp;dq=Journal%20de%20Paris%20%2B%20juin%201799%20%2B%20Saint-Georges&amp;hl=fr&amp;pg=RA2-PA314#v=onepage&amp;q&amp;f=false page 314]&lt;/ref&gt;.}}

== 1895 ==

{{Citation bloc|1895 - Le mulâtre Julien, chef d'orchestre de bals et conduisant la musique aux réunions de Berthier|Mémoires du général bon Thiébault, 1895&lt;ref&gt;[https://books.google.fr/books?id=PfdKAQAAMAA Mémoires du général bon Thiébault]&lt;/ref&gt;.}}

== 1907 ==
* {{Citation bloc|[[s:Page:Lara - Contribution de la Guadeloupe à la pensée française, 1936.djvu/314|1907]] - Parmi ces familles créoles dont l’histoire naturelle est un livre ouvert où chacun peut lire, il s’en trouve quelques-unes dont l’origine est entourée de mystère. Le chevalier de Saint-George est de ceux-là !|Mermeix (Gabriel Terrail) dans {{Bibliographie|Q19149609}}, 1936, [[s:Page:Lara - Contribution de la Guadeloupe à la pensée française, 1936.djvu/311|page 263]]}}

== 1919 ==
* Frederick H. Martens.-The Chevalier de Saint-George: Violinist, Jstor, January 1, 1919, [https://archive.org/details/jstor-737927 Internet Archive]

== 1967 ==

{{Citation bloc|1967 - ... (''en 1781'') : C'est le titre d'une contredanse publiée par Julien vers 1781 et dont la figure complète est ainsi composée : 1. ... 271) dit de lui : « ...le mulâtre Julien, chef d'orchestre des bals,... jouait la contredanse si merveilleusement qu'on lui demandait |Daniel Vidal.- Changements industriels et productivité: Crise et décentralisation à Reims, 1967, [https://books.google.fr/books?id=WC1bmwKf5uoC Page 163]}}

== 1975 ==

{{Citation bloc|Le nom de Saint-Georges ne figure pas dans l'état de la Maison des d'Orléans ; de plus, n'étant ... En fait, la charge de Capitaine des Gardes du Duc de Chartres était occupée par M. de Genlis... En fait, la charge de Capitaine des Gardes du Duc de Chartres était occupée par M. de Genlis. ... Saint-Georges fut nommé, par le Duc d'Orléans, Lieutenant des Chasses de Rinci ; il obitint cette charge qui lui rapportait honneur et profit, sans ... Ainsi, le Chevalier obtint, en avril 1779 — ou le {{1er}} mai de cette année — la place de Lieutenant des Chasses du Raincy ; cette place fut créée pour lui sur ...|Extraits de ''Bulletin de la Société d'histoire de la Guadeloupe''&lt;ref&gt;''[https://books.google.com/books?id=5cRrAAAAMAAJ Bulletin de la Société d'histoire de la Guadeloupe]''&lt;/ref&gt;, 1975}}

== 1978 ==

{{Citation bloc|Mettez sur le front d'Othello la gaieté de don Juan, vous aurez le chevalier de Saint-Georges. Lafont a représenté ce personnage à désespérer Saint-Georges lui-même, s'il revenait en ce monde. Allez voir cette pièce, mais n'en lisez pas...| L'Artiste], 1978, page 199&lt;ref&gt;[https://books.google.com/books?id=4qZFAQAAMAAJ L'Artiste], 1978, page 199.&lt;/ref&gt;.}}

== 1996 ==
* 1996 - {{bibliographie|Q28123839}}

== 2001 ==
* 2001 - {{Ouvrage
 | langue                 = fr
 | prénom1                = Archives
 | nom1                   = Départementales
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 | titre                  = Le fleuret et l’archet
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== 2006 ==
* {{Citation bloc|La surprise n'est pas mince de lire, le 25 avril 1780, qu'un « concerto de M. de Saint George sera joué par le violoniste Joseph ». ... Cet enfant est l'élève « du maître de musique Joseph César ». ... Un autre concerto du Chevalier sera interprété par un violoniste nommé Quieroly, dont nous ne savons rien, comme nous ne savons rien également d'un autre violoniste noir ... Dans le cas des trois musiciens cités, on ne peut croire à une simple imitation au regard des œuvres jouées.|Pierre Bardin.- [https://books.google.com/books?id=3j4jAQAAIAAJ Joseph de Saint George] - Page 126, 2006 - ‎Extraits}}
** {{Citation bloc|Signalons également Joseph César, symphoniste du roi de Pologne en 1764, peut-être aussi parent de Jean-Baptiste César (2). Celui-ci, ordonné prêtre en 1775, fut d'abord maître de musique de la Cathédrale de Dijon, du 1er janvier 1776|Société historique et archéologique de Langres.- [https://books.google.com/books?id=tFwSAAAAIAAJ Bulletin - Volume 11 - Page 272], 1935 - ‎Extraits}}

== 2007 ==
* 2007 - {{bibliographie|Q28216169}}
* {{Citation bloc|2007 - ‎Le chevalier de Saint-George était un personnage aussi flamboyant que le chevalier d'Éon. Mulâtre, fils d'un planteur à la Guadeloupe, qui était aussi conseiller au Parlement de Metz&lt;ref&gt;Il s'agit très probablement de [[w:Pierre de Bologne|Pierre de Bologne}}.&lt;/ref&gt;, et d'une esclave noire, il était à la fois bretteur renommé, musicien et compositeur. (...) French painter and engraver active in England when this event took place, Robineau also executed a portrait of the Prince of Wales.|{{Bibliographie|Q28373671}}&lt;ref&gt;Christine Rolland.- Lire en ligne : [https://books.google.fr/books?id=WbxnAAAAMAAJ&amp;q=The+Chevalier+St.+George+%2B+Prince+of+Wales%27s+%2B+Guadeloupe&amp;dq=The+Chevalier+St.+George+%2B+Prince+of+Wales%27s+%2B+Guadeloupe&amp;hl=fr&amp;sa=X&amp;ved=0ahUKEwj0lrSgu8nRAhWFfxoKHY5XCEIQ6AEIMDAA Le Chevalier d'Eon, secrets et lumières : catalogue de l'exposition].&lt;/ref&gt;.}}

== 2008 ==
* Gérard Lafleur, Jean-Claude Halley, Gérard Lafleur évoque le milieu dont est issu Le chevalier de Saint-George, Manifestation de la Distillerie Bologne !, [http://halleyjc.blog.lemonde.fr/2008/02/19/gerard-lafleur-evoque-le-milieu-dont-est-issu-le-chevalier-de-saint-george/ Halleyjc.blog], 19 février 2008.


== 2015 ==
* 2015 - {{bibliographie|Q28530735}}. [https://books.google.fr/books?id=AXbmBgAAQBAJ&amp;lpg=PP1&amp;hl=fr&amp;pg=PP1#v=onepage&amp;q=Saint-George&amp;f=false Trois occurrences à propos de Saint-George].

== Sans date  ==
* [[d:Q28008300|S.d.]] - {{bibliographie|Q28008300}}

== 2005 - Luc Nemeth, État-civil de Saint-George  ==


{{Citation bloc|Abstract : Le caractère lacunaire des archives anciennes de la commune du Baillif (Guadeloupe) et la naissance illégitime de Saint-George, enfant naturel d'une esclave, expliquent en partie le flou qui a pu entourer l'état-civil de celui-ci : trois dates de naissance différentes ont pu lui être attribuées, non sans quelque bien-fondé pour chacune. Mais, en ce qui concerne les paternités qui ont été successivement mises en avant - et sans jamais de preuve à l'appui : il s'agissait au départ, pour une société incapable de concevoir qu'un mulâtre ait pu avoir du talent, d'en faire malgré lui le fils d'un aristocrate. Ce type de motivation n'a plus cours, en principe, et le vrai père est connu depuis 1972 ; mais on assiste encore à des tentatives pour brouiller les cartes.|{{bibliographie|Q28199453}}, 2005.}}

=== 2005 - Christine Rolland, Saint-George, fils de Pierre de Bologne  ===
[[Fichier:Bologne, Nogan en Champagne.jpg|100px|vignette|gauche|Les Capizucchi-Bologne maintenu dans la noblesse, 11 février 1767]]

{{Citation bloc|‎Le chevalier de Saint-George était un personnage aussi flamboyant que le chevalier d'Éon. Mulâtre, fils d'un planteur à la Guadeloupe, qui était aussi conseiller au Parlement de Metz&lt;ref&gt;Il s'agit très probablement de [[w:Pierre de Bologne|Pierre de Bologne}}.&lt;/ref&gt;, et d'une esclave noire, il était à la fois bretteur renommé, musicien et compositeur.|{{Bibliographie|Q28373671}}, 2007&lt;ref&gt;Christine Rolland.- Lire en ligne : [https://books.google.fr/books?id=WbxnAAAAMAAJ&amp;q=The+Chevalier+St.+George+%2B+Prince+of+Wales%27s+%2B+Guadeloupe&amp;dq=The+Chevalier+St.+George+%2B+Prince+of+Wales%27s+%2B+Guadeloupe&amp;hl=fr&amp;sa=X&amp;ved=0ahUKEwj0lrSgu8nRAhWFfxoKHY5XCEIQ6AEIMDAA Le Chevalier d'Eon, secrets et lumières : catalogue de l'exposition].&lt;/ref&gt;.}}

=== 2007 - Biographie de Gabriel Banat  ===
* 2007 - {{bibliographie|Q28216169}}

== Contemporains de Saint-George à Gratien Candace [décembre 1735 - 1809 - 11 avril 1953]  ==
* 1747-1814 - [[d:Q2853470|Desmaillot Antoine François Eve]], ''Antoine-François Ève'' dit Desmaillot
* 1750-1816 - [[d:Q311447|Francisco de Miranda]] (28 mars 1750 - 14 juillet 1816)
* [[w:Jacques François Dugommier|Jacques François Dugommier]], né le 1er août 1738 à [[w:Trois-Rivières|Trois-Rivières]] en [[w:Guadeloupe|Guadeloupe]] est décédé le 18 novembre 1794 lors de la [[w:Bataille de la Sierra Negra|bataille de la Sierra Negra]].
* Charles-François Lebrun, (1739-1824)   Voir les notices liées en tant qu'auteur  Titre(s) : Corps législatif. Conseil des Anciens. Rapport fait par Lebrun sur les dépenses ordinaires et extraordinaires de l'an cinquième. Séance du 16 brumaire

{| class=&quot;wikitable sortable&quot;
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! Acteur !! colspan=&quot;2&quot; |Pays
Suivi de Colonie  
!! colspan=&quot;7&quot; |Date de naissance suivie de date de décès
(1735 - 1953) 
!! colspan=&quot;2&quot; |Migration !! Période
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! Nom, Prénom&lt;ref&gt;Lien vers Wikipédia, suivi de (d), lien vers Wikidata.&lt;/ref&gt; !! État souverain !! Colonie !! Avant 1735 !! Joseph Bologne !! Général Dumas !! Dumas père !! Dumas fils !! Gratien Candace !! Après 1952 !!de !! vers !! Période
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| [[W:Louis XV|Louis XV]] [[d:Q7738|(d)]] ||France||-|| 1710 || - || 1774 || - || Texte de la cellule || - || - || - || - || - 
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| [[W:Georges de Bologne Saint-Georges|Georges de Bologne Saint-Georges]] [[d:Q696039|(d)]] || France || - || 1711  || - || 1774 || - || - || - || - || - || - || - 
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| [[W:Louis-Jean-Marie de Bourbon|Louis Jean Marie de Bourbon, duc de Penthièvre, Grand amiral de France de 1737 à 1791]] [[d:Q3103674|(d)]] || France || - || 1725  || - || 1793 || - || - || - || - || - || - || - 
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| '''[[W:Joseph Bologne de Saint-George|Joseph Bologne]]''' [[d:Q726953|(d)]] || France || Guadeloupe || - ||1735
à
1745
||1799 ''à'' || 1810||- ||-||-|| Guadeloupe || France 
Angleterre Belgique 
|| 1753
1799
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| '''[[W:Thomas Alexandre Dumas|Général Dumas]]''' [[d:Q572684|(d)]] || France || Saint-Domingue || - || - || 1762 || 1806||- ||-||-|| Saint-Domingue || France 
Italie Égypte 
|| 1793
1799
|-
| '''[[W:Alexandre Dumas|Dumas père]]''' [[d:Q38337|(d)]] || colspan=&quot;2&quot; |France. Voyage en Europe. Candidature électorale en Guadeloupe || - ||-|| 1802 || - ||1870||-|| -  
|| Texte de la cellule
|-
| '''[[W:Alexandre Dumas fils|Dumas fils]]''' [[d:Q169150|(d)]] || France || Texte de la cellule || - || - || - ||-||1824||1895||-|| Texte de la cellule || Texte de la cellule || Texte de la cellule
|-
| '''[[W:Gratien Candace|Gratien Candace]]''' [[d:Q3115697|(d)]] || France ||Guadeloupe
|| - ||-||-||-||-||1873
||1953|| Guadeloupe || France 
Caraïbes Suisse 
|| Texte de la cellule
|-
| [[w:Charles-Pierre-Paul Savalette de Langes|Charles-Pierre-Paul  '''marquis de'''  Savalette de Langes]] [[d:Q3474449|(d)]] || France, Tours || Texte de la cellule || - || 1745-1797 || - || - || - || - || - || ? || ? || ? 
|-
|Louis-Philippe de Ségur [[d:Q1262731|(d)]] || - || - || - || 1753 || - || - || 1830 || - || - || Paris || États-Unis d'Amérique  (1783) 
Russie (1785 à 1789) || - 
|-
|J. Hector St John de Crèvecoeur [[d:Q1493812|(d)]] || France, Nouvelle France, Angleterre, USA || 13 colonies || 31 décembre 1735 || - || - || 12 novembre 1813 || - || - || - || Caen || Nouvelle France USA Sarcelles Munich Normandie || 1751-1813 
|-
| Charles-François Lebrun [[d:Q707712|(d)]] || - || - || - || 1739 || - || - || 1824 || - || - || - || - || - 
|-
| Adolphe Blanqui [[d:Q27850753|(d)]]|| - || - || - || - || 1798 || - || 1854 || - || - || - || - || - 
|-
|&lt;nowiki&gt;Jules-Henri Vernoy de Saint-Georges [[d:Q967704|(d)]]&lt;/nowiki&gt;, incertitude
|| - || - || - || - || 1799 || - || - || 1875 || - || - || - || - 
|-
| [[w:Charles-Joseph de Ligne|Charles-Joseph de Ligne]], [[d:Q462657|(d)]] || France || - || 1735 || Texte de la cellule || Texte de la cellule || Texte de la cellule || 1814 || Texte de la cellule || Texte de la cellule || Texte de la cellule || Texte de la cellule || Texte de la cellule 
|-
| Texte de la cellule || Texte de la cellule || Texte de la cellule || Texte de la cellule || Texte de la cellule || Texte de la cellule || Texte de la cellule || Texte de la cellule || Texte de la cellule || Texte de la cellule || Texte de la cellule || Texte de la cellule || Texte de la cellule 
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| Texte de la cellule || Texte de la cellule || Texte de la cellule || Texte de la cellule || Texte de la cellule || Texte de la cellule || Texte de la cellule || Texte de la cellule || Texte de la cellule || Texte de la cellule || Texte de la cellule || Texte de la cellule || Texte de la cellule 
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|}

== Sociabilité de Saint-George  ==

=== Culture &amp; Education  ===

=== Américanité de Saint-George  ===

==== Statistiques avec Google Books Ngram Viewer  ====
* [https://books.google.com/ngrams/graph?content=Nouveau+Monde%2CAmérique%2CAntilles%2CGuadeloupe%2CSaint-Domingue%2CMartinique%2CAméricain%2CAntillais%2CCréole%2CAméricanité&amp;year_start=1500&amp;year_end=2008&amp;corpus=19&amp;smoothing=3&amp;share=&amp;direct_url=t1%3B%2CNouveau%20Monde%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2CAmérique%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2CAntilles%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2CGuadeloupe%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2CSaint%20-%20Domingue%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2CMartinique%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2CAméricain%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2CAntillais%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2CCréole%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2CAméricanité%3B%2Cc0 French, (Nouveau Monde,Amérique,Antilles,Guadeloupe,Saint-Domingue,Martinique,Américain,Antillais,Créole,Américanité), 1500-2008]
* [https://books.google.com/ngrams/graph?content=New+World%2CAmerica%2CWest+Indies%2CAmerican%2CAméricanité&amp;year_start=1500&amp;year_end=2008&amp;corpus=18&amp;smoothing=3&amp;share=&amp;direct_url=t1%3B%2CNew%20World%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2CAmerica%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2CWest%20Indies%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2CAmerican%3B%2Cc0 British english, (New World,America,West Indies,American,Américanité), 1500-2008]
* [[w:ht:Antiyanite|Antiyanite (Antillanité)]] ; [[w:Antillanité|Antillanité]], [https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Spécial:Recherche&amp;search=Antillanité&amp;searchToken=4my91q1r5n378qvp3t3knrhw6 (Créer la page ?)]

==== Bibliographie (Culture &amp; Education)  ====

2003 - {{bibliographie|Q28609483}} Américanité
* 1751-2005 - {{bibliographie|Q28113323}}

=== Les loges maçonniques  ===

==== Loge du Contrat social  ====

{{Citation bloc|The oldest of these was La Loge du Contrat social de st. Jean d'Écosse ... Charles Pierre-Paul, Marquis de savalette de Langes, founded this lodge in 1771|Loge du Contrat social dans {{bibliographie|Q27781200}}, 2014&lt;ref&gt;{{bibliographie|Q27781200}}, 2014, [https://books.google.fr/books?id=X9eUBwAAQBAJ&amp;lpg=PA17&amp;dq=Charles-Pierre-Paul%20Savalette%20de%20Langes%20%2B%20Chevalier%20de%20Saint-George&amp;hl=fr&amp;pg=PA17#v=onepage&amp;q&amp;f=false page 17]&lt;/ref&gt;}}.

==== La Loge Olympique  ====

&quot;''La réforme opérée par [[w:Christoph Willibald Gluck|Gluck]] et [[w:Niccolò Vito Piccinni|Piccini]] dans la musique française vint heureusement porter remède à cet état précaire. Des œuvres plus larges, plus vraies, mieux senties, remplacèrent les pâles compositions qui avaient précédé. Des praticiens habiles se formaient de toutes parts à l'école du style sévère et des combinaisons savantes de [[w:Christoph Willibald Gluck|Gluck]]. Le [[w:Concert Spirituel|concert spirituel]] qui était alors sous la direction de '''Le Gros''', profita de toutes ces innovations, s’enrichit de tous ces progrès ; son répertoire devint plus varié, son orchestre se montra plus nombreux et plus fort ; et pour que la réforme fût entière, on améliora jusqu'aux dispositions matérielles du local : des loges furent construites, des décorations élégantes se dessinèrent, en honneur de la musique qui s'était faite plus riche et plus belle. Le concert spirituel occupait par autorisation de Louis XVI, l’emplacement où se trouve aujourd’hui la salle de spectacle aux [[w:Palais des Tuileries|Tuileries]], lorsqu’il termina vers [[w:1791|1791]] la première phase de son existence.''

''Comme on peut le penser, le concert spirituel, une fois sa vogue déclarée n’avait pas été long-temps sans provoquer les imitations. Toute heureuse entreprise fait naître infailliblement des entreprises rivales qui visent au même succès. Ainsi, le [[w:Concert des Amateurs|concert des amateurs]] fondé en [[w:1775|1775]]&lt;ref&gt;&quot;Le Concert des Amateurs est une société d’organisation de concerts musicaux en France, créée en 1769 et disparue en 1781&quot;, [[w:Concert des Amateurs|fr.Wikipédia]].&lt;/ref&gt; à l’[[w:Hôtel de Soubise|hôtel de Soubise]], par le fermier-général de La Haye&lt;ref&gt;[https://books.google.fr/books?id=nkFJAAAAcAAJ&amp;lpg=PA224&amp;ots=YoOPK3VDVQ&amp;dq=Charles%20Marin%20de%20La%20Haye%20des%20Fosses&amp;hl=fr&amp;pg=PA225#v=onepage&amp;q=Charles%20Marin%20de%20La%20Haye%20des%20Fosses&amp;f=false Charles Marin de La Haye] des Fosses, Ecuyer, l’un des Fermiers Généraux de S. M. depuis 1761, né le 4 mai 1736, épousa le 3 décembre 1755 Demoiselle Marie-Adélaïde-Victoire Bouret, fille d’Etienne-Michel Bouret, Ecuyer, aussi l’un des Fermiers Généraux de S. M. Administrateur Général des Postes de France, &amp; de Dame Marie-Thérèze Tellès-Dacosta ; &amp; de ce mariage il a deux enfans, qui suivent.&lt;br /&gt;Etienne-marie de la Haye, Ecuyer, naquit le 11 août 1757.&lt;br /&gt;Antoine-philippe de la Haye, Ecuyer, naquit le 3 août 1763.&lt;br /&gt;Cf biographie contradictoire ''La Bibliothèque de [http://histoire-bibliophilie.blogspot.fr/2013/07/la-bibliotheque-de-lhotel-lambert.html l’hôtel Lambert]'' &quot;En 1745, Marin de La Haye en était le propriétaire&quot;.&lt;br /&gt;Vu &amp; vérifié par Nous Chevalier, Conseiller du Roy en ses Conseils, Juge d’Armes de la Noblesse de France.&lt;/ref&gt; ; plus lard, le [[w: Concert de la Loge Olympique|concert de la loge olympique]], puis encore le [[w:Théâtre Feydeau|concert Feydeau]] et celui de la rue de Cléry, qui attirèrent la foule en 1796 et 1802, ne furent que des modifications plus ou moins diverses du concert spirituel. Chacun de ces concerts eut d’ailleurs ses succès propres, ses jours heureux, ses résolutions habiles et son public de prédilection. Ce fut au concert des amateurs, dirigé par le vénérable [[w:François-Joseph Gossec|Gossec]]&lt;ref&gt;François-Joseph Gossec dirige le concert des amateurs de 1769-1773&lt;/ref&gt;, qu'on entendit pour la première fois, les symphonies avec instruirions a vent de Toelski, de Vanhœll, de [[w:Anton Stamitz|Stamitz]] et enfin de Gossec lui-même qui introduisit dans ce genre de musique le brillant style précurseur de Haydn. Le concert de la loge olympique se distingua par un rare mérite d’exécution; le violon y brillait du plus vif éclat dans les mains de [[w:Giovanni Battista Viotti|Viotti]], Mestrino, [[w:Pierre Lahoussaye|Lahoussaye]], Gervais, Berthaume, Fodor, Jarnowik, Guenin et Blasius; le violoncelle s'honorait des deux Duport, des deux Icanson, des deux Levasseur et de l’anglais Crosdill. Parmi les instrumens à vent : [[w:Jean-Joseph Rodolphe|Rodolphe]]&lt;ref&gt;[https://books.google.fr/books?id=jGg5AQAAMAAJ&amp;dq=Le%20Gros%20%2B%20Concert%20spirituel&amp;hl=fr&amp;pg=PA228#v=onepage&amp;q=Le%20Gros&amp;f=false Jean-Joseph Rodolphe] in Alexandre Choron, François Joseph Marie Fayolle Dictionnaire historique des musiciens, artistes et amateurs&lt;/ref&gt; pour le cor, Raull et Hugot pour la flûte, Sahntin pour le haut-bois, Ozi et Devienne pour le basson, couronnaient cet ensemble merveilleux de talens du premier ordre. Les symphonies de Haydn qui avaient été apportées pour la première fois en France par le violoniste polonais Fonteski, furent exécutées dans leur véritable esprit, au concert de la loge olympique, grâce à tous ces ingénieux et habiles interprètes qui rivalisaient de mérite autant que de zèle. Haydn composa même expressément pour cette société de musiciens quelques-unes de ses symphonies qui, dans les premières éditions, portent le titre de répertoire de la loge olympique&quot;.''&lt;ref&gt;Le monde dramatique, Volume 6, Gregoire, 1838 ([https://books.google.fr/books?id=VnE9AAAAYAAJ&amp;dq=Haydn%20%2B%20Concert%20Olympique&amp;hl=fr&amp;pg=PA307#v=onepage&amp;q=Haydn%20+%20Concert%20Olympique&amp;f=false 1] - [https://ahrf.revues.org/2083 2]&lt;/ref&gt;.

=== Bibliographie (Contemporains de Saint-George [1735 - 1809])  ===
* 1782 - {{bibliographie|Q3237022}}
* 2014 - {{bibliographie|Q27781200}}, publié le 15 mars 2014
* 2015 - {{bibliographie|Q27780714}}

== Les figures du Chevalier de Saint-George dans l'œuvre de Alexandre Dumas  ==
[[Fichier:Maison Dumas Château de Monte-Cristo 01.jpg|100 px|vignette|gauche|Le château de Monte-Cristo, Maison de Alexandre Dumas, père]]

En 1849, un an après l'abolition de l'esclavage colonial par le [[w:Décret d'abolition de l'esclavage du 27 avril 1848|décret du 27 avril 1848]], alors que Dumas publie ''Le Collier de la Reine'', récit de la défaite de la famille royale et de la monarchie française, et ''Les mille et un fantômes'', il doit livrer le [[w:Château de Monte-Cristo|château de Monte-Cristo]] aux enchères. Il est poursuivi pour dettes et le Théâtre Historique fait faillite. Or, perdre ses biens, être poursuivi pour dettes est la situation personnelle qui conduit presque inexorablement à la condition d'esclave. Dumas n'a pas une activité de premier plan dans le mouvement pour l’abolition de l'esclavage mais, dans sa vie personnelle il joue sa tête et sa liberté tout comme les principaux personnages dans ''[[w:Le Collier de la reine|Le Collier de la Reine]]''.

=== Bibliographie (Les figures du Chevalier de Saint-George dans l'œuvre de Alexandre Dumas)  ===
* 1849 - {{Bibliographie|Q28019119}}
** 1856 - {{bibliographie|Q28020135}}
** 1873 - {{bibliographie|Q28019732}}

== Bibliographie à propos de Saint-George  ==

==== Joseph Bologne de Saint-George (Œuvres)  ====
* Bnf Gallica [http://cataloguelabs.bnf.fr/changerPageAdv.do?mots0=ALL%3B-1%3B0%3BSaint-Georges%2C+Joseph+Boulogne&amp;mots1=&amp;mots2=&amp;mots3=&amp;mots4=&amp;faclocs=&amp;facDocs=&amp;facNots=&amp;facSpec=&amp;typoCarto=&amp;typoIcono=&amp;typoAudio=&amp;typoMus=&amp;langue0=LAN%3B-1&amp;langue1=LAN%3B0&amp;datepub=&amp;corpus=&amp;index=&amp;numNotice=&amp;listeAffinages=&amp;nbResultParPage=10&amp;afficheRegroup=false&amp;affinageActif=false&amp;pageEnCours=1&amp;nbPage=12&amp;trouveDansFiltre=&amp;triResultParPage=5&amp;critereRecherche=&amp;pageRech=rav Saint-Georges, Joseph Boulogne]
* &quot;...le chevalier de Saint-George, qui conduit le Concert des Amateurs fondé par le maréchal de Soubise de 1769 à 1781 est unne grande figure, qui touche elle aussi aux horizons lointains. L’ensemble musical, qui comptera jusqu'à soixante-dix pupitres, se produit une douzaine de fois par an dans le salon du prince de Soubise. L’Almanach musical de 1775 en fait le meilleur orchestre de Paris et d’Europe&lt;ref&gt;Véronique Castagnet, Christophe Barret, Annick Pegeon.- Le Service éducatif des Archives nationales : par chemins de traverse, [https://books.google.fr/books?id=2XA2VlO5EyEC&amp;lpg=PA138&amp;ots=30iS5WSO-k&amp;dq=Almanach%20musical%20%2B%201775%20%2B%20Amateurs%20%2B%20H%C3%B4tel%20de%20Soubise&amp;hl=fr&amp;pg=PA138#v=onepage&amp;q&amp;f=false p. 138], Presses Univ. Septentrion, 2012 - 249 pages.&lt;br /&gt;[https://books.google.fr/books?id=Yy9JgZQQ9XQC&amp;lpg=PA162&amp;dq=Almanach%20musical%20%2B%20Saint-George&amp;hl=fr&amp;pg=PA162#v=onepage&amp;q&amp;f=false L’Almanach musical, (Paris, 1775), 189] {{BNF|43112180h}}, Note 12, p.162 in Gabriel Banat.- The Chevalier de Saint-Georges: Virtuoso of the Sword and the Bow&lt;/ref&gt;&quot;
* 1998 - {{bibliographie|Q27554049}}

=== Joseph Bologne de Saint-George  ===
[[Fichier:Monsieur de St-George.jpg|100px|vignette|gauche]]

;Joseph Boulogne (?) de Saint-George

{{Citation bloc|Le chevalier de Saint-Georges, mulâtre, né à la Guadeloupe en 1745 et mort en 1799. Il était fils d’une femme de couleur et de M. de Boulogne, qui devint fermier général.''|[[w:Elisabeth Louise Vigée Le Brun|Elisabeth, Louise Vigée Le Brun]] (1755-1842), Souvenirs de Madame Vigée Le Brun, Lettre II, page 19, Charpentier, Paris, 1869.}}

{{Citation bloc|Georges Boulogne de Saint-George est-il apparenté à Joseph Boulogne de Saint-Georges, né en 1739 à [[w:Basse-Terre|Basse-Terre]], mort en 1801 à Paris, fils d’un conseiller au Parlement de Metz, puis fermier général, et d’une Noire...|Jean-Marie Williamson, Les passions de Marie Renault (1775-1855)&lt;ref&gt;Jean-Marie Williamson, : de Saint-Domingue à Tonnay-Charente, Khartala, 2001[https://books.google.fr/books?id=waV4GEROwnoC&amp;lpg=PA123&amp;dq=Le%20Sieur%20de%20Saint-George%20%2B%20Saint-Domingue&amp;hl=fr&amp;pg=PA124#v=onepage&amp;q=Le%20Sieur%20de%20Saint-George%20+%20Saint-Domingue&amp;f=false Les passions de Marie Renault (1775-1855)] : de Saint-Domingue à Tonnay-Charente, Khartala, 2001, p. 124&lt;/ref&gt;.}}

[[w:en:Chevalier de Saint-Georges|Joseph Bologne, Chevalier de Saint-Georges]] &quot;''also Saint-George and Joseph Boulogne''&quot;, (25 Décember 1745 – 10 June 1799) est donné comme membre de la [[w:en:Society of the Friends of the Blacks|Society of the Friends of the Blacks]] sur en.Wikipedia.

==== Étymologie du prénom de Joseph  ====
[[Fichier:Joseph sold into slavery and taken to Egypt, Getty edu1.png|100px|vignette|gauche|Anonyme.- [[w:Joseph (fils de Jacob)|Joseph, fils de Jacob]] vendu en esclavage et emmené en Égypte, {{s|XVII}}.]]
[[Fichier:José y la mujer de putifar de Antonio María Esquivel.JPG|100px|vignette|gauche|Joseph et la femme de Potifar, tableau d'[[w:Antonio María Esquivel|Antonio María Esquivel]], 1854.]]

Les esclaves désignés par leur prénom

[[w:Joseph (fils de Jacob)#Étymologie du nom de Joseph|Étymologie du prénom &quot;Joseph&quot;]]

=== Les métiers de Joseph Bologne de Saint-George  ===
(Ordre aphabétique)

==== Joseph Bologne de Saint-George, garde-chasse  ====
* [http://theses.enc.sorbonne.fr/2015/pinoteau Henri Pinoteau.- Thèse] : [http://www.enc-sorbonne.fr/fr/positions-these/chasses-royales-louis-xvi-leur-sort-durant-revolution-splendeur-ruine-du-monde Les chasses royales sous Louis XVI et leur sort durant la Révolution : splendeur et ruine du monde des plaisirs de Sa Majesté (1774-1799)], Date de soutenance : 2015.

{{Citation bloc|En fait, la charge de Capitaine des Gardes du Duc de Chartres était occupée par M. de Genlis (8). ... ic-i r M. de Saint -Georges pour ses spectacles, a fait créer par M. le Duc d’Orléans une place pour lui dans ses chassas, avec toutes ... Saint-Georges fut nommé, par le Duc d’Orléans, Lieutenant des Chasses de Rinci (11) ; i! obitint cette charge qui lui rapportait ... Ainsi, le Chevalier obtint, en avril 1779 — ou le {{1er}} mai de cette année — la place de Lieutenant des Chasses du Raincy ...|Bulletin de la Société d'histoire de la Guadeloupe, Numéros 1 à 10, Archives départementales, 1975&lt;ref&gt;[https://www.google.com/search?tbm=bks&amp;q=Le+duc+de+Chartres+nomme+en+ce+jour+M.+le+chevalier+de+Saint-Georges+capitaine+de+ses+chasses. Voir bibliographie]&lt;/ref&gt;.}}

{{Citation bloc|Saint-Georges, que le duc de Chartres se piquait d’affectionner, en raison de ses manières, qui relevaient 
la vulgarité des siennes, et de la conformité de leurs deux âges...|Roger de Beauvoir.- Le Chevalier de Saint-Georges, 1840, [[s:Page:RogerDeBeauvoir-LeChevalierDeSaint-georgesEdition2V31840.djvu/106|page 98]].}}

==== Joseph Bologne de Saint-George, sportif  ====

==== L'escrime au fleuret  ====
* 1906 - {{bibliographie|Q28020605}}

==== Patinage artistique  ====

Alexandre Dumas met en scène Saint-George dans La pièce d’eau des Suisses, chap. IX, du Collier de la Reine&lt;ref&gt;{{Bibliographie|Q28019119}}, 1849, [https://books.google.fr/books?id=e8ULAAAAIAAJ&amp;hl=fr&amp;pg=PA55#v=onepage&amp;q=La%20pièce%20d'eau%20des%20Suisses&amp;f=false page 55]. Le Collier de la Reine appartient à la série &quot;Mémoires d’un médecin&quot;. Romans de la série :  Joseph Balsamo, Le collier de la reine, Ange Pitou, La comtesse de Charny &lt;/ref&gt;, publié en 1849 : « ''Parfois un cri d’admiration part du milieu de l’assemblée. C’est que Saint-Georges, le hardi patineur, vient d’exécuter un cercle, si parfait, qu’un géomètre en le mesurant n’y trouverait pas un défaut sensible''. »

Ces cercles sont décrits dans ''[[d:Q28018752|Skating with Bror Meyer]]''&lt;ref&gt;1921 - {{bibliographie|Q28018752}}&lt;/ref&gt;. L'ouvrage ne présente pas un historique de ce sport mais s'attache à la technique à acquérir pour atteindre la perfection. Les illustrations sont des photographies.

{{Citation bloc|Saint-Georges, le roi des gymnastes, Saint-Georges, l’élégant mulâtre, l’homme à la mode, l’homme supérieur dans tous les exercices du corps, Saint-Georges devina un rival dans ce jeune homme qui osait se lancer près de lui dans la carrière.&lt;br /&gt;Aussi se mit-il aussitôt à voltiger autour du traîneau de la reine avec des révérences si respectueuses, si pleines de charme, que jamais courtisan solide sur le parquet de Versailles n’en avait exécuté de plus séduisantes ; il décrivait autour du traîneau les cercles les plus rapides et les plus justes, l’enlaçant par une suite d’anneaux merveilleusement soudés l’un à l’autre, de sorte que sa courbe nouvelle prévenait toujours l’arrivée du traîneau, lequel le laissait derrière ; après quoi, d’un coup de patin vigoureux, il regagnait par l’ellipse tout ce qu’il avait perdu d’avance.&lt;br /&gt;Nul, pas même avec le regard, ne pouvait suivre cette manœuvre sans être étourdi, ébloui, émerveillé.|1849 - {{Bibliographie|Q28019119}}&lt;br /&gt;1873 - {{bibliographie|Q28019732}}&lt;ref&gt;Alexandre Dumas.- Le Collier de la Reine,  [https://books.google.fr/books?id=e8ULAAAAIAAJ&amp;hl=fr&amp;pg=PA55#v=onepage&amp;q&amp;f=false La pièce d'eau des Suisses, 1849], page 55 &amp; , [https://archive.org/stream/lecollierdelare03dumagoog#page/n154/mode/2up/search/glauque La pièce d'eau des Suisses, page 155]. Ebooks gratuits : {{Bibliographie|Q28018929}}, 1965, p. 293] ; [https://www.ebooksgratuits.com/html/dumas_collier_reine_1.html#_Toc121644589 La pièce d'eau des Suisses]&lt;/ref&gt;.}}

===== Le patinage au tournant du {{S|XVIII}}  =====

Images extraites de {{bibliographie|Q28023154}}, 1813, [http://publicdomainreview.org/collections/engravings-from-a-french-ice-skating-manual-1813/ Informations sur l’ouvrage]

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Jean Garcin, Les plaisirs de la Glacière, 1813.png|Jean Garcin, Les plaisirs de la Glacière, 1813
File:Jean Garcin, Dehors en arriere, 1813.png|Jean Garcin, Dehors en arriere, 1813
File:Jean Garcin, Reverence en ligne directe, 1813.png|Jean Garcin, Reverence en ligne directe, 1813
File:Jean Garcin, Le beau Narcissse, 1813.png|Jean Garcin, Le beau Narcissse, 1813
&lt;/gallery&gt;
&lt;/div&gt;

==== Joseph Bologne de Saint-George (ouvrages à propos de)  ====

Cf. [[Utilisateur:Ambre Troizat/Ouvrages à propos de Saint-George|Ouvrages à propos de Saint-George]]

== Violons &amp; Violonistes afridescendants, 1750-1950  ==

=== Les Violons, le Violon  ===
* [http://oberlin.edu/library/cons/special/goodkind.html Violin Society of America / H. K. Goodkind Collection, 1659-1996]

=== Violonistes afridescendants  ===

==== José Silvestre White (1835-1918)  ====
[[Fichier:José White 1856.jpg|100px|vignette|gauche|José Silvestre White (1835-1918)]]
* [[w:José White Lafitte|José Silvestre White Lafitte]]
* 2016 - {{bibliographie|Q28318987}}
* 2016 - {{bibliographie|Q28318883}}

=== Achives à propos de Joseph Bologne dit Chevalier de Saint-George  ===
* 1748 - {{bibliographie|Q19223131}}
* 1894-1965-1999 - {{Bibliographie|Q28320927}}. Louis Jean Marie de Bourbon, duc de Penthièvre est [[w:Amiral de France|Grand amiral de France]] de 1737 à 1791.


=== Biographie de Joseph Bologne dit Chevalier de Saint-George  ===
* 1996 - {{bibliographie|Q28123881}}
* 1996 - {{bibliographie|Q28123839}}
* 1972 - {{Bibliographie|Q28322653}}

=== Bibliographie (Famille &amp; liens de parenté)  ===
* 1830 - {{bibliographie|Q28020542}}
* 1960 - {{bibliographie|Q3888815}}
* 1975 - {{Bibliographie|Q27830778}}
* 1976 - {{Bibliographie|Q27830722}}
* 2002 - {{bibliographie|Q28045681}}
* 2005 - {{bibliographie|Q27832137}}
* 2005 - {{bibliographie|Q28199453}}

=== Bibliographie (Joseph Bologne de Saint-George, Sportif)  ===
* 1813 - {{bibliographie|Q28023154}}, [http://publicdomainreview.org/collections/engravings-from-a-french-ice-skating-manual-1813/ Informations sur l’ouvrage]
* 1849 - {{Bibliographie|Q28019119}}
** 1873 - {{bibliographie|Q28019732}}
** 1886-1888 - {{Bibliographie|Q28022312}}, [[s:Page:Dumas - Le Collier de la reine, 1888, tome 1.djvu/151|IX. La pièce d'eau des Suisse]]
* 1888 - {{Bibliographie|Q28097131}}, Gallica, recherche [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k743602/f5.item.r=Saint-George Saint-George]
* 1921 - {{bibliographie|Q28018752}}

=== Bibliographie (Saint-George entrepreneur de spectacles)  ===
* 1884 - {{bibliographie|Q28192936}}

=== Bibliographie (Chevalerie de Saint-George)  ===
* 1878 - {{bibliographie|Q27996719}}

=== Bibliographie (Cavalerie)  ===
* 1874 - {{bibliographie|Q20165012}}

=== Bibliographie (Musicologie)  ===
* 1852 - {{bibliographie|Q28464762}}
* 1868-1873-1878 - {{bibliographie|Q27950242}}
* 2005 - {{bibliographie|Q28170310}}

==== Les arts d'imitation  ====
* 1992 - {{bibliographie|Q28192517}}. &quot;''[https://books.google.fr/books?id=na4wzzb7wLUC&amp;lpg=PA20&amp;dq=musique%20%2B%20imitation%20du%20réel&amp;hl=fr&amp;pg=PA20#v=onepage&amp;q=musique%20+%20imitation%20du%20réel&amp;f=false ... tous les efforts de Grétry ont consisté précisément à écrire une musique qui donne l'impression d'être une imatation du réel''.]&quot;
* 1992 - {{bibliographie|Q28192767}}

==== La partie de chasse d'Henri IV  ====

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Charles Collé, La partie de chasse de Henri IV, 1766.png|1766
File:Collé La partie de Chasse de Henri IV Paris Duchesne Gueffier 1767.jpg|1767
File:Joseph Bologne de Saint-George Une scène de la Chasse.jpg|1774
&lt;/gallery&gt;
&lt;/div&gt;
* 1766 - {{bibliographie|Q28196801}}. Comédie en 3 actes et en prose. Une première version de la pièce, intitulée alors Le Roi et le Meunier, qui correspond aux actes II et III, a été écrite par Collé en 1760 et jouée le 8 juillet 1762 à Bagnolet, dans le théâtre du duc d'Orléans. Collé a complété cette version, en la renommant. Cette nouvelle version a été représentée pour la première fois à Bagnolet le 25 décembre 1764 et publiée en 1766.
* [[d:Q3211384|1767]] - {{bibliographie|Q3211384}}, pièce de théâtre
* 1774 - {{bibliographie|Q28196346}}
* Ca 1778 - {{bibliographie|Q28196544}}. ''[[c:File:Joseph Bologne de Saint-George Une scène de la Chasse.jpg|La partie de la chasse'']], représentation de &quot;''La Chasse''&quot; opéra-comique en trois actes et en prose, mêlée d'ariettes, Paris, [[w:Hôtel de Bourgogne (Paris)|Hôtel de Bourgogne ou Comédie Italienne]], le 12 octobre 1778. Paroles de M. [[w:fr:Desfontaines-Lavallée|Desfontaines]], musique de [[w:fr:Joseph Bologne de Saint-George|Joseph Boulogne Saint-Georges, (1739?-1799 ; chevalier de)]]. Légende : &quot;[[d:Q3211384|La partie de chasse de Henry IV. Opéra comique]]&quot;. - Fonds du Conservatoire. Notice n° : FRBNF39625680}}, {{BNF|39625680d}}, Guillaume-Francois Fouques Deshayes, Joseph Bologne de Saint-George
* 1826 - {{bibliographie|Q28197973}}
* 1907 - {{bibliographie|Q28361348}}

=== Biographie de Joseph Bologne dit Chevalier de Saint-George  ===
* 1996 - {{bibliographie|Q28123881}}
* 1996 - {{bibliographie|Q28123839}}

=== Bibliographie (Famille &amp; liens de parenté)  ===
* 1830 - {{bibliographie|Q28020542}}
* 1960 - {{bibliographie|Q3888815}}
* 1975 - {{Bibliographie|Q27830778}}
* 1976 - {{Bibliographie|Q27830722}}
* 2002 - {{bibliographie|Q28045681}}
* 2005 - {{bibliographie|Q27832137}}
* 2005 - {{bibliographie|Q28199453}}

=== Bibliographie (Joseph Bologne de Saint-George, Sportif)  ===
* 1813 - {{bibliographie|Q28023154}}, [http://publicdomainreview.org/collections/engravings-from-a-french-ice-skating-manual-1813/ Informations sur l’ouvrage]
* 1849 - {{Bibliographie|Q28019119}}
** 1873 - {{bibliographie|Q28019732}}
** 1886-1888 - {{Bibliographie|Q28022312}}, [[s:Page:Dumas - Le Collier de la reine, 1888, tome 1.djvu/151|IX. La pièce d'eau des Suisse]]
* 1888 - {{Bibliographie|Q28097131}}, Gallica, recherche [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k743602/f5.item.r=Saint-George Saint-George]
* 1921 - {{bibliographie|Q28018752}}

=== Bibliographie (Saint-George entrepreneur de spectacles)  ===
* 1884 - {{bibliographie|Q28192936}}

=== Bibliographie (Chevalerie de Saint-George)  ===
* 1878 - {{bibliographie|Q27996719}}

=== Bibliographie (Cavalerie)  ===
* 1874 - {{bibliographie|Q20165012}}

=== Bibliographie (Musicologie)  ===
* 1868-1873-1878 - {{bibliographie|Q27950242}}
* 2005 - {{bibliographie|Q28170310}}

==== Les arts d'imitation  ====
* 1992 - {{bibliographie|Q28192517}}. &quot;''[https://books.google.fr/books?id=na4wzzb7wLUC&amp;lpg=PA20&amp;dq=musique%20%2B%20imitation%20du%20réel&amp;hl=fr&amp;pg=PA20#v=onepage&amp;q=musique%20+%20imitation%20du%20réel&amp;f=false ... tous les efforts de Grétry ont consisté précisément à écrire une musique qui donne l'impression d'être une imatation du réel''.]&quot;
* 1992 - {{bibliographie|Q28192767}}

==== La partie de chasse d'Henri IV  ====

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Charles Collé, La partie de chasse de Henri IV, 1766.png|1766
File:Collé La partie de Chasse de Henri IV Paris Duchesne Gueffier 1767.jpg|1767
File:Joseph Bologne de Saint-George Une scène de la Chasse.jpg|1774
&lt;/gallery&gt;
&lt;/div&gt;
* 1766 - {{bibliographie|Q28196801}}. Comédie en 3 actes et en prose. Une première version de la pièce, intitulée alors Le Roi et le Meunier, qui correspond aux actes II et III, a été écrite par Collé en 1760 et jouée le 8 juillet 1762 à Bagnolet, dans le théâtre du duc d'Orléans. Collé a complété cette version, en la renommant. Cette nouvelle version a été représentée pour la première fois à Bagnolet le 25 décembre 1764 et publiée en 1766.
* [[d:Q3211384|1767]] - {{bibliographie|Q3211384}}, pièce de théâtre
* 1774 - {{bibliographie|Q28196346}}
* Ca 1778 - {{bibliographie|Q28196544}}. ''[[c:File:Joseph Bologne de Saint-George Une scène de la Chasse.jpg|La partie de la chasse'']], représentation de &quot;''La Chasse''&quot; opéra-comique en trois actes et en prose, mêlée d'ariettes, Paris, [[w:Hôtel de Bourgogne (Paris)|Hôtel de Bourgogne ou Comédie Italienne]], le 12 octobre 1778. Paroles de M. [[w:fr:Desfontaines-Lavallée|Desfontaines]], musique de [[w:fr:Joseph Bologne de Saint-George|Joseph Boulogne Saint-Georges, (1739?-1799 ; chevalier de)]]. Légende : &quot;[[d:Q3211384|La partie de chasse de Henry IV. Opéra comique]]&quot;. - Fonds du Conservatoire. Notice n° : FRBNF39625680}}, {{BNF|39625680d}}, Guillaume-Francois Fouques Deshayes, Joseph Bologne de Saint-George
* 1826 - {{bibliographie|Q28197973}}

=== Bibliographie (Franc-maçonnerie)  ===
* 1975-2016 - {{Bibliographie|Q28113128}}
* 1997-1998 - {{bibliographie|Q28109022}}

=== Bibliographie (Fictions d'après la vie de Saint-George)  ===
* 1840 - {{Bibliographie|Q23591344}}
* 1840 - {{Bibliographie|Q28123257}}
* W. L. Wesché, Wilhelm Ludwig.- [https://books.google.fr/books?id=COtSAAAAcAAJ&amp;dq=W.%20L.%20Wesché%20%2B%20Wilhelm%20Ludwig%20%2B%20Der%20Chevalier%20von%20Saint-Georges&amp;hl=fr&amp;pg=PA670#v=onepage&amp;q=W.%20L.%20Wesché%20+%20Wilhelm%20Ludwig%20+%20Der%20Chevalier%20von%20Saint-Georges&amp;f=false Der Chevalier von Saint-Georges, traduction du français]

== 1861 ==

=== Émile Laurent.- Histoire anecdotique du duel, dans tous les temps et dans tous les pays===

{{Citation bloc|1861.- {{Bibliographie|Q60646338}}&lt;br /&gt;p.97.- une transition pour parler maintenant du chevalier de Saint-Georges&lt;br /&gt;p.98.- HISTOIRE ANECDOTIQUE DU DUEL — Sous l'arche Marion, répond Saint-Georges(...)Et Saint-Georges s'amuse à lui casser sur le corps tout le faisceau de fleurets(...)Le chevalier de Saint-Georges n'a trouvé qu'un seul tireur qui fût digne de lui, — la chevalière d'Éon&lt;br /&gt;p.251.— Le chevalier d'Eon et le chevalier de Saint-Georges&lt;br /&gt;p.254.- contre le chevalier de Saint-Georges, dans un assaut public, à Londres&lt;br /&gt;p.336.- Le chevalier de Saint-Georges et l'arche Marion&lt;br /&gt;p.340.- Le chevalier d'Eon et le chevalier de Saint-Georges|Histoire anecdotique du duel&lt;ref&gt;Émile Laurent.- Émile Laurent.- [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6574692w/f9.item.r=%22Saint-Georges%22 Histoire anecdotique du duel, dans tous les temps et dans tous les pays]. [https://books.google.fr/books?id=IPRyQMmQTEAC&amp;dq=Saint-George%20%2B%20fleuret&amp;hl=fr&amp;pg=PA98#v=onepage&amp;q=Saint-Georges&amp;f=false Voir aussi sur Google Livres]&lt;/ref&gt;.}}

== 1862 ==

=== Capissuchi de Bollogne, gens d'église, {{S|XVII}} &amp; {{S|XIX}} ===

{{Citation bloc|'''BOLLOGNE (Antoine Capissuchi, de), évêque de Digne''', né au hameau du Plan, commune de Barcelonnette, d'une famille originaire de Bologne, en Italie, entra dans l'Ordre des pères Minimes. Il était procureur du couvent de Mâcon, quand il fut élevé sur le siége de Digne, en 1602. Son épiscopat ne fut qu'une longue suite de procès contre le chapitre , les habitants et la commune de Digne. Les chagrins qu'il en eut altérèrent sa santé. Il mourut au village de Tanaron, le 24 novembre 1615, aussi peu regretté que pouvait l'être un plaideur de cette force, comme l'a dit malicieusement l'historien Papon.&lt;br /&gt;'''BoLLOGNE (Louis Capissuchi, de), frère et successeur du précédent, aumônier du roi Louis XIII''', était dans la Gascogne, quand il apprit la mort d'Antoine. Il se mit aussitôt en route pour venir prendre possession du siége de Digne. Une hémiplégie survenue pendant son voyage, ne lui permit pas de recevoir l'onction épiscopale.&lt;br /&gt;Louis mourut à Nogent, en février 1628, à son retour de Digne où on l'avait transporté pour y prendre les eaux thermales.&lt;br /&gt;BOLLOGNE (Raphaël Capissuchi, de), natif de Mondovi en Piémont, coadjuteur de son oncle Louis depuis 1616, lui succéda en 1628. Ce fut sous son épiscopat que les religieuses Ursulines vinrent de Montélimart s'établir à Digne , en 1642, où elles restèrent jusqu'en 1790.&lt;br /&gt;Raphaël avait porté les armes dans sa jeunesse. Il assista à l'Assemblée générale du clergé en 1635. Son grand âge et ses infirmités l'obligèrent à demander un coadjuteur en 1653; il vécut néanmoins encore dix ans, n'étant mort qu'en 1664.&lt;br /&gt;'''BOLLOGNE (Étienne Capissuchi, de), frère et oncle des précédents, chapelain ordinaire du roi Henri III''', administra les derniers sacrements à ce prince, lorsqu'il fut assassiné par Jacques Clément, en 1589.&lt;br /&gt;Étienne était abbé de Livry, dans le diocèse de Paris. Il permuta ce riche bénéfice avec Claude Coquelet qui se démit de l'évêché de Digne en faveur d'Antoine de Bollogne, en 1602.&lt;br /&gt;'''BoLLOGNE (Jean-Joseph Capissuchi, de)''', de la même famille que les précédents, docteur de Sorbonne, né au Sauze, près de Barcelonnette, le 6 février 1762, fut successivement, à son retour de l'émigration, curé de Roumoules, d'Oraison , de Valensole, supérieur du Grand-Séminaire à Digne, depuis la fin de décembre 1824, jusqu'au milieu de 1828, et vicaire-général du diocèse, depuis le 27 avril 1825 jusqu'à sa mort arrivée le 16 janvier 1834.&lt;br /&gt;L'abbé de Bollogne avait su se concilier l'estime et l'affection des populations, au milieu desquelles il exerça son ministère, par ses mœurs simples et douces. Il aimait surtout à s'entourer des jeunes enfants pour les former à la pratique des devoirs religieux.&lt;br /&gt;Ce fut lui qui conduisit en 1829, de Clermont à Digne, les religieuses ursulines qui sont venues faire revivre l'ancienne communauté de cet ordre fondée en 1642, sous l'épiscopat de Raphaël de Bollogne.|Biographie des hommes rémarquables des Basses-Alpes ou dictionnaire historique des tous les personnages de ce département gui se sont signales depuis les temps les plus réculés jusqu'à nos jours: Pas une société &amp; gens &amp; lettre, Repos, 1850&lt;ref&gt;[https://books.google.fr/books?id=XrM6AAAAcAAJ&amp;pg=PA46 Bollogne, page 46]&lt;/ref&gt;}}

== Les Boulogne &amp; Saint-George(s) ==

=== [[w:Pierre de Bologne|Pierre de Bologne II (1706 - 1792)]] ===

De BoLogne Pierre est Sécrétaire du Roi et Audiencier au Parlement de Metz. Poète lyrique, Pierre de Bologne est auteur de poésies diverses et odes sacrées qui ont été imprimées entre [[w:1745|1745]] et [[w:1821|1821]]. Les Académies de [[w:La Rochelle|La Rochelle]], d'[[w:Angers|Angers]], de [[w:Marseille|Marseille]] en [[w:France|France]] et l'Académie des Inestricati de [[w:Bologne|Bologne]] en [[w:Italie|Italie]], l'avaient admis au nombre de leurs membres&lt;ref&gt;Bibliographie dans  Johann Samuel Ersch.- ''Das gelehrte Frankreich oder Lexicon der französischen'', Volume 1, 1797, [https://books.google.fr/books?id=zLhZAAAAcAAJ&amp;dq=Ode%20au%20Roy%20%2B%20Pierre%20de%20Bologne&amp;hl=fr&amp;pg=PA155#v=onepage&amp;q=Ode%20au%20Roy%20+%20Pierre%20de%20Bologne&amp;f=false page 155].&lt;/ref&gt;.

{{Citation bloc|Bologne (Pierre de), poëte lyrique français, né à la Martinique en 1706, mort à Angoulême vers 1789. Il était issu de la famille bolonaise des Capizupi, qui, dans le seizième siècle, s'était fixée en Provence. Il embrassa de bonne heure la profession des armes ; et, après avoir fait contre l'Autriche toutes les campagnes du Rhin et des Pays-Bas, il fut réformé à la paix d'Aix-la-Chapelle. Établi à Angoulême, où il se maria, il consacra ses loisirs à la culture de la poésie : &quot;Bologne, dit Sabatier, est, après Pompignan, celui de tous nos poétes actuels qui a le mieux réussi dans l'ode sacrée. Sa poésie se distingue par la pureté, l'élégance, l'harmonie, le naturel, et l'aisance de la versification&quot;. Bologne aurait pu, en venant à Paris, obtenir, par la publicité, la réputation dont ses talents le rendaient digne ; mais il préféra à la renommée l'obscurité de sa province. Les Académies de la Rochelle, d'Angers, de Marseille, et des Inestricati de Bologne, l'avaient admis au nombre de leurs membres. On a de Pierre de Bologne : Amusements d'un Septuagénaire, ou contes, anecdotes, bons mots, naïvetés, mis en vers, Paris, 1789, in-8°;— Poésies diverses, Angoulême et Paris, 1746, in-8°; — Odes sacrées; ibid., 1758, in-12. La réunion de ces deux recueils forme les (Euvres de Bologne, publiées en 1769, in-8°. Sabatier, les Trois siècles littéraires.|{{Bibliographie|Q28375590}}, 1862&lt;ref&gt;[https://books.google.fr/books?id=hlFEI9HWs4kC&amp;hl=fr&amp;pg=PA513#v=onepage&amp;q&amp;f=false page 513]&lt;/ref&gt;.}}

==== Œuvres poétiques ====
* 1738 : {{ouvrage|année=1738|prénom1=Pierre|nom1=de Bologne|titre=Ode sur la tempête qui ravagea les îles de l'Amérique le {{date|9|août|1738}}. Ode sur le psaume super flumina Babilonis : {{XVIIIe siècle}}|lieu=|éditeur=}}.{{Référence nécessaire}}&lt;!--Non trouvé sur le Web ni à la BNF.&lt;br /&gt;&quot;''Heures nouvelles, en vers français, à l'usage des pieux amateurs de la poésie, contenant la messe et autres prières, ornées de vignettes en taille douce. Par de Bologne; Nancy, impr. d'Hœner; Paris, (Persan), 1822, in-12. — Un autre Bologne a publié : Odes sacrées, 1758, in-12''&quot; in {{ouvrage|année=1860|prénom1=François Marie|nom1=Pérennès|prénom2=Gustave|nom2=Brunet|prénom3=Jacques-Paul|nom3=[http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb119160622/PUBLIC Migne]|prénom4=et|nom4=al.|titre=[http://books.google.fr/books?id=6KQPAAAAIAAJ&amp;pg=PT451&amp;dq=Heures+nouvelles+en+vers+fran%C3%A7ais+Pierre+de+Bologne Dictionnaire de bibliographie catholique] : présentant l'indication et les titres complets de tous les ouvrages qui ont été publiés dans les trois langues grecque, latine et française, depuis la naissance du christianisme, en tous pays, mais principalement en France, pour et sur le catholicisme : {{XIXe siècle}}|lieu=Paris|éditeur=Publié par J.P. Migne}}. Notice BNF n° [http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb31080330x/PUBLIC FRBNF31080330].--~~~~--&gt;
* [[1745]] : {{ouvrage|année=1745|prénom1=Pierre|nom1=de Bologne|titre=Ode au Roy par M. de Bologne : {{XVIIIe siècle}}-{{XIXe siècle}} : 1650-1820|lieu=S. l.|éditeur=Publication : Thiboust}}. Notice BNF n° [http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb39375865k/PUBLIC FRBNF39375865].
* 1746 - {{bibliographie|Q28374645}}
[[Fichier:Pierre de Bologne, Odes sacrées, 1758.jpg|100px|vignette|gauche|1758]]
* 1758 - {{bibliographie|Q28374191}}. L'édition est annoncée en ces termes dans la correspondance de Grimm et Diderot :
{{Citation bloc|''Un Américain, M. de Bologne, vient de donner un recueil de poésie sacrées&lt;ref&gt;Odes sacrées, 1758, in-12&lt;/ref&gt;, suivi de poésies diverses dont quelques-unes sont latines. Je ne crois pas que ce poête se trouve jamais placé à côté du grand Rousseau dans les cabinets où il y aura du choix. Ce recueil a déjà été imprimé, il reparaît considérablement augmenté. Vous trouverez à la fin la traduction du premier livre de Télémaque en vers latins''. ([[w:Melchior Grimm|Grimm]] &amp; [[w:Denis Diderot|Diderot]])&lt;ref&gt;{{ouvrage|année=1877-1882|prénom1=Grimm|nom1=&amp; Diderot|titre=[http://books.google.fr/books?ei=70GRTND-OoyAOL-n1eYM&amp;ct=result&amp;id=ag2RW1F7YfQC&amp;dq=1758+Correspondance+littéraire%2C+philosophique+et+critique+Odes+sacrées%2C+par+M.+de+Bologne&amp;q=Odes+sacrées%2C+par+M.+de+Bologne#search_anchor Correspondance littéraire, philosophique et critique], par Grimm, Diderot, Raynal, Meister, etc., revue sur les textes originaux... par Maurice Tourneux. Tome 3 : {{sp-|XVIII|e|-|XIX|e}} : 1758-1882|lieu=Paris|éditeur=Tourneux, Maurice (1849-1917)}}.{{BNF|311827671}}, {{Gallica|http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5784275j.image.hl.r=Odes+sacrées+Pierre+de+Bologne.f446.langFR}}.&lt;/ref&gt;.}}
* 1758 - Les deux Recueils réunis
* 1769 - Œuvres N Ed  12 3 L : {{ouvrage|année=1769|prénom1=Pierre|nom1=de Bologne|titre=Œuvres de Pierre de Bologne comprenant : Amusements d'un Septuagénaire, ou contes, anecdotes, bons mots, naïvetés, mis en vers, Poésies diverses, Odes sacrées : {{XVIIIe siècle}} : |lieu=|éditeur=}}.
[[Fichier:Pierre de Bologne.- Amusemens d'un septuagénaire, 1786.png|100px|vignette|gauche|1786]]
* 1786 - {{bibliographie|Q24026474}}

==== 1711-1774 - [[w:Georges de Bologne Saint-Georges|Georges de Bologne Saint-Georges]] ====

[[w:Georges de Bologne Saint-Georges|Georges de Bologne Saint-Georges]], [[w:1711|1711]]-[[w:1774|1774]]&lt;ref&gt;{{Date|26|décembre|1774}}, mort de Georges de Bologne au [[w:Baillif|Baillif]], en [[w:Guadeloupe|Guadeloupe]], acte de décès de la Paroisse de Saint-Dominique du [[w:Baillif|Baillif]]. N.B. : l'actuelle église Saint Dominique à Baillif a été construite en béton par [[w:Ali Tur|Ali Tur]] en [[w:1929|1929]].&lt;/ref&gt; est un colon de la [[w:Guadeloupe|Guadeloupe]], originaire de l'[[w:Angoumois|Angoumois]]. Fils de Pierre de Bologne I{{er}}, major de régiment de [[w:Longvilliers|Longvillers]]&lt;ref&gt;''Il n'y a jamais eu, aux îles ou en France, de régiment portant ce nom.''{{ouvrage|année=2006|prénom1=Pierre|nom1=Bardin|titre=[url google Joseph, sieur de Saint-George: le chevalier noir] : {{sp-|XVIII|e|-|XXI|e}} : 1745-2006|lieu=Paris|éditeur=Guenegaud,}}.{{BNF|40973268c}}. Voir l'historique de la [https://books.google.fr/books?id=qTPCEWnvqtkC&amp;dq=Jeanne%20de%20Boulogne&amp;hl=fr&amp;pg=PA887#v=onepage&amp;q=Jeanne%20de%20Boulogne&amp;f=false seigneurie de Longvillers]&lt;/ref&gt;

=== Le fermier général, M. de Boulogne ===
[[Fichier:Boston Tea Party cph.3b53084.jpg|100px|vignette|gauche|Boston Tea Party, 16 décembre 1773]]
[[Fichier:Arrêt du Conseil d'État du Roi nomme Bollongne 15 mai 1785 02.png|100px|vignette|gauche|Arrêt du Conseil d'État du Roi nomme Bollongne 15 mai 1785]]
* '''1719''' - [https://books.google.fr/books?id=X7OGQwAACAAJ&amp;dq=%22fermier+général%22+%2B+%22de+Boulogne%22&amp;hl=fr&amp;sa=X&amp;ved=0CCAQ6AEwAGoVChMImbLiuru_xwIVgTkUCh2GYwUH Mémoire pour le sieur de Boulogne, fermier du duché de Lorge et acquéreur d’une partie de la forêt de Quintin], 1719
* '''1719''' - Mémoire pour le sieur de Boulogne, fermier du duché de Lorge et acquéreur d’une partie de la forêt de Quintin, ... contre monsieur le duc de Lorge, 1719 {{BNF|}}
* '''1773''' - [https://books.google.fr/books?id=jH2ICV0lLoUC&amp;dq=duché%20de%20Lorge&amp;hl=fr&amp;pg=PA55#v=onepage&amp;q&amp;f=false Journal politique, ou Gazette des gazettes], Lutton, 1773
: [https://books.google.fr/books?id=jH2ICV0lLoUC&amp;hl=fr&amp;pg=PA1#v=onepage&amp;q&amp;f=false Mars 1773], [https://books.google.fr/books?id=jH2ICV0lLoUC&amp;pg=PA55&amp;dq=duché+de+Lorge&amp;hl=fr&amp;sa=X&amp;ved=0CDYQ6AEwBGoVChMIj9qu9O-_xwIVQm8UCh0lXQGN#v=onepage&amp;q=duché%20de%20Lorge&amp;f=false page 55] : Par lettres-patentes du 25 du mois dernier, le roi a fait une nouvelle érection du duché hérédiditaire de Quintin-Lorge, sur la démission du duc de Lorge, en faveur du comte de Lorge, son gendre, menin de Mgr. le dauphin, à l’effet de jouir dès-à-présent, des titre, rang, honneurs &amp; prérogatives attachés à la dignité de duc. En conséquence, la comtesse de Lorge a eu l'honneur d’être présentée à S. M., ainsi qu’à la famille royale, par la duchesse de Lorge, sa mere, sous le nom de duchesse de Quintin, &amp; elle a pris le tabouret le même jour.
* '''1785''' - Image Arrêt du conseil d'État qui nomme le sieur de Boullongne, conseiller d'État ordinaire, pour être chargé, en qualité de commissaire de Sa Majesté de la suite des affaires concernant la Compagnie des Indes, établie par arrêt du 14 avril 1785. Éditeur Imp. royale (Paris), 1785. Identifiant : ark:/12148/btv1b86256971.}}
:L’ancienne comté-baronnie de Quintin, située en Basse-Bretagne, fut érigée, en 1691, en duché, sous le titre de Quintin, en faveur de Guy de Durfort de Lorge, maréchal de France, qui continua de porter le nom de Maréchal de Lorge jusqu'à sa mort. En 1706, Guy-Nicolas de Durfort de Lorge, fils unique de ce dernier, &amp; ayeul paternel de la comtesse de Lorge, obtint des lettres-patentes qui changèrent le titre de duché de Quintin en duché de Lorge.
* '''1786''' - baron de Castelnau.- Réflexions ou lettres ... à lady Sophie F*** sur le gout, 1786 ; ... https://books.google.fr/books?id=VYcUAAAAQAAJ ... pas droit d’en porter, doit être regardé comme perturbateur du repos publict les gardes du Sr. Boulogne de Préminville, méritaient d’être regardés comme tels, ...
* '''1789''' - Il s’agit d’un Tavernier de Boulogne, comme l’indique ce texte :
:[https://books.google.fr/books?id=vOdQAAAAcAAJ Collection de décisions nouvelles et de notions relatives, 1789], Jean Baptiste Denisart, ‎Armand-Gaston Camus, ‎Jean B. Bayard, 1789.
:Le I3 mars I713, le duc de Lorge passa au sieur [https://books.google.fr/books?id=vOdQAAAAcAAJ&amp;dq=duché%20de%20Lorge&amp;hl=fr&amp;pg=PA155#v=onepage&amp;q&amp;f=false Tavernier de Boulogne], &amp; au sieur Tavernier de Ste. Croix (''frère du précédent''), un bail de son duché de Quintin, situé en Bretagne, moyennant 30,000 livres par année, au paiement desquelles les deux freres ...
* '''1970''' - [http://www.worldcat.org/search?q=au%3AChaussinand-Nogaret%2C+Guy.&amp;qt=hot_author Guy Chaussinand-Nogaret]. Les financiers de Languedoc au {{s|XVIII|e}}. Paris, S. E. V. P. E. N., 1970.- [https://books.google.fr/books?id=bX-xk8tE2DUC Les financiers de Languedoc au {{s|XVIII|e}}], page 262, 1970, http://www.worldcat.org/search?q=no%3A301490591 - ‎Extraits : Les Boullongne de Préminville qui essaient encore, timidement, après 1775, de rester des hommes d’affaires, ressentent cruellement les effets de leur passivité. Originaire du Beauvaisis, Guillaume Tavernier de Boullongne, fermier général en 171 5, laissa une jolie fortune à son fils ... fils [[w:Jean-Baptiste Tavernier-Boullongne|Jean-Baptiste ''Tavernier-Boullongne'']], filleul de Madame de Pompadour, conseiller au Parlement de Paris, puis trésorier à l’Extraordinaire ...
:Bergeron Louis. Les financiers de Languedoc au {{s|XVIII|e}} (note critique). In: Annales. Économies, Sociétés, Civilisations. 26e année, N. 2, 1971. pp. 407-409. doi : 10.3406/ahess.1971.422365, http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/ahess_0395-2649_1971_num_26_2_422365
:Dulong-Sainteny Claude. Guy Chaussinand-Nogaret. Les financiers de Languedoc au {{s|XVIII|e}}. Paris, S. E. V. P. E. N., 1970. (École pratique des hautes études, VIe section, Centre de recherches historiques. Affaires et gens d’affaires, XXXV.). In: Bibliothèque de l'école des chartes. 1971, tome 129, livraison 1. pp. 188-191. http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/bec_0373-6237_1971_num_129_1_449892_t1_0188_0000_3, 23 août 2015
* '''2008''' - Christophe Luraschi.- [https://books.google.fr/books?isbn=2840495341 Conrad-Alexandre Gérard (1729-1790]: artisan de l’indépendance américaine, page 369, 2008 - Extraits : ... (princesse Christine de), 291 SAXE (Marie-Josph de) dauphine de France, 9,31,62 SCHOEPFLIN (Jean-Daniel), 22, 28, ... TAVERNIER DE BOULLONGNE (Jean-Baptiste), 95 TAVERNIER DE BOULLONGNE DE PRÉMINVILLE (Philippe), ...
* [http://universal_lexikon.deacademic.com/216391/Boullongne Distinguer les Boullongne]
* [http://www.pastellists.com/genealogies/tavernier.pdf Distinguer les Tavernier]
* [https://books.google.fr/books?id=DGNeAAAAcAAJ&amp;lpg=PA52&amp;ots=u-F1x7ov9i&amp;dq=Boullongne%20de%20Préminville&amp;hl=fr&amp;pg=PA52#v=onepage&amp;q&amp;f=false Boulogne de Preminvílle], à sa Terre de Magnanville, près Mantes.
* Le fermier général [[w:Jean-Baptiste Tavernier-Boullongne|Jean Baptiste Tavernier de Boullongne de Préminville]], Seigneur de Magnanville (1749-1794), filleul de Madame de Pompadour, franc-maçon et collectionneur d’instruments musicaux. Son [https://books.google.fr/books?id=fIPj8NRvuNAC&amp;lpg=PA202&amp;dq=Jean-Baptiste%20Tavernier%20de%20Boullongne%20de%20Préminville&amp;hl=fr&amp;pg=PA202#v=onepage&amp;q&amp;f=false épouse Louise de Walckiers (1756-1796)]. Cf. [https://books.google.fr/books?id=PhVQWLWig4IC&amp;lpg=PA213&amp;dq=Jean-Baptiste%20Tavernier%20de%20Boullongne%20de%20Préminville&amp;hl=fr&amp;pg=PA213#v=onepage&amp;q=Jean-Baptiste%20Tavernier%20de%20Boullongne%20de%20Préminville&amp;f=falseMusée du fer - Page 213] pour distinction entre 3 Tavernier de Boullongne, [https://books.google.fr/books?id=PhVQWLWig4IC&amp;lpg=PA40&amp;ots=4zZTF63MvX&amp;dq=Boullongne%20de%20Préminville&amp;hl=fr&amp;pg=PA40#v=onepage&amp;q&amp;f=false Musée du fer].

== 1841 ==

{{Citation bloc|Tout le monde connaît le chevalier de Saint Georges ce singulier personnage qui brillait par une foule de talents. On a inventé sur son compte toutes sortes d aneca dotes plus bizarres les unes que les autres Les détails historiques rapportés par madame Fusil nous ont paru assez intéressants pour mériter de trouver place ici Saint Georges et Lamothe étaient Oreste et Pylade on ne les voyait jamais l an sans l autre Lamothe célègrecques bre cor de chasse de cette époque eût aussi été le preet mier tireur d armes disait on s il n y avait pas eu un Saint Georges La supériorité de Saint Georges au tir au patin à cheval à la danse dans tous les arts enfin lui avait assuré cette brillante réputation dont il a toujours joui depuis son arrivée en France Il était un modèle pour tous les jeunes gens d alors qui lui formaient une cour on ne le voyait jamais qu entouré de leur cortége Saintque Georges donnait souvent des concerts publics ou de souscription on y chantait plusieurs morceaux dont il avait composé les paroles et la musique c étaient surtout ses romances qui étaient en vogue Comme exécutant Saint Georges se distinguait par une habileté peu commune sur le violon Il a composé pour cet instrument divers morceaux dont plusieurs ont été publiés à Paris Il aimait à produire des effets pittosur resques et l on cite entre autres une de ses compositions qui se fit remarquer par son originalité c était les Imours et la Mort du pauvre oiseau Voici la description qu en donne madame Fusil dont nous sommes du reste Join de partager l enthousiasme pour ce que nous regardons comme un écart dimagination La première partie de cette petite pastorale s annonnaissance çait par un chant brillant plein de légèreté et de fiorimaria tures le gazouillement de l oiseau exprimait son bonheur de revoir le printemps il le célébrait par ses accents joyeux Mais bientôt après venait la seconde partie où il roude coulait ses amours C était un chant rempli d âme et de séduction On croyait le voir voltiger de branche en branpas che poursuivre la cruelle qui déjà avait fait un autre choix et s enfuyait à tire d ailes Le troisième motif était la mort du pauvre oiseau ses chants plaintifs ses regrets ses souvenirs où se troufois vaient parfois quelques réminiscences de ses notes joyeuses Puis sa voix s affaiblissait graduellement et finissait par s éteindre il tombait de sa branche solitaire sa vie s exhalait par quelque note vibrante C était le dernier chant de l oiseau son dernier soupir Après avoir terminé la série de ses concerts à Lille en 1791 Saint Georges voulut les renouveler à Tournay alors le rendez vous des émigrés Mais on refusa d y advilles mettre le créole et il fut obligé de quitter la ville Il retourna à Paris où il forma un régiment de mulâtres dont on le nomma colonel il revint ensuite à Lille au moment du siége et son régiment se battit contre les Autrichiens Plus tard il partit avec Lamothe pour SaintBruxelles Domingue qui était en pleine révolution On fit courir le bruit qu ils avaient été pengus dans une émeute mais ce bruit était heureusement faux et les deux amis revinrent sains et saufs en France Nous ajouterons que Saintsuva Tout le monde connaît le chevalier de Saint Georges ce singulier personnage qui brillait par une foule de taétait On a inventé sur son compte toutes sortes d aneca dotes plus bizarres les unes que les autres Les détails historiques rapportés par madame Fusil nous ont paru assez intéressants pour mériter de trouver place ici Saint Georges et Lamothe étaient Oreste et Pylade on ne les voyait jamais l an sans l autre Lamothe célègrecques bre cor de chasse de cette époque eût aussi été le preet mier tireur d armes disait on s il n y avait pas eu un Saint Georges La supériorité de Saint Georges au tir au patin à cheval à la danse dans tous les arts enfin lui avait assuré cette brillante réputation dont il a toujours joui depuis son arrivée en France Il était un modèle pour tous les jeunes gens d alors qui lui formaient une cour on ne le voyait jamais qu entouré de leur cortége Saintque Georges donnait souvent des concerts publics ou de souscription on y chantait plusieurs morceaux dont il avait composé les paroles et la musique c étaient surtout ses romances qui étaient en vogue Comme exécutant Saint Georges se distinguait par une habileté peu commune sur le violon Il a composé pour cet instrument divers morceaux dont plusieurs ont été publiés à Paris Il aimait à produire des effets pittosur resques et l on cite entre autres une de ses compositions qui se fit remarquer par son originalité c était les Imours et la Mort du pauvre oiseau Voici la description qu en donne madame Fusil dont nous sommes du reste Join de partager l enthousiasme pour ce que nous regardons comme un écart dimagination La première partie de cette petite pastorale s annonnaissance çait par un chant brillant plein de légèreté et de fiorimaria tures le gazouillement de l oiseau exprimait son bonheur de revoir le printemps il le célébrait par ses accents joyeux Mais bientôt après venait la seconde partie où il roude coulait ses amours C était un chant rempli d âme et de séduction On croyait le voir voltiger de branche en branpas che poursuivre la cruelle qui déjà avait fait un autre choix et s enfuyait à tire d ailes Le troisième motif était la mort du pauvre oiseau ses chants plaintifs ses regrets ses souvenirs où se troufois vaient parfois quelques réminiscences de ses notes joyeuses Puis sa voix s affaiblissait graduellement et finissait par s éteindre il tombait de sa branche solitaire sa vie s exhalait par quelque note vibrante C était le dernier chant de l oiseau son dernier soupir Après avoir terminé la série de ses concerts à Lille en 1791 Saint Georges voulut les renouveler à Tournay alors le rendez vous des émigrés Mais on refusa d y advilles mettre le créole et il fut obligé de quitter la ville Il retourna à Paris où il forma un régiment de mulâtres dont on le nomma colonel il revint ensuite à Lille au moment du siége et son régiment se battit contre les Autrichiens Plus tard il partit avec Lamothe pour SaintBruxelles Domingue qui était en pleine révolution On fit courir le bruit qu ils avaient été pengus dans une émeute mais ce bruit était heureusement faux et les deux amis revinrent sains et saufs en France Nous ajouterons que Saint-Georges y mourut en 1801 suivant les uns en 1799 suivant les autres dans un état voisin de l'indigence. Quant à Lamothe il fut attaché à la maison du duc Berry. Après l'horrible catastrophe de ce prince, il alla à Munich où il vivait encore en 1823 .|Revue et gazette musicale de Paris, 1841&lt;ref&gt;[https://www.google.fr/books/edition/Revue_et_gazette_musicale_de_Paris/n6vbdGHdR8UC?hl=fr&amp;gbpv=1&amp;dq=Chevalier+de+Saint-George+%2B+La+vie+et+la+mort+du+pauvre+petit+oiseau&amp;pg=PA363&amp;printsec=frontcover Revue et gazette musicale de Paris, 1841]&lt;/ref&gt;}}

== Les Boulogne &amp; Saint-George(s) ==

=== Jean de Boullongne (1690-1769), contrôleur des finances ===

Cf. [[Utilisateur:Ambre Troizat/BologneGuadeloupe#Jean de Boullongne (1690-1769), contrôleur des finances|Jean de Boullongne (1690-1769), contrôleur des finances.]]

=== Jean de Bologne comte de Montfort (c. 1422] ===

{{Citation bloc|'''1841''' - Liste des gouverneurs du Dauphiné, depuis la réunion de cette contrée à la France en 1549 jusquüi leur suppression en 1790.&lt;br /&gt;Aymar de Poitiers, comte de Valentinois , dauphinois, nommé en 1549.&lt;br /&gt;Jean de Bologne, comte de Montfort, nommé en 1555.&lt;br /&gt;...&lt;br /&gt;Gilbert de la Fayette, maréchal de France, nommé en 1422.|Annuaire statistique de la Cour royale de Grenoble et du département de l'Isère, Chez Baratier Frères et Fils&lt;ref&gt;Annuaire statistique de la Cour royale de Grenoble et du département de l'Isère pour l'année 1841, Chez Baratier Frères et Fils, [https://books.google.fr/books?id=QNNbDOcQQoQC&amp;dq=Saint-André%20%2B%20Dauphiné%20%2B%20%22Jean%20de%20Bologne%22&amp;hl=fr&amp;pg=PA227#v=onepage&amp;q=Saint-André%20+%20Dauphiné%20+%20%22Jean%20de%20Bologne%22&amp;f=false page 227].&lt;/ref&gt;.}}

=== Jean-Baptiste Tavernier de Boullongne ===

{{Citation bloc|Boullongne (Jean-Baptiste Tavernier de), intendant des finances, contrôleur général (1757-1759)|Archives de la Marine (France), 1769&lt;ref&gt;Archives de la Marine (France), ‎E(tienne Taillemite, ‎Archives nationales (France).- [https://books.google.com/books?id=fC8XAQAAMAAJ Inventaire des Archives de la marine]. Série B., f 1769 : III, 335. VII, 432, 444,1969, Page 51&lt;/ref&gt;.}}

=== Guillaume-Pierre de Boullongne-Tavernier, {{S|XVIII}} ===

{{Citation bloc|Tavernier de Boullogne (Guillaume Pierre), trésorier général de l’extraordinaire des guerres|Arrêts du Conseil du Roi, règne de Louis XVI&lt;ref&gt;[https://books.google.fr/books?id=DjtmAAAAMAAJ Arrêts du Conseil du Roi, règne de Louis XVI, Schmauch, B. 12 mai 1776-31, Archives nationales (France), Page 608, 1978, {{BNF|34296454m}}.&lt;/ref&gt;.}}

{{Citation bloc|Il est ordonné à M. Guillaume-Pierre Tavernier de Bonlogne, trésorier général de l’Extraordinaire des guerres de payer comptant, si fait n’a été, aux sieurs Receveurs et Administrateurs de l'Hôtel-Dieu de Châteandun, la somme de cent soixante-douze livres treize sols, pour le montant des journées de l’augmentation de solde accordée par Sa Majesté au dit Hôtel-Dieu, des soldats, cavaliers et dragons qui y ont été traités pendant Tannée 1759, à raison de trois sols de supplément par chaque journée, laquelle somme de cent soixante-douze livres treize sols lui sera passée et allouée dans la dépense de ses comptes par Messieurs de la chambre des comptes h Paris, que nous prions ainsy de le faire sans difficulté.|M. A. Lamoureux.- Un hospice mixte avant la Révolution : Hôtel-Dieu de Châteaudun, Vve Rozier, Paris, 1900 {{BNF|30730403b}}.}}


{{Citation bloc|Le chevalier de Saint-George, né à la Guadeloupe le '''25 octobre 1745''', fut amené fort jeune en France par '''M. de Boulogne''', fermier général , son père, qui l'avait eu d'une négresse. Entré fort jeune dans les mousquetaires, il devint écuyer de Mme de Montesson, puis capitaine des gardes du duc d'Orléans, '''son ami intime'''. Après la révolution, ce prince l'employa daus toutes les intrigues du Palais-Royal. En l792, ayant levé un corps de chasseurs à cheval, il en fut fait colonel , et le conduisit à l'armée de Dumouriez. ll venait d'être arrêté comme suspect.| M. Capefigue.- L'Europe pendant la revolution française&lt;ref&gt;M. Capefigue.-[https://books.google.fr/books?id=n5k0emXt8xsC&amp;pg=PA41#v=onepage&amp;f=false L'Europe pendant la revolution francaise, Volume 3, p. 41, note 1], Société belge de librairie Hauman et Ce., 1843 - 348 pages&lt;/ref&gt;,.}}

== 1844 ==

{{Citation bloc|1844 - ''Saint-Marcelin&lt;ref&gt;[[d:Q108755903|Jean-Victor Fontanes de Saint-Marcellin]], l'auteur de ''Wallace, ou le ménestrel écossais'' .&lt;br /&gt;{{bibliographie|Q110610842}}&lt;br /&gt;{{bibliographie|Q110614423}}&lt;/ref&gt; était taillé sur le modèle de Saint Georges et il lui ressemblait de tous points, sauf la couleur la peau. Comme le célèbre mulâtre, il avait reçu de la nature les dons les plus heureux : — son origine était à demi voilée par un mystère gracieux et il était entré dans le monde par droit de conquête&lt;ref&gt;L'expression &quot;''Par droit de conquête''&quot; est expliquée en introduction de la pièce de théâtre : {{bibliographie|Q110610699}}, 1855. &lt;/ref&gt; : — comme Saint Georges il possédait de brillans avantages et des qualités qui rarement se trouvent réunies chez le même homme : il était grand, bien fait, d'une figure agréable, il excellait dans tous les exercices du corps, il maniait l'épée dans la perfection, il montait à cheval et il dansait avec une grâce inimitable : — avec cela beaucoup d'esprit, une instruction solide et variée, l'amour de l'étude et le culte des arts ; excellent musicien, écrivain distingué plein de goût et d'imagination, poète agréable, faisant les vers comme on les aimait de son temps, composant de jolis airs pour les couplets qu'il tournait aisément et qu'il chantait à merveille. Tel était Saint-Marcelin...|{{Lien web |langue= fr|auteur= Pierre Durand, Le Siècle|titre= Auteur de Walace (Variétés)|url= https://www.google.fr/books/edition/Le_Compilateur/xNq6Abh4L98C?hl=fr&amp;gbpv=1&amp;dq=po%C3%A8me+%2B+Saint-Georges+%2B+punch+%2B+Palais+Royal&amp;pg=PA384&amp;printsec=frontcover|date= 1844|site= google.fr/books|consulté le= 18 janvier 2022}}, dans {{bibliographie|Q110610095}}.}}

== 1888 ==
* 1888 - {{bibliographie|Q112286987}} &lt;!-- François Jules Dérué.- L'escrime dans l'armée --&gt;

{{Citation bloc|Quand vint la paix après 1815, l'escrime militaire ne se manifesta plus que dans les nombreux duels qui mirent en présence à tout propos et souvent hors de propos les débris des vieilles armées et la jeunesse dorée d'alors. Les salles d'armes civiles primerent les salles d'armes militaires. C'est à cette époque que surgirent ces professeurs remarquables qui ont fait faire un grand pas à la science de l'escrime nous citerons '''La Boëssière''', fils du célèbre professeur du non moins célèbre chevalier de '''Saint Georges''', qui établit les bases complètes de cette escrime dont '''Jean Louis''', le premier démonstrateur de notre époque, perfectionna peu après les formes et les détails. Lafaugère Charlemagne Gomard Dumesnil Lozès Grisier Pons Bonnet Bertrand Berryer Cordelois Gatechair Robert ainé etc. Et nous arrivons à l époque contemporaine|1888 - {{bibliographie|Q112286987}}&lt;ref&gt;1888 - François Jules Dérué, L'escrime dans l'armée, [https://www.google.fr/books/edition/L_escrime_dans_l_arm%C3%A9e/I1wPAAAAIAAJ?hl=fr&amp;gbpv=1&amp;dq=L_escrime_dans_l_arm%C3%A9e%2BSaint-Georges&amp;pg=PA17&amp;printsec=frontcover L'escrime dans l'armé page 17].&lt;/ref&gt;}}

== 1892 ==
* 1892 - {{bibliographie|Q92596799}} &lt;!-- Joachim Ambert, Les généraux de la Révolution (1792-1804) --&gt;

== 1895 ==
* 1895 - {{bibliographie|Q112282627}} &lt;!-- Bibliographie générale de l'escrime --&gt;

; [https://archive.org/details/bub_gb_Djk-AAAAYAAJ/page/21/mode/1up page 21], Angelo Malevolti, 1763
{{Citation bloc|Angelo M. (Malevolti) L'École des armes avec l'explication générale des principales attitudes et positions concernant l'Escrime. Dédiée à Leurs Altesses Royales les Princes Guillaume Henry et Henry Frédéric, Par M Angelo, Londres, 1763, chez R et I. Dosdley Pall-Mall|1895 - {{bibliographie|Q112282627}}&lt;ref&gt;A. Grisier.- Les armes et le duel, [https://archive.org/details/bub_gb_Djk-AAAAYAAJ/page/21/mode/1up page 21]&lt;/ref&gt;.}}

;[https://archive.org/details/bub_gb_Djk-AAAAYAAJ/page/872/mode/1up page 372], Augustin Grisier, 1847
{{Citation bloc|1847 - [[w:Augustin Grisier|Grisier Augustin]].- Les armes et le duel par A. Grisier professeur de LL AA RR les Princes fils du Roi à l'École polytechnique, etc. Ouvrage agréé par l'Empereur de Russie. Préface anecdotique par [[w:Alexandre Dumas|Alexandre Dumas]]. Notice sur l'auteur par Roger de Beauvoir. Épître en vers par Méry. Lettre du comte de Hombourg. Dessins par [[w:Léonce Élie de Beaumont|E. de Beaumont]], A Paris, 1847 chez Garnier est enrichi de 10 planches lithographiés|1895 - {{bibliographie|Q112282627}}&lt;ref&gt;A. Grisier.- Les armes et le duel, [https://archive.org/details/bub_gb_Djk-AAAAYAAJ/page/872/mode/1up page 372]&lt;/ref&gt;.}}

== 1910 ==

{{Citation bloc|Gossec fonda le Concert des Amateurs en 1770. C’est là qu’il fit entendre ses symphonies et celles de Haydn. L’orchestre, qui était excellent, s’acquit bien vite une grande réputation. Navoigille l'aîné le dirigeait avec beaucoup d’autorité. Parmi les violonistes on remarquait : Mestrino, Lahoussaye, Gervais, Berthaume, le chevalier de Saint-Georges, aussi habile à manier l’archet que l’épée ; Fodor, Guérin, les deux Blasius, etc.|{{bibliographie|Q28790991}}, [[d:Q28790991|volume 2]] [[s:fr:Page:Grillet - Les ancêtres du violon et du violoncelle, 1901,T2.djvu/150|page 138]].}}

== 1919 ==

{{Citation bloc|Ce jeune homme, dont le nom était Guillaume-Pierre, avait eu une jeunesse quelque peu aventureuse. II avait commence sa fortune, avec son frere dont nous parlerons tout a l’heure, comme simple munitionnaire de l’armée du Marechal de Saxe. Puis il était allé aux Colonies où il avait eu d’une négresse de la Guadeloupe, le 25 décembre 1745, un fils connu sous le nom du Chevalier de Saint- Georges, qui joua un certain rôle au {{s|XVIII|e}}, mais sur lequel les détails precis font défaut...|Amede Caix de Saint-Aymour, 1919&lt;ref&gt;Amede Caix de Saint-Aymour (comte de).- Une famille d’artistes et de financiers aux XVIIe et XVIII siecles, les Boullongne, [https://archive.org/stream/CaixSaintAymourFamilleArtistesfinanciersXvii-xviiieLesBoullongne p.92].&lt;/ref&gt;}}

== 1964 ==
* 1964 - {{bibliographie|Q92446744}} &lt;!-- Gaston Bourgeois, Le Chevalier de Saint-Georges --&gt; 

== 1975 ==

{{Citation bloc|... un historien de premier mérite, Alfred Chuquet — au fermier général Philippe-Guillaume de Boullongne-Tavernier, dit de Préninville. ... Le père du Chevalier appartenait à la branche des Boullongne du Beauvaisis, qui avaient une origine commune avec les illustres ... Il se prénommait Guillaume-Pierre. ... Il avait commencé sa fortune comme simple munitionnaire de l’armée du Maréchal de Saxe.|Bulletin de la Société d'histoire de la Guadeloupe, 1975&lt;ref&gt;[https://books.google.com/books?id=Nht7AAAAMAAJ Bulletin de la Société d'histoire de la Guadeloupe], 1975.&lt;/ref&gt;.}}

== 2001 ==

{{Citation bloc|Il réfute Jean de Bologne comme père et propose Guillaume-Pierre de Boullongne-Tavernier, ancien [[w:Munitionnaire|munitionnaire]]&lt;ref&gt;{{ouvrage|titre=Dictionnaire de l’armée de terre|sous-titre= ou, Recherches historiques sur l’art et les usages militaires des anciens et des modernes|volume = 3|auteurs =Étienne Alexandre baron Bardin, Nicholas Charles Victor Oudinot (duc de Reggio) |éditeur = Librairie militaire, maritime et polytechnique de J. Corréard |année= 1851 |pages= 5 337 |passage= 3 747|lire en ligne=http://books.google.fr/books?id=1hZEAAAAYAAJ&amp;pg=PA3748}}.&lt;/ref&gt; de l’armée du maréchal de Saxe, qui fit un long séjour à la Guadeloupe où il avait acheté, en 1738, une plantation, entre...|Vincent Podevin-Bauduin, ‎Archives de la Guadeloupe, ‎Laure Tressens.- Le fleuret et l’archet : le chevalier de Saint-George, 2001.}}

== 2002 ==

Sylvie Chalaye confirme cette paternité dans un article paru en juin 2002 :

{{Citation bloc|Né en esclavage, aux alentours de Noël 1739, d’une mère sans doute raflée sur les côtes du Sénégal, Joseph est l’unique fils de Guillaume-Pierre Tavernier de Boullongne, dit Monsieur de Boulogne, un aristocrate désargenté venu redorer son blason aux colonies, comme c’était courant à cette époque, où à la Caraïbe, fortunes se faisaient et se défaisaient aussi vite&lt;ref&gt;{{ouvrage|année=2002|prénom1=Sylvie|nom1=Chalaye|titre=[http://www.revues-plurielles.org/_uploads/pdf/13_11_4.pdf Le Chevalier de Saint-George], Un héros des Lumières par deux fois oublié : {{s-|XVIII|e}} : 1745-1799|lieu=Paris|éditeur=L’arbre à Palabres, {{numéro|11}}, 2002}}.&lt;/ref&gt;.}}

{{Citation bloc|Fils d’une noire et d’un contrôleur général, le comte de Boulogne, il vit à Paris ... Jean de Boulogne ou Boullongne (1690-1769), contrôleur général des finances en 1757-1759, descendant d’une famille de peintres, les Boullongne, mais un planteur, cousin éloigné du contrôleur, Guillaume-Pierre Tavernier de Boullongne.|L’Intermédiaire des chercheurs et curieux
https://books.google.fr/books?id=vUtcAAAAMAAJ, 2002&lt;ref&gt;[https://books.google.fr/books?id=vUtcAAAAMAAJ L’Intermédiaire des chercheurs et curieux], 2002&lt;/ref&gt;.

== 2005 - 2009 ==

Alain Guédé attribue la paternité de Saint-George à [[w:Guillaume-Pierre Tavernier de Boullongne|Guillaume-Pierre Tavernier de Boullongne]] dans un article publié le {{1er}} septembre 2005&lt;ref&gt;Fr.Wikipédia.- [[w:Joseph_Bologne_de_Saint-George#Guillaume-Pierre Tavernier de Boullongne ?|Guillaume-Pierre Tavernier de Boullongne]]&lt;/ref&gt;. Cette attributionn de paternité au même [[w:Guillaume-Pierre Tavernier de Boullongne|Guillaume-Pierre Tavernier de Boullongne]] est reprise dans un article paru le 27 août 2009,&lt;ref&gt;(cf.[http://www.pastellists.com/Genealogies/Tavernier.pdf Tavernier] {{ouvrage|année=2009|prénom1=Alain|nom1=Guédé|titre=[http://www.humanite.fr/2009-08-27_Idees-Tribune-libre-Histoire_Saint-George-un-Noir-pour-sauver-la Portrait]. 220 ans après la Révolution française. Saint-George, un Noir pour sauver la République : {{s-|XVIII|e}} : 1745-1799|lieu=Paris|éditeur=L'Humanité}}. L’article est publié dans la rubrique Idées - Tribune libre -Histoire du journal L'Humanité. Signé ''Alain Guédé Journaliste, président du Concert de monsieur de Saint-George'', le même texte est repris par ''[http://pyepimanla.blogspot.com/2009/08/saint-george-un-noir-pour-sauver-la.html Pyepimanla-histoire Pyepimanla-histoire]'' le jeudi 27 août 2009 sous le titre : ''Saint-George, un Noir pour sauver la République''. Un lien pointe vers la page de l'Humanité ; un titre principal et un chapeau ont été ajoutés : '''''L'histoire des Antilles et de l’Afrique'''. L'histoire et la sociologie de la Caraïbe, des Antilles et du monde noir &lt;sup&gt;(''sic''. Lire noir)&lt;/sup&gt;. Naviguons dans le passé de la Martinique, de la Guadeloupe, de la Guyane, de la Réunion et de l’Afrique''. L’article est accompagné d’un pastiche du portrait de Joseph Bologne de Saint-George. {{Lien web|url=http://pyepimanla.blogspot.com/2009/08/saint-george-un-noir-pour-sauver-la.html|titre=L'histoire des Antilles et de l’Afrique. L'histoire et la sociologie de la Caraïbe, des Antilles et du monde noiR&lt;sup&gt;(''sic''. Lire noir)&lt;/sup&gt;. Naviguons dans le passé de la Martinique, de la Guadeloupe, de la Guyane, de la Réunion et de l’Afrique. Saint-George, un Noir pour sauver la République|auteur=|année=27 août 2009|éditeur=Pyepimanla|site= pyepimanla.blogspot.com| consulté le =26 décembre 2009}}&lt;/ref&gt;.
[[Fichier:Godefroi1099.jpg|100px|vignette|gauche|Godefroi dans son château roulant à l’assaut de Jérusalem, 15 juillet 1099]]

{{Citation bloc|Son père, [[w:Guillaume-Pierre Tavernier de Boullongne|Guillaume-Pierre Tavernier de Boullongne]], est le lointain descendant des [[w:Liste des comtes de Boulogne|comtes de Boulogne]] qui, sous les croisades&lt;ref&gt;&quot;Godefroy de Bouillon, duc de Basse-Lotharingie et son frère Baudouin de Boulogne ont rejoint l’expédition, ainsi que le frère du roi, Hugues de Vermandois, Robert de Normandie et Étienne de Blois. Bohémond, fils aîné de Robert Guiscard, décide lui aussi de se croiser. Le départ est fixé au 15 août 1096&quot;, [[w:Croisades#L’appel du pape Urbain II et la prédication de la première croisade|L’appel du pape Urbain II et la prédication]] de la [[w:Première croisade|première croisade]].&lt;/ref&gt;, ont donné un [[w:Godefroy de Bouillon|roi de Jérusalem]]&lt;ref&gt;&quot;Fils de sainte Ide de Boulogne, héritier des ducs de Basse-Lotharingie et d’Eustache II, comte de Boulogne, du royaume de France, Godefroy de Bouillon est un descendant de Charlemagne et, comme son illustre ancêtre, un personnage de légende. Il appartient à un clan de ducs, comtes et évêques, à un groupe aristocratique qui gouverne la Lotharingie depuis 950 au moins&quot;, [[w: Godefroy de Bouillon#Premières années|Godefroy de Bouillon]], ancètre de Joseph Bologne de Saint-George ?&lt;/ref&gt;. Au fil des siècles, les revers de fortune ont contraint la famille à émigrer vers le Beauvaisis où elle vécut chichement. Guillaume-Pierre et son frère s’enrôlent alors comme « munitionnaires » (fournisseurs) dans la milice du maréchal de Saxe qui sauvera le royaume à la [[w:Bataille de Fontenoy|bataille de Fontenoy]]. Ils accumulent très vite un copieux magot. L’aîné, Philippe Guillaume, l’investit en achetant la charge de fermier général du Poitou. Le cadet, lui, prend la direction du pays de l’or noir. Ce pays où quiconque n’est pas étouffé par les scrupules peut faire rapidement fortune. Guillaume-Pierre choisit la Guadeloupe. Régulièrement frappée par les cyclones et les tremblements de terre, l'île souffre de deux autres handicaps aux yeux des esclavagistes : son accès est souvent barré par les pirates et son seul port, la Basse-Terre, n’est doté d’aucune protection contre les tempêtes. En conséquence, l'île est peu alimentée par les navires négriers. Ceux-ci privilégient la Martinique et Saint-Domingue où les esclaves sont soumis à une violence inouïe de la part des planteurs&lt;ref&gt;{{Lien web|url=http://www.africultures.com/index.asp?no=3893&amp;menu=revue_affiche_article|titre=Saint-George, le musicien que Mozart enviait|auteur=Alain Guédé|année=1 septembre 2005|éditeur=Africultures|site=africultures.com| consulté le=26 décembre 2009}}.&lt;/ref&gt;. (Alain Guédé)}}

;Bibliographie : [https://www.google.fr/search?tbm=bks&amp;hl=fr&amp;q=Beauvaisis#q=Beauvaisis+%2B+Saint-George&amp;hl=fr&amp;tbm=bks&amp;start=10 Beauvaisis + Saint-George]
* 1704 - [[w:Denis Simon|Denis Simon]], [[w:Antoine Loysel|Antoine Loisel]], [[w:Pierre Louvet|Pierre Louvet]].- Supplément a l'histoire du Beauvaisis, Volumes 1 à 3, G. Cavelier, 1704
* 1858-1864 - Ch. Brainne.- Les hommes illustres du département de l’Oise : Bibliothèque du Beauvaisis, A. Desjardins, Beauvais, 1858-1864, {{BNF|373099653}}.
* 1898 - Pierre César Renet.- Beauvais &amp; le Beauvaisis dans les temps modernes, Imprimerie professionnelle, 1898. &quot;''Les chevaliers portaient un ruban bleu au cou, au bout duquel pendait l’image de Saint-Georges (Encycl. du xvm° siècle, art Blason ; L. Geliot, p. 596). Quand même on aurait voulu peindre sur le drapeau les insignes de l’ordre détachés de la ...''&quot;

== 2006 ==

{{Citation bloc|Les parcours les plus brillants échappent en fait au recensement, et il est significatif que sous le sobriquet de '''Joseph Ritoudaine''', celui qui, le 12 mai 1762, avait pu être « au nom du sieur '''Bologne de Saint-Georges''' » déclaré à Paris comme …|2006 - {{bibliographie|Q92451974}} page 133&lt;ref&gt;Voir à ce sujet  [[d:Q92206179|Jean-Baptiste Capefigue.- L'Europe pendant la revolution francaise, volume 3]] &lt;/ref&gt; &lt;!-- Érick Noël, Être noir en France au 18e siècle  --&gt;}}

== 2007 ==

{{Citation bloc|Georges de Bologne Saint-Georges (1711-1774), fils de Pierre de Bologne, major de régiment de Longvilliers, son père un créole négociant, ancien ... Dès l'âge de 17 ans le Chevalier de Saint-George est un homme public connu et reconnu.|Harry P. Mephon.- Corps et société en Guadeloupe&lt;ref&gt;Harry P. Mephon.- [https://books.google.fr/books?id=qUeCAAAAMAAJ Corps et société en Guadeloupe] : Sociologie des pratiques de compétition , 2007&lt;/ref&gt;}}

== 2015 ==

{{Citation bloc|À l’audition d’une œuvre complète du chevalier, on est bien obligé de constater que sa musique est non seulement « simple » mais répétitive.|L’amant anonyme&quot; du Chevalier de Saint-George : un joli cadeau en Martinique, 19 avril 2015&quot;&lt;ref&gt;[http://www.madinin-art.net/lamant-anonyme-du-chevalier-de-saint-georges-un-joli-cadeau/ L’amant anonyme&quot; du Chevalier de Saint-George : un joli cadeau en Martinique], 19 avril 2015.&lt;/ref&gt;.}}

== 2016 ==

{{Citation bloc|1778, La chasse, comédie en 3 actes et en prose, mêlée d'ariettes, sur un livret de [[d:Q3024383|Desfontaines-Lavallée dit Desfontaines]] ou François-Georges Fouques Deshayes, créée à la [[w:Théâtre italien de Paris|Comédie-Italienne (hôtel de Bourgogne)]], le 12 octobre 1778. Des fragments survivent dont &quot;Mathurin dessus l'herbette&quot; et &quot;Soir et matin sous la fougère&quot;, airs publiés dans le Journal de La Harpe en 1779 ; &quot;L'Autre jour sous l'ombrage&quot;, dans le même journal, (8e année, no 7).|Musicologie.org.- Chevalier de Saint-Georges, (Joseph Bologne), 1745-1799&lt;ref&gt;Musicologie.org.- [https://www.musicologie.org/Biographies/saint_georges.html Chevalier de Saint-Georges, (Joseph Bologne), 1745-1799], Jeudi 29 septembre 2016, 23:54&lt;/ref&gt;.}}

== Liste des œuvres de Joseph Bologne de Saint-George  ==
* 2015 - {{bibliographie|Q28143744}}

== Discographie ==

[[d:Q28126249|1998]] - {{Bibliographie|Q28126249}}

== Références ==
{{Références}}</text>
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    <title>Utilisateur:Ambre Troizat/Réflexions à propos des traites &amp; esclavages</title>
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      <text bytes="204374" sha1="plwe2go62gm3qa4is4t9yexhjgvljc3" xml:space="preserve">== Aux origines de la propriété ==

 La [[w:Propriété|propriété]] est la « possession » d'un bien meuble ou immeuble ou d'une production intellectuelle, reconnue et consacrée par une autorité (divine ou humaine), la société, la loi, la raison générale ou le consentement universel, etc. C'est selon Pierre-Joseph Proudhon une [https://www.cnrtl.fr/definition/usucapion usucapio] ou une [https://www.cnrtl.fr/definition/usurpation usurpation].
 
 La Révolution française a exalté le droit de propriété : inviolable et sacrée, selon l'[https://fr.wikisource.org/wiki/Le_Lib%C3%A9ralisme/La_D%C3%A9claration_des_Droits_de_l%E2%80%99homme_de_1789 article 17 de la Déclaration des droits de l'homme et du citoyen de 1789]. Cet absolutisme de principe issu du mansipium romain sera dans les faits accompagné de limites de plus en plus nombreuses.

L'une des principales limites sera la propriété de l'Homme sur l'Humain qui sera abolie par le [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:D%C3%A9cret_d%27abolition_de_l%E2%80%99esclavage_par_la_Convention-_Archives_nationales-BB-34-1-58.jpg?uselang=fr décret du 16 pluviôse an II]

On parle d'acte d'[https://www.cnrtl.fr/definition/Emancipation émancipation].
{{citation bloc|Ce mot mancipatio est dérivé de manu capere. L'émancipation a la même étymologie parce que dans l'ancien droit elle se faisait sous la forme d une vente du fils de la part du père qui l émancipait. M. le Baron Grenier&lt;ref&gt;M. le Baron Grenier.- [https://books.google.fr/books?id=G0bEWS6-HZ8C&amp;dq=Mancipatio&amp;hl=fr&amp;pg=PA9#v=onepage&amp;q=Mancipatio&amp;f=false Traité des donations, des testamens, et de toutes autres dispositions, 1826, page 9], [https://archive.org/search.php?query=Trait%C3%A9%20des%20donations%2C%20des%20testamens%2C%20et%20de%20toutes%20autres%20dispositions Internet Archive]. [https://catalogue.bnf.fr/rechercher.do?motRecherche=Trait%C3%A9+des+donations%2C+des+testamens%2C+et+de+toutes+autres+dispositions&amp;critereRecherche=0&amp;depart=0&amp;facetteModifiee=ok BnF Gallica]&lt;/ref&gt;}}

== Introduction : différentes formes de servitude ==

Répertoire universel et raisonné de jurisprudence
https://books.google.fr/books?id=4rUWAAAAQAAJ
Philippe Antoine Merlin - 1827 - ‎Lire - ‎Autres éditions
Il est donc évident, d'après ces auteurs, qu'on ne saurait faire un reproche fondé au capitaine d'avoir été à Gorée, à la ... c'est que les nègres, quoique réputés marchandises, ne cessent pas d'être hommes; la qualité d'esclaves ne doit pas les …

Cf. [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Les_systèmes_esclavagistes|Les abolitions des traites et des esclavages : Les systèmes esclavagistes]]

== Institutions et pratiques analogues à l'esclavage ==
Par ordre  alphabétique ou chronologique ou sémantique ?

C'est un débat très actuel : sclavus n'est pas dans le cnrtl.frNi slavus.Il faut rechercher &quot;esclave&quot;, rubrique &quot;Étymol. et Hist &lt;https://www.cnrtl.fr/etymologie/esclave&gt;. Ca 1175 subst. (B. de Ste-Maure, Ducs Normandie, éd. C. Fahlin, 17065). Empr. au lat. médiév. sclavus « id. » (xes. ds Nierm.), proprement « slave » (viies., Jonas de Bobbio, Vita Columbani, éd. B. Krusch, I, 27) prob. formation régressive à partir de *sclavone « slave » pris pour un accus. et issu du slave primitif *slovēninŭ « id. »; la même évolution a eu lieu en gr. médiév. : cf. formes Σ κ λ α ́ β ο ς, Σ κ λ α β η ν ο ́ ς, Σ θ λ α β η ν ο ι ́ citées ds FEW t. 20, p. 46b. Le changement de sens « slave » &gt; « esclave » s'explique par le grand nombre de Slaves réduits en esclavage dans les Balkans par les Germains et les Byzantins pendant le haut Moyen Âge. V. FEW t. 20, pp. 46b-47 et P. Skok ds Mél. A. Thomas, pp. 413-416&quot;. 
 Books Ngram Viewer de 1500 à 2019 &lt;https://books.google.com/ngrams&gt;Dans les textes en anglais, &lt;https://books.google.com/ngrams/graph?content=slavus%2Csclavus%2Cesclave&amp;year_start=1500&amp;year_end=2019&amp;corpus=26&amp;smoothing=3&gt;Dans les textes en français &lt;https://books.google.com/ngrams/graph?content=slavus%2Csclavus%2Cesclave&amp;year_start=1500&amp;year_end=2019&amp;corpus=30&amp;smoothing=3&gt;
Des Européens soumis à l'esclavage 
[de sclavus : From Late Latin Sclavus (“Slav”), from Byzantine Greek Σκλάβος (Sklábos), from Proto-Slavic *slověninъ, because Slavs were often forced into slavery in the Middle Ages.[1][2][3] &lt;https://en.wiktionary.org/wiki/sclavus&gt; ; Le Wiktionnaire (francophone) ne possède pas de page dédiée à cette suite de lettres &lt;https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:Recherche&amp;search=sclavus&amp;ns0=1&amp;ns100=1&amp;ns106=1&amp;ns110=1&gt;. Cf. esclave &lt;https://fr.wiktionary.org/wiki/esclave&gt;.
Bibliographie :
Malek Chebel, L'esclavage en terre d'islam : Un tabou bien gardé, Paris, Fayard, 2007-Robert C. Davis, Esclaves chrétiens, maîtres musulmans: l'esclavage blanc en Méditerranée (1500-1800) (traduit par Manuel Tricoteaux),Rodez, J. Chambon, 2006- Tidiane N'Diaye, Le Génocide voilé, Gallimard, Paris, 2008, 272 pages. (ISBN 9782070119585) (&quot;Le Génocide voilé&quot; sur le site de Gallimard)


{{Citation bloc|214. CAPTIF, ESCLAVE, PRISONNIER.&lt;br /&gt;Le captif et le prisonnier ont perdu leur liberté, et peuvent le recouvrer par adresse ou par la simple cessation de la force supérieure qui les en prive. L'esclave est celui dont la servitude, c’est-à-dire, une dépendance continuelle, est le mode d’existence.&lt;br /&gt;On peut être esclave de son gré : on n’est retenu captif ou prisonnier que malgré soi.&lt;br /&gt;Le captif et le prisonnier sont privés de la liberté naturelle ; ils sont renfermés ou retenus dans de certaines limites ; mais ils conservent l’exercice des droits civils : leur existence civile et nationale n’est point anéantie. L’esclave a perdu ses droits civils, quoiqu’il puisse conserver plus de liberté naturelle que le prisonnier et le captifs il n’a d’autre existence que l'esclavage.&lt;br /&gt;On dit : les captifs furent renvoyés sans rançon ; les prisonniers de guerre ont été échangés ; les nègres ont été affranchis de l'esclavage.&lt;br /&gt;Captif dans le sens propre, ne se dit guère plus que des chrétiens faits prisonniers par les Infidèles, et que ceux-ci traitent en esclaves. Prisonnier, dans le sens primitif du mot, désigne celui qui est en prison : les prisonniers de guerre cependant ne sont souvent que captifs.&lt;br /&gt;
Un homme qu’on vient de prendre, est captif jusqu'au moment où le geôlier l'a enfermé dans sa prison ; alors il est de plus prisonnier. Un oiseau pris à la main n’est que captif avant d’être en cage ; du moment où il y est, il devient prisonnier. Un nègre échappé de la case de son maître est encore esclave, car son maître a encore sur lui les droits de propriétaire ; il ne redevient captif que du moment où il est repris, et il n’est prisonnier que dans le cas où son maître l’emprisonne.&lt;br /&gt;
On dit : emmener des captifs, faire des prisonniers, acheter des esclaves.&lt;br /&gt;
Une femme ne retient pas son amant prisonnier, mais captif ; et si elle a de l’adresse, elle en fait bientôt son esclave. (F-G.)|[[s:Page:Guizot - Dictionnaire universel des synonymes, 1809.djvu/210|Guizot - Dictionnaire universel des synonymes, 1809]].}}

=== Le servage : pratiques &amp; abolitions ===

Convention  supplémentaire relative à l'abolition de l'esclavage, de la traite des  esclaves et des institutions et pratiques analogues à l'esclavage. Adoptée par une conférence de plénipotentiaires réunie en application des dispositions de la résolution 608(XXI)
du Conseil économique et social en date du 30 avril 1956. '''Entrée en vigueur : le 30 avril 1957''', conformément aux dispositions de l'article 13. [https://www.ohchr.org/FR/ProfessionalInterest/Pages/SupplementaryConventionAbolitionOfSlavery.aspx Section I. -- Institutions et pratiques analogues à l'esclavage].

 [[w:Servage|Servage]]
 [[w:Servage en Russie|Servage en Russie]]
 [[w:Abolition du servage de 1861|Abolition du servage de 1861 en Russie]]

Voir la question de la taille dans [https://books.google.fr/books?id=1ldHAAAAYAAJ Guyot (M., Joseph Nicolas).- Répertoire universel et raisonné de jurisprudence civile, criminelle, canonique et béneficiale: ouvrage de plusieurs jurisconsultes: mis en ordre &amp; publié, Volume 17, Visse, 1785.

{{Citation bloc|Sur V article premier , relatif AUX DROITS FÉODAUX.

J'ai donné le premier exemple des principes généraux adoptés par l'Assemblée nationale, lorsqu'en 1779 j'ai détruit, sans exiger aucune compensation, les droits de main-morte dans l'étendue de mes domaines ; je crois donc que la suppression de tous les assujettissements qui dégradent la dignité de l'homme, peuvent être abolis sans indemnité : les lumières du siècle présent et les mœurs de la nation française, doivent absoudre de l'illégalité qu'on pourrait apercevoir encore dans cette disposition.|Lecture, lors de la séance du 18 septembre 1789, de la réponse du Roi sur des articles arrêtés par l'assemblée du 4 août. In: Archives Parlementaires de 1787 à 1860 - Première série (1787-1799) Tome IX - Du 16 septembre au 11 novembre 1789. Paris : Librairie Administrative P. Dupont, 1877. pp. 28-31&lt;ref&gt;[https://www.persee.fr/doc/arcpa_0000-0000_1877_num_9_1_5008_t1_0028_0000_6 ...en 1779 j'ai détruit, sans exiger aucune compensation, les droits de main-morte dans l'étendue de mes domaines]&lt;/ref&gt;.}}

=== Bibliographie ===
* 1913 - {{bibliographie|Q76434879}} &lt;!-- Paul Allard, Les origines du servage en France --&gt;

=== Plagiaire / Plagiat ===

{{Citation bloc|PLAGIAIRE sm du latin plagiarius. Les Romains appelaient plagiaires plagiarii ceux qui vendaient un esclave qui ne leur appartenait pas ou qui retenaient comme esclave un homme libre l achetaicnt ou le vendaient Ils étaient ainsi nommés parce qne la loi Flavia damnabat pla au fouct les coupables de ce délit La loi même s appelait lex plagiaria|François Noel.- Dictionnaire étymologique, critique, historique, anecdotique et littéraire, etc, Volume 2, 1839&lt;ref&gt;François Noel.- Dictionnaire étymologique, critique, historique, anecdotique et littéraire, etc, Volume 2,== Institutions et pratiques analogues à l'esclavage ==

=== Le servage : pratiques &amp; abolitions ===

Convention  supplémentaire relative à l'abolition de l'esclavage, de la traite des  esclaves et des institutions et pratiques analogues à l'esclavage. Adoptée par une conférence de plénipotentiaires réunie en application des dispositions de la résolution 608(XXI)
du Conseil économique et social en date du 30 avril 1956. '''Entrée en vigueur : le 30 avril 1957''', conformément aux dispositions de l'article 13. [https://www.ohchr.org/FR/ProfessionalInterest/Pages/SupplementaryConventionAbolitionOfSlavery.aspx Section I. -- Institutions et pratiques analogues à l'esclavage].

 [[w:Servage|Servage]]
 [[w:Servage en Russie|Servage en Russie]]
 [[w:Abolition du servage de 1861|Abolition du servage de 1861 en Russie]]


Répertoire universel et raisonné de jurisprudence
https://books.google.fr/books?id=4rUWAAAAQAAJ
Philippe Antoine Merlin - 1827 - ‎Lire - ‎Autres éditions
Il est donc évident, d'après ces auteurs, qu'on ne saurait faire un reproche fondé au capitaine d'avoir été à Gorée, à la ... c'est que les nègres, quoique réputés marchandises, ne cessent pas d'être hommes; la qualité d'esclaves ne doit pas les … 1839, [https://books.google.fr/books?id=N6GnuR-EW5oC&amp;dq=La%20Boétie%20%2B%20mange%20peuple&amp;hl=fr&amp;pg=PA632#v=onepage&amp;q=esclave&amp;f=false page 632].&lt;/ref&gt;}}

{{Citation bloc|Le mot latin masculin ''plǎgǐārĭus'' désigne un débaucheur d'[[w:Esclavage|esclave]] d'autrui, un receleur d'esclaves, c'est-à-dire de biens meubles dérobés illégalement ainsi qu'un marchand qui vend ou achète comme esclave une personne libre ou un enfant ravi à sa famille libre. Le mot latin provient du verbe ''plăgiāre'', qui signifie simplement à l'époque de [[w:Ciceron|Ciceron]] &quot;''voler un homme''&quot;, selon le [[w:Gaffiot|Gaffiot]]. Le ''plǎgĭum'' est alors une activité criminelle, car l'autorité régule et contrôle le commerce des esclaves. Nous pouvons supposer que le dernier verbe gréco-romain, issu du mot grec ''plagios'', signifiant &quot;''oblique, en pente''&quot;, également à l'origine du terme italien ''plaggia'' soit la [[w:plage|plage]] en un sens topographique, possède à l'origine le sens de &quot;''obliquer, détourner''&quot;. Le plagiaire, s'il est un auteur d'un forfait, s'affirme dès l'Antiquité en auteur crapuleux d'un détournement vers ses propres intérêts à valoriser, quitte à réduire en esclavage d'autres hommes ou leurs enfants.|[[w:Plagiat|Wikipédia : Plagiat]].}}

=== Mamelouk ===
[[w:Mamelouk|Mamelouk]]

{{Citation bloc|MAMELUK : n.m. de l'arabe malak (posséder). Quelques uns écrivent mammeluc et même mammelus ; milice du soudan d'Égypte formée d'[[w:Affranchissement|esclaves affranchis]]. Ce mot signifie dit-on [[w:Militaire|soldat]] en syriaque et [[w:esclave|esclave]] en arabe. Pendant le gouvernement impérial le nom de [[w:Mamelouks de la Garde impériale|mameluks]] fut donné à une [[w:Cavalerie légère|milice à cheval]] et armée à la légère composée dans le principe d'Asiatiques ou d'Africains que Napoléon avait fait passer en France après sa campagne d'Égypte et qui faisaient partie de sa garde. On a dit autrefois mammelu.|François Noel.- Dictionnaire étymologique, critique, historique, anecdotique et littéraire, etc, Volume 2, 1839&lt;ref&gt;[https://books.google.fr/books?id=N6GnuR-EW5oC François Noel.- Dictionnaire étymologique, critique, historique, anecdotique et littéraire, etc, Volume 2, 1839].&lt;/ref&gt;}}

=== Le ''Sauvage'' ===

=== Domesticité ===

 [https://books.google.fr/books?id=1ldHAAAAYAAJ&amp;printsec=frontcover&amp;hl=fr#v=onepage&amp;q=domestique&amp;f=false Témoignage des domestiques &amp; poursuite criminelle du vol].

== Esclavage ==

 [[Utilisateur:Ambre Troizat/Esclavage/Droit naturel|Le droit naturel, droit des gens &amp; l'esclavage]].
 [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Bibliographie#Les_systèmes_esclavagistes|Les systèmes esclavagistes]]

=== (-482)- (-348) - L'esclavage dans l’œuvre de Platon ===


'''Loix de [[w:Platon|Platon]], édition &amp; réimpression de l'éd. d'Amsterdam, chez Marc-Michel Rey'''
* 1769-1771 - {{bibliographie|Q82770398}} &lt;!-- Loix de Platon, œuvre écrite par le traducteur de la République --&gt;
** 1769 - {{bibliographie|Q82772345}} &lt;!--  Loix de Platon, Amsterdam, MDCCLXIX --&gt;
** 1771 - {{bibliographie|Q82778230}} &lt;!--  Loix de Platon, réimpression de l'éd. d'Amsterdam, chez Marc-Michel Rey --&gt;
** 1771 - {{bibliographie|Q82775937}} &lt;!--  Loix de Platon, réimpression de l'éd. d'Amsterdam, chez Marc-Michel Rey --&gt;

'''Sur Wikisource'''
* [[s:Les_Lois_(trad._Cousin)|Les Lois, traduction]] de [[w:Victor Cousin|Victor Cousin]] (1792-1867)
* [[d:Q19221633|Œuvres de Platon]] par [[w:Victor Cousin|Victor Cousin]], dont Les Lois &amp; la République
* [[s:Les_Lois_(trad._Chambry)|Les Lois, traduction]] de [[w:Émile Chambry|Émile Chambry]] (1864-1951)


=== (-480)- (-406) - L'esclave dans le théâtre de Euripide ===
* 1825 - {{bibliographie|Q79412652}} &lt;!-- 1825 - Euripide, Jean Racine et Louis-Aimé Martin (dir.).- Traduction de l'Iphigénie en Aulide d'Euripide dans Œuvres complètes de J. Racine, Volume III --&gt;

=== L'Humain outil  ===


=== L'esclave tribu de guerre  ===

&quot;Suivant la loi 2o S 1 D qui tesiamenta facere possint le prisonnier de guerre qui a été racheté ne peut pas servir de Témoin au testament de celui qui a payé sa rançon &amp; qui le retient chez lui jusqu au plein remboursement de ses avances Mais cette décision sondée sur la connexité d un pareil état avec celui d esclave ne peut avoir lieu parmi nous Les prisonniers de guerre ne sont plus esclaves ils conservent leur liberté même dans les sers celui qui paye leur rançon n acquiert aucune puissance sur eux il ne peut les retenir en chartre privée rien ne les empêche par conséquent d être Témoins à son testament&lt;ref&gt;[https://books.google.fr/books?id=1ldHAAAAYAAJ&amp;dq=onepage&amp;q=esclave&amp;f=false Témoignage, témoin, De Guyot (M., Joseph Nicolas).- Répertoire universel et raisonné de jurisprudence civile, Volume 17], [https://books.google.fr/books?id=1ldHAAAAYAAJ&amp;dq=fr&amp;pg=PA222#v=onepage&amp;q=esclave&amp;f=false esclave]&lt;/ref&gt;.

=== Humain propriété ===

 '''Catéchisme politique des industriels. 1824. Vues sur la propriété et la législation'''
 Henri comte de Saint-Simon.- [https://books.google.fr/books?id=5zo9AAAAYAAJ&amp;printsec=frontcover&amp;hl=fr#v=onepage&amp;q&amp;f=false Catéchisme politique des industriels, 1824] : Vues sur la propriété et la législation, 1818, Ad. Naquet, 1832 - 364 page
 Henri Saint-Simon , Olinde Rodrigues.- [https://archive.org/details/oeuvresdesaints00rodrgoog Œuvres de Saint-Simon. Contenant 10 Catéchisme politique des industriels]

 Jacoud Gilles, &quot;[https://www.cairn.info/revue-economique-2014-2-page-299.htm Droit de propriété et économie politique dans l'analyse saint-simonienne], Revue économique, 2014/2 (Vol. 65), p. 299-315. DOI : 10.3917/reco.652.0299.

 Henri Saint-Simon.- [https://books.google.fr/books?id=TcgJCwAAQBAJ&amp;lpg=PT556&amp;ots=YI01Ekgb0Q&amp;dq=Saint-Simon%20%2B%20changement%20dans%20la%20propriété&amp;hl=fr&amp;pg=PP1#v=onepage&amp;q=Saint-Simon%20+%20changement%20dans%20la%20propriété&amp;f=false Œuvres complètes de Saint-Simon, Volume 2]

 ;Sur le droit d'auteur ou propriété intellectuelle
 Louis de Rouvroy duc de Saint-Simon.- [https://books.google.fr/books?id=4xnSAAAAMAAJ Mémoires complets et authentiques du duc de Saint-Simon: sur le siècle de Louis XIV et la régence, Volume 20], [https://books.google.fr/books?id=4xnSAAAAMAAJ&amp;dq=Saint-Simon%20%2B%20%C5%92uvres%20complètes%20de%20Saint-Simon%20%2B%20changement%20dans%20la%20propriété&amp;hl=fr&amp;pg=PP12#v=onepage&amp;q=Saint-Simon%20+%20%C5%92uvres%20complètes%20de%20Saint-Simon%20+%20changement%20dans%20la%20propriété&amp;f=false page], Barba, 1856.

=== L'Humain outil-marchandise  ===

=== L'esclave marchandise  ===
[[Fichier:Guillaume de Poetou - Page de titre &quot;Hymne de la marchandise&quot;, 1569.png|100px|vignette|gauche]]

 Une [[w:Marchandise|marchandise]] est un objet [[w:Production|produit]] en quantité puis mis en vente publique ou privée sur un marché de marchandises semblables ou substituables, afin d'en obtenir un bénéfice. Le marché est le lieu physique ou virtuel où se rencontrent l'offre et la demande pour un [[w:Production|objet]] donné et où s'opère la détermination du prix de l'échange. C'est aussi l'institution&lt;ref&gt;[http://atilf.atilf.fr/dendien/scripts/tlfiv5/visusel.exe?11;s=2005419450;r=1;nat=;sol=0; institution]&lt;/ref&gt; qui n'est pas établie naturellement, mais a été créée artificiellement par les hommes dans un processus d'organisation sociétale.

 The poet Guillaume De Poetou sang the praise of the merchants in Antwerp and their beneficial influence on the city's life in his ''Hymne de la Marchandise''&lt;ref&gt;{{bibliographie|Q29258554}} 1561-1569.&lt;br /&gt;{{bibliographie|Q29322550}} 2010&lt;/ref&gt;.

{{Citation bloc|TRAITE C'est le commerce des hommes noirs que l'on va acheter sur les côtes d'Afrique pour les vendre dans les Antilles. C'est ce que l'on a fort justement appelé le commerce de chair humaine|Dictionnaire politique encyclopédique du langage et de la science politiques&lt;ref&gt;[https://books.google.fr/books?id=vtAd-JrWsOcC&amp;pg=PA225&amp;#v=onepage&amp;q=Traite&amp;f=false page 921]&lt;/ref&gt;}}

== Douanes / Droits d'entrée ==

 1758 - [https://books.google.fr/books?id=pTWSLxEpBU8C TARIF DES DROITS D'ENTRÉE ET DE SORTIE DES CINQ GROSSES FERMES: ORDONNÉS ÊTRE PERÇUS PAR L'EDIT DE 1664 SUR TOUTES LES MARCHANDISES] : Augmenté de Notes [et] Observations sur les mutations des Droits depuis ledit Tarif, sur les précautions à prendre pour la forme des Déclarations, [et] sur les Obligations des Négocians [et] des Employés pour prévenir toutes difficultés : Suivi des Ordonnances de 1681 &amp; 1687, renfermant la Régie des Fermes &amp; commentées des Édits, Déclarations, Réglemens &amp; Décisions du Conseil rendus sur lesdites Ordonnances. TOME PREMIER, Volume 1, Chez RICHARD LALLEMANT, Imprimeur du Roi, pres la Rougemare, 1758,
  [https://books.google.fr/books?id=Nv-bAtbtmEgC Tome second, 1758]
  [https://books.google.fr/books?id=nxISAAAAIAAJ&amp;pg=PA271 Bibliographie].
 1785 - Guyot (M., Joseph Nicolas).- [https://books.google.fr/books?id=1ldHAAAAYAAJ  universel et raisonné de jurisprudence civile, criminelle, canonique et béneficiale] : ouvrage de plusieurs jurisconsultes : mis en ordre &amp; publié, Volume 17, Visse, 1785
  [https://books.google.fr/books?id=1ldHAAAAYAAJ&amp;dq=fr&amp;pg=PA222#v=onepage&amp;q=false Traite, page 222]

=== L'esclave capital  ===
[[Fichier:Karl Marx JRoy Le Capital.png|100px|vignette|gauche]]

=== Maître &amp; Esclaves ===

{{Citation bloc|Il a donc été permis au Monarque qui nous aime de descendre dans son cœur d'en suivre les impulsions parternelles d'obéir au sentiment d'amour qui le porte à ne pouvoir souhaiter que le bonheur d'un Peuple dont l'attachement inviolable pour le Sang de ses Maîtres semble le trait le plus distinctif de son caractère, d'un Peuple, qui généreux &amp; fier, obéit par estime &amp; par honneur |Discours prononcé au Parlement ,toutes les Chambres assemblées, les Pairs y séans, le 24Septembre 1788 par M. Mathurin Jean-Baptiste Le Brun de la Guadeloupe, Écuyer, Avocat au Parlement, Lieutenant Général au Bailliage du Palais à Paris&lt;ref&gt;[https://books.google.fr/books?id=tJAOWJjfHUIC&amp;dq=Traité%20général%20du%20commerce%20de%20l'Amérique.%20%3A%20Contenant%20l'histoire%20des%20découvertes%20des%20Européens%20dans%20cette%20partie%20du%20monde%2C%20son%20étendue%2C%20ses%20productions.&amp;hl=fr&amp;pg=PA1#v=snippet&amp;q=Guadeloupe&amp;f=false A collection of miscellaneous tracts, mostly in French, printed between 1783 and 1789], [https://books.google.fr/books?id=tJAOWJjfHUIC  Volume 1/10], 1783&lt;/ref&gt;
}}
&lt;poem&gt;
J'ai vu sa cour et je l'ai dédaignée
Je pourrais, il est vrai, mendier son appui
Et, son premier esclave, être tyran sous lui
Voltaire.- Brutus&lt;ref&gt;Voltaire.- Brutus Acte II, Scène II, [https://books.google.fr/books?id=V5NbAAAAQAAJ page 151]&lt;/ref&gt;
&lt;/poem&gt;

{{Citation bloc|MAÎTRE sm qu'on écrivait autrefois &quot;''maistre''&quot;, du latin &quot;''magister''&quot; qui a la même signification.&lt;br /&gt;&quot;''Dire que le prince est le maître absolu des biens de ses sujets sans égard ni discussion c'est langage de la flatterie''&quot;, ([[w:Jean de La Bruyère|La Bruyère]]).&lt;br /&gt;&quot;''Les anciens Grecs faisaient consister leur félicité à ne point souffrir de maître''&quot;, ([[w:Nicolas Boileau|Boileau]]).&lt;br /&gt;&quot;''A servir sous un maître on me verrait descendre''&quot;, [[w:Voltaire|Voltaire]].- les Scythes, acte IV, scène 5,&quot;.&lt;br /&gt;Le maître, pris absolument, signifie dans le langage des courtisans l'empereur, le roi. C'est en ce sens que [[w:Molière|Molière]] a dit :&lt;br /&gt;&quot;''Je me vois dans l'estime autant qu on y puisse être&lt;br /&gt;Fort aimé du beau sexe et bien auprès du maître&quot;&lt;br /&gt;Le Misanthrope act 111 sc 1''&lt;br /&gt;Et [[w:Voltaire|Voltaire]]&lt;br /&gt;''Près des belles et près du maître&lt;br /&gt;Vous avez fait plus d'un jaloux''.&quot;&lt;br /&gt;Epître 79e au duc de Richelieu, 1756.|En savoir plus : François Noel.- Dictionnaire étymologique, critique, historique, anecdotique et littéraire&quot;&lt;ref&gt;Maître&quot; [https://books.google.fr/books?id=N6GnuR-EW5oC&amp;dq=La%20Boétie%20%2B%20mange%20peuple&amp;hl=fr&amp;pg=PA221#v=snippet&amp;q=Ma%C3%AEtre&amp;f=false François Noel.- Dictionnaire étymologique, critique, historique, anecdotique et littéraire, etc, Volume 2, 1839, page 221]&lt;/ref&gt;}}.

== Esclavage en Europe occidentale  ==
[[Fichier:Mercado de Escravos.jpg|100px|vignette|gauche|This building was once housed the slave market in town of Lagos, Algarve, Portugal.]]

 1841 - Le Christianisme et l'esclavage / De l'Abolition de l'esclavage par le christianisme dans les 15 premiers siècles
* 1841 - {{bibliographie|Q81078498}} &lt;!-- Le Christianisme et l'esclavage --&gt;
** 1841 - {{bibliographie|Q81080501}} &lt;!--Le Christianisme et l'esclavage --&gt;
** 1841 - {{bibliographie|Q81081925}} &lt;!-- De l'Abolition de l'esclavage par le christianisme dans les 15 premiers siècles --&gt;
*  2013 - [https://www.cairn.info/histoire-des-idees-politiques-aux-temps-modernes--9782130627333-page-411.htm Démocrates et libéraux en France aux {{S|XVII}} et {{S|XVIII}}], dans {{bibliographie|Q73279867}}.

=== L'esclavage sur les rives de la Méditerranée au Moyen Âge ===
[[Fichier:Lagos43 kopie.jpg|100px|vignette|gauche|Chargement d'une caravelle par des Européens &amp; des Africains]]

=== Traite &amp; mise en esclavage des Africains ===

{{Citation bloc|Fernando Oliveira n'emploie pas le même terme pour accentuer la distinction qu'il établit entre deux formes d'esclavage différentes par leur origine, la capture ou le troc. Il utilise resgate dans le sens de rachat, quand il lance son anathème contre les maîtres injustement possesseurs d'esclaves, qui deviendront esclaves à leur tour par châtiment divin et auxquels sera refusée cette possibilité de recouvrer la liberté. Il emploie pour désigner la traite le terme plus général de ''trato, commerce''. En effet, pour ce genre d'esclaves, '''le rachat n'est pas possible'''. C'est cette forme d'aliénation, définitive et transmissible à la descendance, qu'il condamne au nom de la raison. L'être humain, libre et pacifique, ne peut pas être l'objet d'un commerce.|Callier-Boisvert Colette. Captifs et esclaves au XVIe siècle. Une diatribe contre la traite restée sans écho. In: L'Homme, 1998, tome 38 n°145. De l'esclavage. pp. 109-126&lt;ref&gt;[https://www.persee.fr/doc/hom_0439-4216_1998_num_38_145_370418 Captifs et esclaves au XVIe siècle].&lt;/ref&gt;.}}

== Esclavage en France  ==

[[Fichier:Chateaubriand.- Louis X le Hutin publia, le 3 juillet 1315, des lettres, 1861.png|100px|vignette|gauche|Chateaubriand.- Louis X le Hutin publia, le 3 juillet 1315, des lettres, 1861]]

{{Citation bloc|'''1824''' - Louis-le-Hutin, en montant sur le trône [1314], trouvoit la France dans l’état le plus déplorable : les finances étoient épuisées ; les peuples ruinés par les impôts, et par l’altération des monnoies, étoient ou révoltés ou disposés à la révolte. Des ligues inquiétantes se formoient dans les provinces. La conduite ferme et prudente du nouveau monarque, qui étoit dirigé par Charles-de-Valois, son oncle, avoit à peine dissipé les troubles, lorsqu’une famine vint désoler le royaume ; et, au milieu de ces désastres, il fallut prendre les armes pour réduire les Flamands révoltés, Louis n’avoit point d’armée, et manquoit d’argent pour lever des troupes ; il ne pouvoit augmenter les impôts, déjà insupportables pour le peuple. [[s:Page:Petitot - Collection complète des mémoires relatifs à l’histoire de France, 1re série, tome 4.djvu/77|Dans la nécessité où il se trouvoit, il publia un édit portant qu’étant roi des Francs, il désiroit qu’il n’y eût plus d’esclaves dans son royaume]] ; et il offrit l’affranchissement à tous ceux de ses sujets qui fourniroient une somme déterminée. À cette époque, il n’y avoit que les bourgeois des villes qui fussent libres ; ils jouissoient de divers privilèges dans les communes où les rois avoient admis le régime municipal, et ces communes seules avoient envoyé des députés aux États-généraux, sous le dernier règne ; les habitans des campagnes étoient serfs, gens de corps, de poueste, ou de main-morte. Il leur étoit permis de posséder quelques terres, mais ils ne pouvoient ni changer de lieu, ni même se marier sans le consentement de leur seigneur. Quelques-uns s’empressèrent de profiter des offres du Roi, pour acquérir leur liberté : le plus grand nombre aima mieux garder son argent ; il fallut modérer la taxe d’affranchissement et ce moyen n’ayant point encore réussi, on força ces misérables à faire des sacrifices pour être libres malgré eux. Leur répugnance cesse d’étonner si l’on considère que lorsqu’ils étoient serfs, leurs seigneurs, qui avoient intérêt à leur conservation, les aidoient à soutenir leurs familles, leur donnoient asile quand la contrée étoit envahie, les nourrissoient quand elle étoit dévastée ; et qu’une fois affranchis, ils se trouvoient non-seulement privés de tout secours dans leur détresse, mais même de travail et de moyens d’existence. Devenus libres, ils furent donc, du moins pendant les premiers temps, et jusqu’à ce que les choses eussent pris un autre cours, plus malheureux encore qu’auparavant ; l’excès de leur misère les porta à la révolte, et telle paroît avoir été la cause première de la Jacquerie dont il sera parlé plus tard.|Claude-Bernard Petitot.- Anciens mémoires sur Du Guesclin&lt;ref&gt;[http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k363585/f77.image Louis-le-Hutin] dans {{bibliographie|Q19132200}}, 1824.&lt;/ref&gt;}}

{{Citation bloc|'''1872''' - ESCLAVAGE. L'esclavage en France paraît avoir disparu à la fin du {{S|IX}} et fut alors remplacé par le servage (Voir ce mot). Au {{S|XVI}}, il était admis et l’on faisait remonter très haut la pratique de cette doctrine : Que tout esclave qui mettait le pied sur le sol français recouvrait sa liberté. Brantôme en cite plusieurs exemples dans sa ''Vie du duc de Guise''. Quant à l'esclavage des noirs dans les colonies où il fut introduit au {{S|XVI}}, un décret de la Convention en date du 4 février 1794 l'abolit immédiatement et admit tous les nègres à l'usage des droits de citoyens français. Il y fut rétabli sous le gouvernement consulaire par une loi du 20 mai 1802, tel qu’il était avant 1789. La traite des noirs rétablie aussi et leur importation devaient avoir lieu suivant les règlements existant à cette époque. Enfin le 27 avril 1848 le gouvernement provisoire rendit un décret abolissant l'esclavage dans toutes les colonies et possessions françaises deux mois après la promulgation du présent décret dans chacune d'elles. Il était également interdit à tout Français, même en pays étranger, de posséder des esclaves. BIBLIOGRAPHIE : H. Wallon, Histoire de l'esclavage dans l' antiquité, 1847-48, 3 vol. in-8°; Morenas, Précis historique de la traite des noirs et de l'esclavage colonial, 1828, in-8°; Moreau de Jonnes, Recherches statistuques sur l'esclavage colonial, 1842, in-8°.|Ludovic Lalanne .- Dictionnaire historique de la France, Hachette, 1872&lt;ref&gt;Ludovic Lalanne .- Dictionnaire historique de la France], Hachette, 1872, [https://books.google.fr/books?id=VLNdAAAAcAAJ&amp;dq=edit%20du%2025%20octobre%201725%20%2B%20esclaves&amp;hl=fr&amp;pg=PA713#v=onepage&amp;q=edit%20du%2025%20octobre%201725%20+%20esclaves&amp;f=false 713].&lt;/ref&gt;}}

== {{S|XVIII}} - {{S|XX}} : Institution du salariat ==

Le [[w:Salariat|salariat]] est une relation économique et sociale entre un travailleur et un employeur, où le travailleur vend sa force de travail dans le cadre d'un contrat de travail formel ou informel. En échange de son [[w:salaire|salaire]], les produits du travail réalisés par l'employé demeurent la [[w:propriété|propriété]] de l'employeur&lt;ref&gt; [[w:Salariat|Salariat]], article de fr.Wikipédia créé le 15 mai 2005 à 19:01. Consulté le 3 novembre 2019.‎&lt;/ref&gt;.
* {{bibliographie|Q102254423}} &lt;!-- De l'esclavage au salariat --&gt;

=== Esclavage de Français hors de France ===

==== Procession pour le rachat des esclaves ====

{{Citation bloc|Il arrivait aussi de temps en temps que les pères Trinitaires ou de la Merci faisaient des processions qui avaient le privilége d'attirer une foule immense sur leur passage. C'était lorsqu'après avoir racheté des esclaves dans les États barbaresques ils les ramenaient dans leur patrie la coutume voulait qu'une procession eût lieu à cette occasion. On en fit une extraordinaire en 1785 à la suite du rachat de 346 esclaves français la dernière procession pour la délivrance des esclaves a eu lieu en 1825 à l'occasion d'un nommé Joseph Esperson qui avait été racheté à Tripoli des mains d'un Musulman.|Joseph Mathieu.- Les grandes Processions à Marseille depuis le Moyen Âge, jusqu'à nos jours, 1864&lt;ref&gt;Joseph Mathieu.- [https://books.google.fr/books?id=1CtWAAAAcAAJLes grandes Processions à Marseille depuis le Moyen Âge, jusqu'à nos jours], 1864&lt;/ref&gt;}}

== L'homme libre ==
[[Fichier:Dying slave Louvre MR 1590.jpg|100px|vignette|gauche|[[w:L'Esclave mourant|L'esclave mourant]] par Michel-Ange]]
[[Fichier:'Rebellious Slave' Michelangelo JBU81.jpg|100px|vignette|gauche|[[w:L'Esclave rebelle| Michel-Ange.- L'Esclave rebelle, 1513-1515, Musée du Louvre]]]]
{{Citation bloc|INGÉNU, -UE, adj.&lt;br /&gt;
En droit romain, l'ingénu,-ue&lt;ref&gt;.[https://www.cnrtl.fr/definition/ingénu CNRTL (Ac.1935), Ingénu,-ue]&lt;/ref&gt; est, de par sa naissance, de condition libre par opposition à l'affranchi,e&lt;ref&gt;[https://www.cnrtl.fr/definition/affranchi CNRTL (Ac.1935), affranchi,e]. Voir différent usages de &quot;Affranchir / s'affranchir&quot; dans [https://www.google.com/search?q=inauthor:%22Roger+Martin+Du+Gard%22+%2B+affranchi&amp;newwindow=1&amp;tbm=bks&amp;sxsrf=ACYBGNTkfcTMIZ3cTr3mvYtYs6UKNdyUUg:1573126524540&amp;ei=fAHEXZbQIMPngwezgqVI&amp;start=0&amp;sa=N&amp;ved=0ahUKEwiW_rn9gNjlAhXD8-AKHTNBCQk4HhDy0wMIQQ&amp;biw=1346&amp;bih=622&amp;dpr=1 Roger Martin du Gard]&lt;/ref&gt; qui est libéré d'une sujétion, d'une dépendance ; p. ext. d'une peine, d'un mal. Le CNRTL cite : ''Auguste permit à tous les ingénus qui n'étaient pas sénateurs, d'épouser des affranchies''.|Définitions du dictionnaire du [[w:Centre national de ressources textuelles et lexicales|Centre national de ressources textuelles et lexicales]].}}

{{Citation bloc|En juin 1913, un lecteur assidu de la NRF,  Roger Martin du Gard, vient d'achever un roman dialogué, qu'il intitule provisoirement ''S'affranchir'' - avant de lui donner pour titre définitif ''Jean Barois&lt;ref&gt;[https://archive.org/details/jeanbarois00gardgoog/page/n10 Roger Martin du Gard.- Jean Barois, 1918.]&lt;/ref&gt;''.|Michel Winock&lt;ref&gt;Michel Winock.-[https://books.google.fr/books?id=btomDQAAQBAJ&amp;pg=PT144&amp;#v=onepage Le siècle des intellectuels], 2016&lt;/ref&gt;.}}

=== &quot;Les nègres quoique réputés marchandises ne cessent d'être des hommes&quot; ===

 {{Citation bloc|... survenue par la faute du capitaine ou la baraterie du patron. ''Mais précisément, cet arrêt affirmait encore que : &quot;les nègres quoique réputés marchandises ne cessent d'être des hommes&lt;ref&gt;Voir dans Comte Philippe Antoine Merlin.- [https://books.google.fr/books?id=xDxPAAAAcAAJ&amp;pg=PA304#v=onepage&amp;q=les%20nègres%20quoique%20réputés%20marchandises%20ne%20cessent%20d'être%20des%20hommes&amp;f=false Répertoire universel et raisonné de jurisprudence, Volume 9], Bertin &amp; Danel Garnery, 1808&lt;/ref&gt; (...) on ne saurait faire un crime à un capitaine de …''&quot;|{{bibliographie|Q71407001}}, page 23.}}

== Affranchissements &amp; affranchis jusqu'à Louis X le Hutin  ==
[[Fichier:Selon le droit de Nature chacun doit naître franc.jpg|100px|vignette|gauche|Affranchissements]]
[[Fichier:Affranchi dans &quot;Dictionnaire historique des mœurs, usages et coutumes des François&quot;, 1767.png|100px|vignette|gauche|Affranchi]]

{{Citation bloc|'''Affranchi''' : c'étoit un homme, dans les anciens temps de la monarchie, &amp; encore bien après Saint Louis qui, comme chez les Romains, ne faisoit que changer d'esclavage ; il ne cefroit point d'être de la famille du patron. Il étoit oblige de cultiver ses terres, &amp; il devoit tous les ans lui payer une certaine redevance ; s'il y manquoit, on le condamnoit à rentrer dans l'état d'où il étoit forti. On ne lui permettoit ni d'épouler une perjonne ingénue (libre,) ni d'aspirer aux ordres sacrés. S'il mouroit sans enfans, tous ses biens retournoient au maître ; ce n'étoit qu'à la troisième génération que ses enfans étoient reçus à témoigner en jufiice, &amp; à se mettre en possession d'un héritage : alors ils prenoient le nom de lufiiates , c'est-à-dire pleinement libres.

Voici la cérémonie de l'afranchissement, suivant la loi Salique. Le patron, ou quelqu'autre, faisoit tomber, en présence du roi &amp; des grands du royaume, un jt/iitr quç le ftrf tWQit dans I4 main; &amp; pp(è l'avoir jetté de côté &amp; d'autre pendant quelque temps, l'esclave ctoit censé affranchi. On le contenta depuis de lui donner des lettres par lesquelles on attestoit qu'vil l'avoit franchi 6* manumis, &amp; qu'on ú JrancluJfoit &amp; manumetloit lui 6, (es hoirs nés lr à naître , &amp; toute la postérité d'iceux jusqu'à l'infini. Louis X, en 1325, publia un édit par lequel il déclara qu'étant roi de France, il desiroit qu'il n'y eût plus d'esclaves dans son royaume , &amp; qu'il accordoit Vaffr'anchijjcment à tous ceux de ses sujets qui fourniroient une certaihe somme. Il n'y avoit alors que les bourgeois des villes qui vécutlent librement. Tous les nabitans de la campagne étoient serfs, ou, comme on parloit dans ces temps anciens, gens de corps, gens de puuefle, gens de morte-tralq.|François-Alexandre Aubert de La Chesnaye Des Bois, Dictionnaire historique des mœurs, usages et coutumes des François, 1767&lt;ref&gt;{{bibliographie|Q29395273}}, 1767, [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6475489s/f43.item.r=Affranchi page 29]&lt;/ref&gt;}}

=== Les affranchissement de Louis XI dit Hutin  ===
[[Fichier:Louis X dit Hutin - Lettres portant que les ſerfs du Domaine du Roy ſeront affranchis, moyennant finance, Paris, 3 juillet 1315.png|100px|vignette|gauche|Louis X dit Hutin - Lettres portant que les ſerfs du Domaine du Roy ſeront affranchis, moyennant finance, Paris, 3 juillet 1315]]

 [https://books.google.fr/books?id=HbzUgnVvfGQC&amp;hl=fr&amp;pg=PA88#v=onepage&amp;q&amp;f=false Ordonnances des roys de France de la troisième race: Ordonnances rendues depuis le commencement du règne de Louis XI jusqu'au mois de mars 1473. 1811-20], Imprimerie royale, 1811. contient des références à propos de l'ordonnance de 1315.

''Il serait souhaitable de rechercher le texte de Louis X de dossier en dossier entre l'ordonnance de mars 1685 et l’abolition de 1848 ?''

En légalisant l'esclavage, l'[[w:Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique|ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique]] entre en contradiction avec l'[[w:édit du 3 juillet 1315|édit du 3 juillet 1315]] qui aurait été pris sous [[w:Louis le Hutin|Louis X le Hutin]] et avec les principales coutumes du royaume de France, dont spécialement la coutume de Paris déclarée applicable aux îles d'Amérique depuis l'origine de la colonisation française&lt;ref&gt;{{Note|Ajouter les références sur la prépondérance du Parlement de Paris}}&lt;/ref&gt;. Les écrits du jurisconsulte [[w:Antoine Loysel]] restent la trace la plus fiable de l'édit de Louis le Hutin :

{{Citation bloc|Toutes perſonnes ſont franches en ce Royaume, &amp; ſi toſt qu’vn eſclaue a attaint les marches d’iceluy, ſe faiſant baptiſer, il eſt affrâchy|[[Antoine Loysel]].- [[s:Page:Antoine Loisiel, Institutes Coustumières, 1607.djvu/9|Institutes Coustumières, 1607]] article III&lt;ref&gt;Toutes personnes sont franches en ce royaume, et sitôt qu'un esclave a atteint les marches d'iceluy, se faisant baptiser, il est affranchi. {{bibliographie|Q22703983}}.&lt;br /&gt;La loi n° 1396 des 28 septembre &amp; 16 octobre 1791 reprendra cette coutume dans son article premier : &quot;''Tout individu eſt libre auſſitôt qu’il eſt entré en France''&quot;, {{bibliographie|Q27569217}}.&lt;br /&gt;De même, le [[s:Décret du 27 avril 1848 abolissant l’esclavage|Décret du 27 avril 1848]] qui décide de l’abolition de l’esclavage en France et dans ses colonies, rédigé par [[Victor Schœlcher]], stipule dans son Article 7 : &quot;''Le principe que le sol de la France affranchit l’esclave qui le touche est appliqué aux colonies et possessions de la République''&quot;.&lt;/ref&gt;.[[w:Ordonnance_de_mars_1685_sur_les_esclaves_des_îles_de_l'Amérique#cite_note-19|Wikipédia : Ordonnance de mars 1685 sur les esclaves des îles de l'Amérique, note 19]].}}

La formulation de l'argument de Louis X fait penser au [[w:Droit d'asile|Droit d'asile]] thème de la thèse de [[w:Henri Wallon (1812-1904)|Henri-Alexandre Wallon]] publiée en 1837.&lt;ref&gt;1837 - {{bibliographie|Q67028737}} &lt;br /&gt;
[[w:Claude Nicolet|Claude Nicolet]], [https://academiesciencesmoralesetpolitiques.files.wordpress.com/2019/01/nicolet_wallon.pdf ''Henri Wallon : de l’esclavage antique à l’esclavage moderne''] dans, Académie des sciences morales et politiques, ''[https://academiesciencesmoralesetpolitiques.fr/2004/10/11/hommage-rendu-a-loccasion-du-centenaire-du-deces-dhenri-alexandre-wallon Hommage rendu à l’occasion du centenaire du décès d’Henri-Alexandre Wallon], Séance exceptionnelle du 11 octobre 2004.&lt;/ref&gt;.

Voir également les euvres d’[[w:Estienne Pasquier|Estienne Pasquier]], Conseiller &amp; Advocat General du Roy en la Chambre des Comptes
de Paris, dont sa correspondance avec [http://www.uqac.ca/graal/textes/pdf/Pasquier.pdf Monsieur Loysel Advocat en la Cour de Parlement de Paris]. Et aussi [https://books.google.fr/books?id=aGMNAAAAIAAJ Antoine Loisel.- Pasquier: ou, Dialogue des advocats du Parlement de Paris], Videcoq, 1844, 362 pages&lt;ref&gt;[https://www.google.com/search?q=Etienne+Pasquier+%2B+Loysel Etienne Pasquier + Loysel], Étienne Pasquier (1529-1615) ou la dissidence discrète.&lt;/ref&gt;.

=== Cours Royale de Paris, 23 décembre 1843, Furcy C. Héritiers Lorry ===
* 1844 - {{bibliographie|Q66735970}} &lt;!--  --&gt;

{{Citation bloc|L'ordre royal du 2 mars 1739, qui prohibait la traite des Caraïbes et Indiens, est-il applicable à tous les Indiens sāns distinction de ceux des Indes orientales et de ceux des Indes occidentales ?&lt;br /&gt;La maxime de droit public français ''Nul n'est esclave en France'', proclamée par les édits de 1315, 1318, 1553, est demeurée en vigueur méme depuis l'établissement des colonies.&lt;br /&gt;Les édits de 1716, 1738 et 1777, en permettant aux maitres de conserver la propriété des esclaves qu'ils amèneraient en France, leur imposaient l'accomplissement de certaines formalités... Il suffit qu'un esclave ait touché le sol français sous l'empire de ces règlements pour qu'il soit réputé avoir conquis sa liberté, alors surtout qu'il y a des présomptions suffisantes pour établir que le maitre n'a pas rempli les formalités prescrites par les édits.&lt;br /&gt;L'affranchissement de la mère esclave entraine-t-il comme conséquence l'affranchissement de l'enfant impubère ? Edit mars 1685, art. 47.&lt;br /&gt;Notes : 1 2 Ces deux questions n ont pas été résolues par la Cour mais elles se sont présentées dans la discussion nous avons pensé devoir ne pas les omettre La Cour de cassation qui dans son arrêt de renvoi s était déterminée comme la Cour de Paris par le moyen tiré de la maxime Nul n est esclave en France sans statuer sur celui tiré de la prohibition de l ordre royal du 2 mars 1759 s est prononcée dans une autre circonstance en faveur de l affranchissement de l'enfant impubère comme conséquence de l affranchissement de sa mère Cass 1 mars 1841 t.1 1841 p 286 |Cours Royale de Paris, 23 décembre 1843, Furcy C. Héritiers Lorry, Journal du Palais, Volume 42, 1844&lt;ref&gt;{{bibliographie|Q66735970}}&lt;/ref&gt;.}}

== Affranchissements des communes depuis Philippe de Valois  ==

{{Citation bloc|'''Affranchi''' : Les François rappelés à la liberté par les affranchissemens des commune, liberté dont les progrès succeſſifs avoient rempli la révolution de près de deux siécles, jouissoient, pour la plupart, fous le régne de Philippe de Valois, de ce privilége naturel à l'homme : ils commençoient à le dépouiller de cette rudesse barbare que l'âme contraae dans les chaînes de la servitude; mais la Nation n'avoit pas encore acquis aſſez de lumieres pour mettre à profit les avantages que cette nouvelle exigence pouvoit lui procurer.|François-Alexandre Aubert de La Chesnaye Des Bois, Dictionnaire historique des mœurs, usages et coutumes des François, 1767&lt;ref&gt;{{bibliographie|Q29395273}}, 1767, [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6475489s/f44.item.r=Affranchi page 30]&lt;/ref&gt;}}

=== Le citoyen sous Louis XIII dit le Juste (1610 - 1643) ===

[[w:Louis XIII|Louis XIII]] est [[w:Liste des monarques de France|roi de France]] et de [[w:Liste des monarques de Navarre|Navarre]] de [[w:1610|1610]] à [[w:1643|1643]]. Son règne est dominé par la personnalité du [[w:Armand Jean du Plessis de Richelieu|cardinal de Richelieu]], [[w:Principal ministre d'État|principal conseiller et chef du gouvernement]]. Il est marqué par l'affaiblissement des grands et des [[w:Protestantisme|protestants]], la lutte contre la [[w:Maison de Habsbourg|maison d'Autriche]] et l'affirmation de la domination militaire française en Europe pendant la [[w:guerre de Trente Ans|guerre de Trente Ans]]. Le premier de ses fils lui succèdera sous le titre de [[w:Louis XIV de France|Louis XIV]] et le deuxième, [[w:Philippe d'Orléans (1640-1701)|Philippe, duc d'Anjou puis d'Orléans]], dit &quot;Monsieur, frère unique du roi&quot;, fondera la [[w:Quatrième maison d'Orléans|maison Orléans]].

Traduction en français contemporain 

 Il est bien vrai que lorsqu'un Populaire,
 Est trop savant : c'est alors qu'il délibère,
 Je ne sais quoi de haut pour délaisser,
 Le joug servile, qu'il dit le trop presser,
 Et pour le rompre, il se bande &amp; invente
 Mille moyens d'achever son attente
 Anthoine du Brueil, imprimeur libraire, auteur de nombreuses pièces de vers ordinairement signées de son anagramme, &quot;Bâti lieu d'honneur&quot;, et souvent placées en tête des ouvrages. [https://books.google.fr/books?id=16st3Ewo7TsC&amp;dq=%22citoyen%22&amp;hl=fr&amp;pg=PA11#v=onepage&amp;q=%22citoyen%22&amp;f=false Le citoyen françois. Ou Courrier des bonnes nouvelles de la court] est imprimé en 1614&lt;ref&gt;{{bibliographie|Q29458711}} 1614&lt;/ref&gt;.

 Charles Bodin, philosophe et magistrat, procureur du roi, député aux États de Blois par le tiers états du Vermandois
 Voir &quot;''citoyen''&quot; dans 1618 - {{bibliographie|Q29462193}}

 Search in Google Books, French &quot;Citoyen&quot; :
 1500 - 1665
 [https://books.google.com/ngrams/graph?content=Citoyen&amp;case_insensitive=on&amp;year_start=1610&amp;year_end=1643&amp;corpus=19&amp;smoothing=1&amp;share=&amp;direct_url=t4%3B%2CCitoyen%3B%2Cc0%3B%2Cs0%3B%3Bcitoyen%3B%2Cc0%3B%3BCitoyen%3B%2Cc0 1610 - 1643]
 1666 - 1763
 1764 - 1769
 1770 - 1902
 1903 - 2008

== XV-XVIIIème siècles - L'esclavage réalité économique et métaphore politique : son expression juridique &amp; sociétale ==
[[Fichier:The Garden of Earthly Delights by Bosch High Resolution.jpg|100px|vignette|gauche|Hieronymus Bosch.- The Garden of Earthly Delights in the Museo del Prado in Madrid, c. 1495–1505. Voir l'historique de l'œuvre]].

{{Citation bloc|Entre tous les biens dont on a sujet de pleurer la perte, la liberté sans doute est des principaux. Il est malaisé d'être esclave au milieu de mille personnes libres sans être touché de son esclavage.|1689 - {{bibliographie|Q22669281}} page&lt;ref&gt;[http://education.eurescl.eu/index.php/fr/philosophie/78-l-esclavage-comme-realite-et-l-esclavage-comme-metaphore-politique-2/180-l-esclavage-comme-realite-et-l-esclavage-comme-metaphore-politique-2-bis Pierre JURIEU, Les soupirs de la France esclave qui aspire après la Liberté, 1er septembre 1689, Amsterdam, 1689]&lt;/ref&gt;}}

=== L'Africain dans l'œuvre de Jérôme Bosch, Bois-le-Duc, vers 1450 - août 1516 ===

&lt;gallery&gt;
File:El jardín de las Delicias, de El Bosco.jpg|le Jardin des délices de Jérôme Bosch, entre 1500 &amp; 1505. Lire une interprétation. 
File:Le Jardin des délices (tapisserie).jpg|Tapisserie d'après le Jardin des délices de Jérôme Bosch, before 1560 
File:J. Bosch Adoration of the Magi TriptychFXD.jpg|J. Bosch Adoration of the Magi, circa 1495
File:School of Jheronimus Bosch Adoration of the Magi Anderlecht.jpg|School of Jheronimus Bosch Adoration of the Magi, entre 1500 et 1540
&lt;/gallery&gt;

==== Bibliographie ====

=== 1511 - The Black Trumpeter at Henry VIII's Tournament  ===
 	
&lt;center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Black Trumpeter at Henry VIII's Tournament.jpg|[[w:The Black Trumpeter at Henry VIII's Tournament|John Blanke, the Black Trumpeter at Henry VIII's Tournament]]
File:Pay Day for John Blanke the Black Trumpeter at Henry VIII's Tournament.png|[https://www.nationalarchives.gov.uk/pathways/blackhistory/early_times/blanke.htm Pay Day for John Blanke].
&lt;/gallery&gt;
&lt;/center&gt;

 [[w:en:Black British|Black British]]
 [https://www.bbc.com/news/magazine-18903391 Britain's first black community in Elizabethan London]
 Sukhdev Sandhu.- [https://www.bbc.co.uk/history/british/empire_seapower/black_britons_01.shtml The First Black Britons], Last updated 2011-02-17
 [John Blanke, Black Trumpeter]

=== 1577–1640 - Peter Paul Rubens ===

&lt;gallery&gt;
Fichier:Rubens - Quatre études de la tête d'un Maure, Inv. 3176.jpg|1620 - Peter Paul Rubens.- Quatre études de la tête d'un Maure, circa 1614-1616&lt;ref&gt;Acquis en 1890 par les [[w:Musées royaux des Beaux-Arts de Belgique|Musées royaux des Beaux-Arts de Belgique]], Bruxelles, présenté par : Frédéric Taddeï pour d'Art d'Art, Arte France.- [https://www.france.tv/france-2/d-art-d-art/329993-pierrot-de-jean-antoine-watteau.html Quatre études de la tête d'un Maure]&lt;/ref&gt;.
File:Rubens-adoration des mages.jpg|1617-1618 - Peter Paul Rubens.- Adoration des mages
File:La adoración de los Reyes Magos (Rubens, Prado).jpg
File:Peter Paul Rubens - The Adoration of the Magi - WGA20244.jpg
File:Peter Paul Rubens - Adoration of the Magi - WGA20248.jpg
&lt;/gallery&gt;

=== {{S|XVII}} : peinture &amp; ouvrages ===
[[Fichier:Dutch, 17th century, Black boy with slave collar, Private Collection.jpg|100px|vignette|gauche|Dutch, 17th century, Black boy with slave collar, Private Collection]]

=== 1619-1683 - Les œuvres de Jean-Baptiste Colbert sous l'angle de l’esclavage ===
* '''1619-1683''' - [[w:Jean-Baptiste Colbert|Jean-Baptiste Colbert]], fils de riches marchands et banquiers dont l'ancêtre Édouard III Colbert, était déjà seigneur de plusieurs terres de Magneux et Crèvecœur au XVe siècle&lt;ref&gt;[https://books.google.fr/books?id=cp1fAAAAcAAJ&amp;dq=Colbert%20%2B%20Magneux%20%2B%20Crèvec%C5%93ur&amp;hl=fr&amp;pg=RA1-PA6#v=onepage&amp;q=Colbert%20+%20Magneux%20+%20Crèvec%C5%93ur&amp;f=false Édouard Colbert III, seigneur de Crèvecœur et de Magneux], Jean-Edouard Colbert, seigneur de Crèvecœur et de Magneux, marié en 1471 à Louise de Journée ; {{bibliographie|Q28740198}}, 1668, [https://books.google.fr/books?id=2AOoJ57qS_8C&amp;dq=%22edouard%20colbert%22&amp;hl=fr&amp;pg=PA153#v=onepage&amp;q=%22edouard%20colbert%22&amp;f=false page 153]&lt;br /&gt;[https://books.google.com/ngrams/graph?content=Edouard+Colbert%2C&amp;year_start=1500&amp;year_end=2008&amp;corpus=19&amp;smoothing=6&amp;share=&amp;direct_url=t1%3B%2CEdouard%20Colbert%3B%2Cc0 Edouard Colbert, Google Books, Ngram Viewer]&lt;/ref&gt;, devient Contrôleur général des finances jusqu'en 1683. Il sera secrétaire d'État de la Maison du roi à la mort de son protecteur Jules [[w:Jules Mazarin|Mazarin]] puis secrétaire d'État de la Marine de 1669 à 1683. Il propose une politique économique interventionniste et mercantiliste, le &quot;[[w:Colbertisme|colbertisme]]&quot;, que l'on dit inspirée des idées de [[w:Barthélemy de Laffemas|Barthélemy de Laffemas]], économiste et conseiller d'[[w:Henri IV de France|Henri IV]].
* 1912 - {{Bibliographie|Q29016249}} &lt;!-- Politique coloniale de Colbert --&gt;
* 1913 - {{Bibliographie|Q29016271}}
* 2011 - {{bibliographie|Q81822709}} &lt;!-- Jean-Philippe Zanco (dir.), Dictionnaire des Ministres de la Marine 1689-1958 --&gt;
*  [https://archive.org/details/histoiredecolber01cluoft Clément, Pierre, 1809-1870.- Histoire de Colbert et de son administration], Volume sur IA
* 2019 - Daniel Dessert.- [https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb457399506 Colbert : ou le mythe de l'absolutisme], Fayard
* 2020 - Marc-Daniel Seiffert et Jean-Paul Méreaux (s/d). [https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb465281285 Colbert, une source d'inspiration pour les décideurs d'aujourd'hui] : État, entreprises, échanges internationaux, sciences, culture, Éditions Eyrolles
* [https://catalogue.bnf.fr/rechercher.do?motRecherche=Histoire+de+Colbert+et+de+son+administration&amp;critereRecherche=0&amp;depart=0&amp;facetteModifiee=ok Histoire de Colbert et de son administration], Recherche sur BnF.

=== 1627-1704 - Les œuvres de Jacques-Bénigne Bossuet sous l'angle de l’esclavage ===

[[w:Jacques-Bénigne Bossuet|Jacques-Bénigne Bossuet]] est un [[w:Chrétien|prédicateur chrétien]]. Auteur d'une œuvre écrite qui porte notamment sur la spiritualité, l'instruction du dauphin, la controverse antiprotestante, diverses polémiques dont notamment celle qui l'oppose à Fénelon à propos du [[w:Quiétisme|quiétisme]], il prononce des sermons et des oraisons funèbres qui demeurent célèbres.

=== 1637-1713 - Les œuvres de Pierre Jurieu sous l'angle de l’esclavage ===
[[Fichier:P. Jurieu et M. Le Vassor - Les Soupirs de la France esclave, qui aspire après la liberté, pages de titre, 1689.png|100px|vignette|gauche|1689 - {{bibliographie|Q22669281}} &lt;!-- Les soupirs de la France esclave qui aspire après la liberté --&gt;]]
[[w:Pierre Jurieu|Pierre Jurieu]], né à [[w:Mer (Loir-et-Cher)Mer|Mer (Loir-et-Cher)]], décédé à [[w:Rotterdam|Rotterdam]] est un [[w:Calvinisme|pasteur calviniste, théologien]], écrivain et pamphlétaire.
* 1689 - {{bibliographie|Q22669281}} &lt;!-- Les soupirs de la France esclave qui aspire après la liberté --&gt;
** 2011 - Antony McKenna (Université Jean Monnet).- [https://www.researchgate.net/publication

{{Citation bloc|Entre tous les biens dont on a sujet de pleurer la perte, la liberté sans doute est des principaux. Il est malaisé d'être esclave au milieu de mille personnes libres sans être touché de son esclavage. C'est pourquoi la France se doit réveiller et sentir le poids de l'effroyable tyrannie sous laquelle elle gémit. [...] Et je ne saurais m'empêcher de souhaiter [à ma patrie] qu'elle comprenne que les Privilèges des peuples ne souffrent point de prescription et ne périssent point par l'usurpation des Princes, et qu'ainsi un siècle ou deux de tyrannie ne lui ôtent pas le droit de se remettre en liberté.|1689 - {{bibliographie|Q22669281}}&lt;ref&gt;[http://education.eurescl.eu/index.php/fr/philosophie/78-l-esclavage-comme-realite-et-l-esclavage-comme-metaphore-politique-2/180-l-esclavage-comme-realite-et-l-esclavage-comme-metaphore-politique-2-bis Pierre JURIEU, Les soupirs de la France esclave qui aspire après la Liberté, 1er septembre 1689, Amsterdam, 1689], [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k1510094q/f9.image page 3]&lt;/ref&gt;.}}

Une métaphore de juriste

Source :

=== 1623-1662 - Les œuvres de Blaise Pascal sous l'angle de l’esclavage ===

L'esclavage suppose-t-il toujours la propriété ? De quelle forme de la propriété servile parle Blaise Pascal ?&lt;ref&gt;1670 - {{bibliographie|Q17360856}} [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k96083832/f385.item.r=esclave Esclave] ; [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k96083832/f5.item.r=domestique Domestique]&lt;br /&gt;Lire en relation avec le [[d:Q3030191|Discours de la servitude volontaire d'Étienne de La Boétie]].&lt;/ref&gt; 
{{Citation bloc|''Es-tu moins esclave, pour être aimé et flatté de ton maitre? Tu as bien du bien, esclave : ton maître te flatte. Il te battra tantôt''.&lt;br /&gt;
'''Commentaire''' : « Es-tu moins esclave? ». À qui s'adresse cette apostrophe originale ? quel est cet esclave ? J'imagine que c'est le mondain, esclave des sens, et qui dit qu'il ne s'aperçoit pas de sa servitude, qu'il se trouve bien de son état, que la vie lui est douce; Pascal répond : Ton maître te flatte (ce maître, c'est la créature, c'est l'objet sensible), il te battra tantôt. Pour avoir été l'esclave volontaire et satisfait du plaisir, tu seras l'esclave contraint et désespéré de la douleur. Car on n'a pas de force pour supporter si on n'en a pas eu pour s'abstenir. Au contraire la souffrance est sans pouvoir sur celui sur qui la volupté n'a pu rien ; celui-là est un homme libre.|{{bibliographie|Q72729191}}, page 363}}

=== 1661-1793 - Les œuvres de la Maison d'Orléans sous l'angle de l’esclavage ===
* 1661-1724 -  {{bibliographie|Q97011933}} &lt;!-- Édit d'appanage de la Maison d'Orléans, 1661-1724 --&gt;

=== 1662-1722 - Les œuvres de Élie Neau sous l'angle de l’esclavage ===

[[w:Élie Neau|Élie Neau, ou Elias Neau]], né à Moëze, Charente-Maritime, décédé le 7 septembre 1722 à New York, est un huguenot français.

=== 1684- 1721 - Antoine Watteau ===

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&lt;gallery&gt;
File:Watteau - Huit études de têtes, c. 1715-16.png|[[w:Jean-Antoine Watteau|Jean-Antoine Watteau]] - [https://www.louvre.fr/en/oeuvre-notices/eight-studies-heads Huit études de têtes, c. 1715-16]
File:Jean-Antoine Watteau - The Country Dance - Google Art Project.jpg|Jean-Antoine Watteau - [[w:en:The Country Dance|The Country Dance]], 1706-1710, Indianapolis Museum of Art at Newfields
File:Antoine Watteau 062.jpg|Jean-Antoine Watteau.- Les Coquettes, 1711-1712&lt;ref&gt;[[d:Q47035621|Love in the Italian Theatre]], 1716 : [https://www.nationalgalleries.org/art-and-artists/19772/love-italian-theatre Unknown.-Love in the Italian Theatre&lt;/ref&gt;
File:Antoine Watteau, enfant Africain parmi Les Coquettes.jpg|Jean-Antoine Watteau, enfant Africain parmi Les Coquettes
File:Watteau - La Conversation, 1712-1713.jpg|Jean-Antoine Watteau.- La Conversation, 1712-1713
File:Jean-Antoine Watteau, Love in the Italian Theatre.JPG|Jean-Antoine Watteau.- Love in the Italian Theatre, 1714
&lt;/gallery&gt;
&lt;/center&gt;

== 1750 (1760-1770) 1799 - L’œuvre des physiocrates sous l'angle de l'esclavage ==

Née en France à la fin des années [[w:1750|1750]], la [[w:Physiocratie|physiocratie]] est, au XVIIIe siècle, une [[w:école de pensée économique|école de pensée économique]], [[w:politique|politique]] et [[w:Droit|juridique]], un courant de réforme du droit et de la politique du fait de ses théories du droit naturel et du despotisme légal. La physiocratie s’éloigne du mercantilisme et propose une conception libérale de l’économie. Les théories des physiocrates intègrent l'économie dans la sphère des sciences politiques et permettent d’analyser le rôle des pouvoirs économiques et des premiers systèmes de régulation. L'histoire du mouvement physiocratique se déroule de la fin des années 1750 jusqu'à la Révolution française. Elle connaît son apogée au cours de la seconde moitié du XVIIIe siècle, entre les années 1760 et 1780, pour devenir économiquement caduc avec le développement du système l'industriel, les abolitions de l'esclavage et l'invention du salariat.

Le mouvement des physiocrates s’inscrit comme une étape déterminante dans le développement du capitalisme au XVIIIe siècle, notamment en France. Ce courant de pensée économique a influencé la transition vers une économie plus axée sur la propriété privée et la production de richesses. Les physiocrates, tels que François Quesnay, Anne-Robert Turgot ou Vincent de Gournay, ont eu un impact décisif sur la pensée économique, préparant le terrain pour le capitalisme moderne.

Les physiocrates proposent des réformes économiques et politiques. Il est intéressant d’étudier leurs contributions et l’influence de leur pensée sur la gestion des ressources, des systèmes énergétiques renouvelables, les débuts de la régulation économique, les pouvoirs économiques et politiques, la construction des sociétés depuis 1750.

==== La pensée physiocratique s'inscrit dans le développement du capitalisme ====

  '''Priorité à l'agriculture et à la production''' : Les physiocrates considéraient que la terre et l'agriculture étaient les principales sources de richesse d'une nation. Contrairement aux mercantilistes qui se focalisaient sur le commerce et l'accumulation de métaux précieux, les physiocrates croyaient en une économie où la production agricole devait être favorisée, car elle créait de la valeur réelle. Ce point de vue soulignait l'importance de la productivité économique et, même s'ils privilégiaient l'agriculture, cette idée ouvrait la voie à une réflexion sur la production comme source fondamentale de richesses, préparant la transition vers une économie industrielle capitaliste.

  '''Libéralisme économique''' : L'une des idées phares des physiocrates était le principe du &quot;laisser-faire, laisser-passer&quot;, c’est-à-dire la défense du libre marché et de la réduction de l'intervention de l'État dans l'économie. Ce concept de laisser-faire est l'un des fondements du capitalisme. Ils croyaient que les forces du marché, si elles étaient laissées à elles-mêmes, conduiraient à l'ordre naturel et à la prospérité. Cette conception a grandement influencé des penseurs capitalistes ultérieurs comme Adam Smith, qui intégra le libéralisme dans ses propres théories.

  '''Propriété privée et la fiscalité''' : Les physiocrates mettaient l'accent sur la propriété privée de la terre et considéraient que la société devait être organisée autour de celle-ci. Pour eux, la terre était la source de toutes les richesses, et son propriétaire, en cultivant ou en louant la terre, avait droit à la &quot;rente&quot;. Ils préconisaient également une réforme fiscale où un impôt unique serait prélevé sur les revenus fonciers. Ce principe allait de pair avec l'idée d'une meilleure efficacité économique, qui plus tard serait reprise par le capitalisme industriel pour défendre des politiques fiscales favorisant l’investissement privé.

    '''Circulation de la richesse''' : François Quesnay, le chef de file des physiocrates, a développé le concept de &quot;Tableau économique&quot;, qui illustre la manière dont la richesse circule dans une économie, entre les producteurs, les propriétaires fonciers et les classes sociales. Ce schéma est un précurseur des analyses modernes de la circulation du capital, un élément central de la théorie capitaliste.

  '''Influence sur les politiques de libéralisation''' : Les physiocrates, en particulier sous l'influence de Turgot, ont encouragé des réformes économiques visant à libérer le commerce des grains et à supprimer les barrières au commerce intérieur. Ces réformes, bien qu'impopulaires, visaient à instaurer une économie plus libérale et plus productive, en rupture avec l’interventionnisme étatique de l’époque. Ce processus de libéralisation a jeté les bases du développement du capitalisme en permettant un marché plus fluide et plus compétitif.

=== Les fondateurs au {{S|XVIII}}===
==== Les Mirabeau ====
* [https://search.lilo.org/?q=Memoires+Biographiques%2C+Litteraires+Et+Politiques+De+Mirabeau+%2B+Victor+Hugo+%2B+Peeters+%2B+1836 Œuvres des Mirabeau : recherche]
* [https://archive.org/search.php?query=m%C3%A9moires+de+Mirabeau mémoires de Mirabeau], Internet Archive
* '''1836 - Memoires Biographiques, Litteraires Et Politiques De Mirabeau + Victor Hugo + éditeur Peeters + 1836 + De la traite des Nègres :  volume 9''' {{bibliographie|Q107208697}}
* 1841-  Mémoires biographiques, littéraires et politiques de Mirabeau par Honoré-Gabriel de Riquetti Mirabeau , Victor de Riquetti Mirabeau, Jean-Antoine -Joseph-Charles-Elzéar de Riquetti Mirabeau , Gabriel Lucas de Montigny, Andrew Dickson White, Publisher J. Chapelle  1841
* Memoires Biographiques, Litteraires Et Politiques De Mirabeau + [https://archive.org/details/mmoiresbiograph05montgoog Louis Hauman, tome onzième]

==== 1694-1774 - Les œuvres de François Quesnay sous l'angle de l’esclavage ====

'''Physiocratie, ou Constitution naturelle du gouvernement le plus avantageux au genre humain'''
* 1767-1768 - {{bibliographie|Q84358786}} {{BNF|31162785j}} &lt;!-- François Quesnay.- Physiocratie, ou Constitution naturelle du gouvernement le plus avantageux au genre humain --&gt; 

==== 1727-1781 - Les œuvres de Anne Robert Jacques Turgot sous l'angle de l’esclavage ====

'''1808-1811 - Œuvres de M. Turgot, 9 vol. in-8°, portrait au tome I'''
* 1808 - {{bibliographie|Q79408781}}, {{BNF|31505417d}} &lt;!-- Œuvres de M. Turgot --&gt;
** 1913-1923 - {{bibliographie|Q84358168}}  &lt;!-- Œuvres de Turgot et documents le concernant --&gt;

;[https://www.wikidata.org/w/index.php?search=Oeuvres%20de%20M.%20Turgot&amp;title=Special%3ASearch&amp;fulltext=1&amp;ns0=1&amp;ns120=1 Anne Robert Jacques Turgot sur Wikidata]
;[[s:Auteur:Anne_Robert_Jacques_Turgot|Anne Robert Jacques Turgot sur Wikisource]]
* [https://www.google.com/search?newwindow=1&amp;biw=1413&amp;bih=660&amp;tbm=bks&amp;ei=TaX_XcPiIPSEhbIP17uj0AI&amp;q=inauthor%3A%22Anne-Robert-Jacques+Turgot+%28baron+de+l%27Aulne%29%22+%2B+esclavage&amp;oq=inauthor%3A%22Anne-Robert-Jacques+Turgot+%28baron+de+l%27Aulne%29%22+%2B+esclavage&amp;gs_l=psy-ab.12...48239.53875.0.55823.12.12.0.0.0.0.202.663.11j0j1.12.0....0...1c.1.64.psy-ab..0.0.0....0.qr3Bjpl6VF4 inauthor:&quot;Anne-Robert-Jacques Turgot (baron de l'Aulne)&quot; + esclavage]
* [https://www.google.com/search?newwindow=1&amp;biw=1413&amp;bih=660&amp;tbm=bks&amp;ei=hqX_XYX4NIemgAbzh4iADg&amp;q=Anne-Robert-Jacques+Turgot+%2B+esclavage&amp;oq=Anne-Robert-Jacques+Turgot+%2B+esclavage&amp;gs_l=psy-ab.12...204622.211506.0.214587.2.2.0.0.0.0.91.144.2.2.0....0...1c.1.64.psy-ab..0.0.0....0.vnvSSKsjomE Anne Robert Jacques Turgot + esclavage]

=== Bibliographie : la physiocratie ===
* 2016 - {{bibliographie|Q133808307}} &lt;!-- Pierre Le Masne.- La colonisation et l'esclavage vus par les physiocrates --&gt;


== 1705–1765 - Charles André van Loo - Serviteurs africains ==

&lt;center&gt;
&lt;gallery&gt;
Fichier:Charles-André, dit Carle Vanloo - Halte de chasse (1737).JPG|Charles-André, dit Carle Vanloo.- [https://world4.eu/rococo-hunting-party/ Halte de chasse, 1737].
File:Charles André van Loo 002.jpg|Einer Sultanin wird eine Tasse Kaffee von einer Sklavin überreicht&lt;ref&gt;Esclave servant une tasse de café à une sultane, 1747.&lt;/ref&gt;
&lt;/gallery&gt;
&lt;/center&gt;

=== 1704-1788 - Un portrait de Maurice Quentin de La Tour en 1741 ===
[[Fichier:Maurice Quentin de La Tour - Jeune Noir rattachant le bouton de sa chemise, 1741.png|100px|vignette|gauche|Maurice Quentin de La Tour - Jeune Noir rattachant le bouton de sa chemise, 1741]]
[[Fichier:Maurice-Quentin de La Tour, Portrait of Gabriel Bernard de Rieux (1741).jpg|100px|vignette|gauche|Maurice-Quentin de La Tour.- Portrait of [[w:Gabriel Bernard de Rieux|Gabriel Bernard de Rieux]] (1741)]]

{{Citation bloc|Les grands pastels de La Tour - En même temps que son [[c:File:Maurice-Quentin de La Tour, Portrait of Gabriel Bernard de Rieux (1741).jpg|Bernard de Rieu]], La Tour exposait, en 1741, le portrait en buste Du Salon de 1748, l'exposition avait recueilli deux échos : d'un Nègre attachant le bouton de sa chemise. ... de noir, assurément du maitre de Saint-Quentin, et fort beau, propriété de la famille du distingué compositeur Pierre Maurice.|}}

Le portrait de [[d:Q20181182|Gabriel Bernard de Rieux]] a été exposé successivement en 1741, 1927, 1934, 2011, 2017, 2018 &amp; 2019&lt;ref&gt;[https://www.getty.edu/art/collection/objects/878/maurice-quentin-de-la-tour-portrait-of-gabriel-bernard-de-rieux-french-1739-1741/ The J. Paul Getty Museum.- Portrait of Gabriel Bernard de Rieux, Exhibitions]&lt;/ref&gt;.

Aujourd'hui, l'original du portrait est conservé au [[w:Musée d'Art et d'Histoire de Genève|Musée d’art et d’histoire]] de Genève : ''Maurice Quentin de La Tour, Jeune noir rattachant le bouton de sa chemise, 1741, pastel sur papier gris-bleuté, 650 x {{unité|530|mm}}, inv.1917-0028 © CdAG, Musée d’art et d’histoire Genève''. En ligne : [https://www.bella-maniera.com/single-post/2019/05/23/Le-Cabinet-d%E2%80%99arts-graphiques-du-Musée-d%E2%80%99art-et-d%E2%80%99histoire-de-Genève-une-collection-remarquable-aux-portes-de-la-Suisse Photo 7, Yves Siza]

==== Bibliographie ====
* 2010 - {{bibliographie|Q75020226}} &lt;!-- (en) Neil Jeffares, Pastels &amp; pastellists. La Tour, Le président de Rieux --&gt;
* en.Wikipedia, [[w:en:Black British|Black British]]
* en.Wikipedia, [[w:en:Representation of slavery in European art|Representation of slavery in European art]]
* [[c:Category:Slavery in art|Category:Slavery in art]]
* [https://www.english-heritage.org.uk/visit/places/portchester-castle/history-and-stories/black-people-in-late-18th-century-britain/ Black people in late 18th-century Britain]

=== 1704-1780 - Les œuvres de Louis de Jaucourt sous l'angle de l’esclavage ===
[[w:Louis de Jaucourt|Louis de Jaucourt dit le chevalier de Jaucourt]], né à Paris le 27 septembre 1704 et mort à Compiègne le 3 février 1780, médecin de formation, est un collaborateur savant et prolifique de l'[[w:Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers|Encyclopédie de Diderot et D'Alembert ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers]].

D'après Louis de Jaucourt&lt;ref&gt;[[w:Louis de Jaucourt|Louis de Jaucourt, (1704-1779)]]. Abolitionniste auteur de [[:s:L’Encyclopédie/1re_édition/ESCLAVAGE|Esclavage]], &quot;[[:s:L’Encyclopédie/1re édition/ESCLAVE|Esclave]]&quot;, &quot;[[:s:L’Encyclopédie/1re édition/TRAITE|Traite, Traite des nègres]]&quot; de l’[[w:Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers|Encyclopédie Diderot &amp; d'Alembert]].&lt;/ref&gt;, l'esclavage est l’établissement d’un droit fondé sur la force, lequel droit rend un homme tellement propre à un autre homme, qu’il est le maître absolu de sa vie, de ses biens et de sa liberté. L'esclave est celui qui est privé de la liberté et qui est sous la puissance d’un maître.

{{Citation bloc|ESCLAVE, (Jurisp.) est celui qui est privé de la liberté, &amp; qui est sous la puissance d’un maître.&lt;br /&gt;Suivant le droit naturel tous les hommes naissent libres ; l’état de servitude personnelle est une invention du droit des gens. Voyez Esclave.|[[w:Louis de Jaucourt|Louis de Jaucourt dit le chevalier de Jaucourt]].- [[s:L’Encyclopédie/1re édition/ESCLAVE|L’Encyclopédie/1re édition/ESCLAVE]]}}

[http://dictionnaire-journalistes.gazettes18e.fr/journaliste/412-louis-de-jaucourt JAUCOURT, Dictionnaire des journalistes, (1600-1789)].


==== La Traite des Nègres par Louis de Jaucourt ====

{{Citation bloc|Traite des negres, (Commerce d’Afrique.) c’est l’achat des negres que font les Européens sur les côtes d’Afrique, pour employer ces malheureux dans leurs colonies en qualité d’esclaves. Cet achat de negres, pour les réduire en esclavage, est un négoce qui viole la religion, la morale, les lois naturelles, &amp; tous les droits de la nature humaine.

Les negres, dit un anglois moderne plein de lumieres &amp; d’humanité, ne sont point dévenus esclaves par le droit de la guerre ; ils ne se devouent pas non plus volontairement eux-mêmes à la servitude, &amp; par conséquent leurs enfans ne naissent point esclaves. Personne n’ignore qu’on les achete de leurs princes, qui prétendent avoir droit de disposer de leur liberté, &amp; que les négocians les font transporter de la même maniere que leurs autres marchandises, soit dans leurs colonies, soit en Amérique où ils les exposent en vente.

Si un commerce de ce genre peut être justifié par un principe de morale, il n’y a point de crime, quelque atroce qu’il soit, qu’on ne puisse légitimer. Les rois, les princes, les magistrats ne sont point les propriétaires de leurs sujets, ils ne sont donc pas en droit de disposer de leur liberté, &amp; de les vendre pour esclaves.

D’un autre côté, aucun homme n’a droit de les acheter ou de s’en rendre le maître ; les hommes &amp; leur liberté ne sont point un objet de commerce ; ils ne peuvent être ni vendus, ni achetés, ni payés à aucun prix. Il faut conclure de-là qu’un homme dont l’esclave prend la fuite, ne doit s’en prendre qu’à lui-même, puisqu’il avoit acquis à prix d’argent une marchandise illicite, &amp; dont l’acquisition lui étoit interdite par toutes les lois de l’humanité &amp; de l’équité.

Il n’y a donc pas un seul de ces infortunés que l’on prétend n’être que des esclaves, qui n’ait droit d’être déclaré libre, puisqu’il n’a jamais perdu la liberté ; qu’il ne pouvoit pas la perdre ; &amp; que son prince, son pere, &amp; qui que ce soit dans le monde n’avoit le pouvoir d’en disposer ; par conséquent la vente qui en a été faite est nulle en elle-même : ce negre ne se dépouille, &amp; ne peut pas même se dépouiller jamais de son droit naturel ; il le porte partout avec lui, &amp; il peut exiger par-tout qu’on l’en laisse jouir. C’est donc une inhumanité manifeste de la part des juges de pays libres où il est transporté, de ne pas l’affranchir à l’instant en le déclarant libre, puisque c’est leur semblable, ayant une âme comme eux.

Il y a des auteurs qui s’érigeant en jurisconsultes politiques viennent nous dire hardiment, que les questions relatives à l’état des personnes doivent se décider par les lois des pays auxquels elles appartiennent, &amp; qu’ainsi un homme qui est déclaré esclave en Amérique &amp; qui est transporté de-là en Europe, doit y être regardé comme un esclave ; mais c’est là décider des droits de l’humanité par les lois civiles d’une gouttiere, comme dit Cicéron. Est-ce que les magistrats d’une nation, par ménagement pour une autre nation, ne doivent avoir aucun égard pour leur propre espece ? Est-ce que leur déférence à une loi qui ne les oblige en rien, doit leur faire fouler aux piés la loi de la nature, qui oblige tous les hommes dans tous les tems &amp; dans tous les lieux ? Y a-t-il aucune loi qui soit aussi obligatoire que les lois éternelles de l’équité ? Peut-on mettre en problème si un juge est plus obligé de les observer, que de respecter les usages arbitraires &amp; inhumains des colonies ?

On dira peut-être qu’elles seroient bientôt ruinées ces colonies, si l’on y abolissoit l’esclavage des negres. Mais quand cela seroit, faut-il conclure de-là que le genre humain doit être horriblement lésé, pour nous enrichir ou fournir à notre luxe ? Il est vrai que les bourses des voleurs de grand chemin seroient vuides, si le vol étoit absolument supprimé : mais les hommes ont-ils le droit de s’enrichir par des voies cruelles &amp; criminelles ? Quel droit a un brigand de dévaliser les passans ? À qui est-il permis de devenir opulent, en rendant malheureux ses semblables ? Peut-il être légitime de dépouiller l’espece humaine de ses droits les plus sacres, uniquement pour satisfaire son avarice, sa vanité, ou ses passions particulières ? Non.... Que les colonies européennes soient donc plutôt détruites, que de faire tant de malheureux !

Mais je crois qu’il est faux que la suppression de l’esclavage entraineroit leur ruine. Le commerce en souffriroit pendant quelque tems : je le veux, c’est-là l’effet de tous les nouveaux arrangemens, parce qu’en ce cas on ne pourroit trouver sur le champ les moyens de suivre un autre système ; mais il résulteroit de cette suppression beaucoup d’autres avantages.

C’est cette traite de negres, c’est l’usage de la servitude qui a empêché l’Amérique de se peupler aussi promptement qu’elle l’auroit fait sans cela. Que l’on mette les negres en liberté, &amp; dans peu de générations ce pays vaste &amp; fertile comptera des habitans sans nombre. Les arts, les talens y fleuriront ; &amp; au-lieu qu’il n’est presque peuplé que de sauvages &amp; de bêtes féroces, il ne le sera bientôt que par des hommes industrieux. C’est la liberté, c’est l’industrie qui sont les sources réelles de l’abondance Tant qu’un peuple conservera cette industrie &amp; cette liberté, il ne doit rien redouter. L’industrie, ainsi que le besoin, est ingénieuse &amp; inventive ; elle trouve mille moyens différens de se procurer des richesses ; &amp; si l’un des canaux de l’opulence se bouche, cent autres s’ouvrent à l’instant.

Les âmes sensibles &amp; généreuse, applaudiront sans doute à ces raisons en faveur de l’humanité ; mais l’avarice &amp; la cupidité qui dominent la terre, ne voudront jamais les entendre. (D. J.|Louis de Jaucourt, Traite des negres, (Commerce d’Afrique.), [[s:L’Encyclopédie/1re édition/TRAITE|L’Encyclopédie, 1re éd. 1751 (Tome 16, pp. 532-533)]].}}

==== Une analyse en ligne ====

{{Citation bloc|L'article « Traite des nègres » définit l'esclavage et la manière dont il fonctionne. L'auteur de l'article, le Chevalier de Jaucourt, rattache le problème à celui, plus politique, des relations entre rois et sujets.|Chevalier de Jaucourt : Encyclopédie, Article &quot;Traite des Nègres&quot; (Commentaire composé)&lt;ref&gt;[http://www.bacfrancais.com/bac_francais/449-jaucourt-traite-des-negres.php Chevalier de Jaucourt : Encyclopédie, Article &quot;Traite des Nègres&quot; (Commentaire composé)&lt;/ref&gt;.}}

=== 1709-1785 - Les œuvres de Gabriel Bonnot de Mably sous l'angle de l’esclavage ===
* 1765 - {{bibliographie|Q96655750}}, œuvre écrite &lt;!-- Mably, Observations sur l'histoire de France --&gt;
* 1765 - {{bibliographie|Q96656504}}, première édition en 2 volumes, Féodalisme &amp; servitude &lt;!-- Mably, Observations sur l'histoire de France, T1  --&gt;
* 1765 - {{bibliographie|Q96655757}}, première édition en 2 volumes, Servitudes et abolition &lt;!-- Mably, Observations sur l'histoire de France, T2  --&gt;


=== 1711-1755 - Les œuvres de Montesquieu sous l'angle de l’esclavage ===
{{Citation bloc|CHAPITRE XV. Des peuples qui connoissent l’usage de la monnoie.&lt;br /&gt;ARISTIPE, ayant fait naufrage, nagea &amp; aborda au rivage prochain ; il vit qu’on avoit tracé sur le sable des figures de géométrie : il se sentit ému de joie, jugeant qu’il étoit arrivé chez un peuple Grec, &amp; non pas chez un peuple barbare.&lt;br /&gt;Soyez seul, &amp; arrivez par quelque accident chez un peuple inconnu ; si vous voyez une pièce de monnoie, comptez que vous êtes arrivé chez une nation policée.&lt;br /&gt;La culture des terres demande l’usage de la monnoie. Cette culture suppose beaucoup d’arts &amp; de connoissances ; &amp; l’on voit toujours marcher d’un pas égal les arts, les connoissances &amp; les besoins. Tout cela conduit à l’établissement d’un signe de valeurs.[[w:Montesquieu|Charles Louis de Secondat, baron de La Brède et de Montesquieu]], 18 janvier 1689 -10 février 1755.- [[s:Page:Montesquieu - Esprit des Lois - Tome 1.djvu/483|De l'esprit des lois, chapitre XV, Des peuples qui connaissent l’usage de la monnaie]]}}

{{Citation bloc|La culture de terres demande l'usage de la monnaie. Cette culture fuppofe beaucoup d'arts &amp; de connoissances &amp; l'on voit toujours marcher d'un pas égal les arts les connoissances &amp; les befoins|[[w:Montesquieu|Charles Louis de Secondat, baron de La Brède et de Montesquieu]], 18 janvier 1689 -10 février 1755.- [[s:Page:Montesquieu - Esprit des Lois - Tome 1.djvu/483|De l'esprit des lois, chapitre XV, Des peuples qui connaissent l’usage de la monnaie]]&lt;ref&gt;[https://www.google.fr/search?q=Montesquieu+%2B+La+culture+de+terres+demande+l%27usage+de+la+monnaie+%2B+cette+culture+suppose+beaucoup+d%27arts+et+de+connoissances+et+l%27on+voit+toujours+marcher+d%27un+pas+égal+les+arts,+les+connoissances+%26+les+besoins&amp;hl=fr&amp;tbm=bks&amp;ei=f9ydXeTCConMgweP1JyQAg&amp;start=0&amp;sa=N&amp;ved=0ahUKEwik_o2uoI_lAhUJ5uAKHQ8qByI4ChDy0wMIaQ&amp;biw=1294&amp;bih=609&amp;dpr=1 Montesquieu.- De l'esprit des lois, chapitre XV, Des peuples qui connaissent l’usage de la monnaie]. Texte lu dans John Fowler.- [https://books.google.fr/books?id=sW5XAAAAcAAJ A Summary Account of the Present Flourishing State of the Respectable Colony of Tobago, in the British West Indies]&lt;/ref&gt;}}

==== Monnaie &amp; esclavage dans ''De l'esprit des lois'' ====

Tissot-Boubers.- La politique de Montesquieu: ou, Introduction à l'Esprit des ... - Page 108, 1820 ''L'agriculture suppose beaucoup d'arts et de connaissances ; et l'on voit toujours marcher d'un pas égal les arts, les connaissances et les besoins. [https://books.google.fr/books?id=zahHAQAAMAAJ&amp;pg=PA108&amp;v=onepage&amp;f=false Tout cela conduit à l'établissement d'un signe de valeur, de la monnaie].''
* [https://www.google.com/search?tbm=bks&amp;q=Montesquieu+%2B+Agriculture+%2B+Monnaie Montesquieu + Agriculture + Monnaie]
Charles de Secondat baron de Montesquieu.- [https://books.google.fr/books?id=hwLgcxwkxAEC&amp;pg=PA731&amp;v=onepage&amp;f=falseŒuvres complètes de Montesquieu: avec des notes de Dupin], 1838 

 [[w:Liste d'opposants à l'esclavage|Charles Louis de Secondat, baron de La Brède et de Montesquieu]], est un penseur politique, précurseur de la sociologie, philosophe et écrivain français des Lumières, né le 18 janvier 1689 à La Brède (Guyenne, près de Bordeaux) et mort le 10 février 1755 à Paris.
 [[w:Montesquieu#L'esclavage_dans_L'Esprit_des_lois|L'esclavage dans L'Esprit des lois]]
  [[w:Montesquieu#Les_justifications_de_la_servitude_selon_Montesquieu|Les justifications de la servitude selon Montesquieu]]
  [[w:Montesquieu#À_propos_de_l'ironie_du_chapitre_V_du_Livre_XV|À propos de l'ironie du chapitre V du Livre XV]]

''&quot;[http://www.si-graves-montesquieu.fr/images/montesquieu_xxii_projet.pdf ...ouverture d'un atelier, pour la  Lecture à voix haute, l'étude critique, le commentaire scientifique et l'actualisation en débat public des 22 chapitres du Livre XXIIème de L'Esprit des lois, &quot;des lois dans le rapport qu'elles ont avec l'usage de la monnaie]&quot;'' (Cf.  [[w:Lecture à voix haute|lecture à haute voix]]).
* 1748 - {{bibliographie|Q514727}} [[w:De l'esprit des lois|De l'esprit des lois]]
* 1758 - {{bibliographie|Q19152131}} [http://dx.doi.org/doi:10.1522/cla.moc.del8  De l'esprit des lois (1758), Collection « Les auteur(e)s classiques&quot; Uqac], Table des matières  &lt;!-- --&gt;
* 1772 - {{bibliographie|Q19152132}} &lt;!-- --&gt;
* 1777 - {{bibliographie|Q19152133}} &lt;!-- --&gt;

 [https://gallica.bnf.fr/services/engine/seaAnne Robert Jacques Turgotrch/sru?operation=searchRetrieve&amp;version=1.2&amp;query=(gallica%20all%20&quot;Œuvres%20de%20Montesquieu,%20L'Esprit%20des%20lois&quot;)&amp;lang=fr&amp;suggest=0 De l'esprit des lois sur Gallica].
 Volpilhac-Auger Catherine, &quot;[https://www.cairn.info/revue-francaise-d-histoire-des-idees-politiques1-2012-1-page-3.htm Débats et polémiques autour de L'Esprit des lois]&quot;, Revue Française d'Histoire des Idées Politiques, 2012/1 (N° 35), p. 3-11. DOI : 10.3917/rfhip.035.0003.
 Antonella Alimento.- Le Cercle de Vincent de Gournay. [http://montesquieu.ens-lyon.fr/spip.php?article1480 Savoirs économiques et pratiques administratives en France au milieu du XVIIIe siècle] et Montchrestien et Cantillon. Le commerce et l’émergence d’une pensée économique

==== Critiques scientifiques ====
* 1908 - {{bibliographie|Q37720133}}&lt;!-- Ernest Hamy, &quot;Charles Arthaud, de Pont-à-Mousson (1748-1791)&quot;... --&gt;
* 1911 - {{bibliographie|Q63871868}} &lt;!-- Russell Parsons Jameson, Montesquieu et l'esclavage --&gt;
** 1911 - {{bibliographie|Q67207093}} &lt;!-- Girard René. Russell Parsons Jameson.- Montesquieu et l'esclavage. Étude sur les origines de l'opinion antiesclavagiste en France au XVIIIe siècle --&gt;

==== Montesquieu - Deux opuscules, éd. Montesquieu, 1891 ====

'''Deux opuscules de Montesquieu'''
 # Avant-propos
 # Montesquieu, Charles de Secondat, baron de, 1689-1755.- Réflexions sur la monarchie universelle en Europe
 # Montesquieu, Charles de Secondat, baron de, 1689-1755.- De la considération et de le réputation
 # Anne Thérèse de Marguenat de Courcelles, marquise de Lambert (1647-1733).- Discours sur la différence qu'il y a de la réputation à la considération
 # Appendice
 Wikisource : [[s:Livre:Montesquieu - Deux opuscules, éd. Montesquieu, 1891.djvu|Livre:Montesquieu - Deux opuscules, éd. Montesquieu, 1891.djvu]]
 Commons : [[c:File:Montesquieu - Deux opuscules, éd. Montesquieu, 1891.djvu|File:Montesquieu - Deux opuscules, éd. Montesquieu, 1891.djvu]]
 Internet Archive : [https://archive.org/details/deuxopusculesd00mont/page/6/mode/2up|Deux opuscules de Montesquieu]

===== Le plan de « monarchie universelle » de Louis XIV &amp; la monarchie universelle en Europe =====

{{Citation bloc|Il en est de la monarchie universelle comme de toutes ces notions globales en lesquelles une époque se reconnaît et se réfute&lt;ref&gt;On pourrait mesurer la fortune de la notion au XVIIe siècle à l’aune de celle qu’ont eue certains concepts globaux de notre histoire contemporaine (« impérialisme » hier, « néo-libéralisme » naguère, « globalisation » et « gouvernance » aujourd’hui).&lt;/ref&gt; : à la fois stéréotype impensé qui surgit par réflexe, et fait de représentation lourd de présupposés. On traitera donc de la « monarchie universelle » comme d’une construction discursive qui réside essentiellement dans des représentations, dont on retracera l’histoire, des origines à sa résurgence, de sa dénonciation et de la dérision qui le frappe : à travers ces variations s’élabore, entre Renaissance et Lumières, le passage d’un universalisme à l’autre&lt;ref&gt;De l’universalisme chrétien à l’universalisme républicain de la Révolution de 1789&lt;/ref&gt;.|2011 - {{bibliographie|Q107989703}} &lt;!-- La « Monarchie Universelle » de Louis XIV --&gt;}}

Dans &quot;La «Monarchie Universelle» de Louis XIV&quot;, Pierre Bonnet se situe dans le contexte des empires-mondes d'après [[w:Ère commune|1492 EC]].
{{Citation bloc|...pour ne retenir que le règne de Charles Quint, où il prend un relief particulier, dans le contexte d’un empire sur lequel le soleil était réputé ne jamais se coucher.|2011 - {{bibliographie|Q107989703}} &lt;!-- La « Monarchie Universelle » de Louis XIV --&gt;}}

Le principe de «Monarchie Universelle», chez Louis XIV, exclue l'opposition des religions : {{Citation bloc|Ce principe d’intérêt l’emporte sur toute autre considération de religion, de parenté, d’alliance, comme l’atteste le pacte secret entre la France et les Turcs depuis François Ier. [...] ...ils placent d’emblée la politique royale sous le double registre de la prédation violente et du parjure, rendus possibles par l’intrigue et par une politique anti-chrétienne.|2011 - {{bibliographie|Q107989703}} &lt;!-- La « Monarchie Universelle » de Louis XIV --&gt;}}

{{Citation bloc|.En [[w:France|France]], on appelle &quot;[[w:Guerres de Religion (France)|guerres de Religion]]&quot; une série de huit conflits successifs — [[w:Guerre civile|guerres civiles]], [[w:Guerre de religion|opposition armées]] entre partisans des différents courants religieux, [[w:Guerres de Louis XIV|opérations militaires]] internationales — où se sont opposés [[w:catholicisme|catholiques]] et [[w:protestantisme|protestants]] (''ceux-ci sont parfois appelés [[w:huguenot|huguenot]]s''). Après les premières persécussions dans les années [[w:années 1520|1520]], les guerres de Religion commencent le 1{{er}} mars 1562 quant à lieu le [[w:Massacre de Wassy|massacre de Huguenots]] à [[w:Wassy|Wassy]], sous les ordres du duc de Guise,  et se poursuivent par vagues jusqu'en 1598 quand est promulgué l'[[w:édit de Nantes|édit de Nantes]] par Henri IV,  roi de France. Elles se prolongent aux {{S|XVII}} avec le [[w:Siège de La Rochelle (1627-1628)|siège de La Rochelle]] entre 1627 et 1628 et la [[w:Guerre des Cévennes|guerre des Camisards]]), soulèvement de paysans protestants dans les Cévennes après la [[w:Édit de Fontainebleau (1685)|révocation de l'édit de Nantes]] en 1685  qui s'éteint en [[w:1711|1711]], jusqu'à l’arrêt des persécutions au {{S|XVIII}} sous [[w:Louis XVI|Louis XVI]] avec l'[[w:édit de Versailles|édit de Versailles]] en 1787. Ce sont donc 267années de conflits pour la monarchie universelle dans lesquelles sont entraînées, à leur corps défendant l'Europe et les territoires qu'elle conquiert hors d'Europe dans des flots de sang.|fr.wikipedia.org}}
 
 '''Bibliographie'''
* 1842 - {{bibliographie|Q17360720}} &lt;!-- Le Parti de la Monarchie Constitutionnelle en 1789 --&gt;
* 2011 - {{bibliographie|Q107989703}} &lt;!-- La « Monarchie Universelle » de Louis XIV --&gt;

=== Guillaume-Thomas Raynal ===
[[Fichier:Esclaves conduits par des marchands.JPG|vignette|100px|gauche|Nicolas de Launay  (1739–1792), D’après Jean-Michel Moreau  (1741–1814).- Esclaves conduits par des marchands, 1780&lt;ref&gt;Estampe tirée de : Guillaume-Thomas Raynal, &quot;Histoire philosophique et politique des établissements et du commerce des Européens dans les deux Indes&quot;, [https://archive.org/stream/histoirephilosop03raynuoft#page/n7/mode/2up Tome troisième], Genève, 1780. L'estampe est signée par [[w:fr:Jean-Michel Moreau|Jean-Michel Moreau]] (dit Moreau le Jeune), dessinateur &amp; Nicolas Delaunay, graveur. N° inventaire : 75.6721, Musée du Quai branly, Paris.&lt;/ref&gt;.]]
 [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Guillaume-Thomas_Raynal,_ses_prédécesseurs_&amp;_sa_postérité|1713-1796 - Guillaume-Thomas Raynal, ses prédécesseurs &amp; sa postérité]]

=== 1723-1789 - De Felice, Fortunato Bartolomeo, le père sous l’angle de l'esclavage ===

1817 - [https://books.google.fr/books?id=xEkqfOKUK5kC Guillaume-Adam : de Felice].- Lecons de droit de la nature et des gens, par M. le ... - Page xx
''Voilà ce qui m'a engagé à publier ces Leçons de Droit de la Nature &amp; des Gens, que j'ai extraites de l'Edition des Principes du Droit de la Nature &amp; des Gens de M. BURLAMAQUI, que je viens de donner en 8 vol. in-8°. &amp; qui par là même ne …''
* 1817 - Guillaume-Adam : de Felice.- [https://books.google.fr/books?id=xEkqfOKUK5kC Lecons de droit de la nature et des gens, par M. le professeur De Felice]. Tome premier. Première partie [-second. Seconde partie]: 1.1: Droit de la nature. Première partie, chez les principaux libraires, 280 pages&lt;br /&gt;
[https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb304253355 4 Volumes], {{BNF|304253355}}, 1.-2. Droit de la nature ; 3-4. Droit des gens, [lire en ligne.&lt;br /&gt;

==== Droit des gens ====
* 1830  - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9755260d Droit des gens] ; {{BNF|30425336h}}

&lt;poem&gt;
p.98
lorsqu'il se forme des factions et des cabales, lorsque les grands traitent le peuple en esclave, etc
p.50
Et en effet, considérons l'état primitif de l'homme j il est certain que les noms de souverains ef de sujets, 'de maîtres, d'esclaves, sont inconnus à la Iiature
p.279
Mais te qui fait horreur, c'est la maxime des anciens Égyptiens qui fermaient les portes de leur pays aux étrangers, de façon qu'ils étaient dans l'usage de tuer ou de faire esclaves tous les étrangers qu'on surprenait le long des côtes (s(...)
p.39
c'était le partage des esclaves : tous les citoyens étaient bourgeois
p.424
Tous les chrétiens généralement ont trouvé à propos d'abolir entre eux l'usage de rendre esclaves les prisonniers
p.73
les sujets, comme des esclaves faits pour eux, et destinés à sacrifier leurs biens et leurs vies à leur service
p.426
L'on voit par là combien se trompent ceux qui prétendent que l'on peut rendre esclaves les prisonniers de guerre
p.77
comme lorsque les Égyptiens, pour subvenir à leurs besoins pressants pendant la famine, dirent à Joseph : Achète-nous et nos terres pour du pain , et nous serons esclaves de Pharaon (i(...)
p.63
et si cela est vrai par rapport à un particulier qui se ferait esclave, bien moins encore un peuple entier a-t-il ce pouvoir, dont chacun(...)
p.448
Les Scythes disaient à Alexandre le Grand : « Il n'y a jamais (( d'amitié entre le maître et l'esclave : au milieu « de la paix le droit de la guerre subsiste tou« jours
&lt;/poem&gt;

== 1734-1821 - Sir James Mansfield, à l'origine Manfield, Angleterre ==

 1772 : l'arrêt Somerset de Lord Mansfield marque l'abolition de facto de l'esclavage en Angleterre et Pays de Galles, bien avant son abolition de jure en 1833.
* Susan Finding.- L'abolition de l'esclavage au Royaume-Uni 1787-1840 : débats ..., 2009


== Etienne Clavière, 1735-1793 ===
* Jean Marc Rivier.- Etienne Clavière, 1735-1793: un révolutionnaire, ami des Noirs, 2006

=== 1738-1815 - L'Africain dans l’œuvre de John Singleton Copley ===

;Portraits par [[w:John Singleton Copley|John Singleton Copley]]

&lt;center&gt;
&lt;gallery&gt;
File:John singleton copley, testa di negro, 1777-78 ca.jpg|[[d:Q64587263|Head of a Negro, 1777 or 1778]], [[d:Q1201549|Détroit Institute of Arts]]&lt;ref&gt;[https://www.dia.org/art/collection/object/head-negro-41297 Head of a Negro, 1777 or 1778],Détroit Institute of Arts.&lt;/ref&gt;
File:J S Copley - Watson and the Shark (Boston).jpg|[[d:Q19851210|Watson and the Shark]], Havana Harbor, 1778, [[d:Q1201549|Détroit Institute of Arts]]&lt;ref&gt;[https://www.dia.org/art/collection/object/watson-and-shark-41300 Watson and the Shark, Détroit Institute of Arts].&lt;/ref&gt;
&lt;/gallery&gt;
&lt;/center&gt;

=== 1738-1754-1756 † 1794-1793-1837 - Jacques François Dugommier, Louis XVI, Étienne de Joly ===

==== Étienne de Joly, ministre de Louis XVI, &amp; les gens de couleur ====
[[Fichier:Extrait du Procès-verbal de l'Assemblée des Colons Américains du 22 Septembre 1789.png|100px|vignette|droite|Extrait du Procès-verbal de l'[[d:Q19170548|Assemblée des Colons Américains du 22 septembre 1789]].]]
[[Fichier:Adresse à l'Assemblée nationale pour les citoyens libres de couleur des Iles &amp; colonies françoises, 18 octobre 1789, Titre.png|100px|vignette|droite|Adresse à l'Assemblée nationale pour les citoyens libres de couleur des Iles &amp; colonies françoises, 18 octobre 1789]]
[[Fichier:Jacques François Coquille dit Dugommier Projet d'une Constitution générale coloniale, Juillet 1790.png|100px|vignette|droite|Jacques François Coquille dit Dugommier Projet d'une Constitution générale coloniale, Juillet 1790]]
[[Fichier:Adresse à la Convention nationale, à tous les clubs et sociétés patriotiques.png|100px|vignette|droite|[[d:Q26206390|Adresse à la Convention nationale, à tous les clubs et sociétés patriotiques, 17 mai 1793]].]]
* {{bibliographie|Q76366016}} &lt;!-- --&gt;
* {{bibliographie|Q76362986}} &lt;!-- --&gt;
* Lyon-Caen Nicolas. David Feutry. [https://www.persee.fr/doc/bec_0373-6237_2011_num_169_1_464118_t16_0319_0000_2 Guillaume-François Joly de Fleury (1675-1756). Un magistrat entre service du roi et stratégies familiales], 2011. In: Bibliothèque de l'école des chartes. 2011, tome 169, livraison 1. Les chartes ornées dans l’Europe romane et gothique. pp. 319-321.
* {{bibliographie|Q76366016}} &lt;!-- --&gt;
* Fonds Joly de Fleury (XVIIIe siècle).

==== Les Joly de Fleury  ====
* [[w:Guillaume-François Joly de Fleury|Guillaume-François Joly de Fleury]] est un magistrat français, procureur général au Parlement de Paris, seigneur de Fleury, 11 novembre 1675 - 25 mars 1756
* [[w:Joseph Omer Joly de Fleury|Joseph Omer Joly de Fleury]], né le 26 octobre 1715 à Paris et mort le 29 janvier 1810, est un magistrat et haut fonctionnaire français.
* [[w:Jean-François Joly de Fleury|Jean-François Joly de Fleury]] est un homme d'État français né à Paris le 7 juin 1718 et mort à Paris le 12 décembre 1802. [[w:Jean-François Joly de Fleury|Jean-François Joly de Fleury]] est  ministre de Louis XV
* [[w:Étienne de Joly|Étienne Louis Hector de Joly]], ministre de Louis XVI
* Sur Wikidata : [https://www.wikidata.org/w/index.php?search=Joly%20de%20Fleury&amp;title=Special%3ASearch&amp;fulltext=1&amp;ns0=1&amp;ns120=1 Joly de Fleury]
* [https://books.google.fr/books?id=SsRSCwAAQBAJ&amp;lpg=PA1&amp;hl=fr&amp;pg=PT85#v=onepage&amp;q=De%20Joly&amp;f=false Biographie de De Joly]&lt;ref&gt;François Collaveri, Napoléon franc-maçon ?, [https://books.google.fr/books?id=SsRSCwAAQBAJ&amp;lpg=PA1&amp;hl=fr&amp;pg=PA1#v=onepage&amp;q=De%20Joly&amp;f=false page]&lt;/ref&gt;.

{{Citation bloc|4. Jacques Godechot s'est fait l'historiographe d'Etienne Joly, dont il a publié les Mémoires sur la journée du 10 août 1792 (édition critique avec une introduction et des notes, P.U.F., Paris, 1944, 94 pp. in 8°). Jacques Godechot a raconté &quot;l'arrestation du ministre de Joly à Bagnères de Bigorre en 1793&quot; (Recueil des Actes du {{S|XIII}}congrès d'études de la Fédération des sociétés académiques et savantes Languedoc-Pyrénées-Gascogne, 1957.). Voir la notice d'Alain Le Bihan dans le Dictionnaire universel de la franc-maçonnerie, Paris, Editions du Prisme, Editions de Navarre, 1974&lt;br /&gt;5. Godechot (Jacques), &quot;De Joly et les gens de couleur libres&quot;, Annales historiques de la Révolution française, 1951, pp. 48-61.&lt;br /&gt;6. Un décret de la Convention nationale en date du 29 frimaire an II (19 décembre 1793) spécifiait : &quot;Joly, ministre de la Justice à l'époque du 10 août et prévu d'un système atroce de proscription contre les patriotes qui résistaient aux manœuvres liberticides du tyran, sera, si fait n'a été mis en état d'arrestation et traduit au tribunal révolutionnaire&quot; (AN, C282 ; et le Moniteur, t. XIX, p. 6.).|{{bibliographie|Q73675650}}, 2003&lt;ref&gt;François Collaveri, Napoléon franc-maçon ?, [https://books.google.fr/books?id=SsRSCwAAQBAJ&amp;lpg=PA1&amp;hl=fr&amp;pg=PA1#v=onepage&amp;q=De%20Joly&amp;f=false page]&lt;/ref&gt;.}}

;''Charles Godefroy Marie de Beaumont dit le chevalier de Beaumont''
* [https://books.google.fr/books?id=9KbNAAAAMAAJ&amp;dq=Godefroy%20de%20Beaumont-Bouillon&amp;hl=fr&amp;pg=PA210#v=onepage&amp;q=Godefroy%20de%20Beaumont-Bouillon&amp;f=false Un grand oncle de George Sand] (Recherche à propos de Charles Godefroy Marie de Beaumont dit le chevalier de Beaumont&lt;br /&gt;
&quot;''Un grand oncle de George Sand LXXIX 7 Le roman qui suit roman vécu d ailleurs permettra d éliminer définitivement Leblanc de Baulieu et de le remplacer comme grand oncle de George Sand par Charles Godefroy Marie de Beaumont Il est extrait d'une Biographie manuscrite de M de Beaumont curé de Tartas Landes''&quot;.

==== Étude des signatures ====

 '''Assemblée des Colons Américains, 12-22 Septembre 1789.'''
 Signé, de Joly, Avocat aux Conſeils, Commiſſaire Député nommé à cet effet, avec MM. Raymond, Fleury, Audiger, Lafourcade, du Souchet l’ainé, Ogé jeune, De Vaureal, le Chevalier de Lavit, Lanon, Hellot, Honoré, Poizat &amp; la Source, Commiſſaires.
 
 '''Prononcé du 18 octobre 1789 &amp; publication du 1er février 1790'''
 Signé, de Joly, Avocat aux Conſeils, Commiſſaire Député nommé à cet effet, avec MM. Raymond, Fleury, Audiger, Lafourcade, du Souchet l’ainé, Ogé jeune, De Vaureal, le Chevalier de Lavit, Lanon, Hellot, Honoré, Poizat &amp; la Source, Commiſſaires. 

 '''Adresse à la Convention nationale, à tous les clubs et sociétés patriotiques, 17 mai 1793'''
 Paris, le 17 mai 1793, l'an deuxième de la république française.
 J. Labuissonnière. Narcisse, lieutenant des hussards américains. Hellot, idem Saint-George Milscent, marechal-des-logis. Lapais, idem. Ferant, adjudant. Alexandre Vantu, brigadier-fourrier. Apollon. Dominique. Claid-Hurfulle. Louis Dubara. Jean-Pierre Alexandre. Bazille. Gainatis. Lubin. Téméraire. Etienne. Mondor.
 Approuvé par tous les braves Republicains. 
* 1792-1947 - {{bibliographie|Q72960634}} &lt;!-- Étienne de Joly et Jacques Godechot (dir.), Mémoires inédits de E.-L.-H. Dejoly sur la journée du 10 août 1792 --&gt;

 [[w:Société des colons américains|Société des colons américains]]

 {{Citation bloc|Enfin, le 9 septembre, ce fut de Joly, avocat aux Conseils et secrétaire des représentants de la Commune, qui se présenta ... Raimond, Fleury, Audiger, Laforcade, du Souchet l'aîné, Ogé jeune, de Vauréal, le chevalier de Lavit, Lasnon, Hellot,|1898 - {{bibliographie|Q73018271}}.}}

 {{Citation bloc|C'est ainsi que, derrière l’avocat Dejoly&lt;ref&gt;[[w:Étienne de Joly|Étienne Louis Hector de Joly]] (Montpellier, 22 avril 1756 – Paris, 3 avril 1837), avocat au conseil du roi, ministre de l'Intérieur, puis de la justice de Louis XVI, le 3 juillet 1792, dans le cabinet composé principalement par des membres du Club des Feuillants. Il change son nom en Étienne Dejoly.&lt;/ref&gt;, porte-parole du groupe, Julien Raymond et vincent Ogé ont été confirmés second et troisième députés de la société qui a pris le nom, dès le 29 août, de société des &quot;colons américains&quot;|Érick Noël.- Les libres de couleur dans le jeu politique en France en 1789, 2014&lt;ref&gt;2014 - {{bibliographie|Q73043833}}, publié dans {{bibliographie|Q73043833}}, [https://books.google.fr/books?id=HrOXDwAAQBAJ&amp;lpg=PA46&amp;dq=Société%20des%20colons%20américains&amp;hl=fr&amp;pg=PA45#v=onepage&amp;q=Société%20des%20colons%20américains&amp;f=false pp. 45 &amp; ss.]&lt;/ref&gt;.}}

 [[w:Julien Raimond|Julien Raymond|Julien Raimond|Julien Raymond]]

 Julien Raymond dans {{bibliographie|Q73018271}}, [[s:Page:Léon Deschamps - Les Colonies pendant la Révolution, La Constituante et la réforme coloniale, 1898.djvu/54|page 18]].

 {{Citation bloc|Deux hommes vont s’opposer à coups de libelles et de pétitions : Julien Raimond, fondateur de la Société des Citoyens de Couleur qui revendique l’« égalité de l’épiderme », et Moreau de Saint-Méry, porte-parole des colons.|Florence Gauthier.- L’aristocratie de l’épiderme, 2016&lt;ref&gt;2016 - {{bibliographie|Q24039137}}&lt;/ref&gt;}}

 [[w:Jacques François Dugommier|Jacques François Coquille dit Dugommier]], général, (1738-1794)
* 1790 (Juillet) - {{bibliographie|Q73528132}}, dans Bibliothèque de Moreau de Saint-Méry  {{bibliographie|Q73524638}} &lt;!-- 1790 (Juillet) - Jacques François Coquille dit Dugommier et Louis-Élie Moreau de Saint-Méry, Projet d'une Constitution générale coloniale --&gt;

==== Bibliographie ====
* 1789 - {{Bibliographie|Q19170548}} &lt;!-- De Joly.- Adresse à l’Assemblée-Nationale, pour les citoyens-libres de couleur, des isles &amp; colonies françoises, 18 octobre 1789 --&gt;
* [[d:Q73523108|1789-1790]] - {{Bibliographie|Q73523108}} &lt;!-- Antoine Guénard Demonville, Lettres à Monsieur le comte de B*** --&gt;
* 1789-1790 - {{bibliographie|Q72965763}} &lt;!-- Étienne de Joly, Adresse des citoyens de couleur des isles et colonies françoises --&gt;
* 1790 (22 mars) - {{bibliographie|Q78873865}} &lt;!-- De l'assemblée générale coloniale de la Guadeloupe à ses députes auprès de l'Assemblée nationale --&gt;
* 1790 (10 novembre) - {{bibliographie|Q78879177}} &lt;!-- Guadeloupe. Assemblée coloniale, Rapport fait à l'assemblée coloniale de la Guadeloupe, le 10 novembre 1790 --&gt;
* 1793 (17 mai) - {{bibliographie|Q26206390}} &lt;!--  --&gt;
** 1950 - {{Bibliographie|Q24198303}} &lt;!--  --&gt;
**  1950 - {{Bibliographie|Q24206067}} &lt;!--  --&gt;
Signé, de Joly, Avocat aux Conſeils, Commiſſaire Député nommé à cet effet, avec MM. Raymond, Fleury, Audiger, Lafourcade, du Souchet l’ainé, Ogé jeune, De Vaureal, le Chevalier de Lavit, Lanon, Hellot, Honoré, Poizat &amp; la Source, Commiſſaires.
* 2003 - {{bibliographie|Q73675650}} &lt;!-- 2003 - François Collaveri, Napoléon franc-maçon ? --&gt;
* 2009 - {{bibliographie|Q78880939}} &lt;!-- Yannick Le Roux et Réginald Auger, Les jésuites et l'esclavage --&gt;

=== 1740-1794 - Les œuvres de Claude-Louis-Michel-Milscent de Mussé sous l’angle de l'esclavage ===
;[[d:Q26033039|Claude Milscent]]

==== Raimond est connu de Milscent ====

Cf. &quot;Les troupes noires&quot;

==== Milscent, un anti-esclavagiste kleptomane ? ====
* 1990 - {{Bibliographie|Q26209709}}

==== Milscent chassé des Jacobins ====

{{Citation bloc|Milscent&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;, dit-on, fut chassé des Jacobins, non sans l'avoir mérité ; c'est un être indigne de siéger dans une société de républicains, et plus digne du sort des Algériens que des Français.&lt;br /&gt;
1. Claude-Louis-Michel-Milscent de Mussé, né à Saint-Domingue vers 17/io, séjourna alternativement, pendant les cinquante premières années 
de sa vie, dans cette île et en France, dans l'Anjou, d'où sa famille était originaire. À Saint-Domingue, il fut longtemps, dit-on, commandant d'un corps de chasseurs chargés de poursuivre les nègres marrons ; en France, il s'occupa de littérature, traduisit des drames de l'allemand, notamment Albert et Emilie, et Agnès de Bernan, d'après Friedel. À la fin de 1790, il vient se fixer à Angers, entre au club des Amis de la Constitution de cette ville, collabore aux Affiches locales, fait paraître, en juin 1791, un journal intitulé Le Creuset, qui eut a/j numéros. Puis, s'étant rendu à Paris, il se pose en défenseur officieux des hommes de couleur, fonde, en juin 1792, un nouveau journal, La revue du patriote, qui devient bientôt Le Créole patriote. Bulletin de Milscent-Créole (cette feuille fut durant quelques mois, à la fin de 1792 et au début de 1793, l'organe officiel de la Société des Jacobins ; elle fut ensuite subventionnée par le ministre de l'intérieur, et vécut jusqu'en ventôse an II). Mais, en dépit de ces témoignages de zèle patriotique, des défiances s'éveillent contre Milscent ; dès septembre 1798, lui et son journal sont dénoncés ; on accuse Milscent d'avoir joué un rôle suspect dans la révolution de Saint-Domingue, d'avoir eu des liaisons avec les Girondins. Le 8 nivôse an II, Robespierre lui reproche d'avoir travaillé avec Fauchet au Bulletin des amis de la vérité, feuille « aristocratique », il le qualifie de Brissotin ; Milscent est exclus. Des poursuites sont entamées contre lui, 
au même moment, par le parquet du Tribunal révolutionnaire pour publication de fausses nouvelles ; mais il bénéficie d'un non-lieu. Le 
29 floréal suivant, appelé à témoigner devant le même Tribunal, non pas, comme le dit M. Aulard, dans l'affaire des complices de la rébellion marseillaise, mais dans l'afTaire de J.-B. Serre et Gilbert Bardet-Fromentoau qui étaient inculpés d'avoir tenu au Cap-Français (Saint-Domingue) des propos contre-révolutionnaires, Milscent est mis en arrestation, comme ayant fait une fausse déposition. Quelques jours plus tard, il est traduit devant le Tribunal et condamné à mort, le 7 prairial an II. (Célestin Port, Dict. hist., géogr. et hiogr. de Maine-et Loire ; Biographie nouvelle dite de Leipzig ; Moniteur, réimpr., passim, à la table ; Tuetey, t. IV, n' 1787, t. VIII, n° 333.J, t. IX. n&quot; 1208 ; Tourneux, t. II, n&quot; 10778- 10780, t. IV, n' 3/1097 ; Aulard, La Soc. des Jacobins, t. I&quot;, p. cxix, t. IV et \, passim; Wallon, Hist. du Trib. révoL, t. II, p. 6/17, t. III, p. 698, t. IV, p. 464-665 ; P. Caron, Les publications officieuses du ministère de l'intérieur en 1793 et 179U^ dans la Revue d'hist. mod. et contemp., 1910, t. XIV, p. 38-39.)|Paris pendant la Terreur ː Rapports des agents secrets du Ministre de l'intérieur, publiés pour la Société d'histoire contemporaine&lt;ref&gt;{{Bibliographie|Q27166448}}, Rapport de Roliri [F&lt;sup&gt;7&lt;/sup&gt; 36883], [https://archive.org/stream/parispendantlate02carouoft#page/126/mode/2up/search/Milscent page 126-127]&lt;/ref&gt;}}

==== 1793 - Adresse pour les nègres détenus en esclavage ====
* 1792 - {{bibliographie|Q72195768}} &lt;!-- Claude Milscent, Du régime colonial. suivi d'un essai sur l'amélioration du sort des esclaves --&gt;
* À Paris, le 27 mai 1793, l’an deuxième de la république française.  - Milscent est cosignataire de {{bibliographie|Q26206390}} [[s:Adresse pour les nègres détenus en esclavage|Adresse pour les nègres détenus en esclavage]] &lt;!-- Adresse à la Convention nationale, à tous les clubs et sociétés patriotique. Pour les nègres détenus en esclavage dans les colonies franc̜aises de l'Amérique --&gt;, avec :
# J. Labuissonniere. Narcisse, ''lieutenant des hussards américains'',
# Hellot, ''idem'',
# Saint-George,
# Milscent, ''maréchal-des-logis'',
# Lapais, ''idem'',
# Ferant, ''adjudant'',
# Alexandre Vantu, ''brigadier-fourrier'',
# Apollon. Dominique,
# Claid-Hurfulle,
# Louis Dubara,
# Jean-Pierre. Alexandre,
# Bazille,
# Gainatis,
# Lubin
# Téméraire
# Étienne
# Mondor

==== Travaux à propos de Milscent ====
* 1997 - Sophie Piollet.- La mise à mort de Milscent, créole, 1792-1794, ss dir. F. Gauthier.
* Sophie Piollet.- Milscent créole historien de la Révolution de Saint-Domingue 1790-1794 »
* Roux Delphine, Milscent Créole ou la lutte contre le préjugé de couleur et l’esclavage, 1790-1793, ss dir. F. Gauthier, 1999.

=== 1743-1794 - Les œuvres de Jean-Antoine-Nicolas de Caritat de Condorcet sous l’angle de l'esclavage ===
[[Fichier:Réglements de la Société des Amis des Noirs, 1788-1789.xcf|100px|vignette|gauche|{{bibliographie|Q23956661}}]]
 [[w:Nicolas de Condorcet|Jean-Antoine-Nicolas de Caritat de Condorcet]] (1743-1794), philosophe, mathématicien et politologue  français.
 [[w:Sophie de Condorcet|Sophie de Condorcet]] (1764-1822), née Grouchy, écrivain français, épouse de [[w:Nicolas de Condorcet|Nicolas de Condorcet]].

==== L'Esquisse d'un tableau historique suivie de réflexions sur l'esclavage des nègres ====

Esquisse d'un tableau historique des progrès de l'esprit humain : ouvrage posthume
* 1781 - Réflexions sur l'esclavage des nègres. {{bibliographie|Q3454750}} ; {{bibliographie|Q27857598}}
 Octobre 1786 - Condorcet.- [[d:Q410078576|Vie de M Turgot]], [https://books.google.fr/books?id=ET80AAAAMAAJ&amp;dq=%22abolition%20de%20l'esclavage%22&amp;hl=fr&amp;pg=PA448#v=onepage&amp;q=%22abolition%20de%20l'esclavage%22&amp;f=false ‎Lire]&lt;br /&gt; in Friedrich Melchior Freiherr von Gr.- [https://books.google.fr/books?id=ET80AAAAMAAJ Correspondance littéraire, philosophique et critique, adressée a un souverain d' Allemagne],  Longchamps, 1814, Partie 4,Volume 6.&lt;br /&gt;''&quot;bien pour l'humanité entière, en entraînant l'abolition de l'esclavage des nègres, et parce que dépouiller un peuple oppresseur ennemi de ses propres sujets, ce n'est point attaquer, mais venger les droits communs de l'humanité.&quot; Il semble …&quot;'' -
* 1794 - {{bibliographie|Q19169564}}
* 1822 - {{bibliographie|Q27857598}}

==== Occurrences du lexique concernant l'esclavage (1794) ====
* [https://www.facebook.com/events/1205421866217507/ Esclave]
* [https://books.google.fr/books?id=8ck_AAAAcAAJ&amp;printsec=frontcover&amp;hl=fr#v=snippet&amp;q=esclaves&amp;f=false Esclaves]
* [https://books.google.fr/books?id=8ck_AAAAcAAJ&amp;printsec=frontcover&amp;hl=fr#v=snippet&amp;q=esclavage&amp;f=false esclavage]
* [https://books.google.fr/books?id=8ck_AAAAcAAJ&amp;printsec=frontcover&amp;hl=fr#v=snippet&amp;q=servitude&amp;f=false servitude]
* [https://books.google.fr/books?id=8ck_AAAAcAAJ&amp;printsec=frontcover&amp;hl=fr#v=snippet&amp;q=Amérique&amp;f=false Amérique]
* [https://books.google.fr/books?id=8ck_AAAAcAAJ&amp;printsec=frontcover&amp;hl=fr#v=snippet&amp;q=ma%C3%AEtre&amp;f=false maître]
* [https://books.google.fr/books?id=8ck_AAAAcAAJ&amp;printsec=frontcover&amp;hl=fr#v=snippet&amp;q=liberté&amp;f=false Liberté]
* [https://books.google.fr/books?id=8ck_AAAAcAAJ&amp;printsec=frontcover&amp;hl=fr#v=snippet&amp;q=égalité&amp;f=false égalité]
* [https://books.google.fr/books?id=8ck_AAAAcAAJ&amp;printsec=frontcover&amp;hl=fr#v=snippet&amp;q=fraternité&amp;f=false fraternité]

=== 1746 ou 1747-1805 - Les œuvres de Jean-Baptiste Belley sous l'angle de l'esclavage ===
* [[w:Jean-Baptiste Belley|Jean-Baptiste Belley]], député Jean-Baptiste Belley, représentant des colonies française d'Amérique

Traiter la question sous l'angle du [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire_2#Les_acteurs|combat des gens de couleur]] et [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Saint-George,_homme_d'armes,_sujet_&amp;_citoyen# Jean-Baptiste Belley | Jean-Baptiste Belley, financeur de la Légion franche des Américains du Midy]]

=== L'action politique des Clubs, sociétés populaires, littéraires ou musicales ===

Les Clubs, sociétés populaires, littéraires ou musicales

{{Citation bloc|''&quot;Les Clubs et Sociétés populaires'''' ont pour activité des réunions politiques : &quot;''A la fin du règne de Louis XVI cependant quelques sociétés littéraires et scientifiques s’étaient fondées : le Club des Arcades, le Club des étrangers, le Club des Américains ou de Boston et celui de la Société olympique, mais ils furent supprimés en 1787, deux années après leur fondation''&quot;|{{bibliographie|Q109647703}}, {{Gallica|id=bpt6k30405168|f=156|pp=136}}.}}

[[w:Philippe François Rouxel de Blanchelande|Louis Philibert-François Rouxel-Blanchelande]] sanctionna et approuva l'Arrêté de l'Assemblée coloniale, portant suppression des Clubs et Sociétés populaires&lt;ref&gt;Affaire Blanchelande,  [[d:Q109643880|Tribunal criminel révolutionnaire (Q109643880)]], 1993 - {{bibliographie|Q27554981}}, [https://archive.org/stream/gazettedesnouve07unkngoog#page/n274/mode/2up Lire sur Internet Archive],  [https://books.google.fr/books?id=vGG4Rfub0lMC&amp;dq=Augustin-Jean%20Brulley&amp;hl=fr&amp;pg=PA268#v=onepage&amp;q=Augustin-Jean%20Brulley&amp;f=false Lire sur Google books, p. 266]&lt;/ref&gt;, dont le [[w:Cercle des Philadelphes|Le Cercle des Philadelphes]] en 1791.

==== Le Cercle des Philadelphes (1784-1804) ====
[[Fichier:Medaille du Cercle des Philadelphes.jpg|100px|vignette|gauche|Medaille du Cercle des Philadelphes, Le Cap Français, Saint-Domingue]]

 [http://cths.fr/an/societe.php?id=100324 Cercle des Philadelphes - Cap-Haïtien (Cap français)]
 Société dissoute
 Année de création : 1785
 Année de dissolution : 1804
 Domaines géographiques: Caraïbes
 Périodes chronologiques: Moderne
 Présentation de la société :
 Durant ses sept années d'existence, le Cercle s'intéressa à la fois aux arts et aux sciences, à l'industrie et à la promotion de l'agriculture. Il publié cinq volumes et établit des correspondances avec les autres sociétés savantes.
 Exemple(s) de publication de la société (liste non exhaustive) : Mémoires du cercle des Philadelphes.
 
 Jean-Baptiste CASSAN
 Pompée-Valentin Vastey, baron de
* 2000 - McClellan III James E.- [https://www.persee.fr/doc/ahrf_0003-4436_2000_num_320_1_2314 L'historiographie d'une académie coloniale : le Cercle des Philadelphes (1784-1793)]. In: Annales historiques de la Révolution française, n°320, 2000. pp. 77-88. DOI : https://doi.org/10.3406/ahrf.2000.2314
* 2006 - James E. McClellan III, {http://journals.openedition.org/ahrf/148 L’historiographie d’une académie coloniale : le Cercle des Philadelphes (1784-1793)], Annales historiques de la Révolution française [En ligne], 320 | avril-juin 2000, mis en ligne le 21 février 2006, consulté le 19 mai 2019. URL : DOI : 10.4000/ahrf.148

==== La Société Olympique ====
* 1786 - {{bibliographie|Q109644868}} &lt;!-- Réglemens de la loge et Société Olympique (Q109644868) --&gt;
* 1786 - {{bibliographie|Q109646122}}, Nombreuses indications ms. d'analyse. Mêmes main, encre et papier... &lt;!-- Six Simphonies composées pour le Concert de la Loge Olympique de Paris --&gt;

==== Joseph Haydn (1732-1809) ====
[[Fichier:Joseph Haydn, partition 'La Poule', 1788.png|100px|vignette|gauche|Joseph Haydn, partition 'La Poule', 1788, {{BNF|397865338}}]]
;[[w:Joseph Haydn|Joseph Haydn]] ([[w:1732 en musique classique|1732]]-[[w:1809 en musique classique|1809]]), compositeur

[[w:Joseph Haydn|Joseph Haydn]] ([[w:1732 en musique classique|1732]]-[[w:1809 en musique classique|1809]]) compose les &quot;''Symphonies parisiennes''&quot; durant les années ([[w:1785 en musique classique|1785]]-[[w:1786 en musique classique|1786]]) pour satisfaire une commande du comte d’Ogny. Ce dernier a confié la direction du projet à [[w:Joseph Bologne de Saint-George|Monsieur de Saint-George]] de la commande à l'édition en passant par l’exécution. Les &quot;''Symphonies parisiennes''&quot; on été jouées aux Concerts Spirituel et de la Loge Olympique au cours de la saison parisienne de [[w:1787 en musique classique|1787]].

&quot;''Les pièces symphoniques d'Haydn sont au nombre de 118, mais il n’y a réellement de parfait que les 20 que l’on joue au Conservatoire de Paris. 12 ont été composées à Londres sur la demande du célèbre violoniste et entrepreneur de concerts, Salomon; 6 composées avant pour la loge olympique de Paris; les 2 autres sont choisies parmi les œuvres antérieures''. (1) &lt;small&gt;Les six symphonies composées pour la Société Olympique de Paris, ou Société Chantereine&lt;ref&gt;Cf. Banat, [https://books.google.fr/books?id=Yy9JgZQQ9XQC&amp;lpg=PA264&amp;dq=Société%20Chantereine%20%2B%20Société%20Olympique&amp;hl=fr&amp;pg=PA264#v=onepage&amp;q=Société%20Chantereine%20+%20Société%20Olympique&amp;f=false page 264]. Il semblerait toutefois que la Société Chantereine succède à la Société Olympique de Paris. Voir cet article qui nous dit : ''&quot;Ce théâtre avait été bâti en 1796 sur les dessins et sous la conduite de l’architecte Damême, dont les arts et l’amitié déplorent la perte récente. L’objet de sa construction, faite aux dépens de feu M. le [http://elec.enc.sorbonne.fr/cataloguevente/notice471.php'%29?print comte d’Ozembray], était d’offrir un local convenable à l’usage d’une réunion d’artistes et d’amateurs, connue sous le nom de Société Olympique.&lt;br /&gt;Cette société s’occupait particulièrement de musique, et tenait ses séances au Palais-Royal ; elle avait en 1786 obtenu aux Tuileries la salle des gardes pour y donner des concerts. C’est après la tourmente révolutionnaire que, réunissant à son domaine l’art dramatique, cette société vint rue Chantereine occuper le théâtre qui prit le nom d’Olympique&quot;''. Théâtre Olympique, Planche XVL, in Alexis Donnet (géographe attaché au cadastre), J. Orgiazzi (graveur du dépôt-général de la guerre) [https://books.google.fr/books?id=bENAAAAAIAAJ&amp;dq=Jacques-Auguste%20Kaufmann&amp;hl=fr&amp;pg=PA32#v=onepage&amp;q=Jacques-Auguste%20Kaufmann&amp;f=false commencé par les ci-devants] &amp; [https://books.google.fr/books?id=bENAAAAAIAAJ&amp;dq=Jacques-Auguste%20Kaufmann&amp;hl=fr&amp;pg=PA32#v=onepage&amp;q=Jacques-Auguste%20Kaufmann&amp;f=false continué par Jacques-Auguste Kaufmann] (né le [https://books.google.fr/books?id=cKhCAAAAcAAJ&amp;dq=Jacques-Auguste%20Kaufmann&amp;hl=fr&amp;pg=PA107#v=onepage&amp;q=Jacques-Auguste%20Kaufmann&amp;f=false 8 mars 1812] à Cologne (Prusse), architecte, demeurant à Paris, Seine).- Archtectonographie des théâtres de Paris, ou Parallèle historique et critique de ces édifices, considérés sous le rapport de l’architecture et de la décoration, enrichi de vingt plaches en taille-douce et de plans de Paris, Didot l’Ainé imprimeur du roi, Paris, 1821, [https://books.google.fr/books?id=dmMUAAAAQAAJ&amp;dq=Société%20Chantereine%20%2B%20Société%20Olympique%20%2B%20comte%20d’Ozembray&amp;hl=fr&amp;pg=PA237#v=onepage&amp;q=Société%20Chantereine%20+%20Société%20Olympique%20+%20comte%20d’Ozembray&amp;f=false p. 236]&lt;/ref&gt; de la rue de la Victoire, l’avaient été au prix de 25 louis chaque, ce qui avait paru a Haydn un prix colossal, car jusqu'alors ses symphonies ne lui avaient rien rapporté. C’est le chevalier de Saint-Georges, alors premier violon conducteur de cette Société qui avait été chargé de cette négociation, et c’est lui qui rétrocéda la publication de chaque symphonie à l'éditeur Sieber à raison de cinq louis&lt;/small&gt;&lt;ref&gt;Henri Barbedette.- Haydn, Sa Vie et Ses Œuvres in Le Ménestrel, &quot;Journal du monde musical, musique et théatres&quot;, Volume 1871-1872 v.38, Poussielgue, Paris, 1833, [https://archive.org/stream/lemnestrel38pari#page/26/mode/2up p. 27].&lt;/ref&gt;.
* Alexandre Dratwicki, &quot;[http://ahrf.revues.org/2083 La réception des symphonies de Haydn à Paris. De nouvelles perspectives de recherche…]&quot;, Annales historiques de la Révolution française, 340, avril-juin 2005, consulté le 15 septembre 2015.
* '''Joseph Haydn.- Symphony No.83 in G minor dite ''la Poule'''''&lt;ref&gt;Banat, [https://books.google.fr/books?id=Yy9JgZQQ9XQC&amp;lpg=PA265&amp;dq=de%20Saint-George%20%2B%20La%20Poule&amp;hl=fr&amp;pg=PA265#v=onepage&amp;q&amp;f=false p. 265]&lt;/ref&gt;&lt;br /&gt;Sinfonia in g minore di me giuseppe Haydn [paraphe], 785, Partition manuscrite, {{BNF|41159873d}}&lt;br /&gt;Symphony No.83 in G minor dite ''la Poule'', Hob.I:83, [http://imslp.org/wiki/Symphony_No.83_in_G_minor, _Hob.I:83_(Haydn, _Joseph) imslp.org].&lt;br /&gt;Simphonies périodiques à plusieurs instrumens N° 22 dite ''la Poule'' exécuté au Concert spirituel, Hob I, 83, {{BNF|39786531k}}.

=== 1747-1827 - Les œuvres de François XII Alexandre Frédéric de La Rochefoucauld, duc de Liancourt sous l'angle de l'esclavage ===
[[Fichier:François Alexandre Frédéric, Duc de Larochefoucauld-Liancour Wellcome V0003375.jpg|100px|vignette|gauche|François Alexandre Frédéric, Duc de Larochefoucauld-Liancour]]
[[Fichier:Plaque François de La Rochefoucauld au 9 rue Royale à Paris.JPG|100px|vignette|gauche|François de La Rochefoucauld fondateur des Arts &amp; Métiers]]
[[Fichier:Rambouillet Caisse d'épargne 05.JPG|100px|vignette|gauche|co-fondateur des Caisses d'Epargne]]
[[w:François Alexandre Fédéric de La Rochefoucauld-Liancourt|François Alexandre Fédéric de La Rochefoucauld-Liancourt]], 1747-1827, physiocrate

==== Le duc de la Rochefoucauld : Esclavage &amp; servitude ====

{{Citation bloc|'''P. 410''' - Le duc de la Rochefoucauld&lt;ref&gt;[[w:François XII de La Rochefoucauld|François XII Alexandre Frédéric de La Rochefoucauld, duc de Liancourt]], puis 7e duc de La Rochefoucauld, défenseur dans l'Assemblée de la monarchie constitutionnelle,cousin de [[w:Louis Alexandre de La Rochefoucauld|Louis Alexandre de La Rochefoucauld]], migre en Angleterre : {{bibliographie|Q73511791}}, 1929.&lt;/ref&gt; conjure l'assemblée de ne pas terminer sa session sans avoir adouci l''''''esclavage''''' des Noirs.|Joseph Droz.- Histoire du règne de Louis XVI&lt;ref&gt;Joseph Droz.- Histoire du règne de Louis XVI, [https://books.google.fr/books?id=mn-CwNU0i-AC&amp;dq=Joseph%20Droz%2C%20Histoire%20du%20règne%20de%20Louis%20XVI%2C%20pendant%20les%20années%20o%C3%B9%20l'on%20pouvait%20prévenir%20ou%20diriger%20la%20Révolution%20fran%C3%A7aise%20%2B%20esclavage&amp;hl=fr&amp;pg=PA410#v=onepage&amp;q&amp;f=false Volume 2, 1839, p. 410&lt;/ref&gt;.}}

{{Citation bloc|'''P. 410''' - Le duc de la Rochefoucauld conjure l'assemblée de ne pas terminer sa session sans avoir adouci l''''''esclavage''''' des Noirs.|Joseph Droz.- Histoire du règne de Louis XVI&lt;ref&gt;Joseph Droz.- Esclavage &amp; servitude dans ''Droz.- Histoire du règne de Louis XVI, [https://books.google.fr/books?id=mn-CwNU0i-AC&amp;dq=Joseph%20Droz%2C%20Histoire%20du%20règne%20de%20Louis%20XVI%2C%20pendant%20les%20années%20o%C3%B9%20l'on%20pouvait%20prévenir%20ou%20diriger%20la%20Révolution%20fran%C3%A7aise%20%2B%20esclavage&amp;hl=fr&amp;pg=PA410#v=onepage&amp;q&amp;f=false Volume 2, 1839, p. 410&lt;/ref&gt;.}}

==== François Alexandre Fédéric de La Rochefoucauld-Liancourt aux Amériques ====

Au cours des Années 1795, 1796 et 1797, François Alexandre Fédéric de La Rochefoucauld-Liancourt effectue le voyage aux Amériques puis publie ses [[d:Q60607043|carnets de voyages]] dans lesquels il consigne ses observations sur l'[[d:Q60616697|esclavage &amp; ses abolitions]].

==== Bibliographie ====
* 2007 - {{bibliographie|Q60736725}} &lt;!-- Le salon physiocratique des La Rochefoucauld --&gt;

==== Bibliographie ====
* [[d:Q63438736|mai 1790]] - {{bibliographie|Q63438736}} &lt;!-- Grande dénonciation de MM. Charles et Alexandre de Lameth --&gt;
* 1907 - {{Bibliographie|Q60769199}} &lt;!-- Paul Permezel, université de Bourgogne, Les Idées des physiocrates en matière de commerce international. --&gt;
* 2007 - {{Bibliographie|Q60736725}} &lt;!-- Daniel Vaugelade, Le salon physiocratique des La Rochefoucauld --&gt;
* (A introduire dans Wikidata) - Louis-Henri de La Rochefoucauld.- La Rochefoucauld, ancêtre de Guy Debord, Revue L'Infini (n° 134) Hiver 2016, Gallimard, Parution : 11-02-2016, 128 pages, 15 ill., 175 x {{unité|220|mm}}, Genre : Revues et périodiques Catégorie &gt; Sous-catégorie : Revues &gt; de littérature générale, ISBN : 9782070177783 - Gencode : 9782070177783 - Code distributeur : A17778 &lt;http://www.gallimard.fr/Catalogue/GALLIMARD/Revue-L-Infini/L-Infini132&gt;.

==== Société de la morale chrétienne ====
[[Fichier:Liancourt (60), ferme de la Montagne, plaque au dessus de l'entrée.jpg|100px|vignette|gauche|Plaque au dessus de l'entrée de la ferme de la Montagne à Liancourt (60).]]

La ''[[w:Société de la morale chrétienne|Société de la morale chrétienne]]'' fut fondée à Paris en 1821 par le [[w:François XII de La Rochefoucauld|duc de la Rochefoucauld-Liancourt]],
* 1826 - 5. Lettre à M. le président de la Société de la morale chrétienne (sur la traite des nègres faite audacieusement par des navires nantais). In-8. (Anon.). Cette lettre est la pièce principale et la base de la publication &quot;Société de la morale chrétienne : comité pour l'abolition de la traite des noirs&quot; : faits relatifs à la traite des noirs. Paris, au bureau de la Société de la morale chrétienne, 1826, in-8 de 48 pages. (Anon.)&lt;ref&gt;Joseph Marie Quérard.- Le Quérard, par l'auteur de la France littéraire, [https://books.google.fr/books?id=kycGAAAAQAAJ&amp;hl=fr&amp;pg=PA521#v=onepage&amp;q&amp;f=false Google Livres]&lt;/ref&gt;.
* 1840 - {{bibliographie|Q25935277}}
* Johann Sartorius, Organon des vollkommenen Friedens (1837)

=== 1747''(1748)''-1832 - Les œuvres de Jeremy Bentham sous l'angle de l'esclavage ===
[[w:en:Jeremy Bentham|en:Jeremy Bentham]] ''([[w:Jeremy Bentham|Jeremy Bentham]])'', 1747''(1748)''-1832

==== Bibliographie (Jeremy Bentham) ====
* 1776 - {{Bibliographie|Q69669284}} Publié dans 1776 - {{Bibliographie|Q69667927}} &lt;!-- (en) John Lind, An answer to the Declaration of the American Congress --&gt; &lt;!-- (en) Jeremy Bentham, Short Review of the Declaration --&gt;
* 1793-1830 - {{bibliographie|Q19094713}} &lt;!-- 1793 - (en) Jeremy Bentham, Emancipate your colonies
! --&gt;
** 1793-1838 - {{bibliographie|Q69770775}} &lt;!-- 1793 - (en) Jeremy Bentham, Emancipate your colonies
! --&gt;
* 1829 - {{Bibliographie|Q69764247}} &lt;!-- Jeremy Bentham, Œuvres de J. Bentham, jurisconsulte anglais --&gt;
** 1829 - {{Bibliographie|Q69766469}} &lt;!-- Jeremy Bentham, Œuvres de J. Bentham, jurisconsulte anglais --&gt;
** 1829 - {{Bibliographie|Q69791141}} &lt;!-- Jeremy Bentham, Œuvres de J. Bentham, jurisconsulte anglais, De l'esclavage --&gt;

=== 1748-1816 - Les œuvres de David Duval de Sanadon sous l'angle de l'esclavage ===
[[w:David Duval de Sanadon |David Duval de Sanadon ]]
* 1789 - {{bibliographie|Q107166932}} &lt;!-- Tableau de la situation actuelle des colonies, présenté à l'Assemblée nationale --&gt;
* 1786 - {{bibliographie|Q107140340}}, &quot;''Les premières Loix sur cet objet faites sous Louis XIII renouvelées et étendues sous son Successeur en 1685 fixent la quantité de vivres que le Maître doit leur fournir|p. 73''&quot;. &lt;!-- Discours sur l'esclavage des nègres, et sur l'idée de leur affranchissement dans les colonies --&gt;
* 1789 - {{bibliographie|Q107379495}}  &lt;!-- Réclamations et observations des colons sur l'idée de l'abolition de la traite et de l'affranchissement des nègres, 2e ed --&gt;
* 1789 - {{bibliographie| Q107379747}}  &lt;!--  Précis sur l'esclavage des nègres --&gt;

=== 1750-1793 - Les œuvres de Jacques Pierre Brissot de Warville sous l'angle de l'esclavage ===
[[Fichier:François Bonneville - Portrait de Jacques-Pierre Brissot de Warville (1754-1793), journaliste et conventionnel - P2608 - Musée Carnavalet.jpg|100px|vignette|gauche|François Bonneville.- Portrait de Jacques-Pierre Brissot de Warville (1754-1793 - [[D:Q314984|Q314984]] ), journaliste et conventionnel ]]
[[Fichier:Réglements de la Société des Amis des Noirs, 1788-1789.xcf|100px|vignette|gauche|{{bibliographie|Q23956661}}]]
* [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Bibliographie_du_XVIIIè_siècle/1750#Liste_des_oeuvres_de_Jacques_Pierre_Brissot|Bibliographie des œuvres de Jacques Pierre Brissot de Warville]]

==== Bulletin des Amis de la Vérité ====
* [[d:Q27158766|Bulletin des Amis de la Vérité]]&lt;br /&gt;15. Bulletin des Amis de la Vérité. Publié par les Directeurs du Cercle Social. Rédacteurs : J. Lavallée, J.A. Creuze-Latouche, Publicola Chaussard, Th. Mandar, E. Maltière, A.J.P. Belair, F.N. Parent. Paris, Imprimerie du Cercle Social, 1792-1793 ; in-folio ; N°1, 21 à 27, 56 et 57.&lt;br /&gt;Journal de la Gironde, il contient le développement du système de République que ce parti voulait faire prévaloir.&lt;br /&gt;Le Cercle Social, d’inspiration maçonnique, était animé par Condorcet, L. Mercier, M.E. Guadet, N. Bonneville, J.P. Brissot, etc. Journal très rare et recherché.&lt;br /&gt;Hôtel des Ventes de Grenoble, 2009 : &lt;nowiki&gt;&lt;http://www.interencheres.com/medias/38001/200903160018/catalogue/catalogue38001-200903160018.doc&gt;&lt;/nowiki&gt;&lt;br /&gt;Voir les [https://data.bnf.fr/fr/documents-by-rdt/11894081/te/page1 œuvres textuelles de Jacques-Pierre Brissot de Warville (1754-1793)].&lt;br /&gt; [https://orbis.library.yale.edu/vwebv/search?searchArg=Brissot%20de%20Warville,%20J.-P.%20(Jacques-Pierre),%201754-1793.&amp;searchCode=NAME&amp;searchType=4 Brissot de Warville, J.-P. (Jacques-Pierre), 1754-1793, 176 titres sur Yale University Library Catalogue.]

==== Le Patriote français) ====
[[w:Le Patriote français|Le Patriote français]]
* 2013 - {{bibliographie|Q77798473}} &lt;!-- 2013 - Pierre Serna, Le pari politique de Brissot --&gt;
  Plan
  I - L’Angleterre ou la mère dénaturée des républiques modernes.
  II - De la Nouvelle Angleterre ou la république naissante des États-Unis.
  III - Sans abolition de l’esclavage, point de république possible…

=== 1757-1801 - Les œuvres de Ottobah Cugoano sous l'angle de l'esclavage ===
[[Fichier:Richard and Maria Cosway, and Ottobah Cugoano 1784.jpg|100px|vignette|gauche|[[w:Richard Cosway|Les époux Richard Cosway]]and [[Maria Cosway|Maria Hadfield]], en compagnie de leur domestique [[w:Quobna Ottobah Cugoano|Quobna Ottobah Cugoano]], 1784]]

==== Bibliographie ====
* 1788 - {{Bibliographie|Q70239901}} &lt;!-- Quobna Ottobah Cugoano (trad. Antoine Diannyère), Réflexions sur la traite et l'esclavage des Nègres --&gt;

=== 1762-1802 - Les œuvres de Antoine Diannyère  sous l'angle de l'esclavage ===
 [[d:Q55676267|Antoine Diannyère]]
 [[w:Antoine Diannyère|Antoine Diannyère]]
* Antoine Diannyère.-La révolte des Noirs et des Créoles, {{BNF|374571450}}, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9334m/f5.image Lire en ligne]

=== 1760-1846 - Les œuvres de Thomas Clarkson sous l'angle de l'esclavage ===

Après avoir lu cet article qui ne cite pas ses sources ne donne aucun élément pour retrouver le document pourtant dans le domaine puplic &quot;''a five-page document''&quot; qui se rapporte à l'épouse de [[w:Henri Christophe|Henry Christophe]], &quot;''Marie-Louise was wife and consort to Henry Christophe''&quot; : “''It’s a very rare and unusual document which reveals many interesting facts about Marie-Louise’s life in exile, her journey, her myriad encounters, her extended Haitian family and the legacy that she left.''”[https://www.uclan.ac.uk/news/rare-document-sheds-light-on-historical-black-queen.php?fbclid=IwAR023xoms78sR4QcrlOHnwmNGJ2jXP0LbqoYLx6De1KamHUvrvOJG3ElHrQ Rare document sheds light on historical black queen]&lt;br /&gt;UCLan’s Dr Nicole Willson has unearthed a translation of the original will of the first Queen of Haiti ; J'en suis arrivée à la correspondance entre Christophe &amp; Thomas Clarkson.
* 1938 - Earl Leslie Griggs.- [https://books.google.fr/books?id=zRtDAQAAIAAJ Thomas Clarkson, the friend of slaves], 1938
* 1952 - {{bibliographie|Q69862859}} &lt;!-- Henry Christophe &amp; [[w:Thomas Clarkson|Thomas Clarkson]] : a Correspondence --&gt;

=== 1768-1838-1861 - Les œuvres de Chateaubriand sous l'angle de l'esclavage ===

[[w:François-René de Chateaubriand|François-René de Chateaubriand (1768-1848)]], écrivain et homme politique français

 '''1838''' - {{bibliographie|Q29189282}} Comprend : Féodalité, chevalerie, éducation, mœurs générales des {{S|XII-XIII-XIV}}s &amp;, considérations sur l’esclavage à ces époques, [https://books.google.fr/books?id=8FpDAQAAMAAJ&amp;dq=Terre%20de%20France%20%2B%20esclave&amp;hl=fr&amp;pg=PA70#v=onepage&amp;q=esclave&amp;f=false 11 résultats] ; [https://books.google.fr/books?id=9FY9AAAAcAAJ&amp;dq=Terre%20de%20France%20%2B%20esclave&amp;hl=fr&amp;pg=PA529#v=onepage&amp;q=esclave&amp;f=false 37 résultats pour &quot;esclavage&quot;]
 '''1838''' - {{bibliographie|Q29248730}} Comprend : [https://books.google.fr/books?id=9FY9AAAAcAAJ&amp;dq=Terre%20de%20France%20%2B%20esclave&amp;hl=fr&amp;pg=PA529#v=onepage&amp;q=Terre%20de%20France%20+%20esclave&amp;f=false Féodalité, chevalerie, éducation, mœurs générales des {{S|XII-XIII-XIV}}s] &amp; considérations sur l’esclavage à ces époques, [https://books.google.fr/books?id=9FY9AAAAcAAJ&amp;dq=Terre%20de%20France%20%2B%20esclave&amp;hl=fr&amp;pg=PA529#v=onepage&amp;q=esclave&amp;f=false 37 résultats pour &quot;esclavage&quot;]
 '''1845''' - {{bibliographie|Q29187862}} Comprend : récit du règne de Louis X dit Hutin, avec le texte des lettres du 3 juillet 1315 abolissant l'esclavage,
 '''1861''' - {{bibliographie|Q29186080}}

=== 1730–1795 - Josiah Wedgwood ===

[[Fichier:Wedgwood - Anti-Slavery Medallion - Walters 482597.jpg|100px|vignette|gauche|Josiah Wedgwood (1730–1795) &amp; William Hackwood (1757-1836).- Anti-Slavery Medallion, 1787]]

=== 1757-1836 - William Hackwood ===

== Personnes nées à la fin du {{S|XVIII}}, 1789-1799 ==

=== 1790-1869) - L'œuvre de Alphonse de Lamartine sous l'angle de l’esclavage ===
* [https://www.franceculture.fr/litterature/lamartine-hugo-dumas-labolition-de-lesclavage-dans-la-litterature-romantique Lamartine, Hugo, Dumas : l'abolition de l'esclavage dans la littérature romantique]

==== Chambre des députés. — Séance du 22 avril 1835 ====
 
[https://10mai94120.blogspot.com/2009/11/sur-lemancipation-des-esclaves-22-avril.html Sur l'émancipation des esclaves, 22 avril 1835]
=&gt; De l'analogie entre l'esclavage et la peine de mort.
* {{bibliographie|Q96194134}}
* Sur l'émancipation des esclaves, Discussion du projet de loi relatif au crédit extraordinaire demandé pour le ministère de la marine. publié dans {{bibliographie|Q96193493}}, (https://books.google.fr/books?id=IsBfAAAAIAAJ&amp;dq=%C3%A9mancipation%201er%20ao%C3%BBt%201834&amp;pg=PA146#v=onepage&amp;q&amp;f=false page 146]
* Alponse de Lamartine.- [[w:Page:Lamartine - Œuvres complètes de Lamartine, tome 32.djvu/152|De l'émancipation des esclaves. Discourts prononcés à diverses époques]]

=== 1792-1867 - Victor Cousin ===
* [https://www.google.fr/search?tbm=bks&amp;hl=fr&amp;q=inauthor%3A%22Victor+Cousin%22+%2B+esclavage inauthor:&quot;Victor Cousin&quot; + esclavage]
* 1839 - {{bibliographie|Q78612651}} [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k49975b Lire tome premier sur Gallica]. &lt;!-- Victor Cousin, Cours d'histoire de la philosophie morale au dix-huitième siècle --&gt;

=== 1794-1860 - Philippe Le Bas ===
* 1842 - {{bibliographie|Q66916196}}, article de {{bibliographie|Q66916957}} &lt;!-- Philippe Le Bas (dir.), Esclavage : tel qu il a subsisté sur ce qui forme aujourd'hui le territoire de la France à partir du cinquième siècle --&gt;

=== 1792- 1857 - Les œuvres de François-André Isambert sous l'angle de l'esclavage ===
[[Fichier:Official medallion of the British Anti-Slavery Society (1795).jpg|100px|vignette|gauche|[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Official_medallion_of_the_British_Anti-Slavery_Society_(1795).jpg The Official Medallion of the British Anti-Slavery Society, 1795]]]
* 1795 - Josiah Wedgwood (1730-1795) and either William Hackwood or Henry Webber; &quot;Josiah Wedgewood...produced the emblem as a jasper-ware cameo at his pottery factory. Although the artist who designed and engraved the seal is unknown, the design for the cameo is attributed to William Hackwood or to Henry Webber, who were both modelers at the Wedgewood factory.&quot; (https://www.pbs.org/wgbh/aia/part2/2h67.html PBS])
* 1850 - {{bibliographie|Q96384630}} &lt;!-- François-André Isambert, Lettre de M. Isambert contenant le rétablissement de faits importants  --&gt;

=== 1795-1858 - Les œuvres de Cyrille Bissette sous l'angle de l'esclavage ===
* 1833 -  {{bibliographie|Q87750623}}  &lt;!-- Cyrille Bissette, Notes sur le projet de loi relatif au régime législatif des colonies --&gt;
[[File:Esclaves de la Guadeloupe charroyant du fumier.png|100 px|vignette|gauche|Esclaves de la Guadeloupe charroyant du fumier]]
Litographie publiée ce jour sur Wikimedia Commons. 
Source : {{bibliographie|Q26430467}}, &lt;!-- Revue des colonies de Cyrille Bissette --&gt;, vers 1835, d'après [https://collections.rmg.co.uk/collections/objects/254652.html Royal Museum Greewich]. 
On trouve sur Gallica 6 numéros de la revue pour [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/cb32858266g/date1836 1836]  &amp; 6 numéros pour [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/cb32858266g/date1837 1837], qu'il faudrait examiner page à page. 
fr.Wikipédia a un article à propos de [[w:Cyrille Bissette|Cyrille Bissette]]. 
Tandis que de.Wikipedia propose un article sur la [[w:de:Revue des colonies|Revue des colonies]] de Cyrille Bissette, avec une bibliographie &lt;https://de.wikipedia.org/wiki/Revue_des_colonies&gt;

=== 1797 - De la nécessité d’adopter l’esclavage en France ===
* 1797 - {{bibliographie|Q88299120}} &lt;!-- De la nécessité d’adopter l’esclavage en France --&gt;

=== Personnes nées à la fin du {{S|XVIII}} ===

==== André de Lacharière ====
* 1836 - {{bibliographie|Q78641123}} &lt;!-- André de Lacharière, De l'affranchissement des esclaves dans les colonies françaises --&gt;

== Les penseurs du XIXème siècle ==

=== Bibliothèque du droit pour faire le point au tournant des {{S|XVIII}} &amp; {{S|XIX}} ===
* 1772 - {{bibliographie|Q26913610}} &lt;!-- Armand-Gaston Camus, Lettres sur la profession d'avocat --&gt;
* 1774 - {{bibliographie|Q26913619}} &lt;!-- Armand-Gaston Camus, Lettres sur la profession d'avocat et sur les études nécessaires pour se rendre capable de l'exercer--&gt;
* 1777 - {{bibliographie|Q26920626}}
* 1805 - {{bibliographie|Q22666633}}
* 1818 - {{bibliographie|Q26921295}}
* 1832 - {{bibliographie|Q26923267}} &lt;!-- Profession d'avocat --&gt;
** 1833 - {{bibliographie|Q26921415}} &lt;!-- Armand-Gaston Camus, Lettres sur la profession d'avocat --&gt;
** 1976 - {{Bibliographie|Q26922718}}, Reproduction : Fac-sim. de l'éd. de Bruxelles : H. Tarlier, 1833 &lt;!-- Armand-Gaston Camus et André Marie Jean Jacques Dupin, Bibliothèque choisie des livres de droit --&gt;
* 1818 - [[w:Armand-Gaston Camus|Armand-Gaston Camus]].- Bibliothèque choisie des livres de droit: qu'il est le plus utile d'acquérir. {{BNF|301908389}}, Gallica|id=bpt6k6524656n|url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6524656n, 2 vol. (XLVIII-536, XII-690-[1] p.)

=== L’abolition de l'esclavage de l'ancien régime à la monarchie de Juillet ===

==== 1750-1831 - Henri Grégoire ====
* 1791 (8 juin 1791) - {{bibliographie|Q24008261}}, {{Gallica|d=bpt6k97905830|f=589|pp=1-15}} &lt;!-- Lettre aux citoyens de couleur et nègres libres de Saint-Domingue --&gt;
** 1789 - {{bibliographie|Q96146720}}  &lt;!-- Lettre aux citoyens de couleur et nègres libres de Saint-Domingue --&gt;
** 1789 - {{bibliographie|Q96146861}}  &lt;!-- Lettre aux citoyens de couleur et nègres libres de Saint-Domingue --&gt;
* 1800 - {{bibliographie|Q30556866}} &lt;!-- Henri Grégoire, Apologie de Barthélemy de Las Casas --&gt;
* 1816 - {{bibliographie|Q19154069}} &lt;-- De la traite et de l’esclavage des Noirs et des Blancs --&gt;


# 1794-1860 - Philippe Le Bas, France. Dictionnaire encyclopédique par Philippe Le Bas
# 1797-1871 - Pierre Leroux, Pensée chrétienne

==== 1840-1843 - Commission pour l'examen des questions relatives à l'esclavage et à la constitution politique des colonies ====
* 26 mai 1840-mars 1843 - {{bibliographie|Q80120151}}, &lt;!-- Commission pour l'examen des questions relatives à l'esclavage et à la constitution politique des colonies --&gt;
* 1843 - {{bibliographie|Q67079489}} œuvre écrite &lt;!--  Jules Lechevalier Saint-André, Rapport sur les questions coloniales --&gt;
** 1843 - {{bibliographie|Q26827166}} &lt;!--  Jules Lechevalier Saint-André, Rapport sur les questions coloniales --&gt;
** 1843 - {{bibliographie|Q67079880}} &lt;!--  Jules Lechevalier Saint-André, Rapport sur les questions coloniales --&gt;
** 23 décembre 1843 - {{bibliographie|Q66735970}} &lt;!-- Cours Royale de Paris, 23 décembre 1843, Furcy C. Héritiers Lorry --&gt;
** 2009 - {{bibliographie|Q80197312}} &lt;!-- Affaire Furcy C. Héritiers Lorry, 1844, Ile Bourbon --&gt;

===== Publications à propos des travaux de la Commission pour l'examen des questions relatives à l'esclavage =====
* 1844 - {{bibliographie|Q70203520}} &lt;!-- George William Alexander, John Scoble.- Liberté immédiate et absolue ou esclavage. Observations sur le rapport de M. le duc de Broglie --&gt;
* 1844 - {{bibliographie|Q80201131}} &lt;!-- Gabriel Lafond de Lurcy, Un mot sur l'émancipation de l'esclavage et sur le commerce maritime de la France --&gt;
* 1847 - {{bibliographie|Q100154440}} &lt;!-- Ministère de la Marine et Ange René Armand de Mackau (dir.), Compte rendu au roi de l'exécution des lois des 18 et 19 juillet 1845 --&gt;


;L’indemnisation des planteurs
* 1986 - {{bibliographie|Q80188241}} &lt;!--1986 - Alain Buffon, L’indemnisation des planteurs après l’abolition de l’esclavage  --&gt;

=== 1801-1872 -  L'œuvre de Jean-Baptiste Capefigue, historien, sous l'angle de l'esclavage ===

{{Citation bloc|Dans ce grand désordre d'idées du {{S|XVIII}} il s était élevé une école pleureuse qui se lamentait sans cesse sur les douleurs de l'esclavage des noirs. (…) Les mulâtres étaient la partie mauvaise de cette population des colonies avec la liberté, la fortune ils gardaient quelque chose de la férocité du sang africain et la jalousie au cœur contre la supériorité de ces visages si blancs si beaux ils s'en vengeaient par l'activité l'adresse nul ne tirait mieux l épée ou le pistolet qu'un mulâtre courageux adroit souvent habile et pervers d'esprit et de cœur il était pour toute une race ce que les bâtards sont pour une famille. Cependant tel était l'esprit de désordre du {{S|XVIII}} qu'on avait mis plus d'un mulâtre en grand honneur et la fortune du chevalier de Saint-George&lt;ref&gt;Le chevalier de Saint-George né à la Guadeloupe le 25 octobre 1745 fut amené fort jeune en France par M. de Boulogne fermier général son père qui l'avait eu d'une négresse. Entré fort jeune dans les mousquetaires il devint écuyer de Mme de Montesson puis capitaine des gardes du duc d'Orléans, son ami intime. Après la révolution ce prince l'employa dans toutes les intrigues du Palais Royal. En 1792, ayant levé un corps de chasseurs à cheval il en fut fait colonel et le conduisit à l'armée de Dumouriez. ll venait d'être arrêté comme suspect.&lt;/ref&gt; sa renommée si bruyante montrait quel pas on avait fait pour l'abolition de ce qu'on appelait un préjugé  |1843 - {{bibliographie|Q92206179}}&lt;ref&gt;Jean-Baptiste Capefigue, L'Europe pendant la revolution francaise, [https://books.google.fr/books?id=n5k0emXt8xsC&amp;pg=PA40#v=onepage&amp;f=false page 40]. Le [https://archive.org/details/leuropependantl00unkngoog/page/n47/mode/2up/search/mul%C3%A2tres chapitre XXII] est consacré à ''La destruction du système colonial de la France''&lt;/ref&gt;.}}

=== 1801-1869 - L'œuvre de Antoine Charma, philosophe, sous l'angle de l'esclavage ===

[[w:Antoine Charma|Antoine Charma]] a été élève de l'école normale puis professeur de philosophie à la faculté des lettres de Caen. Antoine Charma a étudié avec [[w:Théodore Jouffroy|Théodore Jouffroy]], professeur de philosophie à la faculté des lettres de Paris. Ce dernier, philosophe et homme politique, ayant développé au début du XIXe siècle la question psychologique au sein de l'école éclectique française dirigée par [[w:Victor Cousin|Victor Cousin]]&lt;ref&gt;{{bibliographie|Q78612651}}&lt;/ref&gt;, auteur d'une Histoire générale de la philosophie : depuis les temps les plus anciens jusqu'à la fin du XVIIIe siècle (1829)&lt;ref&gt;Histoire générale de la philosophie : depuis les temps les plus anciens jusqu'à la fin du XVIIIe siècle, {{BNF|38826237m}} ; [https://books.google.fr/books?id=_IEPAAAAQAAJ Victor Cousin.- Cours de philosophie. Histoire de la philosophie du XVIIIe siècle, Volume 1] ;  [[d:Q78614565|Cours de philosophie (Q78614565)]] &lt;/ref&gt;.
* 1838 - {{bibliographie|Q78599768}} ; [https://books.google.fr/books?id=2ak8AAAAYAAJ&amp;printsec=frontcover&amp;hl=fr#v=onepage&amp;q=esclavage&amp;f=false Esclavage] ; [https://www.google.fr/search?hl=fr&amp;biw=1331&amp;bih=647&amp;tbm=bks&amp;ei=Fjf2XYe-N8PAgwfsgq6ICg&amp;q=inauthor%3A%22Antoine+Charma%22+%2B+esclavage&amp;oq=inauthor%3A%22Antoine+Charma%22+%2B+esclavage&amp;gs_l=psy-ab.12...1027.6977.0.10925.12.12.0.0.0.0.81.531.12.12.0....0...1c.1.64.psy-ab..0.0.0....0.ElixFcKqM7c inauthor:&quot;Antoine Charma&quot; + esclavage] ; [https://books.google.fr/books?id=2ak8AAAAYAAJ&amp;printsec=frontcover&amp;hl=fr#v=onepage&amp;q=servage&amp;f=false Servage] ; [https://books.google.fr/books?id=2ak8AAAAYAAJ&amp;printsec=frontcover&amp;hl=fr#v=onepage&amp;q=Domesticit%C3%A9&amp;f=false Domesticité] ; [https://books.google.fr/books?id=2ak8AAAAYAAJ&amp;printsec=frontcover&amp;hl=fr#v=onepage&amp;q=ouvrier&amp;f=false Ouvrier] ; [https://books.google.fr/books?id=2ak8AAAAYAAJ&amp;printsec=frontcover&amp;hl=fr#v=onepage&amp;q=atelier&amp;f=false Atelier]&lt;!-- 1838 - Antoine Charma, Leçons de philosophie sociale, année scholaire1837-1838 --&gt;

=== 1802-1866 - L'œuvre de  Gustave de Beaumont sous l'angle de l'esclavage ===

==== 1835-2014 - Gustave de Beaumont, Marie ou l’esclavage aux États-Unis ====

[[w:https://books.google.fr/books?id=3HpIAAAAYAAJ&amp;dq=Gustave%20de%20Beaumont&amp;hl=fr&amp;pg=PA500#v=onepage&amp;q=Gustave%20de%20Beaumont&amp;f=false|Gustave de Beaumont]] est par alliance le petit fils de l'illustre genéral de la Fayette ayant en 1856 épousé la fille de M. Georges de La Fayette
* 1840 - {{bibliographie|Q19218107}} Edition de 1835, 2 volumes : {{BNF|30072984n}}&lt;ref&gt;Gustave de Beaumont a reçu une [https://books.google.fr/books?id=3HpIAAAAYAAJ&amp;dq=fr&amp;pg=PA500#v=onepage médaille de {{unité|3000|francs}}] pour cet ouvrage. &lt;/ref&gt;. Voir l'analyse précise de ''Biot'' dans le [https://books.google.fr/books?id=eKmsRfiSWcMC&amp;dq=fr&amp;pg=PA705#v=onepage Journal des Savants, Académie des inscriptions et belles-lettres, décembre 1839] : ''L Irlande sociale politique et religieuse par M. Gustave de Beaumont auteur de Marie ou l'esclavage aux États-Unis et l'un des auteurs du système pénitentiaire aux États-Unis, deux volumes in 8°, troisième édition Paris 1839''. &lt;!-- Gustave de Beaumont, Marie ou l’esclavage aux États-Unis --&gt;
* Œuvres complètes de Tocqueville éditées par Gustave de Beaumont.

=== 1802-1870 - L'œuvre de Alexandre Dumas sous l'angle de l'esclavage ===
[[Fichier:Benjamin Roubaud - Caricature de Alexandre Dumas.png|100px|vignette|gauche|Benjamin Roubau - Caricature de Alexandre Dumas]]

;Wikipedia
* [https://fr.wikipedia.org/w/index.php?cirrusUserTesting=control&amp;search=Alexandre%20Dumas&amp;title=Sp%C3%A9cial%3ARecherche&amp;fulltext=1&amp;ns0=1 Articles contenant Alexandre Dumas]
* [[w:Sauce_béarnaise#Alexandre_Dumas |co-inventeur de la sauce béarnaise]] ; [[s:Page:Dumas.- Grand dictionnaire de cuisine, 1873.djvu/1023|Sauce échalote à la béarnaise]]

;Commons
* [[c:Category:Alexandre Dumas (père)|Category:Alexandre Dumas (père)]]
* [[c:Abolitionism#Les_Dumas,_un_univers|Les Dumas, un univers]]

;Wikiversité
* [[Utilisateur:Ambre Troizat/Les Dumas, un univers]],

=== 1802-1890 - L'œuvre de George William Alexander sous l'angle de l'esclavage ===

George William Alexander (1802–1890) was an English financier and philanthropist. He was the founding Treasurer of .[1] The American statesman Frederick Douglass said that he &quot;has spent more than an American fortune in promoting the anti-slavery cause ...&quot;[2]

==== Bibliographie George William Alexander ====
* 1842 - {{bibliographie|Q70204566}} &lt;!-- (en) George William Alexander, Letters on the Slave-trade, Slavery, and Emancipation --&gt;
* 1844 - {{bibliographie|Q70203520}} &lt;!-- 1844 - George William Alexander, Liberté immédiate et absolue ou esclavage. Observations sur le rapport de M. le duc de Broglie --&gt;
* 1849 - {{Bibliographie|Q70205701}} &lt;!-- George William Alexander et John Scoble, De l'esclavage et de la Traité des Nègres --&gt;

=== 1803-1871 - L'œuvre de Guillaume de Félice sous l'angle de l'esclavage ===

==== De Felice, Fortunato Bartolomeo (1723-1789), le père ====

 Voir à 1723-1789

==== 1803-1871 - Guillaume-Adam de Felice ====
[[Fichier:Guillaume de Felice.jpeg|100px|vignette|gauche|Guillaume de Felice]]
[[w:Guillaume de Félice (4e comte de Panzutti)|Guillaume de Félice (4e comte de Panzutti), (Otterbe, 1803 - Lausanne, 23 octobre 1871)]], {{BNF|30425336h}}

==== 1803-1871  le combat abolitionniste de Guillaume de Felice ====
[[Fichier:Guillaume de Félice, Émancipation immédiate et complète des esclaves, page de titre, Dellay, 1846.png|100px|vignette|gauche|Guillaume de Félice, Émancipation immédiate et complète des esclaves, page de titre, Dellay, 1846]]
[[Fichier:Bureau de correspondance pour l'abolition de l'esclavage dans les colonies françaises, 1847.png|100 px|vignette|gauche|Pétition du Bureau de correspondance pour l'abolition de l'esclavage dans les colonies françaises, 1847]]

==== Pétitions aux deux chambres ====
* 19 mars 1810 - Bissette.- Pétition à la Chambre des Pairs et à la Chambre des Députés, Paris, imprimerie de Poussielgue
* 17 août 1816 - Pétition à la Chambre des Pairs et à la Chambre des Députés pour l'abolition de l esclavage dans les colonies françaises, Paris, imprimerie de A. Sirou et Desquers

==== Bureau de correspondance pour l'abolition de l'esclavage dans les colonies françaises ====
* 1846 - {{bibliographie|Q71835272}} &lt;!-- Guillaume de Félice, Émancipation immédiate et complète des esclaves : appel aux abolitionnistes --&gt;
* 1847 - {{bibliographie|Q72419738}} &lt;!-- Abolition de l'esclavage, projet de pétition --&gt;
** 1847 - {{bibliographie|Q72560979}} &lt;!-- Pétition du Bureau de correspondance pour l'abolition de l'esclavage dans les colonies françaises --&gt;
** 1847 - Bureau de correspondance pour l'abolition de l'esclavage.- Pétition aux Chambres pour demander l'abolition de l'esclavage dans les colonies françaises, Paris,  Impr. de M. Ducloux, 1847
**  19 juin 1847 - Ch. Meyrueis (Meyrueis, Charles), (pour le) Bureau de correspondance pour l'abolition de l'esclavage dans les colonies françaises, rue Rumford, n°8. Émancipation des esclaves. Aux protestants de France, pasteurs, anciens et fidèles. Éditeur: Impr. de A. Bailly, Paris, le 19 juin 1847
* 1865 - {{bibliographie|Q71832944}} &lt;!-- Guillaume de Félice, Appel en faveur des noirs émancipés dans les États-Unis --&gt;

==== Le synode protestant de mai 1637 s’occupa de l’esclavage des noirs ====

{{Citation bloc|Un autre synode national s’ouvrit 'au mois de mai 1637, dans la ville d’Alençon. M. de SaintMarc, conseiller d’état et commissaire du roi, y parla d’un ton haut : « Je suis venu à votre synode pour vous faire savoir la volonté de Sa Majesté. Toute autorité est de Dieu, et par conséquent, sur ce fondement inébranlable, vous devez obéir. Outre que les hantés de Sa Majesté vous y obligent et les soins qu’il prend de vous, sa clémence et son pouvoir sont les supports les plus fermes que vous puissiez avoir. Je ne doute nullement que vous n’ayez fait réflexion plusieurs fois sur l’admirable providence de Dieu qui fait que l’autorité royale de Sa Majesté est votre conservation. » Le modérateur Basnage répondit à M. de Saint-Marc que les Églises n’avaient jamais en la moindre pensée de se départir de la soumission à laquelle les obligeait la Parole de Dieu.&lt;br /&gt;Le roi fit défendre aux pasteurs et aux anciens de correspondre de synode à synode, ou avec des corps ecclésiastiques étrangers; et comme il était venu plusieurs lettres de Genève et de Hollande, on les remit toutes cachetées au commissaire qui, après en avoir pris connaissance, permit de les lire à l’assemblée. Ces lettres traitaient de quelques points de doctrine soulevés par Amyraut, professeur de l’académie de Saumur. Nous y re— viendrons ailleurs.&lt;br /&gt;Le synode s’occupa de l’esclavage des noirs, question peu agitée au dix-septième siècle, et qui n’excitait guère l’attention des assemblées du clergé catholique. S’il fut d’avis que la Parole de Dieu ne défend pas d’acheter et de garder des esclaves, il y posa du moins des conditions fort libérales pour l’époque : « Cette assemblée, confirmant le canon fait par le synode provincial de Normandie, exhorte les fidèles de ne pas abuser de cette liberté d’une manière qui soit contraire aux règles de la charité chrétienne, et de ne pas remettre ces infidèles au pouvoir des Barbares qui pourraient les traiter inhumainement, ou entre les mains de ceux qui sont cruels, mais de les donner à des chrétiens débounaires , et qui soient en état d’avoir principalement soin de leurs âmes précieuses et immortelles, en tâchent de les instruire dans la religion chrétienne.»|Guillaume de Félice.- Histoire des protestants de France, depuis l'origine de la réformation jusqu'au temps présent&lt;ref&gt;Guillaume de Félice.- [https://books.google.fr/books?id=lcksAAAAYAAJ&amp;pg=PA350 Histoire des protestants de France, depuis l'origine de la réformation jusqu'au temps présent]. [https://catalogue.bnf.fr/rechercher.do?motRecherche=Histoire+des+Protestants+de+France%3A+depuis+l%27origine+de+la+Reformation+jusqu%27au+temps+présent&amp;critereRecherche=0&amp;depart=0&amp;facetteModifiee=ok Voir les différentes éditions de l'ouvrage]&lt;/ref&gt;}}

;Bibliographie
* 1850-1861 - Guillaume de Félice.- [https://catalogue.bnf.fr/changerPage.do?motRecherche=Histoire+des+protestants+de+France%2C+depuis+l%27origine+de+la+réformation+jusqu%27au+temps+présent&amp;index=&amp;numNotice=&amp;listeAffinages=&amp;nbResultParPage=10&amp;afficheRegroup=false&amp;pageEnCours=1&amp;trouveDansFiltre=NoticePUB&amp;trouverDansActif=false&amp;triResultParPage=13&amp;critereRecherche=0&amp;typeNotice=&amp;pageRech=rsi Histoire des protestants de France, depuis l'origine de la réformation jusqu'au temps présent]

==== Guillaume de Félice (4e comte de Panzutti) : postérité ====
** 2005 - Oruno D. Lara.- [https://books.google.fr/books?id=Yf1RHkdvf_UC La liberté assassinée: Guadeloupe, Guyanne, Martinique et la Réunion en 1848-1856] : &quot;''Ajoutons pour information que le Pasteur Guillaume-Adam de FELICE (1803-1871) est un abolitionniste convaincu, en relation avec les Britanniques...''&quot;
** 2009 - {{bibliographie|Q72416252}} &lt;!-- Yves Hilvert Messeca, Au nom de l’Évangile et de la justice humaine : le combat abolitionniste de Guillaume de Felice --&gt;

=== 1804-1876 - L'œuvre de George Sand sous l'angle de l'esclavage ===

 [[L'esclavage de la femme est le thème majeur d'[[s:Indiana|Indiana]].]]
 Rechercher : George Sand + esclavage

==== 1841-1848 - La Revue indépendante, magazine politique ====
* [[d:Q3821109|1841-1848]] - {{bibliographie|Q3821109}} &lt;!-- La Revue indépendante, magazine politique --&gt;
** [[d:Q83886523|1845]] - {{bibliographie|Q83886523}} &lt;!-- La Revue indépendante, magazine politique --&gt;
*** 1845 - {{bibliographie|Q83887545}}, [[s:es:Autor:Frédéric Lacroix|Autor:Frédéric Lacroix]], es:Wikisource &lt;!-- Frédéric Lacroix, Les esclaves de la France, et les nègres libres de l'Angleterre --&gt;

=== 1804-1893 - L'œuvre de Victor Schœlcher sous l'angle de l'esclavage ===

==== Une famille de porcelainier ====

{{Citation bloc|Schœlcher (Maec), fabricant de porcelaines, fut détourné de la carrière ecclésiastique à laquelle il était destiné, par les orages de la révolution. Après avoir été garçon de magasin dans la manufacture de M. Locré, il fut placé à la tête de cet établissement. À l'époque de sa destruction, il en fonda un autre dans le faubourg Saint-Denis, et y porta à un haut degré de perfection la fabrication de la porcelaine, qui n'avait alors quelque éclat que dans les manufactures royales. Il en est sorti des objets de luxe précieux et rares, aussi bien que des objets usuels. Schœlcher mourut à Paris au milieu d'octobre 1832.|Matteo-Riccardo-Agosto barone Henrion.- Annuaire biographique, ou supplément annuel de toutes les biographies ou dictionnaires historiques, 1834&lt;ref&gt;[https://books.google.com/books?id=ktZfAAAAcAAJ nnuaire biographique, ou supplement annuel de toutes les biographies ou dictionnaires historiques, Volume 2, Meguignon, 1834, [https://books.google.fr/books?id=ktZfAAAAcAAJ&amp;dq=Sch%C5%93lcher%20%2B%20porcelaine&amp;hl=fr&amp;pg=PA389#v=onepage&amp;q=Sch%C5%93lcher%20+%20porcelaine&amp;f=false page 389].&lt;/ref&gt;.}}

==== Victor Schœlcher fait une carrière politique sur le thème de l’abolition de l'esclavage ====

{{Citation bloc|Soixante membres de la gauche environ étaient là, et entre autres Edgar Quinet, Schœlcher, Madier de Montjau, Carnot, Noël Parfait, Pierre Lefranc, Bancel, de Flotte, Bruckner, Chaix, Cassal, Esquiros, Durand-Savoyat, Yvan, Carlos Forel, Etchegoyen, Labrousse, Barthélemy (Eure-et-Loir), Huguenin, Aubry (du Nord), Malardier, Victor Chauffour, Belin, Renaud, Bac, Versigny, Sain, Joigneaux, Brives, Guilgot, Pelletier, Doutre, Gindrier, Arnaud (de l’Ariège), Raymond (de l’Isère), Brillier, Maigne, Sartin, Raynaud, Léon Vidal, Lafon, Lamarque, Bourzat, le général Rey.|Victor Hugo.- [[s:Histoire d’un crime/I|Histoire d’un crime, Première journée, Le guet-apens]]}}

=== Bibliographie Victor Schœlcher ===
 [[w:Victor Schœlcher|Victor Schœlcher]]

==== 1804-1893 - Victor Schoelcher ====
* 1842 - {{bibliographie|Q65180203}} &lt;!-- Des colonies françaises : abolition immédiate de l'esclavage --&gt;
* 1851 : [[w:Coup d'État du 2 décembre 1851|Coup d'État du 2 décembre 1851]] du président de la République, Louis-Napoléon Bonaparte qui devient président pour dix années.
* 1852 : proclamation du [[w:Second Empire|Second Empire]] par le président Louis-Napoléon Bonaparte qui devient empereur sous le nom de Napoléon III.
* 1852 - {{bibliographie|Q81403274}} &lt;!-- Victor Schœlcher, Histoire des crimes du 2 décembre  --&gt;
** 1852 - {{bibliographie|Q81403619}} &lt;!-- Victor Schœlcher, Histoire des crimes du 2 décembre, Volume I --&gt;
** 1852 - {{bibliographie|Q81931897}} &lt;!--  Victor Schœlcher, Histoire des crimes du 2 décembre, Volume II --&gt;
* [https://books.google.fr/books?id=x4u00Nbz5goC&amp;pg=PA364&amp;dq=onepage&amp;q&amp;f=false Écrits de Victor Schoelcher]
* [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5801977w/f69.image.r=Victor%20Schoelcher Des Noirs]
* [https://gallica.bnf.fr/services/engine/search/sru?operation=searchRetrieve&amp;version=1.2&amp;&amp;query=dc.creator%20all%20%22victor%20schoelcher%22%20or%20dc.contributor%20all%20%22victor%20schoelcher%22 Victor Schoelcher en tant qu'auteur]
* [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/cb34437736v/date Revue de Paris (Paris. 1829)]
*  Sainville, Léonard (1910-1977).- Victor Schoelcher (1804-1893), {{BNF|37751639h}}
* Wikidata : [https://www.wikidata.org/w/index.php?title=Special:Search&amp;limit=20&amp;offset=20&amp;profile=default&amp;search=Victor+Sch%C5%93lcher&amp;ns0=1&amp;ns120=1 Résultats de la recherche Victor Schœlcher]

=== 1805-1859 - L'œuvre de Alexis de Tocqueville sous l'angle de l'esclavage ===
*  1839 - Rapport à la chambre des députés sur l’abolition de l’esclavage dans les colonies, 23 JUILLET 1839
* Articles publiés dans le journal Le Siècle, sur l’émancipation des esclaves

;Bibliographie
* Luste Boulbina Seloua.- ''[https://www.cairn.info/revue-droits-2010-1-page-103.htm L’abolition de l’esclavage sous le regard d’un expert : Alexis de Tocqueville]'', Droits, 2010/1 (n° 51), p. 103-110. DOI : 10.3917/droit.051.0103. URL :
* Alexis de Tocqueville, Seloua Luste Boulbina.- [https://books.google.fr/books?id=eaOuPQAACAAJ Sur l'esclavage], Actes Sud, 2008
* Alexis de Tocqueville.- De la colonie en Algérie : [https://books.google.fr/books?id=YEYQrw_NPtEC&amp;printsec=frontcover&amp;dq=Le+but+n%27est+pas+de+courir+apr%C3%A8s+les+Arabes,+ce+qui+est+fort+inutile+;+il+est+d%27emp%C3%AAcher+les+Arabes+de+semer,+de+r%C3%A9colter,+de+p%C3%A2turer,+de+jouir+de+leurs+champs.&amp;hl=fr&amp;sa=X&amp;ved=2ahUKEwj10LODjI7qAhVV8uAKHbMxCe0Q6AEwCXoECAcQAg#v=onepage&amp;q=esclavage&amp;f=false esclavage : 5 résultats] ; Page 13 : esclave. Le rôle du christianisme : [https://books.google.fr/books?id=YEYQrw_NPtEC&amp;printsec=frontcover&amp;dq=Le+but+n%27est+pas+de+courir+apr%C3%A8s+les+Arabes,+ce+qui+est+fort+inutile+;+il+est+d%27emp%C3%AAcher+les+Arabes+de+semer,+de+r%C3%A9colter,+de+p%C3%A2turer,+de+jouir+de+leurs+champs.&amp;hl=fr&amp;sa=X&amp;ved=2ahUKEwj10LODjI7qAhVV8uAKHbMxCe0Q6AEwCXoECAcQAg#v=snippet&amp;q=christianisme&amp;f=false Selon Tocqueville, le christianisme est une religion d'hommes libres.]
* Tocqueville ne se demandera donc jamais s'il faut ou non procéder à l’[https://books.google.fr/books?id=YEYQrw_NPtEC&amp;printsec=frontcover&amp;dq=Le+but+n%27est+pas+de+courir+apr%C3%A8s+les+Arabes,+ce+qui+est+fort+inutile+;+il+est+d%27emp%C3%AAcher+les+Arabes+de+semer,+de+r%C3%A9colter,+de+p%C3%A2turer,+de+jouir+de+leurs+champs.&amp;hl=fr&amp;sa=X&amp;ved=2ahUKEwj10LODjI7qAhVV8uAKHbMxCe0Q6AEwCXoECAcQAg#v=onepage&amp;q=abolition&amp;f=true abolition de l'esclavage] mais seulement dans quelles conditions il convient de l’accomplir.

=== 1805-1864 - L'œuvre de Adolphe Ambroise Alexandre Gatine sous l'angle de l'esclavage ===

[[w:Adolphe Ambroise Alexandre Gatine|Adolphe Ambroise Alexandre Gatine]], avocat, abolitionniste
* 1849 - {{bibliographie|Q76452597}} &lt;!-- Adolphe Ambroise Alexandre Gatine et Jacques Adélaïde-Merlande (dir.), L'abolition de l'esclavage à la Guadeloupe, 1848 --&gt;
** 2012 - {{bibliographie|Q82312015}} &lt;!-- Adolphe Ambroise Alexandre Gatine et Jacques Adélaïde-Merlande (dir.), L'abolition de l'esclavage à la Guadeloupe, 1848 --&gt;

=== 1812-1904 - L'œuvre de Henri-Alexandre Wallon sous l'angle de l'esclavage ===

[[w:Henri Wallon (1812-1904)|Henri-Alexandre Wallon (1812-1904)]] introduisit le terme &quot;République&quot;&lt;ref&gt;{{bibliographie|Q67084473}}. L'ouvrage a été réédité en 1995, {{BNF|357655096}}, avec une postface de l’auteur.&lt;/ref&gt; dans les lois constitutionnelles de 1875&lt;ref&gt;2017 - {{bibliographie|Q67083144}}&lt;/ref&gt;.

{{Citation bloc|Henri Wallon rêve d’un enseignement à l’École Normale, mais il n’a pas la faveur du Ministère de l’Instruction publique : Victor Cousin, Saint-Marc Girardin, François Villemain lui  reprochent  tout  à  la  fois  son  christianisme  trop  affirmé  et  son  attachement  à  Michelet. Cependant en octobre 1838, il est chargé de conférences d’histoire ancienne à l’ENS, puis y est nommé comme professeur en 1841. Après avoir envisagé de traiter des historiens du siècle d’Auguste, il décide, encouragé par Michelet, de concourir pour un prix proposé en 1838 par l’Académie des Sciences morales et politiques sur le thème de l’« abolition de l’esclavage ». En  huit  mois,  par  un  travail  acharné  mené  avec  le  concours  d’un  ami,  son  condisciple  de l’ENS, M. Yanosky, Henri Wallon remporte le prix en 1839 ; après de nombreuses retouches l’ouvrage paraîtra en 1847 : « Histoire de l’esclavage dans l’antiquité », en 3 volumes.&lt;br /&gt;
Cependant  l’auteur  de  l’«  Histoire  de  l’esclavage »  fut  choisi  comme  secrétaire  de  la Commission  pour  la  suppression  de  l’esclavage.  Lors  des  premières  élections  au  suffrage universel,  il  fut  élu  à  la  Guadeloupe  comme  suppléant  pour l’Assemblée  constituante.  En 1849, il figure à l’Assemblée nationale sur la liste du parti modéré du Nord, mais démissionne l’année  suivante  lors  du  vote  de  la  loi  apportant  des  restrictions  au  suffrage  universel.  Ainsi Henri  Wallon  apparaît  désormais  comme  un universitaire  certes,  mais  aussi  comme  unhomme  politique,  dans  une  position  originale  d'ailleurs  puisque,  chrétien  affirmé,  il  est également engagé dans les luttes pour l’émancipation des noirs.|Jean Cluzel, Secrétaire perpétuel de l’Académie des Sciences Morales et Politiques : Wallon, Jeanne d’Arc et la République&lt;ref&gt;Jean Cluzel.- [http://www.asmp.fr/travaux/exceptionnelles/cluzel_wallon.pdf Wallon, Jeanne d’Arc et la République]&lt;/ref&gt;}}
* 1847-1879-2004 - {{bibliographie|Q66935919}} &lt;!--Henri-Alexandre Wallon, Histoire de l'esclavage dans l'antiquité--&gt;
 [[w:Chronologie de l'esclavage|Chronologie de l'esclavage]]
 [http://www.sudoc.fr/00283488X Sudoc]
* {{bibliographie|Q66920335}}
* {{bibliographie|Q66920861}}
* {{bibliographie|Q66934006}}
* {{bibliographie|Q66934828}}
** {{bibliographie|Q67027298}}

==== Histoire de l'esclavage dans l'antiquité sur Internet Archive ====
* 1847 - Wallon, Henri (1812-1904).- Histoire de l'esclavage dans l'antiquité, Paris : Impr. royale, 1847, 3 vol. ; in-8. Une introduction à cet ouvrage, parue isolément la même année est conservée à la BNF sous le titre &quot;De l'Esclavage dans les colonies&quot; par le même auteur.
* 1847 - [https://archive.org/details/delesclavagedan00wallgoog De l'esclavage dans les colonies] : pour servir d'introduction à l'&quot;Histoire de l'esclavage dans l'antiquité&quot; ; {{BNF|31618887s}}
* 1847 - [https://archive.org/details/histoiredelescl03wallgoog volume II]
* 1847 - [https://archive.org/details/histoiredelescl00jerogoog volume III]
* 1879 - [https://archive.org/details/histoiredelescl12goog volume I]
* 1879 - [https://archive.org/details/histoiredelescl13goog volume II]

==== Histoire de l'esclavage dans l'antiquité sur Google ====

[https://books.google.fr/books?id=d3xDAAAAIAAJ&amp;hl=fr&amp;pg=PP9#v=onepage&amp;q&amp;f=false Histoire de l'esclavage dans l'antiquité, Volume 1]
* 1847 - [https://books.google.fr/books?id=BlUXAAAAYAAJ&amp;hl=fr&amp;pg=PP9#v=onepage&amp;q&amp;f=false De l'esclavage dans les colonies, pour servir d'introduction a l'Histoire de l'esclavage dans l'antiquité] Dezobry, E. Magdeleine, 1847 - 176 pages
* 1847 - [https://books.google.fr/books?id=d3xDAAAAIAAJ&amp;hl=fr&amp;pg=PP9#v=onepage&amp;q&amp;f=false Histoire de l'esclavage dans l'antiquité, Volume 1], L'imprimerie royale, 1847, A monsieur le Duc de Broglie
* 1847 - [https://books.google.fr/books?id=m7_Da-ewOCwC&amp;hl=fr&amp;pg=PP9#v=onepage&amp;q&amp;f=false De l'esclavage dans les colonies, pour servir d'introduction a l'Histoire de l'esclavage dans l'antiquité], Dezobry, E. Magdeleine, 1847
* 1847 - L'imprimerie royale, 1847, [https://books.google.fr/books?id=nRMEAAAAQAAJ&amp;hl=fr&amp;pg=PP9#v=onepage&amp;q&amp;f=false Volume I]
* 1847 - L'imprimerie royale, 1847, [https://books.google.fr/books?id=FcoDAAAAMAAJ&amp;hl=fr&amp;pg=PP7#v=onepage&amp;q&amp;f=false Volume II]
* 1847 - L'imprimerie royale, 1847, [https://books.google.fr/books?id=MJ8RAAAAIAAJ&amp;hl=fr&amp;pg=PR14#v=onepage&amp;q&amp;f=false Volume II] ''(bis)''
* 1884 - Discussion du projet de résolution tendant à la révision partielle des lois constitutionnelles. discours prononcé par M. Wallon, séance du 24 juillet 1884, {{BNF|31619035k}}.
* 1902 - {{Bibliographie|Q26197111}}
* 1903 - La Chambre de commerce de la province de Normandie (1703-1791), {{bNF|42526499g}}
* 1973 - Michèle Grenot.- [http://www.henriwallon.com/Ecrits_sur_Henri_Wallon/BD/BGB01D01These_Grenot.pdf Henri Wallon (1812 -1904), Les fondements et l’évolution de ses idées, Les motivations de ses activités], Maîtrise d'Histoire (1973),
* '''1847 - {{bibliographie|Q66935919}}''' 1847&lt;!--  --&gt;

==== 1847 - Dezobry, E. Magdeleine et Cie ====
* 1847 - {{bibliographie|Q66920335}} &lt;!--  --&gt;

==== 1847 - Imprimerie Royale ====
* 1847 - Henri Alexandre Wallon.- [https://books.google.fr/books?id=nRMEAAAAQAAJ&amp;dq Histoire de l'esclavage dans l'antiquité, Volume 1], L'imprimerie royale, 1847
* 1847 - Henri Alexandre Wallon.- [https://books.google.fr/books?id=3xMEAAAAQAAJ&amp;dq Histoire de l'esclavage dans l'antiguité. [With] De l'esclavage dans les colonies, pour servir d'introduction à l'Histoire de l'esclavage dans l'antiguité, Volume 2], L'imprimerie royale, 1847
* 1847 - Henri Alexandre Wallon.- [https://books.google.fr/books?id=vkZ3kqa3Q8EC&amp;dq Histoire de l'esclavage dans l'antiquité, Volume 3], Imprimerie Royale, 1847

==== 1847 - Hachette et cie ====
* 1847 - Henri Alexandre Wallon.- [https://books.google.fr/books?id=MJ8RAAAAIAAJ&amp;dq Histoire de l'esclavage dans l'antiquité, Volume 2], Hachette et cie, 1847


==== 1861 - L'émancipation et l'esclavage  ====

1861 - {{bibliographie|Q96994392}} &lt;!-- Henri Wallon.- L'émancipation et l'esclavage --&gt;

==== 1879 - Firmin Didot ====
* ''1879 - {{bibliographie|Q66920861}}'' &lt;!--  --&gt;
* ''1879 - {{bibliographie|Q66934006}}'' &lt;!--  --&gt;
* ''1879 - {{bibliographie|Q66934828}}'' &lt;!--  --&gt;

==== Compléments &amp; Analyses ====
* 1837 - {{bibliographie|Q67028737}} &lt;!-- Henri-Alexandre Wallon, Du droit d'asyle : thèse --&gt;
* 1860 - {{Bibliographie|Q67027298}} &lt;!-- Jean Yanoski, De l'abolition de l'esclavage ancien au Moyen Âge --&gt;
* 2004 - {{bibliographie|Q26202597}} &lt;!--  --&gt;

==== Bibliographie (Henri Wallon, 1812-1904) '''à organiser''' ====
* [[w:Henri Wallon (1812-1904)|Henri Wallon (1812-1904)]]
* 2004 - {{Bibliographie|Q26202616}}
** 2004 - {{Bibliographie|Q26202640}}
** 2004 - {{Bibliographie|Q26202672}}
** 2004 - {{Bibliographie|Q26202597}}
* 30 janvier 1875 - [http://www.assemblee-nationale.fr/histoire/amendement_wallon_1875.asp Assemblée nationale], Un amendement proposé par Henri Wallon est adopté par 353 voix contre 352 : le mot « République » entre dans la loi constitutionnelle. [http://www.archivesdefrance.culture.gouv.fr/action-culturelle/celebrations-nationales/recueil-2004/vie-politique-et-institutions/henri-alexandre-wallon Qui ignore l’« amendement Wallon », à l’origine, en 1875, de la IIIe République ?]
* [https://archive.org/search.php?query=creator%3A%22Henri+Alexandre+Wallon%2C++%28%22 Œuvres de Henri Wallon dans Internet Archive]
* [http://catalogue.bnf.fr/changerPageAdv.do?mots0=ALL;-1;0;Henri%20Wallon&amp;mots1=ALL;0;0;Histoire%20de%20l%27esclavage%20dans%20l%27Antiquité&amp;mots2=&amp;mots3=&amp;mots4=&amp;faclocs=&amp;facDocs=&amp;facNots=&amp;facSpec=&amp;typoCarto=&amp;typoIcono=&amp;typoAudio=&amp;typoMus=&amp;typoPerio=&amp;langue0=LAN;-1&amp;langue1=LAN;0&amp;datepub=&amp;corpus=&amp;index=&amp;numNotice=&amp;listeAffinages=&amp;nbResultParPage=10&amp;afficheRegroup=false&amp;pageEnCours=1&amp;trouveDansFiltre=&amp;trouverDansActif=false&amp;triResultParPage=5&amp;critereRecherche=&amp;issn=&amp;pageRech=rav Catalogue BNF].
* 1837 - [https://archive.org/details/dudroitdasyle00wallgoog Du droit d'asyle], &quot;Jus Romanum : le droit d’Asyle&quot;, licence de droit

=== 1826 - Amelia Opie.- The Black Man's Lament or How To Make Sugar, Londres ===
[[w:Amelia Opie|Amelia Opie]]
* 1826 - {{bibliographie|Q22344388}} &lt;!-- (en) Amelia Opie (ill. anonyme), The Black Man's Lament or How To Make Sugar, Londres --&gt;

== La restauration sous l'angle de l'abolition de l'esclavage ==

{{Citation bloc|[[w:Restauration (histoire de France)|La Restauration]] est la période de l'histoire de France comprise entre la première abdication de Napoléon Bonaparte le 6 avril 1814 et son retour en mars 1815, et entre la chute du Premier Empire et la révolution des Trois Glorieuses du 29 juillet 1830. La Restauration consiste en un retour à la souveraineté monarchique de la maison de Bourbon, exercée dans le cadre d'une monarchie constitutionnelle limitée par la Charte de 1814, sous les règnes de Louis XVIII et Charles X, frères cadets de Louis XVI, déchu en 1792 puis exécuté en 1793.&lt;br /&gt;Cette période est interrompue par les Cent-Jours du 20 mars au 8 juillet 1815 pendant lesquels l'empereur déchu Napoléon Ier reprend le pouvoir1. Cet intermède permet de distinguer la Première Restauration de la Seconde Restauration. Elle est suivie par la monarchie de Juillet de 1830 à 1848, également limitée par la nouvelle Charte de 1830, sous le règne de Louis-Philippe Ier, issu d'une branche cadette de la maison de Bourbon, les Orléans.&lt;br /&gt;Cette période de restauration de la monarchie fut un temps d'expérimentation des débuts du parlementarisme, en préservant quelques acquis de la Révolution française. Elle voit donc l'expérience d'une monarchie constitutionnelle, avec une paix relative dans un contexte international troublé. La Révolution industrielle provoque des bouleversements économiques et sociaux profonds. La politique ministérielle s'en ressent. En politique intérieure, c'est un retour monarchique mais sous l'influence d'une vraie vie parlementaire, qui est marquée d'une oscillation entre ultraroyalistes et libéraux.|Wikipédia.fr, [[w:Restauration (histoire de France)|La Restauration]].}}
* 2002 - {{bibliographie|Q78624249}} &lt;!-- 2002 - Lawrence C. Jennings et Olivier Grenouilleau (dir.), Le second mouvement pour l'abolition de l'esclavage colonial français --&gt;

=== Lois concernant les colonies après la Révolution de 1789-1814 ===

==== la Charte du 4 juin 1814 crée la Chambre des pairs ====
[[File:Jollivet Adolphe - Les Colonies françaises devant la Chambre des Pairs 1845.png|100px|vignette|gauche|Jollivet Adolphe - Les Colonies françaises devant la Chambre des Pairs, 1845]]
La pairie rétablie à la Restauration, la Charte du 4 juin 1814 crée la Chambre des pairs qui remplace le Sénat conservateur napoléonien. - Conservée sous la monarchie de Juillet (Charte du 14 août 1830), elle est supprimée par la révolution de 1848. {{BNF|121640344}}.

=== 1814-1815 - Première Restauration ===

=== 1815-1830 - Seconde Restauration ===

=== Ordonnance du 9 février 1827 ===

== 1830-1848 - La monarchie de Juillet sous l'angle de l'esclavage &amp; des Amériques ==
* 1831 - {{bibliographie|Q78745503}} &lt;!-- André de Lacharière, Observations sur les Antilles françaises --&gt;
* 1834 - 1848 - [[w:Société française pour l'abolition de l'esclavage|Société française pour l'abolition de l'esclavage]]
* 2002 - {{bibliographie|Q78624249}}&lt;ref&gt;[https://catalogue.bnf.fr/rechercher.do?motRecherche=Jennings+Lawrence+C&amp;critereRecherche=0&amp;depart=0&amp;facetteModifiee=ok Cf l’œuvre de Lawrence C. Jennings sur BnF]&lt;/ref&gt; &lt;!-- Lawrence C. Jennings et Olivier Grenouilleau (dir.), Le second mouvement pour l'abolition de l'esclavage colonial français --&gt;
=== Les débats au parlement ===

==== 1838- - Commission chargée de l'examen de la proposition de M. Passy ====

&lt;gallery&gt;
File:Conseil des ministres (1838), par scheffer.jpg|Conseil des ministres, présidé par Louis-Philippe, le 3 août 1838, et tenu au château de Champlâtreux, chez le comte Molé président du Conseil.
File:Claude charles marie du campe de rosamel-antoine maurin.png|Claude Charles Marie du Campe de Rosamel, ministre de la Marine et des Colonies, opposé au projet
File:François Guizot (Joseph-Désiré Court, 1851).jpg|François Guizot, président de la commission
File:M Isambert.jpg|[[w:François-André Isambert (avocat)|François-André Isambert]], avocat, Fondateur de la Société française pour l'abolition de l'esclavage, secrétaire de la comission
File:Passy, Hippolyte.jpg|[[w:Hippolyte Passy|Hippolyte Passy]], Rapporteur à la Chambre des députés, pour la [[w:Société française pour l'abolition de l'esclavage|Société française pour l'abolition de l'esclavage]]
File:Berryer 1843.jpg|Pierre-Antoine Berryer (1790-1868), avocat et homme politique, membre
File:Toul Vue aerienne.jpg|[[w:Jean-François-Xavier Croissant|Jean-François-Xavier Croissant]], Avocat à Toul, maire de la ville, conseiller général et député de la Meurthe de 1834 à 1848. Membre
File:Musée du Vieux Toulouse - Portrait de Charles de Rémusat - Paul Delaroche Inv. 66.2.2.jpg|[[w:Charles de Rémusat|Charles de Rémusat en 1843]], philosophe, rapporteur de la loi à la Chambre des députés. Membre
File:Folie baron roger.jpg|&quot;folie&quot; du baron [[w:Jacques-François Roger|Jacques-François Roger]] à [[w:Jacques-François_Roger#L'expérience_sénégalaise|Richard-toll au Sénégal]]. Membres fondateurs de la Société française pour l'abolition de l'esclavage en 1834 &amp; membre de la commission
[[w:Alexandre de Laborde|Alexandre de Laborde]], membre, fils du financier [[w:Jean-Joseph de Laborde|Jean-Joseph de Laborde (1724-1794)]]&lt;ref&gt;Jean-Joseph de Laborde est propriétaire du [[c:Category:Château de Méréville|Château de Méréville]]&lt;/ref&gt;
File:Carte bordeaux.png|[[w:Joseph Henri Galos|Joseph Henri Galos]], (1805-1873). Armateur bordelais. Député (1837-1848), directeur des colonies au ministère de la Marine (1842-1848). Membre
File:The Anti-Slavery Society Convention, 1840 by Benjamin Robert Haydon.jpg|The Anti-Slavery Society Convention, 1840 by Benjamin Robert Haydon
&lt;/gallery&gt;

==== Le débat parlementaire, 1838 ====
* 1834 - [[w:François-André Isambert (avocat)|François-André Isambert]], avocat, Fondateur de la [[w:Société française pour l'abolition de l'esclavage|Société française pour l'abolition de l'esclavage]], demande l'abolition à la Chambre des députés
* 1837, [[w:Hippolyte Passy|Hippolyte Passy]], membre de la [[w:Société française pour l'abolition de l'esclavage|Société française pour l'abolition de l'esclavage]] fait inscrire au programme des débats de la Chambre des députés la question de l’abolition de l’esclavage.
* 10 février 1838, [[d:Q2306818|Hippolyte Passy]] dépose une proposition de loi sur la question de l’abolition de l’esclavage
* 11 février 1838 - {{bibliographie|Q78295410}} &lt;!-- Conil, Observations sur la proposition de M. de Passy --&gt;
* 13 février 1838 - [[d:Q78214749|Création de la Commission chargée de l'examen de la proposition de M. Passy]]&lt;ref&gt;[[w:Société_française_pour_l'abolition_de_l'esclavage#Des_propositions_de_lois_abolissant_l'esclavage| Des propositions de lois abolissant l'esclavage]].&lt;/ref&gt;
* 1838 - {{bibliographie|Q78210840}} &lt;!-- 1838 - Charles de Rémusat.- Rapport fait au nom de la commission chargée de l'examen de la proposition de M. Passy --&gt;
* 1838 - {{bibliographie|Q78287434}} &lt;!-- Amédée de Cools des Noyers, Quelques Observations d'un délégué des colonies --&gt;
* 1838 - {{bibliographie|Q78643883}} &lt;!-- André de Lacharière, Réflexions sur l'affranchissement des esclaves dans les colonies française --&gt;
* 1838 - {{bibliographie|Q78645295}} &lt;!-- François Mongin de Montrol, Analyse de la discussion de la Chambre des Députés--&gt;

==== Bibliographie ====
* 1832 - {{bibliographie|Q78310524}} &lt;!-- Amédée de Cools des Noyers, Droit et nécessité des garanties sociales et politiques réclamées par les colonies françaises --&gt;
* 1833 (13 février) - {{bibliographie|Q76878791}} &lt;!-- Jean-Élie Gautier (dir.), Rapport relatif à l'état des hommes de couleur et au régime législatif des colonies --&gt;
* 1845 - {{bibliographie|Q29885902}} &lt;!-- Rapports et débats des chambres législatives concernant les lois des 18 et 19 juillet 1845 --&gt;
* 1845 - {{bibliographie|Q76873128}} &lt;!-- Adresse votée par le conseil colonial, séance du 24 octobre 1845, en réponse au discours d'ouverture de la session --&gt;
* 1845 - {{bibliographie|Q76883351}} &lt;!-- Les Colonies françaises devant la Chambre des Pairs, analyse de la discussion générale du projet de loi sur le régime colonial --&gt;
* 1839-1848 - {{bibliographie|Q76003091}} &lt;!-- 1839-1848 - Marc-Antoine Jullien de Paris, Annales du Parlement francais, Firmin Didot --&gt;
** 1839 - {{bibliographie|Q76009690}} &lt;!-- 1839-1848 - Marc-Antoine Jullien de Paris, Annales du Parlement francais, Volume I --&gt;
* [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt/search?q1=esclave&amp;id=chi.78167581&amp;view=1up&amp;seq=5 Esclave, Volume I]
* [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt/search?q1=esclaves&amp;id=chi.78167581&amp;view=1up&amp;seq=5 Esclaves, Volume I]
* [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt/search?q1=esclavage&amp;id=chi.78167581&amp;view=1up&amp;seq=5 Esclavage, Volume I]
* [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt/search?q1=colonie&amp;id=chi.78167581&amp;view=1up&amp;seq=5 colonie, Volume I]
* [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt/search?q1=colonies&amp;id=chi.78167581&amp;view=1up&amp;seq=5 colonies, Volume I]
* Dans ce volume, une seule occurrence de &quot;[https://babel.hathitrust.org/cgi/pt/search?q1=domestique&amp;id=chi.78167581&amp;view=1up&amp;seq=5 domestique]&quot;. C'est Lamartine qui prononce le mot [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=chi.78167581&amp;view=1up&amp;seq=149 page 137]
** 1999 - {{bibliographie|Q76399942}} &lt;!-- Michèle Benaiteau et Marc-Antoine Jullien de Paris (1789‑1848). Une biographie politique --&gt;

=== Bibliographie ===
* 1848 - {{bibliographie|Q25710814}}, publié dans {{bibliographie|Q25710781}} &lt;!--  --&gt;
* 1848 - {{bibliographie|Q76132437}} &lt;!-- France et Eugène Pelletan, Collection de documents pour servir à l'histoire de la chute de la maison d'Orléans et de l'établissement de la république --&gt;

==== Les rapports faits au gouvernement &amp; au roi ====
[[Fichier:1848 - Commission pour l'abolition de l'esclavage, Rapport fait au ministre de la Marine et des colonies.png|100px|vignette|gauche|1848 - Rapport de la Commission pour l'abolition de l'esclavage ]]
* 1848 - {{bibliographie|Q76157116}} &lt;!-- Commission pour l'abolition de l'esclavage.- Rapport fait au ministre de la Marine et des colonies, par la commission instituée pour préparer l'acte de l'abolition immédiate de l'esclavage --&gt;

== 1848-1852 : La France énonce en droit écrit que l'esclavage est un crime contre l'Humanité ==

[[s:Page:Recueil de la législation nouvelle, 1848.djvu/13|Les textes du gouvernement provisoire]]

 Vu l’article 66 de l’ordonnance du 9 février 1827

 Vu les décrets du Gouvernement provisoire de la République, en date des 27 avril, 2 et 5 mai 1848, dont suit l’énumération ;

1{{o}} Décret portant l’abolition de l’esclavage ;

2{{o}} Décret qui pourvoit au sort des vieillards, des infirmes et
des orphelins après l’émancipation ;

3{{o}} Décret portant établissement d’écoles gratuites aux colonies et d’un lycée à la Guadeloupe ;

4{{o}} Décret portant institution de jurys cantonaux pour le règlement des contestations relatives au travail et la répression des faits de coalition, ou autres ;

5{{o}} Décret portant création d’ateliers nationaux aux colonies,
suivi d’un arrêté réglementaire du ministre de la marine et des
colonies pour l’organisation de ces ateliers ;

6{{o}} Décret concernant la répression du vagabondage et de la
mendicité aux colonies, et portant création d’ateliers de discipline, suivi d’un arrêté réglementaire du ministre delà marine et des colonies, pour l’organisation de ces ateliers ;

7{{o}} Décret portant création de caisses d’épargne aux colonies ;

8{{o}} Décret relatif à l’impôt personnel et aux taxes sur les spiritueux ;

9{{o}} Décret instituant une fête du travail et des récompenses
publiques pour les travailleurs qui les auront méritées ;

10{{o}} Décret sur le régime hypothécaire et l’expropriation
forcée aux colonies ;

11{{o}} Instruction du Gouvernement provisoire pour les élections 
dans les colonies, ayant force de décret ;

12° Décret portant suppression des conseils coloniaux et des
fonctions de délégués des colonies ;

13{{o}} Décret concernant les pouvoirs des commissaires généraux 
de la République dans les colonies ;

14{{o}} Décret concernant le régime de la presse aux colonies ;

15{{o}} Décret portant application aux colonies de la législation
sur le recrutement de l’armée, sur l’inscription maritime et sur
l’organisation de la garde nationale,

=== Genèse du décret portant abolition de l’esclavage ===
* 3 mars 1848 - adoption d'une politique d'abolition immédiate de l’esclavage
* 4 mars 1848 - Création par décret du  d'une [[w:Commission pour l'abolition de l'esclavage|Commission pour l'abolition de l'esclavage]] présidée par Victor Schœlcher
* 6 mars - 21 juillet 1848 : travaux de la [[w:Commission pour l'abolition de l'esclavage|Commission pour l'abolition de l'esclavage]]
* 27 avril 1848 - Abolition de l’esclavage par le Gouvernement provisoire par le [https://fr.wikisource.org/wiki/D%C3%A9cret_du_27_avril_1848_abolissant_l%E2%80%99esclavage décret du 27 avril 1848]

=== Décret du 27 avril 1848 qui décide de l’abolition de l’esclavage en France et dans ses colonies ===
* [[s:Décret du 27 avril 1848 abolissant l’esclavage|Décret du 27 avril 1848 qui décide de l’abolition de l’esclavage en France et dans ses colonies rédigé par Victor Schœlcher]]

==== Décret d'abolition de l'esclavage-Archives nationales-BB-30-1125-A-296 : recherche des sources ====
* [[s:Page:Recueil de la législation nouvelle, 1848.djvu/14|Fait à Paris, en conseil de Gouvernement, le 27 avril 1848]].
* France, [[w:Deuxième République (France)|Deuxième République, 1848-1852]], [[w:Décret d'abolition de l'esclavage du 27 avril 1848|Décret d'abolition de l'esclavage du 27 avril 1848]], Référence indiquée à ce jour : &quot;''Archives nationales-BB-30-1125-A-296''&quot;

&lt;gallery&gt;
File:Brouillon du décret d’abolition de l’esclavage annoté par Victor Schoelcher, 1848.jpg|Brouillon du décret d’abolition de l’esclavage annoté par Victor Schoelcher, 1848
Fichier:Décret d'abolition de l'esclavage-Archives nationales-BB-30-1125-A-296.jpg|France, Décret d'abolition de l'esclavage, 1848, première page.
File:Texte du Décret portant abolition de l'esclavage du 27 avril 1848.png|Texte du Décret portant abolition de l'esclavage du 27 avril 1848
File:Conseil de Gouvernement - Décret portant abolition de l’esclavage, 27 avril 1848.png|Conseil de Gouvernement - Décret portant abolition de l’esclavage, 27 avril 1848, [[d:Q76157116|Q76157116]]
&lt;/gallery&gt;

 
&lt;https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Utilisateur:Ambre_Troizat/Réflexions_%C3%A0_propos_des_traites_%26_esclavages&amp;action=edit&amp;section=122&gt;

=== Membres du Gouvernement provisoire &amp; maires de Paris, signataires du décret d'abolition de 1848 ===

Dans le [[w:Gouvernement provisoire de 1848|Gouvernement provisoire de 1848]], les fonctions gouvernementales sont réparties entre des membres du gouvernement et des personnalités extérieures.

{{Citation bloc|Le décret d'abolition a été précédé d'un autre décret rendu le 4 mars qui instituait une commission composée des Schœlcher président, Mestro directeur des colonies, Perrinon chef de bataillon d artillerie de marine, Gatine avocat aux conseils, Haumont ouvrier horloger, Wallon et Percin, secrétaires. Cette commission avait pour mission de préparer l'acte d'émancipation. D'autres décrets complémentaires de celui que l'on vient de lire ont été rendus successivement|Histoire des votes des représentants du peuple dans nos Assemblées Nationales depuis la Révolution de Février, 1848, etc. 1851&lt;ref&gt;[https://books.google.fr/books?id=h-UJiAIseDIC&amp;pg=PA10&amp;dq=Citoyen+Marie+%2B+ministre+provisoire+aux+travaux+publics++%2B+décret+d%27abolition+de+l%27esclavage+%2B+1848&amp;hl=fr&amp;sa=X&amp;ved=0ahUKEwiIz5WQ6IXmAhUk-YUKHTHlAoYQ6AEIUDAF#v=onepage&amp;q=Citoyen%20Marie%20%2B%20ministre%20provisoire%20aux%20travaux%20publics%20%20%2B%20décret%20d'abolition%20de%20l'esclavage%20%2B%201848&amp;f=false page 10]&lt;/ref&gt;}}

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Membre du gouvernement provisoire !! Signataire du décret d'abolition de l'esclavage
|-
| [[w:Alexandre Martin|Alexandre-Albert Martin]], dit l'ouvrier Albert. Il signe : ''Albert (ouvrier)'', membre du gouvernement provisoire || [[d:Q2660580|Albert]],
|-
| [[w:François_Arago#Carrière_politique|François Arago]], ministre de la Marine, puis président de la Commission exécutive || [[d:Q154353|François Arago]], président de la Commission exécutive
|-
| [[w:Eugène Bethmont|Eugène Bethmont]], avocat, Agriculture et Commerce  ''ministre de la Justice'', puis président de section au Conseil d'État.|| -
|-
| [[w:Louis Blanc|Louis Blanc]], président de la Commission du gouvernement pour les travailleurs. || Louis Blanc, président de la Commission du gouvernement pour les travailleurs.
|-
| [[w:Hippolyte Carnot|Lazare Hippolyte Carnot]], Instruction publique, || -
|-
| [[w:Eugène Cavaignac (homme politique)|Louis Eugène Cavaignac]], général, gouverneur général de l'Algérie || -
|-
| [[w:Amable de Courtais|Amable Gaspard Henri de Courtais]], vicomte,  officier de cavalerie en retraite, commandant de la Garde nationale. || -
|-
| [[w:Adolphe Crémieux|Adolphe Crémieux]], la Justice || [[d:Q260047|Adolphe Crémieux]], la Justice&lt;ref&gt;Le 9 mars 1848, [[w:Adolphe Crémieux|Adolphe Crémieux]] reçoit &quot;''une délégation de [[w:Noir (humain)|hommes de couleur libres]] et de [[w:Mulâtre|hommes de couleur libres]] des colonies françaises''&quot; et leur déclare que &quot;''la nouvelle République accomplira ce que la République de 92 avait proclamé. Vous redeviendrez libres''&quot;. ['''Ceci est notoirement faux. Si ces hommes sont sur le sol de France, alors, ils sont libres]'''. &quot;''Il fait ainsi partie des [[w:Liste d'opposants à l'esclavage|militants pour l'abolition de l'esclavage]]'' (Cf. Nelly Schmidt.- ''Les abolitionnistes français de l'esclavage, 1820-1850'', Revue française d'histoire d'outre-mer'', tome 87, n°326-327, 1er sem. 2000 {{DOI|10.3406/outre.2000.3776}}, (lire [https://www.persee.fr/doc/outre_0300-9513_2000_num_87_326_3776 en ligne])&lt;/i&gt;. Cependant, le 15 mars 1848, [[w:François Arago|François Arago]] envoie aux colonies, une dépêche contenant &quot;''un ajournement de l’émancipation''&quot;, et les vagues promesses qui l’accompagnent ne sont guère que d’un [[w:François Guizot|Guizot]] républicain. Le [[w:Décret d'abolition de l'esclavage du 27 avril 1848|décret du 27 avril 1848]] abolira définitivement l'esclavage en France.— [[w:Adolphe Crémieux|Adolphe Crémieux]], fr.Wikipédia.&lt;/ref&gt;
|-
| [[w:Jacques Charles Dupont de l'Eure|Jacques Charles Dupont de l'Eure dit Dupont de l'Eure]]&lt;ref&gt; Figure de la République, Dupont de l'Eure fut témoin et acteur de trois révolutions : 1789, 1830 et 1848. &lt;/ref&gt; est président du conseil ||[[d:Q2309694|Jacques Charles Dupont de l'Eure dit Dupont de l'Eure]], président du conseil
|-
| [[w:Ferdinand Flocon|Ferdinand Flocon]]&lt;ref&gt;Ferdinand Flocon est décédé en exil à Lausanne&lt;/ref&gt; || [[d:Q3068564|Ferdinand Flocon]]
|-
| [[w:Louis-Antoine Garnier-Pagès|Louis-Antoine Pagès dit Garnier-Pagès]], mairie de Paris. || [[d:Q601266|Louis-Antoine Garnier-Pagès]],  mairie de Paris.
|-
| [[w:Michel Goudchaux|Michel Goudchaux]], Finances, || -
|-
| [[w:Alphonse de Lamartine|Alphonse Marie Louis de Prat de Lamartine]], Affaires étrangères,  || [[d:Q188697|Alphonse de Lamartine]], Affaires étrangères,
|-
| [[w:Alexandre Ledru-Rollin|Alexandre-Auguste Ledru-Rollin]], ministère de l'intérieur. || [[d:Q1382222|Alexandre-Auguste Ledru-Rollin]], ministère d'l'intérieur
|-
| (Citoyen) Marie, ministre provisoire aux travaux publics  || (Citoyen) Marie, ministre provisoire aux travaux publics
|-
| - || [[w:Armand Marie François Pascal Marrast|Armand Marrast]] ; [[w:Q677730|Armand Marrast]], maire de Paris
|-
| [[w:Laurent-Antoine Pagnerre|Laurent-Antoine Pagnerre]], secrétaire du Gouvernement provisoire. || [[d:Q16027107|Laurent-Antoine Pagnerre]], secrétaire du Gouvernement provisoire.
|-
| [[w:Jacques-Gervais Subervie|Jacques-Gervais Subervie]] ; [[d:Q3157954|Jacques-Gervais Subervie]], général baron, ancien officier du Premier Empire, reçoit la Guerre. || -
|}

==== Les textes adoptés en conseil de Gouvernement, le 27 avril 1848 ====
* {{Bibliographie|Q76170432}}&lt;ref&gt;Cet ensemble de 18 textes venant à la suite du rapport de la Commission est dit, de nos jours, &quot;paquet législatif&quot;, ou ensemble des textes nécessaires à la mise en place d'une réforme.&lt;/ref&gt;

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== 1848-1948 - Abolir le droit de propriété sur l'Humain ==

== Le Second empire ==

== La Troisième République ==

=== 1868-1963 - L'œuvre de William Edward Burghardt Du Bois sous l'angle de l'esclavage ===
[[w:W. E. B. Du Bois|William Edward Burghardt Du Bois dit W. E. B. Du Bois, 23 février 1868 - 27 août 1963)]]

=== 1888-1893 - Bulletin de la Société antiesclavagiste de France ===
* 1888-1893 - {{bibliographie|Q78857150}} &lt;!-- Bulletin de la Société antiesclavagiste de France, 1888-1893 --&gt;
** 1902 - {{Bibliographie|Q78860189}}&lt;!-- 1902 - Louis Durand, Le Mouvement antiesclavagiste (1876-1900) --&gt;
* 1889 - {{bibliographie|Q78863088}} &lt;!-- Alexis-Marie Gochet et Charles Martial Lavigerie, La barbarie africaine et l'action civilisatrice des missions catholiques au Congo --&gt;

==== Bibliographie de William Edward Burghardt Du Bois ====
* 1899 - {{bibliographie|Q73370772}} &lt;!-- 1898 - W. E. B. Du Bois|William Edward Burghardt Du Bois dit W. E. B. Du Bois (23 février 1868 - 27 août 1963) , The Philadelphia Negro œuvre écrite de William Edward Burghardt Du Bois,  --&gt;

== Institutions &amp; revues coloniales ==

=== Le Conseil colonial de la Guadeloupe ===

 [[w:Conseil colonial#Conseils coloniaux français|Conseils coloniaux français]] ; Conseil colonial en tant que [[w:institution|institution]]
 [[w:Conseil colonial (France)|Conseil colonial (France)]]
 [[d:Q30955420|Conseil colonial de la Guadeloupe]] ; Auteur de rapports
 [[d:Q78911524|Conseil colonial de l'île Bourbon]]

==== Bibliographie ====
* 1833 (24 avril) - {{bibliographie|Q21427562}} publié dans {{bibliographie|Q2928073}} ''[[d:Q2928073|Q2928073]] &amp; [[d:Q21427562|Q21427562]]'' &lt;!-- Loi concernant le régime législatif des colonies, n°216, 24 avril 1833 --&gt;
* 1845 - {{bibliographie|Q76873128}} &lt;!-- Adresse votée par le conseil colonial, séance du 24 octobre 1845 --&gt;
* 1847 - {{bibliographie|Q78911054}} &lt;!-- 1847 - Conseil colonial de l'île Bourbon, Adresse au roi --&gt;
* 1848 - {{Bibliographie|Q30955156}} &lt;!-- Abolition de l'esclavage, discours 1847, Guadeloupe --&gt;
* 1849 - {{bibliographie|Q76452597}} &lt;!-- Adolphe Ambroise Alexandre Gatine, Abolition de l'esclavage à la Guadeloupe --&gt;

=== Revue de l'Orient, de l'Algérie et des colonies ===

;du droit naturel en faveur de l'émancipation sans indemnités
{{Citation bloc|Dans notre opinion, l’indemnité est due. Les partisans de l’opinion contraire s’appuient sur la loi naturelle qui ne reconnaît point l’esclavage : ils soutiennent que les droits de l’humanité et de la liberté sont imprescriptibles, et que les colons, après avoir bénéficié, pendant plus de deux siècles, d’une illégalité monstrueuse, ne sauraient être considérés comme propriétaires d’un bien qu’ils ont usurpé ; que les abus, quels qu’ils soient, doivent tomber d’eux-mêmes devant les progrès du temps et les protestations, souvent tardives, delà morale, mais non se racheter.|[[s:Page:Revue de l'Orient, de l'Algérie et des colonies, Tome 3, 1848.djvu/297|Abolition de l'esclavage dans les colonies françaises. Des mesures à prendre pour l'émancipation, Revue de l'Orient, de l'Algérie et des colonies, Tome 3, 1848]].}} 

;Le mélanoderme n'est pas inférieur au leucoderme
{{Citation bloc|Nous sommes loin du temps où certains physiologistes classaient le nègre au-dessous de l’homme, dans l’échelle des êtres, et le mettaient en quelque sorte hors la loi ; c’était une justification savante de l’esclavage, un mensonge intéressé dont les idées modernes ont fait justice.|[[s:Page:Revue de l'Orient, de l'Algérie et des colonies, Tome 3, 1848.djvu/300|Abolition de l'esclavage dans les colonies françaises. Des mesures à prendre pour l'émancipation, Revue de l'Orient, de l'Algérie et des colonies, Tome 3, 1848]].}}

 [[d:Q25710726|Revue de l'Orient (Paris)]]

 [[d:Q18115358|Charles Lavollée]]
 [[w:Charles Lavollée|Charles Lavollée]]

==== Bibliographie ====
* 1848 - {{bibliographie|Q25710814}}, publié dans {{bibliographie|Q25710781}} &lt;!-- --&gt;
* 1889 - {{bibliographie|Q78900516}} &lt;!-- 1889 - Alexis-Marie Gochet et Charles Martial Lavigerie, La Traite des nègres et la croisade africaine --&gt;
* 1998 - R. KORTENHORST.- [http://www.fnb.to/FNB/Article/Bastion_26/egalite.htm A propos de l’inégalité des hommes, des peuples et des races…], Bastion n°26 de septembre 1998. Un tel discours pourrait expliquer les résultats du front national dans les Outremers français. Voir [http://www.fnb.to/FNBelgique/presentation.htm profession de foi en page d'accueil] &amp; l'histoire du [[w:Front nouveau de Belgique|Front nouveau de Belgique]].

== À insérer dans Wikidata ==

 '''Le droit naturel a-t-il encore de la valeur ?'''
 Les Mardis des Bernardins du 14/05/2013. Avec la participation de : Patrice Rolland, professeur agrégé des Facultés de droit, université de Paris 12 ; Arnaud de Nanteuil, professeur agrégé des Facultés de droit, université du Mans ; Olivier Echappé, magistrat, vice-doyen de la faculté de droit canonique, Institut catholique de Paris. Débat animé par Catherine Escrive, journaliste.- Le droit naturel a-t-il encore de la valeur ? [https://www.youtube.com/watch?v=yFwcj22nm_U Sur Youtube].

 '''Pierre-Yves Quiviger.- Le secret du Droit naturel ou après Villey'''
 [http://savoirs.ens.fr/expose.php?id=1079 Vidéo] : [[w:Pierre-Yves Quiviger|Pierre-Yves Quiviger]], [http://savoirs.ens.fr/expose.php?id=1079 Le secret du Droit naturel ou après Villey], Classiques Garnier, Paris, 2012, 190 pages. ''[[w:droit naturel|droit naturel]], [[w:Droit positif|Droit positif]], [[w:Justice|Justice]], [[w:Positivisme juridique|Positivisme juridique]], [[w:Propriété|Propriété]], [[w:Jusnaturalisme|Jusnaturalisme]]''.
  [https://www.youtube.com/watch?v=fRaORZdv8_o Voir également la vidéo ici].
  [http://blog.ac-versailles.fr/oeildeminerve/index.php/post/19/04/2016/Pierre-Yves-Quiviger%2C-Le-secret-du-droit-naturel-ou-après-Villey%2C-Classiques-Garnier%2C-Paris%2C-2012%2C-190-pages%2C-Lu-par-V.-Alain Article scientifique] : P.-Y. Quiviger, École normale supérieure (''Les Lundis de la Philosophie 2012-2013'').- [http://blog.ac-versailles.fr/oeildeminerve/index.php/post/19/04/2016/Pierre-Yves-Quiviger%2C-Le-secret-du-droit-naturel-ou-après-Villey%2C-Classiques-Garnier%2C-Par1802-1866 - L'œuvre de  Gustave de Beaumont sous l'angle de l'esclavageis,-2012,-190-pages,-Lu-par-V.-Alain Morale et droit naturel], Conférence donnée dans le cadre des Lundis de la Philosophie 2012-2013, cycle organisé par Francis Wolff (département de philosophie de l'École normale supérieure).

 '''[https://www.youtube.com/results?search_query=droit+naturel Recherche de vidéos à propos du droit naturel sur Youtube]'''
 '''[Recherche de vidéos à propos du droit naturel sur Vimeo]

L'[[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Bibliographie_des_XIV-XVIIe_siècles#Utopia.2C_Thomas_Morus.2C_1516|Utopia]] propose une société où une partie de la population est soumise à l'esclavage
* L’esclavage dans l’Europe médiévale, [http://www.herodote.net/610_a_1492-synthese-11.php .herodote.net].
* [https://archive.org/stream/lesloixcivilesda00doma#page/n67/mode/2up/search/efclave Occurrence de esclave] in Les loix civiles dans leur ordre naturel : le droit public, et Legum delectus by Domat, Jean, 1625-1696; Héricourt, Louis de, 1687-1752; Bouchevret, M. de (Benoît); Berroyer, Claude, 1655-1735; Chevalier, -----; Jouy, Louis-François de, 1714-1771; Adams, John, 1735-1826, former owner. BRL; Boston Public Library (John Adams Library) BRL, Published 1777.

==== Les Cahiers de l'école du Louvre ====
* Esclave dans [http://search.openedition.org/index.php?q=esclave&amp;s=Les+Cahiers+de+l%27%C3%89cole+du+Louvre Les Cahiers de l'école du Louvre]
* Esclavage dans [http://search.openedition.org/index.php?q=esclavage&amp;s=Les+Cahiers+de+l%27%C3%89cole+du+Louvre Les Cahiers de l'école du Louvre]
* Colonie dans [http://search.openedition.org/index.php?q=colonie&amp;s=Les+Cahiers+de+l%27%C3%89cole+du+Louvre Les Cahiers de l'école du Louvre]

==== Palais de la Porte Dorée ====

{{Citation bloc|une polémique car le palais de la Porte Dorée fut le siège de l’ancien musée des Colonies inaugurés lors ... de l’immigration en France ne soit mêlé à celui de la colonisation, donc de manière stigmatisante pour le nouveau ... de la France dans les colonies, il doit devenir l’institution culturelle qui illustrera l’apport décisif ...|Andréa Delaplace.- [http://cel.revues.org/295 Un palais pour les immigrés ?] Le Musée de l’histoire de l’immigration à Paris : une collection et un musée en devenir, Les Cahiers de l'École du Louvre, janvier 2016, Texte intégral disponible en accès libre.}}
* 1516 - {{bibliographie|Q28924545}} First published in Latin in 1516 ; first translated to English in 1551.
* 2008 - {{bibliographie|Q66903924}}, Saint-Denis-de-la-Réunion, &lt;!-- Angélique Gigan, Echos antiesclavagistes de l’Île-de-France à l’Amérique --&gt;

== Bibliographie à explorer ==
* [https://catalogue.nla.gov.au/Search/Home?lookfor=subject:%22Slavery.%22&amp;iknowwhatimean=1&amp;sort=sort_date_asc&amp;page=1 subject:Slavery in The National Library of Australia]
* [https://catalogue.bnf.fr/changerPage.do?motRecherche=De+l%27esclavage+et+de+la+Traité+des+Nègres&amp;index=&amp;numNotice=&amp;listeAffinages=&amp;nbResultParPage=10&amp;afficheRegroup=false&amp;pageEnCours=1&amp;trouveDansFiltre=NoticePUB&amp;trouverDansActif=false&amp;triResultParPage=5&amp;critereRecherche=0&amp;typeNotice=&amp;pageRech=rsi Série &quot;De l'esclavage et de la Traité des Nègres&quot; sur BNF]
[[w:Chronologie de l'esclavage|Chronologie de l'esclavage]]
Richard Henry Dana, Jr. (né le 1er août 1815 à Cambridge (Massachusetts) – mort le 6 janvier 1882)
* 1614 - {{bibliographie|Q29458711}} &lt;!--  --&gt;
* 1767 - {{bibliographie|Q29395273}} &lt;!--  --&gt;
* 1824 - {{bibliographie|Q29398754}} &lt;!-- Affrachissement --&gt;
* [https://catalogue.bnf.fr/changerPage.do?motRecherche=De+l%27esclavage+et+de+la+Traité+des+Nègres&amp;index=&amp;numNotice=&amp;listeAffinages=&amp;nbResultParPage=10&amp;afficheRegroup=false&amp;pageEnCours=1&amp;trouveDansFiltre=NoticePUB&amp;trouverDansActif=false&amp;triResultParPage=5&amp;critereRecherche=0&amp;typeNotice=&amp;pageRech=rsi Série &quot;De l'esclavage et de la Traité des Nègres&quot; sur BNF]

== Notes &amp; Références  ==

=== Bibliographie à mettre sous Wikidata ===
[https://catalogue.bnf.fr/rechercher.do?motRecherche=Le+Monde+méditerranéen+et+l%27esclavage&amp;critereRecherche=0&amp;depart=0&amp;facetteModifiee=ok Bibliographie à mettre sous Wikidata]

 # 1981 - Heers, Jacques (1924-2013).- Esclaves et domestiques au Moyen Âge dans le monde méditerranéen / Jacques Heers, Fayard
 # 1996 - Heers, Jacques (1924-2013).- Esclaves et domestiques au Moyen Âge dans le monde méditerranéen / Jacques Heers, Hachette
 # 2006 - Heers, Jacques (1924-2013).- Esclaves et domestiques au Moyen Âge dans le monde méditerranéen / Jacques Heers, [Nouvelle éd
 # 1981 - Heers, Jacques (1924-2013).- Esclaves et domestiques au Moyen Âge dans le monde méditerranéen / Jacques Heers, Fayard
 # 1996 - Heers, Jacques (1924-2013).- Esclaves et domestiques au Moyen Âge dans le monde méditerranéen / Jacques Heers
 # 2004 - Groupe international de recherches sur l'esclavage dans l'Antiquité. Colloque (29 ; 2004 ; Rethymnon, Grèce)- Peur de l'esclave, peur de l'esclavage en Méditerranée ancienne : discours, représentations, pratiques : actes du XXIXe Colloque du Groupe international de recherche sur l'esclavage dans l'Antiquité (GIREA), Rethymnon, 4-7 novembre 2004 / [organisé par le Département d'histoire et d'archéologie de l'Université de Crète en collaboration avec l'] University of Crete, Institute of Mediterranean studies ; éditeur, Anastasia Serghidou, Presses universitaires de Franche-Comté
 # 1996 - Figures de l'esclave au Moyen Âge et dans le monde moderne : actes de la table ronde organisée les 27 et 28 octobre 1992 / par le Centre d'histoire sociale et culturelle de l' Occident de l'Université de Paris X-Nanterre ; textes réunis par Henri Bresc, Éd. l'Harmattan
 # 2012 - Pierre Guilhembet.- Le châtiment des villes dans les espaces méditerranéens (Antiquité, Moyen Âge, époque moderne) / sous la direction de Patrick Gilli et Jean-
 # 2018 - Sortir de l'esclavage : Europe du Sud et Amériques, XIVe-XIXe siècle / sous la direction de Dominique Rogers et Boris Lesueur, Karthala, Hachette littératures
 # 2007 - Groupe international de recherches sur l'esclavage dans l'Antiquité. Colloque (29 ; 2004 ; Rethymnon, Grèce).- Peur de l'esclave, peur de l'esclavage en Méditerranée ancienne : discours, représentations, pratiques : actes du XXIXe Colloque du Groupe international de recherche sur l'esclavage dans l'Antiquité (GIREA), Rethymnon, 4-7 novembre 2004 / [organisé par le Département d'histoire et d'archéologie de l'Université de Crète en collaboration avec l'] University of Crete, Institute of Mediterranean studies ; éditeur, Anastasia Serghidou, Presses universitaires de Franche-Comté

{{Références}}</text>
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    <title>Mécanique 2 (PCSI)/Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation</title>
    <ns>0</ns>
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      <timestamp>2026-10-05T09:02:26Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
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      <origin>987124</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="43906" sha1="2nipwlw807b8g0jhreejmmryghvmwno" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 10
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique/]]
}}

&lt;center&gt;Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique newtonienne avec un complément dans celui de la cinétique relativiste.&lt;/center&gt;

== Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière, cas d’un système en translation ==

=== Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels ===

{{Al|5}}L'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;K(t)\;&lt;/math&gt;» du système discret (fermé) de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot;&gt; A priori &lt;math&gt;\;N\;&lt;/math&gt; pourrait être égal à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt; mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.&lt;/ref&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est définie, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, comme la somme de l'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;K_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» de chaque point matériel du système dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot;&gt; Cette définition est aussi applicable à un système ouvert de points matériels d'une expansion tridimensionnelle limitée par la surface de contrôle fermée fixe de cette expansion d'où le qualificatif « fermé » mis entre parenthèses mais, par la suite, nous ne considérerons que des systèmes fermés.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
=== Expression newtonienne de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels ===

{{Al|5}}En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système discret (fermé) de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; se réécrit, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2}{2\;m_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot; /&gt; dans laquelle &lt;br&gt; &lt;math&gt;\;\vec{p}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt; est le vecteur quantité de mouvement du point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt; &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;
=== En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels ===

{{Al|5}}L’expression de l’énergie cinétique d’un système discret (fermé) de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; se réécrit, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s’écrit, en cinétique relativiste, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\;&lt;/math&gt; le facteur de Lorentz &lt;ref name=&quot;Lorentz&quot;&gt; '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928)]]''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; par '''Henri Poincaré''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''Hendrik Lorentz''' dès &lt;math&gt;1892&lt;/math&gt; pour ce dernier&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''Albert Einstein''' en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''Hendrik Lorentz''' partagea, en &lt;math&gt;1902&lt;/math&gt;, le prix Nobel de physique avec '''Pieter Zeeman (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;'''Pieter Zeeman''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en &lt;math&gt;1886\big]&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}'''Henri Poincaré (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''Albert Einstein (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en &lt;math&gt;1896&lt;/math&gt; puis suisse en &lt;math&gt;1901&lt;/math&gt; ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt;, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en &lt;math&gt;1916&lt;/math&gt; ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en &lt;math&gt;1921&lt;/math&gt; pour son explication de l'effet photoélectrique.&lt;/ref&gt; du point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt; ou encore «&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} - m_i\;c^2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot; /&gt;, &lt;br&gt;le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;&lt;/math&gt;» définissant l'énergie totale &lt;math&gt;\;E_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt; du point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;et le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;au signe près&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;m_i\;c^2\;&lt;/math&gt;» l'énergie de masse &lt;math&gt;\;E^{\,0}_{M_i}\;&lt;/math&gt; du point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;énergie de masse&quot;&gt; L'énergie de masse d'un point matériel étant une constante caractéristique u point et indépendante du référentiel.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : En définissant l'énergie totale du système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;&lt;/math&gt;» et&lt;/center&gt; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : En définissant }}l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels &lt;ref name=&quot;précision sur l'énergie de masse d'un système&quot;&gt; En effet, la présence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels entraîne une diminution de la masse du système relativement à la somme des masses de ses constituants considérés comme indépendants, cette diminution observée dans un noyau est appelée « [[w:Liaison_nucléaire#Défaut_de_masse|défaut de masse]] » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; par &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E^{\,0}_{M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;c^2\;&lt;/math&gt;», &lt;/center&gt; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique relativiste du système dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;K(t) = E(t) - E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;&lt;/math&gt;».

=== Généralisation, énergie cinétique d’un système continu de matière ===

{{Al|5}}En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, notée «&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot;&gt; Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, sa masse est donc «&lt;math&gt;\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;», son vecteur vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, son vecteur quantité de mouvement au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est «&lt;math&gt;\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]&lt;/math&gt;, son vecteur moment cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, relativement à un point origine &lt;math&gt;\;A&lt;/math&gt;, est «&lt;math&gt;\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur moment cinétique relativement au point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{volum}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]\;&lt;/math&gt; et son énergie cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;d K_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Bigg\{&lt;/math&gt;le facteur fractionnaire définissant la densité volumique d'énergie cinétique en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;K_{\text{volum}}(M,\,t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\Bigg\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt; soit encore «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt;, ce qui revient à une intégrale volumique définie selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} d K_M(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt;,&lt;/center&gt;
{{Al|12}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie }} celle d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, notée «&lt;math&gt;\;K_{\left( S \right)}(t)\;&lt;/math&gt;», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion surfacique&quot;&gt;  Un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, sa masse est donc «&lt;math&gt;\;dm = \sigma(M)\;d S_M\;&lt;/math&gt;», son vecteur vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, son vecteur quantité de mouvement au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est «&lt;math&gt;\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]&lt;/math&gt;, son vecteur moment cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, relativement au point origine &lt;math&gt;\;A&lt;/math&gt;, est «&lt;math&gt;\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur moment cinétique relativement au point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{surfac}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]\;&lt;/math&gt; et son énergie cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;d K_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Bigg\{&lt;/math&gt;le facteur fractionnaire définissant la densité surfacique d'énergie cinétique en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;K_{\text{surfac}}(M,\,t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\Bigg\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion surfacique&quot; /&gt; soit encore «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion surfacique&quot; /&gt;, ce qui revient à une intégrale surfacique définie selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; et&lt;/center&gt;
{{Al|12}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie }} celle d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, notée «&lt;math&gt;\;K_{\left( \Gamma \right)}(t)\;&lt;/math&gt;», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion linéique&quot;&gt;  Un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;, sa masse est donc «&lt;math&gt;\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;», son vecteur vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, son vecteur quantité de mouvement au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est «&lt;math&gt;\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]&lt;/math&gt;, son vecteur moment cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, relativement au point origine &lt;math&gt;\;A&lt;/math&gt;, est «&lt;math&gt;\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur moment cinétique relativement au point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{lin}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]\;&lt;/math&gt; et son énergie cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;d K_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Bigg\{&lt;/math&gt;le facteur fractionnaire définissant la densité linéique d'énergie cinétique en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;K_{\text{lin}}(M,\,t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\Bigg\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion linéique&quot; /&gt; soit encore «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion linéique&quot; /&gt;, ce qui revient à une intégrale curviligne définie selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} d K_M(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
=== Cas d'un système en translation ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en translation » ne se déforme pas, il peut donc être qualifié de « solide » au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et il est nécessairement fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière.

{{Al|5}}Considérant le système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, égal à celui de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;tous les points &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; ont le même vecteur vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\big\}&lt;/math&gt;, l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; étant définie selon &lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2 = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt; soit, en factorisant par «&lt;math&gt;\;\dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\;&lt;/math&gt;» puis en reconnaissant dans l'autre facteur «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;&lt;/math&gt;» la masse du système «&lt;math&gt;\;m_{\text{syst. en transl.}}\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; se réécrit, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot;&gt; Cette expression est encore valable, sans modification, pour un système continu de matière.&lt;/ref&gt; soit encore &lt;br&gt;l'énergie cinétique newtonienne du point fictif « C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du système &lt;math&gt;\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt;» dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}sachant que la résultante cinétique d'un système discret de points matériels s’écrit, en cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;», on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2\;m_{\text{syst. en transl.}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}une 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;très peu utilisée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; peut être établie en éliminant la masse du système au profit de la vitesse du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; et de la résultante cinétique newtonienne &lt;ref name=&quot;peu intéressant&quot;&gt; C'est peu intéressant car on élimine une constante au profit de deux grandeurs dépendant du temps.&lt;/ref&gt;, on en déduit que l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» peut se réécrire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Complément&lt;/u&gt; : On peut trouver les expressions correspondantes en « cinétique relativiste » en généralisant les expressions d'énergie cinétique obtenue pour un point matériel, compte-tenu du fait que l'énergie cinétique d'un système en translation est aussi l'énergie cinétique du point fictif « C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du système &lt;math&gt;\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt;» dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, expression obtenue en cinétique newtonienne et restant applicable en cinétique relativiste, on obtient ainsi l'énergie cinétique relativiste du système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_{G}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2 = \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{c^2}}} = \gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{G}^{\,2}(t)}{c^2}}}\;&lt;/math&gt;» le facteur de Lorentz &lt;ref name=&quot;Lorentz&quot; /&gt; du système en translation &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Complément : }}ou encore, en éliminant la vitesse du système en translation au profit de sa résultante cinétique relativiste et de sa masse, selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4} - m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt;, &lt;br&gt;le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4}\;&lt;/math&gt;» définissant l'énergie totale du système en translation &lt;math&gt;\;E_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; «&lt;math&gt;\;m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;&lt;/math&gt;» l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points &lt;ref name=&quot;précision sur l'énergie de masse d'un système&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;

== Énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu ==

=== Forme particulière de l’énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu ===

{{Al|5}}Une définition de l’énergie cinétique d’un point matériel «&lt;math&gt;\;M, \left( m \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cadre de la cinétique newtonienne étant «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m \left[ \vec{V}_{M}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» et le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; en mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt; et de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; s’écrivant selon «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;&lt;/math&gt;», en remplaçant un seul vecteur vitesse par l’expression de &lt;math&gt;\;K_M(t)\;&lt;/math&gt; précédemment rappelée, on en déduit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;K_M(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;m\; \vec{V}_{M}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, par permutation circulaire du produit mixte &lt;ref name=&quot;propriété du produit mixte&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] (du produit mixte) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » vérifiant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire.&lt;/ref&gt; de façon à faire apparaître le vecteur moment cinétique du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;K_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{CM}(t) \wedge  m\; \vec{V}_{M}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \vec{\sigma}_C(M,\,t)\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}ou encore, avec &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{\sigma}_C(M,\,t) = \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; dans lesquelles &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; est le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de rotation, &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire de rotation du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;&lt;/math&gt; le moment cinétique scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, l’énergie cinétique newtonienne du point matériel «&lt;math&gt;\;M, \left( m \right)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; à la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; se réécrit selon l'expression suivante &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;laquelle est la moins utilisée des trois expressions entre grandeurs scalaires établies ici et ci-après&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \overline{\Omega}(t)\; \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;/center&gt;
{{Al|5}}définissant le moment d’inertie de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;J_{\Delta}(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\;R\;&lt;/math&gt; est le rayon de la trajectoire circulaire de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, on a établi, entre le moment cinétique scalaire newtonien de ce dernier &lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;&lt;/math&gt; et sa vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;, le lien suivant «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un point en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Réécriture_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_au_centre_C_du_cercle_en_fonction,_entre_autres,_du_vecteur_rotation_instantanée|réécriture du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; dont on déduit les deux expressions importantes de l’énergie cinétique newtonienne du point matériel en rotation autour d’un axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; étant utilisée plus fréquemment que la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
=== Analogie formelle entre l’énergie cinétique newtonienne d’un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire ===

{{Al|5}}Il existe une analogie formelle entre l'une quelconque des trois formes de l'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et la forme associée de l'énergie cinétique newtonienne d’un point en mouvement circulaire selon la correspondance suivante
&lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\begin{array}{|c| |c| |c| |c|}\hline \;\text{analogie formelle} &amp; \text{grandeur cinétique vectorielle} &amp; \text{grandeur cinématique vectorielle} &amp; \text{grandeur d'inertie}\;\\ \text{mouvement quelconque} &amp; \text{vecteur quantité de mouvement «}\;\vec{p}_M(t)\;\text{»} &amp; \text{vecteur vitesse «}\;\vec{V}_M(t)\;\text{»} &amp; \text{masse «}\;m\;\text{»}\\ \updownarrow &amp; \updownarrow &amp; \updownarrow &amp; \updownarrow\\ \text{mouvement circulaire} &amp; \text{moment cinétique vectoriel «}\;\vec{\sigma}_C(M,\,t)\;\text{»} &amp; \text{vecteur rotation instantanée «}\;\vec{\Omega}(t)\;\text{»} &amp; \text{moment d'inertie «}\;J_{\Delta}(M)\;\text{»}\\ \hline\end{array}\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}ainsi pour la forme la moins utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\overrightarrow{\text{grandeur cinétique}}\cdot\overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}}{2}\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;pour un « mouvement quelconque » «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\vec{p}_M(t)\cdot\vec{V}_M(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;pour un « mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\vec{\sigma}_C(M,\,t)\cdot\vec{\Omega}(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme la plus utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{1}{2} \times \text{grandeur d'inertie} \times \left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}} \right]^2\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;pour un « mouvement quelconque » «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\, \left[ \vec{V}_M(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;pour un « mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\, \left[ \vec{\Omega}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;écrite préférentiellement &lt;br&gt;avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\; \overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme moyennement utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinétique}} \right]^2}{2 \times \text{grandeur d'inertie}}\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;pour un « mouvement quelconque » «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{p}_M(t) \right]^2}{2\;m}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;pour un « mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{\sigma}_C(M,\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta(M)}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;écrite préférentiellement &lt;br&gt;avec le moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\;\sigma_\Delta(M,\,t)\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_\Delta(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;

== Énergie cinétique newtonienne d’un « système de points en rotation » autour d’un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu ==

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer &lt;ref&gt; Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points &lt;math&gt;\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;&lt;/math&gt; tels que la droite &lt;math&gt;\;M_iM_j\;&lt;/math&gt; recoupe l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; perpendiculairement en &lt;math&gt;\;H_{i,\,j}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;les points &lt;math&gt;\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;&lt;/math&gt; ayant donc même abscisse angulaire &lt;math&gt;\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;&lt;/math&gt; on ait &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;donc indépendant de &lt;math&gt;\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;&lt;/math&gt; pour tout instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et pour tout couple &lt;math&gt;\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;&lt;/math&gt; dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et il est nécessairement fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, c'est pratiquement le seul cas envisageable ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière.

{{Al|5}}L’énergie cinétique du système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; étant définie selon «&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot; /&gt;, elle se réécrit, dans le cadre de la cinétique newtonienne, quand le système est en rotation autour d’un axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, de vitesse angulaire instantanée «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M_i)\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en factorisant par «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» et, en reconnaissant, dans le facteur restant, le moment d’inertie du système relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_{\Delta}(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2 = J_\Delta\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;r_i\;&lt;/math&gt; distance orthogonale entre &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;forme la plus utilisée &lt;ref&gt; À connaître sans hésitation.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}à l'aide du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système discret de points matériels en rotation autour d’un axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;&lt;/math&gt;» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) = J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; on peut, en éliminant la vitesse angulaire instantanée, réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;forme moyennement utilisée &lt;ref&gt; À connaître également, même si elle est moins utilisée que la forme utilisant « moment d'inertie et vitesse angulaire instantanée ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en éliminant le moment d'inertie &lt;ref name=&quot;peu intéressant&quot; /&gt; par utilisation du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système en rotation autour de l'axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;&lt;/math&gt;» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)}{\overline{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation&quot; /&gt;, on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \; \overline{\Omega}(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;forme la moins utilisée&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique]]
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        <username>Phl7605</username>
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      <comment>/* Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels */</comment>
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  | idfaculté = physique
  | numéro    = 10
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique/]]
}}

&lt;center&gt;Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique newtonienne avec un complément dans celui de la cinétique relativiste.&lt;/center&gt;

== Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière, cas d’un système en translation ==

=== Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels ===

{{Al|5}}L'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;K(t)\;&lt;/math&gt;» du système discret &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot;&gt; A priori &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; pourrait être égal à &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.&lt;/ref&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est définie, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, comme la somme de l'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;K_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» de chaque point matériel du système dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot;&gt; Cette définition est aussi applicable à un système ouvert de points matériels d'une expansion tridimensionnelle limitée par la surface de contrôle fermée fixe de cette expansion d'où le qualificatif « fermé » mis entre parenthèses mais, par la suite, nous ne considérerons que des systèmes fermés.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;

=== Expression newtonienne de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels ===

{{Al|5}}En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système discret (fermé) de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; se réécrit, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2}{2\;m_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot; /&gt; dans laquelle &lt;br&gt; &lt;math&gt;\;\vec{p}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt; est le vecteur quantité de mouvement du point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt; &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;
=== En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels ===

{{Al|5}}L’expression de l’énergie cinétique d’un système discret (fermé) de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; se réécrit, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s’écrit, en cinétique relativiste, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\;&lt;/math&gt; le facteur de Lorentz &lt;ref name=&quot;Lorentz&quot;&gt; '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928)]]''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; par '''Henri Poincaré''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''Hendrik Lorentz''' dès &lt;math&gt;1892&lt;/math&gt; pour ce dernier&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''Albert Einstein''' en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''Hendrik Lorentz''' partagea, en &lt;math&gt;1902&lt;/math&gt;, le prix Nobel de physique avec '''Pieter Zeeman (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;'''Pieter Zeeman''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en &lt;math&gt;1886\big]&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}'''Henri Poincaré (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''Albert Einstein (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en &lt;math&gt;1896&lt;/math&gt; puis suisse en &lt;math&gt;1901&lt;/math&gt; ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt;, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en &lt;math&gt;1916&lt;/math&gt; ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en &lt;math&gt;1921&lt;/math&gt; pour son explication de l'effet photoélectrique.&lt;/ref&gt; du point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt; ou encore «&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} - m_i\;c^2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot; /&gt;, &lt;br&gt;le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;&lt;/math&gt;» définissant l'énergie totale &lt;math&gt;\;E_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt; du point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;et le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;au signe près&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;m_i\;c^2\;&lt;/math&gt;» l'énergie de masse &lt;math&gt;\;E^{\,0}_{M_i}\;&lt;/math&gt; du point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;énergie de masse&quot;&gt; L'énergie de masse d'un point matériel étant une constante caractéristique u point et indépendante du référentiel.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : En définissant l'énergie totale du système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;&lt;/math&gt;» et&lt;/center&gt; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : En définissant }}l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels &lt;ref name=&quot;précision sur l'énergie de masse d'un système&quot;&gt; En effet, la présence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels entraîne une diminution de la masse du système relativement à la somme des masses de ses constituants considérés comme indépendants, cette diminution observée dans un noyau est appelée « [[w:Liaison_nucléaire#Défaut_de_masse|défaut de masse]] » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; par &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E^{\,0}_{M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;c^2\;&lt;/math&gt;», &lt;/center&gt; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique relativiste du système dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;K(t) = E(t) - E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;&lt;/math&gt;».

=== Généralisation, énergie cinétique d’un système continu de matière ===

{{Al|5}}En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, notée «&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot;&gt; Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, sa masse est donc «&lt;math&gt;\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;», son vecteur vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, son vecteur quantité de mouvement au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est «&lt;math&gt;\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]&lt;/math&gt;, son vecteur moment cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, relativement à un point origine &lt;math&gt;\;A&lt;/math&gt;, est «&lt;math&gt;\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur moment cinétique relativement au point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{volum}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]\;&lt;/math&gt; et son énergie cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;d K_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Bigg\{&lt;/math&gt;le facteur fractionnaire définissant la densité volumique d'énergie cinétique en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;K_{\text{volum}}(M,\,t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\Bigg\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt; soit encore «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt;, ce qui revient à une intégrale volumique définie selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} d K_M(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt;,&lt;/center&gt;
{{Al|12}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie }} celle d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, notée «&lt;math&gt;\;K_{\left( S \right)}(t)\;&lt;/math&gt;», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion surfacique&quot;&gt;  Un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, sa masse est donc «&lt;math&gt;\;dm = \sigma(M)\;d S_M\;&lt;/math&gt;», son vecteur vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, son vecteur quantité de mouvement au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est «&lt;math&gt;\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]&lt;/math&gt;, son vecteur moment cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, relativement au point origine &lt;math&gt;\;A&lt;/math&gt;, est «&lt;math&gt;\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur moment cinétique relativement au point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{surfac}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]\;&lt;/math&gt; et son énergie cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;d K_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Bigg\{&lt;/math&gt;le facteur fractionnaire définissant la densité surfacique d'énergie cinétique en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;K_{\text{surfac}}(M,\,t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\Bigg\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion surfacique&quot; /&gt; soit encore «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion surfacique&quot; /&gt;, ce qui revient à une intégrale surfacique définie selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; et&lt;/center&gt;
{{Al|12}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie }} celle d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, notée «&lt;math&gt;\;K_{\left( \Gamma \right)}(t)\;&lt;/math&gt;», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion linéique&quot;&gt;  Un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;, sa masse est donc «&lt;math&gt;\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;», son vecteur vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, son vecteur quantité de mouvement au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est «&lt;math&gt;\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]&lt;/math&gt;, son vecteur moment cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, relativement au point origine &lt;math&gt;\;A&lt;/math&gt;, est «&lt;math&gt;\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur moment cinétique relativement au point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{lin}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]\;&lt;/math&gt; et son énergie cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;d K_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Bigg\{&lt;/math&gt;le facteur fractionnaire définissant la densité linéique d'énergie cinétique en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;K_{\text{lin}}(M,\,t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\Bigg\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion linéique&quot; /&gt; soit encore «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion linéique&quot; /&gt;, ce qui revient à une intégrale curviligne définie selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} d K_M(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
=== Cas d'un système en translation ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en translation » ne se déforme pas, il peut donc être qualifié de « solide » au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et il est nécessairement fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière.

{{Al|5}}Considérant le système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, égal à celui de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;tous les points &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; ont le même vecteur vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\big\}&lt;/math&gt;, l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; étant définie selon &lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2 = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt; soit, en factorisant par «&lt;math&gt;\;\dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\;&lt;/math&gt;» puis en reconnaissant dans l'autre facteur «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;&lt;/math&gt;» la masse du système «&lt;math&gt;\;m_{\text{syst. en transl.}}\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; se réécrit, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot;&gt; Cette expression est encore valable, sans modification, pour un système continu de matière.&lt;/ref&gt; soit encore &lt;br&gt;l'énergie cinétique newtonienne du point fictif « C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du système &lt;math&gt;\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt;» dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}sachant que la résultante cinétique d'un système discret de points matériels s’écrit, en cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;», on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2\;m_{\text{syst. en transl.}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}une 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;très peu utilisée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; peut être établie en éliminant la masse du système au profit de la vitesse du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; et de la résultante cinétique newtonienne &lt;ref name=&quot;peu intéressant&quot;&gt; C'est peu intéressant car on élimine une constante au profit de deux grandeurs dépendant du temps.&lt;/ref&gt;, on en déduit que l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» peut se réécrire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Complément&lt;/u&gt; : On peut trouver les expressions correspondantes en « cinétique relativiste » en généralisant les expressions d'énergie cinétique obtenue pour un point matériel, compte-tenu du fait que l'énergie cinétique d'un système en translation est aussi l'énergie cinétique du point fictif « C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du système &lt;math&gt;\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt;» dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, expression obtenue en cinétique newtonienne et restant applicable en cinétique relativiste, on obtient ainsi l'énergie cinétique relativiste du système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_{G}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2 = \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{c^2}}} = \gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{G}^{\,2}(t)}{c^2}}}\;&lt;/math&gt;» le facteur de Lorentz &lt;ref name=&quot;Lorentz&quot; /&gt; du système en translation &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Complément : }}ou encore, en éliminant la vitesse du système en translation au profit de sa résultante cinétique relativiste et de sa masse, selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4} - m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt;, &lt;br&gt;le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4}\;&lt;/math&gt;» définissant l'énergie totale du système en translation &lt;math&gt;\;E_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; «&lt;math&gt;\;m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;&lt;/math&gt;» l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points &lt;ref name=&quot;précision sur l'énergie de masse d'un système&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;

== Énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu ==

=== Forme particulière de l’énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu ===

{{Al|5}}Une définition de l’énergie cinétique d’un point matériel «&lt;math&gt;\;M, \left( m \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cadre de la cinétique newtonienne étant «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m \left[ \vec{V}_{M}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» et le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; en mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt; et de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; s’écrivant selon «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;&lt;/math&gt;», en remplaçant un seul vecteur vitesse par l’expression de &lt;math&gt;\;K_M(t)\;&lt;/math&gt; précédemment rappelée, on en déduit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;K_M(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;m\; \vec{V}_{M}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, par permutation circulaire du produit mixte &lt;ref name=&quot;propriété du produit mixte&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] (du produit mixte) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » vérifiant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire.&lt;/ref&gt; de façon à faire apparaître le vecteur moment cinétique du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;K_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{CM}(t) \wedge  m\; \vec{V}_{M}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \vec{\sigma}_C(M,\,t)\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}ou encore, avec &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{\sigma}_C(M,\,t) = \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; dans lesquelles &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; est le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de rotation, &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire de rotation du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;&lt;/math&gt; le moment cinétique scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, l’énergie cinétique newtonienne du point matériel «&lt;math&gt;\;M, \left( m \right)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; à la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; se réécrit selon l'expression suivante &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;laquelle est la moins utilisée des trois expressions entre grandeurs scalaires établies ici et ci-après&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \overline{\Omega}(t)\; \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;/center&gt;
{{Al|5}}définissant le moment d’inertie de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;J_{\Delta}(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\;R\;&lt;/math&gt; est le rayon de la trajectoire circulaire de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, on a établi, entre le moment cinétique scalaire newtonien de ce dernier &lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;&lt;/math&gt; et sa vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;, le lien suivant «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un point en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Réécriture_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_au_centre_C_du_cercle_en_fonction,_entre_autres,_du_vecteur_rotation_instantanée|réécriture du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; dont on déduit les deux expressions importantes de l’énergie cinétique newtonienne du point matériel en rotation autour d’un axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; étant utilisée plus fréquemment que la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
=== Analogie formelle entre l’énergie cinétique newtonienne d’un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire ===

{{Al|5}}Il existe une analogie formelle entre l'une quelconque des trois formes de l'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et la forme associée de l'énergie cinétique newtonienne d’un point en mouvement circulaire selon la correspondance suivante
&lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\begin{array}{|c| |c| |c| |c|}\hline \;\text{analogie formelle} &amp; \text{grandeur cinétique vectorielle} &amp; \text{grandeur cinématique vectorielle} &amp; \text{grandeur d'inertie}\;\\ \text{mouvement quelconque} &amp; \text{vecteur quantité de mouvement «}\;\vec{p}_M(t)\;\text{»} &amp; \text{vecteur vitesse «}\;\vec{V}_M(t)\;\text{»} &amp; \text{masse «}\;m\;\text{»}\\ \updownarrow &amp; \updownarrow &amp; \updownarrow &amp; \updownarrow\\ \text{mouvement circulaire} &amp; \text{moment cinétique vectoriel «}\;\vec{\sigma}_C(M,\,t)\;\text{»} &amp; \text{vecteur rotation instantanée «}\;\vec{\Omega}(t)\;\text{»} &amp; \text{moment d'inertie «}\;J_{\Delta}(M)\;\text{»}\\ \hline\end{array}\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}ainsi pour la forme la moins utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\overrightarrow{\text{grandeur cinétique}}\cdot\overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}}{2}\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;pour un « mouvement quelconque » «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\vec{p}_M(t)\cdot\vec{V}_M(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;pour un « mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\vec{\sigma}_C(M,\,t)\cdot\vec{\Omega}(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme la plus utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{1}{2} \times \text{grandeur d'inertie} \times \left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}} \right]^2\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;pour un « mouvement quelconque » «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\, \left[ \vec{V}_M(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;pour un « mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\, \left[ \vec{\Omega}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;écrite préférentiellement &lt;br&gt;avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\; \overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme moyennement utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinétique}} \right]^2}{2 \times \text{grandeur d'inertie}}\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;pour un « mouvement quelconque » «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{p}_M(t) \right]^2}{2\;m}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;pour un « mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{\sigma}_C(M,\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta(M)}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;écrite préférentiellement &lt;br&gt;avec le moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\;\sigma_\Delta(M,\,t)\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_\Delta(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;

== Énergie cinétique newtonienne d’un « système de points en rotation » autour d’un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu ==

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer &lt;ref&gt; Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points &lt;math&gt;\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;&lt;/math&gt; tels que la droite &lt;math&gt;\;M_iM_j\;&lt;/math&gt; recoupe l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; perpendiculairement en &lt;math&gt;\;H_{i,\,j}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;les points &lt;math&gt;\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;&lt;/math&gt; ayant donc même abscisse angulaire &lt;math&gt;\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;&lt;/math&gt; on ait &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;donc indépendant de &lt;math&gt;\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;&lt;/math&gt; pour tout instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et pour tout couple &lt;math&gt;\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;&lt;/math&gt; dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et il est nécessairement fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, c'est pratiquement le seul cas envisageable ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière.

{{Al|5}}L’énergie cinétique du système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; étant définie selon «&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot; /&gt;, elle se réécrit, dans le cadre de la cinétique newtonienne, quand le système est en rotation autour d’un axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, de vitesse angulaire instantanée «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M_i)\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en factorisant par «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» et, en reconnaissant, dans le facteur restant, le moment d’inertie du système relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_{\Delta}(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2 = J_\Delta\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;r_i\;&lt;/math&gt; distance orthogonale entre &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;forme la plus utilisée &lt;ref&gt; À connaître sans hésitation.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}à l'aide du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système discret de points matériels en rotation autour d’un axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;&lt;/math&gt;» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) = J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; on peut, en éliminant la vitesse angulaire instantanée, réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;forme moyennement utilisée &lt;ref&gt; À connaître également, même si elle est moins utilisée que la forme utilisant « moment d'inertie et vitesse angulaire instantanée ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en éliminant le moment d'inertie &lt;ref name=&quot;peu intéressant&quot; /&gt; par utilisation du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système en rotation autour de l'axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;&lt;/math&gt;» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)}{\overline{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation&quot; /&gt;, on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \; \overline{\Omega}(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;forme la moins utilisée&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique]]
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      <comment>/* Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels */</comment>
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  | idfaculté = physique
  | numéro    = 10
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique/]]
}}

&lt;center&gt;Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique newtonienne avec un complément dans celui de la cinétique relativiste.&lt;/center&gt;

== Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière, cas d’un système en translation ==

=== Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels ===

{{Al|5}}L'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;K(t)\;&lt;/math&gt;» du système discret &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot;&gt; A priori &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; pourrait être égal à &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.&lt;/ref&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{K(t)}\;&lt;/math&gt;» du système }}est définie, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, comme la somme de l'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;K_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» de chaque point matériel du système dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot;&gt; Cette définition est aussi applicable à un système ouvert de points matériels d'une expansion tridimensionnelle limitée par la surface de contrôle fermée fixe de cette expansion d'où le qualificatif « fermé » mis entre parenthèses mais, par la suite, nous ne considérerons que des systèmes fermés.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;

=== Expression newtonienne de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels ===

{{Al|5}}En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système discret (fermé) de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; se réécrit, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2}{2\;m_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot; /&gt; dans laquelle &lt;br&gt; &lt;math&gt;\;\vec{p}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt; est le vecteur quantité de mouvement du point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt; &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;
=== En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels ===

{{Al|5}}L’expression de l’énergie cinétique d’un système discret (fermé) de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; se réécrit, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s’écrit, en cinétique relativiste, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\;&lt;/math&gt; le facteur de Lorentz &lt;ref name=&quot;Lorentz&quot;&gt; '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928)]]''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; par '''Henri Poincaré''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''Hendrik Lorentz''' dès &lt;math&gt;1892&lt;/math&gt; pour ce dernier&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''Albert Einstein''' en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''Hendrik Lorentz''' partagea, en &lt;math&gt;1902&lt;/math&gt;, le prix Nobel de physique avec '''Pieter Zeeman (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;'''Pieter Zeeman''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en &lt;math&gt;1886\big]&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}'''Henri Poincaré (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''Albert Einstein (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en &lt;math&gt;1896&lt;/math&gt; puis suisse en &lt;math&gt;1901&lt;/math&gt; ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt;, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en &lt;math&gt;1916&lt;/math&gt; ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en &lt;math&gt;1921&lt;/math&gt; pour son explication de l'effet photoélectrique.&lt;/ref&gt; du point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt; ou encore «&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} - m_i\;c^2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot; /&gt;, &lt;br&gt;le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;&lt;/math&gt;» définissant l'énergie totale &lt;math&gt;\;E_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt; du point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;et le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;au signe près&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;m_i\;c^2\;&lt;/math&gt;» l'énergie de masse &lt;math&gt;\;E^{\,0}_{M_i}\;&lt;/math&gt; du point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;énergie de masse&quot;&gt; L'énergie de masse d'un point matériel étant une constante caractéristique u point et indépendante du référentiel.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : En définissant l'énergie totale du système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;&lt;/math&gt;» et&lt;/center&gt; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : En définissant }}l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels &lt;ref name=&quot;précision sur l'énergie de masse d'un système&quot;&gt; En effet, la présence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels entraîne une diminution de la masse du système relativement à la somme des masses de ses constituants considérés comme indépendants, cette diminution observée dans un noyau est appelée « [[w:Liaison_nucléaire#Défaut_de_masse|défaut de masse]] » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; par &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E^{\,0}_{M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;c^2\;&lt;/math&gt;», &lt;/center&gt; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique relativiste du système dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;K(t) = E(t) - E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;&lt;/math&gt;».

=== Généralisation, énergie cinétique d’un système continu de matière ===

{{Al|5}}En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, notée «&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot;&gt; Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, sa masse est donc «&lt;math&gt;\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;», son vecteur vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, son vecteur quantité de mouvement au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est «&lt;math&gt;\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]&lt;/math&gt;, son vecteur moment cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, relativement à un point origine &lt;math&gt;\;A&lt;/math&gt;, est «&lt;math&gt;\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur moment cinétique relativement au point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{volum}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]\;&lt;/math&gt; et son énergie cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;d K_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Bigg\{&lt;/math&gt;le facteur fractionnaire définissant la densité volumique d'énergie cinétique en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;K_{\text{volum}}(M,\,t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\Bigg\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt; soit encore «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt;, ce qui revient à une intégrale volumique définie selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} d K_M(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt;,&lt;/center&gt;
{{Al|12}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie }} celle d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, notée «&lt;math&gt;\;K_{\left( S \right)}(t)\;&lt;/math&gt;», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion surfacique&quot;&gt;  Un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, sa masse est donc «&lt;math&gt;\;dm = \sigma(M)\;d S_M\;&lt;/math&gt;», son vecteur vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, son vecteur quantité de mouvement au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est «&lt;math&gt;\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]&lt;/math&gt;, son vecteur moment cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, relativement au point origine &lt;math&gt;\;A&lt;/math&gt;, est «&lt;math&gt;\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur moment cinétique relativement au point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{surfac}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]\;&lt;/math&gt; et son énergie cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;d K_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Bigg\{&lt;/math&gt;le facteur fractionnaire définissant la densité surfacique d'énergie cinétique en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;K_{\text{surfac}}(M,\,t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\Bigg\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion surfacique&quot; /&gt; soit encore «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion surfacique&quot; /&gt;, ce qui revient à une intégrale surfacique définie selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; et&lt;/center&gt;
{{Al|12}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie }} celle d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, notée «&lt;math&gt;\;K_{\left( \Gamma \right)}(t)\;&lt;/math&gt;», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion linéique&quot;&gt;  Un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;, sa masse est donc «&lt;math&gt;\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;», son vecteur vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, son vecteur quantité de mouvement au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est «&lt;math&gt;\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]&lt;/math&gt;, son vecteur moment cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, relativement au point origine &lt;math&gt;\;A&lt;/math&gt;, est «&lt;math&gt;\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur moment cinétique relativement au point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{lin}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]\;&lt;/math&gt; et son énergie cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;d K_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Bigg\{&lt;/math&gt;le facteur fractionnaire définissant la densité linéique d'énergie cinétique en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;K_{\text{lin}}(M,\,t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\Bigg\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion linéique&quot; /&gt; soit encore «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion linéique&quot; /&gt;, ce qui revient à une intégrale curviligne définie selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} d K_M(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
=== Cas d'un système en translation ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en translation » ne se déforme pas, il peut donc être qualifié de « solide » au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et il est nécessairement fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière.

{{Al|5}}Considérant le système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, égal à celui de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;tous les points &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; ont le même vecteur vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\big\}&lt;/math&gt;, l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; étant définie selon &lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2 = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt; soit, en factorisant par «&lt;math&gt;\;\dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\;&lt;/math&gt;» puis en reconnaissant dans l'autre facteur «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;&lt;/math&gt;» la masse du système «&lt;math&gt;\;m_{\text{syst. en transl.}}\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; se réécrit, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot;&gt; Cette expression est encore valable, sans modification, pour un système continu de matière.&lt;/ref&gt; soit encore &lt;br&gt;l'énergie cinétique newtonienne du point fictif « C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du système &lt;math&gt;\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt;» dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}sachant que la résultante cinétique d'un système discret de points matériels s’écrit, en cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;», on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2\;m_{\text{syst. en transl.}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}une 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;très peu utilisée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; peut être établie en éliminant la masse du système au profit de la vitesse du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; et de la résultante cinétique newtonienne &lt;ref name=&quot;peu intéressant&quot;&gt; C'est peu intéressant car on élimine une constante au profit de deux grandeurs dépendant du temps.&lt;/ref&gt;, on en déduit que l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» peut se réécrire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Complément&lt;/u&gt; : On peut trouver les expressions correspondantes en « cinétique relativiste » en généralisant les expressions d'énergie cinétique obtenue pour un point matériel, compte-tenu du fait que l'énergie cinétique d'un système en translation est aussi l'énergie cinétique du point fictif « C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du système &lt;math&gt;\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt;» dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, expression obtenue en cinétique newtonienne et restant applicable en cinétique relativiste, on obtient ainsi l'énergie cinétique relativiste du système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_{G}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2 = \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{c^2}}} = \gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{G}^{\,2}(t)}{c^2}}}\;&lt;/math&gt;» le facteur de Lorentz &lt;ref name=&quot;Lorentz&quot; /&gt; du système en translation &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Complément : }}ou encore, en éliminant la vitesse du système en translation au profit de sa résultante cinétique relativiste et de sa masse, selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4} - m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt;, &lt;br&gt;le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4}\;&lt;/math&gt;» définissant l'énergie totale du système en translation &lt;math&gt;\;E_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; «&lt;math&gt;\;m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;&lt;/math&gt;» l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points &lt;ref name=&quot;précision sur l'énergie de masse d'un système&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;

== Énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu ==

=== Forme particulière de l’énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu ===

{{Al|5}}Une définition de l’énergie cinétique d’un point matériel «&lt;math&gt;\;M, \left( m \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cadre de la cinétique newtonienne étant «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m \left[ \vec{V}_{M}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» et le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; en mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt; et de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; s’écrivant selon «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;&lt;/math&gt;», en remplaçant un seul vecteur vitesse par l’expression de &lt;math&gt;\;K_M(t)\;&lt;/math&gt; précédemment rappelée, on en déduit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;K_M(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;m\; \vec{V}_{M}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, par permutation circulaire du produit mixte &lt;ref name=&quot;propriété du produit mixte&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] (du produit mixte) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » vérifiant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire.&lt;/ref&gt; de façon à faire apparaître le vecteur moment cinétique du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;K_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{CM}(t) \wedge  m\; \vec{V}_{M}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \vec{\sigma}_C(M,\,t)\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}ou encore, avec &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{\sigma}_C(M,\,t) = \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; dans lesquelles &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; est le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de rotation, &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire de rotation du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;&lt;/math&gt; le moment cinétique scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, l’énergie cinétique newtonienne du point matériel «&lt;math&gt;\;M, \left( m \right)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; à la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; se réécrit selon l'expression suivante &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;laquelle est la moins utilisée des trois expressions entre grandeurs scalaires établies ici et ci-après&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \overline{\Omega}(t)\; \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;/center&gt;
{{Al|5}}définissant le moment d’inertie de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;J_{\Delta}(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\;R\;&lt;/math&gt; est le rayon de la trajectoire circulaire de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, on a établi, entre le moment cinétique scalaire newtonien de ce dernier &lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;&lt;/math&gt; et sa vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;, le lien suivant «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un point en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Réécriture_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_au_centre_C_du_cercle_en_fonction,_entre_autres,_du_vecteur_rotation_instantanée|réécriture du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; dont on déduit les deux expressions importantes de l’énergie cinétique newtonienne du point matériel en rotation autour d’un axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; étant utilisée plus fréquemment que la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
=== Analogie formelle entre l’énergie cinétique newtonienne d’un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire ===

{{Al|5}}Il existe une analogie formelle entre l'une quelconque des trois formes de l'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et la forme associée de l'énergie cinétique newtonienne d’un point en mouvement circulaire selon la correspondance suivante
&lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\begin{array}{|c| |c| |c| |c|}\hline \;\text{analogie formelle} &amp; \text{grandeur cinétique vectorielle} &amp; \text{grandeur cinématique vectorielle} &amp; \text{grandeur d'inertie}\;\\ \text{mouvement quelconque} &amp; \text{vecteur quantité de mouvement «}\;\vec{p}_M(t)\;\text{»} &amp; \text{vecteur vitesse «}\;\vec{V}_M(t)\;\text{»} &amp; \text{masse «}\;m\;\text{»}\\ \updownarrow &amp; \updownarrow &amp; \updownarrow &amp; \updownarrow\\ \text{mouvement circulaire} &amp; \text{moment cinétique vectoriel «}\;\vec{\sigma}_C(M,\,t)\;\text{»} &amp; \text{vecteur rotation instantanée «}\;\vec{\Omega}(t)\;\text{»} &amp; \text{moment d'inertie «}\;J_{\Delta}(M)\;\text{»}\\ \hline\end{array}\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}ainsi pour la forme la moins utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\overrightarrow{\text{grandeur cinétique}}\cdot\overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}}{2}\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;pour un « mouvement quelconque » «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\vec{p}_M(t)\cdot\vec{V}_M(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;pour un « mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\vec{\sigma}_C(M,\,t)\cdot\vec{\Omega}(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme la plus utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{1}{2} \times \text{grandeur d'inertie} \times \left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}} \right]^2\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;pour un « mouvement quelconque » «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\, \left[ \vec{V}_M(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;pour un « mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\, \left[ \vec{\Omega}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;écrite préférentiellement &lt;br&gt;avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\; \overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme moyennement utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinétique}} \right]^2}{2 \times \text{grandeur d'inertie}}\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;pour un « mouvement quelconque » «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{p}_M(t) \right]^2}{2\;m}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;pour un « mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{\sigma}_C(M,\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta(M)}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;écrite préférentiellement &lt;br&gt;avec le moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\;\sigma_\Delta(M,\,t)\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_\Delta(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;

== Énergie cinétique newtonienne d’un « système de points en rotation » autour d’un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu ==

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer &lt;ref&gt; Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points &lt;math&gt;\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;&lt;/math&gt; tels que la droite &lt;math&gt;\;M_iM_j\;&lt;/math&gt; recoupe l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; perpendiculairement en &lt;math&gt;\;H_{i,\,j}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;les points &lt;math&gt;\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;&lt;/math&gt; ayant donc même abscisse angulaire &lt;math&gt;\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;&lt;/math&gt; on ait &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;donc indépendant de &lt;math&gt;\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;&lt;/math&gt; pour tout instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et pour tout couple &lt;math&gt;\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;&lt;/math&gt; dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et il est nécessairement fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, c'est pratiquement le seul cas envisageable ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière.

{{Al|5}}L’énergie cinétique du système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; étant définie selon «&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot; /&gt;, elle se réécrit, dans le cadre de la cinétique newtonienne, quand le système est en rotation autour d’un axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, de vitesse angulaire instantanée «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M_i)\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en factorisant par «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» et, en reconnaissant, dans le facteur restant, le moment d’inertie du système relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_{\Delta}(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2 = J_\Delta\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;r_i\;&lt;/math&gt; distance orthogonale entre &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;forme la plus utilisée &lt;ref&gt; À connaître sans hésitation.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}à l'aide du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système discret de points matériels en rotation autour d’un axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;&lt;/math&gt;» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) = J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; on peut, en éliminant la vitesse angulaire instantanée, réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;forme moyennement utilisée &lt;ref&gt; À connaître également, même si elle est moins utilisée que la forme utilisant « moment d'inertie et vitesse angulaire instantanée ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en éliminant le moment d'inertie &lt;ref name=&quot;peu intéressant&quot; /&gt; par utilisation du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système en rotation autour de l'axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;&lt;/math&gt;» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)}{\overline{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation&quot; /&gt;, on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \; \overline{\Omega}(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;forme la moins utilisée&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique]]
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      <comment>/* Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels */</comment>
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  | idfaculté = physique
  | numéro    = 10
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique/]]
}}

&lt;center&gt;Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique newtonienne avec un complément dans celui de la cinétique relativiste.&lt;/center&gt;

== Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière, cas d’un système en translation ==

=== Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels ===

{{Al|5}}L'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;K(t)\;&lt;/math&gt;» du système discret &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot;&gt; A priori &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; pourrait être égal à &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.&lt;/ref&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{K(t)}\;&lt;/math&gt;» du système }}est définie comme la somme de l'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;K_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» de chaque point matériel du système dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot;&gt; Cette définition est aussi applicable à un système ouvert de points matériels d'une expansion tridimensionnelle limitée par la surface de contrôle fermée fixe de cette expansion d'où le qualificatif « fermé » mis entre parenthèses mais, par la suite, nous ne considérerons que des systèmes fermés.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;

=== Expression newtonienne de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels ===

{{Al|5}}En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système discret (fermé) de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; se réécrit, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2}{2\;m_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot; /&gt; dans laquelle &lt;br&gt; &lt;math&gt;\;\vec{p}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt; est le vecteur quantité de mouvement du point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt; &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;
=== En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels ===

{{Al|5}}L’expression de l’énergie cinétique d’un système discret (fermé) de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; se réécrit, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s’écrit, en cinétique relativiste, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\;&lt;/math&gt; le facteur de Lorentz &lt;ref name=&quot;Lorentz&quot;&gt; '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928)]]''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; par '''Henri Poincaré''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''Hendrik Lorentz''' dès &lt;math&gt;1892&lt;/math&gt; pour ce dernier&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''Albert Einstein''' en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''Hendrik Lorentz''' partagea, en &lt;math&gt;1902&lt;/math&gt;, le prix Nobel de physique avec '''Pieter Zeeman (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;'''Pieter Zeeman''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en &lt;math&gt;1886\big]&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}'''Henri Poincaré (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''Albert Einstein (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en &lt;math&gt;1896&lt;/math&gt; puis suisse en &lt;math&gt;1901&lt;/math&gt; ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt;, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en &lt;math&gt;1916&lt;/math&gt; ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en &lt;math&gt;1921&lt;/math&gt; pour son explication de l'effet photoélectrique.&lt;/ref&gt; du point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt; ou encore «&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} - m_i\;c^2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot; /&gt;, &lt;br&gt;le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;&lt;/math&gt;» définissant l'énergie totale &lt;math&gt;\;E_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt; du point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;et le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;au signe près&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;m_i\;c^2\;&lt;/math&gt;» l'énergie de masse &lt;math&gt;\;E^{\,0}_{M_i}\;&lt;/math&gt; du point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;énergie de masse&quot;&gt; L'énergie de masse d'un point matériel étant une constante caractéristique u point et indépendante du référentiel.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : En définissant l'énergie totale du système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;&lt;/math&gt;» et&lt;/center&gt; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : En définissant }}l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels &lt;ref name=&quot;précision sur l'énergie de masse d'un système&quot;&gt; En effet, la présence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels entraîne une diminution de la masse du système relativement à la somme des masses de ses constituants considérés comme indépendants, cette diminution observée dans un noyau est appelée « [[w:Liaison_nucléaire#Défaut_de_masse|défaut de masse]] » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; par &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E^{\,0}_{M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;c^2\;&lt;/math&gt;», &lt;/center&gt; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique relativiste du système dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;K(t) = E(t) - E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;&lt;/math&gt;».

=== Généralisation, énergie cinétique d’un système continu de matière ===

{{Al|5}}En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, notée «&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot;&gt; Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, sa masse est donc «&lt;math&gt;\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;», son vecteur vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, son vecteur quantité de mouvement au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est «&lt;math&gt;\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]&lt;/math&gt;, son vecteur moment cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, relativement à un point origine &lt;math&gt;\;A&lt;/math&gt;, est «&lt;math&gt;\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur moment cinétique relativement au point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{volum}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]\;&lt;/math&gt; et son énergie cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;d K_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Bigg\{&lt;/math&gt;le facteur fractionnaire définissant la densité volumique d'énergie cinétique en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;K_{\text{volum}}(M,\,t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\Bigg\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt; soit encore «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt;, ce qui revient à une intégrale volumique définie selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} d K_M(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt;,&lt;/center&gt;
{{Al|12}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie }} celle d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, notée «&lt;math&gt;\;K_{\left( S \right)}(t)\;&lt;/math&gt;», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion surfacique&quot;&gt;  Un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, sa masse est donc «&lt;math&gt;\;dm = \sigma(M)\;d S_M\;&lt;/math&gt;», son vecteur vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, son vecteur quantité de mouvement au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est «&lt;math&gt;\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]&lt;/math&gt;, son vecteur moment cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, relativement au point origine &lt;math&gt;\;A&lt;/math&gt;, est «&lt;math&gt;\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur moment cinétique relativement au point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{surfac}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]\;&lt;/math&gt; et son énergie cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;d K_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Bigg\{&lt;/math&gt;le facteur fractionnaire définissant la densité surfacique d'énergie cinétique en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;K_{\text{surfac}}(M,\,t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\Bigg\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion surfacique&quot; /&gt; soit encore «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion surfacique&quot; /&gt;, ce qui revient à une intégrale surfacique définie selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; et&lt;/center&gt;
{{Al|12}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie }} celle d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, notée «&lt;math&gt;\;K_{\left( \Gamma \right)}(t)\;&lt;/math&gt;», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion linéique&quot;&gt;  Un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;, sa masse est donc «&lt;math&gt;\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;», son vecteur vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, son vecteur quantité de mouvement au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est «&lt;math&gt;\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]&lt;/math&gt;, son vecteur moment cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, relativement au point origine &lt;math&gt;\;A&lt;/math&gt;, est «&lt;math&gt;\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur moment cinétique relativement au point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{lin}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]\;&lt;/math&gt; et son énergie cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;d K_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Bigg\{&lt;/math&gt;le facteur fractionnaire définissant la densité linéique d'énergie cinétique en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;K_{\text{lin}}(M,\,t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\Bigg\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion linéique&quot; /&gt; soit encore «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion linéique&quot; /&gt;, ce qui revient à une intégrale curviligne définie selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} d K_M(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
=== Cas d'un système en translation ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en translation » ne se déforme pas, il peut donc être qualifié de « solide » au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et il est nécessairement fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière.

{{Al|5}}Considérant le système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, égal à celui de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;tous les points &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; ont le même vecteur vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\big\}&lt;/math&gt;, l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; étant définie selon &lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2 = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt; soit, en factorisant par «&lt;math&gt;\;\dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\;&lt;/math&gt;» puis en reconnaissant dans l'autre facteur «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;&lt;/math&gt;» la masse du système «&lt;math&gt;\;m_{\text{syst. en transl.}}\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; se réécrit, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot;&gt; Cette expression est encore valable, sans modification, pour un système continu de matière.&lt;/ref&gt; soit encore &lt;br&gt;l'énergie cinétique newtonienne du point fictif « C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du système &lt;math&gt;\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt;» dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}sachant que la résultante cinétique d'un système discret de points matériels s’écrit, en cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;», on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2\;m_{\text{syst. en transl.}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}une 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;très peu utilisée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; peut être établie en éliminant la masse du système au profit de la vitesse du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; et de la résultante cinétique newtonienne &lt;ref name=&quot;peu intéressant&quot;&gt; C'est peu intéressant car on élimine une constante au profit de deux grandeurs dépendant du temps.&lt;/ref&gt;, on en déduit que l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» peut se réécrire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Complément&lt;/u&gt; : On peut trouver les expressions correspondantes en « cinétique relativiste » en généralisant les expressions d'énergie cinétique obtenue pour un point matériel, compte-tenu du fait que l'énergie cinétique d'un système en translation est aussi l'énergie cinétique du point fictif « C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du système &lt;math&gt;\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt;» dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, expression obtenue en cinétique newtonienne et restant applicable en cinétique relativiste, on obtient ainsi l'énergie cinétique relativiste du système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_{G}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2 = \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{c^2}}} = \gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{G}^{\,2}(t)}{c^2}}}\;&lt;/math&gt;» le facteur de Lorentz &lt;ref name=&quot;Lorentz&quot; /&gt; du système en translation &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Complément : }}ou encore, en éliminant la vitesse du système en translation au profit de sa résultante cinétique relativiste et de sa masse, selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4} - m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt;, &lt;br&gt;le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4}\;&lt;/math&gt;» définissant l'énergie totale du système en translation &lt;math&gt;\;E_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; «&lt;math&gt;\;m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;&lt;/math&gt;» l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points &lt;ref name=&quot;précision sur l'énergie de masse d'un système&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;

== Énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu ==

=== Forme particulière de l’énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu ===

{{Al|5}}Une définition de l’énergie cinétique d’un point matériel «&lt;math&gt;\;M, \left( m \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cadre de la cinétique newtonienne étant «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m \left[ \vec{V}_{M}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» et le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; en mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt; et de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; s’écrivant selon «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;&lt;/math&gt;», en remplaçant un seul vecteur vitesse par l’expression de &lt;math&gt;\;K_M(t)\;&lt;/math&gt; précédemment rappelée, on en déduit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;K_M(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;m\; \vec{V}_{M}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, par permutation circulaire du produit mixte &lt;ref name=&quot;propriété du produit mixte&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] (du produit mixte) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » vérifiant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire.&lt;/ref&gt; de façon à faire apparaître le vecteur moment cinétique du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;K_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{CM}(t) \wedge  m\; \vec{V}_{M}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \vec{\sigma}_C(M,\,t)\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}ou encore, avec &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{\sigma}_C(M,\,t) = \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; dans lesquelles &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; est le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de rotation, &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire de rotation du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;&lt;/math&gt; le moment cinétique scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, l’énergie cinétique newtonienne du point matériel «&lt;math&gt;\;M, \left( m \right)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; à la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; se réécrit selon l'expression suivante &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;laquelle est la moins utilisée des trois expressions entre grandeurs scalaires établies ici et ci-après&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \overline{\Omega}(t)\; \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;/center&gt;
{{Al|5}}définissant le moment d’inertie de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;J_{\Delta}(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\;R\;&lt;/math&gt; est le rayon de la trajectoire circulaire de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, on a établi, entre le moment cinétique scalaire newtonien de ce dernier &lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;&lt;/math&gt; et sa vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;, le lien suivant «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un point en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Réécriture_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_au_centre_C_du_cercle_en_fonction,_entre_autres,_du_vecteur_rotation_instantanée|réécriture du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; dont on déduit les deux expressions importantes de l’énergie cinétique newtonienne du point matériel en rotation autour d’un axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; étant utilisée plus fréquemment que la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
=== Analogie formelle entre l’énergie cinétique newtonienne d’un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire ===

{{Al|5}}Il existe une analogie formelle entre l'une quelconque des trois formes de l'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et la forme associée de l'énergie cinétique newtonienne d’un point en mouvement circulaire selon la correspondance suivante
&lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\begin{array}{|c| |c| |c| |c|}\hline \;\text{analogie formelle} &amp; \text{grandeur cinétique vectorielle} &amp; \text{grandeur cinématique vectorielle} &amp; \text{grandeur d'inertie}\;\\ \text{mouvement quelconque} &amp; \text{vecteur quantité de mouvement «}\;\vec{p}_M(t)\;\text{»} &amp; \text{vecteur vitesse «}\;\vec{V}_M(t)\;\text{»} &amp; \text{masse «}\;m\;\text{»}\\ \updownarrow &amp; \updownarrow &amp; \updownarrow &amp; \updownarrow\\ \text{mouvement circulaire} &amp; \text{moment cinétique vectoriel «}\;\vec{\sigma}_C(M,\,t)\;\text{»} &amp; \text{vecteur rotation instantanée «}\;\vec{\Omega}(t)\;\text{»} &amp; \text{moment d'inertie «}\;J_{\Delta}(M)\;\text{»}\\ \hline\end{array}\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}ainsi pour la forme la moins utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\overrightarrow{\text{grandeur cinétique}}\cdot\overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}}{2}\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;pour un « mouvement quelconque » «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\vec{p}_M(t)\cdot\vec{V}_M(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;pour un « mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\vec{\sigma}_C(M,\,t)\cdot\vec{\Omega}(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme la plus utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{1}{2} \times \text{grandeur d'inertie} \times \left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}} \right]^2\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;pour un « mouvement quelconque » «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\, \left[ \vec{V}_M(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;pour un « mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\, \left[ \vec{\Omega}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;écrite préférentiellement &lt;br&gt;avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\; \overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme moyennement utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinétique}} \right]^2}{2 \times \text{grandeur d'inertie}}\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;pour un « mouvement quelconque » «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{p}_M(t) \right]^2}{2\;m}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;pour un « mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{\sigma}_C(M,\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta(M)}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;écrite préférentiellement &lt;br&gt;avec le moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\;\sigma_\Delta(M,\,t)\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_\Delta(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;

== Énergie cinétique newtonienne d’un « système de points en rotation » autour d’un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu ==

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer &lt;ref&gt; Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points &lt;math&gt;\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;&lt;/math&gt; tels que la droite &lt;math&gt;\;M_iM_j\;&lt;/math&gt; recoupe l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; perpendiculairement en &lt;math&gt;\;H_{i,\,j}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;les points &lt;math&gt;\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;&lt;/math&gt; ayant donc même abscisse angulaire &lt;math&gt;\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;&lt;/math&gt; on ait &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;donc indépendant de &lt;math&gt;\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;&lt;/math&gt; pour tout instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et pour tout couple &lt;math&gt;\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;&lt;/math&gt; dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et il est nécessairement fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, c'est pratiquement le seul cas envisageable ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière.

{{Al|5}}L’énergie cinétique du système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; étant définie selon «&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot; /&gt;, elle se réécrit, dans le cadre de la cinétique newtonienne, quand le système est en rotation autour d’un axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, de vitesse angulaire instantanée «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M_i)\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en factorisant par «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» et, en reconnaissant, dans le facteur restant, le moment d’inertie du système relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_{\Delta}(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2 = J_\Delta\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;r_i\;&lt;/math&gt; distance orthogonale entre &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;forme la plus utilisée &lt;ref&gt; À connaître sans hésitation.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}à l'aide du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système discret de points matériels en rotation autour d’un axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;&lt;/math&gt;» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) = J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; on peut, en éliminant la vitesse angulaire instantanée, réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;forme moyennement utilisée &lt;ref&gt; À connaître également, même si elle est moins utilisée que la forme utilisant « moment d'inertie et vitesse angulaire instantanée ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en éliminant le moment d'inertie &lt;ref name=&quot;peu intéressant&quot; /&gt; par utilisation du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système en rotation autour de l'axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;&lt;/math&gt;» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)}{\overline{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation&quot; /&gt;, on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \; \overline{\Omega}(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;forme la moins utilisée&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique]]
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        <username>Phl7605</username>
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      <comment>/* Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels */</comment>
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  | idfaculté = physique
  | numéro    = 10
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique/]]
}}

&lt;center&gt;Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique newtonienne avec un complément dans celui de la cinétique relativiste.&lt;/center&gt;

== Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière, cas d’un système en translation ==

=== Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels ===

{{Al|5}}L'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;K(t)\;&lt;/math&gt;» du système discret &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot;&gt; A priori &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; pourrait être égal à &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.&lt;/ref&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{K(t)}\;&lt;/math&gt;» du système }}est définie comme la somme de l'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;K_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» de chaque point matériel du système dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{K(t)}\;&lt;/math&gt;» du système est définie comme la somme de l'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{K_{M_i}(t)}\;&lt;/math&gt;» de chaque point matériel }}au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot;&gt; Cette définition est aussi applicable à un système ouvert de points matériels d'une expansion tridimensionnelle limitée par la surface de contrôle fermée fixe de cette expansion d'où le qualificatif « fermé » mis entre parenthèses mais, par la suite, nous ne considérerons que des systèmes fermés.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;

=== Expression newtonienne de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels ===

{{Al|5}}En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système discret (fermé) de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; se réécrit, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2}{2\;m_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot; /&gt; dans laquelle &lt;br&gt; &lt;math&gt;\;\vec{p}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt; est le vecteur quantité de mouvement du point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt; &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;
=== En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels ===

{{Al|5}}L’expression de l’énergie cinétique d’un système discret (fermé) de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; se réécrit, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s’écrit, en cinétique relativiste, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\;&lt;/math&gt; le facteur de Lorentz &lt;ref name=&quot;Lorentz&quot;&gt; '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928)]]''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; par '''Henri Poincaré''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''Hendrik Lorentz''' dès &lt;math&gt;1892&lt;/math&gt; pour ce dernier&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''Albert Einstein''' en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''Hendrik Lorentz''' partagea, en &lt;math&gt;1902&lt;/math&gt;, le prix Nobel de physique avec '''Pieter Zeeman (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;'''Pieter Zeeman''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en &lt;math&gt;1886\big]&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}'''Henri Poincaré (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''Albert Einstein (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en &lt;math&gt;1896&lt;/math&gt; puis suisse en &lt;math&gt;1901&lt;/math&gt; ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt;, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en &lt;math&gt;1916&lt;/math&gt; ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en &lt;math&gt;1921&lt;/math&gt; pour son explication de l'effet photoélectrique.&lt;/ref&gt; du point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt; ou encore «&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} - m_i\;c^2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot; /&gt;, &lt;br&gt;le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;&lt;/math&gt;» définissant l'énergie totale &lt;math&gt;\;E_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt; du point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;et le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;au signe près&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;m_i\;c^2\;&lt;/math&gt;» l'énergie de masse &lt;math&gt;\;E^{\,0}_{M_i}\;&lt;/math&gt; du point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;énergie de masse&quot;&gt; L'énergie de masse d'un point matériel étant une constante caractéristique u point et indépendante du référentiel.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : En définissant l'énergie totale du système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;&lt;/math&gt;» et&lt;/center&gt; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : En définissant }}l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels &lt;ref name=&quot;précision sur l'énergie de masse d'un système&quot;&gt; En effet, la présence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels entraîne une diminution de la masse du système relativement à la somme des masses de ses constituants considérés comme indépendants, cette diminution observée dans un noyau est appelée « [[w:Liaison_nucléaire#Défaut_de_masse|défaut de masse]] » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; par &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E^{\,0}_{M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;c^2\;&lt;/math&gt;», &lt;/center&gt; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique relativiste du système dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;K(t) = E(t) - E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;&lt;/math&gt;».

=== Généralisation, énergie cinétique d’un système continu de matière ===

{{Al|5}}En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, notée «&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot;&gt; Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, sa masse est donc «&lt;math&gt;\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;», son vecteur vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, son vecteur quantité de mouvement au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est «&lt;math&gt;\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]&lt;/math&gt;, son vecteur moment cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, relativement à un point origine &lt;math&gt;\;A&lt;/math&gt;, est «&lt;math&gt;\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur moment cinétique relativement au point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{volum}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]\;&lt;/math&gt; et son énergie cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;d K_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Bigg\{&lt;/math&gt;le facteur fractionnaire définissant la densité volumique d'énergie cinétique en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;K_{\text{volum}}(M,\,t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\Bigg\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt; soit encore «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt;, ce qui revient à une intégrale volumique définie selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} d K_M(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt;,&lt;/center&gt;
{{Al|12}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie }} celle d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, notée «&lt;math&gt;\;K_{\left( S \right)}(t)\;&lt;/math&gt;», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion surfacique&quot;&gt;  Un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, sa masse est donc «&lt;math&gt;\;dm = \sigma(M)\;d S_M\;&lt;/math&gt;», son vecteur vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, son vecteur quantité de mouvement au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est «&lt;math&gt;\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]&lt;/math&gt;, son vecteur moment cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, relativement au point origine &lt;math&gt;\;A&lt;/math&gt;, est «&lt;math&gt;\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur moment cinétique relativement au point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{surfac}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]\;&lt;/math&gt; et son énergie cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;d K_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Bigg\{&lt;/math&gt;le facteur fractionnaire définissant la densité surfacique d'énergie cinétique en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;K_{\text{surfac}}(M,\,t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\Bigg\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion surfacique&quot; /&gt; soit encore «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion surfacique&quot; /&gt;, ce qui revient à une intégrale surfacique définie selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; et&lt;/center&gt;
{{Al|12}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie }} celle d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, notée «&lt;math&gt;\;K_{\left( \Gamma \right)}(t)\;&lt;/math&gt;», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion linéique&quot;&gt;  Un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;, sa masse est donc «&lt;math&gt;\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;», son vecteur vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, son vecteur quantité de mouvement au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est «&lt;math&gt;\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]&lt;/math&gt;, son vecteur moment cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, relativement au point origine &lt;math&gt;\;A&lt;/math&gt;, est «&lt;math&gt;\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur moment cinétique relativement au point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{lin}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]\;&lt;/math&gt; et son énergie cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;d K_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Bigg\{&lt;/math&gt;le facteur fractionnaire définissant la densité linéique d'énergie cinétique en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;K_{\text{lin}}(M,\,t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\Bigg\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion linéique&quot; /&gt; soit encore «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion linéique&quot; /&gt;, ce qui revient à une intégrale curviligne définie selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} d K_M(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
=== Cas d'un système en translation ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en translation » ne se déforme pas, il peut donc être qualifié de « solide » au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et il est nécessairement fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière.

{{Al|5}}Considérant le système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, égal à celui de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;tous les points &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; ont le même vecteur vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\big\}&lt;/math&gt;, l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; étant définie selon &lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2 = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt; soit, en factorisant par «&lt;math&gt;\;\dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\;&lt;/math&gt;» puis en reconnaissant dans l'autre facteur «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;&lt;/math&gt;» la masse du système «&lt;math&gt;\;m_{\text{syst. en transl.}}\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; se réécrit, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot;&gt; Cette expression est encore valable, sans modification, pour un système continu de matière.&lt;/ref&gt; soit encore &lt;br&gt;l'énergie cinétique newtonienne du point fictif « C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du système &lt;math&gt;\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt;» dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}sachant que la résultante cinétique d'un système discret de points matériels s’écrit, en cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;», on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2\;m_{\text{syst. en transl.}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}une 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;très peu utilisée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; peut être établie en éliminant la masse du système au profit de la vitesse du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; et de la résultante cinétique newtonienne &lt;ref name=&quot;peu intéressant&quot;&gt; C'est peu intéressant car on élimine une constante au profit de deux grandeurs dépendant du temps.&lt;/ref&gt;, on en déduit que l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» peut se réécrire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Complément&lt;/u&gt; : On peut trouver les expressions correspondantes en « cinétique relativiste » en généralisant les expressions d'énergie cinétique obtenue pour un point matériel, compte-tenu du fait que l'énergie cinétique d'un système en translation est aussi l'énergie cinétique du point fictif « C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du système &lt;math&gt;\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt;» dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, expression obtenue en cinétique newtonienne et restant applicable en cinétique relativiste, on obtient ainsi l'énergie cinétique relativiste du système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_{G}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2 = \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{c^2}}} = \gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{G}^{\,2}(t)}{c^2}}}\;&lt;/math&gt;» le facteur de Lorentz &lt;ref name=&quot;Lorentz&quot; /&gt; du système en translation &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Complément : }}ou encore, en éliminant la vitesse du système en translation au profit de sa résultante cinétique relativiste et de sa masse, selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4} - m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt;, &lt;br&gt;le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4}\;&lt;/math&gt;» définissant l'énergie totale du système en translation &lt;math&gt;\;E_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; «&lt;math&gt;\;m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;&lt;/math&gt;» l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points &lt;ref name=&quot;précision sur l'énergie de masse d'un système&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;

== Énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu ==

=== Forme particulière de l’énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu ===

{{Al|5}}Une définition de l’énergie cinétique d’un point matériel «&lt;math&gt;\;M, \left( m \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cadre de la cinétique newtonienne étant «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m \left[ \vec{V}_{M}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» et le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; en mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt; et de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; s’écrivant selon «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;&lt;/math&gt;», en remplaçant un seul vecteur vitesse par l’expression de &lt;math&gt;\;K_M(t)\;&lt;/math&gt; précédemment rappelée, on en déduit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;K_M(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;m\; \vec{V}_{M}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, par permutation circulaire du produit mixte &lt;ref name=&quot;propriété du produit mixte&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] (du produit mixte) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » vérifiant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire.&lt;/ref&gt; de façon à faire apparaître le vecteur moment cinétique du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;K_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{CM}(t) \wedge  m\; \vec{V}_{M}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \vec{\sigma}_C(M,\,t)\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}ou encore, avec &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{\sigma}_C(M,\,t) = \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; dans lesquelles &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; est le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de rotation, &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire de rotation du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;&lt;/math&gt; le moment cinétique scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, l’énergie cinétique newtonienne du point matériel «&lt;math&gt;\;M, \left( m \right)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; à la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; se réécrit selon l'expression suivante &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;laquelle est la moins utilisée des trois expressions entre grandeurs scalaires établies ici et ci-après&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \overline{\Omega}(t)\; \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;/center&gt;
{{Al|5}}définissant le moment d’inertie de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;J_{\Delta}(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\;R\;&lt;/math&gt; est le rayon de la trajectoire circulaire de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, on a établi, entre le moment cinétique scalaire newtonien de ce dernier &lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;&lt;/math&gt; et sa vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;, le lien suivant «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un point en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Réécriture_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_au_centre_C_du_cercle_en_fonction,_entre_autres,_du_vecteur_rotation_instantanée|réécriture du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; dont on déduit les deux expressions importantes de l’énergie cinétique newtonienne du point matériel en rotation autour d’un axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; étant utilisée plus fréquemment que la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
=== Analogie formelle entre l’énergie cinétique newtonienne d’un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire ===

{{Al|5}}Il existe une analogie formelle entre l'une quelconque des trois formes de l'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et la forme associée de l'énergie cinétique newtonienne d’un point en mouvement circulaire selon la correspondance suivante
&lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\begin{array}{|c| |c| |c| |c|}\hline \;\text{analogie formelle} &amp; \text{grandeur cinétique vectorielle} &amp; \text{grandeur cinématique vectorielle} &amp; \text{grandeur d'inertie}\;\\ \text{mouvement quelconque} &amp; \text{vecteur quantité de mouvement «}\;\vec{p}_M(t)\;\text{»} &amp; \text{vecteur vitesse «}\;\vec{V}_M(t)\;\text{»} &amp; \text{masse «}\;m\;\text{»}\\ \updownarrow &amp; \updownarrow &amp; \updownarrow &amp; \updownarrow\\ \text{mouvement circulaire} &amp; \text{moment cinétique vectoriel «}\;\vec{\sigma}_C(M,\,t)\;\text{»} &amp; \text{vecteur rotation instantanée «}\;\vec{\Omega}(t)\;\text{»} &amp; \text{moment d'inertie «}\;J_{\Delta}(M)\;\text{»}\\ \hline\end{array}\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}ainsi pour la forme la moins utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\overrightarrow{\text{grandeur cinétique}}\cdot\overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}}{2}\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;pour un « mouvement quelconque » «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\vec{p}_M(t)\cdot\vec{V}_M(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;pour un « mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\vec{\sigma}_C(M,\,t)\cdot\vec{\Omega}(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme la plus utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{1}{2} \times \text{grandeur d'inertie} \times \left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}} \right]^2\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;pour un « mouvement quelconque » «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\, \left[ \vec{V}_M(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;pour un « mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\, \left[ \vec{\Omega}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;écrite préférentiellement &lt;br&gt;avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\; \overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme moyennement utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinétique}} \right]^2}{2 \times \text{grandeur d'inertie}}\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;pour un « mouvement quelconque » «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{p}_M(t) \right]^2}{2\;m}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;pour un « mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{\sigma}_C(M,\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta(M)}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;écrite préférentiellement &lt;br&gt;avec le moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\;\sigma_\Delta(M,\,t)\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_\Delta(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;

== Énergie cinétique newtonienne d’un « système de points en rotation » autour d’un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu ==

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer &lt;ref&gt; Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points &lt;math&gt;\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;&lt;/math&gt; tels que la droite &lt;math&gt;\;M_iM_j\;&lt;/math&gt; recoupe l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; perpendiculairement en &lt;math&gt;\;H_{i,\,j}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;les points &lt;math&gt;\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;&lt;/math&gt; ayant donc même abscisse angulaire &lt;math&gt;\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;&lt;/math&gt; on ait &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;donc indépendant de &lt;math&gt;\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;&lt;/math&gt; pour tout instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et pour tout couple &lt;math&gt;\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;&lt;/math&gt; dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et il est nécessairement fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, c'est pratiquement le seul cas envisageable ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière.

{{Al|5}}L’énergie cinétique du système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; étant définie selon «&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot; /&gt;, elle se réécrit, dans le cadre de la cinétique newtonienne, quand le système est en rotation autour d’un axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, de vitesse angulaire instantanée «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M_i)\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en factorisant par «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» et, en reconnaissant, dans le facteur restant, le moment d’inertie du système relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_{\Delta}(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2 = J_\Delta\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;r_i\;&lt;/math&gt; distance orthogonale entre &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;forme la plus utilisée &lt;ref&gt; À connaître sans hésitation.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}à l'aide du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système discret de points matériels en rotation autour d’un axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;&lt;/math&gt;» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) = J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; on peut, en éliminant la vitesse angulaire instantanée, réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;forme moyennement utilisée &lt;ref&gt; À connaître également, même si elle est moins utilisée que la forme utilisant « moment d'inertie et vitesse angulaire instantanée ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en éliminant le moment d'inertie &lt;ref name=&quot;peu intéressant&quot; /&gt; par utilisation du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système en rotation autour de l'axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;&lt;/math&gt;» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)}{\overline{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation&quot; /&gt;, on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \; \overline{\Omega}(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;forme la moins utilisée&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique]]
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        <username>Phl7605</username>
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      <comment>/* Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels */</comment>
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  | idfaculté = physique
  | numéro    = 10
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique/]]
}}

&lt;center&gt;Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique newtonienne avec un complément dans celui de la cinétique relativiste.&lt;/center&gt;

== Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière, cas d’un système en translation ==

=== Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels ===

{{Al|5}}L'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;K(t)\;&lt;/math&gt;» du système discret &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot;&gt; A priori &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; pourrait être égal à &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.&lt;/ref&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{K(t)}\;&lt;/math&gt;» du système }}est définie comme la somme de l'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;K_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» de chaque point matériel du système dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{K(t)}\;&lt;/math&gt;» du système est définie comme la somme de l'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{K_{M_i}(t)}\;&lt;/math&gt;» de chaque point matériel }}au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{K(t)}\;&lt;/math&gt;» du système est définie comme }}«&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot;&gt; Cette définition est aussi applicable à un système ouvert de points matériels d'une expansion tridimensionnelle limitée par la surface de contrôle fermée fixe de cette expansion d'où le qualificatif « fermé » mis entre parenthèses mais, par la suite, nous ne considérerons que des systèmes fermés.&lt;/ref&gt;.

=== Expression newtonienne de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels ===

{{Al|5}}En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système discret (fermé) de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; se réécrit, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2}{2\;m_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot; /&gt; dans laquelle &lt;br&gt; &lt;math&gt;\;\vec{p}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt; est le vecteur quantité de mouvement du point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt; &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;
=== En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels ===

{{Al|5}}L’expression de l’énergie cinétique d’un système discret (fermé) de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; se réécrit, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s’écrit, en cinétique relativiste, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\;&lt;/math&gt; le facteur de Lorentz &lt;ref name=&quot;Lorentz&quot;&gt; '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928)]]''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; par '''Henri Poincaré''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''Hendrik Lorentz''' dès &lt;math&gt;1892&lt;/math&gt; pour ce dernier&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''Albert Einstein''' en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''Hendrik Lorentz''' partagea, en &lt;math&gt;1902&lt;/math&gt;, le prix Nobel de physique avec '''Pieter Zeeman (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;'''Pieter Zeeman''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en &lt;math&gt;1886\big]&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}'''Henri Poincaré (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''Albert Einstein (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en &lt;math&gt;1896&lt;/math&gt; puis suisse en &lt;math&gt;1901&lt;/math&gt; ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt;, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en &lt;math&gt;1916&lt;/math&gt; ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en &lt;math&gt;1921&lt;/math&gt; pour son explication de l'effet photoélectrique.&lt;/ref&gt; du point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt; ou encore «&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} - m_i\;c^2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot; /&gt;, &lt;br&gt;le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;&lt;/math&gt;» définissant l'énergie totale &lt;math&gt;\;E_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt; du point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;et le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;au signe près&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;m_i\;c^2\;&lt;/math&gt;» l'énergie de masse &lt;math&gt;\;E^{\,0}_{M_i}\;&lt;/math&gt; du point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;énergie de masse&quot;&gt; L'énergie de masse d'un point matériel étant une constante caractéristique u point et indépendante du référentiel.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : En définissant l'énergie totale du système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;&lt;/math&gt;» et&lt;/center&gt; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : En définissant }}l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels &lt;ref name=&quot;précision sur l'énergie de masse d'un système&quot;&gt; En effet, la présence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels entraîne une diminution de la masse du système relativement à la somme des masses de ses constituants considérés comme indépendants, cette diminution observée dans un noyau est appelée « [[w:Liaison_nucléaire#Défaut_de_masse|défaut de masse]] » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; par &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E^{\,0}_{M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;c^2\;&lt;/math&gt;», &lt;/center&gt; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique relativiste du système dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;K(t) = E(t) - E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;&lt;/math&gt;».

=== Généralisation, énergie cinétique d’un système continu de matière ===

{{Al|5}}En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, notée «&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot;&gt; Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, sa masse est donc «&lt;math&gt;\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;», son vecteur vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, son vecteur quantité de mouvement au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est «&lt;math&gt;\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]&lt;/math&gt;, son vecteur moment cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, relativement à un point origine &lt;math&gt;\;A&lt;/math&gt;, est «&lt;math&gt;\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur moment cinétique relativement au point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{volum}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]\;&lt;/math&gt; et son énergie cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;d K_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Bigg\{&lt;/math&gt;le facteur fractionnaire définissant la densité volumique d'énergie cinétique en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;K_{\text{volum}}(M,\,t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\Bigg\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt; soit encore «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt;, ce qui revient à une intégrale volumique définie selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} d K_M(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt;,&lt;/center&gt;
{{Al|12}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie }} celle d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, notée «&lt;math&gt;\;K_{\left( S \right)}(t)\;&lt;/math&gt;», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion surfacique&quot;&gt;  Un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, sa masse est donc «&lt;math&gt;\;dm = \sigma(M)\;d S_M\;&lt;/math&gt;», son vecteur vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, son vecteur quantité de mouvement au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est «&lt;math&gt;\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]&lt;/math&gt;, son vecteur moment cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, relativement au point origine &lt;math&gt;\;A&lt;/math&gt;, est «&lt;math&gt;\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur moment cinétique relativement au point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{surfac}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]\;&lt;/math&gt; et son énergie cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;d K_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Bigg\{&lt;/math&gt;le facteur fractionnaire définissant la densité surfacique d'énergie cinétique en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;K_{\text{surfac}}(M,\,t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\Bigg\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion surfacique&quot; /&gt; soit encore «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion surfacique&quot; /&gt;, ce qui revient à une intégrale surfacique définie selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; et&lt;/center&gt;
{{Al|12}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie }} celle d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, notée «&lt;math&gt;\;K_{\left( \Gamma \right)}(t)\;&lt;/math&gt;», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion linéique&quot;&gt;  Un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;, sa masse est donc «&lt;math&gt;\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;», son vecteur vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, son vecteur quantité de mouvement au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est «&lt;math&gt;\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]&lt;/math&gt;, son vecteur moment cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, relativement au point origine &lt;math&gt;\;A&lt;/math&gt;, est «&lt;math&gt;\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur moment cinétique relativement au point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{lin}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]\;&lt;/math&gt; et son énergie cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;d K_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Bigg\{&lt;/math&gt;le facteur fractionnaire définissant la densité linéique d'énergie cinétique en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;K_{\text{lin}}(M,\,t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\Bigg\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion linéique&quot; /&gt; soit encore «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion linéique&quot; /&gt;, ce qui revient à une intégrale curviligne définie selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} d K_M(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
=== Cas d'un système en translation ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en translation » ne se déforme pas, il peut donc être qualifié de « solide » au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et il est nécessairement fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière.

{{Al|5}}Considérant le système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, égal à celui de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;tous les points &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; ont le même vecteur vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\big\}&lt;/math&gt;, l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; étant définie selon &lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2 = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt; soit, en factorisant par «&lt;math&gt;\;\dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\;&lt;/math&gt;» puis en reconnaissant dans l'autre facteur «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;&lt;/math&gt;» la masse du système «&lt;math&gt;\;m_{\text{syst. en transl.}}\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; se réécrit, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot;&gt; Cette expression est encore valable, sans modification, pour un système continu de matière.&lt;/ref&gt; soit encore &lt;br&gt;l'énergie cinétique newtonienne du point fictif « C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du système &lt;math&gt;\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt;» dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}sachant que la résultante cinétique d'un système discret de points matériels s’écrit, en cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;», on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2\;m_{\text{syst. en transl.}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}une 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;très peu utilisée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; peut être établie en éliminant la masse du système au profit de la vitesse du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; et de la résultante cinétique newtonienne &lt;ref name=&quot;peu intéressant&quot;&gt; C'est peu intéressant car on élimine une constante au profit de deux grandeurs dépendant du temps.&lt;/ref&gt;, on en déduit que l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» peut se réécrire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Complément&lt;/u&gt; : On peut trouver les expressions correspondantes en « cinétique relativiste » en généralisant les expressions d'énergie cinétique obtenue pour un point matériel, compte-tenu du fait que l'énergie cinétique d'un système en translation est aussi l'énergie cinétique du point fictif « C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du système &lt;math&gt;\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt;» dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, expression obtenue en cinétique newtonienne et restant applicable en cinétique relativiste, on obtient ainsi l'énergie cinétique relativiste du système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_{G}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2 = \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{c^2}}} = \gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{G}^{\,2}(t)}{c^2}}}\;&lt;/math&gt;» le facteur de Lorentz &lt;ref name=&quot;Lorentz&quot; /&gt; du système en translation &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Complément : }}ou encore, en éliminant la vitesse du système en translation au profit de sa résultante cinétique relativiste et de sa masse, selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4} - m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt;, &lt;br&gt;le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4}\;&lt;/math&gt;» définissant l'énergie totale du système en translation &lt;math&gt;\;E_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; «&lt;math&gt;\;m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;&lt;/math&gt;» l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points &lt;ref name=&quot;précision sur l'énergie de masse d'un système&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;

== Énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu ==

=== Forme particulière de l’énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu ===

{{Al|5}}Une définition de l’énergie cinétique d’un point matériel «&lt;math&gt;\;M, \left( m \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cadre de la cinétique newtonienne étant «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m \left[ \vec{V}_{M}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» et le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; en mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt; et de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; s’écrivant selon «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;&lt;/math&gt;», en remplaçant un seul vecteur vitesse par l’expression de &lt;math&gt;\;K_M(t)\;&lt;/math&gt; précédemment rappelée, on en déduit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;K_M(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;m\; \vec{V}_{M}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, par permutation circulaire du produit mixte &lt;ref name=&quot;propriété du produit mixte&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] (du produit mixte) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » vérifiant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire.&lt;/ref&gt; de façon à faire apparaître le vecteur moment cinétique du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;K_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{CM}(t) \wedge  m\; \vec{V}_{M}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \vec{\sigma}_C(M,\,t)\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}ou encore, avec &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{\sigma}_C(M,\,t) = \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; dans lesquelles &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; est le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de rotation, &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire de rotation du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;&lt;/math&gt; le moment cinétique scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, l’énergie cinétique newtonienne du point matériel «&lt;math&gt;\;M, \left( m \right)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; à la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; se réécrit selon l'expression suivante &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;laquelle est la moins utilisée des trois expressions entre grandeurs scalaires établies ici et ci-après&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \overline{\Omega}(t)\; \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;/center&gt;
{{Al|5}}définissant le moment d’inertie de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;J_{\Delta}(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\;R\;&lt;/math&gt; est le rayon de la trajectoire circulaire de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, on a établi, entre le moment cinétique scalaire newtonien de ce dernier &lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;&lt;/math&gt; et sa vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;, le lien suivant «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un point en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Réécriture_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_au_centre_C_du_cercle_en_fonction,_entre_autres,_du_vecteur_rotation_instantanée|réécriture du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; dont on déduit les deux expressions importantes de l’énergie cinétique newtonienne du point matériel en rotation autour d’un axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; étant utilisée plus fréquemment que la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
=== Analogie formelle entre l’énergie cinétique newtonienne d’un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire ===

{{Al|5}}Il existe une analogie formelle entre l'une quelconque des trois formes de l'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et la forme associée de l'énergie cinétique newtonienne d’un point en mouvement circulaire selon la correspondance suivante
&lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\begin{array}{|c| |c| |c| |c|}\hline \;\text{analogie formelle} &amp; \text{grandeur cinétique vectorielle} &amp; \text{grandeur cinématique vectorielle} &amp; \text{grandeur d'inertie}\;\\ \text{mouvement quelconque} &amp; \text{vecteur quantité de mouvement «}\;\vec{p}_M(t)\;\text{»} &amp; \text{vecteur vitesse «}\;\vec{V}_M(t)\;\text{»} &amp; \text{masse «}\;m\;\text{»}\\ \updownarrow &amp; \updownarrow &amp; \updownarrow &amp; \updownarrow\\ \text{mouvement circulaire} &amp; \text{moment cinétique vectoriel «}\;\vec{\sigma}_C(M,\,t)\;\text{»} &amp; \text{vecteur rotation instantanée «}\;\vec{\Omega}(t)\;\text{»} &amp; \text{moment d'inertie «}\;J_{\Delta}(M)\;\text{»}\\ \hline\end{array}\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}ainsi pour la forme la moins utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\overrightarrow{\text{grandeur cinétique}}\cdot\overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}}{2}\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;pour un « mouvement quelconque » «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\vec{p}_M(t)\cdot\vec{V}_M(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;pour un « mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\vec{\sigma}_C(M,\,t)\cdot\vec{\Omega}(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme la plus utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{1}{2} \times \text{grandeur d'inertie} \times \left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}} \right]^2\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;pour un « mouvement quelconque » «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\, \left[ \vec{V}_M(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;pour un « mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\, \left[ \vec{\Omega}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;écrite préférentiellement &lt;br&gt;avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\; \overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme moyennement utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinétique}} \right]^2}{2 \times \text{grandeur d'inertie}}\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;pour un « mouvement quelconque » «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{p}_M(t) \right]^2}{2\;m}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;pour un « mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{\sigma}_C(M,\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta(M)}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;écrite préférentiellement &lt;br&gt;avec le moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\;\sigma_\Delta(M,\,t)\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_\Delta(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;

== Énergie cinétique newtonienne d’un « système de points en rotation » autour d’un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu ==

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer &lt;ref&gt; Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points &lt;math&gt;\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;&lt;/math&gt; tels que la droite &lt;math&gt;\;M_iM_j\;&lt;/math&gt; recoupe l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; perpendiculairement en &lt;math&gt;\;H_{i,\,j}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;les points &lt;math&gt;\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;&lt;/math&gt; ayant donc même abscisse angulaire &lt;math&gt;\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;&lt;/math&gt; on ait &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;donc indépendant de &lt;math&gt;\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;&lt;/math&gt; pour tout instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et pour tout couple &lt;math&gt;\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;&lt;/math&gt; dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et il est nécessairement fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, c'est pratiquement le seul cas envisageable ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière.

{{Al|5}}L’énergie cinétique du système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; étant définie selon «&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot; /&gt;, elle se réécrit, dans le cadre de la cinétique newtonienne, quand le système est en rotation autour d’un axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, de vitesse angulaire instantanée «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M_i)\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en factorisant par «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» et, en reconnaissant, dans le facteur restant, le moment d’inertie du système relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_{\Delta}(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2 = J_\Delta\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;r_i\;&lt;/math&gt; distance orthogonale entre &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;forme la plus utilisée &lt;ref&gt; À connaître sans hésitation.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}à l'aide du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système discret de points matériels en rotation autour d’un axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;&lt;/math&gt;» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) = J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; on peut, en éliminant la vitesse angulaire instantanée, réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;forme moyennement utilisée &lt;ref&gt; À connaître également, même si elle est moins utilisée que la forme utilisant « moment d'inertie et vitesse angulaire instantanée ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en éliminant le moment d'inertie &lt;ref name=&quot;peu intéressant&quot; /&gt; par utilisation du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système en rotation autour de l'axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;&lt;/math&gt;» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)}{\overline{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation&quot; /&gt;, on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \; \overline{\Omega}(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;forme la moins utilisée&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique]]
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  | idfaculté = physique
  | numéro    = 10
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique/]]
}}

&lt;center&gt;Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique newtonienne avec un complément dans celui de la cinétique relativiste.&lt;/center&gt;

== Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière, cas d’un système en translation ==

=== Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels ===

{{Al|5}}L'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;K(t)\;&lt;/math&gt;» du système discret &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot;&gt; A priori &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; pourrait être égal à &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.&lt;/ref&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{K(t)}\;&lt;/math&gt;» du système }}est définie comme la somme de l'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;K_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» de chaque point matériel du système dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{K(t)}\;&lt;/math&gt;» du système est définie comme la somme de l'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{K_{M_i}(t)}\;&lt;/math&gt;» de chaque point matériel }}au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{K(t)}\;&lt;/math&gt;» du système est définie comme }}«&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot;&gt; Cette définition est aussi applicable à un système ouvert de points matériels d'une expansion tridimensionnelle limitée par la surface de contrôle fermée fixe de cette expansion d'où le qualificatif « fermé » mis entre parenthèses mais, par la suite, nous ne considérerons que des systèmes fermés.&lt;/ref&gt;.

=== Expression newtonienne de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels ===

{{Al|5}}En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système discret &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; se réécrit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système }}dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, selon «&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2}{2\;m_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot; /&gt; dans laquelle &lt;br&gt; &lt;math&gt;\;\vec{p}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt; est le vecteur quantité de mouvement du point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt; &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;

=== En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels ===

{{Al|5}}L’expression de l’énergie cinétique d’un système discret (fermé) de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; se réécrit, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s’écrit, en cinétique relativiste, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\;&lt;/math&gt; le facteur de Lorentz &lt;ref name=&quot;Lorentz&quot;&gt; '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928)]]''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; par '''Henri Poincaré''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''Hendrik Lorentz''' dès &lt;math&gt;1892&lt;/math&gt; pour ce dernier&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''Albert Einstein''' en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''Hendrik Lorentz''' partagea, en &lt;math&gt;1902&lt;/math&gt;, le prix Nobel de physique avec '''Pieter Zeeman (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;'''Pieter Zeeman''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en &lt;math&gt;1886\big]&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}'''Henri Poincaré (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''Albert Einstein (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en &lt;math&gt;1896&lt;/math&gt; puis suisse en &lt;math&gt;1901&lt;/math&gt; ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt;, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en &lt;math&gt;1916&lt;/math&gt; ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en &lt;math&gt;1921&lt;/math&gt; pour son explication de l'effet photoélectrique.&lt;/ref&gt; du point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt; ou encore «&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} - m_i\;c^2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot; /&gt;, &lt;br&gt;le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;&lt;/math&gt;» définissant l'énergie totale &lt;math&gt;\;E_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt; du point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;et le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;au signe près&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;m_i\;c^2\;&lt;/math&gt;» l'énergie de masse &lt;math&gt;\;E^{\,0}_{M_i}\;&lt;/math&gt; du point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;énergie de masse&quot;&gt; L'énergie de masse d'un point matériel étant une constante caractéristique u point et indépendante du référentiel.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : En définissant l'énergie totale du système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;&lt;/math&gt;» et&lt;/center&gt; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : En définissant }}l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels &lt;ref name=&quot;précision sur l'énergie de masse d'un système&quot;&gt; En effet, la présence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels entraîne une diminution de la masse du système relativement à la somme des masses de ses constituants considérés comme indépendants, cette diminution observée dans un noyau est appelée « [[w:Liaison_nucléaire#Défaut_de_masse|défaut de masse]] » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; par &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E^{\,0}_{M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;c^2\;&lt;/math&gt;», &lt;/center&gt; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique relativiste du système dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;K(t) = E(t) - E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;&lt;/math&gt;».

=== Généralisation, énergie cinétique d’un système continu de matière ===

{{Al|5}}En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, notée «&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot;&gt; Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, sa masse est donc «&lt;math&gt;\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;», son vecteur vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, son vecteur quantité de mouvement au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est «&lt;math&gt;\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]&lt;/math&gt;, son vecteur moment cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, relativement à un point origine &lt;math&gt;\;A&lt;/math&gt;, est «&lt;math&gt;\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur moment cinétique relativement au point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{volum}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]\;&lt;/math&gt; et son énergie cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;d K_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Bigg\{&lt;/math&gt;le facteur fractionnaire définissant la densité volumique d'énergie cinétique en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;K_{\text{volum}}(M,\,t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\Bigg\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt; soit encore «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt;, ce qui revient à une intégrale volumique définie selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} d K_M(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt;,&lt;/center&gt;
{{Al|12}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie }} celle d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, notée «&lt;math&gt;\;K_{\left( S \right)}(t)\;&lt;/math&gt;», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion surfacique&quot;&gt;  Un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, sa masse est donc «&lt;math&gt;\;dm = \sigma(M)\;d S_M\;&lt;/math&gt;», son vecteur vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, son vecteur quantité de mouvement au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est «&lt;math&gt;\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]&lt;/math&gt;, son vecteur moment cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, relativement au point origine &lt;math&gt;\;A&lt;/math&gt;, est «&lt;math&gt;\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur moment cinétique relativement au point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{surfac}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]\;&lt;/math&gt; et son énergie cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;d K_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Bigg\{&lt;/math&gt;le facteur fractionnaire définissant la densité surfacique d'énergie cinétique en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;K_{\text{surfac}}(M,\,t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\Bigg\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion surfacique&quot; /&gt; soit encore «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion surfacique&quot; /&gt;, ce qui revient à une intégrale surfacique définie selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; et&lt;/center&gt;
{{Al|12}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie }} celle d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, notée «&lt;math&gt;\;K_{\left( \Gamma \right)}(t)\;&lt;/math&gt;», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion linéique&quot;&gt;  Un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;, sa masse est donc «&lt;math&gt;\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;», son vecteur vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, son vecteur quantité de mouvement au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est «&lt;math&gt;\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]&lt;/math&gt;, son vecteur moment cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, relativement au point origine &lt;math&gt;\;A&lt;/math&gt;, est «&lt;math&gt;\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur moment cinétique relativement au point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{lin}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]\;&lt;/math&gt; et son énergie cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;d K_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Bigg\{&lt;/math&gt;le facteur fractionnaire définissant la densité linéique d'énergie cinétique en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;K_{\text{lin}}(M,\,t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\Bigg\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion linéique&quot; /&gt; soit encore «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion linéique&quot; /&gt;, ce qui revient à une intégrale curviligne définie selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} d K_M(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
=== Cas d'un système en translation ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en translation » ne se déforme pas, il peut donc être qualifié de « solide » au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et il est nécessairement fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière.

{{Al|5}}Considérant le système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, égal à celui de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;tous les points &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; ont le même vecteur vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\big\}&lt;/math&gt;, l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; étant définie selon &lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2 = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt; soit, en factorisant par «&lt;math&gt;\;\dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\;&lt;/math&gt;» puis en reconnaissant dans l'autre facteur «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;&lt;/math&gt;» la masse du système «&lt;math&gt;\;m_{\text{syst. en transl.}}\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; se réécrit, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot;&gt; Cette expression est encore valable, sans modification, pour un système continu de matière.&lt;/ref&gt; soit encore &lt;br&gt;l'énergie cinétique newtonienne du point fictif « C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du système &lt;math&gt;\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt;» dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}sachant que la résultante cinétique d'un système discret de points matériels s’écrit, en cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;», on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2\;m_{\text{syst. en transl.}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}une 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;très peu utilisée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; peut être établie en éliminant la masse du système au profit de la vitesse du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; et de la résultante cinétique newtonienne &lt;ref name=&quot;peu intéressant&quot;&gt; C'est peu intéressant car on élimine une constante au profit de deux grandeurs dépendant du temps.&lt;/ref&gt;, on en déduit que l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» peut se réécrire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Complément&lt;/u&gt; : On peut trouver les expressions correspondantes en « cinétique relativiste » en généralisant les expressions d'énergie cinétique obtenue pour un point matériel, compte-tenu du fait que l'énergie cinétique d'un système en translation est aussi l'énergie cinétique du point fictif « C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du système &lt;math&gt;\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt;» dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, expression obtenue en cinétique newtonienne et restant applicable en cinétique relativiste, on obtient ainsi l'énergie cinétique relativiste du système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_{G}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2 = \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{c^2}}} = \gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{G}^{\,2}(t)}{c^2}}}\;&lt;/math&gt;» le facteur de Lorentz &lt;ref name=&quot;Lorentz&quot; /&gt; du système en translation &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Complément : }}ou encore, en éliminant la vitesse du système en translation au profit de sa résultante cinétique relativiste et de sa masse, selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4} - m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt;, &lt;br&gt;le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4}\;&lt;/math&gt;» définissant l'énergie totale du système en translation &lt;math&gt;\;E_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; «&lt;math&gt;\;m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;&lt;/math&gt;» l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points &lt;ref name=&quot;précision sur l'énergie de masse d'un système&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;

== Énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu ==

=== Forme particulière de l’énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu ===

{{Al|5}}Une définition de l’énergie cinétique d’un point matériel «&lt;math&gt;\;M, \left( m \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cadre de la cinétique newtonienne étant «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m \left[ \vec{V}_{M}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» et le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; en mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt; et de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; s’écrivant selon «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;&lt;/math&gt;», en remplaçant un seul vecteur vitesse par l’expression de &lt;math&gt;\;K_M(t)\;&lt;/math&gt; précédemment rappelée, on en déduit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;K_M(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;m\; \vec{V}_{M}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, par permutation circulaire du produit mixte &lt;ref name=&quot;propriété du produit mixte&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] (du produit mixte) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » vérifiant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire.&lt;/ref&gt; de façon à faire apparaître le vecteur moment cinétique du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;K_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{CM}(t) \wedge  m\; \vec{V}_{M}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \vec{\sigma}_C(M,\,t)\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}ou encore, avec &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{\sigma}_C(M,\,t) = \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; dans lesquelles &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; est le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de rotation, &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire de rotation du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;&lt;/math&gt; le moment cinétique scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, l’énergie cinétique newtonienne du point matériel «&lt;math&gt;\;M, \left( m \right)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; à la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; se réécrit selon l'expression suivante &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;laquelle est la moins utilisée des trois expressions entre grandeurs scalaires établies ici et ci-après&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \overline{\Omega}(t)\; \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;/center&gt;
{{Al|5}}définissant le moment d’inertie de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;J_{\Delta}(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\;R\;&lt;/math&gt; est le rayon de la trajectoire circulaire de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, on a établi, entre le moment cinétique scalaire newtonien de ce dernier &lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;&lt;/math&gt; et sa vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;, le lien suivant «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un point en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Réécriture_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_au_centre_C_du_cercle_en_fonction,_entre_autres,_du_vecteur_rotation_instantanée|réécriture du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; dont on déduit les deux expressions importantes de l’énergie cinétique newtonienne du point matériel en rotation autour d’un axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; étant utilisée plus fréquemment que la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
=== Analogie formelle entre l’énergie cinétique newtonienne d’un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire ===

{{Al|5}}Il existe une analogie formelle entre l'une quelconque des trois formes de l'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et la forme associée de l'énergie cinétique newtonienne d’un point en mouvement circulaire selon la correspondance suivante
&lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\begin{array}{|c| |c| |c| |c|}\hline \;\text{analogie formelle} &amp; \text{grandeur cinétique vectorielle} &amp; \text{grandeur cinématique vectorielle} &amp; \text{grandeur d'inertie}\;\\ \text{mouvement quelconque} &amp; \text{vecteur quantité de mouvement «}\;\vec{p}_M(t)\;\text{»} &amp; \text{vecteur vitesse «}\;\vec{V}_M(t)\;\text{»} &amp; \text{masse «}\;m\;\text{»}\\ \updownarrow &amp; \updownarrow &amp; \updownarrow &amp; \updownarrow\\ \text{mouvement circulaire} &amp; \text{moment cinétique vectoriel «}\;\vec{\sigma}_C(M,\,t)\;\text{»} &amp; \text{vecteur rotation instantanée «}\;\vec{\Omega}(t)\;\text{»} &amp; \text{moment d'inertie «}\;J_{\Delta}(M)\;\text{»}\\ \hline\end{array}\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}ainsi pour la forme la moins utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\overrightarrow{\text{grandeur cinétique}}\cdot\overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}}{2}\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;pour un « mouvement quelconque » «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\vec{p}_M(t)\cdot\vec{V}_M(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;pour un « mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\vec{\sigma}_C(M,\,t)\cdot\vec{\Omega}(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme la plus utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{1}{2} \times \text{grandeur d'inertie} \times \left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}} \right]^2\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;pour un « mouvement quelconque » «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\, \left[ \vec{V}_M(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;pour un « mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\, \left[ \vec{\Omega}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;écrite préférentiellement &lt;br&gt;avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\; \overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme moyennement utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinétique}} \right]^2}{2 \times \text{grandeur d'inertie}}\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;pour un « mouvement quelconque » «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{p}_M(t) \right]^2}{2\;m}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;pour un « mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{\sigma}_C(M,\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta(M)}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;écrite préférentiellement &lt;br&gt;avec le moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\;\sigma_\Delta(M,\,t)\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_\Delta(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;

== Énergie cinétique newtonienne d’un « système de points en rotation » autour d’un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu ==

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer &lt;ref&gt; Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points &lt;math&gt;\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;&lt;/math&gt; tels que la droite &lt;math&gt;\;M_iM_j\;&lt;/math&gt; recoupe l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; perpendiculairement en &lt;math&gt;\;H_{i,\,j}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;les points &lt;math&gt;\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;&lt;/math&gt; ayant donc même abscisse angulaire &lt;math&gt;\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;&lt;/math&gt; on ait &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;donc indépendant de &lt;math&gt;\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;&lt;/math&gt; pour tout instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et pour tout couple &lt;math&gt;\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;&lt;/math&gt; dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et il est nécessairement fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, c'est pratiquement le seul cas envisageable ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière.

{{Al|5}}L’énergie cinétique du système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; étant définie selon «&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot; /&gt;, elle se réécrit, dans le cadre de la cinétique newtonienne, quand le système est en rotation autour d’un axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, de vitesse angulaire instantanée «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M_i)\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en factorisant par «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» et, en reconnaissant, dans le facteur restant, le moment d’inertie du système relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_{\Delta}(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2 = J_\Delta\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;r_i\;&lt;/math&gt; distance orthogonale entre &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;forme la plus utilisée &lt;ref&gt; À connaître sans hésitation.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}à l'aide du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système discret de points matériels en rotation autour d’un axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;&lt;/math&gt;» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) = J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; on peut, en éliminant la vitesse angulaire instantanée, réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;forme moyennement utilisée &lt;ref&gt; À connaître également, même si elle est moins utilisée que la forme utilisant « moment d'inertie et vitesse angulaire instantanée ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en éliminant le moment d'inertie &lt;ref name=&quot;peu intéressant&quot; /&gt; par utilisation du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système en rotation autour de l'axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;&lt;/math&gt;» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)}{\overline{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation&quot; /&gt;, on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \; \overline{\Omega}(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;forme la moins utilisée&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique]]
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  | idfaculté = physique
  | numéro    = 10
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique/]]
}}

&lt;center&gt;Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique newtonienne avec un complément dans celui de la cinétique relativiste.&lt;/center&gt;

== Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière, cas d’un système en translation ==

=== Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels ===

{{Al|5}}L'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;K(t)\;&lt;/math&gt;» du système discret &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot;&gt; A priori &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; pourrait être égal à &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.&lt;/ref&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{K(t)}\;&lt;/math&gt;» du système }}est définie comme la somme de l'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;K_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» de chaque point matériel du système dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{K(t)}\;&lt;/math&gt;» du système est définie comme la somme de l'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{K_{M_i}(t)}\;&lt;/math&gt;» de chaque point matériel }}au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{K(t)}\;&lt;/math&gt;» du système est définie comme }}«&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot;&gt; Cette définition est aussi applicable à un système ouvert de points matériels d'une expansion tridimensionnelle limitée par la surface de contrôle fermée fixe de cette expansion d'où le qualificatif « fermé » mis entre parenthèses mais, par la suite, nous ne considérerons que des systèmes fermés.&lt;/ref&gt;.

=== Expression newtonienne de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels ===

{{Al|5}}En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système discret &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; se réécrit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système }}dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2}{2\;m_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot; /&gt; où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système dans le référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, }}&lt;math&gt;\,\vec{p}_{M_i}(t)\,&lt;/math&gt; est le vecteur quantité de mouvement du point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt; &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;

=== En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels ===

{{Al|5}}L’expression de l’énergie cinétique d’un système discret (fermé) de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; se réécrit, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s’écrit, en cinétique relativiste, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\;&lt;/math&gt; le facteur de Lorentz &lt;ref name=&quot;Lorentz&quot;&gt; '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928)]]''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; par '''Henri Poincaré''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''Hendrik Lorentz''' dès &lt;math&gt;1892&lt;/math&gt; pour ce dernier&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''Albert Einstein''' en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''Hendrik Lorentz''' partagea, en &lt;math&gt;1902&lt;/math&gt;, le prix Nobel de physique avec '''Pieter Zeeman (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;'''Pieter Zeeman''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en &lt;math&gt;1886\big]&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}'''Henri Poincaré (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''Albert Einstein (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en &lt;math&gt;1896&lt;/math&gt; puis suisse en &lt;math&gt;1901&lt;/math&gt; ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt;, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en &lt;math&gt;1916&lt;/math&gt; ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en &lt;math&gt;1921&lt;/math&gt; pour son explication de l'effet photoélectrique.&lt;/ref&gt; du point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt; ou encore «&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} - m_i\;c^2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot; /&gt;, &lt;br&gt;le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;&lt;/math&gt;» définissant l'énergie totale &lt;math&gt;\;E_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt; du point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;et le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;au signe près&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;m_i\;c^2\;&lt;/math&gt;» l'énergie de masse &lt;math&gt;\;E^{\,0}_{M_i}\;&lt;/math&gt; du point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;énergie de masse&quot;&gt; L'énergie de masse d'un point matériel étant une constante caractéristique u point et indépendante du référentiel.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : En définissant l'énergie totale du système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;&lt;/math&gt;» et&lt;/center&gt; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : En définissant }}l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels &lt;ref name=&quot;précision sur l'énergie de masse d'un système&quot;&gt; En effet, la présence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels entraîne une diminution de la masse du système relativement à la somme des masses de ses constituants considérés comme indépendants, cette diminution observée dans un noyau est appelée « [[w:Liaison_nucléaire#Défaut_de_masse|défaut de masse]] » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; par &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E^{\,0}_{M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;c^2\;&lt;/math&gt;», &lt;/center&gt; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique relativiste du système dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;K(t) = E(t) - E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;&lt;/math&gt;».

=== Généralisation, énergie cinétique d’un système continu de matière ===

{{Al|5}}En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, notée «&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot;&gt; Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, sa masse est donc «&lt;math&gt;\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;», son vecteur vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, son vecteur quantité de mouvement au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est «&lt;math&gt;\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]&lt;/math&gt;, son vecteur moment cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, relativement à un point origine &lt;math&gt;\;A&lt;/math&gt;, est «&lt;math&gt;\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur moment cinétique relativement au point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{volum}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]\;&lt;/math&gt; et son énergie cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;d K_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Bigg\{&lt;/math&gt;le facteur fractionnaire définissant la densité volumique d'énergie cinétique en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;K_{\text{volum}}(M,\,t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\Bigg\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt; soit encore «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt;, ce qui revient à une intégrale volumique définie selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} d K_M(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt;,&lt;/center&gt;
{{Al|12}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie }} celle d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, notée «&lt;math&gt;\;K_{\left( S \right)}(t)\;&lt;/math&gt;», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion surfacique&quot;&gt;  Un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, sa masse est donc «&lt;math&gt;\;dm = \sigma(M)\;d S_M\;&lt;/math&gt;», son vecteur vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, son vecteur quantité de mouvement au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est «&lt;math&gt;\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]&lt;/math&gt;, son vecteur moment cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, relativement au point origine &lt;math&gt;\;A&lt;/math&gt;, est «&lt;math&gt;\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur moment cinétique relativement au point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{surfac}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]\;&lt;/math&gt; et son énergie cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;d K_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Bigg\{&lt;/math&gt;le facteur fractionnaire définissant la densité surfacique d'énergie cinétique en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;K_{\text{surfac}}(M,\,t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\Bigg\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion surfacique&quot; /&gt; soit encore «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion surfacique&quot; /&gt;, ce qui revient à une intégrale surfacique définie selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; et&lt;/center&gt;
{{Al|12}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie }} celle d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, notée «&lt;math&gt;\;K_{\left( \Gamma \right)}(t)\;&lt;/math&gt;», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion linéique&quot;&gt;  Un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;, sa masse est donc «&lt;math&gt;\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;», son vecteur vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, son vecteur quantité de mouvement au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est «&lt;math&gt;\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]&lt;/math&gt;, son vecteur moment cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, relativement au point origine &lt;math&gt;\;A&lt;/math&gt;, est «&lt;math&gt;\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur moment cinétique relativement au point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{lin}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]\;&lt;/math&gt; et son énergie cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;d K_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Bigg\{&lt;/math&gt;le facteur fractionnaire définissant la densité linéique d'énergie cinétique en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;K_{\text{lin}}(M,\,t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\Bigg\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion linéique&quot; /&gt; soit encore «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion linéique&quot; /&gt;, ce qui revient à une intégrale curviligne définie selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} d K_M(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
=== Cas d'un système en translation ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en translation » ne se déforme pas, il peut donc être qualifié de « solide » au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et il est nécessairement fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière.

{{Al|5}}Considérant le système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, égal à celui de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;tous les points &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; ont le même vecteur vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\big\}&lt;/math&gt;, l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; étant définie selon &lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2 = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt; soit, en factorisant par «&lt;math&gt;\;\dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\;&lt;/math&gt;» puis en reconnaissant dans l'autre facteur «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;&lt;/math&gt;» la masse du système «&lt;math&gt;\;m_{\text{syst. en transl.}}\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; se réécrit, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot;&gt; Cette expression est encore valable, sans modification, pour un système continu de matière.&lt;/ref&gt; soit encore &lt;br&gt;l'énergie cinétique newtonienne du point fictif « C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du système &lt;math&gt;\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt;» dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}sachant que la résultante cinétique d'un système discret de points matériels s’écrit, en cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;», on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2\;m_{\text{syst. en transl.}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}une 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;très peu utilisée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; peut être établie en éliminant la masse du système au profit de la vitesse du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; et de la résultante cinétique newtonienne &lt;ref name=&quot;peu intéressant&quot;&gt; C'est peu intéressant car on élimine une constante au profit de deux grandeurs dépendant du temps.&lt;/ref&gt;, on en déduit que l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» peut se réécrire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Complément&lt;/u&gt; : On peut trouver les expressions correspondantes en « cinétique relativiste » en généralisant les expressions d'énergie cinétique obtenue pour un point matériel, compte-tenu du fait que l'énergie cinétique d'un système en translation est aussi l'énergie cinétique du point fictif « C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du système &lt;math&gt;\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt;» dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, expression obtenue en cinétique newtonienne et restant applicable en cinétique relativiste, on obtient ainsi l'énergie cinétique relativiste du système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_{G}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2 = \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{c^2}}} = \gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{G}^{\,2}(t)}{c^2}}}\;&lt;/math&gt;» le facteur de Lorentz &lt;ref name=&quot;Lorentz&quot; /&gt; du système en translation &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Complément : }}ou encore, en éliminant la vitesse du système en translation au profit de sa résultante cinétique relativiste et de sa masse, selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4} - m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt;, &lt;br&gt;le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4}\;&lt;/math&gt;» définissant l'énergie totale du système en translation &lt;math&gt;\;E_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; «&lt;math&gt;\;m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;&lt;/math&gt;» l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points &lt;ref name=&quot;précision sur l'énergie de masse d'un système&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;

== Énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu ==

=== Forme particulière de l’énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu ===

{{Al|5}}Une définition de l’énergie cinétique d’un point matériel «&lt;math&gt;\;M, \left( m \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cadre de la cinétique newtonienne étant «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m \left[ \vec{V}_{M}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» et le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; en mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt; et de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; s’écrivant selon «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;&lt;/math&gt;», en remplaçant un seul vecteur vitesse par l’expression de &lt;math&gt;\;K_M(t)\;&lt;/math&gt; précédemment rappelée, on en déduit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;K_M(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;m\; \vec{V}_{M}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, par permutation circulaire du produit mixte &lt;ref name=&quot;propriété du produit mixte&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] (du produit mixte) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » vérifiant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire.&lt;/ref&gt; de façon à faire apparaître le vecteur moment cinétique du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;K_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{CM}(t) \wedge  m\; \vec{V}_{M}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \vec{\sigma}_C(M,\,t)\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}ou encore, avec &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{\sigma}_C(M,\,t) = \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; dans lesquelles &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; est le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de rotation, &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire de rotation du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;&lt;/math&gt; le moment cinétique scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, l’énergie cinétique newtonienne du point matériel «&lt;math&gt;\;M, \left( m \right)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; à la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; se réécrit selon l'expression suivante &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;laquelle est la moins utilisée des trois expressions entre grandeurs scalaires établies ici et ci-après&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \overline{\Omega}(t)\; \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;/center&gt;
{{Al|5}}définissant le moment d’inertie de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;J_{\Delta}(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\;R\;&lt;/math&gt; est le rayon de la trajectoire circulaire de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, on a établi, entre le moment cinétique scalaire newtonien de ce dernier &lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;&lt;/math&gt; et sa vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;, le lien suivant «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un point en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Réécriture_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_au_centre_C_du_cercle_en_fonction,_entre_autres,_du_vecteur_rotation_instantanée|réécriture du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; dont on déduit les deux expressions importantes de l’énergie cinétique newtonienne du point matériel en rotation autour d’un axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; étant utilisée plus fréquemment que la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
=== Analogie formelle entre l’énergie cinétique newtonienne d’un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire ===

{{Al|5}}Il existe une analogie formelle entre l'une quelconque des trois formes de l'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et la forme associée de l'énergie cinétique newtonienne d’un point en mouvement circulaire selon la correspondance suivante
&lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\begin{array}{|c| |c| |c| |c|}\hline \;\text{analogie formelle} &amp; \text{grandeur cinétique vectorielle} &amp; \text{grandeur cinématique vectorielle} &amp; \text{grandeur d'inertie}\;\\ \text{mouvement quelconque} &amp; \text{vecteur quantité de mouvement «}\;\vec{p}_M(t)\;\text{»} &amp; \text{vecteur vitesse «}\;\vec{V}_M(t)\;\text{»} &amp; \text{masse «}\;m\;\text{»}\\ \updownarrow &amp; \updownarrow &amp; \updownarrow &amp; \updownarrow\\ \text{mouvement circulaire} &amp; \text{moment cinétique vectoriel «}\;\vec{\sigma}_C(M,\,t)\;\text{»} &amp; \text{vecteur rotation instantanée «}\;\vec{\Omega}(t)\;\text{»} &amp; \text{moment d'inertie «}\;J_{\Delta}(M)\;\text{»}\\ \hline\end{array}\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}ainsi pour la forme la moins utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\overrightarrow{\text{grandeur cinétique}}\cdot\overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}}{2}\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;pour un « mouvement quelconque » «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\vec{p}_M(t)\cdot\vec{V}_M(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;pour un « mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\vec{\sigma}_C(M,\,t)\cdot\vec{\Omega}(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme la plus utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{1}{2} \times \text{grandeur d'inertie} \times \left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}} \right]^2\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;pour un « mouvement quelconque » «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\, \left[ \vec{V}_M(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;pour un « mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\, \left[ \vec{\Omega}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;écrite préférentiellement &lt;br&gt;avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\; \overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme moyennement utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinétique}} \right]^2}{2 \times \text{grandeur d'inertie}}\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;pour un « mouvement quelconque » «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{p}_M(t) \right]^2}{2\;m}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;pour un « mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{\sigma}_C(M,\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta(M)}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;écrite préférentiellement &lt;br&gt;avec le moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\;\sigma_\Delta(M,\,t)\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_\Delta(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;

== Énergie cinétique newtonienne d’un « système de points en rotation » autour d’un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu ==

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer &lt;ref&gt; Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points &lt;math&gt;\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;&lt;/math&gt; tels que la droite &lt;math&gt;\;M_iM_j\;&lt;/math&gt; recoupe l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; perpendiculairement en &lt;math&gt;\;H_{i,\,j}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;les points &lt;math&gt;\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;&lt;/math&gt; ayant donc même abscisse angulaire &lt;math&gt;\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;&lt;/math&gt; on ait &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;donc indépendant de &lt;math&gt;\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;&lt;/math&gt; pour tout instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et pour tout couple &lt;math&gt;\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;&lt;/math&gt; dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et il est nécessairement fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, c'est pratiquement le seul cas envisageable ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière.

{{Al|5}}L’énergie cinétique du système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; étant définie selon «&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot; /&gt;, elle se réécrit, dans le cadre de la cinétique newtonienne, quand le système est en rotation autour d’un axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, de vitesse angulaire instantanée «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M_i)\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en factorisant par «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» et, en reconnaissant, dans le facteur restant, le moment d’inertie du système relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_{\Delta}(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2 = J_\Delta\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;r_i\;&lt;/math&gt; distance orthogonale entre &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;forme la plus utilisée &lt;ref&gt; À connaître sans hésitation.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}à l'aide du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système discret de points matériels en rotation autour d’un axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;&lt;/math&gt;» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) = J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; on peut, en éliminant la vitesse angulaire instantanée, réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;forme moyennement utilisée &lt;ref&gt; À connaître également, même si elle est moins utilisée que la forme utilisant « moment d'inertie et vitesse angulaire instantanée ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en éliminant le moment d'inertie &lt;ref name=&quot;peu intéressant&quot; /&gt; par utilisation du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système en rotation autour de l'axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;&lt;/math&gt;» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)}{\overline{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation&quot; /&gt;, on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \; \overline{\Omega}(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;forme la moins utilisée&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique]]
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      <comment>/* Expression newtonienne de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels */</comment>
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  | idfaculté = physique
  | numéro    = 10
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique/]]
}}

&lt;center&gt;Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique newtonienne avec un complément dans celui de la cinétique relativiste.&lt;/center&gt;

== Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière, cas d’un système en translation ==

=== Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels ===

{{Al|5}}L'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;K(t)\;&lt;/math&gt;» du système discret &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot;&gt; A priori &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; pourrait être égal à &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.&lt;/ref&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{K(t)}\;&lt;/math&gt;» du système }}est définie comme la somme de l'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;K_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» de chaque point matériel du système dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{K(t)}\;&lt;/math&gt;» du système est définie comme la somme de l'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{K_{M_i}(t)}\;&lt;/math&gt;» de chaque point matériel }}au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{K(t)}\;&lt;/math&gt;» du système est définie comme }}«&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot;&gt; Cette définition est aussi applicable à un système ouvert de points matériels d'une expansion tridimensionnelle limitée par la surface de contrôle fermée fixe de cette expansion d'où le qualificatif « fermé » mis entre parenthèses mais, par la suite, nous ne considérerons que des systèmes fermés.&lt;/ref&gt;.

=== Expression newtonienne de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels ===

{{Al|5}}En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système discret &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; se réécrit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système }}dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2}{2\;m_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot; /&gt; où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système dans le référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, }}&lt;math&gt;\,\vec{p}_{M_i}(t)\,&lt;/math&gt; est le vecteur quantité de mouvement de &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt; &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;

=== En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels ===

{{Al|5}}L’expression de l’énergie cinétique d’un système discret (fermé) de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; se réécrit, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s’écrit, en cinétique relativiste, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\;&lt;/math&gt; le facteur de Lorentz &lt;ref name=&quot;Lorentz&quot;&gt; '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928)]]''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; par '''Henri Poincaré''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''Hendrik Lorentz''' dès &lt;math&gt;1892&lt;/math&gt; pour ce dernier&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''Albert Einstein''' en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''Hendrik Lorentz''' partagea, en &lt;math&gt;1902&lt;/math&gt;, le prix Nobel de physique avec '''Pieter Zeeman (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;'''Pieter Zeeman''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en &lt;math&gt;1886\big]&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}'''Henri Poincaré (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''Albert Einstein (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en &lt;math&gt;1896&lt;/math&gt; puis suisse en &lt;math&gt;1901&lt;/math&gt; ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt;, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en &lt;math&gt;1916&lt;/math&gt; ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en &lt;math&gt;1921&lt;/math&gt; pour son explication de l'effet photoélectrique.&lt;/ref&gt; du point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt; ou encore «&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} - m_i\;c^2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot; /&gt;, &lt;br&gt;le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;&lt;/math&gt;» définissant l'énergie totale &lt;math&gt;\;E_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt; du point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;et le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;au signe près&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;m_i\;c^2\;&lt;/math&gt;» l'énergie de masse &lt;math&gt;\;E^{\,0}_{M_i}\;&lt;/math&gt; du point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;énergie de masse&quot;&gt; L'énergie de masse d'un point matériel étant une constante caractéristique u point et indépendante du référentiel.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : En définissant l'énergie totale du système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;&lt;/math&gt;» et&lt;/center&gt; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : En définissant }}l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels &lt;ref name=&quot;précision sur l'énergie de masse d'un système&quot;&gt; En effet, la présence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels entraîne une diminution de la masse du système relativement à la somme des masses de ses constituants considérés comme indépendants, cette diminution observée dans un noyau est appelée « [[w:Liaison_nucléaire#Défaut_de_masse|défaut de masse]] » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; par &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E^{\,0}_{M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;c^2\;&lt;/math&gt;», &lt;/center&gt; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique relativiste du système dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;K(t) = E(t) - E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;&lt;/math&gt;».

=== Généralisation, énergie cinétique d’un système continu de matière ===

{{Al|5}}En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, notée «&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot;&gt; Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, sa masse est donc «&lt;math&gt;\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;», son vecteur vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, son vecteur quantité de mouvement au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est «&lt;math&gt;\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]&lt;/math&gt;, son vecteur moment cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, relativement à un point origine &lt;math&gt;\;A&lt;/math&gt;, est «&lt;math&gt;\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur moment cinétique relativement au point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{volum}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]\;&lt;/math&gt; et son énergie cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;d K_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Bigg\{&lt;/math&gt;le facteur fractionnaire définissant la densité volumique d'énergie cinétique en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;K_{\text{volum}}(M,\,t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\Bigg\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt; soit encore «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt;, ce qui revient à une intégrale volumique définie selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} d K_M(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt;,&lt;/center&gt;
{{Al|12}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie }} celle d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, notée «&lt;math&gt;\;K_{\left( S \right)}(t)\;&lt;/math&gt;», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion surfacique&quot;&gt;  Un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, sa masse est donc «&lt;math&gt;\;dm = \sigma(M)\;d S_M\;&lt;/math&gt;», son vecteur vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, son vecteur quantité de mouvement au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est «&lt;math&gt;\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]&lt;/math&gt;, son vecteur moment cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, relativement au point origine &lt;math&gt;\;A&lt;/math&gt;, est «&lt;math&gt;\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur moment cinétique relativement au point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{surfac}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]\;&lt;/math&gt; et son énergie cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;d K_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Bigg\{&lt;/math&gt;le facteur fractionnaire définissant la densité surfacique d'énergie cinétique en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;K_{\text{surfac}}(M,\,t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\Bigg\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion surfacique&quot; /&gt; soit encore «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion surfacique&quot; /&gt;, ce qui revient à une intégrale surfacique définie selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; et&lt;/center&gt;
{{Al|12}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie }} celle d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, notée «&lt;math&gt;\;K_{\left( \Gamma \right)}(t)\;&lt;/math&gt;», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion linéique&quot;&gt;  Un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;, sa masse est donc «&lt;math&gt;\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;», son vecteur vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, son vecteur quantité de mouvement au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est «&lt;math&gt;\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]&lt;/math&gt;, son vecteur moment cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, relativement au point origine &lt;math&gt;\;A&lt;/math&gt;, est «&lt;math&gt;\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur moment cinétique relativement au point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{lin}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]\;&lt;/math&gt; et son énergie cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;d K_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Bigg\{&lt;/math&gt;le facteur fractionnaire définissant la densité linéique d'énergie cinétique en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;K_{\text{lin}}(M,\,t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\Bigg\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion linéique&quot; /&gt; soit encore «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion linéique&quot; /&gt;, ce qui revient à une intégrale curviligne définie selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} d K_M(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
=== Cas d'un système en translation ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en translation » ne se déforme pas, il peut donc être qualifié de « solide » au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et il est nécessairement fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière.

{{Al|5}}Considérant le système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, égal à celui de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;tous les points &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; ont le même vecteur vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\big\}&lt;/math&gt;, l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; étant définie selon &lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2 = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt; soit, en factorisant par «&lt;math&gt;\;\dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\;&lt;/math&gt;» puis en reconnaissant dans l'autre facteur «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;&lt;/math&gt;» la masse du système «&lt;math&gt;\;m_{\text{syst. en transl.}}\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; se réécrit, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot;&gt; Cette expression est encore valable, sans modification, pour un système continu de matière.&lt;/ref&gt; soit encore &lt;br&gt;l'énergie cinétique newtonienne du point fictif « C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du système &lt;math&gt;\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt;» dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}sachant que la résultante cinétique d'un système discret de points matériels s’écrit, en cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;», on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2\;m_{\text{syst. en transl.}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}une 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;très peu utilisée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; peut être établie en éliminant la masse du système au profit de la vitesse du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; et de la résultante cinétique newtonienne &lt;ref name=&quot;peu intéressant&quot;&gt; C'est peu intéressant car on élimine une constante au profit de deux grandeurs dépendant du temps.&lt;/ref&gt;, on en déduit que l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» peut se réécrire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Complément&lt;/u&gt; : On peut trouver les expressions correspondantes en « cinétique relativiste » en généralisant les expressions d'énergie cinétique obtenue pour un point matériel, compte-tenu du fait que l'énergie cinétique d'un système en translation est aussi l'énergie cinétique du point fictif « C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du système &lt;math&gt;\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt;» dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, expression obtenue en cinétique newtonienne et restant applicable en cinétique relativiste, on obtient ainsi l'énergie cinétique relativiste du système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_{G}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2 = \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{c^2}}} = \gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{G}^{\,2}(t)}{c^2}}}\;&lt;/math&gt;» le facteur de Lorentz &lt;ref name=&quot;Lorentz&quot; /&gt; du système en translation &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Complément : }}ou encore, en éliminant la vitesse du système en translation au profit de sa résultante cinétique relativiste et de sa masse, selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4} - m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt;, &lt;br&gt;le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4}\;&lt;/math&gt;» définissant l'énergie totale du système en translation &lt;math&gt;\;E_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; «&lt;math&gt;\;m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;&lt;/math&gt;» l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points &lt;ref name=&quot;précision sur l'énergie de masse d'un système&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;

== Énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu ==

=== Forme particulière de l’énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu ===

{{Al|5}}Une définition de l’énergie cinétique d’un point matériel «&lt;math&gt;\;M, \left( m \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cadre de la cinétique newtonienne étant «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m \left[ \vec{V}_{M}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» et le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; en mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt; et de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; s’écrivant selon «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;&lt;/math&gt;», en remplaçant un seul vecteur vitesse par l’expression de &lt;math&gt;\;K_M(t)\;&lt;/math&gt; précédemment rappelée, on en déduit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;K_M(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;m\; \vec{V}_{M}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, par permutation circulaire du produit mixte &lt;ref name=&quot;propriété du produit mixte&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] (du produit mixte) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » vérifiant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire.&lt;/ref&gt; de façon à faire apparaître le vecteur moment cinétique du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;K_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{CM}(t) \wedge  m\; \vec{V}_{M}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \vec{\sigma}_C(M,\,t)\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}ou encore, avec &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{\sigma}_C(M,\,t) = \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; dans lesquelles &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; est le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de rotation, &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire de rotation du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;&lt;/math&gt; le moment cinétique scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, l’énergie cinétique newtonienne du point matériel «&lt;math&gt;\;M, \left( m \right)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; à la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; se réécrit selon l'expression suivante &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;laquelle est la moins utilisée des trois expressions entre grandeurs scalaires établies ici et ci-après&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \overline{\Omega}(t)\; \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;/center&gt;
{{Al|5}}définissant le moment d’inertie de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;J_{\Delta}(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\;R\;&lt;/math&gt; est le rayon de la trajectoire circulaire de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, on a établi, entre le moment cinétique scalaire newtonien de ce dernier &lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;&lt;/math&gt; et sa vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;, le lien suivant «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un point en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Réécriture_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_au_centre_C_du_cercle_en_fonction,_entre_autres,_du_vecteur_rotation_instantanée|réécriture du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; dont on déduit les deux expressions importantes de l’énergie cinétique newtonienne du point matériel en rotation autour d’un axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; étant utilisée plus fréquemment que la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
=== Analogie formelle entre l’énergie cinétique newtonienne d’un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire ===

{{Al|5}}Il existe une analogie formelle entre l'une quelconque des trois formes de l'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et la forme associée de l'énergie cinétique newtonienne d’un point en mouvement circulaire selon la correspondance suivante
&lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\begin{array}{|c| |c| |c| |c|}\hline \;\text{analogie formelle} &amp; \text{grandeur cinétique vectorielle} &amp; \text{grandeur cinématique vectorielle} &amp; \text{grandeur d'inertie}\;\\ \text{mouvement quelconque} &amp; \text{vecteur quantité de mouvement «}\;\vec{p}_M(t)\;\text{»} &amp; \text{vecteur vitesse «}\;\vec{V}_M(t)\;\text{»} &amp; \text{masse «}\;m\;\text{»}\\ \updownarrow &amp; \updownarrow &amp; \updownarrow &amp; \updownarrow\\ \text{mouvement circulaire} &amp; \text{moment cinétique vectoriel «}\;\vec{\sigma}_C(M,\,t)\;\text{»} &amp; \text{vecteur rotation instantanée «}\;\vec{\Omega}(t)\;\text{»} &amp; \text{moment d'inertie «}\;J_{\Delta}(M)\;\text{»}\\ \hline\end{array}\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}ainsi pour la forme la moins utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\overrightarrow{\text{grandeur cinétique}}\cdot\overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}}{2}\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;pour un « mouvement quelconque » «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\vec{p}_M(t)\cdot\vec{V}_M(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;pour un « mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\vec{\sigma}_C(M,\,t)\cdot\vec{\Omega}(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme la plus utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{1}{2} \times \text{grandeur d'inertie} \times \left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}} \right]^2\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;pour un « mouvement quelconque » «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\, \left[ \vec{V}_M(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;pour un « mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\, \left[ \vec{\Omega}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;écrite préférentiellement &lt;br&gt;avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\; \overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme moyennement utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinétique}} \right]^2}{2 \times \text{grandeur d'inertie}}\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;pour un « mouvement quelconque » «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{p}_M(t) \right]^2}{2\;m}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;pour un « mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{\sigma}_C(M,\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta(M)}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;écrite préférentiellement &lt;br&gt;avec le moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\;\sigma_\Delta(M,\,t)\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_\Delta(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;

== Énergie cinétique newtonienne d’un « système de points en rotation » autour d’un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu ==

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer &lt;ref&gt; Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points &lt;math&gt;\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;&lt;/math&gt; tels que la droite &lt;math&gt;\;M_iM_j\;&lt;/math&gt; recoupe l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; perpendiculairement en &lt;math&gt;\;H_{i,\,j}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;les points &lt;math&gt;\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;&lt;/math&gt; ayant donc même abscisse angulaire &lt;math&gt;\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;&lt;/math&gt; on ait &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;donc indépendant de &lt;math&gt;\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;&lt;/math&gt; pour tout instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et pour tout couple &lt;math&gt;\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;&lt;/math&gt; dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et il est nécessairement fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, c'est pratiquement le seul cas envisageable ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière.

{{Al|5}}L’énergie cinétique du système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; étant définie selon «&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot; /&gt;, elle se réécrit, dans le cadre de la cinétique newtonienne, quand le système est en rotation autour d’un axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, de vitesse angulaire instantanée «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M_i)\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en factorisant par «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» et, en reconnaissant, dans le facteur restant, le moment d’inertie du système relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_{\Delta}(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2 = J_\Delta\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;r_i\;&lt;/math&gt; distance orthogonale entre &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;forme la plus utilisée &lt;ref&gt; À connaître sans hésitation.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}à l'aide du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système discret de points matériels en rotation autour d’un axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;&lt;/math&gt;» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) = J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; on peut, en éliminant la vitesse angulaire instantanée, réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;forme moyennement utilisée &lt;ref&gt; À connaître également, même si elle est moins utilisée que la forme utilisant « moment d'inertie et vitesse angulaire instantanée ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en éliminant le moment d'inertie &lt;ref name=&quot;peu intéressant&quot; /&gt; par utilisation du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système en rotation autour de l'axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;&lt;/math&gt;» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)}{\overline{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation&quot; /&gt;, on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \; \overline{\Omega}(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;forme la moins utilisée&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique]]
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        <username>Phl7605</username>
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      <comment>/* Expression newtonienne de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels */</comment>
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  | idfaculté = physique
  | numéro    = 10
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique/]]
}}

&lt;center&gt;Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique newtonienne avec un complément dans celui de la cinétique relativiste.&lt;/center&gt;

== Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière, cas d’un système en translation ==

=== Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels ===

{{Al|5}}L'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;K(t)\;&lt;/math&gt;» du système discret &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot;&gt; A priori &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; pourrait être égal à &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.&lt;/ref&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{K(t)}\;&lt;/math&gt;» du système }}est définie comme la somme de l'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;K_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» de chaque point matériel du système dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{K(t)}\;&lt;/math&gt;» du système est définie comme la somme de l'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{K_{M_i}(t)}\;&lt;/math&gt;» de chaque point matériel }}au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{K(t)}\;&lt;/math&gt;» du système est définie comme }}«&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot;&gt; Cette définition est aussi applicable à un système ouvert de points matériels d'une expansion tridimensionnelle limitée par la surface de contrôle fermée fixe de cette expansion d'où le qualificatif « fermé » mis entre parenthèses mais, par la suite, nous ne considérerons que des systèmes fermés.&lt;/ref&gt;.

=== Expression newtonienne de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels ===

{{Al|5}}En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système discret &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; se réécrit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système }}dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2}{2\;m_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système dans le référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, }}&lt;math&gt;\,\vec{p}_{M_i}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur quantité de mouvement de &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt; &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;

=== En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels ===

{{Al|5}}L’expression de l’énergie cinétique d’un système discret (fermé) de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; se réécrit, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s’écrit, en cinétique relativiste, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\;&lt;/math&gt; le facteur de Lorentz &lt;ref name=&quot;Lorentz&quot;&gt; '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928)]]''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; par '''Henri Poincaré''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''Hendrik Lorentz''' dès &lt;math&gt;1892&lt;/math&gt; pour ce dernier&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''Albert Einstein''' en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''Hendrik Lorentz''' partagea, en &lt;math&gt;1902&lt;/math&gt;, le prix Nobel de physique avec '''Pieter Zeeman (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;'''Pieter Zeeman''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en &lt;math&gt;1886\big]&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}'''Henri Poincaré (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''Albert Einstein (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en &lt;math&gt;1896&lt;/math&gt; puis suisse en &lt;math&gt;1901&lt;/math&gt; ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt;, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en &lt;math&gt;1916&lt;/math&gt; ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en &lt;math&gt;1921&lt;/math&gt; pour son explication de l'effet photoélectrique.&lt;/ref&gt; du point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt; ou encore «&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} - m_i\;c^2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot; /&gt;, &lt;br&gt;le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;&lt;/math&gt;» définissant l'énergie totale &lt;math&gt;\;E_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt; du point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;et le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;au signe près&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;m_i\;c^2\;&lt;/math&gt;» l'énergie de masse &lt;math&gt;\;E^{\,0}_{M_i}\;&lt;/math&gt; du point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;énergie de masse&quot;&gt; L'énergie de masse d'un point matériel étant une constante caractéristique u point et indépendante du référentiel.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : En définissant l'énergie totale du système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;&lt;/math&gt;» et&lt;/center&gt; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : En définissant }}l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels &lt;ref name=&quot;précision sur l'énergie de masse d'un système&quot;&gt; En effet, la présence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels entraîne une diminution de la masse du système relativement à la somme des masses de ses constituants considérés comme indépendants, cette diminution observée dans un noyau est appelée « [[w:Liaison_nucléaire#Défaut_de_masse|défaut de masse]] » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; par &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E^{\,0}_{M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;c^2\;&lt;/math&gt;», &lt;/center&gt; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique relativiste du système dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;K(t) = E(t) - E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;&lt;/math&gt;».

=== Généralisation, énergie cinétique d’un système continu de matière ===

{{Al|5}}En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, notée «&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot;&gt; Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, sa masse est donc «&lt;math&gt;\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;», son vecteur vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, son vecteur quantité de mouvement au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est «&lt;math&gt;\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]&lt;/math&gt;, son vecteur moment cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, relativement à un point origine &lt;math&gt;\;A&lt;/math&gt;, est «&lt;math&gt;\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur moment cinétique relativement au point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{volum}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]\;&lt;/math&gt; et son énergie cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;d K_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Bigg\{&lt;/math&gt;le facteur fractionnaire définissant la densité volumique d'énergie cinétique en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;K_{\text{volum}}(M,\,t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\Bigg\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt; soit encore «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt;, ce qui revient à une intégrale volumique définie selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} d K_M(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt;,&lt;/center&gt;
{{Al|12}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie }} celle d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, notée «&lt;math&gt;\;K_{\left( S \right)}(t)\;&lt;/math&gt;», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion surfacique&quot;&gt;  Un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, sa masse est donc «&lt;math&gt;\;dm = \sigma(M)\;d S_M\;&lt;/math&gt;», son vecteur vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, son vecteur quantité de mouvement au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est «&lt;math&gt;\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]&lt;/math&gt;, son vecteur moment cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, relativement au point origine &lt;math&gt;\;A&lt;/math&gt;, est «&lt;math&gt;\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur moment cinétique relativement au point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{surfac}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]\;&lt;/math&gt; et son énergie cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;d K_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Bigg\{&lt;/math&gt;le facteur fractionnaire définissant la densité surfacique d'énergie cinétique en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;K_{\text{surfac}}(M,\,t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\Bigg\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion surfacique&quot; /&gt; soit encore «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion surfacique&quot; /&gt;, ce qui revient à une intégrale surfacique définie selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; et&lt;/center&gt;
{{Al|12}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie }} celle d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, notée «&lt;math&gt;\;K_{\left( \Gamma \right)}(t)\;&lt;/math&gt;», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion linéique&quot;&gt;  Un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;, sa masse est donc «&lt;math&gt;\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;», son vecteur vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, son vecteur quantité de mouvement au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est «&lt;math&gt;\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]&lt;/math&gt;, son vecteur moment cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, relativement au point origine &lt;math&gt;\;A&lt;/math&gt;, est «&lt;math&gt;\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur moment cinétique relativement au point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{lin}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]\;&lt;/math&gt; et son énergie cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;d K_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Bigg\{&lt;/math&gt;le facteur fractionnaire définissant la densité linéique d'énergie cinétique en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;K_{\text{lin}}(M,\,t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\Bigg\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion linéique&quot; /&gt; soit encore «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion linéique&quot; /&gt;, ce qui revient à une intégrale curviligne définie selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} d K_M(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
=== Cas d'un système en translation ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en translation » ne se déforme pas, il peut donc être qualifié de « solide » au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et il est nécessairement fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière.

{{Al|5}}Considérant le système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, égal à celui de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;tous les points &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; ont le même vecteur vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\big\}&lt;/math&gt;, l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; étant définie selon &lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2 = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt; soit, en factorisant par «&lt;math&gt;\;\dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\;&lt;/math&gt;» puis en reconnaissant dans l'autre facteur «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;&lt;/math&gt;» la masse du système «&lt;math&gt;\;m_{\text{syst. en transl.}}\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; se réécrit, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot;&gt; Cette expression est encore valable, sans modification, pour un système continu de matière.&lt;/ref&gt; soit encore &lt;br&gt;l'énergie cinétique newtonienne du point fictif « C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du système &lt;math&gt;\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt;» dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}sachant que la résultante cinétique d'un système discret de points matériels s’écrit, en cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;», on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2\;m_{\text{syst. en transl.}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}une 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;très peu utilisée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; peut être établie en éliminant la masse du système au profit de la vitesse du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; et de la résultante cinétique newtonienne &lt;ref name=&quot;peu intéressant&quot;&gt; C'est peu intéressant car on élimine une constante au profit de deux grandeurs dépendant du temps.&lt;/ref&gt;, on en déduit que l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» peut se réécrire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Complément&lt;/u&gt; : On peut trouver les expressions correspondantes en « cinétique relativiste » en généralisant les expressions d'énergie cinétique obtenue pour un point matériel, compte-tenu du fait que l'énergie cinétique d'un système en translation est aussi l'énergie cinétique du point fictif « C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du système &lt;math&gt;\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt;» dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, expression obtenue en cinétique newtonienne et restant applicable en cinétique relativiste, on obtient ainsi l'énergie cinétique relativiste du système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_{G}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2 = \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{c^2}}} = \gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{G}^{\,2}(t)}{c^2}}}\;&lt;/math&gt;» le facteur de Lorentz &lt;ref name=&quot;Lorentz&quot; /&gt; du système en translation &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Complément : }}ou encore, en éliminant la vitesse du système en translation au profit de sa résultante cinétique relativiste et de sa masse, selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4} - m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt;, &lt;br&gt;le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4}\;&lt;/math&gt;» définissant l'énergie totale du système en translation &lt;math&gt;\;E_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; «&lt;math&gt;\;m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;&lt;/math&gt;» l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points &lt;ref name=&quot;précision sur l'énergie de masse d'un système&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;

== Énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu ==

=== Forme particulière de l’énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu ===

{{Al|5}}Une définition de l’énergie cinétique d’un point matériel «&lt;math&gt;\;M, \left( m \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cadre de la cinétique newtonienne étant «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m \left[ \vec{V}_{M}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» et le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; en mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt; et de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; s’écrivant selon «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;&lt;/math&gt;», en remplaçant un seul vecteur vitesse par l’expression de &lt;math&gt;\;K_M(t)\;&lt;/math&gt; précédemment rappelée, on en déduit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;K_M(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;m\; \vec{V}_{M}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, par permutation circulaire du produit mixte &lt;ref name=&quot;propriété du produit mixte&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] (du produit mixte) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » vérifiant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire.&lt;/ref&gt; de façon à faire apparaître le vecteur moment cinétique du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;K_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{CM}(t) \wedge  m\; \vec{V}_{M}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \vec{\sigma}_C(M,\,t)\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}ou encore, avec &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{\sigma}_C(M,\,t) = \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; dans lesquelles &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; est le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de rotation, &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire de rotation du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;&lt;/math&gt; le moment cinétique scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, l’énergie cinétique newtonienne du point matériel «&lt;math&gt;\;M, \left( m \right)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; à la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; se réécrit selon l'expression suivante &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;laquelle est la moins utilisée des trois expressions entre grandeurs scalaires établies ici et ci-après&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \overline{\Omega}(t)\; \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;/center&gt;
{{Al|5}}définissant le moment d’inertie de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;J_{\Delta}(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\;R\;&lt;/math&gt; est le rayon de la trajectoire circulaire de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, on a établi, entre le moment cinétique scalaire newtonien de ce dernier &lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;&lt;/math&gt; et sa vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;, le lien suivant «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un point en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Réécriture_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_au_centre_C_du_cercle_en_fonction,_entre_autres,_du_vecteur_rotation_instantanée|réécriture du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; dont on déduit les deux expressions importantes de l’énergie cinétique newtonienne du point matériel en rotation autour d’un axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; étant utilisée plus fréquemment que la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
=== Analogie formelle entre l’énergie cinétique newtonienne d’un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire ===

{{Al|5}}Il existe une analogie formelle entre l'une quelconque des trois formes de l'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et la forme associée de l'énergie cinétique newtonienne d’un point en mouvement circulaire selon la correspondance suivante
&lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\begin{array}{|c| |c| |c| |c|}\hline \;\text{analogie formelle} &amp; \text{grandeur cinétique vectorielle} &amp; \text{grandeur cinématique vectorielle} &amp; \text{grandeur d'inertie}\;\\ \text{mouvement quelconque} &amp; \text{vecteur quantité de mouvement «}\;\vec{p}_M(t)\;\text{»} &amp; \text{vecteur vitesse «}\;\vec{V}_M(t)\;\text{»} &amp; \text{masse «}\;m\;\text{»}\\ \updownarrow &amp; \updownarrow &amp; \updownarrow &amp; \updownarrow\\ \text{mouvement circulaire} &amp; \text{moment cinétique vectoriel «}\;\vec{\sigma}_C(M,\,t)\;\text{»} &amp; \text{vecteur rotation instantanée «}\;\vec{\Omega}(t)\;\text{»} &amp; \text{moment d'inertie «}\;J_{\Delta}(M)\;\text{»}\\ \hline\end{array}\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}ainsi pour la forme la moins utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\overrightarrow{\text{grandeur cinétique}}\cdot\overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}}{2}\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;pour un « mouvement quelconque » «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\vec{p}_M(t)\cdot\vec{V}_M(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;pour un « mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\vec{\sigma}_C(M,\,t)\cdot\vec{\Omega}(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme la plus utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{1}{2} \times \text{grandeur d'inertie} \times \left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}} \right]^2\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;pour un « mouvement quelconque » «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\, \left[ \vec{V}_M(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;pour un « mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\, \left[ \vec{\Omega}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;écrite préférentiellement &lt;br&gt;avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\; \overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme moyennement utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinétique}} \right]^2}{2 \times \text{grandeur d'inertie}}\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;pour un « mouvement quelconque » «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{p}_M(t) \right]^2}{2\;m}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;pour un « mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{\sigma}_C(M,\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta(M)}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;écrite préférentiellement &lt;br&gt;avec le moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\;\sigma_\Delta(M,\,t)\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_\Delta(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;

== Énergie cinétique newtonienne d’un « système de points en rotation » autour d’un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu ==

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer &lt;ref&gt; Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points &lt;math&gt;\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;&lt;/math&gt; tels que la droite &lt;math&gt;\;M_iM_j\;&lt;/math&gt; recoupe l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; perpendiculairement en &lt;math&gt;\;H_{i,\,j}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;les points &lt;math&gt;\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;&lt;/math&gt; ayant donc même abscisse angulaire &lt;math&gt;\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;&lt;/math&gt; on ait &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;donc indépendant de &lt;math&gt;\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;&lt;/math&gt; pour tout instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et pour tout couple &lt;math&gt;\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;&lt;/math&gt; dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et il est nécessairement fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, c'est pratiquement le seul cas envisageable ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière.

{{Al|5}}L’énergie cinétique du système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; étant définie selon «&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot; /&gt;, elle se réécrit, dans le cadre de la cinétique newtonienne, quand le système est en rotation autour d’un axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, de vitesse angulaire instantanée «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M_i)\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en factorisant par «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» et, en reconnaissant, dans le facteur restant, le moment d’inertie du système relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_{\Delta}(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2 = J_\Delta\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;r_i\;&lt;/math&gt; distance orthogonale entre &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;forme la plus utilisée &lt;ref&gt; À connaître sans hésitation.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}à l'aide du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système discret de points matériels en rotation autour d’un axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;&lt;/math&gt;» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) = J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; on peut, en éliminant la vitesse angulaire instantanée, réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;forme moyennement utilisée &lt;ref&gt; À connaître également, même si elle est moins utilisée que la forme utilisant « moment d'inertie et vitesse angulaire instantanée ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en éliminant le moment d'inertie &lt;ref name=&quot;peu intéressant&quot; /&gt; par utilisation du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système en rotation autour de l'axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;&lt;/math&gt;» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)}{\overline{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation&quot; /&gt;, on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \; \overline{\Omega}(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;forme la moins utilisée&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique]]
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        <username>Phl7605</username>
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  | idfaculté = physique
  | numéro    = 10
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique/]]
}}

&lt;center&gt;Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique newtonienne avec un complément dans celui de la cinétique relativiste.&lt;/center&gt;

== Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière, cas d’un système en translation ==

=== Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels ===

{{Al|5}}L'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;K(t)\;&lt;/math&gt;» du système discret &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot;&gt; A priori &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; pourrait être égal à &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.&lt;/ref&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{K(t)}\;&lt;/math&gt;» du système }}est définie comme la somme de l'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;K_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» de chaque point matériel du système dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{K(t)}\;&lt;/math&gt;» du système est définie comme la somme de l'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{K_{M_i}(t)}\;&lt;/math&gt;» de chaque point matériel }}au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{K(t)}\;&lt;/math&gt;» du système est définie comme }}«&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot;&gt; Cette définition est aussi applicable à un système ouvert de points matériels d'une expansion tridimensionnelle limitée par la surface de contrôle fermée fixe de cette expansion d'où le qualificatif « fermé » mis entre parenthèses mais, par la suite, nous ne considérerons que des systèmes fermés.&lt;/ref&gt;.

=== Expression newtonienne de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels ===

{{Al|5}}En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système discret &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; se réécrit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système }}dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2}{2\;m_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système dans le référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, }}&lt;math&gt;\,\vec{p}_{M_i}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur quantité de mouvement de &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système dans le référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, }}et &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M_i}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;.

=== En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels ===

{{Al|5}}L’expression de l’énergie cinétique d’un système discret (fermé) de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; se réécrit, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s’écrit, en cinétique relativiste, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\;&lt;/math&gt; le facteur de Lorentz &lt;ref name=&quot;Lorentz&quot;&gt; '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928)]]''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; par '''Henri Poincaré''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''Hendrik Lorentz''' dès &lt;math&gt;1892&lt;/math&gt; pour ce dernier&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''Albert Einstein''' en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''Hendrik Lorentz''' partagea, en &lt;math&gt;1902&lt;/math&gt;, le prix Nobel de physique avec '''Pieter Zeeman (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;'''Pieter Zeeman''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en &lt;math&gt;1886\big]&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}'''Henri Poincaré (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''Albert Einstein (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en &lt;math&gt;1896&lt;/math&gt; puis suisse en &lt;math&gt;1901&lt;/math&gt; ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt;, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en &lt;math&gt;1916&lt;/math&gt; ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en &lt;math&gt;1921&lt;/math&gt; pour son explication de l'effet photoélectrique.&lt;/ref&gt; du point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt; ou encore «&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} - m_i\;c^2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot; /&gt;, &lt;br&gt;le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;&lt;/math&gt;» définissant l'énergie totale &lt;math&gt;\;E_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt; du point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;et le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;au signe près&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;m_i\;c^2\;&lt;/math&gt;» l'énergie de masse &lt;math&gt;\;E^{\,0}_{M_i}\;&lt;/math&gt; du point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;énergie de masse&quot;&gt; L'énergie de masse d'un point matériel étant une constante caractéristique u point et indépendante du référentiel.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : En définissant l'énergie totale du système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;&lt;/math&gt;» et&lt;/center&gt; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : En définissant }}l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels &lt;ref name=&quot;précision sur l'énergie de masse d'un système&quot;&gt; En effet, la présence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels entraîne une diminution de la masse du système relativement à la somme des masses de ses constituants considérés comme indépendants, cette diminution observée dans un noyau est appelée « [[w:Liaison_nucléaire#Défaut_de_masse|défaut de masse]] » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; par &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E^{\,0}_{M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;c^2\;&lt;/math&gt;», &lt;/center&gt; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique relativiste du système dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;K(t) = E(t) - E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;&lt;/math&gt;».

=== Généralisation, énergie cinétique d’un système continu de matière ===

{{Al|5}}En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, notée «&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot;&gt; Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, sa masse est donc «&lt;math&gt;\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;», son vecteur vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, son vecteur quantité de mouvement au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est «&lt;math&gt;\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]&lt;/math&gt;, son vecteur moment cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, relativement à un point origine &lt;math&gt;\;A&lt;/math&gt;, est «&lt;math&gt;\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur moment cinétique relativement au point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{volum}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]\;&lt;/math&gt; et son énergie cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;d K_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Bigg\{&lt;/math&gt;le facteur fractionnaire définissant la densité volumique d'énergie cinétique en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;K_{\text{volum}}(M,\,t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\Bigg\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt; soit encore «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt;, ce qui revient à une intégrale volumique définie selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} d K_M(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt;,&lt;/center&gt;
{{Al|12}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie }} celle d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, notée «&lt;math&gt;\;K_{\left( S \right)}(t)\;&lt;/math&gt;», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion surfacique&quot;&gt;  Un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, sa masse est donc «&lt;math&gt;\;dm = \sigma(M)\;d S_M\;&lt;/math&gt;», son vecteur vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, son vecteur quantité de mouvement au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est «&lt;math&gt;\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]&lt;/math&gt;, son vecteur moment cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, relativement au point origine &lt;math&gt;\;A&lt;/math&gt;, est «&lt;math&gt;\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur moment cinétique relativement au point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{surfac}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]\;&lt;/math&gt; et son énergie cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;d K_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Bigg\{&lt;/math&gt;le facteur fractionnaire définissant la densité surfacique d'énergie cinétique en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;K_{\text{surfac}}(M,\,t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\Bigg\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion surfacique&quot; /&gt; soit encore «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion surfacique&quot; /&gt;, ce qui revient à une intégrale surfacique définie selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; et&lt;/center&gt;
{{Al|12}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie }} celle d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, notée «&lt;math&gt;\;K_{\left( \Gamma \right)}(t)\;&lt;/math&gt;», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion linéique&quot;&gt;  Un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;, sa masse est donc «&lt;math&gt;\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;», son vecteur vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, son vecteur quantité de mouvement au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est «&lt;math&gt;\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]&lt;/math&gt;, son vecteur moment cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, relativement au point origine &lt;math&gt;\;A&lt;/math&gt;, est «&lt;math&gt;\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur moment cinétique relativement au point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{lin}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]\;&lt;/math&gt; et son énergie cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;d K_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Bigg\{&lt;/math&gt;le facteur fractionnaire définissant la densité linéique d'énergie cinétique en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;K_{\text{lin}}(M,\,t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\Bigg\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion linéique&quot; /&gt; soit encore «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion linéique&quot; /&gt;, ce qui revient à une intégrale curviligne définie selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} d K_M(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
=== Cas d'un système en translation ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en translation » ne se déforme pas, il peut donc être qualifié de « solide » au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et il est nécessairement fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière.

{{Al|5}}Considérant le système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, égal à celui de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;tous les points &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; ont le même vecteur vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\big\}&lt;/math&gt;, l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; étant définie selon &lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2 = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt; soit, en factorisant par «&lt;math&gt;\;\dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\;&lt;/math&gt;» puis en reconnaissant dans l'autre facteur «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;&lt;/math&gt;» la masse du système «&lt;math&gt;\;m_{\text{syst. en transl.}}\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; se réécrit, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot;&gt; Cette expression est encore valable, sans modification, pour un système continu de matière.&lt;/ref&gt; soit encore &lt;br&gt;l'énergie cinétique newtonienne du point fictif « C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du système &lt;math&gt;\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt;» dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}sachant que la résultante cinétique d'un système discret de points matériels s’écrit, en cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;», on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2\;m_{\text{syst. en transl.}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}une 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;très peu utilisée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; peut être établie en éliminant la masse du système au profit de la vitesse du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; et de la résultante cinétique newtonienne &lt;ref name=&quot;peu intéressant&quot;&gt; C'est peu intéressant car on élimine une constante au profit de deux grandeurs dépendant du temps.&lt;/ref&gt;, on en déduit que l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» peut se réécrire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Complément&lt;/u&gt; : On peut trouver les expressions correspondantes en « cinétique relativiste » en généralisant les expressions d'énergie cinétique obtenue pour un point matériel, compte-tenu du fait que l'énergie cinétique d'un système en translation est aussi l'énergie cinétique du point fictif « C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du système &lt;math&gt;\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt;» dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, expression obtenue en cinétique newtonienne et restant applicable en cinétique relativiste, on obtient ainsi l'énergie cinétique relativiste du système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_{G}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2 = \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{c^2}}} = \gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{G}^{\,2}(t)}{c^2}}}\;&lt;/math&gt;» le facteur de Lorentz &lt;ref name=&quot;Lorentz&quot; /&gt; du système en translation &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Complément : }}ou encore, en éliminant la vitesse du système en translation au profit de sa résultante cinétique relativiste et de sa masse, selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4} - m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt;, &lt;br&gt;le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4}\;&lt;/math&gt;» définissant l'énergie totale du système en translation &lt;math&gt;\;E_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; «&lt;math&gt;\;m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;&lt;/math&gt;» l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points &lt;ref name=&quot;précision sur l'énergie de masse d'un système&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;

== Énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu ==

=== Forme particulière de l’énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu ===

{{Al|5}}Une définition de l’énergie cinétique d’un point matériel «&lt;math&gt;\;M, \left( m \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cadre de la cinétique newtonienne étant «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m \left[ \vec{V}_{M}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» et le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; en mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt; et de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; s’écrivant selon «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;&lt;/math&gt;», en remplaçant un seul vecteur vitesse par l’expression de &lt;math&gt;\;K_M(t)\;&lt;/math&gt; précédemment rappelée, on en déduit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;K_M(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;m\; \vec{V}_{M}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, par permutation circulaire du produit mixte &lt;ref name=&quot;propriété du produit mixte&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] (du produit mixte) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » vérifiant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire.&lt;/ref&gt; de façon à faire apparaître le vecteur moment cinétique du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;K_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{CM}(t) \wedge  m\; \vec{V}_{M}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \vec{\sigma}_C(M,\,t)\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}ou encore, avec &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{\sigma}_C(M,\,t) = \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; dans lesquelles &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; est le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de rotation, &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire de rotation du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;&lt;/math&gt; le moment cinétique scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, l’énergie cinétique newtonienne du point matériel «&lt;math&gt;\;M, \left( m \right)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; à la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; se réécrit selon l'expression suivante &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;laquelle est la moins utilisée des trois expressions entre grandeurs scalaires établies ici et ci-après&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \overline{\Omega}(t)\; \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;/center&gt;
{{Al|5}}définissant le moment d’inertie de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;J_{\Delta}(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\;R\;&lt;/math&gt; est le rayon de la trajectoire circulaire de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, on a établi, entre le moment cinétique scalaire newtonien de ce dernier &lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;&lt;/math&gt; et sa vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;, le lien suivant «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un point en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Réécriture_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_au_centre_C_du_cercle_en_fonction,_entre_autres,_du_vecteur_rotation_instantanée|réécriture du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; dont on déduit les deux expressions importantes de l’énergie cinétique newtonienne du point matériel en rotation autour d’un axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; étant utilisée plus fréquemment que la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
=== Analogie formelle entre l’énergie cinétique newtonienne d’un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire ===

{{Al|5}}Il existe une analogie formelle entre l'une quelconque des trois formes de l'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et la forme associée de l'énergie cinétique newtonienne d’un point en mouvement circulaire selon la correspondance suivante
&lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\begin{array}{|c| |c| |c| |c|}\hline \;\text{analogie formelle} &amp; \text{grandeur cinétique vectorielle} &amp; \text{grandeur cinématique vectorielle} &amp; \text{grandeur d'inertie}\;\\ \text{mouvement quelconque} &amp; \text{vecteur quantité de mouvement «}\;\vec{p}_M(t)\;\text{»} &amp; \text{vecteur vitesse «}\;\vec{V}_M(t)\;\text{»} &amp; \text{masse «}\;m\;\text{»}\\ \updownarrow &amp; \updownarrow &amp; \updownarrow &amp; \updownarrow\\ \text{mouvement circulaire} &amp; \text{moment cinétique vectoriel «}\;\vec{\sigma}_C(M,\,t)\;\text{»} &amp; \text{vecteur rotation instantanée «}\;\vec{\Omega}(t)\;\text{»} &amp; \text{moment d'inertie «}\;J_{\Delta}(M)\;\text{»}\\ \hline\end{array}\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}ainsi pour la forme la moins utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\overrightarrow{\text{grandeur cinétique}}\cdot\overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}}{2}\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;pour un « mouvement quelconque » «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\vec{p}_M(t)\cdot\vec{V}_M(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;pour un « mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\vec{\sigma}_C(M,\,t)\cdot\vec{\Omega}(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme la plus utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{1}{2} \times \text{grandeur d'inertie} \times \left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}} \right]^2\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;pour un « mouvement quelconque » «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\, \left[ \vec{V}_M(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;pour un « mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\, \left[ \vec{\Omega}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;écrite préférentiellement &lt;br&gt;avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\; \overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme moyennement utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinétique}} \right]^2}{2 \times \text{grandeur d'inertie}}\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;pour un « mouvement quelconque » «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{p}_M(t) \right]^2}{2\;m}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;pour un « mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{\sigma}_C(M,\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta(M)}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;écrite préférentiellement &lt;br&gt;avec le moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\;\sigma_\Delta(M,\,t)\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_\Delta(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;

== Énergie cinétique newtonienne d’un « système de points en rotation » autour d’un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu ==

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer &lt;ref&gt; Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points &lt;math&gt;\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;&lt;/math&gt; tels que la droite &lt;math&gt;\;M_iM_j\;&lt;/math&gt; recoupe l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; perpendiculairement en &lt;math&gt;\;H_{i,\,j}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;les points &lt;math&gt;\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;&lt;/math&gt; ayant donc même abscisse angulaire &lt;math&gt;\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;&lt;/math&gt; on ait &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;donc indépendant de &lt;math&gt;\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;&lt;/math&gt; pour tout instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et pour tout couple &lt;math&gt;\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;&lt;/math&gt; dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et il est nécessairement fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, c'est pratiquement le seul cas envisageable ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière.

{{Al|5}}L’énergie cinétique du système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; étant définie selon «&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot; /&gt;, elle se réécrit, dans le cadre de la cinétique newtonienne, quand le système est en rotation autour d’un axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, de vitesse angulaire instantanée «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M_i)\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en factorisant par «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» et, en reconnaissant, dans le facteur restant, le moment d’inertie du système relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_{\Delta}(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2 = J_\Delta\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;r_i\;&lt;/math&gt; distance orthogonale entre &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;forme la plus utilisée &lt;ref&gt; À connaître sans hésitation.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}à l'aide du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système discret de points matériels en rotation autour d’un axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;&lt;/math&gt;» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) = J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; on peut, en éliminant la vitesse angulaire instantanée, réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;forme moyennement utilisée &lt;ref&gt; À connaître également, même si elle est moins utilisée que la forme utilisant « moment d'inertie et vitesse angulaire instantanée ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en éliminant le moment d'inertie &lt;ref name=&quot;peu intéressant&quot; /&gt; par utilisation du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système en rotation autour de l'axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;&lt;/math&gt;» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)}{\overline{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation&quot; /&gt;, on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \; \overline{\Omega}(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;forme la moins utilisée&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique]]
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  | idfaculté = physique
  | numéro    = 10
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique/]]
}}

&lt;center&gt;Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique newtonienne avec un complément dans celui de la cinétique relativiste.&lt;/center&gt;

== Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière, cas d’un système en translation ==

=== Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels ===

{{Al|5}}L'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;K(t)\;&lt;/math&gt;» du système discret &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot;&gt; A priori &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; pourrait être égal à &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.&lt;/ref&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{K(t)}\;&lt;/math&gt;» du système }}est définie comme la somme de l'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;K_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» de chaque point matériel du système dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{K(t)}\;&lt;/math&gt;» du système est définie comme la somme de l'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{K_{M_i}(t)}\;&lt;/math&gt;» de chaque point matériel }}au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{K(t)}\;&lt;/math&gt;» du système est définie comme }}«&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot;&gt; Cette définition est aussi applicable à un système ouvert de points matériels d'une expansion tridimensionnelle limitée par la surface de contrôle fermée fixe de cette expansion d'où le qualificatif « fermé » mis entre parenthèses mais, par la suite, nous ne considérerons que des systèmes fermés.&lt;/ref&gt;.

=== Expression newtonienne de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels ===

{{Al|5}}En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système discret &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; se réécrit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système }}dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2}{2\;m_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système dans le référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, }}&lt;math&gt;\,\vec{p}_{M_i}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur quantité de mouvement de &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système dans le référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, }}et &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M_i}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;.

=== En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels ===

{{Al|5}}L’expression de l’énergie cinétique d’un système discret (fermé) de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; se réécrit, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s’écrit, en cinétique relativiste, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\;&lt;/math&gt; le facteur de Lorentz &lt;ref name=&quot;Lorentz&quot;&gt; '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928)]]''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; par '''Henri Poincaré''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''Hendrik Lorentz''' dès &lt;math&gt;1892&lt;/math&gt; pour ce dernier&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''Albert Einstein''' en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''Hendrik Lorentz''' partagea, en &lt;math&gt;1902&lt;/math&gt;, le prix Nobel de physique avec '''Pieter Zeeman (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;'''Pieter Zeeman''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en &lt;math&gt;1886\big]&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}'''Henri Poincaré (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''Albert Einstein (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en &lt;math&gt;1896&lt;/math&gt; puis suisse en &lt;math&gt;1901&lt;/math&gt; ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en &lt;math&gt;1905&lt;/math&gt;, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en &lt;math&gt;1916&lt;/math&gt; ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en &lt;math&gt;1921&lt;/math&gt; pour son explication de l'effet photoélectrique.&lt;/ref&gt; du point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt; ou encore «&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} - m_i\;c^2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot; /&gt;, &lt;br&gt;le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;&lt;/math&gt;» définissant l'énergie totale &lt;math&gt;\;E_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt; du point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;et le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;au signe près&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;m_i\;c^2\;&lt;/math&gt;» l'énergie de masse &lt;math&gt;\;E^{\,0}_{M_i}\;&lt;/math&gt; du point &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;énergie de masse&quot;&gt; L'énergie de masse d'un point matériel étant une constante caractéristique u point et indépendante du référentiel.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : En définissant l'énergie totale du système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;&lt;/math&gt;» et&lt;/center&gt; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : En définissant }}l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels &lt;ref name=&quot;précision sur l'énergie de masse d'un système&quot;&gt; En effet, la présence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels entraîne une diminution de la masse du système relativement à la somme des masses de ses constituants considérés comme indépendants, cette diminution observée dans un noyau est appelée « [[w:Liaison_nucléaire#Défaut_de_masse|défaut de masse]] » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; par &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E^{\,0}_{M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;c^2\;&lt;/math&gt;», &lt;/center&gt; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique relativiste du système dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;K(t) = E(t) - E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;&lt;/math&gt;».

=== Généralisation, énergie cinétique d’un système continu de matière ===

{{Al|5}}En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, notée «&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot;&gt; Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, sa masse est donc «&lt;math&gt;\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;», son vecteur vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, son vecteur quantité de mouvement au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est «&lt;math&gt;\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]&lt;/math&gt;, son vecteur moment cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, relativement à un point origine &lt;math&gt;\;A&lt;/math&gt;, est «&lt;math&gt;\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur moment cinétique relativement au point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{volum}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]\;&lt;/math&gt; et son énergie cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;d K_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Bigg\{&lt;/math&gt;le facteur fractionnaire définissant la densité volumique d'énergie cinétique en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;K_{\text{volum}}(M,\,t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\Bigg\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt; soit encore «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt;, ce qui revient à une intégrale volumique définie selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} d K_M(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale volumique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt;,&lt;/center&gt;
{{Al|12}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie }} celle d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)&lt;/math&gt;, notée «&lt;math&gt;\;K_{\left( S \right)}(t)\;&lt;/math&gt;», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion surfacique&quot;&gt;  Un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, sa masse est donc «&lt;math&gt;\;dm = \sigma(M)\;d S_M\;&lt;/math&gt;», son vecteur vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, son vecteur quantité de mouvement au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est «&lt;math&gt;\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]&lt;/math&gt;, son vecteur moment cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, relativement au point origine &lt;math&gt;\;A&lt;/math&gt;, est «&lt;math&gt;\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur moment cinétique relativement au point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{surfac}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]\;&lt;/math&gt; et son énergie cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;d K_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Bigg\{&lt;/math&gt;le facteur fractionnaire définissant la densité surfacique d'énergie cinétique en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;K_{\text{surfac}}(M,\,t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\Bigg\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion surfacique&quot; /&gt; soit encore «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion surfacique&quot; /&gt;, ce qui revient à une intégrale surfacique définie selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, S} \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt; et&lt;/center&gt;
{{Al|12}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie }} celle d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, notée «&lt;math&gt;\;K_{\left( \Gamma \right)}(t)\;&lt;/math&gt;», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion linéique&quot;&gt;  Un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;, sa masse est donc «&lt;math&gt;\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;», son vecteur vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)&lt;/math&gt;, son vecteur quantité de mouvement au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; est «&lt;math&gt;\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]&lt;/math&gt;, son vecteur moment cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, relativement au point origine &lt;math&gt;\;A&lt;/math&gt;, est «&lt;math&gt;\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur moment cinétique relativement au point origine &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{lin}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]\;&lt;/math&gt; et son énergie cinétique au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le même référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;d K_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Bigg\{&lt;/math&gt;le facteur fractionnaire définissant la densité linéique d'énergie cinétique en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\;K_{\text{lin}}(M,\,t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\Bigg\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion linéique&quot; /&gt; soit encore «&lt;math&gt;\;d K_M(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion linéique&quot; /&gt;, ce qui revient à une intégrale curviligne définie selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} d K_M(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \Gamma} \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale curviligne&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
=== Cas d'un système en translation ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en translation » ne se déforme pas, il peut donc être qualifié de « solide » au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et il est nécessairement fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière.

{{Al|5}}Considérant le système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, égal à celui de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;tous les points &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; ont le même vecteur vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\big\}&lt;/math&gt;, l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; étant définie selon &lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2 = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt; soit, en factorisant par «&lt;math&gt;\;\dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\;&lt;/math&gt;» puis en reconnaissant dans l'autre facteur «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;&lt;/math&gt;» la masse du système «&lt;math&gt;\;m_{\text{syst. en transl.}}\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; se réécrit, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon &lt;br&gt;«&lt;math&gt;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot;&gt; Cette expression est encore valable, sans modification, pour un système continu de matière.&lt;/ref&gt; soit encore &lt;br&gt;l'énergie cinétique newtonienne du point fictif « C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du système &lt;math&gt;\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt;» dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}sachant que la résultante cinétique d'un système discret de points matériels s’écrit, en cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;», on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2\;m_{\text{syst. en transl.}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}une 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;très peu utilisée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; peut être établie en éliminant la masse du système au profit de la vitesse du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; et de la résultante cinétique newtonienne &lt;ref name=&quot;peu intéressant&quot;&gt; C'est peu intéressant car on élimine une constante au profit de deux grandeurs dépendant du temps.&lt;/ref&gt;, on en déduit que l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» peut se réécrire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Complément&lt;/u&gt; : On peut trouver les expressions correspondantes en « cinétique relativiste » en généralisant les expressions d'énergie cinétique obtenue pour un point matériel, compte-tenu du fait que l'énergie cinétique d'un système en translation est aussi l'énergie cinétique du point fictif « C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; du système &lt;math&gt;\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;&lt;/math&gt;» dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, expression obtenue en cinétique newtonienne et restant applicable en cinétique relativiste, on obtient ainsi l'énergie cinétique relativiste du système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; de vecteur vitesse, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;&lt;/math&gt;» selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_{G}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2 = \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{c^2}}} = \gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{G}^{\,2}(t)}{c^2}}}\;&lt;/math&gt;» le facteur de Lorentz &lt;ref name=&quot;Lorentz&quot; /&gt; du système en translation &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Complément : }}ou encore, en éliminant la vitesse du système en translation au profit de sa résultante cinétique relativiste et de sa masse, selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4} - m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt;, &lt;br&gt;le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4}\;&lt;/math&gt;» définissant l'énergie totale du système en translation &lt;math&gt;\;E_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; «&lt;math&gt;\;m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;&lt;/math&gt;» l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points &lt;ref name=&quot;précision sur l'énergie de masse d'un système&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;

== Énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu ==

=== Forme particulière de l’énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu ===

{{Al|5}}Une définition de l’énergie cinétique d’un point matériel «&lt;math&gt;\;M, \left( m \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cadre de la cinétique newtonienne étant «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m \left[ \vec{V}_{M}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» et le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; en mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt; et de vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; s’écrivant selon «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;&lt;/math&gt;», en remplaçant un seul vecteur vitesse par l’expression de &lt;math&gt;\;K_M(t)\;&lt;/math&gt; précédemment rappelée, on en déduit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;K_M(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;m\; \vec{V}_{M}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou, par permutation circulaire du produit mixte &lt;ref name=&quot;propriété du produit mixte&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] (du produit mixte) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » vérifiant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire.&lt;/ref&gt; de façon à faire apparaître le vecteur moment cinétique du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;K_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{CM}(t) \wedge  m\; \vec{V}_{M}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \vec{\sigma}_C(M,\,t)\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}ou encore, avec &lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{\sigma}_C(M,\,t) = \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; dans lesquelles &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta}\;&lt;/math&gt; est le vecteur unitaire orientant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de rotation, &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire de rotation du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;&lt;/math&gt; le moment cinétique scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, l’énergie cinétique newtonienne du point matériel «&lt;math&gt;\;M, \left( m \right)\;&lt;/math&gt;» en rotation autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; à la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; se réécrit selon l'expression suivante &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;laquelle est la moins utilisée des trois expressions entre grandeurs scalaires établies ici et ci-après&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; \overline{\Omega}(t)\; \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;/center&gt;
{{Al|5}}définissant le moment d’inertie de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;J_{\Delta}(M) = m\;R^2\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\;R\;&lt;/math&gt; est le rayon de la trajectoire circulaire de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, on a établi, entre le moment cinétique scalaire newtonien de ce dernier &lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;&lt;/math&gt; et sa vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;, le lien suivant «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un point en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Réécriture_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_au_centre_C_du_cercle_en_fonction,_entre_autres,_du_vecteur_rotation_instantanée|réécriture du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; dont on déduit les deux expressions importantes de l’énergie cinétique newtonienne du point matériel en rotation autour d’un axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; étant utilisée plus fréquemment que la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
=== Analogie formelle entre l’énergie cinétique newtonienne d’un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire ===

{{Al|5}}Il existe une analogie formelle entre l'une quelconque des trois formes de l'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et la forme associée de l'énergie cinétique newtonienne d’un point en mouvement circulaire selon la correspondance suivante
&lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\begin{array}{|c| |c| |c| |c|}\hline \;\text{analogie formelle} &amp; \text{grandeur cinétique vectorielle} &amp; \text{grandeur cinématique vectorielle} &amp; \text{grandeur d'inertie}\;\\ \text{mouvement quelconque} &amp; \text{vecteur quantité de mouvement «}\;\vec{p}_M(t)\;\text{»} &amp; \text{vecteur vitesse «}\;\vec{V}_M(t)\;\text{»} &amp; \text{masse «}\;m\;\text{»}\\ \updownarrow &amp; \updownarrow &amp; \updownarrow &amp; \updownarrow\\ \text{mouvement circulaire} &amp; \text{moment cinétique vectoriel «}\;\vec{\sigma}_C(M,\,t)\;\text{»} &amp; \text{vecteur rotation instantanée «}\;\vec{\Omega}(t)\;\text{»} &amp; \text{moment d'inertie «}\;J_{\Delta}(M)\;\text{»}\\ \hline\end{array}\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}ainsi pour la forme la moins utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\overrightarrow{\text{grandeur cinétique}}\cdot\overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}}{2}\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;pour un « mouvement quelconque » «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\vec{p}_M(t)\cdot\vec{V}_M(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;pour un « mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\vec{\sigma}_C(M,\,t)\cdot\vec{\Omega}(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme la plus utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{1}{2} \times \text{grandeur d'inertie} \times \left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}} \right]^2\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;pour un « mouvement quelconque » «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\, \left[ \vec{V}_M(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;pour un « mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\, \left[ \vec{\Omega}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;écrite préférentiellement &lt;br&gt;avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\; \overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme moyennement utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinétique}} \right]^2}{2 \times \text{grandeur d'inertie}}\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;pour un « mouvement quelconque » «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{p}_M(t) \right]^2}{2\;m}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;pour un « mouvement circulaire de centre &lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{\sigma}_C(M,\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta(M)}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;écrite préférentiellement &lt;br&gt;avec le moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\;\sigma_\Delta(M,\,t)\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_\Delta(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;

== Énergie cinétique newtonienne d’un « système de points en rotation » autour d’un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu ==

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer &lt;ref&gt; Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points &lt;math&gt;\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;&lt;/math&gt; tels que la droite &lt;math&gt;\;M_iM_j\;&lt;/math&gt; recoupe l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; perpendiculairement en &lt;math&gt;\;H_{i,\,j}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;les points &lt;math&gt;\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;&lt;/math&gt; ayant donc même abscisse angulaire &lt;math&gt;\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;&lt;/math&gt; on ait &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;donc indépendant de &lt;math&gt;\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;&lt;/math&gt; pour tout instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et pour tout couple &lt;math&gt;\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;&lt;/math&gt; dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et il est nécessairement fermé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, c'est pratiquement le seul cas envisageable ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière.

{{Al|5}}L’énergie cinétique du système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; étant définie selon «&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;extension à un système ouvert&quot; /&gt;, elle se réécrit, dans le cadre de la cinétique newtonienne, quand le système est en rotation autour d’un axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, de vitesse angulaire instantanée «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M_i)\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en factorisant par «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» et, en reconnaissant, dans le facteur restant, le moment d’inertie du système relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_{\Delta}(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2 = J_\Delta\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;r_i\;&lt;/math&gt; distance orthogonale entre &lt;math&gt;\;M_i\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;forme la plus utilisée &lt;ref&gt; À connaître sans hésitation.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}à l'aide du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système discret de points matériels en rotation autour d’un axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;&lt;/math&gt;» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) = J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; on peut, en éliminant la vitesse angulaire instantanée, réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;forme moyennement utilisée &lt;ref&gt; À connaître également, même si elle est moins utilisée que la forme utilisant « moment d'inertie et vitesse angulaire instantanée ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en éliminant le moment d'inertie &lt;ref name=&quot;peu intéressant&quot; /&gt; par utilisation du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système en rotation autour de l'axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;&lt;/math&gt;» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)}{\overline{\Omega}(t)}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation&quot; /&gt;, on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \; \overline{\Omega}(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;valable pour système continu de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;forme la moins utilisée&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
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  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique]]
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    <title>Discussion Recherche:Ce que le mouvement Wikimédia nous apprend sur l'Homme et la Société globalisée/Vietnam</title>
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      <comment>Robot : Correction d’une double redirection depuis [[Discussion Recherche:Wikimedia/Vietnam]] vers [[Discussion Recherche:Le mouvement Wikimedia/Vietnam]]</comment>
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{{Titre incorrect|Administrateur:Fourmidable}}
{{Utilisateur:Fourmidable/Menu}}
{{Avertissement|Je vais avoir beaucoup moins de temps pour le bénévolat ces prochaines semaines. Cependant, n'hésitez pas à me notifier.}}
{{BUdébut}}
{{Utilisateur Administrateur|vimage=version2}}
{{Utilisateur Étudiant/Pédagogie}}
{{Utilisateur Étudiant|[[Scolarité en France/Masters|master]] de [[Département:Didactique des langues|didactique des langues]]}}
{{Utilisateur Wikiversité:Date|année=2020|mois=4|jour=14}}
{{Utilisateur Projet/Maintenance}}
{{Utilisateur Aide}}
{{BUfin}}

'''Bienvenue''' sur ma page de contributeur.

Titulaire d'un [[Scolarité en France/Masters|master]] en [[Département:Didactique des langues|didactique des langues]], je travaille dans le [[Projet:Français|français langue étrangère (FLE)]], comme enseignant-formateur, ingénieur pédagogique (créateur de ressources) et examinateur (juré de diplômes). Mes domaines de prédilection sont la [[Projet:Pédagogie|pédagogie]], la [[Projet:Philosophie|philosophie]] (surtout [[Département:Philosophie politique|politique]] et linguistique), les [[Projet:Langues|langues]] et la [[Projet:Musique|musique]].

Je travaille essentiellement à :
* améliorer l'accessibilité du site ;
* accompagner les nouveaux contributeurs, et notamment les nouveaux créateurs de ressources ;
* faire de la [[Projet:Maintenance|maintenance]] générale ([[Wikiversité:Débat d'admissibilité#Débats en cours|suppressions]], renommages, [[Wikiversité:Pages à fusionner|fusions]], [[Spécial:Pages liées/Modèle:À wikifier|formatages]]).

'''Pour toute question, &lt;span class=&quot;plainlinks&quot;&gt;[//fr.wikiversity.org/wiki/Discussion_utilisateur:Fourmidable?action=edit&amp;section=new cliquez ici]&lt;/span&gt;''', mais prévoyez un court délai de réponse. J'essaye de me connecter au moins une fois par semaine (voir la [[Spécial:Contributions/Fourmidable|liste de mes dernières contributions]]).

== Ma formation ==

* 2017-2020 : bac scientifique
* 2020-2022 : [[Hypokhâgne AL|classe préparatoire A/L]] (hypokhâgne-khâgne)
* 2022-2023 : [[Licence de lettres|L3 de lettres]] + érudition musicale ([[Département:Solfège|solfège]], [[orchestration]], {{Abréviation|[[Écriture musicale|écriture]]|harmonisation dans des styles classiques}} et composition contemporaine) en conservatoire
* 2023-2025 : master de [[Département:Didactique des langues|didactique des langues]] (mémoire en rédaction jusqu'en 2026)

== Disciplines pour lesquelles je peux faire du soutien ==

'''Attention !''' Les mentions « Je suis professeur de … » n'ont un sens que sur Wikiversité et ne correspondent pas nécessairement à une réalité dans la vraie vie.

{| align=&quot;center&quot;
|{{Utilisateur Diplôme/ASSR1|obtention=2014}}
|{{Utilisateur Diplôme/ASSR2|obtention=2016}}
|-
|{{Utilisateur Diplôme/DNB|mention=Très bien|obtention=2017}}
|{{Utilisateur Diplôme/Bac|nomdiplôme=scientifique|mention=Bien|obtention=2020}}
|-
|{{Utilisateur Diplôme/Licence|nomdiplôme=de lettres modernes|mention=Bien|obtention=2023}}
|{{Utilisateur Diplôme/Master|nomdiplôme=de [[Département:Didactique des langues|didactique des langues]]}}
|-
|{{Utilisateur fr}}
|{{Utilisateur Professeur/Français}}
|-
|{{Utilisateur en-3}}
|{{Utilisateur Professeur/Anglais}}
|-
|{{Utilisateur de-2}}
|{{Utilisateur Professeur/Allemand}}
|-
|{{Utilisateur grc-1}}
|{{Utilisateur Étudiant/Langues anciennes}}
|-
|{{Utilisateur instrument/Piano}}
|{{Utilisateur Professeur/Musique}}
|}
{{Clr}}

== Récompenses ==

''N'hésitez pas à me [[Modèle:Récompense|décerner une récompense]] sur [[Discussion utilisateur:Fourmidable|ma page de discussion]] si vous appréciez mon travail sur Wikiversité !''

{{Récompense|Brilliant Idea Barnstar Hires.png|Cher Ami, vos lumières sont si grandes, votre gentillesse si précieuse, que je m'interdis de vous encenser davantage. Puisse alors cette très lumineuse étoile continuer de vous inspirer dans le plus ambitieux projet qu’une communauté d’internautes (réellement sidérants) ait imaginé, avant d’oser le concrétiser. Recevez ma bénédiction ! Amicalement,&lt;br/&gt;[[Utilisateur:EclairEnZ|Père Supermario]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discussion]]) 3 septembre 2021 à 18:43 (UTC)}}

{{Récompense|Graduate award.svg|Bravo pour vos conseils de grande qualité!&lt;br/&gt;--[[Utilisatrice:Anaïs Castelli|Anaïs Castelli]] ([[Discussion utilisatrice:Anaïs Castelli|discuter]]) 8 avril 2023 à 17:30 (UTC)}}</text>
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{{Titre incorrect|Administrateur:Fourmidable}}
{{Utilisateur:Fourmidable/Menu}}
{{Avertissement|04/10/2026 : Je vais avoir beaucoup moins de temps pour le bénévolat ces prochaines semaines. Cependant, n'hésitez pas à me notifier.}}
{{BUdébut}}
{{Utilisateur Administrateur|vimage=version2}}
{{Utilisateur Étudiant/Pédagogie}}
{{Utilisateur Étudiant|[[Scolarité en France/Masters|master]] de [[Département:Didactique des langues|didactique des langues]]}}
{{Utilisateur Wikiversité:Date|année=2020|mois=4|jour=14}}
{{Utilisateur Projet/Maintenance}}
{{Utilisateur Aide}}
{{BUfin}}

'''Bienvenue''' sur ma page de contributeur.

Titulaire d'un [[Scolarité en France/Masters|master]] en [[Département:Didactique des langues|didactique des langues]], je travaille dans le [[Projet:Français|français langue étrangère (FLE)]], comme enseignant-formateur, ingénieur pédagogique (créateur de ressources) et examinateur (juré de diplômes). Mes domaines de prédilection sont la [[Projet:Pédagogie|pédagogie]], la [[Projet:Philosophie|philosophie]] (surtout [[Département:Philosophie politique|politique]] et linguistique), les [[Projet:Langues|langues]] et la [[Projet:Musique|musique]].

Je travaille essentiellement à :
* améliorer l'accessibilité du site ;
* accompagner les nouveaux contributeurs, et notamment les nouveaux créateurs de ressources ;
* faire de la [[Projet:Maintenance|maintenance]] générale ([[Wikiversité:Débat d'admissibilité#Débats en cours|suppressions]], renommages, [[Wikiversité:Pages à fusionner|fusions]], [[Spécial:Pages liées/Modèle:À wikifier|formatages]]).

'''Pour toute question, &lt;span class=&quot;plainlinks&quot;&gt;[//fr.wikiversity.org/wiki/Discussion_utilisateur:Fourmidable?action=edit&amp;section=new cliquez ici]&lt;/span&gt;''', mais prévoyez un court délai de réponse. J'essaye de me connecter au moins une fois par semaine (voir la [[Spécial:Contributions/Fourmidable|liste de mes dernières contributions]]).

== Ma formation ==

* 2017-2020 : bac scientifique
* 2020-2022 : [[Hypokhâgne AL|classe préparatoire A/L]] (hypokhâgne-khâgne)
* 2022-2023 : [[Licence de lettres|L3 de lettres]] + érudition musicale ([[Département:Solfège|solfège]], [[orchestration]], {{Abréviation|[[Écriture musicale|écriture]]|harmonisation dans des styles classiques}} et composition contemporaine) en conservatoire
* 2023-2025 : master de [[Département:Didactique des langues|didactique des langues]] (mémoire en rédaction jusqu'en 2026)

== Disciplines pour lesquelles je peux faire du soutien ==

'''Attention !''' Les mentions « Je suis professeur de … » n'ont un sens que sur Wikiversité et ne correspondent pas nécessairement à une réalité dans la vraie vie.

{| align=&quot;center&quot;
|{{Utilisateur Diplôme/ASSR1|obtention=2014}}
|{{Utilisateur Diplôme/ASSR2|obtention=2016}}
|-
|{{Utilisateur Diplôme/DNB|mention=Très bien|obtention=2017}}
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|-
|{{Utilisateur Diplôme/Licence|nomdiplôme=de lettres modernes|mention=Bien|obtention=2023}}
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|-
|{{Utilisateur fr}}
|{{Utilisateur Professeur/Français}}
|-
|{{Utilisateur en-3}}
|{{Utilisateur Professeur/Anglais}}
|-
|{{Utilisateur de-2}}
|{{Utilisateur Professeur/Allemand}}
|-
|{{Utilisateur grc-1}}
|{{Utilisateur Étudiant/Langues anciennes}}
|-
|{{Utilisateur instrument/Piano}}
|{{Utilisateur Professeur/Musique}}
|}
{{Clr}}

== Récompenses ==

''N'hésitez pas à me [[Modèle:Récompense|décerner une récompense]] sur [[Discussion utilisateur:Fourmidable|ma page de discussion]] si vous appréciez mon travail sur Wikiversité !''

{{Récompense|Brilliant Idea Barnstar Hires.png|Cher Ami, vos lumières sont si grandes, votre gentillesse si précieuse, que je m'interdis de vous encenser davantage. Puisse alors cette très lumineuse étoile continuer de vous inspirer dans le plus ambitieux projet qu’une communauté d’internautes (réellement sidérants) ait imaginé, avant d’oser le concrétiser. Recevez ma bénédiction ! Amicalement,&lt;br/&gt;[[Utilisateur:EclairEnZ|Père Supermario]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discussion]]) 3 septembre 2021 à 18:43 (UTC)}}

{{Récompense|Graduate award.svg|Bravo pour vos conseils de grande qualité!&lt;br/&gt;--[[Utilisatrice:Anaïs Castelli|Anaïs Castelli]] ([[Discussion utilisatrice:Anaïs Castelli|discuter]]) 8 avril 2023 à 17:30 (UTC)}}</text>
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{{Titre incorrect|Administrateur:Fourmidable}}
{{Utilisateur:Fourmidable/Menu}}
{{Avertissement|04/10/2026 : Je vais avoir beaucoup moins de temps pour le bénévolat ces prochaines semaines. Mais n'hésitez pas à me notifier.}}
{{BUdébut}}
{{Utilisateur Administrateur|vimage=version2}}
{{Utilisateur Étudiant/Pédagogie}}
{{Utilisateur Étudiant|[[Scolarité en France/Masters|master]] de [[Département:Didactique des langues|didactique des langues]]}}
{{Utilisateur Wikiversité:Date|année=2020|mois=4|jour=14}}
{{Utilisateur Projet/Maintenance}}
{{Utilisateur Aide}}
{{BUfin}}

'''Bienvenue''' sur ma page de contributeur.

Titulaire d'un [[Scolarité en France/Masters|master]] en [[Département:Didactique des langues|didactique des langues]], je travaille dans le [[Projet:Français|français langue étrangère (FLE)]], comme enseignant-formateur, ingénieur pédagogique (créateur de ressources) et examinateur (juré de diplômes). Mes domaines de prédilection sont la [[Projet:Pédagogie|pédagogie]], la [[Projet:Philosophie|philosophie]] (surtout [[Département:Philosophie politique|politique]] et linguistique), les [[Projet:Langues|langues]] et la [[Projet:Musique|musique]].

Je travaille essentiellement à :
* améliorer l'accessibilité du site ;
* accompagner les nouveaux contributeurs, et notamment les nouveaux créateurs de ressources ;
* faire de la [[Projet:Maintenance|maintenance]] générale ([[Wikiversité:Débat d'admissibilité#Débats en cours|suppressions]], renommages, [[Wikiversité:Pages à fusionner|fusions]], [[Spécial:Pages liées/Modèle:À wikifier|formatages]]).

'''Pour toute question, &lt;span class=&quot;plainlinks&quot;&gt;[//fr.wikiversity.org/wiki/Discussion_utilisateur:Fourmidable?action=edit&amp;section=new cliquez ici]&lt;/span&gt;''', mais prévoyez un court délai de réponse. J'essaye de me connecter au moins une fois par semaine (voir la [[Spécial:Contributions/Fourmidable|liste de mes dernières contributions]]).

== Ma formation ==

* 2017-2020 : bac scientifique
* 2020-2022 : [[Hypokhâgne AL|classe préparatoire A/L]] (hypokhâgne-khâgne)
* 2022-2023 : [[Licence de lettres|L3 de lettres]] + érudition musicale ([[Département:Solfège|solfège]], [[orchestration]], {{Abréviation|[[Écriture musicale|écriture]]|harmonisation dans des styles classiques}} et composition contemporaine) en conservatoire
* 2023-2025 : master de [[Département:Didactique des langues|didactique des langues]] (mémoire en rédaction jusqu'en 2026)

== Disciplines pour lesquelles je peux faire du soutien ==

'''Attention !''' Les mentions « Je suis professeur de … » n'ont un sens que sur Wikiversité et ne correspondent pas nécessairement à une réalité dans la vraie vie.

{| align=&quot;center&quot;
|{{Utilisateur Diplôme/ASSR1|obtention=2014}}
|{{Utilisateur Diplôme/ASSR2|obtention=2016}}
|-
|{{Utilisateur Diplôme/DNB|mention=Très bien|obtention=2017}}
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|-
|{{Utilisateur Diplôme/Licence|nomdiplôme=de lettres modernes|mention=Bien|obtention=2023}}
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|-
|{{Utilisateur fr}}
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|-
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|{{Utilisateur de-2}}
|{{Utilisateur Professeur/Allemand}}
|-
|{{Utilisateur grc-1}}
|{{Utilisateur Étudiant/Langues anciennes}}
|-
|{{Utilisateur instrument/Piano}}
|{{Utilisateur Professeur/Musique}}
|}
{{Clr}}

== Récompenses ==

''N'hésitez pas à me [[Modèle:Récompense|décerner une récompense]] sur [[Discussion utilisateur:Fourmidable|ma page de discussion]] si vous appréciez mon travail sur Wikiversité !''

{{Récompense|Brilliant Idea Barnstar Hires.png|Cher Ami, vos lumières sont si grandes, votre gentillesse si précieuse, que je m'interdis de vous encenser davantage. Puisse alors cette très lumineuse étoile continuer de vous inspirer dans le plus ambitieux projet qu’une communauté d’internautes (réellement sidérants) ait imaginé, avant d’oser le concrétiser. Recevez ma bénédiction ! Amicalement,&lt;br/&gt;[[Utilisateur:EclairEnZ|Père Supermario]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discussion]]) 3 septembre 2021 à 18:43 (UTC)}}

{{Récompense|Graduate award.svg|Bravo pour vos conseils de grande qualité!&lt;br/&gt;--[[Utilisatrice:Anaïs Castelli|Anaïs Castelli]] ([[Discussion utilisatrice:Anaïs Castelli|discuter]]) 8 avril 2023 à 17:30 (UTC)}}</text>
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{{Titre incorrect|Administrateur:Fourmidable}}
{{Utilisateur:Fourmidable/Menu}}
{{Avertissement|04/10/2026 : Je vais avoir beaucoup moins de temps pour le bénévolat ces prochaines semaines. Mais n'hésitez pas à me notifier.}}
{{BUdébut}}
{{Utilisateur Administrateur|vimage=version2}}
{{Utilisateur Étudiant/Pédagogie}}
{{Utilisateur Étudiant|[[Scolarité en France/Masters|master]] de [[Département:Didactique des langues|didactique des langues]]}}
{{Utilisateur Wikiversité:Date|année=2020|mois=4|jour=14}}
{{Utilisateur Projet/Maintenance}}
{{Utilisateur Aide}}
{{BUfin}}

'''Bienvenue''' sur ma page de contributeur.

Titulaire d'un [[Scolarité en France/Masters|master]] en [[Département:Didactique des langues|didactique des langues]], je travaille dans le [[Projet:Français|français langue étrangère (FLE)]], comme enseignant-formateur, ingénieur pédagogique (créateur de ressources) et examinateur (juré de diplômes DELF, DALF et TCF). Mes domaines de prédilection sont la [[Projet:Pédagogie|pédagogie]], la [[Projet:Philosophie|philosophie]] (surtout [[Département:Philosophie politique|politique]] et linguistique), les [[Projet:Langues|langues]] et la [[Projet:Musique|musique]].

Je travaille essentiellement à :
* améliorer l'accessibilité du site ;
* accompagner les nouveaux contributeurs, et notamment les nouveaux créateurs de ressources ;
* faire de la [[Projet:Maintenance|maintenance]] générale ([[Wikiversité:Débat d'admissibilité#Débats en cours|suppressions]], renommages, [[Wikiversité:Pages à fusionner|fusions]], [[Spécial:Pages liées/Modèle:À wikifier|formatages]]).

'''Pour toute question, &lt;span class=&quot;plainlinks&quot;&gt;[//fr.wikiversity.org/wiki/Discussion_utilisateur:Fourmidable?action=edit&amp;section=new cliquez ici]&lt;/span&gt;''', mais prévoyez un court délai de réponse. J'essaye de me connecter au moins une fois par semaine (voir la [[Spécial:Contributions/Fourmidable|liste de mes dernières contributions]]).

== Ma formation ==

* 2017-2020 : bac scientifique
* 2020-2022 : [[Hypokhâgne AL|classe préparatoire A/L]] (hypokhâgne-khâgne)
* 2022-2023 : [[Licence de lettres|L3 de lettres]] + érudition musicale ([[Département:Solfège|solfège]], [[orchestration]], {{Abréviation|[[Écriture musicale|écriture]]|harmonisation dans des styles classiques}} et composition contemporaine) en conservatoire
* 2023-2025 : master de [[Département:Didactique des langues|didactique des langues]] (mémoire en rédaction jusqu'en 2026)

== Disciplines pour lesquelles je peux faire du soutien ==

'''Attention !''' Les mentions « Je suis professeur de … » n'ont un sens que sur Wikiversité et ne correspondent pas nécessairement à une réalité dans la vraie vie.

{| align=&quot;center&quot;
|{{Utilisateur Diplôme/ASSR1|obtention=2014}}
|{{Utilisateur Diplôme/ASSR2|obtention=2016}}
|-
|{{Utilisateur Diplôme/DNB|mention=Très bien|obtention=2017}}
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|-
|{{Utilisateur Diplôme/Licence|nomdiplôme=de lettres modernes|mention=Bien|obtention=2023}}
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|-
|{{Utilisateur fr}}
|{{Utilisateur Professeur/Français}}
|-
|{{Utilisateur en-3}}
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|-
|{{Utilisateur de-2}}
|{{Utilisateur Professeur/Allemand}}
|-
|{{Utilisateur grc-1}}
|{{Utilisateur Étudiant/Langues anciennes}}
|-
|{{Utilisateur instrument/Piano}}
|{{Utilisateur Professeur/Musique}}
|}
{{Clr}}

== Récompenses ==

''N'hésitez pas à me [[Modèle:Récompense|décerner une récompense]] sur [[Discussion utilisateur:Fourmidable|ma page de discussion]] si vous appréciez mon travail sur Wikiversité !''

{{Récompense|Brilliant Idea Barnstar Hires.png|Cher Ami, vos lumières sont si grandes, votre gentillesse si précieuse, que je m'interdis de vous encenser davantage. Puisse alors cette très lumineuse étoile continuer de vous inspirer dans le plus ambitieux projet qu’une communauté d’internautes (réellement sidérants) ait imaginé, avant d’oser le concrétiser. Recevez ma bénédiction ! Amicalement,&lt;br/&gt;[[Utilisateur:EclairEnZ|Père Supermario]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discussion]]) 3 septembre 2021 à 18:43 (UTC)}}

{{Récompense|Graduate award.svg|Bravo pour vos conseils de grande qualité!&lt;br/&gt;--[[Utilisatrice:Anaïs Castelli|Anaïs Castelli]] ([[Discussion utilisatrice:Anaïs Castelli|discuter]]) 8 avril 2023 à 17:30 (UTC)}}</text>
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{{Titre incorrect|Administrateur:Fourmidable}}
{{Utilisateur:Fourmidable/Menu}}
{{Avertissement|04/10/2026 : Je vais avoir beaucoup moins de temps pour le bénévolat ces prochaines semaines. Mais n'hésitez pas à me notifier : j'essayerai de me connecter toutes les deux semaines.}}
{{BUdébut}}
{{Utilisateur Administrateur|vimage=version2}}
{{Utilisateur Étudiant/Pédagogie}}
{{Utilisateur Étudiant|[[Scolarité en France/Masters|master]] de [[Département:Didactique des langues|didactique des langues]]}}
{{Utilisateur Wikiversité:Date|année=2020|mois=4|jour=14}}
{{Utilisateur Projet/Maintenance}}
{{Utilisateur Aide}}
{{BUfin}}

'''Bienvenue''' sur ma page de contributeur.

Titulaire d'un [[Scolarité en France/Masters|master]] en [[Département:Didactique des langues|didactique des langues]], je travaille dans le [[Projet:Français|français langue étrangère (FLE)]], comme enseignant-formateur, ingénieur pédagogique (créateur de ressources) et examinateur (juré de diplômes DELF, DALF et TCF). Mes domaines de prédilection sont la [[Projet:Pédagogie|pédagogie]], la [[Projet:Philosophie|philosophie]] (surtout [[Département:Philosophie politique|politique]] et linguistique), les [[Projet:Langues|langues]] et la [[Projet:Musique|musique]].

Je travaille essentiellement à :
* améliorer l'accessibilité du site ;
* accompagner les nouveaux contributeurs, et notamment les nouveaux créateurs de ressources ;
* faire de la [[Projet:Maintenance|maintenance]] générale ([[Wikiversité:Débat d'admissibilité#Débats en cours|suppressions]], renommages, [[Wikiversité:Pages à fusionner|fusions]], [[Spécial:Pages liées/Modèle:À wikifier|formatages]]).

'''Pour toute question, &lt;span class=&quot;plainlinks&quot;&gt;[//fr.wikiversity.org/wiki/Discussion_utilisateur:Fourmidable?action=edit&amp;section=new cliquez ici]&lt;/span&gt;''', mais prévoyez un court délai de réponse. J'essaye de me connecter au moins une fois par semaine (voir la [[Spécial:Contributions/Fourmidable|liste de mes dernières contributions]]).

== Ma formation ==

* 2017-2020 : bac scientifique
* 2020-2022 : [[Hypokhâgne AL|classe préparatoire A/L]] (hypokhâgne-khâgne)
* 2022-2023 : [[Licence de lettres|L3 de lettres]] + érudition musicale ([[Département:Solfège|solfège]], [[orchestration]], {{Abréviation|[[Écriture musicale|écriture]]|harmonisation dans des styles classiques}} et composition contemporaine) en conservatoire
* 2023-2025 : master de [[Département:Didactique des langues|didactique des langues]] (mémoire en rédaction jusqu'en 2026)

== Disciplines pour lesquelles je peux faire du soutien ==

'''Attention !''' Les mentions « Je suis professeur de … » n'ont un sens que sur Wikiversité et ne correspondent pas nécessairement à une réalité dans la vraie vie.

{| align=&quot;center&quot;
|{{Utilisateur Diplôme/ASSR1|obtention=2014}}
|{{Utilisateur Diplôme/ASSR2|obtention=2016}}
|-
|{{Utilisateur Diplôme/DNB|mention=Très bien|obtention=2017}}
|{{Utilisateur Diplôme/Bac|nomdiplôme=scientifique|mention=Bien|obtention=2020}}
|-
|{{Utilisateur Diplôme/Licence|nomdiplôme=de lettres modernes|mention=Bien|obtention=2023}}
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|-
|{{Utilisateur fr}}
|{{Utilisateur Professeur/Français}}
|-
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|-
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|{{Utilisateur Professeur/Allemand}}
|-
|{{Utilisateur grc-1}}
|{{Utilisateur Étudiant/Langues anciennes}}
|-
|{{Utilisateur instrument/Piano}}
|{{Utilisateur Professeur/Musique}}
|}
{{Clr}}

== Récompenses ==

''N'hésitez pas à me [[Modèle:Récompense|décerner une récompense]] sur [[Discussion utilisateur:Fourmidable|ma page de discussion]] si vous appréciez mon travail sur Wikiversité !''

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    <title>Recherche:Atelier du Vivant</title>
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      <text bytes="16089" sha1="09919s5t9mhg5t86gpx8kw0bukkb4m3" xml:space="preserve">[[Fichier:Cowscape-1.jpg|vignette|Ce paysage surréaliste composé du le dos de vache Holstein (race bovine la plus industrialisée et mondialisée) dont la robe évoque les figures humaines, et des éléments de notre monde techno-industriel, illustre l'engagement interdisciplinaire de notre Atelier du Vivant pour mieux saisir les enchevêtrements socio-bio-techniques de l'Anthropocène(c)Lidia Chavinskaia]]
L'atelier du vivant est une activité de l'UMR [[LISIS]] animé par Lidia Chavinskaia, Julie Labatut, François Charrier.

==== Travaux en cours ====

* [[Recherche:Atelier du Vivant/Cartographie|Cartographie]]
* Ecriture collective de l'article &quot;Le vivant social et biologique : des concepts-frontières comme outils pratiques de l’interdisciplinarité entre les SHS et les sciences biologiques&quot; (titre de travail)

== Argumentaire ==
Il paraît dorénavant évident que le rapport au vivant au sein de notre société change et ce changement s’accélère et devient perceptible à plusieurs niveaux : social, politique, économique, scientifique, etc. De nombreux mouvements sociaux en faveur de la protection des espèces animales et végétales, revendiquent le changement de leur statut et de leurs droits dans la société. Les questions de protection de l’environnement et du droit des animaux intègrent activement les agendas politiques aussi bien localement qu’à l’international. Les entreprises, et en particulier des filières agro-alimentaires, se voient obligées d’adapter leurs stratégies aux nouvelles exigences sociétales vis-à-vis du traitement des animaux et des plantes. La gestion des risques sanitaires oblige à élargir leur cadrage en tenant compte de la transversalité et de la dynamique des vecteurs des maladies (concept « one health »). Les disciplines '''biologiques''' revoient leurs questions de recherche, leurs méthodes, leurs résultats.

La façon de voir, de penser et d’étudier les organismes vivants dans le périmètre propre de leurs corps laisse de plus en plus la place à l’approche interactionniste et relationnelle du vivant (cf., par exemple, Heams 2019). Le déterminisme génétique comme idéal du vivant prédictible s’assouplie avec les connaissances sur les mécanismes épigénétiques et laisse sa place à l’effet de l’environnement dans le sens très large du terme comme co-déterminant (rappelons-nous ici Lamarck) mais peu prédictible et peu saisissable avec les outils scientifiques développés jusqu’au là. Le vivant est décrit comme « anarchique » notamment dans les travaux du biologiste Jean-Jacques Kupiec (2017, 2019) qui questionne les outils et les méthodes de la biologie moderne. 

Dans les '''SHS''', le dépassement épistémologique des frontières de la société humaine est relativement récent. 

'''Animal studies''' (Kalof 2017) et plus récentes '''Plant studies''' (Woodward &amp; Lemmer 2019), champs d’études interdisciplinaires, explorent la relation respectivement homme-animal et homme-plante dans l’histoire et au travers des différentes pratiques sociétales. On y adopte une approche critique de l’anthropocentrisme et cherche à montrer « l’agency » des animaux et des plantes en tant qu’êtres sensibles et dotés d’intelligence.  

Dans le champ des « '''management and organization studies''' », on observe également une augmentation significative des travaux s’intéressant au vivant. Ces contributions ont participé à développer une pensée critique au-delà des concepts classiques dans ce champ disciplinaire tels que le développement durable ou la responsabilité sociale et environnementale des entreprises. Depuis les travaux sur les animaux de compagnie dans le Journal of Business Research en 2008, de nombreux numéros spéciaux et articles ont été produits, notamment dans les revues Organization et Organization Studies, autour du changement climatique, de l’Anthropocène, des animal studies, appelant cette communauté à adopter une « Earth-centered perspective » et à s’engager dans de nouvelles réflexions épistémologiques, ontologiques et méthodologiques autour du vivant. 

Si les '''STS''' '''(Science and Technology Studies)''' étaient précurseurs dans la prise en compte rationnelle des éléments non-humains dans les sciences humaines et sociales, le vivant (bios) en tant qu’actant à part entière dans les systèmes sociotechniques a eu relativement peu d’attention jusqu’à présent. Lorsque Bruno Latour (1988) écrit que Louis Pasteur en découvrant les microorganismes ''« recompose la société différemment'' », il appelle justement à penser notre société différemment, en tenant compte des éléments non-humains et en particulier d’autres organismes vivants. Il nous le rappelle et en 2020 à l’occasion de la pandémie : ''«… la définition classique de la société – les humains entre eux – n’a aucun sens. […] Une fois pris en compte tout le réseau dont il n’est qu’un maillon, le même virus n’agit pas de la même façon à Taïwan, Singapour, New York ou Paris.»''

Des cadres théoriques et la méthodologie analytique des STS sont appliqués aussi bien dans Animal et Plant studies que dans les Management and Organization studies. Mais le vivant en tant qu’objet systémique et systématique d’étude nous semble mériter plus d’attention en lien avec les pratiques scientifiques et technologiques, en particulier à l’heure actuelle où certains paradigmes et régimes de production de connaissances sur la vie sont en train d’évoluer. L’INRAE, organisme de recherche finalisée et appliquée, nous offre un terrain favorable pour observer et analyser ces évolutions en mettant en œuvre les changements épistémologiques nécessaires à ce tournant vers le vivant, notamment l’interdisciplinarité. La transition du paradigme productiviste au paradigme agroécologique où le vivant-objet (outil) laisse plus de place au vivant-sujet (acteur), apporte à la recherche de nouveaux enjeux, questions, méthodes, résultats, ouvertures et organisations (exemples : la génétique, l’expérimentation, transgénèse et biologie de synthèse…). 

Comment, par quel biais cognitif, le vivant se manifeste-t-il à nous? Que produit-il comme changement au sein de la société? Comment s’intègre-t-il dans les systèmes/réseaux/agencements socio(bio)techniques ? Comment cette intégration est vécue par d’autres acteurs ? Comment enfin penser le vivant non seulement dans son ontologie biologique mais aussi sociale ? ... Nos nombreux cas d'étude peuvent probablement éclairer ces questionnements si on les met à réflexion ensemble. 

=== Tentative de définition conceptuelle ===
''Le vivant'' par sa forme grammaticale (participe présent du verbe ''vivre'' transformé en substantif) traduit la volonté de concrétiser la notion trop abstraite de ''vie'' en lui procurant une forme d’agentivité. Ainsi, le vivant définit les manifestations de la vie contextualisées, situées, incarnées dans les pratiques et les imaginaires des acteurs. Mettre cette notion au centre d’un discours/projet signifie (i) d’admettre l’existence dans nos objets d’attention de ce que les biologistes eux-mêmes caractérisent comme complexe, incertain, imprédictible et même portant une certaine forme « d’anarchisme » (Heams 2019, Kupiec 2019, Hamant 2022), (ii) de  questionner les approches mécanistiques, déterministes et de ce point de vue réductionnistes des êtres et des phénomènes étudiés et/ou mis en utilisation et (iii) de tenir compte de leurs dimensions de dynamisme constant, d’incertitude ontologique (Callon 2014), de cyclicité, d’interactivité relationnelle tant biologique que sociale. 

== Bibliographie générale ==
'''&quot;Le Vivant&quot;'''

Boisseau, A., &amp; Tahar, M. (2022). Remettre à l’œuvre les processus du vivant. Repenser le lien de l’histoire humaine avec l’histoire naturelle: lectures croisées de Bergson et Ruyer. ''Rue Descartes'', ''101''(1), 23-39. &lt;nowiki&gt;https://shs.cairn.info/revue-rue-descartes-2022-1?lang=fr&lt;/nowiki&gt;

Fassin, D. (2000). Entre politiques du vivant et politiques de la vie : pour une anthropologie de la santé. ''Anthropologie et Sociétés'', ''24''(1), 95–116. &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.7202/015638ar&lt;/nowiki&gt;

Hamant, O. (2022). ''La troisième voie du vivant''. Paris : Odile Jacob, 288 p.

Heams, T. (2019). Infavies. Le vivant sans frontières. Editions du Seuil, 192 p.

Kalof, L. (Éd.). (2017). ''The Oxford handbook of animal studies''. Oxford University Press.

Kupiec, J.-J. (2019). ''Et si le vivant était anarchique?'' Actes Sud, 256 p.

Lafontaine, C. (2021). ''Bio-objets. Les nouvelles frontières du vivant.'' Editions du Seuil

Latour, B. (1988). ''The pasteurization of France''. Harvard University Press.

Miquel, P. A. (1996). ''Le problème de la nouveauté dans l'évolution du vivant: de l'évolution créatrice de Bergson à la biologie contemporaine'' (Doctoral dissertation, Paris 10)

Morange, M.  (2012). Les secrets du vivant : Contre la pensée unique en biologie. La Découverte. &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.3917/dec.moran.2012.01&lt;/nowiki&gt;.

Passet, R.  (1995). L'Économique et Le Vivant. Economica. &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.3917/econo.passe.1996.01&lt;/nowiki&gt;.

Woodward, W., &amp; Lemmer, E. (2019). Introduction : Critical Plant Studies. ''Journal of Literary Studies'', ''35''(4), 23‑27. &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.1080/02564718.2019.1690804&lt;/nowiki&gt;

'''Interdisciplinarité SHS-Sciences biologiques:'''

Berlivet, L. (2018). « Chassez le naturel… » : Les sciences sociales aux prises avec le déterminisme biologique (note critique). ''Annales. Histoire, Sciences Sociales'', ''73''(2), 443‑473. &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.1017/ahss.2019.7&lt;/nowiki&gt;

Callon, M. (2014). Les incertitudes scientifiques et techniques constituent-elles une source possible de renouvellement de la vie démocratique ? In D. Vrancken (Éd.), ''Penser l’incertain'' (p. 29‑48). Les Presses de l’Université de Laval. &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.1515/9782763720746-004&lt;/nowiki&gt;

Cornu, P. (2023). Un historien en interdisciplinarité. Essai d’épistémologie située. ''Natures Sciences Sociétés'', ''31''(1), 103‑109. &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.1051/nss/2023016&lt;/nowiki&gt;

Dedeurwaerdere, T. (2023). ''Transdisciplinary Research, Sustainability, and Social Transformation : Governance and Knowledge Co-Production'' (1&lt;sup&gt;re&lt;/sup&gt; éd.). Routledge. &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.4324/9781032624297&lt;/nowiki&gt;

Demeulenaere, É. (2022). Trois expériences et un enseignement. De quelques inconforts de la recherche interdisciplinaire et participative autour d’enjeux de biodiversité. ''Tracés'', (#22), 97‑116. &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.4000/traces.14821&lt;/nowiki&gt;

Ducrot, C., Barrio, M. B., Boissy, A., Casabianca, F., Pinard-van Der Laan, M.-H., &amp; Maillet, I. (2021). Comment faciliter la construction et la conduite des projets interdisciplinaires : Retour d’expérience d’un programme de recherche sur la gestion intégrée de la santé des animaux en élevage. ''Natures Sciences Sociétés'', ''29''(2), 213‑222. &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.1051/nss/2021035&lt;/nowiki&gt;

Garin, P., Arpin, I., Barreteau, O., Caranta, C., Ducrot, C., Hannachi, M., &amp; Maillet, I. (2021). Réfléchir l’interdisciplinarité à INRAE. ''Natures Sciences Sociétés'', ''29''(2), 206‑212. &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.1051/nss/2021034&lt;/nowiki&gt;

Guillo, D. (2012). Les usages de la biologie en sciences sociales : Comparaison entre le naturalisme socio-anthropologique du dix-neuvième siècle et celui d’aujourd’hui. ''Revue européenne des sciences sociales'', ''50‑1'', 191‑226. &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.4000/ress.1194&lt;/nowiki&gt;

Hubert, B., &amp; Mathieu, N. (Éds.). (2016). ''Interdisciplinarités entre Natures et Sociétés''. Peter Lang B. &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.3726/978-3-0352-6633-7&lt;/nowiki&gt;

Newton, T. (2025). What Is Social Science? A Comparison with Biology. ''Sociological Theory'', ''43''(3), 238‑263. &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.1177/07352751251353197&lt;/nowiki&gt;

Nourrit-Lucas, D., Aleveque, G., Laurent, A., &amp; Libourel Rouge, T. (2023). L’interdisciplinarité dans tous ses états : Une approche complexe, floue et interalogique. ''Journal of Interdisciplinary Methodologies and Issues in Sciences'', ''Vol 11-Thinking...''(Issues), 11317. &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.46298/jimis.11317&lt;/nowiki&gt;

Sanchez, W., Mamy, L., Pesce, S., &amp; Leenhardt, S. (2023). Pluridisciplinarité et interdisciplinarité au cœur de l’expertise scientifique collective INRAE et Ifremer sur les effets des produits phytopharmaceutiques sur la biodiversité et les services écosystémiques. ''Natures Sciences Sociétés'', ''31''(2), 199‑206. &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.1051/nss/2023038&lt;/nowiki&gt;

Star, S. L. (2010). Ceci n’est pas un objet-frontière ! : Réflexions sur l’origine d’un concept (M. B. Bah, Trad.). ''Revue d’anthropologie des connaissances'', ''4''(1). &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.3917/rac.009.0018&lt;/nowiki&gt;

Star, S. L., &amp; Griesemer, J. R. (1989). Institutional Ecology, « Translations » and Boundary Objects : Amateurs and Professionals in Berkeley’s Museum of Vertebrate Zoology, 1907-39. ''Social Studies of Science'', ''19''(3), 387‑420.

Trompette, P., &amp; Vinck, D. (2009). Retour sur la notion d’objet-frontière. ''Revue d’anthropologie des connaissances'', ''3''(1). &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.3917/rac.006.0005&lt;/nowiki&gt;

Unité et diversité du vivant. Réflexions pour un séminaire interdisciplinaire de l’Association NSS-Dialogues. (2023). ''Natures Sciences Sociétés'', ''31''(2), 263‑266. &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.1051/nss/2023043&lt;/nowiki&gt;

Vinck, D. (2009). De l’objet intermédiaire à l’objet-frontière : Vers la prise en compte du travail d’équipement. ''Revue d’anthropologie des connaissances'', ''3''(1). &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.3917/rac.006.0051&lt;/nowiki&gt;
== Séances ==

=== Historique des séances ===

* &lt;u&gt;Juin 2023&lt;/u&gt;
** Evelyne Lhoste (STS, INRAE), et Davi Savietto (sciences animales, INRAE): LAPOESIE - projet transdisciplinaire analyse la faisabilité et la plus-value de l'association arboriculture-élevage de lapins en agriculture biologique (AB)
** Tasnime Adamji (doctorante en sociologie, INRAE) et Simon Fellous (écologue INRAE): TIS : insectes stériles comme lutte biologique

* &lt;u&gt;14 octobre 2023&lt;/u&gt;
** Céline Lafontaine (sociologue, professeure à l'Université de Montréal): &quot;Bio-objets. Les nouvelles frontières du vivant&quot;

* &lt;u&gt;5 décembre 2023&lt;/u&gt;
** Christian Ducrot (épidémiologiste, INRAE): reflexions méthodologiques sur le travail interdisciplinaire entre l'épidémiologie et les SHS

* &lt;u&gt;5 mars 2024&lt;/u&gt;
** Lidia Chavinskaia (STS, INRAE) et Vincent Ducrocq (génétique animale, INRAE): &quot;La Vache globale&quot;: retour sur l'expérience interdisciplinaire de la thèse entre SHS et génétique
** Alice Dupré la Tour (sciences de gestion, post-doctorante INRAE) et Alain Charcosset (génétique végétale, INRAE): entre l'agronomie et la génétique végétale

* &lt;u&gt;14 mai 2024&lt;/u&gt; - Approche systémique du vivant
** Pierre Cornu (historien, ENS Lyon et INRAE): histoire de l'approche systémique en sciences animales à l'INRAE
** Olivier Hamant (biologie végétale, ENS Lyon et INRAE): besoin de l'approche systémique en sciences végétales, discussion de son livre &quot;La troisième voie du vivant&quot;

* &lt;u&gt;2 juillet 2024&lt;/u&gt;
** Marc Barbier (sociologue, INRAE) et Séverine Bord (ingénieure statisticienne, INRAE): SOTIQUE projet collaboratif sur les tiques dans l’espace urbain
** Bilan de l'année

* &lt;u&gt;11 février 2025&lt;/u&gt;
** Baptiste Bedessem (sociologue, INRAE): recherche participative et transdisciplinaire en écologie de la vigne

* &lt;u&gt;1er avril 2025&lt;/u&gt;
** &quot;Le vivant versus le non-humain : regards croisés entre biologie et sociologie&quot;, Céline Lafontaine, Université Montréal, Thomas Heams, AgroParisTech, UMR GABI INRAE</text>
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    <title>Recherche:Arthur Constantin KREBS (1850-1935) - Pionnier de l'aéronautique, de la navigation sous-marine, des services d'incendie, de l'automobile et gestionnaire de grands projets technologiques</title>
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      <minor />
      <comment>([[c:GR|GR]]) [[c:COM:Duplicate|Duplicate]]: [[File:1910 - Panhard &amp; Levassor - moteur-120HP du dirigeable Morning Post.jpg]] → [[File:Moteur Panhard, 120 HP, déstiné au dirigeable anglais - btv1b9018675v.jpg]] Exact or scaled-down duplicate: [[c::File:Moteur Panhard, 120 HP, déstiné au dirigeable anglais - btv1b9018675v.jpg]]</comment>
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{{Travail de recherche
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{| class=&quot;wikitable centre&quot; style=&quot;border:left; border:right; text-align:center; width:50%;&quot;
! colspan=&quot;2&quot;|Biographie intellectuelle
|-
!style=&quot;background: #C0C0C0;&quot; colspan=&quot;2&quot;| '''&lt;big&gt;Arthur Constantin Krebs &lt;/big&gt;'''(1850-1935)
|-
|style=&quot;border:none;&quot; colspan=&quot;2&quot;|[[File:Arthur Constantin Krebs.png]]
|-
|style=&quot;border:none;&quot; colspan=&quot;2&quot;|'''Officier et industriel français, pionnier de la navigation aérienne et sous-marine et de l'ingénierie automobile'''&lt;br&gt;
|- 
|style=&quot;border:none; text-align:right; vertical-align:top;&quot;| '''Naissance''' ||style=&quot;border:none; text-align:left;&quot;| 16 novembre 1850 à Vesoul
|- 
|style=&quot;border:none; text-align:right; vertical-align:top;&quot;| '''Décès''' ||style=&quot;border:none; text-align:left;&quot;| 21 mars 1935 à Quimperlé
|- 
|style=&quot;border:none; text-align:right; vertical-align:top;&quot;| '''Sépulture''' ||style=&quot;border:none; text-align:left;&quot;| Cimetière Saint-David de Quimperlé
|- 
|style=&quot;border:none; text-align:right; vertical-align:top;&quot;| '''Nationalité''' ||style=&quot;border:none; text-align:left;&quot;| Française
|- 
|style=&quot;border:none; text-align:right; vertical-align:top;&quot;| '''Domiciles''' ||style=&quot;border:none; text-align:left;&quot;| [[c:Category:Parc aérostatique de Chalais-Meudon|Parc aérostatique de Chalais-Meudon]]&lt;br&gt;État-major des Pompiers (9 Bd du Palais, Paris)&lt;br&gt;Usine Panhard &amp; Levassor (19 av. d'Ivry, Paris)
|- 
|style=&quot;border:none; text-align:right; vertical-align:top;&quot;| '''Formation''' ||style=&quot;border:none; text-align:left;&quot;| École spéciale militaire de Saint-Cyr (1872-1873)
|- 
|style=&quot;border:none; text-align:right; vertical-align:top;&quot;| '''Activités''' || style=&quot;border:none; text-align:left;&quot;| Inventeur, ingénieur militaire, aviateur, ingénieur aéronautique, ingénieur en construction automobile, industriel, motorboat racer, pompier
|-
|style=&quot;border:none; text-align:right; vertical-align:top;&quot;| '''Œuvres notables''' ||style=&quot;border:none; text-align:left;&quot;| Les [[Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#A._C._KREBS_pilote_les_premiers_vols_pleinement_contr%C3%B4l%C3%A9s|premiers vols aériens contrôlés]] avec le sous-marin expérimental  [[Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#Le_dirigeable_%22La_France%22_avec_Charles_RENARD_et_Henri_DUPUY-de-L%C3%94ME|le dirigeable '''''La France''''']]&lt;br&gt;Le premier sous-marin pleinement fonctionnel avec [[Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#Le_sous-marin_%22Gymnote%22_avec_Gustave_ZEDE le sous-marin expérimental|'''''Gymnote''''']]&lt;br&gt;Le [[Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#Le_%22carburateur_Krebs%22|premier '''''carburateur automatique''''']]&lt;br&gt;Le premier  [[Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#Le_joint_%C3%A9lastique_FLECTOR|joint élastique '''''FLECTOR''''']]
|- 
|style=&quot;border:none; text-align:right; vertical-align:top;&quot;| '''Distinctions'''||style=&quot;border:none; text-align:left;&quot;| Le [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3059r/f1395 '''''prix Ponti'''''] de l'[[W:Académie des sciences (France)|académie des sciences]] (avec [[W:Charles_Renard|Ch. Renard]])&lt;br&gt;Commandeur de la Légion d'honneur
|- 
|style=&quot;border:none; text-align:right; vertical-align:top;&quot;| '''Employé par''' ||style=&quot;border:none; text-align:left;&quot;| Armée de terre française&lt;br&gt;Brigade de sapeurs-pompiers de Paris&lt;br&gt;Panhard &amp; Levassor
|- 
|style=&quot;border:none; text-align:right; vertical-align:top;&quot;|'''Conjoint'''||style=&quot;border:none; text-align:left;&quot;| Marie de Fréminville (1858-1938)
|- 
|style=&quot;border:none; text-align:right; vertical-align:top;&quot;| '''Enfants''' ||style=&quot;border:none; text-align:left;&quot;| Antoine, Hervé, [[W:Louis Krebs|'''Louis''']], Anne-Marie, Arthur, [[Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#Jean_Krebs_(1896-1916)_et_Georges_GUYNEMER_(1894-1917)|'''Jean''']], Alain, [[W:Petit Navire|'''Marguerite''']]
|- 
|style=&quot;border:none; text-align:right; vertical-align:top;&quot;| '''Parentèle''' ||style=&quot;border:none; text-align:left;&quot;| [[Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#Commandant_L%C3%A9once_Krebs_(1849-1922)|'''Commandant Léonce Krebs''']] &lt;small&gt;(frère aîné)&lt;/small&gt;&lt;br&gt;[[W:Charles_de_La_Poix_de_Fréminville|'''Charles de Fréminville''']] &lt;small&gt;(beau-frère)&lt;/small&gt;
|- 
|style=&quot;border:none; text-align:right; vertical-align:top;&quot;|'''Signature'''||style=&quot;border:none;|[[File:1902 - Panhard &amp; Levassor - signature A. C. KREBS.png|250px]]
|- 
|style=&quot;border:none; text-align:right; vertical-align:top;&quot;| '''Site Web'''||style=&quot;border:none; text-align:left;&quot;| [http://rbmn.free.fr ''rbmn.free.fr'']
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|}
[[File:La france vd66w081t 0 h702q745p.tiff |thumb|right|250px|Artist's depiction of ''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]'', 1884]]
[[Image:Gymnote1889.jpg|thumb|250px|Le sous-marin ''[[w:Gymnote|Gymnote]]'' en 1888. Arthur Krebs tient le mât d'aération. Le périscope est visible]]
'''Arthur Constantin Krebs''' (16 November 1850 à [[w:Vesoul|Vesoul]] ([[w:Haute-Saône|Haute-Saône]]), [[w:France|France]] – 22 mars [[w:1935|1935]] à [[w:Quimperlé|Quimperlé]] ([[w:Finistère|Finistère]]), [[w:France|France]]) est un officier et industriel français, pionnier de l'aéronautique, des moteurs électriques, de la navigation sous-marine, des services d'incendie, des bateaux à moteur, de l'ingénierie automobile et gestionnaire de grands projets technologiques.&lt;br&gt;
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Arthur Constantin Krebs|'''''Arthur Constantin Krebs''''']]

== Enfance et jeunesse ==
'''Voir aussi''' : [[w:Philosophie naturelle|Philosophie naturelle]], [[w:Géométrie descriptive|Géométrie descriptive]], [[w:Dessin technique|Dessin technique]]
:::[https://gallica.bnf.fr/services/engine/search/sru?operation=searchRetrieve&amp;version=1.2&amp;startRecord=0&amp;maximumRecords=15&amp;page=1&amp;collapsing=true&amp;exactSearch=false&amp;query=%28%28dc.creator%20all%20%22Adolphe%20Ganot%22%20or%20dc.contributor%20all%20%22Adolphe%20Ganot%22%20%29%20and%20dc.title%20all%20%22Physique%20exp%C3%A9rimentale%22%20%29%20sortby%20dc.date%2Fsort.ascending Adolphe GANOT] [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k58470644/f1.item.r=lotz%20locomotive La locomotive routière de M. LOTZ]
&quot;''Mon cher cousin, vous me demandez, dans votre aimable lettre du 25 mai ''[1924]'', de vous expliquer comment, simple officier d'infanterie, j'ai été amené à remplir les rôles et effectuer des travaux peu en rapport avec la carrière où j'étais entré.''

''Ceci m’oblige à faire remonter mes souvenirs et à me rappeler que dès l’âge où je commençais à apprécier les jouets mécaniques, ma plus grande distraction consistait à réparer et mettre en état tous ceux qui me tombaient entre les mains''. 

'''1861''' - ''Plus tard mes lectures portaient toujours sur des livres décrivant des mécaniques, si bien qu’à 11 ans, la Physique de [[w:Adolphe_Ganot|Ganot]] m’étant tombée sous la main, je l’étudiai avec le plus grand intérêt, m’initiant à tous les mystères de la machine à vapeur et de ses applications.''&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;

&quot;''Etant enfant, le jeune Krebs avait fait une machine à vapeur qui faisait marcher toute une scierie mécanique installée dans une vieille machine à coudre.''&quot; &lt;ref name=1884_de-Grilleau /&gt;
&lt;gallery&gt;
1850 Arthur Constantin KREBS=acte de naissance.pdf|'''1850''' -  [https://archives.haute-saone.fr/ark:/77977/vta7633bbf978e35653/daogrp/0#id:527817281?gallery=true&amp;center=1435.927,-2845.150&amp;zoom=9&amp;rotation=0.000&amp;brightness=100.00&amp;contrast=100.00 Acte de naissance] de Arthur Constantin KREBS.

1862~Famille-Constantin-KREBS=Léonce+Arthur+Marie.jpg|'''1862 ~''' Les enfants de Constantin &amp; Elodie KREBS : Léonce-Vital (~14), Arthur (~12), Marie (~10). &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

1868_Ganot-Adolphe='Traité_élémentaire_de_physique_expérimentale_et_appliquée_et_de_météorologie'.jpg |'''1860''' - [[w:Adolphe_Ganot |'''Adolphe Ganot''']] : [https://archive.org/details/introductorycou00unkngoog/page/n8/mode/2up ''Introductory course of natural philosophy: for the use of high schools and academies, edited from GANOT'S POPULAR PHYSICS.'']
&lt;/gallery&gt;
&quot;''Cette aptitude particulière ne fut pas sans nuire, un peu, à mes études classiques, car mon esprit, plus préoccupé de ce qu’il avait appris par lui-même, cherchait à les réaliser pratiquement.

''Ceci me conduisit naturellement, à dessiner avec précision ce qui, par la suite, me rendit les plus grands services. Un croquis bien fait traduit mieux, pour les autres, la pensée de l’auteur, que toutes les descriptions ou explications qui peuvent être données quand il s’agit d’une construction ou d’une machine quelconque.''&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;
&lt;gallery&gt;
1875 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=Palais(Belle-île) dessin de machine à coudre les voiles.jpg|'''1875''' - '''Dessin d'imitation''' d'une machine à coudre les voiles des thoniers de ''Belle-île'' par  A. C. KREBS qui a eu '''20/20 à St Cyr'''.&lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

1878-00-00 MAE A-C-KREBS=Plan de la machine à éprouver les cordages de Renard.jpg|'''1878''' - Plan de la '''machine à éprouver les cordages''' de Renard, signé &quot;Krebs&quot;. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

1878-00-00 MAE A-C-KREBS=Plan de la soupape Renard.jpg|'''1878''' - Plan de la '''soupape de ballon Renard''', signé &quot;Krebs&quot;. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
&lt;/gallery&gt;
&quot;''En '''1867''' j'ai vu pour la première fois le véhicule automobile de M. [[W:Brissonneau_et_Lotz|Lotz]]. ''[...]'' Le véhicule de Lotz consistait essentiellement en une chaudière à vapeur portée par un avant-train avec une cinquième roue &lt;ref&gt;'''Le concept de [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4717339t/f2.image.r=locomotive &quot;cinquième roue&quot;]''' semble dû, en France, à M. Lotz de Nantes qui a développé des &quot;locomotives routières&quot; dans les années '''1860'''. &lt;small&gt;Il définit ce concept comme &quot; [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4717339t/f2.item.r=locomotive ''une cinquième roue, roue directrice, au moyen de laquelle le cocher pourra tourner ou obliquer à discrétion'']&quot;. Confronté aux problèmes de direction de ses engins, il dépose le 03/01/'''1865''' un brevet ([https://rytmo.net/ACK/1894-11-28_Pompiers_PP-DB273_Comite-Perfectionnement.pdf '''FR'''65729]) pour l’ &quot;[https://archives.inpi.fr/brevets?arko_default_63f395e1547dd--ficheFocus=&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bmode%5D=simple&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bop%5D=AND&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bop%5D=AND&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bq%5D%5B%5D=&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bq%5D%5B%5D=65729&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bextras%5D%5Bmode%5D=input&amp;arko_default_63f395e1547dd--from=0&amp;arko_default_63f395e1547dd--resultSize=25&amp;arko_default_63f395e1547dd--contenuIds%5B%5D=1033&amp;arko_default_63f395e1547dd--modeRestit=arko_default_63f397c19a653 ''application de la roue hélicoïdale à la direction des locomotives pour routes ordinaires'']&quot;. Dans ce brevet Lotz expose très précisément son souhait de rendre la direction irréversible face aux cahots de la route. Il s’agit d’un &quot;[[w:Volant directionnel|volant]] de manœuvre&quot; vertical, comme la [[w:Barre (bateau)|barre à roue]] d’un navire. A. C. Krebs reprendra ce concept d’irréversibilité avec son système de direction à secteur denté et vis sans fin en '''1898'''. Il faut noter que le concept de cinquième roue n’est pas le même en Amérique. Le &quot;[[w:en:Fifth-wheel_coupling|fifth|wheel coupling]]&quot; était un système de plateforme pour l’attelage d’une calèche avec un chariot à quatre roues, apparu dès '''1850'''. Ce système est aujourd’hui le standard de liaison entre une semi-remorque et son tracteur routier. Il est désigné en français par le terme &quot;[[w:Sellette (transport)|Sellette]]&quot;. Dans son [https://worldwide.espacenet.com/patent/search/family/002617903/publication/US549160A?q=pn%3DUS549160 brevet], [[w:en:George_B._Selden Selden]|utilise l’expression &quot;fifth-wheel&quot;] pour décrire la plateforme horizontale munie d’un engrenage à vis sans fin entraîné par le volant de direction ([&lt;Steering_wheel steering wheel]) et permettant d’orienter les roues directrices. A. C. Krebs utilise ici la notion de cinquième roue dans le même sens que Selden. Noter que, pour désigner cette plateforme mécanique, dans son brevet Lotz utilise le terme de &quot;cercle&quot;, et que A. C. Krebs utilise le terme de &quot;rond&quot; dans son brevet de '''1896''' : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:1896-05-13_A.C.KREBS%3DBrevet_FR256344-%27voiture-automobile%27.pdf&amp;page=10 '''FR'''256344].&lt;/small&gt;&lt;/ref&gt; d'accouplement à pivot central.&lt;ref&gt;Le système de direction d’un véhicule où le train-avant complet tourne est dit à &quot;[[w:Direction_(automobile)#Historique|cheville ouvrière]]&quot;. A. C. Krebs conservera ce système issu de la traction hippomobile sur sa voiture de '''1896''', et en '''1898''' sur la voiture [[Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#La_%22Voiture_Cl%C3%A9ment-Panhard_(VCP)%22_et_Adolphe_CLEMENT|Clément-Panhard (VCP)]] qui en est la version commerciale. De son côté, sur sa voiture à vapeur, Bollée utilisera le système de l’ &quot;essieu brisé&quot;.&lt;/ref&gt; et une remorque composée d'un arbre et de deux roues. L'une d'elles pouvant être connectée ou déconnectée de l'arbre de façon à permettre à une vis sans fin de s'engrener avec une roue dentée munie de chaînes aux extrémités de l'arbre avant. J'ai vu ce véhicule rouler à [[W:Lons-le-Saunier|Lons le Saulnier]], en vue d'un essai réalisé avec cette machine sous la direction de M. Lotz, lors d'un voyage effectué à des fins publicitaires en 1867.''&quot;  &lt;ref name=1906_Krebs_Selden/&gt;

'''1868''' - &quot;''Cette habitude à traduire ma pensée par un dessin avait développé en moi la faculté de bien voir dans l'espace, et je me souviens qu'en Math-spé, mon professeur m’envoyait toujours au tableau pour l’exécution des épures de descriptive dans lesquelles il s’embrouillait souvent.''&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;
&lt;gallery&gt;
1864-1867 Locomotive routière LOTZ=vue par Krebs.png|La [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bd6t53749599/f118.item.r=lotz locomotive routière] de [[W:Brissonneau_et_Lotz|M. LOTZ]] que A. C. KREBS vit à [[W:Lons-le-Saunier|Lons le Saulnier]] en '''1867'''.

1868 Arthur Constantin Krebs=projet de voiture automobile.jpg|'''1868''' - A. C. KREBS :'' &quot;'''Projet de voiture automobile'''&quot; : ''sans doute pour un cours de math-spé. La colonne de direction très inclinée suggère une réelle intention de vitesse'''. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
&lt;/gallery&gt;
== La guerre franco-allemande de '''1870''' ==
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Guerre franco-allemande de 1870|'''''Guerre franco-allemande de 1870''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Guerre franco-allemande de 1870|Guerre franco-allemande de 1870]]
&lt;br&gt;&quot;''En '''1870''', je me présentais aux examens de [[w:École_Polytechnique|Polytechnique]], et à ceux de [[w:École_spéciale_militaire_de_Saint-Cyr|St-Cyr]]. Mais la [[w:Guerre franco-allemande de 1870|guerre]] survenue avant que les examens oraux d’admissibilité pour l’[[w:École_Polytechnique|X]] furent passés à [[w:Besançon|Besançon]], où je terminais mes études, je ne pus les subir et suivis le sort des admissibles à St-Cyr''&quot;. &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;
&lt;gallery&gt;
1871-01 Sous-lieutenant Arthur Constantin KREBS en garnison à Villefranche-sur-mer près de Nice.png|'''1871-01''' - '''Le sous-lieutenant A. C. KREBS''' en garnison à [[W:Villefranche-sur-Mer|Villefranche-sur-mer]] près de  [[W:Nice|Nice]]. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
1871-01-04 Aquarelle d'A-C KREBS=Baie de Villefranche vue de la route de la corniche.pdf|'''1871-01-04''' - '''Aquarelle''' de A. C. KREBS : ''&quot;'''Baie de Villefranche vue de la route de la corniche'''&quot;''. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
&lt;/gallery&gt;
== '''Ingénieur Militaire''' ==
'''Catégorie''' : [[commons:Category:École spéciale militaire de Saint-Cyr|'''''École spéciale militaire de Saint-Cyr''''']], 
[[commons:Category:Viaduc de la grue revolver du port militaire de Brest|'''''Viaduc de la grue revolver du port militaire de Brest''''']], 
[[commons:Category:Plateau des Capucins|'''''Plateau des Capucins''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:École spéciale militaire de Saint-Cyr|École spéciale militaire de Saint-Cyr]], [[w:Académie militaire de Saint-Cyr Coëtquidan|Académie militaire de Saint-Cyr Coëtquidan]], [[w:Arsenal de Brest|Arsenal de Brest]]
&lt;br&gt;'''1873''' - &quot;''Après la guerre et le temps passé à [[w:École_spéciale_militaire_de_Saint-Cyr|St-Cyr]], je vins en garnison à [[w:Brest,_France|Brest]]. Comme officier, l’[[w:arsenal|arsenal]] m’était ouvert. J’en profitais largement pour approfondir mes connaissances en mécanique et continuer mes études techniques.''&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Brest, vue des ateliers des Capucins num-2006-5-11-a-2.jpg|L' [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k314587/f87.item.r=brest '''arsenal militaire de Brest''']: Les ateliers des Capucins, l'atelier de la mâture et le viaduc.

File:1873-1874 carnet de dessins=Brest et Nantes.pdf|page 3|'''1873-1874''' - A. C. KREBS : '''carnets de dessins''' de [[w:Brest,_France|Brest]] et [[W:Nantes|Nantes]]: La '''grue revolver''' de l'[[w:Arsenal de Brest|Arsenal de Brest]]. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:Btv1b531186107 port militaire de Brest.jpg|'''1900''' - La  [[c:File:Num-2009-2-51-a-0313-4.jpg|'''grue  revolver''']] de  l'[[w:Arsenal de Brest|Arsenal de Brest]]. 

File:Viaduc de la grue revolver-Capucins-BREST.jpg|'''2011''' - Le Viaduc de la '''grue revolver''' du [[W:Ateliers_du_Plateau_des_Capucins_(Brest)|Plateau des Capucins]].

File:1875 le Lieutenant Arthur Constantin KREBS en garnison à Brest.png|'''1875''' - Le '''Lieutenant A. C. KREBS''' en garnison à [[w:Brest,_France|Brest]] après sa formation à [[w:École_spéciale_militaire_de_Saint-Cyr|St-Cyr]].

File:Chantiers Goün, Prairie-au-Duc.jpg|'''1875''' - Le   [[W:Ernest_Go%C3%BCin_et_Cie|chantier Ernest Goüin]] à Nantes sur l'[[W:%C3%8Ele_de_la_Prairie-au-Duc|&quot;Île de la Prairie-au-Duc&quot;]] sur la [[W:Histoire_de_la_construction_navale_dans_l%27estuaire_de_la_Loire|Loire]].

File:1878 - Exposition Universelle de Paris - Chantiers Jollet et Babin.png|'''1878''' - Exposition Universelle de Paris : Le '''chantier Jollet and Babin''' à Nantes. &lt;ref&gt;'''1878''' - '''Les chantiers Jollet et Babin''' : &lt;small&gt;&quot;''P. D. JOLLET et L. BABIN, Constructeurs-Mécaniciens à Nantes. Navires en Bois et en Fer - Armements complets de navires. La maison P. D. Jollet et Babin (ancienne maison Jollet et Fils) remonte à plus d'un siècle. Mais depuis 20 ans la nouvelle maison s'est progressivement développée en prévision de la construction de grands bâtiments de mer, en bois et en fer, de la construction de machines à vapeur, marines et autres, et de tous les travaux métallurgiques. Aujourd'hui, son matériel, son personnel, ses ateliers de forge, de chaudronnerie, d'ajustage, de menuiserie, de pouliage et de gréement, lui permettent d'entreprendre la construction et la livraison complète, barre en main, des bâtiments en fer et en bois du plus grand tonnage. Elle peut livrer des machins à vapeur marines et des machines de terre (système Corliss ou autres), jusqu'à une puissance de huit cent chevaux, indiqués. Enfin, grâce à un outillage très-complet, elle entreprend les gros travaux de chaudronnerie, les ponts, les charpentes, les travaux d'artillerie, tous les travaux de chaudronnerie en cuivre pour les raffineries et les autres usines. Elle possède, en outre, un atelier de galvanisage, une fabrication de chaînes spéciales pour la marine, les chemins de fer, les fonderies, etc., etc. MM. Jollet et Babin ont une succursale pour les réparations à Saint-Nazaire et sont fermiers du bassin de carénage de Paimboeuf. En temps de travail ordinaire ils occupent 800 ouvriers.''&quot;&lt;/small&gt;&lt;/ref&gt; &lt;ref&gt;'''1881''' - À la fin du roman de '''Jules Verne'''  &quot;[[w:La_Jangada|La Jangada]]&quot;, son frère Paul Verne décrit son bateau le  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6513563v/f339.item.r=jollet Saint-Michel III], construit par le chantier '''[[W:Louis_Mathurin_Babin-Chevaye|Jollet et Babin]]'''. &lt;/ref&gt; 

File:1885~St-CYR=uniforme.png|'''1885''' - Uniforme d'un '''élève de l'école spéciale militaire de [[w:École_spéciale_militaire_de_Saint-Cyr|St-Cyr]]'''.

File:1875 Ecole Militaire de Saint-Cyr.jpg |'''1893''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k1412878r/f1.item &quot;''Exercices gradués de dessin topographique à l'usage des candidats à l'Ecole spéciale militaire de Saint-Cyr''.&quot;]
&lt;/gallery&gt;
=== Cartes de Brest ===
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Maps of Brest, France by Arthur Constantin Krebs|'''''Cartes de Brest par A. C. KREBS''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:cartographie|cartographie]], [[w:Hachures#Cartographie|Hachures]], [[w:Carte|Carte]]
&lt;br&gt;'''1873''' - &quot;''Pendant mon séjour à Brest, j'ai relevé des plans de Brest et
de ses environs, et j'eus l'autorisation de fabriquer, avec l'aide d'ouvriers du régiment, une presse &lt;ref&gt;'''1860''' - '''Dictionnaire français illustré et encyclopédie universelle''' :  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k58175678/f314.image.r=lithographie Litographie] : &quot;''Le tirage lithographique exige des précautions très-minutieuses; en outre, ses résultats sont  entièrement subordonnés à l'habileté de l'ouvrier. Ainsi, par ex., en ce qui concerne le nombre des épreuves, le bon ouvrier réussit à en obtenir 4 à 5000 avec la même pierre, tandis qu'un autre peut à peine arriver à 5 ou 600''.&quot;&lt;/ref&gt; avec laquelle je pus tirer à quelques milliers d'exemplaires la carte que j'avais établie et qui servit pendant de nombreuses années.''&quot; &lt;ref name=&quot;1935_Dépêche_de_Brest /&gt;
&lt;gallery&gt;
1873 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=carte de Brest (centre).jpg |'''1873''' - '''Carte du centre de [[w:Brest,_France|Brest]]''' gravée et imprimée par A. C. KREBS. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

1873 Arthur Constantin KREBS=Carte topographique de Brest.jpg|'''1873''' -  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b84439718.r '''''Carte topographique des environs de Brest'''''] gravée par A. C. KREBS quand il était au 19ème Regiment d'infanterie (signée A. Krebs). &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
&lt;/gallery&gt;
=== Dessin de carènes ===
'''Catégories''' : [[commons:Category:Construction navale|'''''Construction navale''''']], [[commons:Category:Architecture navale|'''''Architecture navale''''']], [[commons:Category:Ingénieur du corps des ingénieurs de l'armement|'''''Ingénieur du corps des ingénieurs de l'armement''''']], [[commons:Category:Vehicle hulls|'''''Coques de véhicules''''']], [[commons:Category:Cross sections of ships|'''''Sections transversales de navires''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Carène (bateau)|Carène (bateau)]], [[w:Coque (bateau)|Coque (bateau)]], [[w:Proue|Proue]], [[w:Étrave|Étrave]], [[w:Construction navale|Construction navale]], [[w:Génie maritime|Génie maritime]], [[w:Corps des ingénieurs de l'armement|Corps des ingénieurs de l'armement]]
&lt;br&gt;'''1875''' - &quot;''Mon futur beau-père ''[[w:Antoine-Joseph_de_La_Poix_de_Fréminville|Antoine de Fréminville]]'', camarade d’enfance de mon père, m’avait donné des ouvrages sur les '''Machines à vapeur marines''' &lt;ref&gt;'''1861''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k316149k/f9.item Cours pratique de machines à vapeur marines] : professé à l'École d'application du génie maritime / par M. A. de Fréminville.
'''1870''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k146769f.r= Cours de machines à vapeur : année 1870-1871] par M. de Fréminville, professeur à l'École centrale des arts et manufactures.&lt;/ref&gt; et la '''construction des navires''' &lt;ref&gt;
'''1863''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k97347690.r Guide du marin] : résumé des connaissances les plus utiles aux marins. '''1864''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k858752p.r=  Traité pratique de construction navale] ([https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k858754f.r ATLAS]) par Mr. A. de Fréminville.&lt;/ref&gt; qu’il professait à l’École du Génie Maritime à [[w:Brest|Brest]].

''J’en fit mon profit et plus tard, en garnison à [[w:Nantes|Nantes]], en ''[[w:1875|1875]]'', je rédigeai les plans d’un navire qui fut construit par un industriel avec lequel j’avais fait connaissance.''&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;

''Une difficulté s'étant présentée un jour dans la construction d'un nouveau modèle, ce fut le lieutenant Krebs qui se chargea de la résoudre. Il fit à lui seul les plans du navire, et son projet fut exécuté de point en point.''&quot; &lt;ref name=1884_de-Grilleau /&gt;
&lt;gallery&gt;
File:1883-ALBUM-16 SHD-DE-2014-PA-40 Carène du canot l'Ampère.jpg|'''1883''' - '''La coque à bulbe du canot électrique &quot;L'Ampère&quot;''' : Ce canot est conçu et construit par A. C. KREBS '''pour tirer dans l'eau les maquettes du dirigeable [[w:La France (ballon dirigeable)|La France]] et déterminer sa forme aérodynamique'''. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:1884 - L'enveloppe du dirigeable &quot;La France&quot; gonflée à l'air.jpg|'''1884''' - '''L'enveloppe du dirigeable &quot;La France&quot;''' gonflée à l'air, dont '''les fuseaux ont été tracés par A. C. KREBS'''.

File:1888-04-17 - Sous-marin Gymnote - le canot électrique d'essai préalable.pdf|'''17/04/1888''' - '''Sous-marin Gymnote''' - le '''canot électrique d'essai''' préalable : '''Spécifications rédigées par A. C. KREBS'''.

File:1889 Le-bateau-L'Etincelle=dessiné par A.C.KREBS.pdf|'''1889''' - Le bateau à vapeur &quot;L'Etincelle&quot;''' dessiné par A. C. KREBS''', propulsé avec un moteur à vapeur '''Durenne &amp; Krebs'''.

File:1899-06-03 Le Yacht=KREBS dessine les plans du canot PHOENIX.jpg|'''1899-12-16''' - &quot;Le '''''PHOENIX - Canot à essence de pétrole'''''&quot; : &quot;''L'auteur de ces plans, ainsi que de ceux du moteur est'' '''''M. le commandant Krebs''''' [...]&quot; &lt;ref&gt;'''1899-12-16''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k7123311z/f4.image.r=krebs '''Le Yacht''']: &quot;''Le PHOENIX - Canot à essence de pétrole à la société des anciens établissements Panhard and Levassor''&quot; : &quot;Il évolue facilement, grâce aux formes spéciales que l'auteur des plans a donné à sa carène, le gratifiant ainsi d'une vitesse, d'une stabilité et d'une facilité d'évolution parfaites.&quot;&lt;/ref&gt;

File:1903-1911 Les-bateaux à essence L'Etincelle=dessinés par A.C.KREBS.pdf|'''1903-1911''' - '''Les bateaux à pétrole''' &quot;''L'Etincelle&quot; I et II''&quot;  '''dessinés par A. C. KREBS''', qui a également conçu les moteurs alors qu'il est directeur de '''Panhard &amp; Levassor'''.

File:1913 - Panhard &amp; Levassor - le bateau &quot;Parcifal&quot; dessiné par A. C. KREBS et construit par les chantiers KRAFF à Quimper.jpg|'''1913''' - '''Le bateau''' &quot;Parcifal&quot; '''de 14 mètres dessiné par A. C. KREBS''' et construit par les [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bd6t557169x/f7.image.r=kraff chantiers Kraff] de Quimper.
&lt;/gallery&gt;
== '''Le parc de recherche aérostatique de Chalais-Meudon''' avec '''[[w:Charles_Renard|Charles RENARD]]''' ==
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Parc aérostatique de Chalais-Meudon|'''''Parc aérostatique de Chalais-Meudon''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Chalais-Meudon|Chalais-Meudon]], [[w:Aérostation|Aérostation]], [[w:Dirigeable militaire|Dirigeable militaire]], [[w:Aérostat|Aérostat]], [[w:Dirigeable à enveloppe souple|Dirigeable à enveloppe souple]], [[w:Flottabilité|Flottabilité]], [[w:Portance|Portance]], [[w:Ballonnet|Ballonnet]], [[w:Hangar Y|Hangar Y]], [[w:Histoire de l'aérostation|Histoire de l'aérostation]], [[w:Histoire de l'aviation|Histoire de l'aviation]], [[w:Chronologie de l'aéronautique|Chronologie de l'aéronautique]]
:::[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k55364253/f6.item.r=krebs 1884-10-01 - Les aérostats dirigeables]

'''1876''' - &quot;''À la fin de [[w:1876|1876]], mon bataillon vint à [[w:Paris|Paris]]. Mis en rapport par un ami commun, avec le [[w:Charles_Renard|Capitaine Renard]], j’entrai en relation avec lui et il me mit au courant des travaux qu’il avait entrepris à la Commission des Communications Aériennes et me demanda ma collaboration.''

''Le [[w:Aimé_Laussedat|Colonel Laussedat]], qui présidait cette commission, m’y fit nommer par le ministre, et je fus détaché à la Direction du Génie, de laquelle dépendaient les Ateliers de Chalais-Meudon. Mes vœux les plus chers étaient ainsi comblés, mais pour donner confiance et obtenir des crédits, il fallait réussir et ne promettre que ce que l’on était sûr de pouvoir réaliser.''

''Renard avait déjà construit un [[w:Ballon captif|ballon captif]], seule la partie mécanique permettant d’effectuer des ascensions, n’était qu’à l’état embryonnaire. Je me chargeai de la réaliser, et grâce à l’[[w:Exposition universelle de 1878|Exposition de 1878]], je réunis rapidement tous les éléments nécessaires à l’établissement d’un treuil à vapeur'' [fixe] ''qui fonctionna à notre plus grande satisfaction dès le mois d’août.''&quot;  &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;
=== Train de ballons captifs ===
'''Catégories''' : [[commons:Category:Type ou modèle d'aérostat|'''''Type ou modèle d'aérostat''''']], [[commons:Category:Aerostation|'''''Aérostation''''']], [[commons:Category:Tethered balloons|'''''Ballons captifs''''']], [[commons:Category:Aerostats|'''''Aérostats''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Aérostat|Ballon captif]]
&lt;br&gt;&quot;''Les expériences et les démonstrations se succédèrent alors brillamment en toute sécurité et nous permirent d’y intéresser des membres de la Commission du budget, car il fallait obtenir des crédits pour pouvoir continuer les études et réaliser les projets faisant l’objet de la Commission des Communications Aériennes''.

''[[w:Léon_Gambetta | Gambetta]], puis [[w:Georges_Clemenceau | Clémenceau]], vinrent successivement assister aux expériences et promirent leur appuis''.&quot;

'''1880''' - '''Rapport de la Commission du budget''' de la Chambre des députés &quot;''Sur le budget des dépenses extraordinaires sur ressources extraordinaires de l'exercice 1880''&quot; : &quot;''Pour le ministère de la Guerre, reconstitution du matériel militaire'' [...] ''Votre Commission estime que l'oeuvre entreprise doit être complétée. C'est dans cet esprit qu'elle a examiné les diverses demandes présentées s'efforçant de maintenir les crédits dans les limites absolument nécessaires pour arriver à ce complet achèvement.'' [...] '''''Télégraphie militaire et communications aériennes''''' [...]  ''Nous avons visité, Messieurs, l'école d'aérostation militaire du parc de Chalais. Nous avons constaté avec le plus vif intérêt les progrès accomplis, les résultats obtenus, dus aux constantes études de '''''deux jeunes officiers, aussi modestes que distingués et capables'''''. Vous ne sauriez faire des fonds de l'État un emploi plus judicieux qu'en encourageant, par l'adoption du crédit demandé, des efforts qui permettent d'espérer encore dans l'avenir des résultats précieux pour la science et pour l'art de la guerre''.&quot;

&quot;''Deux buts étaient à poursuivre :

:''1/ Étude et construction d’un matériel de ballon captif transportable en campagne ;

:''2/ Étude et construction d’un ballon dirigeable.

''Le premier me parut facile à réaliser. Il se réduisit à la construction d’un treuil à vapeur sur roues pour les manœuvres de ballons, et à celle de deux autres voitures pour le transport des agrès et des accessoires de la machine à vapeur (eau et charbon), puis d’un appareil, également sur roues, pour la production du gaz hydrogène. Renard s’occupa de cette dernière question et je pris la première.''&quot;  &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Charles Renard.jpg|'''1876''' - '''Charles Renard''' (1847-1905) directeur de l'établissement aérostatique de Chalais-meudon.

File:1879 - LA NATURE (1884) - expériences de [[w:Victor Tatin|Victor TATIN] (1843-1913)] à Chalais-Meudon en présence de Renard et Krebs.png|thumb|1879 - LA NATURE (1884) : expériences de Victor TATIN à Chalais-Meudon en présence de Renard et Krebs]]|'''1879''' - Expériences de '''Victor TATIN''' à Chalais-Meudon ''' [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?4KY28.23/333/100/432/8/420 en présence de Renard et Krebs]'''.

File:1880~Aimé-Laussédat (1819-1907) par A. Gerschel.jpg|'''1880''' ~ '''Aimé Laussédat''' (1819-1907) directeur de la commission des communications aériennes.

File:Gambetta par Étienne Carjat (photo recadrée).jpg|'''1881''' - [[w:Léon_Gambetta |'''Léon Gambetta''']] (1838-1882) vient assister aux expériences de Krebs &amp; Renard et promet son soutien financier.

File:Georges Clemenceau Nadar.jpg|'''1881''' - [[w:Georges_Clemenceau | '''Georges Clémenceau''']] (1841-1929) vient assister aux expériences de Krebs &amp; Renard et promet son soutien financier.

File:1882-ALBUM-14 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=Chaudière Krebs.jpg | '''1882''' - '''Chaudière à vapeur système KREBS''' pour la manœuvre du treuil de campagne pour ballons captifs. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:1882-ALBUM-07 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=treuil à vapeur.jpg | '''1882''' - '''Voiture treuil de A. C. KREBS''' pour la manœuvre des ballons captifs en campagne. Le treuil met en oeuvre, pour la première fois en aérostation, le principe du touage à 2 tambours parallèles. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:1883-ALBUM-08 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=Fourgon.jpg |  '''1883''' - '''Voiture fourgon''' conçue par A.C. KREBS pour la manœuvre des ballons captifs en campagne. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:1883-ALBUM-09 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=voiture aux agrais.jpg | '''1883''' - '''Voiture d'agrés''' designed by A.C. KREBS for the captive balloon train in the field. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:1906~Treuil d'aérostation KREBS modèle 1882 en opération.jpg|'''1906''' - Treuil d'aérostation à vapeur modèle '''1882''' de KREBS en opération.'''.

File:1916 - The A. C. KREBS Aerostation Steam Winch System of 1882 practical mechanics course.png|'''1916''' - Le système KREBS de treuil à vapeur d'aérostation modèle 1882 : [[c:File:1916_-_The_1882_A._C._KREBS_steam_winch_system.pdf[page 2|'''''Cours de mécanique pratique''''']]. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:1914GDOC 01418B - SERIE SPECIALE (SUITE)=treuil à vapeur système Krebs (modèle 1882).webm|'''1914-1918''' - '''Vidéo''' : ''Le '''treuil d'aérostation à vapeur système A. C. Krebs''' (modèle '''1882''') en action''. '''Vitesse du câble''' : 10 m/s.
&lt;/gallery&gt;
=== Générateur d'hydrogène ===
'''Catégories''' : [[commons:Category:Hydrogen production|'''''Production d'hydrogène''''']], [[commons:Category:Mobile engine-generators|'''''Groupe électrogène''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Histoire de la production d'hydrogène|Histoire de la production d'hydrogène]], [[w:Technologie de l'hydrogène|Technologie de l'hydrogène]], [[w:Chronologie des technologies de l'hydrogène|Chronologie des technologies de l'hydrogène]], [[w:Groupe électrogène|Groupe électrogène]]
&lt;br&gt;'''1879-1880''' - Ch. RENARD conçoit des générateurs d'hydrogène stationnaires ou mobiles, et A. C. KREBS conçoit les machines à vapeur qui les animent.
&lt;gallery&gt;
1878 A-C Krebs=machine électrique à lumière.jpg|'''1878''' - '''Groupe électrogène mobile à vapeur de A. C. KREBS''' : &quot;''Machine électrique à lumière''&quot; destinée en particulier à l' '''électrolyse de l'eau''' (signé Krebs). &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:1879-11-00 MAE Lettre-Rapport-Hydrogène.jpg | '''1879-11''' - '''Ch. RENARD : Générateur d'hydrogène stationnaire''' à Chalais-Meudon pour le gonflement des ballons. A. C. KREBS conçoit la machine à vapeur qui l'anime. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:1880-10 MAE cahiers-Krebs Hydrogène moteur-vapeur.pdf | '''1880-10''' - '''A. C. KREBS''' conçoit la '''machine à vapeur''' qui anime le générateur d'hydrogène conçu par Ch. RENARD à Chalais-Meudon pour le gonflement des ballons. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:1882 C.RENARD et A.C.KREBS = voiture générateur d'hydrogène.jpg | '''1882''' - '''Voiture à hydrogène de Ch. RENARD &amp; A. C.KREBS''' pour le gonflement des ballons en campagne. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:1882-ALBUM-13 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=Production de gaz.jpg | '''1882''' - '''Production de gaz hydrogène en campagne''' avec le train de ballons captifs de A. C. KREBS &amp; Ch. RENARD. Le treuil à vapeur de A. C. KREBS est visible en arrière-plan. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
&lt;/gallery&gt;
&quot;''Pour mener à bien et rapidement ces travaux, nous fûmes conduits à établir '''un laboratoire''' et à installer '''un atelier mécanique''' pourvus l’un et l’autre des outils et outillages nécessaires. Nous avions comme ouvriers des Sapeurs du Génie provenant du Régiment de Versailles. &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;

'''1906''' - &quot;''Tous les travaux de mécanique ont fait l'objet d'une étude particulière de ma part, et pour y parvenir j'ai construit et organisé un atelier situé dans [[c:Category:Parc_a%C3%A9rostatique_de_Chalais-Meudon|le parc de Chalais-Meudon]], atelier qui existe toujours''&quot;. &lt;ref name=1906_Krebs_Selden/&gt;

'''1879-1880''' - &quot;''L’année suivante ('''juin 1879'''), un premier parc était réalisé et permit de faire des expériences de transport de ballons et d’ascensions sur le plateau qui domine [[w:Meudon|Meudon]] au sud. À la suite de ces essais, le ministre décida que ce parc assisterait aux Grandes Manœuvres qui devaient se dérouler aux environs de Silliers-le-Guillaume ('''22 et 23 septembre 1880'''). Pendant ces manœuvres, les renseignements donnés par le ballon sur la marche des opérations, contrôlé par un officier d’État-major'' [[Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#Commandant_L%C3%A9once_Krebs_(1849-1922)|Léonce Krebs]] ''qui avait été adjoint au parc, furent si probants que la construction de 4 parcs semblables fut décidée et nous fut confiée.''&quot;

&quot;''Les crédits alloués nous permirent d’agrandir les ateliers, de perfectionner l’outillage et d’établir une fabrication qui a servi de modèle aux 25 parcs de ballons captifs qui se trouvaient dans les différents Corps d’Armée et places fortes en 1914.''&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;
=== Ascensions libres ===
&lt;gallery&gt;
1878-06 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=le ballon captif à Chalais-Meudon.jpg |'''1878-06''' - Album photo de A. C. KREBS : &quot;''Le ballon captif à Chalais-Meudon''&quot;. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:1868 L'AERONAUTE=page de garde.jpg |'''1879-08-03''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5699161r/f22.image.r=krebs '''Ascension  libre''' de Ch. RENARD et A. C. KREBS].

File:1882 Aéronaute-article-Renard&amp;Krebs-KREBS signature.jpg |'''1882''' - L'Aéronaute : &quot;'''''Considérations générales sur les ascensions de longue durée'''''&quot; (signé KREBS.) &lt;ref&gt;&quot;'''''Mr Poitevin a signé cet article pour moi''''' ''qui, n'ayant pas deandé d'autorisation au ministre de la Guerre ne pouvait faire paraître mon nom'' (signé KREBS.)&lt;/ref&gt;  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k58276296/f1.item#]  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5827634h/f5.item.r=]  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5827635x/f4.item]
&lt;/gallery&gt;
=== Mariage ===
'''1881''' - A. C. KREBS et Marie de Fréminville (soeur de  [[w:Charles_de_La_Poix_de_Fréminville|Charles de Fréminville]]) se marient.
&lt;gallery&gt;
File:1881-A-C-KREBS=portrait de mariage.jpg|'''1881''' - '''A. C. KREBS''', portrait de mariage. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:1881 portrait Marie de Fréminville.jpg|'''1881''' - '''Marie de Fréminville''', portrait de mariage (soeur de [[w:Charles_de_La_Poix_de_Fréminville|Charles de Fréminville]]). &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:1881 - A. C. KREBS - &quot;mon habitation à Chalais-Meudon&quot;.jpg|'''1881''' - A. C. KREBS: &quot;'''''Mon habitation à Chalais-Meudon'''''&quot; dans le parc de recherche aérostatique. &lt;ref&gt;Il faut souligner que A. C. KREBS a toujours habité, avec sa famille, sur son lieu de travail : dans le parc de Chalais-meudon, à l'état-major des pompiers au 9 Bd du Palais sur l'île de la cité à Paris, et dans la maison de Levassor agrandie, dans l'usine Panhard, avenue d'Ivry.&lt;/ref&gt;
&lt;/gallery&gt;
=== Le dirigeable &quot;'''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]'''''&quot; avec [[w:Charles_Renard|Charles RENARD]] et [[w:Henri_Dupuy_de_Lôme|'''Henri DUPUY-de-LÔME''']] ===
'''Catégories''' : [[commons:Category:La France (airship)|'''''Le dirigeable &quot;La France&quot;''''']], [[c:Category:Balloon history|'''''Histoire des ballons''''']], [[commons:Category:Airship technology|'''''Technologie aérostatique''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Ballon dirigeable|Ballon dirigeable]], [[w:Base aérienne 107 Villacoublay|Base aérienne 107 Villacoublay]]
&lt;br&gt;'''1884''' - Collaborant avec [[w:Charles Renard|Charles Renard]], il pilote [[w:XIXe siècle en aéronautique|le premier vol pleinement contrôlé]] en 1884, effectué à bord du [[w:dirigeable|dirigeable]] militaire français &quot;''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]''&quot;, qu'ils ont conçu. Le vol &lt;ref&gt;[http://rbmn.free.fr/Ballon_photos_10.html Plans, croquis et photos du dirigeable &quot;La France&quot;].&lt;/ref&gt; a parcouru 8 km en 23 minutes. Ce fut   &lt;ref&gt;'''XIX° siècle en aéronautique''' : [[w:XIXe_siècle_en_aéronautique|le 9 août 1884]], le dirigeable &quot;La France&quot; réalise [http://rbmn.free.fr/Dirigeable_LA_FRANCE_1884.HTML Le premier vol pleinement dirigé].&lt;/ref&gt; le premier vol mécanisé avec retour au point de départ. Sur sept vols, le dirigeable &quot;''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]''&quot; reviendra cinq fois à son point de départ.

&quot;''Entre temps, se poursuivaient les études et expériences pour la construction du ballon dirigeable. Sa réalisation était pour nous le comble de nos aspirations et faisait l’objet de nos plus profondes méditations. La forme du ballon, la disposition de la nacelle et la détermination de l’espèce d’énergie à employer pour constituer la force motrice nécessaire à sa propulsion, firent l'objet d'un long examen et de discussions approfondies.''&quot;
==== Recherche d'un moteur léger : vapeur, hydrogène, électricité ====
'''Voir aussi''' : [[w:Machine à vapeur|Machine à vapeur]], [[w:Histoire de la machine à vapeur|Histoire de la machine à vapeur]], [[w:Chaudière à tubes de fumées|Chaudière à tubes de fumées]], [[w:Chaudière à tubes d'eau|Chaudière à tubes d'eau]], [[w:Locomotive compound|Locomotive compound]], [[w:Moteur à combustion et explosion|Moteur à combustion et explosion]], [[w:Moteur à hydrogène|Moteur à hydrogène]], [[w:Machine électrique|Machine électrique]]
&lt;gallery&gt;
File:1876 - moteur à gaz Otto construit par Périn-Panhard.png|'''1876''' - '''[https://www.youtube.com/watch?v=5F6q-i_nuYs Moteur à gaz Otto]''' acheté par A.C. KREBS et construit par '''Périn-Panhard'''.

File:1878-04-25 MAE A-C-KREBS=Brevet-FR124.078 Générateur de vapeur à circulation directe dit générateur RENHAYE Renard+Krebs+Delahaye.pdf|'''25-04-1878''' - A. C. KREBS : Brevet [https://bases-brevets19e.inpi.fr/brevets?arko_default_63f395e1547dd--ficheFocus=&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bmode%5D=simple&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bop%5D=AND&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bop%5D=AND&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bq%5D%5B%5D=124078&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bextras%5D%5Bmode%5D=input&amp;arko_default_63f395e1547dd--from=0&amp;arko_default_63f395e1547dd--resultSize=50&amp;arko_default_63f395e1547dd--contenuIds%5B%5D=838591&amp;arko_default_63f395e1547dd--modeRestit=arko_default_63f397c19a653 '''FR'''124078] &quot;''Générateur de vapeur à circulation directe, dit'' [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5699151c/f21.image.r=krebs '''''générateur RENHAYE''''']''&quot; de de la Haye, Renard et Krebs.

File:1882-SHD-DE-2014-PA-40=moteur à hydrogène de A. C. KREBS.jpg|'''1882''' - Le '''moteur à hydrogène''' conçu par A. C. KREBS.

1883-12 Arthur Constantin KREBS=Cahier de recherche 'Moteurs électriques à électro-aimants - Théorie de fonctionnement'.pdf|'''1883-12''' - A. C. KREBS : Cahier de recherche &quot;'''Moteurs électriques à électro-aimants - Théorie de fonctionnement'''&quot; pour le moteur électrique du dirigeable &quot;'''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]'''''&quot; de '''1884'''. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:1884 - A. C. KREBS electric motor for the 'La France' airship.jpg|'''1884''' - A. C. KREBS : Le '''moteur électrique''' pour le dirigeable &quot;'''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]'''''&quot;.
&lt;/gallery&gt;
'''1878''' - &quot;''Avant l'Exposition de 1878, alors que j'étais au parc aéronautique, j'ai acheté et accepté, aux ateliers [[w:Panhard &amp; Levassor|Panhard &amp; Levassor]], un moteur à quatre temps Otto de deux chevaux ''[au gaz de ville]'' pour l'installer dans l'atelier de couture des ballons.''&quot; &lt;ref name=1906_Krebs_Selden/&gt;

'''1879''' - &quot;''Ainsi, MM. Renard et Krebs ont obtenu'' '''''une machine de trois chevaux qui contient à peine trois litres d'eau''''', ce qui leur donne '''''une chaudière légère et non à faible surface'''''. ''Des organes d'une grande sensibilité règlent et assurent le jeu de la machine, bien que peu d'eau soit employée''. '''''La pompe alimentaire a été étudiée avec soin par M. Krebs''''' ; ''le thermo-régulateur actuel s'appuie sur le même principe que celui indiqué au brevet ; mais il emploie la dilatation du mercure''&quot;. &lt;ref&gt;'''01/06/1879''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5699151c/f21.image.r=krebs L'Aéronaute].&lt;/ref&gt;

'''1881''' - &quot;''À cette époque, l’industrie électrique se développait. Le  [[w:Exposition internationale d'Électricité | Congrès International de l’Électricité]] de '''1881''' venait de déterminer les unités de mesure nécessaires à l’étude et aux applications de cette branche nouvelle d’énergie. Les moteurs à essence, si répandus maintenant, n’étaient pas encore connus, nous décidâmes l’emploi de l’électricité pour constituer la force motrice du ballon.''&quot;

&quot;''Renard se consacra à la recherche de la source électrique capable de développer dans un poids très faible l’énergie nécessaire au fonctionnement pendant 2 heures environ, d’un moteur de 10 CV. Moi, '''''je me chargeai de l’établissement du moteur et de tous les organes mécaniques faisant manœuvrer l’hélice'''''. C’est ainsi que je fus conduit à étudier l’électricité au moment où cette science se développait industriellement.''&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;

'''1882''' - &quot;''En 1882, dans le but de propulser un ballon dirigeable, qui était alors étudié par le ministère de la Guerre'', '''''j'entrepris la mise au point d'un moteur à combustion interne qui devait utiliser comme combustible l'hydrogène qui gonflait le ballon'''''. ''C'est à cette occasion que j'abordai pour la première fois de manière approfondie une étude complète des moteurs à combustion interne.''&quot; &lt;ref name=1906_Krebs_Selden/&gt;

'''1884''' - &quot;''C'est donc vers 1884 que j'ai suivi avec grand intérêt la construction des [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8DE187.2/0058/100/512/10/458 petits moteurs à essence] de Mr [[W:Gottlieb_Daimler|Daimler]].''&quot; &lt;ref name=1906_Krebs_Selden/&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
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! Date !! Brevet !! Intitulé
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| '''1878'''
|| [https://bases-brevets19e.inpi.fr/brevets?detail=610115&amp;positionResult=32&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bmode%5D=simple&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bop%5D=AND&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bop%5D=AND&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bq%5D%5B0%5D=&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bq%5D%5B1%5D=haye&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bextras%5D%5Bmode%5D=input&amp;arko_default_63f395e1547dd--from=0&amp;arko_default_63f395e1547dd--resultSize=50&amp;arko_default_63f395e1547dd--contenuIds%5B0%5D=838591&amp;arko_default_63f395e1547dd--modeRestit=arko_default_63f397c19a653#visionneuse-manual|/_recherche-api/visionneuse-infos/arko_default_63f395e1547dd/arko_fiche_64afba49a2c3d/arko_default_63f47e41d68c8/image/591913|0|5 '''FR'''124078] 
|| De la Haye, Renard et Krebs: ''Générateur de vapeur à circulation directe, dit générateur RENHAYE''
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|}
==== Recherches aérodynamiques : la forme du ballon ====
'''Catégories''' : [[commons:Category:Aerodynamics diagrams|'''''Diagrammes d'aérodynamique''''']], [[commons:Category:Fluid_dynamics|'''''Dynamique des fluides''''']], [[commons:Category:Aircraft_wake_turbulence |'''''Turbulences de sillage d'aéronefs''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Bulbe d'étrave|Bulbe d'étrave]], [[w:Aérodynamique|Aérodynamique]], [[w:Maquette|Maquette]], [[w:Modèle|Modèle]], [[w:Aérodynamique de la pointe avant|Aérodynamique de la pointe avant]], [[w:Dynamique des fluides|Dynamique des fluides]], [[w:Corps de moindre traînée|Corps de moindre traînée]], [[w:Empennage|Empennage]], [[w:Dérive (empennage)|Dérive (empennage)]], [[w:Aérostatique|Aérostatique]]
&lt;br&gt;'''1883''' - &quot;''Ce ne fut pas sans peine que M. Renard consentit à abandonner le ballon tubulaire, dont la forme le séduisait à cause de ses avantages théoriques. Pour décider son collègue, '''''M. Krebs fit faire des modèles en bois de diverses formes''''', que l'on essaya successivement dans l'étang de Chalais : ces essais prouvèrent que pour obtenir de la régularité dans la marche,'' '''''il est nécessaire de donner au mobile une forme dissymétrique'''''. ''C'est ainsi que la forme ovoïde, proposée par le capitaine Krebs, fut définitivement adoptée pour l'aéronef de Chalais'' [...] '''''L'aéronef doit nager dans l'air, comme poisson dans l'eau, dit le capitaine Krebs. La nature nous démontre que nous avons choisi pour notre aérostat une forme rationnelle'''''&quot;. &lt;ref&gt;[http://cnum.cnam.fr/CGI/fpage.cgi?12CA313/1/100/218/0004/0217 1884-de-Grilleau]: ''Les aérostats dirigeables : leur passé, leur présent, leur avenir. Le [[w:La France (ballon dirigeable)|ballon de Meudon]] et les progrès les plus récents de l'aéronautique''.&lt;/ref&gt;

'''1884''' - &quot;''L'évaluation du travail nécessaire pour imprimer à l'aérostat une vitesse donnée a été faite de deux manières :&lt;br&gt;

:&quot;''1° En partant des données posées par [[w:Henri Dupuy de Lôme|Dupuy de Lôme]] et sensiblement vérifiées dans [[w:Aérostat dirigeable Dupuy de Lôme|ses expériences de février 1872]] ;&lt;br&gt;

:&quot;''2° En appliquant [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k316149k/f53.image.r=carene la formule admise dans la marine] pour passer d'un navire connu à un autre de formes très peu différentes et en admettant que, dans le cas du ballon, les travaux sont dans le rapport des densités des deux fluides.''&quot; &lt;ref name=1884_ACAD-Krebs /&gt; &lt;ref&gt;'''1864''' - [[w:Antoine-Joseph_de_La_Poix_de_Fréminville|Antoine de Fréminville]], (beau-père de A. C. KREBS) : &quot;[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k858752p/f84.image.r=carene ''Traité pratique de construction navale'']&quot;.&lt;/ref&gt;
&lt;gallery&gt;
File:1883-ALBUM-17 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=L'Ampère sur l'étang.jpg|'''1883''' - &quot;''L'Ampère sur l'étang ''&quot;. Ce canot électrique est conçu et construit par A. C. KREBS pour tirer des modèles en bois du dirigeable [[w:La France (ballon dirigeable)|La France]] et déterminer sa forme aérodynamique (voir supra). &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:1882-ALBUM-26 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=Modèle en bois de La France.jpg|'''1883''' - A. C. KREBS: ''Modèle en bois du ballon [[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]''. Ce modèle est conçu et construit par A. C. KREBS pour être tiré par le canot l'Ampère, et déterminer sa forme aérodynamique. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:1882 - Machine à découper les fuseaux des ballons conçues par A. C. KREBS.jpg|'''1882''' - '''Machine à découper les fuseaux des ballons''' conçue par A. C. KREBS.

File:1883 - A. C. KREBS prend une photo de l'intérieur du ballon La France gonflé à l'air.jpg|'''1883''' - A. C. KREBS prend une photo de l'intérieur du ballon '''''La France''''' gonflé à l'air, et dont il a tracé les fuseaux'''.

File:1883-SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS-to-do book='Boat test in front of Mr. Dupuy de Lôme and Zédé'.pdf|'''1883-03-24''' - '''Carnet''' de A. C. KREBS : ''&quot;Essai du bateau devant MM. '''[[w:Henri_Dupuy_de_Lôme| Dupuy-de-Lôme]]''' et '''[[w:Gustave_Zédé|Zédé]]'''&quot;''. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:Henri Dupuy de Lôme.png|'''1883''' - '''Henri Dupuy de Lôme''' (1816-1885) :  Architecte naval. &lt;ref&gt;'''1872''' -  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3046138b/f9.image.r=dupuy%20de%20lome Les Ballons dirigeables], par Gaston Tissandier.&lt;/ref&gt; 

File:M. Gustave Zédé (1825-1891) - Ingénieur (Atelier Nadar).png|'''1890''' - M. '''Gustave Zédé''' (1825-1891) : Ingénieur, gendre de M. Dupuy de Lôme.
&lt;/gallery&gt;
'''Catégories''' : [[commons:Category:Hélice|'''''Hélice''''']], [[commons:Category:Propellers|'''''Hélices''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Nacelles|Nacelles]], [[w:Hélice|Hélice]], [[w:Hélice (aéronautique)|Hélice (aéronautique)]]
&lt;gallery&gt;
File:1884-design of La-France dirigible of Renard &amp; Krebs-first fully controlled airtrip.pdf|'''1884''' - La conception du dirigeable '''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]''''' de Ch. RENARD &amp; A. C. KREBS. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:1884-ALBUM-29 SHD-DE-2014-PA-40 = A-C-KREBS pose devant l'hélice du dirigeable La France.jpg|'''1884''' - A. C. KREBS pose devant l'hélice du dirigeable '''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]''''', qu'il a conçue et construite lui-même. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:1884 - Dirigeable &quot;La France&quot; - Plan de la nacelle de A. C. KREBS.jpg|'''1884''' - Dirigeable &quot;'''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]'''''&quot;: '''Plans de la nacelle par A. C. KREBS'''.

File:1884 - Dirigeable &quot;La France&quot; - La nacelle conçue par A. C. KREBS.jpg|'''1884''' - Dirigeable &quot;'''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]'''''&quot;: '''La nacelle et l'hélice conçues par A. C. KREBS'''.
&lt;/gallery&gt;
==== '''A. C. KREBS pilote les [https://archive.org/details/americanengineer67newy/page/472/mode/2up?q=krebs premiers vols pleinement contrôlés]''' ====
'''Voir aussi''' : [[w:Société d'encouragement de la locomotion aérienne au moyen du plus lourd que l'air|Société d'encouragement de la locomotion aérienne au moyen du plus lourd que l'air]]
&lt;br&gt;'''1884''' - &quot;''La première ascension du ballon &quot;'''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]'''''&quot;, qui eut lieu le 9 août 1884, et dans laquelle'' '''''un aérostat décrivit pour la première fois par ses propres moyens une courbe fermée en revenant à son point de départ''''', ''fut le couronnement de nos travaux. On ne pouvait alors prétendre obtenir une durée de fonctionnement dépassant 2 h à cause du poids des moteurs. Ce ne fut donc qu’une expérience intéressante mais sans lendemain''.&quot;

&quot;''En effet, 15 ans devaient s’écouler avant que, grâce aux perfectionnements apportés par l’automobile aux moteurs à essence, on put doter un ballon semblable à &quot;'''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]'''''&quot; d’un moteur assez léger'' [[w:Lebaudy_Frères|[voir Ballons Lebaudy]]] ''pour lui permettre de tenir l’air pendant 10 heures''.&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;
&lt;gallery&gt;
1884 Arthur Constantin KREBS=portrait.jpg|'''1884''' - Arthur Constantin KREBS.

File:The 1884 Krebs &amp; Renard first fully controllable free-flights with the LA FRANCE dirigible near Paris (Krebs arch.).jpg |Les '''premiers vols pleinement contrôlés de Krebs &amp; Renard de 1884''' avec le dirigeable électrique '''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]''''' près de Paris (Krebs arch.).

File:1884-09-27 Scientific-American=Renard &amp; Krebs first fully controlled free-flight (from l'Illustration).pdf |'''1884-09-27''' - Scientific-American: Renard &amp; Krebs '''first fully controlled free-flight''' (from l'Illustration).

File:Popular science monthly (1872) (14763679411).jpg |'''1884''' - THE POPULAR SCIENCE MONTHLY: &quot;''the balloon returning each time to its point of departure, and attaining a speed of nearly fifteen miles an hour''&quot;.

1884-de-Grilleau=Les aérostats dirigeables leur passé, leur présent, leur avenir. Le ballon de Meudon.gif|'''1884''' - de Grilleau: &quot;'''''Le capitaine Krebs forme, avec le capitaine Renard, un contraste frappant''''' [...] &lt;ref name=1884_de-Grilleau /&gt;

File:Commemorative portrait of balloonists Charles Renard, Dupuy de Lôme, and Arthur Krebs, inventors and military officers who were charged with developing a navigable balloon during the Siege of Paris LCCN2002724814.tif|'''Portait commémoratif''' des aéronautes '''Ch. Renard''', '''H. Dupuy de Lôme''' et '''A. C. Krebs''', inventeurs et officiers qui ont collaboré au premier vol pleinement contrôlé le '''9 août 1884''' à Chalais-Meudon près de Paris.

File:1884 A-C-KREBS=portrait en gravure.jpg|'''1886''' - '''A. C. KREBS &amp; Ch. RENARD''' reçoivent le ''' Prix Ponti''' de '''l'Académie des sciences''' : &quot;''pour les progrès accomplis par eux dans la navigation aérienne.''&quot;  &lt;ref&gt;'''1886''' - '''A. C. KREBS &amp; Ch. RENARD''' reçoivent [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3059r/f1395 le '''Prix Ponti'''] de '''l'Académie des sciences''' : &quot;''pour les progrès accomplis par eux dans la navigation aérienne.''&quot;&lt;/ref&gt;

File:Gill Hugo.jpg | '''23-08-1884''' - [[w:Victor Hugo|'''Victor Hugo''']] - La direction des ballons :  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k7540223d/f1.item.r=%22victor%20hugo%22.zoom &quot;''Est-ce l'aimant qui s'est fait aider par l'éclair Pour bâtir un esquif céleste avec de l'air ?''&quot;]

File:'Robur the Conqueror' by Léon Benett 48.jpg|'''1886''' - '''[[w:Jules_Verne|Jules VERNE]]''', dans son roman '''[[w:Robur-le-Conquérant|Robur-le-Conquérant]]''' : &quot;[...] ''même après les expériences retentissantes des '''capitaines Krebs et Renard''' '' [...]&quot; &lt;ref&gt;'''1886''' - '''[[w:Jules_Verne|Jules VERNE]]''' dans  '''[[w:Robur-le-Conquérant|Robur-le-Conquérant]]''' : &quot;''Il était donc constant que, même après les expériences retentissantes des  [https://fr.wikisource.org/wiki/Robur_le_conqu%C3%A9rant/2 '''capitaines Krebs et Renard'''], si les aérostats dirigeables avaient gagné un peu de vitesse, c’était juste ce qu’il fallait pour se maintenir contre une simple brise. D’où  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bd6t51169574w/f98.image.r=krebs l’impossibilité d’user pratiquement jusqu’alors de ce mode de locomotion aérienne].''&quot;&lt;/ref&gt;

File:1886 - Catalogue plantes John-Saul - Géranium 'capitaine Krebs'.png|'''1886''' - [https://archive.org/details/johnsaulscatalog18john_12/page/4/mode/2up?q=capitaine+krebs '''Geranium &quot;''capitaine Krebs''&quot;''']: &quot;''Fine, large, well-shaped trusses, cinnabar-crimson, white centre, extra''&quot;.
&lt;/gallery&gt;
'''1884-08-20''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k64589820# '''Le Journal de Fourmies'''] : &lt;small&gt;&quot;[...] ''Je ne pus m'empêcher de songer à Pierre Billet ''[horloger à Villejuif]'', la semaine dernière, lorsque le capitaine Renard, le chef des aérostiers militaires de Meudon, vint me dire :''
:''- Enfin nous tenons la solution du problème ! ...''
:''Je regardai'' '''M. Krebs''','' qui accompagnait le capitaine Renard et qui doit avoir sa large part de gloire, ayant eu sa large part de travail. Renard est très communicatif, il parle beaucoup et avec une remarquable facilité. Je pouvais, avec quelque apparence de raison, le prendre pour un enthousiaste. Cependant il y a six ans qu'il dirige le service aéronautique. ''
:'''''J'ai souvent assisté à ses expériences ; assis au bord du [[w:Tapis_vert_(Versailles)|Tapis Vert]], près de [[w:Meudon#Histoire_de_Trivaux|la porte de Trivaux]]''''', ''j'ai vu je ne sais combien de fois, les soldats du génie, amener le ballon du parc de Chalais, attacher les longues cordes blanches '''au treuil à vapeur''' fixé sur un camion, et exécuter avec une admirable précision les manœuvres que, de la nacelle, à deux cent cinquante ou trois cents mètres au-dessus des bois, commandait le porte-voix du capitaine. Le camion partait au trot de ses robustes chevaux ; les cordes blanches s'enroulaient et se déroulaient sur le treuil ; le ballon, ainsi entraîné, marchait dans la direction de Versailles ; le soir j'assistais au retour, à la descente, au remisage dans le vaste hall du parc. Je savais donc que Renard n'était pas un rêveur, un illuminé ... Il se présentait à moi fort de ses études constantes et de sa pratique journalière.
:'''''N'importe, un mot de Krebs aurait dissipé tous mes doutes'''''.
:'''''Ce Krebs est un silencieux ; il lui arrive souvent de ne pas prononcer quatre paroles en quatre heures. Il a le regard profond du chercheur ; Renard a la verve du démonstrateur, du conférencier.'''''
:''- Ainsi, demandai-je, vous avez obtenu des résultats décisifs.''
:'''''Krebs fit un signe de tête'''''.
:''- Nous avons dirigé notre ballon, répondit le capitaine Renard. Vous connaissez '''l'aérostat, ... horizontal, allongé en forme de cigare''', comme ceux de M. Giffard, de M. Dupuy de Lôme, de M. Gaston Tissandier ?'' ...
:''- Et de Pierre Billet ?'' ...
:''- Ah ! je n'avais jamais entendu ce nom ? ... Vous avez vu, il y a quelques temps, '''notre fine nacelle, une véritable yole aérienne, attachée d'aussi près que possible à l'aérostat ?''' ...''
:''- Oui, c'était le système de Pierre Billet.''
:''- Ah ! ... Eh bien, grâce à '''notre moteur électrique''' et à '''nos hélices''' ''[celle de traction et celle de gonflement du ballonnet ?], ''nous gouvernons tout cela pour ainsi dire à volonté, '''''nous évoluons promptement, nous opérons le virage parfait et nous revenons à notre point de départ''''' ... Tenez, supposons que nous partions de cette sébille à poudre, et qu'après avoir voyagé ici et là, au-dessus de votre grande table, nous décrivions un cercle pour redescendre exactement au centre de la sébille. '''C'est ce que nous avons fait aujourd'hui, ayant pour témoins les habitants de Meudon, du Petit-Bicêtre, de Villacoublay et de Vélizy'''.''
:''De nouveau, je regardai '''M. Krebs'''.''
:''Le silencieux fit un second signe de tête.''
:''- C'est un magnifique résultat, m'écriai-je ... Vous voilà donc à même de vous diriger dans tous les cas et malgré tous les vents ? ...''
:'''''M. Krebs fit un signe négatif ...'''''
:''- N'allons pas si vite, dit le capitaine Renard ... Nous sommes venus simplement vous présenter un enfant né viable et bien constitué ... L'enfant grandira, ... n'est-ce pas, ami Krebs ? ...''
:'''''M. Krebs, avec une émotion contenue, pressa la main que lui tendait son collaborateur.'''''
:''Et ce fut alors que, plein de confiance dans l'avenir des ballons dirigeables, j'écrivis l'article-procès-verbal que tous mes confrères de Paris se sont empressés de reproduire.''
:''La route de l'air est ouverte.''
:''S. DELBOS'' &quot;&lt;/small&gt;
== Le sous-marin &quot;'''''[[w:Gymnote (1888)|Gymnote]]'''''&quot; avec [[w:Gustave_Zédé|'''Gustave ZEDE''']] ==
'''Catégories''' : [[commons:Category:Gymnote (submarine, 1888)|'''''Gymnote (1888)''''']], [[commons:Category:Gustave Zédé|'''''Gustave Zédé''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Gymnote (1888)|Gymnote (1888)]], [[w:Histoire des sous-marins|Histoire des sous-marins]], [[w:Coque_(bateau)#Sous-marins|Coque de sous-marins]]
&lt;br&gt;'''1884''' - &quot;''L’expérience du dirigeable était révolue sans laisser l’espoir de pouvoir mieux faire à courte échéance. C’est alors que le général Zédé, frère de [[w:Gustave_Zédé | M. Zédé]], directeur des Constructions Navales, dont j’avais fait la connaissance par mon beau-père, me proposa de quitter la Direction du Génie, où je n’avais aucun avenir à espérer, et de me nommer au Régiment des Sapeurs-Pompiers dont on voulait modifier et perfectionner les moyens d’action pour les mettre à la hauteur de ce qui existait à l’étranger.''&quot; 

'''1885''' - &quot;''M. Gustave Zédé, ancien Directeur des Constructions Navales et Administrateur à la [[w:Forges et chantiers de la Méditerranée|Société des Forges et Chantiers]], avait entrepris'', en 1885, '''''l’étude d’un sous-marin''''' ''pour le compte de la Marine militaire''. '''''Ce navire devait être propulsé par un moteur électrique alimenté par des [[w:Camille_Desmazures#L’inventeur_d’un_nouveau_type_d’accumulateur_électrique|accumulateurs]]'''''. ''Toute cette partie mécanique était à étudier et à exécuter. Il me fit part de son projet et me demanda de collaborer avec lui.''&quot;

&quot;''La coque était construite par l’Arsenal de Toulon, et toute la partie mécanique et électrique devait être exécutée dans les Ateliers des [[w:Forges et chantiers de la Méditerranée|Forges et Chantiers]] au Havre.''&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot;/&gt;

=== Le moteur électrique du sous-marin ''Gymnote'' ===
&quot;''J’acceptai l’offre avec plaisir bien que'' '''''les conditions de construction d’une machine électrique de 50 CV à 200 tours''''' [exigé par Zédé] ''''' présentât de sérieuses difficultés'''''. ''Il y avait, en réalité, à réaliser des dispositions tout à fait nouvelles pour arriver à disposer, dans un espace très restreint : machine, accumulateurs et appareils de manœuvres. Sur la demande du Ministre de la Marine, je fus autorisé par le Ministre de la Guerre à prêter mon concours à la Marine tout en conservant mes fonctions au Régiment des Sapeurs-Pompiers.''&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot;/&gt; &lt;ref&gt;Noter que les règlements actuels sur le personnel militaire n'autoriseraient plus ce type de mise à disposition interarmées.&lt;/ref&gt;
&lt;gallery&gt;
File:1886-01-12 Brevet A-C-KREBS FR173487=Collecteur à deux balais pour machines électriques multipôlaires.pdf|page 6|'''1886-01-12''' - Brevet A. C. KREBS [https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4d/1886-01-12_Brevet_A-C-KREBS_FR173487%3DCollecteur_%C3%A0_deux_balais_pour_machines_%C3%A9lectriques_multip%C3%B4laires.pdf '''FR'''173487] : &quot;'''''Collecteur à deux balais pour machines électriques multipôlaires'''''&quot;.

File:1888 - Plans du moteur électrique multipolaire KREBS du Sous-marin GYMNOTE.pdf|'''1888''' - Plans du '''moteur électrique multipôlaire de A. C. KREBS''' pour le '''sous-marin GYMNOTE'''.

File:1880-1889-ALBUM-41 SHD-DE-2014-PA-40 (moteur Gymnote).jpg|'''1888''' - Le '''moteur électrique à 16 pôles et 2 balais de A. C. KREBS''' pour le '''sous-marin GYMNOTE'''.

File:1888-04 - Essais du moteur électrique multipolaire du Sous-marin GYMNOTE au Havre (France).pdf|'''1888''' - '''Plans de l'atelier d'essai''' du moteur électrique multipôlaire pour le '''sous-marin GYMNOTE''', au Havre (France).

File:1888-04 - SHD-DE-2014-PA-40 - Essais du moteur électrique multipolaire du Sous-marin GYMNOTE au Havre (France).pdf|'''1888''' - '''Essais du moteur électrique multipôlaire A. C. KREBS''' pour le '''sous-marin GYMNOTE''', au Havre (France).

File:1886-1889 - Moteur électrique de A. C. KREBS en place dans le sous-marin Gymnote.jpg|'''1888''' - Le '''moteur électrique de A. C. KREBS''' en place dans le  '''sous-marin GYMNOTE'''.

File:1889 - &quot;Gymnote&quot; submarine plan - cutaway view.png|thumb|'''1889''' - Vue en coupe du '''sous-marin GYMNOTE''' avec le '''moteur électrique de A. C. KREBS''' en place.
&lt;/gallery&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Date !! Brevet !! Intitulé
|-
| '''1886'''
|| [[c:File:1886-01-12_Brevet_A-C-KREBS_FR173487%3DCollecteur_%C3%A0_deux_balais_pour_machines_%C3%A9lectriques_multip%C3%B4laires.pdf|'''FR'''173487A]] 
|| ''Collecteur à deux balais pour machines électriques multipôlaires''
|-
|}

=== [[w:Canot|Le canot électrique d'essai]] ===
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Launch (boat)|'''''Canot''''']]
&lt;br&gt;'''1887''' - &quot;''Une première expérience, consistant à propulser un'' [https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1887-12-10_24_623/page/9954/mode/2up?q=krebs '''''canot de la Marine'''''] ''au moyen d’une dynamo et d’accumulateurs, dut d’abord être préparée pour convaincre le Ministre de la Marine de la possibilité du fonctionnement. Cette première expérience (1887) eut lieu au Havre et réussit pleinement. Les travaux pour le sous-marin purent alors être entrepris.''&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;
&lt;br&gt;'''1888''' - &quot;'''''Note sur un canot de 7 mètres avec machine électrique et accumulateurs''''' : [...] ''La réussite en pareille matière dépend en grande partie des rapports qui existent entre toutes les dimensions et grandeurs des éléments qui sont réunis''.&quot;

&lt;gallery&gt;
File:1887-10-15 LA-NATURE-n°750 Canot de la marine p309.jpg|'''1887''' -  '''[https://cnum.cnam.fr/CGI/fpage.cgi?4KY28.29/313/100/432/5/420 Le canot électrique de la marine]'''. La coque (métallique) et [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bd6t513859334/f13.item.r=krebs '''le moteur électrique conçu par A. C. KREBS'''] ont servi de test avant le sous-marin '''[[w:Gymnote (1888)|''Gymnote'']]'''. &lt;ref&gt;'''1887''' - L'Année scientifique et industrielle : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k201116k/f174.item.r=krebs &quot;''Le canot électrique''&quot;]. '''Le Génie civil''' : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k64825793/f9.image.r=krebs &quot;''Canot électrique de 8m85''&quot;].&lt;/ref&gt;

File:Théophile Aube.jpg|'''1886''' - Le vice-admiral   [[w:Théophile_Aube|Theophile Aube (1826-1890)]], ministre de la marine.

File:M. Gustave Zédé (1825-1891) - Ingénieur (Atelier Nadar).png|'''1890''' - M. '''Gustave Zédé''' (1825-1891) : Ingénieur (Atelier Nadar).
&lt;/gallery&gt;
=== '''Le premier sous-marin pleinement fonctionnel''' ===
&quot;''Les années '''1887''' et '''1888''' furent employées à leur exécution. Le montage des machines, essayées préalablement au Havre où elles donnèrent entière satisfaction, eut lieu à Toulon sous la direction de [[w:Gaston_Romazzotti | M. Romazzotti]], ingénieur de la Marine chargé de la construction du sous-marin 'Le Gymnote'.''&quot;

&quot;''En '''décembre 1888''', je fus envoyé à Toulon pour assister aux essais. L’année '''1889''', fut employée à doter le sous-marin de dispositions particulières pour '''améliorer la vision''', et d‘un '''gyroscope électrique''' dont je fournit les plans, pour remplacer la boussole qui se trouve indifférente quand elle est à l’intérieur d’une coque en fer.&quot;

&quot;''En '''décembre 1889''' j’assistai de nouveaux à différents essais, tout à fait concluants, à la suite desquels on mit en chantier un navire plus grand, étudié et construit directement par les Constructions Navales.''&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Gymnote1889.jpg|'''1888''' - 1ère version du [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4774644w/f1.image.r=submarine '''sous-marin GYMNOTE''']. '''A. C. KREBS tient le mât d'aération'''. Il est peint au minium pour être mieux aperçu en plongée. &lt;ref&gt;'''1888-02-23''' - Scientific American: &quot;[https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1889-02-23_27_686/page/10952/mode/2up '''''The torpedoe boat Gymnotus''''']&quot;&lt;/ref&gt;

File:1889 Arthur Krebs &amp; Jean Rey periscope for the french Gymnote submarine.jpg|'''1889''' - Le périscope de A. C.  KREBS &amp; [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3146s/f1142.image.r=gymnote| Jean REY] '''à lentille torique''' pour le sous-marin GYMNOTE.

File:1889 Gymnote Gyroscope.jpg|'''1889''' - A. C. KREBS ajoute un moteur électrique de sa conception sur le [https://archive.org/details/lesbateauxsousm01noalgoog/page/n112/mode/2up?q=gyroscope '''gyroscope'''] de marine manuel  [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_111%2C_1890.djvu&amp;page=428 Dumoulin] pour doter d'un  [https://archive.org/details/lesbateauxsousm01noalgoog/page/n108/mode/2up?q=gyroscope gyrocompas] le '''sous-marin GYMNOTE'''.

File:Gaston ROMAZZOTTI (1855-1915).jpg|'''Gaston ROMAZZOTTI''' (1855-1915) : ingénieur du génie maritime.

File:1880-1889 - Essais du sous-marin Gymnote en rade de Toulon.pdf|'''1888-1889''' - Essais du '''sous-marin Gymnote en rade de Toulon'''. &lt;ref&gt;'''1890-02-02''' - The Daily Colonist: &quot;[https://archive.org/details/dailycolonist18900202uvic/page/n3/mode/2up?q=gunboat '''''A Submarine Gunboat''''']&quot;&lt;/ref&gt;

File:1890 - Sous-marin Gymnote - Forçage d'un blocus en rade de Toulon.tif|'''1890''' - Sous-marin Gymnote : '''Succès d'un forçage de blocus naval''' en rade de Toulon, '''grâce au gyroscope électrique conçu par A. C. KREBS'''. &lt;ref&gt;'''1894-09-08''' - Scientific American: &quot;'''''[https://archive.org/details/sim_scientific-american_1894-09-08_71_10/page/156/mode/2up The problem of submarine navigation] [...] is in the hands of electrical engineers'''''&quot;.&lt;/ref&gt;

File:1895 - Les sous-marins Gymnote et Gustave Zédé en cale sèche à Toulon (France).jpg|'''1895''' - Après le succès du sous-marin expérimental '''''Gymnote''''', le grand [[w:Gustave Zédé (sous-marin)|'''''Gustave Zédé''''']] est construit par la marine : ici côte-à-côte dans le bassin de Toulon. &lt;ref&gt;'''1894-09-08''' - Scientific American: [https://archive.org/details/sim_scientific-american_1894-09-08_71_10/page/156/mode/2up &quot;'''''French submarine torpedo boats (Gymnote &amp; Gustave Zédé)'''''&quot;].&lt;/ref&gt;

File:Verne-face.jpg|'''1896''' - [[w:Jules Verne|Jules VERNE]] -  &quot;[[s:Face_au_drapeau/Chapitre_X|'''''Face au drapeau''''']]&quot;: &quot;''[[c:File:%27Facing_the_Flag%27_by_L%C3%A9on_Benett_22.jpg|il dépassait, et de beaucoup, les successeurs]] des [[c:Category:Goubet_submarine Goubet], [[w:Gymnote (1888)|Gymnote]], [[w:Gustave Zédé (sous-marin)|Zédé]]''&quot;.

File:1899-11-04 - Le Rire - le député veut faire un tour sur le sous-marin Gymnote mais il est trop gros.png|'''1899''' - '''Le Rire''' : Le député veut faire '''un tour sur le sous-marin Gymnote''' mais '''il est trop ventru'''.

File:FMIB 47799 Sous-Marin Gymnote, construit en 1888, sur les plans de l'ingenieur Zede.jpeg|'''1902''' - Le sous-marin GYMNOTE '''[https://archive.org/details/sim_scientific-american_1902-11-01_87_18/page/292/mode/2up?q=gymnote  torpille avec succès] le [[w:Jauréguiberry (cuirassé)|cuirassé &quot;Jaureguiberry&quot;]] et le [[w:Amiral Charner (croiseur cuirassé)|croiseur &quot;Amiral Charner&quot;]]'''.
&lt;/gallery&gt;
=== Le moteur électrique transportable ===
'''Catégories''' : [[commons:Category:Canet artillery|'''''Artillerie Canet''''']], [[commons:Category:Arme militaire fabriquée en France|'''''Arme militaire fabriquée en France''''']]

'''1885-1890''' - &quot;''C’est pendant cette période que j’étudiai un moteur électrique portatif pour actionner les perceuses employées sur les navires en construction à percer les trous dans les tôles qui doivent être ensuite réunies par des rivets. De même, des moteurs électriques actionnant les ventilateurs faisant circuler l’air dans toutes les parties des navires etc.''&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;
&lt;gallery&gt;
File:1885-03-18 - Moteur électrique transportable 60kgm - plans de A. C .KREBS.pdf|'''1885-03-18''' - '''Moteur électrique transportable''' de 60 kgm : Plans de A. C.KREBS.

File:1886-03-21 Brevet A-C-KREBS FR175023=Moteurs dynamo-électriques légers transportables.pdf|page 6|'''1886-03-21''' - Brevet A. C. KREBS '''FR'''175023 : '''Moteurs dynamo-électriques légers transportables'''.

File:1890-10-18 Génie-Civil canon-CANET moteur-électrique-Krebs.png|'''1890''' - Génie-Civil : Le [[w:Canon Canet|'''canon de marine CANET''']] de 15 cm à tir rapide avec '''les moteurs de pointage électriques''' conçus par A. C. KREBS'''. &lt;ref&gt;'''1890''' - Le Génie civil : '''[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6473131x/f1.item.r=krebs ''Application de l'électricité au pointage des canons''.]'''&lt;/ref&gt;

File:1893-05-20 - Moteur électrique transportable pour perceuses de A. C .KREBS.pdf|'''1893-05-20''' - Moteur électrique transportable '''pour perceuses''' de A. C. KREBS. &lt;ref&gt;'''07/01/1893''' - La revue industrielle : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k98228384/f114.item Les perceuses électriques]. &lt;/ref&gt;

File:1896 - Ventilateur électrique de A. C. KREBS sur les navires de guerre.jpg|'''1896''' - '''Ventilateur électrique''' de A. C. KREBS '''sur les navires de guerre'''. &lt;ref&gt;'''1896''' - Les applications mécaniques de l'énergie électrique : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k124730z/f278.item &quot;'''Ventilateur électrique''' à bord du croiseur ''Dupuy-de-Lôme''&quot;]&lt;/ref&gt;

&lt;/gallery&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Date !! Brevet !! Intitulé
|-
| '''1886'''
|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1886-03-21_Brevet_A-C-KREBS_FR175023%3DMoteurs_dynamo-%C3%A9lectriques_l%C3%A9gers_transportables.pdf '''FR'''175023A] 
|| ''Moteurs dynamo-électriques légers transportables''
|-
|}
== [[w:Exposition universelle de 1889|'''L'Exposition Universelle de Paris - 1889''']] ==
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Exposition Universelle (1889)|'''''Exposition Universelle (1889)''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Exposition universelle de 1889|Exposition universelle de 1889]]
&lt;gallery&gt;
File:1888-09-17 - Pelurier de KREBS - dynamo de l'Exposition Universelle de 1889.pdf|page 2|'''1888''' - Pelurier de A. C. KREBS: [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5656967z/f266.image.r=krebs '''dynamo de l'Exposition universelle de 1889'''].

File:1890-01-04 - Revue-Industrielle - La chaudière à vapeur DURENNE &amp; KREBS de l'Exposition de 1889.jpg|'''1888''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k97674385/f287.image.r= '''La chaudière DURENNE &amp; KREBS'''] de l'[[w:Exposition universelle de 1889|Exposition universelle de '''1889''']].

File:1890-01-04 - Revue-Industrielle - Machine à vapeur compound et dynamo électrique de A. C. KREBS.jpg|'''1890''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k97674385/f306.item.r=krebs&amp;durenne '''Le moteur à vapeur compound et la dynamo'''] de A. C. KREBS de l'[[w:Exposition universelle de 1889|Exposition universelle de '''1889''']].

File:Béroud - Le dôme central de la galerie des machines à l'exposition universelle de 1889 - P2314 - Musée Carnavalet.jpg |'''1889''' - A. C. KREBS conçoit la machine à vapeur et la dynamo qui ont produit l'éclairage du dôme central de la [https://www.bie-paris.org/site/fr/1889-paris '''Galerie des Machines'''].

File:Exposition Universelle, Paris, France, 1889 (2852571017).jpg|'''1889''' - Exposition Universelle de Paris : '''Le dôme central du Palais de l'industrie''' et de la Galerie des Machines.

File:Alexandre-Georges Roux - Fête de nuit à l'Exposition universelle de 1889, sous la tour Eiffel - P1994 - Musée Carnavalet.jpg | Fête de nuit à l' [https://archive.org/details/cu31924107177093/page/n7/mode/2up?q=krebs Exposition universelle de '''1889'''] sous la Tour Eiffel.

File:Panorama du Champ de Mars, Paris Exposition, 1889 (illuminated) (14197259007).jpg|'''Panorama du Champ de Mars''', [https://www.loc.gov/pictures/search/?q=exposition+1889&amp;sp=1&amp;sg=true&amp;st=gallery Exposition Universelle de Paris, '''1889'''] avec la Tour Eiffel illuminée.

File:Eiffel Tower and Exposition Universelle at night, Paris, 1889.jpg|'''1889''' -  Vue de la Tour Eiffel et du terrain de l'Exposition Universelle du Champ de Mars la nuit.

File:Georges Garen embrasement tour Eiffel.jpg|'''1889''' - &quot;'''''Embrasement de la Tour Eiffel pendant l’Exposition universelle de 1889'''''&quot;: tableau de Georges Garen.

File:L'Exposition universelle de 1889 - grand ouvrage illustré, historique, encyclopédique, descriptif (IA lexpositionunive02mono).pdf|page 36|'''1889''' - Exposition de '''l'établissement central d'aérostation militaire''' de Chalais-Meudon avec '''le dirigeable de Renard et Krebs'''.
&lt;/gallery&gt;
'''1889''' - Lors de l'Exposition Universelle , A. C. KREBS :

* Est membre du [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6476583z/f15.image.r=krebs   &quot;Comité Technique des Machines&quot;].

* Organise [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5656967z/f436.image.r=pompiers  la sécurité incendie dans toute l'Exposition] et saisit cette occasion pour tester son nouvel avertisseur d'incendie.

* Est nommé membre du comité d'organisation du [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8XAE331.24/5/100/38/0/0 Congrès International des pompiers officiers et sous-officiers].

* Conçoit le '''moteur à vapeur compound''' DURENNE &amp; KREBS et la '''dynamo électrique''' construite par la  [[w:Forges et chantiers de la Méditerranée|Société des Forges et Chantiers]] dont [[w:Gustave Zédé|Gustave Zédé]] est administrateur, qui produit l'éclairage du dôme central de la [https://www.bie-paris.org/site/fr/1889-paris '''Galerie des Machines'''] de l'Exposition Universelle de Paris en '''1889''', exposition qui inaugure la tour de l'ingénieur [[w:Tour Eiffel|'''Gustave EIFFEL''']].
== La réorganisation du service incendie de la &quot;'''''Ville de Paris'''''&quot; ==
'''Catégories''' : [[commons:Category:Brigade de sapeurs-pompiers de Paris|'''''Brigade de sapeurs-pompiers de Paris''''']], [[commons:Category:History of firefighting|'''''Histoire de la lutte contre l'incendie''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Brigade de sapeurs-pompiers de Paris|Brigade de sapeurs-pompiers de Paris]], [[w:Lutte contre l'incendie|Lutte contre l'incendie]]
&lt;br&gt;'''1884-1897''' - &quot;''Il serait trop long de m’étendre sur les travaux réalisés pendant les 12 années (1885-1897) que j’ai passées dans ce corps. Après  [[Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#Voyages_d'%C3%A9tudes_en_Europe_et_en_Am%C3%A9rique|plusieurs voyages d’études aux États-Unis d’Amérique]] ''['''1885''' and '''1895''']'' et en Europe ''['''1884''', '''1885''' et '''1891''']'', je fus conduit à faire des propositions : mais cette fois, la tâche n’était plus la même.''&quot;

&quot;''Les propositions étaient discutées dans des commissions et, avant d’arriver à l’exécution, il fallait les faire triompher. Je réussit à les faire accepter et le résultat fut'' ''''' de transformer complètement l’organisation du Service Incendie ainsi que son matériel'''''.&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;  &lt;ref&gt;'''1901''' - Revue municipale : &quot;[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k61398922/f1.item.r=%22sapeurs-pompiers%22 Sapeurs-pompiers de la ville de Paris]&quot;, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k54352216/f2.item.r=casque suite.] .&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;'''2023''' - '''Damien Grenèche''' (thèse) : &quot;[https://hal.univ-lorraine.fr/tel-04661041v1 ''Sapeurs-Pompiers de Paris, '''1811-1967''' : construction d'une élite et d'une identité singulière].&quot; &lt;/ref&gt;
&lt;gallery&gt;
File:1891-A-C-KREBS=portrait en uniforme de pompier.jpg |'''1891''' - '''A. C. KREBS''' : portrait en uniforme de pompier à l'occasion de ses 10 ans de mariage et de sa nomination de '''Major Ingénieur''' au Régiment de sapeurs-pompiers de Paris.

File:1900~Pompiers=sauvetage-1.jpg|'''1900''' ~ Sapeurs-pompiers de Paris : &quot;'''Sauvetage'''&quot; dans le cadre de la réorganisation de A. C. KREBS.

File:1900~Pompiers=la grande échelle-2.jpg|'''1900''' ~ Sapeurs-pompiers de Paris :  &quot;'''La grande échelle'''&quot;  dans le cadre de la réorganisation de A. C. KREBS.

File:1900~Pompiers=manoeuvre d'ensemble-3.jpg|'''1900''' ~ Sapeurs-pompiers de Paris : &quot;'''manœuvres d'ensemble'''&quot;  dans le cadre de la réorganisation de A. C. KREBS.

File:1900~Pompiers=poste central-4.jpg|'''1900''' ~ Sapeurs-pompiers de Paris : &quot;'''Poste central, appel au feu'''&quot;  dans le cadre de la réorganisation de A. C. KREBS.

File:1900~Pompiers=le gymnase-6.jpg|'''1900''' ~ Sapeurs-pompiers de Paris : &quot;'''Le gymnase'''&quot;  dans le cadre de la réorganisation de A. C. KREBS. &lt;ref&gt;Depuis '''1895''' réussir le test de [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k96376025/f89.image la planche à rétablissement] est devenu [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k940510p/f365.item.r=planche obligatoire chaque matin] pour [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5422697h/f5.item.r=%22planche%20a%20retablissement%22 les pompiers parisiens], jusqu'à [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:BSPP_-_Test_de_la_planche_%C3%A0_r%C3%A9tablissement.webp aujourd'hui].&lt;/ref&gt;
&lt;/gallery&gt;
=== La pompe d'incendie à vapeur  '''[https://www.leonore.archives-nationales.culture.gouv.fr/ui/notice/130621 DURENNE] &amp; KREBS''' ===
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Durenne &amp; Krebs fire engine|'''''Pompe d'incendie Durenne &amp; Krebs''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Fourgon d'incendie|Fourgon d'incendie]]
&lt;gallery&gt;
File:Pompe à vapeur Durenne &amp; Krebs, modèle 1888-1.jpg|'''1888''' - Pompe à vapeur d'incendie DURENNE &amp; KREBS.

File:Pompe à vapeur Durenne &amp; Krebs, modèle 1888-2.jpg|'''1888''' - Pompe à vapeur d'incendie DURENNE &amp; KREBS.

File:Pompe à vapeur Durenne &amp; Krebs, modèle 1888-3.jpg|'''1888''' - Pompe à vapeur d'incendie DURENNE &amp; KREBS.

File:Pompe à vapeur Durenne &amp; Krebs, modèle 1888-4.jpg| '''1888''' - Pompe à vapeur d'incendie DURENNE &amp; KREBS.

File:1892 Portefeuille-économique=Pompe Durenne &amp; Krebs 1888.pdf|'''1892''' - &quot;''[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k323907b/f243.item.r Pompe à incendie à vapeur de la ville de Paris (modèle de '''1888''')]'' de '''MM. Durenne &amp; Krebs'''.&quot;

File:Jean-François Durenne Durenne Constructeur 1897.jpg|'''1897''' - '''Jean-François DURENNE''' (1821-1909) et le moteur à vapeur DURENNE &amp; KREBS

File:La voiture Pompe à vapeur Durenne et Krebs.jpg|'''1900''' ~ La voiture Pompe à vapeur DURENNE &amp; KREBS '''attelée'''.

File:1903 - AUTOMOBILE FIRE STEAM PUMP OF THE PARIS FIREFIGHTERS.pdf|'''1903''' - '''La pompe d'incendie automobile''' des pompiers de Paris utilise la chaudière à vapeur '''DURENNE &amp; KREBS'''. &lt;ref&gt;'''1904''' - The Engineering Magazine - The International Automobile Exposition at Paris : '''''[https://archive.org/details/factoryindustria27newy/page/76/mode/2up?view=theater Automobile Fire Engine of the Paris Fire Department]'''''.&lt;/ref&gt; &lt;ref&gt;'''1904''' - The Engineer: &quot;''The boiler is of the type invented by [https://archive.org/details/sim_engineer_january-1-june-24-1904_97/page/130/mode/2up?q=%22commandant+krebs%22 M. Durenne and Commandant Krebs] and improved by M.M. [https://archive.org/details/sim_engineer_january-1-june-24-1904_97/page/n3/mode/2up?q=weyher Weyher et Richemond] to facilitate the cleaning of the tubes''&quot;.&lt;/ref&gt; &lt;ref&gt;'''1904''' - La Nature: ''' [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?4KY28.62/238/70/536/5/420 Les pompes à incendie automobiles]'''.&lt;/ref&gt;

File:1904 - AUTOMOBILE FIRE STEAM PUMP OF THE PARIS FIREFIGHTERS (schemas).pdf|'''1903''' - '''La pompe d'incendie automobile''' des pompiers de Paris ('''schemas''') qui utilise la chaudière DURENNE &amp; KREBS.
&lt;/gallery&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Date !! Brevet !! Intitulé
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| '''1888'''
|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1888-04-14_Brevet-Durenne%26Krebs_FR189962_chaudi%C3%A8re-tubulaire-tubes-curvilignes.pdf '''FR'''189962] 
|| ''Chaudière multitubulaire à tubes curvilignes dilatables à circulation automatique et rapide''
|-
| '''1889'''
|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1888-04-14_Brevet-Durenne%26Krebs_FR189962-certificat-1889-08-21_chaudi%C3%A8re-tubulaire-tubes-curvilignes.pdf Certificat d'addition] 
|| 
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| 
|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1888-04-14_Brevet-Durenne%26Krebs_FR189962-certificat-1889-08-29_chaudi%C3%A8re-tubulaire-tubes-curvilignes.pdf Certificat d'addition] 
|-
|  '''1890'''
|| [https://bases-brevets19e.inpi.fr/brevets?arko_default_63f395e1547dd--ficheFocus=&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bmode%5D=simple&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bop%5D=AND&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bop%5D=AND&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bq%5D%5B%5D=208718&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bextras%5D%5Bmode%5D=input&amp;arko_default_63f395e1547dd--from=0&amp;arko_default_63f395e1547dd--resultSize=50&amp;arko_default_63f395e1547dd--contenuIds%5B%5D=838591&amp;arko_default_63f395e1547dd--modeRestit=arko_default_63f397c19a653 '''FR'''208718]
|| [https://archive.org/details/descriptiondesm14commgoog/page/n104/mode/2up?q=durenne ''M. DURENNE, pour une pompe à vapeur, système Durenne &amp; Krebs''] ([https://archive.org/details/descriptiondesm14commgoog/page/n182/mode/2up?q=durenne Dessins]).
|-
|}
=== [https://archive.org/details/BSG_8VSUP2176 Voyages d'études en Europe et en Amérique] ===
'''1885-11-26''' - '''New York Times''' : &quot;''Parmi les passagers du paquebot français  [[w:La_Normandie_(paquebot_de_1883)|'''Normandie''']], qui ont embarqué hier pour le Havre, on comptait le Contre-amiral Baldwin, de la marine américaine ; [[w:Auguste Bartholdi|'''A. Bartholdi''']], le scuplteur ; le baron Hulot, le '''Capt. Krebs''', l'Abbé Gaudin, le Capt. Garcin, M. Martin Clerc, M. [[w:Charles_de_La_Poix_de_Fréminville|'''Ch. de Fréminville''']].''&quot;

'''1895-09-10''' - '''New York Times''' : &quot;''Trois Français qui étudieront les méthodes utilisées dans ce pays: le [https://fr.wikipedia.org/wiki/Brigade_de_sapeurs-pompiers_de_Paris#Liste_des_chefs_de_corps_commandant_le_r%C3%A9giment_de_sapeurs_pompiers_de_Paris_(de_1866_%C3%A0_1967) Col. Varigault], le '''Commandant Krebs''', et le   [https://www.leonore.archives-nationales.culture.gouv.fr/ui/notice/90324#show Capt. Cordier], officiers du [[w:Brigade de sapeurs-pompiers de Paris|corps des sapeurs-pompiers de Paris]], arrivés dans cette ville samedi dernier avec le paquebot [[w:La Touraine (paquebot)|'''La Touraine''']] pour commencer une tournée des principales villes des États-Unis dans le but d'enquêter sur les méthodes adoptées dans divers services d'incendie.''&quot;

'''1895-11-06'''- '''Quebec Morning Chronicle''' : &quot;Le ''Colonel Varigault, le '''Commandant Krebs''' et le   [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b53004798j.r=%22colonel%20cordier%22?rk=21459;2 Capitaine Cordier], du Service des sapeurs-pompiers de Paris, sont revenus hier à New York après une tournée de deux mois aux États-Unis et au Canada dans le but d’inspecter les services d’incendie des grandes villes. Le colonel Varigault a été vu ce matin. Il a déclaré : « Nous avons visité New York, Boston, Montréal, Cleveland, Chicago, Saint-Louis, la Nouvelle-Orléans, Cincinnati, Pittsburg et Washington. Nous avons été reçus partout avec la plus grande gentillesse et notre voyage a été un succès complet. Le Service des sapeurs-pompiers de New York est bien en avance sur tous ceux que nous avons vus dans ce pays, tant en termes d’équipement que de discipline. Ensuite, je devrais nommer Boston, bien que Montréal ne soit pas loin derrière. Chicago et San Francisco sont également bons. Mais je ne vois pas comment le Service des sapeurs-pompiers de Chicago pourrait lutter contre un incendie dans l’un de ses hauts immeubles. »''&quot;
&lt;gallery&gt;
File:1885-10-03=1885-11-25 Pompiers de Paris=voyages en Amérique d'Arthur Constantin KREBS - EN.png | '''1885''' - Trajet du voyage en Amérique du Colonel Couston, du capitaine-ingénieur A. C. Krebs des pompiers de Paris, et de son beau-frère [[w:Charles_de_La_Poix_de_Fréminville|Charles de Fréminville]], '''du 3 octobre au 18 novembre 1885'''.

File:1895 Pompiers de Paris=voyages en Amérique d'Arthur Constantin KREBS - EN.png | '''1895''' -  Trajet du voyage en Amérique du Colonel Varigault, du Commandant A. C. Krebs et du capitaine-ingénieur Cordier des pompiers de Paris, '''d'août à octobre 1895'''.

File:1895-10-31-Evening-Star=voyage des pompiers de Paris en Amérique=Varigault+Krebs+Cordier 'amis-des-cubains'.png |'''1895-10-31''' - Evening-Star (Washington) : Col. Varigault, Commandant Krebs and Capitan Cordier &quot;'''''leaders among the friends of Cuban freedom in the south'''''&quot;.

File:1895-11-18 The New York herald-Paris='Changes for Paris firemen'.png |'''1895-11-18''' - The_New-York herald Paris: &quot;'''''Changers for Paris firemen'''''&quot; (Colonel Varigault, Commander Arthur Constantin Krebs and Captain Cordier).
&lt;/gallery&gt;
==== L'avertisseur d'incendie ====
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Fire alarms|'''''Alarmes incendie''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Alarme incendie|Alarme incendie]], [[w:Téléphone|Téléphone]], [[w:Louis_Lépine|Louis_Lépine]]
&lt;gallery&gt;
File:1888 A-C-KREBS=système Krebs de téléphone pour les avertisseurs du service incendie de la ville de Paris.jpg|'''1888''' - [https://archive.org/details/electricalengin05unkngoog/page/n14/mode/2up?q=krebs Le '''téléphone système A. C. KREBS'''] pour les bornes d'appel incendie de la ville de Paris, sert aussi de &quot;'''ronfleur'''&quot; pour prévenir les passants de son utilisation.

File:1888-07-27 Brevet A-C-KREBS FR192070=Système de téléphone.pdf|page 7|'''1888-07-27''' - A. C. KREBS Brevet '''FR'''192070: &quot;''Système de téléphone à champ magnétique fermé avec plaques à section cylindriques, concentriques égales''&quot;.

File:1892-05-28 Génie-Civil Pompiers=avertisseur-Digeon+téléphone-Krebs.jpg|'''1892''' - '''Col. Varigault''' :&quot;''A Paris, chacun de [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6474130t/f2.item.r=krebs '''nos avertisseurs publics d'incendie'''] est relié à un centre de secours qui, en même temps que l'alarme est donnée, reçoit, grâce à un téléphone ''[A. C. KREBS]'' installé dans l'avertisseur lui-même, des informations sur la nature du sinistre et le lieu où il s'est déclaré.''&quot; &lt;ref&gt;'''1896-03-19''' -  Procès verbal du '''Comité de perfectionnement''' du régiment de sapeurs-pompiers de Paris : [http://rytmo.net/ACK/1896-03-19_Pompiers_PP-DB273_Comite-Perfectionnement.pdf Rapport du voyage du colonel Varigault, du commandant Krebs et du capitaine Cordier en Amérique pour les pompiers de Paris en '''1895'''].&lt;/ref&gt; &lt;ref&gt;'''1893-11-25''' - Scientific American: [https://archive.org/details/scientific-american-1893-11-25/page/n3/mode/2up?q=alarms  '''New Fire Alarm'''].&lt;/ref&gt;

File:1894-12-27 Pompiers PP-DB273 Comite-Perfectionnement=plan de la répartition des avertisseurs.jpg|'''1894-12-27''' - Comité de perfectionnement des sapeurs-pompiers de Paris : plan de la '''répartition des avertisseurs d'incendie conçus par A. C. KREBS'''.
&lt;/gallery&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Date !! Brevet !! Intitulé
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| '''1888'''
|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1888-07-27_Brevet_A-C-KREBS_FR192070%3DSyst%C3%A8me_de_t%C3%A9l%C3%A9phone.pdf '''FR'''192070A] 
|| ''Système de téléphone à champ magnétique fermé avec plaques à section cylindriques concentriques égales''
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|}
==== Le compresseur d'air hydraulique ====
'''Catégories''' : [[commons:Category:Trompes|'''''Trompes hydrauliques''''']], [[commons:Category:Venturi effect|'''''Effet Venturit''''']], [[commons:Category:Bernoulli's principle|'''''Théorème de Bernoulli''''']], [[commons:Category:Fluid dynamics|'''''Dynamique des fluides''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Trompe hydraulique|Trompe hydraulique]], [[w:Effet Venturi|Effet Venturi]], [[w:Théorème de Bernoulli|Théorème de Bernoulli]], [[w:Dynamique des fluides|Dynamique des fluides]]
&lt;gallery&gt;
File:1887 - LA NATURE - la pompe à eau et à air des Pompiers de Paris.jpg| '''1887''' - La Nature - la '''pompe à eau et à air''' des Pompiers de Paris, '''avant''' l'arrivée de A. C. KREBS. &lt;ref&gt;'''1881''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k63812464/f86.item.r=%22pompe%20a%20air%22 '''Le feu à Paris et en Amérique'''], Colonel Paris : &quot;''La pompe à bras dite &quot;modèle des Sapeurs-pompiers de Paris&quot; ''[...]'' elle manœuvre également comme pompe à air dans les feux de cave [...].&quot;&lt;/ref&gt;

File:1889-02-16 Brevet A-C-KREBS FR196134=Appareil producteur d'air comprimé pour fournir de l'air aux personnes situées dans un milieu irrespirable et pour tous usages industriels.pdf|page 10|'''1889''' - Pompiers de Paris : Le '''compresseur d'air hydraulique''' conçu par A. C. KREBS (Brevet [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1889-02-16_Brevet_A-C-KREBS_FR196134%3DAppareil_producteur_d%27air_comprim%C3%A9_pour_fournir_de_l%27air_aux_personnes_situ%C3%A9es_dans_un_milieu_irrespirable_et_pour_tous_usages_industriels.pdf '''FR'''196134A] ).

File:1893 - Pompiers de Paris - casque respiratoire.png|'''1893''' - Pompiers de Paris : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k323907b/f244.image.r=casque%20respiratoire '''le casque respiratoire'''] alimenté avec le '''compresseur d'air hydraulique''' conçu par A. C. KREBS.

File:1900 ~ Pompiers de Paris - Le compresseur d'air pour 'un feu de cave'.jpg|'''1900''' ~ Pompiers de Paris - Le '''compresseur d'air''' pour &quot;'''un feu de cave'''&quot; conçu par A. C. KREBS'''.

File:1900_-_Le_mat%C3%A9riel_des_Pompiers_%C3%A0_l%27Exposition_Universelle.jpg|'''1900''' - La lampe électrique, '''le compresseur d'air et le ventilateur hydrauliques conçus par A. C. KREBS''', le casque respiratoire.

File:St. Nicholas (serial) (IA stnicholasserial402dodg).pdf|page 552|'''1913''' - Coups-d'œil sur les services incendies à l'étranger : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3ASt._Nicholas_(serial)_(IA_stnicholasserial402dodg).pdf&amp;page=551 &quot;'''''Un casque respiratoire à Paris'''''&quot;].
&lt;/gallery&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
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! Date !! Brevet !! Intitulé
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| '''1889'''
|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1889-02-16_Brevet_A-C-KREBS_FR196134%3DAppareil_producteur_d%27air_comprim%C3%A9_pour_fournir_de_l%27air_aux_personnes_situ%C3%A9es_dans_un_milieu_irrespirable_et_pour_tous_usages_industriels.pdf '''FR'''196134A] 
|| ''Appareil producteur d'air comprimé pour fournir de l'air aux personnes situées dans un milieu irrespirable et pour tous usages industriels''
|-
|}
==== Théorie de la pompe [à piston creux] à un seul clapet ====
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Pumps|'''''Pompes''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Pompe|Pompe]]
&lt;gallery&gt;
File:1888-11-03 Revue-Industrielle=Pompe mono-clapet.jpg |'''1886-01''' - Alors qu'il est major ingénieur au régiment de sapeurs-pompiers de la ville de Paris [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9788785q/f449.image.r=krebs A. C. KREBS décrit  '''la théorie complète de la pompe à un seul clapet'''].

File:1886 LA-NATURE=Théorie de Arthur Constantin KREBS de la pompe à un seul clapet.png |'''1886''' - A. C. KREBS, major ingénieur au régiment de sapeurs-pompiers de la ville de Paris décrit '''la théorie de  [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?4KY28.27/265/100/432/5/420 la pompe à piston creux à un seul clapet]'''. &lt;ref&gt;'''1885''' - [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?4KY28.24/115/100/432/8/420 La pompe sans piston] ou pompe chinoise. '''1886''' - [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?4KY28.27/179/100/432/5/420 La pompe sans piston].&lt;/ref&gt;
&lt;/gallery&gt;
==== Autres appareils d'incendie ====
'''Catégories''' : [[commons:Category:Brigade de sapeurs-pompiers de Paris equipment|'''''Équipement de la Brigade de sapeurs-pompiers de Paris ''''']], [[commons:Category:Équipement anti-incendie|'''''Équipement anti-incendie''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Hydrant|Hydrant]], [[w:Tuyau d'incendie|Tuyau d'incendie]]
&lt;gallery&gt;
File:1900 - Exposition Universelle - La chèvre de levage des Pompiers de Paris.png|'''1900''' - La '''chèvre de levage''' et le  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6584731t/f367.item.r=krebs matériel d'incendie exposé lors de l'Exposition universelle] de Paris.

File:La voiture Grande échelle.jpg|'''1900''' ~ La voiture Grande échelle GUGUMUS et KREBS.

File:Grande échelle Gugumus en action.jpg|'''1900''' ~ La grande échelle en action.

File:Lances à l'exercice.jpg|'''1900''' ~ Lances à l'exercice.

File:Le départ attelé réglementaire.jpg|'''1900''' ~ Le départ attelé réglementaire.

File:Le dévidoir.jpg|'''1900''' ~ Le dévidoir.

File:10 Entretien des tuyaux.jpg|'''1900''' ~ Entretien des tuyaux.

File:1900~Pompiers=Le ventilateur hydraulique inventé par A-C KREBS.jpg| '''1895''' ~ Le '''ventilateur hydraulique''' conçu par A. C. KREBS restera utilisé jusqu'en '''1935'''.
&lt;/gallery&gt;
=== La réorganisation des périmètres d'incendie ===
'''Catégories''' : [[commons:Category:Firefighting|'''''La lutte contre l’incendie''''']], [[commons:Category:Pompier|'''''Pompier''''']], [[commons:Category:Service de secours en France|'''''Service de secours en France''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Service départemental d'incendie et de secours|Service départemental d'incendie et de secours]], [[w:Lutte contre l’incendie|Lutte contre l’incendie]], [[w:Pompier|Pompier]], [[w:Sapeur (pompier)|Sapeur (pompier)]]
&lt;br&gt;'''2015''' - &quot;''La réponse que Krebs propose pour résoudre l’équation porteuse de toutes les variables qu’il a identifiées se nomme « vitesse ». Ce n’est plus la position de proximité physique du pompier près du sinistre qui va lui assurer son efficacité maximum, c’est la vitesse avec laquelle l’organisation globale du service saura faire parvenir sur les lieux du sinistre la juste quantité de matériel et de personnel, d’où que proviennent ce matériel et ce personnel. Si la proximité fige l’organisation et limite les possibilités d’adaptation, les capacités de la vitesse sont, quant à elles, potentiellement illimitées''.&quot; &lt;ref&gt;'''2015''' - Philippe Krebs, &quot;'''''L’ingénieur Krebs (1850-1935) ou comment traduire le fluide électrique'''''&quot;, Artefact [En ligne], HS 01 | 2015, mis en ligne le 30 avril 2021, consulté le 09 avril 2026. URL : http://journals.openedition.org/artefact/7663 ; DOI : https://doi.org/10.4000/artefact.7663&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;
'''1889''' - '''Comité de perfectionnement du régiment de sapeurs-pompiers de Paris''' : &quot;''Les surfaces des périmètres défendus chacun par un poste sont proportionnelles au carré des vitesses avec lesquelles ces postes peuvent se transporter et, comme conséquence immédiate et très importante, le nombre des postes à placer sur une surface donnée est inversement proportionnel au carré de ces mêmes vitesses de déplacement. Ainsi, un système de transport qui permettrait d'aller deux fois plus vite qu'un autre exigera quatre fois moins de postes pour arriver dans le même temps.''&quot; &lt;ref name=1889_Comité /&gt;

'''1896-05-20''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k7510386f/f2.item.zoom '''L'accident de l'Opéra'''] - Le câble d'un contre-poids de 625 kg du lustre de l' [[W:Le_Fant%C3%B4me_de_l%27Op%C3%A9ra#/media/Fichier:Palais_Garnier_auditorium_chandelier_-_Nuitter_1875_p147.jpg|Opéra de Paris]] se rompt au milieu d'une représentation et fait une chute de 12m en traversant plusieurs niveaux et en tuant une personne : &quot;''La version du major Krebs, du régiment des sapeurs-pompiers, paraît toutefois des plus vraisemblable : sous l'action d'un contact de courant, les fils supportant le contrepoids de l'appareil de ventilation se sont échauffés, sont devenus élastiques et, chaque fil, n'ayant plus que la consistance de macaroni cuit, s'est rempu sous le poids qu'il était chargé de supporter. Les fils du câble n'ont pas été chauffés jusqu'à la fusion, mais ils sont étirés et les sections sont inégalement placées.''&quot;  &lt;ref&gt;'''1896-05-22''' -  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4683851/f2.item.r=krebs Journal des débats politiques et littéraires]: &quot;''Accident à l'Opéra''&quot;.&lt;/ref&gt; &quot;''Par une coïncidence bizarre, [[w:Charles Garnier (architecte)|M. Garnier]], l'architecte de l'Opéra, est rentré à Paris ce matin. Il a assisté aux délibérations de la commission.''&quot; &lt;ref&gt;'''1896-05-22''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k548084f/f4.image.r=garnier La Presse]: &quot;''L'accident de l'Opéra''&quot;.&lt;/ref&gt; 
&lt;br&gt;&lt;br&gt;'''2023''' - Le plan Krebs de réorganisation des secours est toujours en application à Paris : &quot;'''Couverture opérationnelle''' : ''Stratégie mise en place dès '''1885''' avec l’adoption d’un plan de modernisation matérielle et organisationnelle. Le découpage de la capitale en 24 secteurs, le maillage formé par les bornes avertisseurs et les bouches incendie, la mise en place du départ attelé et la construction des nouveaux postes de secours ont contribué à élever ce plan de défense contre les incendies''.&quot; &lt;ref&gt;'''Damien Grenèche'''. ''Sapeurs-Pompiers de Paris, 1811-1967 : construction d’une élite et d’une identité singulière''. Thèse d'Histoire. Université de Lorraine, 2023. Français. NNT : 2023LORR0323. tel-04661041 : https://hal.univ-lorraine.fr/tel-04661041v1&lt;/ref&gt;
&lt;gallery&gt;
1881 'Le Feu à Paris et en Amérique' par le colonel Paris commandant le régiment des sapeurs-pompiers de Paris-.png|'''1881''' - &quot;[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k63812464/f237.item.r=%22Le%20Feu%20%C3%A0%20Paris%20et%20en%20Am%C3%A9rique%22 '''''Le Feu à Paris et en Amérique''''']&quot; par le colonel Paris commandant le régiment des Sapeurs-pompuiers de Paris - carte de la répartition des secours incendie à Paris '''avant''' la réorganisation de A. C. KREBS : &quot;''Les parties teintées sont celles qui sont incomplètement protégées aujourd'hui''&quot;.

1889-02-28 Pompiers PP-DB273 Comite-Perfectionnement=carte des 24 périmètres d'intervention prévus dans le plan KREBS de réorganisation des secours contre l'incendie à Paris.png|'''1889''' - Comité de perfectionnement des Pompiers de Paris : carte des '''24 périmètres d'intervention''' prévus dans le '''plan KREBS de réorganisation des secours contre l'incendie à Paris'''.

File:1903 Larousse=Pompiers.png |'''1903''' - Encyclopédie Larousse : Arthur Constantin KREBS a entièrement réformé le matériel et l'organisation des sapeurs-pompiers de la ville de Paris.

File:1923 Larousse=Pompiers.jpg |'''1923''' - Encyclopédie Larousse : Arthur Constantin KREBS a entièrement réformé le matériel et l'organisation des sapeurs-pompiers de la ville de Paris (suite).

File:1894-04-28 Pompiers tableau-Detaille 'Victimes-du-devoir' esquisse-couleur RMN.png |'''1894-04-28''' [http://www2.culture.gouv.fr/Wave/image/archim/0007/dafanch99_76630603_2.jpg  &quot;''Victimes-du-devoir''&quot;] esquisse du  [https://archive.org/details/douarddetaille00detauoft/page/n25/mode/2up tableau] de [[W:%C3%89douard_Detaille|Edouard Detaille]] qui représente une intervention des sapeurs-pompiers de Paris à l'époque de la réorganisation de A. C. KREBS. Deux pompes Durenne &amp; Krebs sont visibles en arrière-plan. &lt;ref&gt;''Les victimes du devoir'' - [https://www.photo.rmn.fr/CS.aspx?VP3=SearchResult&amp;VBID=2CMFCI7M9AE4D&amp;SMLS=1&amp;RW=1600&amp;RH=789 Detaille Jean-Baptiste-Edouard (1848-1912)] - Réunion des musées nationaux - Grand-Palais (Paris)&lt;/ref&gt;

File:The Opera House, Paris, France ca. 1890-1900.jpg |'''1896-05-20''' - Un contrepoids de  625 kg du [[W:Le_Fant%C3%B4me_de_l%27Op%C3%A9ra#/media/Fichier:Palais_Garnier_auditorium_chandelier_-_Nuitter_1875_p147.jpg|chandelier]] de [[W:Op%C3%A9ra_national_de_Paris|l'Opéra de Paris]] chute en pleine représentation et tue une personne. [[W:Gaston_Leroux|Gaston Leroux]] reprendra cet événement dans son roman [https://en.wikipedia.org/wiki/The_Phantom_of_the_Opera  &quot;'''Le fantôme de l'Opéra'''&quot;].

File:Le Petit Journal - Bazar de la Charité.jpg | '''1897-05-04''' - '''[[w:Bazar de la Charité|L'incendie du Bazar de la Charité]]''' : &quot;''Les sapeurs-pompiers de Paris arrivent sur les lieux en à peine dix minutes pendant que des grappes humaines surgissent du bazar transformé en brasier, par les deux seules portes d'accès dont l'une, celle de gauche, sera rapidement bloquée par des corps.''&quot;

File:Btv1b8433337w-p014.jpg |'''1900-03-08''' - &quot;''L'incendie du Théâtre-Français''&quot;: La pompe d'incendie [[c:Category:Durenne_%26_Krebs_fire_engine|'''&quot;Durenne &amp; Krebs&quot;''']] (fabriquée par [https://data.bnf.fr/14536469/societe_des_etablissements_weyher_et_richemond/ Weyher &amp; Richemond]) en opération.

File:Btv1b8433337w-p015.jpg |'''1900-03-08''' - &quot;''L'incendie du Théâtre-Français''&quot;: La '''grande échelle &quot;[[W:Gugumus|Gugumus]] &amp; Krebs&quot;''' en opération.
&lt;/gallery&gt;
=== La '''voiture système KREBS''' et [[w:Émile_Levassor|'''Émile LEVASSOR''']] ===
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Voiture système Krebs|'''''Voiture système Krebs''''']]
&lt;br&gt;'''1894''' - [[w:Paris-Rouen (automobile)|'''La course Paris-Rouen''']] : &quot;''J'étais présent le 18 juillet 1894, le matin, au départ des véhicules automobiles engagés dans la course du Petit Journal. Le départ a eu lieu à la Porte Maillot. Au moins 20 véhicules se sont présentés au départ.''&quot; &lt;ref name=&quot;1906_Krebs_Selden&quot; /&gt;

Le 28 novembre '''1894''', le Conseil municipal de Paris accepte la proposition de A. C. KREBS d’étudier l’application des moteurs à pétrole à la traction des voitures d’incendie, en remplacement des chevaux. Le Conseil alloue les crédits et ajoute : &quot;''Il ne faut pas craindre de demander largement le nécessaire''.&quot; &lt;ref&gt;
'''28/11/1894''' - Comptes-rendus du [https://rytmo.net/ACK/1894-11-28_Pompiers_PP-DB273_Comite-Perfectionnement.pdf &quot;''Comité de perfectionnement''&quot;] des sapeurs pompiers de Paris.&lt;/ref&gt;

'''1895''' - A. C. KREBS est '''présent lors du retour de Levassor''' pour la '''course Paris-Bordeaux-Paris'''. &lt;ref&gt;'''1906''' - [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1906_Arthur_Constantin_KREBS_testimony_during_the_Selden_case.pdf&amp;page=30 '''Témoignage d'A. C. KREBS'''] lors du '''procès Selden à New-York''' :'' '''Q35'''. Were you at one or more automobile races in 1895? '''A35'''. Yes, I recall well in the Paris-Bordeaux-Paris race the return of the two passenger vehicle  which was driven by Monsieur Levassor.  That vehicle and its driver had made the trip there and return, 1175 kilometers, without stops other than those necessary to replenish with fuel, in about 48 hours. Unfortunately the first prize for the performance could not be given to it because it could not be awarded a vehicle with two passengers. Nevertheless the performance of this vehicle was considered most successful''.&lt;/ref&gt;

'''1896''' - &quot;''Vers 1894 parurent les premières voitures automobiles mues par des moteurs à essence. La locomotion automobile ayant déjà frappé mon imagination au point de vue de son application au Service Incendie, je me procurai un petit moteur auprès de la maison Panhard &amp; Levassor pour en bien étudier le fonctionnement et construisis dans l’atelier des Sapeurs-Pompiers une petite voiture d’expérience dont les changements de vitesse étaient obtenus par des embrayages magnétiques'' [brevetée en 1896]. ''J’avais imaginé cette disposition pour éviter les chocs brutaux que subissent les engrenages dans les changements de vitesse, solution qui me paraissait barbare.''&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;
&lt;gallery&gt;
File:1896-05-02 A.C.KREBS automobile-patent=FR256344.jpg|'''1896''' - A. C. KREBS : Dessin du '''brevet d'automobile'''.

File:1896-05-13 A.C.KREBS=Brevet FR256344-'voiture-automobile'.pdf|page 10|'''1896''' - A. C. KREBS : '''Brevet d'automobile''' ('''FR'''256344).

File:Krebs Electromagnetic-Gear 1896.jpg|'''1896''' - A. C. KREBS : '''Boîte de vitesse électromagnétique''' du brevet d'automobile ('''GB'''189619774A).

File:1896-11-09 BE124538=brevet belge de la voiture de A. C. KREBS.pdf|'''1896''' - A. C. KREBS : '''Brevet belge''' ('''BE'''124538).

File:Voiture système Krebs 1896.jpg |'''1896''' - '''A. C. KREBS est au guidon''' de sa voiture au Bois de Boulogne à Paris.

File:1900~Grde-Encycl=Velocipede-Angle-de-chasse.jpg|'''1896''' - A. C. KREBS introduit '''l'[[w:Géométrie_de_suspension#La_chasse|angle de chasse]]''' dans la technologie de '''la direction automobile'''.

File:1882-1898 – A. C. KREBS metallic wheel hubs.pdf|'''1882-1898''' – A. C. KREBS introduit  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9810086j/f94.item '''le moyeu métallique d'artillerie français'''] dans la '''technologie automobile mondiale'''. &lt;ref&gt;'''1915''' - [https://archive.org/details/automobilebooka00homagoog/page/n298/mode/2up '''The Automobile Book''' : A Practical Treatise on the Construction, Operation and Care of Motor Cars] by [[w:Duryea_Motor_Wagon_Company|Charles E. Duryea]]: &quot;'''Raisons d'adopter des roues en bois''' : ''Le public, cependant, finit par apprendre et, une fois informé, ses préférences sont généralement judicieuses ; ainsi, en quelques années, la roue à fil de fer fut condamnée, non pas parce qu'elle était impossible à fabriquer de façon satisfaisante, mais parce qu'elle ne l'était pas, et la roue en bois devint la forme acceptée. En se tournant vers la roue en bois, cependant, les fabricants tombèrent dans l'autre extrême et adoptèrent généralement la roue désormais universelle [https://en.wikipedia.org/wiki/Artillery_wheel du type artillerie]'''''. Cette roue est utilisée pour sa robustesse, plutôt que pour sa légèreté ou son faible coût, et '''''a été largement adoptée en raison de son utilisation à l'étranger.'''''.&quot;&lt;/ref&gt;

File:1899 - Panhard-Levassor - roue d'artillerie de la voiture de C. S. Rolls.jpg|'''1899''' - Panhard-Levassor: '''Roue d'artillerie de la voiture de C. S. Rolls conçue par A. C. KREBS'''. &lt;ref name=Rolls-1899/&gt;

File:1899 - Panhard-Levassor - artillery wheel axle stub of C. S. Rolls' car.jpg|'''1899''' - Panhard-Levassor: '''Arbre de la Roue d'artillerie de la voiture de C. S. Rolls conçue par A. C. KREBS'''.  &lt;ref name=Rolls-1899/&gt;

File:Roue.jpg|'''1900''' ~ '''Roue d'artillerie''' de type français sur un essieu d'automobile.

File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 72|'''1913''' - La stabilité de route : &quot;'''''L'angle de chasse'''''&quot;.

File:Émile Levassor peu avant sa mort.jpg|'''1896-09-03''' - '''Émile Levassor''' (1843-1897) achète la licence du '''brevet d'automobile système Krebs'''.

File:WP-Rene Panhard.jpg|'''René Panhard''' (1841-1908).
&lt;/gallery&gt;
==== Sept innovations dans la technologie automobile ====
:Brevets de la voiture système Krebs : '''FR'''256344, '''GB'''189619774A, '''BE'''124538

* '''La généralisation du système de suspension par 3 points (moteur et chassis)''' : (voir infra)

:	&quot;''Puisque l'on sait que 3 points suffisent pour déterminer un plan.''&quot; &lt;ref name=1896_voiturette_Krebs/&gt;

:	&quot;''Suspension de bâti du mécanisme au châssis de la voiture par 3 points munis d'articulations, à l'effet de soustraire le mécanisme aux déformations que le châssis de la voiture peut avoir à supporter pendant le roulement du véhicule.''&quot;

* '''La boîte de vitesse électromagnétique avec les engrenages toujours en prise''' :

:	&quot;''J’avais imaginé cette disposition pour éviter les chocs brutaux que subissent les engrenages dans les changements de vitesse, solution qui me paraissait barbare.''&quot;

* '''Le changement de vitesses au volant''' :

:	&quot;''Le régulateur de vitesse comprend un commutateur électrique disposé sur un disque fixé au-dessous du guidon de direction sur un tube fixe renfermant la tige de direction. Un plateau mobile, muni d'un bourrelet à sa circonférence, recouvre le commutateur et établit suivant 5 positions, les communications et embrayages suivants : 1° - position de repos, circuit coupé, aucun embrayage ; 2° - 1er cran à droite, petite vitesse ; 3° - 2ème cran à droite, vitesse moyenne ; 4° - 3ème cran à droite, grande vitesse ; 5° - cran à gauche de la position de repos, marche en arrière.''&quot;

* '''La direction à crémaillère amortie''' :
:	&quot;''La direction est obtenue au moyen d'un pignon denté monté sur le rond supérieur engrenant avec un secteur denté fixé au rond inférieur. L'axe du pignon porte une roue à dents logée dans une boîte cylindrique reliée par deux tubes à la caisse de la voiture. Une seconde roue à dents, montée sur la tige de direction située à la portée du conducteur, est reliée à la première au moyen d'une chaîne sans fin passant dans les deux tubes indiqués plus haut. Dans la partie rectiligne des tubes, la chaîne est remplacée par deux tiges élestiques formées de tubes contenant des ressorts à boudin. Cette disposition a pour but de maintenir constamment la chaîne tendue et de créer un amortisseur entre les vibrations transmises à la chaîne par le roulement des roues d'avant sur un sol inégal et la tige de direction placée dans les mains du conducteur.''&quot;

* '''L'[[w:Géométrie_de_suspension#La_chasse|angle de chasse]] positif sur le train avant''' :

:	&quot;''L'avant-train est formé du rond inférieur, de deux armons, de 3 ressorts et d'un essieu situé en arrière de la projection de l'axe de la cheville ouvrière d'une quantité qui peut varier du 1/7 au 1/20 de la distance qui sépare les points de contact des 2 roues d'avant avec le sol. Cette disposition a pour objet d'assurer la stabilité de route, c'est-à-dire de ramener automatiquement, en marche, le parallélisme des deux essieux, lorqu'aucune force ne tend à les maintenir dans une autre position ou qu'un effort momentané les en a écartés.''([https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:1896-05-13_A.C.KREBS%3DBrevet_FR256344-%27voiture-automobile%27.pdf&amp;page=10 '''FR'''256344], [https://worldwide.espacenet.com/patent/search/family/032536216/publication/GB189619774A?q=GB189619774A '''GB'''189619774A], [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1896-11-09_BE124538%3Dbrevet_belge_de_la_voiture_de_A._C._KREBS.pdf&amp;page=1 '''BE'''124538]) 

* '''La roue d'artillerie française à moyeu métallique''' : voir supra.
**'''1896''' - '''Émile LEVASSOR''' à '''A. C KREBS''' : &quot;''Vous nous autoriseriez gracieusement à employer '''votre système de moyeux de roues''' &lt;ref&gt;'''1890''' - Brevet [https://bases-brevets19e.inpi.fr/brevets?detail=706217&amp;positionResult=19&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bmode%5D=simple&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bop%5D=AND&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bop%5D=AND&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bextras%5D%5Bmode%5D=input&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_698c4792c3dc7%5D%5Bop%5D=AND&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_698c4792c3dc7%5D%5Bq%5D%5B0%5D=durenne&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_698c4792c3dc7%5D%5Bextras%5D%5Bmode%5D=input&amp;arko_default_63f395e1547dd--from=0&amp;arko_default_63f395e1547dd--resultSize=50&amp;arko_default_63f395e1547dd--contenuIds%5B0%5D=838591&amp;arko_default_63f395e1547dd--modeRestit=arko_default_63f397c19a653#visionneuse-manual|/_recherche-api/visionneuse-infos/arko_default_63f395e1547dd/arko_fiche_64afd8be44c19/arko_default_63f47e41d68c8/image/687860|0|8 '''FR2'''00439] - &quot;'''Pompe, à incendie à vapeur, système Durenne et Krebs'''&quot; : &quot;''Le moyeu est en bronze, il porte deux tourteaux tournés sur le périmètre desquels sont percés des trous taraudés pour recevoir les rais. L'extrémité du moyeu du côté intérieur porte une gorge formant réservoir d'huile, entre cette extrémité et la rondelle d'essieu on interpose un cuir d'étanchéité destiné à retenir l'huile et à empêcher la rentrée des sables. L'autre extrémité porte une fraisure et un filetage dans lequel on visse un écrou complètement étanche à l'huile dans laquelle frotte la fusée d'essieu. Les rais sont en acier filetés à un bout s'implantant dans le moyeu, l'autre bout est terminé par une tête tournée, noyée sur le pourtour de la jante en fer profilé. La jante entre librement dans le bandage en fer laminé, l'embattage se faisant à froid. La jante et le bandage sont reliés par autant de boulons à têtes fraisées qu'il y a de rais, l'écrou étant à l'intérieur du bandage''&quot;.
&lt;/ref&gt; pour lequel, puisque vous dites qu'il est très bon, il pourrait être intéressant de prendre un brevet.''&quot;  &lt;ref name=1896_Krebs_Levassor /&gt;
** '''1897''' - '''Levassor''' introduit [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8DE187.2/0012/100/512/0010/0458 un moyeu] [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8DE187.2/0012/100/512/0010/0458 métallique]  [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Panhard_%26_Levassor_catalogue_1896-7.pdf&amp;page=4 dans son catalogue], et la roue d'artillerie sur sa [[c:File:1897-07_-_Panhard_et_Levassor_-_voiture_de_la_course_Paris-Dieppe_6cv,_2cyl_et_roues_d%27artillerie.jpg|voiture de course Paris-Dieppe]] en juillet.
** '''1898''' - '''A. C. KREBS''' introduit son propre système de [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1898_A.C.KREBS_Album-Courses%3D8cv-4cyl_-_Paris-Amsterdam.jpg?uselang=fr roue d'artillerie pour sa voiture de course Paris-Amsterdam].
** '''1900''' - '''La controverse au sujet des roulements à billes'''
::'''Catégorie''' : [[commons:Category:Rolling element bearings|'''''Roulements à billes''''']]&lt;br&gt;
::&quot;''Panhard et Levassor, les célèbres constructeurs automobiles français, ont fait des expériences élaborées avec des roulements à billes dans des conditions de travail et sont arrivés à la conclusion que les roulements à billes ne donnaient aucun gain'' [...] ''Sans aucun doute, les expériences de Panhard et Levassor ont été faites avec des formes défectueuses de roulements à billes.''&quot; &lt;ref&gt;
'''1900''' - [https://cnum.cnam.fr/pgi/sresrech.php?8XAE505/349/stTxt/valeur_argument_url=8XAE505%2F349%2FstTxt%2F%26&amp;catsel1=stTxt&amp;mot_cat1=krebs&amp;ope5=AND&amp;catsel5=id&amp;mot_cat5=8XAE505&amp;var_solr_qs=2#l-349 '''Congrès International d'automobilisme''']: &lt;small&gt;&quot;''M. le commandant Krebs prétend qu’il a fait monter en course 5 voitures dont deux étaient munies d’essieux patents et trois d’essieux à billes et qu’il n’a trouvé aucune espèce de différence. Les essieux à billes ne présenteraient d’avantages que dans les petites vitesses, ce qui est original''&quot;. '''1900''' - [https://archive.org/details/automobilemaga2151900newy/page/794/mode/2up?q=panhard '''Automobile Magazine''']: &quot;''Panhard et Levassor, les célèbres constructeurs automobiles français, ont fait des expériences élaborées avec des roulements à billes dans des conditions de travail réel et sont arrivés à la conclusion que les roulements à billes n'apportaient aucun gain à basse vitesse, et ont également annoncé en termes généraux que la résistance de frottement des roulements de voiture ne constituait qu'une très petite partie de la résistance totale à la propulsion des voitures et que les roulements à billes pour les pièces de voiture, de moteur et de transmission sont presque universellement considérés comme inadaptés à toute utilisation dans les voitures, sauf dans les véhicules les plus légers. Il est certain qu'aucun cycliste n'utiliserait une bicyclette sans roulements à billes, et nos voitures légères américaines à vapeur, qui peuvent être considérées comme ayant atteint une forme standard plus que tout autre véhicule à propulsion mécanique, utilisent des roulements à billes dans les roues, pour le régulateur, pour le vilebrequin et pour les extrémités des manivelles des bielles. Il ne fait aucun doute que les expériences de Panhard et Levassor ont été faites avec des formes de roulements défectueuses''&quot;. '''1909''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9815623n/f49.item.r=l '''OMNIA'''] - &quot;[...] ''Or l'on s'accorde à juger que l'amélioration d'une friction par les billes est de 10 pour 100. Par conséquent le bénéfice procuré par les billes dans ce cas ne pouvait s'appliquer qu'à 500 grammes sur 15000, c'est-à-dire faire descendre l'effort de 15 kilogrammes à 14.950 ''[?!?]''. Le résultat est donc assez pitoyable. Mais la bille ne vaut pas seulement par cette amélioration illusoire du rendement. Son mérite principal consiste dans la commodité de son emploi ; elle rend le roulement pratique. Non seulement elle permet le raccourcissement de la fusée, diminue par conséquent l'encombrement et les chances d'accrochage, mais elle n'exige plus (dans la forme &quot;annulaire&quot; tout au moins) aucun réglage ni pour l'ouvrier qui monte le roulement, ni pour le client qui l'emploie. Son entretien est à peu près nul puisque, si la fusée Brevet demande une nouvelle charge d'huile tous les 150 à 200 kilomètres environ, une fusée à billes roule parfaitement 2 à 3000 kilomètres sans qu'on ait à se soucier d'elle.''&quot;&lt;/small&gt;&lt;/ref&gt;
* '''L'abaissement du centre de gravité du châssis'''
: '''1888''' - '''Pompe à incendie à vapeur de la ville de Paris (modèle 1888) par MM. Durenne &amp; Krebs''' : &quot;''Rapprocher le plus possible, du centre de gravité de la voiture, les masses qui la composent, afin de diminuer le moment d'inertie du véhicule dans le plan horizontal. Il en résulte pendant la traction, et, surtout dans les tournants aux grandes allures, une moindre fatigue des essieux et des roues.'''.''&quot; &lt;ref name=portefeuille/&gt;
'''1896-09-03''' - '''Emile LEVASSOR''' achète la licence du brevet d'automobile ([https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:1896-05-13_A.C.KREBS%3DBrevet_FR256344-%27voiture-automobile%27.pdf&amp;page=10 '''FR'''256344], [https://worldwide.espacenet.com/patent/search/family/032536216/publication/GB189619774A?q=GB189619774A '''GB'''189619774A], [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1896-11-09_BE124538%3Dbrevet_belge_de_la_voiture_de_A._C._KREBS.pdf&amp;page=1 '''BE'''124538]) de A. C. KREBS avec la boîte de vitesses électromagnétique, la suspension par 3 points, l'[[w:Géométrie_de_suspension#La_chasse|angle de chasse]] et d'autres innovations. &lt;ref name=1896_Krebs_Levassor /&gt;
'''1896-12-22''' - '''Emile Levassor''' à '''Gottlieb Daimler''' : &quot;''Pour la voiture avec changement de vitesses électrique'' [...] ''en voyant cette seule voiture vous pouvez être certain que vous en verrez bien plus que ce que vous avez pu voir en Angleterre dans vos différents voyages.''&quot; &lt;ref&gt;'''1896-12-22''' - '''Emile Levassor''' à '''Gottlieb Daimler''' : &quot;''Pour la voiture avec changement de vitesses électrique, je vous assure que c'est une chose à examiner. Et il est bien fâcheux qu'à votre dernier voyage vous n'ayez pu avoir le temps nécessaire pour cet examen. Nous pensons que vous pourriez traiter avec l'inventeur en donnant une somme fixe et en payant une Royalty par voiture. C'est ainsi que nous avons traité. J'espère que vous trouverez occasion de venir à Paris pour établir votre jugement et en voyant cette seule voiture vous pouvez être certain que vous en verrez bien plus que ce que vous avez pu voir en Angleterre dans vos différents voyages.''&quot; ([https://recherche-anmt.culture.gouv.fr/archives/archives/fonds/FRANMT_IR_186_AQ_2006_47/view:fonds/n:3 Archives Nationales du monde du Travail])&lt;/ref&gt;

==== La suspension par trois points ====
*'''1888''' - '''Pompe à incendie à vapeur de la ville de Paris (modèle 1888) par MM. Durenne &amp; Krebs''' : &quot;''Le mécanisme est relié au châssis par trois points avec interposition d'une matière élastique permettant la déformation des châssis sans fausser les pièces de l'ensemble. La chaudière est aussi fixée par '''trois points seulement'''.''&quot; &lt;ref name=portefeuille/&gt;

*'''1896''' - '''La généralisation du système de suspension par 3 points (moteur et chassis)''' sur la ''voiture système Krebs'' (voir supra).

*'''1898''' - La Voiture Clément-Panhard (VCP) (voir infra).

*'''1901''' - Brevet de la boîte de vitesses suspendue par trois points (voir infra).
==== Les systèmes de direction des véhicules ====
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Steering|'''''Direction (automobile)''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Direction (automobile)|Direction (automobile)]]
&lt;br&gt;En '''1898''' A. C. KREBS remplace '''la queue de vache de Levassor''' par '''un volant incliné''' dans les voitures de course qu'il conçoit pour la course  [[W:Paris-Amsterdam-Paris|'''Paris-Amsterdam-Paris''']] qui se déroule du 7 au 13 juillet 1898. Fernand Charron gagne cette course sur une 4 cylindres Panhard &amp; Levassor. &lt;ref&gt;'''1915''' - [https://archive.org/details/automobilebooka00homagoog/page/n18/mode/2up?q=lever+steering '''The Automobile Book''' : A Practical Treatise on the Construction, Operation and Care of Motor Cars] by [[w:Duryea_Motor_Wagon_Company|Charles E. Duryea]] : '''''Direction au volant et à levier''''' — &quot;''La direction au volant est la forme la plus répandue et la plus adaptée à la vitesse ou au service en ligne droite, mais pour une utilisation en ville ou sur de courts trajets, le levier, utilisé sur pratiquement tous les véhicules électriques, est le plus pratique. L'impression que la direction à levier ne convient pas, sauf pour les véhicules les plus légers, est fausse, comme le prouve cette utilisation électrique. La maniabilité avec laquelle on peut accélérer avec un levier le place loin devant le volant, tandis que son action est plus rapide et plus sûre en ville et en conduite rapprochée. Qu'il ne faille pas le craindre pour les travaux rapides est prouvé par le fait que la voiture à vapeur Stanley qui a fait le mile le plus rapide en ligne droite il y a quelques années, à Ormond Beach, était une voiture à direction par levier.''&quot;&lt;/ref&gt;

A cette occasion  A. C. KREBS introduit  [https://archive.org/details/automobileaprac00haslgoog/page/442/mode/2up?q=panhard '''la direction irréversible'''] dans la technologie automobile.
&lt;gallery&gt;
File:1896 - A. C. KREBS Steering-Systems - the electromagnetic gearbox.pdf| '''1896-1903'''  - Les systèmes de direction de A. C. KREBS : La [https://www.babordnum.fr/items/show/14115 boîte de vitesse électromagnétique (p. 473)] et  [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002826307/publication/US757815A?q=US757815A%20panhard le contrôle des vitesses au volant].

File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 77|'''1913''' - La &quot;'''''direction irréversible à vis'''''&quot; de A. C. KREBS (p.77).
&lt;/gallery&gt;
=== '''Le fourgon électrique d'incendie''' ===
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Véhicule de lutte contre l'incendie|'''''Véhicule de lutte contre l'incendie''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Fourgon d'incendie|Fourgon d'incendie]], [https://en.wikipedia.org/wiki/Electric_fire_engine Camion de pompier électrique]
&lt;br&gt;Dès le 5 juillet '''1895''' A. C. KREBS annonce au Conseil de Paris : &quot;''L’industrie ne construit actuellement que des moteurs de 2 à 3 chevaux. Or, c’est d‘une force de 12 à 15 chevaux qu’il faut au Corps''.&quot; &lt;ref&gt;
'''05/07/1895''' - Comptes-rendus du [https://rytmo.net/ACK/1895-07-05_Pompiers_PP-DB273_Comite-Perfectionnement.pdf &quot;''Comité de perfectionnement''&quot;] des sapeurs pompiers de Paris.&lt;/ref&gt;
En conséquuence il conçoit le '''fourgon électrique d'incendie des sapeurs-pompiers de Paris''' qui entrera en service en '''1899''', date de la fin du contrat avec le loueur de chevaux.
&lt;gallery&gt;
File:Le fourgon électrique (face avant).jpg|'''1899''' - [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?4KY28.53/0321/100/532/5/416 Le fourgon électrique] (face avant) des pompiers de Paris '''conçu par A. C. KREBS'''.

File:Le fourgon électrique (face arrière).jpg|'''1899''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k55325271/f21.item Le fourgon électrique] (face arrière) des pompiers de Paris '''conçu par A. C. KREBS'''.

File:1899 - Pompiers de Paris - Le fourgon d'incendie électrique en reconnaissance avec des lampes à arcs.jpg|'''1899''' - Le [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k62201848/f14.image.r=sapeurs%20pompiers '''fourgon d'incendie électrique'''] conçu par A. C. KREBS '''en reconnaissance avec des lampes à arcs'''.

File:1899-The Automobile MAGAZINE The Horseless Fire Engine By Captain Cordier-French Electric Fire Department Wagon.pdf |'''1899''' - &quot;'''The Horseless Fire Engine''' By [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b53004798j.r=%22colonel%20cordier%22?rk=21459;2 Captain Cordier] - '''''French Electric Fire Department Wagon'''''&quot;. &lt;ref&gt;'''1899''' - [https://archive.org/details/automobilemaga1189919newy/page/234 The Automobile MAGAZINE]: &quot;''The Horseless Fire Engine By [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b53004798j.r=%22colonel%20cordier%22?rk=21459;2 Captain Cordier]'' - French Electric Fire Department Wagon: '''French Electric Fire Department Wagon''' : &quot;''Paris firemen have also lately been out making successful experiments with the automotor constructed especially for the fire service, after the plans of Colonel Krebs.''&quot;.&lt;/ref&gt;
&lt;/gallery&gt;
== L'ingénierie automobile chez '''[[w:Panhard|Panhard &amp; Levassor]]''' ==
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Panhard &amp; Levassor|'''''Panhard &amp; Levassor''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Panhard|Panhard]], [[w:Paris-Rouen (automobile)|Paris-Rouen (automobile)]], [[w:Transmission non synchronisée|Transmission non synchronisée]], [[w:Boîte de vitesses|Boîte de vitesses]], [[w:Chronologie de l'automobile|Chronologie de l'automobile]]
&lt;br&gt;'''A. C. KREBS succède à Emile LEVASSOR''' à la direction générale de  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bd6t5333384b/f474.image.r=krebs Panhard &amp; Levassor].
De '''1897''' à '''1916''' il transforme la société Panhard &amp; Levassor en fabricant d'automobile le plus profitable avant la 1ère guerre mondiale.

&quot;''Au début de '''1897''' ''[en fait le '''03/09/1896'''] &lt;ref name=&quot;1896_Krebs_Levassor&quot; /&gt;'', je montrai ma voiture terminée et fonctionnant à M. Levassor. Il en fut vivement frappé et me demanda de lui permettre d’en mettre plusieurs en construction dans ses ateliers et de bien vouloir en suivre la fabrication. &lt;ref name=1896_Krebs_Levassor /&gt; Deux mois plus tard ''[le 14/03/1897],'' M. Levassor mourait subitement. Son associé, M. Panhard, transforma son association en Société Anonyme et me demanda d’en prendre la direction.''&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;

Le jour même de cette entrevue [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1896-09-03_rencontre_Levassor-Krebs%3Dprise_de_licence_sur_le_brevet_Krebs.pdf '''Emile LEVASSOR achète la licence'''] de la boîte de vitesses électromagnétique du brevet de A. C. KREBS. Cette boîte de vitesses sera [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k1092624r/f382.image.r=krebs construite au moins jusqu'en '''1903'''].

&quot;''L’industrie automobile était à ses débuts, son avenir n’était pas douteux et la Maison Panhard &amp; Levassor tenait la tête. Encouragé par la réussite de mes travaux antérieurs et mes goûts personnels'', '''je n’hésitai pas à accepter et à abandonner la carrière militaire pour entrer dans l’industrie'''&quot;. &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt; &lt;ref&gt; '''1897''' - '''Les dernières appréciations hiérarchiques''' sur A. C. KREBS lors de l'inspection générale des pompiers de Paris. '''Le chef de corps''' : &quot;''Officier supérieur d’une grande valeur qui, sans négliger en rien son instruction militaire, continue à faire bénéficier le régiment de sapeurs-pompiers de ses connaissances scientifiques variées et très étendues en apportant au matériel d’incendie tous les perfectionnements dont il est susceptible. M. le Commandant Krebs est, en somme, un très bon militaire doublé d’un ingénieur distingué''&quot;. '''Le général de brigade''' : &quot;''Intelligence vive. Connaissances scientifiques très étendues. Possède, au point de vue de leur application, des aptitudes remarquables. Vigoureux, actif, décidé, et très bien doué aussi, sous le rapport de l’aptitude au commandement, des qualités militaires et des connaissances professionnelles. En résumé c’est un officier d’un mérite supérieur qu’il y a intérêt à faire avancer rapidement.''&quot;&lt;/ref&gt;

&quot;''J'ai connu '''M. [[w:Gottlieb Daimler|Daimler]] en 1897, lorsque je suis allé lui rendre visite à Cannstadt, en Allemagne''', en octobre. Dans la maison où il habitait, il m'a montré le laboratoire et l'atelier où il avait étudié et construit son premier petit moteur, puis le premier véhicule sur lequel il a fait ses premiers essais.''&quot; &lt;ref name=&quot;1906_Krebs_Selden&quot; /&gt;

=== '''Voitures de course''' ===
'''Catégories''' : [[commons:Category:Panhard &amp; Levassor racing automobiles|'''''Voitures de course Panhard &amp; Levassor''''']], [[commons:Category:Compétition automobile|'''''Compétition automobile''''']], [[commons:Category:Sport automobile en France|'''''Sport automobile en France''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Compétition_automobile#Histoire|Histoire de la compétition_automobile]], [[w:Compétition automobile avant 1906|Compétition automobile avant 1906]]
&lt;br&gt;&quot;''Les débuts ne furent pas sans difficulté. Il fallut d’abord acquérir la sympathie d’un personnel technique très fermé et jaloux de son expérience. Quelques perfectionnements que j’introduisais de suite dans certains organes mécaniques et l’année suivante le succès des 4 voitures de la Maison dans la course &quot;[[w:Paris-Amsterdam-Paris|Paris-Amsterdam]]&quot; (les voitures arrivant premières à toutes les étapes), me gagnèrent la confiance du personnel.''&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;

&lt;gallery&gt;
File:1898 A.C.KREBS Album-Courses=8cv-4cyl - Paris-Amsterdam.jpg|'''1898''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''8cv 4cyl - Paris-Amsterdam'''. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
File:1899 A.C.KREBS Album-Courses=12cv Paris-Bordeaux.jpg|'''1899''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''12cv Paris-Bordeaux'''. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
File:1899 A.C.KREBS Album-Courses=8cv-4cyl-80x120-1000rpm.jpg|'''1899''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''8cv 4cyl 80x120 1000rpm'''. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
File:1900 A.C.KREBS Album-Courses=16cv Tour de France.jpg|'''1900''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''16cv Tour de France'''. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
File:1900 A.C.KREBS Album-Courses=20cv Paris-Toulouse.jpg|'''1900''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''20cv Paris-Toulouse'''. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
File:1901 A.C.KREBS Album-Courses=10cv-légère Paris-Bordeaux.jpg|'''1901''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''10cv légère - Paris-Bordeaux'''. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
File:1901 A.C.KREBS Album-Courses=40cv Paris-Berlin-1.jpg|'''1901''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''40cv Paris-Berlin'''. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
File:1901 A.C.KREBS Album-Courses=40cv Paris-Berlin-2.jpg|'''1901''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''40cv Paris-Berlin'''. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
File:1902 A.C.KREBS Album-Courses=10cv-légère.jpg|'''1902''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''10cv légère'''. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
File:1902 A.C.KREBS Album-Courses=60cv-avec ressort AV transversal.jpg|'''1902''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''60cv with transverse front spring'''. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
File:1903 A.C.KREBS Album-Courses=70cv Paris-Madrid.jpg|'''1903''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''70cv Paris-Madrid'''. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
File:1903 A.C.KREBS Album-Courses=vue du moteur.jpg|'''1903''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''70cv Paris-Madrid - view of the engine'''. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
File:1903~A.C.KREBS Album-Courses=40cv.jpg|'''1903''' ~ Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''40cv'''. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
&lt;/gallery&gt;
'''Catégories''' : [[commons:Category:1898_Paris-Amsterdam-Paris_race|'''''1898 course Paris-Amsterdam-Paris''''']], [[commons:Category:1904 Vanderbilt Cup|'''''1904 Coupe Vanderbilt''''']], [[commons:Category:1906 French Grand Prix (photographs)|'''''1906 Grand Prix''''']], [[commons:Category:1907 French Grand Prix|'''''1907 Grand Prix''''']], [[commons:Category:Panhard &amp; Levassor type 120CV (1908)|'''''Panhard &amp; Levassor type 120CV (1908)''''']]
==== '''1898''' - [[w:Paris-Amsterdam-Paris|Course '''Paris-Amsterdam-Paris''']] ====
Premiers perfectionnements :

* Le volant de direction

* La [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8DE187.2/0155/100/512/10/458 direction irréversible à vis sans fin et secteur denté]

* L'[[w:Géométrie_de_suspension#La_chasse|angle de chasse]] positif sur l'essieu directeur 

* Les pneus

* L'abaissement du centre de gravité

==== '''1904''' - 1ère [[w:Coupe Vanderbilt|'''Coupe Vanderbilt''']] ====
L'américain [[w:George Heath|George Heath]] gagne la 1ère [[w:Coupe Vanderbilt|'''Coupe Vanderbilt''']] à New York sur une  [https://digitalcollections.detroitpubliclibrary.org/islandora/search/catch_all_fields_mt%3A%28vanderbilt%201904%29%20OR%20catch_all_fields_et%3A%28vanderbilt%201904%29 voiture Panhard &amp; Levassor] à cardan conçue par A. C. KREBS.
&lt;gallery&gt;
File:Maurice Farman, vainqueur du Grand Prix du Sud-Ouest en février 1901 sur Panhard.jpg|'''1901''' - [[c:Category:Maurice_Farman|Maurice Farman]], gagnant du Grand Prix du Sud-Ouest en février 1901 sur une Panhard.

File:Maurice Farman, vainqueur du circuit du Nord en mai 1902 (sur Panhard).jpg|'''1902''' - [[c:Category:Maurice_Farman|Maurice Farman]], gagnant du  'Circuit du Nord' en mai 1902 sur une Panhard.

File:Maurice Farman sur Panhard, cinquième au Paris-Vienne 1902.jpg|'''1902''' - [[c:Category:Maurice_Farman|Maurice Farman]], 5° sur la [[c:Category:Paris-Vienna_race|course Paris-Vienne]] sur une Panhard.

File:Pierre de Crawhez, vainqueur du Circuit des Ardennes en juin 1903.jpg|'''1903''' - Pierre de Crawhez, vainqueur du [[w:Circuit_automobile_des_Ardennes|'''Circuit des Ardennes''']] sur voiture Panhard &amp; Levassor.

File:Henri Farman, sur Panhard 100 hp en 1904.jpg|'''1904''' - La [[w:Coupe_automobile_Gordon_Bennett|'''coupe Gordon Bennett''']] : Henri Farman sur Panhard 100 hp.

File:George Heath, vainqueur de la première Coupe Vanderbilt 1904 sur Panhard, au circuit de Manhattan (La Vie au Grand Air du 27 octobre 1904).jpg|'''1904''' - '''[[w:George Heath|George Heath]] (N°7), gagnant''' de la première [[w:https://fr.wikipedia.org/wiki/Coupe_Vanderbilt|'''coupe Vanderbilt]] sur une Panhard à cardan''', à Manhattan.&lt;ref&gt;'''1904''' - The Automobile MAGAZINE : [https://archive.org/details/sim_automobile-magazine_1904-11_6_11/page/n5/mode/2up ''&quot;Winning of the Vanderbilt Cup&quot;''].&lt;/ref&gt;

File:1904 Vanderbilt-Cup=Heath winner on n°7.png|'''1904''' - '''Video''' : [https://www.loc.gov/item/00564552/ Automobile race for the '''Vanderbilt Cup'''] in New-York.

File:1905-01-07 - La Vie Parisienne - caricature Heath sur Panhard &amp; Levassor.jpg|'''1905''' - Caricature du '''conducteur de voitures américain, [[w:George Heath|George Heath]]''' sur Panhard &amp; Levassor.

File:1905-01 - The AUTOMOTOR JOURNAL - The 120-h.p. Four-cylinder engine of the Panhard-Levassor Gordon-Bennett race car.pdf|'''1905''' - La voiture '''120hp Panhard-Levassor avec transmission à cardan''' de la course Gordon-Bennett.

File:Principales victoires Panhard de 1894 à 1905.jpg |'''1894-1905''' - '''Histoire de l'automobile''' ([[w:Pierre_Souvestre|Pierre Souvestre]]) : ''&quot;'''Principales victoires Panhard &amp; Levassor'''&quot;''. &lt;ref&gt;'''1907''' - [[w:Pierre_Souvestre|Pierre Souvestre]] : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5495467j/f784.item.r ''Histoire de l'automobile'']&lt;/ref&gt;

File:Henry Farman, George Heath and Henri Cissac at the 1908 French Grand Prix at Dieppe.jpg|'''1908''' - [[c:Category:Henri_Farman|Henry Farman]], [[c:Category:George_Heath_(racing_driver)|George Heath]] et [[c:Category:Henri_Cissac|Henri Cissac]] au  '''Grand Prix de Dieppe''' de 1908 sur voitures de course Panhard de 120cv.

File:Panhard &amp; Levassor &quot;Biplace Course&quot; - 1908.jpg|'''1908''' - '''Video''' : Le moteur de [https://www.youtube.com/watch?v=JBDunOxO8IY  la voiture de course Panhard du Grand Prix] '''conçu par A. C. KREBS'''.

File:Paris - Retromobile 2012 - Grand Prix Panhard – Levassor 12.5 Litres - 1908 - 005.jpg|'''1908''' - '''Video''' : [https://www.youtube.com/watch?v=1CmYKxIhJU8  la voiture de course Panhard &amp; Levassor du Grand Prix] '''conçue par A. C. KREBS'''.
&lt;/gallery&gt;
&quot;''Pendant mes 18 années de Direction, je n’ai eu qu’à me louer du concours dévoué de tous mes collaborateurs, que j’ai toujours trouvés disposés à me seconder pour mener à bien les modifications ou dispositions nouvelles introduites dans les organes mécaniques des voitures.

''Il est inutile de les rappeler ici en détail. Celles que je signale volontiers parce qu’elles m’ont procuré de grandes satisfactions personnelles sont :

* ''L'[https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8DE187.2/121/100/512/10/458 '''équilibrage des moteurs'''];

* ''Le '''carburateur automatique''' permettant de faire varier la vitesse du moteur et de lui donner une souplesse que le réglage par tout ou rien ne permettait pas ;

* ''Le '''frein dynamométrique''' pour l’essai des moteurs à grande vitesse de rotation, donnant la mesure du travail sur l’arbre suivant la formule de [[w:Frein de Prony|Prony]], en récupérant sous forme électrique 90% environ de l’énergie produite, etc.''&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;

=== Equilibrage des moteurs ===
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Mechanical vibrations|'''''Vibrations méchaniques''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Vilebrequin (moteur)|Vilebrequin (moteur)]], [[w:Vibration|Vibration]], [[w:Système bielle-manivelle|Système bielle-manivelle]], [[w:Moteur à combustion et explosion|Moteur à combustion et explosion]]
&lt;br&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;

|-

! Date !! Brevet !! Intitulé

|-

| '''1901'''

|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1901-01-08_Brevet_KREBS_pour_P%26L_FR306968_-_%27Syst%C3%A8me_d%27%C3%A9quilibrage_des_moteurs_%C3%A0_deux_cylindres%27.pdf '''FR'''306968A] 

|| ''Système d'équilibrage des moteurs à deux cylindres''

|-

|

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032423830/publication/GB190114881A?q=GB190114881A '''GB'''190114881A] 

|| ''A System of Equilibrium for Motors Having Two Cylinders''

|-

|

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003513025/publication/AT13992B?q=AT13992B '''AT'''13992B] 

|| ''Device for balancing masses in engines with two adjacent cylinders''

|-

|

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002847027/publication/US778542A?q=US778542A '''US'''778542A] 

|| ''System of Equilibrium For Motors''

|-

|}

=== Le &quot;'''''carburateur Krebs'''''&quot; ===
'''Catégories''' : [[commons:Category:Carburetors|'''''Carburateurs''''']], [[commons:Category:Engine fuel system technology|'''''Systèmes d'alimentation des moteurs''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Carburateur|Carburateur]]
&lt;br&gt;Le carburateur Krebs peut être considéré comme '''le premier [[w:Carburateur|carburateur automatique]]''' ([https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002854050/publication/US785558A?q=US785558A brevet 1902]) et '''le premier  [[W:Carburateur#Carburateur_%C3%A0_d%C3%A9pression|carburateur à membrane]]''' ([https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032525523/publication/GB190912043A?q=GB190912043A brevet 1908]).

'''1906''' - &quot;''A l'heure actuelle nous ne maîtrisons pas suffisamment les facteurs qui nous permettraient de comprendre pleinement les raisons pour lesquelles il est possible de transformer en travail seulement une très petite partie de la chaleur développée dans la combustion, à partir de laquelle nous cherchons à réaliser du travail.''&quot; &lt;ref&gt;'''1906''' - Le :  [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:1906_Arthur_Constantin_KREBS_testimony_during_the_Selden_case.pdf&amp;page=61 témoignade de A. C. KREBS au procès Selden à New York] : &quot;''XQ96. Vous n'avez cité que le nom de Beau de Rochas. Connaissez-vous d'autres autorités ? R96. Tous ceux qui étudient ce sujet en vue d'en établir la théorie sont intéressants, mais nous ne possédons pas encore suffisamment les facteurs qui nous permettraient de comprendre pleinement les raisons pour lesquelles il n'est possible de transformer en travail qu'une très petite partie de la chaleur développée dans la combustion, à partir de laquelle nous cherchons à réaliser du travail.''&quot; &lt;/ref&gt;
&lt;gallery&gt;
File:1902-11-24 – Académie des sciences - la théorie du carburateur KREBS.jpg|'''1902-11-24''' – [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Comptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences,_tome_135,_1902.djvu&amp;page=900 '''La théorie du carburateur Krebs''']]: En permettant au moteur à combustion de développer sa puissance en fonction du nombre de tours, le carburateur Krebs lui permet en 1902 '''de gagner la bataille contre les moteurs électriques et à vapeur'''. &lt;ref&gt;Nous pourrions également dire que le carburateur KREBS introduit &quot;'''l'épure de la Tour Eiffel dans la carburation automobile'''&quot;.&lt;/ref&gt;

File:1902-10-11 Krebs Automatic Carburetor (FR325241, GB190222655, US734421A).png|'''1902''' - Le &quot;'''carburateur Krebs'''&quot; est le premier carburateur à dépression constante automatique.

File:1903-02-14. scientific-american-v88-n07=Krebs carburetor.pdf |'''1903-02-14''' - '''Scientific-American''' : &quot;The Krebs '''automatic carbureter''' for gasoline engines&quot;.

File:1910-11-24 motor-age 1910-11-24 18 21=le carburateur Krebs de 1908 est en vogue aux US.png|'''1910''' - '''Motor Age''' : Le [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032525523/publication/GB190912043A?q=GB190912043A '''carburateur Krebs de 1908'''] avec '''&quot;metering pin&quot;''' est &quot;'''''en vogue'''''&quot; en Amérique.  &lt;ref&gt;[https://archive.org/details/sim_motor-age_1910-11-24_18_21/mode/2up?q=krebs '''1910'''-11-24 - '''Motor-Age'''] : &quot;''Le carburateur de type Krebs est en vogue ; il est conçu pour réguler le débit d'essence au moyen d'un pointeau relié à une soupape à membrane.''.&quot;&lt;/ref&gt;

File:1915-09-02 motor-age 1915-09-02 28 10=pub carburateur Longuemare aux US 'En 1903 Krebs a joué une farce à l'industrie automobile' - Copie.png|'''1915''' - '''Motor-Age''' - Publicité [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k65121561/f66.image.r=Longuemare Longuemare] : '''En 1903 Krebs a joué une farce à l'industrie automobile'''&quot;''.

File:1912 - Brevet Panhard &amp; Levassor FR458736A - Carburateur Krebs sans pièce mobile.pdf|page 3|'''1912''' - Brevet A. C. Krebs de '''carburateur sans pièce mobile''' : [https://worldwide.espacenet.com/patent/search/family/001498296/publication/FR458736A?q=pn%3DFR458736A '''FR'''458736A].

File:1916 Artillerie St-Chamond Règlement de manoeuvre=le carburateur double-corps.pdf|'''1913''' - Le '''carburateur double-corps''' de A. C. KREBS.
&lt;/gallery&gt;
'''1903''' - '''The automobile''' : &quot;''Le but visé est '''un degré constant de carburation à toutes les vitesses''', chaque coup de piston développant la même quantité de puissance, et '''la puissance totale du moteur étant par conséquent directement proportionnelle à sa vitesse'''. De plus, la carburation peut être maintenue à ses limites les plus basses possibles, et elle est parfaitement automatique et indépendante des variations de la température atmosphérique. La carburation est toujours bonne. Le réglage habituel du tableau de bord pour l'air supplémentaire et une alimentation spéciale en air chaud ne sont pas nécessaires : le réchauffement de la chambre de mélange avec l'eau de la chemise du moteur maintient une température constante. '''Le moteur peut fonctionner à une très faible vitesse sans diminuer son efficacité'''. Par exemple, comme le rapporte le ''Automotor Journal'', si le levier de changement de vitesse est placé sur la troisième vitesse, ce qui pourrait normalement donner une vitesse de 50 km à l'heure, et que l'on souhaite tourner à seulement un cinquième de cette vitesse, la vitesse du moteur est réduite à un cinquième, disons de 1 000 à 200 tours par minute ; Bien sûr, la puissance totale est diminuée, mais '''la puissance de chaque coup reste la même'''. '''Le nouveau carburateur Krebs répond donc largement à l'un des principaux besoins du moteur à essence : la flexibilité'''.''&quot;  &lt;ref&gt;'''1903''' - '''The automobile''' : [https://archive.org/details/automobileaprac00haslgoog/page/140/mode/2up?q=krebs ''The Krebs carburetter''.]&lt;/ref&gt;

'''1913-05-26''' - Comité de direction Panhard &amp; Levassor : &quot;'' '''Les États-Unis demandent à acheter notre brevet de carburateur 1903''', brevet qui a encore une  validité de 5 ans. Nous adressons 2 propositions : 1° Vente du brevet pour 10.000 $, 
2° licence pour cash 2000 $, plus 1 $ par carburateur''.&quot; &lt;ref&gt;'''1913-05-26''' - [http://rytmo.net/ACK/1913-1915_P&amp;L_CR.html Comité de direction Panhard &amp; Levassor]&lt;/ref&gt;

'''1919''' - &quot;''Au début du XXe siècle, l'ingénieur français '''Krebs''' inventa ce que l'on peut appeler '''le premier carburateur automatique''' dans lequel le mélange était réglé automatiquement par la vitesse du moteur ; '''une souplesse''' jusqu'alors insoupçonnée était ainsi obtenue. Cette invention a ouvert la voie et inspiré un grand nombre d'autres inventions plus ou moins méritantes'' [...] '''Le type Krebs peut aujourd'hui être considéré comme la forme la plus simple de carburateur qui fonctionne de manière satisfaisante''' et il existe aujourd'hui plusieurs modèles différents fabriqués sur la base du seul principe de la soupape d'air auxiliaire. Dans ces modèles, le problème est résolu de différentes manières. ''[...]'' Bien qu'ils diffèrent tous dans les détails de la conception, ils sont néanmoins '''''basés sur le principe de la soupape d'air auxiliaire telle qu'elle a été élaborée à l'origine par Krebs'''''. &lt;ref&gt;'''1919''' - '''Motor truck and automobile motors and mechanism''' : &quot;[https://archive.org/details/motortruckandau01rathgoog/page/n90/mode/2up?q=krebs  ''A practical illustrated treatise on the power plant and motive parts of the modern vehicle, for owners, operators and repairmen''].&quot;&lt;/ref&gt;

voir infra: [[w:Arthur_Constantin_Krebs#Carburateurs|Tous les brevets de carburateurs de A. C. KREBS]].
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Date !! Brevet !! Intitulé
|-
| '''1902'''
|| [https://worldwide.espacenet.com/patent/search/family/001375413/publication/FR325241A?q=FR325241A '''FR'''325241A] 
|| '''Le carburateur Krebs ''' ([https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques&amp;action=submit#Le_%22carburateur_Krebs%22 voir supra]) : ''Un carburateur à réglage automatique''
|-
| 
|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032155422/publication/GB190222655A?q=GB190222655A '''GB'''190222655A]
|| ''Improvements in Oil Engines''
|- 
| 
|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/000413614/publication/DE146328C?q=DE146328 '''DE'''146328C]
|| ''A carburator for internal combustion engines''
|-
| 
|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002802929/publication/US734421A?q=US734421A '''US'''734421A]
|| ''Fuel-governor for oil-engines''
|-
|
|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/045200425/publication/CA83889A?q=CA83889A '''CA'''778542A + '''CA'''83889A] 
|| ''Oil Machine''
|-
|}
=== Frein dynamométrique ===
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Dynamometers|'''''Dynamomètres''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Dynamomètre|Dynamomètre]], [[w:Frein de Prony|Frein de Prony]]
&lt;br&gt;'''1905-11-13''' - [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_141%2C_1905.djvu&amp;page=757 '''Académie des sciences''']]: &quot;''Sur un frein dynamométrique destiné à la mesure de la puissance des moteurs, qui permet l'utilisation, sous forme électrique, de la majeure partie du travail développé.''&quot;.
&lt;gallery&gt;
File:1905-12-09 La-Revue-Industrielle=le dynamo-dynamomètre de Krebs.jpg|'''1905''' - La Revue Industrielle : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9774687p/f572.image.r=krebs '''Le dynamo-dynamomètre de A. C. KREBS''' chez Panhard &amp; Levassor].

File:1907-1908 - Cashier's Magazine - the A. C. KREBS dynamo-dynamometer at Panhard &amp; Levassor.png|'''1907''' - Le '''dynamo-dynamomètre''' de A. C. KREBS : &quot;''Le moteur Panhard &amp; Levassor 24 CV 4 cylindres  [https://archive.org/details/cassiersmagazi331907newy/page/272/mode/2up?q=panhard ''connecté au frein et à la dynamo dans la salle d'essai'']&quot;. &lt;ref&gt;'''1906-12''' - '''The Electrician''' Vol 58 : [https://archive.org/details/the-electrician-vol-58/page/302/mode/2up?q=%22commander+krebs%22 &quot;'''UN DYNAMOMETRE ELECTRIQUE'''&quot;]. &lt;/ref&gt;

File:1909-09-02 MOTOR-AGE=SKETCH OF ELECTRIC CRADLE DYNAMOMETER.pdf|'''1909''' - '''MOTOR-AGE''' :  [https://archive.org/details/sim_motor-age_1909-08-26_16_9/page/30/mode/2up?q=krebs Schéma d'un dynamomètre à berceau électrique]: &quot;Le '''''commandant Krebs''''' ''semble avoir été l'un des premiers utilisateurs du dynamomètre à berceau.''&quot;.  &lt;ref&gt;'''1909-08-26''' - '''Motor Age''' : [https://archive.org/details/sim_motor-age_1909-08-26_16_9/page/30/mode/2up?q=krebs SCHÉMA D'UN DYNAMOMÈTRE ÉLECTRIQUE À BERCEAU] [https://archive.org/details/sim_motor-age_1909-09-02_16_10/page/30/mode/2up?q=dynamometer suite] : &quot;''Le commandant Krebs, de la société Panhard &amp; Levassor, semble avoir été l'un des premiers utilisateurs du dynamomètre à berceau pour tester les moteurs à essence de voitures, et plusieurs membres de cette société l'ont utilisé avec succès pendant de nombreuses années.''&quot;. &lt;/ref&gt;

File:ITALTEC=5180=dynamomètre.jpg|'''Aujourd'hui''' - De nombreux  [http://www.italtec.it/enemm07.htm '''freins et &amp; couplemètres'''] utilisent les principes du frein dynamométrique de A. C. KREBS.
&lt;/gallery&gt;
=== La &quot;'''''Voiture Clément-Panhard (VCP)'''''&quot; et [[w:Adolphe_Clément-Bayard|'''Adolphe CLEMENT''']] ===
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Clément-Panhard vehicles|'''''Véhicules Clément-Panhard''''']],
[[commons:Category:Adolphe Clément-Bayard|'''''Adolphe Clément-Bayard''''']]

'''1900''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6230266z/f516 ''La voiturette Krebs (Panhard &amp; Levassor)''] avec une carrosserie en [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8DE187.2/38/100/512/10/458 partinium].

'''1901''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b84333426/f16.item 2 VCP au stand Clément] du salon de l'auto à Paris.

'''1902-05''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b84333441/f103.item une VCP exposée au Salon de l'alcool] sur le stand P&amp;L.
&lt;gallery&gt;
File:Adolphe Clément au Tour de France auto 1899 (cropped).jpg|'''1899''' - '''Adolphe Clément-Bayard''' (1855-1928).

File:1899-05-06 THE-AUTOCAR='The light Panhard car' la VCP de P&amp;L.pdf |'''1899-05-06''' - THE-AUTOCAR: &quot;''The light Panhard car''&quot;. La ''Voiture Clément-Panhard'' (VCP) est la version mécanique de la voiture système A. C. KREBS à boîte de vitesses électromagnétique.

File:1900 VCP=Voiturette Clément créée par le commandant Krebs (Ferrus et Genty=photo du bloc-moteur.jpg |'''1900''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k322174v/f177.image.r=krebs Photo du bloc-moteur de la VCP] : &quot;''La Voiturette Clément-Panhard créée par le Commandant Krebs possède les mêmes qualités de fond que les grosses voitures construites dans l'usine dirigée par ce savant ingénieur.''&quot;

File:1900~Clément-Panhard-on-1900~the-web=Herbert Farthing collected his Clément-Panhard from the docks at Southampton.jpg |'''1900''' - M. Herbert Farthing a récupéré sa Clément-Panhard (VCP) sur les quais de Southampton. &lt;ref name=VCP /&gt;

File:1901 Cycles Automobiles Clément=pub VCP.jpg |'''1901''' - &quot;''Cycles Automobiles Clément''&quot; - Catalogue des voitures '''Clément-Panhard''' (Brevets Panhard &amp; Levassor) conçues par A. C. KREBS. &lt;ref&gt;'''1901''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b52503781s/f1.item.zoom '''Cycles Automobiles Clément'''] - Publicité pour les voitures '''Clément-Panhard (VCP)''' conçues par A. C. KREBS.&lt;/ref&gt;

File:1901 - Voiture Clément-Panhard (VCP) - manuel complet et nouvelle carrosserie.pdf|'''1901''' - Voiture Clément-Panhard (VCP) : '''Manuel d'utilisation complet et nouvelle carrosserie'''.

File:1901 Panhard &amp; Levassor - advertising postcards for the Voiture Clément-Panhard (VCP).png |'''1901''' - Cartes postales publicitaires pour la '''Voiture Clément-Panhard''' (VCP) : &quot;''Qu'attendent-ils ? Ah ! ça ne peut être qu'une ... voiture Clément-Panhard''&quot;.

File:1899 Panhard et Levassor - la Voiture Clement-Panhard 'The mechanical nightmare'.webm |'''2004''' -  Panhard &amp; Levassor '''1899''' - la '''Voiture Clément-Panhard''' (VCP) de A. C. KREBS :  &quot;'''''Un cauchemard mécanique !'''''&quot;.&lt;ref name=VCP /&gt;

File:Clement-Panhard Phaeton VGP (1900) jm63708.jpg|'''1898-1902''' - La Voiture Clément-Panhard (VCP) : [http://rbmn.free.fr/TheVoitureClement-Panhard.pdf '''''Article détaillé'''''].
&lt;/gallery&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
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! Date !! Brevet !! Intitulé

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| '''1897'''

|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1897-12-21_-_Panhard_%26_Levassor_brevet_FR273374_%27Perfectionnements_aux_embrayages%27.pdf '''FR'''273374] 

|| '''L'embrayage Krebs à friction''' : ''Perfectionnements aux embrayages''

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|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032139006/publication/GB189730790A?q=GB189730790A '''GB'''189730790A] 

|| ''Improvements in Friction Couplings''

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| '''1897''' 

|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1897-12-21_-_Panhard_%26_Levassor_brevet_FR273375_%27Perfectionnements_aux_transmissions_avec_changement_de_vitesse%27.pdf '''FR'''273375]

|| '''La boîte de vitesses mécanique Krebs [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k98043305/f235.image.r=panhard à engrenages toujours en prise]''' : ''Perfectionnements aux transmissions avec changement de vitesse''

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| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032139007/publication/GB189730791A?q=GB189730791 '''GB'''189730791A] 

|| ''Improvements in Speed Changing Transmission Gear''

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|  

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/064173906/publication/ES22155A1?q=ES22155A1 '''ES'''22155A1] 

|| ''A new transmission system, particularly applicable to automatic cars''

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| '''1898''' 

|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1898-12-16_-_Panhard_%26_Levassor_brevet_FR284596_%27Un_syst%C3%A8me_de_voiture_l%C3%A9g%C3%A8re_%C3%A0_moteur_%C3%A0_p%C3%A9trole%27.pdf  '''FR'''284596] 

|| '''Le brevet de Voiture Clément-Panhard avec la régulation du moteur sur l'admission''' : ''Un système de voiture légère à moteur à pétrole''

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|  

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032144519/publication/GB189902960A?q=GB189902960  '''GB'''189902960A] 

|| ''Improvements in Light Motor Road Vehicles''

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|}

=== La &quot;''stabilité de route''&quot; ===
'''Catégories''' : [[commons:Category:Steering|Direction]], [[commons:Category:Direction_(automobile)|'''''Direction (automobile)''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Direction_(automobile)|Direction_(automobile)]], [[w:Sécurité active|Sécurité active]], [[w:Tenue de route|Tenue de route]]
&lt;br&gt;&quot;''La question de la direction est une de celles que j'ai abordées vers la fin de 1897, dès que j'eus acquis une connaissance suffisante du fonctionnement et de l'organisation de la maison Panhard &amp; Levassor. Ce nouveau dispositif de direction [[w:Panhard|P&amp;L]] n'était autre chose qu'une adaptation de moyens déjà connus et utilisés depuis fort longtemps pour le même objet.''&quot; &lt;ref name=&quot;1906_Krebs_Selden&quot; /&gt;

En ce qui concerne la direction automobile '''A. C. KREBS préconise''' :
* La [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6230266z/f389 '''direction irreversible''']
* Le [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6476571r/f8.item '''quadrilatère Jeantaud extérieur'''] de Panhard &amp; Levassor
* '''1898''' - A. C. KREBS implémente ses solutions sur ses voitures de la  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6230266z/f662.item.r=panhard '''course Paris-Amsterdam-Paris'''] (cf. infra).

=== '''L'Exposition Universelle de Paris - 1900''' ===
'''Catégories''' : [[commons:Category:Exposition Universelle (1900)|'''''Exposition Universelle (1900)''''']], [[commons:Category:Moving sidewalk, Exposition Universelle (1900)|'''''Trottoir roulant, Exposition Universelle (1900)''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Exposition universelle de 1900|Exposition universelle de 1900]]
&lt;gallery&gt;
File:S03 06 01 015 image 1918.jpg|'''1900''' - '''Exposition Universelle de Paris''' : Vue aérienne, Paris, France.

File:Historical images of Place de la Concorde.jpg|'''1900''' - '''Exposition Universelle de Paris''' : '''Place de la Concorde'''.

File:Paris Exposition rolling platform, Paris, France, 1900.jpg|'''1900''' - '''Le trottoir roulant''' à 7 mètres de hauteur, doublé par un chemin de fer électrique circulant en sens inverse.

File:Plateforme_mobile,_station_du_pont_des_Invalides.jpg|'''1900''' - '''Plateforme mobile, station du pont des Invalides''' : Les deux trottoirs ne se déplacent pas à la même vitesse.

File:1900 - The Paris Exposition Universelle.webm|'''1900''' - '''Video''' :  Compilation de séquences de l' '''Exposition universelle de Paris''' constituées de bobines subsistantes.

File:Exposition Universelle internationale de 1900 (11Fi 1289).jpg|'''1900''' - '''Hall des Machines''' : La section française.

File:1900 - Pompiers de Paris - Les fourgons électriques.jpg|'''1900''' - Sapeurs-pompiers de Paris - '''Les fourgons électriques''' conçus par A. C. KREBS. &lt;ref&gt;'''1901''' - [https://archive.org/details/reportofcommissi05unit_0/page/n285/mode/2up Report of the Commissioner-General for the United States] to the '''International universal exposition, Paris, 1900''' : &lt;small&gt;&quot;''Les véhicules de pompiers exposés en France étaient très nombreux, mais en règle générale, ils n'étaient pas à la hauteur des normes établies par d'autres nations. La seule exception était l'exposition de la ville de Paris, qui contenait plusieurs '''bonnes machines fabriquées dans les ateliers des pompiers'''. Une nouveauté dans cette exposition était '''le véhicule de pompiers électrique'''. La pompe était entraînée électriquement et sur le fourgon se trouvait une batterie de stockage capable de fournir un courant suffisant pour faire fonctionner la pompe pendant dix minutes, après quoi on espère pouvoir établir une connexion avec des fils électriques à proximité de l'incendie et conserver un courant approprié. L'appareil fonctionnait de manière très satisfaisante et il semble à l'auteur '''que de telles pompes électriques devraient trouver un usage étendu dans les villes où les fils électriques se trouvent presque partout'''. La ville de Paris a également exposé une échelle à incendie de fabrication française qui était un modèle à bien des égards.''&quot;.&lt;/small&gt;&lt;/ref&gt;

File:S03 06 01 015 image 9903.jpg|'''1900''' -  '''La Tour Eiffel''' illuminée.

File:Les courses de ballons à Vincennes.jpg|'''1900''' - Les '''courses de ballons''' à Vincennes.

File:1908 - Pierre Bonnard et Octave Mirbeau - La-628-E8.jpg|'''1905''' - '''[[w:La 628-E8|La 628-E8]]''' : Premiers raids automobiles.
&lt;/gallery&gt;
==== Pendant l'Exposition A. C. KREBS est ... ====
* Membre de la  [https://archive.org/details/reportofcommissi06unit_0/page/346/mode/2up?q=krebs '''Commission scientifique d'aérostation'''] (Classe 34, Groupe VI)
* Membre du comité d'études des [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6584731t/f367.image.r=krebs '''mesures de sécurité contre l'incendie''']
* Membre des [https://digital.la84.org/digital/collection/p17103coll8/id/6432 Concours Internationaux d'exercices physiques et de sports]: [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k322174v.r=%22%20%20Les%20Automobiles%20%C3%A0%20l%27Exposition%20de%201900%22?rk=64378;0# '''Automobilisme'''] (Section VII)
* Membre de la '''Commission Internationale de courses Automobiles'''
* Secretaire du '''Jury de la commission de mécanique générale, des matériaux et procédés''' (Classe 20, group IV) : Panhard &amp; Levassor standout
* Membre du '''Jury des compétitions nautiques'''
* Licencié du brevet de voiture  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9395781/f113.item.r=lohner '''pétrole-electrique Lohner-Porsche'''] pour Panhard &amp; Levassor.
* Membre du [https://cnum.cnam.fr/pgi/sresrech.php?8XAE505/7/stTxt/valeur_argument_url=8XAE505%2F6%2FstTxt%2F%26&amp;catsel1=stTxt&amp;mot_cat1=krebs&amp;ope5=AND&amp;catsel5=id&amp;mot_cat5=8XAE505&amp;var_solr_qs=2#l-7 '''Congrès international d'automobilisme''' de 1900] et [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k1092624r/f10.image.r=krebs 1903]
* Nommé '''officier de la Légion d'honneur'''.
==== La rumeur sur le moteur extra-léger du commandant Krebs ====
* '''22/07/1900''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k96060679/f3.image.r=krebs '''La Vie au grand air'''] : &quot;''Il paraît que le commandant Krebs vient de mettre la dernière main à un moteur fort curieux, basé sur des principes tout à fait originaux. Le moteur qui pèseerait à peine le poids d'un douze chevaux ordinaire ferait cinquante bons chevaux''.[...]&quot;
* '''27/07/1901''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k560406z/f4.item '''Le Petit parisien'''] : &quot;[...] ''Laissant aujourd'hui de côté le ballon gonflé de gaz et, partant, plus léger que l'air, le commandant Krebs adopte la théorie du plus lourd que l'air. L'aéroplane c'est tout ce que nous avons pu savoir sera composé de plans inclinés et d'hélices mues par un moteur à pétrole de grande puissance. Et, c'est la que réside la difficulté, et qui, nous assure-t-on serait résolue ce moteur extra-léger, ne pèsera que cinq kilos par cheval de force. Disons enfin que l'appareil une fois construit sera probablement piloté par Maurice Farman, bien connu déjà pour ses nombreuses ascensions en hallons libres et ses tentatives de records aéronautiques. Est-ce cette fois que l'atmosphère définitivement vaincue devra, comme les autres éléments, se plier à la volonté du génie humain ? Souhaitons-le, en attendant les expériences du nouveau navire aérien !''&quot;
* '''07/08/1901''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5381135s/f2.item '''L'Express du Midi'''] : &quot;[...] ''En l'absence de M. Krebs, un de ses intimes ''[Ch. de Fréminville]'' a déclaré à notre confrère ''[le Figaro]'' que le commandant a complètement cessé de s'occuper de navigation aérienne, qu'il ne se soucie donc pas de prendre part à la lutte ouverte par les différentes personnalités qui travaillaient à découvrir la direction des ballons. Enfin, que le moteur dont a parlé le Figaro fonctionne déjà, mais n'est pas autre chose qu'un moteur de voiture que les aéronautes évidemment pourront, s'ils le veulent, employer''.&quot;
==== La polémique entre les ballons de Santos-Dumont et de Renard &amp; Krebs ====
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Alberto Santos-Dumont|'''''Alberto Santos-Dumont''''']]
* '''11/06/1904''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6508500m/f13.item '''Le Génie civil'''] - &quot;[...] ''Laissons à chacun son mérite : à [[w:Alberto_Santos-Dumont|M. Santos-Dumont]], le sang-froid, l'agilité qui le font sortir indemne de tous les périls, et que surexite sans doute un certain amour de la renommée ; à MM. Renard et Krebs, la science réfléchie qui n'accepte que les solutions mûries sagement et ne sacrifie pas à la vaine réclame. On aura beau faire et dire, ce n'est pas ce qui leur enlèvera l'honneur d'être, et pour toujours, les véritables créateurs du ballon automobile'' [...].&quot;
* '''1905''' - [https://archive.org/details/standardlibraryo00unse/page/36/mode/2up?q=krebs '''Standard libray of knowledge'''] : &quot;''Not only M. Santos-Dumont, but the whole body of airship inventors through¬ out the world are profoundly interested in the subject. France is the leading country in practical aerial navigation, but Germany,England and other countries are giving much attention to the subject. One of the most notable air vehicles is the balloon “ La France,” the invention of the brothers Colonel and Major Renard and of Major Krebs, of the French army. '''It is claimed that this machine in 1884 fulfilled the conditions established for the Deutsch prize, which Santos-Dumont won in Paris'''. Motors were at that time only in a rudimentary stage of develop¬ ment. Many Frenchmen declare that if “La France”could have taken part in this competition it would incontestably have won the prize of twenty thousand dollars. Colonel Renard was occupied with his military duties and was absolutely prevented from taking part''.&quot;
=== Recherches métallurgiques avec [[W:Charles_de_La_Poix_de_Fréminville|'''Ch. de FREMINVILLE''']] ===
'''Catégories''' : [[commons:Category:Fractography|'''''Fractographie''''']], [[commons:Category:Material cracks|'''''Rupture des matériaux''''']], [[commons:Category:Vanadium|'''''Vanadium''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Fragilité|Fragilité]], [[w:Faciès de rupture|Faciès de rupture]], [[w:Fatigue (matériau)|Fatigue (matériau)]], [[w:Rupture (matériau)|Rupture (matériau)]], [[w:Vanadium|Vanadium]]
&lt;br&gt;&quot;''En '''1898''',  je pris auprès de moi, pour me seconder, mon beau-frère M. [[W:Charles_de_La_Poix_de_Fr%C3%A9minville|Charles de Fréminville]], ingénieur des Arts et Manufactures, qui s’occupa plus spécialement de la partie administrative des ateliers, de l’organisation du travail, du choix et traitement des métaux employés dans la fabrication, etc.''&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;

&quot;''Il lui fallut faire son choix parmi des métaux alors nouveaux et dont les qualités et les défauts étaient peu connus et souvent mal compris. La construction et le fonctionnement de l'automobile firent naître une nouvelle conception de la résistance des matériaux.''.&quot; &lt;ref&gt; '''1926''' - '''Mechanical engineering''' : [https://archive.org/details/mechanicalengine42amer/page/72/mode/2up?q=%22commandant+krebs%22 CHARLES DE FREMINVILLE ÉLU MEMBRE HONORAIRE DE LA  A.S.M.E.]&lt;/ref&gt;
&lt;gallery&gt;
File:1909 FORD-T=publicité avec l'acier au vanadium.png|'''1905''' - '''Henry FORD''' : ''&quot;'''Il me semblait que les voitures étrangères avaient des pièces plus petites et de meilleure qualité que ce que nous pensions.'''. Après l'accident ''['''d'une voiture de course Panhard''']'' J'ai récupéré une petite tige de soupape ''['''fabriquée avec du vanadium''']''. C'était très léger et très solide.''&quot; &lt;ref name=vanadium /&gt;

File:1906-12-06 Motor-Age=analyse des métaux utilisés dans les voitures P&amp;L.png|'''1906''' - '''TEST OF A PANHARD GEAR''' : &quot;''Il arriva bientôt que les ingénieurs automobiles américains commencèrent à se demander pourquoi, dans une voiture étrangère, une pièce donnée fonctionnait parfaitement alors que dans une voiture américaine, la même pièce de même taille, effectuant un travail identique, se déformait.''&quot; [&lt;small&gt;...&lt;/small&gt;] &lt;ref&gt;[https://archive.org/details/sim_motor-age_1906-12-06_10_23/page/n113/mode/2up?q=panhard '''1906'''-12-06 - '''Motor-Age'''], [https://archive.org/details/sim_motor-age_1906-12-13_10_24/page/16/mode/2up (Suite)] : &quot;''Produits sidérurgiques étrangers pour moteurs''&quot;.&lt;/ref&gt; 

File:1913-03-20 Ch-de-Fréminville=croquis de la vue de sa chambre du 12° étage de l'hôtel Belmont à New York.jpg|'''1913''' - While in the United States to study the Taylor method, '''Ch. de Fréminville''' to his wife:&quot;'''''All these people''''' [the Packard factory in Detroit] '''''slavishly copied the parts that Arthur ''[KREBS]'' designed, and executed them with the metals that I chose'''''&quot;. [&lt;small&gt;...&lt;/small&gt;]   &lt;ref name=Fréminville /&gt;

File:1919 - Charles de Fréminville=Portrait.jpg|'''1919''' - '''Charles de Fréminville''' (1856-1936) : Ce portrait a été exécuté par un photographe américain pendant son séjour aux USA dans le cadre de ses recherches sur la méthode Taylor, peu après son départ des usines '''Panhard &amp; Levassor''' où il travaillait depuis '''1899''' avec son beau-frère '''A. C. KREBS'''.

[https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1918-10-19_86_2233/page/248/mode/2up?q=freminville ''How Things Break—I - A Study of the Mechanism of Fractures in Materials By Charles Fréminville''].

File:2009 G. Quinn='A HISTORY OF THE FRACTOGRAPHY OF BRITTLE MATERIALS'=chronology with Charles de Fréminville.jpg|'''2009''' - [https://www.scientific.net/KEM.409.1 'A HISTORY OF THE FRACTOGRAPHY OF BRITTLE MATERIALS' (G. Quinn)]: Chronologie avec '''Charles de Fréminville''' quand il travaillait chez '''Panhard &amp; Levassor''' avec son beau-frère '''A. C. KREBS'''.
&lt;/gallery&gt;
'''1904''' - '''The brittleness of steel''' ([[w:Henry_Le_Chatelier|H. Le Chatelier]]) : &quot;''M. '''de Fréminville''' a découvert cette particularité qu'après avoir été soumis à un certain traitement thermique, certains aciers spéciaux nécessitaient pour être rompus transversalement au choc, une quantité d'énergie bien supérieure à celle requise dans les essais de traction ordinaires''.&quot; &lt;ref&gt;'''1904''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k61950g/f9.item.r=freminville '''The brittleness of steel'''] (H. Le Chatelier)&lt;/ref&gt;

'''1913-04-04''' - '''Ch. de Fréminville à sa femme''' : &quot;''J'ai réalisé ''''' le projet que j'avais fait de mouler le trou fait par une balle dans la glace du [https://carriagemuseumlibrary.org/wp-content/uploads/2014/06/heal16.jpg building du Général Healey]''''' [à New York]. Le  [https://carriagemuseumlibrary.org/home/library-archives/carriage-manufacturers/healey-company-of-new-york/ General Healey] m'a du reste fait remarquer qu'il y en avait autant sur presque toutes les glaces de son building. Il y a un grand choix. J'avais été hier faire ma provision de plâtre chez un italien. Quel quartier ! C'est pourtant à deux pas du quartier chic et ce n'est pas un quartier mal réputé. Mon moulage a  admirablement réussi. J'ai cru qu'il allait y avoir un attroupement considérable derrière la glace pendant que j'opérais en manches de chemise - comme un bon Américain. '''Et tous ces gens là ne savaient pas ce qu'ils regardaient et n'auraient jamais regardé une cassure'''. Heureusement que deux pompes à vapeur [d'incendie] ont passé coup sur coup. Tous ces admirateurs m'ont abandonné.''&quot; &lt;ref name=Fréminville /&gt;

'''1915''' - C. DE FREMINVILLE quitte Panhard &amp; Levassor &lt;ref name=CdF/&gt;

Chevalier légion d'honneur

* 1899: Laboratoire de mécanique et laboratoire de chimie

* 1900: Essais de résistance des aciers durs aux chocs

* 1901-06-03 - L'acier au nickel

* 1902: cylindres en acier forgé

* L'acier au vanadium

* L'acier au cobalt (stellite)
{| class=&quot;wikitable&quot;

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! Date !! Review !! Article

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| '''1903'''

|| Association internationale des Méthodes d'essais des matériaux de construction

|| [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6475620g/f15.image.r=FREl%20IINVILLE L'essai au choc ou choix des métaux] 

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| '''1906'''

|| Revue de métallurgie

|| [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1906/07/metal19060307p423/metal19060307p423.html Essai d'une scie sans dents pour le sectionnement d'aciers durs ordinaires et d'aciers à outils] 

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| '''1906'''

|| Revue de métallurgie

|| [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1906/03/metal19060303p109/metal19060303p109.html Influence des vibrations dans les phénomènes de fragilité] 

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| '''1907'''

|| Revue de métallurgie

|| [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1907/09/metal19070409p833/metal19070409p833.html Caractères des vibrations accompagnant le choc déduits de l'examen des cassures] 

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| '''1908'''

|| Revue de métallurgie

|| [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1908/06/metal19080506p329/metal19080506p329.html Remarques sur les rebondissements d’une bille et les renseignements qu’ils peuvent donner sur la dureté et l’élasticité des corps] 

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| '''1914'''

|| Revue de métallurgie

|| [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1914/09/metal19141109p971/metal19141109p971.html Recherches sur la fragilité — L’Éclatement] 

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| '''1918'''

|| Scientific American Supplement

|| [https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1918-10-19_86_2233/page/248/mode/2up?q=freminville ''How Things Break—I - A Study of the Mechanism of Fractures in Materials By Charles Fréminville''] 

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|| 

|| [https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1918-10-26_86_2234/page/264/mode/2up?q=freminville ''How Things Break—II - A Study of the Mechanism of Fractures in Materials By Charles Fréminville''] 

|}
=== Bateaux à moteur et bateaux de course avec [[W:Alphonse_Tellier_(constructeur_aéronautique)|'''Alphonse TELLIER''']] ===
'''Catégories''' : [[commons:Category:Motorboats|'''''Bateaux à moteur''''']], [[commons:Category:Hull speed|'''''Vitesse de coque''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Bateau à moteur|Bateau à moteur]], [[w:Motonautisme (sport)|Motonautisme (sport)]], [[w:Coque_(bateau)|Coque_(bateau)]], [[w:Vitesse de coque|Vitesse de coque]], [[w:Hélice#Hélice_marine|Hélice_marine]], [[w:Hélice à pas variable (marine)|Hélice à pas variable (marine)]]
&lt;br&gt;'''1895''' - A. C. KREBS fut le principal promoteur de la navigation automobile en Europe dès '''1895'''. &lt;ref&gt;'''1902''' -  [https://archive.org/details/lemondemoderne15pari/page/344/mode/2up?q=krebs '''Le Monde moderne''', p345]: &quot;''Il faut attendre '''1895''' pour assister à l'entrée en scène sensationnelle d'un canot automobile dans les concours. '''Le commandant Krebs fut l'un des promoteurs les plus hardis de la navigation mécanique''' : ce fut en effet grâce à ses études et à ses encouragements que la société Panhard et Levassor construisit un moteur de 16 chevaux, capable de donner une vitesse de 18 kilomètres au canot sur lequel il était monté ; le jour où on le vit à Meulan, aux régates du &quot;[https://fr.wikipedia.org/wiki/Cercle_de_la_voile_de_Paris Cercle de la Voile]&quot;, fut une date importante dans l'histoire de ce sport.''&quot;&lt;/ref&gt;

'''1903-12''' - '''Automobile Magazine''' : &quot;''Là où la vitesse prime : Prenons comme excellent exemple ce nouveau type de bateau de course, le '''Lutece'''''&quot;.&lt;ref&gt;'''1903-12''' - Automobile Magazine : &quot; [https://archive.org/details/sim_automobile-magazine_1903-12_5_12/page/1128/mode/2up?q=panhard ''Là où la vitesse prime''].&quot;&lt;/ref&gt;

'''1904''' - '''The Automobile''' : '''Auto Boats at the Sportsmen’s Show''' : '' The Panhard boat furnishes the same tune in its engines as in automobiles. When running, the four-cylinder motor throbs with that rythmic sound so soothing to the motorist.''&quot;
&lt;gallery&gt;
File:1903 - Les usages industriels de l'alcool - le canot PHENIX à moteur Panhard &amp; Levassor.jpg|'''1900''' - Industrial '''uses of alcohol''' : the '''''PHENIX launch''''' with Panhard &amp; Levassor motor '''designed by A. C. KREBS'''.

File:1901-11-08 - Yachting-gazette - le canot automobile &quot;Rolla V&quot; à moteur Panhard &amp; Levassor.png|'''1901''' - Yachting-gazette: the motorboat &quot;'''''Rolla V'''''&quot; with '''Panhard &amp; Levassor engine''' designed by A. C. KREBS. &lt;ref&gt;'''1902-03-01''' -  Scientific American -  [https://archive.org/details/sim_scientific-american_1902-03-01_86_9/page/142/mode/2up?q=panhard '''THE MARINE AUTOMOBILE''']: ''LA RÉCENTE INVENTION FRANÇAISE DU CANOT AUTOMOBILE''.&lt;/ref&gt;

File:Btv1b84333441-p094.jpg |'''1902-05-20''' - A. C. KREBS est à la barre du canot de course '''''Centaure''''' à moteur Panhard &amp; Levassor. &lt;ref&gt;'''1902''' - [[w:Jules_Beau|Jules Beau]] - Photographie sportive : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b84333441/f93.item '''LUTECE'''] 60cv (Panhard &amp; Levassor), &quot;[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b84333441/f92.item ''La course des bateaux automobiles.] Sont présents : MM. Rives, [[W:Louis_Pierron|Pierron]], venus en automobile avec le '''Commandant Krebs''', Famechon, [[W:Charles_Renard|Colonel Renard]] ''[en chapeau clair]'', [[W:Auguste_Trillat|Trillat]], Amiot, [[W:Gaston_Menier|Gaston Menier]] venu avec son Yacht, [[W:Henri_Paillard|Paillard]], [[W:Pierre_Lafitte|Lafitte]], [[W:Alfred_Morel-Fatio|Morel-Fatio]], etc.''&quot;&lt;/ref&gt;

File:1902 A. C. KREBS=Hélice réversible (FR306968).jpg|'''1902''' - Le système Krebs d' '''[https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1907-12-28_64_1669/page/404/mode/2up?q=krebs hélice à pas variable] : [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002835439/publication/US766953A?q=US766953A '''US'''766953A], [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032624046/publication/GB190316555A?q=GB190316555A '''GB'''190316555A].


File:1902-03-01 - Scientific American (v86-n09) - canot Rollo à moteur Panhard &amp; Levassor.png|'''1902''' - Scientific American : Le canot &quot;'''Rollo'''&quot; à moteur Panhard &amp; Levassor. &lt;ref&gt;'''1902-03-01''' - '''Scientific American''' : [https://archive.org/details/sim_scientific-american_1902-03-01_86_9/page/142/mode/2up?q=panhard The Marine Automobile] : &quot;''Il est tout à fait naturel que le sport des courses de vedettes ait été baptisé en France, berceau de l'automobile pour les Français, même si, en tant que nation, ils ne sont pas très doués en voile, mais jouissent d'une réputation bien méritée dans le domaine des embarcations légères de plaisance''.&quot;.&lt;/ref&gt;

File:1903-11 - Panhard &amp; Levassor - Motorboat 'Vingt et Un'.jpg|'''1903''' - Four views of the motorboat '''''Vingt et Un Ist''''' in '''New-York''' while A. C. KREBS was managing the '''Panhard &amp; Levassor''' Co. &lt;ref&gt;'''1903-11''' -  '''''Vingt-et-un I''''' motorboat : 4 cyl. '''Panhard &amp; Levassor''' conçu par A. C. KREBS - '''42 km à l'heure'''. Architecte : [https://hydroplanehistory.com/other/clinton_cranes_yachting_memories_1952.html#1 Clinton CRANE]. Propriétaire : [https://digitalcollections.detroitpubliclibrary.org/islandora/object/islandora%3A226649 Smith &amp; Mabley].&lt;/ref&gt;

File:1904 the PANHARD II motor-boat plans.jpg |'''1904''' - [https://archive.org/details/sim_scientific-american_1904-03-12_90_11/page/212/mode/2up?q=panhard '''''PANHARD II''''' : &quot;''A complete French auto boat equipment in an American hull.''&quot;] &lt;ref&gt;[[W:Mystic_Seaport|'''Mystic Seaport Museum''']] : &quot;''Le [https://store.mysticseaport.org/products/panhard-i-racing-launch canot de course Panhard de 1904] est un bateau en bois construit à la main, dont '''la coque en forme de nacelle, parfaitement arrondie, semble d'une modernité incroyable pour une construction de cette époque'''. Il illustre comment les formes nécessaires à la vitesse, fruit naturel de l'ingénierie hydrodynamique, sont devenues aussi belles que fonctionnelles. Utiliser les bateaux de la collection pour montrer l'évolution de ces formes et leur influence sur les innovations dans la conception des avions, des bus, des trains et des automobiles est une excellente façon de relier la collection au monde extérieur. Le Panhard vaut à lui seul le détour lors de cette exposition. D'une beauté à couper le souffle, il est unique en son genre parmi les vestiges de 1904. Il m'a fait reconsidérer complètement ma conception du démodé''.&quot;&lt;/ref&gt;

File:1904 Jules-Beau - La Rapée III aux courses de canots automobiles à Juvisy.jpg|'''1904''' - La '''''Rapée III''''' à '''moteurs Panhard &amp; Levassor'''  aux courses de canots automobiles à Juvisy.

File:Hydroplane, comte de Lambert (essais sur la Seine) - btv1b53114139t.jpg|'''1904''' - A. C. KREBS assiste aux essais du ''' [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k46265842/f3.image.r=krebs bateau glisseur] du [[w:Charles_de_Lambert|comte de Lambert]]''' muni de son '''hélice à pas variable'''.

File:1904 'Auto boat race on the Hudson'.jpg |'''1905''' - Video: The motor-boat '''''PANHARD II''''' participating in '''nautical races in America'''. &lt;ref&gt;'''1905''' - &quot;[https://www.loc.gov/item/00563586/ ''Auto boat race on the hudson''].&quot;&lt;/ref&gt;

File:1905 - AUTOMOTOR - The new 6-cylinder Panhard-Levassor petrol marine engine 150HP.png|'''1905''' - The '''6-cylinder''' Panhard-Levassor petrol '''marine engine 150HP''' for racingboats.

File:1905-04-20 - La Vie Au Grand Ai - les canots &quot;Panhard &amp; Levassor&quot; et &quot;Rapière I&quot; à Monaco.jpg|'''1905''' - La Vie Au Grand Air - The launchs &quot;'''Panhard &amp; Levassor'''&quot; and [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k96066073.r=%22la%20rapi%C3%A8re%22monacoracer%20monaco%20racer?rk=21459;2# &quot;'''Rapière I'''&quot;] in Monaco.

File:1906-01-05 - La Locomotion Automobile - le bateau de course &quot;La Rapière I&quot;.jpg|'''1906''' - Automobile Locomotion: the racing boat [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bd6t53730474/f240.image.r=rapiere “'''La Rapière I'''”].

File:1907-01-01 Le Monde Illustré - le bateau de course Panhard-Tellier I et La Rapière II à Monaco.jpg|'''1907''' - Le Monde Illustré: the racing boats [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4220111z/f280.image.r=rapiere '''''Panhard-Tellier I'''''] and [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k96395619.r=%22la%20rapi%C3%A8re%22monacoracer%20monaco%20racer?rk=171674;4 '''''La Rapière II'''''] in Monaco with '''Panhard &amp; Levassor engines'''.

File:1907-01-05 Le Monde illustré - la vedette Récopé avec l'hélice réversible de A. C. Krebs.jpg|'''1907''' - Le Monde illustré : &quot;'''''La vedette lance-torpille du [[w:Edmond_Récopé|Comte Récopé]]'''''&quot; avec '''l'hélice réversible de A. C. KREBS'''. &lt;ref&gt;'''1907''' - '''''Le Monde illustré''''' : &quot;[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4220111z/f386.image.r=recope# La vedette lance-torpille du Comte Récopé]&quot;. '''''La Nature''''' : &quot;[https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?4KY28.72/240/60/671/5/660 La vedette : lance-torpille]&quot;. '''''La Locomotion automobile''''' : &quot;[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5733956x/f13.image.r=recope La vedette Récopé en vitesse]&quot; ; &quot;Une application de la locomotion automobile : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5733956x/f39.image.r=recope la vedette Récopé]&quot;. '''''Scientific American Supplement''''' : &quot;[https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1907-12-28_64_1669/page/404/mode/2up?q=krebs A torpedo-boat driven by kerozene]&quot;.&lt;/ref&gt;

File:1907-1908 - The Alphonse Tellier glider « La Rapière III » with 1 Panhard &amp; Levassor engine.pdf|'''1907-1908''' - The Alphonse Tellier glider '''''La Rapière III''''' with a '''Panhard &amp; Levassor engine''' designed by A. C KREBS.

File:1908-04-09 - 1er tour du Panhard-Tellier (la-Rapière III) à Monaco.jpg|'''1908''' - 1st lap of the Panhard-Tellier '''''la Rapière III''''' glider in Monaco.

File:1909-04-02 - Pall Mall illustration - Le Panhard &amp; Levassor 56,250 kmh.jpg|'''1909''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4522079j/f1.item.r=rapiere Pall Mall illustration]: The [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k98156242/f257.image.r=panhard &quot;'''Panhard &amp; Levassor'''&quot;] (35 mi/h) in Monaco.

File:Meeting de Reims - le constructeur Tellier - btv1b9019310s.jpg|'''1910''' - '''Alphonse Tellier''' (1879-1929).

File:1913 - Monaco - l'hydroplane 'MOTOCRATIC' avec 2x8cyl. 75kmh Panhard &amp; Levassor.jpg|'''1913''' - Monaco: the hydroplane '''''MOTOCRATIE''''' with '''2x8cyl. 75kmh Panhard &amp; Levassor''' designed by A. C. KREBS.

File:1914-04-18 - La Vi e Au Grand Air - Le canot Panhard-Tellier II à moteur 24cyl.pdf|'''1914''' - La Vie Au Grand Air : The '''''Panhard-Tellier II''''' racer. 2 Panhard &amp; Levassor 12cyl. engines: '''24cyl''', '''1400hp'''.
&lt;/gallery&gt;
'''1902''' - L' '''hélice à pas variable''' system A. C. KREBS :
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Date !! Brevet !! Intitulé
|-
| '''1903'''
|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001382609/publication/FR332993A?q=FR332993A '''FR'''306968A] 
|| The Krebs variable pitch propeller: ''Variable -to -step propeller''
|-
|
|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032624046/publication/GB190316555A?q=GB190316555A '''GB'''190316555A] 
|| ''Improvements in and relating to Screw Propellers''
|-
|
|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002835439/publication/US766953A?q=US766953A '''US'''766953A] 
|| ''Screw-Propeller''
|-
|}
=== La voiture hybride avec [[w:Ferdinand_Porsche|'''Ferdinand PORSCHE''']] ===
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Hybrid-powered vehicles|'''''Véhicules hybrides''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Véhicule hybride|Véhicule hybride]], [[w:Automobile hybride électrique|Automobile hybride électrique]], [[w:Liste d'automobiles hybrides électriques|Liste d'automobiles hybrides électriques]]
&lt;br&gt;'''07-07-1900''' - A. C. KREBS dépose le brevt [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1900-07-07_Brevet_KREBS_pour_P%26L_FR301991_-_%27Syst%C3%A8me_de_r%C3%A9gulateur_%C3%A9lectromagn%C3%A9tique_agissant_sur_les_soupapes_d%27admission_pour_moteurs_%C3%A0_hydrocarbure%27.pdf '''FR'''301991] : &quot;''Système de régulateur électromagnétique agissant sur les soupapes d'admission pour moteurs à hydrocarbure''&quot; ([https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002760177/publication/US691638A?q=US691638 '''US'''691638], [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032149303/publication/GB190016291A?q=GB190016291 '''GB'''190016291]).

'''10-1900''' -  A l' '''Exposition Universelle de Paris''' A. C. KREBS remarque la voiture hybride &quot;''Semper vivus''&quot; de [https://en.wikipedia.org/wiki/Lohner%E2%80%93Porsche Lohner-Porsche] et achète la license du brevet de moteur électrique dans les roues [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032149816/publication/GB190018099A?q=pn%3DGB190018099A ('''GB'''190018099)] pour Panhard &amp; Levassor, pour la France, la Grande-Bretagne et l'Italie. &lt;ref&gt;'''1903''' - Le congrès international de l'automobile de Paris : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k1092624r/f368 Rapport de M. Louis Lohner sur les voitures pétroléo-électriques].&lt;/ref&gt;

'''24/01/1903''' Scientific-american - '''La Panhard et Levassor système Lohner-Porsche''' : &quot;''... La plus novatrice de toutes est une voiture-tonneau '''Lohner-Porsche''', de 28 chevaux, à essence et électrique, avec des moteurs électriques dans les moyeux des roues avant, qui dirigent également la machine. Un moteur à essence directement relié à une dynamo fournit l'énergie nécessaire à la production d'électricité pour faire fonctionner la voiture, tout courant superflu étant envoyé dans une batterie de stockage, qui fournit l'énergie supplémentaire en fonction des besoins. La voiture aurait 14 vitesses différentes, dont la vitesse maximale est de 77 km par heure. Ce système a connu un tel succès que la '''société Panhard''' a acheté les brevets et fabrique des machines''&quot;.  &lt;ref&gt;'''1903-01-24''' - [https://archive.org/details/sim_scientific-american_1903-01-24_88_4/page/62/mode/2up?q=lohner Scientific American] : &quot;''[...] La voiture posséderait 14 vitesses différentes, la vitesse maximale étant de 77 km à l'heure''.&quot;&lt;/ref&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Ferdinand Porsche.jpg|'''Ferdinand porsche''' (1875-1951).

File:1903 Lohner-Porsche=Krebs achète la licence du brevet Lohner-Porsche.pdf |'''1900''' - The  [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:GenevaMotorShow2011.jpg &quot;''Semper Vivus''&quot; hybrid car] seen by A. C. KREBS during the Paris Exposition Universelle. Krebs acquired the Brevet licence for Panhard &amp; Levassor.

File:1903-01 AUTOMOTOR-JOURNAL= &quot;A 15-HP LOHNER-PORSCHE PETROL-ELECTRIC CAR&quot; with Panhard &amp; Levassor engine.jpg |'''1903-01''' - &quot;''A 15-HP Lohner-Porsche petrol-electric car''&quot; with Panhard &amp; Levassor engine and [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002760177/publication/US691638A?q=US691638  the KREBS &quot;''Electromagnetic regulator for admission-valves''&quot;  (Brevet '''US'''691638)]. &lt;ref&gt;'''1904''' - YEARBOOK OF THE AUTOMOTIVE AND MOTORBOAT INDUSTRY (Berlin) :  [https://archive.org/details/bub_gb_aTpNAAAAMAAJ/page/285/mode/2up?q=panhard '''Automobiles à transmission électrique de Lohner-Porsche et Panhard &amp; Levassor''']&lt;/ref&gt;
&lt;/gallery&gt;
=== [https://archive.org/details/automobileaprac00haslgoog/page/442/mode/2up?q=panhard La '''technologie automobile'''] ===
'''Catégorie''' : [[commons:Category:History of technology|'''''History of technology''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Histoire de l'automobile|Histoire de l'automobile]] et [https://en.wikipedia.org/wiki/Brass_Era_car Brass Era car]

===='''A. C. KREBS perfectionne le [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bd6t5333384b/f473.image.r=panhard &quot;Type Panhard&quot;''']====
Émile LEVASSOR et A. C. KREBS ont déterminé [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1909-1914_-_L%27Auto-v%C3%A9lo_-_les_%22Vendredi%22_de_Panhard_%26_Levassor.pdf&amp;page=49 |'''l'architecture de l'automobile moderne''']].

:{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| '''Moteur vertical à l'avant'''
|| Levassor
|-
| '''Radiateur devant le moteur'''
|| Krebs
|-
| '''Transmission en ligne'''
|| Levassor
|-
| '''Propulsion arrière'''
|| Levassor
|-
| '''Embrayage dans le volant moteur'''
|| Levassor
|-
| '''Moteur équilibré'''
|| Krebs
|-
| '''Le régulateur d'allure&lt;br&gt;(Régulation sur l'admission)'''
|| Krebs
|-
| '''Volant de direction'''
|| Krebs
|-
| '''Manettes au volant'''
|| Krebs
|-
| '''Direction irréversible'''
|| Krebs
|-
| '''Le retour du volant &lt;br&gt;(Angle de chasse)'''
|| Krebs
|-
| '''Boîte de vitesses à train baladeur'''
|| Levassor
|-
| '''Emplacement des pédales'''
|| Levassor
|-
| '''Levier de changement de vitesse et de marche'''
|| Levassor et Krebs
|-
| '''Régulateur d'allure'''
|| Krebs
|-
| '''Chassis en bois armé'''
|| Levassor
|-
| '''Roues en bois'''
|| Levassor
|-
| '''Roues d'artillerie'''
|| Krebs
|-
| '''Freins à mâchoires'''
|| Krebs
|-
| '''Le ralenti et l'accélération&lt;br&gt;(Carburateur automatique)'''
|| Krebs
|-
| '''Joints élastiques'''
|| Krebs
|-
|}

'''1899''' - A. C. KREBS introduit dans l'architecture de l'automobile '''le radiateur à l'avant devant le moteur''', sur sa voiture de course Paris-Bordeaux. Il étend ce choix à toute la gamme Panhard &amp; Levassor. &lt;ref&gt; À l'orée de la guerre de 1914 la position du radiateur n'est pas tranchée : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9815623n/f58.image.r=radiateur 1909], [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k98059257/f289.image.r=radiateur%20a%20l 1912].&lt;/ref&gt;
&lt;gallery&gt;
File:1899 A.C.KREBS Album-Courses=12cv Paris-Bordeaux.jpg|'''1899''' - La voiture de course Paris-Bordeaux conçue par A. C. KREBS avec '''le radiateur à l'avant'''.
&lt;/gallery&gt;
'''1904''' - &quot;[...] ''Vous faites une embardée que vous redressez très facilement si vous connaissez réellement votre machine, si, en un mot, vous faites réellement corps avec elle. Faut-il vous le dire, c'est un peu mon cas. J'ai suivi le développement de l'automobile et j'ai conduit longtemps une 6-chevaux, puis des voitures de plus en plus fortes. '''Sans fausse modestie, je connais ma voiture et j'en suis un peu l'âme'''.'' [...] ''Répétons-le constamment, soyez prudents''.&quot; &lt;ref&gt;'''1904-07-09''' - '''L'Auto-vélo''' : &quot;[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4626643g/f3.image.r=krebs '''L'Enquête sur le pneumatique'''] : &lt;small&gt;''Vous faites une embardée que vous redressez très facilement si vous connaissez réellement votre machine, si, en un mot, vous faites réellement corps avec elle. Faut-il vous le dire, c'est un peu mon cas. J'ai suivi le développement de l'automobile et j'ai condit longtemps une 6-chevaux, puis des voitures de plus en plus fortes. Sans fausse modestie, je connais ma voiture et j'en suis un peu l'âme''. [...] Malheureusement, je dois le dire, beaucoup de chauffeurs connaissent peu ou prou leur voiture. Sur une belle route de campagne, ils cèdent à la griserie de vitesse, perdant la notion exacte des choses, virent court sans ralentir, sont ebntraînés par la force centrifuge, le pneu, cette fois, subit un travail d'échauffement et d'arrachement ausuel il semble naturel qu'il ne puisse résister. Alors, dans ce cas, c'est évident, l'homme devient encore plus affolé que sa machine, et c'est la cabriole finale qui se termine plus ou moins mal. En somme s'il n'y avait pas de pneumatiques, les imprudents ou les maladroits seraient victimes des mêmes accidents. Répétons-le constamment, soyez prudents''.&quot;&lt;/small&gt;&lt;/ref&gt;

'''1911''' - Panhard &amp; Levassor introduit en France la [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1909-1914_-_L%27Auto-v%C3%A9lo_-_les_%22Vendredi%22_de_Panhard_%26_Levassor.pdf&amp;page=132 '''''&quot;voiture complète&quot;'''''], avec [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1909-1914_-_L%27Auto-v%C3%A9lo_-_les_%22Vendredi%22_de_Panhard_%26_Levassor.pdf&amp;page=159 '''carrosserie de série'''].
==== Recherches sur la régulation des moteurs à essence ====
* '''1898''' - La régulation sur l'admission : '''FR'''284596
: Sur son moteur de la Voiture Clément-Panhard A. C. KREBS ajoute sur la soupape d'admission automatique un étranglement commandé par un régulateur à boule.
* '''1899''' - Le carburateur à niveau constant : '''FR'''295792
* '''1900''' - La régulation électromagnétique des soupapes d'admission : '''FR'''301991
* '''1900''' - Le carburateur Centaure à étranglement : '''GB'''190016467A
* '''1902''' - Les soupapes à cames extensibles : '''FR'''322489A
* '''1902''' - Le carburateur automatique : '''FR'''325241A
* '''1902''' - L'avance à l'allumage au volant : 	'''FR'''327527A
* '''1903''' - Perfectionnements au carburateur automatique : '''FR'''333127A
* '''1906''' - Le régulateur hydraulique sur le carburateur
* '''1908''' - Le carburateur automatique à aiguille : '''FR'''401546A
* '''1909''' - Les soupapes concentriques pour l'aviation : 	'''FR'''414413A
* '''1912''' - Le système de sans-soupapes à boisseaux : '''FR'''440438A
* '''1913''' - Le carburateur automatique sans pièce mobile : '''FR'''458736A
* '''1913''' - Le carburateur double-corps : cf. infra

==== [https://fra.wiki/wiki/Categoria:Motori_Panhard Moteurs] ====
'''Catégories''' : [[commons:Category:Automotive engine technologies|'''''Automotive engine technologies''''']], [[commons:Category:Internal combustion engine|'''''Internal combustion engine''''']], [[commons:Category:Automotive engine technologies|'''''Automotive engine technologies''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Moteur à combustion et explosion|Moteur à combustion et explosion]], [[w:Moteur à quatre temps|Moteur à quatre temps]]
&lt;br&gt;In '''1900''', A. C. KREBS designed the '''''[https://it.wikipedia.org/wiki/Motore_Panhard_Centaure Centaure engine]''''' with the aim of freeing itself from the royalties owed to Mme Levassor on the Daimler engine.

'''1902''' - À la demande d'une commission parlementaire, A. C. KREBS fait [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k64676929/f871.image.r=krebs '''une étude sur l'utilisation de l'alcool dans l'automobile''']. Suite à ce rapport il est décoré [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k286013f/f3.image.r=krebs chevalier du Mérite agricole].

In '''1909''', he became interested in the '''Knight Brevet''' ([[w:Soupape_(moteur)#Système_Charles_Yale_Knight|moteur sans-soupape]] engine) and was first in France to build that type of engine which Panhard et Levassor would produce during the thirty years leading up to World War II.
&lt;gallery&gt;
File:1900 - Manuel théorique et pratique de l'automobile (Lavergne) - moteur Phenix.jpg|'''1895''' - The Daimler-Maybach [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AThe_automobile%2C_its_construction_and_management%3B_(IA_automobileitscon00lave).pdf&amp;page=164 '''Panhard-Phenix''' engine]. &lt;ref&gt;'''1897''' - Scientific American: [https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1897-01-30_43_1100/page/17588/mode/2up?q=panhard Some '''New Horseless Carriages''' - &quot;''Le Phénix de MM. Panhard &amp; Levassor, qui, de l'avis des experts en la matière, peut être considéré comme approchant la perfection''&quot;]. '''1904''' - [https://archive.org/details/propelledselfveh00homarich/page/306/mode/2up?q=phenix Self-propelled vehicles].&lt;/ref&gt;

File:1900 - Les automobiles à l'Exposition - Le moteur KREBS.jpg|'''1898''' -  &quot;'''[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9780698h/f613.image.r=krebs The KREBS engine]&quot; with intake regulation''' before the appearance of the butterfly valve.

File:1900-07-21 - Brevet du moteur &quot;Centaure&quot; Panhard &amp; Levassor (FR302402, GB190200673A).png|'''1900''' - Panhard &amp; Levassor &quot;[https://archive.org/details/automobileaprac00haslgoog/page/214/mode/2up?q=panhard '''Centaure''']&quot; motor Brevet ([[c:File%3A1900-07-21_Brevet_P%26L_FR302402_du_moteur_CENTAURE_de_A._C._KREBS.pdf|'''FR'''302402]] , [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032426573/publication/GB190200673A?q=GB190200673A '''GB'''190200673A] ) designed par A. C. KREBS.

File:1901 - Moteur Centaure de Panhard &amp; Levassor.jpg|'''1901''' - &quot; [https://archive.org/details/propelledselfveh00homarich/page/320/mode/2up?q=panhard '''Centaure''']&quot; engine from Panhard &amp; Levassor '''designed by A. C. KREBS'''.&lt;ref&gt;'''1904''' - [https://archive.org/details/propelledselfveh00homarich/page/322/mode/2up?q=centaure Self-propelled vehicles]: &quot;''La demande de voitures rapides et puissantes a très vite conduit à la production de moteurs à quatre cylindres, parmi lesquels [https://archive.org/details/propelledselfveh00homarich/page/320/mode/2up?q=centaure '''''le Centaure de Panhard-Levassor est le type]'''''.&quot; &lt;/ref&gt;

File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 57|'''1901''' - The A. C. KREBS &quot;'''''engine three points suspension system'''''&quot;.

File:1903-1916 - Cours complet d'automobilisme - le moteur 3 cyl. Panhard &amp; Levassor.jpg|'''1903''' - The [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5863731g/f22.item.r=panhard# Panhard &amp; Levassor '''3 cyl. engine'''] designed by A. C. KREBS. &lt;ref&gt;'''1904'''-01-30- Scientific American: &quot;''Les avantages du moteur à trois cylindres sont depuis longtemps mis en avant dans ce pays par M. '''Charles E. Duryea''', qui utilise ce type de moteur avec succès depuis sept ans ; tandis qu’en France,[https://archive.org/details/sim_scientific-american_1904-01-30_90_5/page/80/mode/2up?q=panhard '''Panhard &amp; Levassor''' a lancé l’année dernière une voiture à trois cylindres], et '''la déclaration en faveur du moteur à trois cylindres par cette firme renommée a largement contribué à attirer l’attention des automobilistes sur ses atouts'''''.&quot;&lt;/ref&gt;

File:1905 - Les Sports Modernes - le moteur Panhard &amp; Levassor Centaure allégé.jpg|'''1905''' - The Panhard &amp; Levassor '''[https://it.wikipedia.org/wiki/Motore_Panhard_Centaure_all%C3%A9g%C3%A9 lightweight Centaure engine]''' designed by A. C. KREBS.

File:1909 - Salon de l'Olympia - le moteur 6 cylindres de Panhard &amp; Levassor.jpg|'''1909''' - le moteur 6 cylindres Panhard &amp; Levassor, conçu par A. C. Krebs, au Salon de l'Olympia

File:1910-07-15 - La Locomotion - Le moteur Sans-soupapes Panhard &amp; Levassor.pdf|'''1910''' - [https://it.wikipedia.org/wiki/Motore_avalve_Panhard_a_4_cilindri The Panhard &amp; Levassor '''valveless engine''']  chain driven designed by A. C. KREBS from the Knight Brevet.

File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 36|'''1910''' - Panhard &amp; Levassor valveless engine &quot;'''''distribution plan'''''&quot;.

File:1911 - FR440438A - A. C. KREBS valveless engine patent.pdf|'''1911''' - [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001481791/publication/FR440438A?q=FR440438A '''FR'''440438A]: The '''valveless engine Brevet of A. C. KREBS''' for Panhard &amp; Levassor.

File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 53|'''1912''' - Panhard &amp; Levassor valveless engine &quot;'''''splash lubrication'''''&quot;.

File:1912-07 - Omnia - 18 HP 6-cyl Panhard &amp; Levassor.jpg|'''1912''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k98059257/f42.image.r=panhard 18 HP 6-cyl.] Panhard &amp; Levassor.

File:1912-07 - Omnia - 10 HP (X19) Panhard &amp; Levassor.jpg|'''1912''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9805926n/f246.item.r=panhard 12 HP] the first A. C. KREBS &quot;'''Motor block'''&quot;.

File:Panhard &amp; Levassor 6 Zyl. Motor um 1913 2.pdf|'''1913''' - [https://bibliotheques-specialisees.paris.fr/ark:/73873/pf0002119031/v0053 28-35 HP 6-cyl.] Panhard &amp; Levassor.
&lt;/gallery&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;

|-

! Date !! Brevet !! Intitulé

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| '''1897''' 

|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1897-12-21_-_Panhard_%26_Levassor_brevet_FR273375_%27Perfectionnements_aux_transmissions_avec_changement_de_vitesse%27.pdf '''FR'''273375]

|| ''Improvements to transmissions with speed change ''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032139007/publication/GB189730791A?q=GB189730791 '''GB'''189730791A] 

|| ''Improvements in Speed Changing Transmission Gear''

|-

|  

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/064173906/publication/ES22155A1?q=ES22155A1 '''ES'''22155A1] 

|| ''A new transmission system, particularly applicable to automatic cars''

|-

| '''1898''' 

|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1898-12-16_-_Panhard_%26_Levassor_brevet_FR284596_%27Un_syst%C3%A8me_de_voiture_l%C3%A9g%C3%A8re_%C3%A0_moteur_%C3%A0_p%C3%A9trole%27.pdf '''FR'''284596] 

|| '''The VCP Brevet''' (voir supra) : ''A petroleum-powered light car system''

|-

|  

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032144519/publication/GB189902960A?q=GB189902960 '''GB'''189902960A] 

|| ''Improvements in Light Motor Road Vehicles''

|-

| '''1900''' 

|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1900-07-07_Brevet_KREBS_pour_P%26L_FR301991_-_%27Syst%C3%A8me_de_r%C3%A9gulateur_%C3%A9lectromagn%C3%A9tique_agissant_sur_les_soupapes_d%27admission_pour_moteurs_%C3%A0_hydrocarbure%27.pdf '''FR'''301991] 

|| [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k57012688/f389.image.r=panhard '''Electromagnetic intake valves''']: ''Electromagnetic regulator system acting on the intake valves for hydrocarbon engines'' (voir supra)

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003503578/publication/AT9519B?q=AT9519B '''AT'''9519B] 

|| ''Electromagnetic control device for hydrocarbon engines''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002760177/publication/US691638A?q=US691638A '''US'''691638A] 

|| ''ELECTROMAGNETIC REGULATOR FOR ADMISSION-VALVES OF HYDROCARBON-MOTORS''

|-

| '''1900'''

|| [[c:File%3A1900-07-21_Brevet_P%26L_FR302402_du_moteur_CENTAURE_de_A._C._KREBS.pdf|'''FR'''302402]] 

|| [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8DE187.2/168/100/512/10/458 '''Le moteur Centaure de A. C. KREBS'''] : ''New internal combustion engine consuming gas, petroleum gasoline or ordinary petroleum''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/035248186/publication/GB190000471A?q=GB190000471A '''FR'''325241A] 

|| [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k17077f/f819.item.r=panhard '''The CENTAURE carburetor''']: ''voir supra''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003516552/publication/AT15838B?q=AT15838B '''AT'''15838B] 

|| ''Valve control for explosive engines''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032149365/publication/GB190016627A?q=GB190016627A '''GB'''190016627A] 

|| ''Improvements in Gas or Oil Motors''

|-

| '''1901''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003506585/publication/AT11006B?q=AT11006B '''AT'''11006B] 

|| '''Suspension of the gearbox by three points''' : ''Suspension of the housing enclosing the change and reversing gear of motor vehicles'' (voir supra)

|-

| '''1902''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032426573/publication/GB190200673A?q=GB190200673A '''GB'''190200673A] 

|| '''Centaure engine lightened &amp; Water-jackets''' : ''Improvements in Internal Combustion Engines''

|-

| '''1902''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001372844/publication/FR322489A?q=FR322489A '''FR'''322489A] 

|| '''Stretch cams''' :''Improvement in the construction of internal combustion engines''

|-

|  

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003513981/publication/AT14430B?q=AT14430B '''AT'''14430B] 

|| ''Controllable valve control for explosive engines''

|-

|  

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032621397/publication/GB190224250A?q=GB190224250A '''GB'''190224250A] 

|| ''Improvement in the Construction of Explosion Motors''

|-

|  

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002801728/publication/US733220A?q=US733220A '''US'''733220A] 

|| ''VALVE-GEAR FOR EXPLOSIVE-ENGINES''

|-

| '''1902''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001376300/publication/FR326199A?q=pn%3DFR326199A '''FR'''326199A] 

|| '''Engine cooling''' : ''A device for cooling internal combustion engines''

|-

| '''1909''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001453744/publication/FR409630A?q=pn%3DFR409630A '''FR'''409630A] 

|| '''Valve cooling''' : ''Improvement in internal combustion engines''

|-

|  '''1909''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001458114/publication/FR414413A?q=FR414413A '''FR'''414413A] 

|| '''Krebs concentric valves''' : ''Device for suction and exhaust valves and their control for internal combustion engines operating on combustible gases or liquids''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/004290136/publication/CH52317A?q=pn%3DCH52317A '''CH'''52317A] 

|| ''Arrangement and control of the inflow and outflow valves on explosion or internal combustion engines''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/008686590/publication/AT51827B?q=AT51827B '''AT'''51827B] 

|| ''Control for combined intake and exhaust valves of internal combustion engines''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032525746/publication/GB191014278A?q=GB191014278A '''GB'''191014278A] 

|| ''Improvements in or relating to Valves and Valve-gear for Internal-combustion Engines''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003087787/publication/US1019488A?q=US1019488A '''US'''1019488A] 

|| ''VALVE FOR EXPLOSION-ENGINES''

|-

| '''1911''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001481791/publication/FR440438A?q=FR440438A '''FR'''440438A] 

|| '''Krebs valveless engine''' : ''Internal combustion engine distribution''

|-

| '''1912''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001500505/publication/FR461176A?q=FR461176A '''FR'''461176A] 

|| '''Helical gear transmission''' : ''Internal combustion engine transmission''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001517855/publication/FR480650A?q=FR480650A '''FR'''480650A] 

|| ''Connection device between connecting rod and piston''

|-

| '''1916'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001520866/publication/FR484035A?q=FR484035A '''FR'''484035A]

|| ''Valve train''

|-

|}
==== Carburateurs ====
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Carburetors|'''''Carburateurs''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Carburateur|Carburateur]], [[w:Papillon (mécanique)|Papillon (mécanique)]], [[w:Boîtier papillon|Boîtier papillon]], [[w:Théorème de Bernoulli|Théorème de Bernoulli]], [[w:Effet Venturi|Effet Venturi]]
&lt;br&gt;Voir supra: The [https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques&amp;action=submit#Le_%22carburateur_Krebs%22 ''Krebs carburetor''].

'''1866-1890''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k39790g/f376.item.r=carburateur# Dictionnaire Larousse du XIX° siècle] : &quot;'''Carburateur, trice adj.''' Se dit des appareils destinés à carburer certains corps et particulièrement le gaz d'éclairage.&quot;

'''1900''' - Automobile Magazine: '''Alcohol in Automobile Practice''' : &quot;''In December, at the instance of the Society for the Industrial Utilization of Alcohol, M. '''Krebs''', of the '''Panhard et Levassor''' Company, experimented with a three horse-power Phoenix auto mobile, the only alteration being the widening of the opening to the carbureter. With the Dusart alcohol 4.2 horse-power was developed, and with ordinary 95 per cent. alcohol 3.6 horse- power; with benzine at full speed, 4.4 horse-power. According to Araschaquene it would be sufficient to abolish the tax on alcohol in order to cause it to replace benzine''&quot;. &lt;ref&gt;'''1900-05''' - Automobile Magazine: [https://archive.org/details/sim_automobile-magazine_1900-05_2_2/page/178/mode/2up?q=krebs ''L'alcool dans la pratique automobile''].&lt;/ref&gt;

'''1916''' – Panhard &amp; Levassor catalog: &quot;''We have adopted on all our engines a carburetor based on '''an entirely new principle of automaticity''', which rigorously doses the mixture at all speeds and offers the advantage of no longer having any intake additional air, no moving parts. The rubber membrane of our old models is thereby eliminated. In our '''20 HP''' and '''35 HP''' engines, '''the carburetor is double''' and controlled by two accelerator pedals. The ordinary accelerator pedal ensures walking in town and at medium speeds, while the second pedal, actuated with the left foot, brings into play the second carburetor which is added to the first to provide very high speeds, and at this time to provide additional lubrication.''&quot;
{| class=&quot;wikitable&quot;

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! Date !! Brevet !! Intitulé

|-

| '''1899'''

|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1899-12-30_Brevet_KREBS_pour_Panhard_%26_Levassor_-_%22Carburateur_%C3%A0_niveau_constant%22.pdf '''FR'''295792] 

|| ''A constant level carburettor for petrol engines''

|-

| '''1900'''

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/035248186/publication/GB190000471A?q=GB190000471A '''FR'''325241A] 

|| '''The CENTAURE carburetor''' : ''A self-adjusting carburetor''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/035248186/publication/GB190000471A?q=GB190000471A '''GB'''190000471A] 

|| ''An Improved in Air Carburators for Petroleum Motors''

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| 

||

|| voir infra: '''Alcohol in Automobile Practice'''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032420366/publication/GB190016467A?q=GB190016467A '''GB'''190016467A] 

|| ''A Regulating Charging Valve for Gas or Oil Motors''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003500824/publication/AT8337B?q=AT8337B '''AT'''8337B] 

|| ''Adjustable input device for explosion power machines from the controller''

|-

| '''1902'''

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001375413/publication/FR325241A?q=FR325241A '''FR'''325241A] 

|| '''The Krebs automatic carburetor''' : [https://archive.org/details/propelledselfveh00homarich/page/322/mode/2up?q=panhard ''A self-adjusting carburetor''] (voir supra: The [https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques&amp;action=submit#Le_%22carburateur_Krebs%22 Krebs carburetor].)

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/000413614/publication/DE146328C?q=DE146328 '''DE'''146328C]

|| ''A carburator for internal combustion engines''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/064172006/publication/ES30512A1?q=ES30512A1 '''ES'''30512A1]

|| ''A graduation and automatic action carburetor''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032155422/publication/GB190222655A?q=GB190222655A '''GB'''190222655A]

|| ''Improvements in Oil Engines''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002802929/publication/US734421A?q=US734421A '''US'''734421A]

|| ''Fuel-governor for oil-engines''

|-

|

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/045200425/publication/CA83889A?q=CA83889A '''CA'''83889A] 

|| ''Oil Machine''

|-

| '''1903'''

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001382733/publication/FR333127A?q=FR333127A '''FR'''333127A] 

|| '''Improvements to the Krebs carburetor''' : ''Improvements to carburettors''

|-

|  

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/000424916/publication/DE158769C?q=DE158769C  '''DE'''158769C] 

|| ''Device for automatic regulation of secondary air in mixing devices for explosive engines''

|-

|  

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003516141/publication/AT15655B?q=AT15655B '''AT'''15655B] 

|| ''Device for the automatic regulation of the secondary air supply in mixing devices for explosive engines''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003516518/publication/AT15822B?q=AT15822B  '''AT'''15822B] 

|| ''Device for the automatic regulation of the secondary air supply in mixing devices for explosive engines''

|-

|  

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002854050/publication/US785558A?q=US785558A  '''US'''785558A] 

|| ''Oil-engine''

|-

|  '''1908'''

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001446345/publication/FR401546A?q=FR401546A  '''FR'''401546A] 

|| '''The Krebs metering pin carburetor''' : ''Improvements to carburettors for motors''

|-

|  

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/064221871/publication/ES45533A1?q=ES45533A1  '''ES'''45533A1] 

|| ''Engine Carburetor Improvements''

|-

|  

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032525523/publication/GB190912043A?q=GB190912043A  '''GB'''190912043A] 

|| ''Improvements in Carburettors for Explosion Motors''

|-

|  '''1912'''

|| [https://worldwide.espacenet.com/patent/search/family/001498296/publication/FR458736A?q=pn%3DFR458736A '''FR'''458736A] 

|| '''Le carburateur hydrostatique''' sans pièces mobiles : ''Perfectionnement apporté aux carburateurs pour moteurs à explosions''

|-

|  '''1913'''

|| 

|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1916_Artillerie_St-Chamond_R%C3%A8glement_de_manoeuvre%3Dle_carburateur_double-corps.pdf '''The double barrel Krebs carburetor'''] (voir infra : 1916–Panhard &amp; Levassor catalog)

|-

|  '''1916'''

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/008906792/publication/FR502997A?q=num%20%3D%20%22FR502997A%22%20AND%20ia%20%3D%20%22PANHARD%22  '''FR'''502997A] 

|| '''The Krebs carburetor for airships and aiplanes''' : ''Automatic carburetion corrector for internal combustion engine operating at different altitudes.''

|-

|

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001522872/publication/FR486245A?q=FR486245A '''FR'''486245A ]

|| ''Improvement brought to the constant level of the carburettors''
|-

|  '''1917'''

|| [https://worldwide.espacenet.com/patent/search/family/001529312/publication/FR493577A?q=pn%3DFR493577A '''FR'''493577A] 

|| '''Perfectionnement au carburateur hydrostatique''' : ''Carburateur pour moteur à explosions.''
|-

|  

|| [https://worldwide.espacenet.com/patent/search/family/008921858/publication/FR528180A?q=pn%3DFR528180A '''FR'''528180A] 

|| '''Perfectionnement au carburateur hydrostatique''' : ''Carburateur pour moteur à explosions.''
|-

|}
==== Allumage ====
'''Catégories''' : [[commons:Category:Ignition|Ignition]], [[commons:Category:Ignition systems|Ignition systems]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Allumage (moteur)|Allumage (moteur)]]
&lt;br&gt;'''1903''' - &quot;''[https://archive.org/details/automobileaprac00haslgoog/page/216/mode/2up?q=panhard Panhard &amp; Levassor firm has a new method of distributing] or directing the current successively to the induction coils of a multicylinder motor''.&quot;
{| class=&quot;wikitable&quot;

|-

! Date !! Brevet !! Intitulé

|-

| '''1902'''

|| 

|| '''L'allumage électrique Krebs''' : ''[https://www.babordnum.fr/items/show/14115 Allumage électrique mixte pour moteurs à explosion (p. 432)]''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032426473/publication/GB190200452A?q=GB190200452A '''GB'''190200452A] 

|| ''An Improvement in Electrical Ignition Apparatus for Internal Combustion Engines''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003514525/publication/AT14673B?q=AT14673B '''AT'''14673B] 

|| ''Switching device for the primary current in electric ignition devices for explosive engines''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002776582/publication/US708053A?q=US708053A '''US'''708053A] 

|| ''Apparatus for distributing the primary current for electric ignition by coils and igniters in explosive-engines''

|-

| '''1904'''

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/043348598/publication/FR343448A?q=FR343448A '''FR'''343448A] 

|| '''The Krebs magneto ignition''' : ''Mixed electrical ignition for explosion motors''

|-

|

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001348105/publication/FR4936E?q=FR4936E '''FR'''4936E] 

|| Addition: ''Mixed electrical ignition for explosion motors''

|-

|

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032626177/publication/GB190412741A?q=GB190412741A '''GB'''190412741A] 

|| ''Improvements in Electric Ignition Apparatus for Internal Combustion Motors''

|-

|}
==== Embrayages ==== 
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Clutches|Embrayages]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Embrayage|Embrayage]]
&lt;br&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;

|-

! Date !! Brevet !! Intitulé

|-

| '''1897'''

|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1897-12-21_-_Panhard_%26_Levassor_brevet_FR273374_%27Perfectionnements_aux_embrayages%27.pdf '''FR'''273374] 

|| [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k57007322/f446.image.r=panhard '''The Krebs friction clutch''']:  ''Improvements in clutches''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032139006/publication/GB189730790A?q=GB189730790A '''GB'''189730790A] 

|| ''	Improvements in Friction Couplings''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002762089/publication/US693551A?q=US693551A '''US'''693551A] 
|| ''Cone clutch''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003497343/publication/AT6940B?q=AT6940B '''AT'''6940B] 

|| ''Friction clutch, especially for motor vehicles''

|-

| '''1900'''

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032150677/publication/GB190022975A?q=GB190022975A '''GB'''190022975A] 

|| ''An Improvement in Cone Clutches''

|-

|'''1902'''

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032426525/publication/GB190200574A?q=GB190200574A '''GB'''190200574A] 

|| [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9782584r/f469.image.r=krebs ''Improvements in Cone Clutches'']

|-

|

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002803400/publication/US734893A?q=pn%3DUS734893A '''US'''734893A] 

|| ''CONE-CLUTCH''

|-

|

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003513026/publication/AT13993B?q=AT13993B '''AT'''734893A] 

|| ''cone friction clutch''

|-

|'''1904'''

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001389315/publication/FR340185A?q=FR340185A '''FR'''340185A] 

|| '''Multidisk clutch''' : ''Friction washer clutch''

|-

|'''1906'''

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001410298/publication/FR362841A?q=FR362841A '''FR'''362841A] 

|| '''The Krebs ''Panhard type'' gearbox''' : ''Improvements to claw clutches''

|-

|'''1907'''

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001429214/publication/FR383188A?q=FR383188A '''FR'''383188A] 

|| '''Multidisk coupling''' : ''Clutch connecting two shafts, one of which rotates at a variable speed and the other at a constant speed''

|-

|'''1911'''

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001485567/publication/FR444601A?q=FR444601A '''FR'''444601A] 

|| [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k98043305/f57.image.r=panhard '''Multidisk clutches''']: ''Improvements to disc clutches''

|-

|'''1912'''

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001490629/publication/FR450180A?q=FR450180A '''FR'''450180A] 

|| ''Improvement brought to the construction of the clutches''

|-

|

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032526219/publication/GB191226137A?q=GB191226137A '''GB'''191226137A] 

|| ''Improvements in or relating to Clutches''

|-

|}
==== Boîtes de vitesses et transmission ====
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Transmission|Transmission]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Transmission (mécanique)|Transmission (mécanique)]], [[w:Boîte de vitesses|Boîte de vitesses]]
&lt;br&gt;The '''Panhard Type''' of Gearbox is enhanced by A. C. KREBS.
&lt;gallery&gt;
File:1901-07 - Automobile-Magazine - boite de vitesse Panhard &amp; Levassor 'The Panhard system'.jpg| '''1901-07''' - Automobile Magazine: &quot;''Transmission gears of some European cars - [https://archive.org/details/sim_automobile-magazine_1901-07_3_7/page/612/mode/2up?q=panhard the Panhard system]''&quot;.

File:1904-1905 - L'embrayage électromagnétique Krebs sur boîte de vitesse Panhard &amp; Levassor.jpg|'''1901''' - A. C. KREBS adapte '''l'embrayage électromagnétique''' de son brevet FR256344 sur la boîte de vitesses P&amp;L.

File:1904-1905 - La boîte de vitesses &quot;à verrou&quot; de A. C. KREBS sur Panhard &amp; Levassor.pdf|'''1901''' - A. C. KREBS adapte sa boîte de vitesse de la VCP sur la '''boîte de vitesses &quot;à verrou&quot;''' de P&amp;L.

File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 61|'''1913''' - The Panhard &amp; Levassor &quot;'''''single-plate clutch and gearbox'''''&quot;.

File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 67|'''1913''' - The 35HP Panhard &amp; Levassor &quot;'''''double disc clutch'''''&quot;.

File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 81|'''1913''' - The Panhard &amp; Levassor   &quot;'''''differential with bevel satellites and conical couple'''''&quot;.

File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 83|'''1913''' - The Panhard &amp; Levassor   &quot;'''''differential with straight satellites and conical couple'''''&quot;.

File:1917 The original Panhard transmission.png|'''1917''' - [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Study_and_test_to_confirm_automobile_drivetrain_components_to_improve_fuel_economy_-_interim_report_(IA_studytesttoconfi00hurt).pdf&amp;page=12 The Original '''Panhard transmission''']: &quot;''It came into nearly '''universal use''' in the United States by the '''1920's for cars, trucks and buses'''.''&quot;
&lt;/gallery&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;

|-

! Date !! Brevet !! Intitulé

|-

| '''1897'''

|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1897-12-21_-_Panhard_%26_Levassor_brevet_FR273375_%27Perfectionnements_aux_transmissions_avec_changement_de_vitesse%27.pdf '''FR'''273375] 

|| [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8DE187.2/0148/100/512/10/458 '''La boîte de vitesses mécanique Krebs &quot;à verrou&quot; à engrenages toujours en prise''']: ''Improvements to transmissions with speed change''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032139007/publication/GB189730791A?q=GB189730791A '''GB'''189730791A] 

|| ''Improvements in Speed Changing Transmission Gear''

|-

|  

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/064173906/publication/ES22155A1?q=ES22155A1 '''ES'''22155A1] 

|| ''Un nuevo sistema de transmisión, particularmente aplicable a los coches automáticos''

|-

| '''1898''' 

|| 

[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032144519/publication/GB189902960A?q=GB189902960  '''GB'''189902960] 

|| '''VCP''' : ''Improvements in Light Motor Road Vehicles''

|-

| '''1899''' 

|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1899-11-11_Brevet_KREBS_pour_P%26L_FR294232_-_%27Syst%C3%A8me_combin%C3%A9_de_changement_de_marche_et_changement_de_vitesse_pour_voiture_automobile%27.pdf '''FR'''294232]

|| ''Combined shifting and gear shifting system for motor car'' &lt;ref&gt;'''1900''' - Revue de mécanique : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5700759q/f661.item.r=PANHARD La transmission Panhard &amp; Levassor].&lt;/ref&gt;

|-

|

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032537942/publication/GB189923564A?q=GB189923564A '''GB'''189923564A]

|| ''Improvements in Driving Gear for Motor Cars''&lt;ref&gt;'''1902''' - The automobile: &quot;[https://archive.org/details/automobileaprac00haslgoog/page/386/mode/2up?q=panhard  ''The Panhard type'']&quot;. '''1904''' - Self-propelled vehicles: &quot;[https://archive.org/details/propelledselfveh00homarich/page/354/mode/2up?q=panhard ''Détails du changement de vitesse Panhard-Levassor'']&quot;.&lt;/ref&gt;

|-

| '''1900''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032150677/publication/GB190022975A?q=GB190022975A '''GB'''190022975A]

|| ''An Improvement in Cone Clutches''


|-

| '''1901''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032423811/publication/GB190114824A?q=GB190114824A  '''GB'''190114824A] 

|| ''Improvements in connection with the Mechanism for Change of Speed and Direction of Motion of Motor Cars''

|-

| '''1901''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002769481/publication/US700950A?q=US700950A '''US'''700950A ]

|| '''Change speed box''' : ''MOTOR-VEHICLE''

|-

| '''1905'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search?q=pn%3DFR351743A '''FR'''351743A] 

|| ''Automatic locking system''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003534007/publication/AT24197B?q=AT24197B '''AT'''24197B] 

|| ''Coupling device''

|-

|  

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032188031/publication/GB190515737A?q=GB190515737A  '''GB'''190515737A] 

|| ''Improvements in Interlocking Mechanism for Change Speed Gears and the like''

|-

|  

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002890537/publication/US822057A?q=US822057A  '''US'''822057A] 

|| ''SYSTEM OF LOCKING''

|-

|

|| [[w:Engrenage|'''''Harmonic gears''''']]

|| &quot;''In certain cars, particularly '''Panhards''', [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:California_Digital_Library_(IA_completemotorist00youn).pdf&amp;page=334 '''''the musical note caused by the gear wheels'''''] is itself a very fair guide to the changing of speed''.&quot;

|-
|'''1906'''

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001410298/publication/FR362841A?q=FR362841A '''FR'''362841A] 

|| [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k98043305/f300.image.r=panhard '''The Krebs Panhard type gearbox''']: ''Improvements to claw clutches''

|-

| '''1910''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001472555/publication/FR430298A?q=pn%3DFR430298A '''FR'''430298A]

|| ''Automobile tipping dumper with front-wheel drive and steering''

|-

|  

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032525843/publication/GB191113942A?q=pn%3DGB191113942A '''GB'''191113942A]

|| ''Improvements in and relating to Tip Wagons and the like''

|-

| '''1911''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001480297/publication/FR438815A?q=FR438815A '''FR'''438815A]

|| ''Device for shifting and declutching using a single lever''

|-

|

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/008695767/publication/AT62323B?q=AT62323B '''AT'''62323B]

|| ''Speed change gear''

|-

|

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032339729/publication/GB191200983A?q=GB191200983A '''GB'''191200983A]

|| ''Improvements in and relating to Variable Speed Transmission Mechanism''

|-

|

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003180995/publication/US1112810A?q=US1112810A '''US'''1112810A]

|| ''Clutch and Gear Shifter''

|-

| '''1911''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001480878/publication/FR439445A?q=FR439445A '''FR'''439445A]

|| ''Direct drive device applicable to fluid gear shifting devices''

|-

| '''1913''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001511415/publication/FR473344A?q=FR473344A '''FR'''473344A]

|| ''Improvement in motion transmissions in motor cars''

|-

| '''1914''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001513323/publication/FR475432A?q=FR475432A '''FR'''475432A ]

|| ''Transmission system for driving and steering vehicle wheels''

|-

| '''1915''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001519384/publication/FR482374A?q=FR482374A '''FR'''482374A ]

|| ''Cardan joint lubrication device by oil circulation''

|-

| 

|| 

|| ''The globoïd worm gear rear axle differential''

|-

|}

==== Freins ==== 
'''Catégories''' : [[commons:Category:Brakes|Brakes]], [[commons:Category:Automobile drum brakes|Automobile drum brakes]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Frein à tambour|Frein à tambour]], [[w:Frein moteur|Frein moteur]]
&lt;gallery&gt;
File:1900 Lavergne- Gérard Manuel théorique et pratique de l'automobile sur route='the double-acting krebs brake'p433.png|''The '''1898'''  [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AThe_automobile%2C_its_construction_and_management%3B_(IA_automobileitscon00lave).pdf&amp;page=381 '''Krebs double-acting brake on the differential axle.''']

File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 91|'''1913''' - The Panhard &amp; Levassor  &quot;'''''double brake on rear wheels'''''&quot;.
&lt;/gallery&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;

|-

! Date !! Brevet !! Intitulé

|-

| '''1898'''

||[[c:File%3A1898-12-16_-_Panhard_%26_Levassor_brevet_FR284596_%27Un_syst%C3%A8me_de_voiture_l%C3%A9g%C3%A8re_%C3%A0_moteur_%C3%A0_p%C3%A9trole%27.pdf|'''FR'''284596]] 

|| [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8DE187.2/157/100/512/10/458 '''Le frein à double effet sur l'arbre du différentiel'''] : &quot;''A two-pronged clamp fixed to the frame, which clamps a pulley mounted on the differential shaft''&quot;

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032144519/publication/GB189902960A?q=GB189902960A '''GB'''189902960A] 

|| ''A two armed clamp fixed to the frame which grips the periphery of a disc mounted on the shaft of the differential coupling''

|-

| '''1900'''

|| 

|| [https://archive.org/details/automobilemaga2151900newy/page/172/mode/2up?q=panhard &quot;'''The water-cooled Krebs brake'''&quot;]

|-

| '''1901'''

||[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1901-01-14_Brevet_A.C.KREBS_FR307114%3Dsuspension_par_3_points_%2B_frein_sur_le_diff%C3%A9rentiel.pdf '''FR'''30714]

|| '''Three point suspension gearbox''' : &quot;Improvements in shifting and running mechanisms'' (voir supra)

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002769481/publication/US700950A?q=US700950 '''US'''700950A]

|| ''MOTOR-VEHICLE''

|-

| '''1902'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001369586/publication/FR318975A?q=FR318975 '''FR'''318975]

|| '''Cam brake''' : ''Brake for automobile or other car wheels''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032116936/publication/GB190304167A?q=GB190304167A '''GB'''190304167A]

|| ''Improvements in Brakes for Vehicles''

|-

| '''1904'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001389316/publication/FR340186A?q=FR340186 '''FR'''340186] 

|| '''Expansion brake''' : ''Brake on rear wheels''

|-

| 

|| 

|| [https://archive.org/details/propelledselfveh00homarich/page/148/mode/2up?q=panhard Slack adjuster brake.]

|-

| '''1907'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001422561/publication/FR376040A?q=FR376040 '''FR'''376040]

|| '''Krebs motor brake''' : ''Device for obtaining the braking of a motor vehicle by the engine''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003548691/publication/AT33177B?q=AT33177B '''AT'''33177B] 

|| ''Method and device for braking motor vehicles by means of the prime mover''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/004275048/publication/CH43817A?q=CH43817A '''CH'''43817A] 

|| ''Device on four-stroke explosion engines for exerting a braking effect through the engine''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032117222/publication/GB190802328A?q=GB190802328A '''GB'''190802328A] 

|| ''Improvements in and relating to Braking Means for Automobile Vehicles''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003002970/publication/US934547A?q=US934547A '''US'''934547A] 

|| ''Braking means for automobile vehicles''

|-

| '''1907'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001430057/publication/FR384090A?q=FR384090 '''FR'''384090A]

|| ''Brake lever''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003553988/publication/AT36868B?q=AT36868B '''AT'''36868B]

|| ''Device for the simultaneous activation of two brakes for all types of vehicles''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032525450/publication/GB190818853A?q=GB190818853 '''GB'''190818853]

|| ''Improvements in or relating to Braking Mechanism''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/004275048/publication/CH43817A?q=CH43817A '''CH'''43817A] 

|| ''Device on four-stroke explosion engines for exerting a braking effect through the engine''

|-

| '''1911'''

||

|| [https://archive.org/details/TheAutomotorJournal2ndHalf1904/page/n643/mode/2up &quot;''Rear-brake drums with a second pair of shoes in their interior.''&quot;]

|-

|}
==== Graissage ====
'''Catégories''' : [[commons:Category:lubrication|lubrication]], [[commons:Category:Internal combustion piston engine lubrication systems|Internal combustion piston engine lubrication systems]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Lubrification|Lubrification]]
&lt;br&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;

|-

! Date !! Brevet !! Intitulé

|-

| '''1902'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001369628/publication/FR319026A?q=FR319026A '''FR'''319026A] 

|| [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8DE187.2/159/100/512/10/458 ''Système de graissage des moteurs par une pompe actionnée au moyen des gaz de l'échappement'']

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032606192/publication/GB190304379A?q=GB190304379A '''GB'''190304379A] 

|| ''Improved Method of Lubricating Motors and Apparatus therefor''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002821059/publication/US752566A?q=US752566A '''US'''752566A] 

|| ''Device for Lubricating Motors and Machinery Driven Thereby''

|-

| '''1902'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001377157/publication/FR327150A?q=FR327150A '''FR'''327150A] 

|| ''Lubrication system for engines and components''

|-

| '''1907'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001422632/publication/FR376118A?q=FR376118A '''FR'''376118A] 

|| ''Lubricator with adjustable flow for internal combustion engine proportioning the oil flow to the developed power''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003549848/publication/AT33929B?q=AT33929B '''AT'''33929B] 

|| ''Device for controlling the supply of lubricant for internal combustion engines''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032117223/publication/GB190802334A?q=GB190802334A '''GB'''190802334A] 

|| ''Improvements in and relating to the Lubrication of Internal Combustion Engines''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002995978/publication/US927552A?q=US927552A '''US'''927552A] 

|| ''Engine-Lubricating Device''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search?q=CH42771A '''CH'''42771A] 

|| ''Lubricator for internal combustion engine''

|-

| '''1907'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001429283/publication/FR383261A?q=FR383261A '''FR'''383261A] 

|| ''Engine lubricating oil cooling system''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032525449/publication/GB190818852A?q=GB190818852 '''GB'''190818852A] 

|| ''Improvements in or relating to the Lubrication of Moving Parts of Engines''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/004277622/publication/CH45206A?q=CH45206A '''CH'''45206A] 

|| ''Device for cooling the lubricating oil contained in the crankcase of an engine''

|-

| '''1912'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001494995/publication/FR455065A?q=FR455065A '''FR'''455065A] 

|| ''Improvements to engine lubrication''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032526351/publication/GB191305951A?q=GB191305951A '''GB'''191305951A] 

|| ''Improvements in or relating to the Lubrication of Engines''

|-

| '''1915'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001519141/publication/FR482110A?q=FR482110A '''FR'''482110A] 

|| ''Automatic lubricating device by oil circulation of wheel hubs''

|-

| '''1915'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001519143/publication/FR482112A?q=FR482112A '''FR'''482112A] 

|| ''Device for lubricating the bearings of a heat engine, by oil circulation at an equal flow rate for all the bearings and at variable pressure''

|-

|}
==== Direction et Suspension ====
'''Catégories''' : [[commons:Category:Automotive suspension technologies|Automotive suspension technologies]], [[commons:Category:Shock absorbers|Shock absorbers]], [[commons:Category:Vehicle dynamics|Vehicle dynamics]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' :  [[w:Suspension de véhicule|Suspension de véhicule]], [[w:Dynamique du véhicule|Dynamique du véhicule]]
&lt;br&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;

|-

! Date !! Brevet !! Intitulé

|-

| '''1902'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001370512/publication/FR319975A?q=FR319975A '''FR'''319975A] 

|| '''Transversal spring suspension''' : ''Axle system and fore-carriage spring for motor vehicles''

|-

| '''1902'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001377508/publication/FR327527A?q=FR327527A4 '''FR'''327527A] 

|| '''Steering wheel controls''' : [https://archive.org/details/propelledselfveh00homarich/page/288/mode/2up?q=panhard ''A maneuvering device for the control of the motor car engines'']

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002826307/publication/US757815A?q=pn%3DUS757815A '''US'''757815A] 

|| ''APPARATUS FOR CONTROLLING THE SPEED OF MOTOR-CAR ENGINES''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032525118/publication/GB190309077A?q=GB190309077A '''GB'''190309077A] 

|| ''Improvements in Apparatus for Controlling the Speed of Motor Car Engines''

|-

| '''1905'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001404739/publication/FR356801A?q=FR356801A '''FR'''356801A] 

|| '''[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9804444j/f52.item Multidisk friction shock absorber]''' : ''Suspension brake for vehicles''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001348928/publication/FR5900E?q=FR5900E '''FR'''5900E] 

|| Addition: ''Suspension brake for vehicles''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032198455/publication/GB190516354A?q=GB190516354A '''GB'''190516354A] 

|| ''Improvements in the Method of Checking the Vibrations Imparted to Vehicles Suspended by Springs and in Apparatus therefor''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002928275/publication/US859822A?q=pn%3DUS859822A '''US'''859822A] 

|| ''SHOCK-ABSORBER''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002941272/publication/US872825A?q=US872825A '''US'''872825A] 

|| ''APPARATUS FOR CHECKING OR DEADENING THE VIBRATIONS IMPARTED TO SUSPENDED VEHICLES''

|-

| '''1911'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001481137/publication/FR439730A?q=FR439730A '''FR'''439730A]

|| ''Screw and nut steering for motor vehicles''

|-

| '''1914''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001513700/publication/FR475854A?q=FR475854A '''FR'''475854A] 

|| ''Suspension system for four-wheel motor cars''

|-

|

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001513396/publication/FR475517A?q=FR475517A '''FR'''475517A] 

|| ''Improvement in the construction of automobile steering axles''

|-

| '''1915''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001519144/publication/FR482114A?q=FR482114A '''FR'''482114A] 

|| '''Disk hub''' : ''Driving device for driving wheels of motor vehicles''

|-

|}

==== '''Accouplements flexibles''' ====
'''Catégories''' : [[commons:Category:Accouplement (mécanique)|Accouplements]], [[commons:Category:Rotating shaft couplers|Accouplements d'arbres]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Accouplement (mécanique)|Accouplement (mécanique)]], [[w:Joint de transmission|Joint de transmission]]
===== Premières recherches =====
{| class=&quot;wikitable&quot;

|-

! Date !! Brevet !! Intitulé

|-

| '''1900'''

|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1900-04-09_Brevet_KREBS-P%26L_FR299088_-_%27Palier_%C3%A0_rotule%27.pdf '''FR'''299088] 

|| ''Palier à rotule''

|-

| '''1905'''

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001399995/publication/FR351702A?q=pn%3DFR351702A '''FR'''351702A] 

|| ''Palier de butée à billes et à rotule''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003533722/publication/AT24046B?q=AT24046B '''AT'''24046B] 

|| ''Thrust bearing''

|-

|'''1907'''

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001429214/publication/FR383188A?q=FR383188A '''FR'''383188A] 

|| ''Embrayage reliant deux arbres dont l'un tourne à une vitesse variable et l'autre à une vitesse constante''

|-

|}

===== Le joint monodisque =====
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Disc couplings|Accouplements à disque]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Accouplement_(mécanique)#Accouplement_à_disque|Accouplement_à_disque]]
&lt;br&gt;'''1909''' - '''The single disc coupling''' : &quot;''The device in question is substantially as follows: The ends of the shafts to be joined, facing each other, are provided with circular or cylindrical extended portions to which is secured alternately a membrane of suitable shape, '''of strong and flexible material such as leather, flexible fiber, suitably woven and prepared canvas''' or any other similar material. The dimensions of the said widened portions and the number of the points at which the material used for effecting the connection indicated is secured to them are in proportion to the strain to be transmitted.''&quot;
&lt;gallery&gt;
File:1910-11-22 US976187A=device for coupling two transmission shafts=first FLECTOR invented by A.C. KREBS.png | [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003044565/publication/US976187A?q=US976187A '''1909''' - first FLECTOR Brevet '''US'''976187A &quot;'''''Device for coupling two transmission-shafts'''''&quot;.]

File:1933-10-01 La Dépêche de Brest=PEUGEOT 'le joint FLECTOR de direction'.jpg | [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k348891q/f8 '''1933''' PEUGEOT advertising: &quot;'''''the steering FLECTOR joint'''''&quot; invented by A. C. KREBS (Brevet 1910-11-22 US976187A).]

File:1937-1938 Cours d'automobile=disc coupling+FLECTOR.jpg |'''1937''' - Automobile course'' :  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9758588f/f124.item.r=%22Cours%20d'automobile%22 &quot;'''Deformation joints are the Flectors''']. They consist of a stack of discs made of thin sheet steel, rubberized canvas or leather, on which are bolted forks with two or three branches carried by the shafts.''&quot;

File:Single Disk Coupling (with metal disc), invented by A.C. KREBS (patent 1910-11-22 US976187A).webm|Video: '''The single Disk Coupling''' (with metal disc) invented by A.C. KREBS '''is universally used today'''.
&lt;/gallery&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;

|-

! Date !! Brevet !! Intitulé

|-

| '''1909'''

|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1909-01-04_Brevet_KREBS-P%26L_FR407594_-_%27Dispositif_de_connexion_de_deux_arbres_de_transmission%27.pdf '''FR'''407594] 

|| '''Disc coupling''' : ''Device for connecting two transmission shafts''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032407241/publication/GB190926602A?q=GB190926602 '''GB'''190926602] 

|| ''Improvements in or relating to Shaft Couplings''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003044565/publication/US976187A?q=pd%20%3D%20%221910-11-22%22%20AND%20ctxt%20%3D%20%22KREBS%22 '''US'''976187A] 

|| ''Device for coupling two transmission-shafts''

|-

|}

===== Le joint élastique '''FLECTOR''' =====
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Rag joints|Rag joints]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Joint_de_transmission#Joints_à_axes_concourants|Joints à axes concourants]]
&lt;br&gt;'''1911''' - '''Le joint FLECTOR''' : &quot;''Dans nos modèles 10, 12 et 16 HP Tourisme, ce joint universel est constitué par l'organe élastique que nous nommons &quot;Flector&quot; et qui, formé de toile et de caoutchouc, permet le déplacement relatif des arbres '''sans frottement, sans usure et sans bruit'''. Son adoption donne à la voiture qui en est munie une grande douceur d'entraînement, et il ne réclame aucun  entretien''.&quot; &lt;ref&gt;'''1916''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1916_-_Panhard_%26_Levassor_-_Catalogue.pdf '''Catalogue Panhard &amp; Levassor'''].&lt;/ref&gt;

&lt;gallery&gt;
File:1911-09-04 Flector joint invented by A. C. KREBS (patents FR445.494, GB17.174, US1.107.315).jpg|'''1911''' - '''FLECTOR Brevet'''  [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003175507/publication/US1107315A?q=US1107315 '''US'''1107315A] ''Flexible joint for coupling two transmission shafts''.
 |'''1911''' - '''FLECTOR Brevet'''  [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003175507/publication/US1107315A?q=US1107315 '''US'''1107315A] ''Flexible joint for coupling two transmission shafts''.

File:1913-02-25 La Revue Commerciale=le joint FLECTOR inventé par A. C. KREBS.pdf | [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9805914f/f6.item '''1913''' - The '''FLECTOR joint''' on the 10hp Panhard &amp; Levassor]: &quot;'''''no friction, no wear, no noise, no lubrication'''''&quot;

File:Tyre-coupling.jpg |'''The flexible FLECTOR joint''' invented by A. C. KREBS (Brevet [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003175507/publication/US1107315A?q=US1107315 '''US'''1107315A]) '''is universally used today under the name of ''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:FLECTOR_-_Tyre-Couplings.ogg '''Tire coupling (Video)'''].
&lt;/gallery&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;

|-

! Date !! Brevet !! Intitulé

|-

| '''1911'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001486381/publication/FR445494A?q=FR445494A '''FR'''445494A] 

|| '''Tire coupling''' : ''Flexible joint for connecting two drive shafts''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032606753/publication/GB191217174A?q=GB191217174 '''GB'''191217174A] 

|| ''Improvements in or relating to Shaft Couplings''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003175507/publication/US1107315A?q=US1107315 '''US'''1107315A] 

|| ''Flexible joint for coupling two transmission-shafts''

|-

|}
==== Camions et moteurs industriels ====
&lt;gallery&gt;
File:1903 - Les usages industriels de l'alcool - camion Panhard &amp; Levassor.jpg|'''1903''' - Industrial '''uses of alcohol''' : '''Panhard &amp; Levassor truck'''.

File:1904 - Panhard &amp; Levassor - moteur fixe 3cyl.jpg|'''1904''' - Panhard &amp; Levassor: '''3cyl stationary engine designed by A. C. KREBS'''.

File:1906 - Panhard &amp; Levassor - Groupe moto-pompe industriel.jpg|'''1906''' - Panhard &amp; Levassor - '''Industrial motor-pump unit'''.

File:1907-01-05 Omnia - camion Panhard &amp; Levassor au concours de véhicules industriels.jpg|'''1907''' - '''Panhard &amp; Levassor truck''' at the industrial vehicle competition.

File:1908 - Panhard &amp; Levassor - catalogue poids lourds.pdf|'''1908''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1908_-_Panhard_%26_Levassor_-_catalogue_poids_lourds.pdf Panhard &amp; Levassor '''trucks catalog'''].

File:1910 - Groupe moteur Panhard &amp; Levassor - &quot;Force motrice et lumière&quot;.jpg|'''1910''' - Groupe moteur Panhard &amp; Levassor: &quot;'''''Force motrice et lumière'''''&quot;. &lt;ref&gt;'''1910''' - '''Groupe moteur''' Panhard &amp; Levassor : &quot;'''''Force motrice et lumière'''''&quot;. &quot;''Ville - Campagne - Atelier : MAXIMUM Rendement, Simplicité, Solidité - MINIMUM Consommation, Usure, Encombrement - FONCTIONNE SANS SURVEILLANCE au gaz de ville, à l'alcool, benzol, à l'essence de pétrole, gaz pauvre''&quot;.&lt;/ref&gt;

File:1910-07-10 - La Revue Commerciale - Le groupe électrogène et le moteur industriel Panhard &amp; Levassor.jpg|'''1910''' - The Panhard &amp; Levassor [https://archive.org/details/Theautomobile22/theautomobile16/page/n583/mode/2up?q=%22commandant+krebs%22 '''generator'''] and the '''industrial engine'''.

File:Chatillon-Panhard heavy artillery tractor prototype 1911.jpg|'''1911''' - '''Prototype of the  Châtillon-Panhard heavy artillery tractor''', all wheel drive and all wheel steering.

File:1913 - Panhard &amp; Levassor - voiture de Livraison.jpg|'''1913''' - Panhard &amp; Levassor: '''Delivery van'''.

File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 88|'''1913''' - The 16HP van chassis  Panhard &amp; Levassor:   &quot;'''''engine block and swing axle'''''&quot;.

File:1914-1918 - Panhard &amp; Levassor - camion K16.jpg|'''1914-1918''' - Panhard &amp; Levassor: '''K15 truck'''.

File:1919 - Panhard Motors Co - the Panhard-truck.pdf|'''1918''' - Motor-age: The [https://archive.org/details/sim_motor-age_1918-11-28_34_22/page/34/mode/2up?q=%22panhard+truck%22 '''Panhard Truck Built for Durability'''] : usurpateurs américains du nom de Panhard. &lt;ref&gt;'''1919''' - '''Apex''' ([https://en.wikipedia.org/wiki/Hamilton_(automobile_company) Hamilton Motors Company])  - [https://archive.org/details/saturdayeveningp1922unse/page/384/mode/2up?q=%22Panhard+Motors+Co%22 The twin-frame truck]: ''&quot;At the request of the Panhard-Levassor Co., of Paris, France, we have relinquished the name &quot;Panhard&quot;, and since September 1, '''1919''', our truck has been known as the &quot;Apex&quot;. Hamilton Motors Co., formerly '''Panhard Motors Co.'''&quot;''&lt;/ref&gt;
&lt;/gallery&gt;
==== Machines à bois ====
'''Catégories''' : [[commons:Category:Scierie|Scierie]], [[commons:Category:Sciage|Sciage]], [[commons:Category:Scie pour le bois et l'ameublement|Scie pour le bois et l'ameublement]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Scierie|Scierie]], [[w:Sciage|Sciage]], [[w:Débit (bois)|Débit (bois)]], [[w:Usine_municipale_Pavage_de_bois|Usine municipale Pavage de bois]]
&lt;gallery&gt;
File:1889 - Panhard &amp; Levassor Large band saw for metal cutting.pdf|'''1889''' - Panhard &amp; Levassor:  [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Reports_of_the_United_States_Commissioners_to_the_Universal_Exposition_of_1889_at_Paris_(IA_cu31924107177085).pdf&amp;page=364 &quot;'''Large band saw for metal cutting'''&quot;] at the Paris universal exposition.

File:1905 - Panhard &amp; Levassor - catalogue anniversaire-50-ans usine (cartes postales) - machines à bois.pdf|page 7|'''1905''' - '''Panhard &amp; Levassor''' managed by A. C. KREBS - [[c:File:1905_-_Panhard_%26_Levassor_-_catalogue_anniversaire-50-ans_usine_(cartes_postales)_-_machines_%C3%A0_bois.pdf|'''Wood working machine tools''' and '''Band Saws''']].

File:1906 - Panhard &amp; Levassor - Catalogue des machines à bois pour les roues de voitures.pdf|'''1906''' - '''Panhard &amp; Levassor''' managed by A. C. KREBS - [[c:File%3A1906_-_Panhard_%26_Levassor_-_Catalogue_des_machines_%C3%A0_bois_pour_les_roues_de_voitures.pdf|'''Catalog of woodworking machine-tools for car wheels''']].

File:1906 - Panhard &amp; Levassor - Catalogue des machines-à-bois - scies à ruban.pdf|'''1906''' - '''Panhard &amp; Levassor''' managed by A. C KREBS: Catalog of [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1906_-_Panhard_%26_Levassor_-_Catalogue_des_machines-%C3%A0-bois_-_scies_%C3%A0_ruban.pdf '''woodworking machine-tools - band saws'''].

File:1915 - Publicité en Amérique pour les scies à ruban Périn fabriquées à Paris par les usines Panhard &amp; Levassor dirigées par A. C. KREBS.pdf|'''1915''' - Advertisement in America for [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1915_-_Publicit%C3%A9_en_Am%C3%A9rique_pour_les_scies_%C3%A0_ruban_P%C3%A9rin_fabriqu%C3%A9es_%C3%A0_Paris_par_les_usines_Panhard_%26_Levassor_dirig%C3%A9es_par_A._C._KREBS.pdf '''Périn band-saws'''] manufactured in Paris by the '''Panhard &amp; Levassor works''' managed by A. C. KREBS.
&lt;/gallery&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;

|-

! Date !! Brevet !! Intitulé

|-

| '''1899'''

||[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k57012688/f243.image.r=panhard '''FR'''288849A] 

|| ''Sharpener''

|-

| '''1905'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search?q=pn%3DFR359604A '''FR'''359604A] 

|| ''Automatic circuit breaker''

|-

| '''1906'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search?q=pn%3DFR362842A '''FR'''362842A] 

|| ''Locking system for tool trolleys and others''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search?q=pn%3DFR365473A '''FR'''365473A] 

|| ''Automatic tool release system in trolley machines''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003539644/publication/AT27469B?q=AT27469B '''AT'''27469B] 

|| ''Device for automatically removing the tool from the workpiece in machine tools with a reciprocating carriage''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/027826630/publication/DK10576C?q=DK10576C '''DK'''10576C] 

|| ''Self-propelled device for putting the tool out of business in machine tools with reciprocating carriage''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search?q=pn%3DCH40671A '''CH'''40671A] 

|| ''Machine tool carriage with device for automatically disengaging tool and work piece''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search?q=pn%3DGB190707906A '''GB'''190707906A] 

|| ''Improvements in or relating to Machine Tools with Sliding Tables or Carriages''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002961283/publication/US892854A?q=US892854A '''US'''892854A] 

|| ''SLIDING TABLE OR CARRIAGE FOR METAL-CUTTING MACHINES''

|-

| '''1908'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001449977/publication/FR405501A?q=pn%3DFR405501A '''FR'''405501A] 

|| ''Protective finger for sawing machines for wood or any other material''

|-

| '''1911'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001485566/publication/FR444600A?q=pn%3DFR444600A '''FR'''444600A] 

|| ''Gear Profile Checking Machine''

|-

| '''1912'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032242055/publication/FR451001A?q=pn%3DFR451001A '''FR'''451001A] 

|| ''Log sawing machine, automatic''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032799883/publication/GB191214154A?q=GB191214154A '''GB'''191214154A] 

|| ''Automatically Acting Machine for Cutting Up Timber''

|-

| '''1913'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032299533/publication/FR19438E?q=FR19438E '''FR'''19438E] 

|| Addition: ''Log sawing machine, automatic''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032799883/publication/GB191324475A?q=GB191324475A '''GB'''191324475A] 

|| ''Automatically Acting Machine for Cutting Up Timber''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001512578/publication/FR474617A?q=pn%3DFR474617A '''FR'''474617A] 

|| ''Apparatus for grinding the teeth of band saw blades''

|-

|}


==== Autres brevets ====
{| class=&quot;wikitable&quot;

|-

! Date !! Brevet !! Intitulé

|-

| '''1903'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001379309/publication/FR329471A?q=FR329471A '''FR'''329471A] 

|| ''Silent exhaust tank''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002815022/publication/US746527A?q=US746527A '''US'''746527A] 

|| ''EXHAUST-BOX OR SILENCER FOR EXPLOSION-ENGINES''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032541423/publication/GB190306365A?q=GB190306365A '''GB'''190306365A] 

|| ''Improvements in Exhaust Boxes or Silencers for Explosion Engines''

|-

| '''1907'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001423213/publication/FR376739A?q=pn%3DFR376739A '''FR'''376739A]

|| ''Detachable tire rim''

|-

|

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032633977/publication/GB190715724A?q=GB190715724A '''GB'''190715724A]

|| ''An Improved Fitting or Attachment for the Wheels of Motor Cars and similar Vehicles''

|-

| '''1913'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001498438/publication/FR458896A?q=FR458896A '''FR'''458896A]

|| ''Removable wheel fixing device''

|-

|}
=== '''Aviation''' ===
'''Catégories''' : [[commons:Category:Aéronautique|Aéronautique]], [[commons:Category:Activité aérienne|Activité aérienne]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Aéronautique|Aéronautique]], [[w:Aviation|Aviation]]
&lt;br&gt;'''1910''' - [https://archive.org/details/aircraft219111912newy/page/200/mode/2up?q=%22commandant+krebs%22 '''Aircraft''']: &quot;''On June 14th. among the visitors to the Farman School at Buc, was '''Commandant Krebs''', the director of the Panhard-Levassor firm. He was taken for a lenthy trip by Mr. '''Maurice Farman''', who afterwards carried M. Defly, an engineer of the Panhard firm.''&quot;

==== Le moteur du monoplan Tellier ====
'''Catégories''' : [[commons:Category:Alphonse Tellier|Alphonse Tellier]], [[commons:Category:Tellier 1910 monoplane|Tellier 1910 monoplane]], [[commons:Category:Tellier aircraft|Tellier aircraft]], [[commons:Category:Émile Dubonnet|Émile Dubonnet]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Émile Dubonnet|Émile Dubonnet]]
:[[W:Alphonse_Tellier_(constructeur_a%C3%A9ronautique)|Alphonse Tellier (constructeur aéronautique)]]
&lt;gallery&gt;
File:1909 - Le moteur d'aviation Panhard &amp; Levassor à soupapes concentriques de A. C. KREBS.pdf|'''1909''' - The Panhard &amp; Levassor '''aviation engine with concentric valves''' designed by A. C. KREBS.

File:1910-04-23 - Dubonnet survole Paris sur avion Tellier à moteur Panhard &amp; Levassor.png|'''1910''' - '''Dubonnet flies over Paris''' on a Tellier plane with a Panhard &amp; Levassor engine designed by A. C. KREBS.

File:1910-04-26 - Théodore-Roosevelt regardant voler Dubonnet à Issy.jpg|'''1910''' - '''Theodore Roosevelt watching Dubonnet fly''' to Issy on '''Tellier plane''' with '''Panhard &amp; Levassor''' engine.

File:1910-04-23 - A. C. Krebs et Emile Dubonnet à Bagatelle après la traversée de Paris sur avion Tellier.png|'''1910''' - '''A. C. KREBS''' (left) and '''Emile DUBONNET''' (1882-1950) '''after crossing Paris on a Tellier plane''' with the Panhard &amp; Levassor engine designed by KREBS.

File:1910-05-25 - Avion Tellier modifié - le moteur Panhard &amp; Levassor de A. C. KREBS.png|'''1910''' - '''Modified Tellier aircraft''' : the Panhard &amp; Levassor engine with concentric valves designed by A. C. KREBS.

File:1910 Panhard-Levassor - Dubonnet gagne le prix de LA NATURE sur monoplan Tellier à moteur Panhard &amp; Levassor (GAMY).jpg|'''1910''' - '''''Dubonnet wins the [[W:La_Nature|LA NATURE]] prize on a Tellier monoplane powered by Panhard &amp; Levassor''''', whose engine is designed by A. C. KREBS (by GAMY).

File:1911 - Monoplanes and biplanes - The Tellier monoplane.pdf|'''1911''' - '''Monoplanes and biplanes''' : The '''Tellier monoplane''' powered with the Panhard &amp; Levassor concentric valves engine designed by A. C. KREBS.
&lt;/gallery&gt;
==== Moteurs d'avions ====
'''Catégorie''' : [[commons:Category:'''''Propulsion des aéronefs|Propulsion des aéronefs''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Propulsion des aéronefs|Propulsion des aéronefs]]
&lt;br&gt;'''1902''' - '''Wilbur Wright''' to '''Octave Chanute''' : &quot;''I also enclose a letter from France which I take to be from '''Capt. Krebs''', though my acquaintance with foreign customs of signing names leaves me in some doubt as to who it is from. Can you enlighten me?''&quot; &lt;ref&gt; [https://www.loc.gov/item/wright002807/ '''1902'''-04-12 - W. Wright to O. Chanute letter]&lt;/ref&gt;
'''O. Chanute''' to '''W. Wright''' : &quot;''I return the French letter, which is from '''Commandant Krebs''', formerly associated with  [[w:Charles_Renard|Colonel  Renard]].''&quot; &lt;ref&gt;[https://archive.org/details/correspondenceo00chan '''1902'''-05-05 - O Chanute to W. Wright letter]&lt;/ref&gt;
&lt;gallery&gt;
File:1909-08-13 - Biplan Obre à moteur Panhard &amp; Levassor 60cv.png|'''1909''' - Obre biplane with '''Panhard &amp; Levassor 60hp engine''' designed by A. C. KREBS.

File:1909 - Moteur Panhard &amp; Levassor 100cv pour l'avion Voisin-Bolotoff.png|'''1909''' - Panhard &amp; Levassor 100hp engine designed by A. C. KREBS for the '''Voisin-Bolotoff aircraft'''.

File:1909 - Moteur Panhard &amp; Levassor 120cv sur le Biplan-Henry FARMAN.png|'''1909''' - Panhard &amp; Levassor 120hp engine designed by A. C. KREBS on the '''Henry FARMAN biplane'''.

File:1909-09-25 - 1ère Exposition de Locomotion Aérienne - le stand Panhard &amp; Levassor.png|'''1909''' - '''1st Air Locomotion Exhibition''' : the '''concentric valve engine''' designed by A. C. KREBS on the Panhard &amp; Levassor stand.

File:1910-11-01 - La Revue de l'Aviation à Paris.jpg|'''1910-11-01''' - The '''Revue de l'Aviation in Paris''' - Exhibition of aircraft manufacturers.

File:Moteur Panhard, 120 HP, déstiné au dirigeable anglais - btv1b9018675v.jpg|'''1910''' - L'un des 2 moteurs Panhard &amp; Levassor de '''120HP''' pour le dirigeable '''Morning-Post'''.

File:1912 - Moteur d'aviation Panhard &amp; Levassor V8 100HP.jpg|'''1912''' - Panhard &amp; Levassor '''V8 100HP aviation engine''' designed by A. C. KREBS.

File:1917 - Panhard &amp; Levassor - Moteur V12J du Glisseur Tellier.jpg|'''1915''' - Panhard &amp; Levassor [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k98100943/f220.image.r=panhard '''V12J aviation engine'''] of the '''Glisseur Tellier''' designed by A. C. KREBS.
&lt;/gallery&gt;
==== Hélicoptères avec [https://www.leonore.archives-nationales.culture.gouv.fr/ui/notice/300955 Gustave PLAISANT] ====
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Helicopters|'''''Helicopters''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Hélicoptère|Hélicoptère]]
&lt;br&gt;'''1912''' - Gustave PLAISANT: &quot;''During fixed-point tensile tests that I recently carried out on a cycloidal thruster '''at the Laboratoire des Etablissements Panhard et Levassor''' with the gracious authorization of '''Commander Krebs''', I was led to study different combinations of propellers [...]''&quot; &lt;ref&gt; '''1912-01-01''' - L'Aérophile: [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6552332d/f276.image.r=krebs ''Vers l'hélicoptère''].&lt;/ref&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences, tome 155, 1912.djvu|page 1608|'''1912''' - Académie des Sciences - '''Aeronautics''' : &quot;''On a cycloidal air attack mode by M. '''Gustave PLAISANT'''.''&quot;

File:1913-01-01 L'Aérophile=essais d'hélicoptères à l'usine P&amp;L avec Gustave PLAISANT.jpg|'''1912''' -  L'Aérophile: '''helicopter tests in the laboratory of the Panhard &amp; Levassor factory''' by Gustave PLAISANT with the help of Arthur Constantin KREBS
&lt;/gallery&gt;
=== '''Le procès [https://en.wikipedia.org/wiki/George_B._Selden SELDEN]''' avec [[w:Henry_Ford|'''Henry FORD''']] ===
'''Catégories''' : [[commons:Category:US549160|'''''US549160''''']], [[commons:Category:Association of licenced Automobile Manufacturers|'''''Association of licenced Automobile Manufacturers''''']], [[commons:Category:Henry Ford|'''''Henry Ford''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:George_Brayton#Du_procès_Brayton_au_brevet_de_Selden|Du_procès_Brayton_au_brevet_de_Selden]]
&lt;br&gt;En '''1906''' A. C. Krebs s'est rendu aux États-Unis pour témoigner dans l'affaire Selden, dans laquelle Panhard &amp; Levassor était associé à Henry Ford en tant que partie adverse. Il a probablement rencontré Henry Ford lors de la présentation des preuves pour le brevet Selden ([https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002617903/publication/US549160A?q=US549160 '''US'''549160]) les 29-30 octobre 1906 dans un garage de New York. &lt;ref&gt;'''1906''' [https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=File:1906_Arthur_Constantin_KREBS_testimony_during_the_Selden_case.pdf&amp;page 192 témoignage de A. C. Krebs au procès Selden]: &quot;''XQ426. Vous n'aviez jamais vu les moteurs Selden, ni le moteur à trois cylindres ni le moteur à un cylindre que vous avez inspecté au garage de New York les 29 et 30 octobre, en fonctionnement, n'est-ce pas ?''&quot; &lt;/ref&gt;

Il convient de noter les nombreuses similitudes de principe entre la '''voiture Clément-Panhard''' de '''1898''' et la [[W:Ford_T|'''Ford model T''']] of '''1908''' (voir supra).
&lt;gallery&gt;
File:1877 Brevet-Rosenwald FR116871'=système de locomotion par le gaz'.pdf|'''1877''' - '''Brevet Rosenwald''' ('''FR'''116871) : &quot;'''''Système de locomotion par le gaz'''''&quot; est cité dans l'affaire Selden.

File:1882-1884 - Delamare Deboutteville Malandin car.pdf|'''1882-1884''' - [[w:Édouard_Delamare-Deboutteville|Édouard Delamare-Deboutteville &amp; Malandin]]: '''La première voiture à 4 roues avec un moteur à 4 temps brevetée''' :  [[c:Category:Delamare-Debouttevile-et-Malandrin_vehicles|Brevet '''FR'''160267 du 12-02-1884]] – ( [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9803886z/f152.image.r=deboutteville '''8cv - 10km/h avec allumage électrique et volant''']).

File:1906 Arthur Constantin KREBS testimony during the Selden case (annotated transcript).pdf|'''1906''' - '''Témoignage de A. C.  KREBS à New-York''' lors de l'affaire Selden ('''transcription annotée''').

File:Portrait of Henry Ford.jpg|'''1913''' - '''Henry Ford''' (1863-1947).
&lt;/gallery&gt;
=== L'Organisation scientifique du travail avec [[W:Charles_de_La_Poix_de_Fréminville|Ch. de Fréminville]] ===
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Scientific management|'''''Scientific management]]
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Scientific management|'''''Scientific management]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Organisation scientifique du travail|Organisation scientifique du travail]]
&lt;br&gt;'''1904''' - '''Ways to combat or prevent dust''' : [https://archive.org/details/mmoiresetcompte04unkngoog/page/716/mode/2up?q=%22commandant+krebs%22 '''Commandant Krebs''' requests the tarring of the street of the establishments on Avenue d'Ivry.].
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Date !! Review !! Article
|-
| '''1911'''
|| Revue de métallurgie
|| [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1911/10/metal19110810p786/metal19110810p786.html Le jeune ingénieur] 
|-
| '''1914'''
|| Société d'économie sociale (in ''La Réforme Sociale'')
|| [https://archive.org/details/etudessociales6719unse/page/316/mode/2up?q=fr%C3%A9minville+panhard Le  Système  Taylor  et  l'orqanisation  scientifique  du  travail  dans  les  ateliers] 
|-

|-

| '''1915'''

|| Revue de métallurgie

|| [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1915/09/metal19151209p729/metal19151209p729.html James Hartness: Le facteur humain dans l’organisation du travail (Translation and introduction by charles de Fréminville)] 
|-
|-
| '''1917'''
|| Revue de métallurgie
|| [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1917/07/metal19171407p586/metal19171407p586.html L’utilisation des mutilés pour l’organisation du travail] 
|-
|-
| '''1926'''
|| Revue de métallurgie
|| [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1926/04/metal19262304p199/metal19262304p199.html 1-Évolution de l’organisation scientifique du travail à propos du Congrès International de Bruxelles (Octobre 1925)] 
|-
|-
|
|| Revue de métallurgie
|| [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1926/05/metal19262305p269/metal19262305p269.html 2-Évolution de l’organisation scientifique du travail à propos du Congrès International de Bruxelles (Octobre 1925)]  
|-
|}

=== Les innovations avec le  [[w:Arsène d'Arsonval|'''Pr Arsène d'ARSONVAL''']] ===
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Arsène d'Arsonval|Arsène d'Arsonval]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Arsène d'Arsonval|Arsène d'Arsonval]]
&lt;br&gt;A. C. KREBS et [[W:Ars%C3%A8ne_d%27Arsonval|Pr Arsène d'ARSONVAL]], médecin, physicien et académicien, sont amis de longue date.
&lt;gallery&gt;
File:1889~Album Course 01 'première voiture de course'.jpg | '''1891''' - '''D'Arsonval''' : &quot;''Nous décidâmes, un beau jour de 1891, Levassor et moi, avec le chef d'atelier [[W:%C3%89mile_Mayade|MAYADE]], de disposer ce moteur '''sur un chariot mobile'''&quot;''[...] &lt;ref&gt;'''1937''' - [https://archive.org/details/d-arsonval-soixante-cinq-ans-a-travers-la-science/page/232/mode/2up?q=panhard &quot;D'Arsonval - 65 ans à travers la science&quot;], Louis Chauvois, Paris.: &quot;''Dans les ateliers ''[[W:Panhard|Panhard &amp; Levassor]]'' un moteur à essence '''[[W:Gottlieb_Daimler|Daimler]]''' de 2CV  établi sur un bâti fixe, faisait fonctionner la scie débitant les pièces de bois. Qu'à cela ne tienne ! &quot;Nous décidâmes, un beau jour de 1891'' [plutôt 1890]'', nous dit M. d'Arsonval, Levassor et moi, avec le chef d'atelier [[W:%C3%89mile_Mayade|MAYADE]], de disposer ce moteur '''sur un chariot mobile''' et nous construisîmes ainsi l'un des premiers engins à rouler sur le sol&quot;.&lt;/ref&gt;

File:Collège de France. M. le professeur d'Arsonval, membre de l'Institut.jpg| '''1902''' - ''A. D'Arsonval (1851-1940) prète son laboratoire au Collège de France à A. C. KREBS pour lui permettre de développer sa théorie sur le carburateur automatique pour automobiles''.

File:Panhard &amp; Levassor Break 1898 (CNAM-IMG 0624).jpg |[[W:Ars%C3%A8ne_d%27Arsonval|Arsène d'ARSONVAL]] commande cette voiture à son ami A. C. KREBS, directeur des usines '''Panhard &amp; Levassor''' le [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AGetty_Research_Institute_(IA_laretrospectived00expo).pdf&amp;page=56 '''07-09-1897'''], en demandant qu'une dynamo soit ajoutée pour permettre de générer de l'électricité pour ses expériences. &lt;ref&gt;'''1898''' Panhard-M2F d'Arsène d'ARSONVAL presentée au [https://collections.arts-et-metiers.net/?queryId=28f7ab4d-a8b2-45e9-82f1-785523e4f7c6 musée du Cnam (Paris)].&lt;/ref&gt;

File:1905 LA-NATURE=Voiture-radiologique-Gaiffe-d'Arsonval-Panhard.jpg |'''1904''' - A. C. KREBS construit la '''voiture radiologique''' GAIFFE et d'ARSONVAL qui produit le courant alternatif et le courant continu pour 
les appareils médicaux. &lt;ref&gt;'''1905''' - [http://cnum.cnam.fr/CGI/sresrech.cgi?4KY28.64/104 La voiture radiologique Gaiffe-Panhard], ''[[W:La_Nature|LA NATURE]]'', p100, Paris]. &lt;/ref&gt;

File:1909 Institut général psychologique - Section des recherches psychiques et physiologiques = Documents sur Eusapia Palladino avec d'Arsonval Krebs (1905) Curie.pdf|page 11|'''1905''' - A. C. Krebs participe à des '''séances de spiritisme scientifique''' organisées par [[W:Ars%C3%A8ne_d%27Arsonval|A. d'Arsonval]], aux côtés de personnalités scientifiques comme [[W:Marie_Curie|Mme Curie]]. &lt;ref&gt;'''1909''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k57730276/f82.image.r=krebs Institut général psychologique]: Section des recherches psychiques et physiologiques : documents sur [[w:Eusapia Palladino|Eusapia Palladino]] : &quot;''[https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1909_Institut_g%C3%A9n%C3%A9ral_psychologique_-_Section_des_recherches_psychiques_et_physiologiques_%3D_Documents_sur_Eusapia_Palladino_avec_d%27Arsonval_Krebs_(1905)_Curie.pdf&amp;page=83 J'ai senti une pression faite sur mon bras gauche, comme avec une boule de coton]''&quot;.&lt;/ref&gt;
&lt;/gallery&gt;
'''1891''' : Pr s'Arsonval aide Levassor pour son brevet [https://bases-brevets19e.inpi.fr/brevets?detail=719065&amp;positionResult=20&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bmode%5D=simple&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bop%5D=AND&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bop%5D=AND&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bq%5D%5B0%5D=&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bextras%5D%5Bmode%5D=input&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_698c4792c3dc7%5D%5Bop%5D=AND&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_698c4792c3dc7%5D%5Bq%5D%5B0%5D=levassor&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_698c4792c3dc7%5D%5Bextras%5D%5Bmode%5D=input&amp;arko_default_63f395e1547dd--from=0&amp;arko_default_63f395e1547dd--resultSize=50&amp;arko_default_63f395e1547dd--contenuIds%5B0%5D=838591&amp;arko_default_63f395e1547dd--modeRestit=arko_default_63f397c19a653#visionneuse-manual|/_recherche-api/visionneuse-infos/arko_default_63f395e1547dd/arko_fiche_64afdc541dd82/arko_default_63f47e41d68c8/image/700691|0|2 '''FR'''215695] du 21-08-'''1891''' : &quot;'''Perfectionnements aux moteurs à gaz'''&quot;.

'''1894''' - [https://archive.org/details/sancesdelasocit19physgoog/page/n104/mode/2up?q=arsonval '''Société Française de Physique''']: Pr d'Arsonval demonstrates that the Panhard &amp; Levassor petroleum engine is &quot;''the real engine applicable to road traction''&quot;. &lt;ref&gt;[https://archive.org/details/sancesdelasocit19physgoog/page/n104/mode/2up?q=panhard '''1894-03-02''' - '''Société française de physique''']: &quot;''M. d'Arsonval operates in front of the Company a petroleum engine built by the Panhard and Levassor Cy on the data of M. [[W:Gottlieb_Daimler|Daimler]].''&quot;&lt;/ref&gt;

'''1901-1905''' - A. d'ARSONVAL ayant prouvé que le [[w:benzol|benzol]] ne présentait pas de risque d'explosion dans un environnement confiné, la Marine commande des '''moteurs au benzol''' à A. C. KREBS pour ses sous-marins de la [[w:Classe Naïade|classe Naïade]] (voir infra).

'''1902''' - A. d'ARSONVAL prète son laboratoire au '''Collège de France''' à A. C. KREBS pour effectuer ses expériences sur son '''carburateur automatique'''.

'''1905''' - A. d'Arsonval présente à l'Académie des sciences la note d'A. C. KREBS sur son '''frein dynamométrique électrique''' (voir ci-dessus) permettant de mesurer précisément la puissance des moteurs à pétrole. &lt;ref&gt;'''1905-11-13'''  - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3095m/f757.item.r=krebs Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences]: ''MÉCANIQUE APPLIQUÉE. Sur un frein dynamométrique destiné à la mesure de la puissance des moteurs, qui permet l'utilisation, sous forme électrique, de la majeure partie du travail développé. Note de M. A. Krebs, presentée par M. d'Arsonval''. &lt;/ref&gt;

'''1905''' - A. C. KREBS a participé à des séances de spiritualisme scientifique organisées par l'académicien A. d'ARSONVAL dans le cadre de l' '''Institut Général de psychologie'''. &lt;ref&gt;'''1909''' - Séances de spiritualisme organisées par l'académicien Arsène d'Arsonval dans le cadre de l' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1909_Institut_g%C3%A9n%C3%A9ral_psychologique_-_Section_des_recherches_psychiques_et_physiologiques_%3D_Documents_sur_Eusapia_Palladino_avec_d%27Arsonval_Krebs_(1905)_Curie.pdf &quot;'''Institut général psychologique - Section des recherches psychiques et physiologiques'''&quot;].&lt;/ref&gt;

=== Le '''Rhéomètre''' de A. C. KREBS ===
'''Voir aussi''' : [[w:Rhéomètre|Rhéomètre]], [[w:Viscosimètre|Viscosimètre]], [[w:Rhéologie|Rhéologie]], [[w:Fluide (matière)|Fluide (matière)]]
&lt;gallery&gt;
File:1907-04-20 Génie-Civil - le rhéomètre de A. C. KREBS.jpg|''''1907''' - '''Le Génie Civil''' : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6488843c/f12.image.r=krebs &quot;''Appareil pour la mesure de l'écoulement des liquides''&quot;] (rhéomètre).
File:1909-01-15 La Technique Automobile - le voluliquimètre (rhéomètre) de Krebs.jpg|'''1909''' - '''La technique Automobile''' : &quot;''[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9804447s/f77.image.r=krebs Le voluliquimètre de Krebs]''&quot; (rhéomètre).
&lt;/gallery&gt;
'''1907''' - '''Communication à l'académie des Sciences''' de A. C. KREBS (cf. infra) : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_144%2C_1907.djvu&amp;page=747 &quot;''Appareil pour la mesure de l'écoulement des liquides''&quot;].

'''1909''' - '''La Technique automobile''' : &quot;''[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9804447s/f77.image.r=krebs Le voluliquimètre de Krebs]''&quot;.
=== A. C. KREBS et [[w:Ettore Bugatti|'''Ettore BUGATTI''']] ===
'''Catégories''' : [[commons:Category:Ettore Bugatti|'''''Ettore Bugatti''''']], [[commons:Category:Bugatti|'''''Bugatti''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Ettore Bugatti|Ettore Bugatti]]
&lt;br&gt;'''1913-01-24''' : '''Panhard &amp; Levassor board''' - &quot;Mr. Director [A. C. KREBS] reports '''on the visit he made to Mr. Bugatti in his factory''' in Molsheim [Alsace] where he was able to test the cars built by Mr. Bugatti and engines on dynamometric break. Mr. Director noticed different '''very interesting construction processes'''; However, he thinks that Mr. Bugatti, to achieve this result, '''makes the material work at its greatest limit of resistance''', which is contrary to the ways of proceeding in our company which always tend to keep a fairly large margin in the resistance of the metal&quot;.

=== Les '''véhicules militaires''' ===
Krebs utilized his former military membership to supply the French Army with engines and vehicles including the '''1904''' Genty [[w:Automitrailleuse|Automitrailleuse]], the '''1911''' Châtillon-Panhard 4x4 truck, the [[w:Saint-Chamond (char)|'''1916''' char Saint-Chamond]], and others.

==== Les automobiles à Madagascar pour le '''Général Galliéni''' ====
'''Catégories''' : [[commons:Category:Joseph Gallieni|'''''Joseph Gallieni''''']], [[commons:Category:French Madagascar|'''''French Madagascar''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Joseph Gallieni|Joseph Gallieni]]
&lt;br&gt;'''1899''' - General Gallieni, governor of Madagascar, brought three Panhard &amp; Levassor cars from Paris, two 12hp cars and one 6hp car. &lt;ref&gt;'''1908''' - Neuf ans à Madagascar (General Galliéni) : &quot;''[https://archive.org/details/neufansmadagas00gall/page/170/mode/2up?q=panhard Le premier essai d'automobilisme en pays malgache]'' [...] ''Une voiturette six-chevaux et deux voitures douze-chevaux Panhard-Levassor, essayées sur les deux routes de Tamatave et de Majunga, donnèrent [https://archive.org/details/neufansmadagas00gall/page/n371/mode/2up?q=panhard des résultats aussi satisfaisants que je pouvais l'espérer]''&quot;. &lt;/ref&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Gallieni.jpg|'''1897''' - '''Gallieni''' (1849-1916) (seated) and his staff in Madagascar: Hubert '''Lyautey''' (left) and Jean-Noël '''Savelli''' (center).

File:1900 - Panhard &amp; Levassor - Construction d'une route avec une rampe à 15% à Madagascar.jpg|'''1900''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5687124k/f2.item '''Construction of a road'''] with a 15% ramp in Madagascar.

File:1900 - Panhard &amp; Levassor - Arrivée des officiels à Tananarive.jpg|'''1900''' - Arrival of General Galliéni in Tananarive with the '''6cv Panhard &amp; Levassor'''.

File:1901 - Panhard &amp; Levassor sur la route de l'est.jpg|'''1901''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k104768j/f80.image.r=panhard '''Panhard &amp; Levassor 12hp car'''] supplied by A. C. KREBS to General Galliéni on the eastern route.

File:1902 - Panhard &amp; Levassor - Personnel et matériel à Madagascar.jpg|'''1902''' - [https://archive.org/details/sim_industrial-management-1916_engineering-magazine_1905-03_28_6/page/910/mode/2up?q=panhard '''Panhard &amp; Levassor vehicles'''] supplied by A. C. KREBS to General Galliéni in Madagascar.

File:1902 - Panhard &amp; Levassor - Service de la Poste à Madagascar.jpg|'''1902''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5737277x/f119.image.r=panhard Postal service in Madagascar] with a '''Panhard &amp; Levassor break 15hp adapted to high temperatures'''.
&lt;/gallery&gt;
==== Les moteurs pour '''les dirigeables [[w:Lebaudy Frères|Lebaudy]]''' &amp; [[w:Société Astra|Astra]] ====
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Lebaudy airships|'''''Lebaudy airships''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Lebaudy Frères|Lebaudy Frères]]
A. C. KREBS built all the '''engines for Lebaudy military airships'''.
&lt;gallery&gt;

File:Lebaudy airship RAE-O426.jpg|'''1910''' - The Lebaudy airship [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k65639070/f565.image &quot;'''''Morning Post '''''&quot;], with '''2 Panhard &amp; Levassor engines''', in flight.

File:1968 Chitty-Chitty-Bang-Bang dirigible inspired by the French Lebaudy dirigible.pdf|'''1968''' - '''A. C. KREBS''' will provide all the '''Panhard &amp; Levassor engines''' for the '''Lebaudy-type french military airships'''.
&lt;/gallery&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;

|-

! Year       !! Airship !! Comments

|- 

| '''1905''' || '''Jaune III''' || '''Lebaudy''', 2950m3, '''50HP Panhard &amp; Levassor''', 33km/h

|- 

| '''1906''' || '''Jaune IV''' || '''Lebaudy''', 3300m3, '''50HP Panhard &amp; Levassor''', 36km/h

|- 

| '''1906''' || [[w:Patrie (dirigeable)|'''Patrie''']] || '''Lebaudy''', 61m, 10m30 diam., 3250m3, '''70HP Panhard &amp; Levassor''', 41km/h

|- 

| '''1908''' || [[w:République (dirigeable)|'''République''']] || '''Lebaudy''', 61m, 10m80 diam., 3700m3, '''70HP Panhard &amp; Levassor''', 42km/h

|- 

| '''1909''' || '''Russie''' || '''Lebaudy''', 61m, 10m80 diam., 3700m3, '''70HP Panhard &amp; Levassor'''

|- 

| '''1909''' || '''Liberté''' || '''Lebaudy''', 65m80, 11m45 diam., 4600m3, '''120HP Panhard &amp; Levassor''', 41km/h

|- 

| '''1909''' || '''Colonel Renard''' || '''Astra''', 65m50, 10m80 diam., 4200m3, '''120HP  Panhard &amp; Levassor''', 38km/h

|- 

| '''1909''' || '''España''' || '''Astra''', 65m50, 12m66 diam., 4200m3, '''120HP Panhard &amp; Levassor''', 40km/h

|- 

| '''1910''' || [[w:Lebaudy Morning Post|'''Morning Post''']] || '''Lebaudy''', 103m, 12m diam., 10000m3, '''2x135HP Panhard &amp; Levassor'''

|- 

| '''1910''' || '''Lebedi''' || '''Lebaudy''', 61m, 11m diam., 3700m3, '''2x70HP Panhard &amp; Levassor'''

|- 
| '''1911''' || '''Capitaine Marchal''' || '''Lebaudy''', 85m, 12m80 diam., 7200m3, '''2x70HP Panhard &amp; Levassor''', 45km/h

|- 

| '''1911''' || '''Lieutenant Selle de Beauchamp''' || '''Lebaudy''', 89m, 14m60 diam., 10000m3, '''2x80HP Panhard &amp; Levassor''', 45km/h

|- 

| '''1912''' || '''Adjudant Réau''' || '''Astra''', 80m, 14m diam., 88500m3, '''2x110HP Panhard &amp; Levassor''', 50km/h

|- 

| '''1912''' || '''Lieutenant Chauré''' || '''Astra''', 80m, 14m diam., 88500m3, '''2x110HP Panhard &amp; Levassor''', 50km/h

|-

|}

==== Les moteurs pour '''sous-marins''' au benzol ====
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Naiade class submarine (1903)|Naiade class submarine (1903)]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Classe Naïade|Classe Naïade]]
&lt;br&gt;A. C. KREBS built all the engines for the '''Naïade class submarines'''.
&lt;gallery&gt;
File:Sous-marin Thon.JPG|'''1908''' - Naïade-class submarine '''Thon'''.
&lt;/gallery&gt;
'''1901-1905''' - A. d'ARSONVAL having proved that [[w:benzol|benzol]] presented no risk of explosion in a confined environment, the French navy ordered '''benzol engines''' from A. C. KREBS for its [[w:Classe Naïade|Classe Naïade]] sous-marins.
{| class=&quot;wikitable nowraplinks&quot;
|+ '''''Naïade''-class submarines equiped with Panhard &amp; Levassor benzol engines'''
! Name !! Pennant number !! Namesake !! Builder !! Launched !! Comments
|-
| [[w:Alose (sous-marin)|Alose]] || Q33 || &quot;[[w:Shad]]&quot; || [[w:Arsenal de Toulon]] || 12 October 1904 || [[w:Navy List|Stricken]] May 1914; preserved as museum ship
|-
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/Anguille_(1904) Anguille] || Q32 || &quot;[[w:Eel]]&quot; || Arsenal de Toulon || 8 August 1904 || Stricken May 1914 
|-
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/Bonite_(1904) Bonite] || Q19 || &quot;[[w:Bonito]]&quot; || Arsenal de Toulon || 6 February 1904 || Stricken May 1914 
|-
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/Castor_(1903) Castor] || Q26 || &quot;[[w:Castor (genus)|Beaver]]&quot; || [[w:Arsenal de Rochefort]] || 5 November 1903 || Stricken May 1914   
|-
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/Dorade_(1903) Dorade] || Q22 || &quot;[[w:Dolphinfish|Dorado]]&quot; || Arsenal de Toulon || 5 November 1903 || Stricken May 1914 
|-
|  [https://pl.wikipedia.org/wiki/Esturgeon_(1904) Esturgeon] || Q18 || &quot;[[w:Sturgeon]]&quot; || Arsenal de Toulon || 8 January 1904 || Stricken 1912 
|-
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/Grondin_(1904) Grondin] || Q31 || &quot;[[w:Sea robin|Gurnard]]&quot; || Arsenal de Toulon || 15 July 1904 || Stricken 1913  
|-
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/Loutre_(1903) Loutre] || Q25 || &quot;[[w:Otter]]&quot; || Arsenal de Rochefort || 25 August 1903 || Stricken May 1914  
|-
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/Ludion_(1904) Ludion] || Q24 || &quot;[[w:Cartesian diver|Diver]]&quot; || Arsenal de Toulon || 18 March 1904 || Stricken May 1914   
|-
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/Lynx_(1903) Lynx] || Q23 || &quot;[[w:Lynx]]&quot; || [[w:Arsenal de Cherbourg]] || 24 November 1903 || Stricken May 1914  
|-
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9duse_(1904) Méduse] || Q29 || &quot;[[w:Medusa (biology)|Jellyfish]]&quot; || Arsenal de Rochefort || 15 June 1904 || Stricken May 1914  
|-
| [[w:Naïade (1904)|Naïade]] || Q15 || &quot;[[w:Naiad]]&quot; || Arsenal de Cherbourg || 20 February 1904 || Stricken May 1914 
|-
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/Otarie_(1904) Otarie] || Q28 || &quot;[[w:Sea lion|Sealion]]&quot; || Arsenal de Rochefort || 16 April 1904 || Stricken May 1914  
|-
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/Oursin_(1904) Oursin] || Q30 || &quot;[[w:Sea urchin|Urchin]]&quot; || Arsenal de Rochefort || 26 September 1904 || Stricken May 1914   
|-
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/Perle_(1903) Perle]|| Q17 || &quot;[[w:Pearl]]&quot; || Arsenal de Toulon || 1 November 1903 || Stricken May 1914 
|-
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/Phoque_(1904) Phoque] || Q27 || &quot;[[w:Pinniped|Seal]]&quot; || Arsenal de Rochefort || 16 March 1904 || Stricken May 1914 
|-
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/Prot%C3%A9e_(1903) Protée] || Q16 || &quot;[[w:Proteus]]&quot; || Arsenal de Cherbourg || 8 October 1903 || Stricken May 1914   
|-
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/Souffleur_(1903) Souffleur] || Q21 || &quot;[[Common bottlenose dolphin|Dolphin]]&quot; (lit. &quot;Blower&quot;) || Arsenal de Toulon || 20 April 1903 || Stricken May 1914   
|-
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/Thon_(1904) Thon] || Q20 || &quot;[[w:Tuna]]&quot; || Arsenal de Toulon || 18 March 1904 || Stricken May 1914 
|-
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/Truite_(1905) Truite] || Q34 || &quot;[[w:Trout]]&quot; || Arsenal de Toulon || 14 April 1905 || Stricken May 1914 
|-
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/X_(1904) X (Dauphin)]|| Q35 || &quot;[[w:Dolphin]]&quot; || Arsenal de Toulon || 15 November 1904 || '''First french submarine equipped with two propellers'''. Stricken May 1914 
|-
|}

==== L'automitrailleuse '''Genty''' pour le '''Général Lyautey''' au Maroc ====
'''Catégories''' : [[commons:Category:Panhard-Genty 24 HP|Panhard-Genty 24 HP]], [[commons:Category:Henri Genty|Henri Genty]], [[commons:Category:Automitrailleuse|Automitrailleuse]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Automitrailleuse|Automitrailleuse]]
&lt;br&gt;A. C. KREBS construit les automitrailleuses Genty.
&lt;gallery&gt;
File:De la Touloubre (au volant d'une Bayard-Clément) - btv1b53225700r.jpg|'''1906''' - '''Henri Genty De la Touloubre''' racing driver on Bayard-Clément.

File:Иллюстрация к статье «Автомобиль». Фиг. № 8. Военная энциклопедия Сытина. Том 1 (СПб., 1911—1915).jpg|'''1906''' - [[W:Panhard-Genty_24_HP|The Panhard 24 HP Automitrailleuse]] '''built by A. C. KREBS''' at the Panhard &amp; Levassor factory '''as a former officer'''.

File:1907-12-21 - La Vie Au Grand Air - auto-mitrailleuse Panhard &amp; Levassor du Cap. Genty.jpg| '''1907''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k97968382/f9.image.r=genty La Vie Au Grand Air] - '''Panhard &amp; Levassor Automitrailleuse of Cap. Genty''' in operation '''in Morocco'''.

File:1907 - Général Lyautey - Commandant général d'Algérie.png|'''1907''' - '''[[w:Hubert Lyautey|General Lyautey]]''' (1854-1934) : General Commander of [[w:Algérie française|Algerie]].

File:Photos-General-Dalbiez-Boite-4-008.jpg|'''1912-07''' - Appointed Resident General of Morocco  '''General Lyautey''' visited Fez and Meknes with the '''Genty automobile'''.

File:Lyautey reaches Marrakesh in armored car (1912, Le Petit Journal).jpg|'''1912-10''' - &quot;'''General Lyautey''' went to Marrakech in '''an auto-machine gun'''&quot;.
&lt;/gallery&gt;
'''1913''' - [https://armoredcars-ww-one.blogspot.com/2012/04/panhard-genty-machine-gun-car.html L'automitrailleuse Panhard-Genty]: &quot;''Modification de '''1912''' sur le modèle Panhard 24 HP '''1907'''.''&quot;

Une [[W:Panhard-Genty_24_HP|Panhard 24 HP]] fut acquise par le ministère de la Guerre en '''1904''' afin d'expérimenter les capacités militaires des automobiles, notamment pour la reconnaissance. Suite aux manœuvres militaires de septembre '''1905''', Le [[c:Category:Henri_Genty|Capitaine Genty]] fut autorisé à installer des affûts de mitrailleuses sur la Panhard 24 HP, dont il était le pilote. Après transformation en '''1906''', la Panhard 24 HP fut envoyée en décembre '''1907''' au Maroc et mise en service à la frontière algéro-marocaine. Le général Maurice Bailloud, du 19e corps d'armée algérien, réclama de nouveaux véhicules. Des voitures [[w:Adolphe_Clément-Bayard|Clément-Bayard]] furent expédiées en '''1908''' et '''1910''', mais se révélèrent inadaptées. '''Trois Panhard 24 HP''' furent alors livrées à nouveau en '''1912'''.

En '''1903''', Le [[c:Category:Henri_Genty|Capitaine Genty]] proposa, conjointement avec A. C. KREBS, de modifier un châssis Panhard &amp; Levassor pour en faire '''une automitrailleuse opérationnelle'''.

Il surélève la garde au sol du châssis de 32 cm grâce à des ressorts de 0,90 m à l'avant et de 1,30 m à l'arrière. L'essence est répartie dans deux réservoirs cylindriques indépendants de 45 litres formant les sièges, offrant une autonomie de 400 km sur route en bon état et de 250 km sur route en mauvais état.

Le moteur de 35 ch permet au véhicule d'atteindre 65 km/h en vitesse de pointe. Il est équipé d'un carburateur automatique Krebs, d'un double allumage (batterie et magnéto), d'une lubrification automatique, d'un refroidissement par pompe et radiateur avec réservoir isolé, d'un échappement libre &quot;à la demande&quot;, d'un embrayage à cône de cuir, d'une boîte de vitesses à baladeur et d'une transmission par chaîne.

La direction est irréversible, avec un angle de braquage de 25°. Le freinage est assuré par des freins à mâchoires sur le différentiel et des freins à ruban sur les roues arrière. Les roues sont équipées de jantes démontables, système Michelin, permettant un changement de pneu en 4 minutes maximum. Le risque de crevaison est réduit grâce au choix de pneus 920 x 120 à semelle renforcée, résistants aux pierres et aux épines. Deux roues de secours sont fixées à droite du véhicule.

L'armement du véhicule comprenait '''2 mitrailleuses Hotchkiss''' : une sur son affût et une de rechange sur ses supports, à droite du véhicule. La mitrailleuse utilisée pouvait être placée sur l'un des deux supports situés à l'arrière et au centre du véhicule. Les munitions étaient réparties dans neuf caisses d'une capacité totale de '''20.000 cartouches''', dont 3.600 dans les coffres du véhicule.
==== Le tracteur d'artillerie '''Châtillon-Panhard''' ====
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Tracteur Panhard-Châtillon|'''''Tracteur Châtillon-Panhard''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Châtillon-Panhard|Châtillon-Panhard]]
&lt;br&gt;En '''1911''' - A. C. KREBS conçoit, conjointement avec la Sté Chatillon, un '''véhicule tout terrain''' à quatre roues motrices et directrices [&quot;'''''à adhérence totale'''''&quot;, '''avec un seul différentiel'''. Ce camion destiné à des fins militaires et civiles, a été utilisé pendant la Première Guerre mondiale comme '''tracteur d'artillerie'''.

&lt;gallery&gt;
File:Artillery Tractor Chatillon-Panhard 1914.jpg|Le  [[w:Châtillon-Panhard|'''tracteur d'artillerie Châtillon-Panhard''' à quatre roues motrices et directrices]].

File:1913 Tracteur-Chatillon-Panhard=plans.jpg|'''1911''' - Le [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6470719m/f282.image '''tracteur  4X4 Châtillon-Panhard''' à &quot;adhérence totale&quot;]. &lt;ref&gt;'''1914''' - '''The Field Artillery Journal''' : [https://archive.org/details/sim_field-artillery_october-december-1914_4_4/page/526/mode/2up?q=%22chatillon-panhard%22 &quot;The Châtillon-Panhard traction-motor of total adhesion&quot;], par le Commandant L. Ferrus.&lt;/ref&gt;

File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 109|'''1913''' - La &quot;'''''transmission à vis'''''&quot; du Châtillon-Panhard.

File:1914-1918 Tracteur-Chatillon-Panhard - Artillerie lourde, un groupe de 120 long.ogg|'''Video''' : '''1916''' - Tracteur Châtillon-Panhard : [https://imagesdefense.gouv.fr/fr/artillerie-lourde-un-groupe-de-120-long-a-tracteur.html# &quot;'''''Artillerie lourde, un groupe de 120 long'''''&quot;].

File:WWI French army Panhard truck.jpg|'''1916''' - '''Tracteur d'artillerie Châtillon-Panhard''' : 35HP K11.

File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 16|'''1917''' - Tracteur Châtillon-Panhard : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6470719m/f313.image.r=panhard# &quot;'''''Transmission par vis sans fin et engrenages coniques'''''&quot;].
&lt;/gallery&gt;

==== Le char '''Saint-Chamond''' ====
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Saint_Chamond_tank|'''''Char Saint-Chamond''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Saint-Chamond (char)|Saint-Chamond (char)]]
&lt;br&gt;A. C. KREBS construit les moteurs sans soupapes des chars Saint-Chamond.
&lt;gallery&gt;
File:1916 Artillerie St-Chamond Règlement de manœuvre - gravure.jpg|'''1916''' - Le '''Char Saint-Chamond''' à [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k65523451/f13.item.r=Artillerie%20St-Chamond  '''moteur Panhard &amp; Levassor sans-soupape'''].

File:1914-1918 - P&amp;L- Char-Saint-Chamond.pdf|'''1916-1918''' - Le [[w:Saint-Chamond (char)|'''Char Saint-Chamond''']] à [https://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:1914-1918_-_P%26L-_Char-Saint-Chamond.pdf moteur '''Panhard &amp; Levassor'''].

File:St. Chamond.jpg|'''1917''' ~ '''chars St. Chamond''' à l'exercice.
&lt;/gallery&gt;

==== Les '''treuils de ballons captifs''' à moteurs à essence ====
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Tethered balloons|'''''Ballons captifs''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Ballon captif|Ballon captif]]
&lt;br&gt;'''1916''' - A. C. Krebs transpose son treuil à vapeur hippomobile de '''1882''' sur ses camions Panhard &amp; Levassor, en ajoutant un bloc-moteur et un poste de manœuvre du ballon afin de permettre au dispositif de rester opérationnel au cours du déplacement. &lt;ref name=treuil-Krebs/&gt;
&lt;ref name=treuil-Krebs&gt;. '''1921''' -  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6555734j/f22.item.r=panhard# '''Treuils de ballons captifs'''] : toutes les variantes de treuils basées sur le système Krebs de touage à 2 tambours parallèles. [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6555735z/f45.image.r=treuil (Suite)].&lt;/ref&gt;

'''1921''' - &quot;''Avant la guerre il était couramment admis que, seule la machine à vapeur possédait l'élasticité de puissance nécessaire pour manœuvrer un ballon captif''.&quot; &lt;ref name=treuil-Krebs/&gt;
&lt;gallery&gt;
File:1916 - Poste d'aérostation=Treuil A. C.KREBS à vapeur modèle 1882.jpg|'''1916''' - Poste d'aérostation : [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1914-1918_-_A.C.KREBS_-_Treuil_%C3%A0_vapeur.pdf '''Le '''treuil à vapeur système KREBS 1882 en opération'''] en France (voir supra).

File:Aérostation - la voiture-treuil permettant de monter et descendre le ballon captif, avec le générateur d'hydrogène pour le gonfler - Marasesti - Médiathèque de l'architecture et du patrimoine - AP62T122957.jpg|'''1917''' - Le '''treuil à vapeur système KREBS 1882''' (voir supra) '''en opération en Roumanie'''.

File:1916-07-24 Près de La Neuville-au-Pont=un camion treuil Panhard K19 SS camouflé de l'aérostation sort de son abri=treuil Krebs.jpg|'''1916''' - Près de La Neuville-au-Pont, un '''camion treuil''' d'aérostation ('''treuil système KREBS''') '''PANHARD K19 SS''' camouflé, sort de son abri.

File:1916 Treuil d'aérostation KREBS modèle 1882 sur camion T4 RKV de P&amp;L.jpg|'''1916''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1914-1918_-_A.C.KREBS_-_Treuil_Panhard_%26_Levassor.pdf '''Treuil d'aérostation''' KREBS modèle 1882 à essence adapté  par lui-même] sur son camion T4 RKV '''Panhard &amp; Levassor'''.

File:1916 Treuil d'aérostation KREBS modèle 1882 sur camion T4 RKV de P&amp;L en opération.png|'''1916''' - '''Treuil d'aérostation''' KREBS modèle 1882 à essence '''sur son camion T4 RKV Panhard &amp; Levassor''' en operation.
&lt;/gallery&gt;
==== La '''locomotive automotrice''' Leroux ====   
'''Voir aussi''' : [[w:Crochat|Crochat]]
&lt;br&gt;A. C. KREBS poursuit l'orientation initiée par Levassor vers '''le petit matériel ferroviaire''' dès '''1896'''.
&lt;br&gt;'''1898''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5711501d/f6.item '''Notes sur les voitures automobile'''] : Le &quot;''camion à marchandises''&quot;, et l' &quot;''automobile postale du Nord''&quot; avec son schéma.
&lt;br&gt;'''1913''' - A. C. KREBS construit la [https://www.musee-du-genie-angers.fr/fpdb/202922-42-locotracteurblindecrochattypelc81916.pdf '''locomotive automotrice pétroléo-électrique'''] Leroux destinée au ministère de la guerre : moteur de 150 cv et transmission électrique. &lt;ref&gt;'''1913''' - '''Comité de direction P&amp;L''' - '''1913-13-01''' - &lt;small&gt;&quot;''Monsieur Krebs donne connaissance d’un projet de contrat entre la Sté P&amp;L et M. Leroux de Valenciennes pour la construction de locomotives automotrices. Les clauses de ce projet de contrat sont analogues à celles du projet de contrat relatif aux accumulateurs Edison''&quot;. '''1913-12-22''' - &quot;''La locomotive pour la Guerre étudiée avec le concours de M. Leroux (agent Fives) est commandée. Cette locomotive doit être livrée le 22 juin. On prendra, pour arriver à faire la livraison en temps voulu, l’un des moteurs [de canot de course] de 150 chevaux en construction pour M. Despujols. Malicet et Blin pourrait se charger de la taille des engrenages de la boîte''&quot;. 
'''1914-05-12''' - '''État de Production''' : &quot;''Locomotive BT4N²-BT4 -  Commande des ventilateurs de radiateurs avec débrayage automatique. Boîte BT4 - Dessins d’exécution terminés. BT4N² - Hausse pour essai du moteur sur VIMA. BS3-4MF - Groupe électrogène dynamo [https://fr.wikipedia.org/wiki/Compagnie_fran%C3%A7aise_pour_l'exploitation_des_proc%C3%A9d%C3%A9s_Thomson-Houston Thomson Houston]''&quot;. '''1914-07-22''' - &quot;''M. Leroux nous demande de presser la construction des locomotives militaires. Il aurait voulu voir devancer la date de livraison en vue des manoeuvres d’Epinal.''&quot; [...] &quot;''On nous demande de faire des propositions pour une automotrice pour voie de 0,60 m pour le Maroc. Le prix de revient d’une pareille automotrice serait de 15.629 frs. Nous demanderons 20.000 frs. Nous n’avons pas un grand intérêt à nous lancer dans cette voie nouvelle''&quot;.&lt;/small&gt;
&lt;/ref&gt;
&lt;gallery&gt;
File:1899 - Panhard &amp; Levassor - catalogue avec bateau, draisine postale et tramway.pdf|page 42|'''1897''' - La '''draisine postale''' P&amp;L pour la [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5527474m/f5.item Compagnie du chemin de fer du Nord].

File:1899_-_Panhard_%26_Levassor_-_catalogue_avec_bateau,_draisine_postale_et_tramway.pdf|page 41|'''1899''' - '''Tramway à 24 places''' de Panhard &amp; Levassor.

File:1901-01-19 - Scientific-American-v84-n03 - la draisine à pétrole Panhard &amp; Levassor.png|'''1901''' - Une '''draisine postale à pétrole''' conçue par A. C. KREBS.

File:Crochat Type L.jpg|'''1913''' - Cette [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6244610g/f49# '''locomotive Crochat'''] est de la même année et de la même technologie que la '''locomotive Leroux''' à transmission électrique construite par A. C. KREBS.
&lt;/gallery&gt;
== '''Gestionnaire de grands projets technologiques (1876-1916)''' ==
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Panhard &amp; Levassor|'''''Panhard &amp; Levassor''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [https://de.wikipedia.org/wiki/Panhard_%26_Levassor Panhard &amp; Levassor] (Deutsch),  [https://de.wikipedia.org/wiki/Kategorie:Panhard%26Levassor-Pkw liste des types].
&lt;br&gt;'''1871''' - &quot;''Après la guerre, j'ai été détaché à l'école de Saint-Cyr, où je suis resté un an ''[18 mois]'' pour compléter mon éducation militaire. Depuis lors, je me suis continuellement occupé de questions mécaniques et '''je me suis consacré à des études me permettant de me former en tant qu'ingénieur, par mes propres efforts, en me tenant au courant des nouveaux développements dans les arts mécaniques'''.''&quot; &lt;ref&gt; '''1906''' - [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1906_Arthur_Constantin_KREBS_testimony_during_the_Selden_case_(annotated_transcript).pdf&amp;page=11 Témoignage de A. C. KREBS au procès Selden] : &quot;''After the war I was transferred to St. Cyr School, where I remained for one year in order to complete my military education.  Since then I have continually been occupied with mechanical matters, and I applied myself to studies to equip myself as engineer,  by my own efforts, keeping myself in close touch with new developments in the mechanical arts''.&quot;&lt;/ref&gt;

'''1877''' - '''A. C. KREBS (27 ans)''' à '''Ch. Renard (30 ans)''' : &quot;''Il faut que nous causions absolument au sujet du moteur. Il y a plusieurs difficultés pratiques déjà tentées par des prédécesseurs et auxquelles il ne faut pas perdre notre temps'' [...]&quot;. &lt;ref&gt;'''Fin 1877''' - '''A. C. KREBS''' à '''Ch. Renard''' : &lt;small&gt;&quot;''Mon cher capitaine, Venez demain à Poissy ''[où stationne le régiment de A. C. KREBS]'' dans la soirée dîner avec moi, parce qu'il faut que nous causions absolument au sujet du moteur. '''Il y a plusieurs difficultés pratiques déjà tentées par des prédécesseurs et auxquelles il ne faut pas perdre notre temps'''. C’est pourquoi, si vous pouviez venir demain, nous arrêterions définitivement la forme du moteur à exécuter immédiatement, puis les études seront poursuivies ensuite. J’ai complètement fini la chaudière. Je vous ferai voir les tentatives et les résultats des derniers essais, soit de distribution, soit de dispositifs de machines, et '''les avantages et inconvénients''' qui en résultent. Ceci est très important à savoir '''pour ne pas recommencer inutilement des choses déjà faites'''. C’est surtout comme distribution par robinet que l’on est exposé à des consommations de vapeur énormes ou à des usures prématurées. Pour moi, en ce moment, l’idéal comme machine est celle fonctionnant avec une vapeur légèrement surchauffée pour éviter à l’intérieur du cylindre toute espèce de condensation et obtenir ainsi une économie de combustible. Il ne faudrait pas dépasser, comme température, 200°. On aurait à craindre aucun grippement, et '''en équilibrant par des ressorts les masses en mouvement on pourrait atteindre de grandes vitesses de rotation, en faisant vibrer pour ainsi dire à l’unissons toutes les pièces en mouvement'''. Enfin, à demain. Tout à vous. Venez avec de la Haye.''&quot;&lt;/small&gt;&lt;/ref&gt;

'''1888-04-17''' - '''A. C. KREBS''' : &quot;''La réussite en pareille matière
dépend en grande partie des rapports qui existent entre toutes les dimensions et grandeurs des éléments qui sont réunis.''&quot;

'''1902-02''' - '''Automobile Magazine''' : &quot;''L'attitude du constructeur britannique a en effet été bien décrite comme celle d'un '''marché aux portes de Panhard''', une position également avantageuse pour le constructeur américain''.&quot; &lt;ref&gt;'''1902-02''' - '''Automobile Magazine''' : ''Indeed the attitude of the British maker has been well described as [https://archive.org/details/sim_automobile-magazine_1902-02_4_2/page/n3/mode/2up?q=panhard 'sitting on '''Panhard''''s doorstep'], a good place also for the American maker''&quot;.&lt;/ref&gt;

'''1902-04''' - '''Automobile Magazine''' : &quot;''L'automobile française est le fruit d'une longue expérimentation et d'une réflexion approfondie consacrée à chaque pièce, de l'axe, du boulon de blocage et de la rondelle, jusqu'au moulage du cylindre et aux segments de piston''&quot;. &lt;ref&gt;'''1902-04''' - '''Automobile Magazine''' : [https://archive.org/details/sim_automobile-magazine_1902-04_4_4/page/320/mode/2up?q=panhard &quot;''Le soin du travail français''&quot;] By C. R. Mabley.&lt;/ref&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Commemorative portrait of balloonists Charles Renard, Dupuy de Lôme, and Arthur Krebs, inventors and military officers who were charged with developing a navigable balloon during the Siege of Paris LCCN2002724814.tif|'''Portait commémoratif''' des aéronautes '''Ch. Renard''', '''H. Dupuy de Lôme''' et '''A. C. Krebs''', inventeurs et officiers qui ont collaboré au premier vol pleinement contrôlé le '''9 août 1884''' à Chalais-Meudon près de Paris.

File:1886 Renard &amp; Krebs plan du parc aérostatique de Chalais-Meudon.jpg |'''1886''' - Renard &amp; Krebs : plan du [[W:Chalais-Meudon|'''Parc de recherche aérostatique de Chalais-Meudon''']].

1889-02-28 Pompiers PP-DB273 Comite-Perfectionnement=carte des 24 périmètres d'intervention prévus dans le plan KREBS de réorganisation des secours contre l'incendie à Paris.png|'''1889''' - Comité de perfectionnement des Pompiers de Paris : carte des '''24 périmètres d'intervention''' prévus dans le '''plan KREBS de réorganisation des secours contre l'incendie à Paris'''.

File:1900~Pompiers depart-attele.jpg| '''1895''' - '''Pompiers de Paris''' : Le départ attelé de la réorganisation de A. C. KREBS avec la '''pompe à vapeur Durenne &amp; Krebs''' (modèle 1888) visible en arrière plan.

File:1895 - Les sous-marins Gymnote et Gustave Zédé en cale sèche à Toulon (France).jpg|'''1895''' - Après le succès du sous-marin expérimental &quot;'''''Gymnote'''''&quot; (à gauche), le grand sous-marin &quot;'''''Gustave Zédé'''''&quot; (à droite) est construit par la Marine française.

File:1895 - Panhard &amp; Levassor - 'The first Petrol car introduced into England' by Hon. Evelyn Ellis.png|'''1895''' - Panhard &amp; Levassor - &quot;'''''La première voiture à essence introduite en Angleterre'''''&quot; par l'honorable Evelyn Ellis. &lt;ref&gt;'''1902''' - [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AMotors_and_motor-driving_(IA_motorsmotordrivi00nortiala).pdf&amp;page=45 Motors and motor-driving]:  &quot;'''''The first Petrol car introduced into England&quot;, the Hon. Evelyn Ellis's 4HP Panhard &amp; Levassor Car'''''&quot;.&lt;/ref&gt;

File:1896-09-03 rencontre Levassor-Krebs=prise de licence sur le brevet Krebs.pdf |'''1896-09-03''' - Lettre de prise de licence de '''Émile LEVASSOR''' adressée à Arthur C. KREBS pour son brevet d'automobile '''FR'''256344.

File:Panhard &amp; Levassor catalogue 1896-7.pdf|'''1897''' - catalogue des voitures [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Panhard_%26_Levassor_catalogue_1896-7.pdf '''Panhard &amp; Levassor'''].

File:Automotive diagrams 01 En.png|'''1898''' - A. C. KREBS complète le &quot;[[W:Moteur_%C3%A0_l%27avant_et_roues_arri%C3%A8re_motrices|'''système panhard''']]&quot;.

File:1898-04-16 - La France Automobile - 'The first car in Japan'.pdf|'''1898''' - La France Automobile : '''''[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%97%A5%E6%9C%AC%E3%81%B8%E3%81%AE%E8%87%AA%E5%8B%95%E8%BB%8A%E3%81%AE%E6%B8%A1%E6%9D%A5 La première voiture à pétrole au Japon]''''', une Panhard &amp; Levassor type M2E, n°941, livrée le 11-08-'''1897'''.

File:Panhard &amp; Levassor catalogue 1898.pdf|'''1898''' - Catalogue des [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Panhard_%26_Levassor_catalogue_1898.pdf voitures '''Panhard &amp; Levassor'''] alors que A.C. KREBS dirige la société.

File:1898-Panhard race car=The first car in Britain fitted with wheel steering.png |'''1898''' - La '''voiture de course Paris-Amsterdam-Paris''' Panhard &amp; Levassor 6HP exportée de France par Henry Rolls : &quot;'''''Première voiture en Grande-Bretagne équipée d'un volant'''''&quot;. &lt;ref name=Rolls /&gt;

File:1899_-_Panhard_%26_Levassor_-_catalogue_avec_bateau,_draisine_postale_et_tramway.pdf|'''1899''' - Catalogue des voitures Panhard &amp; Levassor avec '''bateau''', '''draisine postale''' et '''tramway'''.

File:1899-10 - Horseless age - Steinway Daimler-Panhard Phenix advertisement.png|'''1899''' - [https://en.wikipedia.org/wiki/William_Steinway#Daimler_cars '''Steinway'''] : publicité '''Daimler-Panhard Phénix''' : &quot;'''''Le standard automobile mondial'''''&quot;.

File:Les usines Panhard d'Ivry en 1900.jpg |'''1900-05-27''' - La Vie au Grand Air: &quot;'''les usines Panhard'''&quot;.

File:1900 VCP=1° en Espagne (PM-1 + PM-2 + PM-5).jpg|'''1900''' - La [https://en.wikipedia.org/wiki/Cl%C3%A9ment-Panhard '''Voiture Clément-Panhard (VCP)'''] est la 1ère voiture à pétrole à  [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1900_VCP%3D1%C2%B0_en_Espagne_(PM-1_%2B_PM-2_%2B_PM-5).jpg Palma de Majorque], au [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Santa_Casa_de_Miseric%C3%B3rdia_Salvador_Bahia_VCP_Voiture_Cl%C3%A9ment_Panhard_1898-0553.jpg Brésil], en [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1902_P%26L_VCP_Capitaine_Fjodorovi_1%C2%B0-Tallin_Estonie.jpg Estonie] etc.

File:1904 - Self-propelled vehicles - Panhard &amp; Levassor - &quot;the foremost in the automobile world&quot;.jpg|'''1901''' -  [https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1901-02-16_51_1311/page/21014/mode/2up?q=panhard Scientific American] : &quot;'''''L'automobile Panhard &amp; Levassor'''''&quot;. '''1904''' - [https://archive.org/details/propelledselfveh00homarich/page/350/mode/2up?q=panhard  Véhicules automoteurs] : &quot;'''''Le leader du monde automobile'''''&quot;.

1901-04-13 The Autocar='A visit to the Panhard works'.pdf |'''1901-04-13''' - The Autocar: [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1901-04-13_The_Autocar%3D%27A_visit_to_the_Panhard_works%27.pdf &quot;'''Une visite aux usines Panhard''']: ''Il ne faut pas s'imaginer que nous désespérons de l'industrie anglaise ; loin de là, car il existe chez nous des entreprises qui produisent un travail au moins égal à celui de '''Panhard and Levassor''', mais '''aucune entreprise n'est comparable à elle en termes d'ampleur'''.''&quot;

File:1902 Fiat 12-16 HP Museo Nazionale dell'Automobile di Torino 01.jpg|'''1901-06-21''' - [[W:Fiat|'''FIAT''']] prend la décision '''de copier la voiture légère Panhard &amp; Levassor''', ainsi l'ingénieur [https://it.wikipedia.org/wiki/Giovanni_Enrico Giovanni Enrico] conçoit la [[W:Fiat|'''FIAT 12HP''']]. &lt;ref&gt;[https://www.byterfly.eu/islandora/object/librib%3A632795#page/166/mode/2up '''Procès-verbaux du conseil d'administration FIAT (1899-1915)''']. '''1900-10-09''' - &lt;small&gt;&quot;[L'ingénieur Marchesi] '''''estime qu'il serait judicieux d'acheter une bonne voiture française, et peut-être même une Panhard Levassor de dernier modèle, afin de pouvoir les étudier, notamment les détails de leur construction'''''&quot;. '''1900-10-16''' - &quot;''Faccioli dit que bien que le système actuel fonctionne correctement, il estime qu'il y aurait d'énormes avantages à placer le moteur à l'avant, tant pour des raisons de facilité que pour des raisons de perfectionnement de la construction, et pour standardiser les modèles. Il affirme avoir déjà étudié un projet qui répondrait aux besoins actuels''. '''''Agnelli propose de conserver le type Panhard Levassor'''''. ''Après une longue et animée discussion, le Président demande l'avis du Conseil sur les deux propositions''&quot;. La proposition de Faccioli est approuvée. '''1901-11-12''' - &quot;''Goria Gatti partageait l'avis de Ceriana, mais après avoir étudié la question en profondeur, il était convaincu de la validité des arguments du Président. Notre usine, occupée à produire 100 Fiat cette année, ne serait absolument pas en mesure de fabriquer la petite voiture. Or, les petites voitures étant très recherchées et le marché saturé de voitures étrangères, il est nécessaire de leur proposer un modèle tout aussi performant et moins cher, afin d'attirer une nouvelle clientèle, qui serait alors peut-être disposée à acheter une Fiat. Il fut donc judicieux de faire construire pour nous, par une usine étrangère, une voiture équipée d'une boîte de vitesses de type Darracq et d'un moteur De Dion de 4,2 CV. C'est une question d'opportunité, et il estime qu'il n'est pas pertinent de parler du caractère italien de l'usine ni de la simple revente de voitures''. '''''Même le grand constructeur français, Panhard-Levassor, avait une petite voiture anglaise, la Krebs, fabriquée par les ateliers Clément''''' [pour ce faux bruit : voir la Voiture Clément-Panhard supra]. ''Quoi qu'il en soit, puisque nous n'abandonnerons pas le modèle Fiat, mais le limiterons aux grandes voitures, personne ne pourra dire que nous avons renié notre propre moteur. Il conseille de ne pas engager plus de 50 petites voitures.''&quot;.  '''1901-06-21''' - &quot;''Le président informe le Conseil que'' '''''le conseiller Agnelli et l'ingénieur Enrico, s'étant rendus à Paris, ont examiné un véhicule léger qu'ils comptaient acquérir auprès de l'usine comme modèle pour l'année suivante'''''. ''Cependant, faute d'explications de la part du fournisseur, l'achat n'a pu être effectué. Il demande à M. Agnelli de s'expliquer''. [[W:Giovanni_Agnelli_(1866-1945)|'''''M. Agnelli''''']] ''explique que, lors de son séjour à Paris en compagnie de l'ingénieur Enrico, envoyé par l'usine sur ordre du président'', '''''ils ont examiné un nouveau véhicule léger provenant de l'une des meilleures usines parisiennes (Panhard &amp; Levassor). Ce véhicule, très simple, économique, pratique et facile à construire, leur a semblé opportun'''''. ''Ils ont donc jugé bon de proposer son acquisition par télégramme au Conseil''. '''''Cette proposition visait à mettre fin à des études interminables et coûteuses, et à pouvoir entreprendre sans délai une production sérieuse, productive tant en quantité qu'en qualité'''''. ''Il se souvient avoir déjà formulé une proposition similaire à plusieurs reprises, notamment en juin et septembre de l'année dernière et en mars de cette année. Il estime cependant qu'il n'appartient pas au Conseil de délibérer sur le fond de la question, cette décision relevant de la compétence exclusive de la Direction technique''.&quot;&lt;/small&gt;&lt;/ref&gt;

File:1902 Catalogue Panhard &amp; Levassor.pdf|'''1902''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1902_Catalogue_Panhard_%26_Levassor.pdf '''catalogue''' Panhard &amp; Levassor].

File:1902-03-01 - Scientific American supplement - &quot;THE NEW LIGHT PANHARD &amp; LEVASSOR AUTOMOBILE&quot;.pdf|'''1902''' - Scientific American : [https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1902-03-01_53_1365/page/21873/mode/1up?q=panhard &quot;'''THE NEW LIGHT PANHARD &amp; LEVASSOR AUTOMOBILE'''&quot;].

File:1902 - The Panhard &amp; Levassor car of Dr-LEHWESS for his word tour.png|'''1902''' - La voiture Panhard &amp; Levassor du Dr LEHWESS pour son '''tour du monde''' : &quot;[https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:The_Enterprise_1902-10-04_(IA_cssf_000378).pdf&amp;page=2 '''''La voiture doit être capable de bien grimper les côtes pour franchir les Rocheuses !''''']&quot;.

File:1903-04-09 - Counterfeiting by Mercedes of the Panhard &amp; Levassor Centaure carburetor transaction between the parties.pdf|'''1903''' - '''contrefaçon par Mercedes''' du '''carburateur Centaure''' de Panhard &amp; Levassor (transaction).

File:1912 - Panhard &amp; Levassor - usine de Reims.jpg|'''1904''' - A. C KREBS fonde '''l'[[W:Usine_Panhard-Levassor_de_Reims|usine Panhard &amp; Levassor de Reims]]'''.

File:1909 NYPL=P&amp;L agence-New-York american-branch-Broadway+62°rue-NW US-01.jpg|'''1904''' - A. C. KREBS crée '''''l'American Branch''''' située '''sur Broadway à New York'''.

File:1905 - Panhard &amp; Levassor - Manuel de conduite et d'entretien Phénix, Centaure, modèle 1904.pdf|'''1905''' - Manuel de conduite et d'entretien  '''''Phénix''''', '''''Centaure''''', '''''Type 1904'''''.

File:1905-08-04 The-Engineer=The Panhard &amp; Levassor Motor Car Works.jpg|'''1905''' - The Engineer : [https://archive.org/details/sim_engineer_july-7-december-29-1905_100/page/108/mode/2up &quot;'''''Quelques usines automobiles françaises'''''&quot;] - PANHARD AND LEVASSOR. &lt;ref&gt;'''1905-08-04''' - [https://archive.org/details/sim_engineer_july-7-december-29-1905_100/page/108/mode/2up?q=panhard '''The Engineer'''] : &quot;''L'industrie automobile s'est donc développée très lentement jusqu'à ce qu'il soit constaté que le '''type Panhard original''' de '''moteur vertical''' et de '''boîte de vitesses''' représentait véritablement '''une norme de conception permanente'''.''&quot;&lt;/ref&gt;

File:1905 P&amp;L catalogue anniversaire-50-ans usine.pdf|'''1905''' - Panhard &amp; Levassor : ''' catalogue anniversaire des 50 ans de l'usine''' dirigée par A. C. KREBS.  &lt;ref&gt;'''1905''' -  [https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7e/The_Engineering_and_Mining_Journal_1905-05-25-_Vol_79_Iss_21_%28IA_sim_engineering-and-mining-journal_1905-05-25_79_21%29.pdf The Engineering and Mining Journal]: &quot;''La machine à vapeur a été utilisée pour le transport de marchandises sur les vastes plaines du Sud-Ouest, notamment pour le commerce du borax. Plus récemment, l'automobile a été mise en service au Nevada, et l'un de nos confrères nous a confié effectuer le trajet de 160 kilomètres (100 miles) entre Tonopah et Bullfrog en sept heures. Cela nous rappelle les voyages d'inspection de plusieurs centaines de kilomètres (plusieurs centaines de miles) que MM. H. C. Hoover et J. H. Curie ont effectués l'an dernier '''à bord d'une Panhard, sur le plateau désertique d'Australie-Occidentale'''. L'idée même d'un tel confort de déplacement adoucira les mauvais souvenirs de ceux qui ont dû chevaucher le chameau à bascule ou la mule récalcitrante sur le sable et les spinifex d'Australie-Occidentale, ou encore sur les terres alcalines et les armoises du Grand Bassin.''&quot;.&lt;/ref&gt;

File:1905 P&amp;L catalogue anniversaire-50-ans usine.pdf|page 23|'''1905''' - A. C. KREBS introduit '''l'entrée latérale dans la carrosserie automobile'''. &lt;ref&gt;'''1906''' – [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:1906-01-06_-_OMNIA_-_Standardisation_des_carrosseries_%C3%A0_entr%C3%A9e_lat%C3%A9rale_demand%C3%A9e_par_A._C._KREBS_en_1904.pdf&amp;page=4 OMNIA] : &quot;''À l’heure actuelle, on peut dire que toute carrosserie, de route ou de ville, couverte ou découverte, doit être à entrée latérale. Cette disposition présente de tels agréments pour le voyageur, que l’on se demande comment on a pu s’en passer si longtemps ! ''&quot;. '''01/1933''' - '''Le carrossier Labourdette''' : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3067216z/f38.image.r=krebs &quot;''L'entrée latérale fut réalisée sur l'insistance de plusieurs constructeurs. Je me souviens des conversations que mon père eut alors, sur ce sujet, avec le commandant Krebs de la maison Panhard''&quot;]. Notons qu'au XXI° siècle l'entrée latérale avec échancrure sur le passage de roues arrière reste le standard de la carrosserie automobile.&lt;/ref&gt;

File:1905 - Palais de l'Automobile - catalogue Panhard &amp; Levassor (New-York).pdf|thumb|'''1905''' - '''Palais de l'Automobile''' : catalogue Panhard &amp; Levassor à ('''New-York''').

File:1905-11-18 – The AUTOMOTOR JOURNAL - The 50-h.p. Panhard-Levassor car with a Six-cylinder engine.pdf|'''1905''' – The AUTOMOTOR JOURNAL: [https://archive.org/details/AutomotorJournalSecondHalf1905/page/n665/mode/2up?q=panhard voiture Panhard-Levassor 50-h.p. 6 cyl.].

File:1906_Arthur_Constantin_KREBS_testimony_during_the_Selden_case.pdf|page 2|'''1906''' - A. C. KREBS se rend '''à New York''' pour témoigner en tant qu'expert dans le cadre du procès Selden qui oppose les propriétaires du '''brevet Selden''' et conjointement '''Ford''' et '''Panhard &amp; Levassor''' ([https://hal.science/hal-05527435 transcription traduite et annotée]).

File:1910 Le jeune premier de l'Europe=caricature du roi Alphonse XIII d'Espagne qui vient de visiter les usines P&amp;L avec KREBS.jpg|'''1905-11''' - Caricature du jeune [https://en.wikipedia.org/wiki/Alfonso_XIII '''roi Alphonse XIII d'Espagne'''] qui vient de visiter les '''usines Panhard &amp; Levassor''' guidé par '''A. C. KREBS'''. &lt;ref&gt;'''1905-11-22''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k46271521/f1.image.r=krebs '''L'Auto-vélo''']: &quot;''Le '''nouvel amortisseur progressif''' que la maison Panhard adapte sur ses véhicules de '''1906''' intéresse particulièrement le Roi'' ['''[[W:Alphonse_XIII|Alfonse XIII]] d'Espagne''']. ''À deux reprises il sollicite du commandant Krebs le nom de l'inventeur de cet ingénieux dispositif, mais le commandant - dont la modestie bien connue a durci l'oreille - néglige de répondre...''&quot;&lt;/ref&gt;

File:1905 - P&amp;L catalogue-Harvey-du-Cros GB - 'HINTS and Advice for Owners of PANHARD CARS'.pdf|'''1905''' - Catalogue Panhard &amp; Levassor de  '''Harvey-du-Cros - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1905_-_P%26L_catalogue-Harvey-du-Cros_GB_-_%27HINTS_and_Advice_for_Owners_of_PANHARD_CARS%27.pdf &quot;''HINTS and Advice for Owners of PANHARD CARS''&quot;] au Royaume-Uni''' quand A. C. KREBS dirige la société.

File:1906 - Panhard &amp; Levassor - Catalogue des machines à bois pour les roues de voitures.pdf|'''1906''' - Panhard &amp; Levassor : &quot;[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1906_-_Panhard_%26_Levassor_-_Catalogue_des_machines_%C3%A0_bois_pour_les_roues_de_voitures.pdf '''Catalogue des machines à bois pour les roues de voitures''']&quot;.

File:1906-04-22 La Stampa Sportiva=leçon d'automobilisme chez P&amp;L.jpg|'''1906''' - &quot;''L' [https://www.byterfly.eu/islandora/object/libria%3A37036#mode/2up '''école moderne de l'automobiliste''']: Une leçon pratique donnée aux élèves de '''l'école du mécanicien et du conducteur d'automobile de Paris''', visitant [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k46272650/f1.image.r=%22nos%20cours%20d# '''l'usine Panhard and Levassor''']&quot; dirigée par '''A. C. KREBS'''.

File:1907 - Panhard &amp; Levassor catalogue in New-York.pdf|'''1907''' - La gamme des '''voitures Panhard &amp; Levassor''' proposée par A. C. Krebs '''à New York'''.

File:1907 The Highland Association Bazaar - Panhard advertisement.pdf|'''1907''' - [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3ASouvenir_and_handbook_of_Feill_a%27_Chomuinn_Ghaidhealaich_(The_Highland_Association_Bazaar)_1907_(IA_souvenirhandbook00comu).pdf&amp;page=12 Publicité à Glasgow] : &quot;'''''PANHARD—Best French Car. Runs well after 120,000 miles'''''&quot;.

File:1908 - Panhard &amp; Levassor- catalogue.pdf|'''1908''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1908_-_Panhard_%26_Levassor-_catalogue.pdf '''catalogue''' Panhard &amp; Levassor].

File:1908 - Panhard &amp; Levassor - catalogue poids lourds.pdf|'''1908''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1908_-_Panhard_%26_Levassor_-_catalogue_poids_lourds.pdf '''catalogue des poids lourds'''] Panhard &amp; Levassor.

File:1909 - Panhard &amp; Levassor - catalogue.pdf|'''1909''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1909_-_Panhard_%26_Levassor_-_catalogue.pdf '''catalogue''' Panhard &amp; Levassor].

File:1909-Panhard &amp; Levassor automobile catalogue for the 'American Branch' in Broadway in NewYork.pdf|'''1909''' - Panhard &amp; Levassor : Catalogue de [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1909-Panhard_%26_Levassor_automobile_catalogue_for_the_%27American_Branch%27_in_Broadway_in_NewYork.pdf '''l'American Branch'''].

File:1909-1914 - L'Auto-vélo - les &quot;Vendredi&quot; de Panhard &amp; Levassor.pdf|'''1909-1914''' - L'auto-Vélo : '''''Les 284 &quot;Vendredi&quot; de Panhard &amp; Levassor'''''.

File:1910 Salon-de-l'Automobile-de-Paris=le nouveau moteur sans-soupapes au stand Panhard&amp;Levassor.jpg|'''1910''' - '''Salon de l'auto de Paris''' : présentation du '''nouveau moteur sans soupapes''' au stand Panhard &amp; Levassor. Ce moteur est '''conçu par A. C. KREBS sous licence Knight'''.

File:1910 Panhard-Levassor - Dubonnet gagne le prix de LA NATURE sur monoplan Tellier à moteur Panhard &amp; Levassor (GAMY).jpg|'''1910''' - [[w:Émile Dubonne|Émile Dubonnet]] gagne le prix de [[W:La_Nature|LA NATURE]] sur un avion monoplan [[W:Alphonse_Tellier_(constructeur_a%C3%A9ronautique)|Tellier]] à moteur Panhard &amp; Levassor conçu par A. C. KREBS (GAMY).

File:1910 - Usine Panhard &amp; Levassor vue depuis un ballon à 700m d'altitude.png|'''1910''' - '''L'usine Panhard &amp; Levassor''' vue depuis un ballon à 700m d'altitude.

File:1910 - Panhard &amp; Levassor - Catalogue de pièces de rechange.pdf|'''1910''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1910_-_Panhard_%26_Levassor_-_Catalogue_de_pi%C3%A8ces_de_rechange.pdf '''Catalogue  de pièces de rechange'''] Panhard &amp; Levassor.

File:1911 - Life Magazine - The Silent-Knight.pdf|'''1911''' - '''A. C. KREBS''' developpe la version Panhard &amp; Levassor du brevet '''Knight :  [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001404174/publication/FR356196A?q=FR356196 '''FR'''356196], [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032197949/publication/GB190514729A?q=GB190514729 '''GB'''190514729], [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003159208/publication/US1090991A?q=pn%3DUS1090991A '''US'''1090991A]'''.

File:1911 - Exposition de Turin - catalogue Panhard &amp; Levassor.pdf|'''1911''' - '''Catalogue Panhard &amp; Levassor''' pour [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1911_-_Exposition_de_Turin_-_catalogue_Panhard_%26_Levassor.pdf '''l'Exposition de Turin'''].

File:Dassault Marcel.jpg|'''1911''' - '''[[w:Marcel_Dassault|Marcel DASSAULT]]''' (1892-1986) décide de faire un stage dans l'usine '''Panhard &amp; Levassor'''. &lt;ref&gt;'''1911''' - '''[[w:Marcel_Dassault|Marcel DASSAULT]]''' décide de faire un stage chez '''Panhard''', et note : &quot;''Pendant les grandes vacances suivantes, je fis un stage comme ouvrier chez Panhard. Après être passé par les différents ateliers, j'arrivai au stade de la mise au point des voitures 24CV sans soupapes. Ce travail consistait, après réglage du moteur, à faire un essai sur route du châssis, le siège étant composé d'une simple caisse à outils. J'ai ainsi appris à connaître l'organisation d'une grande usine de mécanique. J'ai aussi apprécié le travail des ouvriers, leur esprit d'équipe, leur joie quand la firme gagnait une course ou battait un record, ou lors de la sortie d'un nouveau type de voiture particulièrement réussi.''&quot; ([https://archive.org/details/talismanautobiog0000dass/page/n3/mode/2up 'Le Talisman'],  [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1970_Marcel-DASSAULT%3D%27Le_Talisman%27_(ed._J%27ai_Lu).jpg Paris, 1970, ed. J'ai Lu]).&lt;/ref&gt;

File:1912 Panhard &amp; Levassor - Arthur Constantin KREBS entouré de Charles de Fréminville de Paul Panhard et de ses directeurs.jpg|'''1912''' - Panhard &amp; Levassor : '''A. C. KREBS''' entouré de [[W:Charles_de_La_Poix_de_Fr%C3%A9minville|'''Charles de Fréminville''']] (à sa droite), par '''Paul Panhard''' (à sa gauche) et d'autres directeurs. &lt;ref&gt;[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1912_Usine-Panhard_et_Levassor_-_les_ateliers_et_le_personnel_de_Paris.pdf '''1912''' - '''Usines Panhard &amp; Levassor''' dirigées par A. C. KREBS]: les ateliers et le personnel de Paris (Paris : 2000 ouvriers) (Reims : 800 ouvriers).&lt;/ref&gt;

File:1912 Usine-Panhard et Levassor - les ateliers et le personnel de Paris.pdf|'''1912''' - Les usines Panhard &amp; Levassor dirigées par A. C. KREBS : [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1912_Usine-Panhard_et_Levassor_-_les_ateliers_et_le_personnel_de_Paris.pdf '''Les ateliers et le personnel de Paris'''] (Paris : 2000 ouvriers) (Reims : 800 ouvriers).

File:1912 - Panhard &amp; Levassor - Catalogue couleur.pdf|'''1912''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1912_-_Panhard_%26_Levassor_-_Catalogue_couleur.pdf '''Catalogue Panhard &amp; Levassor'''].

File:1912 - Panhard &amp; Levassor - Catalogue-luxe.pdf|'''1912''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1912_-_Panhard_%26_Levassor_-_Catalogue-luxe.pdf ''' Catalogue de luxe Panhard &amp; Levassor'''].

File:1913 - Panhard &amp; Levassor - catalogue de luxe.pdf|'''1913''' -  Catalogue de luxe Panhard &amp; Levassor : [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1913_-_Panhard_%26_Levassor_-_catalogue_de_luxe.pdf '''&quot;''S'ils avaient eu l'automobile !''&quot;'''].

File:1914 - Panhard &amp; Levassor - Catalogue de luxe.pdf|'''1914''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1914_-_Panhard_%26_Levassor_-_Catalogue_de_luxe.pdf '''Catalogue de luxe Panhard &amp; Levassor'''].

File:Gazette du Bon Ton, 1914 - No. 7, Le Péché d'Envie ou La Panhard Convoitée (titel op object), RP-P-2009-1940-12.jpg|'''1914''' - Publicité Panhard &amp; Levassor : &quot;''Le Péché d'Envie ou La Panhard Convoitée''&quot;.

File:1914 - Panhard &amp; Levassor - Tracteur d'artillerie (aquarelle Gamy).jpg|'''1914''' - Le '''tracteur d'artillerie Châtillon-Panhard''' (aquarelle Gamy) conçu A. C. KREBS.

File:Panhard Oil-Motoring Magazine-1915-031.jpg|'''1915''' - Publicité : '''L'huile Panhard pour cylindres'''&quot;, &quot;'''''La logique d'une bonne huile pour cylindres'''''&quot;.

File:1916 - Panhard &amp; Levassor - Catalogue.pdf|'''1916''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1916_-_Panhard_%26_Levassor_-_Catalogue.pdf '''Catalogue Panhard &amp; Levassor'''].

File:Panhard Levassor rail motor no. 14.tif|'''1918''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:StateLibQld_2_78638_Viscount_Chelmsford_joins_the_Automobile_Club%27s_day_out,_9_May_1908.jpg  Une voiture Panhard &amp; Levassor 24HP de 1908] est transformée en '''véhicule ferroviaire''' pour le transport de personnes et de marchandises sur la ligne [https://collections.qm.qld.gov.au/objects/RM11530/panhard-railmotor-rm-14 Normanton-Croydon en northern Queensland] ('''[[w:Australie|Australie]]''') jusqu'en '''1929'''.

File:1915-1917 - Panhard &amp; Levassor - usine en guerre.pdf|'''1914-1918''' - '''WWI''' :  Panhard &amp; Levassor: [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1915-1917_-_Panhard_%26_Levassor_-_usine_en_guerre.pdf?uselang=fr '''Usine en guerre dirigée par A. C. Krebs'''].

File:1917-05-17 - Automotive-industries - The Chatillon-Panhard truck in Italy.jpg|'''1917''' - Automotive-industries : '''Le [https://archive.org/details/sim_country-life_1915-06-26_37_964/page/n293/mode/2up?q=%22chatillon-panhard%22 camion Châtillon-Panhard] en Italie'''.

File:Panhard &amp; Levassor enamel advert sign at the den hartog ford museum pic-099.JPG|'''1920''' ~ Le logo Panhard &amp; Levassor.

File:1914-1918 - WWI - voiture Panhard &amp; Levassor.webm|Video: '''1918''' - '''WWI''' : Une '''voiture Panhard &amp; Levassor démarre'''.

File:Ant-pen-map-Danco.PNG|'''1960''' - Le [[w:Krebs Glacier|'''Glacier Krebs''']] : s'écoulant dans [[w:Charlotte Bay|Charlotte Bay]], nommé d'après [[w:Arthur Constantin Krebs|A. C. Krebs]], &quot;''qui a construit et piloté le premier [[w:Ballon dirigeable|dirigeable]] capable d'un vol stable et contrôlé, en '''1884'''&quot;''.

File:Alose french submarine 1907 02.jpg|'''1975''' - Sous-marin [[w:Alose (sous-marin)|'''Alose''']] (1904), '''renfloué et restauré''' (France).

File:Saint-Chamond.Saumur.0004fq2z.jpg|'''2006''' - '''Tank Saint-Chamond''' exposé au ''[[w:Musée des Blindés de Saumur|Musée des Blindés]]'' de [[w:Saumur|Saumur]].

File:Panhard &amp; Levassor Type E im Museum Valencay.JPG|'''2011''' - '''Panhard &amp; Levassor Type E''' au [[w:Musée de l'automobile de Valençay|'''Musée de l'automobile''']] de [[w:Valençay|Valençay]].

File:Panhard &amp; Levassor Type X 25 1914.JPG|'''2011''' - '''Véhicule d'incendie Panhard &amp; Levassor Type X 25''' (1914) au [http://www.musee-sapeurs-pompiers.org/ '''Musée des Sapeurs-Pompiers'''] à Montville.

File:1901 Panhard &amp; Levassor type B2 in Toyota Automobile Museum (6817203419).jpg|'''2012''' - '''Panhard &amp; Levassor  type B2''' (1901) au [https://toyota-automobile-museum.jp/en/ '''Toyota Automobile Museum'''], Nagakute, Aichi Prefecture (Japon).

File:Panhard &amp; Levassor Type X19 at Den Haag Louwman Museum 061.jpg|'''2015''' - '''Panhard &amp; Levassor X19''' (1912) Labourdette Skiff-Torpedo au [https://www.louwmanmuseum.nl/en/ '''Louwman Museum'''] (Pays-bas).

File:1900 Clement-Panhard Phaeton VCP, 765cc 3,5cv 35kmh (inv 1901) photo 2.jpg|'''2016''' - '''Clement-Panhard (VCP)''' Phaeton (1900) au [https://www.musee-automobile.fr/ '''Musée National de l'Automobile'''] à Mulhouse (France).

File:Panhard &amp; Levassor Type U2 1907 at Monaco Top Cars Collection 2016-537.jpg|'''2016''' - '''Panhard &amp; Levassor Type U2''' (1907) dans la [https://www.mtcc.mc/galerie-automobile/#* '''Collection de voitures anciennes'''] de Monaco.

File:2017 - Durenne &amp; Krebs 1888 lightweight fire steam pump at the fire headquarters in Paris.png|'''2017''' - '''Pompe à vapeur d'incendie légère Durenne &amp; Krebs''' (1888) exposée à [[w:Caserne_Champerret|'''l'état-major des pompiers de Paris'''].

File:Panhard-Levassor Biplace Course (1908) jm64358.jpg|'''2018''' - '''Panhard-Levassor biplace de course''' (1908) au [https://www.musee-automobile.fr/ '''Musée National de l'Automobile'''] à Mulhouse.

File:Panhard &amp; Levassor Landaulet Type A1 (1898) jm63748.jpg|'''2018''' - '''Panhard &amp; Levassor type A2''' (1899) tonneau fermé au [https://www.musee-automobile.fr/ '''Musée National de l'Automobile'''], Mulhouse (France).

File:Panhard &amp; Levassor Coupé Chauffeur Type X8 (1912) jm63952.jpg|'''2018''' - '''Panhard &amp; Levassor type X8 coupé chauffeur''' (1911) au [https://www.musee-automobile.fr/ '''Musée National de l'Automobile'''] à Mulhouse.

File:1899 - Panhard-Levassor owned by C. S. Rolls restored.jpg|'''2019''' La '''Panhard-Levassor''' (1899) '''de C. S. Rolls''' est au [https://www.museums.norfolk.gov.uk/gressenhall-farm-and-workhouse '''Gressenhall Farm and Workhouse Museum''']. &lt;ref name=Rolls-1899/&gt;

File:Hangar Y mai 2023 (27).jpg|'''2023''' - Le [[w:Hangar Y|'''Hangar Y''']] du dirigeable '''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]''''' est '''restauré et ouvert au public''' à Meudon.

File:Balloon winch vehicule, Musee de l'Air et de l'Espace, Le Bourget, Paris. (8127530854).jpg|'''2024''' - '''Voiture treuil à ballons (WWI)''' ([[w:Musée_de_l'Air_et_de_l'Espace|Musée de l'Air et de l'Espace]], Le Bourget, Paris) utilisant le '''système de touage à 2 tambours parallèles de A. C. KREBS'''.

File:Panhard &amp; Levassor, BL 539, London to Brighton Veteran Car Run 2011, 15 CV 1904 (6323222535).jpg|'''2026''' - Video : &quot;[https://www.youtube.com/watch?v=t2Ygu-IsLeg '''Comment se servir d'une Panhard &amp; Levassor 1904''']&quot;.
&lt;/gallery&gt;
==  Communications à '''l'Académie des sciences''' ==
&lt;br&gt;'''1886''' - [https://fr.wikipedia.org/wiki/Famille_Lefebvre_de_Laboulaye#XIXe_si%C3%A8cle Charles-Pierre Lefebvre de LABOULAYE (1813-1886)], membre de la parentèle de Fréminville ([https://bases-brevets19e.inpi.fr/brevets?arko_default_63f395e1547dd--ficheFocus=&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bmode%5D=simple&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bop%5D=AND&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bop%5D=AND&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bq%5D%5B%5D=&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bq%5D%5B%5D=LEFEBVRE-LABOULAYE&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bextras%5D%5Bmode%5D=input&amp;arko_default_63f395e1547dd--from=0&amp;arko_default_63f395e1547dd--resultSize=50&amp;arko_default_63f395e1547dd--contenuIds%5B%5D=838591&amp;arko_default_63f395e1547dd--modeRestit=arko_default_63f397c19a653 brevets]) : &quot;'''''LA SCIENCE ET L'ART SONT LES DEUX BASES DE L'INDUSTRIE'''''&quot;. &lt;ref&gt;'''1886''' - Charles LABOULAYE - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3041024d/f1131.item.r= '''Dictionnaire des arts et manufactures'''].&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;'''1898''' - [[w:Henry_Le_Chatelier|Henri Le Chatelier]] (collaborateur de Charles de Fréminville pour la recherche sur la chimie des métaux) et la '''''Science industrielle''''' : &quot;'''''En  fait il n'y a pas de différence essentielle entre les besoins de la science pure et ceux de la science étudiée en vue de ses applications'''''.&quot;
&lt;br&gt;'''1901''' - &quot;''Les préoccupations d'ordre pratique, en maintenant forcément l'attention tournée vers l'observation des phénomènes naturels, obligent l'homme, en quelque sorte malgré lui, à voir les lois du monde matériel et à ne pas laisser son esprit se concentrer exclusivement, comme il est porté à le faire, sur ses propres imaginations''.&quot; 
&lt;ref&gt;'''1898''' - Henri Le Chatelier : &quot;[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k170732/f102.image.r=le%20chatelier '''L'enseignement scientifique général dans ses rapports avec l'industrie''']&quot;. '''1901''' - &quot;[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k170763/f1103.image.r=le%20chatelier  '''Du rôle des préoccupations industrielles dans les progès de la science pure'''].&quot;&lt;/ref&gt;
*	1884-08-18 – A. C. KREBS  &amp; Ch. RENARD : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_099%2C_1884.djvu&amp;page=316 &quot;''On an airship''&quot;]. Au sujet du dirigeable &quot;[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]&quot; .

*	1884-08-25 - M. DUPUY de LÔME :  [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Comptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences,_tome_099,_1884.djvu&amp;page=341 &quot;''Note sur les aérostats dirigeables''&quot;].

*	1884-08-31 - M. A. LAUSSEDAT : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_099%2C_1884.djvu&amp;page=413 &quot;''Sur les tentatives effectuées à diverses époques pour la direction des aérostats''&quot;].

*	1884-11-10 - M. Hervé MANGON : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_099%2C_1884.djvu&amp;page=772 &quot;''Note sur l'aérostat dirigeable de MM. Renard et Krebs''&quot;].

*	1886 - Prix PONTI : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_103%2C_1886.djvu&amp;page=1395 &quot;''pour les progrès accomplis dans la navigation aérienne.''&quot;]

*	1886-04-05 - M. ZEDE : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_102%2C_1886.djvu&amp;page=808 &quot;''Sur les navires sous-marins''&quot;].

*	1888-07-30 – A. C. KREBS : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_107%2C_1888.djvu&amp;page=325 &quot;''Sur un téléphone à champ magnétique fermé, avec plaque à sections cylindriques, concentriques égales''&quot;].

*	1888-03-26 – A. C. KREBS :  [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_106%2C_1888.djvu&amp;page=932 &quot;''Essai d'un moteur électrique alimenté par des accumulateurs destinés à un bateau sous-marin''&quot;].

*	1890-09-15 – MM. Dumoulin-Froment and Dubois: [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_111%2C_1890.djvu&amp;page=428 Sur le premier gyrocompas électrique pour le sous-marin Gymnote conçu par A. C. KREBS].

*	1902-11-24 – A. C. KREBS : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Comptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences,_tome_135,_1902.djvu&amp;page=900 &quot;''Sur un carburateur automatique pour moteurs à explosions''&quot;].

*	1905-11-13 – A. C. KREBS : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_141%2C_1905.djvu&amp;page=757 &quot;''Sur un frein dynamométrique destiné à la mesure de la puissance des moteurs, qui permet l'utilisation, sous forme électrique, de la majeure partie du travail développé''&quot;].

*	1906-01-15 – A. C. KREBS : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_142%2C_1906.djvu&amp;page=143 &quot;''Conditions d'établissement d'un amortisseur progressif à la suspension des véhicules sur route''&quot;].

*	1907-04-08 – A. C. KREBS : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_144%2C_1907.djvu&amp;page=747 &quot;''Appareil pour la mesure de l'écoulement des liquides''&quot;].

*	1931-12-07 - M. Jean Rey : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3146s/f1142.item# &quot;''De l'invention du périscope''], au sujet du périscope commandé par A. C. KREBS pour le sous-marin '''''Gymnote'''''.
== Retraite ==
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Retirement by country|Retraite par pays]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Retraite|Retraite]]
&lt;br&gt;&quot;''En '''1916''', arrivé à l’âge où le besoin de repos commence à se faire sentir et où on ne peut plus développer la même activité physique, je résiliai mes fonctions de Directeur en conservant celles d’ingénieur conseil.

''L’année précédente M. de Fréminville devait quitter la Maison Panhard &amp; Levassor pour entrer au Creusot.''&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;

=== A. C. KREBS et [[w:André Citroën|André CITROËN]] ===
'''Catégorie''' : [[commons:Category:André Citroën|André Citroën]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:André Citroën|André Citroën]]
&lt;br&gt;A la demande des banques, A. C. KREBS établit un rapport sur le projet de première automobile construite à la chaîne par André Citroën après la Première Guerre mondiale. A. C. KREBS établit un rapport favorable et André Citroën a pu lancer la fabrication de son '''Type A'''.
&lt;gallery&gt;

File:Citroen1921typeA.jpg|'''1921''' - André Citroën construit sa '''type A''' avec l'aide de A. C. KREBS.

File:André Citroën 1932.jpg|'''1932''' - '''André CITROËN''' (1878-1935).
&lt;/gallery&gt;
=== Administrateur de la société '''Savary-Rivière''' ===
Dans les années 1920, A. C. KREBS est administrateur de la société Savary-Rivière, dont il est actionnaire, et qui est un fabricant de machines agricoles et de mobilier scolaire à Quimperlé, où il prend sa retraite.

Sous sa direction, la compagnie diversifie ses activités vers la fabrication de matériel ferroviaire, de matériel militaire, de postes et télégraphes.&lt;ref&gt;'''1935-03-26''' - Lettre de '''Georges Rivière''' à Marie Krebs veuve de A. C. Krebs : &quot;''Le colonel Krebs avait accepté de présider aux destinées des Ets Savary-Rivière pendant plusieurs années et j'ai eu l'honneur de pouvoir apprécier '''ses exceptionnelles qualités d'intelligence'''. Sa vie restera l'exemple parfait de droiture et de dignité dans toutes leurs manifestations.''&quot;&lt;/ref&gt;
&lt;gallery&gt;
File:1901 Savary Gautier=Machines agricoles (Quimperlé).jpg|'''1901''' - Savary et Gautier - '''Machines Agricoles''' (Quimperlé).

File:1925~Sté Savary et Rivière.pdf|'''1925''' ~ '''A. C. KREBS''' dirige la société '''Savary-Rivière''' pendant plusieurs années pendant sa retraite à  '''Quimperlé'''.

File:1928 Savary-Rivière=catalogue mobilier scolaire.pdf|'''1928''' - Savary et Rivière - '''Catalogue de mobiliers scolaires''' (Quimperlé).
&lt;/gallery&gt;
=== La commémoration des '''50 ans du dirigeable &quot;[[w:La France (ballon dirigeable)|'''''La France''''']]&quot;''' ===
'''Catégories''' : [[commons:Category:Legion of Honour|Légion d'honneur]], [[commons:Category:Ordre national de la Légion d'honneur|Ordre national de la Légion d'honneur]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Ordre national de la Légion d'honneur|Ordre national de la Légion d'honneur]]
&lt;br&gt;'''1934''' - À 83 ans, A. C. KREBS voyage de Quimperlé (Bretagne) à Paris pour assister à la commémoration du 50ème anniversaire du dirigeable [[w:La France (ballon dirigeable)|La France]] en '''1884'''. Il est alors le seul survivant de cette épopée technologique historique.
&lt;gallery&gt;
File:1934 - 50 ans du dirigeable La France en présence de A. C. KREBS à Meudon.jpg|'''1934''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4610494z/f1.image.r=krebs Les 50 ans du dirigeable ''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]''] en présence de '''A. C. KREBS, à Meudon'''.

File:Chevalier légion d'honneur 2.png | '''1935''' - A. C. KREBS est  [https://www.leonore.archives-nationales.culture.gouv.fr/ui/notice/201840 '''décoré Commandeur de la Légion d'honneur'''].

File:1935~Arthur-Constantin-KREBS=portrait à Quimperlé.jpg|'''1935''' ~ Arthur Constantin KREBS: '''Portrait à Quimperlé'''.
&lt;/gallery&gt;

'''1935''' - Deux mois avant son décès, A. C. KREBS est nommé '''Commandeur de la  [[w:Ordre national de la Légion d'honneur|Légion d'honneur]]''' : &quot;''Pour son travail en Aéronautique et pour sa contribution à l'industrie automobile''&quot;.
=== Le glacier Krebs ===
'''Catégories''' : [[commons:Category:Antarctica|Antarctique]], [[commons:Category:Peninsulas of Antarctica|Péninsule Antarctique]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Côte de Danco|Côte de Danco]], [https://archive.org/details/GeographicNamesOfTheAntarctic2ndEdition/page/n405/mode/2up?q=%22krebs+glacier%22 Geographic Names of the Antarctic], [https://en.wikipedia.org/wiki/UK_Antarctic_Place-Names_Committee UK Antarctic Place-Names Committee], [https://en.wikipedia.org/wiki/Charlotte_Bay Charlotte Bay]
&lt;br&gt;'''1960''' - Le '''United Kingdom Antarctic Place-Names Committee''' (UK-APC) nomme &quot;[https://en.wikipedia.org/wiki/Krebs_Glacier glacier Krebs]&quot; un glacier s'écoulant vers l'ouest, à la pointe de la '''[https://en.wikipedia.org/wiki/Charlotte_Bay baie de Charlotte]''' sur la côte ouest de la '''Terre de Graham''' sur le continent '''Antarctique''', d'après le nom de &quot;'''''Arthur C. Krebs qui a construit et piloté, avec [[w:Charles Renard|Charles Renard]], le premier dirigeable capable d'un vol stable et contrôlé, en 1884'''''&quot;.
== Famille ==
&lt;gallery&gt;
File:Konstantinpaulowrussland(crop).jpg|'''1812''' - '''Nicolas Krebs''' (grand-père de A. C. KREBS) est précepteur des enfants du '''[[W:Constantin_Pavlovitch_de_Russie Grand|Duc Constantin de Russie]]''' à '''Saint Pétersbourg'''.

File:1894-07-07 Cmdt-Léonce-Krebs chalet-Bellevue St-Gervais-les-bains Haute-Savoie Paul-Lancrenon.jpg |'''1894-07-07''' Silhouette du '''Commandant Léonce KREBS''' (1849-1922), frère aîné de A. C. KREBS, au chalet de Bellevue à Saint-Gervais-les-Bains (Haute-Savoie)  [https://www.pop.culture.gouv.fr/notice/memoire/APLCR03619?auteur=%5B%22Lancrenon%2C%20Paul%20%281857-1922%29%22%5D&amp;mainSearch=%22krebs%22&amp;last_view=%22list%22&amp;idQuery=%22c46e1b2-f281-ddf4-f145-3300fbc003%22 par Paul LANCRENON]

File:1915-1916 Jean-KREBS+Georges GUYNEMER EN.pdf |'''1914-1916''' - '''Jean KREBS''' et '''[[W:Georges_GuynemerGeorges|Georges GUYNEMER]]''' amis de collège : [https://archive.org/details/cu31924027834732/page/n47/mode/2up?q=krebs &quot;''Jean Krebs a cristallisé la vocation de Georges GUYNEMER''&quot;].

File:1918-05-30 Motor-Age='France's Greatest Aviator Georges Guynemer'+Jean-KREBS.jpg|'''1918-05-30''' - Motor-Age: &quot;''France's Greatest Aviator '''Georges GUYNEMER'''&quot; and '''Jean KREBS''', son of A. C. KREBS''&quot;.

File:1939-04 - Revue générale du froid - La chambre froide Krebs &amp; Alliot (1931) pour la conservation du poisson sur les thoniers.jpg|'''1939-04''' - Revue générale du froid - La '''chambre froide Krebs &amp; Alliot (1931)''' pour la conservation du poisson sur les thoniers.

File:Marie Chamming's.jpg|'''Marie Krebs-Chamming's''', fille de Louis Krebs, résistante et autrice.

File:Thon Germon.jpg|Le logo de la boîte [[W:Petit_Navire|'''Petit Navire''']], d'après l'aquarelle de '''Marguerite Paulet''', fille de A. C. Krebs.

File:Manureva StMalo 1978-11 2.jpeg|'''Dominique Paulet''' dirige les CAP du '''chantier naval La Perrière''' de 1960 à 1971, qui conçoit et construit les '''Pen Duick''' d''''Eric Tabarly'''.
&lt;/gallery&gt;
=== '''Nicolas Krebs''' (1786-1839) ===
[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3050419f/f462.image.r=krebs Nicolas KREBS] est un grand-père de A. C. KREBS. Né à [[W:Boppard|Boppard]] sur la rive gauche du [[W:Rhin|Rhin]] en '''1786''', il s'engage dans la garde impériale de [[W:Napoléon Ier|Napoléon]] et prend part à ses [[W:Guerres napoléoniennes|campagnes]] militaires. Blessé à [[W:Vilnius|Wilna]] en '''1812''', il est recueilli et retenu prisonnier par le [[W:Constantin_Pavlovitch_de_Russie|Grand Duc Constantin de Russie]], et devient le précepteur de ses enfants pendant 2 ans à [[W:Saint-Pétersbourg|Saint-Pétersbourg]]. De retour en [[W:France|France]] en '''1814''' il se marie avec Elisa Marie [[W:Liste_des_maires_d%27%C3%89vreux#XIXe_si%C3%A8cle|Dureau de la Buffardière]]. Il a été décoré de la [https://www.leonore.archives-nationales.culture.gouv.fr/ui/notice/201850#show  ''Legion d'honneur''] le 05/06/'''1809'''.
=== [https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb13204050f '''Commandant Léonce Krebs'''] (1849-1922) ===
* '''1878''' -  Officier d'état-major
* '''1891''' -  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9608718v.r=%22l%C3%A9once%20krebs%22?rk=21459;2 '''Campagnes dans les Alpes pendant la Révolution'''], d'après les archives des états-majors français et austro-sarde, avec Henri Moris. &lt;ref&gt;[[w:Armée d'Italie|Armée d'Italie]].&lt;/ref&gt;

* '''1898''' -  [https://bmvr.nice.fr/Default/search.aspx?SC=DEFAULT&amp;QUERY=Authority_id_idx%3a72405&amp;QUERY_LABEL=Krebs%2c+Leonce.+Auteur#/Search/(query:(InitialSearch:!t,Page:0,PageRange:3,QueryString:'Authority_id_idx:72405',ResultSize:-1,ScenarioCode:DEFAULT,SearchContext:0,SearchLabel:'Krebs,%20Leonce.%20Auteur')) Archiviste de la ville de Nice]

* '''1909''' -  [https://www.leonore.archives-nationales.culture.gouv.fr/ui/notice/201854 Commandeur de la Légion d'honneur].
=== '''Jean Krebs''' (1896-1916) et [[w:Georges_Guynemer|'''Georges GUYNEMER''']] (1894-1917) ===
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Georges Guynemer|Georges Guynemer]]
'''1918''' - '''Henry Bordeaux''' : “'''''Jean Krebs''''' ''a orienté la vocation de  [[W:Georges_Guynemer|'''Georges Guynemer''']]. Il a précisé et développé le goût de celui-ci  pour la mécanique. Il l'a sorti des vagues abstractions pour le précipiter vers les réalisations matérielles, pour lui faire désirer l'élargissement de vie qu'elles procurent. Il méritait d'être cité dans une biographie de Guynemer. Avant de le quitter, ne convient-il pas de déplorer sa perte prématurée ? Aviateur estimé au cours de la guerre, il trouva dans l'observation l'emploi de ses facultés solides et sûres. La chasse ne l'attirait pas, mais il savait regarder. Il fut tué d'un accident d'atterrissage presque dans le même temps que disparaissait Guynemer. Un de ses compagnons d'escadrille le juge ainsi : — D'une intelligence remarquable, d'un caractère toujours égal, il avait su s'imposer à ses chefs par son sang-froid, son coup d'oeil, la connaissance exacte des services qu'il pouvait rendre. Toutes les fois qu'on lui confiait une mission, on était sûr qu'il revenait l'ayant remplie, quelles que fussent les conditions dans lesquelles il la fallait accomplir. Il avait eu souvent à tenir tête à des avions ennemis mieux armés que lui, et avait même été blessé au cours d'un vol par éclat d'obus à la cuisse. Il n'en avait pas moins continué à voler et n'était rentré que longtemps après et seulement sa tâche terminée. Sa mort a fait un grand vide dans cette escadrille. Des hommes comme celui-là sont difficiles à remplacer...''&quot; &lt;ref&gt;'''1918''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9807613m/f50.image.r=krebs# '''Henry Bordeaux''']: &quot;''Jean Krebs a orienté la vocation de Georges Guynemer''&quot;.&lt;/ref&gt;

=== [[W:Louis_Krebs|'''Louis Krebs''']] (1886-1944) : le chantier naval à Concarneau ===
'''Voir aussi''' : [[w:Construction navale|Construction navale]]
&lt;br&gt;'''1911''' - Louis krebs presente une thèse en droit pour laquelle il est aidé par son oncle, Charles de Fréminville, intitulée  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5521697f/f6.item.r=KREBS &quot;Le rendement du travail dans les arsenaux&quot;].
&lt;br&gt;En '''1933''', Louis Krebs rachète le chantier ''Le Roy Frères'' à Concarneau, qu'il nomme [https://studiolemerdy-collection.com/?s=krebs&amp;post_type=product &quot;Chantier Krebs&quot;].

Nous lui devons [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k97160383/f123.image.r=krebs en '''1931''', avec le spécialiste de la réfrigération Henri Alliot], l'idée et la conception [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k348885w/f7.image.r=KREBS de la chambre froide des thoniers], de même que la création du concept de  chalutiers-thoniers, ces &quot;bateaux mixtes&quot; qui pratiquaient la pêche au chalut pendant l'hiver et la pêche au thon en été. &lt;ref&gt; ['''1933'''-08-02 - L'Ouest-Éclair : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k659358k/f10.image.r=KREBS &quot;A propos de la conservation du thon à bord&quot;]. ''1936''-11-07 - Le Génie civil : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k64923180/f3.image.r=krebs &quot;Installation d'une chambre froide sur un bateau thonier&quot;].&lt;/ref&gt;

'''1943'''-'''1944''' : Il est élu maire de [[W:Lanriec|Lanriec]].

'''Marie Krebs-Chamming's''' : &quot;''Il a un rôle très actif dans la résistance dès le début de la guerre en étant en liaison avec Alex, l'agent du réseau Notre-Dame Castille du Colonel Rémy pour les départs clandestins en Angleterre par bateau, allant jusqu'à faire des cachettes dans deux thoniers, et fournissant tous les renseignements qu'il peut obtenir. Et il remplace le Docteur Nicolas à la tête de Libération-Nord à Concarneau, quand celui-ci est fusillé par les Allemands, devenant Monsieur Charles.
Avec le professeur Legendre, il discute inlassablement avec le Capitaine Otto, commandant de la place, pour épargner des vies et éviter des destructions qui auraient pu être catastrophiques; s'occupant sans relâche des populations, en particulier de celles de Lanriec et de Douric-ar-Zin, et restant en liaison avec Quimper.
Il était appelé à jouer un rôle important dans toute la région après la libération, qu'il n'a pas connue, ayant été tué chez lui par une balle de fusil-mitrailleur dirigé sur sa maison, le matin où les Allemands sont partis par mer pour Lorient le 24 août 1944.''&quot; &lt;ref&gt;'''1945'''-04-01 - Le Yacht :  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k83719510/f12.image.r=krebs &quot;La mort tragique de Mr. Louis krebs&quot;]&lt;/ref&gt;

'''1962''' - Vidéo de la construction d'un thonier en bois au Passage-Lanriec au chantier Krebs : [https://www.youtube.com/watch?v=CGRF0d8Mo4k le Porsguir], thonier canneur à l'appât vivant, commandé par l'armement Dhellemmes de Concarneau.

=== [[w:Marie Chamming's|'''Marie Krebs-Chamming's''']] (1923-2022) : résistante et autrice ===
'''Marie Krebs-Chamming's''', fille de Louis Krebs, décrit ses années au service de la  [[w:Résistance intérieure française|Résistance intérieure française]] pendant la [[w:Seconde Guerre mondiale|Seconde Guerre mondiale]] dans son livre [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3384299k.r=%22louis%20krebs%22?rk=1502153;2 &quot;J'ai choisi la tempête&quot;] qui recevra le prix Vérité en '''1964'''.

=== [http://mp.forumfamilia.net/Biographie-de-Marguerite-Paulet-b1.html '''Marguerite Paulet''', née Krebs (1900-1979)] : les œuvres remarquables ===

* [http://mp.forumfamilia.net/Les-oeuvres-de-Marguerite-Paulet-periode-jeunesse-jusqu-en-1920-p1.html Jeunesse, jusqu'en 1920]
*  [http://mp.forumfamilia.net/Les-oeuvres-de-Marguerite-Paulet-periode-port-de-bouc-sous-le-soleil-mediterranee-p2.html 	Port de Bouc, sous le soleil méditerranéen, 1920/1922]
*  [http://mp.forumfamilia.net/Les-oeuvres-de-Marguerite-Paulet-periode-quimperle-et-un-peu-nantes-23-30-p3.html Quimperlé (et un peu Nantes), 1923/1930]
*  [http://mp.forumfamilia.net/Les-oeuvres-de-Marguerite-Paulet-periode-douarnenez-essentiellement-les-beaux-bat-p4.html Douarnenez essentiellement, les beaux bateaux, 1930/1940]
*  [http://mp.forumfamilia.net/Les-oeuvres-de-Marguerite-Paulet-periode-l-apres-guerre-40-55-p5.html L'après-guerre 1940/1955]
*  [http://mp.forumfamilia.net/Les-oeuvres-de-Marguerite-Paulet-periode-fleurs-et-arbres-56-79-p6.html Fleurs et arbres ... 1956/1979]
=== [https://www.ouest-france.fr/bretagne/lorient-56100/d-paulet-architecte-naval-et-humaniste-5174463 '''Dominique Paulet''' (1931-2017)] : architecte naval pour '''Éric Tabarly''' ===
Petit-fils d'Arthur Constantin KREBS, Dominique Paulet est un architecte naval et ingénieur de formation. Il a été responsable de la conception de navires au sein de plusieurs chantiers navals dont [[w:Chantiers_et_ateliers_de_la_Perrière|La Perriere]] à [[w:Lorient|Lorient]] et [[W:Chantiers_Dubigeon|Dubigeon-Normandie]]. Il a enseigné à l'Ecole centrale de Nantes et à l'Ecole nationale supérieure des techniques avancées de Paris.

Il a notamment travaillé pour la marine et les [[w:Pen_Duick_III|'''Pen Duick III''']] (aluminium), [[w:Pen_Duick_IV|'''Pen Duick IV''']] (multicoque en aluminium) et [[w:Pen_Duick_V|'''Pen Duick V''']] (avec ballasts) d'[[W:Éric_Tabarly|'''Éric Tabarly''']]. &lt;ref&gt;Dominique Paulet :  [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:2007_-_Dominique_PAULET_-_%22Tabarly_et_Lorient%22_aux_chantiers_La_Perri%C3%A8re.pdf#%7B%7Bint%3Afiledesc%7D%7D '''Tabarly et Lorient'''] &lt;/ref&gt; &lt;ref&gt;La cité de la voile à Lorient :  [https://www.citevoile-tabarly.com/fr/pen-duick &quot;''Trois des Pen Duick furent construits aux Chantiers de la Perrière à Lorient''&quot;]&lt;/ref&gt;

Il a développé une méthode universelle de calcul des navires à partir d'un ensemble restreint de variables : 

'''''Architecture navale - Connaissance et pratique''''' &lt;ref&gt;'''2023''' - Dunod : [https://www.dunod.com/sciences-techniques/architecture-navale-connaissance-et-pratique-1 &quot;''C’est la bible de l’architecture navale. Un ouvrage complet, pointu, écrit par des architectes aussi reconnus pour leur talent que pour leur pédagogie''&quot;].&lt;/ref&gt;
* '''1998''' : [https://www.eyrolles.com/Sciences/Livre/architecture-navale-9782903539467/ 1ère édition chez Eyrolles]
* '''2023''' : [https://www.dunod.com/sciences-techniques/architecture-navale-connaissance-et-pratique-1 2nde édition chez Dunod]

'''Voir aussi''' : 
* '''1971''' - '''Dominique Paulet''' :  [https://03c7d5f4-b82d-47fb-af48-cbbdfcd3d2e9.filesusr.com/ugd/4f0a4d_aca70bb3be0f4a6fb05f5edcb49ba7ba.pdf l'architecte naval aux chantiers La perrière]
* '''Dominique Paulet''' :  [https://fr.wikipedia.org/w/index.php?search=%22dominique+paulet%22&amp;title=Sp%C3%A9cial:Recherche&amp;profile=advanced&amp;fulltext=1&amp;ns0=1 dans Wikipedia]
== Voir aussi ==

* [[w:Dirigeable fantôme|Dirigeable fantôme]]

* [[w:Blimp|Blimp]]

* [[w:Charles Renard|Charles Renard]]

* [[w:Pierre Jules César Janssen|Pierre Jules César Janssen]]

* [[w:XIXe siècle en aéronautique|XIXe siècle en aéronautique]]

* [[w:Panhard|Panhard et Levassor]]

* [[w:Saint-Chamond (char)|Saint-Chamond (char)]]

* [[w:Chronologie des technologies de l'hydrogène|Chronologie des technologies de l'hydrogène]]

== References ==

&lt;ref name=Krebs-archives&gt;Archives de la famille Krebs déposées au  [https://www.servicehistorique.sga.defense.gouv.fr/ark/1643327 Service historique de la Défense (DE 2014 PA 40 1)].&lt;/ref&gt;

&lt;ref name=1884_ACAD-Krebs&gt;

'''1884-08''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3055h/f316  '''Académie des sciences'''] : NAVIGATION AÉRIENNE. ''Sur un aérostat dirigeable''. Note de MM. CH. RENARD and A. C. KREBS, presentée par M. Hervé Mangon.&lt;/ref&gt;

&lt;ref name=portefeuille&gt;

'''1892''' - '''Portefeuille économique des machines''' : [[c:File:1892_Portefeuille-%C3%A9conomique%3DPompe_Durenne_%26_Krebs_1888.pdf|&quot;''Pompe à incendie à vapeur de la ville de Paris ('''modèle de 1888''')'']] - ''Chaudière à vapeur multitubulaire à tubes curvilignes à circulation automatique et dilatation libre de MM. Durenne &amp; Krebs''&quot;.&lt;/ref&gt;

&lt;ref name=1889_Comité&gt;
'''28/02/1889''' - Comptes-rendus du [http://rytmo.net/ACK/1889-02-28_Pompiers_PP-DB273_Comite-Perfectionnement.pdf &quot;''Comité de perfectionnement''&quot;] des Pompiers de Paris.&lt;/ref&gt;

&lt;ref name=1896_Krebs_Levassor&gt;
'''1896-09-03''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1896-09-03_rencontre_Levassor-Krebs%3Dprise_de_licence_sur_le_brevet_Krebs.pdf Lettre de prise de license d''''Émile LEVASSOR'''] adressée à Arthur C. KREBS pour son '''Brevet d'automobile''' : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:1896-05-13_A.C.KREBS%3DBrevet_FR256344-%27voiture-automobile%27.pdf&amp;page=10 '''FR'''256344], [https://worldwide.espacenet.com/patent/search/family/032536216/publication/GB189619774A?q=GB189619774A '''GB'''189619774A], [[c:File%3A1896-11-09_BE124538%3Dbrevet_belge_de_la_voiture_de_A._C._KREBS.pdf|'''BE'''124538]].&lt;/ref&gt;

&lt;ref name=1896_voiturette_Krebs&gt;
&quot;'''LA VOITURETTE KREBS'''&quot; par Louis Lockaert, ingénieur École Centrale de Paris, LA FRANCE AUTOMOBILE, p.305, Paris, '''1896'''.&lt;/ref&gt;

&lt;ref name=Rolls&gt;
Site: [https://www.scienceandsociety.co.uk/results.asp?search=1&amp;screenwidth=1600&amp;pixperpage=50&amp;searchtxtkeys=Panhard&amp;lastsearchtxtkeys=&amp;withinresults=&amp;searchphotographer=&amp;wwwflag=&amp;lstformats=&amp;lstorients=All+Orientations&amp;captions= '''Science &amp; Society''' - Picture Library:] ''C. S. ROLLS et ses voitures de course Panhard &amp; Levassor''.&lt;/ref&gt;

&lt;ref name=Rolls-1899&gt;Photos de 1900 de la voiture de C. S. Rolls de 1899 conçue par A. C. KREBS sur [https://www.scienceandsociety.co.uk/results.asp?search=1&amp;screenwidth=1600&amp;pixperpage 50&amp;searchtxtkeys=Panhard&amp;lastsearchtxtkeys=&amp;withinresults=&amp;searchphotographer=&amp;wwwflag=&amp;lstformats=&amp;lstorients=All+Orientations&amp;captions science and society].&lt;/ref&gt;

&lt;ref name=1906_Krebs_Selden&gt;
'''1906''' - [https://hal.science/hal-05527435 Témoignage  d'Arthur Constantin KREBS] lors du procès Selden à New-York. &lt;/ref&gt;

&lt;ref name=1884_de-Grilleau&gt;
'''1884''' - [https://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:De_Grilleau_-_btv1b531494061.jpg '''De Grilleau'''] - ''[http://cnum.cnam.fr/CGI/fpage.cgi?12CA313/1/100/218/0004/0217 Les aérostats dirigeables : leur passé, leur présent, leur avenir] - Le [[w:La France (ballon dirigeable)|ballon de Meudon]] et les progrès les plus récents de l'aéronautique''. Un regard critique sur &quot;[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]&quot;: &quot;''Le capitaine Krebs forme, avec le capitaine Renard, '''un contraste frappant'''. Il est aussi blond que son collègue est brun, aussi froid que l'autre est enthousiaste. Le capitaine Krebs a plutôt la tournure d'un officier que celle d'un savant. [...] '''La qualité prédominante du capitaine Krebs est le sens pratique. Il ne fait exécuter une machine qu'après en avoir étudié à fond chaque organe. [...] Contrairement à son collègue Mr. Renard, '''il se défend d'être inventeur'''. Dans les travaux dont il est chargé, le capitaine Krebs ne donne aucune part à l'imagination, et base tous ses calculs sur des chiffres certains, et vérifiés par l'expérience'''.''&quot;&lt;/ref&gt;
'''1884''' - [https://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:De_Grilleau_-_btv1b531494061.jpg '''De Grilleau'''] - ''[http://cnum.cnam.fr/CGI/fpage.cgi?12CA313/1/100/218/0004/0217 Les aérostats dirigeables : leur passé, leur présent, leur avenir] - Le [[w:La France (ballon dirigeable)|ballon de Meudon]] et les progrès les plus récents de l'aéronautique''. Un regard critique sur &quot;[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]&quot;: &quot;''Le capitaine Krebs forme, avec le capitaine Renard, '''un contraste frappant'''. Il est aussi blond que son collègue est brun, aussi froid que l'autre est enthousiaste. Le capitaine Krebs a plutôt la tournure d'un officier que celle d'un savant. [...] '''La qualité prédominante du capitaine Krebs est le sens pratique. Il ne fait exécuter une machine qu'après en avoir étudié à fond chaque organe. [...] Contrairement à son collègue Mr. Renard, '''il se défend d'être inventeur'''. Dans les travaux dont il est chargé, le capitaine Krebs ne donne aucune part à l'imagination, et base tous ses calculs sur des chiffres certains, et vérifiés par l'expérience'''.''&quot;&lt;/ref&gt;

&lt;ref name=Fréminville&gt;'''2001''' - Voyages de Charles de Fréminville aux Etats-Unis: 1885-1898-1913-1919 (Yves Le Quesne).&lt;/ref&gt;

&lt;ref name=vanadium&gt;[https://archive.org/details/mylifeandwork00crowgoog/page/n78/mode/2up?q=vanadium '''1923''' - '''Henry Ford''' &quot;''Ma vie et mon œuvre&quot;]: &lt;small&gt;&quot;''En '''1905''', j'assistais à une course automobile à Palm Beach. Un grave carambolage se produisit et une voiture française [une voiture de course Panhard] fut détruite. Nous avions engagé notre &quot;[https://fr.wikipedia.org/wiki/Ford_Model_K Modèle K]&quot; — la six cylindres à grande puissance. Je pensais que les voitures étrangères avaient des pièces plus petites et de meilleure qualité que celles que nous connaissions. Après l'accident, je ramassai une petite tige de soupape. Elle était très légère et très résistante. Je demandai de quoi elle était faite. Personne ne le savait. Je confiai la tige à mon assistant. 'Renseignez-vous sur ce matériau', lui dis-je. 'C'est le genre de matériau que nous devrions utiliser dans nos voitures.' Il finit par découvrir qu'il s'agissait d'un acier français contenant du vanadium. Nous avons contacté tous les aciéristes américains — aucun n'était capable de produire de l'acier au vanadium. J'ai fait venir d'Angleterre un homme qui savait comment fabriquer cet acier à l'échelle industrielle. L'étape suivante consistait à trouver une usine'' ['''la [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:A_kr%C3%B3m-van%C3%A1diumac%C3%A9l_sz%C3%BClet%C3%A9se.jpg United Alloy Steel de Canton, Ohio'''] ]'' pour le produire.''&quot;&lt;/small&gt;&lt;/ref&gt;

&lt;ref name=Krebs_1924&gt;
'''1924-06''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1924-06_SHD-DE-2014-PA-40_Lettre-Arthur-KREBS_au_G%C3%A9n%C3%A9ral_de_Montluisant.pdf Lettre autobiographique] d'Arthur Constantin KREBS à son cousin le Général de Montluisant (SHD-DE-2014-PA-40) lui demandant d'expliquer sa carrière, suite à l'article de Paul Renard dans la &quot;Revue Aéronautique&quot; à l'occasion des 40 ans du dirigeable &quot;'''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]'''''&quot; (Arch. Krebs).&lt;/ref&gt;

&lt;ref name=1935_Dépêche_de_Brest&gt;
'''1935-02-03''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3478635/f3.image.r=krebs ''La Dépêche de Brest'']: &quot;Une visite à M. Arthur Krebs, qui vient d'être promu commandeur de la Légion d'honneur&quot;.&lt;/ref&gt;

&lt;ref name=VCP&gt;
Site: [https://oldauto.wixsite.com/clement-panhard Clément-Panhard on the web].&lt;/ref&gt;

&lt;ref name=CdF&gt;'''1915-11-11''' - Lettre de [[w:Charles_de_La_Poix_de_Fréminville|'''Ch. de Fréminville''']] à [[w:René_de_Knyff|René_de_Knyff]] (administrateur de Panhard &amp; Levassor).&lt;/ref&gt;


== Liens externes ==
* Charles Renard and Arthur Krebs in the [https://web.archive.org/web/20100528024835/http://www.centennialofflight.gov/essay/Lighter_than_air/Beginning_of_the_Dirigible/LTA6.htm US Centennial of Flight Commission]

* [http://rbmn.free.fr/Krebs_EN.html The site dedicated to Arthur KREBS (in English)]

* [https://oldauto.wixsite.com/clement-panhard Clément-Panhard on the web]

* Hydroplane History: [http://www.lesliefield.com/other_history/development_of_the_high.htm The Development of the High-Speed Launch or Automobile Boat – 1904]

* Jules Verne: [http://www.gutenberg.org/ebooks/3808 ''Robur The Conqueror'']

* ([[w:Musée_de_l%27air_et_de_l%27espace|Air and Space Museum]], Le Bourget, Paris) : [http://www.pyperpote.tonsite.biz/listinmae/index.php/les-appareils-exposes/halls-1-et-2-la-grande-galerie/328-dirigeable-renard-et-kreps-la-france museum reserves-1], [http://www.pyperpote.tonsite.biz/listinmae/index.php/les-appareils-exposes/halls-1-et-2-la-grande-galerie/53-equipements-d-aerostation-militaire-renard museum reserves-2]

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! colspan=&quot;2&quot;|Biographie intellectuelle
|-
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|-
|style=&quot;border:none;&quot; colspan=&quot;2&quot;|[[File:Arthur Constantin Krebs.png]]
|-
|style=&quot;border:none;&quot; colspan=&quot;2&quot;|'''Officier et industriel français, pionnier de la navigation aérienne et sous-marine et de l'ingénierie automobile'''&lt;br&gt;
|- 
|style=&quot;border:none; text-align:right; vertical-align:top;&quot;| '''Naissance''' ||style=&quot;border:none; text-align:left;&quot;| 16 novembre 1850 à Vesoul
|- 
|style=&quot;border:none; text-align:right; vertical-align:top;&quot;| '''Décès''' ||style=&quot;border:none; text-align:left;&quot;| 21 mars 1935 à Quimperlé
|- 
|style=&quot;border:none; text-align:right; vertical-align:top;&quot;| '''Sépulture''' ||style=&quot;border:none; text-align:left;&quot;| Cimetière Saint-David de Quimperlé
|- 
|style=&quot;border:none; text-align:right; vertical-align:top;&quot;| '''Nationalité''' ||style=&quot;border:none; text-align:left;&quot;| Française
|- 
|style=&quot;border:none; text-align:right; vertical-align:top;&quot;| '''Domiciles''' ||style=&quot;border:none; text-align:left;&quot;| [[c:Category:Parc aérostatique de Chalais-Meudon|Parc aérostatique de Chalais-Meudon]]&lt;br&gt;État-major des Pompiers (9 Bd du Palais, Paris)&lt;br&gt;Usine Panhard &amp; Levassor (19 av. d'Ivry, Paris)
|- 
|style=&quot;border:none; text-align:right; vertical-align:top;&quot;| '''Formation''' ||style=&quot;border:none; text-align:left;&quot;| École spéciale militaire de Saint-Cyr (1872-1873)
|- 
|style=&quot;border:none; text-align:right; vertical-align:top;&quot;| '''Activités''' || style=&quot;border:none; text-align:left;&quot;| Inventeur, ingénieur militaire, aviateur, ingénieur aéronautique, ingénieur en construction automobile, industriel, motorboat racer, pompier
|-
|style=&quot;border:none; text-align:right; vertical-align:top;&quot;| '''Œuvres notables''' ||style=&quot;border:none; text-align:left;&quot;| Les [[Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#A._C._KREBS_pilote_les_premiers_vols_pleinement_contr%C3%B4l%C3%A9s|premiers vols aériens contrôlés]] avec le sous-marin expérimental  [[Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#Le_dirigeable_%22La_France%22_avec_Charles_RENARD_et_Henri_DUPUY-de-L%C3%94ME|le dirigeable '''''La France''''']]&lt;br&gt;Le premier sous-marin pleinement fonctionnel avec [[Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#Le_sous-marin_%22Gymnote%22_avec_Gustave_ZEDE le sous-marin expérimental|'''''Gymnote''''']]&lt;br&gt;Le [[Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#Le_%22carburateur_Krebs%22|premier '''''carburateur automatique''''']]&lt;br&gt;Le premier  [[Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#Le_joint_%C3%A9lastique_FLECTOR|joint élastique '''''FLECTOR''''']]
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|style=&quot;border:none; text-align:right; vertical-align:top;&quot;| '''Distinctions'''||style=&quot;border:none; text-align:left;&quot;| Le [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3059r/f1395 '''''prix Ponti'''''] de l'[[W:Académie des sciences (France)|académie des sciences]] (avec [[W:Charles_Renard|Ch. Renard]])&lt;br&gt;Commandeur de la Légion d'honneur
|- 
|style=&quot;border:none; text-align:right; vertical-align:top;&quot;| '''Employé par''' ||style=&quot;border:none; text-align:left;&quot;| Armée de terre française&lt;br&gt;Brigade de sapeurs-pompiers de Paris&lt;br&gt;Panhard &amp; Levassor
|- 
|style=&quot;border:none; text-align:right; vertical-align:top;&quot;|'''Conjoint'''||style=&quot;border:none; text-align:left;&quot;| Marie de Fréminville (1858-1938)
|- 
|style=&quot;border:none; text-align:right; vertical-align:top;&quot;| '''Enfants''' ||style=&quot;border:none; text-align:left;&quot;| Antoine, Hervé, [[W:Louis Krebs|'''Louis''']], Anne-Marie, Arthur, [[Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#Jean_Krebs_(1896-1916)_et_Georges_GUYNEMER_(1894-1917)|'''Jean''']], Alain, [[W:Petit Navire|'''Marguerite''']]
|- 
|style=&quot;border:none; text-align:right; vertical-align:top;&quot;| '''Parentèle''' ||style=&quot;border:none; text-align:left;&quot;| [[Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#Commandant_L%C3%A9once_Krebs_(1849-1922)|'''Commandant Léonce Krebs''']] &lt;small&gt;(frère aîné)&lt;/small&gt;&lt;br&gt;[[W:Charles_de_La_Poix_de_Fréminville|'''Charles de Fréminville''']] &lt;small&gt;(beau-frère)&lt;/small&gt;
|- 
|style=&quot;border:none; text-align:right; vertical-align:top;&quot;|'''Signature'''||style=&quot;border:none;|[[File:1902 - Panhard &amp; Levassor - signature A. C. KREBS.png|250px]]
|- 
|style=&quot;border:none; text-align:right; vertical-align:top;&quot;| '''Site Web'''||style=&quot;border:none; text-align:left;&quot;| [http://rbmn.free.fr ''rbmn.free.fr'']
|-
|}
[[File:La france vd66w081t 0 h702q745p.tiff |thumb|right|250px|Artist's depiction of ''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]'', 1884]]
[[Image:Gymnote1889.jpg|thumb|250px|Le sous-marin ''[[w:Gymnote|Gymnote]]'' en 1888. Arthur Krebs tient le mât d'aération. Le périscope est visible]]
'''Arthur Constantin Krebs''' (16 November 1850 à [[w:Vesoul|Vesoul]] ([[w:Haute-Saône|Haute-Saône]]), [[w:France|France]] – 22 mars [[w:1935|1935]] à [[w:Quimperlé|Quimperlé]] ([[w:Finistère|Finistère]]), [[w:France|France]]) est un officier et industriel français, pionnier de l'aéronautique, des moteurs électriques, de la navigation sous-marine, des services d'incendie, des bateaux à moteur, de l'ingénierie automobile et gestionnaire de grands projets technologiques.&lt;br&gt;
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Arthur Constantin Krebs|'''''Arthur Constantin Krebs''''']]

== Enfance et jeunesse ==
'''Voir aussi''' : [[w:Philosophie naturelle|Philosophie naturelle]], [[w:Géométrie descriptive|Géométrie descriptive]], [[w:Dessin technique|Dessin technique]]
:::[https://gallica.bnf.fr/services/engine/search/sru?operation=searchRetrieve&amp;version=1.2&amp;startRecord=0&amp;maximumRecords=15&amp;page=1&amp;collapsing=true&amp;exactSearch=false&amp;query=%28%28dc.creator%20all%20%22Adolphe%20Ganot%22%20or%20dc.contributor%20all%20%22Adolphe%20Ganot%22%20%29%20and%20dc.title%20all%20%22Physique%20exp%C3%A9rimentale%22%20%29%20sortby%20dc.date%2Fsort.ascending Adolphe GANOT] [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k58470644/f1.item.r=lotz%20locomotive La locomotive routière de M. LOTZ]
&quot;''Mon cher cousin, vous me demandez, dans votre aimable lettre du 25 mai ''[1924]'', de vous expliquer comment, simple officier d'infanterie, j'ai été amené à remplir les rôles et effectuer des travaux peu en rapport avec la carrière où j'étais entré.''

''Ceci m’oblige à faire remonter mes souvenirs et à me rappeler que dès l’âge où je commençais à apprécier les jouets mécaniques, ma plus grande distraction consistait à réparer et mettre en état tous ceux qui me tombaient entre les mains''. 

'''1861''' - ''Plus tard mes lectures portaient toujours sur des livres décrivant des mécaniques, si bien qu’à 11 ans, la Physique de [[w:Adolphe_Ganot|Ganot]] m’étant tombée sous la main, je l’étudiai avec le plus grand intérêt, m’initiant à tous les mystères de la machine à vapeur et de ses applications.''&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;

&quot;''Etant enfant, le jeune Krebs avait fait une machine à vapeur qui faisait marcher toute une scierie mécanique installée dans une vieille machine à coudre.''&quot; &lt;ref name=1884_de-Grilleau /&gt;
&lt;gallery&gt;
1850 Arthur Constantin KREBS=acte de naissance.pdf|'''1850''' -  [https://archives.haute-saone.fr/ark:/77977/vta7633bbf978e35653/daogrp/0#id:527817281?gallery=true&amp;center=1435.927,-2845.150&amp;zoom=9&amp;rotation=0.000&amp;brightness=100.00&amp;contrast=100.00 Acte de naissance] de Arthur Constantin KREBS.

1862~Famille-Constantin-KREBS=Léonce+Arthur+Marie.jpg|'''1862 ~''' Les enfants de Constantin &amp; Elodie KREBS : Léonce-Vital (~14), Arthur (~12), Marie (~10). &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

1868_Ganot-Adolphe='Traité_élémentaire_de_physique_expérimentale_et_appliquée_et_de_météorologie'.jpg |'''1860''' - [[w:Adolphe_Ganot |'''Adolphe Ganot''']] : [https://archive.org/details/introductorycou00unkngoog/page/n8/mode/2up ''Introductory course of natural philosophy: for the use of high schools and academies, edited from GANOT'S POPULAR PHYSICS.'']
&lt;/gallery&gt;
&quot;''Cette aptitude particulière ne fut pas sans nuire, un peu, à mes études classiques, car mon esprit, plus préoccupé de ce qu’il avait appris par lui-même, cherchait à les réaliser pratiquement.

''Ceci me conduisit naturellement, à dessiner avec précision ce qui, par la suite, me rendit les plus grands services. Un croquis bien fait traduit mieux, pour les autres, la pensée de l’auteur, que toutes les descriptions ou explications qui peuvent être données quand il s’agit d’une construction ou d’une machine quelconque.''&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;
&lt;gallery&gt;
1875 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=Palais(Belle-île) dessin de machine à coudre les voiles.jpg|'''1875''' - '''Dessin d'imitation''' d'une machine à coudre les voiles des thoniers de ''Belle-île'' par  A. C. KREBS qui a eu '''20/20 à St Cyr'''.&lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

1878-00-00 MAE A-C-KREBS=Plan de la machine à éprouver les cordages de Renard.jpg|'''1878''' - Plan de la '''machine à éprouver les cordages''' de Renard, signé &quot;Krebs&quot;. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

1878-00-00 MAE A-C-KREBS=Plan de la soupape Renard.jpg|'''1878''' - Plan de la '''soupape de ballon Renard''', signé &quot;Krebs&quot;. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
&lt;/gallery&gt;
&quot;''En '''1867''' j'ai vu pour la première fois le véhicule automobile de M. [[W:Brissonneau_et_Lotz|Lotz]]. ''[...]'' Le véhicule de Lotz consistait essentiellement en une chaudière à vapeur portée par un avant-train avec une cinquième roue &lt;ref&gt;'''Le concept de [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4717339t/f2.image.r=locomotive &quot;cinquième roue&quot;]''' semble dû, en France, à M. Lotz de Nantes qui a développé des &quot;locomotives routières&quot; dans les années '''1860'''. &lt;small&gt;Il définit ce concept comme &quot; [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4717339t/f2.item.r=locomotive ''une cinquième roue, roue directrice, au moyen de laquelle le cocher pourra tourner ou obliquer à discrétion'']&quot;. Confronté aux problèmes de direction de ses engins, il dépose le 03/01/'''1865''' un brevet ([https://rytmo.net/ACK/1894-11-28_Pompiers_PP-DB273_Comite-Perfectionnement.pdf '''FR'''65729]) pour l’ &quot;[https://archives.inpi.fr/brevets?arko_default_63f395e1547dd--ficheFocus=&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bmode%5D=simple&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bop%5D=AND&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bop%5D=AND&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bq%5D%5B%5D=&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bq%5D%5B%5D=65729&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bextras%5D%5Bmode%5D=input&amp;arko_default_63f395e1547dd--from=0&amp;arko_default_63f395e1547dd--resultSize=25&amp;arko_default_63f395e1547dd--contenuIds%5B%5D=1033&amp;arko_default_63f395e1547dd--modeRestit=arko_default_63f397c19a653 ''application de la roue hélicoïdale à la direction des locomotives pour routes ordinaires'']&quot;. Dans ce brevet Lotz expose très précisément son souhait de rendre la direction irréversible face aux cahots de la route. Il s’agit d’un &quot;[[w:Volant directionnel|volant]] de manœuvre&quot; vertical, comme la [[w:Barre (bateau)|barre à roue]] d’un navire. A. C. Krebs reprendra ce concept d’irréversibilité avec son système de direction à secteur denté et vis sans fin en '''1898'''. Il faut noter que le concept de cinquième roue n’est pas le même en Amérique. Le &quot;[[w:en:Fifth-wheel_coupling|fifth|wheel coupling]]&quot; était un système de plateforme pour l’attelage d’une calèche avec un chariot à quatre roues, apparu dès '''1850'''. Ce système est aujourd’hui le standard de liaison entre une semi-remorque et son tracteur routier. Il est désigné en français par le terme &quot;[[w:Sellette (transport)|Sellette]]&quot;. Dans son [https://worldwide.espacenet.com/patent/search/family/002617903/publication/US549160A?q=pn%3DUS549160 brevet], [[w:en:George_B._Selden Selden]|utilise l’expression &quot;fifth-wheel&quot;] pour décrire la plateforme horizontale munie d’un engrenage à vis sans fin entraîné par le volant de direction ([&lt;Steering_wheel steering wheel]) et permettant d’orienter les roues directrices. A. C. Krebs utilise ici la notion de cinquième roue dans le même sens que Selden. Noter que, pour désigner cette plateforme mécanique, dans son brevet Lotz utilise le terme de &quot;cercle&quot;, et que A. C. Krebs utilise le terme de &quot;rond&quot; dans son brevet de '''1896''' : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:1896-05-13_A.C.KREBS%3DBrevet_FR256344-%27voiture-automobile%27.pdf&amp;page=10 '''FR'''256344].&lt;/small&gt;&lt;/ref&gt; d'accouplement à pivot central.&lt;ref&gt;Le système de direction d’un véhicule où le train-avant complet tourne est dit à &quot;[[w:Direction_(automobile)#Historique|cheville ouvrière]]&quot;. A. C. Krebs conservera ce système issu de la traction hippomobile sur sa voiture de '''1896''', et en '''1898''' sur la voiture [[Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#La_%22Voiture_Cl%C3%A9ment-Panhard_(VCP)%22_et_Adolphe_CLEMENT|Clément-Panhard (VCP)]] qui en est la version commerciale. De son côté, sur sa voiture à vapeur, Bollée utilisera le système de l’ &quot;essieu brisé&quot;.&lt;/ref&gt; et une remorque composée d'un arbre et de deux roues. L'une d'elles pouvant être connectée ou déconnectée de l'arbre de façon à permettre à une vis sans fin de s'engrener avec une roue dentée munie de chaînes aux extrémités de l'arbre avant. J'ai vu ce véhicule rouler à [[W:Lons-le-Saunier|Lons le Saulnier]], en vue d'un essai réalisé avec cette machine sous la direction de M. Lotz, lors d'un voyage effectué à des fins publicitaires en 1867.''&quot;  &lt;ref name=1906_Krebs_Selden/&gt;

'''1868''' - &quot;''Cette habitude à traduire ma pensée par un dessin avait développé en moi la faculté de bien voir dans l'espace, et je me souviens qu'en Math-spé, mon professeur m’envoyait toujours au tableau pour l’exécution des épures de descriptive dans lesquelles il s’embrouillait souvent.''&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;
&lt;gallery&gt;
1864-1867 Locomotive routière LOTZ=vue par Krebs.png|La [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bd6t53749599/f118.item.r=lotz locomotive routière] de [[W:Brissonneau_et_Lotz|M. LOTZ]] que A. C. KREBS vit à [[W:Lons-le-Saunier|Lons le Saulnier]] en '''1867'''.

1868 Arthur Constantin Krebs=projet de voiture automobile.jpg|'''1868''' - A. C. KREBS :'' &quot;'''Projet de voiture automobile'''&quot; : ''sans doute pour un cours de math-spé. La colonne de direction très inclinée suggère une réelle intention de vitesse'''. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
&lt;/gallery&gt;
== La guerre franco-allemande de '''1870''' ==
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Guerre franco-allemande de 1870|'''''Guerre franco-allemande de 1870''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Guerre franco-allemande de 1870|Guerre franco-allemande de 1870]]
&lt;br&gt;&quot;''En '''1870''', je me présentais aux examens de [[w:École_Polytechnique|Polytechnique]], et à ceux de [[w:École_spéciale_militaire_de_Saint-Cyr|St-Cyr]]. Mais la [[w:Guerre franco-allemande de 1870|guerre]] survenue avant que les examens oraux d’admissibilité pour l’[[w:École_Polytechnique|X]] furent passés à [[w:Besançon|Besançon]], où je terminais mes études, je ne pus les subir et suivis le sort des admissibles à St-Cyr''&quot;. &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;
&lt;gallery&gt;
1871-01 Sous-lieutenant Arthur Constantin KREBS en garnison à Villefranche-sur-mer près de Nice.png|'''1871-01''' - '''Le sous-lieutenant A. C. KREBS''' en garnison à [[W:Villefranche-sur-Mer|Villefranche-sur-mer]] près de  [[W:Nice|Nice]]. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
1871-01-04 Aquarelle d'A-C KREBS=Baie de Villefranche vue de la route de la corniche.pdf|'''1871-01-04''' - '''Aquarelle''' de A. C. KREBS : ''&quot;'''Baie de Villefranche vue de la route de la corniche'''&quot;''. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
&lt;/gallery&gt;
== '''Ingénieur Militaire''' ==
'''Catégorie''' : [[commons:Category:École spéciale militaire de Saint-Cyr|'''''École spéciale militaire de Saint-Cyr''''']], 
[[commons:Category:Viaduc de la grue revolver du port militaire de Brest|'''''Viaduc de la grue revolver du port militaire de Brest''''']], 
[[commons:Category:Plateau des Capucins|'''''Plateau des Capucins''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:École spéciale militaire de Saint-Cyr|École spéciale militaire de Saint-Cyr]], [[w:Académie militaire de Saint-Cyr Coëtquidan|Académie militaire de Saint-Cyr Coëtquidan]], [[w:Arsenal de Brest|Arsenal de Brest]]
&lt;br&gt;'''1873''' - &quot;''Après la guerre et le temps passé à [[w:École_spéciale_militaire_de_Saint-Cyr|St-Cyr]], je vins en garnison à [[w:Brest,_France|Brest]]. Comme officier, l’[[w:arsenal|arsenal]] m’était ouvert. J’en profitais largement pour approfondir mes connaissances en mécanique et continuer mes études techniques.''&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Brest, vue des ateliers des Capucins num-2006-5-11-a-2.jpg|L' [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k314587/f87.item.r=brest '''arsenal militaire de Brest''']: Les ateliers des Capucins, l'atelier de la mâture et le viaduc.

File:1873-1874 carnet de dessins=Brest et Nantes.pdf|page 3|'''1873-1874''' - A. C. KREBS : '''carnets de dessins''' de [[w:Brest,_France|Brest]] et [[W:Nantes|Nantes]]: La '''grue revolver''' de l'[[w:Arsenal de Brest|Arsenal de Brest]]. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:Btv1b531186107 port militaire de Brest.jpg|'''1900''' - La  [[c:File:Num-2009-2-51-a-0313-4.jpg|'''grue  revolver''']] de  l'[[w:Arsenal de Brest|Arsenal de Brest]]. 

File:Viaduc de la grue revolver-Capucins-BREST.jpg|'''2011''' - Le Viaduc de la '''grue revolver''' du [[W:Ateliers_du_Plateau_des_Capucins_(Brest)|Plateau des Capucins]].

File:1875 le Lieutenant Arthur Constantin KREBS en garnison à Brest.png|'''1875''' - Le '''Lieutenant A. C. KREBS''' en garnison à [[w:Brest,_France|Brest]] après sa formation à [[w:École_spéciale_militaire_de_Saint-Cyr|St-Cyr]].

File:Chantiers Goün, Prairie-au-Duc.jpg|'''1875''' - Le   [[W:Ernest_Go%C3%BCin_et_Cie|chantier Ernest Goüin]] à Nantes sur l'[[W:%C3%8Ele_de_la_Prairie-au-Duc|&quot;Île de la Prairie-au-Duc&quot;]] sur la [[W:Histoire_de_la_construction_navale_dans_l%27estuaire_de_la_Loire|Loire]].

File:1878 - Exposition Universelle de Paris - Chantiers Jollet et Babin.png|'''1878''' - Exposition Universelle de Paris : Le '''chantier Jollet and Babin''' à Nantes. &lt;ref&gt;'''1878''' - '''Les chantiers Jollet et Babin''' : &lt;small&gt;&quot;''P. D. JOLLET et L. BABIN, Constructeurs-Mécaniciens à Nantes. Navires en Bois et en Fer - Armements complets de navires. La maison P. D. Jollet et Babin (ancienne maison Jollet et Fils) remonte à plus d'un siècle. Mais depuis 20 ans la nouvelle maison s'est progressivement développée en prévision de la construction de grands bâtiments de mer, en bois et en fer, de la construction de machines à vapeur, marines et autres, et de tous les travaux métallurgiques. Aujourd'hui, son matériel, son personnel, ses ateliers de forge, de chaudronnerie, d'ajustage, de menuiserie, de pouliage et de gréement, lui permettent d'entreprendre la construction et la livraison complète, barre en main, des bâtiments en fer et en bois du plus grand tonnage. Elle peut livrer des machins à vapeur marines et des machines de terre (système Corliss ou autres), jusqu'à une puissance de huit cent chevaux, indiqués. Enfin, grâce à un outillage très-complet, elle entreprend les gros travaux de chaudronnerie, les ponts, les charpentes, les travaux d'artillerie, tous les travaux de chaudronnerie en cuivre pour les raffineries et les autres usines. Elle possède, en outre, un atelier de galvanisage, une fabrication de chaînes spéciales pour la marine, les chemins de fer, les fonderies, etc., etc. MM. Jollet et Babin ont une succursale pour les réparations à Saint-Nazaire et sont fermiers du bassin de carénage de Paimboeuf. En temps de travail ordinaire ils occupent 800 ouvriers.''&quot;&lt;/small&gt;&lt;/ref&gt; &lt;ref&gt;'''1881''' - À la fin du roman de '''Jules Verne'''  &quot;[[w:La_Jangada|La Jangada]]&quot;, son frère Paul Verne décrit son bateau le  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6513563v/f339.item.r=jollet Saint-Michel III], construit par le chantier '''[[W:Louis_Mathurin_Babin-Chevaye|Jollet et Babin]]'''. &lt;/ref&gt; 

File:1885~St-CYR=uniforme.png|'''1885''' - Uniforme d'un '''élève de l'école spéciale militaire de [[w:École_spéciale_militaire_de_Saint-Cyr|St-Cyr]]'''.

File:1875 Ecole Militaire de Saint-Cyr.jpg |'''1893''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k1412878r/f1.item &quot;''Exercices gradués de dessin topographique à l'usage des candidats à l'Ecole spéciale militaire de Saint-Cyr''.&quot;]
&lt;/gallery&gt;
=== Cartes de Brest ===
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Maps of Brest, France by Arthur Constantin Krebs|'''''Cartes de Brest par A. C. KREBS''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:cartographie|cartographie]], [[w:Hachures#Cartographie|Hachures]], [[w:Carte|Carte]]
&lt;br&gt;'''1873''' - &quot;''Pendant mon séjour à Brest, j'ai relevé des plans de Brest et
de ses environs, et j'eus l'autorisation de fabriquer, avec l'aide d'ouvriers du régiment, une presse &lt;ref&gt;'''1860''' - '''Dictionnaire français illustré et encyclopédie universelle''' :  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k58175678/f314.image.r=lithographie Litographie] : &quot;''Le tirage lithographique exige des précautions très-minutieuses; en outre, ses résultats sont  entièrement subordonnés à l'habileté de l'ouvrier. Ainsi, par ex., en ce qui concerne le nombre des épreuves, le bon ouvrier réussit à en obtenir 4 à 5000 avec la même pierre, tandis qu'un autre peut à peine arriver à 5 ou 600''.&quot;&lt;/ref&gt; avec laquelle je pus tirer à quelques milliers d'exemplaires la carte que j'avais établie et qui servit pendant de nombreuses années.''&quot; &lt;ref name=&quot;1935_Dépêche_de_Brest /&gt;
&lt;gallery&gt;
1873 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=carte de Brest (centre).jpg |'''1873''' - '''Carte du centre de [[w:Brest,_France|Brest]]''' gravée et imprimée par A. C. KREBS. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

1873 Arthur Constantin KREBS=Carte topographique de Brest.jpg|'''1873''' -  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b84439718.r '''''Carte topographique des environs de Brest'''''] gravée par A. C. KREBS quand il était au 19ème Regiment d'infanterie (signée A. Krebs). &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
&lt;/gallery&gt;
=== Dessin de carènes ===
'''Catégories''' : [[commons:Category:Construction navale|'''''Construction navale''''']], [[commons:Category:Architecture navale|'''''Architecture navale''''']], [[commons:Category:Ingénieur du corps des ingénieurs de l'armement|'''''Ingénieur du corps des ingénieurs de l'armement''''']], [[commons:Category:Vehicle hulls|'''''Coques de véhicules''''']], [[commons:Category:Cross sections of ships|'''''Sections transversales de navires''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Carène (bateau)|Carène (bateau)]], [[w:Coque (bateau)|Coque (bateau)]], [[w:Proue|Proue]], [[w:Étrave|Étrave]], [[w:Construction navale|Construction navale]], [[w:Génie maritime|Génie maritime]], [[w:Corps des ingénieurs de l'armement|Corps des ingénieurs de l'armement]]
&lt;br&gt;'''1875''' - &quot;''Mon futur beau-père ''[[w:Antoine-Joseph_de_La_Poix_de_Fréminville|Antoine de Fréminville]]'', camarade d’enfance de mon père, m’avait donné des ouvrages sur les '''Machines à vapeur marines''' &lt;ref&gt;'''1861''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k316149k/f9.item Cours pratique de machines à vapeur marines] : professé à l'École d'application du génie maritime / par M. A. de Fréminville.
'''1870''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k146769f.r= Cours de machines à vapeur : année 1870-1871] par M. de Fréminville, professeur à l'École centrale des arts et manufactures.&lt;/ref&gt; et la '''construction des navires''' &lt;ref&gt;
'''1863''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k97347690.r Guide du marin] : résumé des connaissances les plus utiles aux marins. '''1864''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k858752p.r=  Traité pratique de construction navale] ([https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k858754f.r ATLAS]) par Mr. A. de Fréminville.&lt;/ref&gt; qu’il professait à l’École du Génie Maritime à [[w:Brest|Brest]].

''J’en fit mon profit et plus tard, en garnison à [[w:Nantes|Nantes]], en ''[[w:1875|1875]]'', je rédigeai les plans d’un navire qui fut construit par un industriel avec lequel j’avais fait connaissance.''&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;

''Une difficulté s'étant présentée un jour dans la construction d'un nouveau modèle, ce fut le lieutenant Krebs qui se chargea de la résoudre. Il fit à lui seul les plans du navire, et son projet fut exécuté de point en point.''&quot; &lt;ref name=1884_de-Grilleau /&gt;
&lt;gallery&gt;
File:1883-ALBUM-16 SHD-DE-2014-PA-40 Carène du canot l'Ampère.jpg|'''1883''' - '''La coque à bulbe du canot électrique &quot;L'Ampère&quot;''' : Ce canot est conçu et construit par A. C. KREBS '''pour tirer dans l'eau les maquettes du dirigeable [[w:La France (ballon dirigeable)|La France]] et déterminer sa forme aérodynamique'''. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:1884 - L'enveloppe du dirigeable &quot;La France&quot; gonflée à l'air.jpg|'''1884''' - '''L'enveloppe du dirigeable &quot;La France&quot;''' gonflée à l'air, dont '''les fuseaux ont été tracés par A. C. KREBS'''.

File:1888-04-17 - Sous-marin Gymnote - le canot électrique d'essai préalable.pdf|'''17/04/1888''' - '''Sous-marin Gymnote''' - le '''canot électrique d'essai''' préalable : '''Spécifications rédigées par A. C. KREBS'''.

File:1889 Le-bateau-L'Etincelle=dessiné par A.C.KREBS.pdf|'''1889''' - Le bateau à vapeur &quot;L'Etincelle&quot;''' dessiné par A. C. KREBS''', propulsé avec un moteur à vapeur '''Durenne &amp; Krebs'''.

File:1899-06-03 Le Yacht=KREBS dessine les plans du canot PHOENIX.jpg|'''1899-12-16''' - &quot;Le '''''PHOENIX - Canot à essence de pétrole'''''&quot; : &quot;''L'auteur de ces plans, ainsi que de ceux du moteur est'' '''''M. le commandant Krebs''''' [...]&quot; &lt;ref&gt;'''1899-12-16''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k7123311z/f4.image.r=krebs '''Le Yacht''']: &quot;''Le PHOENIX - Canot à essence de pétrole à la société des anciens établissements Panhard and Levassor''&quot; : &quot;Il évolue facilement, grâce aux formes spéciales que l'auteur des plans a donné à sa carène, le gratifiant ainsi d'une vitesse, d'une stabilité et d'une facilité d'évolution parfaites.&quot;&lt;/ref&gt;

File:1903-1911 Les-bateaux à essence L'Etincelle=dessinés par A.C.KREBS.pdf|'''1903-1911''' - '''Les bateaux à pétrole''' &quot;''L'Etincelle&quot; I et II''&quot;  '''dessinés par A. C. KREBS''', qui a également conçu les moteurs alors qu'il est directeur de '''Panhard &amp; Levassor'''.

File:1913 - Panhard &amp; Levassor - le bateau &quot;Parcifal&quot; dessiné par A. C. KREBS et construit par les chantiers KRAFF à Quimper.jpg|'''1913''' - '''Le bateau''' &quot;Parsifal&quot; '''de 14 mètres dessiné par A. C. KREBS''' et construit par les [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bd6t557169x/f7.image.r=kraff chantiers Kraff] de Quimper.
&lt;/gallery&gt;
== '''Le parc de recherche aérostatique de Chalais-Meudon''' avec '''[[w:Charles_Renard|Charles RENARD]]''' ==
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Parc aérostatique de Chalais-Meudon|'''''Parc aérostatique de Chalais-Meudon''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Chalais-Meudon|Chalais-Meudon]], [[w:Aérostation|Aérostation]], [[w:Dirigeable militaire|Dirigeable militaire]], [[w:Aérostat|Aérostat]], [[w:Dirigeable à enveloppe souple|Dirigeable à enveloppe souple]], [[w:Flottabilité|Flottabilité]], [[w:Portance|Portance]], [[w:Ballonnet|Ballonnet]], [[w:Hangar Y|Hangar Y]], [[w:Histoire de l'aérostation|Histoire de l'aérostation]], [[w:Histoire de l'aviation|Histoire de l'aviation]], [[w:Chronologie de l'aéronautique|Chronologie de l'aéronautique]]
:::[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k55364253/f6.item.r=krebs 1884-10-01 - Les aérostats dirigeables]

'''1876''' - &quot;''À la fin de [[w:1876|1876]], mon bataillon vint à [[w:Paris|Paris]]. Mis en rapport par un ami commun, avec le [[w:Charles_Renard|Capitaine Renard]], j’entrai en relation avec lui et il me mit au courant des travaux qu’il avait entrepris à la Commission des Communications Aériennes et me demanda ma collaboration.''

''Le [[w:Aimé_Laussedat|Colonel Laussedat]], qui présidait cette commission, m’y fit nommer par le ministre, et je fus détaché à la Direction du Génie, de laquelle dépendaient les Ateliers de Chalais-Meudon. Mes vœux les plus chers étaient ainsi comblés, mais pour donner confiance et obtenir des crédits, il fallait réussir et ne promettre que ce que l’on était sûr de pouvoir réaliser.''

''Renard avait déjà construit un [[w:Ballon captif|ballon captif]], seule la partie mécanique permettant d’effectuer des ascensions, n’était qu’à l’état embryonnaire. Je me chargeai de la réaliser, et grâce à l’[[w:Exposition universelle de 1878|Exposition de 1878]], je réunis rapidement tous les éléments nécessaires à l’établissement d’un treuil à vapeur'' [fixe] ''qui fonctionna à notre plus grande satisfaction dès le mois d’août.''&quot;  &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;
=== Train de ballons captifs ===
'''Catégories''' : [[commons:Category:Type ou modèle d'aérostat|'''''Type ou modèle d'aérostat''''']], [[commons:Category:Aerostation|'''''Aérostation''''']], [[commons:Category:Tethered balloons|'''''Ballons captifs''''']], [[commons:Category:Aerostats|'''''Aérostats''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Aérostat|Ballon captif]]
&lt;br&gt;&quot;''Les expériences et les démonstrations se succédèrent alors brillamment en toute sécurité et nous permirent d’y intéresser des membres de la Commission du budget, car il fallait obtenir des crédits pour pouvoir continuer les études et réaliser les projets faisant l’objet de la Commission des Communications Aériennes''.

''[[w:Léon_Gambetta | Gambetta]], puis [[w:Georges_Clemenceau | Clémenceau]], vinrent successivement assister aux expériences et promirent leur appuis''.&quot;

'''1880''' - '''Rapport de la Commission du budget''' de la Chambre des députés &quot;''Sur le budget des dépenses extraordinaires sur ressources extraordinaires de l'exercice 1880''&quot; : &quot;''Pour le ministère de la Guerre, reconstitution du matériel militaire'' [...] ''Votre Commission estime que l'oeuvre entreprise doit être complétée. C'est dans cet esprit qu'elle a examiné les diverses demandes présentées s'efforçant de maintenir les crédits dans les limites absolument nécessaires pour arriver à ce complet achèvement.'' [...] '''''Télégraphie militaire et communications aériennes''''' [...]  ''Nous avons visité, Messieurs, l'école d'aérostation militaire du parc de Chalais. Nous avons constaté avec le plus vif intérêt les progrès accomplis, les résultats obtenus, dus aux constantes études de '''''deux jeunes officiers, aussi modestes que distingués et capables'''''. Vous ne sauriez faire des fonds de l'État un emploi plus judicieux qu'en encourageant, par l'adoption du crédit demandé, des efforts qui permettent d'espérer encore dans l'avenir des résultats précieux pour la science et pour l'art de la guerre''.&quot;

&quot;''Deux buts étaient à poursuivre :

:''1/ Étude et construction d’un matériel de ballon captif transportable en campagne ;

:''2/ Étude et construction d’un ballon dirigeable.

''Le premier me parut facile à réaliser. Il se réduisit à la construction d’un treuil à vapeur sur roues pour les manœuvres de ballons, et à celle de deux autres voitures pour le transport des agrès et des accessoires de la machine à vapeur (eau et charbon), puis d’un appareil, également sur roues, pour la production du gaz hydrogène. Renard s’occupa de cette dernière question et je pris la première.''&quot;  &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Charles Renard.jpg|'''1876''' - '''Charles Renard''' (1847-1905) directeur de l'établissement aérostatique de Chalais-meudon.

File:1879 - LA NATURE (1884) - expériences de [[w:Victor Tatin|Victor TATIN] (1843-1913)] à Chalais-Meudon en présence de Renard et Krebs.png|thumb|1879 - LA NATURE (1884) : expériences de Victor TATIN à Chalais-Meudon en présence de Renard et Krebs]]|'''1879''' - Expériences de '''Victor TATIN''' à Chalais-Meudon ''' [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?4KY28.23/333/100/432/8/420 en présence de Renard et Krebs]'''.

File:1880~Aimé-Laussédat (1819-1907) par A. Gerschel.jpg|'''1880''' ~ '''Aimé Laussédat''' (1819-1907) directeur de la commission des communications aériennes.

File:Gambetta par Étienne Carjat (photo recadrée).jpg|'''1881''' - [[w:Léon_Gambetta |'''Léon Gambetta''']] (1838-1882) vient assister aux expériences de Krebs &amp; Renard et promet son soutien financier.

File:Georges Clemenceau Nadar.jpg|'''1881''' - [[w:Georges_Clemenceau | '''Georges Clémenceau''']] (1841-1929) vient assister aux expériences de Krebs &amp; Renard et promet son soutien financier.

File:1882-ALBUM-14 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=Chaudière Krebs.jpg | '''1882''' - '''Chaudière à vapeur système KREBS''' pour la manœuvre du treuil de campagne pour ballons captifs. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:1882-ALBUM-07 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=treuil à vapeur.jpg | '''1882''' - '''Voiture treuil de A. C. KREBS''' pour la manœuvre des ballons captifs en campagne. Le treuil met en oeuvre, pour la première fois en aérostation, le principe du touage à 2 tambours parallèles. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:1883-ALBUM-08 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=Fourgon.jpg |  '''1883''' - '''Voiture fourgon''' conçue par A.C. KREBS pour la manœuvre des ballons captifs en campagne. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:1883-ALBUM-09 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=voiture aux agrais.jpg | '''1883''' - '''Voiture d'agrés''' designed by A.C. KREBS for the captive balloon train in the field. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:1906~Treuil d'aérostation KREBS modèle 1882 en opération.jpg|'''1906''' - Treuil d'aérostation à vapeur modèle '''1882''' de KREBS en opération.'''.

File:1916 - The A. C. KREBS Aerostation Steam Winch System of 1882 practical mechanics course.png|'''1916''' - Le système KREBS de treuil à vapeur d'aérostation modèle 1882 : [[c:File:1916_-_The_1882_A._C._KREBS_steam_winch_system.pdf[page 2|'''''Cours de mécanique pratique''''']]. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:1914GDOC 01418B - SERIE SPECIALE (SUITE)=treuil à vapeur système Krebs (modèle 1882).webm|'''1914-1918''' - '''Vidéo''' : ''Le '''treuil d'aérostation à vapeur système A. C. Krebs''' (modèle '''1882''') en action''. '''Vitesse du câble''' : 10 m/s.
&lt;/gallery&gt;
=== Générateur d'hydrogène ===
'''Catégories''' : [[commons:Category:Hydrogen production|'''''Production d'hydrogène''''']], [[commons:Category:Mobile engine-generators|'''''Groupe électrogène''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Histoire de la production d'hydrogène|Histoire de la production d'hydrogène]], [[w:Technologie de l'hydrogène|Technologie de l'hydrogène]], [[w:Chronologie des technologies de l'hydrogène|Chronologie des technologies de l'hydrogène]], [[w:Groupe électrogène|Groupe électrogène]]
&lt;br&gt;'''1879-1880''' - Ch. RENARD conçoit des générateurs d'hydrogène stationnaires ou mobiles, et A. C. KREBS conçoit les machines à vapeur qui les animent.
&lt;gallery&gt;
1878 A-C Krebs=machine électrique à lumière.jpg|'''1878''' - '''Groupe électrogène mobile à vapeur de A. C. KREBS''' : &quot;''Machine électrique à lumière''&quot; destinée en particulier à l' '''électrolyse de l'eau''' (signé Krebs). &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:1879-11-00 MAE Lettre-Rapport-Hydrogène.jpg | '''1879-11''' - '''Ch. RENARD : Générateur d'hydrogène stationnaire''' à Chalais-Meudon pour le gonflement des ballons. A. C. KREBS conçoit la machine à vapeur qui l'anime. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:1880-10 MAE cahiers-Krebs Hydrogène moteur-vapeur.pdf | '''1880-10''' - '''A. C. KREBS''' conçoit la '''machine à vapeur''' qui anime le générateur d'hydrogène conçu par Ch. RENARD à Chalais-Meudon pour le gonflement des ballons. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:1882 C.RENARD et A.C.KREBS = voiture générateur d'hydrogène.jpg | '''1882''' - '''Voiture à hydrogène de Ch. RENARD &amp; A. C.KREBS''' pour le gonflement des ballons en campagne. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:1882-ALBUM-13 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=Production de gaz.jpg | '''1882''' - '''Production de gaz hydrogène en campagne''' avec le train de ballons captifs de A. C. KREBS &amp; Ch. RENARD. Le treuil à vapeur de A. C. KREBS est visible en arrière-plan. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
&lt;/gallery&gt;
&quot;''Pour mener à bien et rapidement ces travaux, nous fûmes conduits à établir '''un laboratoire''' et à installer '''un atelier mécanique''' pourvus l’un et l’autre des outils et outillages nécessaires. Nous avions comme ouvriers des Sapeurs du Génie provenant du Régiment de Versailles. &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;

'''1906''' - &quot;''Tous les travaux de mécanique ont fait l'objet d'une étude particulière de ma part, et pour y parvenir j'ai construit et organisé un atelier situé dans [[c:Category:Parc_a%C3%A9rostatique_de_Chalais-Meudon|le parc de Chalais-Meudon]], atelier qui existe toujours''&quot;. &lt;ref name=1906_Krebs_Selden/&gt;

'''1879-1880''' - &quot;''L’année suivante ('''juin 1879'''), un premier parc était réalisé et permit de faire des expériences de transport de ballons et d’ascensions sur le plateau qui domine [[w:Meudon|Meudon]] au sud. À la suite de ces essais, le ministre décida que ce parc assisterait aux Grandes Manœuvres qui devaient se dérouler aux environs de Silliers-le-Guillaume ('''22 et 23 septembre 1880'''). Pendant ces manœuvres, les renseignements donnés par le ballon sur la marche des opérations, contrôlé par un officier d’État-major'' [[Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#Commandant_L%C3%A9once_Krebs_(1849-1922)|Léonce Krebs]] ''qui avait été adjoint au parc, furent si probants que la construction de 4 parcs semblables fut décidée et nous fut confiée.''&quot;

&quot;''Les crédits alloués nous permirent d’agrandir les ateliers, de perfectionner l’outillage et d’établir une fabrication qui a servi de modèle aux 25 parcs de ballons captifs qui se trouvaient dans les différents Corps d’Armée et places fortes en 1914.''&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;
=== Ascensions libres ===
&lt;gallery&gt;
1878-06 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=le ballon captif à Chalais-Meudon.jpg |'''1878-06''' - Album photo de A. C. KREBS : &quot;''Le ballon captif à Chalais-Meudon''&quot;. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:1868 L'AERONAUTE=page de garde.jpg |'''1879-08-03''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5699161r/f22.image.r=krebs '''Ascension  libre''' de Ch. RENARD et A. C. KREBS].

File:1882 Aéronaute-article-Renard&amp;Krebs-KREBS signature.jpg |'''1882''' - L'Aéronaute : &quot;'''''Considérations générales sur les ascensions de longue durée'''''&quot; (signé KREBS.) &lt;ref&gt;&quot;'''''Mr Poitevin a signé cet article pour moi''''' ''qui, n'ayant pas deandé d'autorisation au ministre de la Guerre ne pouvait faire paraître mon nom'' (signé KREBS.)&lt;/ref&gt;  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k58276296/f1.item#]  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5827634h/f5.item.r=]  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5827635x/f4.item]
&lt;/gallery&gt;
=== Mariage ===
'''1881''' - A. C. KREBS et Marie de Fréminville (soeur de  [[w:Charles_de_La_Poix_de_Fréminville|Charles de Fréminville]]) se marient.
&lt;gallery&gt;
File:1881-A-C-KREBS=portrait de mariage.jpg|'''1881''' - '''A. C. KREBS''', portrait de mariage. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:1881 portrait Marie de Fréminville.jpg|'''1881''' - '''Marie de Fréminville''', portrait de mariage (soeur de [[w:Charles_de_La_Poix_de_Fréminville|Charles de Fréminville]]). &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:1881 - A. C. KREBS - &quot;mon habitation à Chalais-Meudon&quot;.jpg|'''1881''' - A. C. KREBS: &quot;'''''Mon habitation à Chalais-Meudon'''''&quot; dans le parc de recherche aérostatique. &lt;ref&gt;Il faut souligner que A. C. KREBS a toujours habité, avec sa famille, sur son lieu de travail : dans le parc de Chalais-meudon, à l'état-major des pompiers au 9 Bd du Palais sur l'île de la cité à Paris, et dans la maison de Levassor agrandie, dans l'usine Panhard, avenue d'Ivry.&lt;/ref&gt;
&lt;/gallery&gt;
=== Le dirigeable &quot;'''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]'''''&quot; avec [[w:Charles_Renard|Charles RENARD]] et [[w:Henri_Dupuy_de_Lôme|'''Henri DUPUY-de-LÔME''']] ===
'''Catégories''' : [[commons:Category:La France (airship)|'''''Le dirigeable &quot;La France&quot;''''']], [[c:Category:Balloon history|'''''Histoire des ballons''''']], [[commons:Category:Airship technology|'''''Technologie aérostatique''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Ballon dirigeable|Ballon dirigeable]], [[w:Base aérienne 107 Villacoublay|Base aérienne 107 Villacoublay]]
&lt;br&gt;'''1884''' - Collaborant avec [[w:Charles Renard|Charles Renard]], il pilote [[w:XIXe siècle en aéronautique|le premier vol pleinement contrôlé]] en 1884, effectué à bord du [[w:dirigeable|dirigeable]] militaire français &quot;''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]''&quot;, qu'ils ont conçu. Le vol &lt;ref&gt;[http://rbmn.free.fr/Ballon_photos_10.html Plans, croquis et photos du dirigeable &quot;La France&quot;].&lt;/ref&gt; a parcouru 8 km en 23 minutes. Ce fut   &lt;ref&gt;'''XIX° siècle en aéronautique''' : [[w:XIXe_siècle_en_aéronautique|le 9 août 1884]], le dirigeable &quot;La France&quot; réalise [http://rbmn.free.fr/Dirigeable_LA_FRANCE_1884.HTML Le premier vol pleinement dirigé].&lt;/ref&gt; le premier vol mécanisé avec retour au point de départ. Sur sept vols, le dirigeable &quot;''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]''&quot; reviendra cinq fois à son point de départ.

&quot;''Entre temps, se poursuivaient les études et expériences pour la construction du ballon dirigeable. Sa réalisation était pour nous le comble de nos aspirations et faisait l’objet de nos plus profondes méditations. La forme du ballon, la disposition de la nacelle et la détermination de l’espèce d’énergie à employer pour constituer la force motrice nécessaire à sa propulsion, firent l'objet d'un long examen et de discussions approfondies.''&quot;
==== Recherche d'un moteur léger : vapeur, hydrogène, électricité ====
'''Voir aussi''' : [[w:Machine à vapeur|Machine à vapeur]], [[w:Histoire de la machine à vapeur|Histoire de la machine à vapeur]], [[w:Chaudière à tubes de fumées|Chaudière à tubes de fumées]], [[w:Chaudière à tubes d'eau|Chaudière à tubes d'eau]], [[w:Locomotive compound|Locomotive compound]], [[w:Moteur à combustion et explosion|Moteur à combustion et explosion]], [[w:Moteur à hydrogène|Moteur à hydrogène]], [[w:Machine électrique|Machine électrique]]
&lt;gallery&gt;
File:1876 - moteur à gaz Otto construit par Périn-Panhard.png|'''1876''' - '''[https://www.youtube.com/watch?v=5F6q-i_nuYs Moteur à gaz Otto]''' acheté par A.C. KREBS et construit par '''Périn-Panhard'''.

File:1878-04-25 MAE A-C-KREBS=Brevet-FR124.078 Générateur de vapeur à circulation directe dit générateur RENHAYE Renard+Krebs+Delahaye.pdf|'''25-04-1878''' - A. C. KREBS : Brevet [https://bases-brevets19e.inpi.fr/brevets?arko_default_63f395e1547dd--ficheFocus=&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bmode%5D=simple&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bop%5D=AND&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bop%5D=AND&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bq%5D%5B%5D=124078&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bextras%5D%5Bmode%5D=input&amp;arko_default_63f395e1547dd--from=0&amp;arko_default_63f395e1547dd--resultSize=50&amp;arko_default_63f395e1547dd--contenuIds%5B%5D=838591&amp;arko_default_63f395e1547dd--modeRestit=arko_default_63f397c19a653 '''FR'''124078] &quot;''Générateur de vapeur à circulation directe, dit'' [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5699151c/f21.image.r=krebs '''''générateur RENHAYE''''']''&quot; de de la Haye, Renard et Krebs.

File:1882-SHD-DE-2014-PA-40=moteur à hydrogène de A. C. KREBS.jpg|'''1882''' - Le '''moteur à hydrogène''' conçu par A. C. KREBS.

1883-12 Arthur Constantin KREBS=Cahier de recherche 'Moteurs électriques à électro-aimants - Théorie de fonctionnement'.pdf|'''1883-12''' - A. C. KREBS : Cahier de recherche &quot;'''Moteurs électriques à électro-aimants - Théorie de fonctionnement'''&quot; pour le moteur électrique du dirigeable &quot;'''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]'''''&quot; de '''1884'''. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:1884 - A. C. KREBS electric motor for the 'La France' airship.jpg|'''1884''' - A. C. KREBS : Le '''moteur électrique''' pour le dirigeable &quot;'''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]'''''&quot;.
&lt;/gallery&gt;
'''1878''' - &quot;''Avant l'Exposition de 1878, alors que j'étais au parc aéronautique, j'ai acheté et accepté, aux ateliers [[w:Panhard &amp; Levassor|Panhard &amp; Levassor]], un moteur à quatre temps Otto de deux chevaux ''[au gaz de ville]'' pour l'installer dans l'atelier de couture des ballons.''&quot; &lt;ref name=1906_Krebs_Selden/&gt;

'''1879''' - &quot;''Ainsi, MM. Renard et Krebs ont obtenu'' '''''une machine de trois chevaux qui contient à peine trois litres d'eau''''', ce qui leur donne '''''une chaudière légère et non à faible surface'''''. ''Des organes d'une grande sensibilité règlent et assurent le jeu de la machine, bien que peu d'eau soit employée''. '''''La pompe alimentaire a été étudiée avec soin par M. Krebs''''' ; ''le thermo-régulateur actuel s'appuie sur le même principe que celui indiqué au brevet ; mais il emploie la dilatation du mercure''&quot;. &lt;ref&gt;'''01/06/1879''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5699151c/f21.image.r=krebs L'Aéronaute].&lt;/ref&gt;

'''1881''' - &quot;''À cette époque, l’industrie électrique se développait. Le  [[w:Exposition internationale d'Électricité | Congrès International de l’Électricité]] de '''1881''' venait de déterminer les unités de mesure nécessaires à l’étude et aux applications de cette branche nouvelle d’énergie. Les moteurs à essence, si répandus maintenant, n’étaient pas encore connus, nous décidâmes l’emploi de l’électricité pour constituer la force motrice du ballon.''&quot;

&quot;''Renard se consacra à la recherche de la source électrique capable de développer dans un poids très faible l’énergie nécessaire au fonctionnement pendant 2 heures environ, d’un moteur de 10 CV. Moi, '''''je me chargeai de l’établissement du moteur et de tous les organes mécaniques faisant manœuvrer l’hélice'''''. C’est ainsi que je fus conduit à étudier l’électricité au moment où cette science se développait industriellement.''&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;

'''1882''' - &quot;''En 1882, dans le but de propulser un ballon dirigeable, qui était alors étudié par le ministère de la Guerre'', '''''j'entrepris la mise au point d'un moteur à combustion interne qui devait utiliser comme combustible l'hydrogène qui gonflait le ballon'''''. ''C'est à cette occasion que j'abordai pour la première fois de manière approfondie une étude complète des moteurs à combustion interne.''&quot; &lt;ref name=1906_Krebs_Selden/&gt;

'''1884''' - &quot;''C'est donc vers 1884 que j'ai suivi avec grand intérêt la construction des [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8DE187.2/0058/100/512/10/458 petits moteurs à essence] de Mr [[W:Gottlieb_Daimler|Daimler]].''&quot; &lt;ref name=1906_Krebs_Selden/&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
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! Date !! Brevet !! Intitulé
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| '''1878'''
|| [https://bases-brevets19e.inpi.fr/brevets?detail=610115&amp;positionResult=32&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bmode%5D=simple&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bop%5D=AND&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bop%5D=AND&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bq%5D%5B0%5D=&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bq%5D%5B1%5D=haye&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bextras%5D%5Bmode%5D=input&amp;arko_default_63f395e1547dd--from=0&amp;arko_default_63f395e1547dd--resultSize=50&amp;arko_default_63f395e1547dd--contenuIds%5B0%5D=838591&amp;arko_default_63f395e1547dd--modeRestit=arko_default_63f397c19a653#visionneuse-manual|/_recherche-api/visionneuse-infos/arko_default_63f395e1547dd/arko_fiche_64afba49a2c3d/arko_default_63f47e41d68c8/image/591913|0|5 '''FR'''124078] 
|| De la Haye, Renard et Krebs: ''Générateur de vapeur à circulation directe, dit générateur RENHAYE''
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|}
==== Recherches aérodynamiques : la forme du ballon ====
'''Catégories''' : [[commons:Category:Aerodynamics diagrams|'''''Diagrammes d'aérodynamique''''']], [[commons:Category:Fluid_dynamics|'''''Dynamique des fluides''''']], [[commons:Category:Aircraft_wake_turbulence |'''''Turbulences de sillage d'aéronefs''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Bulbe d'étrave|Bulbe d'étrave]], [[w:Aérodynamique|Aérodynamique]], [[w:Maquette|Maquette]], [[w:Modèle|Modèle]], [[w:Aérodynamique de la pointe avant|Aérodynamique de la pointe avant]], [[w:Dynamique des fluides|Dynamique des fluides]], [[w:Corps de moindre traînée|Corps de moindre traînée]], [[w:Empennage|Empennage]], [[w:Dérive (empennage)|Dérive (empennage)]], [[w:Aérostatique|Aérostatique]]
&lt;br&gt;'''1883''' - &quot;''Ce ne fut pas sans peine que M. Renard consentit à abandonner le ballon tubulaire, dont la forme le séduisait à cause de ses avantages théoriques. Pour décider son collègue, '''''M. Krebs fit faire des modèles en bois de diverses formes''''', que l'on essaya successivement dans l'étang de Chalais : ces essais prouvèrent que pour obtenir de la régularité dans la marche,'' '''''il est nécessaire de donner au mobile une forme dissymétrique'''''. ''C'est ainsi que la forme ovoïde, proposée par le capitaine Krebs, fut définitivement adoptée pour l'aéronef de Chalais'' [...] '''''L'aéronef doit nager dans l'air, comme poisson dans l'eau, dit le capitaine Krebs. La nature nous démontre que nous avons choisi pour notre aérostat une forme rationnelle'''''&quot;. &lt;ref&gt;[http://cnum.cnam.fr/CGI/fpage.cgi?12CA313/1/100/218/0004/0217 1884-de-Grilleau]: ''Les aérostats dirigeables : leur passé, leur présent, leur avenir. Le [[w:La France (ballon dirigeable)|ballon de Meudon]] et les progrès les plus récents de l'aéronautique''.&lt;/ref&gt;

'''1884''' - &quot;''L'évaluation du travail nécessaire pour imprimer à l'aérostat une vitesse donnée a été faite de deux manières :&lt;br&gt;

:&quot;''1° En partant des données posées par [[w:Henri Dupuy de Lôme|Dupuy de Lôme]] et sensiblement vérifiées dans [[w:Aérostat dirigeable Dupuy de Lôme|ses expériences de février 1872]] ;&lt;br&gt;

:&quot;''2° En appliquant [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k316149k/f53.image.r=carene la formule admise dans la marine] pour passer d'un navire connu à un autre de formes très peu différentes et en admettant que, dans le cas du ballon, les travaux sont dans le rapport des densités des deux fluides.''&quot; &lt;ref name=1884_ACAD-Krebs /&gt; &lt;ref&gt;'''1864''' - [[w:Antoine-Joseph_de_La_Poix_de_Fréminville|Antoine de Fréminville]], (beau-père de A. C. KREBS) : &quot;[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k858752p/f84.image.r=carene ''Traité pratique de construction navale'']&quot;.&lt;/ref&gt;
&lt;gallery&gt;
File:1883-ALBUM-17 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=L'Ampère sur l'étang.jpg|'''1883''' - &quot;''L'Ampère sur l'étang ''&quot;. Ce canot électrique est conçu et construit par A. C. KREBS pour tirer des modèles en bois du dirigeable [[w:La France (ballon dirigeable)|La France]] et déterminer sa forme aérodynamique (voir supra). &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:1882-ALBUM-26 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=Modèle en bois de La France.jpg|'''1883''' - A. C. KREBS: ''Modèle en bois du ballon [[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]''. Ce modèle est conçu et construit par A. C. KREBS pour être tiré par le canot l'Ampère, et déterminer sa forme aérodynamique. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:1882 - Machine à découper les fuseaux des ballons conçues par A. C. KREBS.jpg|'''1882''' - '''Machine à découper les fuseaux des ballons''' conçue par A. C. KREBS.

File:1883 - A. C. KREBS prend une photo de l'intérieur du ballon La France gonflé à l'air.jpg|'''1883''' - A. C. KREBS prend une photo de l'intérieur du ballon '''''La France''''' gonflé à l'air, et dont il a tracé les fuseaux'''.

File:1883-SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS-to-do book='Boat test in front of Mr. Dupuy de Lôme and Zédé'.pdf|'''1883-03-24''' - '''Carnet''' de A. C. KREBS : ''&quot;Essai du bateau devant MM. '''[[w:Henri_Dupuy_de_Lôme| Dupuy-de-Lôme]]''' et '''[[w:Gustave_Zédé|Zédé]]'''&quot;''. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:Henri Dupuy de Lôme.png|'''1883''' - '''Henri Dupuy de Lôme''' (1816-1885) :  Architecte naval. &lt;ref&gt;'''1872''' -  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3046138b/f9.image.r=dupuy%20de%20lome Les Ballons dirigeables], par Gaston Tissandier.&lt;/ref&gt; 

File:M. Gustave Zédé (1825-1891) - Ingénieur (Atelier Nadar).png|'''1890''' - M. '''Gustave Zédé''' (1825-1891) : Ingénieur, gendre de M. Dupuy de Lôme.
&lt;/gallery&gt;
'''Catégories''' : [[commons:Category:Hélice|'''''Hélice''''']], [[commons:Category:Propellers|'''''Hélices''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Nacelles|Nacelles]], [[w:Hélice|Hélice]], [[w:Hélice (aéronautique)|Hélice (aéronautique)]]
&lt;gallery&gt;
File:1884-design of La-France dirigible of Renard &amp; Krebs-first fully controlled airtrip.pdf|'''1884''' - La conception du dirigeable '''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]''''' de Ch. RENARD &amp; A. C. KREBS. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:1884-ALBUM-29 SHD-DE-2014-PA-40 = A-C-KREBS pose devant l'hélice du dirigeable La France.jpg|'''1884''' - A. C. KREBS pose devant l'hélice du dirigeable '''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]''''', qu'il a conçue et construite lui-même. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:1884 - Dirigeable &quot;La France&quot; - Plan de la nacelle de A. C. KREBS.jpg|'''1884''' - Dirigeable &quot;'''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]'''''&quot;: '''Plans de la nacelle par A. C. KREBS'''.

File:1884 - Dirigeable &quot;La France&quot; - La nacelle conçue par A. C. KREBS.jpg|'''1884''' - Dirigeable &quot;'''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]'''''&quot;: '''La nacelle et l'hélice conçues par A. C. KREBS'''.
&lt;/gallery&gt;
==== '''A. C. KREBS pilote les [https://archive.org/details/americanengineer67newy/page/472/mode/2up?q=krebs premiers vols pleinement contrôlés]''' ====
'''Voir aussi''' : [[w:Société d'encouragement de la locomotion aérienne au moyen du plus lourd que l'air|Société d'encouragement de la locomotion aérienne au moyen du plus lourd que l'air]]
&lt;br&gt;'''1884''' - &quot;''La première ascension du ballon &quot;'''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]'''''&quot;, qui eut lieu le 9 août 1884, et dans laquelle'' '''''un aérostat décrivit pour la première fois par ses propres moyens une courbe fermée en revenant à son point de départ''''', ''fut le couronnement de nos travaux. On ne pouvait alors prétendre obtenir une durée de fonctionnement dépassant 2 h à cause du poids des moteurs. Ce ne fut donc qu’une expérience intéressante mais sans lendemain''.&quot;

&quot;''En effet, 15 ans devaient s’écouler avant que, grâce aux perfectionnements apportés par l’automobile aux moteurs à essence, on put doter un ballon semblable à &quot;'''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]'''''&quot; d’un moteur assez léger'' [[w:Lebaudy_Frères|[voir Ballons Lebaudy]]] ''pour lui permettre de tenir l’air pendant 10 heures''.&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;
&lt;gallery&gt;
1884 Arthur Constantin KREBS=portrait.jpg|'''1884''' - Arthur Constantin KREBS.

File:The 1884 Krebs &amp; Renard first fully controllable free-flights with the LA FRANCE dirigible near Paris (Krebs arch.).jpg |Les '''premiers vols pleinement contrôlés de Krebs &amp; Renard de 1884''' avec le dirigeable électrique '''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]''''' près de Paris (Krebs arch.).

File:1884-09-27 Scientific-American=Renard &amp; Krebs first fully controlled free-flight (from l'Illustration).pdf |'''1884-09-27''' - Scientific-American: Renard &amp; Krebs '''first fully controlled free-flight''' (from l'Illustration).

File:Popular science monthly (1872) (14763679411).jpg |'''1884''' - THE POPULAR SCIENCE MONTHLY: &quot;''the balloon returning each time to its point of departure, and attaining a speed of nearly fifteen miles an hour''&quot;.

1884-de-Grilleau=Les aérostats dirigeables leur passé, leur présent, leur avenir. Le ballon de Meudon.gif|'''1884''' - de Grilleau: &quot;'''''Le capitaine Krebs forme, avec le capitaine Renard, un contraste frappant''''' [...] &lt;ref name=1884_de-Grilleau /&gt;

File:Commemorative portrait of balloonists Charles Renard, Dupuy de Lôme, and Arthur Krebs, inventors and military officers who were charged with developing a navigable balloon during the Siege of Paris LCCN2002724814.tif|'''Portait commémoratif''' des aéronautes '''Ch. Renard''', '''H. Dupuy de Lôme''' et '''A. C. Krebs''', inventeurs et officiers qui ont collaboré au premier vol pleinement contrôlé le '''9 août 1884''' à Chalais-Meudon près de Paris.

File:1884 A-C-KREBS=portrait en gravure.jpg|'''1886''' - '''A. C. KREBS &amp; Ch. RENARD''' reçoivent le ''' Prix Ponti''' de '''l'Académie des sciences''' : &quot;''pour les progrès accomplis par eux dans la navigation aérienne.''&quot;  &lt;ref&gt;'''1886''' - '''A. C. KREBS &amp; Ch. RENARD''' reçoivent [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3059r/f1395 le '''Prix Ponti'''] de '''l'Académie des sciences''' : &quot;''pour les progrès accomplis par eux dans la navigation aérienne.''&quot;&lt;/ref&gt;

File:Gill Hugo.jpg | '''23-08-1884''' - [[w:Victor Hugo|'''Victor Hugo''']] - La direction des ballons :  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k7540223d/f1.item.r=%22victor%20hugo%22.zoom &quot;''Est-ce l'aimant qui s'est fait aider par l'éclair Pour bâtir un esquif céleste avec de l'air ?''&quot;]

File:'Robur the Conqueror' by Léon Benett 48.jpg|'''1886''' - '''[[w:Jules_Verne|Jules VERNE]]''', dans son roman '''[[w:Robur-le-Conquérant|Robur-le-Conquérant]]''' : &quot;[...] ''même après les expériences retentissantes des '''capitaines Krebs et Renard''' '' [...]&quot; &lt;ref&gt;'''1886''' - '''[[w:Jules_Verne|Jules VERNE]]''' dans  '''[[w:Robur-le-Conquérant|Robur-le-Conquérant]]''' : &quot;''Il était donc constant que, même après les expériences retentissantes des  [https://fr.wikisource.org/wiki/Robur_le_conqu%C3%A9rant/2 '''capitaines Krebs et Renard'''], si les aérostats dirigeables avaient gagné un peu de vitesse, c’était juste ce qu’il fallait pour se maintenir contre une simple brise. D’où  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bd6t51169574w/f98.image.r=krebs l’impossibilité d’user pratiquement jusqu’alors de ce mode de locomotion aérienne].''&quot;&lt;/ref&gt;

File:1886 - Catalogue plantes John-Saul - Géranium 'capitaine Krebs'.png|'''1886''' - [https://archive.org/details/johnsaulscatalog18john_12/page/4/mode/2up?q=capitaine+krebs '''Geranium &quot;''capitaine Krebs''&quot;''']: &quot;''Fine, large, well-shaped trusses, cinnabar-crimson, white centre, extra''&quot;.
&lt;/gallery&gt;
'''1884-08-20''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k64589820# '''Le Journal de Fourmies'''] : &lt;small&gt;&quot;[...] ''Je ne pus m'empêcher de songer à Pierre Billet ''[horloger à Villejuif]'', la semaine dernière, lorsque le capitaine Renard, le chef des aérostiers militaires de Meudon, vint me dire :''
:''- Enfin nous tenons la solution du problème ! ...''
:''Je regardai'' '''M. Krebs''','' qui accompagnait le capitaine Renard et qui doit avoir sa large part de gloire, ayant eu sa large part de travail. Renard est très communicatif, il parle beaucoup et avec une remarquable facilité. Je pouvais, avec quelque apparence de raison, le prendre pour un enthousiaste. Cependant il y a six ans qu'il dirige le service aéronautique. ''
:'''''J'ai souvent assisté à ses expériences ; assis au bord du [[w:Tapis_vert_(Versailles)|Tapis Vert]], près de [[w:Meudon#Histoire_de_Trivaux|la porte de Trivaux]]''''', ''j'ai vu je ne sais combien de fois, les soldats du génie, amener le ballon du parc de Chalais, attacher les longues cordes blanches '''au treuil à vapeur''' fixé sur un camion, et exécuter avec une admirable précision les manœuvres que, de la nacelle, à deux cent cinquante ou trois cents mètres au-dessus des bois, commandait le porte-voix du capitaine. Le camion partait au trot de ses robustes chevaux ; les cordes blanches s'enroulaient et se déroulaient sur le treuil ; le ballon, ainsi entraîné, marchait dans la direction de Versailles ; le soir j'assistais au retour, à la descente, au remisage dans le vaste hall du parc. Je savais donc que Renard n'était pas un rêveur, un illuminé ... Il se présentait à moi fort de ses études constantes et de sa pratique journalière.
:'''''N'importe, un mot de Krebs aurait dissipé tous mes doutes'''''.
:'''''Ce Krebs est un silencieux ; il lui arrive souvent de ne pas prononcer quatre paroles en quatre heures. Il a le regard profond du chercheur ; Renard a la verve du démonstrateur, du conférencier.'''''
:''- Ainsi, demandai-je, vous avez obtenu des résultats décisifs.''
:'''''Krebs fit un signe de tête'''''.
:''- Nous avons dirigé notre ballon, répondit le capitaine Renard. Vous connaissez '''l'aérostat, ... horizontal, allongé en forme de cigare''', comme ceux de M. Giffard, de M. Dupuy de Lôme, de M. Gaston Tissandier ?'' ...
:''- Et de Pierre Billet ?'' ...
:''- Ah ! je n'avais jamais entendu ce nom ? ... Vous avez vu, il y a quelques temps, '''notre fine nacelle, une véritable yole aérienne, attachée d'aussi près que possible à l'aérostat ?''' ...''
:''- Oui, c'était le système de Pierre Billet.''
:''- Ah ! ... Eh bien, grâce à '''notre moteur électrique''' et à '''nos hélices''' ''[celle de traction et celle de gonflement du ballonnet ?], ''nous gouvernons tout cela pour ainsi dire à volonté, '''''nous évoluons promptement, nous opérons le virage parfait et nous revenons à notre point de départ''''' ... Tenez, supposons que nous partions de cette sébille à poudre, et qu'après avoir voyagé ici et là, au-dessus de votre grande table, nous décrivions un cercle pour redescendre exactement au centre de la sébille. '''C'est ce que nous avons fait aujourd'hui, ayant pour témoins les habitants de Meudon, du Petit-Bicêtre, de Villacoublay et de Vélizy'''.''
:''De nouveau, je regardai '''M. Krebs'''.''
:''Le silencieux fit un second signe de tête.''
:''- C'est un magnifique résultat, m'écriai-je ... Vous voilà donc à même de vous diriger dans tous les cas et malgré tous les vents ? ...''
:'''''M. Krebs fit un signe négatif ...'''''
:''- N'allons pas si vite, dit le capitaine Renard ... Nous sommes venus simplement vous présenter un enfant né viable et bien constitué ... L'enfant grandira, ... n'est-ce pas, ami Krebs ? ...''
:'''''M. Krebs, avec une émotion contenue, pressa la main que lui tendait son collaborateur.'''''
:''Et ce fut alors que, plein de confiance dans l'avenir des ballons dirigeables, j'écrivis l'article-procès-verbal que tous mes confrères de Paris se sont empressés de reproduire.''
:''La route de l'air est ouverte.''
:''S. DELBOS'' &quot;&lt;/small&gt;
== Le sous-marin &quot;'''''[[w:Gymnote (1888)|Gymnote]]'''''&quot; avec [[w:Gustave_Zédé|'''Gustave ZEDE''']] ==
'''Catégories''' : [[commons:Category:Gymnote (submarine, 1888)|'''''Gymnote (1888)''''']], [[commons:Category:Gustave Zédé|'''''Gustave Zédé''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Gymnote (1888)|Gymnote (1888)]], [[w:Histoire des sous-marins|Histoire des sous-marins]], [[w:Coque_(bateau)#Sous-marins|Coque de sous-marins]]
&lt;br&gt;'''1884''' - &quot;''L’expérience du dirigeable était révolue sans laisser l’espoir de pouvoir mieux faire à courte échéance. C’est alors que le général Zédé, frère de [[w:Gustave_Zédé | M. Zédé]], directeur des Constructions Navales, dont j’avais fait la connaissance par mon beau-père, me proposa de quitter la Direction du Génie, où je n’avais aucun avenir à espérer, et de me nommer au Régiment des Sapeurs-Pompiers dont on voulait modifier et perfectionner les moyens d’action pour les mettre à la hauteur de ce qui existait à l’étranger.''&quot; 

'''1885''' - &quot;''M. Gustave Zédé, ancien Directeur des Constructions Navales et Administrateur à la [[w:Forges et chantiers de la Méditerranée|Société des Forges et Chantiers]], avait entrepris'', en 1885, '''''l’étude d’un sous-marin''''' ''pour le compte de la Marine militaire''. '''''Ce navire devait être propulsé par un moteur électrique alimenté par des [[w:Camille_Desmazures#L’inventeur_d’un_nouveau_type_d’accumulateur_électrique|accumulateurs]]'''''. ''Toute cette partie mécanique était à étudier et à exécuter. Il me fit part de son projet et me demanda de collaborer avec lui.''&quot;

&quot;''La coque était construite par l’Arsenal de Toulon, et toute la partie mécanique et électrique devait être exécutée dans les Ateliers des [[w:Forges et chantiers de la Méditerranée|Forges et Chantiers]] au Havre.''&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot;/&gt;

=== Le moteur électrique du sous-marin ''Gymnote'' ===
&quot;''J’acceptai l’offre avec plaisir bien que'' '''''les conditions de construction d’une machine électrique de 50 CV à 200 tours''''' [exigé par Zédé] ''''' présentât de sérieuses difficultés'''''. ''Il y avait, en réalité, à réaliser des dispositions tout à fait nouvelles pour arriver à disposer, dans un espace très restreint : machine, accumulateurs et appareils de manœuvres. Sur la demande du Ministre de la Marine, je fus autorisé par le Ministre de la Guerre à prêter mon concours à la Marine tout en conservant mes fonctions au Régiment des Sapeurs-Pompiers.''&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot;/&gt; &lt;ref&gt;Noter que les règlements actuels sur le personnel militaire n'autoriseraient plus ce type de mise à disposition interarmées.&lt;/ref&gt;
&lt;gallery&gt;
File:1886-01-12 Brevet A-C-KREBS FR173487=Collecteur à deux balais pour machines électriques multipôlaires.pdf|page 6|'''1886-01-12''' - Brevet A. C. KREBS [https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4d/1886-01-12_Brevet_A-C-KREBS_FR173487%3DCollecteur_%C3%A0_deux_balais_pour_machines_%C3%A9lectriques_multip%C3%B4laires.pdf '''FR'''173487] : &quot;'''''Collecteur à deux balais pour machines électriques multipôlaires'''''&quot;.

File:1888 - Plans du moteur électrique multipolaire KREBS du Sous-marin GYMNOTE.pdf|'''1888''' - Plans du '''moteur électrique multipôlaire de A. C. KREBS''' pour le '''sous-marin GYMNOTE'''.

File:1880-1889-ALBUM-41 SHD-DE-2014-PA-40 (moteur Gymnote).jpg|'''1888''' - Le '''moteur électrique à 16 pôles et 2 balais de A. C. KREBS''' pour le '''sous-marin GYMNOTE'''.

File:1888-04 - Essais du moteur électrique multipolaire du Sous-marin GYMNOTE au Havre (France).pdf|'''1888''' - '''Plans de l'atelier d'essai''' du moteur électrique multipôlaire pour le '''sous-marin GYMNOTE''', au Havre (France).

File:1888-04 - SHD-DE-2014-PA-40 - Essais du moteur électrique multipolaire du Sous-marin GYMNOTE au Havre (France).pdf|'''1888''' - '''Essais du moteur électrique multipôlaire A. C. KREBS''' pour le '''sous-marin GYMNOTE''', au Havre (France).

File:1886-1889 - Moteur électrique de A. C. KREBS en place dans le sous-marin Gymnote.jpg|'''1888''' - Le '''moteur électrique de A. C. KREBS''' en place dans le  '''sous-marin GYMNOTE'''.

File:1889 - &quot;Gymnote&quot; submarine plan - cutaway view.png|thumb|'''1889''' - Vue en coupe du '''sous-marin GYMNOTE''' avec le '''moteur électrique de A. C. KREBS''' en place.
&lt;/gallery&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
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! Date !! Brevet !! Intitulé
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| '''1886'''
|| [[c:File:1886-01-12_Brevet_A-C-KREBS_FR173487%3DCollecteur_%C3%A0_deux_balais_pour_machines_%C3%A9lectriques_multip%C3%B4laires.pdf|'''FR'''173487A]] 
|| ''Collecteur à deux balais pour machines électriques multipôlaires''
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|}

=== [[w:Canot|Le canot électrique d'essai]] ===
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Launch (boat)|'''''Canot''''']]
&lt;br&gt;'''1887''' - &quot;''Une première expérience, consistant à propulser un'' [https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1887-12-10_24_623/page/9954/mode/2up?q=krebs '''''canot de la Marine'''''] ''au moyen d’une dynamo et d’accumulateurs, dut d’abord être préparée pour convaincre le Ministre de la Marine de la possibilité du fonctionnement. Cette première expérience (1887) eut lieu au Havre et réussit pleinement. Les travaux pour le sous-marin purent alors être entrepris.''&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;
&lt;br&gt;'''1888''' - &quot;'''''Note sur un canot de 7 mètres avec machine électrique et accumulateurs''''' : [...] ''La réussite en pareille matière dépend en grande partie des rapports qui existent entre toutes les dimensions et grandeurs des éléments qui sont réunis''.&quot;

&lt;gallery&gt;
File:1887-10-15 LA-NATURE-n°750 Canot de la marine p309.jpg|'''1887''' -  '''[https://cnum.cnam.fr/CGI/fpage.cgi?4KY28.29/313/100/432/5/420 Le canot électrique de la marine]'''. La coque (métallique) et [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bd6t513859334/f13.item.r=krebs '''le moteur électrique conçu par A. C. KREBS'''] ont servi de test avant le sous-marin '''[[w:Gymnote (1888)|''Gymnote'']]'''. &lt;ref&gt;'''1887''' - L'Année scientifique et industrielle : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k201116k/f174.item.r=krebs &quot;''Le canot électrique''&quot;]. '''Le Génie civil''' : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k64825793/f9.image.r=krebs &quot;''Canot électrique de 8m85''&quot;].&lt;/ref&gt;

File:Théophile Aube.jpg|'''1886''' - Le vice-admiral   [[w:Théophile_Aube|Theophile Aube (1826-1890)]], ministre de la marine.

File:M. Gustave Zédé (1825-1891) - Ingénieur (Atelier Nadar).png|'''1890''' - M. '''Gustave Zédé''' (1825-1891) : Ingénieur (Atelier Nadar).
&lt;/gallery&gt;
=== '''Le premier sous-marin pleinement fonctionnel''' ===
&quot;''Les années '''1887''' et '''1888''' furent employées à leur exécution. Le montage des machines, essayées préalablement au Havre où elles donnèrent entière satisfaction, eut lieu à Toulon sous la direction de [[w:Gaston_Romazzotti | M. Romazzotti]], ingénieur de la Marine chargé de la construction du sous-marin 'Le Gymnote'.''&quot;

&quot;''En '''décembre 1888''', je fus envoyé à Toulon pour assister aux essais. L’année '''1889''', fut employée à doter le sous-marin de dispositions particulières pour '''améliorer la vision''', et d‘un '''gyroscope électrique''' dont je fournit les plans, pour remplacer la boussole qui se trouve indifférente quand elle est à l’intérieur d’une coque en fer.&quot;

&quot;''En '''décembre 1889''' j’assistai de nouveaux à différents essais, tout à fait concluants, à la suite desquels on mit en chantier un navire plus grand, étudié et construit directement par les Constructions Navales.''&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Gymnote1889.jpg|'''1888''' - 1ère version du [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4774644w/f1.image.r=submarine '''sous-marin GYMNOTE''']. '''A. C. KREBS tient le mât d'aération'''. Il est peint au minium pour être mieux aperçu en plongée. &lt;ref&gt;'''1888-02-23''' - Scientific American: &quot;[https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1889-02-23_27_686/page/10952/mode/2up '''''The torpedoe boat Gymnotus''''']&quot;&lt;/ref&gt;

File:1889 Arthur Krebs &amp; Jean Rey periscope for the french Gymnote submarine.jpg|'''1889''' - Le périscope de A. C.  KREBS &amp; [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3146s/f1142.image.r=gymnote| Jean REY] '''à lentille torique''' pour le sous-marin GYMNOTE.

File:1889 Gymnote Gyroscope.jpg|'''1889''' - A. C. KREBS ajoute un moteur électrique de sa conception sur le [https://archive.org/details/lesbateauxsousm01noalgoog/page/n112/mode/2up?q=gyroscope '''gyroscope'''] de marine manuel  [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_111%2C_1890.djvu&amp;page=428 Dumoulin] pour doter d'un  [https://archive.org/details/lesbateauxsousm01noalgoog/page/n108/mode/2up?q=gyroscope gyrocompas] le '''sous-marin GYMNOTE'''.

File:Gaston ROMAZZOTTI (1855-1915).jpg|'''Gaston ROMAZZOTTI''' (1855-1915) : ingénieur du génie maritime.

File:1880-1889 - Essais du sous-marin Gymnote en rade de Toulon.pdf|'''1888-1889''' - Essais du '''sous-marin Gymnote en rade de Toulon'''. &lt;ref&gt;'''1890-02-02''' - The Daily Colonist: &quot;[https://archive.org/details/dailycolonist18900202uvic/page/n3/mode/2up?q=gunboat '''''A Submarine Gunboat''''']&quot;&lt;/ref&gt;

File:1890 - Sous-marin Gymnote - Forçage d'un blocus en rade de Toulon.tif|'''1890''' - Sous-marin Gymnote : '''Succès d'un forçage de blocus naval''' en rade de Toulon, '''grâce au gyroscope électrique conçu par A. C. KREBS'''. &lt;ref&gt;'''1894-09-08''' - Scientific American: &quot;'''''[https://archive.org/details/sim_scientific-american_1894-09-08_71_10/page/156/mode/2up The problem of submarine navigation] [...] is in the hands of electrical engineers'''''&quot;.&lt;/ref&gt;

File:1895 - Les sous-marins Gymnote et Gustave Zédé en cale sèche à Toulon (France).jpg|'''1895''' - Après le succès du sous-marin expérimental '''''Gymnote''''', le grand [[w:Gustave Zédé (sous-marin)|'''''Gustave Zédé''''']] est construit par la marine : ici côte-à-côte dans le bassin de Toulon. &lt;ref&gt;'''1894-09-08''' - Scientific American: [https://archive.org/details/sim_scientific-american_1894-09-08_71_10/page/156/mode/2up &quot;'''''French submarine torpedo boats (Gymnote &amp; Gustave Zédé)'''''&quot;].&lt;/ref&gt;

File:Verne-face.jpg|'''1896''' - [[w:Jules Verne|Jules VERNE]] -  &quot;[[s:Face_au_drapeau/Chapitre_X|'''''Face au drapeau''''']]&quot;: &quot;''[[c:File:%27Facing_the_Flag%27_by_L%C3%A9on_Benett_22.jpg|il dépassait, et de beaucoup, les successeurs]] des [[c:Category:Goubet_submarine Goubet], [[w:Gymnote (1888)|Gymnote]], [[w:Gustave Zédé (sous-marin)|Zédé]]''&quot;.

File:1899-11-04 - Le Rire - le député veut faire un tour sur le sous-marin Gymnote mais il est trop gros.png|'''1899''' - '''Le Rire''' : Le député veut faire '''un tour sur le sous-marin Gymnote''' mais '''il est trop ventru'''.

File:FMIB 47799 Sous-Marin Gymnote, construit en 1888, sur les plans de l'ingenieur Zede.jpeg|'''1902''' - Le sous-marin GYMNOTE '''[https://archive.org/details/sim_scientific-american_1902-11-01_87_18/page/292/mode/2up?q=gymnote  torpille avec succès] le [[w:Jauréguiberry (cuirassé)|cuirassé &quot;Jaureguiberry&quot;]] et le [[w:Amiral Charner (croiseur cuirassé)|croiseur &quot;Amiral Charner&quot;]]'''.
&lt;/gallery&gt;
=== Le moteur électrique transportable ===
'''Catégories''' : [[commons:Category:Canet artillery|'''''Artillerie Canet''''']], [[commons:Category:Arme militaire fabriquée en France|'''''Arme militaire fabriquée en France''''']]

'''1885-1890''' - &quot;''C’est pendant cette période que j’étudiai un moteur électrique portatif pour actionner les perceuses employées sur les navires en construction à percer les trous dans les tôles qui doivent être ensuite réunies par des rivets. De même, des moteurs électriques actionnant les ventilateurs faisant circuler l’air dans toutes les parties des navires etc.''&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;
&lt;gallery&gt;
File:1885-03-18 - Moteur électrique transportable 60kgm - plans de A. C .KREBS.pdf|'''1885-03-18''' - '''Moteur électrique transportable''' de 60 kgm : Plans de A. C.KREBS.

File:1886-03-21 Brevet A-C-KREBS FR175023=Moteurs dynamo-électriques légers transportables.pdf|page 6|'''1886-03-21''' - Brevet A. C. KREBS '''FR'''175023 : '''Moteurs dynamo-électriques légers transportables'''.

File:1890-10-18 Génie-Civil canon-CANET moteur-électrique-Krebs.png|'''1890''' - Génie-Civil : Le [[w:Canon Canet|'''canon de marine CANET''']] de 15 cm à tir rapide avec '''les moteurs de pointage électriques''' conçus par A. C. KREBS'''. &lt;ref&gt;'''1890''' - Le Génie civil : '''[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6473131x/f1.item.r=krebs ''Application de l'électricité au pointage des canons''.]'''&lt;/ref&gt;

File:1893-05-20 - Moteur électrique transportable pour perceuses de A. C .KREBS.pdf|'''1893-05-20''' - Moteur électrique transportable '''pour perceuses''' de A. C. KREBS. &lt;ref&gt;'''07/01/1893''' - La revue industrielle : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k98228384/f114.item Les perceuses électriques]. &lt;/ref&gt;

File:1896 - Ventilateur électrique de A. C. KREBS sur les navires de guerre.jpg|'''1896''' - '''Ventilateur électrique''' de A. C. KREBS '''sur les navires de guerre'''. &lt;ref&gt;'''1896''' - Les applications mécaniques de l'énergie électrique : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k124730z/f278.item &quot;'''Ventilateur électrique''' à bord du croiseur ''Dupuy-de-Lôme''&quot;]&lt;/ref&gt;

&lt;/gallery&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Date !! Brevet !! Intitulé
|-
| '''1886'''
|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1886-03-21_Brevet_A-C-KREBS_FR175023%3DMoteurs_dynamo-%C3%A9lectriques_l%C3%A9gers_transportables.pdf '''FR'''175023A] 
|| ''Moteurs dynamo-électriques légers transportables''
|-
|}
== [[w:Exposition universelle de 1889|'''L'Exposition Universelle de Paris - 1889''']] ==
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Exposition Universelle (1889)|'''''Exposition Universelle (1889)''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Exposition universelle de 1889|Exposition universelle de 1889]]
&lt;gallery&gt;
File:1888-09-17 - Pelurier de KREBS - dynamo de l'Exposition Universelle de 1889.pdf|page 2|'''1888''' - Pelurier de A. C. KREBS: [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5656967z/f266.image.r=krebs '''dynamo de l'Exposition universelle de 1889'''].

File:1890-01-04 - Revue-Industrielle - La chaudière à vapeur DURENNE &amp; KREBS de l'Exposition de 1889.jpg|'''1888''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k97674385/f287.image.r= '''La chaudière DURENNE &amp; KREBS'''] de l'[[w:Exposition universelle de 1889|Exposition universelle de '''1889''']].

File:1890-01-04 - Revue-Industrielle - Machine à vapeur compound et dynamo électrique de A. C. KREBS.jpg|'''1890''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k97674385/f306.item.r=krebs&amp;durenne '''Le moteur à vapeur compound et la dynamo'''] de A. C. KREBS de l'[[w:Exposition universelle de 1889|Exposition universelle de '''1889''']].

File:Béroud - Le dôme central de la galerie des machines à l'exposition universelle de 1889 - P2314 - Musée Carnavalet.jpg |'''1889''' - A. C. KREBS conçoit la machine à vapeur et la dynamo qui ont produit l'éclairage du dôme central de la [https://www.bie-paris.org/site/fr/1889-paris '''Galerie des Machines'''].

File:Exposition Universelle, Paris, France, 1889 (2852571017).jpg|'''1889''' - Exposition Universelle de Paris : '''Le dôme central du Palais de l'industrie''' et de la Galerie des Machines.

File:Alexandre-Georges Roux - Fête de nuit à l'Exposition universelle de 1889, sous la tour Eiffel - P1994 - Musée Carnavalet.jpg | Fête de nuit à l' [https://archive.org/details/cu31924107177093/page/n7/mode/2up?q=krebs Exposition universelle de '''1889'''] sous la Tour Eiffel.

File:Panorama du Champ de Mars, Paris Exposition, 1889 (illuminated) (14197259007).jpg|'''Panorama du Champ de Mars''', [https://www.loc.gov/pictures/search/?q=exposition+1889&amp;sp=1&amp;sg=true&amp;st=gallery Exposition Universelle de Paris, '''1889'''] avec la Tour Eiffel illuminée.

File:Eiffel Tower and Exposition Universelle at night, Paris, 1889.jpg|'''1889''' -  Vue de la Tour Eiffel et du terrain de l'Exposition Universelle du Champ de Mars la nuit.

File:Georges Garen embrasement tour Eiffel.jpg|'''1889''' - &quot;'''''Embrasement de la Tour Eiffel pendant l’Exposition universelle de 1889'''''&quot;: tableau de Georges Garen.

File:L'Exposition universelle de 1889 - grand ouvrage illustré, historique, encyclopédique, descriptif (IA lexpositionunive02mono).pdf|page 36|'''1889''' - Exposition de '''l'établissement central d'aérostation militaire''' de Chalais-Meudon avec '''le dirigeable de Renard et Krebs'''.
&lt;/gallery&gt;
'''1889''' - Lors de l'Exposition Universelle , A. C. KREBS :

* Est membre du [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6476583z/f15.image.r=krebs   &quot;Comité Technique des Machines&quot;].

* Organise [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5656967z/f436.image.r=pompiers  la sécurité incendie dans toute l'Exposition] et saisit cette occasion pour tester son nouvel avertisseur d'incendie.

* Est nommé membre du comité d'organisation du [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8XAE331.24/5/100/38/0/0 Congrès International des pompiers officiers et sous-officiers].

* Conçoit le '''moteur à vapeur compound''' DURENNE &amp; KREBS et la '''dynamo électrique''' construite par la  [[w:Forges et chantiers de la Méditerranée|Société des Forges et Chantiers]] dont [[w:Gustave Zédé|Gustave Zédé]] est administrateur, qui produit l'éclairage du dôme central de la [https://www.bie-paris.org/site/fr/1889-paris '''Galerie des Machines'''] de l'Exposition Universelle de Paris en '''1889''', exposition qui inaugure la tour de l'ingénieur [[w:Tour Eiffel|'''Gustave EIFFEL''']].
== La réorganisation du service incendie de la &quot;'''''Ville de Paris'''''&quot; ==
'''Catégories''' : [[commons:Category:Brigade de sapeurs-pompiers de Paris|'''''Brigade de sapeurs-pompiers de Paris''''']], [[commons:Category:History of firefighting|'''''Histoire de la lutte contre l'incendie''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Brigade de sapeurs-pompiers de Paris|Brigade de sapeurs-pompiers de Paris]], [[w:Lutte contre l'incendie|Lutte contre l'incendie]]
&lt;br&gt;'''1884-1897''' - &quot;''Il serait trop long de m’étendre sur les travaux réalisés pendant les 12 années (1885-1897) que j’ai passées dans ce corps. Après  [[Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#Voyages_d'%C3%A9tudes_en_Europe_et_en_Am%C3%A9rique|plusieurs voyages d’études aux États-Unis d’Amérique]] ''['''1885''' and '''1895''']'' et en Europe ''['''1884''', '''1885''' et '''1891''']'', je fus conduit à faire des propositions : mais cette fois, la tâche n’était plus la même.''&quot;

&quot;''Les propositions étaient discutées dans des commissions et, avant d’arriver à l’exécution, il fallait les faire triompher. Je réussit à les faire accepter et le résultat fut'' ''''' de transformer complètement l’organisation du Service Incendie ainsi que son matériel'''''.&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;  &lt;ref&gt;'''1901''' - Revue municipale : &quot;[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k61398922/f1.item.r=%22sapeurs-pompiers%22 Sapeurs-pompiers de la ville de Paris]&quot;, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k54352216/f2.item.r=casque suite.] .&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;'''2023''' - '''Damien Grenèche''' (thèse) : &quot;[https://hal.univ-lorraine.fr/tel-04661041v1 ''Sapeurs-Pompiers de Paris, '''1811-1967''' : construction d'une élite et d'une identité singulière].&quot; &lt;/ref&gt;
&lt;gallery&gt;
File:1891-A-C-KREBS=portrait en uniforme de pompier.jpg |'''1891''' - '''A. C. KREBS''' : portrait en uniforme de pompier à l'occasion de ses 10 ans de mariage et de sa nomination de '''Major Ingénieur''' au Régiment de sapeurs-pompiers de Paris.

File:1900~Pompiers=sauvetage-1.jpg|'''1900''' ~ Sapeurs-pompiers de Paris : &quot;'''Sauvetage'''&quot; dans le cadre de la réorganisation de A. C. KREBS.

File:1900~Pompiers=la grande échelle-2.jpg|'''1900''' ~ Sapeurs-pompiers de Paris :  &quot;'''La grande échelle'''&quot;  dans le cadre de la réorganisation de A. C. KREBS.

File:1900~Pompiers=manoeuvre d'ensemble-3.jpg|'''1900''' ~ Sapeurs-pompiers de Paris : &quot;'''manœuvres d'ensemble'''&quot;  dans le cadre de la réorganisation de A. C. KREBS.

File:1900~Pompiers=poste central-4.jpg|'''1900''' ~ Sapeurs-pompiers de Paris : &quot;'''Poste central, appel au feu'''&quot;  dans le cadre de la réorganisation de A. C. KREBS.

File:1900~Pompiers=le gymnase-6.jpg|'''1900''' ~ Sapeurs-pompiers de Paris : &quot;'''Le gymnase'''&quot;  dans le cadre de la réorganisation de A. C. KREBS. &lt;ref&gt;Depuis '''1895''' réussir le test de [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k96376025/f89.image la planche à rétablissement] est devenu [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k940510p/f365.item.r=planche obligatoire chaque matin] pour [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5422697h/f5.item.r=%22planche%20a%20retablissement%22 les pompiers parisiens], jusqu'à [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:BSPP_-_Test_de_la_planche_%C3%A0_r%C3%A9tablissement.webp aujourd'hui].&lt;/ref&gt;
&lt;/gallery&gt;
=== La pompe d'incendie à vapeur  '''[https://www.leonore.archives-nationales.culture.gouv.fr/ui/notice/130621 DURENNE] &amp; KREBS''' ===
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Durenne &amp; Krebs fire engine|'''''Pompe d'incendie Durenne &amp; Krebs''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Fourgon d'incendie|Fourgon d'incendie]]
&lt;gallery&gt;
File:Pompe à vapeur Durenne &amp; Krebs, modèle 1888-1.jpg|'''1888''' - Pompe à vapeur d'incendie DURENNE &amp; KREBS.

File:Pompe à vapeur Durenne &amp; Krebs, modèle 1888-2.jpg|'''1888''' - Pompe à vapeur d'incendie DURENNE &amp; KREBS.

File:Pompe à vapeur Durenne &amp; Krebs, modèle 1888-3.jpg|'''1888''' - Pompe à vapeur d'incendie DURENNE &amp; KREBS.

File:Pompe à vapeur Durenne &amp; Krebs, modèle 1888-4.jpg| '''1888''' - Pompe à vapeur d'incendie DURENNE &amp; KREBS.

File:1892 Portefeuille-économique=Pompe Durenne &amp; Krebs 1888.pdf|'''1892''' - &quot;''[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k323907b/f243.item.r Pompe à incendie à vapeur de la ville de Paris (modèle de '''1888''')]'' de '''MM. Durenne &amp; Krebs'''.&quot;

File:Jean-François Durenne Durenne Constructeur 1897.jpg|'''1897''' - '''Jean-François DURENNE''' (1821-1909) et le moteur à vapeur DURENNE &amp; KREBS

File:La voiture Pompe à vapeur Durenne et Krebs.jpg|'''1900''' ~ La voiture Pompe à vapeur DURENNE &amp; KREBS '''attelée'''.

File:1903 - AUTOMOBILE FIRE STEAM PUMP OF THE PARIS FIREFIGHTERS.pdf|'''1903''' - '''La pompe d'incendie automobile''' des pompiers de Paris utilise la chaudière à vapeur '''DURENNE &amp; KREBS'''. &lt;ref&gt;'''1904''' - The Engineering Magazine - The International Automobile Exposition at Paris : '''''[https://archive.org/details/factoryindustria27newy/page/76/mode/2up?view=theater Automobile Fire Engine of the Paris Fire Department]'''''.&lt;/ref&gt; &lt;ref&gt;'''1904''' - The Engineer: &quot;''The boiler is of the type invented by [https://archive.org/details/sim_engineer_january-1-june-24-1904_97/page/130/mode/2up?q=%22commandant+krebs%22 M. Durenne and Commandant Krebs] and improved by M.M. [https://archive.org/details/sim_engineer_january-1-june-24-1904_97/page/n3/mode/2up?q=weyher Weyher et Richemond] to facilitate the cleaning of the tubes''&quot;.&lt;/ref&gt; &lt;ref&gt;'''1904''' - La Nature: ''' [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?4KY28.62/238/70/536/5/420 Les pompes à incendie automobiles]'''.&lt;/ref&gt;

File:1904 - AUTOMOBILE FIRE STEAM PUMP OF THE PARIS FIREFIGHTERS (schemas).pdf|'''1903''' - '''La pompe d'incendie automobile''' des pompiers de Paris ('''schemas''') qui utilise la chaudière DURENNE &amp; KREBS.
&lt;/gallery&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
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! Date !! Brevet !! Intitulé
|-
| '''1888'''
|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1888-04-14_Brevet-Durenne%26Krebs_FR189962_chaudi%C3%A8re-tubulaire-tubes-curvilignes.pdf '''FR'''189962] 
|| ''Chaudière multitubulaire à tubes curvilignes dilatables à circulation automatique et rapide''
|-
| '''1889'''
|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1888-04-14_Brevet-Durenne%26Krebs_FR189962-certificat-1889-08-21_chaudi%C3%A8re-tubulaire-tubes-curvilignes.pdf Certificat d'addition] 
|| 
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| 
|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1888-04-14_Brevet-Durenne%26Krebs_FR189962-certificat-1889-08-29_chaudi%C3%A8re-tubulaire-tubes-curvilignes.pdf Certificat d'addition] 
|-
|  '''1890'''
|| [https://bases-brevets19e.inpi.fr/brevets?arko_default_63f395e1547dd--ficheFocus=&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bmode%5D=simple&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bop%5D=AND&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bop%5D=AND&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bq%5D%5B%5D=208718&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bextras%5D%5Bmode%5D=input&amp;arko_default_63f395e1547dd--from=0&amp;arko_default_63f395e1547dd--resultSize=50&amp;arko_default_63f395e1547dd--contenuIds%5B%5D=838591&amp;arko_default_63f395e1547dd--modeRestit=arko_default_63f397c19a653 '''FR'''208718]
|| [https://archive.org/details/descriptiondesm14commgoog/page/n104/mode/2up?q=durenne ''M. DURENNE, pour une pompe à vapeur, système Durenne &amp; Krebs''] ([https://archive.org/details/descriptiondesm14commgoog/page/n182/mode/2up?q=durenne Dessins]).
|-
|}
=== [https://archive.org/details/BSG_8VSUP2176 Voyages d'études en Europe et en Amérique] ===
'''1885-11-26''' - '''New York Times''' : &quot;''Parmi les passagers du paquebot français  [[w:La_Normandie_(paquebot_de_1883)|'''Normandie''']], qui ont embarqué hier pour le Havre, on comptait le Contre-amiral Baldwin, de la marine américaine ; [[w:Auguste Bartholdi|'''A. Bartholdi''']], le scuplteur ; le baron Hulot, le '''Capt. Krebs''', l'Abbé Gaudin, le Capt. Garcin, M. Martin Clerc, M. [[w:Charles_de_La_Poix_de_Fréminville|'''Ch. de Fréminville''']].''&quot;

'''1895-09-10''' - '''New York Times''' : &quot;''Trois Français qui étudieront les méthodes utilisées dans ce pays: le [https://fr.wikipedia.org/wiki/Brigade_de_sapeurs-pompiers_de_Paris#Liste_des_chefs_de_corps_commandant_le_r%C3%A9giment_de_sapeurs_pompiers_de_Paris_(de_1866_%C3%A0_1967) Col. Varigault], le '''Commandant Krebs''', et le   [https://www.leonore.archives-nationales.culture.gouv.fr/ui/notice/90324#show Capt. Cordier], officiers du [[w:Brigade de sapeurs-pompiers de Paris|corps des sapeurs-pompiers de Paris]], arrivés dans cette ville samedi dernier avec le paquebot [[w:La Touraine (paquebot)|'''La Touraine''']] pour commencer une tournée des principales villes des États-Unis dans le but d'enquêter sur les méthodes adoptées dans divers services d'incendie.''&quot;

'''1895-11-06'''- '''Quebec Morning Chronicle''' : &quot;Le ''Colonel Varigault, le '''Commandant Krebs''' et le   [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b53004798j.r=%22colonel%20cordier%22?rk=21459;2 Capitaine Cordier], du Service des sapeurs-pompiers de Paris, sont revenus hier à New York après une tournée de deux mois aux États-Unis et au Canada dans le but d’inspecter les services d’incendie des grandes villes. Le colonel Varigault a été vu ce matin. Il a déclaré : « Nous avons visité New York, Boston, Montréal, Cleveland, Chicago, Saint-Louis, la Nouvelle-Orléans, Cincinnati, Pittsburg et Washington. Nous avons été reçus partout avec la plus grande gentillesse et notre voyage a été un succès complet. Le Service des sapeurs-pompiers de New York est bien en avance sur tous ceux que nous avons vus dans ce pays, tant en termes d’équipement que de discipline. Ensuite, je devrais nommer Boston, bien que Montréal ne soit pas loin derrière. Chicago et San Francisco sont également bons. Mais je ne vois pas comment le Service des sapeurs-pompiers de Chicago pourrait lutter contre un incendie dans l’un de ses hauts immeubles. »''&quot;
&lt;gallery&gt;
File:1885-10-03=1885-11-25 Pompiers de Paris=voyages en Amérique d'Arthur Constantin KREBS - EN.png | '''1885''' - Trajet du voyage en Amérique du Colonel Couston, du capitaine-ingénieur A. C. Krebs des pompiers de Paris, et de son beau-frère [[w:Charles_de_La_Poix_de_Fréminville|Charles de Fréminville]], '''du 3 octobre au 18 novembre 1885'''.

File:1895 Pompiers de Paris=voyages en Amérique d'Arthur Constantin KREBS - EN.png | '''1895''' -  Trajet du voyage en Amérique du Colonel Varigault, du Commandant A. C. Krebs et du capitaine-ingénieur Cordier des pompiers de Paris, '''d'août à octobre 1895'''.

File:1895-10-31-Evening-Star=voyage des pompiers de Paris en Amérique=Varigault+Krebs+Cordier 'amis-des-cubains'.png |'''1895-10-31''' - Evening-Star (Washington) : Col. Varigault, Commandant Krebs and Capitan Cordier &quot;'''''leaders among the friends of Cuban freedom in the south'''''&quot;.

File:1895-11-18 The New York herald-Paris='Changes for Paris firemen'.png |'''1895-11-18''' - The_New-York herald Paris: &quot;'''''Changers for Paris firemen'''''&quot; (Colonel Varigault, Commander Arthur Constantin Krebs and Captain Cordier).
&lt;/gallery&gt;
==== L'avertisseur d'incendie ====
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Fire alarms|'''''Alarmes incendie''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Alarme incendie|Alarme incendie]], [[w:Téléphone|Téléphone]], [[w:Louis_Lépine|Louis_Lépine]]
&lt;gallery&gt;
File:1888 A-C-KREBS=système Krebs de téléphone pour les avertisseurs du service incendie de la ville de Paris.jpg|'''1888''' - [https://archive.org/details/electricalengin05unkngoog/page/n14/mode/2up?q=krebs Le '''téléphone système A. C. KREBS'''] pour les bornes d'appel incendie de la ville de Paris, sert aussi de &quot;'''ronfleur'''&quot; pour prévenir les passants de son utilisation.

File:1888-07-27 Brevet A-C-KREBS FR192070=Système de téléphone.pdf|page 7|'''1888-07-27''' - A. C. KREBS Brevet '''FR'''192070: &quot;''Système de téléphone à champ magnétique fermé avec plaques à section cylindriques, concentriques égales''&quot;.

File:1892-05-28 Génie-Civil Pompiers=avertisseur-Digeon+téléphone-Krebs.jpg|'''1892''' - '''Col. Varigault''' :&quot;''A Paris, chacun de [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6474130t/f2.item.r=krebs '''nos avertisseurs publics d'incendie'''] est relié à un centre de secours qui, en même temps que l'alarme est donnée, reçoit, grâce à un téléphone ''[A. C. KREBS]'' installé dans l'avertisseur lui-même, des informations sur la nature du sinistre et le lieu où il s'est déclaré.''&quot; &lt;ref&gt;'''1896-03-19''' -  Procès verbal du '''Comité de perfectionnement''' du régiment de sapeurs-pompiers de Paris : [http://rytmo.net/ACK/1896-03-19_Pompiers_PP-DB273_Comite-Perfectionnement.pdf Rapport du voyage du colonel Varigault, du commandant Krebs et du capitaine Cordier en Amérique pour les pompiers de Paris en '''1895'''].&lt;/ref&gt; &lt;ref&gt;'''1893-11-25''' - Scientific American: [https://archive.org/details/scientific-american-1893-11-25/page/n3/mode/2up?q=alarms  '''New Fire Alarm'''].&lt;/ref&gt;

File:1894-12-27 Pompiers PP-DB273 Comite-Perfectionnement=plan de la répartition des avertisseurs.jpg|'''1894-12-27''' - Comité de perfectionnement des sapeurs-pompiers de Paris : plan de la '''répartition des avertisseurs d'incendie conçus par A. C. KREBS'''.
&lt;/gallery&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
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! Date !! Brevet !! Intitulé
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| '''1888'''
|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1888-07-27_Brevet_A-C-KREBS_FR192070%3DSyst%C3%A8me_de_t%C3%A9l%C3%A9phone.pdf '''FR'''192070A] 
|| ''Système de téléphone à champ magnétique fermé avec plaques à section cylindriques concentriques égales''
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|}
==== Le compresseur d'air hydraulique ====
'''Catégories''' : [[commons:Category:Trompes|'''''Trompes hydrauliques''''']], [[commons:Category:Venturi effect|'''''Effet Venturit''''']], [[commons:Category:Bernoulli's principle|'''''Théorème de Bernoulli''''']], [[commons:Category:Fluid dynamics|'''''Dynamique des fluides''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Trompe hydraulique|Trompe hydraulique]], [[w:Effet Venturi|Effet Venturi]], [[w:Théorème de Bernoulli|Théorème de Bernoulli]], [[w:Dynamique des fluides|Dynamique des fluides]]
&lt;gallery&gt;
File:1887 - LA NATURE - la pompe à eau et à air des Pompiers de Paris.jpg| '''1887''' - La Nature - la '''pompe à eau et à air''' des Pompiers de Paris, '''avant''' l'arrivée de A. C. KREBS. &lt;ref&gt;'''1881''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k63812464/f86.item.r=%22pompe%20a%20air%22 '''Le feu à Paris et en Amérique'''], Colonel Paris : &quot;''La pompe à bras dite &quot;modèle des Sapeurs-pompiers de Paris&quot; ''[...]'' elle manœuvre également comme pompe à air dans les feux de cave [...].&quot;&lt;/ref&gt;

File:1889-02-16 Brevet A-C-KREBS FR196134=Appareil producteur d'air comprimé pour fournir de l'air aux personnes situées dans un milieu irrespirable et pour tous usages industriels.pdf|page 10|'''1889''' - Pompiers de Paris : Le '''compresseur d'air hydraulique''' conçu par A. C. KREBS (Brevet [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1889-02-16_Brevet_A-C-KREBS_FR196134%3DAppareil_producteur_d%27air_comprim%C3%A9_pour_fournir_de_l%27air_aux_personnes_situ%C3%A9es_dans_un_milieu_irrespirable_et_pour_tous_usages_industriels.pdf '''FR'''196134A] ).

File:1893 - Pompiers de Paris - casque respiratoire.png|'''1893''' - Pompiers de Paris : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k323907b/f244.image.r=casque%20respiratoire '''le casque respiratoire'''] alimenté avec le '''compresseur d'air hydraulique''' conçu par A. C. KREBS.

File:1900 ~ Pompiers de Paris - Le compresseur d'air pour 'un feu de cave'.jpg|'''1900''' ~ Pompiers de Paris - Le '''compresseur d'air''' pour &quot;'''un feu de cave'''&quot; conçu par A. C. KREBS'''.

File:1900_-_Le_mat%C3%A9riel_des_Pompiers_%C3%A0_l%27Exposition_Universelle.jpg|'''1900''' - La lampe électrique, '''le compresseur d'air et le ventilateur hydrauliques conçus par A. C. KREBS''', le casque respiratoire.

File:St. Nicholas (serial) (IA stnicholasserial402dodg).pdf|page 552|'''1913''' - Coups-d'œil sur les services incendies à l'étranger : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3ASt._Nicholas_(serial)_(IA_stnicholasserial402dodg).pdf&amp;page=551 &quot;'''''Un casque respiratoire à Paris'''''&quot;].
&lt;/gallery&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
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! Date !! Brevet !! Intitulé
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| '''1889'''
|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1889-02-16_Brevet_A-C-KREBS_FR196134%3DAppareil_producteur_d%27air_comprim%C3%A9_pour_fournir_de_l%27air_aux_personnes_situ%C3%A9es_dans_un_milieu_irrespirable_et_pour_tous_usages_industriels.pdf '''FR'''196134A] 
|| ''Appareil producteur d'air comprimé pour fournir de l'air aux personnes situées dans un milieu irrespirable et pour tous usages industriels''
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|}
==== Théorie de la pompe [à piston creux] à un seul clapet ====
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Pumps|'''''Pompes''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Pompe|Pompe]]
&lt;gallery&gt;
File:1888-11-03 Revue-Industrielle=Pompe mono-clapet.jpg |'''1886-01''' - Alors qu'il est major ingénieur au régiment de sapeurs-pompiers de la ville de Paris [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9788785q/f449.image.r=krebs A. C. KREBS décrit  '''la théorie complète de la pompe à un seul clapet'''].

File:1886 LA-NATURE=Théorie de Arthur Constantin KREBS de la pompe à un seul clapet.png |'''1886''' - A. C. KREBS, major ingénieur au régiment de sapeurs-pompiers de la ville de Paris décrit '''la théorie de  [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?4KY28.27/265/100/432/5/420 la pompe à piston creux à un seul clapet]'''. &lt;ref&gt;'''1885''' - [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?4KY28.24/115/100/432/8/420 La pompe sans piston] ou pompe chinoise. '''1886''' - [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?4KY28.27/179/100/432/5/420 La pompe sans piston].&lt;/ref&gt;
&lt;/gallery&gt;
==== Autres appareils d'incendie ====
'''Catégories''' : [[commons:Category:Brigade de sapeurs-pompiers de Paris equipment|'''''Équipement de la Brigade de sapeurs-pompiers de Paris ''''']], [[commons:Category:Équipement anti-incendie|'''''Équipement anti-incendie''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Hydrant|Hydrant]], [[w:Tuyau d'incendie|Tuyau d'incendie]]
&lt;gallery&gt;
File:1900 - Exposition Universelle - La chèvre de levage des Pompiers de Paris.png|'''1900''' - La '''chèvre de levage''' et le  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6584731t/f367.item.r=krebs matériel d'incendie exposé lors de l'Exposition universelle] de Paris.

File:La voiture Grande échelle.jpg|'''1900''' ~ La voiture Grande échelle GUGUMUS et KREBS.

File:Grande échelle Gugumus en action.jpg|'''1900''' ~ La grande échelle en action.

File:Lances à l'exercice.jpg|'''1900''' ~ Lances à l'exercice.

File:Le départ attelé réglementaire.jpg|'''1900''' ~ Le départ attelé réglementaire.

File:Le dévidoir.jpg|'''1900''' ~ Le dévidoir.

File:10 Entretien des tuyaux.jpg|'''1900''' ~ Entretien des tuyaux.

File:1900~Pompiers=Le ventilateur hydraulique inventé par A-C KREBS.jpg| '''1895''' ~ Le '''ventilateur hydraulique''' conçu par A. C. KREBS restera utilisé jusqu'en '''1935'''.
&lt;/gallery&gt;
=== La réorganisation des périmètres d'incendie ===
'''Catégories''' : [[commons:Category:Firefighting|'''''La lutte contre l’incendie''''']], [[commons:Category:Pompier|'''''Pompier''''']], [[commons:Category:Service de secours en France|'''''Service de secours en France''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Service départemental d'incendie et de secours|Service départemental d'incendie et de secours]], [[w:Lutte contre l’incendie|Lutte contre l’incendie]], [[w:Pompier|Pompier]], [[w:Sapeur (pompier)|Sapeur (pompier)]]
&lt;br&gt;'''2015''' - &quot;''La réponse que Krebs propose pour résoudre l’équation porteuse de toutes les variables qu’il a identifiées se nomme « vitesse ». Ce n’est plus la position de proximité physique du pompier près du sinistre qui va lui assurer son efficacité maximum, c’est la vitesse avec laquelle l’organisation globale du service saura faire parvenir sur les lieux du sinistre la juste quantité de matériel et de personnel, d’où que proviennent ce matériel et ce personnel. Si la proximité fige l’organisation et limite les possibilités d’adaptation, les capacités de la vitesse sont, quant à elles, potentiellement illimitées''.&quot; &lt;ref&gt;'''2015''' - Philippe Krebs, &quot;'''''L’ingénieur Krebs (1850-1935) ou comment traduire le fluide électrique'''''&quot;, Artefact [En ligne], HS 01 | 2015, mis en ligne le 30 avril 2021, consulté le 09 avril 2026. URL : http://journals.openedition.org/artefact/7663 ; DOI : https://doi.org/10.4000/artefact.7663&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;
'''1889''' - '''Comité de perfectionnement du régiment de sapeurs-pompiers de Paris''' : &quot;''Les surfaces des périmètres défendus chacun par un poste sont proportionnelles au carré des vitesses avec lesquelles ces postes peuvent se transporter et, comme conséquence immédiate et très importante, le nombre des postes à placer sur une surface donnée est inversement proportionnel au carré de ces mêmes vitesses de déplacement. Ainsi, un système de transport qui permettrait d'aller deux fois plus vite qu'un autre exigera quatre fois moins de postes pour arriver dans le même temps.''&quot; &lt;ref name=1889_Comité /&gt;

'''1896-05-20''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k7510386f/f2.item.zoom '''L'accident de l'Opéra'''] - Le câble d'un contre-poids de 625 kg du lustre de l' [[W:Le_Fant%C3%B4me_de_l%27Op%C3%A9ra#/media/Fichier:Palais_Garnier_auditorium_chandelier_-_Nuitter_1875_p147.jpg|Opéra de Paris]] se rompt au milieu d'une représentation et fait une chute de 12m en traversant plusieurs niveaux et en tuant une personne : &quot;''La version du major Krebs, du régiment des sapeurs-pompiers, paraît toutefois des plus vraisemblable : sous l'action d'un contact de courant, les fils supportant le contrepoids de l'appareil de ventilation se sont échauffés, sont devenus élastiques et, chaque fil, n'ayant plus que la consistance de macaroni cuit, s'est rempu sous le poids qu'il était chargé de supporter. Les fils du câble n'ont pas été chauffés jusqu'à la fusion, mais ils sont étirés et les sections sont inégalement placées.''&quot;  &lt;ref&gt;'''1896-05-22''' -  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4683851/f2.item.r=krebs Journal des débats politiques et littéraires]: &quot;''Accident à l'Opéra''&quot;.&lt;/ref&gt; &quot;''Par une coïncidence bizarre, [[w:Charles Garnier (architecte)|M. Garnier]], l'architecte de l'Opéra, est rentré à Paris ce matin. Il a assisté aux délibérations de la commission.''&quot; &lt;ref&gt;'''1896-05-22''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k548084f/f4.image.r=garnier La Presse]: &quot;''L'accident de l'Opéra''&quot;.&lt;/ref&gt; 
&lt;br&gt;&lt;br&gt;'''2023''' - Le plan Krebs de réorganisation des secours est toujours en application à Paris : &quot;'''Couverture opérationnelle''' : ''Stratégie mise en place dès '''1885''' avec l’adoption d’un plan de modernisation matérielle et organisationnelle. Le découpage de la capitale en 24 secteurs, le maillage formé par les bornes avertisseurs et les bouches incendie, la mise en place du départ attelé et la construction des nouveaux postes de secours ont contribué à élever ce plan de défense contre les incendies''.&quot; &lt;ref&gt;'''Damien Grenèche'''. ''Sapeurs-Pompiers de Paris, 1811-1967 : construction d’une élite et d’une identité singulière''. Thèse d'Histoire. Université de Lorraine, 2023. Français. NNT : 2023LORR0323. tel-04661041 : https://hal.univ-lorraine.fr/tel-04661041v1&lt;/ref&gt;
&lt;gallery&gt;
1881 'Le Feu à Paris et en Amérique' par le colonel Paris commandant le régiment des sapeurs-pompiers de Paris-.png|'''1881''' - &quot;[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k63812464/f237.item.r=%22Le%20Feu%20%C3%A0%20Paris%20et%20en%20Am%C3%A9rique%22 '''''Le Feu à Paris et en Amérique''''']&quot; par le colonel Paris commandant le régiment des Sapeurs-pompuiers de Paris - carte de la répartition des secours incendie à Paris '''avant''' la réorganisation de A. C. KREBS : &quot;''Les parties teintées sont celles qui sont incomplètement protégées aujourd'hui''&quot;.

1889-02-28 Pompiers PP-DB273 Comite-Perfectionnement=carte des 24 périmètres d'intervention prévus dans le plan KREBS de réorganisation des secours contre l'incendie à Paris.png|'''1889''' - Comité de perfectionnement des Pompiers de Paris : carte des '''24 périmètres d'intervention''' prévus dans le '''plan KREBS de réorganisation des secours contre l'incendie à Paris'''.

File:1903 Larousse=Pompiers.png |'''1903''' - Encyclopédie Larousse : Arthur Constantin KREBS a entièrement réformé le matériel et l'organisation des sapeurs-pompiers de la ville de Paris.

File:1923 Larousse=Pompiers.jpg |'''1923''' - Encyclopédie Larousse : Arthur Constantin KREBS a entièrement réformé le matériel et l'organisation des sapeurs-pompiers de la ville de Paris (suite).

File:1894-04-28 Pompiers tableau-Detaille 'Victimes-du-devoir' esquisse-couleur RMN.png |'''1894-04-28''' [http://www2.culture.gouv.fr/Wave/image/archim/0007/dafanch99_76630603_2.jpg  &quot;''Victimes-du-devoir''&quot;] esquisse du  [https://archive.org/details/douarddetaille00detauoft/page/n25/mode/2up tableau] de [[W:%C3%89douard_Detaille|Edouard Detaille]] qui représente une intervention des sapeurs-pompiers de Paris à l'époque de la réorganisation de A. C. KREBS. Deux pompes Durenne &amp; Krebs sont visibles en arrière-plan. &lt;ref&gt;''Les victimes du devoir'' - [https://www.photo.rmn.fr/CS.aspx?VP3=SearchResult&amp;VBID=2CMFCI7M9AE4D&amp;SMLS=1&amp;RW=1600&amp;RH=789 Detaille Jean-Baptiste-Edouard (1848-1912)] - Réunion des musées nationaux - Grand-Palais (Paris)&lt;/ref&gt;

File:The Opera House, Paris, France ca. 1890-1900.jpg |'''1896-05-20''' - Un contrepoids de  625 kg du [[W:Le_Fant%C3%B4me_de_l%27Op%C3%A9ra#/media/Fichier:Palais_Garnier_auditorium_chandelier_-_Nuitter_1875_p147.jpg|chandelier]] de [[W:Op%C3%A9ra_national_de_Paris|l'Opéra de Paris]] chute en pleine représentation et tue une personne. [[W:Gaston_Leroux|Gaston Leroux]] reprendra cet événement dans son roman [https://en.wikipedia.org/wiki/The_Phantom_of_the_Opera  &quot;'''Le fantôme de l'Opéra'''&quot;].

File:Le Petit Journal - Bazar de la Charité.jpg | '''1897-05-04''' - '''[[w:Bazar de la Charité|L'incendie du Bazar de la Charité]]''' : &quot;''Les sapeurs-pompiers de Paris arrivent sur les lieux en à peine dix minutes pendant que des grappes humaines surgissent du bazar transformé en brasier, par les deux seules portes d'accès dont l'une, celle de gauche, sera rapidement bloquée par des corps.''&quot;

File:Btv1b8433337w-p014.jpg |'''1900-03-08''' - &quot;''L'incendie du Théâtre-Français''&quot;: La pompe d'incendie [[c:Category:Durenne_%26_Krebs_fire_engine|'''&quot;Durenne &amp; Krebs&quot;''']] (fabriquée par [https://data.bnf.fr/14536469/societe_des_etablissements_weyher_et_richemond/ Weyher &amp; Richemond]) en opération.

File:Btv1b8433337w-p015.jpg |'''1900-03-08''' - &quot;''L'incendie du Théâtre-Français''&quot;: La '''grande échelle &quot;[[W:Gugumus|Gugumus]] &amp; Krebs&quot;''' en opération.
&lt;/gallery&gt;
=== La '''voiture système KREBS''' et [[w:Émile_Levassor|'''Émile LEVASSOR''']] ===
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Voiture système Krebs|'''''Voiture système Krebs''''']]
&lt;br&gt;'''1894''' - [[w:Paris-Rouen (automobile)|'''La course Paris-Rouen''']] : &quot;''J'étais présent le 18 juillet 1894, le matin, au départ des véhicules automobiles engagés dans la course du Petit Journal. Le départ a eu lieu à la Porte Maillot. Au moins 20 véhicules se sont présentés au départ.''&quot; &lt;ref name=&quot;1906_Krebs_Selden&quot; /&gt;

Le 28 novembre '''1894''', le Conseil municipal de Paris accepte la proposition de A. C. KREBS d’étudier l’application des moteurs à pétrole à la traction des voitures d’incendie, en remplacement des chevaux. Le Conseil alloue les crédits et ajoute : &quot;''Il ne faut pas craindre de demander largement le nécessaire''.&quot; &lt;ref&gt;
'''28/11/1894''' - Comptes-rendus du [https://rytmo.net/ACK/1894-11-28_Pompiers_PP-DB273_Comite-Perfectionnement.pdf &quot;''Comité de perfectionnement''&quot;] des sapeurs pompiers de Paris.&lt;/ref&gt;

'''1895''' - A. C. KREBS est '''présent lors du retour de Levassor''' pour la '''course Paris-Bordeaux-Paris'''. &lt;ref&gt;'''1906''' - [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1906_Arthur_Constantin_KREBS_testimony_during_the_Selden_case.pdf&amp;page=30 '''Témoignage d'A. C. KREBS'''] lors du '''procès Selden à New-York''' :'' '''Q35'''. Were you at one or more automobile races in 1895? '''A35'''. Yes, I recall well in the Paris-Bordeaux-Paris race the return of the two passenger vehicle  which was driven by Monsieur Levassor.  That vehicle and its driver had made the trip there and return, 1175 kilometers, without stops other than those necessary to replenish with fuel, in about 48 hours. Unfortunately the first prize for the performance could not be given to it because it could not be awarded a vehicle with two passengers. Nevertheless the performance of this vehicle was considered most successful''.&lt;/ref&gt;

'''1896''' - &quot;''Vers 1894 parurent les premières voitures automobiles mues par des moteurs à essence. La locomotion automobile ayant déjà frappé mon imagination au point de vue de son application au Service Incendie, je me procurai un petit moteur auprès de la maison Panhard &amp; Levassor pour en bien étudier le fonctionnement et construisis dans l’atelier des Sapeurs-Pompiers une petite voiture d’expérience dont les changements de vitesse étaient obtenus par des embrayages magnétiques'' [brevetée en 1896]. ''J’avais imaginé cette disposition pour éviter les chocs brutaux que subissent les engrenages dans les changements de vitesse, solution qui me paraissait barbare.''&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;
&lt;gallery&gt;
File:1896-05-02 A.C.KREBS automobile-patent=FR256344.jpg|'''1896''' - A. C. KREBS : Dessin du '''brevet d'automobile'''.

File:1896-05-13 A.C.KREBS=Brevet FR256344-'voiture-automobile'.pdf|page 10|'''1896''' - A. C. KREBS : '''Brevet d'automobile''' ('''FR'''256344).

File:Krebs Electromagnetic-Gear 1896.jpg|'''1896''' - A. C. KREBS : '''Boîte de vitesse électromagnétique''' du brevet d'automobile ('''GB'''189619774A).

File:1896-11-09 BE124538=brevet belge de la voiture de A. C. KREBS.pdf|'''1896''' - A. C. KREBS : '''Brevet belge''' ('''BE'''124538).

File:Voiture système Krebs 1896.jpg |'''1896''' - '''A. C. KREBS est au guidon''' de sa voiture au Bois de Boulogne à Paris.

File:1900~Grde-Encycl=Velocipede-Angle-de-chasse.jpg|'''1896''' - A. C. KREBS introduit '''l'[[w:Géométrie_de_suspension#La_chasse|angle de chasse]]''' dans la technologie de '''la direction automobile'''.

File:1882-1898 – A. C. KREBS metallic wheel hubs.pdf|'''1882-1898''' – A. C. KREBS introduit  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9810086j/f94.item '''le moyeu métallique d'artillerie français'''] dans la '''technologie automobile mondiale'''. &lt;ref&gt;'''1915''' - [https://archive.org/details/automobilebooka00homagoog/page/n298/mode/2up '''The Automobile Book''' : A Practical Treatise on the Construction, Operation and Care of Motor Cars] by [[w:Duryea_Motor_Wagon_Company|Charles E. Duryea]]: &quot;'''Raisons d'adopter des roues en bois''' : ''Le public, cependant, finit par apprendre et, une fois informé, ses préférences sont généralement judicieuses ; ainsi, en quelques années, la roue à fil de fer fut condamnée, non pas parce qu'elle était impossible à fabriquer de façon satisfaisante, mais parce qu'elle ne l'était pas, et la roue en bois devint la forme acceptée. En se tournant vers la roue en bois, cependant, les fabricants tombèrent dans l'autre extrême et adoptèrent généralement la roue désormais universelle [https://en.wikipedia.org/wiki/Artillery_wheel du type artillerie]'''''. Cette roue est utilisée pour sa robustesse, plutôt que pour sa légèreté ou son faible coût, et '''''a été largement adoptée en raison de son utilisation à l'étranger.'''''.&quot;&lt;/ref&gt;

File:1899 - Panhard-Levassor - roue d'artillerie de la voiture de C. S. Rolls.jpg|'''1899''' - Panhard-Levassor: '''Roue d'artillerie de la voiture de C. S. Rolls conçue par A. C. KREBS'''. &lt;ref name=Rolls-1899/&gt;

File:1899 - Panhard-Levassor - artillery wheel axle stub of C. S. Rolls' car.jpg|'''1899''' - Panhard-Levassor: '''Arbre de la Roue d'artillerie de la voiture de C. S. Rolls conçue par A. C. KREBS'''.  &lt;ref name=Rolls-1899/&gt;

File:Roue.jpg|'''1900''' ~ '''Roue d'artillerie''' de type français sur un essieu d'automobile.

File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 72|'''1913''' - La stabilité de route : &quot;'''''L'angle de chasse'''''&quot;.

File:Émile Levassor peu avant sa mort.jpg|'''1896-09-03''' - '''Émile Levassor''' (1843-1897) achète la licence du '''brevet d'automobile système Krebs'''.

File:WP-Rene Panhard.jpg|'''René Panhard''' (1841-1908).
&lt;/gallery&gt;
==== Sept innovations dans la technologie automobile ====
:Brevets de la voiture système Krebs : '''FR'''256344, '''GB'''189619774A, '''BE'''124538

* '''La généralisation du système de suspension par 3 points (moteur et chassis)''' : (voir infra)

:	&quot;''Puisque l'on sait que 3 points suffisent pour déterminer un plan.''&quot; &lt;ref name=1896_voiturette_Krebs/&gt;

:	&quot;''Suspension de bâti du mécanisme au châssis de la voiture par 3 points munis d'articulations, à l'effet de soustraire le mécanisme aux déformations que le châssis de la voiture peut avoir à supporter pendant le roulement du véhicule.''&quot;

* '''La boîte de vitesse électromagnétique avec les engrenages toujours en prise''' :

:	&quot;''J’avais imaginé cette disposition pour éviter les chocs brutaux que subissent les engrenages dans les changements de vitesse, solution qui me paraissait barbare.''&quot;

* '''Le changement de vitesses au volant''' :

:	&quot;''Le régulateur de vitesse comprend un commutateur électrique disposé sur un disque fixé au-dessous du guidon de direction sur un tube fixe renfermant la tige de direction. Un plateau mobile, muni d'un bourrelet à sa circonférence, recouvre le commutateur et établit suivant 5 positions, les communications et embrayages suivants : 1° - position de repos, circuit coupé, aucun embrayage ; 2° - 1er cran à droite, petite vitesse ; 3° - 2ème cran à droite, vitesse moyenne ; 4° - 3ème cran à droite, grande vitesse ; 5° - cran à gauche de la position de repos, marche en arrière.''&quot;

* '''La direction à crémaillère amortie''' :
:	&quot;''La direction est obtenue au moyen d'un pignon denté monté sur le rond supérieur engrenant avec un secteur denté fixé au rond inférieur. L'axe du pignon porte une roue à dents logée dans une boîte cylindrique reliée par deux tubes à la caisse de la voiture. Une seconde roue à dents, montée sur la tige de direction située à la portée du conducteur, est reliée à la première au moyen d'une chaîne sans fin passant dans les deux tubes indiqués plus haut. Dans la partie rectiligne des tubes, la chaîne est remplacée par deux tiges élestiques formées de tubes contenant des ressorts à boudin. Cette disposition a pour but de maintenir constamment la chaîne tendue et de créer un amortisseur entre les vibrations transmises à la chaîne par le roulement des roues d'avant sur un sol inégal et la tige de direction placée dans les mains du conducteur.''&quot;

* '''L'[[w:Géométrie_de_suspension#La_chasse|angle de chasse]] positif sur le train avant''' :

:	&quot;''L'avant-train est formé du rond inférieur, de deux armons, de 3 ressorts et d'un essieu situé en arrière de la projection de l'axe de la cheville ouvrière d'une quantité qui peut varier du 1/7 au 1/20 de la distance qui sépare les points de contact des 2 roues d'avant avec le sol. Cette disposition a pour objet d'assurer la stabilité de route, c'est-à-dire de ramener automatiquement, en marche, le parallélisme des deux essieux, lorqu'aucune force ne tend à les maintenir dans une autre position ou qu'un effort momentané les en a écartés.''([https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:1896-05-13_A.C.KREBS%3DBrevet_FR256344-%27voiture-automobile%27.pdf&amp;page=10 '''FR'''256344], [https://worldwide.espacenet.com/patent/search/family/032536216/publication/GB189619774A?q=GB189619774A '''GB'''189619774A], [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1896-11-09_BE124538%3Dbrevet_belge_de_la_voiture_de_A._C._KREBS.pdf&amp;page=1 '''BE'''124538]) 

* '''La roue d'artillerie française à moyeu métallique''' : voir supra.
**'''1896''' - '''Émile LEVASSOR''' à '''A. C KREBS''' : &quot;''Vous nous autoriseriez gracieusement à employer '''votre système de moyeux de roues''' &lt;ref&gt;'''1890''' - Brevet [https://bases-brevets19e.inpi.fr/brevets?detail=706217&amp;positionResult=19&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bmode%5D=simple&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bop%5D=AND&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bop%5D=AND&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bextras%5D%5Bmode%5D=input&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_698c4792c3dc7%5D%5Bop%5D=AND&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_698c4792c3dc7%5D%5Bq%5D%5B0%5D=durenne&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_698c4792c3dc7%5D%5Bextras%5D%5Bmode%5D=input&amp;arko_default_63f395e1547dd--from=0&amp;arko_default_63f395e1547dd--resultSize=50&amp;arko_default_63f395e1547dd--contenuIds%5B0%5D=838591&amp;arko_default_63f395e1547dd--modeRestit=arko_default_63f397c19a653#visionneuse-manual|/_recherche-api/visionneuse-infos/arko_default_63f395e1547dd/arko_fiche_64afd8be44c19/arko_default_63f47e41d68c8/image/687860|0|8 '''FR2'''00439] - &quot;'''Pompe, à incendie à vapeur, système Durenne et Krebs'''&quot; : &quot;''Le moyeu est en bronze, il porte deux tourteaux tournés sur le périmètre desquels sont percés des trous taraudés pour recevoir les rais. L'extrémité du moyeu du côté intérieur porte une gorge formant réservoir d'huile, entre cette extrémité et la rondelle d'essieu on interpose un cuir d'étanchéité destiné à retenir l'huile et à empêcher la rentrée des sables. L'autre extrémité porte une fraisure et un filetage dans lequel on visse un écrou complètement étanche à l'huile dans laquelle frotte la fusée d'essieu. Les rais sont en acier filetés à un bout s'implantant dans le moyeu, l'autre bout est terminé par une tête tournée, noyée sur le pourtour de la jante en fer profilé. La jante entre librement dans le bandage en fer laminé, l'embattage se faisant à froid. La jante et le bandage sont reliés par autant de boulons à têtes fraisées qu'il y a de rais, l'écrou étant à l'intérieur du bandage''&quot;.
&lt;/ref&gt; pour lequel, puisque vous dites qu'il est très bon, il pourrait être intéressant de prendre un brevet.''&quot;  &lt;ref name=1896_Krebs_Levassor /&gt;
** '''1897''' - '''Levassor''' introduit [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8DE187.2/0012/100/512/0010/0458 un moyeu] [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8DE187.2/0012/100/512/0010/0458 métallique]  [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Panhard_%26_Levassor_catalogue_1896-7.pdf&amp;page=4 dans son catalogue], et la roue d'artillerie sur sa [[c:File:1897-07_-_Panhard_et_Levassor_-_voiture_de_la_course_Paris-Dieppe_6cv,_2cyl_et_roues_d%27artillerie.jpg|voiture de course Paris-Dieppe]] en juillet.
** '''1898''' - '''A. C. KREBS''' introduit son propre système de [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1898_A.C.KREBS_Album-Courses%3D8cv-4cyl_-_Paris-Amsterdam.jpg?uselang=fr roue d'artillerie pour sa voiture de course Paris-Amsterdam].
** '''1900''' - '''La controverse au sujet des roulements à billes'''
::'''Catégorie''' : [[commons:Category:Rolling element bearings|'''''Roulements à billes''''']]&lt;br&gt;
::&quot;''Panhard et Levassor, les célèbres constructeurs automobiles français, ont fait des expériences élaborées avec des roulements à billes dans des conditions de travail et sont arrivés à la conclusion que les roulements à billes ne donnaient aucun gain'' [...] ''Sans aucun doute, les expériences de Panhard et Levassor ont été faites avec des formes défectueuses de roulements à billes.''&quot; &lt;ref&gt;
'''1900''' - [https://cnum.cnam.fr/pgi/sresrech.php?8XAE505/349/stTxt/valeur_argument_url=8XAE505%2F349%2FstTxt%2F%26&amp;catsel1=stTxt&amp;mot_cat1=krebs&amp;ope5=AND&amp;catsel5=id&amp;mot_cat5=8XAE505&amp;var_solr_qs=2#l-349 '''Congrès International d'automobilisme''']: &lt;small&gt;&quot;''M. le commandant Krebs prétend qu’il a fait monter en course 5 voitures dont deux étaient munies d’essieux patents et trois d’essieux à billes et qu’il n’a trouvé aucune espèce de différence. Les essieux à billes ne présenteraient d’avantages que dans les petites vitesses, ce qui est original''&quot;. '''1900''' - [https://archive.org/details/automobilemaga2151900newy/page/794/mode/2up?q=panhard '''Automobile Magazine''']: &quot;''Panhard et Levassor, les célèbres constructeurs automobiles français, ont fait des expériences élaborées avec des roulements à billes dans des conditions de travail réel et sont arrivés à la conclusion que les roulements à billes n'apportaient aucun gain à basse vitesse, et ont également annoncé en termes généraux que la résistance de frottement des roulements de voiture ne constituait qu'une très petite partie de la résistance totale à la propulsion des voitures et que les roulements à billes pour les pièces de voiture, de moteur et de transmission sont presque universellement considérés comme inadaptés à toute utilisation dans les voitures, sauf dans les véhicules les plus légers. Il est certain qu'aucun cycliste n'utiliserait une bicyclette sans roulements à billes, et nos voitures légères américaines à vapeur, qui peuvent être considérées comme ayant atteint une forme standard plus que tout autre véhicule à propulsion mécanique, utilisent des roulements à billes dans les roues, pour le régulateur, pour le vilebrequin et pour les extrémités des manivelles des bielles. Il ne fait aucun doute que les expériences de Panhard et Levassor ont été faites avec des formes de roulements défectueuses''&quot;. '''1909''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9815623n/f49.item.r=l '''OMNIA'''] - &quot;[...] ''Or l'on s'accorde à juger que l'amélioration d'une friction par les billes est de 10 pour 100. Par conséquent le bénéfice procuré par les billes dans ce cas ne pouvait s'appliquer qu'à 500 grammes sur 15000, c'est-à-dire faire descendre l'effort de 15 kilogrammes à 14.950 ''[?!?]''. Le résultat est donc assez pitoyable. Mais la bille ne vaut pas seulement par cette amélioration illusoire du rendement. Son mérite principal consiste dans la commodité de son emploi ; elle rend le roulement pratique. Non seulement elle permet le raccourcissement de la fusée, diminue par conséquent l'encombrement et les chances d'accrochage, mais elle n'exige plus (dans la forme &quot;annulaire&quot; tout au moins) aucun réglage ni pour l'ouvrier qui monte le roulement, ni pour le client qui l'emploie. Son entretien est à peu près nul puisque, si la fusée Brevet demande une nouvelle charge d'huile tous les 150 à 200 kilomètres environ, une fusée à billes roule parfaitement 2 à 3000 kilomètres sans qu'on ait à se soucier d'elle.''&quot;&lt;/small&gt;&lt;/ref&gt;
* '''L'abaissement du centre de gravité du châssis'''
: '''1888''' - '''Pompe à incendie à vapeur de la ville de Paris (modèle 1888) par MM. Durenne &amp; Krebs''' : &quot;''Rapprocher le plus possible, du centre de gravité de la voiture, les masses qui la composent, afin de diminuer le moment d'inertie du véhicule dans le plan horizontal. Il en résulte pendant la traction, et, surtout dans les tournants aux grandes allures, une moindre fatigue des essieux et des roues.'''.''&quot; &lt;ref name=portefeuille/&gt;
'''1896-09-03''' - '''Emile LEVASSOR''' achète la licence du brevet d'automobile ([https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:1896-05-13_A.C.KREBS%3DBrevet_FR256344-%27voiture-automobile%27.pdf&amp;page=10 '''FR'''256344], [https://worldwide.espacenet.com/patent/search/family/032536216/publication/GB189619774A?q=GB189619774A '''GB'''189619774A], [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1896-11-09_BE124538%3Dbrevet_belge_de_la_voiture_de_A._C._KREBS.pdf&amp;page=1 '''BE'''124538]) de A. C. KREBS avec la boîte de vitesses électromagnétique, la suspension par 3 points, l'[[w:Géométrie_de_suspension#La_chasse|angle de chasse]] et d'autres innovations. &lt;ref name=1896_Krebs_Levassor /&gt;
'''1896-12-22''' - '''Emile Levassor''' à '''Gottlieb Daimler''' : &quot;''Pour la voiture avec changement de vitesses électrique'' [...] ''en voyant cette seule voiture vous pouvez être certain que vous en verrez bien plus que ce que vous avez pu voir en Angleterre dans vos différents voyages.''&quot; &lt;ref&gt;'''1896-12-22''' - '''Emile Levassor''' à '''Gottlieb Daimler''' : &quot;''Pour la voiture avec changement de vitesses électrique, je vous assure que c'est une chose à examiner. Et il est bien fâcheux qu'à votre dernier voyage vous n'ayez pu avoir le temps nécessaire pour cet examen. Nous pensons que vous pourriez traiter avec l'inventeur en donnant une somme fixe et en payant une Royalty par voiture. C'est ainsi que nous avons traité. J'espère que vous trouverez occasion de venir à Paris pour établir votre jugement et en voyant cette seule voiture vous pouvez être certain que vous en verrez bien plus que ce que vous avez pu voir en Angleterre dans vos différents voyages.''&quot; ([https://recherche-anmt.culture.gouv.fr/archives/archives/fonds/FRANMT_IR_186_AQ_2006_47/view:fonds/n:3 Archives Nationales du monde du Travail])&lt;/ref&gt;

==== La suspension par trois points ====
*'''1888''' - '''Pompe à incendie à vapeur de la ville de Paris (modèle 1888) par MM. Durenne &amp; Krebs''' : &quot;''Le mécanisme est relié au châssis par trois points avec interposition d'une matière élastique permettant la déformation des châssis sans fausser les pièces de l'ensemble. La chaudière est aussi fixée par '''trois points seulement'''.''&quot; &lt;ref name=portefeuille/&gt;

*'''1896''' - '''La généralisation du système de suspension par 3 points (moteur et chassis)''' sur la ''voiture système Krebs'' (voir supra).

*'''1898''' - La Voiture Clément-Panhard (VCP) (voir infra).

*'''1901''' - Brevet de la boîte de vitesses suspendue par trois points (voir infra).
==== Les systèmes de direction des véhicules ====
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Steering|'''''Direction (automobile)''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Direction (automobile)|Direction (automobile)]]
&lt;br&gt;En '''1898''' A. C. KREBS remplace '''la queue de vache de Levassor''' par '''un volant incliné''' dans les voitures de course qu'il conçoit pour la course  [[W:Paris-Amsterdam-Paris|'''Paris-Amsterdam-Paris''']] qui se déroule du 7 au 13 juillet 1898. Fernand Charron gagne cette course sur une 4 cylindres Panhard &amp; Levassor. &lt;ref&gt;'''1915''' - [https://archive.org/details/automobilebooka00homagoog/page/n18/mode/2up?q=lever+steering '''The Automobile Book''' : A Practical Treatise on the Construction, Operation and Care of Motor Cars] by [[w:Duryea_Motor_Wagon_Company|Charles E. Duryea]] : '''''Direction au volant et à levier''''' — &quot;''La direction au volant est la forme la plus répandue et la plus adaptée à la vitesse ou au service en ligne droite, mais pour une utilisation en ville ou sur de courts trajets, le levier, utilisé sur pratiquement tous les véhicules électriques, est le plus pratique. L'impression que la direction à levier ne convient pas, sauf pour les véhicules les plus légers, est fausse, comme le prouve cette utilisation électrique. La maniabilité avec laquelle on peut accélérer avec un levier le place loin devant le volant, tandis que son action est plus rapide et plus sûre en ville et en conduite rapprochée. Qu'il ne faille pas le craindre pour les travaux rapides est prouvé par le fait que la voiture à vapeur Stanley qui a fait le mile le plus rapide en ligne droite il y a quelques années, à Ormond Beach, était une voiture à direction par levier.''&quot;&lt;/ref&gt;

A cette occasion  A. C. KREBS introduit  [https://archive.org/details/automobileaprac00haslgoog/page/442/mode/2up?q=panhard '''la direction irréversible'''] dans la technologie automobile.
&lt;gallery&gt;
File:1896 - A. C. KREBS Steering-Systems - the electromagnetic gearbox.pdf| '''1896-1903'''  - Les systèmes de direction de A. C. KREBS : La [https://www.babordnum.fr/items/show/14115 boîte de vitesse électromagnétique (p. 473)] et  [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002826307/publication/US757815A?q=US757815A%20panhard le contrôle des vitesses au volant].

File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 77|'''1913''' - La &quot;'''''direction irréversible à vis'''''&quot; de A. C. KREBS (p.77).
&lt;/gallery&gt;
=== '''Le fourgon électrique d'incendie''' ===
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Véhicule de lutte contre l'incendie|'''''Véhicule de lutte contre l'incendie''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Fourgon d'incendie|Fourgon d'incendie]], [https://en.wikipedia.org/wiki/Electric_fire_engine Camion de pompier électrique]
&lt;br&gt;Dès le 5 juillet '''1895''' A. C. KREBS annonce au Conseil de Paris : &quot;''L’industrie ne construit actuellement que des moteurs de 2 à 3 chevaux. Or, c’est d‘une force de 12 à 15 chevaux qu’il faut au Corps''.&quot; &lt;ref&gt;
'''05/07/1895''' - Comptes-rendus du [https://rytmo.net/ACK/1895-07-05_Pompiers_PP-DB273_Comite-Perfectionnement.pdf &quot;''Comité de perfectionnement''&quot;] des sapeurs pompiers de Paris.&lt;/ref&gt;
En conséquuence il conçoit le '''fourgon électrique d'incendie des sapeurs-pompiers de Paris''' qui entrera en service en '''1899''', date de la fin du contrat avec le loueur de chevaux.
&lt;gallery&gt;
File:Le fourgon électrique (face avant).jpg|'''1899''' - [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?4KY28.53/0321/100/532/5/416 Le fourgon électrique] (face avant) des pompiers de Paris '''conçu par A. C. KREBS'''.

File:Le fourgon électrique (face arrière).jpg|'''1899''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k55325271/f21.item Le fourgon électrique] (face arrière) des pompiers de Paris '''conçu par A. C. KREBS'''.

File:1899 - Pompiers de Paris - Le fourgon d'incendie électrique en reconnaissance avec des lampes à arcs.jpg|'''1899''' - Le [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k62201848/f14.image.r=sapeurs%20pompiers '''fourgon d'incendie électrique'''] conçu par A. C. KREBS '''en reconnaissance avec des lampes à arcs'''.

File:1899-The Automobile MAGAZINE The Horseless Fire Engine By Captain Cordier-French Electric Fire Department Wagon.pdf |'''1899''' - &quot;'''The Horseless Fire Engine''' By [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b53004798j.r=%22colonel%20cordier%22?rk=21459;2 Captain Cordier] - '''''French Electric Fire Department Wagon'''''&quot;. &lt;ref&gt;'''1899''' - [https://archive.org/details/automobilemaga1189919newy/page/234 The Automobile MAGAZINE]: &quot;''The Horseless Fire Engine By [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b53004798j.r=%22colonel%20cordier%22?rk=21459;2 Captain Cordier]'' - French Electric Fire Department Wagon: '''French Electric Fire Department Wagon''' : &quot;''Paris firemen have also lately been out making successful experiments with the automotor constructed especially for the fire service, after the plans of Colonel Krebs.''&quot;.&lt;/ref&gt;
&lt;/gallery&gt;
== L'ingénierie automobile chez '''[[w:Panhard|Panhard &amp; Levassor]]''' ==
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Panhard &amp; Levassor|'''''Panhard &amp; Levassor''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Panhard|Panhard]], [[w:Paris-Rouen (automobile)|Paris-Rouen (automobile)]], [[w:Transmission non synchronisée|Transmission non synchronisée]], [[w:Boîte de vitesses|Boîte de vitesses]], [[w:Chronologie de l'automobile|Chronologie de l'automobile]]
&lt;br&gt;'''A. C. KREBS succède à Emile LEVASSOR''' à la direction générale de  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bd6t5333384b/f474.image.r=krebs Panhard &amp; Levassor].
De '''1897''' à '''1916''' il transforme la société Panhard &amp; Levassor en fabricant d'automobile le plus profitable avant la 1ère guerre mondiale.

&quot;''Au début de '''1897''' ''[en fait le '''03/09/1896'''] &lt;ref name=&quot;1896_Krebs_Levassor&quot; /&gt;'', je montrai ma voiture terminée et fonctionnant à M. Levassor. Il en fut vivement frappé et me demanda de lui permettre d’en mettre plusieurs en construction dans ses ateliers et de bien vouloir en suivre la fabrication. &lt;ref name=1896_Krebs_Levassor /&gt; Deux mois plus tard ''[le 14/03/1897],'' M. Levassor mourait subitement. Son associé, M. Panhard, transforma son association en Société Anonyme et me demanda d’en prendre la direction.''&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;

Le jour même de cette entrevue [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1896-09-03_rencontre_Levassor-Krebs%3Dprise_de_licence_sur_le_brevet_Krebs.pdf '''Emile LEVASSOR achète la licence'''] de la boîte de vitesses électromagnétique du brevet de A. C. KREBS. Cette boîte de vitesses sera [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k1092624r/f382.image.r=krebs construite au moins jusqu'en '''1903'''].

&quot;''L’industrie automobile était à ses débuts, son avenir n’était pas douteux et la Maison Panhard &amp; Levassor tenait la tête. Encouragé par la réussite de mes travaux antérieurs et mes goûts personnels'', '''je n’hésitai pas à accepter et à abandonner la carrière militaire pour entrer dans l’industrie'''&quot;. &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt; &lt;ref&gt; '''1897''' - '''Les dernières appréciations hiérarchiques''' sur A. C. KREBS lors de l'inspection générale des pompiers de Paris. '''Le chef de corps''' : &quot;''Officier supérieur d’une grande valeur qui, sans négliger en rien son instruction militaire, continue à faire bénéficier le régiment de sapeurs-pompiers de ses connaissances scientifiques variées et très étendues en apportant au matériel d’incendie tous les perfectionnements dont il est susceptible. M. le Commandant Krebs est, en somme, un très bon militaire doublé d’un ingénieur distingué''&quot;. '''Le général de brigade''' : &quot;''Intelligence vive. Connaissances scientifiques très étendues. Possède, au point de vue de leur application, des aptitudes remarquables. Vigoureux, actif, décidé, et très bien doué aussi, sous le rapport de l’aptitude au commandement, des qualités militaires et des connaissances professionnelles. En résumé c’est un officier d’un mérite supérieur qu’il y a intérêt à faire avancer rapidement.''&quot;&lt;/ref&gt;

&quot;''J'ai connu '''M. [[w:Gottlieb Daimler|Daimler]] en 1897, lorsque je suis allé lui rendre visite à Cannstadt, en Allemagne''', en octobre. Dans la maison où il habitait, il m'a montré le laboratoire et l'atelier où il avait étudié et construit son premier petit moteur, puis le premier véhicule sur lequel il a fait ses premiers essais.''&quot; &lt;ref name=&quot;1906_Krebs_Selden&quot; /&gt;

=== '''Voitures de course''' ===
'''Catégories''' : [[commons:Category:Panhard &amp; Levassor racing automobiles|'''''Voitures de course Panhard &amp; Levassor''''']], [[commons:Category:Compétition automobile|'''''Compétition automobile''''']], [[commons:Category:Sport automobile en France|'''''Sport automobile en France''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Compétition_automobile#Histoire|Histoire de la compétition_automobile]], [[w:Compétition automobile avant 1906|Compétition automobile avant 1906]]
&lt;br&gt;&quot;''Les débuts ne furent pas sans difficulté. Il fallut d’abord acquérir la sympathie d’un personnel technique très fermé et jaloux de son expérience. Quelques perfectionnements que j’introduisais de suite dans certains organes mécaniques et l’année suivante le succès des 4 voitures de la Maison dans la course &quot;[[w:Paris-Amsterdam-Paris|Paris-Amsterdam]]&quot; (les voitures arrivant premières à toutes les étapes), me gagnèrent la confiance du personnel.''&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;

&lt;gallery&gt;
File:1898 A.C.KREBS Album-Courses=8cv-4cyl - Paris-Amsterdam.jpg|'''1898''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''8cv 4cyl - Paris-Amsterdam'''. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
File:1899 A.C.KREBS Album-Courses=12cv Paris-Bordeaux.jpg|'''1899''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''12cv Paris-Bordeaux'''. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
File:1899 A.C.KREBS Album-Courses=8cv-4cyl-80x120-1000rpm.jpg|'''1899''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''8cv 4cyl 80x120 1000rpm'''. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
File:1900 A.C.KREBS Album-Courses=16cv Tour de France.jpg|'''1900''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''16cv Tour de France'''. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
File:1900 A.C.KREBS Album-Courses=20cv Paris-Toulouse.jpg|'''1900''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''20cv Paris-Toulouse'''. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
File:1901 A.C.KREBS Album-Courses=10cv-légère Paris-Bordeaux.jpg|'''1901''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''10cv légère - Paris-Bordeaux'''. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
File:1901 A.C.KREBS Album-Courses=40cv Paris-Berlin-1.jpg|'''1901''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''40cv Paris-Berlin'''. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
File:1901 A.C.KREBS Album-Courses=40cv Paris-Berlin-2.jpg|'''1901''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''40cv Paris-Berlin'''. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
File:1902 A.C.KREBS Album-Courses=10cv-légère.jpg|'''1902''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''10cv légère'''. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
File:1902 A.C.KREBS Album-Courses=60cv-avec ressort AV transversal.jpg|'''1902''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''60cv with transverse front spring'''. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
File:1903 A.C.KREBS Album-Courses=70cv Paris-Madrid.jpg|'''1903''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''70cv Paris-Madrid'''. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
File:1903 A.C.KREBS Album-Courses=vue du moteur.jpg|'''1903''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''70cv Paris-Madrid - view of the engine'''. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
File:1903~A.C.KREBS Album-Courses=40cv.jpg|'''1903''' ~ Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''40cv'''. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
&lt;/gallery&gt;
'''Catégories''' : [[commons:Category:1898_Paris-Amsterdam-Paris_race|'''''1898 course Paris-Amsterdam-Paris''''']], [[commons:Category:1904 Vanderbilt Cup|'''''1904 Coupe Vanderbilt''''']], [[commons:Category:1906 French Grand Prix (photographs)|'''''1906 Grand Prix''''']], [[commons:Category:1907 French Grand Prix|'''''1907 Grand Prix''''']], [[commons:Category:Panhard &amp; Levassor type 120CV (1908)|'''''Panhard &amp; Levassor type 120CV (1908)''''']]
==== '''1898''' - [[w:Paris-Amsterdam-Paris|Course '''Paris-Amsterdam-Paris''']] ====
Premiers perfectionnements :

* Le volant de direction

* La [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8DE187.2/0155/100/512/10/458 direction irréversible à vis sans fin et secteur denté]

* L'[[w:Géométrie_de_suspension#La_chasse|angle de chasse]] positif sur l'essieu directeur 

* Les pneus

* L'abaissement du centre de gravité

==== '''1904''' - 1ère [[w:Coupe Vanderbilt|'''Coupe Vanderbilt''']] ====
L'américain [[w:George Heath|George Heath]] gagne la 1ère [[w:Coupe Vanderbilt|'''Coupe Vanderbilt''']] à New York sur une  [https://digitalcollections.detroitpubliclibrary.org/islandora/search/catch_all_fields_mt%3A%28vanderbilt%201904%29%20OR%20catch_all_fields_et%3A%28vanderbilt%201904%29 voiture Panhard &amp; Levassor] à cardan conçue par A. C. KREBS.
&lt;gallery&gt;
File:Maurice Farman, vainqueur du Grand Prix du Sud-Ouest en février 1901 sur Panhard.jpg|'''1901''' - [[c:Category:Maurice_Farman|Maurice Farman]], gagnant du Grand Prix du Sud-Ouest en février 1901 sur une Panhard.

File:Maurice Farman, vainqueur du circuit du Nord en mai 1902 (sur Panhard).jpg|'''1902''' - [[c:Category:Maurice_Farman|Maurice Farman]], gagnant du  'Circuit du Nord' en mai 1902 sur une Panhard.

File:Maurice Farman sur Panhard, cinquième au Paris-Vienne 1902.jpg|'''1902''' - [[c:Category:Maurice_Farman|Maurice Farman]], 5° sur la [[c:Category:Paris-Vienna_race|course Paris-Vienne]] sur une Panhard.

File:Pierre de Crawhez, vainqueur du Circuit des Ardennes en juin 1903.jpg|'''1903''' - Pierre de Crawhez, vainqueur du [[w:Circuit_automobile_des_Ardennes|'''Circuit des Ardennes''']] sur voiture Panhard &amp; Levassor.

File:Henri Farman, sur Panhard 100 hp en 1904.jpg|'''1904''' - La [[w:Coupe_automobile_Gordon_Bennett|'''coupe Gordon Bennett''']] : Henri Farman sur Panhard 100 hp.

File:George Heath, vainqueur de la première Coupe Vanderbilt 1904 sur Panhard, au circuit de Manhattan (La Vie au Grand Air du 27 octobre 1904).jpg|'''1904''' - '''[[w:George Heath|George Heath]] (N°7), gagnant''' de la première [[w:https://fr.wikipedia.org/wiki/Coupe_Vanderbilt|'''coupe Vanderbilt]] sur une Panhard à cardan''', à Manhattan.&lt;ref&gt;'''1904''' - The Automobile MAGAZINE : [https://archive.org/details/sim_automobile-magazine_1904-11_6_11/page/n5/mode/2up ''&quot;Winning of the Vanderbilt Cup&quot;''].&lt;/ref&gt;

File:1904 Vanderbilt-Cup=Heath winner on n°7.png|'''1904''' - '''Video''' : [https://www.loc.gov/item/00564552/ Automobile race for the '''Vanderbilt Cup'''] in New-York.

File:1905-01-07 - La Vie Parisienne - caricature Heath sur Panhard &amp; Levassor.jpg|'''1905''' - Caricature du '''conducteur de voitures américain, [[w:George Heath|George Heath]]''' sur Panhard &amp; Levassor.

File:1905-01 - The AUTOMOTOR JOURNAL - The 120-h.p. Four-cylinder engine of the Panhard-Levassor Gordon-Bennett race car.pdf|'''1905''' - La voiture '''120hp Panhard-Levassor avec transmission à cardan''' de la course Gordon-Bennett.

File:Principales victoires Panhard de 1894 à 1905.jpg |'''1894-1905''' - '''Histoire de l'automobile''' ([[w:Pierre_Souvestre|Pierre Souvestre]]) : ''&quot;'''Principales victoires Panhard &amp; Levassor'''&quot;''. &lt;ref&gt;'''1907''' - [[w:Pierre_Souvestre|Pierre Souvestre]] : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5495467j/f784.item.r ''Histoire de l'automobile'']&lt;/ref&gt;

File:Henry Farman, George Heath and Henri Cissac at the 1908 French Grand Prix at Dieppe.jpg|'''1908''' - [[c:Category:Henri_Farman|Henry Farman]], [[c:Category:George_Heath_(racing_driver)|George Heath]] et [[c:Category:Henri_Cissac|Henri Cissac]] au  '''Grand Prix de Dieppe''' de 1908 sur voitures de course Panhard de 120cv.

File:Panhard &amp; Levassor &quot;Biplace Course&quot; - 1908.jpg|'''1908''' - '''Video''' : Le moteur de [https://www.youtube.com/watch?v=JBDunOxO8IY  la voiture de course Panhard du Grand Prix] '''conçu par A. C. KREBS'''.

File:Paris - Retromobile 2012 - Grand Prix Panhard – Levassor 12.5 Litres - 1908 - 005.jpg|'''1908''' - '''Video''' : [https://www.youtube.com/watch?v=1CmYKxIhJU8  la voiture de course Panhard &amp; Levassor du Grand Prix] '''conçue par A. C. KREBS'''.
&lt;/gallery&gt;
&quot;''Pendant mes 18 années de Direction, je n’ai eu qu’à me louer du concours dévoué de tous mes collaborateurs, que j’ai toujours trouvés disposés à me seconder pour mener à bien les modifications ou dispositions nouvelles introduites dans les organes mécaniques des voitures.

''Il est inutile de les rappeler ici en détail. Celles que je signale volontiers parce qu’elles m’ont procuré de grandes satisfactions personnelles sont :

* ''L'[https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8DE187.2/121/100/512/10/458 '''équilibrage des moteurs'''];

* ''Le '''carburateur automatique''' permettant de faire varier la vitesse du moteur et de lui donner une souplesse que le réglage par tout ou rien ne permettait pas ;

* ''Le '''frein dynamométrique''' pour l’essai des moteurs à grande vitesse de rotation, donnant la mesure du travail sur l’arbre suivant la formule de [[w:Frein de Prony|Prony]], en récupérant sous forme électrique 90% environ de l’énergie produite, etc.''&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;

=== Equilibrage des moteurs ===
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Mechanical vibrations|'''''Vibrations méchaniques''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Vilebrequin (moteur)|Vilebrequin (moteur)]], [[w:Vibration|Vibration]], [[w:Système bielle-manivelle|Système bielle-manivelle]], [[w:Moteur à combustion et explosion|Moteur à combustion et explosion]]
&lt;br&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;

|-

! Date !! Brevet !! Intitulé

|-

| '''1901'''

|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1901-01-08_Brevet_KREBS_pour_P%26L_FR306968_-_%27Syst%C3%A8me_d%27%C3%A9quilibrage_des_moteurs_%C3%A0_deux_cylindres%27.pdf '''FR'''306968A] 

|| ''Système d'équilibrage des moteurs à deux cylindres''

|-

|

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032423830/publication/GB190114881A?q=GB190114881A '''GB'''190114881A] 

|| ''A System of Equilibrium for Motors Having Two Cylinders''

|-

|

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003513025/publication/AT13992B?q=AT13992B '''AT'''13992B] 

|| ''Device for balancing masses in engines with two adjacent cylinders''

|-

|

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002847027/publication/US778542A?q=US778542A '''US'''778542A] 

|| ''System of Equilibrium For Motors''

|-

|}

=== Le &quot;'''''carburateur Krebs'''''&quot; ===
'''Catégories''' : [[commons:Category:Carburetors|'''''Carburateurs''''']], [[commons:Category:Engine fuel system technology|'''''Systèmes d'alimentation des moteurs''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Carburateur|Carburateur]]
&lt;br&gt;Le carburateur Krebs peut être considéré comme '''le premier [[w:Carburateur|carburateur automatique]]''' ([https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002854050/publication/US785558A?q=US785558A brevet 1902]) et '''le premier  [[W:Carburateur#Carburateur_%C3%A0_d%C3%A9pression|carburateur à membrane]]''' ([https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032525523/publication/GB190912043A?q=GB190912043A brevet 1908]).

'''1906''' - &quot;''A l'heure actuelle nous ne maîtrisons pas suffisamment les facteurs qui nous permettraient de comprendre pleinement les raisons pour lesquelles il est possible de transformer en travail seulement une très petite partie de la chaleur développée dans la combustion, à partir de laquelle nous cherchons à réaliser du travail.''&quot; &lt;ref&gt;'''1906''' - Le :  [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:1906_Arthur_Constantin_KREBS_testimony_during_the_Selden_case.pdf&amp;page=61 témoignade de A. C. KREBS au procès Selden à New York] : &quot;''XQ96. Vous n'avez cité que le nom de Beau de Rochas. Connaissez-vous d'autres autorités ? R96. Tous ceux qui étudient ce sujet en vue d'en établir la théorie sont intéressants, mais nous ne possédons pas encore suffisamment les facteurs qui nous permettraient de comprendre pleinement les raisons pour lesquelles il n'est possible de transformer en travail qu'une très petite partie de la chaleur développée dans la combustion, à partir de laquelle nous cherchons à réaliser du travail.''&quot; &lt;/ref&gt;
&lt;gallery&gt;
File:1902-11-24 – Académie des sciences - la théorie du carburateur KREBS.jpg|'''1902-11-24''' – [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Comptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences,_tome_135,_1902.djvu&amp;page=900 '''La théorie du carburateur Krebs''']]: En permettant au moteur à combustion de développer sa puissance en fonction du nombre de tours, le carburateur Krebs lui permet en 1902 '''de gagner la bataille contre les moteurs électriques et à vapeur'''. &lt;ref&gt;Nous pourrions également dire que le carburateur KREBS introduit &quot;'''l'épure de la Tour Eiffel dans la carburation automobile'''&quot;.&lt;/ref&gt;

File:1902-10-11 Krebs Automatic Carburetor (FR325241, GB190222655, US734421A).png|'''1902''' - Le &quot;'''carburateur Krebs'''&quot; est le premier carburateur à dépression constante automatique.

File:1903-02-14. scientific-american-v88-n07=Krebs carburetor.pdf |'''1903-02-14''' - '''Scientific-American''' : &quot;The Krebs '''automatic carbureter''' for gasoline engines&quot;.

File:1910-11-24 motor-age 1910-11-24 18 21=le carburateur Krebs de 1908 est en vogue aux US.png|'''1910''' - '''Motor Age''' : Le [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032525523/publication/GB190912043A?q=GB190912043A '''carburateur Krebs de 1908'''] avec '''&quot;metering pin&quot;''' est &quot;'''''en vogue'''''&quot; en Amérique.  &lt;ref&gt;[https://archive.org/details/sim_motor-age_1910-11-24_18_21/mode/2up?q=krebs '''1910'''-11-24 - '''Motor-Age'''] : &quot;''Le carburateur de type Krebs est en vogue ; il est conçu pour réguler le débit d'essence au moyen d'un pointeau relié à une soupape à membrane.''.&quot;&lt;/ref&gt;

File:1915-09-02 motor-age 1915-09-02 28 10=pub carburateur Longuemare aux US 'En 1903 Krebs a joué une farce à l'industrie automobile' - Copie.png|'''1915''' - '''Motor-Age''' - Publicité [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k65121561/f66.image.r=Longuemare Longuemare] : '''En 1903 Krebs a joué une farce à l'industrie automobile'''&quot;''.

File:1912 - Brevet Panhard &amp; Levassor FR458736A - Carburateur Krebs sans pièce mobile.pdf|page 3|'''1912''' - Brevet A. C. Krebs de '''carburateur sans pièce mobile''' : [https://worldwide.espacenet.com/patent/search/family/001498296/publication/FR458736A?q=pn%3DFR458736A '''FR'''458736A].

File:1916 Artillerie St-Chamond Règlement de manoeuvre=le carburateur double-corps.pdf|'''1913''' - Le '''carburateur double-corps''' de A. C. KREBS.
&lt;/gallery&gt;
'''1903''' - '''The automobile''' : &quot;''Le but visé est '''un degré constant de carburation à toutes les vitesses''', chaque coup de piston développant la même quantité de puissance, et '''la puissance totale du moteur étant par conséquent directement proportionnelle à sa vitesse'''. De plus, la carburation peut être maintenue à ses limites les plus basses possibles, et elle est parfaitement automatique et indépendante des variations de la température atmosphérique. La carburation est toujours bonne. Le réglage habituel du tableau de bord pour l'air supplémentaire et une alimentation spéciale en air chaud ne sont pas nécessaires : le réchauffement de la chambre de mélange avec l'eau de la chemise du moteur maintient une température constante. '''Le moteur peut fonctionner à une très faible vitesse sans diminuer son efficacité'''. Par exemple, comme le rapporte le ''Automotor Journal'', si le levier de changement de vitesse est placé sur la troisième vitesse, ce qui pourrait normalement donner une vitesse de 50 km à l'heure, et que l'on souhaite tourner à seulement un cinquième de cette vitesse, la vitesse du moteur est réduite à un cinquième, disons de 1 000 à 200 tours par minute ; Bien sûr, la puissance totale est diminuée, mais '''la puissance de chaque coup reste la même'''. '''Le nouveau carburateur Krebs répond donc largement à l'un des principaux besoins du moteur à essence : la flexibilité'''.''&quot;  &lt;ref&gt;'''1903''' - '''The automobile''' : [https://archive.org/details/automobileaprac00haslgoog/page/140/mode/2up?q=krebs ''The Krebs carburetter''.]&lt;/ref&gt;

'''1913-05-26''' - Comité de direction Panhard &amp; Levassor : &quot;'' '''Les États-Unis demandent à acheter notre brevet de carburateur 1903''', brevet qui a encore une  validité de 5 ans. Nous adressons 2 propositions : 1° Vente du brevet pour 10.000 $, 
2° licence pour cash 2000 $, plus 1 $ par carburateur''.&quot; &lt;ref&gt;'''1913-05-26''' - [http://rytmo.net/ACK/1913-1915_P&amp;L_CR.html Comité de direction Panhard &amp; Levassor]&lt;/ref&gt;

'''1919''' - &quot;''Au début du XXe siècle, l'ingénieur français '''Krebs''' inventa ce que l'on peut appeler '''le premier carburateur automatique''' dans lequel le mélange était réglé automatiquement par la vitesse du moteur ; '''une souplesse''' jusqu'alors insoupçonnée était ainsi obtenue. Cette invention a ouvert la voie et inspiré un grand nombre d'autres inventions plus ou moins méritantes'' [...] '''Le type Krebs peut aujourd'hui être considéré comme la forme la plus simple de carburateur qui fonctionne de manière satisfaisante''' et il existe aujourd'hui plusieurs modèles différents fabriqués sur la base du seul principe de la soupape d'air auxiliaire. Dans ces modèles, le problème est résolu de différentes manières. ''[...]'' Bien qu'ils diffèrent tous dans les détails de la conception, ils sont néanmoins '''''basés sur le principe de la soupape d'air auxiliaire telle qu'elle a été élaborée à l'origine par Krebs'''''. &lt;ref&gt;'''1919''' - '''Motor truck and automobile motors and mechanism''' : &quot;[https://archive.org/details/motortruckandau01rathgoog/page/n90/mode/2up?q=krebs  ''A practical illustrated treatise on the power plant and motive parts of the modern vehicle, for owners, operators and repairmen''].&quot;&lt;/ref&gt;

voir infra: [[w:Arthur_Constantin_Krebs#Carburateurs|Tous les brevets de carburateurs de A. C. KREBS]].
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Date !! Brevet !! Intitulé
|-
| '''1902'''
|| [https://worldwide.espacenet.com/patent/search/family/001375413/publication/FR325241A?q=FR325241A '''FR'''325241A] 
|| '''Le carburateur Krebs ''' ([https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques&amp;action=submit#Le_%22carburateur_Krebs%22 voir supra]) : ''Un carburateur à réglage automatique''
|-
| 
|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032155422/publication/GB190222655A?q=GB190222655A '''GB'''190222655A]
|| ''Improvements in Oil Engines''
|- 
| 
|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/000413614/publication/DE146328C?q=DE146328 '''DE'''146328C]
|| ''A carburator for internal combustion engines''
|-
| 
|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002802929/publication/US734421A?q=US734421A '''US'''734421A]
|| ''Fuel-governor for oil-engines''
|-
|
|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/045200425/publication/CA83889A?q=CA83889A '''CA'''778542A + '''CA'''83889A] 
|| ''Oil Machine''
|-
|}
=== Frein dynamométrique ===
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Dynamometers|'''''Dynamomètres''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Dynamomètre|Dynamomètre]], [[w:Frein de Prony|Frein de Prony]]
&lt;br&gt;'''1905-11-13''' - [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_141%2C_1905.djvu&amp;page=757 '''Académie des sciences''']]: &quot;''Sur un frein dynamométrique destiné à la mesure de la puissance des moteurs, qui permet l'utilisation, sous forme électrique, de la majeure partie du travail développé.''&quot;.
&lt;gallery&gt;
File:1905-12-09 La-Revue-Industrielle=le dynamo-dynamomètre de Krebs.jpg|'''1905''' - La Revue Industrielle : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9774687p/f572.image.r=krebs '''Le dynamo-dynamomètre de A. C. KREBS''' chez Panhard &amp; Levassor].

File:1907-1908 - Cashier's Magazine - the A. C. KREBS dynamo-dynamometer at Panhard &amp; Levassor.png|'''1907''' - Le '''dynamo-dynamomètre''' de A. C. KREBS : &quot;''Le moteur Panhard &amp; Levassor 24 CV 4 cylindres  [https://archive.org/details/cassiersmagazi331907newy/page/272/mode/2up?q=panhard ''connecté au frein et à la dynamo dans la salle d'essai'']&quot;. &lt;ref&gt;'''1906-12''' - '''The Electrician''' Vol 58 : [https://archive.org/details/the-electrician-vol-58/page/302/mode/2up?q=%22commander+krebs%22 &quot;'''UN DYNAMOMETRE ELECTRIQUE'''&quot;]. &lt;/ref&gt;

File:1909-09-02 MOTOR-AGE=SKETCH OF ELECTRIC CRADLE DYNAMOMETER.pdf|'''1909''' - '''MOTOR-AGE''' :  [https://archive.org/details/sim_motor-age_1909-08-26_16_9/page/30/mode/2up?q=krebs Schéma d'un dynamomètre à berceau électrique]: &quot;Le '''''commandant Krebs''''' ''semble avoir été l'un des premiers utilisateurs du dynamomètre à berceau.''&quot;.  &lt;ref&gt;'''1909-08-26''' - '''Motor Age''' : [https://archive.org/details/sim_motor-age_1909-08-26_16_9/page/30/mode/2up?q=krebs SCHÉMA D'UN DYNAMOMÈTRE ÉLECTRIQUE À BERCEAU] [https://archive.org/details/sim_motor-age_1909-09-02_16_10/page/30/mode/2up?q=dynamometer suite] : &quot;''Le commandant Krebs, de la société Panhard &amp; Levassor, semble avoir été l'un des premiers utilisateurs du dynamomètre à berceau pour tester les moteurs à essence de voitures, et plusieurs membres de cette société l'ont utilisé avec succès pendant de nombreuses années.''&quot;. &lt;/ref&gt;

File:ITALTEC=5180=dynamomètre.jpg|'''Aujourd'hui''' - De nombreux  [http://www.italtec.it/enemm07.htm '''freins et &amp; couplemètres'''] utilisent les principes du frein dynamométrique de A. C. KREBS.
&lt;/gallery&gt;
=== La &quot;'''''Voiture Clément-Panhard (VCP)'''''&quot; et [[w:Adolphe_Clément-Bayard|'''Adolphe CLEMENT''']] ===
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Clément-Panhard vehicles|'''''Véhicules Clément-Panhard''''']],
[[commons:Category:Adolphe Clément-Bayard|'''''Adolphe Clément-Bayard''''']]

'''1900''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6230266z/f516 ''La voiturette Krebs (Panhard &amp; Levassor)''] avec une carrosserie en [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8DE187.2/38/100/512/10/458 partinium].

'''1901''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b84333426/f16.item 2 VCP au stand Clément] du salon de l'auto à Paris.

'''1902-05''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b84333441/f103.item une VCP exposée au Salon de l'alcool] sur le stand P&amp;L.
&lt;gallery&gt;
File:Adolphe Clément au Tour de France auto 1899 (cropped).jpg|'''1899''' - '''Adolphe Clément-Bayard''' (1855-1928).

File:1899-05-06 THE-AUTOCAR='The light Panhard car' la VCP de P&amp;L.pdf |'''1899-05-06''' - THE-AUTOCAR: &quot;''The light Panhard car''&quot;. La ''Voiture Clément-Panhard'' (VCP) est la version mécanique de la voiture système A. C. KREBS à boîte de vitesses électromagnétique.

File:1900 VCP=Voiturette Clément créée par le commandant Krebs (Ferrus et Genty=photo du bloc-moteur.jpg |'''1900''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k322174v/f177.image.r=krebs Photo du bloc-moteur de la VCP] : &quot;''La Voiturette Clément-Panhard créée par le Commandant Krebs possède les mêmes qualités de fond que les grosses voitures construites dans l'usine dirigée par ce savant ingénieur.''&quot;

File:1900~Clément-Panhard-on-1900~the-web=Herbert Farthing collected his Clément-Panhard from the docks at Southampton.jpg |'''1900''' - M. Herbert Farthing a récupéré sa Clément-Panhard (VCP) sur les quais de Southampton. &lt;ref name=VCP /&gt;

File:1901 Cycles Automobiles Clément=pub VCP.jpg |'''1901''' - &quot;''Cycles Automobiles Clément''&quot; - Catalogue des voitures '''Clément-Panhard''' (Brevets Panhard &amp; Levassor) conçues par A. C. KREBS. &lt;ref&gt;'''1901''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b52503781s/f1.item.zoom '''Cycles Automobiles Clément'''] - Publicité pour les voitures '''Clément-Panhard (VCP)''' conçues par A. C. KREBS.&lt;/ref&gt;

File:1901 - Voiture Clément-Panhard (VCP) - manuel complet et nouvelle carrosserie.pdf|'''1901''' - Voiture Clément-Panhard (VCP) : '''Manuel d'utilisation complet et nouvelle carrosserie'''.

File:1901 Panhard &amp; Levassor - advertising postcards for the Voiture Clément-Panhard (VCP).png |'''1901''' - Cartes postales publicitaires pour la '''Voiture Clément-Panhard''' (VCP) : &quot;''Qu'attendent-ils ? Ah ! ça ne peut être qu'une ... voiture Clément-Panhard''&quot;.

File:1899 Panhard et Levassor - la Voiture Clement-Panhard 'The mechanical nightmare'.webm |'''2004''' -  Panhard &amp; Levassor '''1899''' - la '''Voiture Clément-Panhard''' (VCP) de A. C. KREBS :  &quot;'''''Un cauchemard mécanique !'''''&quot;.&lt;ref name=VCP /&gt;

File:Clement-Panhard Phaeton VGP (1900) jm63708.jpg|'''1898-1902''' - La Voiture Clément-Panhard (VCP) : [http://rbmn.free.fr/TheVoitureClement-Panhard.pdf '''''Article détaillé'''''].
&lt;/gallery&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
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! Date !! Brevet !! Intitulé

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| '''1897'''

|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1897-12-21_-_Panhard_%26_Levassor_brevet_FR273374_%27Perfectionnements_aux_embrayages%27.pdf '''FR'''273374] 

|| '''L'embrayage Krebs à friction''' : ''Perfectionnements aux embrayages''

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| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032139006/publication/GB189730790A?q=GB189730790A '''GB'''189730790A] 

|| ''Improvements in Friction Couplings''

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| '''1897''' 

|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1897-12-21_-_Panhard_%26_Levassor_brevet_FR273375_%27Perfectionnements_aux_transmissions_avec_changement_de_vitesse%27.pdf '''FR'''273375]

|| '''La boîte de vitesses mécanique Krebs [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k98043305/f235.image.r=panhard à engrenages toujours en prise]''' : ''Perfectionnements aux transmissions avec changement de vitesse''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032139007/publication/GB189730791A?q=GB189730791 '''GB'''189730791A] 

|| ''Improvements in Speed Changing Transmission Gear''

|-

|  

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/064173906/publication/ES22155A1?q=ES22155A1 '''ES'''22155A1] 

|| ''A new transmission system, particularly applicable to automatic cars''

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| '''1898''' 

|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1898-12-16_-_Panhard_%26_Levassor_brevet_FR284596_%27Un_syst%C3%A8me_de_voiture_l%C3%A9g%C3%A8re_%C3%A0_moteur_%C3%A0_p%C3%A9trole%27.pdf  '''FR'''284596] 

|| '''Le brevet de Voiture Clément-Panhard avec la régulation du moteur sur l'admission''' : ''Un système de voiture légère à moteur à pétrole''

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|  

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032144519/publication/GB189902960A?q=GB189902960  '''GB'''189902960A] 

|| ''Improvements in Light Motor Road Vehicles''

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|}

=== La &quot;''stabilité de route''&quot; ===
'''Catégories''' : [[commons:Category:Steering|Direction]], [[commons:Category:Direction_(automobile)|'''''Direction (automobile)''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Direction_(automobile)|Direction_(automobile)]], [[w:Sécurité active|Sécurité active]], [[w:Tenue de route|Tenue de route]]
&lt;br&gt;&quot;''La question de la direction est une de celles que j'ai abordées vers la fin de 1897, dès que j'eus acquis une connaissance suffisante du fonctionnement et de l'organisation de la maison Panhard &amp; Levassor. Ce nouveau dispositif de direction [[w:Panhard|P&amp;L]] n'était autre chose qu'une adaptation de moyens déjà connus et utilisés depuis fort longtemps pour le même objet.''&quot; &lt;ref name=&quot;1906_Krebs_Selden&quot; /&gt;

En ce qui concerne la direction automobile '''A. C. KREBS préconise''' :
* La [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6230266z/f389 '''direction irreversible''']
* Le [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6476571r/f8.item '''quadrilatère Jeantaud extérieur'''] de Panhard &amp; Levassor
* '''1898''' - A. C. KREBS implémente ses solutions sur ses voitures de la  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6230266z/f662.item.r=panhard '''course Paris-Amsterdam-Paris'''] (cf. infra).

=== '''L'Exposition Universelle de Paris - 1900''' ===
'''Catégories''' : [[commons:Category:Exposition Universelle (1900)|'''''Exposition Universelle (1900)''''']], [[commons:Category:Moving sidewalk, Exposition Universelle (1900)|'''''Trottoir roulant, Exposition Universelle (1900)''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Exposition universelle de 1900|Exposition universelle de 1900]]
&lt;gallery&gt;
File:S03 06 01 015 image 1918.jpg|'''1900''' - '''Exposition Universelle de Paris''' : Vue aérienne, Paris, France.

File:Historical images of Place de la Concorde.jpg|'''1900''' - '''Exposition Universelle de Paris''' : '''Place de la Concorde'''.

File:Paris Exposition rolling platform, Paris, France, 1900.jpg|'''1900''' - '''Le trottoir roulant''' à 7 mètres de hauteur, doublé par un chemin de fer électrique circulant en sens inverse.

File:Plateforme_mobile,_station_du_pont_des_Invalides.jpg|'''1900''' - '''Plateforme mobile, station du pont des Invalides''' : Les deux trottoirs ne se déplacent pas à la même vitesse.

File:1900 - The Paris Exposition Universelle.webm|'''1900''' - '''Video''' :  Compilation de séquences de l' '''Exposition universelle de Paris''' constituées de bobines subsistantes.

File:Exposition Universelle internationale de 1900 (11Fi 1289).jpg|'''1900''' - '''Hall des Machines''' : La section française.

File:1900 - Pompiers de Paris - Les fourgons électriques.jpg|'''1900''' - Sapeurs-pompiers de Paris - '''Les fourgons électriques''' conçus par A. C. KREBS. &lt;ref&gt;'''1901''' - [https://archive.org/details/reportofcommissi05unit_0/page/n285/mode/2up Report of the Commissioner-General for the United States] to the '''International universal exposition, Paris, 1900''' : &lt;small&gt;&quot;''Les véhicules de pompiers exposés en France étaient très nombreux, mais en règle générale, ils n'étaient pas à la hauteur des normes établies par d'autres nations. La seule exception était l'exposition de la ville de Paris, qui contenait plusieurs '''bonnes machines fabriquées dans les ateliers des pompiers'''. Une nouveauté dans cette exposition était '''le véhicule de pompiers électrique'''. La pompe était entraînée électriquement et sur le fourgon se trouvait une batterie de stockage capable de fournir un courant suffisant pour faire fonctionner la pompe pendant dix minutes, après quoi on espère pouvoir établir une connexion avec des fils électriques à proximité de l'incendie et conserver un courant approprié. L'appareil fonctionnait de manière très satisfaisante et il semble à l'auteur '''que de telles pompes électriques devraient trouver un usage étendu dans les villes où les fils électriques se trouvent presque partout'''. La ville de Paris a également exposé une échelle à incendie de fabrication française qui était un modèle à bien des égards.''&quot;.&lt;/small&gt;&lt;/ref&gt;

File:S03 06 01 015 image 9903.jpg|'''1900''' -  '''La Tour Eiffel''' illuminée.

File:Les courses de ballons à Vincennes.jpg|'''1900''' - Les '''courses de ballons''' à Vincennes.

File:1908 - Pierre Bonnard et Octave Mirbeau - La-628-E8.jpg|'''1905''' - '''[[w:La 628-E8|La 628-E8]]''' : Premiers raids automobiles.
&lt;/gallery&gt;
==== Pendant l'Exposition A. C. KREBS est ... ====
* Membre de la  [https://archive.org/details/reportofcommissi06unit_0/page/346/mode/2up?q=krebs '''Commission scientifique d'aérostation'''] (Classe 34, Groupe VI)
* Membre du comité d'études des [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6584731t/f367.image.r=krebs '''mesures de sécurité contre l'incendie''']
* Membre des [https://digital.la84.org/digital/collection/p17103coll8/id/6432 Concours Internationaux d'exercices physiques et de sports]: [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k322174v.r=%22%20%20Les%20Automobiles%20%C3%A0%20l%27Exposition%20de%201900%22?rk=64378;0# '''Automobilisme'''] (Section VII)
* Membre de la '''Commission Internationale de courses Automobiles'''
* Secretaire du '''Jury de la commission de mécanique générale, des matériaux et procédés''' (Classe 20, group IV) : Panhard &amp; Levassor standout
* Membre du '''Jury des compétitions nautiques'''
* Licencié du brevet de voiture  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9395781/f113.item.r=lohner '''pétrole-electrique Lohner-Porsche'''] pour Panhard &amp; Levassor.
* Membre du [https://cnum.cnam.fr/pgi/sresrech.php?8XAE505/7/stTxt/valeur_argument_url=8XAE505%2F6%2FstTxt%2F%26&amp;catsel1=stTxt&amp;mot_cat1=krebs&amp;ope5=AND&amp;catsel5=id&amp;mot_cat5=8XAE505&amp;var_solr_qs=2#l-7 '''Congrès international d'automobilisme''' de 1900] et [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k1092624r/f10.image.r=krebs 1903]
* Nommé '''officier de la Légion d'honneur'''.
==== La rumeur sur le moteur extra-léger du commandant Krebs ====
* '''22/07/1900''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k96060679/f3.image.r=krebs '''La Vie au grand air'''] : &quot;''Il paraît que le commandant Krebs vient de mettre la dernière main à un moteur fort curieux, basé sur des principes tout à fait originaux. Le moteur qui pèseerait à peine le poids d'un douze chevaux ordinaire ferait cinquante bons chevaux''.[...]&quot;
* '''27/07/1901''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k560406z/f4.item '''Le Petit parisien'''] : &quot;[...] ''Laissant aujourd'hui de côté le ballon gonflé de gaz et, partant, plus léger que l'air, le commandant Krebs adopte la théorie du plus lourd que l'air. L'aéroplane c'est tout ce que nous avons pu savoir sera composé de plans inclinés et d'hélices mues par un moteur à pétrole de grande puissance. Et, c'est la que réside la difficulté, et qui, nous assure-t-on serait résolue ce moteur extra-léger, ne pèsera que cinq kilos par cheval de force. Disons enfin que l'appareil une fois construit sera probablement piloté par Maurice Farman, bien connu déjà pour ses nombreuses ascensions en hallons libres et ses tentatives de records aéronautiques. Est-ce cette fois que l'atmosphère définitivement vaincue devra, comme les autres éléments, se plier à la volonté du génie humain ? Souhaitons-le, en attendant les expériences du nouveau navire aérien !''&quot;
* '''07/08/1901''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5381135s/f2.item '''L'Express du Midi'''] : &quot;[...] ''En l'absence de M. Krebs, un de ses intimes ''[Ch. de Fréminville]'' a déclaré à notre confrère ''[le Figaro]'' que le commandant a complètement cessé de s'occuper de navigation aérienne, qu'il ne se soucie donc pas de prendre part à la lutte ouverte par les différentes personnalités qui travaillaient à découvrir la direction des ballons. Enfin, que le moteur dont a parlé le Figaro fonctionne déjà, mais n'est pas autre chose qu'un moteur de voiture que les aéronautes évidemment pourront, s'ils le veulent, employer''.&quot;
==== La polémique entre les ballons de Santos-Dumont et de Renard &amp; Krebs ====
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Alberto Santos-Dumont|'''''Alberto Santos-Dumont''''']]
* '''11/06/1904''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6508500m/f13.item '''Le Génie civil'''] - &quot;[...] ''Laissons à chacun son mérite : à [[w:Alberto_Santos-Dumont|M. Santos-Dumont]], le sang-froid, l'agilité qui le font sortir indemne de tous les périls, et que surexite sans doute un certain amour de la renommée ; à MM. Renard et Krebs, la science réfléchie qui n'accepte que les solutions mûries sagement et ne sacrifie pas à la vaine réclame. On aura beau faire et dire, ce n'est pas ce qui leur enlèvera l'honneur d'être, et pour toujours, les véritables créateurs du ballon automobile'' [...].&quot;
* '''1905''' - [https://archive.org/details/standardlibraryo00unse/page/36/mode/2up?q=krebs '''Standard libray of knowledge'''] : &quot;''Not only M. Santos-Dumont, but the whole body of airship inventors through¬ out the world are profoundly interested in the subject. France is the leading country in practical aerial navigation, but Germany,England and other countries are giving much attention to the subject. One of the most notable air vehicles is the balloon “ La France,” the invention of the brothers Colonel and Major Renard and of Major Krebs, of the French army. '''It is claimed that this machine in 1884 fulfilled the conditions established for the Deutsch prize, which Santos-Dumont won in Paris'''. Motors were at that time only in a rudimentary stage of develop¬ ment. Many Frenchmen declare that if “La France”could have taken part in this competition it would incontestably have won the prize of twenty thousand dollars. Colonel Renard was occupied with his military duties and was absolutely prevented from taking part''.&quot;
=== Recherches métallurgiques avec [[W:Charles_de_La_Poix_de_Fréminville|'''Ch. de FREMINVILLE''']] ===
'''Catégories''' : [[commons:Category:Fractography|'''''Fractographie''''']], [[commons:Category:Material cracks|'''''Rupture des matériaux''''']], [[commons:Category:Vanadium|'''''Vanadium''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Fragilité|Fragilité]], [[w:Faciès de rupture|Faciès de rupture]], [[w:Fatigue (matériau)|Fatigue (matériau)]], [[w:Rupture (matériau)|Rupture (matériau)]], [[w:Vanadium|Vanadium]]
&lt;br&gt;&quot;''En '''1898''',  je pris auprès de moi, pour me seconder, mon beau-frère M. [[W:Charles_de_La_Poix_de_Fr%C3%A9minville|Charles de Fréminville]], ingénieur des Arts et Manufactures, qui s’occupa plus spécialement de la partie administrative des ateliers, de l’organisation du travail, du choix et traitement des métaux employés dans la fabrication, etc.''&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;

&quot;''Il lui fallut faire son choix parmi des métaux alors nouveaux et dont les qualités et les défauts étaient peu connus et souvent mal compris. La construction et le fonctionnement de l'automobile firent naître une nouvelle conception de la résistance des matériaux.''.&quot; &lt;ref&gt; '''1926''' - '''Mechanical engineering''' : [https://archive.org/details/mechanicalengine42amer/page/72/mode/2up?q=%22commandant+krebs%22 CHARLES DE FREMINVILLE ÉLU MEMBRE HONORAIRE DE LA  A.S.M.E.]&lt;/ref&gt;
&lt;gallery&gt;
File:1909 FORD-T=publicité avec l'acier au vanadium.png|'''1905''' - '''Henry FORD''' : ''&quot;'''Il me semblait que les voitures étrangères avaient des pièces plus petites et de meilleure qualité que ce que nous pensions.'''. Après l'accident ''['''d'une voiture de course Panhard''']'' J'ai récupéré une petite tige de soupape ''['''fabriquée avec du vanadium''']''. C'était très léger et très solide.''&quot; &lt;ref name=vanadium /&gt;

File:1906-12-06 Motor-Age=analyse des métaux utilisés dans les voitures P&amp;L.png|'''1906''' - '''TEST OF A PANHARD GEAR''' : &quot;''Il arriva bientôt que les ingénieurs automobiles américains commencèrent à se demander pourquoi, dans une voiture étrangère, une pièce donnée fonctionnait parfaitement alors que dans une voiture américaine, la même pièce de même taille, effectuant un travail identique, se déformait.''&quot; [&lt;small&gt;...&lt;/small&gt;] &lt;ref&gt;[https://archive.org/details/sim_motor-age_1906-12-06_10_23/page/n113/mode/2up?q=panhard '''1906'''-12-06 - '''Motor-Age'''], [https://archive.org/details/sim_motor-age_1906-12-13_10_24/page/16/mode/2up (Suite)] : &quot;''Produits sidérurgiques étrangers pour moteurs''&quot;.&lt;/ref&gt; 

File:1913-03-20 Ch-de-Fréminville=croquis de la vue de sa chambre du 12° étage de l'hôtel Belmont à New York.jpg|'''1913''' - While in the United States to study the Taylor method, '''Ch. de Fréminville''' to his wife:&quot;'''''All these people''''' [the Packard factory in Detroit] '''''slavishly copied the parts that Arthur ''[KREBS]'' designed, and executed them with the metals that I chose'''''&quot;. [&lt;small&gt;...&lt;/small&gt;]   &lt;ref name=Fréminville /&gt;

File:1919 - Charles de Fréminville=Portrait.jpg|'''1919''' - '''Charles de Fréminville''' (1856-1936) : Ce portrait a été exécuté par un photographe américain pendant son séjour aux USA dans le cadre de ses recherches sur la méthode Taylor, peu après son départ des usines '''Panhard &amp; Levassor''' où il travaillait depuis '''1899''' avec son beau-frère '''A. C. KREBS'''.

[https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1918-10-19_86_2233/page/248/mode/2up?q=freminville ''How Things Break—I - A Study of the Mechanism of Fractures in Materials By Charles Fréminville''].

File:2009 G. Quinn='A HISTORY OF THE FRACTOGRAPHY OF BRITTLE MATERIALS'=chronology with Charles de Fréminville.jpg|'''2009''' - [https://www.scientific.net/KEM.409.1 'A HISTORY OF THE FRACTOGRAPHY OF BRITTLE MATERIALS' (G. Quinn)]: Chronologie avec '''Charles de Fréminville''' quand il travaillait chez '''Panhard &amp; Levassor''' avec son beau-frère '''A. C. KREBS'''.
&lt;/gallery&gt;
'''1904''' - '''The brittleness of steel''' ([[w:Henry_Le_Chatelier|H. Le Chatelier]]) : &quot;''M. '''de Fréminville''' a découvert cette particularité qu'après avoir été soumis à un certain traitement thermique, certains aciers spéciaux nécessitaient pour être rompus transversalement au choc, une quantité d'énergie bien supérieure à celle requise dans les essais de traction ordinaires''.&quot; &lt;ref&gt;'''1904''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k61950g/f9.item.r=freminville '''The brittleness of steel'''] (H. Le Chatelier)&lt;/ref&gt;

'''1913-04-04''' - '''Ch. de Fréminville à sa femme''' : &quot;''J'ai réalisé ''''' le projet que j'avais fait de mouler le trou fait par une balle dans la glace du [https://carriagemuseumlibrary.org/wp-content/uploads/2014/06/heal16.jpg building du Général Healey]''''' [à New York]. Le  [https://carriagemuseumlibrary.org/home/library-archives/carriage-manufacturers/healey-company-of-new-york/ General Healey] m'a du reste fait remarquer qu'il y en avait autant sur presque toutes les glaces de son building. Il y a un grand choix. J'avais été hier faire ma provision de plâtre chez un italien. Quel quartier ! C'est pourtant à deux pas du quartier chic et ce n'est pas un quartier mal réputé. Mon moulage a  admirablement réussi. J'ai cru qu'il allait y avoir un attroupement considérable derrière la glace pendant que j'opérais en manches de chemise - comme un bon Américain. '''Et tous ces gens là ne savaient pas ce qu'ils regardaient et n'auraient jamais regardé une cassure'''. Heureusement que deux pompes à vapeur [d'incendie] ont passé coup sur coup. Tous ces admirateurs m'ont abandonné.''&quot; &lt;ref name=Fréminville /&gt;

'''1915''' - C. DE FREMINVILLE quitte Panhard &amp; Levassor &lt;ref name=CdF/&gt;

Chevalier légion d'honneur

* 1899: Laboratoire de mécanique et laboratoire de chimie

* 1900: Essais de résistance des aciers durs aux chocs

* 1901-06-03 - L'acier au nickel

* 1902: cylindres en acier forgé

* L'acier au vanadium

* L'acier au cobalt (stellite)
{| class=&quot;wikitable&quot;

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! Date !! Review !! Article

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| '''1903'''

|| Association internationale des Méthodes d'essais des matériaux de construction

|| [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6475620g/f15.image.r=FREl%20IINVILLE L'essai au choc ou choix des métaux] 

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| '''1906'''

|| Revue de métallurgie

|| [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1906/07/metal19060307p423/metal19060307p423.html Essai d'une scie sans dents pour le sectionnement d'aciers durs ordinaires et d'aciers à outils] 

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| '''1906'''

|| Revue de métallurgie

|| [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1906/03/metal19060303p109/metal19060303p109.html Influence des vibrations dans les phénomènes de fragilité] 

|-

| '''1907'''

|| Revue de métallurgie

|| [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1907/09/metal19070409p833/metal19070409p833.html Caractères des vibrations accompagnant le choc déduits de l'examen des cassures] 

|-

| '''1908'''

|| Revue de métallurgie

|| [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1908/06/metal19080506p329/metal19080506p329.html Remarques sur les rebondissements d’une bille et les renseignements qu’ils peuvent donner sur la dureté et l’élasticité des corps] 

|-

| '''1914'''

|| Revue de métallurgie

|| [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1914/09/metal19141109p971/metal19141109p971.html Recherches sur la fragilité — L’Éclatement] 

|-

|-

| '''1918'''

|| Scientific American Supplement

|| [https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1918-10-19_86_2233/page/248/mode/2up?q=freminville ''How Things Break—I - A Study of the Mechanism of Fractures in Materials By Charles Fréminville''] 

|-

|-

| 

|| 

|| [https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1918-10-26_86_2234/page/264/mode/2up?q=freminville ''How Things Break—II - A Study of the Mechanism of Fractures in Materials By Charles Fréminville''] 

|}
=== Bateaux à moteur et bateaux de course avec [[W:Alphonse_Tellier_(constructeur_aéronautique)|'''Alphonse TELLIER''']] ===
'''Catégories''' : [[commons:Category:Motorboats|'''''Bateaux à moteur''''']], [[commons:Category:Hull speed|'''''Vitesse de coque''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Bateau à moteur|Bateau à moteur]], [[w:Motonautisme (sport)|Motonautisme (sport)]], [[w:Coque_(bateau)|Coque_(bateau)]], [[w:Vitesse de coque|Vitesse de coque]], [[w:Hélice#Hélice_marine|Hélice_marine]], [[w:Hélice à pas variable (marine)|Hélice à pas variable (marine)]]
&lt;br&gt;'''1895''' - A. C. KREBS fut le principal promoteur de la navigation automobile en Europe dès '''1895'''. &lt;ref&gt;'''1902''' -  [https://archive.org/details/lemondemoderne15pari/page/344/mode/2up?q=krebs '''Le Monde moderne''', p345]: &quot;''Il faut attendre '''1895''' pour assister à l'entrée en scène sensationnelle d'un canot automobile dans les concours. '''Le commandant Krebs fut l'un des promoteurs les plus hardis de la navigation mécanique''' : ce fut en effet grâce à ses études et à ses encouragements que la société Panhard et Levassor construisit un moteur de 16 chevaux, capable de donner une vitesse de 18 kilomètres au canot sur lequel il était monté ; le jour où on le vit à Meulan, aux régates du &quot;[https://fr.wikipedia.org/wiki/Cercle_de_la_voile_de_Paris Cercle de la Voile]&quot;, fut une date importante dans l'histoire de ce sport.''&quot;&lt;/ref&gt;

'''1903-12''' - '''Automobile Magazine''' : &quot;''Là où la vitesse prime : Prenons comme excellent exemple ce nouveau type de bateau de course, le '''Lutece'''''&quot;.&lt;ref&gt;'''1903-12''' - Automobile Magazine : &quot; [https://archive.org/details/sim_automobile-magazine_1903-12_5_12/page/1128/mode/2up?q=panhard ''Là où la vitesse prime''].&quot;&lt;/ref&gt;

'''1904''' - '''The Automobile''' : '''Auto Boats at the Sportsmen’s Show''' : '' The Panhard boat furnishes the same tune in its engines as in automobiles. When running, the four-cylinder motor throbs with that rythmic sound so soothing to the motorist.''&quot;
&lt;gallery&gt;
File:1903 - Les usages industriels de l'alcool - le canot PHENIX à moteur Panhard &amp; Levassor.jpg|'''1900''' - Industrial '''uses of alcohol''' : the '''''PHENIX launch''''' with Panhard &amp; Levassor motor '''designed by A. C. KREBS'''.

File:1901-11-08 - Yachting-gazette - le canot automobile &quot;Rolla V&quot; à moteur Panhard &amp; Levassor.png|'''1901''' - Yachting-gazette: the motorboat &quot;'''''Rolla V'''''&quot; with '''Panhard &amp; Levassor engine''' designed by A. C. KREBS. &lt;ref&gt;'''1902-03-01''' -  Scientific American -  [https://archive.org/details/sim_scientific-american_1902-03-01_86_9/page/142/mode/2up?q=panhard '''THE MARINE AUTOMOBILE''']: ''LA RÉCENTE INVENTION FRANÇAISE DU CANOT AUTOMOBILE''.&lt;/ref&gt;

File:Btv1b84333441-p094.jpg |'''1902-05-20''' - A. C. KREBS est à la barre du canot de course '''''Centaure''''' à moteur Panhard &amp; Levassor. &lt;ref&gt;'''1902''' - [[w:Jules_Beau|Jules Beau]] - Photographie sportive : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b84333441/f93.item '''LUTECE'''] 60cv (Panhard &amp; Levassor), &quot;[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b84333441/f92.item ''La course des bateaux automobiles.] Sont présents : MM. Rives, [[W:Louis_Pierron|Pierron]], venus en automobile avec le '''Commandant Krebs''', Famechon, [[W:Charles_Renard|Colonel Renard]] ''[en chapeau clair]'', [[W:Auguste_Trillat|Trillat]], Amiot, [[W:Gaston_Menier|Gaston Menier]] venu avec son Yacht, [[W:Henri_Paillard|Paillard]], [[W:Pierre_Lafitte|Lafitte]], [[W:Alfred_Morel-Fatio|Morel-Fatio]], etc.''&quot;&lt;/ref&gt;

File:1902 A. C. KREBS=Hélice réversible (FR306968).jpg|'''1902''' - Le système Krebs d' '''[https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1907-12-28_64_1669/page/404/mode/2up?q=krebs hélice à pas variable] : [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002835439/publication/US766953A?q=US766953A '''US'''766953A], [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032624046/publication/GB190316555A?q=GB190316555A '''GB'''190316555A].


File:1902-03-01 - Scientific American (v86-n09) - canot Rollo à moteur Panhard &amp; Levassor.png|'''1902''' - Scientific American : Le canot &quot;'''Rollo'''&quot; à moteur Panhard &amp; Levassor. &lt;ref&gt;'''1902-03-01''' - '''Scientific American''' : [https://archive.org/details/sim_scientific-american_1902-03-01_86_9/page/142/mode/2up?q=panhard The Marine Automobile] : &quot;''Il est tout à fait naturel que le sport des courses de vedettes ait été baptisé en France, berceau de l'automobile pour les Français, même si, en tant que nation, ils ne sont pas très doués en voile, mais jouissent d'une réputation bien méritée dans le domaine des embarcations légères de plaisance''.&quot;.&lt;/ref&gt;

File:1903-11 - Panhard &amp; Levassor - Motorboat 'Vingt et Un'.jpg|'''1903''' - Four views of the motorboat '''''Vingt et Un Ist''''' in '''New-York''' while A. C. KREBS was managing the '''Panhard &amp; Levassor''' Co. &lt;ref&gt;'''1903-11''' -  '''''Vingt-et-un I''''' motorboat : 4 cyl. '''Panhard &amp; Levassor''' conçu par A. C. KREBS - '''42 km à l'heure'''. Architecte : [https://hydroplanehistory.com/other/clinton_cranes_yachting_memories_1952.html#1 Clinton CRANE]. Propriétaire : [https://digitalcollections.detroitpubliclibrary.org/islandora/object/islandora%3A226649 Smith &amp; Mabley].&lt;/ref&gt;

File:1904 the PANHARD II motor-boat plans.jpg |'''1904''' - [https://archive.org/details/sim_scientific-american_1904-03-12_90_11/page/212/mode/2up?q=panhard '''''PANHARD II''''' : &quot;''A complete French auto boat equipment in an American hull.''&quot;] &lt;ref&gt;[[W:Mystic_Seaport|'''Mystic Seaport Museum''']] : &quot;''Le [https://store.mysticseaport.org/products/panhard-i-racing-launch canot de course Panhard de 1904] est un bateau en bois construit à la main, dont '''la coque en forme de nacelle, parfaitement arrondie, semble d'une modernité incroyable pour une construction de cette époque'''. Il illustre comment les formes nécessaires à la vitesse, fruit naturel de l'ingénierie hydrodynamique, sont devenues aussi belles que fonctionnelles. Utiliser les bateaux de la collection pour montrer l'évolution de ces formes et leur influence sur les innovations dans la conception des avions, des bus, des trains et des automobiles est une excellente façon de relier la collection au monde extérieur. Le Panhard vaut à lui seul le détour lors de cette exposition. D'une beauté à couper le souffle, il est unique en son genre parmi les vestiges de 1904. Il m'a fait reconsidérer complètement ma conception du démodé''.&quot;&lt;/ref&gt;

File:1904 Jules-Beau - La Rapée III aux courses de canots automobiles à Juvisy.jpg|'''1904''' - La '''''Rapée III''''' à '''moteurs Panhard &amp; Levassor'''  aux courses de canots automobiles à Juvisy.

File:Hydroplane, comte de Lambert (essais sur la Seine) - btv1b53114139t.jpg|'''1904''' - A. C. KREBS assiste aux essais du ''' [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k46265842/f3.image.r=krebs bateau glisseur] du [[w:Charles_de_Lambert|comte de Lambert]]''' muni de son '''hélice à pas variable'''.

File:1904 'Auto boat race on the Hudson'.jpg |'''1905''' - Video: The motor-boat '''''PANHARD II''''' participating in '''nautical races in America'''. &lt;ref&gt;'''1905''' - &quot;[https://www.loc.gov/item/00563586/ ''Auto boat race on the hudson''].&quot;&lt;/ref&gt;

File:1905 - AUTOMOTOR - The new 6-cylinder Panhard-Levassor petrol marine engine 150HP.png|'''1905''' - The '''6-cylinder''' Panhard-Levassor petrol '''marine engine 150HP''' for racingboats.

File:1905-04-20 - La Vie Au Grand Ai - les canots &quot;Panhard &amp; Levassor&quot; et &quot;Rapière I&quot; à Monaco.jpg|'''1905''' - La Vie Au Grand Air - The launchs &quot;'''Panhard &amp; Levassor'''&quot; and [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k96066073.r=%22la%20rapi%C3%A8re%22monacoracer%20monaco%20racer?rk=21459;2# &quot;'''Rapière I'''&quot;] in Monaco.

File:1906-01-05 - La Locomotion Automobile - le bateau de course &quot;La Rapière I&quot;.jpg|'''1906''' - Automobile Locomotion: the racing boat [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bd6t53730474/f240.image.r=rapiere “'''La Rapière I'''”].

File:1907-01-01 Le Monde Illustré - le bateau de course Panhard-Tellier I et La Rapière II à Monaco.jpg|'''1907''' - Le Monde Illustré: the racing boats [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4220111z/f280.image.r=rapiere '''''Panhard-Tellier I'''''] and [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k96395619.r=%22la%20rapi%C3%A8re%22monacoracer%20monaco%20racer?rk=171674;4 '''''La Rapière II'''''] in Monaco with '''Panhard &amp; Levassor engines'''.

File:1907-01-05 Le Monde illustré - la vedette Récopé avec l'hélice réversible de A. C. Krebs.jpg|'''1907''' - Le Monde illustré : &quot;'''''La vedette lance-torpille du [[w:Edmond_Récopé|Comte Récopé]]'''''&quot; avec '''l'hélice réversible de A. C. KREBS'''. &lt;ref&gt;'''1907''' - '''''Le Monde illustré''''' : &quot;[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4220111z/f386.image.r=recope# La vedette lance-torpille du Comte Récopé]&quot;. '''''La Nature''''' : &quot;[https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?4KY28.72/240/60/671/5/660 La vedette : lance-torpille]&quot;. '''''La Locomotion automobile''''' : &quot;[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5733956x/f13.image.r=recope La vedette Récopé en vitesse]&quot; ; &quot;Une application de la locomotion automobile : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5733956x/f39.image.r=recope la vedette Récopé]&quot;. '''''Scientific American Supplement''''' : &quot;[https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1907-12-28_64_1669/page/404/mode/2up?q=krebs A torpedo-boat driven by kerozene]&quot;.&lt;/ref&gt;

File:1907-1908 - The Alphonse Tellier glider « La Rapière III » with 1 Panhard &amp; Levassor engine.pdf|'''1907-1908''' - The Alphonse Tellier glider '''''La Rapière III''''' with a '''Panhard &amp; Levassor engine''' designed by A. C KREBS.

File:1908-04-09 - 1er tour du Panhard-Tellier (la-Rapière III) à Monaco.jpg|'''1908''' - 1st lap of the Panhard-Tellier '''''la Rapière III''''' glider in Monaco.

File:1909-04-02 - Pall Mall illustration - Le Panhard &amp; Levassor 56,250 kmh.jpg|'''1909''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4522079j/f1.item.r=rapiere Pall Mall illustration]: The [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k98156242/f257.image.r=panhard &quot;'''Panhard &amp; Levassor'''&quot;] (35 mi/h) in Monaco.

File:Meeting de Reims - le constructeur Tellier - btv1b9019310s.jpg|'''1910''' - '''Alphonse Tellier''' (1879-1929).

File:1913 - Monaco - l'hydroplane 'MOTOCRATIC' avec 2x8cyl. 75kmh Panhard &amp; Levassor.jpg|'''1913''' - Monaco: the hydroplane '''''MOTOCRATIE''''' with '''2x8cyl. 75kmh Panhard &amp; Levassor''' designed by A. C. KREBS.

File:1914-04-18 - La Vi e Au Grand Air - Le canot Panhard-Tellier II à moteur 24cyl.pdf|'''1914''' - La Vie Au Grand Air : The '''''Panhard-Tellier II''''' racer. 2 Panhard &amp; Levassor 12cyl. engines: '''24cyl''', '''1400hp'''.
&lt;/gallery&gt;
'''1902''' - L' '''hélice à pas variable''' system A. C. KREBS :
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Date !! Brevet !! Intitulé
|-
| '''1903'''
|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001382609/publication/FR332993A?q=FR332993A '''FR'''306968A] 
|| The Krebs variable pitch propeller: ''Variable -to -step propeller''
|-
|
|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032624046/publication/GB190316555A?q=GB190316555A '''GB'''190316555A] 
|| ''Improvements in and relating to Screw Propellers''
|-
|
|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002835439/publication/US766953A?q=US766953A '''US'''766953A] 
|| ''Screw-Propeller''
|-
|}
=== La voiture hybride avec [[w:Ferdinand_Porsche|'''Ferdinand PORSCHE''']] ===
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Hybrid-powered vehicles|'''''Véhicules hybrides''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Véhicule hybride|Véhicule hybride]], [[w:Automobile hybride électrique|Automobile hybride électrique]], [[w:Liste d'automobiles hybrides électriques|Liste d'automobiles hybrides électriques]]
&lt;br&gt;'''07-07-1900''' - A. C. KREBS dépose le brevt [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1900-07-07_Brevet_KREBS_pour_P%26L_FR301991_-_%27Syst%C3%A8me_de_r%C3%A9gulateur_%C3%A9lectromagn%C3%A9tique_agissant_sur_les_soupapes_d%27admission_pour_moteurs_%C3%A0_hydrocarbure%27.pdf '''FR'''301991] : &quot;''Système de régulateur électromagnétique agissant sur les soupapes d'admission pour moteurs à hydrocarbure''&quot; ([https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002760177/publication/US691638A?q=US691638 '''US'''691638], [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032149303/publication/GB190016291A?q=GB190016291 '''GB'''190016291]).

'''10-1900''' -  A l' '''Exposition Universelle de Paris''' A. C. KREBS remarque la voiture hybride &quot;''Semper vivus''&quot; de [https://en.wikipedia.org/wiki/Lohner%E2%80%93Porsche Lohner-Porsche] et achète la license du brevet de moteur électrique dans les roues [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032149816/publication/GB190018099A?q=pn%3DGB190018099A ('''GB'''190018099)] pour Panhard &amp; Levassor, pour la France, la Grande-Bretagne et l'Italie. &lt;ref&gt;'''1903''' - Le congrès international de l'automobile de Paris : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k1092624r/f368 Rapport de M. Louis Lohner sur les voitures pétroléo-électriques].&lt;/ref&gt;

'''24/01/1903''' Scientific-american - '''La Panhard et Levassor système Lohner-Porsche''' : &quot;''... La plus novatrice de toutes est une voiture-tonneau '''Lohner-Porsche''', de 28 chevaux, à essence et électrique, avec des moteurs électriques dans les moyeux des roues avant, qui dirigent également la machine. Un moteur à essence directement relié à une dynamo fournit l'énergie nécessaire à la production d'électricité pour faire fonctionner la voiture, tout courant superflu étant envoyé dans une batterie de stockage, qui fournit l'énergie supplémentaire en fonction des besoins. La voiture aurait 14 vitesses différentes, dont la vitesse maximale est de 77 km par heure. Ce système a connu un tel succès que la '''société Panhard''' a acheté les brevets et fabrique des machines''&quot;.  &lt;ref&gt;'''1903-01-24''' - [https://archive.org/details/sim_scientific-american_1903-01-24_88_4/page/62/mode/2up?q=lohner Scientific American] : &quot;''[...] La voiture posséderait 14 vitesses différentes, la vitesse maximale étant de 77 km à l'heure''.&quot;&lt;/ref&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Ferdinand Porsche.jpg|'''Ferdinand porsche''' (1875-1951).

File:1903 Lohner-Porsche=Krebs achète la licence du brevet Lohner-Porsche.pdf |'''1900''' - The  [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:GenevaMotorShow2011.jpg &quot;''Semper Vivus''&quot; hybrid car] seen by A. C. KREBS during the Paris Exposition Universelle. Krebs acquired the Brevet licence for Panhard &amp; Levassor.

File:1903-01 AUTOMOTOR-JOURNAL= &quot;A 15-HP LOHNER-PORSCHE PETROL-ELECTRIC CAR&quot; with Panhard &amp; Levassor engine.jpg |'''1903-01''' - &quot;''A 15-HP Lohner-Porsche petrol-electric car''&quot; with Panhard &amp; Levassor engine and [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002760177/publication/US691638A?q=US691638  the KREBS &quot;''Electromagnetic regulator for admission-valves''&quot;  (Brevet '''US'''691638)]. &lt;ref&gt;'''1904''' - YEARBOOK OF THE AUTOMOTIVE AND MOTORBOAT INDUSTRY (Berlin) :  [https://archive.org/details/bub_gb_aTpNAAAAMAAJ/page/285/mode/2up?q=panhard '''Automobiles à transmission électrique de Lohner-Porsche et Panhard &amp; Levassor''']&lt;/ref&gt;
&lt;/gallery&gt;
=== [https://archive.org/details/automobileaprac00haslgoog/page/442/mode/2up?q=panhard La '''technologie automobile'''] ===
'''Catégorie''' : [[commons:Category:History of technology|'''''History of technology''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Histoire de l'automobile|Histoire de l'automobile]] et [https://en.wikipedia.org/wiki/Brass_Era_car Brass Era car]

===='''A. C. KREBS perfectionne le [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bd6t5333384b/f473.image.r=panhard &quot;Type Panhard&quot;''']====
Émile LEVASSOR et A. C. KREBS ont déterminé [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1909-1914_-_L%27Auto-v%C3%A9lo_-_les_%22Vendredi%22_de_Panhard_%26_Levassor.pdf&amp;page=49 |'''l'architecture de l'automobile moderne''']].

:{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| '''Moteur vertical à l'avant'''
|| Levassor
|-
| '''Radiateur devant le moteur'''
|| Krebs
|-
| '''Transmission en ligne'''
|| Levassor
|-
| '''Propulsion arrière'''
|| Levassor
|-
| '''Embrayage dans le volant moteur'''
|| Levassor
|-
| '''Moteur équilibré'''
|| Krebs
|-
| '''Le régulateur d'allure&lt;br&gt;(Régulation sur l'admission)'''
|| Krebs
|-
| '''Volant de direction'''
|| Krebs
|-
| '''Commandes au volant'''
|| Krebs
|-
| '''Direction irréversible'''
|| Krebs
|-
| '''Le retour du volant &lt;br&gt;(Angle de chasse)'''
|| Krebs
|-
| '''Boîte de vitesses à train baladeur'''
|| Levassor
|-
| '''Emplacement des pédales'''
|| Levassor
|-
| '''Levier de changement de vitesse et de marche'''
|| Levassor et Krebs
|-
| '''Chassis en bois armé'''
|| Levassor
|-
| '''Roues en bois'''
|| Levassor
|-
| '''Roues d'artillerie'''
|| Krebs
|-
| '''Freins à mâchoires'''
|| Krebs
|-
| '''Le ralenti et l'accélération&lt;br&gt;(Carburateur automatique)'''
|| Krebs
|-
| '''Joints élastiques'''
|| Krebs
|-
|}

'''1899''' - A. C. KREBS introduit dans l'architecture de l'automobile '''le radiateur à l'avant devant le moteur''', sur sa voiture de course Paris-Bordeaux. Il étend ce choix à toute la gamme Panhard &amp; Levassor. &lt;ref&gt; À l'orée de la guerre de 1914 la position du radiateur n'est pas tranchée : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9815623n/f58.image.r=radiateur 1909], [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k98059257/f289.image.r=radiateur%20a%20l 1912].&lt;/ref&gt;
&lt;gallery&gt;
File:1899 A.C.KREBS Album-Courses=12cv Paris-Bordeaux.jpg|'''1899''' - La voiture de course Paris-Bordeaux conçue par A. C. KREBS avec '''le radiateur à l'avant'''.
&lt;/gallery&gt;
'''1904''' - &quot;[...] ''Vous faites une embardée que vous redressez très facilement si vous connaissez réellement votre machine, si, en un mot, vous faites réellement corps avec elle. Faut-il vous le dire, c'est un peu mon cas. J'ai suivi le développement de l'automobile et j'ai conduit longtemps une 6-chevaux, puis des voitures de plus en plus fortes. '''Sans fausse modestie, je connais ma voiture et j'en suis un peu l'âme'''.'' [...] ''Répétons-le constamment, soyez prudents''.&quot; &lt;ref&gt;'''1904-07-09''' - '''L'Auto-vélo''' : &quot;[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4626643g/f3.image.r=krebs '''L'Enquête sur le pneumatique'''] : &lt;small&gt;''Vous faites une embardée que vous redressez très facilement si vous connaissez réellement votre machine, si, en un mot, vous faites réellement corps avec elle. Faut-il vous le dire, c'est un peu mon cas. J'ai suivi le développement de l'automobile et j'ai condit longtemps une 6-chevaux, puis des voitures de plus en plus fortes. Sans fausse modestie, je connais ma voiture et j'en suis un peu l'âme''. [...] Malheureusement, je dois le dire, beaucoup de chauffeurs connaissent peu ou prou leur voiture. Sur une belle route de campagne, ils cèdent à la griserie de vitesse, perdant la notion exacte des choses, virent court sans ralentir, sont ebntraînés par la force centrifuge, le pneu, cette fois, subit un travail d'échauffement et d'arrachement ausuel il semble naturel qu'il ne puisse résister. Alors, dans ce cas, c'est évident, l'homme devient encore plus affolé que sa machine, et c'est la cabriole finale qui se termine plus ou moins mal. En somme s'il n'y avait pas de pneumatiques, les imprudents ou les maladroits seraient victimes des mêmes accidents. Répétons-le constamment, soyez prudents''.&quot;&lt;/small&gt;&lt;/ref&gt;

'''1911''' - Panhard &amp; Levassor introduit en France la [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1909-1914_-_L%27Auto-v%C3%A9lo_-_les_%22Vendredi%22_de_Panhard_%26_Levassor.pdf&amp;page=132 '''''&quot;voiture complète&quot;'''''], avec [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1909-1914_-_L%27Auto-v%C3%A9lo_-_les_%22Vendredi%22_de_Panhard_%26_Levassor.pdf&amp;page=159 '''carrosserie de série'''].
==== Recherches sur la régulation des moteurs à essence ====
* '''1898''' - La régulation sur l'admission : '''FR'''284596
: Sur son moteur de la Voiture Clément-Panhard A. C. KREBS ajoute sur la soupape d'admission automatique un étranglement commandé par un régulateur à boule.
* '''1899''' - Le carburateur à niveau constant : '''FR'''295792
* '''1900''' - La régulation électromagnétique des soupapes d'admission : '''FR'''301991
* '''1900''' - Le carburateur Centaure à étranglement : '''GB'''190016467A
* '''1902''' - Les soupapes à cames extensibles : '''FR'''322489A
* '''1902''' - Le carburateur automatique : '''FR'''325241A
* '''1902''' - L'avance à l'allumage au volant : 	'''FR'''327527A
* '''1903''' - Perfectionnements au carburateur automatique : '''FR'''333127A
* '''1906''' - Le régulateur hydraulique sur le carburateur
* '''1908''' - Le carburateur automatique à aiguille : '''FR'''401546A
* '''1909''' - Les soupapes concentriques pour l'aviation : 	'''FR'''414413A
* '''1912''' - Le système de sans-soupapes à boisseaux : '''FR'''440438A
* '''1913''' - Le carburateur automatique sans pièce mobile : '''FR'''458736A
* '''1913''' - Le carburateur double-corps : cf. infra

==== [https://fra.wiki/wiki/Categoria:Motori_Panhard Moteurs] ====
'''Catégories''' : [[commons:Category:Automotive engine technologies|'''''Automotive engine technologies''''']], [[commons:Category:Internal combustion engine|'''''Internal combustion engine''''']], [[commons:Category:Automotive engine technologies|'''''Automotive engine technologies''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Moteur à combustion et explosion|Moteur à combustion et explosion]], [[w:Moteur à quatre temps|Moteur à quatre temps]]
&lt;br&gt;In '''1900''', A. C. KREBS designed the '''''[https://it.wikipedia.org/wiki/Motore_Panhard_Centaure Centaure engine]''''' with the aim of freeing itself from the royalties owed to Mme Levassor on the Daimler engine.

'''1902''' - À la demande d'une commission parlementaire, A. C. KREBS fait [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k64676929/f871.image.r=krebs '''une étude sur l'utilisation de l'alcool dans l'automobile''']. Suite à ce rapport il est décoré [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k286013f/f3.image.r=krebs chevalier du Mérite agricole].

In '''1909''', he became interested in the '''Knight Brevet''' ([[w:Soupape_(moteur)#Système_Charles_Yale_Knight|moteur sans-soupape]] engine) and was first in France to build that type of engine which Panhard et Levassor would produce during the thirty years leading up to World War II.
&lt;gallery&gt;
File:1900 - Manuel théorique et pratique de l'automobile (Lavergne) - moteur Phenix.jpg|'''1895''' - The Daimler-Maybach [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AThe_automobile%2C_its_construction_and_management%3B_(IA_automobileitscon00lave).pdf&amp;page=164 '''Panhard-Phenix''' engine]. &lt;ref&gt;'''1897''' - Scientific American: [https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1897-01-30_43_1100/page/17588/mode/2up?q=panhard Some '''New Horseless Carriages''' - &quot;''Le Phénix de MM. Panhard &amp; Levassor, qui, de l'avis des experts en la matière, peut être considéré comme approchant la perfection''&quot;]. '''1904''' - [https://archive.org/details/propelledselfveh00homarich/page/306/mode/2up?q=phenix Self-propelled vehicles].&lt;/ref&gt;

File:1900 - Les automobiles à l'Exposition - Le moteur KREBS.jpg|'''1898''' -  &quot;'''[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9780698h/f613.image.r=krebs The KREBS engine]&quot; with intake regulation''' before the appearance of the butterfly valve.

File:1900-07-21 - Brevet du moteur &quot;Centaure&quot; Panhard &amp; Levassor (FR302402, GB190200673A).png|'''1900''' - Panhard &amp; Levassor &quot;[https://archive.org/details/automobileaprac00haslgoog/page/214/mode/2up?q=panhard '''Centaure''']&quot; motor Brevet ([[c:File%3A1900-07-21_Brevet_P%26L_FR302402_du_moteur_CENTAURE_de_A._C._KREBS.pdf|'''FR'''302402]] , [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032426573/publication/GB190200673A?q=GB190200673A '''GB'''190200673A] ) designed par A. C. KREBS.

File:1901 - Moteur Centaure de Panhard &amp; Levassor.jpg|'''1901''' - &quot; [https://archive.org/details/propelledselfveh00homarich/page/320/mode/2up?q=panhard '''Centaure''']&quot; engine from Panhard &amp; Levassor '''designed by A. C. KREBS'''.&lt;ref&gt;'''1904''' - [https://archive.org/details/propelledselfveh00homarich/page/322/mode/2up?q=centaure Self-propelled vehicles]: &quot;''La demande de voitures rapides et puissantes a très vite conduit à la production de moteurs à quatre cylindres, parmi lesquels [https://archive.org/details/propelledselfveh00homarich/page/320/mode/2up?q=centaure '''''le Centaure de Panhard-Levassor est le type]'''''.&quot; &lt;/ref&gt;

File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 57|'''1901''' - The A. C. KREBS &quot;'''''engine three points suspension system'''''&quot;.

File:1903-1916 - Cours complet d'automobilisme - le moteur 3 cyl. Panhard &amp; Levassor.jpg|'''1903''' - The [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5863731g/f22.item.r=panhard# Panhard &amp; Levassor '''3 cyl. engine'''] designed by A. C. KREBS. &lt;ref&gt;'''1904'''-01-30- Scientific American: &quot;''Les avantages du moteur à trois cylindres sont depuis longtemps mis en avant dans ce pays par M. '''Charles E. Duryea''', qui utilise ce type de moteur avec succès depuis sept ans ; tandis qu’en France,[https://archive.org/details/sim_scientific-american_1904-01-30_90_5/page/80/mode/2up?q=panhard '''Panhard &amp; Levassor''' a lancé l’année dernière une voiture à trois cylindres], et '''la déclaration en faveur du moteur à trois cylindres par cette firme renommée a largement contribué à attirer l’attention des automobilistes sur ses atouts'''''.&quot;&lt;/ref&gt;

File:1905 - Les Sports Modernes - le moteur Panhard &amp; Levassor Centaure allégé.jpg|'''1905''' - The Panhard &amp; Levassor '''[https://it.wikipedia.org/wiki/Motore_Panhard_Centaure_all%C3%A9g%C3%A9 lightweight Centaure engine]''' designed by A. C. KREBS.

File:1909 - Salon de l'Olympia - le moteur 6 cylindres de Panhard &amp; Levassor.jpg|'''1909''' - le moteur 6 cylindres Panhard &amp; Levassor, conçu par A. C. Krebs, au Salon de l'Olympia

File:1910-07-15 - La Locomotion - Le moteur Sans-soupapes Panhard &amp; Levassor.pdf|'''1910''' - [https://it.wikipedia.org/wiki/Motore_avalve_Panhard_a_4_cilindri The Panhard &amp; Levassor '''valveless engine''']  chain driven designed by A. C. KREBS from the Knight Brevet.

File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 36|'''1910''' - Panhard &amp; Levassor valveless engine &quot;'''''distribution plan'''''&quot;.

File:1911 - FR440438A - A. C. KREBS valveless engine patent.pdf|'''1911''' - [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001481791/publication/FR440438A?q=FR440438A '''FR'''440438A]: The '''valveless engine Brevet of A. C. KREBS''' for Panhard &amp; Levassor.

File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 53|'''1912''' - Panhard &amp; Levassor valveless engine &quot;'''''splash lubrication'''''&quot;.

File:1912-07 - Omnia - 18 HP 6-cyl Panhard &amp; Levassor.jpg|'''1912''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k98059257/f42.image.r=panhard 18 HP 6-cyl.] Panhard &amp; Levassor.

File:1912-07 - Omnia - 10 HP (X19) Panhard &amp; Levassor.jpg|'''1912''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9805926n/f246.item.r=panhard 12 HP] the first A. C. KREBS &quot;'''Motor block'''&quot;.

File:Panhard &amp; Levassor 6 Zyl. Motor um 1913 2.pdf|'''1913''' - [https://bibliotheques-specialisees.paris.fr/ark:/73873/pf0002119031/v0053 28-35 HP 6-cyl.] Panhard &amp; Levassor.
&lt;/gallery&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;

|-

! Date !! Brevet !! Intitulé

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| '''1897''' 

|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1897-12-21_-_Panhard_%26_Levassor_brevet_FR273375_%27Perfectionnements_aux_transmissions_avec_changement_de_vitesse%27.pdf '''FR'''273375]

|| ''Improvements to transmissions with speed change ''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032139007/publication/GB189730791A?q=GB189730791 '''GB'''189730791A] 

|| ''Improvements in Speed Changing Transmission Gear''

|-

|  

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/064173906/publication/ES22155A1?q=ES22155A1 '''ES'''22155A1] 

|| ''A new transmission system, particularly applicable to automatic cars''

|-

| '''1898''' 

|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1898-12-16_-_Panhard_%26_Levassor_brevet_FR284596_%27Un_syst%C3%A8me_de_voiture_l%C3%A9g%C3%A8re_%C3%A0_moteur_%C3%A0_p%C3%A9trole%27.pdf '''FR'''284596] 

|| '''The VCP Brevet''' (voir supra) : ''A petroleum-powered light car system''

|-

|  

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032144519/publication/GB189902960A?q=GB189902960 '''GB'''189902960A] 

|| ''Improvements in Light Motor Road Vehicles''

|-

| '''1900''' 

|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1900-07-07_Brevet_KREBS_pour_P%26L_FR301991_-_%27Syst%C3%A8me_de_r%C3%A9gulateur_%C3%A9lectromagn%C3%A9tique_agissant_sur_les_soupapes_d%27admission_pour_moteurs_%C3%A0_hydrocarbure%27.pdf '''FR'''301991] 

|| [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k57012688/f389.image.r=panhard '''Electromagnetic intake valves''']: ''Electromagnetic regulator system acting on the intake valves for hydrocarbon engines'' (voir supra)

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003503578/publication/AT9519B?q=AT9519B '''AT'''9519B] 

|| ''Electromagnetic control device for hydrocarbon engines''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002760177/publication/US691638A?q=US691638A '''US'''691638A] 

|| ''ELECTROMAGNETIC REGULATOR FOR ADMISSION-VALVES OF HYDROCARBON-MOTORS''

|-

| '''1900'''

|| [[c:File%3A1900-07-21_Brevet_P%26L_FR302402_du_moteur_CENTAURE_de_A._C._KREBS.pdf|'''FR'''302402]] 

|| [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8DE187.2/168/100/512/10/458 '''Le moteur Centaure de A. C. KREBS'''] : ''New internal combustion engine consuming gas, petroleum gasoline or ordinary petroleum''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/035248186/publication/GB190000471A?q=GB190000471A '''FR'''325241A] 

|| [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k17077f/f819.item.r=panhard '''The CENTAURE carburetor''']: ''voir supra''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003516552/publication/AT15838B?q=AT15838B '''AT'''15838B] 

|| ''Valve control for explosive engines''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032149365/publication/GB190016627A?q=GB190016627A '''GB'''190016627A] 

|| ''Improvements in Gas or Oil Motors''

|-

| '''1901''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003506585/publication/AT11006B?q=AT11006B '''AT'''11006B] 

|| '''Suspension of the gearbox by three points''' : ''Suspension of the housing enclosing the change and reversing gear of motor vehicles'' (voir supra)

|-

| '''1902''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032426573/publication/GB190200673A?q=GB190200673A '''GB'''190200673A] 

|| '''Centaure engine lightened &amp; Water-jackets''' : ''Improvements in Internal Combustion Engines''

|-

| '''1902''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001372844/publication/FR322489A?q=FR322489A '''FR'''322489A] 

|| '''Stretch cams''' :''Improvement in the construction of internal combustion engines''

|-

|  

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003513981/publication/AT14430B?q=AT14430B '''AT'''14430B] 

|| ''Controllable valve control for explosive engines''

|-

|  

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032621397/publication/GB190224250A?q=GB190224250A '''GB'''190224250A] 

|| ''Improvement in the Construction of Explosion Motors''

|-

|  

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002801728/publication/US733220A?q=US733220A '''US'''733220A] 

|| ''VALVE-GEAR FOR EXPLOSIVE-ENGINES''

|-

| '''1902''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001376300/publication/FR326199A?q=pn%3DFR326199A '''FR'''326199A] 

|| '''Engine cooling''' : ''A device for cooling internal combustion engines''

|-

| '''1909''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001453744/publication/FR409630A?q=pn%3DFR409630A '''FR'''409630A] 

|| '''Valve cooling''' : ''Improvement in internal combustion engines''

|-

|  '''1909''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001458114/publication/FR414413A?q=FR414413A '''FR'''414413A] 

|| '''Krebs concentric valves''' : ''Device for suction and exhaust valves and their control for internal combustion engines operating on combustible gases or liquids''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/004290136/publication/CH52317A?q=pn%3DCH52317A '''CH'''52317A] 

|| ''Arrangement and control of the inflow and outflow valves on explosion or internal combustion engines''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/008686590/publication/AT51827B?q=AT51827B '''AT'''51827B] 

|| ''Control for combined intake and exhaust valves of internal combustion engines''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032525746/publication/GB191014278A?q=GB191014278A '''GB'''191014278A] 

|| ''Improvements in or relating to Valves and Valve-gear for Internal-combustion Engines''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003087787/publication/US1019488A?q=US1019488A '''US'''1019488A] 

|| ''VALVE FOR EXPLOSION-ENGINES''

|-

| '''1911''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001481791/publication/FR440438A?q=FR440438A '''FR'''440438A] 

|| '''Krebs valveless engine''' : ''Internal combustion engine distribution''

|-

| '''1912''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001500505/publication/FR461176A?q=FR461176A '''FR'''461176A] 

|| '''Helical gear transmission''' : ''Internal combustion engine transmission''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001517855/publication/FR480650A?q=FR480650A '''FR'''480650A] 

|| ''Connection device between connecting rod and piston''

|-

| '''1916'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001520866/publication/FR484035A?q=FR484035A '''FR'''484035A]

|| ''Valve train''

|-

|}
==== Carburateurs ====
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Carburetors|'''''Carburateurs''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Carburateur|Carburateur]], [[w:Papillon (mécanique)|Papillon (mécanique)]], [[w:Boîtier papillon|Boîtier papillon]], [[w:Théorème de Bernoulli|Théorème de Bernoulli]], [[w:Effet Venturi|Effet Venturi]]
&lt;br&gt;Voir supra: The [https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques&amp;action=submit#Le_%22carburateur_Krebs%22 ''Krebs carburetor''].

'''1866-1890''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k39790g/f376.item.r=carburateur# Dictionnaire Larousse du XIX° siècle] : &quot;'''Carburateur, trice adj.''' Se dit des appareils destinés à carburer certains corps et particulièrement le gaz d'éclairage.&quot;

'''1900''' - Automobile Magazine: '''Alcohol in Automobile Practice''' : &quot;''In December, at the instance of the Society for the Industrial Utilization of Alcohol, M. '''Krebs''', of the '''Panhard et Levassor''' Company, experimented with a three horse-power Phoenix auto mobile, the only alteration being the widening of the opening to the carbureter. With the Dusart alcohol 4.2 horse-power was developed, and with ordinary 95 per cent. alcohol 3.6 horse- power; with benzine at full speed, 4.4 horse-power. According to Araschaquene it would be sufficient to abolish the tax on alcohol in order to cause it to replace benzine''&quot;. &lt;ref&gt;'''1900-05''' - Automobile Magazine: [https://archive.org/details/sim_automobile-magazine_1900-05_2_2/page/178/mode/2up?q=krebs ''L'alcool dans la pratique automobile''].&lt;/ref&gt;

'''1916''' – Panhard &amp; Levassor catalog: &quot;''We have adopted on all our engines a carburetor based on '''an entirely new principle of automaticity''', which rigorously doses the mixture at all speeds and offers the advantage of no longer having any intake additional air, no moving parts. The rubber membrane of our old models is thereby eliminated. In our '''20 HP''' and '''35 HP''' engines, '''the carburetor is double''' and controlled by two accelerator pedals. The ordinary accelerator pedal ensures walking in town and at medium speeds, while the second pedal, actuated with the left foot, brings into play the second carburetor which is added to the first to provide very high speeds, and at this time to provide additional lubrication.''&quot;
{| class=&quot;wikitable&quot;

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! Date !! Brevet !! Intitulé

|-

| '''1899'''

|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1899-12-30_Brevet_KREBS_pour_Panhard_%26_Levassor_-_%22Carburateur_%C3%A0_niveau_constant%22.pdf '''FR'''295792] 

|| ''A constant level carburettor for petrol engines''

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| '''1900'''

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/035248186/publication/GB190000471A?q=GB190000471A '''FR'''325241A] 

|| '''The CENTAURE carburetor''' : ''A self-adjusting carburetor''

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| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/035248186/publication/GB190000471A?q=GB190000471A '''GB'''190000471A] 

|| ''An Improved in Air Carburators for Petroleum Motors''

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| 

||

|| voir infra: '''Alcohol in Automobile Practice'''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032420366/publication/GB190016467A?q=GB190016467A '''GB'''190016467A] 

|| ''A Regulating Charging Valve for Gas or Oil Motors''

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| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003500824/publication/AT8337B?q=AT8337B '''AT'''8337B] 

|| ''Adjustable input device for explosion power machines from the controller''

|-

| '''1902'''

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001375413/publication/FR325241A?q=FR325241A '''FR'''325241A] 

|| '''The Krebs automatic carburetor''' : [https://archive.org/details/propelledselfveh00homarich/page/322/mode/2up?q=panhard ''A self-adjusting carburetor''] (voir supra: The [https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques&amp;action=submit#Le_%22carburateur_Krebs%22 Krebs carburetor].)

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|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/000413614/publication/DE146328C?q=DE146328 '''DE'''146328C]

|| ''A carburator for internal combustion engines''

|-

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|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/064172006/publication/ES30512A1?q=ES30512A1 '''ES'''30512A1]

|| ''A graduation and automatic action carburetor''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032155422/publication/GB190222655A?q=GB190222655A '''GB'''190222655A]

|| ''Improvements in Oil Engines''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002802929/publication/US734421A?q=US734421A '''US'''734421A]

|| ''Fuel-governor for oil-engines''

|-

|

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/045200425/publication/CA83889A?q=CA83889A '''CA'''83889A] 

|| ''Oil Machine''

|-

| '''1903'''

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001382733/publication/FR333127A?q=FR333127A '''FR'''333127A] 

|| '''Improvements to the Krebs carburetor''' : ''Improvements to carburettors''

|-

|  

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/000424916/publication/DE158769C?q=DE158769C  '''DE'''158769C] 

|| ''Device for automatic regulation of secondary air in mixing devices for explosive engines''

|-

|  

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003516141/publication/AT15655B?q=AT15655B '''AT'''15655B] 

|| ''Device for the automatic regulation of the secondary air supply in mixing devices for explosive engines''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003516518/publication/AT15822B?q=AT15822B  '''AT'''15822B] 

|| ''Device for the automatic regulation of the secondary air supply in mixing devices for explosive engines''

|-

|  

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002854050/publication/US785558A?q=US785558A  '''US'''785558A] 

|| ''Oil-engine''

|-

|  '''1908'''

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001446345/publication/FR401546A?q=FR401546A  '''FR'''401546A] 

|| '''The Krebs metering pin carburetor''' : ''Improvements to carburettors for motors''

|-

|  

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/064221871/publication/ES45533A1?q=ES45533A1  '''ES'''45533A1] 

|| ''Engine Carburetor Improvements''

|-

|  

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032525523/publication/GB190912043A?q=GB190912043A  '''GB'''190912043A] 

|| ''Improvements in Carburettors for Explosion Motors''

|-

|  '''1912'''

|| [https://worldwide.espacenet.com/patent/search/family/001498296/publication/FR458736A?q=pn%3DFR458736A '''FR'''458736A] 

|| '''Le carburateur hydrostatique''' sans pièces mobiles : ''Perfectionnement apporté aux carburateurs pour moteurs à explosions''

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|  '''1913'''

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|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1916_Artillerie_St-Chamond_R%C3%A8glement_de_manoeuvre%3Dle_carburateur_double-corps.pdf '''The double barrel Krebs carburetor'''] (voir infra : 1916–Panhard &amp; Levassor catalog)

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|  '''1916'''

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/008906792/publication/FR502997A?q=num%20%3D%20%22FR502997A%22%20AND%20ia%20%3D%20%22PANHARD%22  '''FR'''502997A] 

|| '''The Krebs carburetor for airships and aiplanes''' : ''Automatic carburetion corrector for internal combustion engine operating at different altitudes.''

|-

|

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001522872/publication/FR486245A?q=FR486245A '''FR'''486245A ]

|| ''Improvement brought to the constant level of the carburettors''
|-

|  '''1917'''

|| [https://worldwide.espacenet.com/patent/search/family/001529312/publication/FR493577A?q=pn%3DFR493577A '''FR'''493577A] 

|| '''Perfectionnement au carburateur hydrostatique''' : ''Carburateur pour moteur à explosions.''
|-

|  

|| [https://worldwide.espacenet.com/patent/search/family/008921858/publication/FR528180A?q=pn%3DFR528180A '''FR'''528180A] 

|| '''Perfectionnement au carburateur hydrostatique''' : ''Carburateur pour moteur à explosions.''
|-

|}
==== Allumage ====
'''Catégories''' : [[commons:Category:Ignition|Ignition]], [[commons:Category:Ignition systems|Ignition systems]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Allumage (moteur)|Allumage (moteur)]]
&lt;br&gt;'''1903''' - &quot;''[https://archive.org/details/automobileaprac00haslgoog/page/216/mode/2up?q=panhard Panhard &amp; Levassor firm has a new method of distributing] or directing the current successively to the induction coils of a multicylinder motor''.&quot;
{| class=&quot;wikitable&quot;

|-

! Date !! Brevet !! Intitulé

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| '''1902'''

|| 

|| '''L'allumage électrique Krebs''' : ''[https://www.babordnum.fr/items/show/14115 Allumage électrique mixte pour moteurs à explosion (p. 432)]''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032426473/publication/GB190200452A?q=GB190200452A '''GB'''190200452A] 

|| ''An Improvement in Electrical Ignition Apparatus for Internal Combustion Engines''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003514525/publication/AT14673B?q=AT14673B '''AT'''14673B] 

|| ''Switching device for the primary current in electric ignition devices for explosive engines''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002776582/publication/US708053A?q=US708053A '''US'''708053A] 

|| ''Apparatus for distributing the primary current for electric ignition by coils and igniters in explosive-engines''

|-

| '''1904'''

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/043348598/publication/FR343448A?q=FR343448A '''FR'''343448A] 

|| '''The Krebs magneto ignition''' : ''Mixed electrical ignition for explosion motors''

|-

|

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001348105/publication/FR4936E?q=FR4936E '''FR'''4936E] 

|| Addition: ''Mixed electrical ignition for explosion motors''

|-

|

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032626177/publication/GB190412741A?q=GB190412741A '''GB'''190412741A] 

|| ''Improvements in Electric Ignition Apparatus for Internal Combustion Motors''

|-

|}
==== Embrayages ==== 
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Clutches|Embrayages]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Embrayage|Embrayage]]
&lt;br&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;

|-

! Date !! Brevet !! Intitulé

|-

| '''1897'''

|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1897-12-21_-_Panhard_%26_Levassor_brevet_FR273374_%27Perfectionnements_aux_embrayages%27.pdf '''FR'''273374] 

|| [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k57007322/f446.image.r=panhard '''The Krebs friction clutch''']:  ''Improvements in clutches''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032139006/publication/GB189730790A?q=GB189730790A '''GB'''189730790A] 

|| ''	Improvements in Friction Couplings''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002762089/publication/US693551A?q=US693551A '''US'''693551A] 
|| ''Cone clutch''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003497343/publication/AT6940B?q=AT6940B '''AT'''6940B] 

|| ''Friction clutch, especially for motor vehicles''

|-

| '''1900'''

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032150677/publication/GB190022975A?q=GB190022975A '''GB'''190022975A] 

|| ''An Improvement in Cone Clutches''

|-

|'''1902'''

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032426525/publication/GB190200574A?q=GB190200574A '''GB'''190200574A] 

|| [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9782584r/f469.image.r=krebs ''Improvements in Cone Clutches'']

|-

|

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002803400/publication/US734893A?q=pn%3DUS734893A '''US'''734893A] 

|| ''CONE-CLUTCH''

|-

|

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003513026/publication/AT13993B?q=AT13993B '''AT'''734893A] 

|| ''cone friction clutch''

|-

|'''1904'''

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001389315/publication/FR340185A?q=FR340185A '''FR'''340185A] 

|| '''Multidisk clutch''' : ''Friction washer clutch''

|-

|'''1906'''

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001410298/publication/FR362841A?q=FR362841A '''FR'''362841A] 

|| '''The Krebs ''Panhard type'' gearbox''' : ''Improvements to claw clutches''

|-

|'''1907'''

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001429214/publication/FR383188A?q=FR383188A '''FR'''383188A] 

|| '''Multidisk coupling''' : ''Clutch connecting two shafts, one of which rotates at a variable speed and the other at a constant speed''

|-

|'''1911'''

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001485567/publication/FR444601A?q=FR444601A '''FR'''444601A] 

|| [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k98043305/f57.image.r=panhard '''Multidisk clutches''']: ''Improvements to disc clutches''

|-

|'''1912'''

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001490629/publication/FR450180A?q=FR450180A '''FR'''450180A] 

|| ''Improvement brought to the construction of the clutches''

|-

|

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032526219/publication/GB191226137A?q=GB191226137A '''GB'''191226137A] 

|| ''Improvements in or relating to Clutches''

|-

|}
==== Boîtes de vitesses et transmission ====
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Transmission|Transmission]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Transmission (mécanique)|Transmission (mécanique)]], [[w:Boîte de vitesses|Boîte de vitesses]]
&lt;br&gt;The '''Panhard Type''' of Gearbox is enhanced by A. C. KREBS.
&lt;gallery&gt;
File:1901-07 - Automobile-Magazine - boite de vitesse Panhard &amp; Levassor 'The Panhard system'.jpg| '''1901-07''' - Automobile Magazine: &quot;''Transmission gears of some European cars - [https://archive.org/details/sim_automobile-magazine_1901-07_3_7/page/612/mode/2up?q=panhard the Panhard system]''&quot;.

File:1904-1905 - L'embrayage électromagnétique Krebs sur boîte de vitesse Panhard &amp; Levassor.jpg|'''1901''' - A. C. KREBS adapte '''l'embrayage électromagnétique''' de son brevet FR256344 sur la boîte de vitesses P&amp;L.

File:1904-1905 - La boîte de vitesses &quot;à verrou&quot; de A. C. KREBS sur Panhard &amp; Levassor.pdf|'''1901''' - A. C. KREBS adapte sa boîte de vitesse de la VCP sur la '''boîte de vitesses &quot;à verrou&quot;''' de P&amp;L.

File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 61|'''1913''' - The Panhard &amp; Levassor &quot;'''''single-plate clutch and gearbox'''''&quot;.

File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 67|'''1913''' - The 35HP Panhard &amp; Levassor &quot;'''''double disc clutch'''''&quot;.

File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 81|'''1913''' - The Panhard &amp; Levassor   &quot;'''''differential with bevel satellites and conical couple'''''&quot;.

File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 83|'''1913''' - The Panhard &amp; Levassor   &quot;'''''differential with straight satellites and conical couple'''''&quot;.

File:1917 The original Panhard transmission.png|'''1917''' - [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Study_and_test_to_confirm_automobile_drivetrain_components_to_improve_fuel_economy_-_interim_report_(IA_studytesttoconfi00hurt).pdf&amp;page=12 The Original '''Panhard transmission''']: &quot;''It came into nearly '''universal use''' in the United States by the '''1920's for cars, trucks and buses'''.''&quot;
&lt;/gallery&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;

|-

! Date !! Brevet !! Intitulé

|-

| '''1897'''

|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1897-12-21_-_Panhard_%26_Levassor_brevet_FR273375_%27Perfectionnements_aux_transmissions_avec_changement_de_vitesse%27.pdf '''FR'''273375] 

|| [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8DE187.2/0148/100/512/10/458 '''La boîte de vitesses mécanique Krebs &quot;à verrou&quot; à engrenages toujours en prise''']: ''Improvements to transmissions with speed change''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032139007/publication/GB189730791A?q=GB189730791A '''GB'''189730791A] 

|| ''Improvements in Speed Changing Transmission Gear''

|-

|  

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/064173906/publication/ES22155A1?q=ES22155A1 '''ES'''22155A1] 

|| ''Un nuevo sistema de transmisión, particularmente aplicable a los coches automáticos''

|-

| '''1898''' 

|| 

[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032144519/publication/GB189902960A?q=GB189902960  '''GB'''189902960] 

|| '''VCP''' : ''Improvements in Light Motor Road Vehicles''

|-

| '''1899''' 

|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1899-11-11_Brevet_KREBS_pour_P%26L_FR294232_-_%27Syst%C3%A8me_combin%C3%A9_de_changement_de_marche_et_changement_de_vitesse_pour_voiture_automobile%27.pdf '''FR'''294232]

|| ''Combined shifting and gear shifting system for motor car'' &lt;ref&gt;'''1900''' - Revue de mécanique : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5700759q/f661.item.r=PANHARD La transmission Panhard &amp; Levassor].&lt;/ref&gt;

|-

|

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032537942/publication/GB189923564A?q=GB189923564A '''GB'''189923564A]

|| ''Improvements in Driving Gear for Motor Cars''&lt;ref&gt;'''1902''' - The automobile: &quot;[https://archive.org/details/automobileaprac00haslgoog/page/386/mode/2up?q=panhard  ''The Panhard type'']&quot;. '''1904''' - Self-propelled vehicles: &quot;[https://archive.org/details/propelledselfveh00homarich/page/354/mode/2up?q=panhard ''Détails du changement de vitesse Panhard-Levassor'']&quot;.&lt;/ref&gt;

|-

| '''1900''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032150677/publication/GB190022975A?q=GB190022975A '''GB'''190022975A]

|| ''An Improvement in Cone Clutches''


|-

| '''1901''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032423811/publication/GB190114824A?q=GB190114824A  '''GB'''190114824A] 

|| ''Improvements in connection with the Mechanism for Change of Speed and Direction of Motion of Motor Cars''

|-

| '''1901''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002769481/publication/US700950A?q=US700950A '''US'''700950A ]

|| '''Change speed box''' : ''MOTOR-VEHICLE''

|-

| '''1905'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search?q=pn%3DFR351743A '''FR'''351743A] 

|| ''Automatic locking system''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003534007/publication/AT24197B?q=AT24197B '''AT'''24197B] 

|| ''Coupling device''

|-

|  

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032188031/publication/GB190515737A?q=GB190515737A  '''GB'''190515737A] 

|| ''Improvements in Interlocking Mechanism for Change Speed Gears and the like''

|-

|  

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002890537/publication/US822057A?q=US822057A  '''US'''822057A] 

|| ''SYSTEM OF LOCKING''

|-

|

|| [[w:Engrenage|'''''Harmonic gears''''']]

|| &quot;''In certain cars, particularly '''Panhards''', [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:California_Digital_Library_(IA_completemotorist00youn).pdf&amp;page=334 '''''the musical note caused by the gear wheels'''''] is itself a very fair guide to the changing of speed''.&quot;

|-
|'''1906'''

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001410298/publication/FR362841A?q=FR362841A '''FR'''362841A] 

|| [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k98043305/f300.image.r=panhard '''The Krebs Panhard type gearbox''']: ''Improvements to claw clutches''

|-

| '''1910''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001472555/publication/FR430298A?q=pn%3DFR430298A '''FR'''430298A]

|| ''Automobile tipping dumper with front-wheel drive and steering''

|-

|  

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032525843/publication/GB191113942A?q=pn%3DGB191113942A '''GB'''191113942A]

|| ''Improvements in and relating to Tip Wagons and the like''

|-

| '''1911''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001480297/publication/FR438815A?q=FR438815A '''FR'''438815A]

|| ''Device for shifting and declutching using a single lever''

|-

|

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/008695767/publication/AT62323B?q=AT62323B '''AT'''62323B]

|| ''Speed change gear''

|-

|

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032339729/publication/GB191200983A?q=GB191200983A '''GB'''191200983A]

|| ''Improvements in and relating to Variable Speed Transmission Mechanism''

|-

|

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003180995/publication/US1112810A?q=US1112810A '''US'''1112810A]

|| ''Clutch and Gear Shifter''

|-

| '''1911''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001480878/publication/FR439445A?q=FR439445A '''FR'''439445A]

|| ''Direct drive device applicable to fluid gear shifting devices''

|-

| '''1913''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001511415/publication/FR473344A?q=FR473344A '''FR'''473344A]

|| ''Improvement in motion transmissions in motor cars''

|-

| '''1914''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001513323/publication/FR475432A?q=FR475432A '''FR'''475432A ]

|| ''Transmission system for driving and steering vehicle wheels''

|-

| '''1915''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001519384/publication/FR482374A?q=FR482374A '''FR'''482374A ]

|| ''Cardan joint lubrication device by oil circulation''

|-

| 

|| 

|| ''The globoïd worm gear rear axle differential''

|-

|}

==== Freins ==== 
'''Catégories''' : [[commons:Category:Brakes|Brakes]], [[commons:Category:Automobile drum brakes|Automobile drum brakes]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Frein à tambour|Frein à tambour]], [[w:Frein moteur|Frein moteur]]
&lt;gallery&gt;
File:1900 Lavergne- Gérard Manuel théorique et pratique de l'automobile sur route='the double-acting krebs brake'p433.png|''The '''1898'''  [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AThe_automobile%2C_its_construction_and_management%3B_(IA_automobileitscon00lave).pdf&amp;page=381 '''Krebs double-acting brake on the differential axle.''']

File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 91|'''1913''' - The Panhard &amp; Levassor  &quot;'''''double brake on rear wheels'''''&quot;.
&lt;/gallery&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;

|-

! Date !! Brevet !! Intitulé

|-

| '''1898'''

||[[c:File%3A1898-12-16_-_Panhard_%26_Levassor_brevet_FR284596_%27Un_syst%C3%A8me_de_voiture_l%C3%A9g%C3%A8re_%C3%A0_moteur_%C3%A0_p%C3%A9trole%27.pdf|'''FR'''284596]] 

|| [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8DE187.2/157/100/512/10/458 '''Le frein à double effet sur l'arbre du différentiel'''] : &quot;''A two-pronged clamp fixed to the frame, which clamps a pulley mounted on the differential shaft''&quot;

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032144519/publication/GB189902960A?q=GB189902960A '''GB'''189902960A] 

|| ''A two armed clamp fixed to the frame which grips the periphery of a disc mounted on the shaft of the differential coupling''

|-

| '''1900'''

|| 

|| [https://archive.org/details/automobilemaga2151900newy/page/172/mode/2up?q=panhard &quot;'''The water-cooled Krebs brake'''&quot;]

|-

| '''1901'''

||[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1901-01-14_Brevet_A.C.KREBS_FR307114%3Dsuspension_par_3_points_%2B_frein_sur_le_diff%C3%A9rentiel.pdf '''FR'''30714]

|| '''Three point suspension gearbox''' : &quot;Improvements in shifting and running mechanisms'' (voir supra)

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002769481/publication/US700950A?q=US700950 '''US'''700950A]

|| ''MOTOR-VEHICLE''

|-

| '''1902'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001369586/publication/FR318975A?q=FR318975 '''FR'''318975]

|| '''Cam brake''' : ''Brake for automobile or other car wheels''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032116936/publication/GB190304167A?q=GB190304167A '''GB'''190304167A]

|| ''Improvements in Brakes for Vehicles''

|-

| '''1904'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001389316/publication/FR340186A?q=FR340186 '''FR'''340186] 

|| '''Expansion brake''' : ''Brake on rear wheels''

|-

| 

|| 

|| [https://archive.org/details/propelledselfveh00homarich/page/148/mode/2up?q=panhard Slack adjuster brake.]

|-

| '''1907'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001422561/publication/FR376040A?q=FR376040 '''FR'''376040]

|| '''Krebs motor brake''' : ''Device for obtaining the braking of a motor vehicle by the engine''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003548691/publication/AT33177B?q=AT33177B '''AT'''33177B] 

|| ''Method and device for braking motor vehicles by means of the prime mover''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/004275048/publication/CH43817A?q=CH43817A '''CH'''43817A] 

|| ''Device on four-stroke explosion engines for exerting a braking effect through the engine''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032117222/publication/GB190802328A?q=GB190802328A '''GB'''190802328A] 

|| ''Improvements in and relating to Braking Means for Automobile Vehicles''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003002970/publication/US934547A?q=US934547A '''US'''934547A] 

|| ''Braking means for automobile vehicles''

|-

| '''1907'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001430057/publication/FR384090A?q=FR384090 '''FR'''384090A]

|| ''Brake lever''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003553988/publication/AT36868B?q=AT36868B '''AT'''36868B]

|| ''Device for the simultaneous activation of two brakes for all types of vehicles''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032525450/publication/GB190818853A?q=GB190818853 '''GB'''190818853]

|| ''Improvements in or relating to Braking Mechanism''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/004275048/publication/CH43817A?q=CH43817A '''CH'''43817A] 

|| ''Device on four-stroke explosion engines for exerting a braking effect through the engine''

|-

| '''1911'''

||

|| [https://archive.org/details/TheAutomotorJournal2ndHalf1904/page/n643/mode/2up &quot;''Rear-brake drums with a second pair of shoes in their interior.''&quot;]

|-

|}
==== Graissage ====
'''Catégories''' : [[commons:Category:lubrication|lubrication]], [[commons:Category:Internal combustion piston engine lubrication systems|Internal combustion piston engine lubrication systems]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Lubrification|Lubrification]]
&lt;br&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;

|-

! Date !! Brevet !! Intitulé

|-

| '''1902'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001369628/publication/FR319026A?q=FR319026A '''FR'''319026A] 

|| [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8DE187.2/159/100/512/10/458 ''Système de graissage des moteurs par une pompe actionnée au moyen des gaz de l'échappement'']

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032606192/publication/GB190304379A?q=GB190304379A '''GB'''190304379A] 

|| ''Improved Method of Lubricating Motors and Apparatus therefor''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002821059/publication/US752566A?q=US752566A '''US'''752566A] 

|| ''Device for Lubricating Motors and Machinery Driven Thereby''

|-

| '''1902'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001377157/publication/FR327150A?q=FR327150A '''FR'''327150A] 

|| ''Lubrication system for engines and components''

|-

| '''1907'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001422632/publication/FR376118A?q=FR376118A '''FR'''376118A] 

|| ''Lubricator with adjustable flow for internal combustion engine proportioning the oil flow to the developed power''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003549848/publication/AT33929B?q=AT33929B '''AT'''33929B] 

|| ''Device for controlling the supply of lubricant for internal combustion engines''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032117223/publication/GB190802334A?q=GB190802334A '''GB'''190802334A] 

|| ''Improvements in and relating to the Lubrication of Internal Combustion Engines''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002995978/publication/US927552A?q=US927552A '''US'''927552A] 

|| ''Engine-Lubricating Device''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search?q=CH42771A '''CH'''42771A] 

|| ''Lubricator for internal combustion engine''

|-

| '''1907'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001429283/publication/FR383261A?q=FR383261A '''FR'''383261A] 

|| ''Engine lubricating oil cooling system''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032525449/publication/GB190818852A?q=GB190818852 '''GB'''190818852A] 

|| ''Improvements in or relating to the Lubrication of Moving Parts of Engines''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/004277622/publication/CH45206A?q=CH45206A '''CH'''45206A] 

|| ''Device for cooling the lubricating oil contained in the crankcase of an engine''

|-

| '''1912'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001494995/publication/FR455065A?q=FR455065A '''FR'''455065A] 

|| ''Improvements to engine lubrication''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032526351/publication/GB191305951A?q=GB191305951A '''GB'''191305951A] 

|| ''Improvements in or relating to the Lubrication of Engines''

|-

| '''1915'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001519141/publication/FR482110A?q=FR482110A '''FR'''482110A] 

|| ''Automatic lubricating device by oil circulation of wheel hubs''

|-

| '''1915'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001519143/publication/FR482112A?q=FR482112A '''FR'''482112A] 

|| ''Device for lubricating the bearings of a heat engine, by oil circulation at an equal flow rate for all the bearings and at variable pressure''

|-

|}
==== Direction et Suspension ====
'''Catégories''' : [[commons:Category:Automotive suspension technologies|Automotive suspension technologies]], [[commons:Category:Shock absorbers|Shock absorbers]], [[commons:Category:Vehicle dynamics|Vehicle dynamics]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' :  [[w:Suspension de véhicule|Suspension de véhicule]], [[w:Dynamique du véhicule|Dynamique du véhicule]]
&lt;br&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;

|-

! Date !! Brevet !! Intitulé

|-

| '''1902'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001370512/publication/FR319975A?q=FR319975A '''FR'''319975A] 

|| '''Transversal spring suspension''' : ''Axle system and fore-carriage spring for motor vehicles''

|-

| '''1902'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001377508/publication/FR327527A?q=FR327527A4 '''FR'''327527A] 

|| '''Steering wheel controls''' : [https://archive.org/details/propelledselfveh00homarich/page/288/mode/2up?q=panhard ''A maneuvering device for the control of the motor car engines'']

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002826307/publication/US757815A?q=pn%3DUS757815A '''US'''757815A] 

|| ''APPARATUS FOR CONTROLLING THE SPEED OF MOTOR-CAR ENGINES''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032525118/publication/GB190309077A?q=GB190309077A '''GB'''190309077A] 

|| ''Improvements in Apparatus for Controlling the Speed of Motor Car Engines''

|-

| '''1905'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001404739/publication/FR356801A?q=FR356801A '''FR'''356801A] 

|| '''[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9804444j/f52.item Multidisk friction shock absorber]''' : ''Suspension brake for vehicles''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001348928/publication/FR5900E?q=FR5900E '''FR'''5900E] 

|| Addition: ''Suspension brake for vehicles''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032198455/publication/GB190516354A?q=GB190516354A '''GB'''190516354A] 

|| ''Improvements in the Method of Checking the Vibrations Imparted to Vehicles Suspended by Springs and in Apparatus therefor''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002928275/publication/US859822A?q=pn%3DUS859822A '''US'''859822A] 

|| ''SHOCK-ABSORBER''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002941272/publication/US872825A?q=US872825A '''US'''872825A] 

|| ''APPARATUS FOR CHECKING OR DEADENING THE VIBRATIONS IMPARTED TO SUSPENDED VEHICLES''

|-

| '''1911'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001481137/publication/FR439730A?q=FR439730A '''FR'''439730A]

|| ''Screw and nut steering for motor vehicles''

|-

| '''1914''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001513700/publication/FR475854A?q=FR475854A '''FR'''475854A] 

|| ''Suspension system for four-wheel motor cars''

|-

|

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001513396/publication/FR475517A?q=FR475517A '''FR'''475517A] 

|| ''Improvement in the construction of automobile steering axles''

|-

| '''1915''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001519144/publication/FR482114A?q=FR482114A '''FR'''482114A] 

|| '''Disk hub''' : ''Driving device for driving wheels of motor vehicles''

|-

|}

==== '''Accouplements flexibles''' ====
'''Catégories''' : [[commons:Category:Accouplement (mécanique)|Accouplements]], [[commons:Category:Rotating shaft couplers|Accouplements d'arbres]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Accouplement (mécanique)|Accouplement (mécanique)]], [[w:Joint de transmission|Joint de transmission]]
===== Premières recherches =====
{| class=&quot;wikitable&quot;

|-

! Date !! Brevet !! Intitulé

|-

| '''1900'''

|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1900-04-09_Brevet_KREBS-P%26L_FR299088_-_%27Palier_%C3%A0_rotule%27.pdf '''FR'''299088] 

|| ''Palier à rotule''

|-

| '''1905'''

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001399995/publication/FR351702A?q=pn%3DFR351702A '''FR'''351702A] 

|| ''Palier de butée à billes et à rotule''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003533722/publication/AT24046B?q=AT24046B '''AT'''24046B] 

|| ''Thrust bearing''

|-

|'''1907'''

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001429214/publication/FR383188A?q=FR383188A '''FR'''383188A] 

|| ''Embrayage reliant deux arbres dont l'un tourne à une vitesse variable et l'autre à une vitesse constante''

|-

|}

===== Le joint monodisque =====
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Disc couplings|Accouplements à disque]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Accouplement_(mécanique)#Accouplement_à_disque|Accouplement_à_disque]]
&lt;br&gt;'''1909''' - '''The single disc coupling''' : &quot;''The device in question is substantially as follows: The ends of the shafts to be joined, facing each other, are provided with circular or cylindrical extended portions to which is secured alternately a membrane of suitable shape, '''of strong and flexible material such as leather, flexible fiber, suitably woven and prepared canvas''' or any other similar material. The dimensions of the said widened portions and the number of the points at which the material used for effecting the connection indicated is secured to them are in proportion to the strain to be transmitted.''&quot;
&lt;gallery&gt;
File:1910-11-22 US976187A=device for coupling two transmission shafts=first FLECTOR invented by A.C. KREBS.png | [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003044565/publication/US976187A?q=US976187A '''1909''' - first FLECTOR Brevet '''US'''976187A &quot;'''''Device for coupling two transmission-shafts'''''&quot;.]

File:1933-10-01 La Dépêche de Brest=PEUGEOT 'le joint FLECTOR de direction'.jpg | [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k348891q/f8 '''1933''' PEUGEOT advertising: &quot;'''''the steering FLECTOR joint'''''&quot; invented by A. C. KREBS (Brevet 1910-11-22 US976187A).]

File:1937-1938 Cours d'automobile=disc coupling+FLECTOR.jpg |'''1937''' - Automobile course'' :  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9758588f/f124.item.r=%22Cours%20d'automobile%22 &quot;'''Deformation joints are the Flectors''']. They consist of a stack of discs made of thin sheet steel, rubberized canvas or leather, on which are bolted forks with two or three branches carried by the shafts.''&quot;

File:Single Disk Coupling (with metal disc), invented by A.C. KREBS (patent 1910-11-22 US976187A).webm|Video: '''The single Disk Coupling''' (with metal disc) invented by A.C. KREBS '''is universally used today'''.
&lt;/gallery&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;

|-

! Date !! Brevet !! Intitulé

|-

| '''1909'''

|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1909-01-04_Brevet_KREBS-P%26L_FR407594_-_%27Dispositif_de_connexion_de_deux_arbres_de_transmission%27.pdf '''FR'''407594] 

|| '''Disc coupling''' : ''Device for connecting two transmission shafts''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032407241/publication/GB190926602A?q=GB190926602 '''GB'''190926602] 

|| ''Improvements in or relating to Shaft Couplings''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003044565/publication/US976187A?q=pd%20%3D%20%221910-11-22%22%20AND%20ctxt%20%3D%20%22KREBS%22 '''US'''976187A] 

|| ''Device for coupling two transmission-shafts''

|-

|}

===== Le joint élastique '''FLECTOR''' =====
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Rag joints|Rag joints]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Joint_de_transmission#Joints_à_axes_concourants|Joints à axes concourants]]
&lt;br&gt;'''1911''' - '''Le joint FLECTOR''' : &quot;''Dans nos modèles 10, 12 et 16 HP Tourisme, ce joint universel est constitué par l'organe élastique que nous nommons &quot;Flector&quot; et qui, formé de toile et de caoutchouc, permet le déplacement relatif des arbres '''sans frottement, sans usure et sans bruit'''. Son adoption donne à la voiture qui en est munie une grande douceur d'entraînement, et il ne réclame aucun  entretien''.&quot; &lt;ref&gt;'''1916''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1916_-_Panhard_%26_Levassor_-_Catalogue.pdf '''Catalogue Panhard &amp; Levassor'''].&lt;/ref&gt;

&lt;gallery&gt;
File:1911-09-04 Flector joint invented by A. C. KREBS (patents FR445.494, GB17.174, US1.107.315).jpg|'''1911''' - '''FLECTOR Brevet'''  [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003175507/publication/US1107315A?q=US1107315 '''US'''1107315A] ''Flexible joint for coupling two transmission shafts''.
 |'''1911''' - '''FLECTOR Brevet'''  [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003175507/publication/US1107315A?q=US1107315 '''US'''1107315A] ''Flexible joint for coupling two transmission shafts''.

File:1913-02-25 La Revue Commerciale=le joint FLECTOR inventé par A. C. KREBS.pdf | [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9805914f/f6.item '''1913''' - The '''FLECTOR joint''' on the 10hp Panhard &amp; Levassor]: &quot;'''''no friction, no wear, no noise, no lubrication'''''&quot;

File:Tyre-coupling.jpg |'''The flexible FLECTOR joint''' invented by A. C. KREBS (Brevet [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003175507/publication/US1107315A?q=US1107315 '''US'''1107315A]) '''is universally used today under the name of ''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:FLECTOR_-_Tyre-Couplings.ogg '''Tire coupling (Video)'''].
&lt;/gallery&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;

|-

! Date !! Brevet !! Intitulé

|-

| '''1911'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001486381/publication/FR445494A?q=FR445494A '''FR'''445494A] 

|| '''Tire coupling''' : ''Flexible joint for connecting two drive shafts''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032606753/publication/GB191217174A?q=GB191217174 '''GB'''191217174A] 

|| ''Improvements in or relating to Shaft Couplings''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003175507/publication/US1107315A?q=US1107315 '''US'''1107315A] 

|| ''Flexible joint for coupling two transmission-shafts''

|-

|}
==== Camions et moteurs industriels ====
&lt;gallery&gt;
File:1903 - Les usages industriels de l'alcool - camion Panhard &amp; Levassor.jpg|'''1903''' - Industrial '''uses of alcohol''' : '''Panhard &amp; Levassor truck'''.

File:1904 - Panhard &amp; Levassor - moteur fixe 3cyl.jpg|'''1904''' - Panhard &amp; Levassor: '''3cyl stationary engine designed by A. C. KREBS'''.

File:1906 - Panhard &amp; Levassor - Groupe moto-pompe industriel.jpg|'''1906''' - Panhard &amp; Levassor - '''Industrial motor-pump unit'''.

File:1907-01-05 Omnia - camion Panhard &amp; Levassor au concours de véhicules industriels.jpg|'''1907''' - '''Panhard &amp; Levassor truck''' at the industrial vehicle competition.

File:1908 - Panhard &amp; Levassor - catalogue poids lourds.pdf|'''1908''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1908_-_Panhard_%26_Levassor_-_catalogue_poids_lourds.pdf Panhard &amp; Levassor '''trucks catalog'''].

File:1910 - Groupe moteur Panhard &amp; Levassor - &quot;Force motrice et lumière&quot;.jpg|'''1910''' - Groupe moteur Panhard &amp; Levassor: &quot;'''''Force motrice et lumière'''''&quot;. &lt;ref&gt;'''1910''' - '''Groupe moteur''' Panhard &amp; Levassor : &quot;'''''Force motrice et lumière'''''&quot;. &quot;''Ville - Campagne - Atelier : MAXIMUM Rendement, Simplicité, Solidité - MINIMUM Consommation, Usure, Encombrement - FONCTIONNE SANS SURVEILLANCE au gaz de ville, à l'alcool, benzol, à l'essence de pétrole, gaz pauvre''&quot;.&lt;/ref&gt;

File:1910-07-10 - La Revue Commerciale - Le groupe électrogène et le moteur industriel Panhard &amp; Levassor.jpg|'''1910''' - The Panhard &amp; Levassor [https://archive.org/details/Theautomobile22/theautomobile16/page/n583/mode/2up?q=%22commandant+krebs%22 '''generator'''] and the '''industrial engine'''.

File:Chatillon-Panhard heavy artillery tractor prototype 1911.jpg|'''1911''' - '''Prototype of the  Châtillon-Panhard heavy artillery tractor''', all wheel drive and all wheel steering.

File:1913 - Panhard &amp; Levassor - voiture de Livraison.jpg|'''1913''' - Panhard &amp; Levassor: '''Delivery van'''.

File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 88|'''1913''' - The 16HP van chassis  Panhard &amp; Levassor:   &quot;'''''engine block and swing axle'''''&quot;.

File:1914-1918 - Panhard &amp; Levassor - camion K16.jpg|'''1914-1918''' - Panhard &amp; Levassor: '''K15 truck'''.

File:1919 - Panhard Motors Co - the Panhard-truck.pdf|'''1918''' - Motor-age: The [https://archive.org/details/sim_motor-age_1918-11-28_34_22/page/34/mode/2up?q=%22panhard+truck%22 '''Panhard Truck Built for Durability'''] : usurpateurs américains du nom de Panhard. &lt;ref&gt;'''1919''' - '''Apex''' ([https://en.wikipedia.org/wiki/Hamilton_(automobile_company) Hamilton Motors Company])  - [https://archive.org/details/saturdayeveningp1922unse/page/384/mode/2up?q=%22Panhard+Motors+Co%22 The twin-frame truck]: ''&quot;At the request of the Panhard-Levassor Co., of Paris, France, we have relinquished the name &quot;Panhard&quot;, and since September 1, '''1919''', our truck has been known as the &quot;Apex&quot;. Hamilton Motors Co., formerly '''Panhard Motors Co.'''&quot;''&lt;/ref&gt;
&lt;/gallery&gt;
==== Machines à bois ====
'''Catégories''' : [[commons:Category:Scierie|Scierie]], [[commons:Category:Sciage|Sciage]], [[commons:Category:Scie pour le bois et l'ameublement|Scie pour le bois et l'ameublement]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Scierie|Scierie]], [[w:Sciage|Sciage]], [[w:Débit (bois)|Débit (bois)]], [[w:Usine_municipale_Pavage_de_bois|Usine municipale Pavage de bois]]
&lt;gallery&gt;
File:1889 - Panhard &amp; Levassor Large band saw for metal cutting.pdf|'''1889''' - Panhard &amp; Levassor:  [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Reports_of_the_United_States_Commissioners_to_the_Universal_Exposition_of_1889_at_Paris_(IA_cu31924107177085).pdf&amp;page=364 &quot;'''Large band saw for metal cutting'''&quot;] at the Paris universal exposition.

File:1905 - Panhard &amp; Levassor - catalogue anniversaire-50-ans usine (cartes postales) - machines à bois.pdf|page 7|'''1905''' - '''Panhard &amp; Levassor''' managed by A. C. KREBS - [[c:File:1905_-_Panhard_%26_Levassor_-_catalogue_anniversaire-50-ans_usine_(cartes_postales)_-_machines_%C3%A0_bois.pdf|'''Wood working machine tools''' and '''Band Saws''']].

File:1906 - Panhard &amp; Levassor - Catalogue des machines à bois pour les roues de voitures.pdf|'''1906''' - '''Panhard &amp; Levassor''' managed by A. C. KREBS - [[c:File%3A1906_-_Panhard_%26_Levassor_-_Catalogue_des_machines_%C3%A0_bois_pour_les_roues_de_voitures.pdf|'''Catalog of woodworking machine-tools for car wheels''']].

File:1906 - Panhard &amp; Levassor - Catalogue des machines-à-bois - scies à ruban.pdf|'''1906''' - '''Panhard &amp; Levassor''' managed by A. C KREBS: Catalog of [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1906_-_Panhard_%26_Levassor_-_Catalogue_des_machines-%C3%A0-bois_-_scies_%C3%A0_ruban.pdf '''woodworking machine-tools - band saws'''].

File:1915 - Publicité en Amérique pour les scies à ruban Périn fabriquées à Paris par les usines Panhard &amp; Levassor dirigées par A. C. KREBS.pdf|'''1915''' - Advertisement in America for [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1915_-_Publicit%C3%A9_en_Am%C3%A9rique_pour_les_scies_%C3%A0_ruban_P%C3%A9rin_fabriqu%C3%A9es_%C3%A0_Paris_par_les_usines_Panhard_%26_Levassor_dirig%C3%A9es_par_A._C._KREBS.pdf '''Périn band-saws'''] manufactured in Paris by the '''Panhard &amp; Levassor works''' managed by A. C. KREBS.
&lt;/gallery&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;

|-

! Date !! Brevet !! Intitulé

|-

| '''1899'''

||[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k57012688/f243.image.r=panhard '''FR'''288849A] 

|| ''Sharpener''

|-

| '''1905'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search?q=pn%3DFR359604A '''FR'''359604A] 

|| ''Automatic circuit breaker''

|-

| '''1906'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search?q=pn%3DFR362842A '''FR'''362842A] 

|| ''Locking system for tool trolleys and others''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search?q=pn%3DFR365473A '''FR'''365473A] 

|| ''Automatic tool release system in trolley machines''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003539644/publication/AT27469B?q=AT27469B '''AT'''27469B] 

|| ''Device for automatically removing the tool from the workpiece in machine tools with a reciprocating carriage''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/027826630/publication/DK10576C?q=DK10576C '''DK'''10576C] 

|| ''Self-propelled device for putting the tool out of business in machine tools with reciprocating carriage''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search?q=pn%3DCH40671A '''CH'''40671A] 

|| ''Machine tool carriage with device for automatically disengaging tool and work piece''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search?q=pn%3DGB190707906A '''GB'''190707906A] 

|| ''Improvements in or relating to Machine Tools with Sliding Tables or Carriages''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002961283/publication/US892854A?q=US892854A '''US'''892854A] 

|| ''SLIDING TABLE OR CARRIAGE FOR METAL-CUTTING MACHINES''

|-

| '''1908'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001449977/publication/FR405501A?q=pn%3DFR405501A '''FR'''405501A] 

|| ''Protective finger for sawing machines for wood or any other material''

|-

| '''1911'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001485566/publication/FR444600A?q=pn%3DFR444600A '''FR'''444600A] 

|| ''Gear Profile Checking Machine''

|-

| '''1912'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032242055/publication/FR451001A?q=pn%3DFR451001A '''FR'''451001A] 

|| ''Log sawing machine, automatic''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032799883/publication/GB191214154A?q=GB191214154A '''GB'''191214154A] 

|| ''Automatically Acting Machine for Cutting Up Timber''

|-

| '''1913'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032299533/publication/FR19438E?q=FR19438E '''FR'''19438E] 

|| Addition: ''Log sawing machine, automatic''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032799883/publication/GB191324475A?q=GB191324475A '''GB'''191324475A] 

|| ''Automatically Acting Machine for Cutting Up Timber''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001512578/publication/FR474617A?q=pn%3DFR474617A '''FR'''474617A] 

|| ''Apparatus for grinding the teeth of band saw blades''

|-

|}


==== Autres brevets ====
{| class=&quot;wikitable&quot;

|-

! Date !! Brevet !! Intitulé

|-

| '''1903'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001379309/publication/FR329471A?q=FR329471A '''FR'''329471A] 

|| ''Silent exhaust tank''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002815022/publication/US746527A?q=US746527A '''US'''746527A] 

|| ''EXHAUST-BOX OR SILENCER FOR EXPLOSION-ENGINES''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032541423/publication/GB190306365A?q=GB190306365A '''GB'''190306365A] 

|| ''Improvements in Exhaust Boxes or Silencers for Explosion Engines''

|-

| '''1907'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001423213/publication/FR376739A?q=pn%3DFR376739A '''FR'''376739A]

|| ''Detachable tire rim''

|-

|

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032633977/publication/GB190715724A?q=GB190715724A '''GB'''190715724A]

|| ''An Improved Fitting or Attachment for the Wheels of Motor Cars and similar Vehicles''

|-

| '''1913'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001498438/publication/FR458896A?q=FR458896A '''FR'''458896A]

|| ''Removable wheel fixing device''

|-

|}
=== '''Aviation''' ===
'''Catégories''' : [[commons:Category:Aéronautique|Aéronautique]], [[commons:Category:Activité aérienne|Activité aérienne]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Aéronautique|Aéronautique]], [[w:Aviation|Aviation]]
&lt;br&gt;'''1910''' - [https://archive.org/details/aircraft219111912newy/page/200/mode/2up?q=%22commandant+krebs%22 '''Aircraft''']: &quot;''On June 14th. among the visitors to the Farman School at Buc, was '''Commandant Krebs''', the director of the Panhard-Levassor firm. He was taken for a lenthy trip by Mr. '''Maurice Farman''', who afterwards carried M. Defly, an engineer of the Panhard firm.''&quot;

==== Le moteur du monoplan Tellier ====
'''Catégories''' : [[commons:Category:Alphonse Tellier|Alphonse Tellier]], [[commons:Category:Tellier 1910 monoplane|Tellier 1910 monoplane]], [[commons:Category:Tellier aircraft|Tellier aircraft]], [[commons:Category:Émile Dubonnet|Émile Dubonnet]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Émile Dubonnet|Émile Dubonnet]]
:[[W:Alphonse_Tellier_(constructeur_a%C3%A9ronautique)|Alphonse Tellier (constructeur aéronautique)]]
&lt;gallery&gt;
File:1909 - Le moteur d'aviation Panhard &amp; Levassor à soupapes concentriques de A. C. KREBS.pdf|'''1909''' - The Panhard &amp; Levassor '''aviation engine with concentric valves''' designed by A. C. KREBS.

File:1910-04-23 - Dubonnet survole Paris sur avion Tellier à moteur Panhard &amp; Levassor.png|'''1910''' - '''Dubonnet flies over Paris''' on a Tellier plane with a Panhard &amp; Levassor engine designed by A. C. KREBS.

File:1910-04-26 - Théodore-Roosevelt regardant voler Dubonnet à Issy.jpg|'''1910''' - '''Theodore Roosevelt watching Dubonnet fly''' to Issy on '''Tellier plane''' with '''Panhard &amp; Levassor''' engine.

File:1910-04-23 - A. C. Krebs et Emile Dubonnet à Bagatelle après la traversée de Paris sur avion Tellier.png|'''1910''' - '''A. C. KREBS''' (left) and '''Emile DUBONNET''' (1882-1950) '''after crossing Paris on a Tellier plane''' with the Panhard &amp; Levassor engine designed by KREBS.

File:1910-05-25 - Avion Tellier modifié - le moteur Panhard &amp; Levassor de A. C. KREBS.png|'''1910''' - '''Modified Tellier aircraft''' : the Panhard &amp; Levassor engine with concentric valves designed by A. C. KREBS.

File:1910 Panhard-Levassor - Dubonnet gagne le prix de LA NATURE sur monoplan Tellier à moteur Panhard &amp; Levassor (GAMY).jpg|'''1910''' - '''''Dubonnet wins the [[W:La_Nature|LA NATURE]] prize on a Tellier monoplane powered by Panhard &amp; Levassor''''', whose engine is designed by A. C. KREBS (by GAMY).

File:1911 - Monoplanes and biplanes - The Tellier monoplane.pdf|'''1911''' - '''Monoplanes and biplanes''' : The '''Tellier monoplane''' powered with the Panhard &amp; Levassor concentric valves engine designed by A. C. KREBS.
&lt;/gallery&gt;
==== Moteurs d'avions ====
'''Catégorie''' : [[commons:Category:'''''Propulsion des aéronefs|Propulsion des aéronefs''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Propulsion des aéronefs|Propulsion des aéronefs]]
&lt;br&gt;'''1902''' - '''Wilbur Wright''' to '''Octave Chanute''' : &quot;''I also enclose a letter from France which I take to be from '''Capt. Krebs''', though my acquaintance with foreign customs of signing names leaves me in some doubt as to who it is from. Can you enlighten me?''&quot; &lt;ref&gt; [https://www.loc.gov/item/wright002807/ '''1902'''-04-12 - W. Wright to O. Chanute letter]&lt;/ref&gt;
'''O. Chanute''' to '''W. Wright''' : &quot;''I return the French letter, which is from '''Commandant Krebs''', formerly associated with  [[w:Charles_Renard|Colonel  Renard]].''&quot; &lt;ref&gt;[https://archive.org/details/correspondenceo00chan '''1902'''-05-05 - O Chanute to W. Wright letter]&lt;/ref&gt;
&lt;gallery&gt;
File:1909-08-13 - Biplan Obre à moteur Panhard &amp; Levassor 60cv.png|'''1909''' - Obre biplane with '''Panhard &amp; Levassor 60hp engine''' designed by A. C. KREBS.

File:1909 - Moteur Panhard &amp; Levassor 100cv pour l'avion Voisin-Bolotoff.png|'''1909''' - Panhard &amp; Levassor 100hp engine designed by A. C. KREBS for the '''Voisin-Bolotoff aircraft'''.

File:1909 - Moteur Panhard &amp; Levassor 120cv sur le Biplan-Henry FARMAN.png|'''1909''' - Panhard &amp; Levassor 120hp engine designed by A. C. KREBS on the '''Henry FARMAN biplane'''.

File:1909-09-25 - 1ère Exposition de Locomotion Aérienne - le stand Panhard &amp; Levassor.png|'''1909''' - '''1st Air Locomotion Exhibition''' : the '''concentric valve engine''' designed by A. C. KREBS on the Panhard &amp; Levassor stand.

File:1910-11-01 - La Revue de l'Aviation à Paris.jpg|'''1910-11-01''' - The '''Revue de l'Aviation in Paris''' - Exhibition of aircraft manufacturers.

File:Moteur Panhard, 120 HP, déstiné au dirigeable anglais - btv1b9018675v.jpg|'''1910''' - L'un des 2 moteurs Panhard &amp; Levassor de '''120HP''' pour le dirigeable '''Morning-Post'''.

File:1912 - Moteur d'aviation Panhard &amp; Levassor V8 100HP.jpg|'''1912''' - Panhard &amp; Levassor '''V8 100HP aviation engine''' designed by A. C. KREBS.

File:1917 - Panhard &amp; Levassor - Moteur V12J du Glisseur Tellier.jpg|'''1915''' - Panhard &amp; Levassor [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k98100943/f220.image.r=panhard '''V12J aviation engine'''] of the '''Glisseur Tellier''' designed by A. C. KREBS.
&lt;/gallery&gt;
==== Hélicoptères avec [https://www.leonore.archives-nationales.culture.gouv.fr/ui/notice/300955 Gustave PLAISANT] ====
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Helicopters|'''''Helicopters''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Hélicoptère|Hélicoptère]]
&lt;br&gt;'''1912''' - Gustave PLAISANT: &quot;''During fixed-point tensile tests that I recently carried out on a cycloidal thruster '''at the Laboratoire des Etablissements Panhard et Levassor''' with the gracious authorization of '''Commander Krebs''', I was led to study different combinations of propellers [...]''&quot; &lt;ref&gt; '''1912-01-01''' - L'Aérophile: [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6552332d/f276.image.r=krebs ''Vers l'hélicoptère''].&lt;/ref&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences, tome 155, 1912.djvu|page 1608|'''1912''' - Académie des Sciences - '''Aeronautics''' : &quot;''On a cycloidal air attack mode by M. '''Gustave PLAISANT'''.''&quot;

File:1913-01-01 L'Aérophile=essais d'hélicoptères à l'usine P&amp;L avec Gustave PLAISANT.jpg|'''1912''' -  L'Aérophile: '''helicopter tests in the laboratory of the Panhard &amp; Levassor factory''' by Gustave PLAISANT with the help of Arthur Constantin KREBS
&lt;/gallery&gt;
=== '''Le procès [https://en.wikipedia.org/wiki/George_B._Selden SELDEN]''' avec [[w:Henry_Ford|'''Henry FORD''']] ===
'''Catégories''' : [[commons:Category:US549160|'''''US549160''''']], [[commons:Category:Association of licenced Automobile Manufacturers|'''''Association of licenced Automobile Manufacturers''''']], [[commons:Category:Henry Ford|'''''Henry Ford''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:George_Brayton#Du_procès_Brayton_au_brevet_de_Selden|Du_procès_Brayton_au_brevet_de_Selden]]
&lt;br&gt;En '''1906''' A. C. Krebs s'est rendu aux États-Unis pour témoigner dans l'affaire Selden, dans laquelle Panhard &amp; Levassor était associé à Henry Ford en tant que partie adverse. Il a probablement rencontré Henry Ford lors de la présentation des preuves pour le brevet Selden ([https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002617903/publication/US549160A?q=US549160 '''US'''549160]) les 29-30 octobre 1906 dans un garage de New York. &lt;ref&gt;'''1906''' [https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=File:1906_Arthur_Constantin_KREBS_testimony_during_the_Selden_case.pdf&amp;page 192 témoignage de A. C. Krebs au procès Selden]: &quot;''XQ426. Vous n'aviez jamais vu les moteurs Selden, ni le moteur à trois cylindres ni le moteur à un cylindre que vous avez inspecté au garage de New York les 29 et 30 octobre, en fonctionnement, n'est-ce pas ?''&quot; &lt;/ref&gt;

Il convient de noter les nombreuses similitudes de principe entre la '''voiture Clément-Panhard''' de '''1898''' et la [[W:Ford_T|'''Ford model T''']] of '''1908''' (voir supra).
&lt;gallery&gt;
File:1877 Brevet-Rosenwald FR116871'=système de locomotion par le gaz'.pdf|'''1877''' - '''Brevet Rosenwald''' ('''FR'''116871) : &quot;'''''Système de locomotion par le gaz'''''&quot; est cité dans l'affaire Selden.

File:1882-1884 - Delamare Deboutteville Malandin car.pdf|'''1882-1884''' - [[w:Édouard_Delamare-Deboutteville|Édouard Delamare-Deboutteville &amp; Malandin]]: '''La première voiture à 4 roues avec un moteur à 4 temps brevetée''' :  [[c:Category:Delamare-Debouttevile-et-Malandrin_vehicles|Brevet '''FR'''160267 du 12-02-1884]] – ( [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9803886z/f152.image.r=deboutteville '''8cv - 10km/h avec allumage électrique et volant''']).

File:1906 Arthur Constantin KREBS testimony during the Selden case (annotated transcript).pdf|'''1906''' - '''Témoignage de A. C.  KREBS à New-York''' lors de l'affaire Selden ('''transcription annotée''').

File:Portrait of Henry Ford.jpg|'''1913''' - '''Henry Ford''' (1863-1947).
&lt;/gallery&gt;
=== L'Organisation scientifique du travail avec [[W:Charles_de_La_Poix_de_Fréminville|Ch. de Fréminville]] ===
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Scientific management|'''''Scientific management]]
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Scientific management|'''''Scientific management]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Organisation scientifique du travail|Organisation scientifique du travail]]
&lt;br&gt;'''1904''' - '''Ways to combat or prevent dust''' : [https://archive.org/details/mmoiresetcompte04unkngoog/page/716/mode/2up?q=%22commandant+krebs%22 '''Commandant Krebs''' requests the tarring of the street of the establishments on Avenue d'Ivry.].
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Date !! Review !! Article
|-
| '''1911'''
|| Revue de métallurgie
|| [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1911/10/metal19110810p786/metal19110810p786.html Le jeune ingénieur] 
|-
| '''1914'''
|| Société d'économie sociale (in ''La Réforme Sociale'')
|| [https://archive.org/details/etudessociales6719unse/page/316/mode/2up?q=fr%C3%A9minville+panhard Le  Système  Taylor  et  l'orqanisation  scientifique  du  travail  dans  les  ateliers] 
|-

|-

| '''1915'''

|| Revue de métallurgie

|| [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1915/09/metal19151209p729/metal19151209p729.html James Hartness: Le facteur humain dans l’organisation du travail (Translation and introduction by charles de Fréminville)] 
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|-
| '''1917'''
|| Revue de métallurgie
|| [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1917/07/metal19171407p586/metal19171407p586.html L’utilisation des mutilés pour l’organisation du travail] 
|-
|-
| '''1926'''
|| Revue de métallurgie
|| [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1926/04/metal19262304p199/metal19262304p199.html 1-Évolution de l’organisation scientifique du travail à propos du Congrès International de Bruxelles (Octobre 1925)] 
|-
|-
|
|| Revue de métallurgie
|| [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1926/05/metal19262305p269/metal19262305p269.html 2-Évolution de l’organisation scientifique du travail à propos du Congrès International de Bruxelles (Octobre 1925)]  
|-
|}

=== Les innovations avec le  [[w:Arsène d'Arsonval|'''Pr Arsène d'ARSONVAL''']] ===
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Arsène d'Arsonval|Arsène d'Arsonval]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Arsène d'Arsonval|Arsène d'Arsonval]]
&lt;br&gt;A. C. KREBS et [[W:Ars%C3%A8ne_d%27Arsonval|Pr Arsène d'ARSONVAL]], médecin, physicien et académicien, sont amis de longue date.
&lt;gallery&gt;
File:1889~Album Course 01 'première voiture de course'.jpg | '''1891''' - '''D'Arsonval''' : &quot;''Nous décidâmes, un beau jour de 1891, Levassor et moi, avec le chef d'atelier [[W:%C3%89mile_Mayade|MAYADE]], de disposer ce moteur '''sur un chariot mobile'''&quot;''[...] &lt;ref&gt;'''1937''' - [https://archive.org/details/d-arsonval-soixante-cinq-ans-a-travers-la-science/page/232/mode/2up?q=panhard &quot;D'Arsonval - 65 ans à travers la science&quot;], Louis Chauvois, Paris.: &quot;''Dans les ateliers ''[[W:Panhard|Panhard &amp; Levassor]]'' un moteur à essence '''[[W:Gottlieb_Daimler|Daimler]]''' de 2CV  établi sur un bâti fixe, faisait fonctionner la scie débitant les pièces de bois. Qu'à cela ne tienne ! &quot;Nous décidâmes, un beau jour de 1891'' [plutôt 1890]'', nous dit M. d'Arsonval, Levassor et moi, avec le chef d'atelier [[W:%C3%89mile_Mayade|MAYADE]], de disposer ce moteur '''sur un chariot mobile''' et nous construisîmes ainsi l'un des premiers engins à rouler sur le sol&quot;.&lt;/ref&gt;

File:Collège de France. M. le professeur d'Arsonval, membre de l'Institut.jpg| '''1902''' - ''A. D'Arsonval (1851-1940) prète son laboratoire au Collège de France à A. C. KREBS pour lui permettre de développer sa théorie sur le carburateur automatique pour automobiles''.

File:Panhard &amp; Levassor Break 1898 (CNAM-IMG 0624).jpg |[[W:Ars%C3%A8ne_d%27Arsonval|Arsène d'ARSONVAL]] commande cette voiture à son ami A. C. KREBS, directeur des usines '''Panhard &amp; Levassor''' le [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AGetty_Research_Institute_(IA_laretrospectived00expo).pdf&amp;page=56 '''07-09-1897'''], en demandant qu'une dynamo soit ajoutée pour permettre de générer de l'électricité pour ses expériences. &lt;ref&gt;'''1898''' Panhard-M2F d'Arsène d'ARSONVAL presentée au [https://collections.arts-et-metiers.net/?queryId=28f7ab4d-a8b2-45e9-82f1-785523e4f7c6 musée du Cnam (Paris)].&lt;/ref&gt;

File:1905 LA-NATURE=Voiture-radiologique-Gaiffe-d'Arsonval-Panhard.jpg |'''1904''' - A. C. KREBS construit la '''voiture radiologique''' GAIFFE et d'ARSONVAL qui produit le courant alternatif et le courant continu pour 
les appareils médicaux. &lt;ref&gt;'''1905''' - [http://cnum.cnam.fr/CGI/sresrech.cgi?4KY28.64/104 La voiture radiologique Gaiffe-Panhard], ''[[W:La_Nature|LA NATURE]]'', p100, Paris]. &lt;/ref&gt;

File:1909 Institut général psychologique - Section des recherches psychiques et physiologiques = Documents sur Eusapia Palladino avec d'Arsonval Krebs (1905) Curie.pdf|page 11|'''1905''' - A. C. Krebs participe à des '''séances de spiritisme scientifique''' organisées par [[W:Ars%C3%A8ne_d%27Arsonval|A. d'Arsonval]], aux côtés de personnalités scientifiques comme [[W:Marie_Curie|Mme Curie]]. &lt;ref&gt;'''1909''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k57730276/f82.image.r=krebs Institut général psychologique]: Section des recherches psychiques et physiologiques : documents sur [[w:Eusapia Palladino|Eusapia Palladino]] : &quot;''[https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1909_Institut_g%C3%A9n%C3%A9ral_psychologique_-_Section_des_recherches_psychiques_et_physiologiques_%3D_Documents_sur_Eusapia_Palladino_avec_d%27Arsonval_Krebs_(1905)_Curie.pdf&amp;page=83 J'ai senti une pression faite sur mon bras gauche, comme avec une boule de coton]''&quot;.&lt;/ref&gt;
&lt;/gallery&gt;
'''1891''' : Pr s'Arsonval aide Levassor pour son brevet [https://bases-brevets19e.inpi.fr/brevets?detail=719065&amp;positionResult=20&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bmode%5D=simple&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bop%5D=AND&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bop%5D=AND&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bq%5D%5B0%5D=&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bextras%5D%5Bmode%5D=input&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_698c4792c3dc7%5D%5Bop%5D=AND&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_698c4792c3dc7%5D%5Bq%5D%5B0%5D=levassor&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_698c4792c3dc7%5D%5Bextras%5D%5Bmode%5D=input&amp;arko_default_63f395e1547dd--from=0&amp;arko_default_63f395e1547dd--resultSize=50&amp;arko_default_63f395e1547dd--contenuIds%5B0%5D=838591&amp;arko_default_63f395e1547dd--modeRestit=arko_default_63f397c19a653#visionneuse-manual|/_recherche-api/visionneuse-infos/arko_default_63f395e1547dd/arko_fiche_64afdc541dd82/arko_default_63f47e41d68c8/image/700691|0|2 '''FR'''215695] du 21-08-'''1891''' : &quot;'''Perfectionnements aux moteurs à gaz'''&quot;.

'''1894''' - [https://archive.org/details/sancesdelasocit19physgoog/page/n104/mode/2up?q=arsonval '''Société Française de Physique''']: Pr d'Arsonval demonstrates that the Panhard &amp; Levassor petroleum engine is &quot;''the real engine applicable to road traction''&quot;. &lt;ref&gt;[https://archive.org/details/sancesdelasocit19physgoog/page/n104/mode/2up?q=panhard '''1894-03-02''' - '''Société française de physique''']: &quot;''M. d'Arsonval operates in front of the Company a petroleum engine built by the Panhard and Levassor Cy on the data of M. [[W:Gottlieb_Daimler|Daimler]].''&quot;&lt;/ref&gt;

'''1901-1905''' - A. d'ARSONVAL ayant prouvé que le [[w:benzol|benzol]] ne présentait pas de risque d'explosion dans un environnement confiné, la Marine commande des '''moteurs au benzol''' à A. C. KREBS pour ses sous-marins de la [[w:Classe Naïade|classe Naïade]] (voir infra).

'''1902''' - A. d'ARSONVAL prète son laboratoire au '''Collège de France''' à A. C. KREBS pour effectuer ses expériences sur son '''carburateur automatique'''.

'''1905''' - A. d'Arsonval présente à l'Académie des sciences la note d'A. C. KREBS sur son '''frein dynamométrique électrique''' (voir ci-dessus) permettant de mesurer précisément la puissance des moteurs à pétrole. &lt;ref&gt;'''1905-11-13'''  - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3095m/f757.item.r=krebs Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences]: ''MÉCANIQUE APPLIQUÉE. Sur un frein dynamométrique destiné à la mesure de la puissance des moteurs, qui permet l'utilisation, sous forme électrique, de la majeure partie du travail développé. Note de M. A. Krebs, presentée par M. d'Arsonval''. &lt;/ref&gt;

'''1905''' - A. C. KREBS a participé à des séances de spiritualisme scientifique organisées par l'académicien A. d'ARSONVAL dans le cadre de l' '''Institut Général de psychologie'''. &lt;ref&gt;'''1909''' - Séances de spiritualisme organisées par l'académicien Arsène d'Arsonval dans le cadre de l' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1909_Institut_g%C3%A9n%C3%A9ral_psychologique_-_Section_des_recherches_psychiques_et_physiologiques_%3D_Documents_sur_Eusapia_Palladino_avec_d%27Arsonval_Krebs_(1905)_Curie.pdf &quot;'''Institut général psychologique - Section des recherches psychiques et physiologiques'''&quot;].&lt;/ref&gt;

=== Le '''Rhéomètre''' de A. C. KREBS ===
'''Voir aussi''' : [[w:Rhéomètre|Rhéomètre]], [[w:Viscosimètre|Viscosimètre]], [[w:Rhéologie|Rhéologie]], [[w:Fluide (matière)|Fluide (matière)]]
&lt;gallery&gt;
File:1907-04-20 Génie-Civil - le rhéomètre de A. C. KREBS.jpg|''''1907''' - '''Le Génie Civil''' : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6488843c/f12.image.r=krebs &quot;''Appareil pour la mesure de l'écoulement des liquides''&quot;] (rhéomètre).
File:1909-01-15 La Technique Automobile - le voluliquimètre (rhéomètre) de Krebs.jpg|'''1909''' - '''La technique Automobile''' : &quot;''[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9804447s/f77.image.r=krebs Le voluliquimètre de Krebs]''&quot; (rhéomètre).
&lt;/gallery&gt;
'''1907''' - '''Communication à l'académie des Sciences''' de A. C. KREBS (cf. infra) : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_144%2C_1907.djvu&amp;page=747 &quot;''Appareil pour la mesure de l'écoulement des liquides''&quot;].

'''1909''' - '''La Technique automobile''' : &quot;''[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9804447s/f77.image.r=krebs Le voluliquimètre de Krebs]''&quot;.
=== A. C. KREBS et [[w:Ettore Bugatti|'''Ettore BUGATTI''']] ===
'''Catégories''' : [[commons:Category:Ettore Bugatti|'''''Ettore Bugatti''''']], [[commons:Category:Bugatti|'''''Bugatti''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Ettore Bugatti|Ettore Bugatti]]
&lt;br&gt;'''1913-01-24''' : '''Panhard &amp; Levassor board''' - &quot;Mr. Director [A. C. KREBS] reports '''on the visit he made to Mr. Bugatti in his factory''' in Molsheim [Alsace] where he was able to test the cars built by Mr. Bugatti and engines on dynamometric break. Mr. Director noticed different '''very interesting construction processes'''; However, he thinks that Mr. Bugatti, to achieve this result, '''makes the material work at its greatest limit of resistance''', which is contrary to the ways of proceeding in our company which always tend to keep a fairly large margin in the resistance of the metal&quot;.

=== Les '''véhicules militaires''' ===
Krebs utilized his former military membership to supply the French Army with engines and vehicles including the '''1904''' Genty [[w:Automitrailleuse|Automitrailleuse]], the '''1911''' Châtillon-Panhard 4x4 truck, the [[w:Saint-Chamond (char)|'''1916''' char Saint-Chamond]], and others.

==== Les automobiles à Madagascar pour le '''Général Galliéni''' ====
'''Catégories''' : [[commons:Category:Joseph Gallieni|'''''Joseph Gallieni''''']], [[commons:Category:French Madagascar|'''''French Madagascar''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Joseph Gallieni|Joseph Gallieni]]
&lt;br&gt;'''1899''' - General Gallieni, governor of Madagascar, brought three Panhard &amp; Levassor cars from Paris, two 12hp cars and one 6hp car. &lt;ref&gt;'''1908''' - Neuf ans à Madagascar (General Galliéni) : &quot;''[https://archive.org/details/neufansmadagas00gall/page/170/mode/2up?q=panhard Le premier essai d'automobilisme en pays malgache]'' [...] ''Une voiturette six-chevaux et deux voitures douze-chevaux Panhard-Levassor, essayées sur les deux routes de Tamatave et de Majunga, donnèrent [https://archive.org/details/neufansmadagas00gall/page/n371/mode/2up?q=panhard des résultats aussi satisfaisants que je pouvais l'espérer]''&quot;. &lt;/ref&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Gallieni.jpg|'''1897''' - '''Gallieni''' (1849-1916) (seated) and his staff in Madagascar: Hubert '''Lyautey''' (left) and Jean-Noël '''Savelli''' (center).

File:1900 - Panhard &amp; Levassor - Construction d'une route avec une rampe à 15% à Madagascar.jpg|'''1900''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5687124k/f2.item '''Construction of a road'''] with a 15% ramp in Madagascar.

File:1900 - Panhard &amp; Levassor - Arrivée des officiels à Tananarive.jpg|'''1900''' - Arrival of General Galliéni in Tananarive with the '''6cv Panhard &amp; Levassor'''.

File:1901 - Panhard &amp; Levassor sur la route de l'est.jpg|'''1901''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k104768j/f80.image.r=panhard '''Panhard &amp; Levassor 12hp car'''] supplied by A. C. KREBS to General Galliéni on the eastern route.

File:1902 - Panhard &amp; Levassor - Personnel et matériel à Madagascar.jpg|'''1902''' - [https://archive.org/details/sim_industrial-management-1916_engineering-magazine_1905-03_28_6/page/910/mode/2up?q=panhard '''Panhard &amp; Levassor vehicles'''] supplied by A. C. KREBS to General Galliéni in Madagascar.

File:1902 - Panhard &amp; Levassor - Service de la Poste à Madagascar.jpg|'''1902''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5737277x/f119.image.r=panhard Postal service in Madagascar] with a '''Panhard &amp; Levassor break 15hp adapted to high temperatures'''.
&lt;/gallery&gt;
==== Les moteurs pour '''les dirigeables [[w:Lebaudy Frères|Lebaudy]]''' &amp; [[w:Société Astra|Astra]] ====
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Lebaudy airships|'''''Lebaudy airships''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Lebaudy Frères|Lebaudy Frères]]
A. C. KREBS built all the '''engines for Lebaudy military airships'''.
&lt;gallery&gt;

File:Lebaudy airship RAE-O426.jpg|'''1910''' - The Lebaudy airship [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k65639070/f565.image &quot;'''''Morning Post '''''&quot;], with '''2 Panhard &amp; Levassor engines''', in flight.

File:1968 Chitty-Chitty-Bang-Bang dirigible inspired by the French Lebaudy dirigible.pdf|'''1968''' - '''A. C. KREBS''' will provide all the '''Panhard &amp; Levassor engines''' for the '''Lebaudy-type french military airships'''.
&lt;/gallery&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;

|-

! Year       !! Airship !! Comments

|- 

| '''1905''' || '''Jaune III''' || '''Lebaudy''', 2950m3, '''50HP Panhard &amp; Levassor''', 33km/h

|- 

| '''1906''' || '''Jaune IV''' || '''Lebaudy''', 3300m3, '''50HP Panhard &amp; Levassor''', 36km/h

|- 

| '''1906''' || [[w:Patrie (dirigeable)|'''Patrie''']] || '''Lebaudy''', 61m, 10m30 diam., 3250m3, '''70HP Panhard &amp; Levassor''', 41km/h

|- 

| '''1908''' || [[w:République (dirigeable)|'''République''']] || '''Lebaudy''', 61m, 10m80 diam., 3700m3, '''70HP Panhard &amp; Levassor''', 42km/h

|- 

| '''1909''' || '''Russie''' || '''Lebaudy''', 61m, 10m80 diam., 3700m3, '''70HP Panhard &amp; Levassor'''

|- 

| '''1909''' || '''Liberté''' || '''Lebaudy''', 65m80, 11m45 diam., 4600m3, '''120HP Panhard &amp; Levassor''', 41km/h

|- 

| '''1909''' || '''Colonel Renard''' || '''Astra''', 65m50, 10m80 diam., 4200m3, '''120HP  Panhard &amp; Levassor''', 38km/h

|- 

| '''1909''' || '''España''' || '''Astra''', 65m50, 12m66 diam., 4200m3, '''120HP Panhard &amp; Levassor''', 40km/h

|- 

| '''1910''' || [[w:Lebaudy Morning Post|'''Morning Post''']] || '''Lebaudy''', 103m, 12m diam., 10000m3, '''2x135HP Panhard &amp; Levassor'''

|- 

| '''1910''' || '''Lebedi''' || '''Lebaudy''', 61m, 11m diam., 3700m3, '''2x70HP Panhard &amp; Levassor'''

|- 
| '''1911''' || '''Capitaine Marchal''' || '''Lebaudy''', 85m, 12m80 diam., 7200m3, '''2x70HP Panhard &amp; Levassor''', 45km/h

|- 

| '''1911''' || '''Lieutenant Selle de Beauchamp''' || '''Lebaudy''', 89m, 14m60 diam., 10000m3, '''2x80HP Panhard &amp; Levassor''', 45km/h

|- 

| '''1912''' || '''Adjudant Réau''' || '''Astra''', 80m, 14m diam., 88500m3, '''2x110HP Panhard &amp; Levassor''', 50km/h

|- 

| '''1912''' || '''Lieutenant Chauré''' || '''Astra''', 80m, 14m diam., 88500m3, '''2x110HP Panhard &amp; Levassor''', 50km/h

|-

|}

==== Les moteurs pour '''sous-marins''' au benzol ====
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Naiade class submarine (1903)|Naiade class submarine (1903)]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Classe Naïade|Classe Naïade]]
&lt;br&gt;A. C. KREBS built all the engines for the '''Naïade class submarines'''.
&lt;gallery&gt;
File:Sous-marin Thon.JPG|'''1908''' - Naïade-class submarine '''Thon'''.
&lt;/gallery&gt;
'''1901-1905''' - A. d'ARSONVAL having proved that [[w:benzol|benzol]] presented no risk of explosion in a confined environment, the French navy ordered '''benzol engines''' from A. C. KREBS for its [[w:Classe Naïade|Classe Naïade]] sous-marins.
{| class=&quot;wikitable nowraplinks&quot;
|+ '''''Naïade''-class submarines equiped with Panhard &amp; Levassor benzol engines'''
! Name !! Pennant number !! Namesake !! Builder !! Launched !! Comments
|-
| [[w:Alose (sous-marin)|Alose]] || Q33 || &quot;[[w:Shad]]&quot; || [[w:Arsenal de Toulon]] || 12 October 1904 || [[w:Navy List|Stricken]] May 1914; preserved as museum ship
|-
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/Anguille_(1904) Anguille] || Q32 || &quot;[[w:Eel]]&quot; || Arsenal de Toulon || 8 August 1904 || Stricken May 1914 
|-
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/Bonite_(1904) Bonite] || Q19 || &quot;[[w:Bonito]]&quot; || Arsenal de Toulon || 6 February 1904 || Stricken May 1914 
|-
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/Castor_(1903) Castor] || Q26 || &quot;[[w:Castor (genus)|Beaver]]&quot; || [[w:Arsenal de Rochefort]] || 5 November 1903 || Stricken May 1914   
|-
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/Dorade_(1903) Dorade] || Q22 || &quot;[[w:Dolphinfish|Dorado]]&quot; || Arsenal de Toulon || 5 November 1903 || Stricken May 1914 
|-
|  [https://pl.wikipedia.org/wiki/Esturgeon_(1904) Esturgeon] || Q18 || &quot;[[w:Sturgeon]]&quot; || Arsenal de Toulon || 8 January 1904 || Stricken 1912 
|-
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/Grondin_(1904) Grondin] || Q31 || &quot;[[w:Sea robin|Gurnard]]&quot; || Arsenal de Toulon || 15 July 1904 || Stricken 1913  
|-
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/Loutre_(1903) Loutre] || Q25 || &quot;[[w:Otter]]&quot; || Arsenal de Rochefort || 25 August 1903 || Stricken May 1914  
|-
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/Ludion_(1904) Ludion] || Q24 || &quot;[[w:Cartesian diver|Diver]]&quot; || Arsenal de Toulon || 18 March 1904 || Stricken May 1914   
|-
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/Lynx_(1903) Lynx] || Q23 || &quot;[[w:Lynx]]&quot; || [[w:Arsenal de Cherbourg]] || 24 November 1903 || Stricken May 1914  
|-
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9duse_(1904) Méduse] || Q29 || &quot;[[w:Medusa (biology)|Jellyfish]]&quot; || Arsenal de Rochefort || 15 June 1904 || Stricken May 1914  
|-
| [[w:Naïade (1904)|Naïade]] || Q15 || &quot;[[w:Naiad]]&quot; || Arsenal de Cherbourg || 20 February 1904 || Stricken May 1914 
|-
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/Otarie_(1904) Otarie] || Q28 || &quot;[[w:Sea lion|Sealion]]&quot; || Arsenal de Rochefort || 16 April 1904 || Stricken May 1914  
|-
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/Oursin_(1904) Oursin] || Q30 || &quot;[[w:Sea urchin|Urchin]]&quot; || Arsenal de Rochefort || 26 September 1904 || Stricken May 1914   
|-
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/Perle_(1903) Perle]|| Q17 || &quot;[[w:Pearl]]&quot; || Arsenal de Toulon || 1 November 1903 || Stricken May 1914 
|-
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/Phoque_(1904) Phoque] || Q27 || &quot;[[w:Pinniped|Seal]]&quot; || Arsenal de Rochefort || 16 March 1904 || Stricken May 1914 
|-
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/Prot%C3%A9e_(1903) Protée] || Q16 || &quot;[[w:Proteus]]&quot; || Arsenal de Cherbourg || 8 October 1903 || Stricken May 1914   
|-
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/Souffleur_(1903) Souffleur] || Q21 || &quot;[[Common bottlenose dolphin|Dolphin]]&quot; (lit. &quot;Blower&quot;) || Arsenal de Toulon || 20 April 1903 || Stricken May 1914   
|-
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/Thon_(1904) Thon] || Q20 || &quot;[[w:Tuna]]&quot; || Arsenal de Toulon || 18 March 1904 || Stricken May 1914 
|-
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/Truite_(1905) Truite] || Q34 || &quot;[[w:Trout]]&quot; || Arsenal de Toulon || 14 April 1905 || Stricken May 1914 
|-
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/X_(1904) X (Dauphin)]|| Q35 || &quot;[[w:Dolphin]]&quot; || Arsenal de Toulon || 15 November 1904 || '''First french submarine equipped with two propellers'''. Stricken May 1914 
|-
|}

==== L'automitrailleuse '''Genty''' pour le '''Général Lyautey''' au Maroc ====
'''Catégories''' : [[commons:Category:Panhard-Genty 24 HP|Panhard-Genty 24 HP]], [[commons:Category:Henri Genty|Henri Genty]], [[commons:Category:Automitrailleuse|Automitrailleuse]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Automitrailleuse|Automitrailleuse]]
&lt;br&gt;A. C. KREBS construit les automitrailleuses Genty.
&lt;gallery&gt;
File:De la Touloubre (au volant d'une Bayard-Clément) - btv1b53225700r.jpg|'''1906''' - '''Henri Genty De la Touloubre''' racing driver on Bayard-Clément.

File:Иллюстрация к статье «Автомобиль». Фиг. № 8. Военная энциклопедия Сытина. Том 1 (СПб., 1911—1915).jpg|'''1906''' - [[W:Panhard-Genty_24_HP|The Panhard 24 HP Automitrailleuse]] '''built by A. C. KREBS''' at the Panhard &amp; Levassor factory '''as a former officer'''.

File:1907-12-21 - La Vie Au Grand Air - auto-mitrailleuse Panhard &amp; Levassor du Cap. Genty.jpg| '''1907''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k97968382/f9.image.r=genty La Vie Au Grand Air] - '''Panhard &amp; Levassor Automitrailleuse of Cap. Genty''' in operation '''in Morocco'''.

File:1907 - Général Lyautey - Commandant général d'Algérie.png|'''1907''' - '''[[w:Hubert Lyautey|General Lyautey]]''' (1854-1934) : General Commander of [[w:Algérie française|Algerie]].

File:Photos-General-Dalbiez-Boite-4-008.jpg|'''1912-07''' - Appointed Resident General of Morocco  '''General Lyautey''' visited Fez and Meknes with the '''Genty automobile'''.

File:Lyautey reaches Marrakesh in armored car (1912, Le Petit Journal).jpg|'''1912-10''' - &quot;'''General Lyautey''' went to Marrakech in '''an auto-machine gun'''&quot;.
&lt;/gallery&gt;
'''1913''' - [https://armoredcars-ww-one.blogspot.com/2012/04/panhard-genty-machine-gun-car.html L'automitrailleuse Panhard-Genty]: &quot;''Modification de '''1912''' sur le modèle Panhard 24 HP '''1907'''.''&quot;

Une [[W:Panhard-Genty_24_HP|Panhard 24 HP]] fut acquise par le ministère de la Guerre en '''1904''' afin d'expérimenter les capacités militaires des automobiles, notamment pour la reconnaissance. Suite aux manœuvres militaires de septembre '''1905''', Le [[c:Category:Henri_Genty|Capitaine Genty]] fut autorisé à installer des affûts de mitrailleuses sur la Panhard 24 HP, dont il était le pilote. Après transformation en '''1906''', la Panhard 24 HP fut envoyée en décembre '''1907''' au Maroc et mise en service à la frontière algéro-marocaine. Le général Maurice Bailloud, du 19e corps d'armée algérien, réclama de nouveaux véhicules. Des voitures [[w:Adolphe_Clément-Bayard|Clément-Bayard]] furent expédiées en '''1908''' et '''1910''', mais se révélèrent inadaptées. '''Trois Panhard 24 HP''' furent alors livrées à nouveau en '''1912'''.

En '''1903''', Le [[c:Category:Henri_Genty|Capitaine Genty]] proposa, conjointement avec A. C. KREBS, de modifier un châssis Panhard &amp; Levassor pour en faire '''une automitrailleuse opérationnelle'''.

Il surélève la garde au sol du châssis de 32 cm grâce à des ressorts de 0,90 m à l'avant et de 1,30 m à l'arrière. L'essence est répartie dans deux réservoirs cylindriques indépendants de 45 litres formant les sièges, offrant une autonomie de 400 km sur route en bon état et de 250 km sur route en mauvais état.

Le moteur de 35 ch permet au véhicule d'atteindre 65 km/h en vitesse de pointe. Il est équipé d'un carburateur automatique Krebs, d'un double allumage (batterie et magnéto), d'une lubrification automatique, d'un refroidissement par pompe et radiateur avec réservoir isolé, d'un échappement libre &quot;à la demande&quot;, d'un embrayage à cône de cuir, d'une boîte de vitesses à baladeur et d'une transmission par chaîne.

La direction est irréversible, avec un angle de braquage de 25°. Le freinage est assuré par des freins à mâchoires sur le différentiel et des freins à ruban sur les roues arrière. Les roues sont équipées de jantes démontables, système Michelin, permettant un changement de pneu en 4 minutes maximum. Le risque de crevaison est réduit grâce au choix de pneus 920 x 120 à semelle renforcée, résistants aux pierres et aux épines. Deux roues de secours sont fixées à droite du véhicule.

L'armement du véhicule comprenait '''2 mitrailleuses Hotchkiss''' : une sur son affût et une de rechange sur ses supports, à droite du véhicule. La mitrailleuse utilisée pouvait être placée sur l'un des deux supports situés à l'arrière et au centre du véhicule. Les munitions étaient réparties dans neuf caisses d'une capacité totale de '''20.000 cartouches''', dont 3.600 dans les coffres du véhicule.
==== Le tracteur d'artillerie '''Châtillon-Panhard''' ====
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Tracteur Panhard-Châtillon|'''''Tracteur Châtillon-Panhard''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Châtillon-Panhard|Châtillon-Panhard]]
&lt;br&gt;En '''1911''' - A. C. KREBS conçoit, conjointement avec la Sté Chatillon, un '''véhicule tout terrain''' à quatre roues motrices et directrices [&quot;'''''à adhérence totale'''''&quot;, '''avec un seul différentiel'''. Ce camion destiné à des fins militaires et civiles, a été utilisé pendant la Première Guerre mondiale comme '''tracteur d'artillerie'''.

&lt;gallery&gt;
File:Artillery Tractor Chatillon-Panhard 1914.jpg|Le  [[w:Châtillon-Panhard|'''tracteur d'artillerie Châtillon-Panhard''' à quatre roues motrices et directrices]].

File:1913 Tracteur-Chatillon-Panhard=plans.jpg|'''1911''' - Le [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6470719m/f282.image '''tracteur  4X4 Châtillon-Panhard''' à &quot;adhérence totale&quot;]. &lt;ref&gt;'''1914''' - '''The Field Artillery Journal''' : [https://archive.org/details/sim_field-artillery_october-december-1914_4_4/page/526/mode/2up?q=%22chatillon-panhard%22 &quot;The Châtillon-Panhard traction-motor of total adhesion&quot;], par le Commandant L. Ferrus.&lt;/ref&gt;

File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 109|'''1913''' - La &quot;'''''transmission à vis'''''&quot; du Châtillon-Panhard.

File:1914-1918 Tracteur-Chatillon-Panhard - Artillerie lourde, un groupe de 120 long.ogg|'''Video''' : '''1916''' - Tracteur Châtillon-Panhard : [https://imagesdefense.gouv.fr/fr/artillerie-lourde-un-groupe-de-120-long-a-tracteur.html# &quot;'''''Artillerie lourde, un groupe de 120 long'''''&quot;].

File:WWI French army Panhard truck.jpg|'''1916''' - '''Tracteur d'artillerie Châtillon-Panhard''' : 35HP K11.

File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 16|'''1917''' - Tracteur Châtillon-Panhard : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6470719m/f313.image.r=panhard# &quot;'''''Transmission par vis sans fin et engrenages coniques'''''&quot;].
&lt;/gallery&gt;

==== Le char '''Saint-Chamond''' ====
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Saint_Chamond_tank|'''''Char Saint-Chamond''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Saint-Chamond (char)|Saint-Chamond (char)]]
&lt;br&gt;A. C. KREBS construit les moteurs sans soupapes des chars Saint-Chamond.
&lt;gallery&gt;
File:1916 Artillerie St-Chamond Règlement de manœuvre - gravure.jpg|'''1916''' - Le '''Char Saint-Chamond''' à [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k65523451/f13.item.r=Artillerie%20St-Chamond  '''moteur Panhard &amp; Levassor sans-soupape'''].

File:1914-1918 - P&amp;L- Char-Saint-Chamond.pdf|'''1916-1918''' - Le [[w:Saint-Chamond (char)|'''Char Saint-Chamond''']] à [https://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:1914-1918_-_P%26L-_Char-Saint-Chamond.pdf moteur '''Panhard &amp; Levassor'''].

File:St. Chamond.jpg|'''1917''' ~ '''chars St. Chamond''' à l'exercice.
&lt;/gallery&gt;

==== Les '''treuils de ballons captifs''' à moteurs à essence ====
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Tethered balloons|'''''Ballons captifs''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Ballon captif|Ballon captif]]
&lt;br&gt;'''1916''' - A. C. Krebs transpose son treuil à vapeur hippomobile de '''1882''' sur ses camions Panhard &amp; Levassor, en ajoutant un bloc-moteur et un poste de manœuvre du ballon afin de permettre au dispositif de rester opérationnel au cours du déplacement. &lt;ref name=treuil-Krebs/&gt;
&lt;ref name=treuil-Krebs&gt;. '''1921''' -  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6555734j/f22.item.r=panhard# '''Treuils de ballons captifs'''] : toutes les variantes de treuils basées sur le système Krebs de touage à 2 tambours parallèles. [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6555735z/f45.image.r=treuil (Suite)].&lt;/ref&gt;

'''1921''' - &quot;''Avant la guerre il était couramment admis que, seule la machine à vapeur possédait l'élasticité de puissance nécessaire pour manœuvrer un ballon captif''.&quot; &lt;ref name=treuil-Krebs/&gt;
&lt;gallery&gt;
File:1916 - Poste d'aérostation=Treuil A. C.KREBS à vapeur modèle 1882.jpg|'''1916''' - Poste d'aérostation : [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1914-1918_-_A.C.KREBS_-_Treuil_%C3%A0_vapeur.pdf '''Le '''treuil à vapeur système KREBS 1882 en opération'''] en France (voir supra).

File:Aérostation - la voiture-treuil permettant de monter et descendre le ballon captif, avec le générateur d'hydrogène pour le gonfler - Marasesti - Médiathèque de l'architecture et du patrimoine - AP62T122957.jpg|'''1917''' - Le '''treuil à vapeur système KREBS 1882''' (voir supra) '''en opération en Roumanie'''.

File:1916-07-24 Près de La Neuville-au-Pont=un camion treuil Panhard K19 SS camouflé de l'aérostation sort de son abri=treuil Krebs.jpg|'''1916''' - Près de La Neuville-au-Pont, un '''camion treuil''' d'aérostation ('''treuil système KREBS''') '''PANHARD K19 SS''' camouflé, sort de son abri.

File:1916 Treuil d'aérostation KREBS modèle 1882 sur camion T4 RKV de P&amp;L.jpg|'''1916''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1914-1918_-_A.C.KREBS_-_Treuil_Panhard_%26_Levassor.pdf '''Treuil d'aérostation''' KREBS modèle 1882 à essence adapté  par lui-même] sur son camion T4 RKV '''Panhard &amp; Levassor'''.

File:1916 Treuil d'aérostation KREBS modèle 1882 sur camion T4 RKV de P&amp;L en opération.png|'''1916''' - '''Treuil d'aérostation''' KREBS modèle 1882 à essence '''sur son camion T4 RKV Panhard &amp; Levassor''' en operation.
&lt;/gallery&gt;
==== La '''locomotive automotrice''' Leroux ====   
'''Voir aussi''' : [[w:Crochat|Crochat]]
&lt;br&gt;A. C. KREBS poursuit l'orientation initiée par Levassor vers '''le petit matériel ferroviaire''' dès '''1896'''.
&lt;br&gt;'''1898''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5711501d/f6.item '''Notes sur les voitures automobile'''] : Le &quot;''camion à marchandises''&quot;, et l' &quot;''automobile postale du Nord''&quot; avec son schéma.
&lt;br&gt;'''1913''' - A. C. KREBS construit la [https://www.musee-du-genie-angers.fr/fpdb/202922-42-locotracteurblindecrochattypelc81916.pdf '''locomotive automotrice pétroléo-électrique'''] Leroux destinée au ministère de la guerre : moteur de 150 cv et transmission électrique. &lt;ref&gt;'''1913''' - '''Comité de direction P&amp;L''' - '''1913-13-01''' - &lt;small&gt;&quot;''Monsieur Krebs donne connaissance d’un projet de contrat entre la Sté P&amp;L et M. Leroux de Valenciennes pour la construction de locomotives automotrices. Les clauses de ce projet de contrat sont analogues à celles du projet de contrat relatif aux accumulateurs Edison''&quot;. '''1913-12-22''' - &quot;''La locomotive pour la Guerre étudiée avec le concours de M. Leroux (agent Fives) est commandée. Cette locomotive doit être livrée le 22 juin. On prendra, pour arriver à faire la livraison en temps voulu, l’un des moteurs [de canot de course] de 150 chevaux en construction pour M. Despujols. Malicet et Blin pourrait se charger de la taille des engrenages de la boîte''&quot;. 
'''1914-05-12''' - '''État de Production''' : &quot;''Locomotive BT4N²-BT4 -  Commande des ventilateurs de radiateurs avec débrayage automatique. Boîte BT4 - Dessins d’exécution terminés. BT4N² - Hausse pour essai du moteur sur VIMA. BS3-4MF - Groupe électrogène dynamo [https://fr.wikipedia.org/wiki/Compagnie_fran%C3%A7aise_pour_l'exploitation_des_proc%C3%A9d%C3%A9s_Thomson-Houston Thomson Houston]''&quot;. '''1914-07-22''' - &quot;''M. Leroux nous demande de presser la construction des locomotives militaires. Il aurait voulu voir devancer la date de livraison en vue des manoeuvres d’Epinal.''&quot; [...] &quot;''On nous demande de faire des propositions pour une automotrice pour voie de 0,60 m pour le Maroc. Le prix de revient d’une pareille automotrice serait de 15.629 frs. Nous demanderons 20.000 frs. Nous n’avons pas un grand intérêt à nous lancer dans cette voie nouvelle''&quot;.&lt;/small&gt;
&lt;/ref&gt;
&lt;gallery&gt;
File:1899 - Panhard &amp; Levassor - catalogue avec bateau, draisine postale et tramway.pdf|page 42|'''1897''' - La '''draisine postale''' P&amp;L pour la [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5527474m/f5.item Compagnie du chemin de fer du Nord].

File:1899_-_Panhard_%26_Levassor_-_catalogue_avec_bateau,_draisine_postale_et_tramway.pdf|page 41|'''1899''' - '''Tramway à 24 places''' de Panhard &amp; Levassor.

File:1901-01-19 - Scientific-American-v84-n03 - la draisine à pétrole Panhard &amp; Levassor.png|'''1901''' - Une '''draisine postale à pétrole''' conçue par A. C. KREBS.

File:Crochat Type L.jpg|'''1913''' - Cette [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6244610g/f49# '''locomotive Crochat'''] est de la même année et de la même technologie que la '''locomotive Leroux''' à transmission électrique construite par A. C. KREBS.


File:Panhard Levassor rail motor no. 14.tif|'''1918''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:StateLibQld_2_78638_Viscount_Chelmsford_joins_the_Automobile_Club%27s_day_out,_9_May_1908.jpg  Une voiture Panhard &amp; Levassor 24HP de 1908] est transformée en '''véhicule ferroviaire''' pour le transport de personnes et de marchandises sur la ligne [https://collections.qm.qld.gov.au/objects/RM11530/panhard-railmotor-rm-14 Normanton-Croydon en northern Queensland] ('''[[w:Australie|Australie]]''') jusqu'en '''1929'''.
&lt;/gallery&gt;
== '''Aujourd'hui : ce que nous devons à Arthur Constantin KREBS''' ==
:{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| '''Le débitmètre diifférentiel à flotteur'''
|-
| '''Le retour du volant quand on le lâche dans un virage'''
|-
| '''L'insensibilité du volant aux chocs de la route'''
|-
| '''Les joints élastiques FLECTOR à membrane ou à pneu'''
|-
| '''Le gyrocompas marin'''
|-
| '''Le péricope pour sous-marin'''
|-
| '''Le régulateur d'allure'''
|-
| '''Le ralenti'''
|-
| '''L'accélation continue du régime et de la puissance du moteur'''
|-
| '''Le radiateur devant le moteur à l'avant'''
|-
| '''Le couplemètre électrodynamométrique sur bâti oscillant'''
|-
| '''Boîte de vitesses à train baladeur'''
|-
| '''Emplacement des pédales'''
|-
| '''Levier de changement de vitesse et de marche'''
|-
| '''Chassis en bois armé'''
|-
| '''Roues en bois'''
|-
| '''Roues d'artillerie'''
|-
| '''Freins à mâchoires'''
|-
| '''Joints élastiques'''
|-
|}


== '''Gestionnaire de grands projets technologiques (1876-1916)''' ==
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Panhard &amp; Levassor|'''''Panhard &amp; Levassor''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [https://de.wikipedia.org/wiki/Panhard_%26_Levassor Panhard &amp; Levassor] (Deutsch),  [https://de.wikipedia.org/wiki/Kategorie:Panhard%26Levassor-Pkw liste des types].
&lt;br&gt;'''1871''' - &quot;''Après la guerre, j'ai été détaché à l'école de Saint-Cyr, où je suis resté un an ''[18 mois]'' pour compléter mon éducation militaire. Depuis lors, je me suis continuellement occupé de questions mécaniques et '''je me suis consacré à des études me permettant de me former en tant qu'ingénieur, par mes propres efforts, en me tenant au courant des nouveaux développements dans les arts mécaniques'''.''&quot; &lt;ref&gt; '''1906''' - [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1906_Arthur_Constantin_KREBS_testimony_during_the_Selden_case_(annotated_transcript).pdf&amp;page=11 Témoignage de A. C. KREBS au procès Selden] : &quot;''After the war I was transferred to St. Cyr School, where I remained for one year in order to complete my military education.  Since then I have continually been occupied with mechanical matters, and I applied myself to studies to equip myself as engineer,  by my own efforts, keeping myself in close touch with new developments in the mechanical arts''.&quot;&lt;/ref&gt;

'''1877''' - '''A. C. KREBS (27 ans)''' à '''Ch. Renard (30 ans)''' : &quot;''Il faut que nous causions absolument au sujet du moteur. Il y a plusieurs difficultés pratiques déjà tentées par des prédécesseurs et auxquelles il ne faut pas perdre notre temps'' [...]&quot;. &lt;ref&gt;'''Fin 1877''' - '''A. C. KREBS''' à '''Ch. Renard''' : &lt;small&gt;&quot;''Mon cher capitaine, Venez demain à Poissy ''[où stationne le régiment de A. C. KREBS]'' dans la soirée dîner avec moi, parce qu'il faut que nous causions absolument au sujet du moteur. '''Il y a plusieurs difficultés pratiques déjà tentées par des prédécesseurs et auxquelles il ne faut pas perdre notre temps'''. C’est pourquoi, si vous pouviez venir demain, nous arrêterions définitivement la forme du moteur à exécuter immédiatement, puis les études seront poursuivies ensuite. J’ai complètement fini la chaudière. Je vous ferai voir les tentatives et les résultats des derniers essais, soit de distribution, soit de dispositifs de machines, et '''les avantages et inconvénients''' qui en résultent. Ceci est très important à savoir '''pour ne pas recommencer inutilement des choses déjà faites'''. C’est surtout comme distribution par robinet que l’on est exposé à des consommations de vapeur énormes ou à des usures prématurées. Pour moi, en ce moment, l’idéal comme machine est celle fonctionnant avec une vapeur légèrement surchauffée pour éviter à l’intérieur du cylindre toute espèce de condensation et obtenir ainsi une économie de combustible. Il ne faudrait pas dépasser, comme température, 200°. On aurait à craindre aucun grippement, et '''en équilibrant par des ressorts les masses en mouvement on pourrait atteindre de grandes vitesses de rotation, en faisant vibrer pour ainsi dire à l’unissons toutes les pièces en mouvement'''. Enfin, à demain. Tout à vous. Venez avec de la Haye.''&quot;&lt;/small&gt;&lt;/ref&gt;

'''1888-04-17''' - '''A. C. KREBS''' : &quot;''La réussite en pareille matière
dépend en grande partie des rapports qui existent entre toutes les dimensions et grandeurs des éléments qui sont réunis.''&quot;

'''1902-02''' - '''Automobile Magazine''' : &quot;''L'attitude du constructeur britannique a en effet été bien décrite comme celle d'un '''marché aux portes de Panhard''', une position également avantageuse pour le constructeur américain''.&quot; &lt;ref&gt;'''1902-02''' - '''Automobile Magazine''' : ''Indeed the attitude of the British maker has been well described as [https://archive.org/details/sim_automobile-magazine_1902-02_4_2/page/n3/mode/2up?q=panhard 'sitting on '''Panhard''''s doorstep'], a good place also for the American maker''&quot;.&lt;/ref&gt;

'''1902-04''' - '''Automobile Magazine''' : &quot;''L'automobile française est le fruit d'une longue expérimentation et d'une réflexion approfondie consacrée à chaque pièce, de l'axe, du boulon de blocage et de la rondelle, jusqu'au moulage du cylindre et aux segments de piston''&quot;. &lt;ref&gt;'''1902-04''' - '''Automobile Magazine''' : [https://archive.org/details/sim_automobile-magazine_1902-04_4_4/page/320/mode/2up?q=panhard &quot;''Le soin du travail français''&quot;] By C. R. Mabley.&lt;/ref&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Commemorative portrait of balloonists Charles Renard, Dupuy de Lôme, and Arthur Krebs, inventors and military officers who were charged with developing a navigable balloon during the Siege of Paris LCCN2002724814.tif|'''Portait commémoratif''' des aéronautes '''Ch. Renard''', '''H. Dupuy de Lôme''' et '''A. C. Krebs''', inventeurs et officiers qui ont collaboré au premier vol pleinement contrôlé le '''9 août 1884''' à Chalais-Meudon près de Paris.

File:1886 Renard &amp; Krebs plan du parc aérostatique de Chalais-Meudon.jpg |'''1886''' - Renard &amp; Krebs : plan du [[W:Chalais-Meudon|'''Parc de recherche aérostatique de Chalais-Meudon''']].

1889-02-28 Pompiers PP-DB273 Comite-Perfectionnement=carte des 24 périmètres d'intervention prévus dans le plan KREBS de réorganisation des secours contre l'incendie à Paris.png|'''1889''' - Comité de perfectionnement des Pompiers de Paris : carte des '''24 périmètres d'intervention''' prévus dans le '''plan KREBS de réorganisation des secours contre l'incendie à Paris'''.

File:1900~Pompiers depart-attele.jpg| '''1895''' - '''Pompiers de Paris''' : Le départ attelé de la réorganisation de A. C. KREBS avec la '''pompe à vapeur Durenne &amp; Krebs''' (modèle 1888) visible en arrière plan.

File:1895 - Les sous-marins Gymnote et Gustave Zédé en cale sèche à Toulon (France).jpg|'''1895''' - Après le succès du sous-marin expérimental &quot;'''''Gymnote'''''&quot; (à gauche), le grand sous-marin &quot;'''''Gustave Zédé'''''&quot; (à droite) est construit par la Marine française.

File:1895 - Panhard &amp; Levassor - 'The first Petrol car introduced into England' by Hon. Evelyn Ellis.png|'''1895''' - Panhard &amp; Levassor - &quot;'''''La première voiture à essence introduite en Angleterre'''''&quot; par l'honorable Evelyn Ellis. &lt;ref&gt;'''1902''' - [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AMotors_and_motor-driving_(IA_motorsmotordrivi00nortiala).pdf&amp;page=45 Motors and motor-driving]:  &quot;'''''The first Petrol car introduced into England&quot;, the Hon. Evelyn Ellis's 4HP Panhard &amp; Levassor Car'''''&quot;.&lt;/ref&gt;

File:1896-09-03 rencontre Levassor-Krebs=prise de licence sur le brevet Krebs.pdf |'''1896-09-03''' - Lettre de prise de licence de '''Émile LEVASSOR''' adressée à Arthur C. KREBS pour son brevet d'automobile '''FR'''256344.

File:Panhard &amp; Levassor catalogue 1896-7.pdf|'''1897''' - catalogue des voitures [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Panhard_%26_Levassor_catalogue_1896-7.pdf '''Panhard &amp; Levassor'''].

File:Automotive diagrams 01 En.png|'''1898''' - A. C. KREBS complète le &quot;[[W:Moteur_%C3%A0_l%27avant_et_roues_arri%C3%A8re_motrices|'''système panhard''']]&quot;.

File:1898-04-16 - La France Automobile - 'The first car in Japan'.pdf|'''1898''' - La France Automobile : '''''[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%97%A5%E6%9C%AC%E3%81%B8%E3%81%AE%E8%87%AA%E5%8B%95%E8%BB%8A%E3%81%AE%E6%B8%A1%E6%9D%A5 La première voiture à pétrole au Japon]''''', une Panhard &amp; Levassor type M2E, n°941, livrée le 11-08-'''1897'''.

File:Panhard &amp; Levassor catalogue 1898.pdf|'''1898''' - Catalogue des [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Panhard_%26_Levassor_catalogue_1898.pdf voitures '''Panhard &amp; Levassor'''] alors que A.C. KREBS dirige la société.

File:1898-Panhard race car=The first car in Britain fitted with wheel steering.png |'''1898''' - La '''voiture de course Paris-Amsterdam-Paris''' Panhard &amp; Levassor 6HP exportée de France par Henry Rolls : &quot;'''''Première voiture en Grande-Bretagne équipée d'un volant'''''&quot;. &lt;ref name=Rolls /&gt;

File:1899_-_Panhard_%26_Levassor_-_catalogue_avec_bateau,_draisine_postale_et_tramway.pdf|'''1899''' - Catalogue des voitures Panhard &amp; Levassor avec '''bateau''', '''draisine postale''' et '''tramway'''.

File:1899-10 - Horseless age - Steinway Daimler-Panhard Phenix advertisement.png|'''1899''' - [https://en.wikipedia.org/wiki/William_Steinway#Daimler_cars '''Steinway'''] : publicité '''Daimler-Panhard Phénix''' : &quot;'''''Le standard automobile mondial'''''&quot;.

File:Les usines Panhard d'Ivry en 1900.jpg |'''1900-05-27''' - La Vie au Grand Air: &quot;'''les usines Panhard'''&quot;.

File:1900 VCP=1° en Espagne (PM-1 + PM-2 + PM-5).jpg|'''1900''' - La [https://en.wikipedia.org/wiki/Cl%C3%A9ment-Panhard '''Voiture Clément-Panhard (VCP)'''] est la 1ère voiture à pétrole à  [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1900_VCP%3D1%C2%B0_en_Espagne_(PM-1_%2B_PM-2_%2B_PM-5).jpg Palma de Majorque], au [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Santa_Casa_de_Miseric%C3%B3rdia_Salvador_Bahia_VCP_Voiture_Cl%C3%A9ment_Panhard_1898-0553.jpg Brésil], en [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1902_P%26L_VCP_Capitaine_Fjodorovi_1%C2%B0-Tallin_Estonie.jpg Estonie] etc.

File:1904 - Self-propelled vehicles - Panhard &amp; Levassor - &quot;the foremost in the automobile world&quot;.jpg|'''1901''' -  [https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1901-02-16_51_1311/page/21014/mode/2up?q=panhard Scientific American] : &quot;'''''L'automobile Panhard &amp; Levassor'''''&quot;. '''1904''' - [https://archive.org/details/propelledselfveh00homarich/page/350/mode/2up?q=panhard  Véhicules automoteurs] : &quot;'''''Le leader du monde automobile'''''&quot;.

1901-04-13 The Autocar='A visit to the Panhard works'.pdf |'''1901-04-13''' - The Autocar: [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1901-04-13_The_Autocar%3D%27A_visit_to_the_Panhard_works%27.pdf &quot;'''Une visite aux usines Panhard''']: ''Il ne faut pas s'imaginer que nous désespérons de l'industrie anglaise ; loin de là, car il existe chez nous des entreprises qui produisent un travail au moins égal à celui de '''Panhard and Levassor''', mais '''aucune entreprise n'est comparable à elle en termes d'ampleur'''.''&quot;

File:1902 Fiat 12-16 HP Museo Nazionale dell'Automobile di Torino 01.jpg|'''1901-06-21''' - [[W:Fiat|'''FIAT''']] prend la décision '''de copier la voiture légère Panhard &amp; Levassor''', ainsi l'ingénieur [https://it.wikipedia.org/wiki/Giovanni_Enrico Giovanni Enrico] conçoit la [[W:Fiat|'''FIAT 12HP''']]. &lt;ref&gt;[https://www.byterfly.eu/islandora/object/librib%3A632795#page/166/mode/2up '''Procès-verbaux du conseil d'administration FIAT (1899-1915)''']. '''1900-10-09''' - &lt;small&gt;&quot;[L'ingénieur Marchesi] '''''estime qu'il serait judicieux d'acheter une bonne voiture française, et peut-être même une Panhard Levassor de dernier modèle, afin de pouvoir les étudier, notamment les détails de leur construction'''''&quot;. '''1900-10-16''' - &quot;''Faccioli dit que bien que le système actuel fonctionne correctement, il estime qu'il y aurait d'énormes avantages à placer le moteur à l'avant, tant pour des raisons de facilité que pour des raisons de perfectionnement de la construction, et pour standardiser les modèles. Il affirme avoir déjà étudié un projet qui répondrait aux besoins actuels''. '''''Agnelli propose de conserver le type Panhard Levassor'''''. ''Après une longue et animée discussion, le Président demande l'avis du Conseil sur les deux propositions''&quot;. La proposition de Faccioli est approuvée. '''1901-11-12''' - &quot;''Goria Gatti partageait l'avis de Ceriana, mais après avoir étudié la question en profondeur, il était convaincu de la validité des arguments du Président. Notre usine, occupée à produire 100 Fiat cette année, ne serait absolument pas en mesure de fabriquer la petite voiture. Or, les petites voitures étant très recherchées et le marché saturé de voitures étrangères, il est nécessaire de leur proposer un modèle tout aussi performant et moins cher, afin d'attirer une nouvelle clientèle, qui serait alors peut-être disposée à acheter une Fiat. Il fut donc judicieux de faire construire pour nous, par une usine étrangère, une voiture équipée d'une boîte de vitesses de type Darracq et d'un moteur De Dion de 4,2 CV. C'est une question d'opportunité, et il estime qu'il n'est pas pertinent de parler du caractère italien de l'usine ni de la simple revente de voitures''. '''''Même le grand constructeur français, Panhard-Levassor, avait une petite voiture anglaise, la Krebs, fabriquée par les ateliers Clément''''' [pour ce faux bruit : voir la Voiture Clément-Panhard supra]. ''Quoi qu'il en soit, puisque nous n'abandonnerons pas le modèle Fiat, mais le limiterons aux grandes voitures, personne ne pourra dire que nous avons renié notre propre moteur. Il conseille de ne pas engager plus de 50 petites voitures.''&quot;.  '''1901-06-21''' - &quot;''Le président informe le Conseil que'' '''''le conseiller Agnelli et l'ingénieur Enrico, s'étant rendus à Paris, ont examiné un véhicule léger qu'ils comptaient acquérir auprès de l'usine comme modèle pour l'année suivante'''''. ''Cependant, faute d'explications de la part du fournisseur, l'achat n'a pu être effectué. Il demande à M. Agnelli de s'expliquer''. [[W:Giovanni_Agnelli_(1866-1945)|'''''M. Agnelli''''']] ''explique que, lors de son séjour à Paris en compagnie de l'ingénieur Enrico, envoyé par l'usine sur ordre du président'', '''''ils ont examiné un nouveau véhicule léger provenant de l'une des meilleures usines parisiennes (Panhard &amp; Levassor). Ce véhicule, très simple, économique, pratique et facile à construire, leur a semblé opportun'''''. ''Ils ont donc jugé bon de proposer son acquisition par télégramme au Conseil''. '''''Cette proposition visait à mettre fin à des études interminables et coûteuses, et à pouvoir entreprendre sans délai une production sérieuse, productive tant en quantité qu'en qualité'''''. ''Il se souvient avoir déjà formulé une proposition similaire à plusieurs reprises, notamment en juin et septembre de l'année dernière et en mars de cette année. Il estime cependant qu'il n'appartient pas au Conseil de délibérer sur le fond de la question, cette décision relevant de la compétence exclusive de la Direction technique''.&quot;&lt;/small&gt;&lt;/ref&gt;

File:1902 Catalogue Panhard &amp; Levassor.pdf|'''1902''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1902_Catalogue_Panhard_%26_Levassor.pdf '''catalogue''' Panhard &amp; Levassor].

File:1902-03-01 - Scientific American supplement - &quot;THE NEW LIGHT PANHARD &amp; LEVASSOR AUTOMOBILE&quot;.pdf|'''1902''' - Scientific American : [https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1902-03-01_53_1365/page/21873/mode/1up?q=panhard &quot;'''THE NEW LIGHT PANHARD &amp; LEVASSOR AUTOMOBILE'''&quot;].

File:1902 - The Panhard &amp; Levassor car of Dr-LEHWESS for his word tour.png|'''1902''' - La voiture Panhard &amp; Levassor du Dr LEHWESS pour son '''tour du monde''' : &quot;[https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:The_Enterprise_1902-10-04_(IA_cssf_000378).pdf&amp;page=2 '''''La voiture doit être capable de bien grimper les côtes pour franchir les Rocheuses !''''']&quot;.

File:1903-04-09 - Counterfeiting by Mercedes of the Panhard &amp; Levassor Centaure carburetor transaction between the parties.pdf|'''1903''' - '''contrefaçon par Mercedes''' du '''carburateur Centaure''' de Panhard &amp; Levassor (transaction).

File:1912 - Panhard &amp; Levassor - usine de Reims.jpg|'''1904''' - A. C KREBS fonde '''l'[[W:Usine_Panhard-Levassor_de_Reims|usine Panhard &amp; Levassor de Reims]]'''.

File:1909 NYPL=P&amp;L agence-New-York american-branch-Broadway+62°rue-NW US-01.jpg|'''1904''' - A. C. KREBS crée '''''l'American Branch''''' située '''sur Broadway à New York'''.

File:1905 - Panhard &amp; Levassor - Manuel de conduite et d'entretien Phénix, Centaure, modèle 1904.pdf|'''1905''' - Manuel de conduite et d'entretien  '''''Phénix''''', '''''Centaure''''', '''''Type 1904'''''.

File:1905-08-04 The-Engineer=The Panhard &amp; Levassor Motor Car Works.jpg|'''1905''' - The Engineer : [https://archive.org/details/sim_engineer_july-7-december-29-1905_100/page/108/mode/2up &quot;'''''Quelques usines automobiles françaises'''''&quot;] - PANHARD AND LEVASSOR. &lt;ref&gt;'''1905-08-04''' - [https://archive.org/details/sim_engineer_july-7-december-29-1905_100/page/108/mode/2up?q=panhard '''The Engineer'''] : &quot;''L'industrie automobile s'est donc développée très lentement jusqu'à ce qu'il soit constaté que le '''type Panhard original''' de '''moteur vertical''' et de '''boîte de vitesses''' représentait véritablement '''une norme de conception permanente'''.''&quot;&lt;/ref&gt;

File:1905 P&amp;L catalogue anniversaire-50-ans usine.pdf|'''1905''' - Panhard &amp; Levassor : ''' catalogue anniversaire des 50 ans de l'usine''' dirigée par A. C. KREBS.  &lt;ref&gt;'''1905''' -  [https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7e/The_Engineering_and_Mining_Journal_1905-05-25-_Vol_79_Iss_21_%28IA_sim_engineering-and-mining-journal_1905-05-25_79_21%29.pdf The Engineering and Mining Journal]: &quot;''La machine à vapeur a été utilisée pour le transport de marchandises sur les vastes plaines du Sud-Ouest, notamment pour le commerce du borax. Plus récemment, l'automobile a été mise en service au Nevada, et l'un de nos confrères nous a confié effectuer le trajet de 160 kilomètres (100 miles) entre Tonopah et Bullfrog en sept heures. Cela nous rappelle les voyages d'inspection de plusieurs centaines de kilomètres (plusieurs centaines de miles) que MM. H. C. Hoover et J. H. Curie ont effectués l'an dernier '''à bord d'une Panhard, sur le plateau désertique d'Australie-Occidentale'''. L'idée même d'un tel confort de déplacement adoucira les mauvais souvenirs de ceux qui ont dû chevaucher le chameau à bascule ou la mule récalcitrante sur le sable et les spinifex d'Australie-Occidentale, ou encore sur les terres alcalines et les armoises du Grand Bassin.''&quot;.&lt;/ref&gt;

File:1905 P&amp;L catalogue anniversaire-50-ans usine.pdf|page 23|'''1905''' - A. C. KREBS introduit '''l'entrée latérale dans la carrosserie automobile'''. &lt;ref&gt;'''1906''' – [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:1906-01-06_-_OMNIA_-_Standardisation_des_carrosseries_%C3%A0_entr%C3%A9e_lat%C3%A9rale_demand%C3%A9e_par_A._C._KREBS_en_1904.pdf&amp;page=4 OMNIA] : &quot;''À l’heure actuelle, on peut dire que toute carrosserie, de route ou de ville, couverte ou découverte, doit être à entrée latérale. Cette disposition présente de tels agréments pour le voyageur, que l’on se demande comment on a pu s’en passer si longtemps ! ''&quot;. '''01/1933''' - '''Le carrossier Labourdette''' : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3067216z/f38.image.r=krebs &quot;''L'entrée latérale fut réalisée sur l'insistance de plusieurs constructeurs. Je me souviens des conversations que mon père eut alors, sur ce sujet, avec le commandant Krebs de la maison Panhard''&quot;]. Notons qu'au XXI° siècle l'entrée latérale avec échancrure sur le passage de roues arrière reste le standard de la carrosserie automobile.&lt;/ref&gt;

File:1905 - Palais de l'Automobile - catalogue Panhard &amp; Levassor (New-York).pdf|thumb|'''1905''' - '''Palais de l'Automobile''' : catalogue Panhard &amp; Levassor à ('''New-York''').

File:1905-11-18 – The AUTOMOTOR JOURNAL - The 50-h.p. Panhard-Levassor car with a Six-cylinder engine.pdf|'''1905''' – The AUTOMOTOR JOURNAL: [https://archive.org/details/AutomotorJournalSecondHalf1905/page/n665/mode/2up?q=panhard voiture Panhard-Levassor 50-h.p. 6 cyl.].

File:1906_Arthur_Constantin_KREBS_testimony_during_the_Selden_case.pdf|page 2|'''1906''' - A. C. KREBS se rend '''à New York''' pour témoigner en tant qu'expert dans le cadre du procès Selden qui oppose les propriétaires du '''brevet Selden''' et conjointement '''Ford''' et '''Panhard &amp; Levassor''' ([https://hal.science/hal-05527435 transcription traduite et annotée]).

File:1910 Le jeune premier de l'Europe=caricature du roi Alphonse XIII d'Espagne qui vient de visiter les usines P&amp;L avec KREBS.jpg|'''1905-11''' - Caricature du jeune [https://en.wikipedia.org/wiki/Alfonso_XIII '''roi Alphonse XIII d'Espagne'''] qui vient de visiter les '''usines Panhard &amp; Levassor''' guidé par '''A. C. KREBS'''. &lt;ref&gt;'''1905-11-22''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k46271521/f1.image.r=krebs '''L'Auto-vélo''']: &quot;''Le '''nouvel amortisseur progressif''' que la maison Panhard adapte sur ses véhicules de '''1906''' intéresse particulièrement le Roi'' ['''[[W:Alphonse_XIII|Alfonse XIII]] d'Espagne''']. ''À deux reprises il sollicite du commandant Krebs le nom de l'inventeur de cet ingénieux dispositif, mais le commandant - dont la modestie bien connue a durci l'oreille - néglige de répondre...''&quot;&lt;/ref&gt;

File:1905 - P&amp;L catalogue-Harvey-du-Cros GB - 'HINTS and Advice for Owners of PANHARD CARS'.pdf|'''1905''' - Catalogue Panhard &amp; Levassor de  '''Harvey-du-Cros - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1905_-_P%26L_catalogue-Harvey-du-Cros_GB_-_%27HINTS_and_Advice_for_Owners_of_PANHARD_CARS%27.pdf &quot;''HINTS and Advice for Owners of PANHARD CARS''&quot;] au Royaume-Uni''' quand A. C. KREBS dirige la société.

File:1906 - Panhard &amp; Levassor - Catalogue des machines à bois pour les roues de voitures.pdf|'''1906''' - Panhard &amp; Levassor : &quot;[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1906_-_Panhard_%26_Levassor_-_Catalogue_des_machines_%C3%A0_bois_pour_les_roues_de_voitures.pdf '''Catalogue des machines à bois pour les roues de voitures''']&quot;.

File:1906-04-22 La Stampa Sportiva=leçon d'automobilisme chez P&amp;L.jpg|'''1906''' - &quot;''L' [https://www.byterfly.eu/islandora/object/libria%3A37036#mode/2up '''école moderne de l'automobiliste''']: Une leçon pratique donnée aux élèves de '''l'école du mécanicien et du conducteur d'automobile de Paris''', visitant [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k46272650/f1.image.r=%22nos%20cours%20d# '''l'usine Panhard and Levassor''']&quot; dirigée par '''A. C. KREBS'''.

File:1907 - Panhard &amp; Levassor catalogue in New-York.pdf|'''1907''' - La gamme des '''voitures Panhard &amp; Levassor''' proposée par A. C. Krebs '''à New York'''.

File:1907 The Highland Association Bazaar - Panhard advertisement.pdf|'''1907''' - [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3ASouvenir_and_handbook_of_Feill_a%27_Chomuinn_Ghaidhealaich_(The_Highland_Association_Bazaar)_1907_(IA_souvenirhandbook00comu).pdf&amp;page=12 Publicité à Glasgow] : &quot;'''''PANHARD—Best French Car. Runs well after 120,000 miles'''''&quot;.

File:1908 - Panhard &amp; Levassor- catalogue.pdf|'''1908''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1908_-_Panhard_%26_Levassor-_catalogue.pdf '''catalogue''' Panhard &amp; Levassor].

File:1908 - Panhard &amp; Levassor - catalogue poids lourds.pdf|'''1908''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1908_-_Panhard_%26_Levassor_-_catalogue_poids_lourds.pdf '''catalogue des poids lourds'''] Panhard &amp; Levassor.

File:1909 - Panhard &amp; Levassor - catalogue.pdf|'''1909''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1909_-_Panhard_%26_Levassor_-_catalogue.pdf '''catalogue''' Panhard &amp; Levassor].

File:1909-Panhard &amp; Levassor automobile catalogue for the 'American Branch' in Broadway in NewYork.pdf|'''1909''' - Panhard &amp; Levassor : Catalogue de [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1909-Panhard_%26_Levassor_automobile_catalogue_for_the_%27American_Branch%27_in_Broadway_in_NewYork.pdf '''l'American Branch'''].

File:1909-1914 - L'Auto-vélo - les &quot;Vendredi&quot; de Panhard &amp; Levassor.pdf|'''1909-1914''' - L'auto-Vélo : '''''Les 284 &quot;Vendredi&quot; de Panhard &amp; Levassor'''''.

File:1910 Salon-de-l'Automobile-de-Paris=le nouveau moteur sans-soupapes au stand Panhard&amp;Levassor.jpg|'''1910''' - '''Salon de l'auto de Paris''' : présentation du '''nouveau moteur sans soupapes''' au stand Panhard &amp; Levassor. Ce moteur est '''conçu par A. C. KREBS sous licence Knight'''.

File:1910 Panhard-Levassor - Dubonnet gagne le prix de LA NATURE sur monoplan Tellier à moteur Panhard &amp; Levassor (GAMY).jpg|'''1910''' - [[w:Émile Dubonne|Émile Dubonnet]] gagne le prix de [[W:La_Nature|LA NATURE]] sur un avion monoplan [[W:Alphonse_Tellier_(constructeur_a%C3%A9ronautique)|Tellier]] à moteur Panhard &amp; Levassor conçu par A. C. KREBS (GAMY).

File:1910 - Usine Panhard &amp; Levassor vue depuis un ballon à 700m d'altitude.png|'''1910''' - '''L'usine Panhard &amp; Levassor''' vue depuis un ballon à 700m d'altitude.

File:1910 - Panhard &amp; Levassor - Catalogue de pièces de rechange.pdf|'''1910''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1910_-_Panhard_%26_Levassor_-_Catalogue_de_pi%C3%A8ces_de_rechange.pdf '''Catalogue  de pièces de rechange'''] Panhard &amp; Levassor.

File:1911 - Life Magazine - The Silent-Knight.pdf|'''1911''' - '''A. C. KREBS''' developpe la version Panhard &amp; Levassor du brevet '''Knight :  [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001404174/publication/FR356196A?q=FR356196 '''FR'''356196], [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032197949/publication/GB190514729A?q=GB190514729 '''GB'''190514729], [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003159208/publication/US1090991A?q=pn%3DUS1090991A '''US'''1090991A]'''.

File:1911 - Exposition de Turin - catalogue Panhard &amp; Levassor.pdf|'''1911''' - '''Catalogue Panhard &amp; Levassor''' pour [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1911_-_Exposition_de_Turin_-_catalogue_Panhard_%26_Levassor.pdf '''l'Exposition de Turin'''].

File:Dassault Marcel.jpg|'''1911''' - '''[[w:Marcel_Dassault|Marcel DASSAULT]]''' (1892-1986) décide de faire un stage dans l'usine '''Panhard &amp; Levassor'''. &lt;ref&gt;'''1911''' - '''[[w:Marcel_Dassault|Marcel DASSAULT]]''' décide de faire un stage chez '''Panhard''', et note : &quot;''Pendant les grandes vacances suivantes, je fis un stage comme ouvrier chez Panhard. Après être passé par les différents ateliers, j'arrivai au stade de la mise au point des voitures 24CV sans soupapes. Ce travail consistait, après réglage du moteur, à faire un essai sur route du châssis, le siège étant composé d'une simple caisse à outils. J'ai ainsi appris à connaître l'organisation d'une grande usine de mécanique. J'ai aussi apprécié le travail des ouvriers, leur esprit d'équipe, leur joie quand la firme gagnait une course ou battait un record, ou lors de la sortie d'un nouveau type de voiture particulièrement réussi.''&quot; ([https://archive.org/details/talismanautobiog0000dass/page/n3/mode/2up 'Le Talisman'],  [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1970_Marcel-DASSAULT%3D%27Le_Talisman%27_(ed._J%27ai_Lu).jpg Paris, 1970, ed. J'ai Lu]).&lt;/ref&gt;

File:1912 Panhard &amp; Levassor - Arthur Constantin KREBS entouré de Charles de Fréminville de Paul Panhard et de ses directeurs.jpg|'''1912''' - Panhard &amp; Levassor : '''A. C. KREBS''' entouré de [[W:Charles_de_La_Poix_de_Fr%C3%A9minville|'''Charles de Fréminville''']] (à sa droite), par '''Paul Panhard''' (à sa gauche) et d'autres directeurs. &lt;ref&gt;[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1912_Usine-Panhard_et_Levassor_-_les_ateliers_et_le_personnel_de_Paris.pdf '''1912''' - '''Usines Panhard &amp; Levassor''' dirigées par A. C. KREBS]: les ateliers et le personnel de Paris (Paris : 2000 ouvriers) (Reims : 800 ouvriers).&lt;/ref&gt;

File:1912 Usine-Panhard et Levassor - les ateliers et le personnel de Paris.pdf|'''1912''' - Les usines Panhard &amp; Levassor dirigées par A. C. KREBS : [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1912_Usine-Panhard_et_Levassor_-_les_ateliers_et_le_personnel_de_Paris.pdf '''Les ateliers et le personnel de Paris'''] (Paris : 2000 ouvriers) (Reims : 800 ouvriers).

File:1912 - Panhard &amp; Levassor - Catalogue couleur.pdf|'''1912''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1912_-_Panhard_%26_Levassor_-_Catalogue_couleur.pdf '''Catalogue Panhard &amp; Levassor'''].

File:1912 - Panhard &amp; Levassor - Catalogue-luxe.pdf|'''1912''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1912_-_Panhard_%26_Levassor_-_Catalogue-luxe.pdf ''' Catalogue de luxe Panhard &amp; Levassor'''].

File:1913 - Panhard &amp; Levassor - catalogue de luxe.pdf|'''1913''' -  Catalogue de luxe Panhard &amp; Levassor : [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1913_-_Panhard_%26_Levassor_-_catalogue_de_luxe.pdf '''&quot;''S'ils avaient eu l'automobile !''&quot;'''].

File:1914 - Panhard &amp; Levassor - Catalogue de luxe.pdf|'''1914''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1914_-_Panhard_%26_Levassor_-_Catalogue_de_luxe.pdf '''Catalogue de luxe Panhard &amp; Levassor'''].

File:Gazette du Bon Ton, 1914 - No. 7, Le Péché d'Envie ou La Panhard Convoitée (titel op object), RP-P-2009-1940-12.jpg|'''1914''' - Publicité Panhard &amp; Levassor : &quot;''Le Péché d'Envie ou La Panhard Convoitée''&quot;.

File:1914 - Panhard &amp; Levassor - Tracteur d'artillerie (aquarelle Gamy).jpg|'''1914''' - Le '''tracteur d'artillerie Châtillon-Panhard''' (aquarelle Gamy) conçu A. C. KREBS.

File:Panhard Oil-Motoring Magazine-1915-031.jpg|'''1915''' - Publicité : '''L'huile Panhard pour cylindres'''&quot;, &quot;'''''La logique d'une bonne huile pour cylindres'''''&quot;.

File:1916 - Panhard &amp; Levassor - Catalogue.pdf|'''1916''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1916_-_Panhard_%26_Levassor_-_Catalogue.pdf '''Catalogue Panhard &amp; Levassor'''].

File:Panhard Levassor rail motor no. 14.tif|'''1918''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:StateLibQld_2_78638_Viscount_Chelmsford_joins_the_Automobile_Club%27s_day_out,_9_May_1908.jpg  Une voiture Panhard &amp; Levassor 24HP de 1908] est transformée en '''véhicule ferroviaire''' pour le transport de personnes et de marchandises sur la ligne [https://collections.qm.qld.gov.au/objects/RM11530/panhard-railmotor-rm-14 Normanton-Croydon en northern Queensland] ('''[[w:Australie|Australie]]''') jusqu'en '''1929'''.

File:1915-1917 - Panhard &amp; Levassor - usine en guerre.pdf|'''1914-1918''' - '''WWI''' :  Panhard &amp; Levassor: [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1915-1917_-_Panhard_%26_Levassor_-_usine_en_guerre.pdf?uselang=fr '''Usine en guerre dirigée par A. C. Krebs'''].

File:1917-05-17 - Automotive-industries - The Chatillon-Panhard truck in Italy.jpg|'''1917''' - Automotive-industries : '''Le [https://archive.org/details/sim_country-life_1915-06-26_37_964/page/n293/mode/2up?q=%22chatillon-panhard%22 camion Châtillon-Panhard] en Italie'''.

File:Panhard &amp; Levassor enamel advert sign at the den hartog ford museum pic-099.JPG|'''1920''' ~ Le logo Panhard &amp; Levassor.

File:1914-1918 - WWI - voiture Panhard &amp; Levassor.webm|Video: '''1918''' - '''WWI''' : Une '''voiture Panhard &amp; Levassor démarre'''.

File:Ant-pen-map-Danco.PNG|'''1960''' - Le [[w:Krebs Glacier|'''Glacier Krebs''']] : s'écoulant dans [[w:Charlotte Bay|Charlotte Bay]], nommé d'après [[w:Arthur Constantin Krebs|A. C. Krebs]], &quot;''qui a construit et piloté le premier [[w:Ballon dirigeable|dirigeable]] capable d'un vol stable et contrôlé, en '''1884'''&quot;''.

File:Alose french submarine 1907 02.jpg|'''1975''' - Sous-marin [[w:Alose (sous-marin)|'''Alose''']] (1904), '''renfloué et restauré''' (France).

File:Saint-Chamond.Saumur.0004fq2z.jpg|'''2006''' - '''Tank Saint-Chamond''' exposé au ''[[w:Musée des Blindés de Saumur|Musée des Blindés]]'' de [[w:Saumur|Saumur]].

File:Panhard &amp; Levassor Type E im Museum Valencay.JPG|'''2011''' - '''Panhard &amp; Levassor Type E''' au [[w:Musée de l'automobile de Valençay|'''Musée de l'automobile''']] de [[w:Valençay|Valençay]].

File:Panhard &amp; Levassor Type X 25 1914.JPG|'''2011''' - '''Véhicule d'incendie Panhard &amp; Levassor Type X 25''' (1914) au [http://www.musee-sapeurs-pompiers.org/ '''Musée des Sapeurs-Pompiers'''] à Montville.

File:1901 Panhard &amp; Levassor type B2 in Toyota Automobile Museum (6817203419).jpg|'''2012''' - '''Panhard &amp; Levassor  type B2''' (1901) au [https://toyota-automobile-museum.jp/en/ '''Toyota Automobile Museum'''], Nagakute, Aichi Prefecture (Japon).

File:Panhard &amp; Levassor Type X19 at Den Haag Louwman Museum 061.jpg|'''2015''' - '''Panhard &amp; Levassor X19''' (1912) Labourdette Skiff-Torpedo au [https://www.louwmanmuseum.nl/en/ '''Louwman Museum'''] (Pays-bas).

File:1900 Clement-Panhard Phaeton VCP, 765cc 3,5cv 35kmh (inv 1901) photo 2.jpg|'''2016''' - '''Clement-Panhard (VCP)''' Phaeton (1900) au [https://www.musee-automobile.fr/ '''Musée National de l'Automobile'''] à Mulhouse (France).

File:Panhard &amp; Levassor Type U2 1907 at Monaco Top Cars Collection 2016-537.jpg|'''2016''' - '''Panhard &amp; Levassor Type U2''' (1907) dans la [https://www.mtcc.mc/galerie-automobile/#* '''Collection de voitures anciennes'''] de Monaco.

File:2017 - Durenne &amp; Krebs 1888 lightweight fire steam pump at the fire headquarters in Paris.png|'''2017''' - '''Pompe à vapeur d'incendie légère Durenne &amp; Krebs''' (1888) exposée à [[w:Caserne_Champerret|'''l'état-major des pompiers de Paris'''].

File:Panhard-Levassor Biplace Course (1908) jm64358.jpg|'''2018''' - '''Panhard-Levassor biplace de course''' (1908) au [https://www.musee-automobile.fr/ '''Musée National de l'Automobile'''] à Mulhouse.

File:Panhard &amp; Levassor Landaulet Type A1 (1898) jm63748.jpg|'''2018''' - '''Panhard &amp; Levassor type A2''' (1899) tonneau fermé au [https://www.musee-automobile.fr/ '''Musée National de l'Automobile'''], Mulhouse (France).

File:Panhard &amp; Levassor Coupé Chauffeur Type X8 (1912) jm63952.jpg|'''2018''' - '''Panhard &amp; Levassor type X8 coupé chauffeur''' (1911) au [https://www.musee-automobile.fr/ '''Musée National de l'Automobile'''] à Mulhouse.

File:1899 - Panhard-Levassor owned by C. S. Rolls restored.jpg|'''2019''' La '''Panhard-Levassor''' (1899) '''de C. S. Rolls''' est au [https://www.museums.norfolk.gov.uk/gressenhall-farm-and-workhouse '''Gressenhall Farm and Workhouse Museum''']. &lt;ref name=Rolls-1899/&gt;

File:Hangar Y mai 2023 (27).jpg|'''2023''' - Le [[w:Hangar Y|'''Hangar Y''']] du dirigeable '''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]''''' est '''restauré et ouvert au public''' à Meudon.

File:Balloon winch vehicule, Musee de l'Air et de l'Espace, Le Bourget, Paris. (8127530854).jpg|'''2024''' - '''Voiture treuil à ballons (WWI)''' ([[w:Musée_de_l'Air_et_de_l'Espace|Musée de l'Air et de l'Espace]], Le Bourget, Paris) utilisant le '''système de touage à 2 tambours parallèles de A. C. KREBS'''.

File:Panhard &amp; Levassor, BL 539, London to Brighton Veteran Car Run 2011, 15 CV 1904 (6323222535).jpg|'''2026''' - Video : &quot;[https://www.youtube.com/watch?v=t2Ygu-IsLeg '''Comment se servir d'une Panhard &amp; Levassor 1904''']&quot;.
&lt;/gallery&gt;
==  Communications à '''l'Académie des sciences''' ==
&lt;br&gt;'''1886''' - [https://fr.wikipedia.org/wiki/Famille_Lefebvre_de_Laboulaye#XIXe_si%C3%A8cle Charles-Pierre Lefebvre de LABOULAYE (1813-1886)], membre de la parentèle de Fréminville ([https://bases-brevets19e.inpi.fr/brevets?arko_default_63f395e1547dd--ficheFocus=&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bmode%5D=simple&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bop%5D=AND&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bop%5D=AND&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bq%5D%5B%5D=&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bq%5D%5B%5D=LEFEBVRE-LABOULAYE&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bextras%5D%5Bmode%5D=input&amp;arko_default_63f395e1547dd--from=0&amp;arko_default_63f395e1547dd--resultSize=50&amp;arko_default_63f395e1547dd--contenuIds%5B%5D=838591&amp;arko_default_63f395e1547dd--modeRestit=arko_default_63f397c19a653 brevets]) : &quot;'''''LA SCIENCE ET L'ART SONT LES DEUX BASES DE L'INDUSTRIE'''''&quot;. &lt;ref&gt;'''1886''' - Charles LABOULAYE - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3041024d/f1131.item.r= '''Dictionnaire des arts et manufactures'''].&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;'''1898''' - [[w:Henry_Le_Chatelier|Henri Le Chatelier]] (collaborateur de Charles de Fréminville pour la recherche sur la chimie des métaux) et la '''''Science industrielle''''' : &quot;'''''En  fait il n'y a pas de différence essentielle entre les besoins de la science pure et ceux de la science étudiée en vue de ses applications'''''.&quot;
&lt;br&gt;'''1901''' - &quot;''Les préoccupations d'ordre pratique, en maintenant forcément l'attention tournée vers l'observation des phénomènes naturels, obligent l'homme, en quelque sorte malgré lui, à voir les lois du monde matériel et à ne pas laisser son esprit se concentrer exclusivement, comme il est porté à le faire, sur ses propres imaginations''.&quot; 
&lt;ref&gt;'''1898''' - Henri Le Chatelier : &quot;[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k170732/f102.image.r=le%20chatelier '''L'enseignement scientifique général dans ses rapports avec l'industrie''']&quot;. '''1901''' - &quot;[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k170763/f1103.image.r=le%20chatelier  '''Du rôle des préoccupations industrielles dans les progès de la science pure'''].&quot;&lt;/ref&gt;
*	1884-08-18 – A. C. KREBS  &amp; Ch. RENARD : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_099%2C_1884.djvu&amp;page=316 &quot;''On an airship''&quot;]. Au sujet du dirigeable &quot;[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]&quot; .

*	1884-08-25 - M. DUPUY de LÔME :  [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Comptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences,_tome_099,_1884.djvu&amp;page=341 &quot;''Note sur les aérostats dirigeables''&quot;].

*	1884-08-31 - M. A. LAUSSEDAT : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_099%2C_1884.djvu&amp;page=413 &quot;''Sur les tentatives effectuées à diverses époques pour la direction des aérostats''&quot;].

*	1884-11-10 - M. Hervé MANGON : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_099%2C_1884.djvu&amp;page=772 &quot;''Note sur l'aérostat dirigeable de MM. Renard et Krebs''&quot;].

*	1886 - Prix PONTI : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_103%2C_1886.djvu&amp;page=1395 &quot;''pour les progrès accomplis dans la navigation aérienne.''&quot;]

*	1886-04-05 - M. ZEDE : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_102%2C_1886.djvu&amp;page=808 &quot;''Sur les navires sous-marins''&quot;].

*	1888-07-30 – A. C. KREBS : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_107%2C_1888.djvu&amp;page=325 &quot;''Sur un téléphone à champ magnétique fermé, avec plaque à sections cylindriques, concentriques égales''&quot;].

*	1888-03-26 – A. C. KREBS :  [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_106%2C_1888.djvu&amp;page=932 &quot;''Essai d'un moteur électrique alimenté par des accumulateurs destinés à un bateau sous-marin''&quot;].

*	1890-09-15 – MM. Dumoulin-Froment and Dubois: [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_111%2C_1890.djvu&amp;page=428 Sur le premier gyrocompas électrique pour le sous-marin Gymnote conçu par A. C. KREBS].

*	1902-11-24 – A. C. KREBS : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Comptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences,_tome_135,_1902.djvu&amp;page=900 &quot;''Sur un carburateur automatique pour moteurs à explosions''&quot;].

*	1905-11-13 – A. C. KREBS : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_141%2C_1905.djvu&amp;page=757 &quot;''Sur un frein dynamométrique destiné à la mesure de la puissance des moteurs, qui permet l'utilisation, sous forme électrique, de la majeure partie du travail développé''&quot;].

*	1906-01-15 – A. C. KREBS : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_142%2C_1906.djvu&amp;page=143 &quot;''Conditions d'établissement d'un amortisseur progressif à la suspension des véhicules sur route''&quot;].

*	1907-04-08 – A. C. KREBS : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_144%2C_1907.djvu&amp;page=747 &quot;''Appareil pour la mesure de l'écoulement des liquides''&quot;].

*	1931-12-07 - M. Jean Rey : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3146s/f1142.item# &quot;''De l'invention du périscope''], au sujet du périscope commandé par A. C. KREBS pour le sous-marin '''''Gymnote'''''.
== Retraite ==
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Retirement by country|Retraite par pays]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Retraite|Retraite]]
&lt;br&gt;&quot;''En '''1916''', arrivé à l’âge où le besoin de repos commence à se faire sentir et où on ne peut plus développer la même activité physique, je résiliai mes fonctions de Directeur en conservant celles d’ingénieur conseil.

''L’année précédente M. de Fréminville devait quitter la Maison Panhard &amp; Levassor pour entrer au Creusot.''&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;

=== A. C. KREBS et [[w:André Citroën|André CITROËN]] ===
'''Catégorie''' : [[commons:Category:André Citroën|André Citroën]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:André Citroën|André Citroën]]
&lt;br&gt;A la demande des banques, A. C. KREBS établit un rapport sur le projet de première automobile construite à la chaîne par André Citroën après la Première Guerre mondiale. A. C. KREBS établit un rapport favorable et André Citroën a pu lancer la fabrication de son '''Type A'''.
&lt;gallery&gt;

File:Citroen1921typeA.jpg|'''1921''' - André Citroën construit sa '''type A''' avec l'aide de A. C. KREBS.

File:André Citroën 1932.jpg|'''1932''' - '''André CITROËN''' (1878-1935).
&lt;/gallery&gt;
=== Administrateur de la société '''Savary-Rivière''' ===
Dans les années 1920, A. C. KREBS est administrateur de la société Savary-Rivière, dont il est actionnaire, et qui est un fabricant de machines agricoles et de mobilier scolaire à Quimperlé, où il prend sa retraite.

Sous sa direction, la compagnie diversifie ses activités vers la fabrication de matériel ferroviaire, de matériel militaire, de postes et télégraphes.&lt;ref&gt;'''1935-03-26''' - Lettre de '''Georges Rivière''' à Marie Krebs veuve de A. C. Krebs : &quot;''Le colonel Krebs avait accepté de présider aux destinées des Ets Savary-Rivière pendant plusieurs années et j'ai eu l'honneur de pouvoir apprécier '''ses exceptionnelles qualités d'intelligence'''. Sa vie restera l'exemple parfait de droiture et de dignité dans toutes leurs manifestations.''&quot;&lt;/ref&gt;
&lt;gallery&gt;
File:1901 Savary Gautier=Machines agricoles (Quimperlé).jpg|'''1901''' - Savary et Gautier - '''Machines Agricoles''' (Quimperlé).

File:1925~Sté Savary et Rivière.pdf|'''1925''' ~ '''A. C. KREBS''' dirige la société '''Savary-Rivière''' pendant plusieurs années pendant sa retraite à  '''Quimperlé'''.

File:1928 Savary-Rivière=catalogue mobilier scolaire.pdf|'''1928''' - Savary et Rivière - '''Catalogue de mobiliers scolaires''' (Quimperlé).
&lt;/gallery&gt;
=== La commémoration des '''50 ans du dirigeable &quot;[[w:La France (ballon dirigeable)|'''''La France''''']]&quot;''' ===
'''Catégories''' : [[commons:Category:Legion of Honour|Légion d'honneur]], [[commons:Category:Ordre national de la Légion d'honneur|Ordre national de la Légion d'honneur]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Ordre national de la Légion d'honneur|Ordre national de la Légion d'honneur]]
&lt;br&gt;'''1934''' - À 83 ans, A. C. KREBS voyage de Quimperlé (Bretagne) à Paris pour assister à la commémoration du 50ème anniversaire du dirigeable [[w:La France (ballon dirigeable)|La France]] en '''1884'''. Il est alors le seul survivant de cette épopée technologique historique.
&lt;gallery&gt;
File:1934 - 50 ans du dirigeable La France en présence de A. C. KREBS à Meudon.jpg|'''1934''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4610494z/f1.image.r=krebs Les 50 ans du dirigeable ''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]''] en présence de '''A. C. KREBS, à Meudon'''.

File:Chevalier légion d'honneur 2.png | '''1935''' - A. C. KREBS est  [https://www.leonore.archives-nationales.culture.gouv.fr/ui/notice/201840 '''décoré Commandeur de la Légion d'honneur'''].

File:1935~Arthur-Constantin-KREBS=portrait à Quimperlé.jpg|'''1935''' ~ Arthur Constantin KREBS: '''Portrait à Quimperlé'''.
&lt;/gallery&gt;

'''1935''' - Deux mois avant son décès, A. C. KREBS est nommé '''Commandeur de la  [[w:Ordre national de la Légion d'honneur|Légion d'honneur]]''' : &quot;''Pour son travail en Aéronautique et pour sa contribution à l'industrie automobile''&quot;.
=== Le glacier Krebs ===
'''Catégories''' : [[commons:Category:Antarctica|Antarctique]], [[commons:Category:Peninsulas of Antarctica|Péninsule Antarctique]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Côte de Danco|Côte de Danco]], [https://archive.org/details/GeographicNamesOfTheAntarctic2ndEdition/page/n405/mode/2up?q=%22krebs+glacier%22 Geographic Names of the Antarctic], [https://en.wikipedia.org/wiki/UK_Antarctic_Place-Names_Committee UK Antarctic Place-Names Committee], [https://en.wikipedia.org/wiki/Charlotte_Bay Charlotte Bay]
&lt;br&gt;'''1960''' - Le '''United Kingdom Antarctic Place-Names Committee''' (UK-APC) nomme &quot;[https://en.wikipedia.org/wiki/Krebs_Glacier glacier Krebs]&quot; un glacier s'écoulant vers l'ouest, à la pointe de la '''[https://en.wikipedia.org/wiki/Charlotte_Bay baie de Charlotte]''' sur la côte ouest de la '''Terre de Graham''' sur le continent '''Antarctique''', d'après le nom de &quot;'''''Arthur C. Krebs qui a construit et piloté, avec [[w:Charles Renard|Charles Renard]], le premier dirigeable capable d'un vol stable et contrôlé, en 1884'''''&quot;.
== Famille ==
&lt;gallery&gt;
File:Konstantinpaulowrussland(crop).jpg|'''1812''' - '''Nicolas Krebs''' (grand-père de A. C. KREBS) est précepteur des enfants du '''[[W:Constantin_Pavlovitch_de_Russie Grand|Duc Constantin de Russie]]''' à '''Saint Pétersbourg'''.

File:1894-07-07 Cmdt-Léonce-Krebs chalet-Bellevue St-Gervais-les-bains Haute-Savoie Paul-Lancrenon.jpg |'''1894-07-07''' Silhouette du '''Commandant Léonce KREBS''' (1849-1922), frère aîné de A. C. KREBS, au chalet de Bellevue à Saint-Gervais-les-Bains (Haute-Savoie)  [https://www.pop.culture.gouv.fr/notice/memoire/APLCR03619?auteur=%5B%22Lancrenon%2C%20Paul%20%281857-1922%29%22%5D&amp;mainSearch=%22krebs%22&amp;last_view=%22list%22&amp;idQuery=%22c46e1b2-f281-ddf4-f145-3300fbc003%22 par Paul LANCRENON]

File:1915-1916 Jean-KREBS+Georges GUYNEMER EN.pdf |'''1914-1916''' - '''Jean KREBS''' et '''[[W:Georges_GuynemerGeorges|Georges GUYNEMER]]''' amis de collège : [https://archive.org/details/cu31924027834732/page/n47/mode/2up?q=krebs &quot;''Jean Krebs a cristallisé la vocation de Georges GUYNEMER''&quot;].

File:1918-05-30 Motor-Age='France's Greatest Aviator Georges Guynemer'+Jean-KREBS.jpg|'''1918-05-30''' - Motor-Age: &quot;''France's Greatest Aviator '''Georges GUYNEMER'''&quot; and '''Jean KREBS''', son of A. C. KREBS''&quot;.

File:1939-04 - Revue générale du froid - La chambre froide Krebs &amp; Alliot (1931) pour la conservation du poisson sur les thoniers.jpg|'''1939-04''' - Revue générale du froid - La '''chambre froide Krebs &amp; Alliot (1931)''' pour la conservation du poisson sur les thoniers.

File:Marie Chamming's.jpg|'''Marie Krebs-Chamming's''', fille de Louis Krebs, résistante et autrice.

File:Thon Germon.jpg|Le logo de la boîte [[W:Petit_Navire|'''Petit Navire''']], d'après l'aquarelle de '''Marguerite Paulet''', fille de A. C. Krebs.

File:Manureva StMalo 1978-11 2.jpeg|'''Dominique Paulet''' dirige les CAP du '''chantier naval La Perrière''' de 1960 à 1971, qui conçoit et construit les '''Pen Duick''' d''''Eric Tabarly'''.
&lt;/gallery&gt;
=== '''Nicolas Krebs''' (1786-1839) ===
[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3050419f/f462.image.r=krebs Nicolas KREBS] est un grand-père de A. C. KREBS. Né à [[W:Boppard|Boppard]] sur la rive gauche du [[W:Rhin|Rhin]] en '''1786''', il s'engage dans la garde impériale de [[W:Napoléon Ier|Napoléon]] et prend part à ses [[W:Guerres napoléoniennes|campagnes]] militaires. Blessé à [[W:Vilnius|Wilna]] en '''1812''', il est recueilli et retenu prisonnier par le [[W:Constantin_Pavlovitch_de_Russie|Grand Duc Constantin de Russie]], et devient le précepteur de ses enfants pendant 2 ans à [[W:Saint-Pétersbourg|Saint-Pétersbourg]]. De retour en [[W:France|France]] en '''1814''' il se marie avec Elisa Marie [[W:Liste_des_maires_d%27%C3%89vreux#XIXe_si%C3%A8cle|Dureau de la Buffardière]]. Il a été décoré de la [https://www.leonore.archives-nationales.culture.gouv.fr/ui/notice/201850#show  ''Legion d'honneur''] le 05/06/'''1809'''.
=== [https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb13204050f '''Commandant Léonce Krebs'''] (1849-1922) ===
* '''1878''' -  Officier d'état-major
* '''1891''' -  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9608718v.r=%22l%C3%A9once%20krebs%22?rk=21459;2 '''Campagnes dans les Alpes pendant la Révolution'''], d'après les archives des états-majors français et austro-sarde, avec Henri Moris. &lt;ref&gt;[[w:Armée d'Italie|Armée d'Italie]].&lt;/ref&gt;

* '''1898''' -  [https://bmvr.nice.fr/Default/search.aspx?SC=DEFAULT&amp;QUERY=Authority_id_idx%3a72405&amp;QUERY_LABEL=Krebs%2c+Leonce.+Auteur#/Search/(query:(InitialSearch:!t,Page:0,PageRange:3,QueryString:'Authority_id_idx:72405',ResultSize:-1,ScenarioCode:DEFAULT,SearchContext:0,SearchLabel:'Krebs,%20Leonce.%20Auteur')) Archiviste de la ville de Nice]

* '''1909''' -  [https://www.leonore.archives-nationales.culture.gouv.fr/ui/notice/201854 Commandeur de la Légion d'honneur].
=== '''Jean Krebs''' (1896-1916) et [[w:Georges_Guynemer|'''Georges GUYNEMER''']] (1894-1917) ===
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Georges Guynemer|Georges Guynemer]]
'''1918''' - '''Henry Bordeaux''' : “'''''Jean Krebs''''' ''a orienté la vocation de  [[W:Georges_Guynemer|'''Georges Guynemer''']]. Il a précisé et développé le goût de celui-ci  pour la mécanique. Il l'a sorti des vagues abstractions pour le précipiter vers les réalisations matérielles, pour lui faire désirer l'élargissement de vie qu'elles procurent. Il méritait d'être cité dans une biographie de Guynemer. Avant de le quitter, ne convient-il pas de déplorer sa perte prématurée ? Aviateur estimé au cours de la guerre, il trouva dans l'observation l'emploi de ses facultés solides et sûres. La chasse ne l'attirait pas, mais il savait regarder. Il fut tué d'un accident d'atterrissage presque dans le même temps que disparaissait Guynemer. Un de ses compagnons d'escadrille le juge ainsi : — D'une intelligence remarquable, d'un caractère toujours égal, il avait su s'imposer à ses chefs par son sang-froid, son coup d'oeil, la connaissance exacte des services qu'il pouvait rendre. Toutes les fois qu'on lui confiait une mission, on était sûr qu'il revenait l'ayant remplie, quelles que fussent les conditions dans lesquelles il la fallait accomplir. Il avait eu souvent à tenir tête à des avions ennemis mieux armés que lui, et avait même été blessé au cours d'un vol par éclat d'obus à la cuisse. Il n'en avait pas moins continué à voler et n'était rentré que longtemps après et seulement sa tâche terminée. Sa mort a fait un grand vide dans cette escadrille. Des hommes comme celui-là sont difficiles à remplacer...''&quot; &lt;ref&gt;'''1918''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9807613m/f50.image.r=krebs# '''Henry Bordeaux''']: &quot;''Jean Krebs a orienté la vocation de Georges Guynemer''&quot;.&lt;/ref&gt;

=== [[W:Louis_Krebs|'''Louis Krebs''']] (1886-1944) : le chantier naval à Concarneau ===
'''Voir aussi''' : [[w:Construction navale|Construction navale]]
&lt;br&gt;'''1911''' - Louis krebs presente une thèse en droit pour laquelle il est aidé par son oncle, Charles de Fréminville, intitulée  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5521697f/f6.item.r=KREBS &quot;Le rendement du travail dans les arsenaux&quot;].
&lt;br&gt;En '''1933''', Louis Krebs rachète le chantier ''Le Roy Frères'' à Concarneau, qu'il nomme [https://studiolemerdy-collection.com/?s=krebs&amp;post_type=product &quot;Chantier Krebs&quot;].

Nous lui devons [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k97160383/f123.image.r=krebs en '''1931''', avec le spécialiste de la réfrigération Henri Alliot], l'idée et la conception [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k348885w/f7.image.r=KREBS de la chambre froide des thoniers], de même que la création du concept de  chalutiers-thoniers, ces &quot;bateaux mixtes&quot; qui pratiquaient la pêche au chalut pendant l'hiver et la pêche au thon en été. &lt;ref&gt; ['''1933'''-08-02 - L'Ouest-Éclair : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k659358k/f10.image.r=KREBS &quot;A propos de la conservation du thon à bord&quot;]. ''1936''-11-07 - Le Génie civil : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k64923180/f3.image.r=krebs &quot;Installation d'une chambre froide sur un bateau thonier&quot;].&lt;/ref&gt;

'''1943'''-'''1944''' : Il est élu maire de [[W:Lanriec|Lanriec]].

'''Marie Krebs-Chamming's''' : &quot;''Il a un rôle très actif dans la résistance dès le début de la guerre en étant en liaison avec Alex, l'agent du réseau Notre-Dame Castille du Colonel Rémy pour les départs clandestins en Angleterre par bateau, allant jusqu'à faire des cachettes dans deux thoniers, et fournissant tous les renseignements qu'il peut obtenir. Et il remplace le Docteur Nicolas à la tête de Libération-Nord à Concarneau, quand celui-ci est fusillé par les Allemands, devenant Monsieur Charles.
Avec le professeur Legendre, il discute inlassablement avec le Capitaine Otto, commandant de la place, pour épargner des vies et éviter des destructions qui auraient pu être catastrophiques; s'occupant sans relâche des populations, en particulier de celles de Lanriec et de Douric-ar-Zin, et restant en liaison avec Quimper.
Il était appelé à jouer un rôle important dans toute la région après la libération, qu'il n'a pas connue, ayant été tué chez lui par une balle de fusil-mitrailleur dirigé sur sa maison, le matin où les Allemands sont partis par mer pour Lorient le 24 août 1944.''&quot; &lt;ref&gt;'''1945'''-04-01 - Le Yacht :  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k83719510/f12.image.r=krebs &quot;La mort tragique de Mr. Louis krebs&quot;]&lt;/ref&gt;

'''1962''' - Vidéo de la construction d'un thonier en bois au Passage-Lanriec au chantier Krebs : [https://www.youtube.com/watch?v=CGRF0d8Mo4k le Porsguir], thonier canneur à l'appât vivant, commandé par l'armement Dhellemmes de Concarneau.

=== [[w:Marie Chamming's|'''Marie Krebs-Chamming's''']] (1923-2022) : résistante et autrice ===
'''Marie Krebs-Chamming's''', fille de Louis Krebs, décrit ses années au service de la  [[w:Résistance intérieure française|Résistance intérieure française]] pendant la [[w:Seconde Guerre mondiale|Seconde Guerre mondiale]] dans son livre [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3384299k.r=%22louis%20krebs%22?rk=1502153;2 &quot;J'ai choisi la tempête&quot;] qui recevra le prix Vérité en '''1964'''.

=== [http://mp.forumfamilia.net/Biographie-de-Marguerite-Paulet-b1.html '''Marguerite Paulet''', née Krebs (1900-1979)] : les œuvres remarquables ===

* [http://mp.forumfamilia.net/Les-oeuvres-de-Marguerite-Paulet-periode-jeunesse-jusqu-en-1920-p1.html Jeunesse, jusqu'en 1920]
*  [http://mp.forumfamilia.net/Les-oeuvres-de-Marguerite-Paulet-periode-port-de-bouc-sous-le-soleil-mediterranee-p2.html 	Port de Bouc, sous le soleil méditerranéen, 1920/1922]
*  [http://mp.forumfamilia.net/Les-oeuvres-de-Marguerite-Paulet-periode-quimperle-et-un-peu-nantes-23-30-p3.html Quimperlé (et un peu Nantes), 1923/1930]
*  [http://mp.forumfamilia.net/Les-oeuvres-de-Marguerite-Paulet-periode-douarnenez-essentiellement-les-beaux-bat-p4.html Douarnenez essentiellement, les beaux bateaux, 1930/1940]
*  [http://mp.forumfamilia.net/Les-oeuvres-de-Marguerite-Paulet-periode-l-apres-guerre-40-55-p5.html L'après-guerre 1940/1955]
*  [http://mp.forumfamilia.net/Les-oeuvres-de-Marguerite-Paulet-periode-fleurs-et-arbres-56-79-p6.html Fleurs et arbres ... 1956/1979]
=== [https://www.ouest-france.fr/bretagne/lorient-56100/d-paulet-architecte-naval-et-humaniste-5174463 '''Dominique Paulet''' (1931-2017)] : architecte naval pour '''Éric Tabarly''' ===
Petit-fils d'Arthur Constantin KREBS, Dominique Paulet est un architecte naval et ingénieur de formation. Il a été responsable de la conception de navires au sein de plusieurs chantiers navals dont [[w:Chantiers_et_ateliers_de_la_Perrière|La Perriere]] à [[w:Lorient|Lorient]] et [[W:Chantiers_Dubigeon|Dubigeon-Normandie]]. Il a enseigné à l'Ecole centrale de Nantes et à l'Ecole nationale supérieure des techniques avancées de Paris.

Il a notamment travaillé pour la marine et les [[w:Pen_Duick_III|'''Pen Duick III''']] (aluminium), [[w:Pen_Duick_IV|'''Pen Duick IV''']] (multicoque en aluminium) et [[w:Pen_Duick_V|'''Pen Duick V''']] (avec ballasts) d'[[W:Éric_Tabarly|'''Éric Tabarly''']]. &lt;ref&gt;Dominique Paulet :  [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:2007_-_Dominique_PAULET_-_%22Tabarly_et_Lorient%22_aux_chantiers_La_Perri%C3%A8re.pdf#%7B%7Bint%3Afiledesc%7D%7D '''Tabarly et Lorient'''] &lt;/ref&gt; &lt;ref&gt;La cité de la voile à Lorient :  [https://www.citevoile-tabarly.com/fr/pen-duick &quot;''Trois des Pen Duick furent construits aux Chantiers de la Perrière à Lorient''&quot;]&lt;/ref&gt;

Il a développé une méthode universelle de calcul des navires à partir d'un ensemble restreint de variables : 

'''''Architecture navale - Connaissance et pratique''''' &lt;ref&gt;'''2023''' - Dunod : [https://www.dunod.com/sciences-techniques/architecture-navale-connaissance-et-pratique-1 &quot;''C’est la bible de l’architecture navale. Un ouvrage complet, pointu, écrit par des architectes aussi reconnus pour leur talent que pour leur pédagogie''&quot;].&lt;/ref&gt;
* '''1998''' : [https://www.eyrolles.com/Sciences/Livre/architecture-navale-9782903539467/ 1ère édition chez Eyrolles]
* '''2023''' : [https://www.dunod.com/sciences-techniques/architecture-navale-connaissance-et-pratique-1 2nde édition chez Dunod]

'''Voir aussi''' : 
* '''1971''' - '''Dominique Paulet''' :  [https://03c7d5f4-b82d-47fb-af48-cbbdfcd3d2e9.filesusr.com/ugd/4f0a4d_aca70bb3be0f4a6fb05f5edcb49ba7ba.pdf l'architecte naval aux chantiers La perrière]
* '''Dominique Paulet''' :  [https://fr.wikipedia.org/w/index.php?search=%22dominique+paulet%22&amp;title=Sp%C3%A9cial:Recherche&amp;profile=advanced&amp;fulltext=1&amp;ns0=1 dans Wikipedia]
== Voir aussi ==

* [[w:Dirigeable fantôme|Dirigeable fantôme]]

* [[w:Blimp|Blimp]]

* [[w:Charles Renard|Charles Renard]]

* [[w:Pierre Jules César Janssen|Pierre Jules César Janssen]]

* [[w:XIXe siècle en aéronautique|XIXe siècle en aéronautique]]

* [[w:Panhard|Panhard et Levassor]]

* [[w:Saint-Chamond (char)|Saint-Chamond (char)]]

* [[w:Chronologie des technologies de l'hydrogène|Chronologie des technologies de l'hydrogène]]

== References ==

&lt;ref name=Krebs-archives&gt;Archives de la famille Krebs déposées au  [https://www.servicehistorique.sga.defense.gouv.fr/ark/1643327 Service historique de la Défense (DE 2014 PA 40 1)].&lt;/ref&gt;

&lt;ref name=1884_ACAD-Krebs&gt;

'''1884-08''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3055h/f316  '''Académie des sciences'''] : NAVIGATION AÉRIENNE. ''Sur un aérostat dirigeable''. Note de MM. CH. RENARD and A. C. KREBS, presentée par M. Hervé Mangon.&lt;/ref&gt;

&lt;ref name=portefeuille&gt;

'''1892''' - '''Portefeuille économique des machines''' : [[c:File:1892_Portefeuille-%C3%A9conomique%3DPompe_Durenne_%26_Krebs_1888.pdf|&quot;''Pompe à incendie à vapeur de la ville de Paris ('''modèle de 1888''')'']] - ''Chaudière à vapeur multitubulaire à tubes curvilignes à circulation automatique et dilatation libre de MM. Durenne &amp; Krebs''&quot;.&lt;/ref&gt;

&lt;ref name=1889_Comité&gt;
'''28/02/1889''' - Comptes-rendus du [http://rytmo.net/ACK/1889-02-28_Pompiers_PP-DB273_Comite-Perfectionnement.pdf &quot;''Comité de perfectionnement''&quot;] des Pompiers de Paris.&lt;/ref&gt;

&lt;ref name=1896_Krebs_Levassor&gt;
'''1896-09-03''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1896-09-03_rencontre_Levassor-Krebs%3Dprise_de_licence_sur_le_brevet_Krebs.pdf Lettre de prise de license d''''Émile LEVASSOR'''] adressée à Arthur C. KREBS pour son '''Brevet d'automobile''' : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:1896-05-13_A.C.KREBS%3DBrevet_FR256344-%27voiture-automobile%27.pdf&amp;page=10 '''FR'''256344], [https://worldwide.espacenet.com/patent/search/family/032536216/publication/GB189619774A?q=GB189619774A '''GB'''189619774A], [[c:File%3A1896-11-09_BE124538%3Dbrevet_belge_de_la_voiture_de_A._C._KREBS.pdf|'''BE'''124538]].&lt;/ref&gt;

&lt;ref name=1896_voiturette_Krebs&gt;
&quot;'''LA VOITURETTE KREBS'''&quot; par Louis Lockaert, ingénieur École Centrale de Paris, LA FRANCE AUTOMOBILE, p.305, Paris, '''1896'''.&lt;/ref&gt;

&lt;ref name=Rolls&gt;
Site: [https://www.scienceandsociety.co.uk/results.asp?search=1&amp;screenwidth=1600&amp;pixperpage=50&amp;searchtxtkeys=Panhard&amp;lastsearchtxtkeys=&amp;withinresults=&amp;searchphotographer=&amp;wwwflag=&amp;lstformats=&amp;lstorients=All+Orientations&amp;captions= '''Science &amp; Society''' - Picture Library:] ''C. S. ROLLS et ses voitures de course Panhard &amp; Levassor''.&lt;/ref&gt;

&lt;ref name=Rolls-1899&gt;Photos de 1900 de la voiture de C. S. Rolls de 1899 conçue par A. C. KREBS sur [https://www.scienceandsociety.co.uk/results.asp?search=panhard+6+hp&amp;page=1 science and society].&lt;/ref&gt;

&lt;ref name=1906_Krebs_Selden&gt;
'''1906''' - [https://hal.science/hal-05527435 Témoignage  d'Arthur Constantin KREBS] lors du procès Selden à New-York. &lt;/ref&gt;

&lt;ref name=1884_de-Grilleau&gt;
'''1884''' - [https://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:De_Grilleau_-_btv1b531494061.jpg '''De Grilleau'''] - ''[http://cnum.cnam.fr/CGI/fpage.cgi?12CA313/1/100/218/0004/0217 Les aérostats dirigeables : leur passé, leur présent, leur avenir] - Le [[w:La France (ballon dirigeable)|ballon de Meudon]] et les progrès les plus récents de l'aéronautique''. Un regard critique sur &quot;[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]&quot;: &quot;''Le capitaine Krebs forme, avec le capitaine Renard, '''un contraste frappant'''. Il est aussi blond que son collègue est brun, aussi froid que l'autre est enthousiaste. Le capitaine Krebs a plutôt la tournure d'un officier que celle d'un savant. [...] '''La qualité prédominante du capitaine Krebs est le sens pratique. Il ne fait exécuter une machine qu'après en avoir étudié à fond chaque organe. [...] Contrairement à son collègue Mr. Renard, '''il se défend d'être inventeur'''. Dans les travaux dont il est chargé, le capitaine Krebs ne donne aucune part à l'imagination, et base tous ses calculs sur des chiffres certains, et vérifiés par l'expérience'''.''&quot;&lt;/ref&gt;
'''1884''' - [https://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:De_Grilleau_-_btv1b531494061.jpg '''De Grilleau'''] - ''[http://cnum.cnam.fr/CGI/fpage.cgi?12CA313/1/100/218/0004/0217 Les aérostats dirigeables : leur passé, leur présent, leur avenir] - Le [[w:La France (ballon dirigeable)|ballon de Meudon]] et les progrès les plus récents de l'aéronautique''. Un regard critique sur &quot;[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]&quot;: &quot;''Le capitaine Krebs forme, avec le capitaine Renard, '''un contraste frappant'''. Il est aussi blond que son collègue est brun, aussi froid que l'autre est enthousiaste. Le capitaine Krebs a plutôt la tournure d'un officier que celle d'un savant. [...] '''La qualité prédominante du capitaine Krebs est le sens pratique. Il ne fait exécuter une machine qu'après en avoir étudié à fond chaque organe. [...] Contrairement à son collègue Mr. Renard, '''il se défend d'être inventeur'''. Dans les travaux dont il est chargé, le capitaine Krebs ne donne aucune part à l'imagination, et base tous ses calculs sur des chiffres certains, et vérifiés par l'expérience'''.''&quot;&lt;/ref&gt;

&lt;ref name=Fréminville&gt;'''2001''' - Voyages de Charles de Fréminville aux Etats-Unis: 1885-1898-1913-1919 (Yves Le Quesne).&lt;/ref&gt;

&lt;ref name=vanadium&gt;[https://archive.org/details/mylifeandwork00crowgoog/page/n78/mode/2up?q=vanadium '''1923''' - '''Henry Ford''' &quot;''Ma vie et mon œuvre&quot;]: &lt;small&gt;&quot;''En '''1905''', j'assistais à une course automobile à Palm Beach. Un grave carambolage se produisit et une voiture française [une voiture de course Panhard] fut détruite. Nous avions engagé notre &quot;[https://fr.wikipedia.org/wiki/Ford_Model_K Modèle K]&quot; — la six cylindres à grande puissance. Je pensais que les voitures étrangères avaient des pièces plus petites et de meilleure qualité que celles que nous connaissions. Après l'accident, je ramassai une petite tige de soupape. Elle était très légère et très résistante. Je demandai de quoi elle était faite. Personne ne le savait. Je confiai la tige à mon assistant. 'Renseignez-vous sur ce matériau', lui dis-je. 'C'est le genre de matériau que nous devrions utiliser dans nos voitures.' Il finit par découvrir qu'il s'agissait d'un acier français contenant du vanadium. Nous avons contacté tous les aciéristes américains — aucun n'était capable de produire de l'acier au vanadium. J'ai fait venir d'Angleterre un homme qui savait comment fabriquer cet acier à l'échelle industrielle. L'étape suivante consistait à trouver une usine'' ['''la [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:A_kr%C3%B3m-van%C3%A1diumac%C3%A9l_sz%C3%BClet%C3%A9se.jpg United Alloy Steel de Canton, Ohio'''] ]'' pour le produire.''&quot;&lt;/small&gt;&lt;/ref&gt;

&lt;ref name=Krebs_1924&gt;
'''1924-06''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1924-06_SHD-DE-2014-PA-40_Lettre-Arthur-KREBS_au_G%C3%A9n%C3%A9ral_de_Montluisant.pdf Lettre autobiographique] d'Arthur Constantin KREBS à son cousin le Général de Montluisant (SHD-DE-2014-PA-40) lui demandant d'expliquer sa carrière, suite à l'article de Paul Renard dans la &quot;Revue Aéronautique&quot; à l'occasion des 40 ans du dirigeable &quot;'''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]'''''&quot; (Arch. Krebs).&lt;/ref&gt;

&lt;ref name=1935_Dépêche_de_Brest&gt;
'''1935-02-03''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3478635/f3.image.r=krebs ''La Dépêche de Brest'']: &quot;Une visite à M. Arthur Krebs, qui vient d'être promu commandeur de la Légion d'honneur&quot;.&lt;/ref&gt;

&lt;ref name=VCP&gt;
Site: [https://oldauto.wixsite.com/clement-panhard Clément-Panhard on the web].&lt;/ref&gt;

&lt;ref name=CdF&gt;'''1915-11-11''' - Lettre de [[w:Charles_de_La_Poix_de_Fréminville|'''Ch. de Fréminville''']] à [[w:René_de_Knyff|René_de_Knyff]] (administrateur de Panhard &amp; Levassor).&lt;/ref&gt;


== Liens externes ==
* Charles Renard and Arthur Krebs in the [https://web.archive.org/web/20100528024835/http://www.centennialofflight.gov/essay/Lighter_than_air/Beginning_of_the_Dirigible/LTA6.htm US Centennial of Flight Commission]

* [http://rbmn.free.fr/Krebs_EN.html The site dedicated to Arthur KREBS (in English)]

* [https://oldauto.wixsite.com/clement-panhard Clément-Panhard on the web]

* Hydroplane History: [http://www.lesliefield.com/other_history/development_of_the_high.htm The Development of the High-Speed Launch or Automobile Boat – 1904]

* Jules Verne: [http://www.gutenberg.org/ebooks/3808 ''Robur The Conqueror'']

* ([[w:Musée_de_l%27air_et_de_l%27espace|Air and Space Museum]], Le Bourget, Paris) : [http://www.pyperpote.tonsite.biz/listinmae/index.php/les-appareils-exposes/halls-1-et-2-la-grande-galerie/328-dirigeable-renard-et-kreps-la-france museum reserves-1], [http://www.pyperpote.tonsite.biz/listinmae/index.php/les-appareils-exposes/halls-1-et-2-la-grande-galerie/53-equipements-d-aerostation-militaire-renard museum reserves-2]

== Autres categories ==
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[[Catégorie:Henry Ford]]
 --&gt;</text>
      <sha1>es1o3c75dn3itcsgvchzlp99giabxso</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Mécanique 2 (PCSI)/Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie</title>
    <ns>0</ns>
    <id>87363</id>
    <revision>
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      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur */</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="216301" sha1="96lirqtir78acyjcz75vjmrlpgkxbxh" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 9
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Non Amorti.&lt;/ref&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt;}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_t\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\,R_2\,&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\,R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à gauche&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\,+12\; V\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» inférieure à &lt;math&gt;\,10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\,u_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\,&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,2,4\; V\,&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\,0,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\,F\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;interface Orphy-GTI&quot;&gt; Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;potentiomètre monotour&quot;&gt; Voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.&lt;/ref&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\,1\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\,&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\,COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,10\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\,7000\,&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\,2\;P + 1\,&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\,b_0 = 1\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,f_c\,&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\,f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\,1\;Hz\big]\,&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\,n_e\,&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\,\big\{n_e\,&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\,7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; ou plus devrait {{Nobr|convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.}}&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\,2\;P + 1 = 41\,&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|3}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal &lt;br&gt;{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\,P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\,2\;\pi\,&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle  &lt;br&gt;{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,2,5\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\,1000\,&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\,12\; s\,&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\,4800\,&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir &lt;br&gt;{{Al|98}}de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\,\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\,90\;\text{°}\,&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié &lt;br&gt;{{Al|98}}au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\,\nearrow\,&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\,10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\,O\big)\,&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; » ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt;, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt;}} lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;déf de urG&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}(t)\;&lt;/math&gt; étant le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; vecteur de base sphérique de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; associé au point &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant direct, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\;&lt;/math&gt;», appliquée en &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, se décomposant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}a priori selon &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt; mais, avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, celle-ci se simplifie en &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I.&quot;&gt; Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la foce de frottement fluide étant une réaction&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;à l'instant &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le vecteur accélération initial de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à un instant légèrement postérieur &lt;math&gt;\,\delta t\,&lt;/math&gt; est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide &lt;math&gt;\,\ldots\,&lt;/math&gt; ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est dans le plan vertical de lancement&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; de vecteur moment par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}un pseudo point centré en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, point quelconque de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot;&gt; Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au vecteur vitesse du solide.&lt;/ref&gt; de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|&lt;sup&gt;60&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; du plan localement transverse à savoir «&lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\,dS\,&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subit une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Bigg\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; en dépendent, néanmoins nous supposerons, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\,e\,&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\,z\,&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_i = 0\,&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_s = e &gt; 0\,&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\,z^{+}\,&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\,z^{-}\,&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\,Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,d \Sigma\,&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\,z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\,Pa \cdot s\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\,Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\,\mu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\,m^2 \cdot s^{-1}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\,St\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »&lt;math&gt;\Bigg\}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; laquelle se réécrit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\,I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en dérivant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; par rapport au temps, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_I\,&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle &lt;math&gt;\,\theta_I\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; avec la verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; avec cette même verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\,\theta_I = \theta_G\,&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;I\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» en accord avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement et «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\,\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;»  ou encore «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant l'équation &lt;math&gt;\,(\mathfrak{2})\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; doit être remplacée par &lt;math&gt;\,\varphi_G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «&lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt;, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;», soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot;&gt; Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour lesquelles &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, équation différentielle linéaire homogène du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; à cœfficients constants, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot;&gt; Constante d'intégration &lt;math&gt;\,A_i\,&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\,&lt;/math&gt; sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|&lt;sup&gt;82&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot;&gt; Si une longueur était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot;&gt; Si la vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait la vitesse orthoradiale &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; également discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot;&gt; Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit finalement «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot;&gt; En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence &lt;math&gt;\,xOz\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot;&gt; Par absence de vitesse initiale on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0)
 = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot;&gt; La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG_0}\,&lt;/math&gt; dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de lancement&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance &lt;math&gt;\,[OG]\,&lt;/math&gt; étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot;&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; unitaire vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_x\,&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{u}_y&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal égal à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, l'espace physique étant &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;&lt;/math&gt; soit directe », }}orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot;&gt; On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «&lt;math&gt;\;\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\theta_G}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}«&lt;math&gt;\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\theta_G\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot;&gt; Abscisse angulaire du C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. noté «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; est aussi le &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moment &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, de moment vectoriel en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de la liaison sphérique &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement fluide linéaire.&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;retour au repérage polaire du plan zOx&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; dont on déduit &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot;&gt; Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sont rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moments &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot;&gt; On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\,\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,-\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\,m\,\vec{g}\big)\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,&lt;/math&gt; d'où, &lt;math&gt;\,\theta\,&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[\theta\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,&lt; 0\big]\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; rencontre l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}&lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot; /&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour un }}lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot; /&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. en rotation autour de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; nous obtenons «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans la mesure où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire.

=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, fut-il linéaire «&lt;math&gt;\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;&lt;/math&gt;», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'a donc &lt;u&gt;pas de résolution analytique exacte&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, la seule possibilité étant une résolution approchée &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot;&gt; On devrait dire « élongations angulaires petites &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou non&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en valeur absolue&lt;/u&gt; » mais personne ne le fait par abus de langage.&lt;/ref&gt; » &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;analytique }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;ref&gt; Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer &lt;ref&gt; Que la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].&lt;/ref&gt; le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières suivantes : &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot;&gt; Conditions notées «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].&lt;/ref&gt; » avec la valeur absolue de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; petite &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot;&gt; À condition que l'angle soit exprimé en &lt;math&gt;\,rad&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert\,&lt;/math&gt; ne dépassera pas &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\,&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}soit «&lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; possibilité de D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot;&gt; Développement Limité.&lt;/ref&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; au &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}voisinage de &lt;math&gt;\,0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}d'où linéarisation de l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}selon «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}équation différentielle linéaire à cœfficients constants du &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre et homogène. &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans le cas des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et, dans cette hypothèse, devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» de pulsation propre &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}«&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\,\sigma\,\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O} = 2\;\sigma\;\omega_0}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\,g\,\mathfrak{a}\,J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &lt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même forme&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma = 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;ref name=&quot;même forme - bis&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &gt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;ref name=&quot;même forme - ter&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_termes_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Simple Non Amorti.&lt;/ref&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}\,&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical initial, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, }}le mouvement de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant }}d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser }}les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathit{l}\,,\right.}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\theta\,&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Nous nous proposons de retrouver l'équation différentielle du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d'axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|Cas om M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance }}de rotation &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance de rotation &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\,\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; A priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus.&lt;/ref&gt; de moment scalaire par rapport &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force de contact }}à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\,\vec{T}(t)\,&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. colinéaire à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OM}(t)\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\,\Vert \vec{T}(t) \Vert\,&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\,\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot; /&gt;, conduit à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;», avec &lt;math&gt;\,\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; accélération angulaire à la daue &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,M\,\left( m \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}}\,&lt;/math&gt; }}relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; est la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» et finalement, en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, homogène &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. }}caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.

=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : les abscisses angulaires d’équilibre étant les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « composante de &lt;math&gt;\,m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}l’équation différentielle ayant été obtenue par «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}avec l’équation différentielle déterminée par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;, moment scalaire moteur »&lt;math&gt;\big\},&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : avec }}l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont aussi les zéros du « moment scalaire moteur » &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. :  }}d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\,\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;-m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» de rappel&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}au voisinage d'un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = \pi&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}répulsive&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; lié à la force motrice &lt;math&gt;\,F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)}\,&lt;/math&gt; lié }}par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = F(\theta)\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» nous induisons &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}la propriété &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « de rappel » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est stable et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : la propriété }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « répulsif » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est instable. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce qui a été rappelé ci-dessus est la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; des équilibres d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;, mais il existe aussi &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : Ce qui a été rappelé ci-dessus est }}une détermination graphique &lt;ref name=&quot;détemination graphique de la stabilité ou non des équilibres d'un P.P.S.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; qui peut être restituée en remplaçant la « composante orthoradiale de force motrice » par le « moment scalaire moteur » &lt;math&gt;\ldots&lt;/math&gt;

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et
* ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ;
{{Al|5}}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;, les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

&lt;u&gt;Détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et conclure selon les résultats suivants :
* &lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus : &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre trois «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre ou plus : &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre cinq selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», correspondant à un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &lt;\; 0\;&lt;/math&gt;» et « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &gt;\; 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\big)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats :

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
}}</text>
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        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur */</comment>
      <origin>987085</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="219728" sha1="kgce89gf5z6os1dzbc18wtb93qtnh9o" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 9
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Non Amorti.&lt;/ref&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt;}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_t\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\,R_2\,&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\,R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à gauche&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\,+12\; V\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» inférieure à &lt;math&gt;\,10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\,u_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\,&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,2,4\; V\,&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\,0,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\,F\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;interface Orphy-GTI&quot;&gt; Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;potentiomètre monotour&quot;&gt; Voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.&lt;/ref&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\,1\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\,&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\,COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,10\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\,7000\,&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\,2\;P + 1\,&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\,b_0 = 1\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,f_c\,&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\,f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\,1\;Hz\big]\,&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\,n_e\,&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\,\big\{n_e\,&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\,7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; ou plus devrait {{Nobr|convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.}}&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\,2\;P + 1 = 41\,&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|3}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal &lt;br&gt;{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\,P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\,2\;\pi\,&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle  &lt;br&gt;{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,2,5\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\,1000\,&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\,12\; s\,&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\,4800\,&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir &lt;br&gt;{{Al|98}}de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\,\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\,90\;\text{°}\,&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié &lt;br&gt;{{Al|98}}au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\,\nearrow\,&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\,10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\,O\big)\,&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; » ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt;, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt;}} lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;déf de urG&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}(t)\;&lt;/math&gt; étant le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; vecteur de base sphérique de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; associé au point &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant direct, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\;&lt;/math&gt;», appliquée en &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, se décomposant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}a priori selon &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt; mais, avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, celle-ci se simplifie en &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I.&quot;&gt; Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la foce de frottement fluide étant une réaction&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;à l'instant &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le vecteur accélération initial de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à un instant légèrement postérieur &lt;math&gt;\,\delta t\,&lt;/math&gt; est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide &lt;math&gt;\,\ldots\,&lt;/math&gt; ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est dans le plan vertical de lancement&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; de vecteur moment par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}un pseudo point centré en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, point quelconque de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot;&gt; Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au vecteur vitesse du solide.&lt;/ref&gt; de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|&lt;sup&gt;60&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; du plan localement transverse à savoir «&lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\,dS\,&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subit une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Bigg\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; en dépendent, néanmoins nous supposerons, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\,e\,&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\,z\,&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_i = 0\,&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_s = e &gt; 0\,&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\,z^{+}\,&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\,z^{-}\,&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\,Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,d \Sigma\,&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\,z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\,Pa \cdot s\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\,Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\,\mu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\,m^2 \cdot s^{-1}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\,St\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »&lt;math&gt;\Bigg\}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; laquelle se réécrit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\,I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en dérivant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; par rapport au temps, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_I\,&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle &lt;math&gt;\,\theta_I\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; avec la verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; avec cette même verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\,\theta_I = \theta_G\,&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;I\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» en accord avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement et «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\,\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;»  ou encore «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant l'équation &lt;math&gt;\,(\mathfrak{2})\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; doit être remplacée par &lt;math&gt;\,\varphi_G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «&lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt;, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;», soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot;&gt; Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour lesquelles &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, équation différentielle linéaire homogène du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; à cœfficients constants, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot;&gt; Constante d'intégration &lt;math&gt;\,A_i\,&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\,&lt;/math&gt; sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|&lt;sup&gt;82&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot;&gt; Si une longueur était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot;&gt; Si la vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait la vitesse orthoradiale &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; également discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot;&gt; Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit finalement «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot;&gt; En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence &lt;math&gt;\,xOz\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot;&gt; Par absence de vitesse initiale on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0)
 = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot;&gt; La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG_0}\,&lt;/math&gt; dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de lancement&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance &lt;math&gt;\,[OG]\,&lt;/math&gt; étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot;&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; unitaire vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_x\,&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{u}_y&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal égal à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, l'espace physique étant &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;&lt;/math&gt; soit directe », }}orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot;&gt; On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «&lt;math&gt;\;\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\theta_G}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}«&lt;math&gt;\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\theta_G\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot;&gt; Abscisse angulaire du C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. noté «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; est aussi le &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moment &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, de moment vectoriel en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de la liaison sphérique &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement fluide linéaire.&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;retour au repérage polaire du plan zOx&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; dont on déduit &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot;&gt; Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sont rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moments &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot;&gt; On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\,\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,-\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\,m\,\vec{g}\big)\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,&lt;/math&gt; d'où, &lt;math&gt;\,\theta\,&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[\theta\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,&lt; 0\big]\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; rencontre l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}&lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot; /&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour un }}lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot; /&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. en rotation autour de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; nous obtenons «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans la mesure où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire.

=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, fut-il linéaire «&lt;math&gt;\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;&lt;/math&gt;», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'a donc &lt;u&gt;pas de résolution analytique exacte&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, la seule possibilité étant une résolution approchée &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot;&gt; On devrait dire « élongations angulaires petites &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou non&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en valeur absolue&lt;/u&gt; » mais personne ne le fait par abus de langage.&lt;/ref&gt; » &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;analytique }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;ref&gt; Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer &lt;ref&gt; Que la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].&lt;/ref&gt; le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières suivantes : &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot;&gt; Conditions notées «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].&lt;/ref&gt; » avec la valeur absolue de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; petite &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot;&gt; À condition que l'angle soit exprimé en &lt;math&gt;\,rad&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert\,&lt;/math&gt; ne dépassera pas &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\,&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}soit «&lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; possibilité de D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot;&gt; Développement Limité.&lt;/ref&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; au &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}voisinage de &lt;math&gt;\,0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}d'où linéarisation de l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}selon «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}équation différentielle linéaire à cœfficients constants du &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre et homogène. &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans le cas des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et, dans cette hypothèse, devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» de pulsation propre &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}«&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\,\sigma\,\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O} = 2\;\sigma\;\omega_0}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\,g\,\mathfrak{a}\,J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &lt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même forme&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma = 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;ref name=&quot;même forme - bis&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &gt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;ref name=&quot;même forme - ter&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_termes_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Simple Non Amorti.&lt;/ref&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}\,&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical initial, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, }}le mouvement de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant }}d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser }}les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathit{l}\,,\right.}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\theta\,&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Nous nous proposons de retrouver l'équation différentielle du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d'axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|Cas om M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance }}de rotation &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance de rotation &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\,\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; A priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus.&lt;/ref&gt; de moment scalaire par rapport &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force de contact }}à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\,\vec{T}(t)\,&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. colinéaire à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OM}(t)\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\,\Vert \vec{T}(t) \Vert\,&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\,\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot; /&gt;, conduit à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;», avec &lt;math&gt;\,\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; accélération angulaire à la daue &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,M\,\left( m \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}}\,&lt;/math&gt; }}relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; est la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» et finalement, en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, homogène &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. }}caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.

=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : les abscisses angulaires d’équilibre étant les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « composante de &lt;math&gt;\,m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}l’équation différentielle ayant été obtenue par «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}avec l’équation différentielle déterminée par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;, moment scalaire moteur »&lt;math&gt;\big\},&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : avec }}l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont aussi les zéros du « moment scalaire moteur » &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. :  }}d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\,\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;-m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» de rappel&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}au voisinage d'un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = \pi&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}répulsive&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; lié à la force motrice &lt;math&gt;\,F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)}\,&lt;/math&gt; lié }}par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = F(\theta)\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» nous induisons &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}la propriété &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « de rappel » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est stable et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : la propriété }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « répulsif » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est instable. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce qui a été rappelé ci-dessus est la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; des équilibres d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;, mais il existe aussi &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : Ce qui a été rappelé ci-dessus est }}une détermination graphique &lt;ref name=&quot;détemination graphique de la stabilité ou non des équilibres d'un P.P.S.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; qui peut être restituée en remplaçant la « composante orthoradiale de force motrice » par le « moment scalaire moteur » &lt;math&gt;\ldots&lt;/math&gt;

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\perp}\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » }}les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; En fait il s'agit du moment scalaire résultant moteur s'il y a plusieurs moments scalaires moteurs ne s'annulant pas avec le mouvement.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;algébrique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}conclure selon les résultats suivants : &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\,&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », 

&lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus : &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre trois «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre ou plus : &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre cinq selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», correspondant à un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &lt;\; 0\;&lt;/math&gt;» et « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &gt;\; 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\big)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats :

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
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        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur */</comment>
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      <text bytes="219294" sha1="ebyctuc1jxc1qqguy3yibwmtfxtvfe9" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 9
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Non Amorti.&lt;/ref&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt;}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_t\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\,R_2\,&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\,R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à gauche&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\,+12\; V\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» inférieure à &lt;math&gt;\,10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\,u_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\,&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,2,4\; V\,&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\,0,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\,F\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;interface Orphy-GTI&quot;&gt; Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;potentiomètre monotour&quot;&gt; Voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.&lt;/ref&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\,1\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\,&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\,COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,10\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\,7000\,&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\,2\;P + 1\,&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\,b_0 = 1\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,f_c\,&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\,f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\,1\;Hz\big]\,&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\,n_e\,&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\,\big\{n_e\,&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\,7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; ou plus devrait {{Nobr|convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.}}&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\,2\;P + 1 = 41\,&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|3}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal &lt;br&gt;{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\,P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\,2\;\pi\,&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle  &lt;br&gt;{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,2,5\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\,1000\,&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\,12\; s\,&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\,4800\,&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir &lt;br&gt;{{Al|98}}de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\,\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\,90\;\text{°}\,&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié &lt;br&gt;{{Al|98}}au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\,\nearrow\,&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\,10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\,O\big)\,&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; » ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt;, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt;}} lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;déf de urG&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}(t)\;&lt;/math&gt; étant le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; vecteur de base sphérique de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; associé au point &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant direct, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\;&lt;/math&gt;», appliquée en &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, se décomposant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}a priori selon &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt; mais, avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, celle-ci se simplifie en &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I.&quot;&gt; Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la foce de frottement fluide étant une réaction&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;à l'instant &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le vecteur accélération initial de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à un instant légèrement postérieur &lt;math&gt;\,\delta t\,&lt;/math&gt; est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide &lt;math&gt;\,\ldots\,&lt;/math&gt; ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est dans le plan vertical de lancement&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; de vecteur moment par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}un pseudo point centré en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, point quelconque de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot;&gt; Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au vecteur vitesse du solide.&lt;/ref&gt; de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|&lt;sup&gt;60&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; du plan localement transverse à savoir «&lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\,dS\,&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subit une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Bigg\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; en dépendent, néanmoins nous supposerons, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\,e\,&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\,z\,&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_i = 0\,&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_s = e &gt; 0\,&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\,z^{+}\,&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\,z^{-}\,&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\,Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,d \Sigma\,&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\,z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\,Pa \cdot s\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\,Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\,\mu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\,m^2 \cdot s^{-1}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\,St\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »&lt;math&gt;\Bigg\}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; laquelle se réécrit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\,I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en dérivant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; par rapport au temps, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_I\,&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle &lt;math&gt;\,\theta_I\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; avec la verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; avec cette même verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\,\theta_I = \theta_G\,&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;I\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» en accord avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement et «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\,\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;»  ou encore «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant l'équation &lt;math&gt;\,(\mathfrak{2})\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; doit être remplacée par &lt;math&gt;\,\varphi_G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «&lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt;, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;», soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot;&gt; Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour lesquelles &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, équation différentielle linéaire homogène du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; à cœfficients constants, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot;&gt; Constante d'intégration &lt;math&gt;\,A_i\,&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\,&lt;/math&gt; sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|&lt;sup&gt;82&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot;&gt; Si une longueur était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot;&gt; Si la vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait la vitesse orthoradiale &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; également discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot;&gt; Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit finalement «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot;&gt; En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence &lt;math&gt;\,xOz\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot;&gt; Par absence de vitesse initiale on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0)
 = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot;&gt; La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG_0}\,&lt;/math&gt; dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de lancement&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance &lt;math&gt;\,[OG]\,&lt;/math&gt; étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot;&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; unitaire vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_x\,&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{u}_y&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal égal à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, l'espace physique étant &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;&lt;/math&gt; soit directe », }}orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot;&gt; On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «&lt;math&gt;\;\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\theta_G}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}«&lt;math&gt;\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\theta_G\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot;&gt; Abscisse angulaire du C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. noté «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; est aussi le &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moment &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, de moment vectoriel en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de la liaison sphérique &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement fluide linéaire.&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;retour au repérage polaire du plan zOx&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; dont on déduit &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot;&gt; Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sont rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moments &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot;&gt; On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\,\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,-\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\,m\,\vec{g}\big)\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,&lt;/math&gt; d'où, &lt;math&gt;\,\theta\,&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[\theta\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,&lt; 0\big]\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; rencontre l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}&lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot; /&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour un }}lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot; /&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. en rotation autour de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; nous obtenons «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans la mesure où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire.

=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, fut-il linéaire «&lt;math&gt;\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;&lt;/math&gt;», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'a donc &lt;u&gt;pas de résolution analytique exacte&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, la seule possibilité étant une résolution approchée &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot;&gt; On devrait dire « élongations angulaires petites &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou non&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en valeur absolue&lt;/u&gt; » mais personne ne le fait par abus de langage.&lt;/ref&gt; » &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;analytique }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;ref&gt; Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer &lt;ref&gt; Que la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].&lt;/ref&gt; le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières suivantes : &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot;&gt; Conditions notées «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].&lt;/ref&gt; » avec la valeur absolue de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; petite &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot;&gt; À condition que l'angle soit exprimé en &lt;math&gt;\,rad&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert\,&lt;/math&gt; ne dépassera pas &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\,&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}soit «&lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; possibilité de D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot;&gt; Développement Limité.&lt;/ref&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; au &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}voisinage de &lt;math&gt;\,0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}d'où linéarisation de l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}selon «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}équation différentielle linéaire à cœfficients constants du &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre et homogène. &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans le cas des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et, dans cette hypothèse, devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» de pulsation propre &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}«&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\,\sigma\,\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O} = 2\;\sigma\;\omega_0}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\,g\,\mathfrak{a}\,J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &lt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même forme&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma = 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;ref name=&quot;même forme - bis&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &gt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;ref name=&quot;même forme - ter&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_termes_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Simple Non Amorti.&lt;/ref&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}\,&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical initial, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, }}le mouvement de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant }}d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser }}les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathit{l}\,,\right.}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\theta\,&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Nous nous proposons de retrouver l'équation différentielle du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d'axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|Cas om M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance }}de rotation &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance de rotation &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\,\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; A priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus.&lt;/ref&gt; de moment scalaire par rapport &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force de contact }}à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\,\vec{T}(t)\,&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. colinéaire à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OM}(t)\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\,\Vert \vec{T}(t) \Vert\,&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\,\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot; /&gt;, conduit à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;», avec &lt;math&gt;\,\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; accélération angulaire à la daue &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,M\,\left( m \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}}\,&lt;/math&gt; }}relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; est la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» et finalement, en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, homogène &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. }}caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.

=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : les abscisses angulaires d’équilibre étant les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « composante de &lt;math&gt;\,m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}l’équation différentielle ayant été obtenue par «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}avec l’équation différentielle déterminée par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;, moment scalaire moteur »&lt;math&gt;\big\},&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : avec }}l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont aussi les zéros du « moment scalaire moteur » &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. :  }}d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\,\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;-m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» de rappel&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}au voisinage d'un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = \pi&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}répulsive&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; lié à la force motrice &lt;math&gt;\,F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)}\,&lt;/math&gt; lié }}par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = F(\theta)\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» nous induisons &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}la propriété &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « de rappel » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est stable et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : la propriété }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « répulsif » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est instable. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce qui a été rappelé ci-dessus est la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; des équilibres d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;, mais il existe aussi &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : Ce qui a été rappelé ci-dessus est }}une détermination graphique &lt;ref name=&quot;détemination graphique de la stabilité ou non des équilibres d'un P.P.S.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; qui peut être restituée en remplaçant la « composante orthoradiale de force motrice » par le « moment scalaire moteur » &lt;math&gt;\ldots&lt;/math&gt;

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\perp}\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » }}les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; En fait il s'agit du moment scalaire résultant moteur s'il y a plusieurs moments scalaires moteurs ne s'annulant pas avec le mouvement.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;algébrique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}conclure selon les résultats suivants : &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\,&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,


* &lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus : &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre trois «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre ou plus : &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre cinq selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», correspondant à un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &lt;\; 0\;&lt;/math&gt;» et « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &gt;\; 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\big)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats :

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
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        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur */</comment>
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      <text bytes="219276" sha1="3t3k6tzo7799l2hpad1xuv8lqsfk6tj" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 9
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Non Amorti.&lt;/ref&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt;}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_t\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\,R_2\,&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\,R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à gauche&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\,+12\; V\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» inférieure à &lt;math&gt;\,10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\,u_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\,&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,2,4\; V\,&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\,0,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\,F\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;interface Orphy-GTI&quot;&gt; Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;potentiomètre monotour&quot;&gt; Voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.&lt;/ref&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\,1\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\,&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\,COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,10\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\,7000\,&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\,2\;P + 1\,&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\,b_0 = 1\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,f_c\,&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\,f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\,1\;Hz\big]\,&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\,n_e\,&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\,\big\{n_e\,&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\,7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; ou plus devrait {{Nobr|convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.}}&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\,2\;P + 1 = 41\,&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|3}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal &lt;br&gt;{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\,P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\,2\;\pi\,&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle  &lt;br&gt;{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,2,5\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\,1000\,&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\,12\; s\,&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\,4800\,&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir &lt;br&gt;{{Al|98}}de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\,\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\,90\;\text{°}\,&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié &lt;br&gt;{{Al|98}}au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\,\nearrow\,&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\,10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\,O\big)\,&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; » ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt;, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt;}} lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;déf de urG&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}(t)\;&lt;/math&gt; étant le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; vecteur de base sphérique de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; associé au point &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant direct, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\;&lt;/math&gt;», appliquée en &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, se décomposant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}a priori selon &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt; mais, avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, celle-ci se simplifie en &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I.&quot;&gt; Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la foce de frottement fluide étant une réaction&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;à l'instant &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le vecteur accélération initial de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à un instant légèrement postérieur &lt;math&gt;\,\delta t\,&lt;/math&gt; est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide &lt;math&gt;\,\ldots\,&lt;/math&gt; ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est dans le plan vertical de lancement&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; de vecteur moment par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}un pseudo point centré en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, point quelconque de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot;&gt; Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au vecteur vitesse du solide.&lt;/ref&gt; de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|&lt;sup&gt;60&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; du plan localement transverse à savoir «&lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\,dS\,&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subit une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Bigg\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; en dépendent, néanmoins nous supposerons, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\,e\,&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\,z\,&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_i = 0\,&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_s = e &gt; 0\,&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\,z^{+}\,&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\,z^{-}\,&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\,Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,d \Sigma\,&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\,z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\,Pa \cdot s\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\,Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\,\mu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\,m^2 \cdot s^{-1}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\,St\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »&lt;math&gt;\Bigg\}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; laquelle se réécrit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\,I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en dérivant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; par rapport au temps, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_I\,&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle &lt;math&gt;\,\theta_I\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; avec la verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; avec cette même verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\,\theta_I = \theta_G\,&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;I\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» en accord avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement et «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\,\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;»  ou encore «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant l'équation &lt;math&gt;\,(\mathfrak{2})\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; doit être remplacée par &lt;math&gt;\,\varphi_G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «&lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt;, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;», soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot;&gt; Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour lesquelles &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, équation différentielle linéaire homogène du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; à cœfficients constants, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot;&gt; Constante d'intégration &lt;math&gt;\,A_i\,&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\,&lt;/math&gt; sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|&lt;sup&gt;82&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot;&gt; Si une longueur était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot;&gt; Si la vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait la vitesse orthoradiale &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; également discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot;&gt; Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit finalement «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot;&gt; En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence &lt;math&gt;\,xOz\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot;&gt; Par absence de vitesse initiale on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0)
 = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot;&gt; La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG_0}\,&lt;/math&gt; dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de lancement&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance &lt;math&gt;\,[OG]\,&lt;/math&gt; étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot;&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; unitaire vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_x\,&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{u}_y&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal égal à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, l'espace physique étant &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;&lt;/math&gt; soit directe », }}orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot;&gt; On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «&lt;math&gt;\;\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\theta_G}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}«&lt;math&gt;\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\theta_G\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot;&gt; Abscisse angulaire du C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. noté «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; est aussi le &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moment &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, de moment vectoriel en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de la liaison sphérique &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement fluide linéaire.&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;retour au repérage polaire du plan zOx&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; dont on déduit &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot;&gt; Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sont rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moments &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot;&gt; On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\,\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,-\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\,m\,\vec{g}\big)\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,&lt;/math&gt; d'où, &lt;math&gt;\,\theta\,&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[\theta\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,&lt; 0\big]\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; rencontre l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}&lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot; /&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour un }}lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot; /&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. en rotation autour de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; nous obtenons «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans la mesure où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire.

=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, fut-il linéaire «&lt;math&gt;\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;&lt;/math&gt;», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'a donc &lt;u&gt;pas de résolution analytique exacte&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, la seule possibilité étant une résolution approchée &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot;&gt; On devrait dire « élongations angulaires petites &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou non&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en valeur absolue&lt;/u&gt; » mais personne ne le fait par abus de langage.&lt;/ref&gt; » &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;analytique }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;ref&gt; Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer &lt;ref&gt; Que la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].&lt;/ref&gt; le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières suivantes : &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot;&gt; Conditions notées «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].&lt;/ref&gt; » avec la valeur absolue de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; petite &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot;&gt; À condition que l'angle soit exprimé en &lt;math&gt;\,rad&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert\,&lt;/math&gt; ne dépassera pas &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\,&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}soit «&lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; possibilité de D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot;&gt; Développement Limité.&lt;/ref&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; au &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}voisinage de &lt;math&gt;\,0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}d'où linéarisation de l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}selon «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}équation différentielle linéaire à cœfficients constants du &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre et homogène. &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans le cas des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et, dans cette hypothèse, devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» de pulsation propre &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}«&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\,\sigma\,\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O} = 2\;\sigma\;\omega_0}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\,g\,\mathfrak{a}\,J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &lt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même forme&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma = 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;ref name=&quot;même forme - bis&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &gt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;ref name=&quot;même forme - ter&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_termes_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Simple Non Amorti.&lt;/ref&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}\,&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical initial, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, }}le mouvement de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant }}d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser }}les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathit{l}\,,\right.}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\theta\,&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Nous nous proposons de retrouver l'équation différentielle du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d'axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|Cas om M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance }}de rotation &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance de rotation &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\,\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; A priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus.&lt;/ref&gt; de moment scalaire par rapport &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force de contact }}à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\,\vec{T}(t)\,&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. colinéaire à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OM}(t)\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\,\Vert \vec{T}(t) \Vert\,&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\,\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot; /&gt;, conduit à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;», avec &lt;math&gt;\,\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; accélération angulaire à la daue &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,M\,\left( m \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}}\,&lt;/math&gt; }}relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; est la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» et finalement, en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, homogène &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. }}caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.

=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : les abscisses angulaires d’équilibre étant les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « composante de &lt;math&gt;\,m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}l’équation différentielle ayant été obtenue par «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}avec l’équation différentielle déterminée par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;, moment scalaire moteur »&lt;math&gt;\big\},&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : avec }}l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont aussi les zéros du « moment scalaire moteur » &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. :  }}d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\,\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;-m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» de rappel&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}au voisinage d'un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = \pi&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}répulsive&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; lié à la force motrice &lt;math&gt;\,F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)}\,&lt;/math&gt; lié }}par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = F(\theta)\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» nous induisons &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}la propriété &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « de rappel » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est stable et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : la propriété }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « répulsif » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est instable. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce qui a été rappelé ci-dessus est la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; des équilibres d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;, mais il existe aussi &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : Ce qui a été rappelé ci-dessus est }}une détermination graphique &lt;ref name=&quot;détemination graphique de la stabilité ou non des équilibres d'un P.P.S.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; qui peut être restituée en remplaçant la « composante orthoradiale de force motrice » par le « moment scalaire moteur » &lt;math&gt;\ldots&lt;/math&gt;

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\perp}\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » }}les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; En fait il s'agit du moment scalaire résultant moteur s'il y a plusieurs moments scalaires moteurs ne s'annulant pas avec le mouvement.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;algébrique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}conclure selon les résultats suivants : &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\,&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,


* &lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus : &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre trois «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre ou plus : &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre cinq selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», correspondant à un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &lt;\; 0\;&lt;/math&gt;» et « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &gt;\; 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\big)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats :

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
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        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur */</comment>
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      <text bytes="219275" sha1="tbdpgpm9ukwqm5staayv73497d59xtw" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 9
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Non Amorti.&lt;/ref&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt;}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_t\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\,R_2\,&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\,R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à gauche&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\,+12\; V\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» inférieure à &lt;math&gt;\,10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\,u_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\,&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,2,4\; V\,&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\,0,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\,F\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;interface Orphy-GTI&quot;&gt; Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;potentiomètre monotour&quot;&gt; Voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.&lt;/ref&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\,1\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\,&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\,COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,10\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\,7000\,&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\,2\;P + 1\,&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\,b_0 = 1\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,f_c\,&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\,f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\,1\;Hz\big]\,&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\,n_e\,&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\,\big\{n_e\,&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\,7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; ou plus devrait {{Nobr|convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.}}&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\,2\;P + 1 = 41\,&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|3}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal &lt;br&gt;{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\,P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\,2\;\pi\,&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle  &lt;br&gt;{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,2,5\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\,1000\,&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\,12\; s\,&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\,4800\,&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir &lt;br&gt;{{Al|98}}de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\,\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\,90\;\text{°}\,&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié &lt;br&gt;{{Al|98}}au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\,\nearrow\,&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\,10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\,O\big)\,&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; » ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt;, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt;}} lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;déf de urG&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}(t)\;&lt;/math&gt; étant le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; vecteur de base sphérique de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; associé au point &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant direct, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\;&lt;/math&gt;», appliquée en &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, se décomposant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}a priori selon &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt; mais, avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, celle-ci se simplifie en &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I.&quot;&gt; Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la foce de frottement fluide étant une réaction&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;à l'instant &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le vecteur accélération initial de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à un instant légèrement postérieur &lt;math&gt;\,\delta t\,&lt;/math&gt; est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide &lt;math&gt;\,\ldots\,&lt;/math&gt; ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est dans le plan vertical de lancement&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; de vecteur moment par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}un pseudo point centré en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, point quelconque de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot;&gt; Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au vecteur vitesse du solide.&lt;/ref&gt; de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|&lt;sup&gt;60&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; du plan localement transverse à savoir «&lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\,dS\,&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subit une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Bigg\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; en dépendent, néanmoins nous supposerons, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\,e\,&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\,z\,&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_i = 0\,&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_s = e &gt; 0\,&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\,z^{+}\,&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\,z^{-}\,&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\,Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,d \Sigma\,&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\,z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\,Pa \cdot s\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\,Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\,\mu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\,m^2 \cdot s^{-1}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\,St\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »&lt;math&gt;\Bigg\}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; laquelle se réécrit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\,I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en dérivant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; par rapport au temps, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_I\,&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle &lt;math&gt;\,\theta_I\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; avec la verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; avec cette même verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\,\theta_I = \theta_G\,&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;I\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» en accord avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement et «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\,\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;»  ou encore «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant l'équation &lt;math&gt;\,(\mathfrak{2})\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; doit être remplacée par &lt;math&gt;\,\varphi_G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «&lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt;, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;», soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot;&gt; Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour lesquelles &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, équation différentielle linéaire homogène du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; à cœfficients constants, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot;&gt; Constante d'intégration &lt;math&gt;\,A_i\,&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\,&lt;/math&gt; sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|&lt;sup&gt;82&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot;&gt; Si une longueur était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot;&gt; Si la vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait la vitesse orthoradiale &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; également discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot;&gt; Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit finalement «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot;&gt; En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence &lt;math&gt;\,xOz\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot;&gt; Par absence de vitesse initiale on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0)
 = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot;&gt; La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG_0}\,&lt;/math&gt; dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de lancement&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance &lt;math&gt;\,[OG]\,&lt;/math&gt; étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot;&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; unitaire vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_x\,&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{u}_y&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal égal à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, l'espace physique étant &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;&lt;/math&gt; soit directe », }}orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot;&gt; On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «&lt;math&gt;\;\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\theta_G}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}«&lt;math&gt;\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\theta_G\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot;&gt; Abscisse angulaire du C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. noté «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; est aussi le &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moment &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, de moment vectoriel en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de la liaison sphérique &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement fluide linéaire.&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;retour au repérage polaire du plan zOx&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; dont on déduit &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot;&gt; Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sont rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moments &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot;&gt; On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\,\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,-\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\,m\,\vec{g}\big)\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,&lt;/math&gt; d'où, &lt;math&gt;\,\theta\,&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[\theta\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,&lt; 0\big]\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; rencontre l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}&lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot; /&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour un }}lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot; /&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. en rotation autour de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; nous obtenons «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans la mesure où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire.

=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, fut-il linéaire «&lt;math&gt;\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;&lt;/math&gt;», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'a donc &lt;u&gt;pas de résolution analytique exacte&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, la seule possibilité étant une résolution approchée &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot;&gt; On devrait dire « élongations angulaires petites &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou non&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en valeur absolue&lt;/u&gt; » mais personne ne le fait par abus de langage.&lt;/ref&gt; » &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;analytique }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;ref&gt; Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer &lt;ref&gt; Que la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].&lt;/ref&gt; le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières suivantes : &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot;&gt; Conditions notées «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].&lt;/ref&gt; » avec la valeur absolue de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; petite &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot;&gt; À condition que l'angle soit exprimé en &lt;math&gt;\,rad&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert\,&lt;/math&gt; ne dépassera pas &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\,&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}soit «&lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; possibilité de D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot;&gt; Développement Limité.&lt;/ref&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; au &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}voisinage de &lt;math&gt;\,0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}d'où linéarisation de l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}selon «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}équation différentielle linéaire à cœfficients constants du &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre et homogène. &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans le cas des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et, dans cette hypothèse, devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» de pulsation propre &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}«&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\,\sigma\,\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O} = 2\;\sigma\;\omega_0}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\,g\,\mathfrak{a}\,J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &lt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même forme&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma = 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;ref name=&quot;même forme - bis&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &gt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;ref name=&quot;même forme - ter&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_termes_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Simple Non Amorti.&lt;/ref&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}\,&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical initial, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, }}le mouvement de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant }}d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser }}les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathit{l}\,,\right.}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\theta\,&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Nous nous proposons de retrouver l'équation différentielle du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d'axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|Cas om M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance }}de rotation &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance de rotation &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\,\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; A priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus.&lt;/ref&gt; de moment scalaire par rapport &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force de contact }}à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\,\vec{T}(t)\,&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. colinéaire à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OM}(t)\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\,\Vert \vec{T}(t) \Vert\,&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\,\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot; /&gt;, conduit à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;», avec &lt;math&gt;\,\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; accélération angulaire à la daue &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,M\,\left( m \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}}\,&lt;/math&gt; }}relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; est la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» et finalement, en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, homogène &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. }}caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.

=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : les abscisses angulaires d’équilibre étant les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « composante de &lt;math&gt;\,m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}l’équation différentielle ayant été obtenue par «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}avec l’équation différentielle déterminée par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;, moment scalaire moteur »&lt;math&gt;\big\},&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : avec }}l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont aussi les zéros du « moment scalaire moteur » &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. :  }}d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\,\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;-m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» de rappel&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}au voisinage d'un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = \pi&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}répulsive&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; lié à la force motrice &lt;math&gt;\,F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)}\,&lt;/math&gt; lié }}par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = F(\theta)\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» nous induisons &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}la propriété &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « de rappel » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est stable et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : la propriété }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « répulsif » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est instable. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce qui a été rappelé ci-dessus est la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; des équilibres d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;, mais il existe aussi &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : Ce qui a été rappelé ci-dessus est }}une détermination graphique &lt;ref name=&quot;détemination graphique de la stabilité ou non des équilibres d'un P.P.S.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; qui peut être restituée en remplaçant la « composante orthoradiale de force motrice » par le « moment scalaire moteur » &lt;math&gt;\ldots&lt;/math&gt;

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\perp}\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » }}les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; En fait il s'agit du moment scalaire résultant moteur s'il y a plusieurs moments scalaires moteurs ne s'annulant pas avec le mouvement.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;algébrique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}conclure selon les résultats suivants : &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\,&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,


* &lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus : &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre trois «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre ou plus : &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre cinq selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», correspondant à un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &lt;\; 0\;&lt;/math&gt;» et « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &gt;\; 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\big)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats :

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
}}</text>
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        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur */</comment>
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      <text bytes="219866" sha1="rhr7y0kajxbhhpae2pluhied74iud6j" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 9
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Non Amorti.&lt;/ref&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt;}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_t\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\,R_2\,&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\,R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à gauche&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\,+12\; V\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» inférieure à &lt;math&gt;\,10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\,u_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\,&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,2,4\; V\,&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\,0,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\,F\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;interface Orphy-GTI&quot;&gt; Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;potentiomètre monotour&quot;&gt; Voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.&lt;/ref&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\,1\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\,&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\,COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,10\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\,7000\,&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\,2\;P + 1\,&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\,b_0 = 1\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,f_c\,&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\,f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\,1\;Hz\big]\,&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\,n_e\,&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\,\big\{n_e\,&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\,7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; ou plus devrait {{Nobr|convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.}}&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\,2\;P + 1 = 41\,&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|3}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal &lt;br&gt;{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\,P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\,2\;\pi\,&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle  &lt;br&gt;{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,2,5\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\,1000\,&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\,12\; s\,&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\,4800\,&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir &lt;br&gt;{{Al|98}}de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\,\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\,90\;\text{°}\,&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié &lt;br&gt;{{Al|98}}au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\,\nearrow\,&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\,10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\,O\big)\,&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; » ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt;, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt;}} lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;déf de urG&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}(t)\;&lt;/math&gt; étant le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; vecteur de base sphérique de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; associé au point &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant direct, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\;&lt;/math&gt;», appliquée en &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, se décomposant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}a priori selon &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt; mais, avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, celle-ci se simplifie en &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I.&quot;&gt; Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la foce de frottement fluide étant une réaction&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;à l'instant &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le vecteur accélération initial de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à un instant légèrement postérieur &lt;math&gt;\,\delta t\,&lt;/math&gt; est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide &lt;math&gt;\,\ldots\,&lt;/math&gt; ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est dans le plan vertical de lancement&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; de vecteur moment par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}un pseudo point centré en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, point quelconque de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot;&gt; Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au vecteur vitesse du solide.&lt;/ref&gt; de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|&lt;sup&gt;60&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; du plan localement transverse à savoir «&lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\,dS\,&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subit une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Bigg\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; en dépendent, néanmoins nous supposerons, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\,e\,&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\,z\,&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_i = 0\,&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_s = e &gt; 0\,&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\,z^{+}\,&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\,z^{-}\,&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\,Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,d \Sigma\,&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\,z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\,Pa \cdot s\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\,Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\,\mu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\,m^2 \cdot s^{-1}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\,St\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »&lt;math&gt;\Bigg\}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; laquelle se réécrit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\,I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en dérivant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; par rapport au temps, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_I\,&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle &lt;math&gt;\,\theta_I\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; avec la verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; avec cette même verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\,\theta_I = \theta_G\,&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;I\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» en accord avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement et «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\,\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;»  ou encore «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant l'équation &lt;math&gt;\,(\mathfrak{2})\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; doit être remplacée par &lt;math&gt;\,\varphi_G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «&lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt;, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;», soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot;&gt; Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour lesquelles &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, équation différentielle linéaire homogène du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; à cœfficients constants, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot;&gt; Constante d'intégration &lt;math&gt;\,A_i\,&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\,&lt;/math&gt; sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|&lt;sup&gt;82&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot;&gt; Si une longueur était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot;&gt; Si la vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait la vitesse orthoradiale &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; également discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot;&gt; Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit finalement «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot;&gt; En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence &lt;math&gt;\,xOz\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot;&gt; Par absence de vitesse initiale on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0)
 = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot;&gt; La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG_0}\,&lt;/math&gt; dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de lancement&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance &lt;math&gt;\,[OG]\,&lt;/math&gt; étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot;&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; unitaire vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_x\,&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{u}_y&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal égal à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, l'espace physique étant &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;&lt;/math&gt; soit directe », }}orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot;&gt; On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «&lt;math&gt;\;\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\theta_G}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}«&lt;math&gt;\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\theta_G\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot;&gt; Abscisse angulaire du C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. noté «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; est aussi le &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moment &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, de moment vectoriel en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de la liaison sphérique &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement fluide linéaire.&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;retour au repérage polaire du plan zOx&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; dont on déduit &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot;&gt; Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sont rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moments &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot;&gt; On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\,\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,-\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\,m\,\vec{g}\big)\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,&lt;/math&gt; d'où, &lt;math&gt;\,\theta\,&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[\theta\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,&lt; 0\big]\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; rencontre l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}&lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot; /&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour un }}lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot; /&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. en rotation autour de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; nous obtenons «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans la mesure où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire.

=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, fut-il linéaire «&lt;math&gt;\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;&lt;/math&gt;», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'a donc &lt;u&gt;pas de résolution analytique exacte&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, la seule possibilité étant une résolution approchée &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot;&gt; On devrait dire « élongations angulaires petites &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou non&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en valeur absolue&lt;/u&gt; » mais personne ne le fait par abus de langage.&lt;/ref&gt; » &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;analytique }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;ref&gt; Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer &lt;ref&gt; Que la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].&lt;/ref&gt; le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières suivantes : &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot;&gt; Conditions notées «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].&lt;/ref&gt; » avec la valeur absolue de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; petite &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot;&gt; À condition que l'angle soit exprimé en &lt;math&gt;\,rad&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert\,&lt;/math&gt; ne dépassera pas &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\,&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}soit «&lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; possibilité de D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot;&gt; Développement Limité.&lt;/ref&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; au &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}voisinage de &lt;math&gt;\,0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}d'où linéarisation de l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}selon «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}équation différentielle linéaire à cœfficients constants du &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre et homogène. &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans le cas des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et, dans cette hypothèse, devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» de pulsation propre &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}«&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\,\sigma\,\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O} = 2\;\sigma\;\omega_0}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\,g\,\mathfrak{a}\,J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &lt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même forme&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma = 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;ref name=&quot;même forme - bis&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &gt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;ref name=&quot;même forme - ter&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_termes_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Simple Non Amorti.&lt;/ref&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}\,&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical initial, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, }}le mouvement de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant }}d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser }}les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathit{l}\,,\right.}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\theta\,&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Nous nous proposons de retrouver l'équation différentielle du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d'axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|Cas om M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance }}de rotation &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance de rotation &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\,\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; A priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus.&lt;/ref&gt; de moment scalaire par rapport &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force de contact }}à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\,\vec{T}(t)\,&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. colinéaire à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OM}(t)\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\,\Vert \vec{T}(t) \Vert\,&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\,\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot; /&gt;, conduit à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;», avec &lt;math&gt;\,\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; accélération angulaire à la daue &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,M\,\left( m \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}}\,&lt;/math&gt; }}relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; est la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» et finalement, en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, homogène &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. }}caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.

=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : les abscisses angulaires d’équilibre étant les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « composante de &lt;math&gt;\,m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}l’équation différentielle ayant été obtenue par «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}avec l’équation différentielle déterminée par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;, moment scalaire moteur »&lt;math&gt;\big\},&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : avec }}l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont aussi les zéros du « moment scalaire moteur » &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. :  }}d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\,\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;-m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» de rappel&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}au voisinage d'un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = \pi&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}répulsive&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; lié à la force motrice &lt;math&gt;\,F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)}\,&lt;/math&gt; lié }}par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = F(\theta)\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» nous induisons &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}la propriété &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « de rappel » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est stable et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : la propriété }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « répulsif » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est instable. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce qui a été rappelé ci-dessus est la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; des équilibres d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;, mais il existe aussi &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : Ce qui a été rappelé ci-dessus est }}une détermination graphique &lt;ref name=&quot;détemination graphique de la stabilité ou non des équilibres d'un P.P.S.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; qui peut être restituée en remplaçant la « composante orthoradiale de force motrice » par le « moment scalaire moteur » &lt;math&gt;\ldots&lt;/math&gt;

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\perp}\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » }}les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; En fait il s'agit du moment scalaire résultant moteur s'il y a plusieurs moments scalaires moteurs ne s'annulant pas avec le mouvement.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;algébrique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}conclure selon les résultats suivants : &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\,&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,


* &lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus : &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre trois «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre ou plus : &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre cinq selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», correspondant à un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &lt;\; 0\;&lt;/math&gt;» et « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &gt;\; 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\big)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats :

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
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        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur */</comment>
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      <text bytes="219866" sha1="cqxpci3yqy0jrcxtqeetip6ph5eufro" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 9
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Non Amorti.&lt;/ref&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt;}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_t\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\,R_2\,&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\,R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à gauche&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\,+12\; V\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» inférieure à &lt;math&gt;\,10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\,u_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\,&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,2,4\; V\,&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\,0,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\,F\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;interface Orphy-GTI&quot;&gt; Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;potentiomètre monotour&quot;&gt; Voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.&lt;/ref&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\,1\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\,&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\,COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,10\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\,7000\,&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\,2\;P + 1\,&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\,b_0 = 1\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,f_c\,&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\,f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\,1\;Hz\big]\,&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\,n_e\,&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\,\big\{n_e\,&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\,7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; ou plus devrait {{Nobr|convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.}}&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\,2\;P + 1 = 41\,&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|3}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal &lt;br&gt;{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\,P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\,2\;\pi\,&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle  &lt;br&gt;{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,2,5\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\,1000\,&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\,12\; s\,&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\,4800\,&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir &lt;br&gt;{{Al|98}}de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\,\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\,90\;\text{°}\,&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié &lt;br&gt;{{Al|98}}au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\,\nearrow\,&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\,10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\,O\big)\,&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; » ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt;, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt;}} lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;déf de urG&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}(t)\;&lt;/math&gt; étant le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; vecteur de base sphérique de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; associé au point &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant direct, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\;&lt;/math&gt;», appliquée en &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, se décomposant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}a priori selon &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt; mais, avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, celle-ci se simplifie en &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I.&quot;&gt; Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la foce de frottement fluide étant une réaction&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;à l'instant &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le vecteur accélération initial de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à un instant légèrement postérieur &lt;math&gt;\,\delta t\,&lt;/math&gt; est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide &lt;math&gt;\,\ldots\,&lt;/math&gt; ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est dans le plan vertical de lancement&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; de vecteur moment par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}un pseudo point centré en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, point quelconque de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot;&gt; Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au vecteur vitesse du solide.&lt;/ref&gt; de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|&lt;sup&gt;60&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; du plan localement transverse à savoir «&lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\,dS\,&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subit une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Bigg\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; en dépendent, néanmoins nous supposerons, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\,e\,&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\,z\,&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_i = 0\,&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_s = e &gt; 0\,&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\,z^{+}\,&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\,z^{-}\,&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\,Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,d \Sigma\,&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\,z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\,Pa \cdot s\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\,Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\,\mu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\,m^2 \cdot s^{-1}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\,St\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »&lt;math&gt;\Bigg\}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; laquelle se réécrit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\,I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en dérivant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; par rapport au temps, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_I\,&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle &lt;math&gt;\,\theta_I\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; avec la verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; avec cette même verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\,\theta_I = \theta_G\,&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;I\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» en accord avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement et «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\,\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;»  ou encore «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant l'équation &lt;math&gt;\,(\mathfrak{2})\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; doit être remplacée par &lt;math&gt;\,\varphi_G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «&lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt;, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;», soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot;&gt; Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour lesquelles &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, équation différentielle linéaire homogène du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; à cœfficients constants, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot;&gt; Constante d'intégration &lt;math&gt;\,A_i\,&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\,&lt;/math&gt; sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|&lt;sup&gt;82&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot;&gt; Si une longueur était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot;&gt; Si la vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait la vitesse orthoradiale &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; également discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot;&gt; Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit finalement «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot;&gt; En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence &lt;math&gt;\,xOz\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot;&gt; Par absence de vitesse initiale on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0)
 = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot;&gt; La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG_0}\,&lt;/math&gt; dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de lancement&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance &lt;math&gt;\,[OG]\,&lt;/math&gt; étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot;&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; unitaire vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_x\,&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{u}_y&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal égal à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, l'espace physique étant &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;&lt;/math&gt; soit directe », }}orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot;&gt; On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «&lt;math&gt;\;\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\theta_G}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}«&lt;math&gt;\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\theta_G\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot;&gt; Abscisse angulaire du C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. noté «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; est aussi le &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moment &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, de moment vectoriel en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de la liaison sphérique &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement fluide linéaire.&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;retour au repérage polaire du plan zOx&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; dont on déduit &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot;&gt; Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sont rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moments &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot;&gt; On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\,\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,-\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\,m\,\vec{g}\big)\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,&lt;/math&gt; d'où, &lt;math&gt;\,\theta\,&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[\theta\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,&lt; 0\big]\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; rencontre l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}&lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot; /&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour un }}lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot; /&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. en rotation autour de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; nous obtenons «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans la mesure où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire.

=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, fut-il linéaire «&lt;math&gt;\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;&lt;/math&gt;», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'a donc &lt;u&gt;pas de résolution analytique exacte&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, la seule possibilité étant une résolution approchée &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot;&gt; On devrait dire « élongations angulaires petites &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou non&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en valeur absolue&lt;/u&gt; » mais personne ne le fait par abus de langage.&lt;/ref&gt; » &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;analytique }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;ref&gt; Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer &lt;ref&gt; Que la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].&lt;/ref&gt; le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières suivantes : &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot;&gt; Conditions notées «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].&lt;/ref&gt; » avec la valeur absolue de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; petite &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot;&gt; À condition que l'angle soit exprimé en &lt;math&gt;\,rad&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert\,&lt;/math&gt; ne dépassera pas &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\,&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}soit «&lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; possibilité de D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot;&gt; Développement Limité.&lt;/ref&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; au &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}voisinage de &lt;math&gt;\,0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}d'où linéarisation de l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}selon «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}équation différentielle linéaire à cœfficients constants du &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre et homogène. &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans le cas des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et, dans cette hypothèse, devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» de pulsation propre &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}«&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\,\sigma\,\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O} = 2\;\sigma\;\omega_0}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\,g\,\mathfrak{a}\,J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &lt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même forme&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma = 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;ref name=&quot;même forme - bis&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &gt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;ref name=&quot;même forme - ter&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_termes_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Simple Non Amorti.&lt;/ref&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}\,&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical initial, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, }}le mouvement de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant }}d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser }}les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathit{l}\,,\right.}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\theta\,&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Nous nous proposons de retrouver l'équation différentielle du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d'axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|Cas om M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance }}de rotation &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance de rotation &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\,\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; A priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus.&lt;/ref&gt; de moment scalaire par rapport &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force de contact }}à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\,\vec{T}(t)\,&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. colinéaire à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OM}(t)\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\,\Vert \vec{T}(t) \Vert\,&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\,\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot; /&gt;, conduit à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;», avec &lt;math&gt;\,\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; accélération angulaire à la daue &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,M\,\left( m \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}}\,&lt;/math&gt; }}relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; est la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» et finalement, en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, homogène &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. }}caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.

=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : les abscisses angulaires d’équilibre étant les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « composante de &lt;math&gt;\,m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}l’équation différentielle ayant été obtenue par «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}avec l’équation différentielle déterminée par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;, moment scalaire moteur »&lt;math&gt;\big\},&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : avec }}l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont aussi les zéros du « moment scalaire moteur » &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. :  }}d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\,\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;-m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» de rappel&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}au voisinage d'un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = \pi&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}répulsive&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; lié à la force motrice &lt;math&gt;\,F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)}\,&lt;/math&gt; lié }}par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = F(\theta)\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» nous induisons &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}la propriété &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « de rappel » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est stable et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : la propriété }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « répulsif » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est instable. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce qui a été rappelé ci-dessus est la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; des équilibres d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;, mais il existe aussi &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : Ce qui a été rappelé ci-dessus est }}une détermination graphique &lt;ref name=&quot;détemination graphique de la stabilité ou non des équilibres d'un P.P.S.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; qui peut être restituée en remplaçant la « composante orthoradiale de force motrice » par le « moment scalaire moteur » &lt;math&gt;\ldots&lt;/math&gt;

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\perp}\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » }}les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; En fait il s'agit du moment scalaire résultant moteur s'il y a plusieurs moments scalaires moteurs ne s'annulant pas avec le mouvement.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;algébrique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}conclure selon les résultats suivants : &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\,&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,


* &lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus : &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre trois «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre ou plus : &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre cinq selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», correspondant à un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &lt;\; 0\;&lt;/math&gt;» et « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &gt;\; 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\big)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats :

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
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        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur */</comment>
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      <text bytes="219866" sha1="4f5xajaj6bgyag55j310h4dk93vbc7g" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 9
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Non Amorti.&lt;/ref&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt;}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_t\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\,R_2\,&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\,R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à gauche&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\,+12\; V\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» inférieure à &lt;math&gt;\,10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\,u_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\,&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,2,4\; V\,&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\,0,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\,F\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;interface Orphy-GTI&quot;&gt; Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;potentiomètre monotour&quot;&gt; Voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.&lt;/ref&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\,1\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\,&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\,COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,10\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\,7000\,&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\,2\;P + 1\,&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\,b_0 = 1\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,f_c\,&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\,f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\,1\;Hz\big]\,&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\,n_e\,&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\,\big\{n_e\,&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\,7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; ou plus devrait {{Nobr|convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.}}&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\,2\;P + 1 = 41\,&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|3}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal &lt;br&gt;{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\,P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\,2\;\pi\,&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle  &lt;br&gt;{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,2,5\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\,1000\,&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\,12\; s\,&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\,4800\,&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir &lt;br&gt;{{Al|98}}de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\,\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\,90\;\text{°}\,&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié &lt;br&gt;{{Al|98}}au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\,\nearrow\,&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\,10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\,O\big)\,&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; » ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt;, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt;}} lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;déf de urG&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}(t)\;&lt;/math&gt; étant le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; vecteur de base sphérique de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; associé au point &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant direct, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\;&lt;/math&gt;», appliquée en &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, se décomposant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}a priori selon &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt; mais, avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, celle-ci se simplifie en &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I.&quot;&gt; Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la foce de frottement fluide étant une réaction&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;à l'instant &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le vecteur accélération initial de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à un instant légèrement postérieur &lt;math&gt;\,\delta t\,&lt;/math&gt; est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide &lt;math&gt;\,\ldots\,&lt;/math&gt; ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est dans le plan vertical de lancement&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; de vecteur moment par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}un pseudo point centré en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, point quelconque de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot;&gt; Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au vecteur vitesse du solide.&lt;/ref&gt; de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|&lt;sup&gt;60&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; du plan localement transverse à savoir «&lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\,dS\,&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subit une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Bigg\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; en dépendent, néanmoins nous supposerons, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\,e\,&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\,z\,&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_i = 0\,&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_s = e &gt; 0\,&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\,z^{+}\,&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\,z^{-}\,&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\,Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,d \Sigma\,&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\,z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\,Pa \cdot s\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\,Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\,\mu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\,m^2 \cdot s^{-1}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\,St\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »&lt;math&gt;\Bigg\}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; laquelle se réécrit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\,I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en dérivant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; par rapport au temps, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_I\,&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle &lt;math&gt;\,\theta_I\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; avec la verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; avec cette même verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\,\theta_I = \theta_G\,&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;I\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» en accord avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement et «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\,\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;»  ou encore «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant l'équation &lt;math&gt;\,(\mathfrak{2})\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; doit être remplacée par &lt;math&gt;\,\varphi_G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «&lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt;, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;», soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot;&gt; Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour lesquelles &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, équation différentielle linéaire homogène du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; à cœfficients constants, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot;&gt; Constante d'intégration &lt;math&gt;\,A_i\,&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\,&lt;/math&gt; sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|&lt;sup&gt;82&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot;&gt; Si une longueur était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot;&gt; Si la vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait la vitesse orthoradiale &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; également discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot;&gt; Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit finalement «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot;&gt; En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence &lt;math&gt;\,xOz\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot;&gt; Par absence de vitesse initiale on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0)
 = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot;&gt; La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG_0}\,&lt;/math&gt; dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de lancement&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance &lt;math&gt;\,[OG]\,&lt;/math&gt; étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot;&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; unitaire vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_x\,&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{u}_y&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal égal à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, l'espace physique étant &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;&lt;/math&gt; soit directe », }}orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot;&gt; On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «&lt;math&gt;\;\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\theta_G}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}«&lt;math&gt;\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\theta_G\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot;&gt; Abscisse angulaire du C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. noté «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; est aussi le &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moment &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, de moment vectoriel en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de la liaison sphérique &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement fluide linéaire.&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;retour au repérage polaire du plan zOx&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; dont on déduit &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot;&gt; Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sont rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moments &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot;&gt; On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\,\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,-\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\,m\,\vec{g}\big)\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,&lt;/math&gt; d'où, &lt;math&gt;\,\theta\,&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[\theta\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,&lt; 0\big]\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; rencontre l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}&lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot; /&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour un }}lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot; /&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. en rotation autour de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; nous obtenons «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans la mesure où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire.

=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, fut-il linéaire «&lt;math&gt;\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;&lt;/math&gt;», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'a donc &lt;u&gt;pas de résolution analytique exacte&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, la seule possibilité étant une résolution approchée &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot;&gt; On devrait dire « élongations angulaires petites &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou non&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en valeur absolue&lt;/u&gt; » mais personne ne le fait par abus de langage.&lt;/ref&gt; » &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;analytique }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;ref&gt; Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer &lt;ref&gt; Que la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].&lt;/ref&gt; le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières suivantes : &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot;&gt; Conditions notées «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].&lt;/ref&gt; » avec la valeur absolue de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; petite &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot;&gt; À condition que l'angle soit exprimé en &lt;math&gt;\,rad&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert\,&lt;/math&gt; ne dépassera pas &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\,&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}soit «&lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; possibilité de D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot;&gt; Développement Limité.&lt;/ref&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; au &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}voisinage de &lt;math&gt;\,0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}d'où linéarisation de l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}selon «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}équation différentielle linéaire à cœfficients constants du &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre et homogène. &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans le cas des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et, dans cette hypothèse, devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» de pulsation propre &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}«&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\,\sigma\,\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O} = 2\;\sigma\;\omega_0}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\,g\,\mathfrak{a}\,J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &lt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même forme&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma = 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;ref name=&quot;même forme - bis&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &gt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;ref name=&quot;même forme - ter&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_termes_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Simple Non Amorti.&lt;/ref&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}\,&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical initial, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, }}le mouvement de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant }}d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser }}les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathit{l}\,,\right.}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\theta\,&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Nous nous proposons de retrouver l'équation différentielle du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d'axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|Cas om M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance }}de rotation &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance de rotation &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\,\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; A priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus.&lt;/ref&gt; de moment scalaire par rapport &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force de contact }}à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\,\vec{T}(t)\,&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. colinéaire à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OM}(t)\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\,\Vert \vec{T}(t) \Vert\,&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\,\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot; /&gt;, conduit à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;», avec &lt;math&gt;\,\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; accélération angulaire à la daue &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,M\,\left( m \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}}\,&lt;/math&gt; }}relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; est la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» et finalement, en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, homogène &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. }}caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.

=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : les abscisses angulaires d’équilibre étant les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « composante de &lt;math&gt;\,m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}l’équation différentielle ayant été obtenue par «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}avec l’équation différentielle déterminée par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;, moment scalaire moteur »&lt;math&gt;\big\},&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : avec }}l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont aussi les zéros du « moment scalaire moteur » &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. :  }}d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\,\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;-m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» de rappel&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}au voisinage d'un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = \pi&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}répulsive&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; lié à la force motrice &lt;math&gt;\,F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)}\,&lt;/math&gt; lié }}par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = F(\theta)\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» nous induisons &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}la propriété &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « de rappel » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est stable et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : la propriété }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « répulsif » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est instable. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce qui a été rappelé ci-dessus est la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; des équilibres d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;, mais il existe aussi &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : Ce qui a été rappelé ci-dessus est }}une détermination graphique &lt;ref name=&quot;détemination graphique de la stabilité ou non des équilibres d'un P.P.S.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; qui peut être restituée en remplaçant la « composante orthoradiale de force motrice » par le « moment scalaire moteur » &lt;math&gt;\ldots&lt;/math&gt;

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\perp}\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » }}les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; En fait il s'agit du moment scalaire résultant moteur s'il y a plusieurs moments scalaires moteurs ne s'annulant pas avec le mouvement.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;algébrique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}conclure selon les résultats suivants : &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\,&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,


* &lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus : &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre trois «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre ou plus : &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre cinq selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», correspondant à un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &lt;\; 0\;&lt;/math&gt;» et « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &gt;\; 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\big)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats :

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
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        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur */</comment>
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      <text bytes="221266" sha1="9qp9rii1lntyx51k8dsja5g9on0lq60" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 9
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Non Amorti.&lt;/ref&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt;}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_t\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\,R_2\,&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\,R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à gauche&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\,+12\; V\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» inférieure à &lt;math&gt;\,10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\,u_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\,&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,2,4\; V\,&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\,0,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\,F\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;interface Orphy-GTI&quot;&gt; Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;potentiomètre monotour&quot;&gt; Voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.&lt;/ref&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\,1\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\,&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\,COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,10\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\,7000\,&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\,2\;P + 1\,&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\,b_0 = 1\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,f_c\,&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\,f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\,1\;Hz\big]\,&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\,n_e\,&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\,\big\{n_e\,&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\,7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; ou plus devrait {{Nobr|convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.}}&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\,2\;P + 1 = 41\,&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|3}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal &lt;br&gt;{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\,P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\,2\;\pi\,&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle  &lt;br&gt;{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,2,5\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\,1000\,&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\,12\; s\,&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\,4800\,&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir &lt;br&gt;{{Al|98}}de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\,\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\,90\;\text{°}\,&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié &lt;br&gt;{{Al|98}}au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\,\nearrow\,&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\,10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\,O\big)\,&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; » ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt;, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt;}} lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;déf de urG&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}(t)\;&lt;/math&gt; étant le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; vecteur de base sphérique de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; associé au point &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant direct, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\;&lt;/math&gt;», appliquée en &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, se décomposant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}a priori selon &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt; mais, avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, celle-ci se simplifie en &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I.&quot;&gt; Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la foce de frottement fluide étant une réaction&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;à l'instant &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le vecteur accélération initial de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à un instant légèrement postérieur &lt;math&gt;\,\delta t\,&lt;/math&gt; est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide &lt;math&gt;\,\ldots\,&lt;/math&gt; ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est dans le plan vertical de lancement&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; de vecteur moment par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}un pseudo point centré en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, point quelconque de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot;&gt; Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au vecteur vitesse du solide.&lt;/ref&gt; de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|&lt;sup&gt;60&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; du plan localement transverse à savoir «&lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\,dS\,&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subit une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Bigg\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; en dépendent, néanmoins nous supposerons, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\,e\,&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\,z\,&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_i = 0\,&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_s = e &gt; 0\,&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\,z^{+}\,&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\,z^{-}\,&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\,Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,d \Sigma\,&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\,z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\,Pa \cdot s\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\,Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\,\mu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\,m^2 \cdot s^{-1}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\,St\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »&lt;math&gt;\Bigg\}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; laquelle se réécrit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\,I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en dérivant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; par rapport au temps, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_I\,&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle &lt;math&gt;\,\theta_I\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; avec la verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; avec cette même verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\,\theta_I = \theta_G\,&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;I\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» en accord avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement et «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\,\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;»  ou encore «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant l'équation &lt;math&gt;\,(\mathfrak{2})\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; doit être remplacée par &lt;math&gt;\,\varphi_G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «&lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt;, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;», soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot;&gt; Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour lesquelles &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, équation différentielle linéaire homogène du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; à cœfficients constants, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot;&gt; Constante d'intégration &lt;math&gt;\,A_i\,&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\,&lt;/math&gt; sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|&lt;sup&gt;82&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot;&gt; Si une longueur était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot;&gt; Si la vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait la vitesse orthoradiale &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; également discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot;&gt; Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit finalement «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot;&gt; En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence &lt;math&gt;\,xOz\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot;&gt; Par absence de vitesse initiale on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0)
 = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot;&gt; La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG_0}\,&lt;/math&gt; dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de lancement&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance &lt;math&gt;\,[OG]\,&lt;/math&gt; étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot;&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; unitaire vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_x\,&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{u}_y&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal égal à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, l'espace physique étant &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;&lt;/math&gt; soit directe », }}orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot;&gt; On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «&lt;math&gt;\;\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\theta_G}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}«&lt;math&gt;\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\theta_G\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot;&gt; Abscisse angulaire du C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. noté «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; est aussi le &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moment &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, de moment vectoriel en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de la liaison sphérique &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement fluide linéaire.&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;retour au repérage polaire du plan zOx&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; dont on déduit &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot;&gt; Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sont rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moments &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot;&gt; On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\,\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,-\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\,m\,\vec{g}\big)\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,&lt;/math&gt; d'où, &lt;math&gt;\,\theta\,&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[\theta\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,&lt; 0\big]\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; rencontre l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}&lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot; /&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour un }}lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot; /&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. en rotation autour de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; nous obtenons «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans la mesure où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire.

=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, fut-il linéaire «&lt;math&gt;\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;&lt;/math&gt;», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'a donc &lt;u&gt;pas de résolution analytique exacte&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, la seule possibilité étant une résolution approchée &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot;&gt; On devrait dire « élongations angulaires petites &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou non&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en valeur absolue&lt;/u&gt; » mais personne ne le fait par abus de langage.&lt;/ref&gt; » &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;analytique }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;ref&gt; Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer &lt;ref&gt; Que la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].&lt;/ref&gt; le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières suivantes : &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot;&gt; Conditions notées «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].&lt;/ref&gt; » avec la valeur absolue de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; petite &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot;&gt; À condition que l'angle soit exprimé en &lt;math&gt;\,rad&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert\,&lt;/math&gt; ne dépassera pas &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\,&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}soit «&lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; possibilité de D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot;&gt; Développement Limité.&lt;/ref&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; au &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}voisinage de &lt;math&gt;\,0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}d'où linéarisation de l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}selon «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}équation différentielle linéaire à cœfficients constants du &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre et homogène. &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans le cas des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et, dans cette hypothèse, devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» de pulsation propre &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}«&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\,\sigma\,\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O} = 2\;\sigma\;\omega_0}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\,g\,\mathfrak{a}\,J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &lt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même forme&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma = 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;ref name=&quot;même forme - bis&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &gt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;ref name=&quot;même forme - ter&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_termes_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Simple Non Amorti.&lt;/ref&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}\,&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical initial, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, }}le mouvement de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant }}d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser }}les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathit{l}\,,\right.}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\theta\,&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Nous nous proposons de retrouver l'équation différentielle du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d'axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|Cas om M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance }}de rotation &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance de rotation &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\,\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; A priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus.&lt;/ref&gt; de moment scalaire par rapport &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force de contact }}à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\,\vec{T}(t)\,&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. colinéaire à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OM}(t)\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\,\Vert \vec{T}(t) \Vert\,&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\,\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot; /&gt;, conduit à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;», avec &lt;math&gt;\,\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; accélération angulaire à la daue &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,M\,\left( m \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}}\,&lt;/math&gt; }}relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; est la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» et finalement, en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, homogène &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. }}caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.

=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : les abscisses angulaires d’équilibre étant les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « composante de &lt;math&gt;\,m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}l’équation différentielle ayant été obtenue par «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}avec l’équation différentielle déterminée par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;, moment scalaire moteur »&lt;math&gt;\big\},&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : avec }}l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont aussi les zéros du « moment scalaire moteur » &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. :  }}d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\,\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;-m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» de rappel&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}au voisinage d'un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = \pi&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}répulsive&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; lié à la force motrice &lt;math&gt;\,F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)}\,&lt;/math&gt; lié }}par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = F(\theta)\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» nous induisons &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}la propriété &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « de rappel » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est stable et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : la propriété }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « répulsif » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est instable. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce qui a été rappelé ci-dessus est la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; des équilibres d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;, mais il existe aussi &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : Ce qui a été rappelé ci-dessus est }}une détermination graphique &lt;ref name=&quot;détemination graphique de la stabilité ou non des équilibres d'un P.P.S.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; qui peut être restituée en remplaçant la « composante orthoradiale de force motrice » par le « moment scalaire moteur » &lt;math&gt;\ldots&lt;/math&gt;

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\perp}\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » }}les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; En fait il s'agit du moment scalaire résultant moteur s'il y a plusieurs moments scalaires moteurs ne s'annulant pas avec le mouvement.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;algébrique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}conclure selon les résultats suivants : 

&lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\,&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre deux &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;»  


*  &lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre trois «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre ou plus : &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre cinq selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», correspondant à un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &lt;\; 0\;&lt;/math&gt;» et « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &gt;\; 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\big)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats :

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
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        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur */</comment>
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      <text bytes="221890" sha1="3dwyqicpi0s2kz078g7lksnuo3c8cm4" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 9
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Non Amorti.&lt;/ref&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt;}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_t\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\,R_2\,&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\,R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à gauche&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\,+12\; V\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» inférieure à &lt;math&gt;\,10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\,u_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\,&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,2,4\; V\,&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\,0,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\,F\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;interface Orphy-GTI&quot;&gt; Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;potentiomètre monotour&quot;&gt; Voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.&lt;/ref&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\,1\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\,&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\,COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,10\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\,7000\,&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\,2\;P + 1\,&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\,b_0 = 1\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,f_c\,&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\,f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\,1\;Hz\big]\,&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\,n_e\,&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\,\big\{n_e\,&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\,7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; ou plus devrait {{Nobr|convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.}}&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\,2\;P + 1 = 41\,&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|3}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal &lt;br&gt;{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\,P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\,2\;\pi\,&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle  &lt;br&gt;{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,2,5\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\,1000\,&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\,12\; s\,&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\,4800\,&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir &lt;br&gt;{{Al|98}}de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\,\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\,90\;\text{°}\,&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié &lt;br&gt;{{Al|98}}au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\,\nearrow\,&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\,10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\,O\big)\,&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; » ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt;, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt;}} lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;déf de urG&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}(t)\;&lt;/math&gt; étant le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; vecteur de base sphérique de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; associé au point &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant direct, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\;&lt;/math&gt;», appliquée en &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, se décomposant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}a priori selon &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt; mais, avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, celle-ci se simplifie en &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I.&quot;&gt; Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la foce de frottement fluide étant une réaction&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;à l'instant &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le vecteur accélération initial de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à un instant légèrement postérieur &lt;math&gt;\,\delta t\,&lt;/math&gt; est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide &lt;math&gt;\,\ldots\,&lt;/math&gt; ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est dans le plan vertical de lancement&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; de vecteur moment par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}un pseudo point centré en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, point quelconque de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot;&gt; Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au vecteur vitesse du solide.&lt;/ref&gt; de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|&lt;sup&gt;60&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; du plan localement transverse à savoir «&lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\,dS\,&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subit une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Bigg\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; en dépendent, néanmoins nous supposerons, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\,e\,&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\,z\,&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_i = 0\,&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_s = e &gt; 0\,&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\,z^{+}\,&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\,z^{-}\,&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\,Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,d \Sigma\,&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\,z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\,Pa \cdot s\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\,Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\,\mu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\,m^2 \cdot s^{-1}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\,St\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »&lt;math&gt;\Bigg\}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; laquelle se réécrit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\,I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en dérivant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; par rapport au temps, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_I\,&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle &lt;math&gt;\,\theta_I\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; avec la verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; avec cette même verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\,\theta_I = \theta_G\,&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;I\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» en accord avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement et «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\,\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;»  ou encore «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant l'équation &lt;math&gt;\,(\mathfrak{2})\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; doit être remplacée par &lt;math&gt;\,\varphi_G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «&lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt;, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;», soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot;&gt; Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour lesquelles &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, équation différentielle linéaire homogène du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; à cœfficients constants, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot;&gt; Constante d'intégration &lt;math&gt;\,A_i\,&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\,&lt;/math&gt; sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|&lt;sup&gt;82&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot;&gt; Si une longueur était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot;&gt; Si la vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait la vitesse orthoradiale &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; également discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot;&gt; Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit finalement «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot;&gt; En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence &lt;math&gt;\,xOz\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot;&gt; Par absence de vitesse initiale on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0)
 = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot;&gt; La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG_0}\,&lt;/math&gt; dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de lancement&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance &lt;math&gt;\,[OG]\,&lt;/math&gt; étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot;&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; unitaire vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_x\,&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{u}_y&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal égal à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, l'espace physique étant &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;&lt;/math&gt; soit directe », }}orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot;&gt; On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «&lt;math&gt;\;\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\theta_G}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}«&lt;math&gt;\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\theta_G\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot;&gt; Abscisse angulaire du C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. noté «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; est aussi le &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moment &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, de moment vectoriel en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de la liaison sphérique &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement fluide linéaire.&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;retour au repérage polaire du plan zOx&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; dont on déduit &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot;&gt; Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sont rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moments &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot;&gt; On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\,\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,-\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\,m\,\vec{g}\big)\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,&lt;/math&gt; d'où, &lt;math&gt;\,\theta\,&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[\theta\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,&lt; 0\big]\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; rencontre l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}&lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot; /&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour un }}lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot; /&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. en rotation autour de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; nous obtenons «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans la mesure où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire.

=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, fut-il linéaire «&lt;math&gt;\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;&lt;/math&gt;», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'a donc &lt;u&gt;pas de résolution analytique exacte&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, la seule possibilité étant une résolution approchée &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot;&gt; On devrait dire « élongations angulaires petites &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou non&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en valeur absolue&lt;/u&gt; » mais personne ne le fait par abus de langage.&lt;/ref&gt; » &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;analytique }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;ref&gt; Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer &lt;ref&gt; Que la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].&lt;/ref&gt; le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières suivantes : &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot;&gt; Conditions notées «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].&lt;/ref&gt; » avec la valeur absolue de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; petite &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot;&gt; À condition que l'angle soit exprimé en &lt;math&gt;\,rad&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert\,&lt;/math&gt; ne dépassera pas &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\,&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}soit «&lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; possibilité de D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot;&gt; Développement Limité.&lt;/ref&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; au &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}voisinage de &lt;math&gt;\,0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}d'où linéarisation de l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}selon «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}équation différentielle linéaire à cœfficients constants du &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre et homogène. &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans le cas des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et, dans cette hypothèse, devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» de pulsation propre &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}«&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\,\sigma\,\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O} = 2\;\sigma\;\omega_0}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\,g\,\mathfrak{a}\,J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &lt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même forme&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma = 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;ref name=&quot;même forme - bis&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &gt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;ref name=&quot;même forme - ter&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_termes_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Simple Non Amorti.&lt;/ref&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}\,&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical initial, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, }}le mouvement de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant }}d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser }}les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathit{l}\,,\right.}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\theta\,&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Nous nous proposons de retrouver l'équation différentielle du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d'axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|Cas om M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance }}de rotation &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance de rotation &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\,\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; A priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus.&lt;/ref&gt; de moment scalaire par rapport &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force de contact }}à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\,\vec{T}(t)\,&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. colinéaire à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OM}(t)\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\,\Vert \vec{T}(t) \Vert\,&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\,\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot; /&gt;, conduit à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;», avec &lt;math&gt;\,\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; accélération angulaire à la daue &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,M\,\left( m \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}}\,&lt;/math&gt; }}relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; est la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» et finalement, en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, homogène &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. }}caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.

=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : les abscisses angulaires d’équilibre étant les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « composante de &lt;math&gt;\,m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}l’équation différentielle ayant été obtenue par «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}avec l’équation différentielle déterminée par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;, moment scalaire moteur »&lt;math&gt;\big\},&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : avec }}l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont aussi les zéros du « moment scalaire moteur » &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. :  }}d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\,\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;-m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» de rappel&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}au voisinage d'un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = \pi&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}répulsive&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; lié à la force motrice &lt;math&gt;\,F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)}\,&lt;/math&gt; lié }}par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = F(\theta)\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» nous induisons &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}la propriété &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « de rappel » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est stable et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : la propriété }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « répulsif » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est instable. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce qui a été rappelé ci-dessus est la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; des équilibres d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;, mais il existe aussi &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : Ce qui a été rappelé ci-dessus est }}une détermination graphique &lt;ref name=&quot;détemination graphique de la stabilité ou non des équilibres d'un P.P.S.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; qui peut être restituée en remplaçant la « composante orthoradiale de force motrice » par le « moment scalaire moteur » &lt;math&gt;\ldots&lt;/math&gt;

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\perp}\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » }}les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; En fait il s'agit du moment scalaire résultant moteur s'il y a plusieurs moments scalaires moteurs ne s'annulant pas avec le mouvement.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;algébrique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}conclure selon les résultats suivants : 

&lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\,&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre deux &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» de signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; »


*  &lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre trois «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre ou plus : &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre cinq selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», correspondant à un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &lt;\; 0\;&lt;/math&gt;» et « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &gt;\; 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\big)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats :

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
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      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur */</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="224643" sha1="tmofelw0a9biwytaeqdmkc68simdu8b" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 9
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Non Amorti.&lt;/ref&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt;}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_t\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\,R_2\,&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\,R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à gauche&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\,+12\; V\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» inférieure à &lt;math&gt;\,10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\,u_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\,&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,2,4\; V\,&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\,0,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\,F\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;interface Orphy-GTI&quot;&gt; Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;potentiomètre monotour&quot;&gt; Voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.&lt;/ref&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\,1\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\,&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\,COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,10\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\,7000\,&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\,2\;P + 1\,&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\,b_0 = 1\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,f_c\,&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\,f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\,1\;Hz\big]\,&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\,n_e\,&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\,\big\{n_e\,&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\,7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; ou plus devrait {{Nobr|convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.}}&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\,2\;P + 1 = 41\,&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|3}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal &lt;br&gt;{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\,P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\,2\;\pi\,&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle  &lt;br&gt;{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,2,5\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\,1000\,&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\,12\; s\,&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\,4800\,&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir &lt;br&gt;{{Al|98}}de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\,\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\,90\;\text{°}\,&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié &lt;br&gt;{{Al|98}}au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\,\nearrow\,&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\,10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\,O\big)\,&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; » ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt;, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt;}} lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;déf de urG&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}(t)\;&lt;/math&gt; étant le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; vecteur de base sphérique de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; associé au point &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant direct, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\;&lt;/math&gt;», appliquée en &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, se décomposant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}a priori selon &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt; mais, avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, celle-ci se simplifie en &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I.&quot;&gt; Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la foce de frottement fluide étant une réaction&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;à l'instant &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le vecteur accélération initial de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à un instant légèrement postérieur &lt;math&gt;\,\delta t\,&lt;/math&gt; est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide &lt;math&gt;\,\ldots\,&lt;/math&gt; ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est dans le plan vertical de lancement&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; de vecteur moment par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}un pseudo point centré en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, point quelconque de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot;&gt; Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au vecteur vitesse du solide.&lt;/ref&gt; de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|&lt;sup&gt;60&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; du plan localement transverse à savoir «&lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\,dS\,&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subit une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Bigg\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; en dépendent, néanmoins nous supposerons, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\,e\,&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\,z\,&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_i = 0\,&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_s = e &gt; 0\,&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\,z^{+}\,&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\,z^{-}\,&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\,Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,d \Sigma\,&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\,z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\,Pa \cdot s\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\,Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\,\mu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\,m^2 \cdot s^{-1}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\,St\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »&lt;math&gt;\Bigg\}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; laquelle se réécrit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\,I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en dérivant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; par rapport au temps, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_I\,&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle &lt;math&gt;\,\theta_I\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; avec la verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; avec cette même verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\,\theta_I = \theta_G\,&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;I\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» en accord avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement et «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\,\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;»  ou encore «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant l'équation &lt;math&gt;\,(\mathfrak{2})\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; doit être remplacée par &lt;math&gt;\,\varphi_G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «&lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt;, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;», soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot;&gt; Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour lesquelles &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, équation différentielle linéaire homogène du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; à cœfficients constants, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot;&gt; Constante d'intégration &lt;math&gt;\,A_i\,&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\,&lt;/math&gt; sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|&lt;sup&gt;82&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot;&gt; Si une longueur était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot;&gt; Si la vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait la vitesse orthoradiale &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; également discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot;&gt; Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit finalement «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot;&gt; En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence &lt;math&gt;\,xOz\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot;&gt; Par absence de vitesse initiale on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0)
 = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot;&gt; La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG_0}\,&lt;/math&gt; dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de lancement&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance &lt;math&gt;\,[OG]\,&lt;/math&gt; étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot;&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; unitaire vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_x\,&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{u}_y&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal égal à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, l'espace physique étant &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;&lt;/math&gt; soit directe », }}orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot;&gt; On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «&lt;math&gt;\;\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\theta_G}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}«&lt;math&gt;\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\theta_G\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot;&gt; Abscisse angulaire du C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. noté «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; est aussi le &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moment &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, de moment vectoriel en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de la liaison sphérique &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement fluide linéaire.&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;retour au repérage polaire du plan zOx&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; dont on déduit &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot;&gt; Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sont rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moments &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot;&gt; On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\,\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,-\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\,m\,\vec{g}\big)\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,&lt;/math&gt; d'où, &lt;math&gt;\,\theta\,&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[\theta\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,&lt; 0\big]\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; rencontre l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}&lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot; /&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour un }}lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot; /&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. en rotation autour de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; nous obtenons «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans la mesure où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire.

=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, fut-il linéaire «&lt;math&gt;\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;&lt;/math&gt;», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'a donc &lt;u&gt;pas de résolution analytique exacte&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, la seule possibilité étant une résolution approchée &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot;&gt; On devrait dire « élongations angulaires petites &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou non&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en valeur absolue&lt;/u&gt; » mais personne ne le fait par abus de langage.&lt;/ref&gt; » &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;analytique }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;ref&gt; Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer &lt;ref&gt; Que la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].&lt;/ref&gt; le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières suivantes : &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot;&gt; Conditions notées «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].&lt;/ref&gt; » avec la valeur absolue de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; petite &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot;&gt; À condition que l'angle soit exprimé en &lt;math&gt;\,rad&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert\,&lt;/math&gt; ne dépassera pas &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\,&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}soit «&lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; possibilité de D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot;&gt; Développement Limité.&lt;/ref&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; au &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}voisinage de &lt;math&gt;\,0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}d'où linéarisation de l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}selon «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}équation différentielle linéaire à cœfficients constants du &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre et homogène. &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans le cas des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et, dans cette hypothèse, devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» de pulsation propre &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}«&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\,\sigma\,\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O} = 2\;\sigma\;\omega_0}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\,g\,\mathfrak{a}\,J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &lt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même forme&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma = 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;ref name=&quot;même forme - bis&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &gt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;ref name=&quot;même forme - ter&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_termes_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Simple Non Amorti.&lt;/ref&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}\,&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical initial, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, }}le mouvement de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant }}d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser }}les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathit{l}\,,\right.}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\theta\,&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Nous nous proposons de retrouver l'équation différentielle du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d'axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|Cas om M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance }}de rotation &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance de rotation &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\,\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; A priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus.&lt;/ref&gt; de moment scalaire par rapport &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force de contact }}à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\,\vec{T}(t)\,&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. colinéaire à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OM}(t)\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\,\Vert \vec{T}(t) \Vert\,&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\,\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot; /&gt;, conduit à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;», avec &lt;math&gt;\,\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; accélération angulaire à la daue &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,M\,\left( m \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}}\,&lt;/math&gt; }}relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; est la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» et finalement, en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, homogène &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. }}caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.

=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : les abscisses angulaires d’équilibre étant les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « composante de &lt;math&gt;\,m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}l’équation différentielle ayant été obtenue par «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}avec l’équation différentielle déterminée par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;, moment scalaire moteur »&lt;math&gt;\big\},&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : avec }}l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont aussi les zéros du « moment scalaire moteur » &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. :  }}d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\,\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;-m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» de rappel&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}au voisinage d'un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = \pi&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}répulsive&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; lié à la force motrice &lt;math&gt;\,F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)}\,&lt;/math&gt; lié }}par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = F(\theta)\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» nous induisons &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}la propriété &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « de rappel » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est stable et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : la propriété }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « répulsif » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est instable. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce qui a été rappelé ci-dessus est la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; des équilibres d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;, mais il existe aussi &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : Ce qui a été rappelé ci-dessus est }}une détermination graphique &lt;ref name=&quot;détemination graphique de la stabilité ou non des équilibres d'un P.P.S.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; qui peut être restituée en remplaçant la « composante orthoradiale de force motrice » par le « moment scalaire moteur » &lt;math&gt;\ldots&lt;/math&gt;

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\perp}\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » }}les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; En fait il s'agit du moment scalaire résultant moteur s'il y a plusieurs moments scalaires moteurs ne s'annulant pas avec le mouvement.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;algébrique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}conclure selon les résultats suivants : 

&lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\,&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus 

&lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre deux &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» de signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; » &lt;ref&gt; En effet «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; étant toujours du signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\,\varepsilon\;&lt;/math&gt;», cela correspond à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre, plus précisément &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable, mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable.&lt;/ref&gt; 

&lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,= 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}&lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre trois 


 &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre trois «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre ou plus : &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre cinq selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», correspondant à un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &lt;\; 0\;&lt;/math&gt;» et « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &gt;\; 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\big)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats :

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
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        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur */</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="224751" sha1="q4qyo5ev9177macxskfvx7hlklfya8e" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 9
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Non Amorti.&lt;/ref&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt;}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_t\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\,R_2\,&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\,R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à gauche&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\,+12\; V\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» inférieure à &lt;math&gt;\,10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\,u_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\,&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,2,4\; V\,&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\,0,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\,F\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;interface Orphy-GTI&quot;&gt; Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;potentiomètre monotour&quot;&gt; Voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.&lt;/ref&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\,1\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\,&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\,COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,10\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\,7000\,&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\,2\;P + 1\,&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\,b_0 = 1\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,f_c\,&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\,f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\,1\;Hz\big]\,&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\,n_e\,&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\,\big\{n_e\,&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\,7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; ou plus devrait {{Nobr|convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.}}&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\,2\;P + 1 = 41\,&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|3}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal &lt;br&gt;{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\,P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\,2\;\pi\,&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle  &lt;br&gt;{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,2,5\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\,1000\,&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\,12\; s\,&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\,4800\,&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir &lt;br&gt;{{Al|98}}de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\,\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\,90\;\text{°}\,&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié &lt;br&gt;{{Al|98}}au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\,\nearrow\,&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\,10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\,O\big)\,&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; » ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt;, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt;}} lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;déf de urG&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}(t)\;&lt;/math&gt; étant le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; vecteur de base sphérique de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; associé au point &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant direct, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\;&lt;/math&gt;», appliquée en &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, se décomposant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}a priori selon &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt; mais, avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, celle-ci se simplifie en &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I.&quot;&gt; Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la foce de frottement fluide étant une réaction&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;à l'instant &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le vecteur accélération initial de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à un instant légèrement postérieur &lt;math&gt;\,\delta t\,&lt;/math&gt; est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide &lt;math&gt;\,\ldots\,&lt;/math&gt; ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est dans le plan vertical de lancement&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; de vecteur moment par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}un pseudo point centré en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, point quelconque de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot;&gt; Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au vecteur vitesse du solide.&lt;/ref&gt; de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|&lt;sup&gt;60&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; du plan localement transverse à savoir «&lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\,dS\,&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subit une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Bigg\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; en dépendent, néanmoins nous supposerons, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\,e\,&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\,z\,&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_i = 0\,&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_s = e &gt; 0\,&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\,z^{+}\,&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\,z^{-}\,&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\,Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,d \Sigma\,&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\,z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\,Pa \cdot s\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\,Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\,\mu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\,m^2 \cdot s^{-1}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\,St\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »&lt;math&gt;\Bigg\}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; laquelle se réécrit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\,I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en dérivant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; par rapport au temps, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_I\,&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle &lt;math&gt;\,\theta_I\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; avec la verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; avec cette même verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\,\theta_I = \theta_G\,&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;I\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» en accord avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement et «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\,\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;»  ou encore «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant l'équation &lt;math&gt;\,(\mathfrak{2})\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; doit être remplacée par &lt;math&gt;\,\varphi_G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «&lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt;, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;», soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot;&gt; Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour lesquelles &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, équation différentielle linéaire homogène du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; à cœfficients constants, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot;&gt; Constante d'intégration &lt;math&gt;\,A_i\,&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\,&lt;/math&gt; sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|&lt;sup&gt;82&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot;&gt; Si une longueur était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot;&gt; Si la vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait la vitesse orthoradiale &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; également discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot;&gt; Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit finalement «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot;&gt; En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence &lt;math&gt;\,xOz\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot;&gt; Par absence de vitesse initiale on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0)
 = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot;&gt; La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG_0}\,&lt;/math&gt; dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de lancement&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance &lt;math&gt;\,[OG]\,&lt;/math&gt; étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot;&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; unitaire vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_x\,&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{u}_y&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal égal à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, l'espace physique étant &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;&lt;/math&gt; soit directe », }}orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot;&gt; On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «&lt;math&gt;\;\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\theta_G}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}«&lt;math&gt;\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\theta_G\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot;&gt; Abscisse angulaire du C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. noté «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; est aussi le &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moment &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, de moment vectoriel en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de la liaison sphérique &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement fluide linéaire.&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;retour au repérage polaire du plan zOx&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; dont on déduit &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot;&gt; Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sont rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moments &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot;&gt; On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\,\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,-\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\,m\,\vec{g}\big)\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,&lt;/math&gt; d'où, &lt;math&gt;\,\theta\,&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[\theta\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,&lt; 0\big]\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; rencontre l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}&lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot; /&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour un }}lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot; /&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. en rotation autour de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; nous obtenons «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans la mesure où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire.

=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, fut-il linéaire «&lt;math&gt;\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;&lt;/math&gt;», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'a donc &lt;u&gt;pas de résolution analytique exacte&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, la seule possibilité étant une résolution approchée &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot;&gt; On devrait dire « élongations angulaires petites &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou non&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en valeur absolue&lt;/u&gt; » mais personne ne le fait par abus de langage.&lt;/ref&gt; » &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;analytique }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;ref&gt; Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer &lt;ref&gt; Que la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].&lt;/ref&gt; le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières suivantes : &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot;&gt; Conditions notées «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].&lt;/ref&gt; » avec la valeur absolue de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; petite &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot;&gt; À condition que l'angle soit exprimé en &lt;math&gt;\,rad&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert\,&lt;/math&gt; ne dépassera pas &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\,&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}soit «&lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; possibilité de D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot;&gt; Développement Limité.&lt;/ref&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; au &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}voisinage de &lt;math&gt;\,0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}d'où linéarisation de l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}selon «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}équation différentielle linéaire à cœfficients constants du &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre et homogène. &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans le cas des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et, dans cette hypothèse, devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» de pulsation propre &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}«&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\,\sigma\,\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O} = 2\;\sigma\;\omega_0}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\,g\,\mathfrak{a}\,J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &lt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même forme&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma = 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;ref name=&quot;même forme - bis&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &gt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;ref name=&quot;même forme - ter&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_termes_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Simple Non Amorti.&lt;/ref&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}\,&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical initial, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, }}le mouvement de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant }}d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser }}les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathit{l}\,,\right.}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\theta\,&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Nous nous proposons de retrouver l'équation différentielle du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d'axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|Cas om M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance }}de rotation &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance de rotation &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\,\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; A priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus.&lt;/ref&gt; de moment scalaire par rapport &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force de contact }}à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\,\vec{T}(t)\,&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. colinéaire à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OM}(t)\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\,\Vert \vec{T}(t) \Vert\,&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\,\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot; /&gt;, conduit à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;», avec &lt;math&gt;\,\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; accélération angulaire à la daue &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,M\,\left( m \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}}\,&lt;/math&gt; }}relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; est la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» et finalement, en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, homogène &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. }}caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.

=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : les abscisses angulaires d’équilibre étant les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « composante de &lt;math&gt;\,m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}l’équation différentielle ayant été obtenue par «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}avec l’équation différentielle déterminée par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;, moment scalaire moteur »&lt;math&gt;\big\},&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : avec }}l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont aussi les zéros du « moment scalaire moteur » &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. :  }}d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\,\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;-m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» de rappel&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}au voisinage d'un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = \pi&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}répulsive&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; lié à la force motrice &lt;math&gt;\,F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)}\,&lt;/math&gt; lié }}par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = F(\theta)\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» nous induisons &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}la propriété &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « de rappel » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est stable et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : la propriété }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « répulsif » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est instable. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce qui a été rappelé ci-dessus est la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; des équilibres d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;, mais il existe aussi &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : Ce qui a été rappelé ci-dessus est }}une détermination graphique &lt;ref name=&quot;détemination graphique de la stabilité ou non des équilibres d'un P.P.S.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; qui peut être restituée en remplaçant la « composante orthoradiale de force motrice » par le « moment scalaire moteur » &lt;math&gt;\ldots&lt;/math&gt;

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\perp}\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » }}les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; En fait il s'agit du moment scalaire résultant moteur s'il y a plusieurs moments scalaires moteurs ne s'annulant pas avec le mouvement.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;algébrique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}conclure selon les résultats suivants : &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\,&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre deux &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» de signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; » &lt;ref&gt; En effet «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; étant toujours du signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\,\varepsilon\;&lt;/math&gt;», cela correspond à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre, plus précisément &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable, mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,= 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}&lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre trois &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;»,


  &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre ou plus : &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre cinq selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», correspondant à un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &lt;\; 0\;&lt;/math&gt;» et « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &gt;\; 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\big)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats :

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
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        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur */</comment>
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      <text bytes="224751" sha1="gi05y1t08gu3xqq8jx1t73jg3xq2p95" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 9
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Non Amorti.&lt;/ref&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt;}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_t\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\,R_2\,&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\,R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à gauche&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\,+12\; V\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» inférieure à &lt;math&gt;\,10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\,u_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\,&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,2,4\; V\,&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\,0,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\,F\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;interface Orphy-GTI&quot;&gt; Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;potentiomètre monotour&quot;&gt; Voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.&lt;/ref&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\,1\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\,&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\,COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,10\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\,7000\,&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\,2\;P + 1\,&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\,b_0 = 1\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,f_c\,&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\,f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\,1\;Hz\big]\,&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\,n_e\,&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\,\big\{n_e\,&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\,7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; ou plus devrait {{Nobr|convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.}}&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\,2\;P + 1 = 41\,&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|3}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal &lt;br&gt;{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\,P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\,2\;\pi\,&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle  &lt;br&gt;{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,2,5\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\,1000\,&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\,12\; s\,&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\,4800\,&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir &lt;br&gt;{{Al|98}}de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\,\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\,90\;\text{°}\,&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié &lt;br&gt;{{Al|98}}au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\,\nearrow\,&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\,10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\,O\big)\,&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; » ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt;, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt;}} lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;déf de urG&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}(t)\;&lt;/math&gt; étant le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; vecteur de base sphérique de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; associé au point &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant direct, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\;&lt;/math&gt;», appliquée en &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, se décomposant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}a priori selon &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt; mais, avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, celle-ci se simplifie en &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I.&quot;&gt; Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la foce de frottement fluide étant une réaction&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;à l'instant &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le vecteur accélération initial de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à un instant légèrement postérieur &lt;math&gt;\,\delta t\,&lt;/math&gt; est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide &lt;math&gt;\,\ldots\,&lt;/math&gt; ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est dans le plan vertical de lancement&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; de vecteur moment par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}un pseudo point centré en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, point quelconque de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot;&gt; Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au vecteur vitesse du solide.&lt;/ref&gt; de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|&lt;sup&gt;60&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; du plan localement transverse à savoir «&lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\,dS\,&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subit une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Bigg\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; en dépendent, néanmoins nous supposerons, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\,e\,&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\,z\,&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_i = 0\,&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_s = e &gt; 0\,&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\,z^{+}\,&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\,z^{-}\,&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\,Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,d \Sigma\,&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\,z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\,Pa \cdot s\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\,Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\,\mu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\,m^2 \cdot s^{-1}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\,St\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »&lt;math&gt;\Bigg\}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; laquelle se réécrit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\,I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en dérivant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; par rapport au temps, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_I\,&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle &lt;math&gt;\,\theta_I\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; avec la verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; avec cette même verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\,\theta_I = \theta_G\,&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;I\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» en accord avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement et «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\,\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;»  ou encore «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant l'équation &lt;math&gt;\,(\mathfrak{2})\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; doit être remplacée par &lt;math&gt;\,\varphi_G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «&lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt;, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;», soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot;&gt; Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour lesquelles &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, équation différentielle linéaire homogène du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; à cœfficients constants, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot;&gt; Constante d'intégration &lt;math&gt;\,A_i\,&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\,&lt;/math&gt; sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|&lt;sup&gt;82&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot;&gt; Si une longueur était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot;&gt; Si la vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait la vitesse orthoradiale &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; également discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot;&gt; Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit finalement «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot;&gt; En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence &lt;math&gt;\,xOz\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot;&gt; Par absence de vitesse initiale on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0)
 = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot;&gt; La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG_0}\,&lt;/math&gt; dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de lancement&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance &lt;math&gt;\,[OG]\,&lt;/math&gt; étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot;&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; unitaire vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_x\,&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{u}_y&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal égal à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, l'espace physique étant &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;&lt;/math&gt; soit directe », }}orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot;&gt; On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «&lt;math&gt;\;\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\theta_G}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}«&lt;math&gt;\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\theta_G\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot;&gt; Abscisse angulaire du C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. noté «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; est aussi le &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moment &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, de moment vectoriel en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de la liaison sphérique &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement fluide linéaire.&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;retour au repérage polaire du plan zOx&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; dont on déduit &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot;&gt; Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sont rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moments &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot;&gt; On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\,\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,-\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\,m\,\vec{g}\big)\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,&lt;/math&gt; d'où, &lt;math&gt;\,\theta\,&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[\theta\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,&lt; 0\big]\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; rencontre l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}&lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot; /&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour un }}lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot; /&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. en rotation autour de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; nous obtenons «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans la mesure où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire.

=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, fut-il linéaire «&lt;math&gt;\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;&lt;/math&gt;», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'a donc &lt;u&gt;pas de résolution analytique exacte&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, la seule possibilité étant une résolution approchée &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot;&gt; On devrait dire « élongations angulaires petites &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou non&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en valeur absolue&lt;/u&gt; » mais personne ne le fait par abus de langage.&lt;/ref&gt; » &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;analytique }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;ref&gt; Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer &lt;ref&gt; Que la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].&lt;/ref&gt; le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières suivantes : &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot;&gt; Conditions notées «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].&lt;/ref&gt; » avec la valeur absolue de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; petite &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot;&gt; À condition que l'angle soit exprimé en &lt;math&gt;\,rad&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert\,&lt;/math&gt; ne dépassera pas &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\,&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}soit «&lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; possibilité de D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot;&gt; Développement Limité.&lt;/ref&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; au &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}voisinage de &lt;math&gt;\,0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}d'où linéarisation de l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}selon «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}équation différentielle linéaire à cœfficients constants du &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre et homogène. &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans le cas des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et, dans cette hypothèse, devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» de pulsation propre &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}«&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\,\sigma\,\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O} = 2\;\sigma\;\omega_0}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\,g\,\mathfrak{a}\,J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &lt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même forme&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma = 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;ref name=&quot;même forme - bis&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &gt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;ref name=&quot;même forme - ter&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_termes_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Simple Non Amorti.&lt;/ref&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}\,&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical initial, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, }}le mouvement de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant }}d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser }}les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathit{l}\,,\right.}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\theta\,&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Nous nous proposons de retrouver l'équation différentielle du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d'axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|Cas om M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance }}de rotation &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance de rotation &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\,\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; A priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus.&lt;/ref&gt; de moment scalaire par rapport &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force de contact }}à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\,\vec{T}(t)\,&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. colinéaire à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OM}(t)\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\,\Vert \vec{T}(t) \Vert\,&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\,\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot; /&gt;, conduit à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;», avec &lt;math&gt;\,\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; accélération angulaire à la daue &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,M\,\left( m \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}}\,&lt;/math&gt; }}relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; est la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» et finalement, en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, homogène &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. }}caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.

=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : les abscisses angulaires d’équilibre étant les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « composante de &lt;math&gt;\,m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}l’équation différentielle ayant été obtenue par «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}avec l’équation différentielle déterminée par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;, moment scalaire moteur »&lt;math&gt;\big\},&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : avec }}l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont aussi les zéros du « moment scalaire moteur » &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. :  }}d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\,\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;-m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» de rappel&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}au voisinage d'un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = \pi&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}répulsive&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; lié à la force motrice &lt;math&gt;\,F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)}\,&lt;/math&gt; lié }}par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = F(\theta)\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» nous induisons &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}la propriété &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « de rappel » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est stable et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : la propriété }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « répulsif » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est instable. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce qui a été rappelé ci-dessus est la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; des équilibres d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;, mais il existe aussi &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : Ce qui a été rappelé ci-dessus est }}une détermination graphique &lt;ref name=&quot;détemination graphique de la stabilité ou non des équilibres d'un P.P.S.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; qui peut être restituée en remplaçant la « composante orthoradiale de force motrice » par le « moment scalaire moteur » &lt;math&gt;\ldots&lt;/math&gt;

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\perp}\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » }}les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; En fait il s'agit du moment scalaire résultant moteur s'il y a plusieurs moments scalaires moteurs ne s'annulant pas avec le mouvement.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;algébrique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}conclure selon les résultats suivants : &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\,&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre deux &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» de signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; » &lt;ref&gt; En effet «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; étant toujours du signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\,\varepsilon\;&lt;/math&gt;», cela correspond à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre, plus précisément &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable, mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,= 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}&lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre trois &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;»,


  &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre ou plus : &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre cinq selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», correspondant à un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &lt;\; 0\;&lt;/math&gt;» et « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &gt;\; 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\big)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats :

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
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      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur */</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="224766" sha1="4007zlw6fes2gy0k1ulctgrh4k59r2l" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 9
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Non Amorti.&lt;/ref&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt;}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_t\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\,R_2\,&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\,R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à gauche&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\,+12\; V\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» inférieure à &lt;math&gt;\,10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\,u_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\,&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,2,4\; V\,&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\,0,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\,F\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;interface Orphy-GTI&quot;&gt; Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;potentiomètre monotour&quot;&gt; Voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.&lt;/ref&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\,1\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\,&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\,COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,10\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\,7000\,&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\,2\;P + 1\,&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\,b_0 = 1\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,f_c\,&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\,f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\,1\;Hz\big]\,&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\,n_e\,&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\,\big\{n_e\,&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\,7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; ou plus devrait {{Nobr|convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.}}&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\,2\;P + 1 = 41\,&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|3}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal &lt;br&gt;{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\,P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\,2\;\pi\,&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle  &lt;br&gt;{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,2,5\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\,1000\,&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\,12\; s\,&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\,4800\,&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir &lt;br&gt;{{Al|98}}de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\,\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\,90\;\text{°}\,&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié &lt;br&gt;{{Al|98}}au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\,\nearrow\,&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\,10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\,O\big)\,&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; » ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt;, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt;}} lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;déf de urG&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}(t)\;&lt;/math&gt; étant le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; vecteur de base sphérique de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; associé au point &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant direct, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\;&lt;/math&gt;», appliquée en &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, se décomposant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}a priori selon &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt; mais, avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, celle-ci se simplifie en &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I.&quot;&gt; Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la foce de frottement fluide étant une réaction&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;à l'instant &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le vecteur accélération initial de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à un instant légèrement postérieur &lt;math&gt;\,\delta t\,&lt;/math&gt; est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide &lt;math&gt;\,\ldots\,&lt;/math&gt; ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est dans le plan vertical de lancement&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; de vecteur moment par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}un pseudo point centré en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, point quelconque de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot;&gt; Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au vecteur vitesse du solide.&lt;/ref&gt; de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|&lt;sup&gt;60&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; du plan localement transverse à savoir «&lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\,dS\,&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subit une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Bigg\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; en dépendent, néanmoins nous supposerons, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\,e\,&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\,z\,&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_i = 0\,&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_s = e &gt; 0\,&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\,z^{+}\,&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\,z^{-}\,&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\,Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,d \Sigma\,&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\,z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\,Pa \cdot s\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\,Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\,\mu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\,m^2 \cdot s^{-1}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\,St\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »&lt;math&gt;\Bigg\}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; laquelle se réécrit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\,I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en dérivant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; par rapport au temps, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_I\,&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle &lt;math&gt;\,\theta_I\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; avec la verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; avec cette même verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\,\theta_I = \theta_G\,&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;I\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» en accord avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement et «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\,\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;»  ou encore «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant l'équation &lt;math&gt;\,(\mathfrak{2})\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; doit être remplacée par &lt;math&gt;\,\varphi_G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «&lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt;, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;», soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot;&gt; Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour lesquelles &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, équation différentielle linéaire homogène du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; à cœfficients constants, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot;&gt; Constante d'intégration &lt;math&gt;\,A_i\,&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\,&lt;/math&gt; sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|&lt;sup&gt;82&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot;&gt; Si une longueur était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot;&gt; Si la vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait la vitesse orthoradiale &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; également discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot;&gt; Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit finalement «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot;&gt; En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence &lt;math&gt;\,xOz\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot;&gt; Par absence de vitesse initiale on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0)
 = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot;&gt; La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG_0}\,&lt;/math&gt; dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de lancement&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance &lt;math&gt;\,[OG]\,&lt;/math&gt; étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot;&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; unitaire vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_x\,&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{u}_y&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal égal à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, l'espace physique étant &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;&lt;/math&gt; soit directe », }}orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot;&gt; On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «&lt;math&gt;\;\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\theta_G}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}«&lt;math&gt;\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\theta_G\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot;&gt; Abscisse angulaire du C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. noté «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; est aussi le &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moment &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, de moment vectoriel en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de la liaison sphérique &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement fluide linéaire.&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;retour au repérage polaire du plan zOx&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; dont on déduit &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot;&gt; Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sont rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moments &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot;&gt; On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\,\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,-\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\,m\,\vec{g}\big)\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,&lt;/math&gt; d'où, &lt;math&gt;\,\theta\,&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[\theta\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,&lt; 0\big]\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; rencontre l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}&lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot; /&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour un }}lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot; /&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. en rotation autour de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; nous obtenons «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans la mesure où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire.

=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, fut-il linéaire «&lt;math&gt;\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;&lt;/math&gt;», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'a donc &lt;u&gt;pas de résolution analytique exacte&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, la seule possibilité étant une résolution approchée &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot;&gt; On devrait dire « élongations angulaires petites &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou non&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en valeur absolue&lt;/u&gt; » mais personne ne le fait par abus de langage.&lt;/ref&gt; » &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;analytique }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;ref&gt; Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer &lt;ref&gt; Que la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].&lt;/ref&gt; le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières suivantes : &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot;&gt; Conditions notées «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].&lt;/ref&gt; » avec la valeur absolue de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; petite &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot;&gt; À condition que l'angle soit exprimé en &lt;math&gt;\,rad&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert\,&lt;/math&gt; ne dépassera pas &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\,&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}soit «&lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; possibilité de D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot;&gt; Développement Limité.&lt;/ref&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; au &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}voisinage de &lt;math&gt;\,0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}d'où linéarisation de l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}selon «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}équation différentielle linéaire à cœfficients constants du &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre et homogène. &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans le cas des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et, dans cette hypothèse, devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» de pulsation propre &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}«&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\,\sigma\,\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O} = 2\;\sigma\;\omega_0}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\,g\,\mathfrak{a}\,J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &lt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même forme&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma = 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;ref name=&quot;même forme - bis&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &gt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;ref name=&quot;même forme - ter&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_termes_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Simple Non Amorti.&lt;/ref&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}\,&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical initial, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, }}le mouvement de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant }}d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser }}les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathit{l}\,,\right.}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\theta\,&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Nous nous proposons de retrouver l'équation différentielle du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d'axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|Cas om M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance }}de rotation &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance de rotation &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\,\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; A priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus.&lt;/ref&gt; de moment scalaire par rapport &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force de contact }}à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\,\vec{T}(t)\,&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. colinéaire à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OM}(t)\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\,\Vert \vec{T}(t) \Vert\,&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\,\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot; /&gt;, conduit à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;», avec &lt;math&gt;\,\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; accélération angulaire à la daue &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,M\,\left( m \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}}\,&lt;/math&gt; }}relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; est la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» et finalement, en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, homogène &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. }}caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.

=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : les abscisses angulaires d’équilibre étant les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « composante de &lt;math&gt;\,m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}l’équation différentielle ayant été obtenue par «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}avec l’équation différentielle déterminée par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;, moment scalaire moteur »&lt;math&gt;\big\},&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : avec }}l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont aussi les zéros du « moment scalaire moteur » &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. :  }}d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\,\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;-m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» de rappel&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}au voisinage d'un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = \pi&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}répulsive&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; lié à la force motrice &lt;math&gt;\,F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)}\,&lt;/math&gt; lié }}par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = F(\theta)\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» nous induisons &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}la propriété &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « de rappel » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est stable et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : la propriété }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « répulsif » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est instable. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce qui a été rappelé ci-dessus est la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; des équilibres d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;, mais il existe aussi &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : Ce qui a été rappelé ci-dessus est }}une détermination graphique &lt;ref name=&quot;détemination graphique de la stabilité ou non des équilibres d'un P.P.S.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; qui peut être restituée en remplaçant la « composante orthoradiale de force motrice » par le « moment scalaire moteur » &lt;math&gt;\ldots&lt;/math&gt;

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\perp}\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » }}les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; En fait il s'agit du moment scalaire résultant moteur s'il y a plusieurs moments scalaires moteurs ne s'annulant pas avec le mouvement.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;algébrique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}conclure selon les résultats suivants : &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\,&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre deux &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» de signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; » &lt;ref&gt; En effet «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; étant toujours du signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\,\varepsilon\;&lt;/math&gt;», cela correspond à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre, plus précisément &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable, mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,= 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», développement }}&lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre trois &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;»,


  &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre ou plus : &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre cinq selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», correspondant à un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &lt;\; 0\;&lt;/math&gt;» et « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &gt;\; 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\big)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats :

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
}}</text>
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      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur */</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="224769" sha1="iovyl37xusg05pv5kscp9pmyayal2hn" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 9
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Non Amorti.&lt;/ref&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt;}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_t\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\,R_2\,&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\,R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à gauche&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\,+12\; V\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» inférieure à &lt;math&gt;\,10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\,u_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\,&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,2,4\; V\,&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\,0,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\,F\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;interface Orphy-GTI&quot;&gt; Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;potentiomètre monotour&quot;&gt; Voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.&lt;/ref&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\,1\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\,&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\,COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,10\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\,7000\,&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\,2\;P + 1\,&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\,b_0 = 1\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,f_c\,&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\,f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\,1\;Hz\big]\,&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\,n_e\,&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\,\big\{n_e\,&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\,7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; ou plus devrait {{Nobr|convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.}}&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\,2\;P + 1 = 41\,&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|3}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal &lt;br&gt;{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\,P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\,2\;\pi\,&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle  &lt;br&gt;{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,2,5\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\,1000\,&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\,12\; s\,&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\,4800\,&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir &lt;br&gt;{{Al|98}}de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\,\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\,90\;\text{°}\,&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié &lt;br&gt;{{Al|98}}au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\,\nearrow\,&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\,10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\,O\big)\,&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; » ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt;, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt;}} lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;déf de urG&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}(t)\;&lt;/math&gt; étant le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; vecteur de base sphérique de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; associé au point &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant direct, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\;&lt;/math&gt;», appliquée en &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, se décomposant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}a priori selon &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt; mais, avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, celle-ci se simplifie en &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I.&quot;&gt; Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la foce de frottement fluide étant une réaction&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;à l'instant &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le vecteur accélération initial de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à un instant légèrement postérieur &lt;math&gt;\,\delta t\,&lt;/math&gt; est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide &lt;math&gt;\,\ldots\,&lt;/math&gt; ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est dans le plan vertical de lancement&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; de vecteur moment par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}un pseudo point centré en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, point quelconque de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot;&gt; Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au vecteur vitesse du solide.&lt;/ref&gt; de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|&lt;sup&gt;60&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; du plan localement transverse à savoir «&lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\,dS\,&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subit une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Bigg\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; en dépendent, néanmoins nous supposerons, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\,e\,&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\,z\,&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_i = 0\,&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_s = e &gt; 0\,&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\,z^{+}\,&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\,z^{-}\,&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\,Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,d \Sigma\,&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\,z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\,Pa \cdot s\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\,Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\,\mu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\,m^2 \cdot s^{-1}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\,St\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »&lt;math&gt;\Bigg\}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; laquelle se réécrit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\,I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en dérivant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; par rapport au temps, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_I\,&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle &lt;math&gt;\,\theta_I\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; avec la verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; avec cette même verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\,\theta_I = \theta_G\,&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;I\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» en accord avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement et «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\,\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;»  ou encore «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant l'équation &lt;math&gt;\,(\mathfrak{2})\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; doit être remplacée par &lt;math&gt;\,\varphi_G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «&lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt;, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;», soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot;&gt; Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour lesquelles &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, équation différentielle linéaire homogène du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; à cœfficients constants, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot;&gt; Constante d'intégration &lt;math&gt;\,A_i\,&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\,&lt;/math&gt; sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|&lt;sup&gt;82&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot;&gt; Si une longueur était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot;&gt; Si la vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait la vitesse orthoradiale &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; également discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot;&gt; Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit finalement «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot;&gt; En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence &lt;math&gt;\,xOz\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot;&gt; Par absence de vitesse initiale on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0)
 = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot;&gt; La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG_0}\,&lt;/math&gt; dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de lancement&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance &lt;math&gt;\,[OG]\,&lt;/math&gt; étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot;&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; unitaire vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_x\,&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{u}_y&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal égal à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, l'espace physique étant &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;&lt;/math&gt; soit directe », }}orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot;&gt; On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «&lt;math&gt;\;\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\theta_G}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}«&lt;math&gt;\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\theta_G\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot;&gt; Abscisse angulaire du C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. noté «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; est aussi le &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moment &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, de moment vectoriel en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de la liaison sphérique &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement fluide linéaire.&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;retour au repérage polaire du plan zOx&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; dont on déduit &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot;&gt; Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sont rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moments &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot;&gt; On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\,\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,-\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\,m\,\vec{g}\big)\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,&lt;/math&gt; d'où, &lt;math&gt;\,\theta\,&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[\theta\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,&lt; 0\big]\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; rencontre l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}&lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot; /&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour un }}lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot; /&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. en rotation autour de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; nous obtenons «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans la mesure où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire.

=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, fut-il linéaire «&lt;math&gt;\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;&lt;/math&gt;», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'a donc &lt;u&gt;pas de résolution analytique exacte&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, la seule possibilité étant une résolution approchée &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot;&gt; On devrait dire « élongations angulaires petites &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou non&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en valeur absolue&lt;/u&gt; » mais personne ne le fait par abus de langage.&lt;/ref&gt; » &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;analytique }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;ref&gt; Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer &lt;ref&gt; Que la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].&lt;/ref&gt; le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières suivantes : &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot;&gt; Conditions notées «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].&lt;/ref&gt; » avec la valeur absolue de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; petite &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot;&gt; À condition que l'angle soit exprimé en &lt;math&gt;\,rad&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert\,&lt;/math&gt; ne dépassera pas &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\,&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}soit «&lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; possibilité de D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot;&gt; Développement Limité.&lt;/ref&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; au &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}voisinage de &lt;math&gt;\,0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}d'où linéarisation de l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}selon «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}équation différentielle linéaire à cœfficients constants du &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre et homogène. &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans le cas des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et, dans cette hypothèse, devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» de pulsation propre &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}«&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\,\sigma\,\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O} = 2\;\sigma\;\omega_0}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\,g\,\mathfrak{a}\,J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &lt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même forme&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma = 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;ref name=&quot;même forme - bis&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &gt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;ref name=&quot;même forme - ter&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_termes_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Simple Non Amorti.&lt;/ref&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}\,&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical initial, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, }}le mouvement de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant }}d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser }}les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathit{l}\,,\right.}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\theta\,&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Nous nous proposons de retrouver l'équation différentielle du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d'axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|Cas om M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance }}de rotation &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance de rotation &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\,\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; A priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus.&lt;/ref&gt; de moment scalaire par rapport &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force de contact }}à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\,\vec{T}(t)\,&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. colinéaire à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OM}(t)\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\,\Vert \vec{T}(t) \Vert\,&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\,\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot; /&gt;, conduit à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;», avec &lt;math&gt;\,\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; accélération angulaire à la daue &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,M\,\left( m \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}}\,&lt;/math&gt; }}relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; est la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» et finalement, en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, homogène &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. }}caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.

=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : les abscisses angulaires d’équilibre étant les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « composante de &lt;math&gt;\,m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}l’équation différentielle ayant été obtenue par «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}avec l’équation différentielle déterminée par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;, moment scalaire moteur »&lt;math&gt;\big\},&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : avec }}l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont aussi les zéros du « moment scalaire moteur » &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. :  }}d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\,\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;-m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» de rappel&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}au voisinage d'un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = \pi&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}répulsive&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; lié à la force motrice &lt;math&gt;\,F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)}\,&lt;/math&gt; lié }}par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = F(\theta)\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» nous induisons &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}la propriété &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « de rappel » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est stable et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : la propriété }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « répulsif » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est instable. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce qui a été rappelé ci-dessus est la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; des équilibres d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;, mais il existe aussi &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : Ce qui a été rappelé ci-dessus est }}une détermination graphique &lt;ref name=&quot;détemination graphique de la stabilité ou non des équilibres d'un P.P.S.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; qui peut être restituée en remplaçant la « composante orthoradiale de force motrice » par le « moment scalaire moteur » &lt;math&gt;\ldots&lt;/math&gt;

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\perp}\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » }}les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; En fait il s'agit du moment scalaire résultant moteur s'il y a plusieurs moments scalaires moteurs ne s'annulant pas avec le mouvement.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;algébrique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}conclure selon les résultats suivants : &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\,&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre deux &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» de signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; » &lt;ref&gt; En effet «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; étant toujours du signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\,\varepsilon\;&lt;/math&gt;», cela correspond à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre, plus précisément &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable, mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,= 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», développement de }}&lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre trois &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;»,


  &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre ou plus : &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre cinq selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», correspondant à un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &lt;\; 0\;&lt;/math&gt;» et « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &gt;\; 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\big)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats :

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
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        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur */</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="227657" sha1="ls9jtty66bgdrikalmpduhsb8ldqf4c" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 9
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Non Amorti.&lt;/ref&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt;}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_t\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\,R_2\,&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\,R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à gauche&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\,+12\; V\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» inférieure à &lt;math&gt;\,10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\,u_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\,&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,2,4\; V\,&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\,0,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\,F\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;interface Orphy-GTI&quot;&gt; Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;potentiomètre monotour&quot;&gt; Voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.&lt;/ref&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\,1\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\,&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\,COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,10\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\,7000\,&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\,2\;P + 1\,&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\,b_0 = 1\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,f_c\,&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\,f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\,1\;Hz\big]\,&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\,n_e\,&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\,\big\{n_e\,&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\,7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; ou plus devrait {{Nobr|convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.}}&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\,2\;P + 1 = 41\,&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|3}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal &lt;br&gt;{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\,P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\,2\;\pi\,&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle  &lt;br&gt;{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,2,5\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\,1000\,&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\,12\; s\,&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\,4800\,&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir &lt;br&gt;{{Al|98}}de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\,\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\,90\;\text{°}\,&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié &lt;br&gt;{{Al|98}}au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\,\nearrow\,&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\,10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\,O\big)\,&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; » ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt;, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt;}} lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;déf de urG&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}(t)\;&lt;/math&gt; étant le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; vecteur de base sphérique de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; associé au point &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant direct, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\;&lt;/math&gt;», appliquée en &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, se décomposant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}a priori selon &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt; mais, avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, celle-ci se simplifie en &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I.&quot;&gt; Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la foce de frottement fluide étant une réaction&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;à l'instant &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le vecteur accélération initial de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à un instant légèrement postérieur &lt;math&gt;\,\delta t\,&lt;/math&gt; est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide &lt;math&gt;\,\ldots\,&lt;/math&gt; ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est dans le plan vertical de lancement&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; de vecteur moment par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}un pseudo point centré en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, point quelconque de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot;&gt; Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au vecteur vitesse du solide.&lt;/ref&gt; de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|&lt;sup&gt;60&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; du plan localement transverse à savoir «&lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\,dS\,&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subit une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Bigg\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; en dépendent, néanmoins nous supposerons, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\,e\,&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\,z\,&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_i = 0\,&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_s = e &gt; 0\,&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\,z^{+}\,&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\,z^{-}\,&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\,Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,d \Sigma\,&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\,z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\,Pa \cdot s\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\,Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\,\mu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\,m^2 \cdot s^{-1}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\,St\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »&lt;math&gt;\Bigg\}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; laquelle se réécrit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\,I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en dérivant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; par rapport au temps, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_I\,&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle &lt;math&gt;\,\theta_I\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; avec la verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; avec cette même verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\,\theta_I = \theta_G\,&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;I\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» en accord avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement et «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\,\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;»  ou encore «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant l'équation &lt;math&gt;\,(\mathfrak{2})\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; doit être remplacée par &lt;math&gt;\,\varphi_G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «&lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt;, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;», soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot;&gt; Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour lesquelles &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, équation différentielle linéaire homogène du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; à cœfficients constants, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot;&gt; Constante d'intégration &lt;math&gt;\,A_i\,&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\,&lt;/math&gt; sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|&lt;sup&gt;82&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot;&gt; Si une longueur était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot;&gt; Si la vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait la vitesse orthoradiale &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; également discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot;&gt; Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit finalement «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot;&gt; En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence &lt;math&gt;\,xOz\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot;&gt; Par absence de vitesse initiale on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0)
 = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot;&gt; La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG_0}\,&lt;/math&gt; dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de lancement&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance &lt;math&gt;\,[OG]\,&lt;/math&gt; étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot;&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; unitaire vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_x\,&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{u}_y&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal égal à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, l'espace physique étant &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;&lt;/math&gt; soit directe », }}orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot;&gt; On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «&lt;math&gt;\;\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\theta_G}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}«&lt;math&gt;\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\theta_G\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot;&gt; Abscisse angulaire du C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. noté «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; est aussi le &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moment &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, de moment vectoriel en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de la liaison sphérique &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement fluide linéaire.&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;retour au repérage polaire du plan zOx&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; dont on déduit &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot;&gt; Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sont rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moments &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot;&gt; On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\,\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,-\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\,m\,\vec{g}\big)\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,&lt;/math&gt; d'où, &lt;math&gt;\,\theta\,&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[\theta\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,&lt; 0\big]\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; rencontre l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}&lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot; /&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour un }}lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot; /&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. en rotation autour de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; nous obtenons «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans la mesure où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire.

=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, fut-il linéaire «&lt;math&gt;\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;&lt;/math&gt;», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'a donc &lt;u&gt;pas de résolution analytique exacte&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, la seule possibilité étant une résolution approchée &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot;&gt; On devrait dire « élongations angulaires petites &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou non&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en valeur absolue&lt;/u&gt; » mais personne ne le fait par abus de langage.&lt;/ref&gt; » &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;analytique }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;ref&gt; Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer &lt;ref&gt; Que la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].&lt;/ref&gt; le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières suivantes : &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot;&gt; Conditions notées «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].&lt;/ref&gt; » avec la valeur absolue de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; petite &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot;&gt; À condition que l'angle soit exprimé en &lt;math&gt;\,rad&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert\,&lt;/math&gt; ne dépassera pas &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\,&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}soit «&lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; possibilité de D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot;&gt; Développement Limité.&lt;/ref&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; au &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}voisinage de &lt;math&gt;\,0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}d'où linéarisation de l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}selon «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}équation différentielle linéaire à cœfficients constants du &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre et homogène. &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans le cas des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et, dans cette hypothèse, devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» de pulsation propre &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}«&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\,\sigma\,\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O} = 2\;\sigma\;\omega_0}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\,g\,\mathfrak{a}\,J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &lt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même forme&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma = 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;ref name=&quot;même forme - bis&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &gt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;ref name=&quot;même forme - ter&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_termes_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Simple Non Amorti.&lt;/ref&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}\,&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical initial, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, }}le mouvement de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant }}d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser }}les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathit{l}\,,\right.}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\theta\,&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Nous nous proposons de retrouver l'équation différentielle du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d'axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|Cas om M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance }}de rotation &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance de rotation &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\,\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; A priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus.&lt;/ref&gt; de moment scalaire par rapport &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force de contact }}à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\,\vec{T}(t)\,&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. colinéaire à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OM}(t)\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\,\Vert \vec{T}(t) \Vert\,&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\,\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot; /&gt;, conduit à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;», avec &lt;math&gt;\,\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; accélération angulaire à la daue &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,M\,\left( m \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}}\,&lt;/math&gt; }}relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; est la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» et finalement, en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, homogène &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. }}caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.

=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : les abscisses angulaires d’équilibre étant les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « composante de &lt;math&gt;\,m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}l’équation différentielle ayant été obtenue par «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}avec l’équation différentielle déterminée par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;, moment scalaire moteur »&lt;math&gt;\big\},&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : avec }}l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont aussi les zéros du « moment scalaire moteur » &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. :  }}d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\,\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;-m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» de rappel&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}au voisinage d'un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = \pi&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}répulsive&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; lié à la force motrice &lt;math&gt;\,F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)}\,&lt;/math&gt; lié }}par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = F(\theta)\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» nous induisons &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}la propriété &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « de rappel » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est stable et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : la propriété }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « répulsif » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est instable. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce qui a été rappelé ci-dessus est la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; des équilibres d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;, mais il existe aussi &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : Ce qui a été rappelé ci-dessus est }}une détermination graphique &lt;ref name=&quot;détemination graphique de la stabilité ou non des équilibres d'un P.P.S.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; qui peut être restituée en remplaçant la « composante orthoradiale de force motrice » par le « moment scalaire moteur » &lt;math&gt;\ldots&lt;/math&gt;

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\perp}\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » }}les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; En fait il s'agit du moment scalaire résultant moteur s'il y a plusieurs moments scalaires moteurs ne s'annulant pas avec le mouvement.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;algébrique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}conclure selon les résultats suivants : &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\,&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre deux &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» de signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; » &lt;ref&gt; En effet «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; étant toujours du signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\,\varepsilon\;&lt;/math&gt;», cela correspond à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre, plus précisément &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable, mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,= 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», développement de }}&lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre trois &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)&lt;/math&gt; « moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,&lt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\,&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)&lt;/math&gt; « moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,&gt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}équilibre « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre ou plus


 le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre ou plus : &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre cinq selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», correspondant à un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &lt;\; 0\;&lt;/math&gt;» et « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &gt;\; 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\big)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats :

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
}}</text>
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        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur */</comment>
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      <text bytes="227654" sha1="tl6man4v2ylpog4qp4xnb12uy07549q" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 9
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Non Amorti.&lt;/ref&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt;}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_t\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\,R_2\,&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\,R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à gauche&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\,+12\; V\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» inférieure à &lt;math&gt;\,10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\,u_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\,&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,2,4\; V\,&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\,0,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\,F\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;interface Orphy-GTI&quot;&gt; Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;potentiomètre monotour&quot;&gt; Voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.&lt;/ref&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\,1\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\,&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\,COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,10\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\,7000\,&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\,2\;P + 1\,&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\,b_0 = 1\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,f_c\,&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\,f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\,1\;Hz\big]\,&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\,n_e\,&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\,\big\{n_e\,&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\,7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; ou plus devrait {{Nobr|convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.}}&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\,2\;P + 1 = 41\,&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|3}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal &lt;br&gt;{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\,P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\,2\;\pi\,&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle  &lt;br&gt;{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,2,5\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\,1000\,&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\,12\; s\,&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\,4800\,&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir &lt;br&gt;{{Al|98}}de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\,\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\,90\;\text{°}\,&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié &lt;br&gt;{{Al|98}}au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\,\nearrow\,&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\,10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\,O\big)\,&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; » ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt;, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt;}} lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;déf de urG&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}(t)\;&lt;/math&gt; étant le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; vecteur de base sphérique de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; associé au point &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant direct, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\;&lt;/math&gt;», appliquée en &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, se décomposant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}a priori selon &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt; mais, avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, celle-ci se simplifie en &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I.&quot;&gt; Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la foce de frottement fluide étant une réaction&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;à l'instant &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le vecteur accélération initial de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à un instant légèrement postérieur &lt;math&gt;\,\delta t\,&lt;/math&gt; est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide &lt;math&gt;\,\ldots\,&lt;/math&gt; ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est dans le plan vertical de lancement&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; de vecteur moment par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}un pseudo point centré en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, point quelconque de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot;&gt; Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au vecteur vitesse du solide.&lt;/ref&gt; de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|&lt;sup&gt;60&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; du plan localement transverse à savoir «&lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\,dS\,&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subit une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Bigg\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; en dépendent, néanmoins nous supposerons, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\,e\,&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\,z\,&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_i = 0\,&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_s = e &gt; 0\,&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\,z^{+}\,&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\,z^{-}\,&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\,Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,d \Sigma\,&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\,z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\,Pa \cdot s\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\,Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\,\mu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\,m^2 \cdot s^{-1}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\,St\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »&lt;math&gt;\Bigg\}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; laquelle se réécrit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\,I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en dérivant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; par rapport au temps, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_I\,&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle &lt;math&gt;\,\theta_I\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; avec la verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; avec cette même verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\,\theta_I = \theta_G\,&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;I\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» en accord avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement et «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\,\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;»  ou encore «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant l'équation &lt;math&gt;\,(\mathfrak{2})\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; doit être remplacée par &lt;math&gt;\,\varphi_G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «&lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt;, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;», soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot;&gt; Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour lesquelles &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, équation différentielle linéaire homogène du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; à cœfficients constants, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot;&gt; Constante d'intégration &lt;math&gt;\,A_i\,&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\,&lt;/math&gt; sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|&lt;sup&gt;82&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot;&gt; Si une longueur était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot;&gt; Si la vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait la vitesse orthoradiale &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; également discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot;&gt; Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit finalement «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot;&gt; En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence &lt;math&gt;\,xOz\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot;&gt; Par absence de vitesse initiale on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0)
 = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot;&gt; La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG_0}\,&lt;/math&gt; dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de lancement&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance &lt;math&gt;\,[OG]\,&lt;/math&gt; étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot;&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; unitaire vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_x\,&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{u}_y&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal égal à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, l'espace physique étant &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;&lt;/math&gt; soit directe », }}orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot;&gt; On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «&lt;math&gt;\;\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\theta_G}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}«&lt;math&gt;\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\theta_G\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot;&gt; Abscisse angulaire du C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. noté «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; est aussi le &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moment &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, de moment vectoriel en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de la liaison sphérique &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement fluide linéaire.&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;retour au repérage polaire du plan zOx&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; dont on déduit &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot;&gt; Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sont rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moments &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot;&gt; On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\,\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,-\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\,m\,\vec{g}\big)\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,&lt;/math&gt; d'où, &lt;math&gt;\,\theta\,&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[\theta\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,&lt; 0\big]\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; rencontre l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}&lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot; /&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour un }}lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot; /&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. en rotation autour de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; nous obtenons «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans la mesure où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire.

=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, fut-il linéaire «&lt;math&gt;\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;&lt;/math&gt;», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'a donc &lt;u&gt;pas de résolution analytique exacte&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, la seule possibilité étant une résolution approchée &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot;&gt; On devrait dire « élongations angulaires petites &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou non&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en valeur absolue&lt;/u&gt; » mais personne ne le fait par abus de langage.&lt;/ref&gt; » &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;analytique }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;ref&gt; Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer &lt;ref&gt; Que la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].&lt;/ref&gt; le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières suivantes : &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot;&gt; Conditions notées «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].&lt;/ref&gt; » avec la valeur absolue de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; petite &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot;&gt; À condition que l'angle soit exprimé en &lt;math&gt;\,rad&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert\,&lt;/math&gt; ne dépassera pas &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\,&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}soit «&lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; possibilité de D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot;&gt; Développement Limité.&lt;/ref&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; au &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}voisinage de &lt;math&gt;\,0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}d'où linéarisation de l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}selon «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}équation différentielle linéaire à cœfficients constants du &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre et homogène. &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans le cas des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et, dans cette hypothèse, devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» de pulsation propre &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}«&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\,\sigma\,\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O} = 2\;\sigma\;\omega_0}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\,g\,\mathfrak{a}\,J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &lt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même forme&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma = 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;ref name=&quot;même forme - bis&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &gt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;ref name=&quot;même forme - ter&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_termes_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Simple Non Amorti.&lt;/ref&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}\,&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical initial, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, }}le mouvement de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant }}d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser }}les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathit{l}\,,\right.}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\theta\,&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Nous nous proposons de retrouver l'équation différentielle du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d'axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|Cas om M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance }}de rotation &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance de rotation &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\,\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; A priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus.&lt;/ref&gt; de moment scalaire par rapport &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force de contact }}à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\,\vec{T}(t)\,&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. colinéaire à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OM}(t)\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\,\Vert \vec{T}(t) \Vert\,&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\,\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot; /&gt;, conduit à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;», avec &lt;math&gt;\,\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; accélération angulaire à la daue &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,M\,\left( m \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}}\,&lt;/math&gt; }}relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; est la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» et finalement, en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, homogène &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. }}caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.

=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : les abscisses angulaires d’équilibre étant les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « composante de &lt;math&gt;\,m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}l’équation différentielle ayant été obtenue par «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}avec l’équation différentielle déterminée par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;, moment scalaire moteur »&lt;math&gt;\big\},&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : avec }}l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont aussi les zéros du « moment scalaire moteur » &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. :  }}d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\,\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;-m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» de rappel&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}au voisinage d'un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = \pi&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}répulsive&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; lié à la force motrice &lt;math&gt;\,F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)}\,&lt;/math&gt; lié }}par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = F(\theta)\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» nous induisons &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}la propriété &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « de rappel » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est stable et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : la propriété }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « répulsif » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est instable. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce qui a été rappelé ci-dessus est la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; des équilibres d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;, mais il existe aussi &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : Ce qui a été rappelé ci-dessus est }}une détermination graphique &lt;ref name=&quot;détemination graphique de la stabilité ou non des équilibres d'un P.P.S.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; qui peut être restituée en remplaçant la « composante orthoradiale de force motrice » par le « moment scalaire moteur » &lt;math&gt;\ldots&lt;/math&gt;

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\perp}\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » }}les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; En fait il s'agit du moment scalaire résultant moteur s'il y a plusieurs moments scalaires moteurs ne s'annulant pas avec le mouvement.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;algébrique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}conclure selon les résultats suivants : &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\,&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre deux &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» de signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; » &lt;ref&gt; En effet «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; étant toujours du signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\,\varepsilon\;&lt;/math&gt;», cela correspond à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre, plus précisément &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable, mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,= 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», développement de }}&lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre trois &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)&lt;/math&gt; « moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,&lt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\,&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)&lt;/math&gt; « moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,&gt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}équilibre « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre ou plus


 le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre ou plus : &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre cinq selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», correspondant à un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &lt;\; 0\;&lt;/math&gt;» et « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &gt;\; 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\big)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats :

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
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      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur */</comment>
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      <text bytes="231759" sha1="euxhh93djv62733xqtr9c58cgr4mvo8" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 9
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Non Amorti.&lt;/ref&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt;}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_t\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\,R_2\,&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\,R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à gauche&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\,+12\; V\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» inférieure à &lt;math&gt;\,10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\,u_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\,&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,2,4\; V\,&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\,0,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\,F\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;interface Orphy-GTI&quot;&gt; Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;potentiomètre monotour&quot;&gt; Voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.&lt;/ref&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\,1\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\,&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\,COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,10\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\,7000\,&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\,2\;P + 1\,&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\,b_0 = 1\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,f_c\,&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\,f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\,1\;Hz\big]\,&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\,n_e\,&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\,\big\{n_e\,&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\,7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; ou plus devrait {{Nobr|convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.}}&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\,2\;P + 1 = 41\,&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|3}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal &lt;br&gt;{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\,P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\,2\;\pi\,&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle  &lt;br&gt;{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,2,5\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\,1000\,&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\,12\; s\,&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\,4800\,&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir &lt;br&gt;{{Al|98}}de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\,\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\,90\;\text{°}\,&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié &lt;br&gt;{{Al|98}}au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\,\nearrow\,&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\,10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\,O\big)\,&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; » ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt;, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt;}} lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;déf de urG&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}(t)\;&lt;/math&gt; étant le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; vecteur de base sphérique de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; associé au point &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant direct, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\;&lt;/math&gt;», appliquée en &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, se décomposant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}a priori selon &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt; mais, avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, celle-ci se simplifie en &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I.&quot;&gt; Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la foce de frottement fluide étant une réaction&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;à l'instant &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le vecteur accélération initial de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à un instant légèrement postérieur &lt;math&gt;\,\delta t\,&lt;/math&gt; est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide &lt;math&gt;\,\ldots\,&lt;/math&gt; ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est dans le plan vertical de lancement&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; de vecteur moment par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}un pseudo point centré en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, point quelconque de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot;&gt; Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au vecteur vitesse du solide.&lt;/ref&gt; de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|&lt;sup&gt;60&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; du plan localement transverse à savoir «&lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\,dS\,&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subit une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Bigg\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; en dépendent, néanmoins nous supposerons, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\,e\,&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\,z\,&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_i = 0\,&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_s = e &gt; 0\,&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\,z^{+}\,&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\,z^{-}\,&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\,Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,d \Sigma\,&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\,z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\,Pa \cdot s\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\,Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\,\mu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\,m^2 \cdot s^{-1}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\,St\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »&lt;math&gt;\Bigg\}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; laquelle se réécrit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\,I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en dérivant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; par rapport au temps, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_I\,&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle &lt;math&gt;\,\theta_I\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; avec la verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; avec cette même verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\,\theta_I = \theta_G\,&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;I\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» en accord avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement et «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\,\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;»  ou encore «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant l'équation &lt;math&gt;\,(\mathfrak{2})\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; doit être remplacée par &lt;math&gt;\,\varphi_G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «&lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt;, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;», soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot;&gt; Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour lesquelles &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, équation différentielle linéaire homogène du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; à cœfficients constants, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot;&gt; Constante d'intégration &lt;math&gt;\,A_i\,&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\,&lt;/math&gt; sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|&lt;sup&gt;82&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot;&gt; Si une longueur était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot;&gt; Si la vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait la vitesse orthoradiale &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; également discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot;&gt; Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit finalement «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot;&gt; En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence &lt;math&gt;\,xOz\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot;&gt; Par absence de vitesse initiale on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0)
 = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot;&gt; La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG_0}\,&lt;/math&gt; dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de lancement&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance &lt;math&gt;\,[OG]\,&lt;/math&gt; étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot;&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; unitaire vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_x\,&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{u}_y&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal égal à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, l'espace physique étant &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;&lt;/math&gt; soit directe », }}orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot;&gt; On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «&lt;math&gt;\;\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\theta_G}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}«&lt;math&gt;\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\theta_G\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot;&gt; Abscisse angulaire du C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. noté «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; est aussi le &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moment &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, de moment vectoriel en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de la liaison sphérique &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement fluide linéaire.&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;retour au repérage polaire du plan zOx&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; dont on déduit &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot;&gt; Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sont rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moments &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot;&gt; On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\,\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,-\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\,m\,\vec{g}\big)\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,&lt;/math&gt; d'où, &lt;math&gt;\,\theta\,&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[\theta\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,&lt; 0\big]\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; rencontre l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}&lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot; /&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour un }}lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot; /&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. en rotation autour de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; nous obtenons «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans la mesure où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire.

=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, fut-il linéaire «&lt;math&gt;\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;&lt;/math&gt;», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'a donc &lt;u&gt;pas de résolution analytique exacte&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, la seule possibilité étant une résolution approchée &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot;&gt; On devrait dire « élongations angulaires petites &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou non&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en valeur absolue&lt;/u&gt; » mais personne ne le fait par abus de langage.&lt;/ref&gt; » &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;analytique }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;ref&gt; Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer &lt;ref&gt; Que la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].&lt;/ref&gt; le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières suivantes : &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot;&gt; Conditions notées «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].&lt;/ref&gt; » avec la valeur absolue de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; petite &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot;&gt; À condition que l'angle soit exprimé en &lt;math&gt;\,rad&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert\,&lt;/math&gt; ne dépassera pas &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\,&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}soit «&lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; possibilité de D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot;&gt; Développement Limité.&lt;/ref&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; au &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}voisinage de &lt;math&gt;\,0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}d'où linéarisation de l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}selon «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}équation différentielle linéaire à cœfficients constants du &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre et homogène. &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans le cas des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et, dans cette hypothèse, devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» de pulsation propre &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}«&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\,\sigma\,\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O} = 2\;\sigma\;\omega_0}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\,g\,\mathfrak{a}\,J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &lt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même forme&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma = 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;ref name=&quot;même forme - bis&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &gt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;ref name=&quot;même forme - ter&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_termes_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Simple Non Amorti.&lt;/ref&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}\,&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical initial, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, }}le mouvement de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant }}d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser }}les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathit{l}\,,\right.}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\theta\,&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Nous nous proposons de retrouver l'équation différentielle du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d'axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|Cas om M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance }}de rotation &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance de rotation &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\,\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; A priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus.&lt;/ref&gt; de moment scalaire par rapport &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force de contact }}à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\,\vec{T}(t)\,&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. colinéaire à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OM}(t)\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\,\Vert \vec{T}(t) \Vert\,&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\,\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot; /&gt;, conduit à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;», avec &lt;math&gt;\,\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; accélération angulaire à la daue &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,M\,\left( m \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}}\,&lt;/math&gt; }}relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; est la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» et finalement, en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, homogène &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. }}caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.

=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : les abscisses angulaires d’équilibre étant les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « composante de &lt;math&gt;\,m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}l’équation différentielle ayant été obtenue par «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}avec l’équation différentielle déterminée par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;, moment scalaire moteur »&lt;math&gt;\big\},&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : avec }}l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont aussi les zéros du « moment scalaire moteur » &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. :  }}d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\,\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;-m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» de rappel&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}au voisinage d'un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = \pi&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}répulsive&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; lié à la force motrice &lt;math&gt;\,F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)}\,&lt;/math&gt; lié }}par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = F(\theta)\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» nous induisons &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}la propriété &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « de rappel » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est stable et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : la propriété }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « répulsif » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est instable. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce qui a été rappelé ci-dessus est la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; des équilibres d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;, mais il existe aussi &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : Ce qui a été rappelé ci-dessus est }}une détermination graphique &lt;ref name=&quot;détemination graphique de la stabilité ou non des équilibres d'un P.P.S.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; qui peut être restituée en remplaçant la « composante orthoradiale de force motrice » par le « moment scalaire moteur » &lt;math&gt;\ldots&lt;/math&gt;

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\perp}\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » }}les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; En fait il s'agit du moment scalaire résultant moteur s'il y a plusieurs moments scalaires moteurs ne s'annulant pas avec le mouvement.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;algébrique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}conclure selon les résultats suivants : &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\,&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre deux &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» de signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; » &lt;ref&gt; En effet «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; étant toujours du signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\,\varepsilon\;&lt;/math&gt;», cela correspond à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre, plus précisément &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable, mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,= 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», développement de }}&lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre trois &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)&lt;/math&gt; « moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,&lt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\,&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)&lt;/math&gt; « moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,&gt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}équilibre « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre quatre ou plus &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;» }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» de signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;» }}l'quilibre est donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; » &lt;ref&gt; En effet «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; étant toujours du signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\,\varepsilon\;&lt;/math&gt;», cela correspond à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre, plus précisément &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable, mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,= 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)}\,&lt;/math&gt; }}est limité à l'ordre cinq &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;»,


 correspondant à un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &lt;\; 0\;&lt;/math&gt;» et « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &gt;\; 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\big)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats :

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
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      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur */</comment>
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      <text bytes="232230" sha1="fsv66yuy0l3vo0c5zapt9jna42q3v6l" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 9
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Non Amorti.&lt;/ref&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt;}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_t\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\,R_2\,&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\,R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à gauche&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\,+12\; V\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» inférieure à &lt;math&gt;\,10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\,u_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\,&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,2,4\; V\,&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\,0,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\,F\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;interface Orphy-GTI&quot;&gt; Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;potentiomètre monotour&quot;&gt; Voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.&lt;/ref&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\,1\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\,&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\,COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,10\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\,7000\,&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\,2\;P + 1\,&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\,b_0 = 1\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,f_c\,&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\,f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\,1\;Hz\big]\,&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\,n_e\,&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\,\big\{n_e\,&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\,7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; ou plus devrait {{Nobr|convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.}}&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\,2\;P + 1 = 41\,&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|3}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal &lt;br&gt;{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\,P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\,2\;\pi\,&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle  &lt;br&gt;{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,2,5\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\,1000\,&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\,12\; s\,&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\,4800\,&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir &lt;br&gt;{{Al|98}}de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\,\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\,90\;\text{°}\,&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié &lt;br&gt;{{Al|98}}au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\,\nearrow\,&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\,10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\,O\big)\,&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; » ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt;, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt;}} lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;déf de urG&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}(t)\;&lt;/math&gt; étant le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; vecteur de base sphérique de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; associé au point &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant direct, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\;&lt;/math&gt;», appliquée en &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, se décomposant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}a priori selon &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt; mais, avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, celle-ci se simplifie en &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I.&quot;&gt; Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la foce de frottement fluide étant une réaction&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;à l'instant &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le vecteur accélération initial de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à un instant légèrement postérieur &lt;math&gt;\,\delta t\,&lt;/math&gt; est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide &lt;math&gt;\,\ldots\,&lt;/math&gt; ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est dans le plan vertical de lancement&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; de vecteur moment par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}un pseudo point centré en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, point quelconque de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot;&gt; Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au vecteur vitesse du solide.&lt;/ref&gt; de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|&lt;sup&gt;60&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; du plan localement transverse à savoir «&lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\,dS\,&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subit une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Bigg\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; en dépendent, néanmoins nous supposerons, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\,e\,&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\,z\,&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_i = 0\,&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_s = e &gt; 0\,&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\,z^{+}\,&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\,z^{-}\,&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\,Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,d \Sigma\,&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\,z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\,Pa \cdot s\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\,Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\,\mu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\,m^2 \cdot s^{-1}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\,St\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »&lt;math&gt;\Bigg\}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; laquelle se réécrit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\,I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en dérivant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; par rapport au temps, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_I\,&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle &lt;math&gt;\,\theta_I\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; avec la verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; avec cette même verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\,\theta_I = \theta_G\,&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;I\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» en accord avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement et «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\,\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;»  ou encore «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant l'équation &lt;math&gt;\,(\mathfrak{2})\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; doit être remplacée par &lt;math&gt;\,\varphi_G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «&lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt;, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;», soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot;&gt; Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour lesquelles &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, équation différentielle linéaire homogène du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; à cœfficients constants, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot;&gt; Constante d'intégration &lt;math&gt;\,A_i\,&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\,&lt;/math&gt; sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|&lt;sup&gt;82&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot;&gt; Si une longueur était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot;&gt; Si la vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait la vitesse orthoradiale &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; également discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot;&gt; Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit finalement «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot;&gt; En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence &lt;math&gt;\,xOz\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot;&gt; Par absence de vitesse initiale on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0)
 = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot;&gt; La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG_0}\,&lt;/math&gt; dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de lancement&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance &lt;math&gt;\,[OG]\,&lt;/math&gt; étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot;&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; unitaire vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_x\,&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{u}_y&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal égal à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, l'espace physique étant &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;&lt;/math&gt; soit directe », }}orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot;&gt; On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «&lt;math&gt;\;\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\theta_G}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}«&lt;math&gt;\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\theta_G\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot;&gt; Abscisse angulaire du C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. noté «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; est aussi le &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moment &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, de moment vectoriel en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de la liaison sphérique &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement fluide linéaire.&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;retour au repérage polaire du plan zOx&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; dont on déduit &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot;&gt; Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sont rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moments &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot;&gt; On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\,\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,-\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\,m\,\vec{g}\big)\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,&lt;/math&gt; d'où, &lt;math&gt;\,\theta\,&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[\theta\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,&lt; 0\big]\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; rencontre l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}&lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot; /&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour un }}lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot; /&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. en rotation autour de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; nous obtenons «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans la mesure où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire.

=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, fut-il linéaire «&lt;math&gt;\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;&lt;/math&gt;», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'a donc &lt;u&gt;pas de résolution analytique exacte&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, la seule possibilité étant une résolution approchée &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot;&gt; On devrait dire « élongations angulaires petites &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou non&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en valeur absolue&lt;/u&gt; » mais personne ne le fait par abus de langage.&lt;/ref&gt; » &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;analytique }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;ref&gt; Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer &lt;ref&gt; Que la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].&lt;/ref&gt; le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières suivantes : &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot;&gt; Conditions notées «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].&lt;/ref&gt; » avec la valeur absolue de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; petite &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot;&gt; À condition que l'angle soit exprimé en &lt;math&gt;\,rad&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert\,&lt;/math&gt; ne dépassera pas &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\,&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}soit «&lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; possibilité de D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot;&gt; Développement Limité.&lt;/ref&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; au &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}voisinage de &lt;math&gt;\,0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}d'où linéarisation de l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}selon «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}équation différentielle linéaire à cœfficients constants du &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre et homogène. &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans le cas des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et, dans cette hypothèse, devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» de pulsation propre &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}«&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\,\sigma\,\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O} = 2\;\sigma\;\omega_0}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\,g\,\mathfrak{a}\,J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &lt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même forme&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma = 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;ref name=&quot;même forme - bis&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &gt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;ref name=&quot;même forme - ter&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_termes_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Simple Non Amorti.&lt;/ref&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}\,&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical initial, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, }}le mouvement de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant }}d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser }}les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathit{l}\,,\right.}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\theta\,&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Nous nous proposons de retrouver l'équation différentielle du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d'axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|Cas om M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance }}de rotation &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance de rotation &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\,\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; A priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus.&lt;/ref&gt; de moment scalaire par rapport &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force de contact }}à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\,\vec{T}(t)\,&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. colinéaire à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OM}(t)\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\,\Vert \vec{T}(t) \Vert\,&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\,\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot; /&gt;, conduit à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;», avec &lt;math&gt;\,\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; accélération angulaire à la daue &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,M\,\left( m \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}}\,&lt;/math&gt; }}relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; est la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» et finalement, en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, homogène &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. }}caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.

=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : les abscisses angulaires d’équilibre étant les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « composante de &lt;math&gt;\,m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}l’équation différentielle ayant été obtenue par «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}avec l’équation différentielle déterminée par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;, moment scalaire moteur »&lt;math&gt;\big\},&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : avec }}l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont aussi les zéros du « moment scalaire moteur » &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. :  }}d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\,\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;-m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» de rappel&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}au voisinage d'un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = \pi&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}répulsive&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; lié à la force motrice &lt;math&gt;\,F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)}\,&lt;/math&gt; lié }}par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = F(\theta)\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» nous induisons &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}la propriété &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « de rappel » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est stable et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : la propriété }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « répulsif » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est instable. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce qui a été rappelé ci-dessus est la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; des équilibres d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;, mais il existe aussi &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : Ce qui a été rappelé ci-dessus est }}une détermination graphique &lt;ref name=&quot;détemination graphique de la stabilité ou non des équilibres d'un P.P.S.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; qui peut être restituée en remplaçant la « composante orthoradiale de force motrice » par le « moment scalaire moteur » &lt;math&gt;\ldots&lt;/math&gt;

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\perp}\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » }}les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; En fait il s'agit du moment scalaire résultant moteur s'il y a plusieurs moments scalaires moteurs ne s'annulant pas avec le mouvement.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;algébrique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}conclure selon les résultats suivants : &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\,&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre deux &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» de signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; » &lt;ref&gt; En effet «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; étant toujours du signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\,\varepsilon\;&lt;/math&gt;», cela correspond à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre, plus précisément &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable, mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,= 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», développement de }}&lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre trois &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)&lt;/math&gt; « moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,&lt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\,&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)&lt;/math&gt; « moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,&gt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}équilibre « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre quatre ou plus &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;» }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» de signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;» }}l'quilibre est donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; » &lt;ref&gt; En effet «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; étant toujours du signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\,\varepsilon\;&lt;/math&gt;», cela correspond à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre, plus précisément &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable, mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,= 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)}\,&lt;/math&gt; }}est limité à l'ordre cinq &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», soit &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\, &lt;\, 0\;&lt;/math&gt;»


et « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &gt;\; 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\big)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats :

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
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      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur */</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="232726" sha1="gwgjnagos3tov5hfgf1mxyo2z5gq9uu" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 9
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Non Amorti.&lt;/ref&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt;}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_t\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\,R_2\,&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\,R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à gauche&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\,+12\; V\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» inférieure à &lt;math&gt;\,10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\,u_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\,&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,2,4\; V\,&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\,0,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\,F\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;interface Orphy-GTI&quot;&gt; Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;potentiomètre monotour&quot;&gt; Voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.&lt;/ref&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\,1\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\,&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\,COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,10\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\,7000\,&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\,2\;P + 1\,&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\,b_0 = 1\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,f_c\,&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\,f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\,1\;Hz\big]\,&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\,n_e\,&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\,\big\{n_e\,&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\,7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; ou plus devrait {{Nobr|convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.}}&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\,2\;P + 1 = 41\,&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|3}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal &lt;br&gt;{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\,P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\,2\;\pi\,&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle  &lt;br&gt;{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,2,5\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\,1000\,&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\,12\; s\,&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\,4800\,&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir &lt;br&gt;{{Al|98}}de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\,\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\,90\;\text{°}\,&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié &lt;br&gt;{{Al|98}}au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\,\nearrow\,&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\,10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\,O\big)\,&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; » ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt;, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt;}} lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;déf de urG&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}(t)\;&lt;/math&gt; étant le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; vecteur de base sphérique de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; associé au point &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant direct, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\;&lt;/math&gt;», appliquée en &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, se décomposant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}a priori selon &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt; mais, avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, celle-ci se simplifie en &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I.&quot;&gt; Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la foce de frottement fluide étant une réaction&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;à l'instant &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le vecteur accélération initial de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à un instant légèrement postérieur &lt;math&gt;\,\delta t\,&lt;/math&gt; est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide &lt;math&gt;\,\ldots\,&lt;/math&gt; ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est dans le plan vertical de lancement&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; de vecteur moment par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}un pseudo point centré en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, point quelconque de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot;&gt; Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au vecteur vitesse du solide.&lt;/ref&gt; de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|&lt;sup&gt;60&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; du plan localement transverse à savoir «&lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\,dS\,&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subit une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Bigg\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; en dépendent, néanmoins nous supposerons, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\,e\,&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\,z\,&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_i = 0\,&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_s = e &gt; 0\,&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\,z^{+}\,&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\,z^{-}\,&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\,Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,d \Sigma\,&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\,z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\,Pa \cdot s\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\,Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\,\mu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\,m^2 \cdot s^{-1}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\,St\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »&lt;math&gt;\Bigg\}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; laquelle se réécrit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\,I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en dérivant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; par rapport au temps, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_I\,&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle &lt;math&gt;\,\theta_I\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; avec la verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; avec cette même verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\,\theta_I = \theta_G\,&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;I\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» en accord avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement et «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\,\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;»  ou encore «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant l'équation &lt;math&gt;\,(\mathfrak{2})\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; doit être remplacée par &lt;math&gt;\,\varphi_G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «&lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt;, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;», soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot;&gt; Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour lesquelles &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, équation différentielle linéaire homogène du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; à cœfficients constants, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot;&gt; Constante d'intégration &lt;math&gt;\,A_i\,&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\,&lt;/math&gt; sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|&lt;sup&gt;82&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot;&gt; Si une longueur était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot;&gt; Si la vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait la vitesse orthoradiale &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; également discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot;&gt; Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit finalement «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot;&gt; En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence &lt;math&gt;\,xOz\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot;&gt; Par absence de vitesse initiale on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0)
 = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot;&gt; La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG_0}\,&lt;/math&gt; dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de lancement&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance &lt;math&gt;\,[OG]\,&lt;/math&gt; étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot;&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; unitaire vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_x\,&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{u}_y&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal égal à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, l'espace physique étant &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;&lt;/math&gt; soit directe », }}orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot;&gt; On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «&lt;math&gt;\;\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\theta_G}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}«&lt;math&gt;\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\theta_G\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot;&gt; Abscisse angulaire du C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. noté «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; est aussi le &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moment &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, de moment vectoriel en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de la liaison sphérique &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement fluide linéaire.&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;retour au repérage polaire du plan zOx&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; dont on déduit &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot;&gt; Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sont rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moments &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot;&gt; On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\,\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,-\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\,m\,\vec{g}\big)\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,&lt;/math&gt; d'où, &lt;math&gt;\,\theta\,&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[\theta\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,&lt; 0\big]\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; rencontre l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}&lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot; /&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour un }}lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot; /&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. en rotation autour de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; nous obtenons «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans la mesure où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire.

=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, fut-il linéaire «&lt;math&gt;\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;&lt;/math&gt;», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'a donc &lt;u&gt;pas de résolution analytique exacte&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, la seule possibilité étant une résolution approchée &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot;&gt; On devrait dire « élongations angulaires petites &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou non&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en valeur absolue&lt;/u&gt; » mais personne ne le fait par abus de langage.&lt;/ref&gt; » &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;analytique }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;ref&gt; Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer &lt;ref&gt; Que la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].&lt;/ref&gt; le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières suivantes : &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot;&gt; Conditions notées «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].&lt;/ref&gt; » avec la valeur absolue de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; petite &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot;&gt; À condition que l'angle soit exprimé en &lt;math&gt;\,rad&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert\,&lt;/math&gt; ne dépassera pas &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\,&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}soit «&lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; possibilité de D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot;&gt; Développement Limité.&lt;/ref&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; au &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}voisinage de &lt;math&gt;\,0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}d'où linéarisation de l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}selon «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}équation différentielle linéaire à cœfficients constants du &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre et homogène. &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans le cas des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et, dans cette hypothèse, devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» de pulsation propre &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}«&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\,\sigma\,\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O} = 2\;\sigma\;\omega_0}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\,g\,\mathfrak{a}\,J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &lt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même forme&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma = 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;ref name=&quot;même forme - bis&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &gt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;ref name=&quot;même forme - ter&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_termes_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Simple Non Amorti.&lt;/ref&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}\,&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical initial, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, }}le mouvement de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant }}d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser }}les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathit{l}\,,\right.}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\theta\,&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Nous nous proposons de retrouver l'équation différentielle du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d'axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|Cas om M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance }}de rotation &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance de rotation &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\,\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; A priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus.&lt;/ref&gt; de moment scalaire par rapport &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force de contact }}à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\,\vec{T}(t)\,&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. colinéaire à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OM}(t)\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\,\Vert \vec{T}(t) \Vert\,&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\,\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot; /&gt;, conduit à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;», avec &lt;math&gt;\,\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; accélération angulaire à la daue &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,M\,\left( m \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}}\,&lt;/math&gt; }}relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; est la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» et finalement, en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, homogène &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. }}caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.

=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : les abscisses angulaires d’équilibre étant les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « composante de &lt;math&gt;\,m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}l’équation différentielle ayant été obtenue par «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}avec l’équation différentielle déterminée par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;, moment scalaire moteur »&lt;math&gt;\big\},&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : avec }}l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont aussi les zéros du « moment scalaire moteur » &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. :  }}d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\,\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;-m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» de rappel&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}au voisinage d'un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = \pi&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}répulsive&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; lié à la force motrice &lt;math&gt;\,F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)}\,&lt;/math&gt; lié }}par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = F(\theta)\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» nous induisons &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}la propriété &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « de rappel » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est stable et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : la propriété }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « répulsif » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est instable. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce qui a été rappelé ci-dessus est la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; des équilibres d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;, mais il existe aussi &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : Ce qui a été rappelé ci-dessus est }}une détermination graphique &lt;ref name=&quot;détemination graphique de la stabilité ou non des équilibres d'un P.P.S.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; qui peut être restituée en remplaçant la « composante orthoradiale de force motrice » par le « moment scalaire moteur » &lt;math&gt;\ldots&lt;/math&gt;

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\perp}\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » }}les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; En fait il s'agit du moment scalaire résultant moteur s'il y a plusieurs moments scalaires moteurs ne s'annulant pas avec le mouvement.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;algébrique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}conclure selon les résultats suivants : &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\,&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre deux &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» de signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; » &lt;ref&gt; En effet «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; étant toujours du signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\,\varepsilon\;&lt;/math&gt;», cela correspond à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre, plus précisément &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable, mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,= 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», développement de }}&lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre trois &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)&lt;/math&gt; « moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,&lt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\,&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)&lt;/math&gt; « moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,&gt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}équilibre « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre quatre ou plus &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;» }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» de signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;» }}l'quilibre est donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; » &lt;ref&gt; En effet «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; étant toujours du signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\,\varepsilon\;&lt;/math&gt;», cela correspond à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre, plus précisément &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable, mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,= 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)}\,&lt;/math&gt; }}est limité à l'ordre cinq &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», soit &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\, &lt;\, 0\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}un équilibre « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\, &gt;\, 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\big)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats :

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
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        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu */</comment>
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      <text bytes="232799" sha1="bhg5iahj91q7m1cxhtkk4ux2kiv9y1p" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 9
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Non Amorti.&lt;/ref&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt;}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_t\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\,R_2\,&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\,R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à gauche&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\,+12\; V\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» inférieure à &lt;math&gt;\,10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\,u_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\,&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,2,4\; V\,&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\,0,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\,F\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;interface Orphy-GTI&quot;&gt; Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;potentiomètre monotour&quot;&gt; Voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.&lt;/ref&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\,1\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\,&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\,COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,10\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\,7000\,&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\,2\;P + 1\,&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\,b_0 = 1\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,f_c\,&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\,f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\,1\;Hz\big]\,&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\,n_e\,&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\,\big\{n_e\,&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\,7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; ou plus devrait {{Nobr|convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.}}&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\,2\;P + 1 = 41\,&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|3}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal &lt;br&gt;{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\,P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\,2\;\pi\,&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle  &lt;br&gt;{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,2,5\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\,1000\,&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\,12\; s\,&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\,4800\,&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir &lt;br&gt;{{Al|98}}de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\,\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\,90\;\text{°}\,&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié &lt;br&gt;{{Al|98}}au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\,\nearrow\,&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\,10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\,O\big)\,&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; » ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt;, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt;}} lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;déf de urG&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}(t)\;&lt;/math&gt; étant le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; vecteur de base sphérique de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; associé au point &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant direct, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\;&lt;/math&gt;», appliquée en &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, se décomposant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}a priori selon &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt; mais, avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, celle-ci se simplifie en &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I.&quot;&gt; Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la foce de frottement fluide étant une réaction&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;à l'instant &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le vecteur accélération initial de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à un instant légèrement postérieur &lt;math&gt;\,\delta t\,&lt;/math&gt; est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide &lt;math&gt;\,\ldots\,&lt;/math&gt; ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est dans le plan vertical de lancement&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; de vecteur moment par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}un pseudo point centré en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, point quelconque de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot;&gt; Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au vecteur vitesse du solide.&lt;/ref&gt; de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|&lt;sup&gt;60&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; du plan localement transverse à savoir «&lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\,dS\,&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subit une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Bigg\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; en dépendent, néanmoins nous supposerons, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\,e\,&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\,z\,&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_i = 0\,&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_s = e &gt; 0\,&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\,z^{+}\,&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\,z^{-}\,&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\,Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,d \Sigma\,&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\,z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\,Pa \cdot s\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\,Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\,\mu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\,m^2 \cdot s^{-1}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\,St\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »&lt;math&gt;\Bigg\}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; laquelle se réécrit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\,I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en dérivant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; par rapport au temps, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_I\,&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle &lt;math&gt;\,\theta_I\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; avec la verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; avec cette même verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\,\theta_I = \theta_G\,&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;I\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» en accord avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement et «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\,\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;»  ou encore «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant l'équation &lt;math&gt;\,(\mathfrak{2})\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; doit être remplacée par &lt;math&gt;\,\varphi_G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «&lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt;, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;», soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot;&gt; Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour lesquelles &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, équation différentielle linéaire homogène du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; à cœfficients constants, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot;&gt; Constante d'intégration &lt;math&gt;\,A_i\,&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\,&lt;/math&gt; sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|&lt;sup&gt;82&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot;&gt; Si une longueur était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot;&gt; Si la vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait la vitesse orthoradiale &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; également discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot;&gt; Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit finalement «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot;&gt; En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence &lt;math&gt;\,xOz\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot;&gt; Par absence de vitesse initiale on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0)
 = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot;&gt; La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG_0}\,&lt;/math&gt; dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de lancement&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance &lt;math&gt;\,[OG]\,&lt;/math&gt; étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot;&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; unitaire vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_x\,&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{u}_y&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal égal à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, l'espace physique étant &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;&lt;/math&gt; soit directe », }}orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot;&gt; On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «&lt;math&gt;\;\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\theta_G}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}«&lt;math&gt;\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\theta_G\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot;&gt; Abscisse angulaire du C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. noté «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; est aussi le &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moment &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, de moment vectoriel en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de la liaison sphérique &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement fluide linéaire.&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;retour au repérage polaire du plan zOx&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; dont on déduit &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot;&gt; Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sont rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moments &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot;&gt; On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\,\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,-\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\,m\,\vec{g}\big)\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,&lt;/math&gt; d'où, &lt;math&gt;\,\theta\,&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[\theta\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,&lt; 0\big]\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; rencontre l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}&lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot; /&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour un }}lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot; /&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. en rotation autour de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; nous obtenons «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans la mesure où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire.

=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, fut-il linéaire «&lt;math&gt;\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;&lt;/math&gt;», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'a donc &lt;u&gt;pas de résolution analytique exacte&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, la seule possibilité étant une résolution approchée &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot;&gt; On devrait dire « élongations angulaires petites &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou non&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en valeur absolue&lt;/u&gt; » mais personne ne le fait par abus de langage.&lt;/ref&gt; » &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;analytique }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;ref&gt; Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer &lt;ref&gt; Que la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].&lt;/ref&gt; le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières suivantes : &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot;&gt; Conditions notées «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].&lt;/ref&gt; » avec la valeur absolue de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; petite &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot;&gt; À condition que l'angle soit exprimé en &lt;math&gt;\,rad&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert\,&lt;/math&gt; ne dépassera pas &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\,&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}soit «&lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; possibilité de D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot;&gt; Développement Limité.&lt;/ref&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; au &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}voisinage de &lt;math&gt;\,0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}d'où linéarisation de l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}selon «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}équation différentielle linéaire à cœfficients constants du &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre et homogène. &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans le cas des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et, dans cette hypothèse, devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» de pulsation propre &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}«&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\,\sigma\,\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O} = 2\;\sigma\;\omega_0}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\,g\,\mathfrak{a}\,J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &lt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même forme&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma = 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;ref name=&quot;même forme - bis&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &gt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;ref name=&quot;même forme - ter&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_termes_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Simple Non Amorti.&lt;/ref&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}\,&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical initial, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, }}le mouvement de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant }}d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser }}les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathit{l}\,,\right.}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\theta\,&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Nous nous proposons de retrouver l'équation différentielle du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d'axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|Cas om M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance }}de rotation &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance de rotation &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\,\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; A priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus.&lt;/ref&gt; de moment scalaire par rapport &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force de contact }}à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\,\vec{T}(t)\,&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. colinéaire à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OM}(t)\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\,\Vert \vec{T}(t) \Vert\,&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\,\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot; /&gt;, conduit à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;», avec &lt;math&gt;\,\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; accélération angulaire à la daue &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,M\,\left( m \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}}\,&lt;/math&gt; }}relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; est la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» et finalement, en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, homogène &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. }}caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.

=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : les abscisses angulaires d’équilibre étant les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « composante de &lt;math&gt;\,m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}l’équation différentielle ayant été obtenue par «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}avec l’équation différentielle déterminée par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;, moment scalaire moteur »&lt;math&gt;\big\},&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : avec }}l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont aussi les zéros du « moment scalaire moteur » &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. :  }}d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\,\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;-m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» de rappel&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}au voisinage d'un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = \pi&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}répulsive&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; lié à la force motrice &lt;math&gt;\,F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)}\,&lt;/math&gt; lié }}par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = F(\theta)\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» nous induisons &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}la propriété &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « de rappel » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est stable et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : la propriété }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « répulsif » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est instable. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce qui a été rappelé ci-dessus est la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; des équilibres d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;, mais il existe aussi &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : Ce qui a été rappelé ci-dessus est }}une détermination graphique &lt;ref name=&quot;détemination graphique de la stabilité ou non des équilibres d'un P.P.S.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; qui peut être restituée en remplaçant la « composante orthoradiale de force motrice » par le « moment scalaire moteur » &lt;math&gt;\ldots&lt;/math&gt;

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\perp}\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » }}les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; En fait il s'agit du moment scalaire résultant moteur s'il y a plusieurs moments scalaires moteurs ne s'annulant pas avec le mouvement.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;algébrique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}conclure selon les résultats suivants : &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\,&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre deux &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» de signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; » &lt;ref&gt; En effet «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; étant toujours du signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\,\varepsilon\;&lt;/math&gt;», cela correspond à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre, plus précisément &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable, mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,= 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», développement de }}&lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre trois &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)&lt;/math&gt; « moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,&lt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\,&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)&lt;/math&gt; « moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,&gt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}équilibre « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre quatre ou plus &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;» }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» de signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;» }}l'quilibre est donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; » &lt;ref&gt; En effet «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; étant toujours du signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\,\varepsilon\;&lt;/math&gt;», cela correspond à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre, plus précisément &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable, mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,= 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)}\,&lt;/math&gt; }}est limité à l'ordre cinq &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», soit &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\, &lt;\, 0\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}un équilibre « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\, &gt;\, 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », &lt;br&gt;{{Al|5}}nous rappelons les principaux résultats ci-dessous :
[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du {{Nobr|P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;}} à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\big)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
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      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu */</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="233278" sha1="dxk9h1foy1cobecricjcfvydnoi1pc5" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 9
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Non Amorti.&lt;/ref&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt;}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_t\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\,R_2\,&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\,R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à gauche&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\,+12\; V\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» inférieure à &lt;math&gt;\,10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\,u_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\,&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,2,4\; V\,&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\,0,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\,F\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;interface Orphy-GTI&quot;&gt; Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;potentiomètre monotour&quot;&gt; Voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.&lt;/ref&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\,1\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\,&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\,COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,10\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\,7000\,&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\,2\;P + 1\,&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\,b_0 = 1\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,f_c\,&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\,f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\,1\;Hz\big]\,&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\,n_e\,&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\,\big\{n_e\,&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\,7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; ou plus devrait {{Nobr|convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.}}&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\,2\;P + 1 = 41\,&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|3}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal &lt;br&gt;{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\,P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\,2\;\pi\,&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle  &lt;br&gt;{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,2,5\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\,1000\,&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\,12\; s\,&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\,4800\,&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir &lt;br&gt;{{Al|98}}de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\,\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\,90\;\text{°}\,&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié &lt;br&gt;{{Al|98}}au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\,\nearrow\,&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\,10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\,O\big)\,&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; » ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt;, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt;}} lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;déf de urG&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}(t)\;&lt;/math&gt; étant le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; vecteur de base sphérique de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; associé au point &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant direct, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\;&lt;/math&gt;», appliquée en &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, se décomposant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}a priori selon &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt; mais, avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, celle-ci se simplifie en &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I.&quot;&gt; Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la foce de frottement fluide étant une réaction&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;à l'instant &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le vecteur accélération initial de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à un instant légèrement postérieur &lt;math&gt;\,\delta t\,&lt;/math&gt; est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide &lt;math&gt;\,\ldots\,&lt;/math&gt; ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est dans le plan vertical de lancement&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; de vecteur moment par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}un pseudo point centré en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, point quelconque de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot;&gt; Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au vecteur vitesse du solide.&lt;/ref&gt; de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|&lt;sup&gt;60&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; du plan localement transverse à savoir «&lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\,dS\,&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subit une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Bigg\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; en dépendent, néanmoins nous supposerons, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\,e\,&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\,z\,&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_i = 0\,&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_s = e &gt; 0\,&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\,z^{+}\,&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\,z^{-}\,&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\,Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,d \Sigma\,&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\,z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\,Pa \cdot s\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\,Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\,\mu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\,m^2 \cdot s^{-1}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\,St\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »&lt;math&gt;\Bigg\}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; laquelle se réécrit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\,I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en dérivant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; par rapport au temps, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_I\,&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle &lt;math&gt;\,\theta_I\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; avec la verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; avec cette même verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\,\theta_I = \theta_G\,&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;I\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» en accord avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement et «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\,\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;»  ou encore «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant l'équation &lt;math&gt;\,(\mathfrak{2})\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; doit être remplacée par &lt;math&gt;\,\varphi_G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «&lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt;, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;», soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot;&gt; Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour lesquelles &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, équation différentielle linéaire homogène du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; à cœfficients constants, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot;&gt; Constante d'intégration &lt;math&gt;\,A_i\,&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\,&lt;/math&gt; sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|&lt;sup&gt;82&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot;&gt; Si une longueur était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot;&gt; Si la vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait la vitesse orthoradiale &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; également discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot;&gt; Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit finalement «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot;&gt; En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence &lt;math&gt;\,xOz\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot;&gt; Par absence de vitesse initiale on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0)
 = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot;&gt; La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG_0}\,&lt;/math&gt; dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de lancement&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance &lt;math&gt;\,[OG]\,&lt;/math&gt; étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot;&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; unitaire vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_x\,&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{u}_y&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal égal à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, l'espace physique étant &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;&lt;/math&gt; soit directe », }}orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot;&gt; On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «&lt;math&gt;\;\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\theta_G}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}«&lt;math&gt;\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\theta_G\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot;&gt; Abscisse angulaire du C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. noté «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; est aussi le &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moment &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, de moment vectoriel en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de la liaison sphérique &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement fluide linéaire.&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;retour au repérage polaire du plan zOx&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; dont on déduit &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot;&gt; Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sont rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moments &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot;&gt; On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\,\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,-\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\,m\,\vec{g}\big)\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,&lt;/math&gt; d'où, &lt;math&gt;\,\theta\,&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[\theta\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,&lt; 0\big]\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; rencontre l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}&lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot; /&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour un }}lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot; /&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. en rotation autour de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; nous obtenons «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans la mesure où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire.

=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, fut-il linéaire «&lt;math&gt;\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;&lt;/math&gt;», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'a donc &lt;u&gt;pas de résolution analytique exacte&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, la seule possibilité étant une résolution approchée &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot;&gt; On devrait dire « élongations angulaires petites &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou non&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en valeur absolue&lt;/u&gt; » mais personne ne le fait par abus de langage.&lt;/ref&gt; » &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;analytique }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;ref&gt; Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer &lt;ref&gt; Que la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].&lt;/ref&gt; le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières suivantes : &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot;&gt; Conditions notées «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].&lt;/ref&gt; » avec la valeur absolue de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; petite &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot;&gt; À condition que l'angle soit exprimé en &lt;math&gt;\,rad&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert\,&lt;/math&gt; ne dépassera pas &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\,&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}soit «&lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; possibilité de D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot;&gt; Développement Limité.&lt;/ref&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; au &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}voisinage de &lt;math&gt;\,0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}d'où linéarisation de l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}selon «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}équation différentielle linéaire à cœfficients constants du &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre et homogène. &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans le cas des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et, dans cette hypothèse, devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» de pulsation propre &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}«&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\,\sigma\,\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O} = 2\;\sigma\;\omega_0}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\,g\,\mathfrak{a}\,J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &lt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même forme&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma = 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;ref name=&quot;même forme - bis&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &gt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;ref name=&quot;même forme - ter&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_termes_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Simple Non Amorti.&lt;/ref&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}\,&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical initial, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, }}le mouvement de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant }}d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser }}les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathit{l}\,,\right.}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\theta\,&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Nous nous proposons de retrouver l'équation différentielle du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d'axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|Cas om M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance }}de rotation &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance de rotation &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\,\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; A priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus.&lt;/ref&gt; de moment scalaire par rapport &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force de contact }}à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\,\vec{T}(t)\,&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. colinéaire à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OM}(t)\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\,\Vert \vec{T}(t) \Vert\,&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\,\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot; /&gt;, conduit à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;», avec &lt;math&gt;\,\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; accélération angulaire à la daue &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,M\,\left( m \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}}\,&lt;/math&gt; }}relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; est la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» et finalement, en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, homogène &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. }}caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.

=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : les abscisses angulaires d’équilibre étant les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « composante de &lt;math&gt;\,m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}l’équation différentielle ayant été obtenue par «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}avec l’équation différentielle déterminée par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;, moment scalaire moteur »&lt;math&gt;\big\},&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : avec }}l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont aussi les zéros du « moment scalaire moteur » &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. :  }}d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\,\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;-m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» de rappel&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}au voisinage d'un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = \pi&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}répulsive&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; lié à la force motrice &lt;math&gt;\,F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)}\,&lt;/math&gt; lié }}par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = F(\theta)\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» nous induisons &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}la propriété &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « de rappel » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est stable et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : la propriété }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « répulsif » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est instable. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce qui a été rappelé ci-dessus est la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; des équilibres d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;, mais il existe aussi &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : Ce qui a été rappelé ci-dessus est }}une détermination graphique &lt;ref name=&quot;détemination graphique de la stabilité ou non des équilibres d'un P.P.S.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; qui peut être restituée en remplaçant la « composante orthoradiale de force motrice » par le « moment scalaire moteur » &lt;math&gt;\ldots&lt;/math&gt;

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\perp}\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » }}les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; En fait il s'agit du moment scalaire résultant moteur s'il y a plusieurs moments scalaires moteurs ne s'annulant pas avec le mouvement.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;algébrique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}conclure selon les résultats suivants : &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\,&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre deux &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» de signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; » &lt;ref&gt; En effet «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; étant toujours du signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\,\varepsilon\;&lt;/math&gt;», cela correspond à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre, plus précisément &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable, mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,= 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», développement de }}&lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre trois &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)&lt;/math&gt; « moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,&lt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\,&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)&lt;/math&gt; « moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,&gt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}équilibre « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre quatre ou plus &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;» }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» de signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;» }}l'quilibre est donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; » &lt;ref&gt; En effet «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; étant toujours du signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\,\varepsilon\;&lt;/math&gt;», cela correspond à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre, plus précisément &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable, mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,= 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)}\,&lt;/math&gt; }}est limité à l'ordre cinq &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», soit &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\, &lt;\, 0\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}un équilibre « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\, &gt;\, 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du {{Nobr|P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;}} à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\big)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe }}du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe }}nous rappelons les principaux résultats ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons }}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_r}\,&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. appliquée à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overline{T}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
}}</text>
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        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu */</comment>
      <origin>987110</origin>
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      <text bytes="233370" sha1="hxvk8g50ekhhcgz6dn7pxwhnbsodh0s" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 9
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Non Amorti.&lt;/ref&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt;}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_t\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\,R_2\,&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\,R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à gauche&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\,+12\; V\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» inférieure à &lt;math&gt;\,10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\,u_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\,&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,2,4\; V\,&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\,0,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\,F\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;interface Orphy-GTI&quot;&gt; Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;potentiomètre monotour&quot;&gt; Voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.&lt;/ref&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\,1\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\,&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\,COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,10\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\,7000\,&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\,2\;P + 1\,&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\,b_0 = 1\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,f_c\,&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\,f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\,1\;Hz\big]\,&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\,n_e\,&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\,\big\{n_e\,&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\,7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; ou plus devrait {{Nobr|convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.}}&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\,2\;P + 1 = 41\,&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|3}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal &lt;br&gt;{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\,P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\,2\;\pi\,&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle  &lt;br&gt;{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,2,5\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\,1000\,&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\,12\; s\,&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\,4800\,&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir &lt;br&gt;{{Al|98}}de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\,\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\,90\;\text{°}\,&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié &lt;br&gt;{{Al|98}}au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\,\nearrow\,&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\,10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\,O\big)\,&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; » ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt;, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt;}} lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;déf de urG&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}(t)\;&lt;/math&gt; étant le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; vecteur de base sphérique de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; associé au point &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant direct, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\;&lt;/math&gt;», appliquée en &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, se décomposant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}a priori selon &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt; mais, avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, celle-ci se simplifie en &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I.&quot;&gt; Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la foce de frottement fluide étant une réaction&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;à l'instant &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le vecteur accélération initial de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à un instant légèrement postérieur &lt;math&gt;\,\delta t\,&lt;/math&gt; est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide &lt;math&gt;\,\ldots\,&lt;/math&gt; ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est dans le plan vertical de lancement&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; de vecteur moment par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}un pseudo point centré en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, point quelconque de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot;&gt; Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au vecteur vitesse du solide.&lt;/ref&gt; de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|&lt;sup&gt;60&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; du plan localement transverse à savoir «&lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\,dS\,&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subit une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Bigg\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; en dépendent, néanmoins nous supposerons, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\,e\,&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\,z\,&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_i = 0\,&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_s = e &gt; 0\,&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\,z^{+}\,&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\,z^{-}\,&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\,Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,d \Sigma\,&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\,z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\,Pa \cdot s\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\,Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\,\mu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\,m^2 \cdot s^{-1}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\,St\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »&lt;math&gt;\Bigg\}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; laquelle se réécrit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\,I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en dérivant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; par rapport au temps, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_I\,&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle &lt;math&gt;\,\theta_I\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; avec la verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; avec cette même verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\,\theta_I = \theta_G\,&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;I\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» en accord avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement et «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\,\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;»  ou encore «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant l'équation &lt;math&gt;\,(\mathfrak{2})\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; doit être remplacée par &lt;math&gt;\,\varphi_G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «&lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt;, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;», soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot;&gt; Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour lesquelles &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, équation différentielle linéaire homogène du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; à cœfficients constants, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot;&gt; Constante d'intégration &lt;math&gt;\,A_i\,&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\,&lt;/math&gt; sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|&lt;sup&gt;82&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot;&gt; Si une longueur était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot;&gt; Si la vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait la vitesse orthoradiale &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; également discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot;&gt; Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit finalement «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot;&gt; En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence &lt;math&gt;\,xOz\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot;&gt; Par absence de vitesse initiale on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0)
 = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot;&gt; La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG_0}\,&lt;/math&gt; dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de lancement&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance &lt;math&gt;\,[OG]\,&lt;/math&gt; étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot;&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; unitaire vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_x\,&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{u}_y&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal égal à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, l'espace physique étant &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;&lt;/math&gt; soit directe », }}orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot;&gt; On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «&lt;math&gt;\;\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\theta_G}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}«&lt;math&gt;\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\theta_G\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot;&gt; Abscisse angulaire du C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. noté «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; est aussi le &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moment &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, de moment vectoriel en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de la liaison sphérique &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement fluide linéaire.&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;retour au repérage polaire du plan zOx&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; dont on déduit &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot;&gt; Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sont rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moments &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot;&gt; On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\,\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,-\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\,m\,\vec{g}\big)\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,&lt;/math&gt; d'où, &lt;math&gt;\,\theta\,&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[\theta\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,&lt; 0\big]\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; rencontre l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}&lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot; /&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour un }}lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot; /&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. en rotation autour de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; nous obtenons «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans la mesure où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire.

=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, fut-il linéaire «&lt;math&gt;\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;&lt;/math&gt;», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'a donc &lt;u&gt;pas de résolution analytique exacte&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, la seule possibilité étant une résolution approchée &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot;&gt; On devrait dire « élongations angulaires petites &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou non&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en valeur absolue&lt;/u&gt; » mais personne ne le fait par abus de langage.&lt;/ref&gt; » &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;analytique }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;ref&gt; Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer &lt;ref&gt; Que la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].&lt;/ref&gt; le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières suivantes : &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot;&gt; Conditions notées «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].&lt;/ref&gt; » avec la valeur absolue de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; petite &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot;&gt; À condition que l'angle soit exprimé en &lt;math&gt;\,rad&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert\,&lt;/math&gt; ne dépassera pas &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\,&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}soit «&lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; possibilité de D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot;&gt; Développement Limité.&lt;/ref&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; au &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}voisinage de &lt;math&gt;\,0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}d'où linéarisation de l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}selon «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}équation différentielle linéaire à cœfficients constants du &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre et homogène. &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans le cas des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et, dans cette hypothèse, devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» de pulsation propre &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}«&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\,\sigma\,\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O} = 2\;\sigma\;\omega_0}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\,g\,\mathfrak{a}\,J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &lt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même forme&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma = 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;ref name=&quot;même forme - bis&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &gt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;ref name=&quot;même forme - ter&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_termes_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Simple Non Amorti.&lt;/ref&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}\,&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical initial, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, }}le mouvement de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant }}d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser }}les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathit{l}\,,\right.}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\theta\,&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Nous nous proposons de retrouver l'équation différentielle du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d'axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|Cas om M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance }}de rotation &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance de rotation &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\,\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; A priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus.&lt;/ref&gt; de moment scalaire par rapport &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force de contact }}à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\,\vec{T}(t)\,&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. colinéaire à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OM}(t)\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\,\Vert \vec{T}(t) \Vert\,&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\,\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot; /&gt;, conduit à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;», avec &lt;math&gt;\,\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; accélération angulaire à la daue &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,M\,\left( m \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}}\,&lt;/math&gt; }}relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; est la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» et finalement, en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, homogène &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. }}caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.

=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : les abscisses angulaires d’équilibre étant les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « composante de &lt;math&gt;\,m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}l’équation différentielle ayant été obtenue par «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}avec l’équation différentielle déterminée par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;, moment scalaire moteur »&lt;math&gt;\big\},&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : avec }}l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont aussi les zéros du « moment scalaire moteur » &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. :  }}d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\,\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;-m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» de rappel&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}au voisinage d'un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = \pi&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}répulsive&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; lié à la force motrice &lt;math&gt;\,F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)}\,&lt;/math&gt; lié }}par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = F(\theta)\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» nous induisons &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}la propriété &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « de rappel » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est stable et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : la propriété }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « répulsif » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est instable. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce qui a été rappelé ci-dessus est la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; des équilibres d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;, mais il existe aussi &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : Ce qui a été rappelé ci-dessus est }}une détermination graphique &lt;ref name=&quot;détemination graphique de la stabilité ou non des équilibres d'un P.P.S.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; qui peut être restituée en remplaçant la « composante orthoradiale de force motrice » par le « moment scalaire moteur » &lt;math&gt;\ldots&lt;/math&gt;

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\perp}\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » }}les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; En fait il s'agit du moment scalaire résultant moteur s'il y a plusieurs moments scalaires moteurs ne s'annulant pas avec le mouvement.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;algébrique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}conclure selon les résultats suivants : &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\,&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre deux &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» de signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; » &lt;ref&gt; En effet «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; étant toujours du signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\,\varepsilon\;&lt;/math&gt;», cela correspond à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre, plus précisément &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable, mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,= 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», développement de }}&lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre trois &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)&lt;/math&gt; « moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,&lt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\,&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)&lt;/math&gt; « moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,&gt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}équilibre « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre quatre ou plus &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;» }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» de signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;» }}l'quilibre est donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; » &lt;ref&gt; En effet «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; étant toujours du signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\,\varepsilon\;&lt;/math&gt;», cela correspond à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre, plus précisément &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable, mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,= 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)}\,&lt;/math&gt; }}est limité à l'ordre cinq &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», soit &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\, &lt;\, 0\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}un équilibre « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\, &gt;\, 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du {{Nobr|P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;}} à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\big)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe }}du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe }}nous rappelons les principaux résultats ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons }}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_r}\,&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. appliquée à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overline{T}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -m\, \left\lbrace \mathit{l}\,\dot{\theta}^2\!(t) + g\,\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons Après utilisation successive }}de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
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        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu */</comment>
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      <text bytes="233369" sha1="3t5xopfcbl4hliwj66t387x1v6rrewt" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 9
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Non Amorti.&lt;/ref&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt;}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_t\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\,R_2\,&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\,R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à gauche&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\,+12\; V\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» inférieure à &lt;math&gt;\,10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\,u_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\,&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,2,4\; V\,&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\,0,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\,F\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;interface Orphy-GTI&quot;&gt; Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;potentiomètre monotour&quot;&gt; Voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.&lt;/ref&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\,1\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\,&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\,COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,10\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\,7000\,&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\,2\;P + 1\,&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\,b_0 = 1\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,f_c\,&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\,f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\,1\;Hz\big]\,&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\,n_e\,&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\,\big\{n_e\,&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\,7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; ou plus devrait {{Nobr|convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.}}&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\,2\;P + 1 = 41\,&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|3}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal &lt;br&gt;{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\,P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\,2\;\pi\,&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle  &lt;br&gt;{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,2,5\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\,1000\,&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\,12\; s\,&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\,4800\,&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir &lt;br&gt;{{Al|98}}de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\,\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\,90\;\text{°}\,&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié &lt;br&gt;{{Al|98}}au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\,\nearrow\,&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\,10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\,O\big)\,&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; » ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt;, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt;}} lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;déf de urG&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}(t)\;&lt;/math&gt; étant le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; vecteur de base sphérique de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; associé au point &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant direct, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\;&lt;/math&gt;», appliquée en &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, se décomposant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}a priori selon &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt; mais, avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, celle-ci se simplifie en &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I.&quot;&gt; Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la foce de frottement fluide étant une réaction&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;à l'instant &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le vecteur accélération initial de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à un instant légèrement postérieur &lt;math&gt;\,\delta t\,&lt;/math&gt; est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide &lt;math&gt;\,\ldots\,&lt;/math&gt; ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est dans le plan vertical de lancement&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; de vecteur moment par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}un pseudo point centré en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, point quelconque de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot;&gt; Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au vecteur vitesse du solide.&lt;/ref&gt; de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|&lt;sup&gt;60&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; du plan localement transverse à savoir «&lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\,dS\,&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subit une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Bigg\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; en dépendent, néanmoins nous supposerons, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\,e\,&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\,z\,&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_i = 0\,&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_s = e &gt; 0\,&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\,z^{+}\,&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\,z^{-}\,&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\,Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,d \Sigma\,&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\,z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\,Pa \cdot s\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\,Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\,\mu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\,m^2 \cdot s^{-1}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\,St\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »&lt;math&gt;\Bigg\}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; laquelle se réécrit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\,I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en dérivant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; par rapport au temps, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_I\,&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle &lt;math&gt;\,\theta_I\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; avec la verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; avec cette même verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\,\theta_I = \theta_G\,&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;I\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» en accord avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement et «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\,\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;»  ou encore «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant l'équation &lt;math&gt;\,(\mathfrak{2})\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; doit être remplacée par &lt;math&gt;\,\varphi_G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «&lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt;, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;», soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot;&gt; Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour lesquelles &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, équation différentielle linéaire homogène du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; à cœfficients constants, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot;&gt; Constante d'intégration &lt;math&gt;\,A_i\,&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\,&lt;/math&gt; sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|&lt;sup&gt;82&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot;&gt; Si une longueur était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot;&gt; Si la vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait la vitesse orthoradiale &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; également discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot;&gt; Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit finalement «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot;&gt; En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence &lt;math&gt;\,xOz\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot;&gt; Par absence de vitesse initiale on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0)
 = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot;&gt; La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG_0}\,&lt;/math&gt; dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de lancement&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance &lt;math&gt;\,[OG]\,&lt;/math&gt; étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot;&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; unitaire vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_x\,&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{u}_y&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal égal à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, l'espace physique étant &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;&lt;/math&gt; soit directe », }}orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot;&gt; On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «&lt;math&gt;\;\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\theta_G}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}«&lt;math&gt;\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\theta_G\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot;&gt; Abscisse angulaire du C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. noté «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; est aussi le &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moment &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, de moment vectoriel en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de la liaison sphérique &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement fluide linéaire.&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;retour au repérage polaire du plan zOx&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; dont on déduit &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot;&gt; Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sont rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moments &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot;&gt; On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\,\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,-\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\,m\,\vec{g}\big)\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,&lt;/math&gt; d'où, &lt;math&gt;\,\theta\,&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[\theta\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,&lt; 0\big]\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; rencontre l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}&lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot; /&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour un }}lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot; /&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. en rotation autour de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; nous obtenons «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans la mesure où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire.

=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, fut-il linéaire «&lt;math&gt;\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;&lt;/math&gt;», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'a donc &lt;u&gt;pas de résolution analytique exacte&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, la seule possibilité étant une résolution approchée &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot;&gt; On devrait dire « élongations angulaires petites &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou non&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en valeur absolue&lt;/u&gt; » mais personne ne le fait par abus de langage.&lt;/ref&gt; » &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;analytique }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;ref&gt; Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer &lt;ref&gt; Que la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].&lt;/ref&gt; le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières suivantes : &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot;&gt; Conditions notées «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].&lt;/ref&gt; » avec la valeur absolue de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; petite &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot;&gt; À condition que l'angle soit exprimé en &lt;math&gt;\,rad&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert\,&lt;/math&gt; ne dépassera pas &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\,&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}soit «&lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; possibilité de D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot;&gt; Développement Limité.&lt;/ref&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; au &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}voisinage de &lt;math&gt;\,0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}d'où linéarisation de l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}selon «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}équation différentielle linéaire à cœfficients constants du &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre et homogène. &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans le cas des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et, dans cette hypothèse, devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» de pulsation propre &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}«&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\,\sigma\,\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O} = 2\;\sigma\;\omega_0}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\,g\,\mathfrak{a}\,J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &lt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même forme&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma = 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;ref name=&quot;même forme - bis&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &gt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;ref name=&quot;même forme - ter&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_termes_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Simple Non Amorti.&lt;/ref&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}\,&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical initial, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, }}le mouvement de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant }}d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser }}les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathit{l}\,,\right.}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\theta\,&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Nous nous proposons de retrouver l'équation différentielle du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d'axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|Cas om M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance }}de rotation &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance de rotation &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\,\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; A priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus.&lt;/ref&gt; de moment scalaire par rapport &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force de contact }}à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\,\vec{T}(t)\,&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. colinéaire à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OM}(t)\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\,\Vert \vec{T}(t) \Vert\,&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\,\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot; /&gt;, conduit à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;», avec &lt;math&gt;\,\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; accélération angulaire à la daue &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,M\,\left( m \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}}\,&lt;/math&gt; }}relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; est la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» et finalement, en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, homogène &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. }}caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.

=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : les abscisses angulaires d’équilibre étant les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « composante de &lt;math&gt;\,m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}l’équation différentielle ayant été obtenue par «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}avec l’équation différentielle déterminée par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;, moment scalaire moteur »&lt;math&gt;\big\},&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : avec }}l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont aussi les zéros du « moment scalaire moteur » &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. :  }}d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\,\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;-m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» de rappel&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}au voisinage d'un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = \pi&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}répulsive&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; lié à la force motrice &lt;math&gt;\,F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)}\,&lt;/math&gt; lié }}par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = F(\theta)\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» nous induisons &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}la propriété &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « de rappel » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est stable et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : la propriété }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « répulsif » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est instable. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce qui a été rappelé ci-dessus est la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; des équilibres d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;, mais il existe aussi &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : Ce qui a été rappelé ci-dessus est }}une détermination graphique &lt;ref name=&quot;détemination graphique de la stabilité ou non des équilibres d'un P.P.S.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; qui peut être restituée en remplaçant la « composante orthoradiale de force motrice » par le « moment scalaire moteur » &lt;math&gt;\ldots&lt;/math&gt;

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\perp}\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » }}les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; En fait il s'agit du moment scalaire résultant moteur s'il y a plusieurs moments scalaires moteurs ne s'annulant pas avec le mouvement.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;algébrique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}conclure selon les résultats suivants : &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\,&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre deux &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» de signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; » &lt;ref&gt; En effet «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; étant toujours du signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\,\varepsilon\;&lt;/math&gt;», cela correspond à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre, plus précisément &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable, mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,= 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», développement de }}&lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre trois &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)&lt;/math&gt; « moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,&lt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\,&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)&lt;/math&gt; « moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,&gt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}équilibre « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre quatre ou plus &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;» }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» de signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;» }}l'quilibre est donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; » &lt;ref&gt; En effet «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; étant toujours du signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\,\varepsilon\;&lt;/math&gt;», cela correspond à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre, plus précisément &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable, mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,= 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)}\,&lt;/math&gt; }}est limité à l'ordre cinq &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», soit &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\, &lt;\, 0\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}un équilibre « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\, &gt;\, 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du {{Nobr|P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;}} à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\big)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe }}du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe }}nous rappelons les principaux résultats ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons }}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_r}\,&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. appliquée à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overline{T}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -m\, \left\lbrace \mathit{l}\,\dot{\theta}^2\!(t) + g\,\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons Après utilisation successive}}et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
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        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu */</comment>
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      <text bytes="234442" sha1="hf9uddaurhx7f3zq7kmbhzmwmf8j27b" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 9
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Non Amorti.&lt;/ref&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt;}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_t\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\,R_2\,&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\,R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à gauche&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\,+12\; V\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» inférieure à &lt;math&gt;\,10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\,u_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\,&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,2,4\; V\,&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\,0,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\,F\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;interface Orphy-GTI&quot;&gt; Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;potentiomètre monotour&quot;&gt; Voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.&lt;/ref&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\,1\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\,&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\,COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,10\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\,7000\,&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\,2\;P + 1\,&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\,b_0 = 1\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,f_c\,&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\,f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\,1\;Hz\big]\,&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\,n_e\,&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\,\big\{n_e\,&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\,7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; ou plus devrait {{Nobr|convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.}}&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\,2\;P + 1 = 41\,&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|3}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal &lt;br&gt;{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\,P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\,2\;\pi\,&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle  &lt;br&gt;{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,2,5\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\,1000\,&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\,12\; s\,&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\,4800\,&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir &lt;br&gt;{{Al|98}}de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\,\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\,90\;\text{°}\,&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié &lt;br&gt;{{Al|98}}au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\,\nearrow\,&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\,10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\,O\big)\,&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; » ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt;, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt;}} lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;déf de urG&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}(t)\;&lt;/math&gt; étant le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; vecteur de base sphérique de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; associé au point &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant direct, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\;&lt;/math&gt;», appliquée en &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, se décomposant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}a priori selon &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt; mais, avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, celle-ci se simplifie en &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I.&quot;&gt; Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la foce de frottement fluide étant une réaction&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;à l'instant &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le vecteur accélération initial de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à un instant légèrement postérieur &lt;math&gt;\,\delta t\,&lt;/math&gt; est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide &lt;math&gt;\,\ldots\,&lt;/math&gt; ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est dans le plan vertical de lancement&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; de vecteur moment par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}un pseudo point centré en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, point quelconque de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot;&gt; Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au vecteur vitesse du solide.&lt;/ref&gt; de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|&lt;sup&gt;60&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; du plan localement transverse à savoir «&lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\,dS\,&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subit une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Bigg\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; en dépendent, néanmoins nous supposerons, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\,e\,&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\,z\,&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_i = 0\,&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_s = e &gt; 0\,&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\,z^{+}\,&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\,z^{-}\,&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\,Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,d \Sigma\,&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\,z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\,Pa \cdot s\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\,Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\,\mu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\,m^2 \cdot s^{-1}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\,St\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »&lt;math&gt;\Bigg\}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; laquelle se réécrit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\,I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en dérivant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; par rapport au temps, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_I\,&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle &lt;math&gt;\,\theta_I\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; avec la verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; avec cette même verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\,\theta_I = \theta_G\,&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;I\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» en accord avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement et «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\,\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;»  ou encore «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant l'équation &lt;math&gt;\,(\mathfrak{2})\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; doit être remplacée par &lt;math&gt;\,\varphi_G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «&lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt;, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;», soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot;&gt; Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour lesquelles &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, équation différentielle linéaire homogène du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; à cœfficients constants, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot;&gt; Constante d'intégration &lt;math&gt;\,A_i\,&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\,&lt;/math&gt; sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|&lt;sup&gt;82&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot;&gt; Si une longueur était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot;&gt; Si la vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait la vitesse orthoradiale &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; également discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot;&gt; Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit finalement «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot;&gt; En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence &lt;math&gt;\,xOz\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot;&gt; Par absence de vitesse initiale on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0)
 = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot;&gt; La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG_0}\,&lt;/math&gt; dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de lancement&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance &lt;math&gt;\,[OG]\,&lt;/math&gt; étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot;&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; unitaire vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_x\,&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{u}_y&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal égal à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, l'espace physique étant &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;&lt;/math&gt; soit directe », }}orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot;&gt; On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «&lt;math&gt;\;\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\theta_G}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}«&lt;math&gt;\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\theta_G\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot;&gt; Abscisse angulaire du C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. noté «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; est aussi le &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moment &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, de moment vectoriel en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de la liaison sphérique &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement fluide linéaire.&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;retour au repérage polaire du plan zOx&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; dont on déduit &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot;&gt; Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sont rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moments &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot;&gt; On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\,\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,-\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\,m\,\vec{g}\big)\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,&lt;/math&gt; d'où, &lt;math&gt;\,\theta\,&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[\theta\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,&lt; 0\big]\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; rencontre l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}&lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot; /&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour un }}lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot; /&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. en rotation autour de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; nous obtenons «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans la mesure où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire.

=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, fut-il linéaire «&lt;math&gt;\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;&lt;/math&gt;», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'a donc &lt;u&gt;pas de résolution analytique exacte&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, la seule possibilité étant une résolution approchée &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot;&gt; On devrait dire « élongations angulaires petites &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou non&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en valeur absolue&lt;/u&gt; » mais personne ne le fait par abus de langage.&lt;/ref&gt; » &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;analytique }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;ref&gt; Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer &lt;ref&gt; Que la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].&lt;/ref&gt; le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières suivantes : &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot;&gt; Conditions notées «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].&lt;/ref&gt; » avec la valeur absolue de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; petite &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot;&gt; À condition que l'angle soit exprimé en &lt;math&gt;\,rad&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert\,&lt;/math&gt; ne dépassera pas &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\,&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}soit «&lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; possibilité de D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot;&gt; Développement Limité.&lt;/ref&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; au &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}voisinage de &lt;math&gt;\,0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}d'où linéarisation de l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}selon «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}équation différentielle linéaire à cœfficients constants du &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre et homogène. &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans le cas des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et, dans cette hypothèse, devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» de pulsation propre &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}«&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\,\sigma\,\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O} = 2\;\sigma\;\omega_0}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\,g\,\mathfrak{a}\,J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &lt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même forme&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma = 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;ref name=&quot;même forme - bis&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &gt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;ref name=&quot;même forme - ter&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_termes_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Simple Non Amorti.&lt;/ref&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}\,&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical initial, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, }}le mouvement de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant }}d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser }}les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathit{l}\,,\right.}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\theta\,&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Nous nous proposons de retrouver l'équation différentielle du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d'axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|Cas om M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance }}de rotation &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance de rotation &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\,\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; A priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus.&lt;/ref&gt; de moment scalaire par rapport &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force de contact }}à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\,\vec{T}(t)\,&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. colinéaire à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OM}(t)\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\,\Vert \vec{T}(t) \Vert\,&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\,\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot; /&gt;, conduit à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;», avec &lt;math&gt;\,\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; accélération angulaire à la daue &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,M\,\left( m \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}}\,&lt;/math&gt; }}relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; est la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» et finalement, en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, homogène &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. }}caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.

=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : les abscisses angulaires d’équilibre étant les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « composante de &lt;math&gt;\,m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}l’équation différentielle ayant été obtenue par «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}avec l’équation différentielle déterminée par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;, moment scalaire moteur »&lt;math&gt;\big\},&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : avec }}l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont aussi les zéros du « moment scalaire moteur » &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. :  }}d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\,\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;-m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» de rappel&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}au voisinage d'un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = \pi&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}répulsive&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; lié à la force motrice &lt;math&gt;\,F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)}\,&lt;/math&gt; lié }}par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = F(\theta)\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» nous induisons &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}la propriété &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « de rappel » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est stable et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : la propriété }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « répulsif » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est instable. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce qui a été rappelé ci-dessus est la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; des équilibres d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;, mais il existe aussi &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : Ce qui a été rappelé ci-dessus est }}une détermination graphique &lt;ref name=&quot;détemination graphique de la stabilité ou non des équilibres d'un P.P.S.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; qui peut être restituée en remplaçant la « composante orthoradiale de force motrice » par le « moment scalaire moteur » &lt;math&gt;\ldots&lt;/math&gt;

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\perp}\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » }}les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; En fait il s'agit du moment scalaire résultant moteur s'il y a plusieurs moments scalaires moteurs ne s'annulant pas avec le mouvement.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;algébrique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}conclure selon les résultats suivants : &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\,&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre deux &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» de signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; » &lt;ref&gt; En effet «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; étant toujours du signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\,\varepsilon\;&lt;/math&gt;», cela correspond à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre, plus précisément &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable, mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,= 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», développement de }}&lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre trois &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)&lt;/math&gt; « moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,&lt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\,&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)&lt;/math&gt; « moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,&gt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}équilibre « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre quatre ou plus &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;» }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» de signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;» }}l'quilibre est donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; » &lt;ref&gt; En effet «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; étant toujours du signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\,\varepsilon\;&lt;/math&gt;», cela correspond à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre, plus précisément &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable, mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,= 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)}\,&lt;/math&gt; }}est limité à l'ordre cinq &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», soit &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\, &lt;\, 0\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}un équilibre « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\, &gt;\, 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du {{Nobr|P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;}} à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\big)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe }}du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe }}nous rappelons les principaux résultats ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons }}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_r}\,&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. appliquée à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overline{T}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -m\, \left\lbrace \mathit{l}\,\dot{\theta}^2\!(t) + g\,\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons Après utilisation successive}}et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons Après utilisation successive }}nous avons trouvé, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\,\vec{T}(t)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons Après utilisation successive nous avons trouvé, }}«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons }}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique }}&lt;math&gt;\,\overline{T}(t)\,&lt;/math&gt; valeur de la fonction &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\overline{T}(t)}\,&lt;/math&gt; valeur de la fonction &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f}\,&lt;/math&gt; }}composée avec la fonction &lt;math&gt;\,g\,&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\overline{T}(t)}\,&lt;/math&gt; }}est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta)\,&lt;/math&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique }}cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\,f\! \left[ g(t) \right]\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,f(\theta)\,&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\,f \circ g\,&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\,\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu }}il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\,\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu il convient, pour poursuivre, }}de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A.  &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu il convient, pour poursuivre, de distinguer }}suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
}}</text>
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        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu */</comment>
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      <text bytes="240804" sha1="bvuoqa552dabncnkox8ou0ghkr9zr7p" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 9
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Non Amorti.&lt;/ref&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt;}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_t\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\,R_2\,&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\,R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à gauche&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\,+12\; V\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» inférieure à &lt;math&gt;\,10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\,u_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\,&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,2,4\; V\,&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\,0,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\,F\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;interface Orphy-GTI&quot;&gt; Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;potentiomètre monotour&quot;&gt; Voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.&lt;/ref&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\,1\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\,&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\,COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,10\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\,7000\,&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\,2\;P + 1\,&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\,b_0 = 1\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,f_c\,&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\,f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\,1\;Hz\big]\,&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\,n_e\,&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\,\big\{n_e\,&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\,7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; ou plus devrait {{Nobr|convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.}}&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\,2\;P + 1 = 41\,&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|3}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal &lt;br&gt;{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\,P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\,2\;\pi\,&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle  &lt;br&gt;{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,2,5\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\,1000\,&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\,12\; s\,&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\,4800\,&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir &lt;br&gt;{{Al|98}}de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\,\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\,90\;\text{°}\,&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié &lt;br&gt;{{Al|98}}au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\,\nearrow\,&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\,10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\,O\big)\,&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; » ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt;, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt;}} lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;déf de urG&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}(t)\;&lt;/math&gt; étant le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; vecteur de base sphérique de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; associé au point &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant direct, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\;&lt;/math&gt;», appliquée en &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, se décomposant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}a priori selon &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt; mais, avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, celle-ci se simplifie en &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I.&quot;&gt; Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la foce de frottement fluide étant une réaction&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;à l'instant &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le vecteur accélération initial de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à un instant légèrement postérieur &lt;math&gt;\,\delta t\,&lt;/math&gt; est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide &lt;math&gt;\,\ldots\,&lt;/math&gt; ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est dans le plan vertical de lancement&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; de vecteur moment par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}un pseudo point centré en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, point quelconque de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot;&gt; Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au vecteur vitesse du solide.&lt;/ref&gt; de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|&lt;sup&gt;60&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; du plan localement transverse à savoir «&lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\,dS\,&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subit une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Bigg\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; en dépendent, néanmoins nous supposerons, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\,e\,&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\,z\,&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_i = 0\,&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_s = e &gt; 0\,&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\,z^{+}\,&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\,z^{-}\,&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\,Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,d \Sigma\,&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\,z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\,Pa \cdot s\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\,Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\,\mu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\,m^2 \cdot s^{-1}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\,St\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »&lt;math&gt;\Bigg\}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; laquelle se réécrit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\,I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en dérivant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; par rapport au temps, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_I\,&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle &lt;math&gt;\,\theta_I\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; avec la verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; avec cette même verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\,\theta_I = \theta_G\,&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;I\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» en accord avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement et «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\,\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;»  ou encore «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant l'équation &lt;math&gt;\,(\mathfrak{2})\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; doit être remplacée par &lt;math&gt;\,\varphi_G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «&lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt;, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;», soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot;&gt; Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour lesquelles &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, équation différentielle linéaire homogène du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; à cœfficients constants, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot;&gt; Constante d'intégration &lt;math&gt;\,A_i\,&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\,&lt;/math&gt; sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|&lt;sup&gt;82&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot;&gt; Si une longueur était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot;&gt; Si la vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait la vitesse orthoradiale &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; également discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot;&gt; Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit finalement «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot;&gt; En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence &lt;math&gt;\,xOz\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot;&gt; Par absence de vitesse initiale on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0)
 = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot;&gt; La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG_0}\,&lt;/math&gt; dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de lancement&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance &lt;math&gt;\,[OG]\,&lt;/math&gt; étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot;&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; unitaire vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_x\,&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{u}_y&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal égal à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, l'espace physique étant &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;&lt;/math&gt; soit directe », }}orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot;&gt; On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «&lt;math&gt;\;\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\theta_G}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}«&lt;math&gt;\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\theta_G\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot;&gt; Abscisse angulaire du C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. noté «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; est aussi le &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moment &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, de moment vectoriel en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de la liaison sphérique &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement fluide linéaire.&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;retour au repérage polaire du plan zOx&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; dont on déduit &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot;&gt; Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sont rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moments &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot;&gt; On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\,\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,-\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\,m\,\vec{g}\big)\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,&lt;/math&gt; d'où, &lt;math&gt;\,\theta\,&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[\theta\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,&lt; 0\big]\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; rencontre l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}&lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot; /&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour un }}lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot; /&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. en rotation autour de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; nous obtenons «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans la mesure où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire.

=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, fut-il linéaire «&lt;math&gt;\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;&lt;/math&gt;», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'a donc &lt;u&gt;pas de résolution analytique exacte&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, la seule possibilité étant une résolution approchée &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot;&gt; On devrait dire « élongations angulaires petites &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou non&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en valeur absolue&lt;/u&gt; » mais personne ne le fait par abus de langage.&lt;/ref&gt; » &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;analytique }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;ref&gt; Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer &lt;ref&gt; Que la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].&lt;/ref&gt; le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières suivantes : &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot;&gt; Conditions notées «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].&lt;/ref&gt; » avec la valeur absolue de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; petite &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot;&gt; À condition que l'angle soit exprimé en &lt;math&gt;\,rad&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert\,&lt;/math&gt; ne dépassera pas &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\,&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}soit «&lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; possibilité de D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot;&gt; Développement Limité.&lt;/ref&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; au &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}voisinage de &lt;math&gt;\,0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}d'où linéarisation de l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}selon «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}équation différentielle linéaire à cœfficients constants du &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre et homogène. &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans le cas des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et, dans cette hypothèse, devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» de pulsation propre &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}«&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\,\sigma\,\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O} = 2\;\sigma\;\omega_0}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\,g\,\mathfrak{a}\,J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &lt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même forme&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma = 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;ref name=&quot;même forme - bis&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &gt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;ref name=&quot;même forme - ter&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_termes_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Simple Non Amorti.&lt;/ref&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}\,&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical initial, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, }}le mouvement de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant }}d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser }}les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathit{l}\,,\right.}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\theta\,&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Nous nous proposons de retrouver l'équation différentielle du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d'axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|Cas om M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance }}de rotation &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance de rotation &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\,\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; A priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus.&lt;/ref&gt; de moment scalaire par rapport &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force de contact }}à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\,\vec{T}(t)\,&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. colinéaire à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OM}(t)\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\,\Vert \vec{T}(t) \Vert\,&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\,\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot; /&gt;, conduit à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;», avec &lt;math&gt;\,\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; accélération angulaire à la daue &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,M\,\left( m \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}}\,&lt;/math&gt; }}relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; est la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» et finalement, en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, homogène &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. }}caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.

=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : les abscisses angulaires d’équilibre étant les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « composante de &lt;math&gt;\,m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}l’équation différentielle ayant été obtenue par «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}avec l’équation différentielle déterminée par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;, moment scalaire moteur »&lt;math&gt;\big\},&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : avec }}l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont aussi les zéros du « moment scalaire moteur » &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. :  }}d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\,\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;-m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» de rappel&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}au voisinage d'un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = \pi&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}répulsive&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; lié à la force motrice &lt;math&gt;\,F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)}\,&lt;/math&gt; lié }}par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = F(\theta)\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» nous induisons &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}la propriété &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « de rappel » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est stable et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : la propriété }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « répulsif » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est instable. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce qui a été rappelé ci-dessus est la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; des équilibres d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;, mais il existe aussi &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : Ce qui a été rappelé ci-dessus est }}une détermination graphique &lt;ref name=&quot;détemination graphique de la stabilité ou non des équilibres d'un P.P.S.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; qui peut être restituée en remplaçant la « composante orthoradiale de force motrice » par le « moment scalaire moteur » &lt;math&gt;\ldots&lt;/math&gt;

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\perp}\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » }}les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; En fait il s'agit du moment scalaire résultant moteur s'il y a plusieurs moments scalaires moteurs ne s'annulant pas avec le mouvement.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;algébrique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}conclure selon les résultats suivants : &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\,&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre deux &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» de signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; » &lt;ref&gt; En effet «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; étant toujours du signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\,\varepsilon\;&lt;/math&gt;», cela correspond à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre, plus précisément &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable, mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,= 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», développement de }}&lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre trois &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)&lt;/math&gt; « moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,&lt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\,&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)&lt;/math&gt; « moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,&gt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}équilibre « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre quatre ou plus &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;» }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» de signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;» }}l'quilibre est donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; » &lt;ref&gt; En effet «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; étant toujours du signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\,\varepsilon\;&lt;/math&gt;», cela correspond à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre, plus précisément &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable, mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,= 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)}\,&lt;/math&gt; }}est limité à l'ordre cinq &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», soit &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\, &lt;\, 0\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}un équilibre « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\, &gt;\, 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du {{Nobr|P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;}} à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\big)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe }}du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe }}nous rappelons les principaux résultats ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons }}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_r}\,&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. appliquée à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overline{T}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -m\, \left\lbrace \mathit{l}\,\dot{\theta}^2\!(t) + g\,\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons Après utilisation successive}}et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons Après utilisation successive }}nous avons trouvé, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\,\vec{T}(t)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons Après utilisation successive nous avons trouvé, }}«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons }}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique }}&lt;math&gt;\,\overline{T}(t)\,&lt;/math&gt; valeur de la fonction &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\overline{T}(t)}\,&lt;/math&gt; valeur de la fonction &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f}\,&lt;/math&gt; }}composée avec la fonction &lt;math&gt;\,g\,&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\overline{T}(t)}\,&lt;/math&gt; }}est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta)\,&lt;/math&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique }}cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\,f\! \left[ g(t) \right]\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,f(\theta)\,&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\,f \circ g\,&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\,\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu }}il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\,\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu il convient, pour poursuivre, }}de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A.  &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu il convient, pour poursuivre, de distinguer }}suivant son énergie mécanique initiale : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&gt;\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,2\,m\,g\,\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\,1\mathfrak{b}\,&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; étant révolutif &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;tant que le fil reste tendu&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}le domaine de variation de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; est «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{r c l} \left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[ &amp; \text{pour} &amp; \dot{\theta}_0 &gt; 0\\ \left] -\infty\,,\,\theta_0 \right] &amp; \text{pour} &amp; \dot{\theta}_0 &lt; 0 \end{array} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}mais, la fonction &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta) = -m\,g\, \left[ \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 2 + 3\,\cos(\theta) \right]\,&lt;/math&gt; étant &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» mais, la fonction &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\overline{T}(\theta)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,2\,\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» mais, }}maximum peut être restreinte à &lt;math&gt;\,\left[ 0\,,\,+\pi \right]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\forall\,&lt;/math&gt; signe de &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta) = -m\,g\, \left[ \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,l} - 2 + 3\,\cos(\theta) \right]\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,2\,\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle de largeur &lt;math&gt;\,\pi\,&lt;/math&gt; à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;de largeur &lt;math&gt;\,2\,\pi\,&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta)\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;2\,\pi&lt;/math&gt;-périodique et de largeur &lt;math&gt;\,\pi\,&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta)\,&lt;/math&gt; est en plus paire&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; par exemple, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}en supposant &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\,\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta)\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\,&lt;/math&gt; et, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}en supposant &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\,\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;toutes les valeurs possibles étant aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta)\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\left[ -\pi\,,\,0 \right]\,&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\,\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}avec &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta) = -m\,g\, \left[ \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 2 + 3\,\cos(\theta) \right]\,\nearrow\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, son &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}maximum s'obtenant alors pour &lt;math&gt;\,\pi&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ou encore &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}&lt;math&gt;\,\overline{T}(+\pi) = -m\,g\, \left[ \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 5 \right] &lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}&lt;/math&gt;, finalement &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» « }}sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\,E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt;\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,2\,m\,g\,\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; étant oscillatoire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;tant que le fil reste tendu&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}le domaine de variation de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; est «&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\,&lt;/math&gt; dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\,\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;arccosinus&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_cosinus_:_fonction_arccosinus|fonction inverse de la fonction cosinus : fonction arccosinus]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}mais, la fonction &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta) = -m\,g\, \left[ \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 2 + 3\,\cos(\theta) \right]\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,2\,\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» mais, }}maximum peut être restreinte à &lt;math&gt;\,\left[ 0\,,\,\theta_m \right]\,&lt;/math&gt; et, avec &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta) = -m\,g\, \left[ \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 2 + 3\,\cos(\theta) \right]\,\nearrow\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}son maximum s'obtenant alors pour &lt;math&gt;\,\theta_m&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ou encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}&lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta_m) = -m\,g\, \left[ \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 2 + 3\,\cos(\theta_m) \right] = -m\,g\, \left\lbrace \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 2 + 3\, \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} \right] \right\rbrace = m\,g\, \left\lbrace \dfrac{E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 1 \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\overline{T}(\theta_m)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;&lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}&lt;/math&gt;, finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» « }}sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\,E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;en conclusion si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\,g\,\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\,m\,g\,\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\,&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{3\,m\,g\, \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;arccosinus&quot; /&gt;.

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
}}</text>
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        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu */</comment>
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      <text bytes="241075" sha1="a20va7hkjde4anrambkifbd8csshpg0" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 9
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Non Amorti.&lt;/ref&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt;}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_t\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\,R_2\,&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\,R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à gauche&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\,+12\; V\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» inférieure à &lt;math&gt;\,10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\,u_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\,&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,2,4\; V\,&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\,0,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\,F\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;interface Orphy-GTI&quot;&gt; Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;potentiomètre monotour&quot;&gt; Voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.&lt;/ref&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\,1\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\,&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\,COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,10\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\,7000\,&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\,2\;P + 1\,&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\,b_0 = 1\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,f_c\,&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\,f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\,1\;Hz\big]\,&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\,n_e\,&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\,\big\{n_e\,&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\,7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; ou plus devrait {{Nobr|convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.}}&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\,2\;P + 1 = 41\,&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|3}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal &lt;br&gt;{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\,P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\,2\;\pi\,&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle  &lt;br&gt;{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,2,5\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\,1000\,&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\,12\; s\,&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\,4800\,&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir &lt;br&gt;{{Al|98}}de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\,\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\,90\;\text{°}\,&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié &lt;br&gt;{{Al|98}}au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\,\nearrow\,&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\,10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\,O\big)\,&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; » ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt;, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt;}} lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;déf de urG&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}(t)\;&lt;/math&gt; étant le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; vecteur de base sphérique de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; associé au point &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant direct, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\;&lt;/math&gt;», appliquée en &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, se décomposant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}a priori selon &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt; mais, avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, celle-ci se simplifie en &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I.&quot;&gt; Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la foce de frottement fluide étant une réaction&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;à l'instant &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le vecteur accélération initial de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à un instant légèrement postérieur &lt;math&gt;\,\delta t\,&lt;/math&gt; est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide &lt;math&gt;\,\ldots\,&lt;/math&gt; ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est dans le plan vertical de lancement&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; de vecteur moment par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}un pseudo point centré en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, point quelconque de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot;&gt; Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au vecteur vitesse du solide.&lt;/ref&gt; de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|&lt;sup&gt;60&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; du plan localement transverse à savoir «&lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\,dS\,&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subit une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Bigg\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; en dépendent, néanmoins nous supposerons, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\,e\,&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\,z\,&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_i = 0\,&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_s = e &gt; 0\,&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\,z^{+}\,&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\,z^{-}\,&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\,Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,d \Sigma\,&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\,z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\,Pa \cdot s\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\,Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\,\mu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\,m^2 \cdot s^{-1}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\,St\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »&lt;math&gt;\Bigg\}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; laquelle se réécrit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\,I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en dérivant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; par rapport au temps, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_I\,&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle &lt;math&gt;\,\theta_I\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; avec la verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; avec cette même verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\,\theta_I = \theta_G\,&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;I\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» en accord avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement et «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\,\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;»  ou encore «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant l'équation &lt;math&gt;\,(\mathfrak{2})\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; doit être remplacée par &lt;math&gt;\,\varphi_G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «&lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt;, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;», soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot;&gt; Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour lesquelles &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, équation différentielle linéaire homogène du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; à cœfficients constants, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot;&gt; Constante d'intégration &lt;math&gt;\,A_i\,&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\,&lt;/math&gt; sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|&lt;sup&gt;82&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot;&gt; Si une longueur était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot;&gt; Si la vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait la vitesse orthoradiale &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; également discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot;&gt; Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit finalement «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot;&gt; En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence &lt;math&gt;\,xOz\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot;&gt; Par absence de vitesse initiale on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0)
 = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot;&gt; La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG_0}\,&lt;/math&gt; dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de lancement&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance &lt;math&gt;\,[OG]\,&lt;/math&gt; étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot;&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; unitaire vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_x\,&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{u}_y&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal égal à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, l'espace physique étant &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;&lt;/math&gt; soit directe », }}orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot;&gt; On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «&lt;math&gt;\;\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\theta_G}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}«&lt;math&gt;\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\theta_G\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot;&gt; Abscisse angulaire du C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. noté «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; est aussi le &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moment &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, de moment vectoriel en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de la liaison sphérique &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement fluide linéaire.&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;retour au repérage polaire du plan zOx&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; dont on déduit &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot;&gt; Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sont rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moments &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot;&gt; On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\,\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,-\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\,m\,\vec{g}\big)\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,&lt;/math&gt; d'où, &lt;math&gt;\,\theta\,&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[\theta\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,&lt; 0\big]\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; rencontre l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}&lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot; /&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour un }}lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot; /&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. en rotation autour de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; nous obtenons «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans la mesure où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire.

=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, fut-il linéaire «&lt;math&gt;\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;&lt;/math&gt;», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'a donc &lt;u&gt;pas de résolution analytique exacte&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, la seule possibilité étant une résolution approchée &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot;&gt; On devrait dire « élongations angulaires petites &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou non&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en valeur absolue&lt;/u&gt; » mais personne ne le fait par abus de langage.&lt;/ref&gt; » &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;analytique }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;ref&gt; Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer &lt;ref&gt; Que la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].&lt;/ref&gt; le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières suivantes : &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot;&gt; Conditions notées «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].&lt;/ref&gt; » avec la valeur absolue de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; petite &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot;&gt; À condition que l'angle soit exprimé en &lt;math&gt;\,rad&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert\,&lt;/math&gt; ne dépassera pas &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\,&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}soit «&lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; possibilité de D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot;&gt; Développement Limité.&lt;/ref&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; au &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}voisinage de &lt;math&gt;\,0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}d'où linéarisation de l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}selon «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}équation différentielle linéaire à cœfficients constants du &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre et homogène. &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans le cas des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et, dans cette hypothèse, devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» de pulsation propre &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}«&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\,\sigma\,\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O} = 2\;\sigma\;\omega_0}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\,g\,\mathfrak{a}\,J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &lt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même forme&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma = 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;ref name=&quot;même forme - bis&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &gt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;ref name=&quot;même forme - ter&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_termes_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Simple Non Amorti.&lt;/ref&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}\,&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical initial, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, }}le mouvement de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant }}d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser }}les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathit{l}\,,\right.}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\theta\,&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Nous nous proposons de retrouver l'équation différentielle du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d'axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|Cas om M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance }}de rotation &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance de rotation &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\,\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; A priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus.&lt;/ref&gt; de moment scalaire par rapport &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force de contact }}à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\,\vec{T}(t)\,&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. colinéaire à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OM}(t)\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\,\Vert \vec{T}(t) \Vert\,&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\,\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot; /&gt;, conduit à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;», avec &lt;math&gt;\,\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; accélération angulaire à la daue &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,M\,\left( m \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}}\,&lt;/math&gt; }}relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; est la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» et finalement, en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, homogène &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. }}caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.

=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : les abscisses angulaires d’équilibre étant les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « composante de &lt;math&gt;\,m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}l’équation différentielle ayant été obtenue par «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}avec l’équation différentielle déterminée par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;, moment scalaire moteur »&lt;math&gt;\big\},&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : avec }}l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont aussi les zéros du « moment scalaire moteur » &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. :  }}d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\,\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;-m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» de rappel&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}au voisinage d'un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = \pi&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}répulsive&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; lié à la force motrice &lt;math&gt;\,F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)}\,&lt;/math&gt; lié }}par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = F(\theta)\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» nous induisons &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}la propriété &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « de rappel » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est stable et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : la propriété }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « répulsif » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est instable. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce qui a été rappelé ci-dessus est la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; des équilibres d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;, mais il existe aussi &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : Ce qui a été rappelé ci-dessus est }}une détermination graphique &lt;ref name=&quot;détemination graphique de la stabilité ou non des équilibres d'un P.P.S.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; qui peut être restituée en remplaçant la « composante orthoradiale de force motrice » par le « moment scalaire moteur » &lt;math&gt;\ldots&lt;/math&gt;

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\perp}\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » }}les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; En fait il s'agit du moment scalaire résultant moteur s'il y a plusieurs moments scalaires moteurs ne s'annulant pas avec le mouvement.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;algébrique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}conclure selon les résultats suivants : &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\,&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre deux &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» de signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; » &lt;ref&gt; En effet «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; étant toujours du signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\,\varepsilon\;&lt;/math&gt;», cela correspond à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre, plus précisément &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable, mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,= 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», développement de }}&lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre trois &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)&lt;/math&gt; « moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,&lt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\,&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)&lt;/math&gt; « moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,&gt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}équilibre « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre quatre ou plus &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;» }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» de signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;» }}l'quilibre est donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; » &lt;ref&gt; En effet «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; étant toujours du signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\,\varepsilon\;&lt;/math&gt;», cela correspond à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre, plus précisément &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable, mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,= 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)}\,&lt;/math&gt; }}est limité à l'ordre cinq &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», soit &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\, &lt;\, 0\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}un équilibre « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\, &gt;\, 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du {{Nobr|P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;}} à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\big)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe }}du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe }}nous rappelons les principaux résultats ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons }}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_r}\,&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. appliquée à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overline{T}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -m\, \left\lbrace \mathit{l}\,\dot{\theta}^2\!(t) + g\,\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons Après utilisation successive}}et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons Après utilisation successive }}nous avons trouvé, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\,\vec{T}(t)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons Après utilisation successive nous avons trouvé, }}«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons }}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique }}&lt;math&gt;\,\overline{T}(t)\,&lt;/math&gt; valeur de la fonction &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\overline{T}(t)}\,&lt;/math&gt; valeur de la fonction &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f}\,&lt;/math&gt; }}composée avec la fonction &lt;math&gt;\,g\,&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\overline{T}(t)}\,&lt;/math&gt; }}est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta)\,&lt;/math&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique }}cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\,f\! \left[ g(t) \right]\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,f(\theta)\,&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\,f \circ g\,&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\,\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu }}il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\,\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu il convient, pour poursuivre, }}de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A.  &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu il convient, pour poursuivre, de distinguer }}suivant son énergie mécanique initiale : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&gt;\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,2\,m\,g\,\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\,1\mathfrak{b}\,&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; étant révolutif &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;tant que le fil reste tendu&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}le domaine de variation de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; est «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{r c l} \left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[ &amp; \text{pour} &amp; \dot{\theta}_0 &gt; 0\\ \left] -\infty\,,\,\theta_0 \right] &amp; \text{pour} &amp; \dot{\theta}_0 &lt; 0 \end{array} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}mais, la fonction &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta) = -m\,g\, \left[ \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 2 + 3\,\cos(\theta) \right]\,&lt;/math&gt; étant &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» mais, la fonction &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\overline{T}(\theta)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,2\,\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» mais, }}maximum peut être restreinte à &lt;math&gt;\,\left[ 0\,,\,+\pi \right]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\forall\,&lt;/math&gt; signe de &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta) = -m\,g\, \left[ \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,l} - 2 + 3\,\cos(\theta) \right]\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,2\,\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle de largeur &lt;math&gt;\,\pi\,&lt;/math&gt; à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;de largeur &lt;math&gt;\,2\,\pi\,&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta)\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;2\,\pi&lt;/math&gt;-périodique et de largeur &lt;math&gt;\,\pi\,&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta)\,&lt;/math&gt; est en plus paire&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; par exemple, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}en supposant &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\,\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta)\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\,&lt;/math&gt; et, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}en supposant &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\,\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;toutes les valeurs possibles étant aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta)\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\left[ -\pi\,,\,0 \right]\,&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\,\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}avec &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta) = -m\,g\, \left[ \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 2 + 3\,\cos(\theta) \right]\,\nearrow\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, son &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}maximum s'obtenant alors pour &lt;math&gt;\,\pi&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ou encore &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}&lt;math&gt;\,\overline{T}(+\pi) = -m\,g\, \left[ \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 5 \right] &lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}&lt;/math&gt;, finalement &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» « }}sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\,E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt;\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,2\,m\,g\,\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; étant oscillatoire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;tant que le fil reste tendu&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}le domaine de variation de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; est «&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\,&lt;/math&gt; dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\,\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;arccosinus&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_cosinus_:_fonction_arccosinus|fonction inverse de la fonction cosinus : fonction arccosinus]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}mais, la fonction &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta) = -m\,g\, \left[ \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 2 + 3\,\cos(\theta) \right]\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,2\,\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» mais, }}maximum peut être restreinte à &lt;math&gt;\,\left[ 0\,,\,\theta_m \right]\,&lt;/math&gt; et, avec &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta) = -m\,g\, \left[ \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 2 + 3\,\cos(\theta) \right]\,\nearrow\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}son maximum s'obtenant alors pour &lt;math&gt;\,\theta_m&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ou encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}&lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta_m) = -m\,g\, \left[ \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 2 + 3\,\cos(\theta_m) \right] = -m\,g\, \left\lbrace \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 2 + 3\, \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} \right] \right\rbrace = m\,g\, \left\lbrace \dfrac{E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 1 \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\overline{T}(\theta_m)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;&lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}&lt;/math&gt;, finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» « }}sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\,E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;en conclusion si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\,g\,\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\,m\,g\,\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\,&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;en conclusion si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0} \in \left[ m\,g\,\mathit{l}\,,\, 5\,m\,g\,\mathit{l} \right[}\;&lt;/math&gt;», le fil se détend pour }}«&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{3\,m\,g\, \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;arccosinus&quot; /&gt;.

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
}}</text>
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      <timestamp>2026-10-05T05:52:57Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu */</comment>
      <origin>987117</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="241075" sha1="mz37r4p9677yi2gs85g477jntl9wlvo" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 9
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Non Amorti.&lt;/ref&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt;}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_t\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\,R_2\,&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\,R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à gauche&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\,+12\; V\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» inférieure à &lt;math&gt;\,10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\,u_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\,&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,2,4\; V\,&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\,0,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\,F\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;interface Orphy-GTI&quot;&gt; Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;potentiomètre monotour&quot;&gt; Voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.&lt;/ref&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\,1\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\,&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\,COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,10\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\,7000\,&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\,2\;P + 1\,&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\,b_0 = 1\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,f_c\,&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\,f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\,1\;Hz\big]\,&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\,n_e\,&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\,\big\{n_e\,&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\,7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; ou plus devrait {{Nobr|convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.}}&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\,2\;P + 1 = 41\,&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|3}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal &lt;br&gt;{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\,P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\,2\;\pi\,&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle  &lt;br&gt;{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,2,5\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\,1000\,&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\,12\; s\,&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\,4800\,&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir &lt;br&gt;{{Al|98}}de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\,\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\,90\;\text{°}\,&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié &lt;br&gt;{{Al|98}}au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\,\nearrow\,&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\,10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\,O\big)\,&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; » ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt;, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt;}} lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;déf de urG&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}(t)\;&lt;/math&gt; étant le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; vecteur de base sphérique de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; associé au point &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant direct, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\;&lt;/math&gt;», appliquée en &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, se décomposant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}a priori selon &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt; mais, avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, celle-ci se simplifie en &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I.&quot;&gt; Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la foce de frottement fluide étant une réaction&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;à l'instant &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le vecteur accélération initial de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à un instant légèrement postérieur &lt;math&gt;\,\delta t\,&lt;/math&gt; est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide &lt;math&gt;\,\ldots\,&lt;/math&gt; ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est dans le plan vertical de lancement&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; de vecteur moment par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}un pseudo point centré en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, point quelconque de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot;&gt; Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au vecteur vitesse du solide.&lt;/ref&gt; de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|&lt;sup&gt;60&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; du plan localement transverse à savoir «&lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\,dS\,&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subit une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Bigg\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; en dépendent, néanmoins nous supposerons, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\,e\,&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\,z\,&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_i = 0\,&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_s = e &gt; 0\,&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\,z^{+}\,&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\,z^{-}\,&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\,Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,d \Sigma\,&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\,z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\,Pa \cdot s\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\,Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\,\mu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\,m^2 \cdot s^{-1}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\,St\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »&lt;math&gt;\Bigg\}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; laquelle se réécrit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\,I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en dérivant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; par rapport au temps, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_I\,&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle &lt;math&gt;\,\theta_I\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; avec la verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; avec cette même verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\,\theta_I = \theta_G\,&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;I\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» en accord avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement et «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\,\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;»  ou encore «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant l'équation &lt;math&gt;\,(\mathfrak{2})\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; doit être remplacée par &lt;math&gt;\,\varphi_G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «&lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt;, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;», soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot;&gt; Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour lesquelles &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, équation différentielle linéaire homogène du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; à cœfficients constants, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot;&gt; Constante d'intégration &lt;math&gt;\,A_i\,&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\,&lt;/math&gt; sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|&lt;sup&gt;82&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot;&gt; Si une longueur était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot;&gt; Si la vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait la vitesse orthoradiale &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; également discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot;&gt; Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit finalement «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot;&gt; En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence &lt;math&gt;\,xOz\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot;&gt; Par absence de vitesse initiale on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0)
 = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot;&gt; La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG_0}\,&lt;/math&gt; dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de lancement&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance &lt;math&gt;\,[OG]\,&lt;/math&gt; étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot;&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; unitaire vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_x\,&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{u}_y&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal égal à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, l'espace physique étant &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;&lt;/math&gt; soit directe », }}orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot;&gt; On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «&lt;math&gt;\;\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\theta_G}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}«&lt;math&gt;\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\theta_G\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot;&gt; Abscisse angulaire du C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. noté «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; est aussi le &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moment &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, de moment vectoriel en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de la liaison sphérique &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement fluide linéaire.&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;retour au repérage polaire du plan zOx&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; dont on déduit &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot;&gt; Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sont rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moments &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot;&gt; On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\,\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,-\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\,m\,\vec{g}\big)\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,&lt;/math&gt; d'où, &lt;math&gt;\,\theta\,&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[\theta\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,&lt; 0\big]\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; rencontre l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}&lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot; /&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour un }}lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot; /&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. en rotation autour de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; nous obtenons «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans la mesure où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire.

=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, fut-il linéaire «&lt;math&gt;\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;&lt;/math&gt;», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'a donc &lt;u&gt;pas de résolution analytique exacte&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, la seule possibilité étant une résolution approchée &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot;&gt; On devrait dire « élongations angulaires petites &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou non&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en valeur absolue&lt;/u&gt; » mais personne ne le fait par abus de langage.&lt;/ref&gt; » &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;analytique }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;ref&gt; Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer &lt;ref&gt; Que la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].&lt;/ref&gt; le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières suivantes : &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot;&gt; Conditions notées «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].&lt;/ref&gt; » avec la valeur absolue de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; petite &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot;&gt; À condition que l'angle soit exprimé en &lt;math&gt;\,rad&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert\,&lt;/math&gt; ne dépassera pas &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\,&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}soit «&lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; possibilité de D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot;&gt; Développement Limité.&lt;/ref&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; au &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}voisinage de &lt;math&gt;\,0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}d'où linéarisation de l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}selon «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}équation différentielle linéaire à cœfficients constants du &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre et homogène. &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans le cas des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et, dans cette hypothèse, devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» de pulsation propre &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}«&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\,\sigma\,\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O} = 2\;\sigma\;\omega_0}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\,g\,\mathfrak{a}\,J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &lt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même forme&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma = 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;ref name=&quot;même forme - bis&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &gt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;ref name=&quot;même forme - ter&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_termes_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Simple Non Amorti.&lt;/ref&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}\,&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical initial, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, }}le mouvement de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant }}d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser }}les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathit{l}\,,\right.}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\theta\,&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Nous nous proposons de retrouver l'équation différentielle du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d'axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|Cas om M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance }}de rotation &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance de rotation &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\,\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; A priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus.&lt;/ref&gt; de moment scalaire par rapport &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force de contact }}à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\,\vec{T}(t)\,&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. colinéaire à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OM}(t)\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\,\Vert \vec{T}(t) \Vert\,&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\,\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot; /&gt;, conduit à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;», avec &lt;math&gt;\,\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; accélération angulaire à la daue &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,M\,\left( m \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}}\,&lt;/math&gt; }}relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; est la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» et finalement, en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, homogène &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. }}caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.

=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : les abscisses angulaires d’équilibre étant les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « composante de &lt;math&gt;\,m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}l’équation différentielle ayant été obtenue par «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}avec l’équation différentielle déterminée par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;, moment scalaire moteur »&lt;math&gt;\big\},&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : avec }}l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont aussi les zéros du « moment scalaire moteur » &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. :  }}d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\,\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;-m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» de rappel&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}au voisinage d'un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = \pi&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}répulsive&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; lié à la force motrice &lt;math&gt;\,F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)}\,&lt;/math&gt; lié }}par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = F(\theta)\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» nous induisons &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}la propriété &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « de rappel » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est stable et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : la propriété }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « répulsif » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est instable. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce qui a été rappelé ci-dessus est la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; des équilibres d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;, mais il existe aussi &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : Ce qui a été rappelé ci-dessus est }}une détermination graphique &lt;ref name=&quot;détemination graphique de la stabilité ou non des équilibres d'un P.P.S.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; qui peut être restituée en remplaçant la « composante orthoradiale de force motrice » par le « moment scalaire moteur » &lt;math&gt;\ldots&lt;/math&gt;

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\perp}\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » }}les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; En fait il s'agit du moment scalaire résultant moteur s'il y a plusieurs moments scalaires moteurs ne s'annulant pas avec le mouvement.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;algébrique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}conclure selon les résultats suivants : &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\,&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre deux &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» de signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; » &lt;ref&gt; En effet «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; étant toujours du signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\,\varepsilon\;&lt;/math&gt;», cela correspond à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre, plus précisément &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable, mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,= 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», développement de }}&lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre trois &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)&lt;/math&gt; « moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,&lt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\,&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)&lt;/math&gt; « moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,&gt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}équilibre « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre quatre ou plus &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;» }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» de signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;» }}l'quilibre est donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; » &lt;ref&gt; En effet «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; étant toujours du signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\,\varepsilon\;&lt;/math&gt;», cela correspond à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre, plus précisément &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable, mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,= 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)}\,&lt;/math&gt; }}est limité à l'ordre cinq &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», soit &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\, &lt;\, 0\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}un équilibre « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\, &gt;\, 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du {{Nobr|P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;}} à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\big)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe }}du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe }}nous rappelons les principaux résultats ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons }}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_r}\,&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. appliquée à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overline{T}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -m\, \left\lbrace \mathit{l}\,\dot{\theta}^2\!(t) + g\,\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons Après utilisation successive}}et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons Après utilisation successive }}nous avons trouvé, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\,\vec{T}(t)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons Après utilisation successive nous avons trouvé, }}«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons }}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique }}&lt;math&gt;\,\overline{T}(t)\,&lt;/math&gt; valeur de la fonction &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\overline{T}(t)}\,&lt;/math&gt; valeur de la fonction &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f}\,&lt;/math&gt; }}composée avec la fonction &lt;math&gt;\,g\,&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\overline{T}(t)}\,&lt;/math&gt; }}est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta)\,&lt;/math&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique }}cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\,f\! \left[ g(t) \right]\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,f(\theta)\,&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\,f \circ g\,&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\,\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu }}il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\,\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu il convient, pour poursuivre, }}de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A.  &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu il convient, pour poursuivre, de distinguer }}suivant son énergie mécanique initiale : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&gt;\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,2\,m\,g\,\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\,1\mathfrak{b}\,&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; étant révolutif &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;tant que le fil reste tendu&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}le domaine de variation de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; est «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{r c l} \left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[ &amp; \text{pour} &amp; \dot{\theta}_0 &gt; 0\\ \left] -\infty\,,\,\theta_0 \right] &amp; \text{pour} &amp; \dot{\theta}_0 &lt; 0 \end{array} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}mais, la fonction &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta) = -m\,g\, \left[ \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 2 + 3\,\cos(\theta) \right]\,&lt;/math&gt; étant &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» mais, la fonction &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\overline{T}(\theta)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,2\,\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» mais, }}maximum peut être restreinte à &lt;math&gt;\,\left[ 0\,,\,+\pi \right]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\forall\,&lt;/math&gt; signe de &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta) = -m\,g\, \left[ \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,l} - 2 + 3\,\cos(\theta) \right]\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,2\,\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle de largeur &lt;math&gt;\,\pi\,&lt;/math&gt; à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;de largeur &lt;math&gt;\,2\,\pi\,&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta)\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;2\,\pi&lt;/math&gt;-périodique et de largeur &lt;math&gt;\,\pi\,&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta)\,&lt;/math&gt; est en plus paire&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; par exemple, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}en supposant &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\,\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta)\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\,&lt;/math&gt; et, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}en supposant &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\,\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;toutes les valeurs possibles étant aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta)\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\left[ -\pi\,,\,0 \right]\,&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\,\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}avec &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta) = -m\,g\, \left[ \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 2 + 3\,\cos(\theta) \right]\,\nearrow\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, son &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}maximum s'obtenant alors pour &lt;math&gt;\,\pi&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ou encore &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}&lt;math&gt;\,\overline{T}(+\pi) = -m\,g\, \left[ \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 5 \right] &lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}&lt;/math&gt;, finalement &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» « }}sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\,E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt;\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,2\,m\,g\,\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; étant oscillatoire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;tant que le fil reste tendu&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}le domaine de variation de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; est «&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\,&lt;/math&gt; dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\,\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;arccosinus&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_cosinus_:_fonction_arccosinus|fonction inverse de la fonction cosinus : fonction arccosinus]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}mais, la fonction &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta) = -m\,g\, \left[ \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 2 + 3\,\cos(\theta) \right]\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,2\,\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» mais, }}maximum peut être restreinte à &lt;math&gt;\,\left[ 0\,,\,\theta_m \right]\,&lt;/math&gt; et, avec &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta) = -m\,g\, \left[ \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 2 + 3\,\cos(\theta) \right]\,\nearrow\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}son maximum s'obtenant alors pour &lt;math&gt;\,\theta_m&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ou encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}&lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta_m) = -m\,g\, \left[ \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 2 + 3\,\cos(\theta_m) \right] = -m\,g\, \left\lbrace \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 2 + 3\, \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} \right] \right\rbrace = m\,g\, \left\lbrace \dfrac{E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 1 \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\overline{T}(\theta_m)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;&lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}&lt;/math&gt;, finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» « }}sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\,E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;en conclusion si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\,g\,\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\,m\,g\,\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\,&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;en conclusion si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0} \in \left[ m\,g\,\mathit{l}\,,\, 5\,m\,g\,\mathit{l} \right[}\;&lt;/math&gt;», le fil se détend pour }}«&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{3\,m\,g\, \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;arccosinus&quot; /&gt;.

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
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        <username>Phl7605</username>
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      <comment>/* Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté */</comment>
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      <text bytes="241075" sha1="i30jltm763qefw9nfboxiwkyjbpcqxo" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 9
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Non Amorti.&lt;/ref&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt;}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_t\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\,R_2\,&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\,R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à gauche&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\,+12\; V\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» inférieure à &lt;math&gt;\,10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\,u_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\,&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,2,4\; V\,&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\,0,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\,F\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;interface Orphy-GTI&quot;&gt; Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;potentiomètre monotour&quot;&gt; Voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.&lt;/ref&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\,1\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\,&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\,COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,10\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\,7000\,&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\,2\;P + 1\,&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\,b_0 = 1\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,f_c\,&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\,f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\,1\;Hz\big]\,&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\,n_e\,&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\,\big\{n_e\,&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\,7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; ou plus devrait {{Nobr|convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.}}&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\,2\;P + 1 = 41\,&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|3}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal &lt;br&gt;{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\,P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\,2\;\pi\,&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle  &lt;br&gt;{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,2,5\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\,1000\,&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\,12\; s\,&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\,4800\,&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir &lt;br&gt;{{Al|98}}de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\,\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\,90\;\text{°}\,&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié &lt;br&gt;{{Al|98}}au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\,\nearrow\,&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\,10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\,O\big)\,&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; » ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt;, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt;}} lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;déf de urG&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}(t)\;&lt;/math&gt; étant le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; vecteur de base sphérique de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; associé au point &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant direct, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\;&lt;/math&gt;», appliquée en &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, se décomposant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}a priori selon &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt; mais, avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, celle-ci se simplifie en &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I.&quot;&gt; Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la foce de frottement fluide étant une réaction&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;à l'instant &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le vecteur accélération initial de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à un instant légèrement postérieur &lt;math&gt;\,\delta t\,&lt;/math&gt; est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide &lt;math&gt;\,\ldots\,&lt;/math&gt; ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est dans le plan vertical de lancement&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; de vecteur moment par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}un pseudo point centré en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, point quelconque de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot;&gt; Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au vecteur vitesse du solide.&lt;/ref&gt; de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|&lt;sup&gt;60&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; du plan localement transverse à savoir «&lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\,dS\,&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subit une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Bigg\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; en dépendent, néanmoins nous supposerons, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\,e\,&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\,z\,&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_i = 0\,&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_s = e &gt; 0\,&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\,z^{+}\,&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\,z^{-}\,&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\,Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,d \Sigma\,&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\,z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\,Pa \cdot s\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\,Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\,\mu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\,m^2 \cdot s^{-1}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\,St\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »&lt;math&gt;\Bigg\}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; laquelle se réécrit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\,I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en dérivant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; par rapport au temps, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_I\,&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle &lt;math&gt;\,\theta_I\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; avec la verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; avec cette même verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\,\theta_I = \theta_G\,&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;I\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» en accord avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement et «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\,\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;»  ou encore «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant l'équation &lt;math&gt;\,(\mathfrak{2})\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; doit être remplacée par &lt;math&gt;\,\varphi_G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «&lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt;, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;», soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot;&gt; Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour lesquelles &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, équation différentielle linéaire homogène du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; à cœfficients constants, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot;&gt; Constante d'intégration &lt;math&gt;\,A_i\,&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\,&lt;/math&gt; sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|&lt;sup&gt;82&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot;&gt; Si une longueur était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot;&gt; Si la vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait la vitesse orthoradiale &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; également discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot;&gt; Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit finalement «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot;&gt; En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence &lt;math&gt;\,xOz\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot;&gt; Par absence de vitesse initiale on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0)
 = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot;&gt; La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG_0}\,&lt;/math&gt; dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de lancement&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance &lt;math&gt;\,[OG]\,&lt;/math&gt; étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot;&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; unitaire vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_x\,&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{u}_y&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal égal à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, l'espace physique étant &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;&lt;/math&gt; soit directe », }}orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot;&gt; On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «&lt;math&gt;\;\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\theta_G}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}«&lt;math&gt;\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\theta_G\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot;&gt; Abscisse angulaire du C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. noté «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; est aussi le &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moment &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, de moment vectoriel en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de la liaison sphérique &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement fluide linéaire.&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;retour au repérage polaire du plan zOx&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; dont on déduit &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot;&gt; Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sont rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moments &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot;&gt; On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\,\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,-\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\,m\,\vec{g}\big)\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,&lt;/math&gt; d'où, &lt;math&gt;\,\theta\,&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[\theta\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,&lt; 0\big]\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; rencontre l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}&lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot; /&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour un }}lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|23}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot; /&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. en rotation autour de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; nous obtenons «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans la mesure où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire.

=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, fut-il linéaire «&lt;math&gt;\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;&lt;/math&gt;», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'a donc &lt;u&gt;pas de résolution analytique exacte&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, la seule possibilité étant une résolution approchée &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot;&gt; On devrait dire « élongations angulaires petites &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou non&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en valeur absolue&lt;/u&gt; » mais personne ne le fait par abus de langage.&lt;/ref&gt; » &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;analytique }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;ref&gt; Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer &lt;ref&gt; Que la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].&lt;/ref&gt; le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières suivantes : &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot;&gt; Conditions notées «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].&lt;/ref&gt; » avec la valeur absolue de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; petite &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot;&gt; À condition que l'angle soit exprimé en &lt;math&gt;\,rad&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert\,&lt;/math&gt; ne dépassera pas &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\,&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}soit «&lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; possibilité de D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot;&gt; Développement Limité.&lt;/ref&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; au &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}voisinage de &lt;math&gt;\,0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}d'où linéarisation de l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}selon «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}équation différentielle linéaire à cœfficients constants du &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre et homogène. &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans le cas des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et, dans cette hypothèse, devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» de pulsation propre &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}«&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\,\sigma\,\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O} = 2\;\sigma\;\omega_0}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\,g\,\mathfrak{a}\,J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &lt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même forme&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma = 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;ref name=&quot;même forme - bis&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &gt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;ref name=&quot;même forme - ter&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_termes_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Simple Non Amorti.&lt;/ref&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}\,&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical initial, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, }}le mouvement de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant }}d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser }}les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathit{l}\,,\right.}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\theta\,&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Nous nous proposons de retrouver l'équation différentielle du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d'axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|Cas om M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance }}de rotation &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance de rotation &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\,\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; A priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus.&lt;/ref&gt; de moment scalaire par rapport &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force de contact }}à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\,\vec{T}(t)\,&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. colinéaire à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OM}(t)\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\,\Vert \vec{T}(t) \Vert\,&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\,\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot; /&gt;, conduit à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;», avec &lt;math&gt;\,\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; accélération angulaire à la daue &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,M\,\left( m \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}}\,&lt;/math&gt; }}relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; est la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» et finalement, en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, homogène &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. }}caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.

=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : les abscisses angulaires d’équilibre étant les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « composante de &lt;math&gt;\,m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}l’équation différentielle ayant été obtenue par «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}avec l’équation différentielle déterminée par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;, moment scalaire moteur »&lt;math&gt;\big\},&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : avec }}l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont aussi les zéros du « moment scalaire moteur » &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. :  }}d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\,\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;-m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» de rappel&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}au voisinage d'un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = \pi&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}répulsive&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; lié à la force motrice &lt;math&gt;\,F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)}\,&lt;/math&gt; lié }}par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = F(\theta)\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» nous induisons &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}la propriété &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « de rappel » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est stable et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : la propriété }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « répulsif » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est instable. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce qui a été rappelé ci-dessus est la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; des équilibres d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;, mais il existe aussi &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : Ce qui a été rappelé ci-dessus est }}une détermination graphique &lt;ref name=&quot;détemination graphique de la stabilité ou non des équilibres d'un P.P.S.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; qui peut être restituée en remplaçant la « composante orthoradiale de force motrice » par le « moment scalaire moteur » &lt;math&gt;\ldots&lt;/math&gt;

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\perp}\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » }}les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; En fait il s'agit du moment scalaire résultant moteur s'il y a plusieurs moments scalaires moteurs ne s'annulant pas avec le mouvement.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;algébrique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}conclure selon les résultats suivants : &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\,&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre deux &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» de signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; » &lt;ref&gt; En effet «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; étant toujours du signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\,\varepsilon\;&lt;/math&gt;», cela correspond à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre, plus précisément &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable, mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,= 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», développement de }}&lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre trois &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)&lt;/math&gt; « moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,&lt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\,&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)&lt;/math&gt; « moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,&gt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}équilibre « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre quatre ou plus &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;» }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» de signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;» }}l'quilibre est donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; » &lt;ref&gt; En effet «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; étant toujours du signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\,\varepsilon\;&lt;/math&gt;», cela correspond à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre, plus précisément &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable, mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,= 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)}\,&lt;/math&gt; }}est limité à l'ordre cinq &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», soit &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\, &lt;\, 0\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}un équilibre « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\, &gt;\, 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du {{Nobr|P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;}} à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\big)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe }}du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe }}nous rappelons les principaux résultats ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons }}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_r}\,&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. appliquée à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overline{T}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -m\, \left\lbrace \mathit{l}\,\dot{\theta}^2\!(t) + g\,\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons Après utilisation successive}}et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons Après utilisation successive }}nous avons trouvé, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\,\vec{T}(t)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons Après utilisation successive nous avons trouvé, }}«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons }}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique }}&lt;math&gt;\,\overline{T}(t)\,&lt;/math&gt; valeur de la fonction &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\overline{T}(t)}\,&lt;/math&gt; valeur de la fonction &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f}\,&lt;/math&gt; }}composée avec la fonction &lt;math&gt;\,g\,&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\overline{T}(t)}\,&lt;/math&gt; }}est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta)\,&lt;/math&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique }}cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\,f\! \left[ g(t) \right]\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,f(\theta)\,&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\,f \circ g\,&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\,\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu }}il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\,\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu il convient, pour poursuivre, }}de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A.  &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu il convient, pour poursuivre, de distinguer }}suivant son énergie mécanique initiale : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&gt;\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,2\,m\,g\,\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\,1\mathfrak{b}\,&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; étant révolutif &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;tant que le fil reste tendu&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}le domaine de variation de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; est «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{r c l} \left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[ &amp; \text{pour} &amp; \dot{\theta}_0 &gt; 0\\ \left] -\infty\,,\,\theta_0 \right] &amp; \text{pour} &amp; \dot{\theta}_0 &lt; 0 \end{array} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}mais, la fonction &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta) = -m\,g\, \left[ \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 2 + 3\,\cos(\theta) \right]\,&lt;/math&gt; étant &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» mais, la fonction &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\overline{T}(\theta)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,2\,\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» mais, }}maximum peut être restreinte à &lt;math&gt;\,\left[ 0\,,\,+\pi \right]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\forall\,&lt;/math&gt; signe de &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta) = -m\,g\, \left[ \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,l} - 2 + 3\,\cos(\theta) \right]\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,2\,\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle de largeur &lt;math&gt;\,\pi\,&lt;/math&gt; à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;de largeur &lt;math&gt;\,2\,\pi\,&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta)\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;2\,\pi&lt;/math&gt;-périodique et de largeur &lt;math&gt;\,\pi\,&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta)\,&lt;/math&gt; est en plus paire&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; par exemple, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}en supposant &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\,\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta)\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\,&lt;/math&gt; et, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}en supposant &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\,\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;toutes les valeurs possibles étant aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta)\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\left[ -\pi\,,\,0 \right]\,&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\,\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}avec &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta) = -m\,g\, \left[ \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 2 + 3\,\cos(\theta) \right]\,\nearrow\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, son &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}maximum s'obtenant alors pour &lt;math&gt;\,\pi&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ou encore &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}&lt;math&gt;\,\overline{T}(+\pi) = -m\,g\, \left[ \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 5 \right] &lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}&lt;/math&gt;, finalement &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» « }}sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\,E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt;\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,2\,m\,g\,\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; étant oscillatoire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;tant que le fil reste tendu&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}le domaine de variation de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; est «&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\,&lt;/math&gt; dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\,\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;arccosinus&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_cosinus_:_fonction_arccosinus|fonction inverse de la fonction cosinus : fonction arccosinus]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}mais, la fonction &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta) = -m\,g\, \left[ \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 2 + 3\,\cos(\theta) \right]\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,2\,\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» mais, }}maximum peut être restreinte à &lt;math&gt;\,\left[ 0\,,\,\theta_m \right]\,&lt;/math&gt; et, avec &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta) = -m\,g\, \left[ \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 2 + 3\,\cos(\theta) \right]\,\nearrow\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}son maximum s'obtenant alors pour &lt;math&gt;\,\theta_m&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ou encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}&lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta_m) = -m\,g\, \left[ \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 2 + 3\,\cos(\theta_m) \right] = -m\,g\, \left\lbrace \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 2 + 3\, \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} \right] \right\rbrace = m\,g\, \left\lbrace \dfrac{E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 1 \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\overline{T}(\theta_m)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;&lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}&lt;/math&gt;, finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» « }}sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\,E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;en conclusion si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\,g\,\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\,m\,g\,\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\,&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;en conclusion si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0} \in \left[ m\,g\,\mathit{l}\,,\, 5\,m\,g\,\mathit{l} \right[}\;&lt;/math&gt;», le fil se détend pour }}«&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{3\,m\,g\, \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;arccosinus&quot; /&gt;.

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
}}</text>
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      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté */</comment>
      <origin>987119</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="241075" sha1="q6pm9ft3hyzf8ozq5y9hntiluls65zq" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 9
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Non Amorti.&lt;/ref&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt;}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_t\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\,R_2\,&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\,R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à gauche&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\,+12\; V\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» inférieure à &lt;math&gt;\,10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\,u_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\,&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,2,4\; V\,&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\,0,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\,F\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;interface Orphy-GTI&quot;&gt; Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;potentiomètre monotour&quot;&gt; Voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.&lt;/ref&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\,1\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\,&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\,COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,10\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\,7000\,&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\,2\;P + 1\,&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\,b_0 = 1\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,f_c\,&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\,f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\,1\;Hz\big]\,&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\,n_e\,&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\,\big\{n_e\,&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\,7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; ou plus devrait {{Nobr|convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.}}&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\,2\;P + 1 = 41\,&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|3}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal &lt;br&gt;{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\,P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\,2\;\pi\,&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle  &lt;br&gt;{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,2,5\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\,1000\,&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\,12\; s\,&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\,4800\,&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir &lt;br&gt;{{Al|98}}de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\,\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\,90\;\text{°}\,&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié &lt;br&gt;{{Al|98}}au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\,\nearrow\,&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\,10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\,O\big)\,&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; » ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt;, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt;}} lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;déf de urG&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}(t)\;&lt;/math&gt; étant le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; vecteur de base sphérique de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; associé au point &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant direct, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\;&lt;/math&gt;», appliquée en &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, se décomposant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}a priori selon &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt; mais, avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, celle-ci se simplifie en &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I.&quot;&gt; Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la foce de frottement fluide étant une réaction&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;à l'instant &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le vecteur accélération initial de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à un instant légèrement postérieur &lt;math&gt;\,\delta t\,&lt;/math&gt; est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide &lt;math&gt;\,\ldots\,&lt;/math&gt; ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est dans le plan vertical de lancement&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; de vecteur moment par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}un pseudo point centré en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, point quelconque de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot;&gt; Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au vecteur vitesse du solide.&lt;/ref&gt; de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|&lt;sup&gt;60&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; du plan localement transverse à savoir «&lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\,dS\,&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subit une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Bigg\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; en dépendent, néanmoins nous supposerons, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\,e\,&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\,z\,&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_i = 0\,&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_s = e &gt; 0\,&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\,z^{+}\,&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\,z^{-}\,&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\,Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,d \Sigma\,&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\,z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\,Pa \cdot s\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\,Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\,\mu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\,m^2 \cdot s^{-1}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\,St\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »&lt;math&gt;\Bigg\}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; laquelle se réécrit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\,I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en dérivant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; par rapport au temps, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_I\,&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle &lt;math&gt;\,\theta_I\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; avec la verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; avec cette même verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\,\theta_I = \theta_G\,&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;I\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» en accord avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement et «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\,\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;»  ou encore «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant l'équation &lt;math&gt;\,(\mathfrak{2})\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; doit être remplacée par &lt;math&gt;\,\varphi_G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «&lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt;, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;», soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot;&gt; Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour lesquelles &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, équation différentielle linéaire homogène du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; à cœfficients constants, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot;&gt; Constante d'intégration &lt;math&gt;\,A_i\,&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\,&lt;/math&gt; sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|&lt;sup&gt;82&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot;&gt; Si une longueur était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot;&gt; Si la vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait la vitesse orthoradiale &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; également discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot;&gt; Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit finalement «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot;&gt; En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence &lt;math&gt;\,xOz\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot;&gt; Par absence de vitesse initiale on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0)
 = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot;&gt; La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG_0}\,&lt;/math&gt; dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de lancement&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance &lt;math&gt;\,[OG]\,&lt;/math&gt; étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot;&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; unitaire vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_x\,&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{u}_y&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal égal à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, l'espace physique étant &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;&lt;/math&gt; soit directe », }}orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot;&gt; On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «&lt;math&gt;\;\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\theta_G}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}«&lt;math&gt;\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\theta_G\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot;&gt; Abscisse angulaire du C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. noté «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; est aussi le &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moment &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, de moment vectoriel en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de la liaison sphérique &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement fluide linéaire.&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;retour au repérage polaire du plan zOx&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; dont on déduit &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot;&gt; Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sont rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moments &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot;&gt; On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\,\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,-\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\,m\,\vec{g}\big)\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,&lt;/math&gt; d'où, &lt;math&gt;\,\theta\,&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[\theta\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,&lt; 0\big]\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; rencontre l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}&lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot; /&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour un }}lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|24}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot; /&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. en rotation autour de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; nous obtenons «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans la mesure où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire.

=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, fut-il linéaire «&lt;math&gt;\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;&lt;/math&gt;», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'a donc &lt;u&gt;pas de résolution analytique exacte&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, la seule possibilité étant une résolution approchée &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot;&gt; On devrait dire « élongations angulaires petites &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou non&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en valeur absolue&lt;/u&gt; » mais personne ne le fait par abus de langage.&lt;/ref&gt; » &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;analytique }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;ref&gt; Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer &lt;ref&gt; Que la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].&lt;/ref&gt; le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières suivantes : &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot;&gt; Conditions notées «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].&lt;/ref&gt; » avec la valeur absolue de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; petite &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot;&gt; À condition que l'angle soit exprimé en &lt;math&gt;\,rad&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert\,&lt;/math&gt; ne dépassera pas &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\,&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}soit «&lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; possibilité de D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot;&gt; Développement Limité.&lt;/ref&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; au &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}voisinage de &lt;math&gt;\,0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}d'où linéarisation de l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}selon «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}équation différentielle linéaire à cœfficients constants du &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre et homogène. &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans le cas des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et, dans cette hypothèse, devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» de pulsation propre &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}«&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\,\sigma\,\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O} = 2\;\sigma\;\omega_0}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\,g\,\mathfrak{a}\,J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &lt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même forme&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma = 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;ref name=&quot;même forme - bis&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &gt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;ref name=&quot;même forme - ter&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_termes_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Simple Non Amorti.&lt;/ref&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}\,&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical initial, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, }}le mouvement de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant }}d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser }}les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathit{l}\,,\right.}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\theta\,&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Nous nous proposons de retrouver l'équation différentielle du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d'axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|Cas om M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance }}de rotation &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance de rotation &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\,\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; A priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus.&lt;/ref&gt; de moment scalaire par rapport &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force de contact }}à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\,\vec{T}(t)\,&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. colinéaire à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OM}(t)\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\,\Vert \vec{T}(t) \Vert\,&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\,\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot; /&gt;, conduit à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;», avec &lt;math&gt;\,\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; accélération angulaire à la daue &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,M\,\left( m \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}}\,&lt;/math&gt; }}relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; est la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» et finalement, en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, homogène &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. }}caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.

=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : les abscisses angulaires d’équilibre étant les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « composante de &lt;math&gt;\,m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}l’équation différentielle ayant été obtenue par «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}avec l’équation différentielle déterminée par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;, moment scalaire moteur »&lt;math&gt;\big\},&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : avec }}l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont aussi les zéros du « moment scalaire moteur » &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. :  }}d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\,\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;-m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» de rappel&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}au voisinage d'un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = \pi&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}répulsive&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; lié à la force motrice &lt;math&gt;\,F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)}\,&lt;/math&gt; lié }}par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = F(\theta)\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» nous induisons &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}la propriété &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « de rappel » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est stable et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : la propriété }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « répulsif » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est instable. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce qui a été rappelé ci-dessus est la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; des équilibres d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;, mais il existe aussi &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : Ce qui a été rappelé ci-dessus est }}une détermination graphique &lt;ref name=&quot;détemination graphique de la stabilité ou non des équilibres d'un P.P.S.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; qui peut être restituée en remplaçant la « composante orthoradiale de force motrice » par le « moment scalaire moteur » &lt;math&gt;\ldots&lt;/math&gt;

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\perp}\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » }}les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; En fait il s'agit du moment scalaire résultant moteur s'il y a plusieurs moments scalaires moteurs ne s'annulant pas avec le mouvement.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;algébrique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}conclure selon les résultats suivants : &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\,&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre deux &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» de signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; » &lt;ref&gt; En effet «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; étant toujours du signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\,\varepsilon\;&lt;/math&gt;», cela correspond à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre, plus précisément &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable, mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,= 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», développement de }}&lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre trois &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)&lt;/math&gt; « moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,&lt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\,&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)&lt;/math&gt; « moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,&gt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}équilibre « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre quatre ou plus &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;» }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» de signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;» }}l'quilibre est donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; » &lt;ref&gt; En effet «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; étant toujours du signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\,\varepsilon\;&lt;/math&gt;», cela correspond à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre, plus précisément &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable, mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,= 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)}\,&lt;/math&gt; }}est limité à l'ordre cinq &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», soit &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\, &lt;\, 0\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}un équilibre « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\, &gt;\, 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du {{Nobr|P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;}} à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\big)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe }}du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe }}nous rappelons les principaux résultats ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons }}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_r}\,&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. appliquée à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overline{T}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -m\, \left\lbrace \mathit{l}\,\dot{\theta}^2\!(t) + g\,\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons Après utilisation successive}}et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons Après utilisation successive }}nous avons trouvé, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\,\vec{T}(t)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons Après utilisation successive nous avons trouvé, }}«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons }}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique }}&lt;math&gt;\,\overline{T}(t)\,&lt;/math&gt; valeur de la fonction &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\overline{T}(t)}\,&lt;/math&gt; valeur de la fonction &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f}\,&lt;/math&gt; }}composée avec la fonction &lt;math&gt;\,g\,&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\overline{T}(t)}\,&lt;/math&gt; }}est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta)\,&lt;/math&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique }}cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\,f\! \left[ g(t) \right]\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,f(\theta)\,&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\,f \circ g\,&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\,\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu }}il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\,\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu il convient, pour poursuivre, }}de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A.  &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu il convient, pour poursuivre, de distinguer }}suivant son énergie mécanique initiale : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&gt;\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,2\,m\,g\,\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\,1\mathfrak{b}\,&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; étant révolutif &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;tant que le fil reste tendu&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}le domaine de variation de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; est «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{r c l} \left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[ &amp; \text{pour} &amp; \dot{\theta}_0 &gt; 0\\ \left] -\infty\,,\,\theta_0 \right] &amp; \text{pour} &amp; \dot{\theta}_0 &lt; 0 \end{array} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}mais, la fonction &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta) = -m\,g\, \left[ \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 2 + 3\,\cos(\theta) \right]\,&lt;/math&gt; étant &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» mais, la fonction &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\overline{T}(\theta)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,2\,\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» mais, }}maximum peut être restreinte à &lt;math&gt;\,\left[ 0\,,\,+\pi \right]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\forall\,&lt;/math&gt; signe de &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta) = -m\,g\, \left[ \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,l} - 2 + 3\,\cos(\theta) \right]\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,2\,\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle de largeur &lt;math&gt;\,\pi\,&lt;/math&gt; à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;de largeur &lt;math&gt;\,2\,\pi\,&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta)\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;2\,\pi&lt;/math&gt;-périodique et de largeur &lt;math&gt;\,\pi\,&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta)\,&lt;/math&gt; est en plus paire&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; par exemple, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}en supposant &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\,\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta)\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\,&lt;/math&gt; et, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}en supposant &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\,\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;toutes les valeurs possibles étant aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta)\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\left[ -\pi\,,\,0 \right]\,&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\,\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}avec &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta) = -m\,g\, \left[ \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 2 + 3\,\cos(\theta) \right]\,\nearrow\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, son &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}maximum s'obtenant alors pour &lt;math&gt;\,\pi&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ou encore &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}&lt;math&gt;\,\overline{T}(+\pi) = -m\,g\, \left[ \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 5 \right] &lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}&lt;/math&gt;, finalement &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» « }}sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\,E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt;\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,2\,m\,g\,\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; étant oscillatoire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;tant que le fil reste tendu&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}le domaine de variation de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; est «&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\,&lt;/math&gt; dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\,\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;arccosinus&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_cosinus_:_fonction_arccosinus|fonction inverse de la fonction cosinus : fonction arccosinus]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}mais, la fonction &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta) = -m\,g\, \left[ \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 2 + 3\,\cos(\theta) \right]\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,2\,\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» mais, }}maximum peut être restreinte à &lt;math&gt;\,\left[ 0\,,\,\theta_m \right]\,&lt;/math&gt; et, avec &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta) = -m\,g\, \left[ \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 2 + 3\,\cos(\theta) \right]\,\nearrow\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}son maximum s'obtenant alors pour &lt;math&gt;\,\theta_m&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ou encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}&lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta_m) = -m\,g\, \left[ \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 2 + 3\,\cos(\theta_m) \right] = -m\,g\, \left\lbrace \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 2 + 3\, \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} \right] \right\rbrace = m\,g\, \left\lbrace \dfrac{E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 1 \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\overline{T}(\theta_m)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;&lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}&lt;/math&gt;, finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» « }}sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\,E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;en conclusion si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\,g\,\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\,m\,g\,\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\,&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;en conclusion si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0} \in \left[ m\,g\,\mathit{l}\,,\, 5\,m\,g\,\mathit{l} \right[}\;&lt;/math&gt;», le fil se détend pour }}«&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{3\,m\,g\, \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;arccosinus&quot; /&gt;.

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
}}</text>
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        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
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      <comment>/* Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté */</comment>
      <origin>987120</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="241075" sha1="h0nfjpjhipma828lh5r1qpd4j227abe" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 9
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Non Amorti.&lt;/ref&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt;}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_t\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\,R_2\,&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\,R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à gauche&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\,+12\; V\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» inférieure à &lt;math&gt;\,10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\,u_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\,&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,2,4\; V\,&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\,0,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\,F\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;interface Orphy-GTI&quot;&gt; Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;potentiomètre monotour&quot;&gt; Voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.&lt;/ref&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\,1\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\,&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\,COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,10\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\,7000\,&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\,2\;P + 1\,&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\,b_0 = 1\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,f_c\,&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\,f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\,1\;Hz\big]\,&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\,n_e\,&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\,\big\{n_e\,&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\,7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; ou plus devrait {{Nobr|convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.}}&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\,2\;P + 1 = 41\,&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|3}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal &lt;br&gt;{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\,P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\,2\;\pi\,&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle  &lt;br&gt;{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,2,5\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\,1000\,&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\,12\; s\,&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\,4800\,&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir &lt;br&gt;{{Al|98}}de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\,\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\,90\;\text{°}\,&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié &lt;br&gt;{{Al|98}}au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\,\nearrow\,&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\,10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\,O\big)\,&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; » ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt;, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt;}} lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;déf de urG&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}(t)\;&lt;/math&gt; étant le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; vecteur de base sphérique de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; associé au point &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant direct, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\;&lt;/math&gt;», appliquée en &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, se décomposant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}a priori selon &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt; mais, avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, celle-ci se simplifie en &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I.&quot;&gt; Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la foce de frottement fluide étant une réaction&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;à l'instant &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le vecteur accélération initial de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à un instant légèrement postérieur &lt;math&gt;\,\delta t\,&lt;/math&gt; est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide &lt;math&gt;\,\ldots\,&lt;/math&gt; ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est dans le plan vertical de lancement&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; de vecteur moment par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}un pseudo point centré en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, point quelconque de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot;&gt; Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au vecteur vitesse du solide.&lt;/ref&gt; de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|&lt;sup&gt;60&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; du plan localement transverse à savoir «&lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\,dS\,&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subit une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Bigg\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; en dépendent, néanmoins nous supposerons, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\,e\,&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\,z\,&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_i = 0\,&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_s = e &gt; 0\,&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\,z^{+}\,&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\,z^{-}\,&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\,Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,d \Sigma\,&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\,z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\,Pa \cdot s\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\,Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\,\mu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\,m^2 \cdot s^{-1}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\,St\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »&lt;math&gt;\Bigg\}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; laquelle se réécrit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\,I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en dérivant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; par rapport au temps, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_I\,&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle &lt;math&gt;\,\theta_I\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; avec la verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; avec cette même verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\,\theta_I = \theta_G\,&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;I\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» en accord avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement et «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\,\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;»  ou encore «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant l'équation &lt;math&gt;\,(\mathfrak{2})\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; doit être remplacée par &lt;math&gt;\,\varphi_G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «&lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt;, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;», soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot;&gt; Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour lesquelles &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, équation différentielle linéaire homogène du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; à cœfficients constants, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot;&gt; Constante d'intégration &lt;math&gt;\,A_i\,&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\,&lt;/math&gt; sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|&lt;sup&gt;82&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot;&gt; Si une longueur était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot;&gt; Si la vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait la vitesse orthoradiale &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; également discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot;&gt; Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit finalement «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot;&gt; En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence &lt;math&gt;\,xOz\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot;&gt; Par absence de vitesse initiale on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0)
 = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot;&gt; La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG_0}\,&lt;/math&gt; dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de lancement&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance &lt;math&gt;\,[OG]\,&lt;/math&gt; étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot;&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; unitaire vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_x\,&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{u}_y&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal égal à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, l'espace physique étant &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;&lt;/math&gt; soit directe », }}orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot;&gt; On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «&lt;math&gt;\;\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\theta_G}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}«&lt;math&gt;\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\theta_G\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot;&gt; Abscisse angulaire du C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. noté «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; est aussi le &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moment &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, de moment vectoriel en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de la liaison sphérique &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement fluide linéaire.&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;retour au repérage polaire du plan zOx&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; dont on déduit &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot;&gt; Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sont rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moments &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot;&gt; On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\,\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,-\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\,m\,\vec{g}\big)\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,&lt;/math&gt; d'où, &lt;math&gt;\,\theta\,&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[\theta\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,&lt; 0\big]\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; rencontre l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}&lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot; /&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour un }}lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|24}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot; /&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. en rotation autour de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; nous obtenons «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans la mesure où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire.

=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, fut-il linéaire «&lt;math&gt;\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;&lt;/math&gt;», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'a donc &lt;u&gt;pas de résolution analytique exacte&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, la seule possibilité étant une résolution approchée &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot;&gt; On devrait dire « élongations angulaires petites &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou non&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en valeur absolue&lt;/u&gt; » mais personne ne le fait par abus de langage.&lt;/ref&gt; » &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;analytique }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;ref&gt; Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer &lt;ref&gt; Que la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].&lt;/ref&gt; le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières suivantes : &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot;&gt; Conditions notées «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].&lt;/ref&gt; » avec la valeur absolue de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; petite &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot;&gt; À condition que l'angle soit exprimé en &lt;math&gt;\,rad&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert\,&lt;/math&gt; ne dépassera pas &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\,&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}soit «&lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; possibilité de D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot;&gt; Développement Limité.&lt;/ref&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; au &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}voisinage de &lt;math&gt;\,0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}d'où linéarisation de l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}selon «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}équation différentielle linéaire à cœfficients constants du &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre et homogène. &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans le cas des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et, dans cette hypothèse, devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» de pulsation propre &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}«&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\,\sigma\,\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O} = 2\;\sigma\;\omega_0}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\,g\,\mathfrak{a}\,J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &lt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même forme&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma = 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;ref name=&quot;même forme - bis&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &gt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;ref name=&quot;même forme - ter&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_termes_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Simple Non Amorti.&lt;/ref&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}\,&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical initial, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, }}le mouvement de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant }}d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser }}les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathit{l}\,,\right.}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\theta\,&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Nous nous proposons de retrouver l'équation différentielle du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d'axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|Cas om M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance }}de rotation &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance de rotation &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\,\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; A priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus.&lt;/ref&gt; de moment scalaire par rapport &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force de contact }}à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\,\vec{T}(t)\,&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. colinéaire à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OM}(t)\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\,\Vert \vec{T}(t) \Vert\,&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\,\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot; /&gt;, conduit à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;», avec &lt;math&gt;\,\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; accélération angulaire à la daue &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,M\,\left( m \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}}\,&lt;/math&gt; }}relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; est la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» et finalement, en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, homogène &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. }}caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.

=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : les abscisses angulaires d’équilibre étant les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « composante de &lt;math&gt;\,m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}l’équation différentielle ayant été obtenue par «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}avec l’équation différentielle déterminée par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;, moment scalaire moteur »&lt;math&gt;\big\},&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : avec }}l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont aussi les zéros du « moment scalaire moteur » &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. :  }}d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\,\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;-m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» de rappel&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}au voisinage d'un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = \pi&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}répulsive&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; lié à la force motrice &lt;math&gt;\,F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)}\,&lt;/math&gt; lié }}par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = F(\theta)\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» nous induisons &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}la propriété &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « de rappel » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est stable et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : la propriété }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « répulsif » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est instable. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce qui a été rappelé ci-dessus est la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; des équilibres d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;, mais il existe aussi &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : Ce qui a été rappelé ci-dessus est }}une détermination graphique &lt;ref name=&quot;détemination graphique de la stabilité ou non des équilibres d'un P.P.S.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; qui peut être restituée en remplaçant la « composante orthoradiale de force motrice » par le « moment scalaire moteur » &lt;math&gt;\ldots&lt;/math&gt;

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\perp}\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » }}les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; En fait il s'agit du moment scalaire résultant moteur s'il y a plusieurs moments scalaires moteurs ne s'annulant pas avec le mouvement.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;algébrique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}conclure selon les résultats suivants : &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\,&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre deux &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» de signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; » &lt;ref&gt; En effet «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; étant toujours du signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\,\varepsilon\;&lt;/math&gt;», cela correspond à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre, plus précisément &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable, mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,= 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», développement de }}&lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre trois &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)&lt;/math&gt; « moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,&lt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\,&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)&lt;/math&gt; « moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,&gt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}équilibre « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre quatre ou plus &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;» }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» de signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;» }}l'quilibre est donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; » &lt;ref&gt; En effet «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; étant toujours du signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\,\varepsilon\;&lt;/math&gt;», cela correspond à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre, plus précisément &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable, mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,= 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)}\,&lt;/math&gt; }}est limité à l'ordre cinq &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», soit &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\, &lt;\, 0\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}un équilibre « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\, &gt;\, 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du {{Nobr|P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;}} à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\big)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe }}du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe }}nous rappelons les principaux résultats ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons }}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_r}\,&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. appliquée à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overline{T}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -m\, \left\lbrace \mathit{l}\,\dot{\theta}^2\!(t) + g\,\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons Après utilisation successive}}et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons Après utilisation successive }}nous avons trouvé, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\,\vec{T}(t)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons Après utilisation successive nous avons trouvé, }}«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons }}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique }}&lt;math&gt;\,\overline{T}(t)\,&lt;/math&gt; valeur de la fonction &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\overline{T}(t)}\,&lt;/math&gt; valeur de la fonction &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f}\,&lt;/math&gt; }}composée avec la fonction &lt;math&gt;\,g\,&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\overline{T}(t)}\,&lt;/math&gt; }}est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta)\,&lt;/math&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique }}cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\,f\! \left[ g(t) \right]\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,f(\theta)\,&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\,f \circ g\,&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\,\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu }}il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\,\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu il convient, pour poursuivre, }}de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A.  &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu il convient, pour poursuivre, de distinguer }}suivant son énergie mécanique initiale : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&gt;\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,2\,m\,g\,\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\,1\mathfrak{b}\,&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; étant révolutif &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;tant que le fil reste tendu&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}le domaine de variation de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; est «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{r c l} \left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[ &amp; \text{pour} &amp; \dot{\theta}_0 &gt; 0\\ \left] -\infty\,,\,\theta_0 \right] &amp; \text{pour} &amp; \dot{\theta}_0 &lt; 0 \end{array} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}mais, la fonction &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta) = -m\,g\, \left[ \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 2 + 3\,\cos(\theta) \right]\,&lt;/math&gt; étant &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» mais, la fonction &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\overline{T}(\theta)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,2\,\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» mais, }}maximum peut être restreinte à &lt;math&gt;\,\left[ 0\,,\,+\pi \right]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\forall\,&lt;/math&gt; signe de &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta) = -m\,g\, \left[ \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,l} - 2 + 3\,\cos(\theta) \right]\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,2\,\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle de largeur &lt;math&gt;\,\pi\,&lt;/math&gt; à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;de largeur &lt;math&gt;\,2\,\pi\,&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta)\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;2\,\pi&lt;/math&gt;-périodique et de largeur &lt;math&gt;\,\pi\,&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta)\,&lt;/math&gt; est en plus paire&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; par exemple, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}en supposant &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\,\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta)\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\,&lt;/math&gt; et, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}en supposant &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\,\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;toutes les valeurs possibles étant aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta)\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\left[ -\pi\,,\,0 \right]\,&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\,\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}avec &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta) = -m\,g\, \left[ \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 2 + 3\,\cos(\theta) \right]\,\nearrow\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, son &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}maximum s'obtenant alors pour &lt;math&gt;\,\pi&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ou encore &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}&lt;math&gt;\,\overline{T}(+\pi) = -m\,g\, \left[ \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 5 \right] &lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}&lt;/math&gt;, finalement &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» « }}sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\,E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt;\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,2\,m\,g\,\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; étant oscillatoire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;tant que le fil reste tendu&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}le domaine de variation de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; est «&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\,&lt;/math&gt; dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\,\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;arccosinus&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_cosinus_:_fonction_arccosinus|fonction inverse de la fonction cosinus : fonction arccosinus]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}mais, la fonction &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta) = -m\,g\, \left[ \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 2 + 3\,\cos(\theta) \right]\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,2\,\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» mais, }}maximum peut être restreinte à &lt;math&gt;\,\left[ 0\,,\,\theta_m \right]\,&lt;/math&gt; et, avec &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta) = -m\,g\, \left[ \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 2 + 3\,\cos(\theta) \right]\,\nearrow\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}son maximum s'obtenant alors pour &lt;math&gt;\,\theta_m&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ou encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}&lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta_m) = -m\,g\, \left[ \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 2 + 3\,\cos(\theta_m) \right] = -m\,g\, \left\lbrace \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 2 + 3\, \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} \right] \right\rbrace = m\,g\, \left\lbrace \dfrac{E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 1 \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\overline{T}(\theta_m)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;&lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}&lt;/math&gt;, finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» « }}sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\,E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;en conclusion si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\,g\,\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\,m\,g\,\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\,&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;en conclusion si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0} \in \left[ m\,g\,\mathit{l}\,,\, 5\,m\,g\,\mathit{l} \right[}\;&lt;/math&gt;», le fil se détend pour }}«&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{3\,m\,g\, \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;arccosinus&quot; /&gt;.

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
}}</text>
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      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté */</comment>
      <origin>987121</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="241075" sha1="hgrwwe9v2dt40rdniur628b964k8nyy" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 9
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|left|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Non Amorti.&lt;/ref&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement {{Nobr|pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt;}} si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_t\,&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\,R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\,m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\,R_2\,&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\,R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à gauche&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\,+12\; V\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension à l’équilibre «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» inférieure à &lt;math&gt;\,10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\,u_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\,&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,2,4\; V\,&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\,0,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|left|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\,10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pilotée par interface « [[w:Python_(langage)|python]] », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus bas dans ce chapitre.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple pour l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\,F\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;interface Orphy-GTI&quot;&gt; Voir la photo du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;potentiomètre monotour&quot;&gt; Voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.&lt;/ref&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\,10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\,10\; k \Omega\,&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\,8\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\,1\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\,&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\,COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre.
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,10\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans [[w:Python_(langage)|python]] du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\,7000\,&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|27}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]]]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans [[w:Python_(langage)|python]], il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de [[w:Python_(langage)|python]], utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|24}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|48}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\,2\;P + 1\,&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\,b_0 = 1\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\,&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,f_c\,&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\,f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\,1\;Hz\big]\,&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\,f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\,100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\,n_e\,&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\,\big\{n_e\,&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\,7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\,10\,&lt;/math&gt; ou plus devrait {{Nobr|convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.}}&lt;/ref&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|14}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\,2\;P + 1 = 41\,&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|3}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\,h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|59}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\,\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal &lt;br&gt;{{Al|137}}θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|31}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|21}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|20}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\,P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|11}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|14}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|14}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|29}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|38}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]] puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\,&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]]n pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|34}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|31}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|34}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Pportrait de phase]] d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface [[w:Python_(langage)|python]], avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\,2\;\pi\,&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\,\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code [[w:Python_(langage)#Syntaxe|python]] pour ces transformations et le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|30}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|12}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers &lt;br&gt;{{Al|62}}naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans l'intervalle  &lt;br&gt;{{Al|97}} [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|27}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|50}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_l'interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|précédent]] ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.scientillula.net/MPI/fr4_synchronie/fr4_synchron.html » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\,u(t)\,&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\,2,5\; ms\,&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\,2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\,1000\,&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\,12\; s\,&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\,4800\,&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\,V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,24\; V\,&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\,3\; V\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{8}\,&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\,\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\,60\;\text{°}\big)\,&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : }}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir &lt;br&gt;{{Al|98}}de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\,\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\,V1\,&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\,90\;\text{°}\,&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié &lt;br&gt;{{Al|98}}au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,2,5\;s\,&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\,12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\,V1 = 6,06\;V\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big(\theta\,&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\,\text{°}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,EAO\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\,\nearrow\,&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._(pendule_élastique_vertical_amorti)_et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;[[w:Portrait_de_phase|Portrait de phase]] du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\,\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\,&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\,\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\,\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\,\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\,&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\,&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\,\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\,10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|précité]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\,O\big)\,&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lnacement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; » ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt; ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. pour un mouvement à un degré de liberté&quot; /&gt;, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du {{Nobr|P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt;}} lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;déf de urG&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}(t)\;&lt;/math&gt; étant le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; vecteur de base sphérique de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; associé au point &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant direct, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\;&lt;/math&gt;», appliquée en &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, se décomposant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}a priori selon &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt; mais, avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, celle-ci se simplifie en &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I.&quot;&gt; Si les C.I. de lancement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la foce de frottement fluide étant une réaction&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;à l'instant &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la force de frottement fluide étant de même direction et de sens contraire à la vitesse&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le vecteur accélération initial de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à un instant légèrement postérieur &lt;math&gt;\,\delta t\,&lt;/math&gt; est aussi contenu dans le plan vertical de lancement de même que la force de frottement fluide &lt;math&gt;\,\ldots\,&lt;/math&gt; ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est dans le plan vertical de lancement&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; de vecteur moment par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}un pseudo point centré en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, point quelconque de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot;&gt; Le front d'un solide en translation dans un fluide globalement au repos est la projection orthogonale du solide sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au vecteur vitesse du solide.&lt;/ref&gt; de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Maître-couple|maître couple]] d'aire &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le [[w:Maître-couple|maître couple]] est défini pour un objet &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un [[w:Maître-couple|maître couple]] pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-front-60|&lt;sup&gt;60&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] de &lt;math&gt;\,(M,\,dS)\,&lt;/math&gt; du plan localement transverse à savoir «&lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\,dS\,&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subit une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Bigg\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;S' = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; étant l'aire du [[w:Maître-couple|maître couple]] &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|quand le mouvement est quelconque }}du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépendant du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]], &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; en dépendent, néanmoins nous supposerons, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le [[w:Pendule_pesant|pendule]], dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement linéaire dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions }}[[w:Viscosité_dynamique|dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\,e\,&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\,z\,&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_i = 0\,&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_s = e &gt; 0\,&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\,z^{+}\,&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\,z^{-}\,&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\,Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,d \Sigma\,&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\,z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\,Pa \cdot s\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\,Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\,\mu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\,&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\,m^2 \cdot s^{-1}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\,St\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels »&lt;math&gt;\Bigg\}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; laquelle se réécrit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du [[w:Pendule_pesant|pendule]], selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] et donc que &lt;math&gt;\,{dS'}_{\!M}\,&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\,S'\,&lt;/math&gt; n'en dépendent pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]].&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\,I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des [[w:Maître-couple|maîtres couples]] locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en dérivant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; par rapport au temps, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_I\,&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du [[w:Pendule_pesant|pendule]] est finalement nulle si on suppose que le [[w:Pendule_pesant|pendule]] est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]], l'angle &lt;math&gt;\,\theta_I\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OI}\,&lt;/math&gt; avec la verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt; avec cette même verticale &lt;math&gt;\downarrow&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\,\theta_I = \theta_G\,&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le [[w:Pendule_pesant|pendule]] et celle des [[w:Maître_couple|maîtres couples]] locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;}}faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;I\,\in\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» en accord avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement et «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}}\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega}}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\theta_G\,&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\,\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses [[w:Équations_de_Maxwell|équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\,&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les actions un pseudo point &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;faisant les hypothèses simplificatrices }}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \vec{u}_z - \cos(\theta_G) \left[ \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\,\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I = -h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\,-h\;r_I\big)\,&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\,&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;»  ou encore «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane ainsi que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant l'équation &lt;math&gt;\,(\mathfrak{2})\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; doit être remplacée par &lt;math&gt;\,\varphi_G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = m\;\rho_G(t)\;d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t)}\;&lt;/math&gt;» par forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en }}dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}avec «&lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; étant solidaires du [[w:Pendule_pesant|pendule]] leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt;, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\,\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;», soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot;&gt; Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour lesquelles &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, équation différentielle linéaire homogène du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\rho_G^2\,\dot{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; à cœfficients constants, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A_i\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot;&gt; Constante d'intégration &lt;math&gt;\,A_i\,&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\,&lt;/math&gt; sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-82|&lt;sup&gt;82&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot;&gt; Si une longueur était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot;&gt; Si la vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait la vitesse orthoradiale &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; également discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot;&gt; Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit finalement «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la constante &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot;&gt; En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence &lt;math&gt;\,xOz\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot;&gt; Par absence de vitesse initiale on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0)
 = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot;&gt; La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG_0}\,&lt;/math&gt; dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de lancement&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, «&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}on détermine la valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste' = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane qui s'intègre, }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre et la distance &lt;math&gt;\,[OG]\,&lt;/math&gt; étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot;&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; unitaire vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_x\,&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{u}_y&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal égal à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, l'espace physique étant &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;&lt;/math&gt; soit directe », }}orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot;&gt; On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «&lt;math&gt;\;\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\theta_G}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}«&lt;math&gt;\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\theta_G\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot;&gt; Abscisse angulaire du C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.A. noté «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; est aussi le &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;front&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\,I\,&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moment &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, de moment vectoriel en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de la liaison sphérique &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt; appliquée en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}&lt;/math&gt;, }}«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique du frottement fluide linéaire.&lt;/ref&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature pland du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (actions extérieures) » plus haut dans ce chapitre, le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ne changeant rien aux forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;retour au repérage polaire du plan zOx&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\ \vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) + \cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{r c l}\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z \!\!&amp;=&amp;\!\! \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \\- \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \!\!&amp;=&amp;\!\! -\sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; dont on déduit &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) = - \sin^3\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) - \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\,\left\lbrace \sin^2\!\left[ \theta_G(t) \right] + \cos^2\!\left[ \theta_G(t) \right] \right\rbrace \vec{u}_{\theta_G}(t) = -\sin\!\left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot;&gt; Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » il faut ajouter sur le schéma }}de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sont rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moments &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot;&gt; On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P..A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\,\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,-\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\,m\,\vec{g}\big)\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,&lt;/math&gt; d'où, &lt;math&gt;\,\theta\,&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[\theta\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,&lt; 0\big]\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\,\theta &lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; rencontre l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}ou &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction de l'axe &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, de moments vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;&lt;/math&gt;, de moments }}scalaire en &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de la nullité du moment scalaire&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}&lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;la réaction du point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; auquel s'ajoute }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;h&quot; /&gt; s’appliquant en &lt;math&gt;\,I\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résultante des forces de frottement fluide&quot; /&gt; de vecteur moment en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\Delta_O} + H\; \dot{\varphi}_G(t) \sin\!\left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;H&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;actions extérieures s'exerçant sur un P.P.A.&quot; /&gt; et de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.A. &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -H\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour un }}lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|24}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot; /&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» pour }}par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;theta au lieu de thetaG&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;» avec }}et «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. en rotation autour de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; }}pour un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; nous obtenons «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.A « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans la mesure où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, caractérisant un oscillateur }}le mouvement reste pseudo-oscillatoire.

=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, fut-il linéaire «&lt;math&gt;\;\propto\,\dfrac{d f}{dx}(x)\;&lt;/math&gt;», dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'a donc &lt;u&gt;pas de résolution analytique exacte&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, la seule possibilité étant une résolution approchée &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot;&gt; On devrait dire « élongations angulaires petites &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou non&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en valeur absolue&lt;/u&gt; » mais personne ne le fait par abus de langage.&lt;/ref&gt; » &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;analytique }}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Comme l'équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;ref&gt; Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée }}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer &lt;ref&gt; Que la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]].&lt;/ref&gt; le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières suivantes : &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de }}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot;&gt; Conditions notées «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].&lt;/ref&gt; » avec la valeur absolue de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; petite &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « on le lâche sans vitesse initiale » avec }}c.-à-d. &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot;&gt; À condition que l'angle soit exprimé en &lt;math&gt;\,rad&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « }}l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert\,&lt;/math&gt; ne dépassera pas &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\,&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vert \theta_0 \vert\,&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de « l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}soit «&lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être }}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; possibilité de D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot;&gt; Développement Limité.&lt;/ref&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; au &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}voisinage de &lt;math&gt;\,0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}d'où linéarisation de l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; }}selon «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}équation différentielle linéaire à cœfficients constants du &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;&lt;/math&gt; selon }}2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; avec terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre et homogène. &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans le cas des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et, dans cette hypothèse, devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» de pulsation propre &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}«&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\,\sigma\,\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O} = 2\;\sigma\;\omega_0}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\,g\,\mathfrak{a}\,J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &lt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt;» }}en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même forme&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma = 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;ref name=&quot;même forme - bis&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Résolution analytique approchée Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour «&lt;math&gt;\;\sigma &gt; 1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;ref name=&quot;même forme - ter&quot;&gt; De même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_«_d'oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_termes_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Simple Non Amorti.&lt;/ref&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}\,&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical initial, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le mouvement se faisant dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, }}le mouvement de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant }}d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser }}les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|il devient alors intéressant d'utiliser les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \mathit{l}\,,\right.}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\theta\,&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Nous nous proposons de retrouver l'équation différentielle du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d'axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|Cas om M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver }}le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\,M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance }}de rotation &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force à distance de rotation &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;détermination directe du moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\,\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\,&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; A priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus.&lt;/ref&gt; de moment scalaire par rapport &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de retrouver le point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;une force de contact }}à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\,\vec{T}(t)\,&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. colinéaire à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OM}(t)\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\,T(t)\,&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\,\Vert \vec{T}(t) \Vert\,&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\,\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point en mouvement circulaire&quot; /&gt;, conduit à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;», avec &lt;math&gt;\,\ddot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; accélération angulaire à la daue &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,M\,\left( m \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)}\;&lt;/math&gt;», avec «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}}\,&lt;/math&gt; }}relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; est la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» et finalement, en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire }}«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, homogène &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + g\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. }}caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.

=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : les abscisses angulaires d’équilibre étant les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « composante de &lt;math&gt;\,m\;\vec{g}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_\theta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}l’équation différentielle ayant été obtenue par «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}avec l’équation différentielle déterminée par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;, moment scalaire moteur »&lt;math&gt;\big\},&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : avec }}l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont aussi les zéros du « moment scalaire moteur » &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. :  }}d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\,\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre stable, la force motrice étant « de rappel » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;-m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» de rappel&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}au voisinage d'un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ici « au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = \pi&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : au voisinage d’un équilibre instable, la force motrice étant « répulsive » &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}répulsive&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; lié à la force motrice &lt;math&gt;\,F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : ici le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)}\,&lt;/math&gt; lié }}par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = F(\theta)\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» nous induisons &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}la propriété &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « de rappel » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est stable et &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : la propriété }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si le moment scalaire moteur est « répulsif » au voisinage d'un équilibre, ce dernier est instable. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce qui a été rappelé ci-dessus est la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; des équilibres d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;, mais il existe aussi &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : Ce qui a été rappelé ci-dessus est }}une détermination graphique &lt;ref name=&quot;détemination graphique de la stabilité ou non des équilibres d'un P.P.S.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; qui peut être restituée en remplaçant la « composante orthoradiale de force motrice » par le « moment scalaire moteur » &lt;math&gt;\ldots&lt;/math&gt;

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « motrices » }}ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\perp}\,&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre Il y a deux types de moments scalaires &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ceux des forces « non motrices » }}les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; En fait il s'agit du moment scalaire résultant moteur s'il y a plusieurs moments scalaires moteurs ne s'annulant pas avec le mouvement.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination des positions d'équilibre }}les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Détermination&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;algébrique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité }}conclure selon les résultats suivants : &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\,&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\,&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\,\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas usuel «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre deux &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» de signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}l'équilibre est donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; » &lt;ref&gt; En effet «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; étant toujours du signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\,\varepsilon\;&lt;/math&gt;», cela correspond à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre, plus précisément &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable, mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\,= 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», développement de }}&lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre trois &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)&lt;/math&gt; « moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,&lt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\,&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)&lt;/math&gt; « moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas peu fréquent «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,&gt; 0}\;&lt;/math&gt;», }}équilibre « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0}\;&lt;/math&gt;», }}de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; limité à l'ordre quatre ou plus &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;» }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» de signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,\neq 0}\;&lt;/math&gt;» }}l'quilibre est donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; » &lt;ref&gt; En effet «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; étant toujours du signe de &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\,\varepsilon\;&lt;/math&gt;», cela correspond à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre, plus précisément &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&gt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &lt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour éloigner le solide de sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement instable, &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varepsilon &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \,&lt;\, 0\,&lt;/math&gt; agit pour ramener le solide vers sa position d'équilibre, l'équilibre étant donc localement stable, mais le solide dépassant la position d'équilibre, alors &lt;math&gt;\,\varepsilon\,&lt;/math&gt; devient &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)\,&lt;/math&gt; restant &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; d'où l'équilibre devenant localement instable.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\,= 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\,&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)}\,&lt;/math&gt; }}est limité à l'ordre cinq &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», soit &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\, &lt;\, 0\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Détermination&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;algébrique&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\;&lt;/math&gt;pour étudier la stabilité conclure &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;cas inexistant en pratique &lt;math&gt;\color{transparent}{\succ}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\,= 0}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0}\;&lt;/math&gt;», }}un équilibre « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\,\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\, &gt;\, 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du {{Nobr|P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;}} à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\,\Delta\big)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe }}du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe }}nous rappelons les principaux résultats ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons }}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_r}\,&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. appliquée à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overline{T}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -m\, \left\lbrace \mathit{l}\,\dot{\theta}^2\!(t) + g\,\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons Après utilisation successive}}et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons Après utilisation successive }}nous avons trouvé, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\,\vec{T}(t)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons Après utilisation successive nous avons trouvé, }}«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons }}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique }}&lt;math&gt;\,\overline{T}(t)\,&lt;/math&gt; valeur de la fonction &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\overline{T}(t)}\,&lt;/math&gt; valeur de la fonction &lt;math&gt;\,\color{transparent}{f}\,&lt;/math&gt; }}composée avec la fonction &lt;math&gt;\,g\,&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\overline{T}(t)}\,&lt;/math&gt; }}est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta)\,&lt;/math&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique }}cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\,f\! \left[ g(t) \right]\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,f(\theta)\,&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\,f \circ g\,&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,f\,&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\,\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu }}il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\,\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu il convient, pour poursuivre, }}de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A.  &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu il convient, pour poursuivre, de distinguer }}suivant son énergie mécanique initiale : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&gt;\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,2\,m\,g\,\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\,1\mathfrak{b}\,&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; étant révolutif &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;tant que le fil reste tendu&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}le domaine de variation de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; est «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{r c l} \left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[ &amp; \text{pour} &amp; \dot{\theta}_0 &gt; 0\\ \left] -\infty\,,\,\theta_0 \right] &amp; \text{pour} &amp; \dot{\theta}_0 &lt; 0 \end{array} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}mais, la fonction &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta) = -m\,g\, \left[ \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 2 + 3\,\cos(\theta) \right]\,&lt;/math&gt; étant &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» mais, la fonction &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\overline{T}(\theta)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,2\,\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» mais, }}maximum peut être restreinte à &lt;math&gt;\,\left[ 0\,,\,+\pi \right]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\forall\,&lt;/math&gt; signe de &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta) = -m\,g\, \left[ \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,l} - 2 + 3\,\cos(\theta) \right]\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,2\,\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle de largeur &lt;math&gt;\,\pi\,&lt;/math&gt; à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;de largeur &lt;math&gt;\,2\,\pi\,&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta)\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;2\,\pi&lt;/math&gt;-périodique et de largeur &lt;math&gt;\,\pi\,&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta)\,&lt;/math&gt; est en plus paire&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; par exemple, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}en supposant &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\,\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta)\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\,&lt;/math&gt; et, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}en supposant &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\,\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\Big\{&lt;/math&gt;toutes les valeurs possibles étant aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta)\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\left[ -\pi\,,\,0 \right]\,&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\,\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}avec &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta) = -m\,g\, \left[ \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 2 + 3\,\cos(\theta) \right]\,\nearrow\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, son &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}maximum s'obtenant alors pour &lt;math&gt;\,\pi&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ou encore &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}&lt;math&gt;\,\overline{T}(+\pi) = -m\,g\, \left[ \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 5 \right] &lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}&lt;/math&gt;, finalement &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» « }}sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\,E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt;\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,2\,m\,g\,\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; étant oscillatoire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;tant que le fil reste tendu&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}le domaine de variation de &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; est «&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\,&lt;/math&gt; dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\,\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;arccosinus&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_cosinus_:_fonction_arccosinus|fonction inverse de la fonction cosinus : fonction arccosinus]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}mais, la fonction &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta) = -m\,g\, \left[ \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 2 + 3\,\cos(\theta) \right]\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,2\,\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» mais, }}maximum peut être restreinte à &lt;math&gt;\,\left[ 0\,,\,\theta_m \right]\,&lt;/math&gt; et, avec &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta) = -m\,g\, \left[ \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 2 + 3\,\cos(\theta) \right]\,\nearrow\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}son maximum s'obtenant alors pour &lt;math&gt;\,\theta_m&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ou encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}&lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta_m) = -m\,g\, \left[ \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 2 + 3\,\cos(\theta_m) \right] = -m\,g\, \left\lbrace \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 2 + 3\, \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} \right] \right\rbrace = m\,g\, \left\lbrace \dfrac{E_{m,\,0}}{m\,g\,\mathit{l}} - 1 \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\overline{T}(\theta_m)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;&lt; 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}&lt;/math&gt;, finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» }}« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0}}\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&lt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\,m\,g\,\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;» « }}sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\,E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;en conclusion si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\,g\,\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\,m\,g\,\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\,&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\,\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|Voir le paragraphe nous rappelons le fil restant tendu &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;en conclusion si «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,0} \in \left[ m\,g\,\mathit{l}\,,\, 5\,m\,g\,\mathit{l} \right[}\;&lt;/math&gt;», le fil se détend pour }}«&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\,E_{m,\,0}}{3\,m\,g\, \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;arccosinus&quot; /&gt;.

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
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    <title>Wikiversité:La salle café/octobre 2026</title>
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&lt;!-- Message envoyé par User:Danny Benjafield (WMDE)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Danny_Benjafield_(WMDE)/MassMessage_test_list&amp;oldid=31106967 --&gt;

== Harcèlement par hCaptcha ==
J'ai un compte sur Wikiversité au nom de Marvoir. Quand je remplis le formulaire pour me connecter, je reçois le message &quot;Une vérification supplémentaire est nécessaire. Veuillez recommencer&quot; (ou quelque chose comme ça). Je remplis donc le même formulaire et maintenant je dois exécuter un hCaptcha. Or ce hCaptcha est impossible à exécuter, parce que l'indication de la tâche à effectuer est mal positionnée et apparaît incomplètement. Je trouve quand même étonnant qualors que j'indique mon pseudo et mon mot de passe, je sois encore obligé d'exécuter des captchas impossibles à exécuter. Marvoir. [[Spécial:Contributions/~2026-52884-74|~2026-52884-74]] ([[Discussion utilisateur:~2026-52884-74|discussion]]) 1 octobre 2026 à 17:37 (UTC)

== Des RAW tout frais, à lire sans délai ! ==
&lt;div style=&quot;background-color:#177860; border-radius:.2em;  color:#FFF;padding: 1em;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;font-family: Century Gothic; font-size:3em; line-height:120%;text-align:center;color: #fff;&quot;&gt;RAW&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;margin-bottom:1.5em; margin-top:1em; text-align:center; color: #fff;&quot;&gt;Le numéro d'octobre 2026 ({{numéro|297}}) est sorti.&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;center&quot;&gt;[[:w:Wikipédia:RAW/2026-10-05|&lt;span class=&quot;cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled&quot; style=&quot;white-space:break-spaces; text-align:center; gap:0;&quot;role=&quot;button&quot; aria-disabled=&quot;false&quot;&gt;Lire l'infolettre&lt;/span&gt;]]&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

'''Contribuer, chacun à sa manière'''

Dans une grande partie de la francophonie, l'automne pointe le bout de son nez, et avec lui un nouveau numéro des RAW !

Ce numéro fait la part belle à la contribution sous plusieurs formes : des campagnes de contribution et des ateliers pour améliorer des milliers d'articles sur divers sujets, des discussions communautaires, des élections, des événements, des nouveautés techniques, et même une nouvelle publication francophone ! La contribution peut aussi prendre des formes plus inattendues : pourquoi pas à travers des jeux ? Et pour découvrir plus concrètement ce que signifie contribuer à Wikipédia, nous nous intéresserons au parcours d'un utilisateur fraîchement élu administrateur : Nanoyo88.

Par ailleurs, la réflexion sur le changement de titre des RAW avance : les deux propositions favorites sont ''La Wikigazette'' et ''La Gazette de Wikimédia''. N'hésitez pas à [[w:Discussion Wikipédia:RAW/Rédaction#Deuxième tour|donner votre avis]].

Bonne lecture, et surtout, bonnes contributions !

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Au menu de ce numéro :

'''&lt;span style=&quot;margin:0;background:var(--color-success, #177860);padding:3px;color:white&quot;&gt;En bref&lt;/span&gt;''' — Des actualités francophones et du mouvement Wikimédia, des nouveaux outils et des articles de recherche

'''&lt;span style=&quot;margin:0;background:var(--color-success, #177860);padding:3px;color:white&quot;&gt;L'Interview&lt;/span&gt;''' — Nanoyo88 : de débutant à administrateur, pour une Wikipédia plus accessible

'''&lt;span style=&quot;margin:0;background:var(--color-success, #177860);padding:3px;color:white&quot;&gt;Le wik'hit parade&lt;/span&gt;''' — Une analyse des articles les plus vus le mois dernier

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[[Utilisateur:Antimuonium|Antimuonium]] ([[Discussion utilisateur:Antimuonium|discuter]]) 4 octobre 2026 à 22:06 (UTC)</text>
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